第十二章全等三角形知识点小结

第十二章全等三角形知识点小结
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一、本章的基本知识点
知识点1：
全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。

知识点2：
全等三角形的判定方法：
一般三角形的判定方法：边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS）、边边边（SSS）
直角三角形的判定方法：除了以上四种方法之外，还有斜边、直角边（HL）知识点3：
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

符号语言：
∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，
∴PA＝PB．
知识点4：
角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

符号语言：
∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB
∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
知识点5
证明文字命题的一般步骤：
证明文字命题，第一是要根据题意画出合适的图形；第二要根据题意和图形写出已知和求证；第三是写出证明过程。

二、本章应注意的问题
1、全等三角形的证明过程： ①找已知条件，做标记；
②找隐藏条件，如对顶角、等腰三角形、平行四边形、公共边、公共角等； ③对照定理，看看还是否需要构造条件。

2、全等三角形的证明思路：
⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪
⎪⎩⎪
⎪⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧⎪⎩⎪
⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）
找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）
找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 3、全等三角形证明中常见图形：
D
C A
B D
C
A
B
A
E
D
C
B
变形
变形
A
B
C
D
E
F
变形 A
B
D
F
E
C
C
B
A
D
变形
D A
C
E
B 变形
4、全等三角形证明时特殊的辅助线：
在本章中，作辅助线的目的就是为了构造全等三角形，有几种特殊的辅助线需要注意：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．
三、全等三角形习题精选
一、五大判定定理记忆与应用 1．下列命题中正确的是（ ）
A ．全等三角形的高相等
B ．全等三角形的中线相等
C ．全等三角形的角平分线相等
D ．全等三角形对应角的平分线相等 2.下列说法正确的是 （ ）
A.周长相等的两个三角形全等
B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等
D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
3.如图 , 在∠AOB 的两边上，AO=BO , 在AO 和BO 上截取CO=DO , 连结AD 和BC 交于点P , 则△AOD ≌△BOC 理由是（ ） A.ASA B.SAS
C.AAS
D.SSS
G
D
B
F
A
A
B
C
E
D
变形
E
D C
B
4.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三
条边所对的角的关系是（A. 相等 B. 1、如图，已知∠1=∠2
2. 如图，∠1=∠2，∠C=
3. 如图：AB=AC ，EB=EC
1.如图，AE=AC ， AD=AB ，∠EAC=∠DAB ，求证： ED ＝CA ．
C
B
E D
A
B
C
D
E
A
D
B C
E
132
2. 如图，已知AB=AD ，AC 平分∠DAB ，求证：EDC EBC ∠=∠。

3.已知：如图, FB=CE , AB ∥ED , AC ∥FD, F 、AC=DF ．
４．如图, 已知：AB ⊥BC 于 B , EF ⊥AC 于G , DF ⊥BC 于D , BC=DF ．猜想线段AC 与EF 的关系，并证明你的结论.
4.全等三角形的难点：
1. 复杂图形的分析能力培养
如图ABD ∆和ACE ∆
２．条件的发散能力培养
F
G
E D
C
B
A
E F C
B
A
D
如图∠ABC ＝90°AB ＝BC ，D 为AC 上一点分别过A.C 作BD 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE.
5.角平分线性质和判定的运用
1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，若BC ＝5㎝，BD ＝3㎝，则点D 到AB 的距离为______㎝
2、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，
△ABC 面积是28 cm 2，AB=20cm ，AC=8cm ，则DE 的长为_________ cm ． 3、如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ， AD 平分∠CAB 交BC 于D ， DE ⊥AB 于E ， AB=10求△BDE 的周长
4．已知：如图，BD=CD ，CF ⊥AB 于点F ，BE ⊥AC 于点E ．求证：AD 平分∠BAC ．
6.综合运用题
1．△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，直线MN 经过点C ，且AD ⊥MN 于D ，BE ⊥MN 于E
(1)当直线MN 绕点C 旋转到图①的位置时，求证：DE=AD+BE (2)当直线MN 绕点C 旋转到图②的位置时，求证：DE=AD-BE
(3)当直线MN 绕点C 旋转到图③的位置时，试问：DE 、AD 、BE 有怎样的等量关系?请写出这个等量关系，并加以证明
A
B C
F
D
E
2．如图10，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD
3．已知点E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE
A
D
C
E
B
猜想AB与CD数量关系，并说明理由.
4．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

５．在四边形ABCD中，BC>BA，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠+∠=
A C180
６．已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
A D
B C
A
D
B C。