未来星辅导中心2017暑假七年级数学
2017年七升八暑期衔接班数学讲义(word版)
2017年七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1.第一讲：与三角形有关的线段；2.第二讲：与三角形有关的角；3.第三讲：与三角形有关的角度求和；4.第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5.第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6.第六讲：全等三角形；7.第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8.第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9.第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11.第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12.第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13.第十三讲：轴对称；14.第十四讲：等腰三角形；15.第十五讲：等腰直角三角形；16.第十六讲：等边三角形（一）；17.第十七讲：等边三角形（二）;18.第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19.第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20.第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；CB A第 一 讲 与三角形有关的线段【知识要点】 一、三角形1．概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. 2．几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形. 3．三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线. 二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）()⎧⎪⎧⎨⎪⎨⎪⎪⎩⎩不等边三角形腰底不相等的等腰三角形三角形等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系(教具)引例：已知平面上有A 、B 、C 三点.根据下列线段的长度判断A 、B 、C 存在的位置情况： (1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A 、B 、C 存在的位置情况是： (5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A 、B 、C 存在的位置情况是： 总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围. 1．已知BC=a ，AC=b ，AB=c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 2．已知BC=a ，AC=b ，AB=c ，且a ＜b ＜c.（1）A 、B 、C 三点在同一条直线上，则a ，b ，c 满足： ； （2）若构成△ABC ，则a ，b ，c 满足： ； 【新知讲授】例一、如图，在△ABC 中.①AD 为△ABC 的中线，则线段 = =21；②AE 为△ABC 的角平分线，则 = =21； ③AF 为△ABC 的高线，则 = =90°；④以AD 为边的三角形有 ；⑤∠AEC 是 的一个内角；是 的一个外角.AB CD E F例二、已知，如图，BD ⊥AC ，AE ⊥CG ，AF ⊥AC ，AG ⊥AB ，则△ABC 的BC 边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF(D) AG 例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ). (A)7cm ，5cm ，12cm (B)6cm ，8cm ，15cm(C)4cm ，6cm ，5cm (D)8cm ，4cm ，3cm （2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是 .（a 、b 、c 均为正数） ①a=5，b=9，c=7； ②a ∶b ∶c=2∶3∶5； ③1，a ，b ，其中1+a ＞b ；④a ，b ，c ，其中a+b ＞c ； ⑤a+2，a+6，5； ⑥a ＜b ＜c ，其中a+b ＞c. 例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x ，则x 的取值范围是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1，则x 的取值范围是 . ②已知三角形的三边长分别为2，5，243x-，则x 的取值范围是 . ③已知三角形三边长分别为2，x ，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ). (A)2 (B)3(C)5(D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是 . ⑤已知一个三角形中两边长分别为a 、b ，且a ＞b ，那么这个三角形的周长l 的取值范围是 .(A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是 ； （2）则它的周长l 的取值范围是 ； （3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是 .发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1，则x 的取值范围是 .②已知三角形两边的长分别为3和7，则第三边a 的取值范围是 ；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有 个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为 .③已知等腰三角形腰长为2， 则三角形底边a 的取值范围是 ；周长l 的取值范围是 .④已知三角形三边的长a 、b 、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是 .若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有 个.⑤若a 、b 、c 是△ABC 的三边长，化简||c b a -++|c b a --|的结果为( ). (A)2b (B)0 (C)2a (D)22a c - ⑥已知在△ABC 中，AB=7，BC ∶AC=4∶3，则△ABC 的周长l 的取值范围为 . 【题型训练】DEABCFGDAB CDABC1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm ，5cm (B)5cm ，6cm ，10cm (C)1cm ，1cm ，3cm (D)3cm ，4cm ，9cm 2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6.其中能组成三角形的有( ).(A)1组 (B)2组 (C)3组 (D)4组 3．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（ ）(A)中线 (B)角平分线 (C)高线 (D)角平分线或中线 4．已知三角形的三边长分别为6，7，x ，则x 的取值范围是( ).(A)2＜x ＜12 (B)1＜x ＜13 (C)6＜x ＜7 (D)1＜x ＜7 5．已知三角形的两边长分别为3和5，则周长l 的取值范围是( ).（A ）6＜l ＜15 （B ）6＜l ＜16 （C ）11＜l ＜13 （D ）10＜l ＜16 6．已知等腰三角形的两边长分别为5和11，则周长是( ).（A ）21 （B ）27 （C ）32 （D ）21或27 7．等腰三角形的底边长为8，则腰长a 的范围为 . 8．等腰三角形的腰长为8，则底边长a 的范围为 .9．等腰三角形的周长为8，则腰长a 的范围为 ；底边长b 的范围为 . 10．三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为 . 11．三角形的两边长分别为6，8，则最长边a 的范围为 . 12．等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为 . 13．若a 、b 、c 分别为△ABC 的三边长，则｜a+b-c ｜-｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= . 14．已知在ΔABC 中，AB=AC ，它的周长为16厘米，AC 边上的中线BD 把∆ABC 分成周长之差为4厘米的两个三角形，求∆ABC 各边的长.15．等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，BD 为△ABC 的中线）把它的周长分为15厘米和6厘米两部分，求该三角形各边长.综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系IIICBDACBDAADB CIIICBAC BD A EA EDBECII I C BD A CBA E A E DB FD E F F C 1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系； 2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系 发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A BCDI A B CDEA BCI12CB AD A CB H DAB C EHE D C B A 第 二 讲 与三角形有关的角【知识要点】一、三角形按角分类:①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形； 二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠A+∠B+∠1=180°）； 三、三角形的内角和定理的推论：①直角三角形两锐角互余；②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B ）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角； 四、n 边形的内角和定理：（n-2）×180°； 五、n 边形的外角和为360°. 【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为 ；正五边形的每个内角的度数为 ；正六边形的每个内角的度数为 ；正八边形的每个内角的度数为 ；正十边形的每个内角的度数为 ；正十二边形的每个内角的度数为 . ②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的5倍，则它的边数是 . ③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是 . ④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的2倍°，则它的边数是 .例二、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条高线BD 、CE 所在直线交于点H ，求∠BHC 的度数.例三、如图，△ABC 中，∠A=50°，两条角平分线BD 、CE 交于点I ，求∠BIC 的度数.例四、如图，四边形ABCD 中，∠A=∠C ，∠B=∠D ，求证：AB ∥CD ，AD ∥BC.例五、如图，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，求证：∠BAD+∠EAF=180°.A B C D E IDA B E FC D E A FC B A B CF E D例六、如图，六边形ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A=∠D ，∠B=∠E ，求证：BC ∥EF.例七、如图，在凸六边形ABCDEF 中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E ，求证：BC ∥EF.【题型训练】1．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠A.2．如图，△ABC 中，BD 、CE 为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC ，求∠A 的度数.3．如图，在△ABC 中，BD 为内角平分线，CE 为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，ED C B AED C B A求∠BAC的度数.4．如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC与∠E互补，求∠BAC 的度数.第二讲作业1．如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A)等腰三角形(B)直角三角形(C)锐角三角形(D)钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A)∠A＞∠1＞∠2 (B)∠2＞∠1＞∠A(C)∠A＞∠2＞∠1 (D)∠2＞∠A＞∠13．下面四个图形中，能判断∠1＞∠2的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5.在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A)30° (B)45° (C)60°(D)75°6．如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120° (B)180° (C)240° (D)300°7．如图，在△ABC中，∠C＝70º，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360º (B)250º (C)180º (D)140º8．如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE折叠，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=( ).MEDCBAABO C B D AF E (A)150° (B)210° (C)105° (D)75° 9．如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD 是△ABC 的角平分线，则∠CAD 的度数为（ ） (A)40° (B)45° (C)50° (D)55°10．已知ΔABC 的三个内角∠A、∠B、∠C 满足关系式∠B +∠C =3∠A，则此三角形( ). (A)一定有一个内角为45︒(B)一定有一个内角为60︒(C)一定是直角三角形 (D)一定是钝角三角形 11．将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为( ). (A)75° (B)95° (C)105° (D)120° 12．若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ).(A)正十六形 (B)正十七形 (C)正十八边形 (D)正十九边形 13．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为( ). (A)7 (B)8 (C)9 (D)1014. 已知：在△ABC 中，∠B 是∠A 的2倍，∠C 比∠A 大20°，则∠A 等于( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)90° 15．如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是 .16．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上的两点，BE 、CD 相交于点F ，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC 的度数.17．如图，已知直线DE 分别交△ABC 的边AB 、AC 于D 、E 两点，交边BC 的延长线于点F ，若∠B =67°，∠ACB =74°，∠AED =48°，求∠BDF 的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和IADAACB DA CB D A A DB C 【知识要点】1．与三角形有关的四个基本图及其演变；2．星形图形的角度求和. 【新知讲授】例一、如图，直接写出∠D 与∠A 、∠B 、∠C 之间的数量关系. 箭形： ；蝶形： ；四边形： . 请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1．如图，△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2．如图，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的外角∠ACD 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3．如图，在△ABC 中，∠ABC 的外角∠CBD 、∠ACB 的外角∠BCE 的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠ABD 、∠ACD 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.A B C I ABC D I AB CD E IIIICBDAC BD A EA EDBECI I I C BD A CBA E A E DB FD E F F C发散探索二：如图，∠ABD 的平分线与∠ACD 的邻补角∠ACE 的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.发散探索三：如图，∠ABD 的邻补角∠DBE 平分线与∠ACD 的邻补角∠DCF 的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A 、∠D 之间的数量关系.例四、如图，在△ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ABC ，CP 、CQ 三等分∠ACB.（1）若∠A=60°，直接写出：∠BPC 的度数为 ，∠BQC 的度数为 ； （2）连接PQ 并延长交BC 于点D ，若∠BQD=63°，∠CQD=80°，求△ABC 三个内角的BA MECD OD BCEADBCF E A度数.例五、如图，BD 、CE 交于点M ，OB 平分∠ABD ，OC 平分∠ACE ，OD 平分∠ADB ，OE 平分∠AEC ，求证：∠BOE=∠COD ；【题型训练】1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和.2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .CB DAFE ④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ； ⑦如图，BC ⊥EF ，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.第 三 讲 作 业1．如图，B 岛在A 岛的南偏西30°，A 岛在C 岛的北偏西35°，B 岛在C 岛的北偏西78°，则从B 岛看A 、C 两岛的视角∠ABC 的度数为( ).(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°2．如图，D 、E 分别是AB 、AC 上一点，BE 、CD 相交于点F ，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠A 等于( ).(A)50° (B)85° (C)70° (D)60° 3．一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠ 的度数是( ).(A)75° (B)60° (C)65° (D)55°4．如图，在△ABC 中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D ，AF ∥BC ，交BD 的延长线于点F ，AE 平分∠CAF 交DF 于E 点.我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8个 (B)7个 (C)6个 (D)5个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D 的度数是( ).(A)35° (B)45° (C)55° (D)65°6．如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO 平分∠ABC ，DO 平分∠ADC ，则∠BOD=( ). (A)40° (B)60° (C)70° (D)80°7．如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC 中，∠A=80°，点D 为边BC 延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9．将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为 .10．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC 与DE 交于点M ．若∠ADF=100°，则∠BMD 为 ．11．如图，在△ABC 中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC 和∠ACF 的平分线交于点E ，则∠AEC=______.12．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，如此下去，∠A n ﹣1BC 的平分线与∠A n ﹣1CD 的平分线交于点n A ．设∠A=θ．则∠A 1= ；n A = ．13．已知：如图1，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的角平分线交于点O ，则1902BOC A ∠=︒+∠1118022A =⨯︒+∠；如图2，在△ABC 中，∠ABC 、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点1O 、2O ，则12118033BO C A ∠=⨯︒+∠，21218033BO C A ∠=⨯︒+∠；……；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有1n -个交点，你以猜想1n BO C -∠=( ).(A)21180A n n ⨯︒+∠ (B)12180A n n ⨯︒+∠(C)118011n A n n ⨯︒+∠--(D)11180n A n n-⨯︒+∠14．在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，BE 平分∠ABC ，求∠DBE 度数.第 四 讲 专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC ，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例二、如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例三、 如图，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=90°，BE 、DF 分别平分∠ABC 、∠ADC 的外角，请你判断BE 、DF 的位置关系并证明你的结论.例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，请你判断BE 、DE的位置关系并证明你的结论.例五、如图，∠A=∠C=90°，BE 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC 的的外角，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.FED C BAMEDBAFNME DCBA EDCBAFMD例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC 的外角平分线与∠ADC 的外角平分线交于点E ，请你判断BE 、DE 的位置关系并证明你的结论.例七、如图，△ABC 中，P 为BC 边上任一点，PD ∥AB ，PE ∥AC.（1）若∠A=60°，求∠DPE 的度数；（2）若EM 平分∠BEP ，DN 平分∠CDP ，试判断EM 与DN 之间的位置关系，写出你的结论并证明.例八、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠BDE ＝∠BED ，∠CDF ＝∠CFD. （1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.例九、如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别在三边上，∠DBE ＝∠DEB ，∠DCF ＝∠DFC.（1）若∠A=70°，求∠EDF 的度数；（2）EM 平分∠BED ，FN 平分∠CFD ，若EM ∥FN ，求∠A 的度数.NME D C BA NM P EDC BANMFEDCBAFEAA DCMBA DB EC BD A ECDB AC E F【题型训练】1．如图1、图2是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的5个锐角的度数均为( ).(A) 36° (B) 42° (C) 45° (D) 48° 2．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 上一点，DE ⊥BC 交AC 于点E ，DF ⊥AB ，垂足为F ，若∠AED=160°，则∠EDF 等于( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°3．如图，△ABC 中，∠B=∠C ，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED ，则∠CDE= .4．已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于E ，∠BAC 的外角的平分线交BC 的延长线于F ，则△AEF 的形状是 . 5．如图，AB ∥CD ，∠A=∠C ，AE ⊥DE ，∠D=130°，则∠B 的度数为 . 6．如图：点D 、E 、F 为△ABC 三边上的点，则∠1 +∠2 +∠3+∠4 +∠5 +∠6 = ．7．若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若60c =︒，∠P=110°，则d e +的值为 ，x 的值 .8．如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD 的平分线交边BC 于点M ，连接MD ，且MD 恰好平分∠AMC ，若∠MDC=45°，则∠BAD= ，∠ABC= .第 四 讲 作 业1.如图，已知△ABC 的三个顶点分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3的度数是( ).(A)40° (B)60° (C)80° (D)120°2．如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60° (B)75° (C)90° (D)105°3．如图，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100° (B)90° (C)80° (D)70°4．已知，直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A)30° (B)35° (C)40° (D)45°5．如图，将三角尺的直角顶点放在直线a上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A)50° (B)60° (C)70° (D)80°6．小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线上，测得α∠=120°，则的度数是( ).(A)45° (B)55° (C)65° (D)75°7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．D为边CA延长线上的一点，DE‖AB,∠ADE=42°，则∠B的大小为( ).(A) 42° (B) 45° (C) 48° (D)58°8．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65° (B)72° (C)75° (D)78°9．如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63° (B)83° (C)73° (D)53°10．如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为．m n，β∠11．如图，已知DE ∥BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B=70°，∠A=60°. （1）求∠EDC 的度数； （2）求∠BDC 度数.12．如图，∠DAB+∠D=180°，AC 平分∠DAB ，且∠CAD=25°，∠B=95°.(1)求∠DCA 的度数； (2)求∠FEA 的度数.13．如图，B 处在A 处的南偏西57°的方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东82°方向，求∠C 的度数.第五讲 专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180° 典型例题：北南AB C1、已知ΔABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。
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所以1.41 2 1.4.2
因为1.4142=1.999396,1.4152=2.002225
而1.999396<2<2.002225，所以 1.414 2 1.41.5
……
探究新知 2 有多大呢？
你以前见过这种数吗？
2
2
提示：比较 数的大小， 先估计其算 术平方根的 近似值.
探究新知
例3 小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁 出一块面积为300cm2的长方形纸片，使它的长宽之比为3∶2.她 不知能否裁得出来，正在发愁.你能帮小丽用这块纸片裁出符合 要求的纸片吗？Z
解:由题意知正方形纸片的边长为20cm.
2
0.6
7
表2
【讨论】1.你能从表2发现什么共同点吗？ 已知一个正数的平方，求这个正数. 2.表1和表2中的两种运算有什么关系？
探究新知
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即x2＝a，那么这
个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为 a ,读作
“ 根号 a” . 规定：0的算术平方根是0，即 0 0 .
A.在1和2之间
B.在2和3之间
C.在3和4之间
D.在4和5之间
解析：因为42<19<52,所以4< 19<5,所以1< 1-93<2. 故选A. 总结：估计一个有理数的算术平方根的近似值，必须先判断 这个有理数位于哪两个数的平方之间.
巩固练习
1.与 31 最接近的整数是( C )
A. 4 B. 5 C. 6
的长是多少呢?
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新七年级数学暑假培训班讲义Word版
前言同学们已经有了六年学习数学的经验，你认为数学是个什么样子的呢？为什么“学数学可以使人‘变得更聪明’呢”？数学有非常广泛的用途，数学的内涵极其丰富，“生活中处处都有数学”，你同意这种观点吗？请同学们来讨论下面的几个问题：（1）几个老人去赶集，半路买了一堆梨，每人一个多一个，每人两个少两个，请你用心想一想究竟有几个老人几个梨?（2）你能将两个同样大小的正方形适当地分割，再拼成一个较大的正方形么？你还能将三个同样大小的正方形适当分割后，再将其拼成一个较大正方形么?（3）有这样一个故事：太平洋中有A、B两个靠得较近的小岛．A岛居民都是诚实的人，向他们问问题都能得到真实的答案；而B岛的居民则恰恰相反，都不诚实，向他们问问题都不会得到真话回答．某天一个旅游者独自登上了A、B两岛中的一个，但不能分辨这个岛是A岛还是B岛，而且这个岛上的人既有该岛的居民，也有从另一个岛来的客人．旅游者想问岛上的人“这是A岛还是B岛？”却又无法判断被问者的答案是否正确．旅游者动了动脑筋，想了想，终于想出一个好办法：他只需问遇到的任何一个人一句话，就能从对方的回答中断定这里是A岛还是B岛．你知道这个旅游者问的问题是什么吗？他又是怎样做出判断的呢？数学所包括的内容是丰富多彩的，既有关于数的问题，如第（1）题；也有关于图形的问题，如第（2）题；也有关于逻辑推理的问题，如第（3）题，等等．此外，数学的运用也是非常广泛的．我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学．”下面我们来尝试解答以上三个问题。
第（1）题可能有下面几种不同的解法，如果学生给出我们可能没有想到的“新”解法，则需要老师灵活处理．法一：由于梨的总数与人数不变，而两种不同的分梨方法使得梨的总数量相差3个，而每人所分得的梨的个数相差1个，因此由3÷1=3可知有3个老人，于是由3×2－2=4可知有4个梨．法二：假设有2个老人，借助检验可以发现与实际情形不相符；假设有3个老人，借助检验可以发现老人的数量与题目叙述是一致的，于是可以在此基础上求得一共有4个梨．法三：假设有x个老人，则有（x+1）个梨；而每人分2个梨，于是一共有（2x－2）个梨．从而有方程2x－2＝x＋1，解此方程得x = 3．因此，我们知道一共有3个老人，4个梨．按照假设法解答这个问题，答案正确是予肯定的．但假设法并不能说明除此解之外，就一定没有其他符合这个问题的解了．因此，还需要做更深入的继续思考．假设法虽然有一定的局限性，但是也有其合理性，当你还不能全面把握这个问题之前，试探性地假设一些数据去探索这个问题的属性，有助于我们更深刻地揭示问题的本质，进而在把握问题本质的基础上去寻找解决的方法，因此假设法对我们解决数学问题是有帮助的，而且也是我们常用的一种数学问题解决的途径之一．设未知数列方程来解答数学问题，也是一种很好的解决数学的途径之一，而且这种方法也是初中数学常用的一种重要的方法，在七年级第一学期将要重要学习，需要同学们引起足够的重视．对于第（2）个问题，我们可以通过动手操作来解决问题。
人教版七年级数学培优班暑期讲义(可编辑)
七年级数学培优班暑期讲义第一章有理数§1有理数的相关概念整数和分数统称为有理数有理数又可分为正有理数0和负有理数规定了原点正方向和单位长度的直线叫做数轴在数轴上表示的两个数右边的数总比左边的数大正数都大于零负数都小于零正数大于负数只有符号不同的两个数称互为相反数例如和互为相反数即是的相反数是的相反数在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值记作例如在数轴上表示的点与原点的距离是5所以的绝对值是5记作一个正数的绝对值是它本身零的绝对值是零一个负数的绝对值是它的相反数这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容必须牢固掌握例1 最低气温为那么这天的最高气温比最低气温高A 4B 8C 12D 16例2 下列说法正确的是A 一个有理数不是整数就是分数B 正整数和负整数统称整数C 正整数负整数正分数负分数统称有理数D 0不是有理数例3．数在数轴上的位置如图下列判断正确的是A BC D例4 说出下列各数的相反数16－300001例5 如图若数轴上的绝对值是的绝对值的3倍则数轴的原点在点填ABC或D1．有如下四个命题①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数③两个符号相反的分数之间至少有一个整数④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数其中真命题的个数为A1 B 2 C 3 D 42 下列说服中正确的是A正整数和负整数统称为整数B正数和负数统称为有理数C整数和分数统称为有理数D自然数和负数统称为有理数以下四个判断中不正确的是A在数轴上关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B两个有理数互为相反数则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C两个有理数不等则他们的绝对值不等D两个有理数的绝对值不等则这两个有理数不等A 一切有理数的倒数还是有理数B 一切正有理数的相反数必是负有理数C 一切有理数的绝对值必是正有理数D 一切有理数的平方是正有理数5 在数轴上点A对应的数是－2006点B对应的数是＋17则AB两点的距离是A1989 B 1999 C 7>2013 D 20236 如图所示圆的周长为4个单位长度在圆的4等分点处标上数字0123先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合再让数轴按逆时针方向绕在该圆上那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字重合下列说法中错误的是A所有的有理数都可以用数轴上的点表示B 数轴上原点表示数0C 数轴上点表示从点出发沿数轴上移动2个单位长度到达点则点表示D 在数轴上表示和的两点之间的距离是5下列说法正确的是A有最大的整数 B 有最小的负数C有最大的正数 D 有最小的正整数如果n是大于1的偶数那么n 一定小于它的A相反数 B倒数 C 绝对值 D 平方If we haveand a6 Othen the points in real number axisgiven by a and bcan be represented as 英汉词典point点．real number axis实数轴．represent表示． 3 有理数abc大小关系如图则下列式子中一定成立的是Aabc 0 B c abC a-c acD b-c c-a4 如果abc 0且a b c则下列说法中可能成立的是A ab是正数c 0 Bac是正数b 0C bc是正数a 0D ac是负数b 0如果那么下列不等式中成立的是A B C D6 为有理数下列说法中正确的是A 为正数B 为负数C 为正数D 为正数若a b 0 c d则以下四个结论中正确的是A abcd一定是正数．B dc-a-b可能是负数．C d-c-b-a一定是正数．D c-d-b-a一定是正数．已知和互为相反数求的值若与互为相反数到原点的距离为3求的值已知求的值其中均为整数且的数是有理数这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数3 有理数可以用数轴上的点表示4 零是正数和负数的分界点零不是正数也不是负数5 如果两个数的和为0则称这两个数互为相反数如果两个数的积为1则称这两个数互为倒数6 有理数的运算法则1 加法两数相加同号的取原来的符号并把绝对值相加异号的取绝对值较大的加数的符号并用较大的绝对值减去较小的绝对值绝对值相等时和为0一个数与0相加仍得这个数2 减法减去一个数等于加上这个数的相反数3 乘法两数相乘同号得正异号得负并把绝对值相乘一个数与0相乘积为0 乘方求个相同因数的积的运算称为乘方记为4 除法除以一个数等于乘以这个数的倒数整数的运算律对有理数的运算也适合二例题与练习例1 ____________例2 ____________实践练习2 计算例3 用简便方法计算__________例4 _________实践练习__________2 计算________3 计算________例5 若则是A 正数B 非正数C 负数D 非负数例6 若是自然数并且有理数满足则必有A BC D实践练习等于它的倒数有理数等于它的相反数则等于A 0B 1C －1D 2练习三1 计算________2 计算_________3 计算4 ______5 的值的整数部分是_______6 设是最小的自然数是最大负整数是绝对值最小的有理数则___7 数轴上对应是整数的点称为整点某数轴的单位长度是1厘米若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段则线段盖住的整点有______个8 电子跳蚤落在数轴上的某点第一步从向左跳1个单位到第二步从向右跳2个单位到第三步从向左跳3个单位到第四步从向右跳4个单位到按以上规律跳了100步时电子跳蚤落在数轴上的点所表示的数恰是2008则电子跳蚤的初始位置点所表示的数是多少§3 有理数的巧算知识要点和分数统称为有理数有理数通常可以表示成分数的形式这里都是整数且有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念法则的基础上能根据法则公式等正确迅速地进行运算．不仅如此还要善于根据题目条件将推理与计算相结合灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题从而提高运算能力发展思维的敏捷性与灵活性．四则运算对有理数是封闭的即任意两个有理数相加相减相乘相除除数不能为0其结果还是有理数有理数可以比较大小任意两个有理数之间都有无穷多个有理数有理数计算中常用到的一些等式如下123456例1计算实践练习123例2计算计算实践练习1计算2－＋－＋－3例3计算实践练习1计算2计算3练习四1计算2计算3计算1－＋－＋－4计算5计算计算计算再减去余下的再减去余下的依此类推一直减去余下的那么最后剩下的数是多少第 2 abc 3 b2 4 －5ab2 5 y 6 －xy2 7 －52单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的说出下列四个单项式a2h2πrabc－m的系数和次数例1判断下列各代数式是否是单项式如不是请说明理由如是请指出它的系数和次数①x＋1 ②③πr2 ④－a2b例2下面各题的判断是否正确①－7xy2的系数是7 ②－x2y3与x3没有系数③－ab3c2的次数是0＋3＋2④－a3的系数是－1 ⑤－32x2y3的次数是7 ⑥πr2h的系数是注意①圆周率π是常数②当一个单项式的系数是1或－1时1通常省略不写如x2－a2b等§2．多项式1．列代数式1 长方形的长与宽分别为ab则长方形的周长是2 某班有男生x人女生21人则这个班共有学生人_______3 图中阴影部分的面积为_________4 鸡兔同笼鸡a只兔b只则共有头个脚只2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别1 2 a＋b 2 21＋x 3 a＋b 4 2a＋4b几个单项式的和叫做多项式 polynomial 在多项式中每个单项式叫做多项式的项 term 其中不含字母的项叫做常数项 constant term 例如多项式有三项它们是－2x5其中5是常数项一个多项式含有几项就叫几项式多项式里次数最高项的次数就是这个多项式的次数例如多项式是一个二次三项式单项式与多项式统称整式 integral expression注意1 多项式的次数不是所有项的次数之和多项式的次数为最高次项的次数2 多项式的每一项都包括它前面的符号例1判断①多项式a3－a2ｂ＋ab2－b3的项为a3a2ｂab2b3次数为12②多项式3n4－2n2＋1的次数为4常数项为1例2指出下列多项式的项和次数1 3x－1＋3x2 2 4x3＋2x－2y2例3指出下列多项式是几次几项式1 x3－x＋12 x3－2x2y2＋3y2例4已知代数式3xn－ m－1 x＋1是关于x的三次二项式求mn的条件课堂练习①填空－a2b－ab＋1是次项式其中三次项系数是二次项为常数项为写出所有的项②已知代数式2x2－mnx2＋y2是关于字母xy的三次三项式求mn的条件§3．多项式的升降幂排列请运用加法交换律任意交换多项式x2＋x＋1中各项的位置可以得到几种不同的排列方式在众多的排列方式中你认为那几种比较整齐1．升幂排列与降幂排列有两种排列x的指数是逐渐变大或变小的我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列例如把多项式5x2＋3x－2x3－1按x的指数从大到小的顺序排列可以写成－2x3＋5x2＋3x－1这叫做这个多项式按字母x的降幂排列若按x的指数从小到大的顺序排列则写成－1＋3x＋5x2－2x3这叫做这个多项式按字母x的升幂排列例1五个学生上前自己选一张卡片根据老师要求排成一列并把排列正确的式子写下来例如按x降幂排列例2把多项式2πr－1＋3πr3－π2r2按r升幂排列例3把多项式a3－b3－3a2b＋3ab2重新排列1 按a升幂排列2 按a降幂排列想一想观察上面两个排列从字母b的角度看它们又有何特点例4把多项式－1＋2πx2－x－x3y用适当的方式排列例5把多项式x4－y4＋3x3y－2xy2－5x2y3用适当的方式排列1 按字母x的升幂排列得2 按字母y的升幂排列得小结对一个多项式进行排列这样的写法除了美观之外还会为今后的计算带来方便在排列时我们要注意1 重新排列多项式时每一项一定要连同它的符号一起移动原首项省略的＋号交换到后面时要添上2 含有两个或两个以上字母的多项式常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列§4同类项创设问题情境⑴5个人8个人⑵5只羊8只羊⑶5个人8只羊观察下列各单项式把你认为相同类型的式子归为一类8x2y－mn2 5a－x2y 7mn2 9a － 0 04mn2 2xy2我们常常把具有相同特征的事物归为一类8x2y与－x2y可以归为一类2xy2与－可以归为一类－mn27mn2与04mn2可以归为一类5a与9a可以归为一类还有0与也可以归为一类8x2y与－x2y只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是2y的指数都是1同样地2xy2与－也只有系数不同各自所含的字母都是xy并且x的指数都是1y的指数都是2像这样所含字母相同并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项similar terms 另外所有的常数项都是同类项比如前面提到的0与也是同类项例1判断下列说法是否正确正确地在括号内打√错误的打×1 3x与3mx是同类项2 2ab与－5ab是同类项3 3x2y与－yx2是同类项4 5ab2与－2ab2c是同类项5 23与32是同类项例2指出下列多项式中的同类项1 3x－2y＋1＋3y－2x－52 3x2y－2xy2＋xy2－yx2例3k取何值时3xky与－x2y是同类项例4若把 s＋t s－t 分别看作一个整体指出下面式子中的同类项1 s＋t － s－t －＋2 2 s－t ＋ 2－5 s－t － 2＋s－t课堂练习1请写出2ab2c3的一个同类项．你能写出多少个它本身是自己的同类项吗若2amb2m3n与a2n－3b8的和仍是一个单项式则m与 n的值分别是______ 为了搞好班会活动李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品他们首先购买了15本软面抄和20支水笔经过预算发现这么多奖品不够用然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔问①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔②若设软面抄的单价为每本x元水笔的单价为每支y元则这次活动他们支出的总金额是多少元可根据购买的时间次序列出代数式也可根据购买物品的种类列出代数式再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起将它们合并起来化简整个多项式所的结果都为 21x＋25y 元由此可得把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项合并同类项的法则把同类项的系数相加所得的结果作为系数字母和字母指数保持不变例1找出多项式3x2y－4xy2－3＋5x2y＋2xy2＋5种的同类项并合并同类项例2下列各题合并同类项的结果对不对若不对请改正1 2x2＋3x2 5x4 2 3x＋2y 5xy3 7x2－3x24 4 9a2b－9ba2 0例3合并下列多项式中的同类项1 2a2b－3a2b＋05a2b2 a3－a2b＋ab2＋a2b－ab2＋b33 5 x＋y 3－2 x－y 4－2 x＋y 3＋ y－x 4例4求多项式3x2＋4x－2x2－x＋x2－3x－1的值其中x －3试一试把x＝－3直接代入例4这个多项式可以求出它的值吗与上面的解法比较一下哪个解法更简便例1．化简下列各式8a2b5a－b 25a－3b－3a2－2b．2 计算5xy2－[3xy2－4xy2－2x2y]2x2y－xy2． [5xy2]小结去括号是代数式变形中的一种常用方法去括号时特别是括号前面是－号时括号连同括号前面的－号去掉括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为－变＋不变要变全都变．当括号前带有数字因数时这个数字要乘以括号内的每一项切勿漏乘某些项．学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则并能根据法则进行去括号运算去括号法则顺口溜去括号看符号是号不变号是―号全变号x2―7x―2与―2x24x―1的差练习一个多项式加上―5x2―4x―3与―x2―3x求这个多项式例2计算―2y3 3xy2―x2y ―2 xy2―y3例3化简求值 2x3―xyz ―2 x3―y3xyz xyz―2y3 其中x 1y 2z ―3复习题1找出下列代数式中的单项式多项式和整式4xyx2x0m―201×1052指出下列单项式的系数次数abx2xy53指出多项式a3a2b―ab2b3―1是几次几项式最高次项常数项各是什么4化简并将结果按x的降幂排列1 2x45x2―4x1 ― 3x3―5x2―3x2 ―〔―x 〕 x―13 ―3 x2―2xyy2 2x2―xy―2y25化简求值5ab―2〔3ab 4ab2ab 〕5ab2其中a b6一个多项式加上2x34x2y5y3后得x3x2y3y3求这个多项式并求当x y 时这个多项式的值的两个多项式与的次数相同求的值第三章一元一次方程§1一元一次方程1 定义方程含有未知数的等式称为方程一元一次方程方程中只含一个未知数元并且未知数的指数是1次未知数的系数不等于0这样的方程叫做一元一次方程如解解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值这个值就是方程的解2 等式的性质性质1 等式两边加或减同一个不为0的数结果仍相等如果那么性质2 等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数结果仍相等如果那么如果那么3 同解方程和方程的同解原理1 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解那么这两个方程是同解方程2 方程同解原理Ⅰ方程两边同时加上或减去同一个数或同一个整式所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理Ⅱ方程两边同时乘以或除以同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程方程同解原理Ⅲ方程与或是同解方程4 解一元一次方程的一般步骤1 去分母2 去括号3 移项4 合并同类项化为最简形式5 方程两边同除以未知数的系数解一元一次方程没有固定的步骤去分母与去括号要因题而异灵活掌握但是不管采取什么顺序都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理使得到的方程与原方程同解5 一元一次方程的解由的值确定1 当时方程有唯一的解2 当时方程的解可为任意的有理数3 当且时方程无解例1 利用等式的性质解一元一次方程1 2 3 4例2 检验下列各数是不是方程的解1 2 3实践练习1 解方程12 32 解方程列简易方程解决问题例3 根据下列条件列方程1的5倍比的2倍大12 2某数的比它的相反数小5实践练习1 根据下列问题列出方程不必求解1把若干本书发给学生如果每人发4本还剩下2本如果每人发5本还差5本问共有多少学生2某班50名学生准备集体去看电影电影票中有15元的和2元的买电影票共花88元问这两种电影票应各买多少练习一1 解方程1 22 假设关于的方程有无穷多个解求的值3 若关于的方程的解是2求的值4 若关于的方程的解是4求的值5 某地电话拨号上网有两种收费方式用户可以任选其一1计时制005元分2包月制50元月此外每一种上网方式都得加收通信费002元分问用户每月上网多少小时这两种收费方式所收费用一样请列出方程6 小李去商店买练习本回来后告诉同学店主跟我说如果多买一些就给我8折优惠我就买了20本结果总共便宜了160元你猜原来每本价格是多少你能列出方程吗例4某大型商场三个季度共销售DVD 2800台第一个季度销售量是第二个季度的2倍第三个季度销售量是第一个季度的2倍第一个季度这家商场销售DVD 多少台例5某校高中一年级434名师生外出春游已有3辆校车可乘坐84人还需租用50座的客车多少辆实践练习1 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果如果每人分两箱则剩余20箱如果每人分3箱则还缺20箱这个工厂有工人多少人2 据某《城市晚报》报道2004年2月16日中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约姚明作为麦当劳的形象代言人三年共获酬金1400万美元若后一年的酬金是前一年的两倍并且不考虑税金那么姚明第一年应得酬金为多少万美元例6男女生有若干人男生与女生数之比为4 3后来走了12名女生这时男生人数恰好是女生的2倍求原来的男生和女生人数实践练习1 已知求的值2 一个三位数的三个数字和是15十位数字是百位数字的2倍个位数字比十位数字的2倍还多1求这个三位数例7 甲乙两人骑自行车同时从相距45千米的两地相向而行2小时相遇甲比乙每小时多走25千米求甲乙每小时各走多少千米实践练习1 一轮船在AB两港口之间航行顺水航行用3小时逆水航行比顺水航行多用30分钟轮船在静水中的速度是36千米小时问水流的速度是多少例8宋宋班上有40位同学他想在生日时请客因此到超市花了175元买果冻和巧克力共40个若果冻每20个15元巧克力每30个10元求他买了多少个果冻实践练习1 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺其中蓝布料每俄尺3卢布黑布料每俄尺5卢布两种布料各买了多少俄尺2 某单位开展植树活动由一人植树要80小时完成现由一部分人先植树5小时由于单位有紧急事情再增加2人且必须在4小时之内完成植树任务这些人的工作效率相同那么先安排了多少人植树练习二1 甲乙两站间的距离为365千米一列慢车从甲站开往乙站每小时行驶65千米慢车行驶1小时后另有一列快车从乙站开往甲站每小时行驶85千米快车行驶了几小时后与慢车相遇2 某种商品因换季准备打折出售如果按定价的七五折出售将赔25元而按定价的九折出售将赚20元问这种商品的定价是多少3 聪聪到希望书店帮同学们买书售货员主动告诉他如果用20元钱办希望书店会员卡将享受八折优惠请问在这次买书中聪聪在什么情况下办会员卡与不办会员卡一样当聪聪买标价共计200元的书时怎么做合算办会员卡还是不办会员卡4 有一列数为147它的第个数是多少在这列数中取出三个连续数其和为48问这三个数分别是多少5 若是关于的方程的解解关于的方程6 当取什么整数时关于的方程的解是正整数7 某制衣厂接受一批服装订货任务按计划天数进行生产如果每天平均生产20套服装就比订货任务少生产100套如果每天生产23套衣服就可以超过订货任务20套问这批服装的订货任务是多少套原计划多少天完成8 这里有一杯水第一次倒出一半后又倒出10毫升第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升这时杯子空了问杯子里原来有多少毫升水§2一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位而一元一次方程是代数方程中最基础的部分高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解因此掌握好这部分内容有助于我们学习一些复杂的方程 2 3 45 6 是常数 78 9______________________是方程____________________是一元一次方程例2 1 已知是一元一次方程则_______________2 已知是一元一次方程则_______________3 若关于的方程是一元一次方程则________________________________思考1已知是关于的一元一次方程则_______________思考2在关于的方程中解的情况当________时方程有唯一解当________时方程无解当________ ________时方程有无数个解例3已知则代数式______________思考3下列说法正确的是____________1 如果那么2 如果那么3 如果那么4 如果那么二解一元一次方程去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1例4解下列一元一次方程12 34 56例5有四个数其中三个数之和分别为求此四个数例6已知则__________例7若关于的方程的解是整数则___________________解方程解方程解关于的方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程有无数多个解试求的值已知关于的方程有无数多个解试求的值已知方程有两个不同的解试求的值的方程的根是求的值11 已知关于的方程的解是求的值12若关于的方程的解为正整数求的值13 关于的方程和是同解方程求的值14 已知关于的方程和是同解方程求的值15已知关于的方程仅有正整数解并且和关于的方程是同解方程若求出这个方程可能的解16 1 解方程 2 解方程解方程解方程解关于的方程解关于的方程已知关于的方程无解试求的值关于的方程分别求当为何值时方程1有唯一解2有无数多个解3无解是关于的方程的解解关于的方程20 当取什么整数时关于的方程的解是正整数21 已知关于的方程和有相同的根求的值§3 一元一次方程的应用1列出一元一次方程解应用题的一般步骤是1弄清题意和题目中的已知数未知数及数量关系用字母如表示题目中的一个未知数2找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系3根据这个相等关系列出需要的代数式从而列出方程4解这个方程求出未知数的值5检验写出答案包括单位名称设未知数可分为直接设未知数间接设未知数两类直接设未知数指题目中为什么就设什么它多适用于要求的未知数只有一个的情况间接设未知数顾名思义就是问东设西迂回前进如求整体时可先设其某部分为求部分时又可设其整体为未知数求速度时先设路程为未知数求工作时间时设工作效率为未知数解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理2．几类应用题常用的策略1和差倍分问题抓住关键词列方程2形积变化问题利用各种几何图形的面积体积公式列出相等关系3行程问题i相遇相向问题双方所走路程之和全部路程ii追及同向问题如甲从相同出发点追及乙则相等关系一般是甲所走路程＝乙所走路程iii航行问题注意航行速度与水风速的关系顺水速度＝船在静水中的速度＋水流速度逆水速度＝船在静水中的速度－水流速度行程中的基本关系是其中表示距离表示速度表示时间4调配问题其等量关系反映在调动前后的数量关系上抓住相等几倍多少等词语常可找出相等关系5按比例分配问题若已知两个量之比是则可设其中一份为两量分别为6工程问题基本数量关系是工作量＝工作效率×工作时间若工作量未给出具体数量则常设为17浓度配比问题基本数量关系是溶液重量＝溶质重量＋溶剂重量8商品销售问题利润＝售价－进价售价＝标价×销售折扣9数字问题注意区分数和数字两个概念多用间接设元的方式设某一数位上的数字为其他数位上数字用它的代数式表示在数的表示中注意各位上的数为10的幂的形式列方程解应用题是代数中的重要内容之一列出一元一次方程解应用题是数学联系实际解决实际问题迈出的重要一步例1一队学生从甲地到乙地速度为每小时8千米当行进2千米路后通讯员奉命回到甲地取东西他以每小时10千米的速度回甲地取了东西后立即以同样速度追赶队伍结果在距乙地3千米处追上队伍求甲乙两地的距离取东西的时间不计实践练习1 一个人骑自行车从甲地到乙地如果每小时走10千米下午1点钟才能到达如果每小时走15千米上午11点钟就能到达要在中午12点钟到达乙地他每小时。
七年级数学 暑假专题—三角形综合提高 浙江版
初一数学暑假专题——三角形综合提高某某版【本讲教育信息】一. 教学内容：三角形综合提高介绍应用三角形的边、角性质解决一些稍微复杂的问题，从而提高分析问题和解决问题的能力。
【知识掌握】 【知识点精析】1. 三角形边、角的性质的应用。
2.【例1. 求∠AE 解法一：∵∠B=40°，∠C=60°∴∠BAC=180°－∠B －∠C=180°―40°―60°＝80° ∵AE 是∠BAC 的平分线︒=︒⨯=∠=∠∴408021BAC 21BAE︒=︒+︒=∠+∠=∠∴804040BAE B AED又∵∠ADE=90°︒=︒-︒-︒=∠∴108090180EAD解法二：︒=∠︒=∠60C 40B ，︒=︒-︒-︒=∠∴806040180BAC∵AE 是∠BAC 的平分线︒=︒⨯=∠=∠∴408021BAC 21EAC∵AD ⊥BC︒=︒-︒-︒=∠∴306090180DAC︒=︒-︒=∠-∠=∠∴103040DAC EAC EAD评析：此题解法较多，但都要用到三角形内角和，角平分线，垂线等知识，要注意这些知识解：∵△GHP 的内角和等于180° ︒=∠+∠+∠∴180PG H HPG G HP又FG C PG H DPB HPG AHE G HP ∠=∠∠=∠∠=∠，， ︒=∠+∠+∠∴180FG C DPB AHE︒=∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠540FG C C F DPB B D AHE E A C F B D E A ∠+∠+∠+∠+∠+∠∴︒=︒-︒=∠+∠+∠-︒=360180540)FGC DPB AHE (540 评析：此题的图看起来很乱，但不外乎利用四个三角形的内角和进行计算。
计算中∠AHE 、∠DPB 、∠FGC 利用对顶角转化到△GHP 中，便成为了解决此题的关键。
这种转化的方法是一种数学思想，善于运用这种技巧解题。
人教版七年级数学培优班暑期讲义
七年级数学培优班暑期讲义第一章有理数§1.有理数的相关概念整数和分数统称为有理数,有理数又可分为正有理数,0和负有理数.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大.正数都大于零,负数都小于零,正数大于负数.只有符号不同的两个数称互为相反数.例如2.5和 2.5-互为相反数,即2.5是2.5-的相反数； 2.5-是2.5的相反数.在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记作||a.例如,在数轴上表示5-的点与原点的距离是5,所以5-的绝对值是5,记作|5|5-=.一个正数的绝对值是它本身；零的绝对值是零；一个负数的绝对值是它的相反数.这些基本概念以及它们的性质是初中数学中常考的内容,必须牢固掌握.例1.峨眉山上某天的最高气温为12 C,最低气温为4-C,那么这天的最高气温比最低气温高（）A. 4 CB. 8 CC. 12 CD. 16 C例2.下列说法正确的是（）A. 一个有理数不是整数就是分数B. 正整数和负整数统称整数C. 正整数、负整数、正分数、负分数统称有理数D. 0不是有理数例3．数,,x y z在数轴上的位置如图,下列判断正确的是（）A. 0x y z>>> B. 0y x z>>>C. 0y x z<<< D. 0x y z<<<例4.说出下列各数的相反数：16,－3,0,12007-,0.001,m,n-,m n-.例 5.如图,若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍,则数轴的原点在点 .（填“A”、“B”、“C”或“D”）练习一1．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间至少有一个正整数；②两个符号相反的分数之间至少有一个负整数；③两个符号相反的分数之间至少有一个整数；④两个符号相反的分数之间至少有一个有理数.其中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 下列说服中正确的是（ ）A. 正整数和负整数统称为整数B. 正数和负数统称为有理数C. 整数和分数统称为有理数D. 自然数和负数统称为有理数3. 以下四个判断中不正确的是A. 在数轴上,关于原点对称的两个点所对应的两个有理数互为相反数B. 两个有理数互为相反数,则他们在数轴上对应的两个点关于原点对称C. 两个有理数不等,则他们的绝对值不等D. 两个有理数的绝对值不等,则这两个有理数不等4. 下面四个命题中,正确的是( )A. 一切有理数的倒数还是有理数B. 一切正有理数的相反数必是负有理数C. 一切有理数的绝对值必是正有理数D. 一切有理数的平方是正有理数5. 在数轴上,点A 对应的数是－2006,点B 对应的数是＋17,则A 、B 两点的距离是（ ）A. 1989B. 1999C. 2013D. 20236. 如图所示,圆的周长为4个单位长度,在圆的4等分点处标上数字0,1,2,3. 先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数－1所对应的点重合,再让数轴按逆时针方向绕在该圆上,那么数轴上的数－2006将与圆周上的数字 重合.7. 下列说法中错误的是（ ）A. 所有的有理数都可以用数轴上的点表示.B. 数轴上原点表示数0.C. 数轴上点A 表示3-,从A 点出发,沿数轴上移动2个单位长度到达B 点,则点B 表示1-.D. 在数轴上表示3-和2的两点之间的距离是5.8. 下列说法正确的是（ ）A. 有最大的整数B. 有最小的负数C. 有最大的正数D. 有最小的正整数练习二1. 如果n 是大于1的偶数,那么n 一定小于它的图73210x 0－1－2－3－4－5A. 相反数B. 倒数C. 绝对值D. 平方2. If we have 0,0<-<b a ba .and a+6>O,then the points in real number axis,given by a and b,can be represented as( )(英汉词典point ：点．real number axis ：实数轴．represent ：表示．)3. 有理数a,b,c 大小关系如图,则下列式子中一定成立的是A. a+b+c>0B. c>|a+b|C. |a-c|=|a|+cD. |b-c|>|c-a4. 如果a+b+c=0,且|a|>|b|>|c|,则下列说法中可能成立的是A. a,b 是正数,c<0B. a,c 是正数,b<0C. b,c 是正数,a<0D. a,c 是负数,b>05. 如果3333||||a b a b -=-+,那么下列不等式中成立的是A. 0ab >B. 0ab ≥C. 0ab <D. 0ab ≤6. a 为有理数,下列说法中正确的是A. 21()2007a +为正数B. 21()2007a --为负数 C. 21()2007a +为正数 D. 212007a +为正数7. 若a<b<0<c<d,则以下四个结论中,正确的是( )A. a+b+c+d 一定是正数．B. d+c-a-b 可能是负数．C. d-c-b-a 一定是正数．D. c-d-b-a 一定是正数．8. 已知23m -和7-互为相反数,求m 的值.9. 若a 与b 互为相反数,c 到原点的距离为3,求2a c b +++的值.10. 已知|4||7||3|0x y z -+++-=,求x y z ++的值.§2. 有理数的运算－、知识提要1. 整数和分数统称为有理数.2. 有理数还可以这样定义： 形如p m(其中,m p 均为整数,且0m ≠)的数是有理数. 这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数.3. 有理数可以用数轴上的点表示.4. 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数.5. 如果两个数的和为0,则称这两个数互为相反数. 如果两个数的积为1,则称这两个数互为倒数.6. 有理数的运算法则：(1) 加法：两数相加,同号的取原来的符号,并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值,绝对值相等时,和为0；一个数与0相加,仍得这个数.(2) 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数.(3) 乘法：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘；一个数与0相乘,积为0.乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方,记为n a .(4) 除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数.整数的运算律对有理数的运算也适合.二、例题与练习例1. 2243(43)-⨯--⨯=____________.例2. 13117(0.125)( 1.2)(1)3213-⨯-÷-⨯-=____________ .实践练习：1. 计算：4.40.5 6.60.258.8 1.25⨯+÷+⨯.2. 计算：78(0.125)8-⨯.例3. 用简便方法计算797997999799997++++=__________ .例4. 314151617181()()()()()()4556677889910++++++++++-=_________.实践练习：1. 计算：9999999999991999999⨯+=__________ .2. 计算：112123()()233444++++++ 1234124849()()555550505050+++++++++=________ .3. 计算：11111(1)(1)(1)(1)(1)20082007200610011000-----=________ .例5. 若9160a b +=,则ab 是 ( )(A) 正数. (B) 非正数. (C) 负数. (D) 非负数.例6. 若n 是自然数,并且有理数,a b 满足10a b +=,则必有 ( )(A)210n n a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (B)21210n n a b +⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(C)3210nn a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. (D)212110n n a b ++⎛⎫+= ⎪⎝⎭.实践练习：1. 2008个不全相等的有理数之和为零,则这2008个有理数中 ( )(A) 至少有一个是零. (B) 至少有1004个正数.(C) 至少有一个是负数. (D) 至多有2006个是负数.2. 有理数a 等于它的倒数,有理数b 等于它的相反数,则20082008a b +等于 ( )(A) 0. (B) 1. (C) －1. (D) 2.练习三1. 计算：211(455)365455211545545365⨯-+⨯-⨯+⨯=________ .2. 计算：200120082008200820012000⨯-⨯=_________ .3. 计算：374841(0.625)()8(1)54-⨯⨯⨯-.4. 2(3)(4)56(7)(8)910(11)(12)131415+-+-+++-+-+++-+-+++=______.5. 20(0.300.310.320.69)÷++++的值的整数部分是_______ .6. 设a 是最小的自然数,b 是最大负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a b c -+=___ .7. 数轴上对应是整数的点称为整点,某数轴的单位长度是1厘米,若在这个数轴上随意画出一条长为1995厘米的线段AB ,则线段AB 盖住的整点有______个.8. 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ,第一步从0K 向左跳1个单位到1K ,第二步从1K 向右跳2个单位到2K ,第三步从2K 向左跳3个单位到3K ,第四步从3K 向右跳4个单位到4K ,…按以上规律跳了100步时,电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是20.08,则电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数是多少?§3. 有理数的巧算知识要点：整数和分数统称为有理数.有理数通常可以表示成分数n m 的形式,这里,m n 都是整数,且0,,m m n ≠互质.有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上,能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此,还要善于根据题目条件,将推理与计算相结合,灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题,从而提高运算能力,发展思维的敏捷性与灵活性．四则运算对有理数是封闭的,即任意两个有理数相加、相减、相乘、相除（除数不能为0）,其结果还是有理数.有理数可以比较大小,任意两个有理数之间都有无穷多个有理数.有理数计算中常用到的一些等式如下：（1）11m n mn m n+=+；（2）()11111n n n n =-++；（3）()11m n n m n n m =-++ （4）()()22a b a b a b +=+-；（5）()11232n n n +++++=； （6）()()22221211236n n n n ++++++=例1：计算：()1010.5 5.214.69.2 5.2 5.4 3.7 4.6 1.5-÷⨯-⨯+⨯-⨯⎡⎤⎣⎦实践练习：1、计算：831.8216.93 1.16 1.3255⎛⎫⨯÷÷⨯⨯ ⎪⎝⎭2、计算：()()()43188431 2.524242641515⎧⎫⎡⎤⎛⎫----÷+⨯-÷-⎨⎬ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎩⎭3、计算：591119219930.4 1.6910505271119950.5199519195050⎛⎫+- ⎪⨯⎛⎫⎝⎭÷+ ⎪⨯⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭例2.（1）计算：111112233419992000++++⨯⨯⨯⨯（2）计算：111113243519982000++++⨯⨯⨯⨯实践练习：1、计算：1111599131317101105++++⨯⨯⨯⨯2、计算：131－127＋209－3011＋4213－56153、计算： 2222222271911119917191111991++++++++----例3.计算：2222222123499100101-+-++-+实践练习：1、计算：22222221949195019511952199719981999-+-++-+2、计算：222222222468101298100-+-+-++-3、计算：()()2222222224610013599123891098321++++-++++++++++++++++练习四1、计算：237970.716.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷2、计算：137153163127255248163264128256+++++++3、计算：131－127＋209－3011＋4213－56154、计算：3112122911532140.25534335⎛⎫⎛⎫-++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5、计算：111111111357911131517612203042567290++++++++6、计算：2222222213579114951-+-+-++-7、计算：11111661111165156++++⨯⨯⨯⨯8、1999减去它的12,再减去余下的13,再减去余下的14,…,依此类推,一直减去余下的11999,那么最后剩下的数是多少?第二章 整式§1．单项式：1.单项式的概念由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式.单独一个数或一个字母也是单项式,如a ,5.判断下列各代数式哪些是单项式? (1)21 x ； (2)a bc ； (3)b 2； (4)－5a b 2； (5)y ； (6)－xy 2； (7)－5.2.单项式系数和次数单项式是由数字因数和字母因数两部分组成的.说出下列四个单项式31a 2h,2πr,a bc,－m 的系数和次数.例1.判断下列各代数式是否是单项式.如不是,请说明理由；如是,请指出它的系数和次数.①x ＋1； ②x1； ③πr 2； ④－23a 2b.例2.下面各题的判断是否正确?①－7xy 2的系数是7； ②－x 2y 3与x 3没有系数； ③－a b 3c 2的次数是0＋3＋2； ④－a 3的系数是－1； ⑤－32x 2y 3的次数是7； ⑥31πr 2h 的系数是31.注意：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写,如x 2,－a 2b 等； ③单项式次数只与字母指数有关.§2．多项式1．列代数式：(1)长方形的长与宽分别为a 、b,则长方形的周长是 ；(2)某班有男生x 人,女生21人,则这个班共有学生 人_______；(3)图中阴影部分的面积为_________；(4)鸡兔同笼,鸡a 只,兔b 只,则共有头 个,脚 只.2．观察以上所得出的四个代数式与上节课所学单项式有何区别. (1)2(a ＋b); (2)21＋x ; (3)a ＋b ; (4)2a ＋4b .几个单项式的和叫做多项式(polynomi a l).在多项式中,每个单项式叫做多项式的项(term).其中,不含字母的项,叫做常数项(const a nt term).例如,多项式5232+-x x 有三项,它们是23x ,－2x,5.其中5是常数项.一个多项式含有几项,就叫几项式.多项式里,次数最高项的次数,就是这个多项式的次数.例如,多项式5232+-x x 是一个二次三项式.单项式与多项式统称整式(integr a l expression). 注意：(1)多项式的次数不是所有项的次数之和；多项式的次数为最高次项的次数. (2)多项式的每一项都包括它前面的符号.例1.判断：①多项式a 3－a 2ｂ＋a b 2－b 3的项为a 3、a 2ｂ、a b 2、b 3,次数为12； ②多项式3n 4－2n 2＋1的次数为4,常数项为1.例2.指出下列多项式的项和次数：(1)3x －1＋3x 2； (2)4x 3＋2x －2y 2.例3.指出下列多项式是几次几项式.(1)x 3－x ＋1； (2)x 3－2x 2y 2＋3y 2.例4.已知代数式3x n －(m －1)x ＋1是关于x 的三次二项式,求m 、n 的条件.课堂练习： ①填空：－45a 2b －34a b ＋1是 次 项式,其中三次项系数是 ,二次项为 ,常数项为 ,写出所有的项 .②已知代数式2x 2－mnx 2＋y 2是关于字母x 、y 的三次三项式,求m 、n 的条件.§3．多项式的升(降)幂排列请运用加法交换律,任意交换多项式x 2＋x ＋1中各项的位置,可以得到几种不同的排列方式?在众多的排列方式中,你认为那几种比较整齐?1．升幂排列与降幂排列：有两种排列x 的指数是逐渐变大(或变小)的.我们把这种排列叫做升幂排列与降幂排列.例如：把多项式5x 2＋3x －2x 3－1按x 的指数从大到小的顺序排列,可以写成－2x 3＋5x 2＋3x －1,这叫做这个多项式按字母x 的降幂排列.若按x 的指数从小到大的顺序排列,则写成－1＋3x ＋5x 2－2x 3,这叫做这个多项式按字母x 的升幂排列.例 1.五个学生上前自己选一张卡片,根据老师要求排成一列,并把排列正确的式子写下来. 例如：按x 降幂排列：例2.把多项式2πr －1＋3πr 3－π2r 2按r 升幂排列.例3.把多项式a 3－b 3－3a 2b ＋3a b 2重新排列.(1)按a 升幂排列； (2)按a 降幂排列.想一想：观察上面两个排列,从字母b 的角度看,它们又有何特点?例4.把多项式－1＋2πx 2－x －x 3y 用适当的方式排列.例5.把多项式x 4－y 4＋3x 3y －2xy 2－5x 2y 3用适当的方式排列.(1)按字母x 的升幂排列得： ； (2)按字母y 的升幂排列得： .小结：对一个多项式进行排列,这样的写法除了美观之外,还会为今后的计算带来方便.在排列时我们要注意:(1)重新排列多项式时,每一项一定要连同它的符号一起移动；原首项省略的“＋”号交换到后面时要添上；(2)含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一字母升幂排列或降幂排列.§4.同类项创设问题情境⑴、5个人+8个人= ⑵、5只羊+8只羊= ⑶、5个人+8只羊=观察下列各单项式,把你认为相同类型的式子归为一类. 8x 2y,－mn 2, 5a ,－x 2y, 7mn 2,83, 9a , －32xy , 0, 0.4mn 2, 95,2xy 2我们常常把具有相同特征的事物归为一类.8x 2y 与－x 2y 可以归为一类,2xy 2与－32xy 可以归为一类,－mn 2、7mn 2与0.4mn 2可以归为一类,5a 与9a 可以归为一类,还有83、0与95也可以归为一类.8x 2y 与－x 2y 只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是2,y 的指数都是1；同样地,2xy 2与－32xy 也只有系数不同,各自所含的字母都是x 、y,并且x 的指数都是1,y 的指数都是2.像这样,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项(simil a r terms).另外,所有的常数项都是同类项.比如,前面提到的83、0与95也是同类项.例1.判断下列说法是否正确,正确地在括号内打“√”,错误的打“×”. (1)3x 与3mx 是同类项. ( ) (2)2a b 与－5a b 是同类项. ( )(3)3x 2y 与－31yx 2是同类项. ( ) (4)5a b 2与－2a b 2c 是同类项. ( )(5)23与32是同类项. ( )例2.指出下列多项式中的同类项：(1)3x －2y ＋1＋3y －2x －5； (2)3x 2y －2xy 2＋31xy 2－23yx 2.例3.k 取何值时,3x k y 与－x 2y 是同类项?例4.若把(s ＋t)、(s －t)分别看作一个整体,指出下面式子中的同类项. (1)31(s ＋t)－51(s －t)－43(s ＋t)＋61(s －t)；(2)2(s －t)＋3(s －t)2－5(s －t)－8(s －t)2＋s －t.课堂练习：1.请写出2ab 2c 3的一个同类项．你能写出多少个?它本身是自己的同类项吗?2.若2a m b 2m+3n 与a 2n －3b 8的和仍是一个单项式,则m 与 n 的值分别是______§5.整式的加减为了搞好班会活动,李明和张强去购买一些水笔和软面抄作为奖品.他们首先购买了15本软面抄和20支水笔,经过预算,发现这么多奖品不够用,然后他们又去购买了6本软面抄和5支水笔.问：①他们两次共买了多少本软面抄和多少支水笔?②若设软面抄的单价为每本x 元,水笔的单价为每支y 元,则这次活动他们支出的总金额是多少元?可根据购买的时间次序列出代数式,也可根据购买物品的种类列出代数式,再运用加法的交换律与结合律将同类项结合在一起,将它们合并起来,化简整个多项式,所的结果都为(21x ＋25y)元.由此可得：把多项式中的同类项合并成一项,叫做合并同类项. 合并同类项的法则：把同类项的系数相加,所得的结果作为系数,字母和字母指数保持不变.例1.找出多项式3x 2y －4xy 2－3＋5x 2y ＋2xy 2＋5种的同类项,并合并同类项.例2.下列各题合并同类项的结果对不对?若不对,请改正.(1)2x 2＋3x 2=5x 4； (2)3x ＋2y=5xy ； (3)7x 2－3x 2=4； (4)9a 2b －9b a 2=0.例3.合并下列多项式中的同类项：(1) 2a 2b －3a 2b ＋0.5a 2b ； (2)a 3－a 2b ＋a b 2＋a 2b －a b 2＋b 3；(3)5(x ＋y)3－2(x －y)4－2(x ＋y)3＋(y －x)4.例4.求多项式3x 2＋4x －2x 2－x ＋x 2－3x －1的值,其中x=－3.试一试：把x ＝－3直接代入例4这个多项式,可以求出它的值吗?与上面的解法比较一下,哪个解法更简便?例1．化简下列各式： (1)8a+2b+（5a －b ）； （2）（5a －3b ）－3（a 2－2b ）．(2)计算：5xy 2－[3xy 2－（4xy 2－2x 2y ）]+2x 2y －xy 2． [5xy 2] 小结去括号是代数式变形中的一种常用方法,去括号时,特别是括号前面是“－”号时,括号连同括号前面的“－”号去掉,括号里的各项都改变符号．去括号规律可以简单记为“－”变“＋”不变,要变全都变．当括号前带有数字因数时,这个数字要乘以括号内的每一项,切勿漏乘某些项．学生作总结后教师强调要求大家应熟记法则,并能根据法则进行去括号运算.去括号法则顺口溜：去括号,看符号：是“+”号,不变号；是“―”号,全变号.不难发现,去括号和合并同类项是整式加减的基础.因此,整式加减的一般步骤可以总结为：（１）如果有括号,那么先去括号.（２）如果有同类项,再合并同类项. 例1.求整式x 2―7x ―2与―2x 2+4x ―1的差.练习：一个多项式加上―5x 2―4x ―3与―x 2―3x,求这个多项式.例2.计算：―2y 3+(3xy 2―x 2y)―2(xy 2―y 3).例3.化简求值:(2x 3―xyz)―2(x 3―y 3+xyz)+(xyz ―2y 3),其中x=1,y=2,z=―3.复习题1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式.3zy x ++,4xy,a1,22n m ,x 2+x+x1,0,xx 212-,m,―2.01×1052.指出下列单项式的系数、次数：a b,―x 2,53xy 5,353zy x-.3.指出多项式a 3―a 2b ―a b 2+b 3―1是几次几项式,最高次项、常数项各是什么?4.化简,并将结果按x 的降幂排列：(1)(2x 4―5x 2―4x+1)―(3x 3―5x 2―3x)； (2)―［―(―x+21)］―(x ―1)；(3)―3(21x 2―2xy+y 2)+21(2x 2―xy ―2y 2).5.化简、求值：5a b ―2［3a b ―(4a b 2+21a b)］―5a b 2,其中a =21,b=―32.6.一个多项式加上―2x 3+4x 2y+5y 3后,得x 3―x 2y+3y 3,求这个多项式,并求当x=―21,y=21时,这个多项式的值.7．如果关于x 的两个多项式42142ax x +-与35bxx +的次数相同,求3212342b b b -+-的值.第三章 一元一次方程§1.一元一次方程1. 定义：方程：含有未知数的等式称为方程.一元一次方程：方程中只含一个未知数（元）,并且未知数的指数是1（次）,未知数的系数不等于0,这样的方程叫做一元一次方程. 如312x +=,658x +=.解：解方程就是求出使方程等号左右两边相等的未知数的值,这个值就是方程的解.2. 等式的性质：性质1 等式两边加（或减）同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么a c b c ±=±.性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a b =,那么ac bc =. 如果a b =（0c ≠）,那么a bc c=. 3. 同解方程和方程的同解原理：(1) 如果方程Ⅰ的解都是方程Ⅱ解,并且方程Ⅱ的解也都是方程Ⅰ的解,那么这两个方程是同解方程.(2) 方程同解原理 Ⅰ：方程两边同时加上（或减去同一个数或同一个整式）,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理 Ⅱ：方程两边同时乘以（或除以）同一个不为0的数,所得的方程与原方程是同解方程.方程同解原理 Ⅲ：方程()()0f x g x ⋅=与()0f x =或()0g x =是同解方程.4. 解一元一次方程的一般步骤：(1) 去分母；(2) 去括号；(3) 移项；(4) 合并同类项,化为最简形式ax b =；(5) 方程两边同除以未知数的系数.解一元一次方程没有固定的步骤,去分母与去括号要因题而异,灵活掌握,但是,不管采取什么顺序,都要保证正确地运用各种运算法则以及同解原理,使得到的方程与原方程同解.5. 一元一次方程ax b =的解由,a b 的值确定： (1) 当0a ≠时,方程有唯一的解bx a=； (2) 当0a b ==时,方程的解可为任意的有理数； (3) 当0a =且0b ≠时,方程无解.例1. 利用等式的性质解一元一次方程： （1）33x -=； （2）54x =-； （3）5(1)10y -=； （4）352a--=.例2. 检验下列各数是不是方程4323x x -=+的解： （1）3x =； （2）8x =； （3）5y =.实践练习：1. 解方程：（1）3413x +=-； （2）2153x -=； （3）31342x x -=+.2. 解方程：200712233420072008x x xx++++=⨯⨯⨯⨯.列简易方程解决问题例3. 根据下列条件列方程（1）x 的5倍比x 的2倍大12； （2）某数的23比它的相反数小5.实践练习：1. 根据下列问题,列出方程,不必求解.（1）把若干本书发给学生. 如果每人发4本,还剩下2本；如果每人发5本,还差5本. 问共有多少学生?（2）某班50名学生准备集体去看电影,电影票中有1.5元的和2元的,买电影票共花88元,问这两种电影票应各买多少?练习一1. 解方程：（1）19969619x x -=-； （2）7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-.2. 假设关于x 的方程()()0a x a b x b -++=有无穷多个解,求a b +的值.3. 若关于x 的方程(5)60a x --=的解是2,求a 的值.4. 若关于x 的方程332xa x -=+的解是4,求22a a -的值.5. 某地电话拨号上网有两种收费方式,用户可以任选其一. （1）计时制：0.05元/分； （2）包月制：50元/月.此外,每一种上网方式都得加收通信费0.02元/分,问用户每月上网多少小时,这两种收费方式所收费用一样?请列出方程.6. 小李去商店买练习本,回来后告诉同学：店主跟我说,如果多买一些就给我8折优惠,我就买了20本,结果总共便宜了1.60元,你猜原来每本价格是多少?你能列出方程吗?例4.某大型商场三个季度共销售DVD 2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍,第三个季度销售量是第一个季度的2倍,第一个季度这家商场销售DVD 多少台?例5.某校高中一年级434名师生外出春游,已有3辆校车可乘坐84人,还需租用50座的客车多少辆?实践练习：1. 某工厂八月十五中秋节给工人发苹果,如果每人分两箱,则剩余20箱,如果每人分3箱,则还缺20箱,这个工厂有工人多少人?2. 据某《城市晚报》报道,2004年2月16日,中国著名篮球明星姚明与麦当劳公司正式签约,姚明作为麦当劳的形象代言人,三年共获酬金1400万美元,若后一年的酬金是前一年的两倍,并且不考虑税金,那么姚明第一年应得酬金为多少万美元?例6.男女生有若干人,男生与女生数之比为4 : 3,后来走了12名女生,这时男生人数恰好是女生的2倍,求原来的男生和女生人数.实践练习：1. 已知::2:3:4a b c--的值.a b ca b c=,27++=,求222. 一个三位数的三个数字和是15,十位数字是百位数字的2倍,个位数字比十位数字的2倍还多1,求这个三位数.例7.甲、乙两人骑自行车,同时从相距45千米的两地相向而行,2小时相遇,甲比乙每小时多走2.5千米,求甲、乙每小时各走多少千米?实践练习：1. 一轮船在A,B两港口之间航行,顺水航行用3小时,逆水航行比顺水航行多用30分钟,轮船在静水中的速度是36千米/小时,问水流的速度是多少?例8.宋宋班上有40位同学,他想在生日时请客,因此到超市花了17.5元买果冻和巧克力共40个,若果冻每20个15元,巧克力每30个10元,求他买了多少个果冻?实践练习：1. 一个人用540卢布买了两种布料共138俄尺,其中蓝布料每俄尺3卢布,黑布料每俄尺5卢布,两种布料各买了多少俄尺?2. 某单位开展植树活动,由一人植树要80小时完成,现由一部分人先植树5小时,由于单位有紧急事情,再增加2人,且必须在4小时之内完成植树任务,这些人的工作效率相同,那么先安排了多少人植树?练习二1. 甲、乙两站间的距离为365千米,一列慢车从甲站开往乙站,每小时行驶65千米；慢车行驶1小时后,另有一列快车从乙站开往甲站,每小时行驶85千米,快车行驶了几小时后与慢车相遇?2. 某种商品因换季准备打折出售,如果按定价的七五折出售将赔25元,而按定价的九折出售将赚20元,问这种商品的定价是多少?3. 聪聪到希望书店帮同学们买书,售货员主动告诉他,如果用20元钱办“希望书店会员卡”,将享受八折优惠,请问在这次买书中,聪聪在什么情况下,办会员卡与不办会员卡一样?当聪聪买标价共计200元的书时,怎么做合算,办会员卡还是不办会员卡?4. 有一列数为1,4,7,…,它的第n个数是多少?在这列数中取出三个连续数,其和为48,问这三个数分别是多少?5. 若4y=是关于y的方程85()3ym y m+-=-的解,解关于x的方程(32)m-+50 m-=.6. 当m 取什么整数时,关于x 的方程1514()2323mx x -=-的解是正整数?7. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套；如果每天生产23套衣服,就可以超过订货任务20套,问这批服装的订货任务是多少套?原计划多少天完成?8. 这里有一杯水,第一次倒出一半后又倒出10毫升；第二次倒出剩下的一半后又倒出10毫升,这时杯子空了,问杯子里原来有多少毫升水?§2.一元一次方程复习代数方程在初中代数中占有很重要的地位,而一元一次方程是代数方程中最基础的部分,高次方程及方程组往往化为一元一次方程组来求解.因此,掌握好这部分内容,有助于我们学习一些复杂的方程.一.方程及一元一次方程的概念1.含有未知数的等式叫做方程.2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.【例1】判断下列那些式子是方程,那些是一元一次方程.(1) 5367x y x +-=; (2) 47x -; (3) 53x >; (4) 22x=; (5) 2620xx +-=; (6) ax b =(,a b 是常数); (7) 123+=; (8) 210x -=; (9) 0y =.______________________是方程,____________________是一元一次方程. 【例2】(1)已知1237m x ++=是一元一次方程,则m =_______________. (2) 已知2(1)20m m x ++=是一元一次方程,则m =_______________.(3)若关于x 的方程232(28)6n m x x --+=-是一元一次方程,则m =_______________,n =_________________. 【思考1】已知22(1)(1)80m x m x --++=是关于x 的一元一次方程,则m =_______________.【思考2】在关于x 的方程ax b =中,解的情况:当a ________时,方程有唯一解;当a ________时,方程无解; 当a ________, b ________时,方程有无数个解.【例3】已知2235xx +=,则代数式2466x x --+=______________. 【思考3】下列说法正确的是____________. (1)如果a b =,那么ac bc =; (2) 如果ac bc =,那么a b =;(3)如果a b c c =,那么ac bc =; (4) 如果ac bc =,那么a b c c=. 二.解一元一次方程去括号→去分母→移项→合并同类项→系数化1【例4】解下列一元一次方程:(1) 4(1)2(1)3(1)(1)x x x x -++=--+;(2)223146x x +--=; (3) 2121116518615x x x x -+---=-;(4)32(1)21235x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦; (5) 1114(2)6819753x ⎧+⎫⎡⎤+++=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭(6)0.10.2130.020.5x x ---=.【例5】有四个数,其中三个数之和分别为22,20,17,25,求此四个数.【例6】已知227a b c a b c ::=:3:4,++=,则22a b c --=__________.【例7】若关于x 的方程40kx -=的解是整数,则k=___________________.1.解方程：()()()()24517332x x x x +--=+--2.解方程：()()()()1131121132x x x x +--=--+ 3.解方程：2931123224x x ⎡⎤⎛⎫--+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4解关于x 的方程：()()0ax b a b -+=5.解关于x 的方程：1mx nx -=6.解关于x 的方程：2421m x mx -=+7.已知关于x 的方程()()2153a x a x b -=-+有无数多个解,试求a b 、的值.8已知关于x 的方程()()32215a x b x +=-+有无数多个解,试求a b 、的值.9.已知方程32ax x b +=-有两个不同的解,试求()1999a b +的值.10.关于x 的方程90x p -=的根是9p -,求p 的值.11. 已知关于x 的方程332x a x -=+的解是1a -,求2()2a a --的值.12.若关于x 的方程917x kx -=的解为正整数,求k 的值.13. 关于x 的方程350mx +=和20x n +=是同解方程,求2()mn 的值.14. 已知关于x 的方程21()1(2)532a x a x -+=---和3()5()1232a x x a -=-+是同解方程,求a 的值.15已知关于x 的方程(3)81a b x b -=-仅有正整数解,并且和关于x 的方程(3)81b a x a -=-是同解方程,若0a ≥,220a b +≠,求出这个方程可能的解.16.(1) 解方程：3834122x x +--= (2) 解方程：211132x x +--=(3). 解方程：()()()()11323327322332x x x x ---=--- (4). 解方程：111233234324x x x x ⎧⎫⎡⎤⎛⎫----=+⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭(5). 解关于x 的方程：()()11234m x n x m -=+(6). 解关于x 的方程：()()1223m x n x +=+17. 已知关于x 的方程()3321x a x -=+无解,试求a 的值.18. 关于x 的方程43mx x n +=-,分别求当,m n 为何值时,方程：（1）有唯一解；（2）有无数多个解；（3）无解.19. 若4y =是关于y 的方程85()3y m y m +-=-的解,解关于x 的方程(32)m x -+ 50m -=.20. 当m取什么整数时,关于x的方程1514()2323mx x-=-的解是正整数?21. 已知关于x的方程mx113227=-和mx22=+有相同的根,求m的值§3. 一元一次方程的应用知识要点1.列出一元一次方程解应用题的一般步骤是：（1）弄清题意和题目中的已知数、未知数及数量关系.用字母（如x）表示题目中的一个未知数.（2）找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系.（3）根据这个相等关系列出需要的代数式,从而列出方程.（4）解这个方程,求出未知数的值.（5）检验、写出答案（包括单位名称）.设未知数可分为直接设未知数、间接设未知数两类.直接设未知数指题目中为什么就设什么.它多适用于要求的未知数只有一个的情况.间接设未知数,顾名思义就是问东设西,迂回前进,如求整体时,可先设其某部分为x；求部分时,又可设其整体为未知数；求速度时,先设路程为未知数；求工作时间时设工作效率为未知数.解完方程后要检验方程的解作为应用题的答案是否合理.2．几类应用题常用的策略（1）和、差、倍、分问题：抓住关键词列方程.（2）形积变化问题：利用各种几何图形的面积、体积公式,列出相等关系.（3）行程问题（i）相遇（相向）问题：双方所走路程之和=全部路程。
新七年级数学暑期班第一次教案
第一章 数学与我们同行1、观察下列已有式子的特点，在 内填入恰当的数：1+2+1=1+2+3+2+1= 1+2+3+4+3+2+1= 1+2+3+4+5+4+3+2+1=1+2+3+…+2006+2007+2008+2007+2006+…+3+2+1=2、将一些数排列成下表：第1列 第2列 第3列 第4列 第1行 1 4 5 10 第2行 4 8 10 12 第3行9121514试探索：（1）第10行第2列的数是多少？ （2）81所在的行和列分别是多少？（3）100所在的行和列分别是多少？第二章 有理数（正数与负数、有理数与无理数、数轴） 一、选择1、有理数a 等于它的倒数，则a 2004是----------------------------------------------------（ ） Ａ.最大的负数 Ｂ.最小的非负数 Ｃ.绝对值最小的整数 Ｄ.最小的正整数2、观察这一列数：34-，57, 910-, 1713,3316-，依此规律下一个数是（ ） A.4521 B.4519 C.6521 D.6519 3、若14+x 表示一个整数，则整数x 可取值共有( ).A.3个B.4个C.5个D.6个 4、下列说法正确的是（ ）A 有理数分为正数和负数B 有理数-a 一定表示负数C 正整数、正分数、负整数、负分数统称为有理数D 有理数包括整数和分数 5、a 是有理数,则112000a +的值不可能是( ).A ．1 B.-1 C.0 D.-20006、某粮店出售三种品牌的面粉,袋上分别标有质量为(25±0.1)kg 、（25±0.2）kg 、 (25 ± 03)kg 的字样，从中任意拿出两袋 ，它们的质量最多相差( )A. 0.8kgB. 0.6kgC. 0.5kg D . 0.4kg7、若a ＝19991998，b ＝20001999，c ＝20012000则下列不等关系中正确的是（ ）A. a ＜b ＜cB. a ＜c ＜bC. b ＜c ＜aD. c ＜b ＜a8、近似数5.0的准确值x 的取值范围是 ( )A ：4.5＜x ＜5.4B ：4.95≤x ≤5.05C ：4.95≤x ＜5.05D ：4.95＜x ＜5.05二、填空题1、把下列各数填在相应的括号内－7，3.5， 3.1415926， 0，1713 ，0.03%，－314，10，－3π，1.010010001…(相邻两个1之间0的个数逐次加1)，0.5·7·，1.121 221 222． 自然数集合 { … } ；正分数集合 { … }； 负数集合 { … }； 无理数集合 { … } ； 有理数集合 { … } .2、一种零件标明的要求是0.020.0210+-Φ= （•单位：•mm ）•，•表示这种零件的标准尺寸为直径10mm ，该零件最大直径不超过____________mm ，最小不小于____________mm ，为合格产品． 3、甲、乙两人同时从A 地出发，如果向南走48m,记作+48m ，则乙向北走32m ，记为＿＿这时甲乙两人相距＿＿＿m4、“甲比乙大-3岁”表示的意义是______________________．5、某天中午11时的温度是11℃，早晨6时气温比中午低7℃，则早晨温度为_____℃，若早晨6时气温比中午低13℃，则早晨温度为_______℃．三、判断（1）有理数可分为正有理数和负有理数两类． （ ） （2）有限小数都是有理数，无限小数都是无理数． （ ） （3）有理数包括正有理数、零和负有理数．（ ）（4）无理数是无限不循环小数，有理数是无限循环小数 （ ） （5）不循环小数是无理数. ( ) （6）面积为0.9的正方形的边长是有理数. ( )（7）分数中有有理数，也有无理数，如1117就是无理数. ( )四、简答题1、观察下面一列数，探究其中的规律：—1，21，31-，41，51-，61 （1） 填空：第11，12，13三个数分别是 ， ， ；（2） 第2008个数是什么？如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近？2、有一面积为5π的圆的半径为x.，x是有理数吗？说说你的理由.3、某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：+10，-5，0，+8，-3，又知道记为0的成绩表示90分，正数表示超过90分，则五名同学的平均成绩为多少分？4、已知A、B、C三个数集，每个数集中所包含的数都写在各自的大括号内，•请把这些数填在如图2-1-1所示圆内相应的位置，A={-2，-3，-8，6，7}；B={-3，-5，1，2，6}；C={-1，-3，-8，2，5）．5、一种商品的标准价格是200元，但随着季节的变化，商品的价格可浮动±10%，想一想．（1）±10%的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格；（3）如果以标准价为标准，超过标准价记“＋”，低于标准价记“－”，•该商品价格的浮动范围又可以怎样表示？6、7、BAC8、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形需（）根火柴棒．9、用标有1克，2克，6克的砝码各一个，在一架无刻度的天平上称量重物．如果天平两端均可放置砝码，那么可以称出的不同克数的质量共有多少种？10、观察如图所示的图形，回答下列问题：（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有个点；（2）如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？第n层呢？（3）某一层上有77个点，你知道这是第几层吗？（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层呢？你有没有发现什么规律（用含n的代数式表示）？根据你的推测，前十二层的和是多少？。
七年级暑假辅导
8765cba3412课题：5.2.2平行线的判定学习目标：使学生掌握平行线的四种判定方法，并初步运用它们进行简单的推理论证。
学习过程： 一.自主学习填空：经过直线外一点,_____ ___与这条直线平行. 二.直线平行的判定方法方法1：若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c 。
即两条直线都与第三条直线平行，这两条直线也互相平行. 方法2： .方法3： . 方法4： . 达标检测 （一）选择题1.如图1所示,下列条件中,能判断AB ∥CD 的是( )A.∠BAD=∠BCDB.∠1=∠2;C.∠3=∠4D.∠BAC=∠ACD(1) (2) (3) （4） 2.如图2所示,如果∠D=∠EFC,那么( )A.AD ∥BCB.EF ∥BCC.AB ∥DCD.AD ∥EF 3.下列说法错误的是( )A.同位角不一定相等B.内错角都相等C.同旁内角可能相等D.同旁内角互补,两直线平行 4.如图5,直线a,b 被直线c 所截,现给出下列四个条件:•①∠1=∠-5;②∠1=∠7;③∠2+∠3=180°;④∠4=∠7.其中能说明a ∥b 的条件序号为( ) （5） A.①② B.①③ C.①④ D.③④ （二）填空题34DCBA21FE D CBA 876543219654321DCB A1.如图3,如果∠3=∠7,那么______,理由是_____ _____;如果∠5=∠3,那么________, 理由是____ __________; 如果∠2+ ∠5= ______ 那么a ∥b,理由是___ _____.2.如图4,若∠2=∠6,则______∥______,如果∠3+∠4+∠5+∠6=180°, 那么____∥_______, 如果∠9=_____,那么AD ∥BC;如果∠9=_____,那么AB ∥CD.3.在同一平面内,若直线a,b,c 满足a ⊥b,a ⊥c,则b 与c 的位置关系是______. 4.如图所示,BE 是AB 的延长线,量得∠CBE=∠A=∠C.(1)由∠CBE=∠A 可以判断______∥______,根据是_________.(2)由∠CBE=∠C 可以判断______∥______,根据是_________. 三.解答题1.已知直线a 、b 被直线c 所截,且∠1+∠2=180°, 试判断直线a 、b 的位置关系,并说明理由.2.如图，已知DG AEM ∠=∠，21∠=∠，试问EF 是否平行GH ，并说明理由.3.如图所示,已知∠1=∠2,AC 平分∠DAB,试说明DC ∥AB.4.如图所示,已知直线EF 和AB,CD 分别相交于K,H,且EG ⊥AB,∠CHF=600,∠E=30°,试说明AB ∥CD.cba321ED CB ADCBA21GHKFEDC B A5.提高训练:如图所示,已知直线a,b,c,d,e,且∠1=∠2,∠3+∠4=180°,则a 与c 平行吗?•为什么?d ecb a 3412课题：5.3.1平行线的性质学习目标：使学生理解平行线的性质，能初步运用平行线的性质进行有关计算． 一.合作探究 （一）平行线性质∵a ∥b （已知）同位角 . ∴∠1＝∠5（两直线平行，同位角相等）∵a ∥b （已知）简单说成：两直线平行 . ∴∠3＝∠5（ ）∵a ∥b （已知）. ∴∠3＋∠6＝180°（ ）DCBAOFE DC B AD CBA 187654321D CBA 56北甲北GF ED C BA12二.巩固运用（一）例如图是一块梯形铁片的残余部分,量得∠A=100°,∠B=115°, 梯形另外两个角分别是多少度? 1. ①梯形这个条件说明 ∥ .②∠A 与∠D 、∠B 与∠C 的位置关系是 ,数量关系是 . 解：三.达标检测 （一）选择题:1.如图1所示,AB ∥CD,则与∠1相等的角(∠1除外)共有( )A.5个B.4个C.3个D.2个(1) (2) （3） 2.如图2所示,CD ∥AB,OE 平分∠AOD,OF ⊥OE,∠D=50°,则∠BOF 为( ) A.35° B.30° C.25° D.20°3.∠1和∠2是直线AB 、CD 被直线EF 所截而成的内错角,那么∠1和∠2 的大小关系是( ) A.∠1=∠2 B.∠1>∠2; C.∠1<∠2 D.无法确定4.一个人驱车前进时,两次拐弯后,按原来的相反方向前进, 这两次拐弯的角度是( ) A.向右拐85°,再向右拐95°; B.向右拐85°,再向左拐85° C.向右拐85°,再向右拐85°; D.向右拐85°,再向左拐95° （二）填空题:1.如图3所示,AB ∥CD,∠D=80°,∠CAD:∠BAC=3:2,则∠CAD=_______,∠ACD=•_______.2.如图4,若AD ∥BC,则∠______=∠_______,∠_______=∠_______, ∠ABC+∠_______=180°; 若DC ∥AB,则∠______=∠_______, ∠________=∠__________,∠ABC+∠_________=180°.（4） （5） （6）ABDCE21DCBNMG F EDCBA 3.如图5,在甲、乙两地之间要修一条笔直的公路, 从甲地测得公路的走向是南偏西56°,甲、乙两地同时开工,若干天后公路准确接通, 则乙地所修公路的走向是_________,因为____________.4.如图6所示,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG •平分∠B-EF,若∠1=72°,则∠2=_______. （三）解答题1．如图，AB ∥CD ，∠1＝102°，求∠2、∠3、∠4、∠5的度数，并说明根据？2．如图，EF 过△ABC 的一个顶点A ，且EF ∥BC ，如果∠B ＝40°，∠2＝75°，那么∠1、∠3、∠C 、∠BAC ＋∠B ＋∠C 各是多少度，并说明依据？3.如图,已知:DE ∥CB,∠1=∠2,求证:CD 平分∠ECB.4.如图所示,把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠,若∠EFG=50°,求∠DEG 的度数.5.如图所示，已知：AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，且AB ∥CD ．求证：∠1+∠2=90°． 证明：∵ AB ∥CD ，（已知）∴∠BAC +∠ACD =180°，（ ）又∵ AE 平分∠BAC ，CE 平分∠ACD ，（ ）∴112B A C ∠=∠，122A C D ∠=∠，( )∴001112()1809022B AC A CD ∠+∠=∠+∠=⨯=． 即 ∠1+∠2=90°．结论：若两条平行线被第三条直线所截,则一组同旁内角的平分线互相 . 推广：若两条平行线被第三条直线所截,则一组同位角的平分线互相 .课题：5.3.2命题、定理、证明学习目标1.掌握命题的概念,并能分清命题的组成部分.2.经历判断命题真假的过程，对命题的真假有一个初步的了解.3.初步培养不同几何语言相互转化的能力。
“新星培训”七年级数学中期测试题
“新星培训”七年级数学中期测试题姓名 得分一、选择题：(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1．若m ＞－1，则下列各式中错误的．．．是（ ） A ．6m ＞－6 B ．－5m ＜－5 C ．m+1＞0 D ．1－m ＜2 2.下列各式中,正确的是( )±4 B.=-43．已知a ＞b ＞0，那么下列不等式组中无解．．的是（ ） A ．⎩⎨⎧-><b x a x B ．⎩⎨⎧-<->b x a x C ．⎩⎨⎧-<>b x a x D ．⎩⎨⎧<->bx ax4．一辆汽车在公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行行驶，那么两个拐弯的角度可能为 （ ）(A) 先右转50°，后右转40° (B) 先右转50°，后左转40° (C) 先右转50°，后左转130° (D) 先右转50°，后左转50° 5．解为12x y =⎧⎨=⎩的方程组是（ ）A.135x y x y -=⎧⎨+=⎩B.135x y x y -=-⎧⎨+=-⎩C.331x y x y -=⎧⎨-=⎩D.2335x y x y -=-⎧⎨+=⎩6．如图，在△ABC 中，∠ABC=500，∠ACB=800，BP 平分∠ABC ，CP 平分∠ACB ，则∠BPC 的大小是（ ）A ．1000B ．1100C ．1150D ．1200PBA(1) (2) (3)7．四条线段的长分别为3，4，5，7，则它们首尾相连可以组成不同的三角形的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8．在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的12，则这个多边形的边数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．89．如图，△A 1B 1C 1是由△ABC 沿BC 方向平移了BC 长度的一半得到的，若△ABC 的面积为20 cm 2，则四边形A 1DCC 1的面积为（ ）A ．10 cm 2B ．12 c m 2C ．15 cm 2D ．17 cm 210.课间操时,小华、小军、小刚的位置如图1,小华对小刚说,如果我的位置用(•0,0)表示,C 1A 1小军的位置用(2,1)表示,那么你的位置可以表示成( )A.(5,4)B.(4,5)C.(3,4)D.(4,3)二、填空题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分，把答案直接填在答题卷的横线上． 11.49的平方根是________,算术平方根是______,-8的立方根是_____. 12.不等式5x-9≤3(x+1)的解集是________.13.如果点P(a,2)在第二象限,那么点Q(-3,a)在_______.14.如图3所示,在铁路旁边有一李庄,现要建一火车站,•为了使李庄人乘火车最方便(即距离最近),请你在铁路旁选一点来建火车站(位置已选好),说明理由:____________. 15.从A 沿北偏东60°的方向行驶到B,再从B 沿南偏西20°的方向行驶到C,•则∠ABC=_______度.16.如图,AD ∥BC,∠D=100°,CA 平分∠BCD,则∠DAC=_______.17．如图.小亮解方程组 ⎩⎨⎧=-=+1222y x y x ●的解为 ⎩⎨⎧==★y x 5，由于不小心，滴上了两滴墨水， 刚好遮住了两个数●和★，请你帮他找回★这个数★= 18.若│x 2-25│则x=_______,y=_______.三、解答题：本大题共7个小题，共46分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．解不等式组：⎪⎩⎪⎨⎧+<-≥--.21512,4)2(3x x x x ,并把解集在数轴上表示出来．20．解方程组：2313424()3(2)17x y x y x y ⎧-=⎪⎨⎪--+=⎩CB AD21.如图, AD ∥BC , AD 平分∠EAC,你能确定∠B 与∠C 的数量关系吗?请说明理由。
七年级数学暑假培优讲义
七年级数学下培优讲稿目录七年级数学下培优讲稿目录 (1)第一章整式的运算 (3)整式及整式的加减 (3)知识要点 (3)易错易混点 (3)典型例题 (3)学习自评 (4)幂的运算性质 (5)知识要点 (5)易错易混点 (5)典型例题 (6)学习自评 (6)整式的乘除 (8)知识要点 (8)易错易混点 (8)典型例题 (9)学习自评 (9)第二章平行线与相交线 (11)平行线与相交线 (11)知识要点 (11)易错易混点 (12)典型例题 (12)学习自评 (13)第三章生活中的数据 (17)生活中的数据 (17)知识要点 (17)易错易混点 (18)典型例题 (18)学习自评 (19)第四章概率 (23)概率 (23)知识要点 (23)易错易混点 (24)典型例题 (24)学习自评 (25)第五章三角形 (28)三角形的边、角关系 (28)知识要点 (28)易错易混点 (28)典型例题 (29)学习自评 (30)全等图形、全等三角形及三角形全等的条件、作三角形 (32)知识要点 (32)易错易混点 (32)典型例题 (33)学习自评 (34)利用三角形全等测距离及直角三角形全等的条件 (37)知识要点 (37)易错易混点 (37)典型例题 (38)学习自评 (38)第六章变量之间的关系 (41)变量之间的关系、表达方法 (41)知识要点 (41)易错易混点 (41)典型例题 (42)学习自评 (43)第七章生活中的轴对称 (48)轴对称图形及轴对称的性质 (48)知识要点 (48)易错易混点 (48)典型例题 (48)学习自评 (49)利用轴对称设计图案、镜面对称 (52)知识要点 (52)易错易混点 (52)典型例题 (52)学习自评 (53)第一章 整式的运算整式及整式的加减知识要点◆要点1 单项式、单项式系数及次数 单项式：数与字母的乘积的代数式叫单项式。
单项式中的数字因数（包括前面的符号）为单项式的系数，在单项式中，所有字母的指数和叫做单项式的次数，单独的一个非零数的次数是零。
七年级下期及暑假数学提高训练讲义共十讲.doc
DCBAD CBAGFE DC B A 12FEDCBA第1讲：相交线与平行线1.下列说法正确的有( B )①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图所示,下列说法不正确的是( D )A.点B 到AC 的垂线段是线段AB;B.点C 到AB 的垂线段是线段ACC.线段AD 是点D 到BC 的垂线段;D.线段BD 是点B 到AD 的垂线段 3.下列说法正确的有( C )①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ A ）A. 第一次向左拐30°第二次向右拐30°B. 第一次向右拐50°第二次向左拐130°C. 第一次向右拐50°第二次向右拐130°D. 第一次向左拐50°第二次向左拐130°5．如图，若AC ⊥BC 于C ，CD ⊥AB 于D ，则下列结论必定成立．．．．的是（ C ） A. CD>AD B.AC<BC C. BC>BD D. CD<BD分析：考察垂线段的性质、基本图形——“双垂直”图形6．如图,已知AB ∥CD,直线EF 分别交AB,CD 于E,F,EG•平分∠BEF,若∠1=72°,则∠2=____54°___.7．如图,AB ∥EF ∥CD,EG ∥BD,则图中与∠1相等的角(∠1除外)共有( C )•A.6个 B.5个 C.4个 D.3个l 3l 2l 1 O34l 3l 2l 112xzyA BCD8．如图，直线l 1、l 2、l 3交于O 点，图中出现了几对对顶角，若n 条直线相交呢？答案：3对，n(n+1)9. 如图，在44⨯的正方形网格中，321∠∠∠，，的大小关系是_________．答案：∠1=∠2>∠310. 如图所示,L 1,L 2,L 3交于点O,∠1=∠2,∠3:∠1=8:1,求∠4的度数.( 方程思想) 答案：36°11． 如图所示,已知AB ∥CD,分别探索下列四个图形中∠P 与∠A,∠C 的关系,•请你从所得的四个关系中任选一个加以说明.PD CBA PDC BAP DCB APDCB A(1) (2) (3) (4)（1）分析：过点P 作PE//AB ∠APE+∠A+∠C=360° （2）∠P=∠A+∠C （3）∠P=∠C －∠A, （4）∠P=∠A －∠C12．如图，若AB//EF ，∠C= 90°，求x+y －z 度数。
七级暑假特训讲义：平面直角坐标系(答案 解析 考点点评)
七年级暑假特训讲义07：平面直角坐标系一、选择题（共9小题，每小题4分，满分36分）1．（4分）已知点M的坐标为（x，y），如果xy＜0，则点M的位置在（）2．（4分）（2003•安徽）如果点P（m，n）是第三象限内的点，则点Q（﹣n，0）在（）3．（4分）（2004•哈尔滨）已知坐标平面内点A（m，n）在第四象限，那么点B（n，m）在（）4．（4分）点P（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标是（）5．（4分）（2007•烟台）如图是中国象棋的一盘残局，如果用（4，0）表示“帅”的位置，用（3，9）表示“将”的位置，那么“炮”的位置应表示为（）6．（4分）（2006•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）7．（4分）已知三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣1，4）、B（﹣4，﹣1）、C（1，1）．将三角形ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标为（）8．（4分）（2006•芜湖）如图，在平面直角坐标系中，A点坐标为（3，4），将OA绕原点O逆时针旋转90°得到OA′，则点A′的坐标是（）9．（4分）已知点P（x，|x|），则点P一定（）二、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）10．（5分）如果点M（1﹣x，1﹣y）在第二象限，那么点N（1﹣x，y﹣1）在第三象限，点Q（x﹣1，1﹣y）在第一象限．11．（5分）已知长方形ABCD面积为60，已知BC=5，则AC长为13．==1312．（5分）（2006•淮安）如图，已知A l（1，0），A2（1，1），A3（﹣1，1），A4（﹣1，﹣1），A5（2，﹣1），…．则点A2007的坐标为（﹣502，502）．三、解答题（共3小题，满分49分）13．（16分）“若点P、Q的坐标是（x1，y1）、（x2，y2），则线段PQ中点的坐标为（，）．”已知点A、B、C的坐标分别为（﹣5，0）、（3，0）、（1，4），利用上述结论求线段AC、BC的中点D、E的坐标，并判断DE与AB的位置关系．14．（16分）如图，在三角形AOB中，A、B两点的坐标分别为（2，4）和（6，2），求三角形AOB的面积．=4×15．（17分）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（﹣2，8），（﹣11，6），（﹣14，0），（0，0）．（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？6+×。
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未来星辅导中心2017暑假数学专题系列
(一) 七年级数学上册第1—3单元提高训练
一、填空题：（每题3分，共30分） 1. 321
-的倒数是 ，321-的相反数是 ，3
2
1-的绝对值是 。
2. 若n y x 32与y x m 5-是同类项，则m= , n= 。
3. 根据规律填上合适的数：
(1) －9，－6，－3， , 3 ； (2) 1，8，27，64， ,216。
4. 代数式c b a 3
23
1-
的系数是 ，代数式1－2x 是 、 这二项的和。
5. 现有3，4，-6，10四个数，用混合运算使其结果为24，_____________=24。
6．猜谜语：“横看是圆，侧看是圆，远看是圆，近看是圆，高看是圆，低看是圆，上看，下看，左看， 右看都是圆。
”谜底是 。
（不是圆！） 7. 对正有理数a ，b ，定义运算★如下：a ★b b
a ab
+=
，则3★4= 。
8．下图A 是一组立方块，请在括号中填出B 、C 图各是什么视图：
9．在我校举行的运动会上,小勇和小刚都进入了一百米决赛，小勇用了x 秒，小刚用了y 秒,小勇获得了一百米决赛的冠军。
小刚比小勇多用了 秒。
10．你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复若干次，就把这根很粗的面条拉成了许多细的面条，如下面草图所示。
这样捏合到第 次后可拉出128根细面条。
第一次捏合 第二次捏合 第三次捏合
二、选择题。
（每题2分，共24分）
1．下面图形是棱柱的是（ ） 2．图中不是正方体展开图的是（ ）
3．下列式子中，正确的是（ ）
未来星辅导中心2017暑假数学专题系列
A ．∣－5∣ =5
B ．－∣－5∣ = 5
C ．∣－0．5∣ =21-
D ．-∣－ 21
∣ =2
1
4．下列各对数中，数值相等的是（ ） A ．23
和32
B. (-2)2
和-2
2
C ．2和|-2| D.(32)2和
3
22
5．下列各对式子是同类项的是（ ） A ． 4x 2
y 与4y 2
x B.2abc 与2ab C.a
3-
与-3a D.-x 3y 2
与21y 2x
3 6．当a=2
1-
时，代数式1-3a 2
的值是（ ） A ． 21
- B.431 C.41 D.4
12-
7．某天上午6:00柳江河水位为80.4米，到上午11:30分水位上涨了5.3米，到下午6:00水位下跌了
0.9米。
到下午6:00水位为（ ）米。
（A ）76 （B ）84.8 （C ）85.8 （D ）86.6 8.2-的相反数是( ) A ．2
1
-
B ．2-
C ．21
D ．2
9.下面几何体的截面图可能是圆的是( )
A. 正方体
B. 圆锥
C. 长方体
D. 棱柱
10. 如图,把一条绳子折成3折,用剪刀从中剪断,得到( )条绳子? A.3 B.4 C.5 D.6
11．据《xx 晚报》，最近一段时间，英国不少地区出现“鼠丁兴旺”，1998年英国老鼠约4800万只，目前老鼠总数约增加了25%，比英国人口还多200万，问日前英国人口总数约是：（ ） A ．6200万 B.1000万 C.1400万 D.5800万 12.观察下列算式：
，， ， ， ， ， ， ， 2562128264232216282422287654321======== 根据上述算式中的
规律，你认为20
2的末位数字是（ ）．
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8 三、计算题。
（（1）—（5）每题5分，（6）题6分，共31分） (1) (－36) ×(41－32) （2）1÷(－5)×(－5
1) （3）27÷[(－2)2
+(－4)－(－1)]
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（4）(-2142)×7 (5))3(09
1)
1(2002
-⨯⨯÷-
（6）先化简，再求值a+(a-6b)+(a+6b)+ b ，其中a=3
2
,b=-1
四、解答下列各题。
（35分） 1．（6分）柳州市家庭电话月租费为18元，市内通话费平均每次为0.2元。
若芸芸家上个月共打出市内电话a 次，那么上个月芸芸家应付费多少？若你家上个月共打出市内电话70次，那么你家应付费多少？ 2．（6分）我校有三个年级，其中初三年级有（2x+3y ）名学生，初二年级有（4x+2y ）名学生，初一年级有（x+4y ）名学生。
请你算一算，我校共有多少名学生？
3．作图题。
（6分）
如图，这是一个由小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数。
请你画出该几何体的主视图和左视图（每图4分）
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4．（8分）“十.一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）：
（1）若9月30日的游客为3万人，请完成下面7天游客人数记录表：
（2）七天内游客人数最多的一天有万人；游客人数最少的一天是第天。
5．（9分）初一年级学生在5名教师的带领下去公园秋游，公园的门票为每人30元.现有两种优惠方案，甲方案：带队教师免费，学生按8折收费；乙方案：师生都7.5折收费.
（1）若有m名学生，用代数式表示两种优惠方案各需多少元？
（2）当m=70时，采用哪种方案优惠？
（3）当m=100时，采用哪种方案优惠？。