等腰三角形分类讨论专题复习
2020年中考数学专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想
专题训练(四)等腰三角形中的分类讨论思想类型一腰与底不明或顶角与底角不明时需分类讨论解题策略:先分不同情况画出图形,再进行计算.当不明确腰和底时,还要利用三角形三边关系进行检验.1.(1)等腰三角形的两边长分别为2和5,则其周长为.(2)等腰三角形的两边长分别为2,3,则其周长为;(3)等腰三角形的两边长分别为2,4,则其周长为.2.若等腰三角形的一个角为80°,则顶角为.3.若等腰三角形的一个角为110°,则顶角为.4.若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍,则其底角为.类型二锐角与钝角不明时需分类讨论解题策略:此类题目一般与三角形的高相联系,主要的讨论点在于三角形的形状不同,高的位置不同.5.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°,求这个三角形的底角的度数.6.已知△ABC中,CA=CB,AD⊥BC于点D,∠CAD=50°,求∠B的度数.7.已知△ABC的高AD,BE所在的直线交于点F,若BF=AC,求∠ABC的度数.类型三画等腰三角形时的分类讨论解题策略:在平面直角坐标系中找一个点,使它与另两个定点构成一个等腰三角形的基本方法有两种:(1)以两定点中的一个为圆心,以两点之间的距离为半径作圆;(2)连接两定点,作线段的垂直平分线.8.在平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0).若在坐标轴上取点C(原点除外),使△ABC为等腰三角形,则满足条件的点C有个.9.在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.10.已知点A和B,以点A和点B为两个顶点作等腰直角三角形,一共可以作出个.教师详解详析例112[解析] 本题在解答过程中,要分两种情况:①当2为腰长时,三角形的三边长为2,2,5,显然不能构成三角形;②当5为腰长时,三角形的三边长为5,5,2,能构成三角形,所以其周长为12.1.(1)7或8(2)102.20°或80°3.110°4.45°或72°例2(1)如图①,当△ABC是锐角三角形时,作BD⊥AC于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=45°.由三角形的内角和定理可得∠C=67.5°.(2)如图②,当△ABC是钝角三角形时,作BD⊥AC交CA的延长线于点D.因为∠ABD=45°,所以∠BAC=135°.由三角形的内角和定理可得∠C=22.5°.综上,这个三角形的底角的度数为67.5°或22.5°.5.解:当∠C为锐角时,∠B=70°;当∠C为钝角时,∠B=20°.6.解:先证△BDF≌△ADC,①当∠ABC为锐角时,∠ABC=45°;②当∠ABC为钝角时,∠ABC=135°.故∠ABC的度数为45°或135°.例34[解析] 如图,共4个点.7.88.6。
“分类讨论”在等腰三角形中的应用
“分类讨论”在等腰三角形中的应用在最近几年的全国各地中考试卷中，出现了以等腰三角形为背景，考查学生分类讨论能力的试题，为帮助同学们提高对此类问题的解题能力，现列举几例：一、要讨论谁是底边或腰长例1、已知一个等腰三角形的一边长为5，另一边长为7，则这个等腰三角形的周长（）A. 12 B 17 C 19 D 17或19分析：题中并未说明5或7是底边，还是腰，应分情况讨论．解：当等腰三角形的一腰长为5时，此时7为底边，满足任意两边之和大于第三边，所以满足题意的三角形的周长为5+5+7=17；当等腰三角形的一腰长为7时，此时5为底边，也满足任意两边之和大于第三边，故满足题意的三角形的周长为7+7+5=19．综上知选D．例2、有一个等腰三角形，三边分别是3x－2，4x－3，6－2x，求等腰三角形的周长．分析：已知等腰三角形三边长，说明有两边相等，但不知谁是腰，必须分三种情况分析．解：（1）当3x－2＝4x－3时，即x＝1，则三边为1，1，4，由于1＋1＜4，所以不成立；（2）当3x－2＝6－2x时，即85x=，则三边长为141714555、、，由于141417555+>，所以成立；（3）当4x－3＝6－2x时，即x＝1.5，则三边为2.5，3，3，由于2.5＋3＞3，所以成立．由上可知等腰三角形周长为9或8.5.说明：如果等腰三角形的腰长为A，底边长为B，则有222b b aa+<<．二、要讨论腰与底谁较大例3、一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长．分析：题目中的条件是一部分比另一部分长2cm，这里可能是腰比底长，也可能是底比腰长，应分两种情况讨论，因为是中线，周长分成的两部分之差就是腰长与底边长之差．解：不妨设腰长为x cm，底边长为y cm ，根据题意有（1）当腰长大于底边时，有2220x yx y-=⎧⎨+=⎩，解得221633x y==、；（2）当腰长小于底边时，有2220y xx y-=⎧⎨+=⎩，解得68x y==、；因为两种情形都符合三角形的三边关系定理，故腰长为223cm或6cm．说明：分类讨论后，要用三角形三边关系定理来判断所给三边能否构成三角形，从而避免造成错解．三、要讨论谁是底角或顶角例4、（1）等腰三角形的一个角是30°，求底角．（2）等腰三角形的一个角是100°，求底角．分析：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，须分情况讨论，但顶角可以是锐有、直角、钝角，而底角只能是锐角．解：（1）当30°是底角时，底角即为30°；当30°是顶角时，底角为180302︒-︒，即为75°；（2）因100°只能是顶角，所以底角是1801002︒-︒，即为40°．说明：等腰三角形的底角只能为锐角，不能为直角、钝角，但顶角可以为锐角、直角、钝角．四、要讨论高在三角形内部或外部例5、已知等腰三角形ABC中，BC边上的高12AD BC=，求∠BAC的度数．分析：题中未交代哪条边是底边，哪条边是腰，所以必须分三种情况讨论．解：（1）当BC为底边时，则D是BC中点，△ABC为等腰直角三角形∠BAC=90°；（2）当BC为腰，且高AD在△ABC内部时，1122AD BC AB==，∠B=30°，所以∠BAC=75°；（3）当BC为腰，且高AD在△ABC的外部时，1122AD BC AB==，∠DBA=30°；所以∠BAC=15°．综上所述∠BAC的度数可以为15°、75°、90°．说明：由于题目的图形未画出，因此考虑情况时要周全，不要出现漏解．试一试：1、在活动课上，小红已有两根长为4cm、8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是＿＿＿＿＿Cm．2、在平面直角坐标系中，已知点为A（－2,0），B（2,0）画出等腰三角形ABC（画出一个即可），并写出你画出的ABC的顶点C的坐标．3、下面是数学课堂的一个学习片段,，阅读后, 请回答下面的问题：学习等腰三角形有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“已知等腰三角形ABC的角A等于30°，请你求出其余两角”．同学们经片刻的思考与交流后，李明同学举手说：“其余两角是30°和120°”；王华同学说：“其余两角是75°和75°” ，还有一些同学也提出了不同的看法……(1)假如你也在课堂中，你的意见如何? 为什么?(2)通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)“分类讨论”在等腰三角形中的应用当面临的问题不宜用一种方法处理或同一种形式叙述时，我们就要想到“分类讨论”——“分而治之，各个击破”．下面就让“分类讨论”思想在等腰三角形中“大放光彩”吧！例1 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A、60°B、120°C、60°或150°D、60°或120°分析：分两种情况，①当顶角是锐角时，如图1，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠A=60°;②当顶角是钝角时，如图2，∵∠ABD=30°，∠ADB=90°，∴∠BAD=60°，∴∠BAC =120°．所以顶角度数为60°或120°，所以选D ．例2 等腰三角形的周长为13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为( ) A 、7 B 、3 C 、5或3 D 、5分析：长为3的边可能是底边，也可能是腰，因此有两种情况，①若长为3的边为底边，则该等腰三角形的底边长为3; ②若长为3的边为腰，则该等腰三角形的底边长为(13-3)÷2=5．故选C ．说明：边长为3的边、可能是底边，不要只认为它是腰．例3 已知点A 和点B ，以点A 和点B 为其中两个点作位置不同的等腰直角三角形，一共可以作出( )A 、2个B 、4个C 、6个D 、8个分析:如图3，以线段AB 为底边可作出两个等腰直角三角形，以AB 为腰可作出4个等腰直角三角形，因此，共可作出6个等腰直角三角形，故选C ． 说明：解题时容易忽视为腰长的情况，因此，分析问题一定要用心，充分考虑各种情形． 例4 如图4，在等边△ABC 所在的平面内求一点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 都是的等腰三角形，你能找到几个这样的点?画图描述它们的位置．分析：如图4，△ABC 三条边的垂直平分线的交点1p 满足条件，分别以点A 、点B 为圆心，AB 为半径画圆弧，交AC 的垂直平分线于2p 、3p 两点，则△、、、AC P BC P AB P 222∆∆、、、AC P BC P AB P 333∆∆也是等腰三角形，同样可以在AB 、BC 的垂直平分线上再找到4个点P ，使△P AB 、△PBC 、△P AC 是等腰三角形．所以共有7个点．画出的图形如图4．说明：此题乍一看只能确定在△ABC 内一点，关键要注意三个等腰三角形的腰是哪两条边．分类讨论探究题既是中考热点又是考生易错点，克服方法是解题时常提醒自己：“还有其它情况吗？”切记！…图1B 图2 图3B。
八年级等腰三角形的分类讨论专题
专题一：等腰三角形中的分类讨论（一）角分类：顶角和底角+ 三角形内角和；外角1.已知一个等腰三角形两内角的度数之比为1:4，求顶角的度数。
2.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数。
3.如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．（二）边分类：底边和腰+ 三角形三边关系4.等腰三角形的两边分别是8,6，这个等腰三角形的周长为5.等腰三角形的两边分别是8,3，这个等腰三角形的周长为6.在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.（三）中线分类7.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，求腰长和底长。
8.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长（四）高、垂直平分线分类9.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，求底角的度数10.在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________11.（2018·哈尔滨中考）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数12.（2019·白银中考）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值b 称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=13.(2018·绍兴中考）数学课上，张老师举了下面的例题：例1等腰三角形ABC中，∠A=110°，求∠B的度数.（答案：35°）例2等腰三角形ABC中，∠A=40°，求∠B的度数.（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：等腰三角形ABC中，∠A=80°，求∠B的度数.(1)请你解答以上的变式题。
专题训练等腰三角形中的分类讨论
专题复习——等腰三角形中的分类讨论例1. 已知等腰△ABC中，有一个内角为40o，则另两个内角分别为________________．例2. 在△ABC中，∠A的外角等于110°，△ABC是等腰三角形，那么∠B＝。
例3．等腰三角形两内角的度数比为2∶1，则顶角为。
例1.等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是例2. 等腰三角形的周长为22 cm,其中一边的长是8 cm,则其余两边长分别为_________.例3. 一等腰三角形的周长是25cm，作某一腰上的中线分得两个三角形的周长一个比另一个长5cm，则腰长是例1. 等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半,它的底角为例2. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角等于20 ,则等腰三角形的顶角度数为例1. 如图，点B在直线L上，点A在直线L外，在直线L上找点C，使得△ABC为等腰三角形。
（要求保留作图痕迹，写清点C的个数）LB例2．在直角坐标系中，O点为坐标原点，A（2，-4），动点B在坐标轴上。
则满足△OAB为等腰三角形的有B点共有个例3. P为直线1:32l y x A=-上一点，（2，0），求使△PAO为等腰三角形的点P的坐标.等腰三角形中的分类讨论练习姓名：日期：指导老师：侯尧等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的基本性质以外，还具有许多独特的性质，最主要的体现就是它的两底角相等，两腰相等，正是由于具有这两个相等，所以在解等腰三角形的有关题目时必须全面思考，分类讨论，以防漏解。
下面就常见题型举例说明如下：一、角不确定时需分类讨论1、若等腰三角形的一个角为40°，则其他两个角分别为若等腰三角形的一个角为100°，则其他两个角分别为二、边不确定时需分类讨论2、等腰三角形一边长是10cm，另一边长是6cm，则它的周长是等腰三角形的两边长分别是9cm和4cm，则它的周长是等腰三角形周长是20cm，一边长为8cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是20cm，一边长为4cm，则其他两边长分别是等腰三角形周长是13，其中一边长为3，则该等腰三角形的底边长为三、高不确定时需分类讨论3、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为30°，则顶角的度数为等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则底角的度数为四、其它（1）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和15cm的两部分，求三角形各边的长（2）等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分成12cm和21cm两部分，求三角形的三边长（3）一等腰三角形的周长为20cm，从底边上的一个顶点引腰的中线，分三角形周长为两部分，其中一部分比另一部分长2cm，求腰长5、已知点A和点B，以点A和点B为其中两个点作位置不同的等腰三角形，一共可以作个6、有一个等腰三角形，三边分别是3x-2,4x-3,6-2x,求等腰三角形的周长7、如图，在等边ΔABC所在的平面内求一点P，使ΔPAB、ΔPBC、ΔPAC都是等腰三角形，你能找到几个这样的点？画图描述他们的位置。
2024年人教版八年级上册数学期末复习微专题5方法技巧 等腰三角形的分类讨论
微专题5 方法技巧 等腰三角形的分类讨论类型一 顶角或底角的不确定性在等腰三角形中只要给出角的度数,要分是顶角还是底角进行讨论.【针对训练】1.如果等腰三角形的一个角的度数为80°,那么其余的两个角的度数是 50°,50°或20°,80° .2. 如图,在△ABC 中,AB =AC ,∠B =70°,以点C 为圆心,CA 长为半径作弧,交直线BC 于点P ,连接AP ,则∠BAP 的度数是 15°或75° .类型二 腰和底边的不确定性在等腰三角形中只要给出边长,要分是腰还是底边进行讨论.【针对训练】3.已知实数x ,y 满足|x -4|+(y -8)2=0,则以x ,y 的值为两边长的等腰三角形的周长是(B) A .20或16 B .20C .16D .以上答案均不对4.已知a ,b 是等腰三角形的两边长,且a ,b 满足√2a -3b +5+(2a +3b -13)2=0,求此等腰三角形的周长.【解析】根据题意得:{2a -3b +5=02a +3b -13=0,解得{a =2b =3, 若2是腰长,三角形的三边长为2,2,3,因为2+2>3,能组成三角形,周长=2+2+3=7;若2是底边,三角形的三边长为2,3,3,因为2+3>3,能组成三角形,周长=2+3+3=8,所以该等腰三角形的周长为7或8.类型三 高的位置的不确定性三角形的高的位置随着三角形的形状的改变而改变,因此遇到与三角形的高有关的题型时要讨论是锐角三角形的高、直角三角形的高还是钝角三角形的高.【针对训练】5.已知BD 是等腰△ABC 腰上的高,且∠ABD =40°,求△ABC 的顶角度数.(画出符合题意的图形,直接写出答案即可)【解析】分情况讨论:当等腰三角形的顶角是锐角时,腰上的高在其内部,故顶角是90°-40°=50°,或是180°-(90°-40°)×2=80°;当等腰三角形的顶角是钝角时,腰上的高在外部.根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,即可求得顶角是90°+40°=130°.故这个等腰三角形顶角的度数为50°或80°或130°.类型四中线分割的不确定性中线分成的两部分周长之差为定值,需分两种情况来讨论.【针对训练】6.如图,已知等腰△ABC一腰上的中线BD把这个三角形的周长分成12和21两部分,求这个等腰三角形的底边BC的长.【解析】AB=AC,BD为腰AC上的中线,设AD=DC=x,BC=y,根据题意得{x+2x=12,y+x=21,或{x+2x=21,y+x=12,解得{x=4,y=17,或{x=7,y=5,当x=4,y=17时,等腰三角形的三边长分别为8,8,17, 显然不符合三角形的三边关系,舍去;当x=7,y=5时,等腰三角形的三边长分别为14,14,5.答:这个等腰三角形的底边BC的长是5.。
专题08 等腰三角形中的分类讨论模型(解析版)
专题08等腰三角形中的分类讨论模型模型1、等腰三角形中的分类讨论：【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的性质与三角形三边关系解题即可。
1）无图需分类讨论①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨论；③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。
2）“两定一动”等腰三角形存在性问题：即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰ABC △方法：两圆一线具体图解：①当AC AB =时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外）②当BC AB =时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外）③当BC AC =时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外）例1．（2023秋·河北张家口·八年级统考期末）ABC 是等腰三角形，5,7AB AC ==，则ABC 的周长为（）A ．12B ．12或17C ．14或19D ．17或19【答案】D【分析】根据等腰三角形的定义分两种情况：当腰为5与腰为7时，即可得到答案．【详解】解：当ABC 的腰为5时，ABC 的周长55717++=；当ABC 的腰为7时，ABC 的周长57719++=．故选：D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，掌握等腰三角形的定义是解题的关键．例2．（2023春·四川巴中·七年级统考期末）等腰三角形的周长为32cm ，一边长为8cm ，则其它两边长是（）∴150∠=︒，即顶角为150︒；故答案为：30︒或150︒．BAC【点睛】本题考查等腰三角形的性质，注意掌握分类讨论思想和数形结合思想的应用是解题的关键．例5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在如图所示的网格中，在格点上找一点P，使ABP为等腰三角形，则点P有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【分析】分三种情况讨论：以AB为腰，点A为顶角顶点；以AB为腰，点B为顶角顶点；以AB为底．【详解】解：如图：如图，以AB为腰，点A为顶角顶点的等腰三角形有5个；以AB为腰，点B为顶角顶点的等腰三角形有3个；不存在以AB为底的等腰ABP，所以合计8个．故选：C．【点睛】本题考查等腰三角形的定义，网格图中确定线段长度；在等腰三角形腰、底边待定的情况下，分类讨论是解题的关键．例6．（2023·重庆市八年级期中）如图1，一副直角三角板△ABC和△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，点B、D、C、F在同一直线上，点A在DE上．如图2，△ABC固定不动，将△EDF绕点D逆时针旋转α（0°＜α＜135°）得△E′DF'，当直线E′F′与直线AC、BC所围成的三角形为等腰三角形时，α的大小为___．【答案】7.5°或75°或97.5°或120°【分析】设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，根据△CPQ为等腰三角形，分三种情况：①当∠PCQ 为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，可求得α=7.5°；如图2，△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，可求得α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，可得∠CPQ=90°，如图3，进而求得α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP为顶角时，∠CPQ=∠PCQ=45°，可得∠CQP=90°，进而求得α=∠EDE′=∠EDQ+∠QDE′=90°+30°=120°．【详解】解：设直线E′F′与直线AC、BC分别交于点P、Q，∵△CPQ为等腰三角形，∴∠PCQ为顶角或∠CPQ为顶角或∠CQP为顶角，①当∠PCQ为顶角时，∠CPQ=∠CQP，如图1，∵∠BAC=∠EDF=90°，∠B=45°，∠F=30°，∴∠E′DF′=90°，∠ACB=45°，∠E′F′D=30°，∵∠CPQ+∠CQP=∠ACB=45°，∴∠CQP=22.5°，∵∠E′F′D=∠CQP+∠F′DQ，∴∠F′DQ=∠E′F′D-∠CQP=30°-22.5°=7.5°，∴α=7.5°；如图2，∵△CPQ为等腰三角形中，∠PCQ为顶角，∴∠CPQ=∠CQP=67.5°，∵∠E′DF′=90°，∠F′=30°，∴∠E′=60°，∴∠E′DQ=∠CQP-∠E′=67.5°-60°=7.5°，∴α=∠EDE′=90°+7.5°=97.5°；②当∠CPQ为顶角时，∠CQP=∠PCQ=45°，∴∠CPQ=90°，如图3，∵∠DE ′F ′=∠CQP +∠QDE ′，∴∠QDE ′=∠DE ′F ′-∠CQP =60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°；③如图4，当∠CQP 为顶角时，∠CPQ =∠PCQ =45°，∴∠CQP =90°，∴∠QDF ′=90°-∠DF ′E ′=60°，∴∠QDE ′=∠E ′DF ′-∠QDF ′=30°，∴α=∠EDE ′=∠EDQ +∠QDE ′=90°+30°=120°；综上所述，α的大小为7.5°或75°或97.5°或120°．故答案为：7.5°或75°或97.5°或120°．【点睛】本题考查了等腰三角形性质，直角三角形性质，旋转的性质，三角形内角和定理等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想思考解决问题．例7．（2022秋·江苏徐州·八年级校考期中）如图，70AOB ∠=︒，点C 是边OB 上的一个定点，点P 在角的另一边OA 上运动，当COP 是等腰三角形，OCP ∠=°．【答案】40或70或55【分析】分三种情况讨论：①当OC PC =，②当PO PC =，③当OP OC =，根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可得到结论．【详解】解：如图，(1)若点P在BC上，且满足PA PB=，求此时(3)在运动过程中，当t为何值时，ACP△【答案】(1)6516(2)316或52(3)54或32或90ACB∠=︒，5cmAB=在Rt ACP中，由勾股定理得()22234x x∴+-=，解得BP 平分ABC ∠，C ∠在BCP 与BDP △中，∵A B ∠∠=︒+90，90ACP BCP ∠+∠=︒，B BCP ∴∠=∠，CP BP AP ∴==，P ∴是AB 的中点，即15cm 22AP AB ==，524AP t ∴=．②如图，当P 在AB 上且3cm AP CA ==时，∴322AP t ==．③如图，当P 在AB 上且(1)求直线AB 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段AB 上（不与点A x 轴的平行线交AD 于点E ，设PE 的长为()0y y ≠，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F ，使PEF !为等腰直角三角形？若存在求出点若不存在，请说明理由．【答案】(1)()450y x D =-+-，，(2)()33242y m m =+-<<，的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键．课后专项训练A．120︒B．75︒【答案】C【答案】D【分析】分为AB AC =、BC BA =，CB CA =三种情况画图判断即可．【详解】解：如图所示：当AB AC =时，符合条件的点有2个；当BC BA =时，符合条件的点有1个；当CB CA =，即当点C 在AB 的垂直平分线上时，符合条件的点有一个．故符合条件的点C 共有4个．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．4．（2023·江苏八年级期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A 、B 都是格点（小正方形的顶点叫做格点），若△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，则满足条件的格点C 有()A ．0个B ．2个C ．4个D ．8个【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的面积解答即可．【详解】解：如图所示：∵△ABC 为等腰三角形，且△ABC 的面积为1，∴满足条件的格点C 有4个，故选C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；熟练掌握等腰三角形的性质和三角形的面积是解决问题的关键A．3【答案】D故选：满足条件的点M 的个数为2．故选A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．7．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在ABC 中，90C ∠=︒，8BC =，6AC =．若点P 为直线BC 上一点，且ABP △为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的应用，关键要用分类讨论的思想．8．（2022·黑龙江·哈尔滨八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为()1,1，在x 轴上确定点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】C【分析】先计算OA的长，再以OA为腰或底分别讨论，进而得出答案．【详解】解：如图，22112OA=+=，当AO＝OP1，AO＝OP3时，P1（﹣2，0），P3（2，0），当AP2＝OP2时，P2（1，0），当AO＝AP4时，P4（2，0），故符合条件的点有4个．故选：C．【点睛】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了勾股定理和等腰三角形的定义，属于常考题型，全面分类、掌握解答的方法是关键．9．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵ABD ∠11【分析】根据等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分得到底和要的差是1293-=，再根据周长列式求解即可得到答案；【详解】解：∵等腰三角形一腰上的中线将其周长分别为12和9两部分，∴腰与底的差为：1293-=，①当底边比腰长时，设腰为x ，则底为3x +，由题意可得，32129x x ++=+，解得：6x =，3639x +=+=，②当腰比底边长时，设腰为x ，则底为3x -，由题意可得，32129x x -+=+，解得：8x =，3835x -=-=，故答案为：6，9或8，5．【点睛】本题主要考查三角形中线有关计算，解题的关键是得到腰长与底边之差再分类讨论．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知A （1，2），在y 轴确定点P ，使△AOP 为等腰三角形，则符合条件的点P 有____个．【答案】4．【分析】根据等腰三角形的判定得出可能OA 为底，可能OA 为腰两种情况，依此即可得出答案．【详解】①以A 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于1个点（O 除外）；②以O 为圆心，以OA 为半径作圆，此时交y 轴于2个点；③作线段AO 的垂直平分线，此时交y 轴于1个点；共1+2+1=4．故答案为：4．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用，有两边相等的三角形是等腰三角形，注意要进行分类讨论．15．（2022秋·江苏盐城·八年级校考阶段练习）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，10cm AB =，8cm AC =，若点P 从点A 出发，以每秒1cm 的速度沿折线A C B A ---运动，设运动时间为t 秒()0t >，当点P 在边AB 上，【答案】19或20或21.2【分析】利用等腰三角形的性质，依次画图，分类讨论即可．【详解】∵90ACB ∠=当P 在BA 上时，①②当6cm BC CP ==时，过CD PB ⊥于点D ，如图，∴12BD DP BP ==，∵12ABC S AC BC CD ==V g g ，∴ 4.8AC BC CD AB == ，在Rt CBD △中，由勾股定理得：()2226 4.8 3.6cm BD BC CD =--=，∴)22 3.6cm BP BD ==⨯=，∴(()867.221.2s t =++，【答案】5或8【分析】ABP 是以AB 为腰的等腰三角形时，分两种情况：出BP 的长度，继而可求得t 值．【详解】解：在Rt ABC △中，∠②当AB AP =时，28cm 8BP BC t ===，故答案为：5或8．【点睛】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握等腰三角形的性质，以及分情况讨论，注意不要漏解．15．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图，ABC 中，90C ∠=︒，6BC =，ABC ∠的平分线与线段AC 交于点D ，且有AD BD =，点E 是线段AB 上的动点（与A 、B 不重合），连接DE ，当BDE 是等腰三角形时，则BE 的长为___________．【答案】4或4【分析】现根据已知条件得出30CBD ABD BAD ∠=∠=∠=︒，再根据BC =6，分别求出AB 、AC 、BD 、AD 、（2）当BE =DE ，如图：∵BE =DE ∠EDB =∠ABD =30°，∴∠AED =∠EDB ∴∠ADE =180°-∠AED -∠A =180°-60°-30°=90°，∴ ADE 为直角三角形，又∵30A ∠=︒且AD =43，∴DE ，∴BE =4；（3）当BD =DE ，时，点E 与A 重合，不符合题意；综上所述，BE 为4或43．故答案为：4或43．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理的应用，16．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠A ＝30°，点P 和点Q 分别是边AC 和BC 上的两个动点，分别连接BP 和PQ ，把△ABC 分割成三个三角形△ABP ，△BPQ ，△PQC ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，则∠C 有可能的值有________个．【答案】7【分析】①当AB=AP ，BQ=PQ ，CP=CQ 时；②当AB=AP ，BP=BQ ，PQ=QC 时；③当APB ，PB=BQ ，PQ=CQ 时；④AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时；根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解析】解：如图所示，共有9种情况，∠C的度数有7个，分别为80°，40°，35°，20°，25°，100°，50°．①当AB=AP，BQ=PQ，CP=CQ时；②当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，③当AP=AB，PQ=CQ，PB=PQ时．④当AP=AB，PQ=PC，BQ=PQ时，⑤当AP=BP，CP=CQ，QB=PQ时，⑥当AP=PB，PB=BQ，PQ=CQ时；⑦AP=PB，PB=PQ，PQ=QC时．⑧AP=PB，QB=PQ，PQ=CC时．⑨BP=AB，PQ=BQ，PQ=PC时．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．（2022·浙江·八年级专题练习）已知：如图，线段AC和射线AB有公共端点A．求作：点P，使点P在射线AB上，且ACP为等腰三角形．（利用无刻度的直尺和圆规作出所有符合条件的点P，不写作法，保留作图痕迹）【答案】见解析．【分析】分别作出①AP=CP；②AP=AC；③AC=CP即可．【详解】如图所示，点1P、2P、3P即为所求．△是等腰三角形的三种情况，避免漏答案．【点睛】本题考查尺规作图-作等腰三角形．特别注意ACP18．（2022·山东·周村二中八年级期中）在同一平面内，若点P与△ABC三个顶点中的任意两个顶点连接形成的三角形都是等腰三角形，则称点P是△ABC的巧妙点．（1）如图，求作△ABC的巧妙点P（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（2）如图，在△ABC中，∠A＝80°，AB＝AC，若点P是△ABC的巧妙点，则符合条件的点P一共有几个？请直接写出每种情况下∠BPC的度数．（3）等边三角形的巧妙点的个数有（）A．2个B．6个C．10个D．12个【答案】（1）见解析；（2）6个；∠BPC的度数为40°或160°或140°或80°；（3）C．综上所述：∠BPC的度数40°或80°或140°或160°．（3）如图所示，分别以等边三角形的三条边作其对应边的垂直平分线，再分别以等边三角形的三个顶点为圆心，等边三角形的边长为半径画圆，分别与三条边的垂直平分线的交点和三条垂直平分线的交点即为等边三角形的巧妙点，共有10个，故选：C．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，构建等腰三角形的作法：定顶点，定圆心；定腰，定半径；以及等边三角形的性质等．熟练掌握相关性质是解题关键．19．（2022·黑龙江密山·八年级期末）如图，直线MN与x轴、y轴分别相交于B、A两点，()2-+-=．(1)求A，B两点的坐标；(2)若点O到AB的距离为24OA OB6805，求线段AB的长；(3)在（2）的条件下，x轴上是否存在点P，使△ABP是以AB为腰的等腰三角形，若存在请直接写出满足条件的点P的坐标．【答案】(1)A （0，6），B （8，0）；(2)AB =10；(3)存在，（-8，0）、（-2，0）、（18，0）．【分析】（1）由非负数的性质知OA =6，OB =8，据此可得点A 和点B 的坐标；（2）根据1122OAB S AB d OA OB == △求解可得；（3）先设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，，再分PA =AB 和AB =PB 两种情况分别求解可得．(1)()2680OA OB -+-= ∴O −6=0O −8=068OA OB ∴==则A 点的坐标为A （0，6），B 点的坐标为（8，0）(2)1122OAB S AB d OA OB == △，245d =6810245OA OB AB d ⨯∴=== (3)存在点P ，使△ABP 是以AB 为腰的等腰三角形设点P （a ，0），根据A （0，6），B （8，0）得()22222226810100PA a PB a AB =+=-==，，①若PA =AB ，则22PA AB =，即226100a +=，解得a =8(舍)或a =−8，此时点P (−8，0)；②若AB =PB ，即22AB PB =，即()21008a =-解得a =18或a =−2，此时点P (18，0)或(−2，0)；综上，存在点P ，使△ABP 使以AB 为腰的等腰三角形，其坐标为(−8，0)或(18，0)或(−2，0)．【点睛】本题考察了非负数的性质、直角三角形的面积求法、勾股定理及等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解决第3问的关键20．（2022秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形OABC 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐标系中，使得点O 与坐标原点重合，点A 、C 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，点B 的坐标为()3,4，D 的坐标为()2,4，现将纸片沿过D 点的直线折叠，使顶点C 落在线段AB 上的点F 处，折痕与y 轴的交点记为E ．。
2022年春苏科版九年级数学中考复习《等腰三角形的分类讨论》专题突破训练(附答案)
2022年春苏科版九年级数学中考复习《等腰三角形的分类讨论》专题突破训练（附答案）一．选择题1．如图，△ABC中，直线l是边AB的垂直平分线，若直线l上存在点P，使得△P AC，△P AB均为等腰三角形，则满足条件的点P的个数共有（）A．1B．3C．5D．72．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC上取一点P，使得△P AB 是等腰三角形，则符合条件的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，网格中的每个小正方形的顶点称作格点，图中A、B在格点上，则图中满足△ABC 为等腰三角形的格点C的个数为（）A．7B．8C．9D．104．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明同学们知道这个三角形“可爱角”应该是（）A．45°或36°B．72°或36°C．45°或72°D．45°或36°或72°5．若等腰三角形中有一个角为50度，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）A．50°B．80°C．65°或50°D．50°或80°6．已知点O在直线AB上，点P在直线AB外，以OP为一边作等腰三角形POM，使第三个顶点M在直线AB上，则点M的个数为（）A．2B．2或4C．3或4D．2或3或47．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是（）A．24B．25C．26D．24或25二．填空题8．如图，在菱形ABCD中，AB＝6，BD＝9，M为对角线BD上一动点（M不与B和D重合），过点M作ME∥CD交BC于点E，连接AM，当△ADM为等腰三角形时，ME的长为．9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．若∠C＝2∠B，且0°＜∠BAD＜60°，若翻折后得到的△DEF中有两个角相等，则∠BAD＝．10．如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠B＝50°，D为BC的中点，点E在AB上，∠AED＝73°，若点P是等腰△ABC的腰AC上的一点，则当△EDP为等腰三角形时，∠EDP的度数是．11．两块全等的等腰直角三角形如图放置，∠A＝90°，DE交AB于点P，E在斜边BC上移动，斜边EF交AC于点Q，BP＝3，BC＝10，当△BPE是等腰三角形时，则AQ 的长为．12．等腰三角形的一个角为40°，则它的顶角为．三．解答题13．如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．（1）当∠BDA＝115°时，∠BAD＝；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）．（2）当DC的长为多少时，△ABD与△DCE全等？请说明理由．（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状也在改变，请判断当∠BDA等于多少度时，△ADE是等腰三角形．（直接写出结论，不说明理由．）14．在平面直角坐标系中，以坐标原点为圆心的⊙O半径为3．（1）试判断点A（3，3）与⊙O的位置关系，并加以说明．（2）若直线y＝x+b与⊙O相交，求b的取值范围．（3）若直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．点P是x轴正半轴上的一个动点，以A，B，P三点为顶点的三角形是等腰三角形，求点P的坐标．15．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在x轴上，点C在y轴上，∠ACB＝90°，OC、OB的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＜OB．（1）求点A的坐标；（2）点D是线段AB上的一个动点（点D不与点A，B重合），过点D的直线l与y轴平行，直线l交边AC或边BC于点P，设点D的横坐标为t，线段DP的长为d，求d关于t的函数解析式；（3）在（2）的条件下，是否存在点D，使△ACD为等腰三角形？若存在，请你直接写出点D的坐标，若不存在，请说明理由．16．如图，已知平面直角坐标系内，点A（2，0），点B（0，2），连接AB．动点P从点B出发，沿线段BO向O运动，到达O点后立即停止，速度为每秒个单位，设运动时间为t秒．（1）当点P运动到OB中点时，求此时AP的解析式；（2）在（1）的条件下，若第二象限内有一点Q（a，3），当S△ABQ＝S△ABP时，求a的值；（3）如图2，当点P从B点出发运动时，同时有点M从A出发，以每秒1个单位的速度沿直线x＝2向上运动，点P停止运动，点M也立即停止运动．过点P作PN⊥y轴交AB于点N．在运动过程中，是否存在t，使得△AMN为等腰三角形？若存在，求出此时的t值，若不存在，说明理由．17．如图，已知直线y＝2x+9与y轴交于点A，与x轴交于点B，直线CD与x轴交于点D （6，0），与直线AB相交于点C（﹣3，n）．（1）求直线CD的解析式；（2）点E为直线CD上任意一点，过点E作EF⊥x轴交直线AB于点F，作EG⊥y轴于点G，当EF＝2EG时，设点E的横坐标为m，直接写出m的值；（3）连接CO，点M为x轴上一点，点N在线段CO上（不与点O重合）．当∠CMN＝45°，且△CMN为等腰三角形时，直接写出点M的横坐标．18．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（2，0），C为y轴正半轴上一点，且BC＝4．（1）∠OBC＝°；（2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，当△PQB是直角三角形时，求t的值；②若点P、Q的运动路程分别是a，b，当△PQB是等腰三角形时，求出a与b满足的数量关系．19．如图，CD是△ABC的高，CD＝8，AD＝4，BD＝3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF＝DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE＝；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒．（1）BC的长为；（2）当t＝2时，求△ADC的面积．（3）当△ABF是等腰三角形时，求t的值．参考答案一．选择题1．解：分三种情况：如图：当AP＝AC时，以A为圆心，AC长为半径画圆，交直线l于点P1，P2，当CA＝CP时，以C为圆心，CA长为半径画圆，交直线l于点P3，P4，当P A＝PC时，作AC的垂直平分线，交直线l于点P5，∵直线l是边AB的垂直平分线，∴直线l上任意一点（与AB的交点除外）与AB构成的三角形均为等腰三角形，∴满足条件的点P的个数共有5个，故选：C．2．解：分三种情况，如图：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝60°，当BA＝BP时，以B为圆形，BA长为半径画圆，交直线BC于P1，P2两个点，∵BA＝BP2，∠ABC＝60°，∴△ABP2是等边三角形，∴AB＝BP2＝AP2，当AB＝AP时，以A为圆形，AB长为半径画圆，交直线BC于P2，当P A＝PB时，作AB的垂直平分线，交直线BC于P2，综上所述，在直线BC上取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的点P有2个，故选：B．3．解：如图所示：分三种情况：①以A为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C1，C2，C3即为点C的位置；②以B为圆心，AB长为半径画弧，则圆弧经过的格点C3，C4，C5，C6，C7，C8即为点C的位置；③作AB的垂直平分线，垂直平分线没有经过格点；∴△ABC为等腰三角形的格点C的个数为：8，故选：B．4．解：①设三角形底角为α，顶角为2α，则α+α+2α＝180°，解得：α＝45°，②设三角形的底角为2α，顶角为α，则2α+2α+α＝180°，解得：α＝36°，∴2α＝72°，∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°，故选：C．5．解：①50°是底角，则顶角为：180°﹣50°×2＝80°；②50°为顶角；所以顶角的度数为50°或80°．故选：D．6．解：如图1中，当∠POB≠90°或∠POB≠60°时，满足条件的点M有2个，如图2中，当∠POB＝60°时，满足条件的点M有2个．如图3中，当∠POB＝90°时，满足条件的点M有2个．故选：B．7．解：方程x2﹣10x+m＝0的有两个实数根，则Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25，当底边长为4时，另两边相等时，x1+x2＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝x1x2＝25；当腰长为4时，另两边中至少有一个是4，则4一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，代入得：16﹣40+m＝0解得m＝24．∴m的值为24或25．故选：D．二．填空题8．解：以菱形ABCD的对角线BD所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴建立直角坐标系，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝，OA＝OC＝AC，∴OA＝＝＝，∴A（0，），D（，0），∴B（﹣，0），∵点M在y轴上，∴设M（m，0），∴AM2＝m2+（）2＝m2+，AD2＝62＝36，DM2＝（﹣m）2，∵ME∥CD，∴∠BME＝∠BDC，∠BEM＝∠BCD，∴△BME∽△BDC，分三种情况：当AM＝AD时，点M与点B重合，不符合题意；当MA＝MD时，如图：∵MA2＝MD2，∴m2+＝（﹣m）2，∴m＝，∴M（，0），∵B（﹣，0），∴BM＝﹣（﹣）＝5，∵△BME∽△BDC，∴＝，∴＝，∴ME＝，当DA＝DM时，如图：∵DA2＝DM2，∴（﹣m）2＝36，∴m＝（舍去）或m＝﹣，∴M（﹣，0），∵B（﹣，0），∴BM＝﹣﹣（﹣）＝3，∵△BME∽△BDC，∴＝，∴＝，∴ME＝2，综上所述：ME的长为：或2，故答案为：或2．9．解：∵∠BAC＝90°，∵∠C＝2∠B，∴∠C＝60°，∠B＝30°，设∠BAD＝x，∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD＝150°﹣x，∠ADC＝∠B+∠BAD＝30°+x，由折叠得：∠B＝∠E＝30°，∠BAD＝∠DAE＝x，∠ADB＝∠ADE＝150°﹣x，∴∠EDF＝∠ADE﹣∠ADC＝（150°﹣x）﹣（30°+x）＝120°﹣2x，∵∠BAC＝90°，∠BAD＝∠DAE＝x，∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝90°﹣2x，∴∠AFC＝180°﹣∠EAC﹣∠C＝180°﹣（90°﹣2x）﹣60°＝30°+2x，∴∠AFC＝∠DFE＝30°+2x，分三种情况：当∠EDF＝∠DFE，120°﹣2x＝30°+2x，∴x＝22.5°，∴∠BAD＝22.5°，当∠EDF＝∠E，120°﹣2x＝30°，∴x＝45°，∴∠BAD＝45°，当∠DFE＝∠E，30°+2x＝30°，∴x＝0°，∵0°＜∠BAD＜60°，∴x＝0°（舍去），综上所述：∠BAD为22.5°或45°，故答案为：22.5°或45°．10．解：∵AB＝AC，∠B＝50°，∠AED＝73°，∵当△DEP是以DE为腰的等腰三角形，①当点P在P1位置时，∵AB＝AC，D为BC的中点，∴∠BAD＝∠CAD，过D作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H，∴DG＝DH，在Rt△DEG与Rt△DP1H中，DE＝DP1，DG＝DH，∴Rt△DEG≌Rt△DP1H（HL），∴∠AP1D＝∠AED＝73°，∵∠BAC＝180°−50°−50°＝80°，∴∠EDP1＝134°，②当点P在P2位置时，同理证得Rt△DEG≌Rt△DPH（HL），∴∠EDG＝∠P2DH，∴∠EDP2＝∠GDH＝180°−80°＝100°，综上∠EDP的度数为134°或或100°．故答案为：134°或100°．11．解：如图，当BP＝BE＝3时，∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，BC＝10，∴AB＝AC＝5，∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，CE＝10﹣3，∵∠DEC是△BEP的外角，∴∠DEF+∠QEC＝∠B+∠BPE，∴∠BPE＝∠QEC，∴△BPE∽△CQE，∴，∴，∴CQ＝10﹣3，∴AQ＝AC﹣CQ＝5﹣（10﹣3）＝8﹣10，当BE＝PE时，如图，∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，BC＝10，∴AB＝AC＝5，∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵BE＝PE，∴∠B＝∠BPE＝45°，∴∠BEP＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴∠PEC＝90°，∠QEC＝45°，∴△BEP和△EQC都是等腰直角三角形，∵BP＝3，∴BE＝PE＝3，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣3＝7，∴EQ＝QC＝，∴AQ＝AC﹣CQ＝5﹣＝，当PB＝PE时，如图，∵△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，BC＝10，∴AB＝AC＝5，∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，∵PB＝PE，∴∠B＝∠PEB＝45°，∴∠QEC＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BEP和△EQC都是等腰直角三角形，∵BP＝3，∴BE＝BP＝×3＝6，∴CE＝BC﹣BE＝10﹣6＝4，∴QC＝CE＝4，∴AQ＝AC﹣CQ＝5﹣4＝，综上所述，AQ的长为8﹣10或或，故答案为：8﹣10或或．12．解：当40°角为顶角时，则顶角为40°，当40°角为底角时，则顶角为180°﹣40°﹣40°＝100°，故答案为：40°或100°．三．解答题13．解：（1）∵∠B＝40°，∠BDA＝115°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣115°﹣40°＝25°，由图形可知，∠BDA逐渐变小，故答案为：25°；小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由如下：∵AB＝2，∴AB＝DC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形，当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，∴∠DAE＝100°，此时，点D与点B重合，不合题意；当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝40°+40°＝80°，综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE是等腰三角形．14．解：（1）∵A（3，3），∴OA＝3，∵3＞3，∴点A在⊙O外；（2）如图，当直线y＝x+b与⊙O相切于点C时，连接OC，则OC＝3，∵∠CBO＝45°，∴OB＝3，∴直线y＝x+b与⊙O相交时，﹣3＜b＜3；（3）∵直线y＝x+3与⊙O相交于点A，B．∴A（0，3），B（﹣3，0），∴AB＝3，当BA＝BP＝3时，∴P1（﹣3+3，0），P2（﹣3﹣3，0），当AB＝AP时，∵AO⊥x轴，∴BO＝OP，∴P3（3，0），当PB＝P A时，点P与O重合，∴P4（0，0），∴点P的坐标为（﹣3+3，0）或（﹣3﹣3，0）或（3，0）或（0，0）．15．解：（1）解方程x2﹣6x+8＝0，可得x1＝2，x2＝4，∵OC、OB的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，且OC＜OB，∴OC＝2，OB＝4，∵∠ACB＝90°，∴∠ACO+∠BCO＝∠ACO+∠CAO＝90°，∴∠CAO＝∠BCO，又∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴△AOC∽△COB，∴，即，解得AO＝1，∴A（﹣1，0）；（2）由（1）可知C（0，2），B（4，0），A（﹣1，0），设直线AC解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴直线AC的解析式为y＝2x+2，同理可求得直线BC解析式为y＝﹣x+2，当点D在线段OA上时，即﹣1＜t≤0时，则点P在直线AC上，∴P点坐标为（t，2t+2），∴d＝2t+2；当点D在线段OB上时，即0＜t＜4时，则点P在直线BC上，∴P点坐标为，∴d＝﹣t+2；综上可知d关于t的函数关系式为d＝；（3）存在．由勾股定理得，AC＝＝，当AC＝AD＝，点D在点A的右侧时，D点的坐标为（﹣1，0），当CA＝CD时，∵CO⊥AD，∴OD＝OA＝1，∴D点的坐标为（1，0），当DA＝DC时，如图，OD＝DA﹣OA＝DC﹣1，在Rt△COD中，DC2＝OD2+OC2，即DC2＝（DC﹣1）2+22，解得，DC＝，∴OD＝﹣1＝，∴D点的坐标为（，0），综上所述，△ACD为等腰三角形时，D点的坐标为（﹣1，0）或（1，0）或（，0）．16．解：（1）∵B（0，2），∴OB的中点为（0，），当点P运动到OB中点时，P（0，），设直线AP的函数解析式为y＝kx+，将A（2，0）代入y＝kx+得，2k+＝0，∴k＝﹣，∴直线AP的函数解析式为y＝﹣x+；（2）由点A（2，0），B（0，2）可知，直线AB的解析式为y＝﹣x+2，∵S△ABQ＝S△ABP，∴直线PQ∥AB，∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+，当y＝3时，∴﹣，解得x＝1﹣，∴a＝1﹣；（3）当AN＝MN时，设PN交直线x＝2于H，则AM＝2AH，∴t＝2（2﹣t），解得t＝，当AN＝AM时，∵OA＝2，OB＝2，∴AB＝4，∴∠ABO＝30°，∵BP＝t，∴BN＝2t，∴2t+t+4，解得t＝，当MN＝AM时，∵∠MAN＝30°，∴AN＝t，∴2t+＝4，解得t＝8﹣4，综上：t＝或或8﹣4．17．解：（1）∵点C（﹣3，n）在直线y＝2x+9上，∴n＝2×（﹣3）+9＝3，∴C（﹣3，3），设直线CD的解析式为y＝kx+b，∵C（﹣3，3），D（6，0），∴，解得：，∴直线CD的解析式为y＝x+2；（2）如图1，设点E的横坐标为m，∵点E在直线CD上，EF⊥x轴交直线AB于点F，EG⊥y轴于点G，∴E（m，m+2），F（m，2m+9），G（0，m+2），∴EF＝|（2m+9）﹣（m+2）|＝|m+7|，EG＝|m|，∵EF＝2EG，∴|m+7|＝|m|，∴m＝﹣或﹣21；（3）如图2，∵∠CMN＝45°，且△CMN为等腰三角形，∴CN＝MN或CM＝MN或CN＝CM，①当CN＝MN时，则∠MCN＝∠CMN＝45°，∵C（﹣3，3），∴∠COM＝45°，∴∠CMO＝90°，即CM⊥x轴，∴M1（﹣3，0），即点M的横坐标为﹣3；②当CM2＝M2N2时，则∠M2CN2＝∠M2N2C＝67.5°，∵∠OM2N2＝∠M2N2C﹣∠COM2＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠CM2O＝∠CM2N2+∠OM2N2＝45°+22.5°＝67.5°，∴∠M2CN2＝∠CM2O，∴OM2＝OC＝3，∴M2（﹣3，0），即点M的横坐标为﹣3；③当CN＝CM时，∠CMN＝∠CNM＝45°，∴∠MCN＝90°，此时，点N必与点O重合，不符合题意；综上所述，点M的横坐标为﹣3或﹣3．18．解：（1）在Rt△COB中，∠COB＝90°，OB＝2，BC＝4，∴∠BOC＝30°，∴∠OBC＝90°﹣∠BOC＝60°，故答案为：60；（2）①由题意，得AP＝2t，BQ＝t，∵A（﹣3，0），B（2，0），∴AB＝5，∴PB＝5﹣2t，∵∠OBC＝60°≠90°∴只有∠PQB＝90°和∠QPB＝90°两种情况，当∠PQB＝90°时，∵∠OBC＝60°，∴∠BPQ＝30°，∴BQ＝BP，即t＝（5﹣2t），解得：t＝；当∠QPB＝90°时，∵∠OBC＝60°，∴∠BQP＝30°，∴PB＝BQ，即5﹣2t＝t，解得：t＝2；综上所述，当t＝或t＝2时，△PQB是直角三角形；②如图：当a＜5时，∵AP＝a，BQ＝b，∴BP＝5﹣a，∵△PQB是等腰三角形，∠OBC＝60°，∴△PQB是等边三角形，∴b＝5﹣a，即a+b＝5；如图3：当a＞5时，∵AP＝a，BQ＝b，∴BP＝a﹣5，∵△PQB是等腰三角形，∠QBP＝120°，∴BP＝BQ，即a﹣5＝b，∴a﹣b＝5，综上所述：当△PQB是等腰三角形时，a与b满足的数量关系为：a+b＝5或a﹣b＝5．19．解：（1）如图1，设DG＝a，∵CD⊥AB，PE⊥AB，QF⊥AB，∴QF∥CD∥EF，∵DE＝DF，∴EG＝QG，∴DG是△EFQ的中位线，∴QF＝2a，∵tan∠BAC＝＝，即＝，∴AF＝a，DF＝DE＝4﹣a，∵BD＝3，∴BE＝3﹣（4﹣a）＝a﹣1，∵PE∥CD，BP＝PC，∴BE＝ED，∴a﹣1＝4﹣a，∴a＝，∴FQ＝2a＝5，EF＝2（4﹣a）＝8﹣2a＝8﹣5＝3，∴EQ＝＝；故答案：；（2）①如图2，过点Q作QH⊥CD于H，∵FQ⊥AB，CD⊥AB，∴∠QFD＝∠FDH＝∠QHD＝90°，∴四边形FDHQ为矩形，∴DF＝QH＝DE，FQ＝DH，∵tan∠ACD＝＝＝＝，∴CH＝2QH＝EF，∴EF+FQ＝DH+CH＝8：故答案为：8；②由①得：EF+FQ＝8，设EF＝x，则FQ＝8﹣x，∴EQ＝＝＝，当x＝4时，EQ取最小值为＝4，此时，DE＝DF＝2，∴BE＝3﹣2＝1，∵PE∥CD，∴＝＝，Rt△BDC中，由勾股定理得：BC＝＝，∴PB＝，当PB＝时，线段QE最小，最小值是4；③设DE＝m，BE＝3﹣m，DF＝m（0≤m≤3），∴AE＝4+m，AF＝4﹣m，FQ＝8﹣2m，AC＝＝＝4，AQ＝（4﹣m），当△AEQ为等腰三角形时，存在以下三种情况：i）AQ＝AE，则4+m＝（4﹣m），解得：m＝6﹣2，∴BE＝3﹣（6﹣2）＝2﹣3；ii）AQ＝QE，∵QF⊥AE，∴AF＝EF，∴4﹣m＝2m，∴m＝，∴BE＝3﹣＝；iii）AE＝EQ，则4+m＝，7m2﹣40m+48＝0，解得：m1＝4（舍），m2＝，∴BE＝3﹣＝；综上所述，BE的长为2﹣3或或．20．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理得：BC＝＝＝6，故答案为：6；（2）如图1，过点C作CH⊥AB于H，S△ABC＝AC•BC＝AB•CH，则×8×6＝×10×CH，解得：CH＝，当t＝2时，AD＝2×2＝4，则S△ADC＝×4×＝；（3）当F A＝FB时，DF⊥AB，∴AD＝AB＝×10＝5，∴t＝5÷2＝；当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°，则BF＝2BC＝12，∴AB•DF＝BF•AC，即×10×DF＝×12×8，解得：DF＝，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴t＝÷2＝；当BF＝AB＝10时，∵BF＝10，BC＝6，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，由勾股定理得：AF＝＝＝4，∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝8，∴AD＝＝＝4，∴t＝4÷2＝2；综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2．。
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：等腰三角形中的分类讨论【知识点睛】❖ 在等腰三角形中，没有明确指明边是腰还是底时，要进行分类讨论，且求出未知边的长后，一定要看这三边能否组成三角形；❖ 没有明确指明角是顶角或底角时，也要进行分类讨论设等腰三角形中有一个角为α时对应结论 当α为顶角时底角=α2190-︒当α为直角或钝角时 不需要分类讨论，该角必为顶角 当α为锐角时α可以为顶角；也可以为底角当等腰三角形的一个外角为α时对应结论 若α为锐角、直角 α必为顶角的外角若α为钝角α可以是顶角的外角，也可以是底角的外角❖ 动态环境下的等腰三角形存在性问题【类题训练】1．△ABC 中，AB ＝AC ，一腰上的中线BD 把三角形的周长分为9cm 和12cm 两部分，则此三角形的腰长是 8cm 或6cm ．【分析】等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为12厘米和18厘米两部分，但已知没有明确等腰三角形被中线分成的两部分的长，哪个是9cm ，哪个是12cm ，因此，有两种情况，需要分类讨论． 【解答】解：根据题意画出图形，如图， 设等腰三角形的腰长AB ＝AC ＝2x ，BC ＝y ， ∵BD 是腰上的中线， ∴AD ＝DC ＝x ，若AB +AD 的长为12，则2x +x ＝12，解得x ＝4cm ， 则x +y ＝9，即4+y ＝9，解得y ＝5cm ；若AB +AD 的长为9，则2x +x ＝9，解得x ＝3cm ，则x+y＝12，即3+y＝12，解得y＝9cm；所以等腰三角形的腰长为8cm或6cm．故答案为：8cm或6cm．2．（1）等腰三角形中有一个角是70°，则它的顶角是70°或40°．（2）等腰三角形中有一个角是100°，则它的另两个角是40°，40°．（3）等腰三角形的一个内角为70°，它一腰上的高与底边所夹的度数为35°或20°．【分析】（1）等腰三角形一内角为70°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．（2）由于等腰三角形的两底角相等，所以100°的角只能是顶角，再利用三角形的内角和定理可求得另两底角．（3）题中没有指明已知角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析从而求解．【解答】解：（1）①当70°角为顶角，顶角度数即为70°；②当70°为底角时，顶角＝180°﹣2×70°＝40°．（2）∵等腰三角形的两底角相等∴两底角的和为180°﹣100°＝80°∴两个底角分别为40°，40°．（3）①当∠A＝70°时，则∠ABC＝∠C＝55°，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣55°＝35°；②当∠C＝70°时，因为BD⊥AC，所以∠DBC＝90°﹣70°＝20°故答案为：70°或40°；40°，40°；35°或20°．3．如果等腰三角形的周长是35cm，一腰上中线把三角形分成两个三角形，其周长之差是4cm，则这个等腰三角形的底边长是9cm或cm．【分析】根据题意画出图形，设等腰三角形的腰长为xcm，则底边长为（19﹣2x）cm，再根据两个三角形的周长差是4cm求出x的值即可．【解答】解：如图所示，等腰△ABC中，AB＝AC，点D为AC的中点，设AB＝AC＝xcm，∵点D为AC的中点，∴AD＝CD＝，BC＝25﹣（AB+AC）＝35﹣2x，当△ABD的周长大于△BCD的周长时，AB+AD+BD﹣（BC+CD+BD）＝4，即x+﹣（35﹣2x）﹣＝4，解得x＝13，底边长为35﹣13×2＝9（cm）；当△BCD的周长大于△ABD的周长时，则BC+CD+BD﹣（AB+AD+BD）＝4，即35﹣2x+﹣（x+）＝4，解得x＝，底边长为35﹣×2＝（cm）．综上所述，这个等腰三角形的底边长为9cm或cm．故答案为：9cm或cm．4．已知△ABC中，CA＝CB，AD⊥BC于D，∠CAD＝50°，则∠B＝70°或20°．【分析】利用直角三角形两锐角互余可求得∠C，再利用三角形内角和定理和等腰三角形的性质可求得∠B．【解答】解：若△ACB是锐角三角形，如图1．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠C＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且2∠B+∠C＝180°，∴∠B＝70°，若△ACB是钝角三角形，如图2．∵AD⊥BC，∠CAD＝50°，∴∠DCA＝90°﹣∠CAD＝90°﹣50°＝40°，∵CA＝CB，∴∠B＝∠CAB，且∠DCA＝∠B+∠CAB∴∠B＝20°故答案为：70°或20°．5．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定定理，结合图形即可得到结论．【解答】解：如图，第1个点在CA延长线上，取一点P，使BA＝AP；第2个点在CB延长线上，取一点P，使AB＝PB；第3个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝PB；第4个点在BC延长线上，取一点P，使AB＝P A；第5个点在AC延长线上，取一点P，使AB＝AP；第6个点在AC上，取一点P，使∠PBA＝∠P AB；∴符合条件的点P有6个点．故选：B．6．用一根长为21厘米的铁丝围成一个三条边长均为整数厘米的等腰三角形，则方案的种数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】设等腰三角形的腰为x，底边为y，根据三角形的周长求出y＝21﹣2x，根据三角形三边关系定理得出x+x＞y，求出x+y＞21﹣2x，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：设等腰三角形的腰为x，底边为y，则x＞0，y＞0，x+x＞y，则x+x+y＝21，即①y＝21﹣2x＞0，所以②x+x＞21﹣2x，解①②得：5＜x＜10.5，所以整数x可以为6，7，8，9，10，共5种，故选：A．7．如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，①当E在E1时，OE＝CE，∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；②当E在E2点时，OC＝OE，则∠OEC＝∠OCE＝（180°﹣30°）＝75°；③当E在E3时，OC＝CE，则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．8．如图，∠AOB＝60°，C是BO延长线上一点，OC＝12cm，动点P从点C出发沿CB以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OA以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t＝4或12s时，△POQ是等腰三角形．【分析】根据等腰三角形的判定，分两种情况：（1）当点P在线段OC上时；（2）当点P在CO的延长线上时．分别列式计算即可求．【解答】解：分两种情况：（1）当点P在线段OC上时，设t时后△POQ是等腰三角形，有OP＝OC﹣CP＝OQ，即12﹣2t＝t，解得，t＝4s；（2）当点P在CO的延长线上时，此时经过CO时的时间已用6s，当△POQ是等腰三角形时，∵∠POQ＝60°，∴△POQ是等边三角形，∴OP＝OQ，即2（t﹣6）＝t，解得，t＝12s故答案为4s或12s．9．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（）A．B．C．D．【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进行判断即可．【解答】解：A、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；B、如图所示，△ABC不能够分成两个等腰三角形；C、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；D、如图所示，△ACD和△BCD都是等腰三角形；故选：B．10．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条D．8条【分析】根据等腰三角形的性质分别利用AB，AC为底以及为腰得出符合题意的图形即可．【解答】解：如图所示：当BC1＝AC1，AC＝CC2，AB＝BC3，AC4＝CC4，AB＝AC5，AB＝AC6，BC7＝CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．11．如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，在射线BA上找一点D，使△ACD为等腰三角形，则∠ADC的度数为75°或120°或15°．【分析】分三种情形分别求解即可．【解答】解：∵△ABC中，∠B＝60°，∠C＝90°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，如图，有三种情形：①当AC＝AD时，∠ADC＝＝75°．②当CD′＝AD′时，∠AD′C＝180°﹣30°﹣30°＝120°．③当AC＝AD″时，∠AD″C＝＝15°，故答案为：75°或120°或15°．12．如图，等边△ABC的边长为6，点P沿△ABC的边从A→B→C运动，以AP为边作等边△APQ，且点Q在直线AB下方，当点P、Q运动到使△BPQ是等腰三角形时，点Q运动路线的长为3或9．【分析】如图，连接CP，BQ，由“SAS”可证△ACP≌△ABQ，可得BQ＝CP，可得点Q运动轨迹是A→H→B，分两种情况讨论，即可求解．【解答】解：如图，连接CP，BQ，∵△ABC，△APQ是等边三角形，∴AP＝AQ＝PQ，AC＝AB，∠CAP＝∠BAQ＝60°，∴△ACP≌△ABQ（SAS）∴BQ＝CP，∴当点P运动到点B时，点Q运动到点H，且BH＝BC＝6，∴当点P在AB上运动时，点Q在AH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴PQ＝PB，∴AP＝PB＝3＝AQ，∴点Q运动路线的长为3，当点P在BC上运动时，点Q在BH上运动，∵△BPQ是等腰三角形，∴BQ＝PB，∴BP＝BQ＝3，∴点Q运动路线的长为3+6＝9，故答案为：3或9．13．如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠A，过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则∠A的度数为45°或36°或或．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，①如图1，∵∠ACB＝2∠A，∴AD＝DC＝BD，∴∠ACB＝90°，∴∠A＝45°；②如图2，AD＝DC＝BC，∴∠A＝∠ACD，∠BDC＝∠B，∴∠BDC＝2∠A，∴∠A＝36°，③AD＝DC，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD，∠A＝∠ACD，∴∠BCD＝∠BDC＝2∠A，∴∠BCD＝2∠A，∵∠ACB＝2∠A，故这种情况不存在．④如图3，AD＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝∠ACD，∠B＝∠BCD，设∠B＝∠BCD＝α，∴∠ADC＝∠ACD＝2α，∴∠ACB＝3α，∴∠A＝α，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴α+α+3α＝180°，∴α＝，∴∠A＝，⑤如图4，AC＝CD＝DB，∴∠A＝∠CDA，∠B＝∠DCB，∵∠CDB＝180°﹣∠CDA＝180°﹣∠A，∴∠B＝∠DCB＝＝，∴∠ACB＝∠A＝180°﹣，∵∠ACB＝2∠A，∴180°﹣＝2∠A，∴综上所述，∠A的度数为45°或36°或或．故答案为：45°或36°或或．14．已知等边△ABC的边长为3，点E在直线AB上，点D在直线CB上，且ED＝EC，若AE＝6，则CD的长为3或9．【分析】①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，②当E在线段AB的延长线时，过E点作EF ⊥CD于F，根据等边三角形的性质求出BE长和∠ABC＝60°，解直角三角形求出BF，求出CF，即可求出答案．【解答】解：点E在直线AB上，AE＝6，点E位置有两种情况：①E在线段AB的延长线上时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6﹣3＝3，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝BE＝，∴CF＝+3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝9；②如图2，当E在线段AB的延长线时，过E点作EF⊥CD于F，∵△ABC是等边三角形，△ABC的边长为3，AE＝6，∴BE＝6+3＝9，∠ABC＝60°，∴∠EBF＝60°，∴∠BEF＝30°，∴BF＝AE＝，∴CF＝﹣3＝，∵ED＝EC，∴CF＝DF，∴CD＝×2＝3；即C＝9或3，故答案为：3或9．15．△ABC的高AD、BE所在的直线交于点M，若BM＝AC，求∠ABC的度数．【分析】分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，由AD垂直于BC，BE垂直于AC，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由一对对顶角相等，得到∠CAD＝∠MBD，根据一对直角相等，再由BM＝AC，利用AAS得出三角形BMD与三角形ACD全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得到三角形ABD为等腰直角三角形，可得出∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，同理利用AAS得出三角形ADC与三角形DBM全等，由全等三角形对应边相等得到AD＝BD，得出三角形ABD为等腰直角三角形，求出∠ABD＝45°，利用邻补角定义即可求出∠ABC＝135°．【解答】解：分两种情况考虑：当∠ABC为锐角时，如图1所示，∵AD⊥DB，BE⊥AC，∴∠MDB＝∠AEM＝90°，∵∠AME＝∠BMD，∴∠CAD＝∠MBD，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°；当∠ABC为钝角时，如图2所示，∵BD⊥AM，BE⊥AC，∴∠BDM＝∠BEC＝90°，∵∠DBM＝∠EBC，∴∠M＝∠C，在△BMD和△ACD中，，∴△BMD≌△ACD（AAS），∴AD＝BD，即△ABD为等腰直角三角形，∴∠ABD＝45゜，则∠ABC＝135゜．16．已知点P为线段CB上方一点，CA⊥CB，P A⊥PB，且P A＝PB，PM⊥BC于M，若CA＝1，PM＝4．求CB的长．【分析】根据全等三角形的判定得出△PMB≌△PNA，进而分类讨论得出答案即可．【解答】解：此题分以下两种情况：①如图1，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝3，∴BC＝7；②如图2，过P作PN⊥CA于N，∵P A⊥PB，∴∠APB＝90°，∵∠NPM＝90°，∴∠NP A＝∠BPM，在△PMB和△PNA中，，∴△PMB≌△PNA，∴PM＝PN＝4＝CM，BM＝AN＝5，可得BC＝9．综合上述CB＝7或9．17．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD＝AE，连接DE．（1）如图①，若∠B＝∠C＝35°，∠BAD＝80°，求∠CDE的度数；（2）如图②，若∠ABC＝∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，求∠BAD的度数；（3）当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝110°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E＝75°﹣18°＝57°，于是得到结论；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β，①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，根据题意列方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，∵∠BAD＝80°，∴∠DAE＝30°，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠CDE＝180°﹣35°﹣30°﹣75°＝40°；（2）∵∠ACB＝75°，∠CDE＝18°，∴∠E＝75°﹣18°＝57°，∴∠ADE＝∠AED＝57°，∴∠ADC＝39°，∵∠ABC＝∠ADB+∠DAB＝75°，∴∠BAD＝36°；（3）设∠ABC＝∠ACB＝y°，∠ADE＝∠AED＝x°，∠CDE＝α，∠BAD＝β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（1）﹣（2）得2α﹣β＝0，∴2α＝β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC＝x°+α，∴，（2）﹣（1）得α＝β﹣α，∴2α＝β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC＝x°﹣α，∴，（2）﹣（1）得2α﹣β＝0，∴2α＝β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE＝∠BAD．18.定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）图①是顶角为36°的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）（2）图③是顶角为45°的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数．（3）△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，则x所有可能的值为．【分析】（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线即可；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线即可；（3）分两种情况：AD为等腰三角形的腰或底作图即可得结论．【解答】解：（1）在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36°的等腰三角形的三分线；（2）在图③中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线．每个等腰三角形顶角的度数为：90°、135°、45°．故答案为：90°、135°、45°．（3）如下图作△ABC，①如图1：当AD＝AE时，∵2x+x＝30+30，∴x＝20．②如图2：当AD＝DE时，∵2x+x+30+30＝180．∴x＝40．所以x的所有可能的值为20°或40°．故答案为20°或40°．19．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AE交BC于点P，交DC的延长线于点E，点P为AE的中点．（1）求证：点P也是BC的中点；（2）若CB⊥AB，且DP＝，CD＝，AB＝4，求AP的长；（3）在（2）的条件下，若线段AE上有一点Q，使得△ABQ是等腰三角形，求AQ的长．【分析】（1）由平行线的性质得出∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，由点P为AE的中点，得出PE＝P A，由AAS证得△CEP≌△BAP，即可得出结论；（2）由CB⊥AB，AB∥CD，得出∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝3，由（1）得CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝5；（3）①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，则AN＝NQ，由S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，求出BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝，则AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，证明QB＝AQ＝QP，则AQ＝AP＝．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠CEP＝∠BAP，∠ECP＝∠ABP，∵点P为AE的中点，∴PE＝P A，在△CEP和△BAP中，，∴△CEP≌△BAP（AAS），∴PC＝PB，∴点P也是BC的中点；（2）解：∵CB⊥AB，AB∥CD，∴∠DCP＝∠ABP＝90°，在Rt△DCP中，CP＝＝＝3，由（1）得：CP＝PB＝3，在Rt△ABP中，AP＝＝＝5；（3）解：①当AQ＝AB时，AQ＝AB＝4；②当BA＝BQ时，过点B作BN⊥AQ于N，如图1所示：则AN＝NQ，S△ABP＝AB•BP＝AP•BN，即4×3＝5BN，∴BN＝，在Rt△ABN中，AN＝＝＝，∴AQ＝2AN＝；③当AQ＝QB时，如图2所示：∵AQ＝QB，∴∠QAB＝∠QBA，∵∠QAB+∠QPB＝90°，∠QBA+∠QBP＝90°，∴∠QPB＝∠QBP，∴QB＝QP，∴QB＝AQ＝QP，∴AQ＝AP＝；综上所述，△ABQ是等腰三角形，AQ的长为4或或．。
七年级数学下册专题第13讲等腰三角形重点、考点知识总结及练习
专题 第13讲等腰三角形知识点1 等腰三角形的相关概念---分类讨论求边角的值1.等腰三角形的两个腰相等，两个底角也相等.2.直角三角形30°的角所对的直角边等于斜边的一半.【典例】1.若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，求此三角形的底角.【解析】解：①如下图，当高在三角形内部时，12BD AB =，∴∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，②如下图，当高在三角形外部时，12BD AB =，则∠BAD=30°，∴∠BAC=150°，∴∠ABC=∠ACB=15°，所以此三角形的底角等于75°或15°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，以及含特殊角的直角三角形，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系（三角形内部，三角形的外部，三角形的边上），解题时注意需要分类讨论．2.如果一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，求这个等腰三角形的腰长.【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，根据题意，得2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13，此时底边长为13-12=1，满足三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当底边长为x+12时，根据题意，得2x+x+12=27，解得x=5，此时底边长为5+12=17，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13.【方法总结】已知等腰三角形的周长和两边之差来求等腰三角形的底或腰时，我们需要分类讨论，分为两种情况：一种是“腰-底=某个值”，第二种是“底-腰=某个值”，可将底或腰设为未知数，再根据等腰三角形的周长列出方程，求出三边以后根据三角形的三边关系进行验证，选择合理的数值.【随堂练习】1．（2017秋•洛阳期末）若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的顶角的度数为_____．【解答】解：在△ABC中，设∠A=x，∠B=x+30°，分情况讨论：当∠A=∠C为底角时，2x+（x+30°）=180°，解得x=50°，顶角∠B=80°；当∠B=∠C为底角时，2（x+30）+x=180°，解得x=40°，顶角∠A=40°．故这个等腰三角形的顶角的度数为80°或40°．故答案为：80°或40°．2．（2017秋•襄州区期末）在等腰△ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则该等腰三角形的底边长为______．【解答】解：根据题意，①当15是腰长与腰长一半时，AC+AC=15，解得AC=10，所以底边长=12﹣×10=7；②当12是腰长与腰长一半时，AC+AC=12，解得AC=8，所以底边长=15﹣×8=11．所以底边长等于7或11．故答案为：7或11．3．（2017秋•枣阳市期末）一个等腰三角形的周长为20，一条边的长为6，则其两腰之和为______．【解答】解：①底边长为6，则腰长为：（20﹣6）÷2=7，所以另两边的长为7，7，能构成三角形，7+7=14；②腰长为6，则底边长为：20﹣6×2=8，能构成三角形，6+6=12．故答案为：12或144．（2017秋•诸暨市期末）已知等腰三角形的周长为8，其中一边长为2，则该等腰三角形的腰长为_____．【解答】解：①2是腰长时，底边为：8﹣2×2=4，三角形的三边长分别为2、2、4，∵2+2=4，∴不能组成三角形，②2是底边长时，腰长为：×（8﹣2）=3，三角形的三边长分别3、3、2，能组成三角形，综上所述，该等腰三角形的腰长是3．故答案为：3．5．（2018春•李沧区期中）若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则其顶角度数为_______°．【解答】解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+48°=138°；②如图1，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣48°=42°．故答案为：42或138．6．（2018春•邗江区期中）已知等腰三角形的一条边等于4，另一条边等于9，那么这个三角形的第三边是_____．【解答】解：当4为底时，其它两边都为9，4、9、9可以构成三角形；当4为腰时，其它两边为4和9，因为4+4=8＜9，所以不能构成三角形．故答案为：9．知识点2 等腰三角形的性质---边角关系等腰三角形的两底角相等（简称“等边对等角”），即在△ABC，AB=AC，可得∠B=∠C.【典例】1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的大小.【解析】解：设∠ACE=x，∠ECD=y，∠DCB=z，∵BC=BE，+，∴∠CED=∠ECB=y z∵AC=AD，+，∴∠ADC=∠ACD=x y+-，在△CDB中，∠B=x y z+-，在△ACE中，∠A=y z x在△ABC中，∠ACB=90°，+-++-=90°，∴∠A+∠B=90°，即x y z y z x∴2y=90°，解得y=45°．于是∠DCE=45°．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质，解答此题的关键是建立起各角之间的关系，结合图形列出方程进行解答．2.如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC 与△EBC的周长分别是40，24，求AB的长.【解析】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∵△ABC的周长=AB+AC+BC，△EBC的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC，∴△ABC的周长﹣△EBC的周长=（AB+AC+BC）-（AC+BC）=AB，∴AB=40﹣24=16．【方法总结】本题考查了等腰三角形的性质和垂直平分线上的性质，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，得出相等的线段，把三角形的周长表示出来，再利用相等的线段进行转化求解. 【随堂练习】1．（2017春•成华区期末）如图△ABC中，AB=AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE=CD，CF=BD．若∠EDF=50°，则∠A的度数为_____．【解答】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BDE与△CEF中，∴△BDE≌△CFE．∴∠BDE=∠CFD，∵∠EDF=50°，∴∠BDE+∠CDF=∠CDF+∠CFD=130°，∴∠C=50°∵AB=AC，∴∠C=∠B=50°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，故答案为：80°．2．（2017秋•浦东新区校级期末）如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAD=30°，AD=AE，求∠EDC的度数．【解答】解：设∠EDC=x，∠B=∠C=y，∠AED=∠EDC+∠C=x+y，又因为AD=AE，所以∠ADE=∠AED=x+y，则∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x+y，又因为∠ADC=∠B+∠BAD，所以2x+y=y+30，解得x=15．所以∠EDC的度数是15°．知识点3等腰三角形的性质---三线合一等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.例：已知△ABC是等腰三角形，AB=AC，①AD⊥BC ②BD=CD ③AD平分∠BAC,上述三个条件，任意满足一个，可得到另外两个.即①⇒②，③；②⇒①，③；③⇒①，②.【典例】1.如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边上的一点，且∠CBE=∠CAD．求证：BE⊥AC．【解析】证明：∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴∠CAD+∠C=90°，又∵∠CBE=∠CAD，∴∠CBE+∠C=90°，∴∠BEC=90°，即BE⊥AC．【方法总结】本题主要是利用等腰三角形的三线合一，根据三线合一的性质可知，等腰三角形底边上的中线也是底边的高线.注：等腰三角形常作的辅助线是，过顶角的顶点向底边作垂线，再利用三线合一得到一些相等的关系式，当题目中给出等腰三角形底边上的中点时，常常将等腰三角形的顶角顶点和它直接相连.【随堂练习】1．（2017秋•莘县期末）如图，在等腰三角形△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，在BC的延长线上取一点E，使CE=CD，连接DE，求证：BD=DE．【解答】证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB，∵BD平分∠ABC，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE，∵∠ACB=∠E+∠CDE，∴∠E=∠ACB，∴∠E=∠DBE，∴BD=DE．2．（2017秋•东城区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥于点D，AM是△ABC的外角∠CAE的平分线．（1）求证：AM∥BC；（2）若DN平分∠ADC交AM于点N，判断△ADN的形状并说明理由．【解答】证明：（1）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠BAD=∠CAD=．∵AM平分∠EAC，∴∠EAM=∠MAC=．∴∠MAD=∠MAC+∠DAC==．∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴AM∥BC．（2）△ADN是等腰直角三角形，理由是：∵AM∥AD，∴∠AND=∠NDC，∵DN平分∠ADC，∴∠ADN=∠NDC=∠AND．∴AD=AN，∴△ADN是等腰直角三角形．知识点4等腰三角形的判定与性质1.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称“等角对等边”）.2.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.3. 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.【典例】1.如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有_______ 个．【答案】9【解析】解：①以AB作为等腰三角形的底边，则符合条件的C一定在线段AB的垂直平分线上，且处于格点上，图中红线上的点，共5个；②以AB作为等腰三角形的一个腰，当点A是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在紫色线上，共有2个，当点B是等腰三角形的顶角顶点时，符合条件的点在蓝色线上，共有2个，综合①②可知，符合条件的点C共有9个.故答案是：9.【方法总结】本题考查的等腰三角形的判定，利用的是数形结合思想，当已知两个格点找寻第三个格点时，需要分类讨论，将这条边作为底和作为腰时可以构建的等腰三角形的个数之和，即为所求的点的个数.2.如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间，当t=_____________s时，△POQ是等腰三角形．【答案】10或103【解析】解：当PO=QO时，△POQ是等腰三角形；如图1所示：当P点在O的左侧时，∵PO=AO﹣AP=10﹣2t，OQ=1t∴当PO=QO时，10﹣2t=t；解得t=103时，△POQ是等腰三角形；即当t=103如图2所示：当P点在O的右侧，△POQ是等腰三角形，∵∠BOC=60°，∴△POQ是等边三角形，∴PO=QO=PQ∵PO=AP﹣AO=2t﹣10，OQ=1t；∴2t﹣10=t；解得t=10；故答案为：10或10．3【方法总结】本题主要考查了等腰三角形的性质，由等腰三角形的两个腰相等得出方程是解决问题的关键，注意本题分类讨论时，由于∠POQ=60°，可得出△POQ是等边三角形，再根据PO=QO进行求解．3.如图，在△ABC中，AB=AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．（1）求证：DE=CE．（2）若∠CDE=35°，求∠A的度数．【解析】证明：（1）∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD=∠ECD．∵DE∥BC，∴∠EDC=∠BCD，∴∠EDC=∠ECD，∴DE=CE．（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，∴∠ACB=2∠ECD=70°．∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．【方法总结】本题主要考查的是“平行+角分线” 模型，在之后学习菱形证明题时也会用到，需记牢.模型如下：如图所示，①∠1=∠2；②AC∥BD;③AB=AC（△ABC是等腰三角形）上述条件任意两个成立则第三个也成立.即①②⇒③；①③⇒②；②③⇒①.【随堂练习】1．（2018•安徽模拟）如图，在△ABC中，BC=4，BD平分∠ABC，过点A作AD⊥BD于点D，过点D作DE∥CB，分別交AB、AC于点E、F，若EF=2DF，则AB的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【解答】解：如图，延长AD，BC交于点G，∵BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，∴∠BAD=∠G，∴AB=BG，∴D是AG的中点，又∵DE∥BG，∴E是AB的中点，F是AC的中点，∴DE是△ABG的中位线，EF是△ABC的中位线，∴EF=BC=2，又∵EF=2DF，∴DF=1，∴DE=3，∴BG=2DE=6，∴AB=6，故选：B．2．（2018•河东区二模）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_____．【解答】解：过E作EG∥AB，交AC于G，则∠BAE=∠AEG，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴∠CAE=∠AEG，∴AG=EG，同理可得，EF=CF，∵AB∥GE，BC∥EF，∴∠BAC=∠EGF，∠BCA=∠EFG，∴△ABC∽△GEF，∵∠ABC=90°，AB=6，BC=8，∴AC=10，∴EG：EF：GF=AB：BC：AC=3：4：5，设EG=3k=AG，则EF=4k=CF，FG=5k，∵AC=10，∴3k+5k+4k=10，∴k=，∴EF=4k=．故答案为：．3．（2017春•平南县期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB上的点，BD=CD=5，则AD=______．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∵BD=DC，∴∠B=∠DCB，∵∠B+∠A=90°，∠DCB+∠DCA=90°，∴∠A=∠DCA，∴AD=DC=5，故答案为5．综合运用1. 如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1．已知A、B是两格点，若△ABC为等腰三角形，且S△ABC=1.5，则满足条件的格点C有________个.【答案】2【解析】解：如上图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合△ABC为等腰三角形的C点有4个．因为S△ABC=1.5，所以满足条件的格点C只有两个，如图中蓝色的点．故答案为：2．2.如图，C是△ABE的BE边上一点，F在AE上，D是BC的中点，且AB=AC=CE，下列结论：①AD⊥BC；②CF⊥AE；③∠1=∠2；④AB+BD=DE其中正确的结论有_________．【答案】①④【解析】解：①∵D是BC的中点，AB=AC，∴AD⊥BC，故①正确；②∵虽然AC=CE，F在AE上，但F点不一定是AE的中点，∴无法证明CF⊥AE，故②错误；③由②可知，CF不一定垂直于AE，则无法证明∠1=∠2，故③错误；21④∵D 是BC 的中点，∴BD=DC ，∵AB=CE ，∴AB+BD=CE+DC=DE ，故④正确．故其中正确的结论有①④．故答案为：①④．3.如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE=AF ，求证：DE=DF ．【解析】证明：连接AD ，∵AB=AC ，D 是BC 的中点，∴∠EAD=∠FAD ，在△AED 和△AFD 中，AE AF EAD FAD AD AD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠，∴△AED ≌△AFD （SAS ），∴DE=DF ．4.如图，AD∥BC，∠BAC=70°，DE⊥AC于点E，∠D=20°．（1）求∠B的度数，并判断△ABC的形状；（2）若延长线段DE恰好过点B，试说明DB是∠ABC的平分线．【解析】解：（1）∵DE⊥AC于点E，∴∠AED=90°，∵∠D=20°，∴∠CAD=90°-∠D =90°-20°=70°，∵AD∥BC，∴∠C=∠CAD=70°，∵∠BAC=70°，∴∠BAC=∠C，∠B=180°-∠BAC- ∠C =40°，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形.（2）∵延长线段DE恰好过点B，DE⊥AC，∴BD⊥AC，23∵△ABC 是等腰三角形，∴DB 是∠ABC 的平分线．5.已知等腰三角形△ABC ，AB=AC ，一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．【解析】解：如图，在△ABC 中，AB=AC ，且AD=BD ．设AB=AC=x ，BC=y ，（1）当AC+AD=15，BD+BC=12时， 根据题意得，152x x +=，122x y +=， 解得x=10，y=7．（2）当AC+AD=12，BC+BD=15时， 根据题意得，122x x +=，152x y +=， 解得x=8，y=11，故得这个三角形的三边长分别为10，10，7或8，8，11．6.如图，O 是△ABC 的∠ABC ，∠ACB 的角平分线的交点，OD ∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若BC=16，求△ODE 的周长.【解析】解：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO=∠DBO，又OD∥AB，∴∠ABO=∠DOB，∴∠DBO=∠DOB，∴OD=BD，同理OE=CE，∵BC=16，则△ODE的周长为：OD+DE+OE=BD+DE+EC=BC=16．。
等腰三角形分类思想专题复习
分析：存在三种情况①AB＝AC；②BA＝BC；③CA＝CB．详解：①当AB＝AC 时，以点A为圆心，AB长为半径画圆与直线l的交点C3即为所求点；②当BA＝ BC时，以点B为圆心，AB长为半径画圆与直线l的交点C1,C2即为所求点；③当 CA＝CB时，做线段AB的垂直平分线与直线l的交点C4即为所要求点.所以使 ΔABC为等腰三角形这样的C 点有4个
分类 思想
4、等腰三角形腰两长边的为长3，分底别为边32长和为4 4，则周 长为__1_01_1或0_0_1_1_
腰长为34，底边长为42，周长为34+34+42=10 腰腰长长为为24，，底底边边长长为为43，，三周边长不为能4+构4+成3三=1角1 形
腰
分类讨论思想
当边的身份不明确时
底
注意：根据三角形的三边关系判断三边是 否能构成三角形
例7 在ΔABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在直线 相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____.
分析：本题中AB的中垂线与AC直线的交点不确定，交点可能在边AC上，也 可能在其延长线上，故需进行分类讨论. 详解：按照题意可画出如图1和如图2两种情况的示意图.
如图1，当交点在腰AC上时，ΔABC是锐角三角形，此时可求得∠A=40°， 所以
分类 思想
5、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角
为40°,则其顶角为__5_0__或___1_3_0__度
A
A
A
40°
40°
B
CB
C
B
C
分类讨论思想
等腰锐角三角形
三角形形状不明确，对三角形 的形状进行分类
等腰三角形动点问题分类讨论题型
等腰三角形动点问题分类讨论题型
1. 等腰三角形底边动点问题，哎呀，就像一只小老鼠在底边上来回跑。
比如在一个等腰三角形 ABC 中，底边 BC 上有一个动点 P，那这个点 P 移
动时会带来什么变化呢？这可太有趣啦！
2. 等腰三角形腰上的动点，就像是一个顽皮的小精灵在腰上跳来跳去呢。
像在等腰三角形 DEF 中，腰 DE 上有个动点 Q，它的跳动会如何影响三角形
的形状和性质呀？
3. 动点在等腰三角形内部的情况，这岂不是像在一个神秘的城堡里探索。
比如在等腰三角形GHI 内部有个动点R，它的每一步都充满了未知和惊喜呢，不是吗？
4. 等腰三角形外部的动点呢，那是不是像在城堡外面徘徊的勇士。
假设在等腰三角形 JKL 外面有个动点 S，它又会引发什么样的奇妙故事呀？
5. 两个动点同时在等腰三角形上，哇哦，这就像是一场精彩的双人舞。
想象一下在等腰三角形 MNO 上有两个动点 T 和 U，它们的互动可真是太让人
期待啦！
6. 动点影响等腰三角形角度问题，这好比是一个魔法在改变角度呢。
要是在等腰三角形 PQR 中，一个动点改变了某个角的大小，那会带来怎样的连锁
反应呀？
7. 动点与等腰三角形周长的关系，这不就像是在给三角形量体裁衣嘛。
在等腰三角形 STU 中，动点会怎么影响它的周长呢，你不想知道吗？
8. 动点和等腰三角形面积的联系，就如同是在给三角形的领地画地图。
像在等腰三角形 VWX 中，动点对面积有怎样的改变呢，想想都觉得刺激呀！
我觉得研究等腰三角形动点问题分类讨论题型真是充满了挑战和乐趣，能让我们更深入地理解几何的奥秘呢！。
北师大版八年级数学下册期末复习专题训练(二) 分类讨论在等腰三角形中的五种思路
8．如图2－ZT－1，直线m与直线n交于点B，m，n所夹锐角为 50°，A是直线m上的点，在直线n上寻找一点C，使△ABC是 等腰三角形，这样的点C有___4_角形时分三种情况讨论：①若点C是顶角的顶 点，则有BC＝AC，即点C在线段AB的垂直平分线上，即点C为线段AB的 垂直平分线与直线n的交点，只有一个；②若点A是顶角的顶点，则有AC ＝AB，由两直线所夹锐角为50°，可知此时点C在直线n上，只有一个； ③若点B是顶角的顶点，则有AB＝CB，此时点C在直线n上，有两个．综 上可知，满足条件的点C有4个．故答案为4.
专题训练(二)
分类讨论在等腰三角形中的五种思路
思路一 关于边长不确定的讨论
1．等腰三角形两边的长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为( C )
A．16 cm
B．17 cm
C．20 cm
D．16 cm或20 cm
[解析] C 已知等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，若腰长是4 cm， 则三角形的三边长分别是4 cm，4 cm，8 cm，4＋4＝8(cm)，不满足三角 形的三边关系，舍去；若腰长是8 cm，则三角形的三边长分别是8 cm，8 cm，4 cm，此时满足三角形的三边关系，三角形的周长是20 cm.故选C.
思路四 关于中线的位置不确定的讨论
11．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和 15两部分，求这个三角形的三边长． 解：如图，在△ABC 中，AB＝AC，且 AD＝BD.设 AB＝x，BC＝y， (1)若 AC＋AD＝15，BC＋BD＝12， (2)则x2x2＋ ＋xy＝＝1125，，解得xy＝＝71.0，
3．已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则另外两边的
长度分别是( C )
九年级数学中考复习 等腰三角形中的分类讨论 专题提升训练
九年级数学中考复习《等腰三角形中的分类讨论》专题提升训练（附答案）一．选择题1．一个等腰三角形的两条边分别是2cm和5cm，则第三条边的边长是（）A．2cm B．5cm C．2cm或5cm D．不能确定2．一个等腰三角形的一个内角为70°，则它的顶角的度数为（）A．40°B．55°C．70°D．40°或70°3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y 轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．5个B．6个C．7个D．8个4．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有（）个．A．6B．8C．10D．125．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，那么这个等腰三角形的底角为（）A．22°50′B．67.5°C．22°50′或67°50′D．22.5°或67.5°6．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x﹣2，4x﹣3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23B．19.5或23C．9或23D．9或19.5或23二．填空题7．已知（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，则以a，b为两边长的等腰三角形的周长为．8．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，5）、（5，1），若点C在x轴上，且A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C点共有个．9．如图，△ABC，∠C＝90°，将△ABC沿DE折叠，使得点B落在AC边上的点F处，若∠CFD＝60°且△AEF为等腰三角形，则∠A的度数为．10．等腰三角形一腰上的中线将这个三角形的周长分成了12和18两部分，这个三角形的底边长为．11．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，BC＝30cm，一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当P点移动秒时，P A与△ABC的腰垂直．12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，动点D从点A出发，沿线段AB以每秒2个单位的速度向B运动，过点D作DF⊥AB交BC所在的直线于点F，连结AF，CD．设点D运动时间为t秒．当△ABF是等腰三角形时，则t＝秒．13．如图，四边形OABC是一张放在平面直角坐标系中的正方形纸片，点O与坐标原点重合，点A在x轴上，点C在y轴上，OC＝5，点E在边BC上，点N的坐标为（3，0），过点N且平行于y轴的直线MN与EB交于点M．现将纸片折叠，使顶点C落在MN上的点G处，折痕为OE．在x轴正半轴上存在一点P，使得以P，O，G为顶点的三角形为等腰三角形，则点P的坐标为．14．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝7AD＝7，∠B＝45°，等腰直角三角形EMN中，含45°角的顶点E放在BC边上移动，直角边EM始终经过点A，斜边EN 与CD交于点F，若△ABE为等腰三角形，则CF的长为．三．解答题15．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝1，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求三角形另外两边的长．16．如图矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．在△ABC中，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交线段BC于点F．（1）如图1，当∠BAC＝90°，DE∥AC时．①AE和BC有怎样的位置关系，为什么？②若BF＝8，EF＝4，求线段AB的长．（2）如图2，若∠C＝3∠B，折叠后要使△DEF和△AFC，这两个三角形其中一个是直角三角形而另一个是等腰三角形．求此时∠B的度数．18．如图，直线y＝﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B和点C，点A的坐标为（8，0），点P （x，y）是直线上第一象限内的一个动点．（1）求△OP A的面积S与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）当△OP A的面积为10时，求点P的坐标；（3）在直线BC上是否存在点M，使以O，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．19．综合与探究如图1，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于A（2，0），B（8，0）两点与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式．（2）E是线段BC上的动点．过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当EF的长度最大时，求E点坐标．（3）点P从点B出发沿BC以1个单位长度/秒的速度向终点C运动，同时点Q从点O 出发以相同的速度沿x轴的正半轴向终点B运动，点Q到达终点B时，两点同时停止运动连接PQ，当△BPQ是等腰三角形时，请求出运动的时间．20．如图1，点C是半圆AB上一点（不与A、B重合），OD⊥BC交弧BC于点D，交弦BC 于点E，连接AD交BC于点F．（1）如图1，如果AD＝BC，求∠ABC的大小；（2）如图2，如果AF：DF＝3：2，求∠ABC的正弦值；（3）连接OF，⊙O的直径为4，如果△DFO是等腰三角形，求AD的长．参考答案一．选择题1．解：分两种情况：当等腰三角形的腰长为2cm，底边长为5cm时，∵2+2＝4＜5，∴不能组成三角形；当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为2cm时，∴等腰三角形的三边长分别为5cm，5cm，2cm，综上所述：等腰三角形的第三条边的边长是5cm，故选：B．2．解：分两种情况：当等腰三角形的一个底角为70°时，另一个底角也是70°，∴等腰三角形的顶角＝180°﹣2×70°＝40°；当等腰三角形的顶角为70°时，∴等腰三角形的两个底角都＝×（180°﹣70°）＝55°；综上所述：等腰三角形的顶角的度数为40°或70°，故选：D．3．解：（1）当AB是底边时，作AB的垂直平分线分别与AC，x轴负半轴相交，共两个交点，都符合条件；（2）当AB是腰时，①以点A为圆心AB长为半径画圆分别与y轴正半轴，负半轴，x 轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件；②以点B为圆心AB长为半径画圆分别与x轴正半轴，负半轴，y轴负半轴相交，共三个交点，都符合条件，因此共有8个符合条件的点．故选：D．4．解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交网格线的格点为C1，C2，当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交网格线的格点为C3，C4，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交网格线的格点为C5，C6，C7，C8，综上所述：使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有8个，故选：B．5．解：分两种情况：当等腰三角形是锐角三角形时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝45°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝67.5°，∴这个等腰三角形的底角为67.5°；当等腰三角形是钝角三角形时，如图：∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝45°，∴∠BAC＝180°﹣∠DAB＝135°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝22.5°，∴这个等腰三角形的底角为22.5°；综上所述：这个等腰三角形的底角为22.5°或67.5°，故选：D．6．解：①当3x﹣2是底边时，则腰长为：4x﹣3，7，∴4x﹣3＝7，∴x＝2.5，∴3x﹣2＝5.5，∴等腰三角形的周长＝7+7+5.5＝19.5；②当4x﹣3是底边时，则腰长为：3x﹣2，7，∴3x﹣2＝7，∴x＝3，∴4x﹣3＝9，∴等腰三角形的周长＝7+7+9＝23；③当7是底边时，则腰长为：3x﹣2，4x﹣3，∴3x﹣2＝4x﹣3，∴x＝1，∴3x﹣2＝1，4x﹣3＝1，∵1+1＜7，∴不能构成三角形．则三角形的周长为19.5或23．故选：B．二．填空题7．解：∵（a﹣4）2+|b﹣3|＝0，∴a﹣4＝0，b﹣3＝0，∴a＝4，b＝3，分两种情况：当等腰三角形的腰长为4，底边长为3时，∴等腰三角形的周长＝4+4+3＝11；当等腰三角形的腰长为3，底边长为4时，∴等腰三角形的周长＝3+3+4＝10；综上所述：等腰三角形的周长为11或10，故答案为：11或10．8．解：如图：分三种情况：当BA＝BC时，以点B为圆心，以BA长为半径作圆，交x轴于点C1，C2，当AB＝AC时，以点A为圆心，以AB长为半径作圆，交x轴于点C3，C4，当CA＝CB时，作AB的垂直平分线，交x轴于点C5，综上所述：若点C在x轴上，且A，B，C三点构成的三角形是等腰三角形，则这样的C 点共有5个，故答案为：5．9．解：当AE＝AF时，∠AFE＝∠AEF＝（180°﹣∠A），∵∠B＝∠EFD＝90°﹣∠A，∠CFD＝60°，∴∠AFD＝120°，∴（180°﹣∠A）+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝40°，当AF＝EF时，∠AFE＝180°﹣2∠A，则180°﹣2∠A+90°﹣∠A＝120°，∴∠A＝50°．当AE＝EF时，点F与C重合，不符合题意，综上所述，∠A＝40°或50°，故答案为：40°或50°．10．解：如图：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，∴AD＝DC＝AC，分两种情况：当时，解得：，∴这个三角形的底边长为14；当时，解得：，∴这个三角形的底边长为6；综上所述：这个三角形的底边长为14或6，故答案为：14或6．11．解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，分两种情况：当P A⊥AC时，如图：∴∠CAP＝90°，∴CP＝2AP，∠BAP＝∠BAC﹣∠P AC＝30°，∴∠B＝∠BAP＝30°，∴BP＝AP，∴CP＝2BP，∵BC＝30cm，∴BP＝BC＝10（cm），∴t＝10÷2＝5，∴当P点移动5秒时，P A与△ABC的腰AC垂直；当AP⊥AB时，∴∠BAP＝90°，∴BP＝2AP，∠CAP＝∠BAC﹣∠P AB＝30°，∴∠C＝∠CAP＝30°，∴CP＝AP，∴BP＝2CP，∵BC＝30cm，∴BP＝BC＝20（cm），∴t＝20÷2＝10，∴当P点移动10秒时，P A与△ABC的腰AB垂直；综上所述：当P点移动5或10秒时，P A与△ABC的腰垂直，故答案为：5或10．12．解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，由勾股定理得：BC＝＝＝6．当F A＝FB时，DF⊥AB，∴AD＝AB＝×10＝5，∴t＝；当AF＝AB＝10时，∠ACB＝90°，则BF＝2BC＝12，∴AB•DF＝BF•AC，即×10×DF＝×12×8，解得：DF＝，由勾股定理得：AD＝＝＝，∴t＝÷2＝；当BF＝AB＝10时，∵BF＝10，BC＝6，∴CF＝BF﹣BC＝10﹣6＝4，由勾股定理得：AF＝＝＝4，∵BF＝BA，FD⊥AB，AC⊥BF，∴DF＝AC＝8，∴AD＝＝＝4，∴t＝4÷2＝2；综上所述，△ABF是等腰三角形时，t的值为或或2．故答案为：或或2．13．解：由题意得，C（0，5），N（3，0），∴ON＝3，由折叠得，OG＝OC＝5，∵∠ONG＝90°，∴NG＝＝＝4，∴G（3，4），设P（x，0），当x＜0时，如图4，由OP＝OG＝5，得x＝﹣5，∴P（﹣5，0）；当x＞0时，如图5，PO＝PG＝x，则PN＝x﹣3，∵∠PNG＝90°，∴PG2＝PN2+GN2，∴x2＝（x﹣3）2+42，解得x＝，∴P（，0）；如图6，OP＝OG＝5，∴P（5，0）；如图7，PG＝OG，∵GN⊥PO，∴PN＝ON＝3，∴OP＝6，∴P（6，0）．综上所述，点P的坐标为（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．故答案为：（﹣5，0）或（，0）或（5，0）或（6，0）．14．解：如图，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝7AD＝7，∴BM＝（BC﹣AD）＝（7﹣）＝3，∠C＝∠B＝45°，∵∠B＝45°，∴AB＝BM×＝6，①如图1，AE＝BE时，∵∠B＝45°，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝3，∴CE＝BC﹣BE＝7﹣3＝4，又∵∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣90°﹣45°＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CF＝CE＝4；②如图2，AB＝BE时，∵∠B＝45°，∴∠AEB＝（180°﹣∠B）＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°，∴∠CFE＝180°﹣∠C﹣∠CEF＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，∴∠CEF＝∠CFE，∴CF＝CE，∵BC＝7，AB＝6，∴CF＝CE＝BC﹣BE＝7﹣6；③如图3，AB＝AE时，∠AEB＝∠B＝45°，∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△ABE、△CEF都是等腰直角三角形，∴BE＝AB＝6，∴CE＝BC﹣BE＝7﹣6＝，∴CF＝CE＝×＝2；综上所述，CF的长为4或7﹣6或2．故答案为：4或7﹣6或2．三．解答题15．（1）证明：Δ＝（k+2）2﹣4×2k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，所以此方程是有实根．（2）①若b＝c，则此方程有两个相等实根，此时k﹣2＝0，则k＝2，原方程为：x2﹣4x+4＝0，x1＝x2＝2，∴另外两边长为2和2，②若a＝c，则a＝1是方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的根，∴12﹣（k+2）+2k＝0，∴k＝1，原方程为x2﹣3x+2＝0，x1＝1，x2＝2，因为以1、1、2为边不能构成三角形．由①②得，三角形另外两边长2，2．16．解：设AP＝x，则PD＝4﹣x，∵PE⊥BP，∴翻折后，PE⊥BB’，∵矩形ABCD中，∠A＝90°，AB＝2，∴BP＝＝，①若B'P＝PD即BP＝PD，∴＝4﹣x，解得：x＝；②若B'P＝B'D，过B'作B'F⊥AD于F，则PF＝DF＝（4﹣x），又∵B'P＝BP，∠A＝∠B'FP＝90°，∠APB＝∠B'PF，∴△ABP≌△FB'P（AAS），∴AP＝PF，即x＝（4﹣x），解得：x＝；③若PD＝B'D，同②可得△ABP≌△FB'P，∴PF＝AP＝x，B'F＝AB＝2，∴FD＝4﹣2x，PD＝B'D＝4﹣x，在Rt△FB'D中，B'D2＝B'F2+FD2，即（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+22，整理，得：3x2﹣8x+4＝0，解得：x＝2或x＝，综上所述，AP的长为或或或2．17．解：①AE垂直BC，理由如下：由折叠可知，∠B＝∠E，∵DE∥AC，∴∠E＝∠EAC，∵∠DFE＝∠AFC，∴∠EDF＝∠C，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠C＝90°，∴∠E+∠EDF＝90°，∴∠DFE＝90°，∴AE⊥BC；②设BD＝x，则DF＝8﹣x，由折叠可知，DE＝BD＝x，在Rt△DEF中，DE2＝DF2+EF2，∴x2＝（8﹣x）2+42，解得x＝5，∴BD＝5，DF＝3，∵∠B＝∠E，∴tan∠E＝＝，∴AF＝6，在Rt△ABF中，AB＝＝10；（2）∵∠C＝3∠B，∴设∠B＝α，则∠C＝3α，由折叠可知，∠E＝∠B＝α，当∠DFE＝90°时，△DEF是直角三角形，则△AFC是等腰三角形，∴∠C＝45°，∴∠B＝15°；当∠FDE＝90°时，△DFE是直角三角形，则△ACF是等腰三角形，∴∠DFE＝90°﹣α，∴∠AFC＝90°﹣α，当AC＝FC时，2（90°﹣α）+3α＝180°，此时α＝0°，不符合题意，舍去；当AF＝AC时，3α＝90°﹣α，此时α＝22.5°，∴∠B＝22.5°；当AF＝FC时，3α+3α+90°﹣α＝180°，此时α＝18°，∴∠B＝18°；当∠E＝90°时，此时∠B＝90°，∠C＝270°，不成立；当∠C＝90°时，△ACF是直角三角形，此时△DEF不能是等腰三角形，否则AE与BC 边没有交点；当∠AFC＝90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠E＝45°，∴∠B＝45°，此时∠C＝135°，与题意不符合，不成立；当∠F AC＝90°时，△ACF是直角三角形，则△DEF是等腰三角形，∴∠AFC＝90°﹣3α，∴∠DFE＝90°﹣3α，当DF＝EF时，α+α+90°﹣3α＝180°，此时α＝﹣90°，不成立；当DF＝DE时，90°﹣3α＝α，此时α＝22.5°，∴∠B＝22.5°；当DE＝EF时，90°﹣3α＝（180°﹣α），此时α＝0°，不成立；当DE＝EF时，∠C＝3α＝90时，α＝30°，此时△DEF是等腰三角形，△ACF是直角三角形；综上所述，∠B的值为15°、18°、22.5°、30°．18．解：（1）∵点P在直线y＝﹣x+10上，且点P在第一象限内，∴x＞0且y＞0，即﹣x+10＞0，解得，0＜x＜10，∵点A的坐标为（8，0），∴OA＝8，∴S＝•OA•y＝×8（﹣x+10），即S＝﹣4x+40，自变量的取值范围是：0＜x＜10；（2）当S＝10时，﹣4x+40＝10，解得x＝，把x＝代入y＝﹣x+10，得x＝，∴P（）；（3）存在，理由：令y＝0，则﹣x+10＝0，解得：x＝10，∴点B（10，0），点M在直线y＝﹣x+10上，设M（m，﹣m+10），点O（0，0），B（10，0），当OB＝OM时，102＝m2+（﹣m+10）2，解得：m1＝0，m2＝10（不合题意，舍去），∴M（0，10）；当OB＝BM时，102＝（10﹣m）2+（m﹣10）2，解得：，，∴M（10﹣5，5）或（10+5，﹣5）；当OM＝BM时，m2+（﹣m+10）2＝（10﹣m）2+（m﹣10）2，解得：m＝5，∴M（5，5）；综上所述，M（5，5）或（0，10）或（10﹣5，5）或（10+5，﹣5）．19．解：（1）把A（2，0），B（8，0）代入抛物线y＝ax2+bx+6，得：，解得：，∴抛物线的表达式为：；（2）设直线BC的函数表达式是y＝kx+6，∵直线BC过点B（8，0），∴0＝8k+6，解得，∴直线BC的函数表达式是．设点E的坐标是，∵EF⊥x轴，∴点F的坐标是，∴EF＝（﹣m+6）﹣（m+6）＝﹣3m＝﹣+6，∵﹣＜0，∴当m＝4时，EF取最大值6，此时E点坐标为（4，3）；（3）设运动的时间为t秒，则BP＝OQ＝t，∴BQ＝OB﹣OQ＝8﹣t．①当PQ＝PB时，过点P作PD⊥QB于D，如图，∵点C的坐标是（0，6），点B（8，0），∴OC＝6，OB＝8，∴CB＝＝10．∵PQ＝PB，PD⊥QB，∴BD＝BQ＝（8﹣t）．∵PD⊥OB，OC⊥OB，∴OC∥PD，∴，即，∴；②当QP＝QB时，过Q作QE⊥PB于E，如图，∵QP＝QB，QE⊥PB，∴BE＝BP＝t，∵∠EBQ＝∠OBC，∠BEQ＝∠BOC＝90°，∴△BEQ∽△BOC，∴，∴，∴；③当PB＝QB时，如图，则8﹣t＝t，解得：t＝4．综上所述，当t的值为4或或时，△PBQ为等腰三角形．20．解：（1）连接OC，如图，∵AD＝BC，∴，∴∠AOD＝∠BOC．∴∠AOC＝∠BOD．∵OD⊥BC，∴∠COD＝∠BOD，∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD．∵∠COD+∠BOD+∠AOC＝180°∴∠AOC＝60°．∴∠ABC＝∠AOC＝30°；（2）连接AC，如图，∵OD⊥BC，∴E是BC中点，∵OA＝OB，∴OE∥AC，AC＝2OE，∵AF：DF＝3：2，∴AC：DE＝AF：DF＝3：2．设AC＝3x，则DE＝2x，∴OE＝x，∴OD＝OB＝x．∴sin∠ABC＝OE：OB＝；（3）①当DF＝OF时，如图，∵FE⊥DO，∴DE＝OE＝OD＝1，∴AC＝2OE＝2，BE＝＝．∴CE＝BE＝．∴BC＝2BE＝2．∵OD∥AC，∴CF：EF＝AC：DE＝AF：DF＝2：1．∴EF＝CE＝．∴DF＝＝，∴AF＝2DF＝．∴AD＝AF+DF＝2；②当DF＝OD＝2时，如图，设OE＝x，则DE＝2﹣x，AC＝2x，∵OD∥AC，∴DF：AF＝DE：AC，∴AF＝．∴AD＝．过点O作OH⊥AD于H，则AD＝2DH．在△DHO和△DEF中，，∴△DHO≌△DEF（AAS）．∴DH＝DE，∴AD＝2DE，∴．解得：或（舍去），∴AD＝2DE＝﹣1．综上所述，AD长或2．。
等腰三角形分类讨论专题复习
等腰三角形分类讨论专题复习等腰三角形分类讨论一、等腰三角形的分类等腰三角形可以按照边、角、外角、高、中线等方式进行分类。
具体分类如下：1.边分类：指等腰三角形两边的长度是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
2.角分类：指等腰三角形两个底角是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
3.外角分类：指等腰三角形外角的大小是否相等，分为等腰三角形和非等腰三角形。
4.高分类：指等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角，分为等腰三角形和非等腰三角形。
5.中线分类：指等腰三角形的一腰上的中线分三角形的周长为两部分，分为等腰三角形和非等腰三角形。
6.中垂线分类：指等腰三角形的一腰上的中垂线与另一腰的夹角，分为等腰三角形和非等腰三角形。
思考题：在ABC三边所在的直线上找一点D，使得ABD 为等腰三角形，画图说明点D所在的位置。
二、练1.若一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是多少？2.已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于多少？3.已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于多少？4.已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为多少？5.等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长。
6.在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为多少？7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为多少？8.等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是多少？9.若一个等腰三角形有一个角为100°，则另两个角为多少？10.一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长。
11.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30°，求这个三角形的三个内角的度数。
初中数学重难点突破：等腰三角形中的分类讨论问题
等腰三角形中的分类讨论问题典例讲解：分类讨论求角度例1：等腰三角形有一个内角是50°，则其余两个内角的度数为 .解：当50°角是顶角时，则底角为（180°-50°）÷2=65°，则其余两个角的度数为65°，65°；当50°角是底角时，则顶角为180°-50°×2=80°，则其余两个角的度数度数为50°，80°.所以，本题的答案为：65°，65°或50°，80°.总结：（1）在等腰三角形中求内角的度数时，要看已知角是否已经确定是顶角或底角.若已确定，则直接利用三角形的内角和定理求解；否则，要分类讨论，分已知角为顶角和已知角为底角两种情况.（2）若等腰三角形中已知的角是直角或钝角，则此角必为顶角，不用再分类讨论.分类讨论求长度解：当3x-1= x+1时，解得x=1，此时三角形的三条边长分别为2，2，5，因为2+2<5，不符合三角形三边关系，所以x=1舍去；当3x-1= 5时，解得x=2，此时三角形的三条边长分别为5，3，5，因为5+3>5，符合三角形三边关系，所以x=2成立；当x+1=5时，解得x=4，此时三角形的三条边长分别为11，5，5，因为5+5<11，不符合三角形三边关系，所以x=4舍去.所以，本题答案为2.总结：利用等腰三角形有两条边长相等的性质求边长或周长时，当不确定哪两条边是腰时，要进行分类讨论，计算出结果后要验证，检验算出的结果是否符号三角形三边关系.提升练习1．已知等腰三角形的两边长a，b满足|a﹣2|+b2﹣10b+25＝0，那么这个等腰三角形的周长为（）A．8B．12C．9或12D．92．如果等腰三角形两边长是6cm和12cm，那么它的周长是（）A．18cm B．24cm C．30cm D．24或30cm3．等腰三角形一腰上的高与另一腰上的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．150°C．60°或120°D．60°或150°4．已知等腰△ABC中，∠A＝50°，则∠B的度数为（）A．50°B．65°C．50°或65°D．50°或80°或65°5．已知等腰三角形的顶角等于50°，则底角的度数为度．6．等腰三角形一个外角是150°，求一腰上的高与另一腰的夹角是．7．在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为．8．在△ABC中，AB＝AC，∠B＝40°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD是直角三角形，则∠DAC的度数是．9．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．10．等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是．11．已知一个等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为5cm，则这个等腰三角形的周长是cm．12．一等腰三角形的底边长为15cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的周长为．13．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的底角为．14．如图，△ABC中∠ABC＝40°，动点D在直线BC上，当△ABD为等腰三角形，∠ADB＝．15．等腰三角形的周长为21cm．（1）若已知腰长是底边长的3倍，求各边长；（2）若已知一边长为6cm，求其他两边长．16．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分成18cm和21cm两部分，求△ABC的三边长．17．已知在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．（1）求m的取值范围；（2）若△ABC是等腰三角形，求△ABC的周长．18．已知：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°．（1）如图，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．求证：BF＝CF；（2）若点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．当△BFD是等腰三角形时，求∠FBD的度数．参考答案：1．B ． 2．C ． 3．C ． 4．D ．5． 65 ． 6． 30°或60° ． 7． 45°或72° ． 8． 10°或50° ．9． 22 ． 10． 80°或20° ． 11． 12 ． 12． 55cm 或35cm ．13． 67.5°或22.5° ． 14． 40°或100°或70°或20° ．15．解：（1）如图，设底边BC ＝a cm ，则AC ＝AB ＝3a cm ，∵等腰三角形的周长是21cm ，∴3a +3a +a ＝21，∴a ＝3，∴3a ＝9，∴等腰三角形的三边长是3cm ，9cm ，9cm ；（2）①当等腰三角形的底边长为6cm 时，腰长＝（21﹣6）÷2＝7.5（cm ）；则等腰三角形的三边长为6cm 、7.5cm 、7.5cm ，能构成三角形；②当等腰三角形的腰长为6cm 时，底边长＝21﹣2×6＝9；则等腰三角形的三边长为6cm ，6cm 、9cm ，能构成三角形．故等腰三角形其他两边的长为7.5cm ，7.5cm 或6cm 、9cm ．16．解：∵BD 是AC 边上的中线，∴AD ＝CD=21AC ， ∵AB ＝AC ，∴AD ＝CD=21AB ， 设AD ＝CD ＝x cm ，BC ＝y cm ，分两种情况：当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为10cm ，10cm ，7cm ；当时，即，解得：， ∴△ABC 的各边长为14cm ，14cm ，11cm ；综上所述：△ABC 各边的长为10cm ，10cm ，7cm 或14cm ，14cm ，11cm ．17．解：（1）在△ABC中，AB＝20，BC＝8，AC＝2m﹣2．∴20﹣8＜2m﹣2＜20+8，解得：7＜m＜15；∴m的取值范围为：7＜m＜15；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴分两种情况：当AB＝AC＝20时，∴△ABC的周长＝20+20+8＝48；当BC＝AC＝8时，∵8+8＝16＜20，∴不能组成三角形；综上所述，△ABC的周长为48．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，在△BCD与△CBE中，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠FBC＝∠FCB，∴BF＝CF；（2）解：∵AB＝AC，∠BAC＝45°，∴，由（1）知，∠FBC＝∠FCB，∴∠DBF＝∠ECF，设∠FBD＝∠ECF＝x，则∠FBC＝∠FCB＝（67.5°﹣x），∠BDF＝∠ECF+∠BAC＝x+45°，∠DFB＝2∠FBC＝2（67.5°﹣x）＝135°﹣2x，∵△BFD是等腰三角形，故分三种情况讨论：①．当BD＝BF时，此时∠BDF＝∠DFB，∴x+45°＝135°﹣2x，得x＝30°，即∠FBD＝30°；②当BD＝DF时，此时∠FBD＝∠DFB，∴x＝135°﹣2x，得x＝45°，即∠FBD＝45°；③当BF＝DF时，此时∠FBD＝∠FDB，∴x＝x+45°，不符题意，舍去；综上所述，∠FBD＝30°或45°．。
【微专题】2023学年八年级数学上册常考点微专题提分精练(人教版) 等腰三角形中的分类讨论(解析版)
等腰三角形中的分类讨论1．已知等腰三角形的两边长分别为a b且a b b﹣4|＝0 则此等腰三角形的周长为（）A．7B．10C．11D．10或11【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分4是腰长与底边两种情况讨论求解．【详解】解：根据题意得a-3=0 b-4=0解得a=3 b=4①4是腰长时三角形的三边分别为4、4、3∵4+4＞3∴能组成三角形4+4+3=11②4是底边时三角形的三边分别为3、3、4能组成三角形周长=3+3+4=10所以三角形的周长为11或10．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质绝对值非负数偶次方非负数的性质根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．2．已知a b是等腰三角形的两边长且a b()2+-=则此等腰三角23130a b形的周长为（）．A．8B．6或8C．7D．7或8【答案】D【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b的值再分a的值是腰长与底边两种情况讨论求解．()223130a b+-=∴23+5023130a ba b-⎧⎨+-⎩＝＝解得23ab⎧⎨⎩＝＝①2是腰长时三角形的三边分别为2、2、3 能组成三角形周长=2+2+3=7；②2是底边时三角形的三边分别为2、3、3 能组成三角形周长=2+3+3=8所以该等腰三角形的周长为7或8．故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质绝对值与算术平方根的非负性根据几个非负数的和等于0 则每一个算式都等于0求出a、b的值是解题的关键难点在于要分情况讨论并且利用三角形的三边关系进行判断．3．等腰三角形的一个角是70︒则它顶角的度数是（）A．70︒B．70︒或40︒C．70︒或55︒D．40︒【答案】B【解析】【分析】因为题中没有指明该角是顶角还是底角所以要分两种情况进行分析．【详解】解：①若70°是底角则顶角为：180°-70°×2=40°；②若70°为顶角则顶角的度数是70°；综上所述顶角的度数为40°或70°．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数做题时要注意分情况进行讨论这是十分重要的也是解答问题的关键．4．等腰三角形的一个内角是70°,则它顶角的度数是()A．70︒B．70︒或40︒C．70︒或50︒D．40︒【答案】B【分析】首先要进行分析题意“等腰三角形的一个内角”没明确是顶角还是底角所以要分两种情况进行讨论．【详解】解：本题可分两种情况：︒-⨯︒=︒；①当70︒角为底角时顶角为18027040②70︒角为等腰三角形的顶角；因此这个等腰三角形的顶角为40︒或70︒．故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数做题时要注意分情况进行讨论这是十分重要的也是解答问题的关键．5．等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少20度则等腰三角形顶角的度数是（）A．140B．20或80C．44或80D．140或44或80【答案】D【解析】【分析】设另一个角是x 表示出一个角是2x-20° 然后分①x是顶角2x-20°是底角②x是底角2x-20°是顶角③x与2x-20°都是底角根据三角形的内角和等于180°与等腰三角形两底角相等列出方程求解即可．【详解】设另一个角是x 表示出一个角是2x-20°①x是顶角2x-20°是底角时x+2（2x-20°）=180°解得x=44°∴顶角是44°；②x是底角2x-20°是顶角时2x+（2x-20°）=180°解得x=50°∴顶角是2×50°-20°=80°；③x与2x-20°都是底角时x=2x-20°解得x=20°∴顶角是180°-20°×2=140°；综上所述这个等腰三角形的顶角度数是44°或80°或140°．故答案为：D．【点睛】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质三角形的内角和定理难点在于分情况讨论特别是这两个角都是底角的情况容易漏掉而导致出错．6．若等腰三角形的一个角是80° 则它的底角是（）A．50°B．80°C．40°或80°D．50°或80°【答案】D【解析】【分析】分情况讨论：当这个角为底角或顶角两种情况讨论求解即可；【详解】当80°为底角时则底角为80°当80°为顶角时则底角为：18080=502︒-︒︒故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质本题有两种情况注意不要漏掉；7．若等腰三角形的一个角是80° 则此等腰三角形的顶角为（）A．80°B．20°C．80°或20°D．40°【答案】C【解析】【分析】可分两种情况：当80︒角为顶角时；当80︒角为底角时结合等腰三角形的性质利用三角形的内角和定理分别求解即可．【详解】解：当80︒角为顶角时则等腰三角形的顶角为80︒；当80︒角为底角时等腰三角形的顶角为180808020︒-︒-︒=︒即此等腰三角形的顶角为80︒或20︒．故选：C．【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理等腰三角形的性质分类讨论是解题的关键．8．在ABC中AB AC=AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50︒则B的度数为（）A．20︒B．70︒C．70︒或20︒D．无法确定【答案】C【解析】【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况画出相应图形求出∠BAC的度数进而根据三角形内角和定理求出即可．【详解】解：如图1 当∠A为锐角时∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°∴∠A＝40°又∵AB AC=∴∠B＝1802A︒-∠＝180402︒-︒＝70°；如图2 当∠A为钝角时∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50° ∴∠NAB＝40°∴∠BAC＝140°又∵AB AC =∴∠B ＝∠C ＝1801402︒-︒＝20°． 故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形性质 三角形内角和定理 线段垂直平分线的应用 关键是运用分类讨论思想画出图形 求出∠BAC 的度数．9．若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为50° 则该三角形底角的度数为（ ） A ．20°B ．20°或70°C ．70°D ．无法确定 【答案】B【解析】【分析】分两种情况讨论：①若90A ∠<︒；②若90A ∠>︒；先求出顶角BAC ∠ 即可求出底角的度数．【详解】解：分两种情况讨论：①若90A ∠<︒ 如图1所示：BD AC ⊥90A ABD ∴∠+∠=︒50ABD ∠=︒905040A ∴∠=︒-︒=︒AB AC =1(18040)702ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒； ②若90A ∠>︒ 如图2所示：同①可得：905040DAB ∠=︒-︒=︒18040140BAC ∴∠=︒-︒=︒AB AC =1(180140)202ABC C ∴∠=∠=︒-︒=︒； 综上所述：等腰三角形底角的度数为70︒或20︒故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义 解题的关键是注意分类讨论方法的运用 避免漏解．10．等腰三角形的一个内角是50度 它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40【答案】C【解析】【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时 底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时 此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质 等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60° 则其顶角度数为（ ）．A ．60°或120°B ．30°或150°C ．30°D ．60° 【答案】B【解析】根据等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质分析 即可得到答案．【详解】分两种情况讨论；如下图 过点B 作BD AC ⊥交AC 于点D∴90ADB ∠=︒根据题意得：60ABD ∠=︒∴9030A ABD ∠=︒-∠=︒如下图 过点B 作BD AC ⊥交CA 延长线于点D∴90ADB ∠=︒根据题意得：60ABD ∠=︒∴9030DAB ABD ∠=︒-∠=︒∴180150BAC DAB ∠=︒-∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、直角三角形两锐角互余的性质 从而完成求解．12．在△ABC 中 AB AC 的垂直平分线相交于点O 如果∠BOC=100° 则∠A 等于（ ） A ．50°或120°B ．60°或130°C ．60°或120°D ．50°或130°【答案】D【分析】画出符合条件的两种情况根据线段垂直平分线性质得出AO＝BO、AO＝OC推出∠BAO＝∠ABO∠CAO＝∠ACO根据三角形内角和定理和四边形内角和定理求出即可．【详解】解：分为两种情况：如图1 当∠BAC为锐角时连接AO∵在ABC中AB AC的垂直平分线相交于点O∴AO＝BO CO＝AO∴∠BAO＝∠ABO∠CAO＝∠ACO∵∠BOC＝100°∴∠OBC＋∠OCB＝180°－100°＝80°∵∠BOC＝100° ∠BAC＝∠BAO＋∠CAO∠BAO＋∠CAO＋∠ACO＋∠OCB＋∠OBC＋∠ABO ＝180°∴2∠BAC＝180°－80°＝100°∴∠BAC＝50°；如图2 当∠BAC为钝角时同理2∠BAC＝360°－∠BOC＝360°－100°＝260°∴∠BAC＝130°；即∠BAC＝50°或130°故选：D．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质等腰三角形性质多边形的内角和定理的应用注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．13．如果等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角45° 那么这个等腰三角形的底角为（）A．67°50′B．22°C．67.5°D．22.5°或67.5°【解析】【分析】先知三角形有两种情况（1）（2）求出每种情况的顶角的度数再利用等边对等角的性质（两底角相等）和三角形的内角和定理即可求出底角的度数．【详解】有两种情况；（1）如图当△ABC是锐角三角形时BD⊥AC于D则∠ADB=90°已知∠ABD=45°∴∠A=90°-45°=45°∵AB=AC×（180°-45°）=67.5°；∴∠ABC=∠C=12（2）如图当△EFG是钝角三角形时FH⊥EG于H则∠FHE=90°已知∠HFE=45°∴∠HEF=90°-45°=45°∴∠FEG=180°-45°=135°∵EF=EG×（180°-135°）=22.5°∴∠EFG=∠G=12综合（1）（2）得：等腰三角形的底角是67.5°或22.5°故选D．本题考查了等腰三角形的性质 三角形的高 三角形内角和定理等 解题的关键是能否利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质 知三角形的一个角能否求其它两角．14．在等腰△ABC 中 AB ＝AC 一腰上的中线BD 将这个三角形的周长分为15和12两部分 则这个等腰三角形的底边长为（ ）A ．7B ．7或11C ．11D ．7或10【答案】B【解析】【分析】题中给出了周长关系 要求底边长 首先应先想到等腰三角形的两腰相等 寻找问题中的等量关系 列方程求解 然后结合三角形三边关系验证答案．【详解】解：设这个等腰三角形的腰长为a 底边长为b ．∵D 为AC 的中点∴AD ＝DC ＝12AC ＝12a ． 根据题意得31521122a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩或31221152a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得107a b =⎧⎨=⎩或811a b =⎧⎨=⎩ 又∵三边长为10 10 7和8 8 11均可以构成三角形．∴这个等腰三角形的底边长为7或11．【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时 有的同学会审题错误 以为15 12中包含着中线BD 的长 从而无法解决问题 有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况．注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．15．等腰三角形ABC 中 ,AB AC AB =边上的垂直平分线与AC 边所在的直线相交所得的锐角为40︒ 则A ∠的度数为（ ）A ．140B ．50C ．40或150 D ．50或130【答案】D【解析】当△ABC为锐角三角形时在Rt△ADE中可求得∠A,再由三角形内角和定理可求得∠A;当△ABC为钝角三角形时求得△BAC的外角利用外角的性质求得∠A.【详解】解:当△ABC为锐角三角形时如图,设AB的垂直平分线交线段AC于点D,交AB于点E,∵∠ADE=40°, DE⊥AB,∴∠A=90°-40°=50°当△ABC为钝角三角形时如图设AB的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D,∵∠ADE=40° DE⊥AB,∴∠DAB=50°,∴∠BAC=180°-∠DAB=130°故选：D【点睛】本题考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是解题的关键.16．在平面直角坐标系中A（2 3）O为原点若点B为坐标轴上一点且△AOB为等腰三角形则这样的B点有（）A．6个B．7个C．8个D．9个【答案】C【解析】【分析】分别以O、A为圆心以OA长为半径作圆与坐标轴交点即为所求点B再作线段OA的垂直平分线与坐标轴的交点也是所求的点B作出图形利用数形结合求解即可．【详解】解：如图满足条件的点B有8个故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定对于底和腰不等的等腰三角形若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．17．已知等腰ABC中AD BC⊥于点D且12AD BC=则ABC底角的度数为（）A．30°或45°B．30°或45°或75°C．15°或45°或75°D．45°或75°【答案】C【解析】【分析】分三种情况讨论①当AB=AC时根据已知条件得出AD=BD=CD从而得出△ABC底角的度数；②当AB=BC∠B为锐角时先求出∠ABD的度数再根据AB=BC求出底角的度数；③当AB=BC∠CBA为钝角时根据AD12=BC AB=BC得出∠DBA=30° 从而得出底角的度数．【详解】①如图1 当AB=AC时．∵AD⊥BC∴BD=CD．∵AD12=BC∴AD=BD=CD ∴底角为45°；②如图2 当AB=BC∠B为锐角时．∵AD12=BC∴AD12=AB∴∠ABD=30°∴∠BAC=∠BCA=75°∴底角为75°．③如图3 当AB=BC∠CBA为钝角时．∵AD12=BC AB=BC∴AD12=AB∴∠DBA=30°∴∠BAC=∠BCA=15°∴△ABC底角的度数为45°或75°或15°．故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形和等腰三角形的性质关键是根据题意画出图形注意不要漏解．18．在△ABC中AB=AC若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形则∠BAC的度数为（）A．90°或108°或36°或1807︒B．90°或108°或36°C．90°或54°或36°或5407︒D．90°或54°或36°【答案】A【解析】【分析】分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形由于AB=AC故以点B和以点C 为顶点作的等腰三角形结果是一样的 所以讨论点A 、点B 为顶点的情况 根据等腰三角形的性质找出角的关系 由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．【详解】如图1 当过点A 的直线交BC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD CD == 设B x ∠=AB AC =C B x ∴∠=∠=AD BD CD ==BAD B x ∴∠=∠= CAD C x ∠=∠=2BAC x ∴∠=在ABC 中 180B BAC C ∠+∠+∠=︒2180x x x ∴++=︒解得：45x =︒90BAC ∴∠=︒；如图2 当过点A 的直线交BC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD = AC CD = 设B x ∠=AB AC =C B x ∴∠=∠=AD BD =BAD B x ∴∠=∠=2ADB B BAD x ∴∠=∠+∠=AC CD =2DAC ADB x ∴∠=∠=23BAC x x x ∴∠=+=在ABC 中 180B BAC C ∠+∠+∠=︒3180x x x ∴++=︒解得：36x =︒108BAC ∴∠=︒；如图3 当过点B 的直线交AC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形使AD BD BC ==设BAC x ∠=AD BD =ABD BAC x ∴∠=∠=2BDC ABD BAD x ∴∠=∠+∠=BD BC =2C BDC x ∴∠=∠=AB AC =2ABC C x ∴∠=∠=在ABC 中 180ABC BAC C ∠+∠+∠=︒22180x x x ∴++=︒解得：36x =︒36BAC ∴∠=︒；如图4 当过点B 的直线交AC 于点D 将△ABC 分成两个等腰三角形 使AD BD = BC CD = 设BAC x ∠=AD BD =ABD BAC x ∴∠=∠=2BDC ABD BAD x ∴∠=∠+∠=BC CD =2CBD BDC x ∴∠=∠=23ABC x x x ∴∠=+=AB AC =3C ABC x ∴∠=∠=在ABC 中 180ABC BAC C ∠+∠+∠=︒33180x x x ∴++=︒ 解得：180()7x =︒ 180()7BAC ∴∠=︒ 综上 BAC ∠可为90°或108°或36°或1807︒． 故选：A ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理 画出符合条件的图形 根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．。
人教版初中数学八上 小专题(十三) 等腰三角形中的分类讨论
8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，4），在 y轴上取一点C，使△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有 4 个.
第8题图
图1
（2）当MN与CA的延长线相交，交点为D时，如图2，∠ADN＝40°，则∠DAB＝ 90°－40°＝50°. 综上所述，∠B的度数为65°或25°.
图2
类型三 已知等腰三角形的一边确定另一个顶点时需分类讨论 7.在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点.已知A，B是两格点，若C也
是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则这样的点C有 8 个.
类型二 当三角形的形状不确定时需分类讨论 5.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则该等腰三角形顶角的度数
为 65°或115° . 6.在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN与AC所在直线相交所得的锐角度数为
40°，求∠B的度数. 解：分两种情况讨论： （1）当MN与AC相交，交点为D时，如图1，∠ADM＝40°，则∠A＝90°－40° ＝50°.
D.56°或68°
3.在等腰三角形ABC中，∠A＝2∠B，则∠C的度数为 45°或72° .
4.如图，在△ABC中，∠ABC＝25°，∠BAC＝100°，点P在△ABC的三边上运 动.当△PAC为等腰三角形时，求其顶角的度数. 解：∵∠ABC＝25°， ∠BAC＝100°， ∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝55°. 分四种情况讨论： （1）如图1，当点P在AB上，且AP＝AC时，顶角为∠A＝100°；
图1
（2）如图2，当点P在BC上，且AC＝PC时，顶角为∠C＝55°；
图2 （3）如图3，当点P在BC上，且AC＝AP时，顶角为∠CAP＝180°－2∠C＝ 70°；
万能解题模型(8) 等腰三角形的分类讨论
已知等腰三角形的一个角为 α，确定顶角或底角的度数时，需分以下三种情况： ①若 α 为钝角，则 α 为顶角，底角的度数为12(180°－α)； ②若 α 为直角，则 α 为顶角，且该三角形为等腰直角三角形，底角为 45°； ③若 α 为锐角，则需分两种情况，当 α 为顶角时，底角为12(180°－α)；当 α 为底角时，顶角为 180°－2α.
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数学 第一轮 中考考点系统复习(讲解册)
万能解题模型(八) 等腰三角形的 分类讨论
模型 1 等腰三角形顶角和底角不确定而产生的分类讨论 1．若等腰三角形的一个角为 80°，则顶角为 20°或80° ． 2．若等腰三角形的一个角为 110°，则顶角为 110° ． 3．若等腰三角形的一个角为另一个角的两倍，则其底角为 45° 或72° ．
(2)∵抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3， ∴其对称轴为直线 x＝－22＝－1. ∴设 P 点坐标为(－1，t)． 当 x＝0 时，y＝3， ∴C(0，3)，M(－1，0)． ①当 CP＝PM 时，(－1)2＋(t－3)2＝t2，解得 t＝53， ∴P 点坐标为(－1，53)；
②当 CM＝PM 时，(－1)2＋32＝t2，解得 t＝± 10， ∴P 点坐标为(－1， 10)或(－1，－ 10)； ③当 CM＝CP 时，(－1)2＋32＝(－1)2＋(t－3)2，解得 t＝6 或 0(舍 去)， ∴P 点坐标为(－1，6)． 综上所述，存在符合条件的点 P，其坐标为(－1， 10)或(－1，－ 10)或(－1，6)或(－1，53)．
易错提示：无论哪种情况，都要注意等腰三角形的三个角必须满 足三角形三个内角之和等于 180°.
模型 2 等腰三角形腰和底不确定而产生的分类讨论
复习专题：等腰三角形中的分类讨论
40°
40°
六、 遇动点动角需讨论
1、已知C、D两点为线段AB的中垂线上的两 动点，且∠ACB=500，∠ADB=800，求 ∠CAD的度数。
C
C
D
A
E
B
A
E
B
D
几何图形之间的位置关系不明确导致需分类讨论
六、 遇动点动角需讨论
3、如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点E为BC边 上一动点（不与点B、C重合），过点E作射线EF 交AC于点F, 使∠AEF=∠B=β.
• （1）判断∠BAE与∠CEF的大小关系，并说明理 由；
• （2）当△AEF为
的大小. A
时，求∠BEA
A
B
E
F
B
C
C
备用图
探究变式：
若将（2）中的△AEF为“等腰三角ห้องสมุดไป่ตู้”改为“
系。
”时，∠BAE=α，求α与β之间的数量关
A
A
F
B
E
CB
C
备用图
解：
（3）如图1，当∠AFE=90°时， ∵∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF， ∠B=∠AEF=∠C， ∴∠BAE=∠CEF， ∵∠C+∠CEF=90°，
故∠DCE的度数为200或1100或700。
E
A
D’
C
B
2.在网格中，网格线的交点称为格点。已知A， B是两个格点，如果点C也是图中的格点， 且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个 数（ ）C
A.6 B.7
C.8 D.9
B A
∵BE=BC，∴∠BEC=（1800-∠ABC）÷2， ∴
DCE 1800 DEC EDC 1800 BEC ADC
有关等腰三角形分类讨论专题
相关等腰三角形的分类议论专题：1．（1）等腰三角形有两边长为4cm 和 7cm，则周长为厘米。
（2）等腰三角形有两边长为3cm 和 7cm，则周长为厘米。
（3）等腰三角形的周长为24cm，一边长为 10cm，则其他两边长为米。
（4）等腰三角形的周长为24cm，一边长为 6cm，则其他两边长为米。
厘厘总结：等腰三角形波及到边的问题时，能够依据“腰”和“底边”来分类议论，但要利用三角形形三边关系来判断三角形能否存在。
稳固：（ 1）等腰三角形一边长为12cm，且是另一边长的，那么这个三角形的周长是厘米。
（ 2）假如等腰三角形一腰上的中线把它的周长分红15 和6 两部分，则底边的长是。
2．在△ ABC中，AB=AC，（1）若∠ A=30°，则∠ B=，∠C=。
（2）若∠ B=30°，则∠ A=，∠ C=。
（3）如有一个内角是 30°，则其他两个内角的度数为。
（4）如有一个内角是120°，则其他两个内角的度数为。
总结：在等腰三角形内角求解的问题中，能够按“顶角”但要利用三角形内角和判断三角形能否存在。
、“底角”来分类议论，稳固：假如等腰三角形的两个内角的比为4：1，求等腰三角形的顶角的度数。
3．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角为度。
总结：等腰三角形中波及“高”的内角求解问题，能够依据三角形种类分类议论。
稳固：（ 1）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与底边的夹角为度。
（ 2）等腰三角形有一个内角为40°，则一腰上的高与另一腰的夹角为度。
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等腰三角形分类讨论专题复习
日期：第页姓名：
一、等腰三角形的分类
1、边分类
2、角分类
3、外角分类
4、一腰上的高与另一腰的夹角
5、一腰上的中线分三角形的周长为两部分
6、一腰上的中垂线与另一腰的夹角
思考：在A B C三边所在的直线上找一点D，使得A B D为等腰三角形，画图说明点D所在的位置
B
B
B
B
B
B
二、练习姓名：
1、如果一个等腰三角形的一个外角等于100°，则该等腰三角形的底角的度数是．
2、已知等腰三角形的一边等于3，一边等于6，那么它的周长等于
3、已知等腰三角形的一边等于5，周长为12，则一边等于
4、已知△ABC的周长为24，AB＝AC，AD⊥BC于D，若△ABD的周长为20，则AD的长为
5、等腰三角形的底边长为6cm，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，这两部分之差是3cm，求这个等腰三角形的腰长
6、在等腰三角形中，AB的长是BC的2倍，周长为40，则AB的长为
7、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30o，则顶角的度数为
8、等腰三角形中，两条边的长分别为4和9，则它的周长是．
9、若一个等腰三角形有一个角为100o，则另两个角为
10、一等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成15cm和18cm两部分，求这个等腰三角形的底边长
11、一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30o，求这个三角形的三个内角的度数
12、(1)等腰三角形的顶角和一个底角的度数的比是4:1，则这个三角形三个内角的度数分别为________，_______，______________.
(2)在等腰三角形ABC中，AB的长是AC的2倍，三角形的周长是40，则AB的长等于_______________.
13、等腰三角形一腰上的中垂线与另一腰的夹角为50o，求底角为
14、若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。
15、在ΔABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，则底角
∠B=____________
16、等腰三角形的一个角是另一个角的4倍，求它的各个内角的度数；
17、在三角形ABC中，AB=AC，AB边上的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为400，求底角B的度数。
18、等腰三角形的两边长分别为5cm和11cm，则周长。