2020秋九年级数学上册第21章《一元二次方程》章末复习作业课件(新版)新人教版
人教版九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》复习参考课件
公式法是这样产生的——
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
2024/9/13
1.化1:把二次项系数化为1;
2.移项:把常数项移到方程的右边 ; 3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
4.变形:方程左分解因式, 右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义, 方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程 ;7.定解:写出原方程的解 .
2.配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元程的步骤: 1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 4.变形:方程左分解因式,右边合并同类; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程; 7.定解:写出原方程的解.
2024/9/13
小结 拓展
回味无穷
• 列方程解应用题的一般步骤是: • 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? • 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; • 3.列:列代数式,列方程; • 4.解:解所列的方程; • 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; • 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. • 列方程解应用题的关键是: • 找出相等关系. • 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系:
2024/9/13
几何与方程
例3. 将一条长为56cm的铁丝剪成两段,并把每一段围成 一个正方形.
(1).要使这两个正方形的面积之和等于100cm2,该怎样剪 ?
(2).要使这两个正方形的面积之和等于196cm2,该怎样剪 ?
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 双休作业2(第21章全章)
7．(2020·衡阳)如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20 米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植 面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意， 列方程为( ) C A．35×20－35x－20x＋2x2＝600 B．35×20－35x－2×20x＝600 C.(35－2x)(20－x)＝600 D．(35－x)(20－2x)＝600
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第二十一章 一元二次方程
双休作业2(第21章全章)
1．(2020·营口)一元二次方程x2－5x＋6＝0的解为( D) A．x1＝2，x2＝－3 B．x1＝－2，x2＝3 C．x1＝－2，x2＝－3 D．x1＝2，x2＝3 2．(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是( A) A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0 C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0
3．(2020·黑龙江)已知关于 x 的一元二次方程 x2－(2k＋1)x＋k2＋2k＝0
有两个实数根 x1，x2，则实数 k 的取值范围是(B )
A．k＜14
B．k≤14
C．k＞4
D．k≤14 且 k≠0
4．(2020·河南)定义运算：m☆n＝mn2－mn－1. 例如：4☆2＝4×22－4×2－1＝7.则方程1☆x＝0的根的情况为(A ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元 ，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
解：(1)y＝3－0（0.10x<＋x≤305.5，（x5为<整 x≤数30），，x为整数）
(2)当0＜x≤5时，(32－30)×5＝10＜25，不符合题意． 当5＜x≤30时，[32－(－0.1x＋30.5)]x＝25， 解得x1＝－25(舍去)，x2＝10.故该月需售出10辆汽车
人教版初中数学课标版九年级上册第二十一章 21.2 解一元二次方程因式分解法(共17张PPT)
还
10x - 4.9x 2 = 0
有
其
降 配方法
它
更
次 公式法
简 便
？
的 方
x1=
0
，x2 =
100 49
2.04
法 吗 ？
探究新知
观察方程 10x - 4.9x2 = 0，它有什么特点？你能根据 它的特点找到更简便的方法吗？
10x - 4.9x2 = 0
左边因式分解
x（10 - 4.9x）= 0
用降次法中的因式分解法解一元二次方程．
复习引入
1、解一元二次方程的基本思路是什么？ 把二次方程转化为一次方程即降次
2、我们学过了用降次法中的哪几种方法来 解一元二次方程？
配方法和公式法
复习引入
3、什么叫因式分解？因式分解有哪几种方 法？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式 分解或分解因式；
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。21.8.2421.8.2422:38:5422:38:54August 24, 2021
•
14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月24日星期二下午10时38分54秒22:38:5421.8.24
应用新知
1、用因式分解法解下列方程
（1）3x2+6x=0
（2）y(y-1)=2y-2
解 （1）3x(x+2)=0
：
∴3x=0或x+2=0
∴x1=0,x2=-2
(2)y(y-1)-2(y-1)=0 (y-1)(y-2)=0
∴y-1=0或y-2=0
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 解一元二次方程 公式法
14．已知关于x的一元二次方程x2－3x＋a－1＝0有实数根． (1)求a的取值范围； (2)当a为符合条件的最大整数时，求此时方程的解．
解：(1)∵关于 x 的一元二次方程 x2－3x＋a－1＝0 有实数根，
∴Δ＝(－3)2－4(a－1)＝－4a＋13≥0，解得 a≤143 ，
即 a 的取值范围是 a≤143
12．关于x 的方程(a＋1)x2－4x－1＝0有实数根， 则a满足的条件是___a_≥_－__5__．
13．定义：如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程． 已知关于x的方程x2＋mx＋n＝0是“凤凰”方程， 且有两个相等的实数根，则mn＝___－_. 2
2．一般地，式子_b_2_－__4_a_c_叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判别式，
通常用希腊字母“Δ”表示，Δ＞0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有两__个__不__等__的__实__数__根；Δ＝0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有__两__个__相__等__的__实__数__根__； Δ＜0⇔ax2＋bx＋c＝0(a≠0)____无__实__数__根___．
练习2：若关于x的一元二次方程x2－4x－m＝0有两个不等的实数根， 则实数m的取值范围是m__＞__－. 4
1．(2020·安徽)下列方程中，有两个相等实数根的是( A ) A．x2＋1＝2x B．x2＋1＝0 C．x2－2x＝3 D．x2－2x＝0 2．下列关于x的方程ax2－bx＝0(a，b是不为0的常数)的根的情况 判断正确的是( B ) A．无实数根 B．有两个不等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．有且只有一个实数根
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第二十一章 一元二次方程
人教版九年级数学上册第二十一章一元二次方程复习课件(共18张PPT)
第二十一章 一元二次方程
重点归类提升练
一、有理数的解法
1．已知：关于 x 的一元二次方程 x －2(2m－3)x＋4m －14m＋8＝0. 3 (1)当 m＝ 时，用____________法解方程较为简单； 2 (2)当 m＝0 时，用配方法解方程； (3)当 m＝1 时，用公式法解方程；
2
2
第二十一章 一元二次方程
2
图21－Z－1
第二十一章 一元二次方程
(2)如果在(1)中正方体打孔后， 再在正面中心位置(如图 21－Z －1②所示)从前到后打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，那么打孔 后的橡皮泥块的表面积为________． (3)如果把(1)(2)中的边长为 1 cm 的正方形通孔均改为边长为
a cm(a≠1)的正方形通孔，能否使打了两个通孔后的橡皮泥块的表 2 面积为 118 cm ？如果能，求出 a 的值；如果不能，请说明理由．
第二十一＜ 40 ， ∴ 8m ＋ 4 ＞ 0 ， ∴ 由 求 根 公 式 ， 得 x ＝ 2（2m－3）± 8m＋4 ＝(2m－3)± 2m＋1. 2 ∵方程有两个整数根，∴必须使 2m＋1为整数且 m 为整数． ∵2m＋1 必是奇数，∴ 2m＋1是奇数． 又∵12＜m＜40，∴25＜2m＋1＜81， ∴5＜ 2m＋1＜9，∴ 2m＋1＝7，∴m＝24.
第二十一章 一元二次方程
二、一元二次方程的应用
2．实验与操作：小明是一名动手能力很强的同学，他用橡皮 泥做了一个棱长为 4 cm 的正方体． (1)如图 21－Z－1①所示，在正方体顶面中心位置处从上到下 打一个边长为 1 cm 的正方形通孔，打孔后的橡皮泥块的表面积为 ________ cm .
第二十一章 一元二次方程
第二十一章 一元二次方程(章末小结)数学九年级上册(人教版)
一、一元二次方程的基本概念
1.定义：只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a，
b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2.一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)
3.项数和系数：
二次项：ax2
二次项系数：a
一次项：bx
一次项系数：b
常数项：c
例6.试用配方的方法说明：代数式 x2 6x 10 的值恒为正数． 解：x2 6x 10 x2 6x 9 9 10= x 32 1 ∵无论x取何值，总有 x 32 0 ， ∴ x 32 1＞0 ．
即代数式 x2 6x 10 的值恒为正数．
【点睛】将二次多项式配成m(x+n)2+p的形式:①当m<0且p<0时,式子的值 恒为负;②当m>0且p>0时,式子的值恒为正.
不相等的实数根．
证明：由 x2 k 2 x k 2 0 可知a=1，b=k+2，c=k=2， ∴ b2 4ac k 22 4k 2 k 2 12
∵k2≥0 ∴k2+12＞0 ∴ b2 4ac＞0 ∴方程总有两个不相等的实数根．
【5-3】已知关于x的方程x2-(m+1)x+2(m-1)=0． （1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长为6，另两边的长恰好是这个方程的两 个根，求△ABC的周长．
【分析】根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定会使方程 左右两边相等，故只要把x=0代入就可以得到以m为未知数的方程m2-1=0， 解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的解题方法我们称之为“有根必代”.
【点睛】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方程，所以1不符合，应引起
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 单元复习(一) 一元二次方程
A．16 B．24 C．16或24 D．48
16．(2020·山西)如图是一张长12 cm，宽10 cm的矩形铁皮，将其剪去两个 全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2 的有盖的长方体铁盒．则剪去的正方形的边长为__2___cm.
17．(大连中考)某村2016年的人均收入为20000元， 2018年的人均收入为24200元． (1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率； (2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同， 请你预测2019年该村的人均收入是多少元？ 解：(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x，根据题意得 20000(1＋x)2＝24200，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去).答： 2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10% (2)24200×(1＋10%) ＝26620(元).答：预测2019年该村的人均收入是26620元
解：(1)Δ＝16－4(k＋1)＝16－4k－4＝12－4k≥0，∴k≤3 (2)由题意可知：x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1，∵x31 ＋x32 ＝x1x2－4， ∴3（xx11＋x2x2） ＝x1x2－4，∴k3×＋41 ＝k＋1－4， ∴k＝5 或 k＝－3，由(1)可知 k≤3，∴k＝－3
15．(2020·黔东南州)若菱形ABCD的一条对角线长为8，边CD的长是方程 x2－10x＋24＝0的一个根，则该菱形ABCD的周长为( B)
此方程可变形为( A )
A．(x＋2ba )2＝b2－4a42ac
B．(x＋2ba )2＝4a4c－a2 b2
C．(x－2ba )2＝b2－4a42ac
D．(x－2ba )2＝4a4c－a2 b2
人教版初中九年级数学上册数学期末总复习(全面)精品课件
一元二次方程根与系数的关系 (韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
特别地：
2
若方程x px q 0的两根为x1 , x2， 则：x1 x2 p, x1 x2 q
（1）确定对称中心； （2）确定关键点； （3）作关键点的关于对称中心的 对称点； （4）连结各点，得到所需图形.
7、关于原点对称的点的坐标：
（ -a,-b） （a，b）关于原点的对称点是 ______
例、点P（-1，3）关于原点对称的点 的坐标是 ； 点P（-1，3）绕着原点顺时针旋转 90o与P’重合，则P’的坐标为 ______
解得
- 5≤x＜3
题型2:二次根式的非负性的应用.
4.已知：
x4 +
2x y
=0,求 x-y 的值.
解：由题意，得 解得
x-4=0 且 2x+y=0 x=4,y=-8
x-y=4-(-8)= 4+ 8 =12 5.(2005.湖北黄冈市)已知x,y为实数,且
2 =0,则x-y的值为( +3(y-2) x 1
.
4、已知一元二次方程 2 x2 + b x + c = 0的两个根是 – 1 、3 ，则 b= ，c= .
二、选择 2 1、若方程x m x n 0 中有一个根为零，另一个根非零，则m, n 的值为 ( ) A m 0, n 0 B m 0, n 0 C m 0, n 0 D mn 0
2、垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
【人教版】九年级上册数学课件：第21章《一元二次方程》
解答此类问题的关键是把已知的根代入原方程,得到一个 关于未知字母的方程,通过解方程求得未知字母的值.
综合知识拓展
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四
拓展点四与一元二次方程的定义有关的综合题 例4 方程(m+1) ������������2+1+(m-3)x-1=0,
(1)m取何值时是关于x的一元二次方程? (2)m取何值时是关于x的一元一次方程? 分析:(1)要使关于x的方程是一元二次方程,由于(m-3)x和-1不是 关于x的方程的二次项,故(m+1) ������������2+1 必须是二次项,则有m2+1=2 且系数(m+1)≠0,求出m的值即可; (2)如果所给方程是关于x的一元一次方程,则方程中不能含有二 次项,可以考虑有两种情况:一是(m+1) ������������2+1 中x的指数为“2”,而 系数为0,不含有这一项,此时一次项系数(m-3)不为零即可;二是 (m+1)·������������2+1 中x的指数为“1”,此时与(m-3)x合并同类项后系数不 为0即可.
拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点四
综合知识拓展
解:(1)若方程是一元二次方程,则m2+1=2,
解得m=±1.
显然m=-1时m+1=0,故m=1符合题意. 所以m=1时原方程是关于x的一元二次方程. (2)当m+1=0时,解得m=-1,此时方程为-4x-1=0; 当m2+1=1时,解得m=0, 此时方程为-2x-1=0. 所以当m=-1或m=0时,原方程为关于x的一元一次方程.
知识点一 知识点二 知识点三 知识点四
教材新知精讲
列一元二次方程时,可类比列一元一次方程的方法,首先读懂 题目所给的数量关系,找出符合全部题意的等量关系,根据等 量关系列出方程,并整理即可.
2022秋九年级数学上册第21章一元二次方程21.2解一元二次方程5因式分解法解方程课件新版新人教版
解答问题：
(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 ___换__元___法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想；
13．解下列方程： (1)【2019·无锡】x2－2x－5＝0；
解：x2－2x－5＝0， (x－1)2＝6，
∴x1＝1＋ 6，x2＝1－ 6.
(2)x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0； 解：x2－( 2＋ 3)x＋ 6＝0，
(x－ 2)(x－ 3)＝0， ∴x1＝ 2，x ＝ 3.
(3)x2－8x＋4＝0. 解：x2－8x＋4＝0，x2－8x＋16＝12， (x－4)2＝12，x－4＝±2 3， ∴x1＝4＋2 3，x2＝4－2 3.
A．1 B．－3 C．－3或1 D．－1或3
错解：C 诊断设x2＋x＋1＝y，则已知等式可化为y2＋2y－3＝0， 分解因式得(y＋3)(y－1)＝0，解得y1＝－3，y2＝1. 当y＝－3时，x2＋x＋1＝－3无实数根；当y＝1时，x2＋ x＋1＝1有实数根．本题易因未讨论满足x2＋x＋1＝y的实 数x是否存在而错选C. 正解：A
14．【中考·湘潭】由多项式乘法得(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋ b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法” 进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．
示例：分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x ＋3)．
(1)尝试：分解因式：x2＋6x＋8＝(x＋___2_)(x＋___4_)；
5．【2019·怀化】一元二次方程x2＋2x＋1＝0的解是( C )
A．x1＝1，x2＝－1 C．x1＝x2＝－1
B．x1＝x2＝1 D．x1＝－1，x2＝2
6．【中考·凉山州】若关于 x 的方程 x2＋2x－3＝0 与x＋2 3＝ x－1 a有一个解相同，则 a 的值为( C ) A．1 B．1 或－3 C．－1 D．－1 或 3
九年级数学上册第21章《第二十一章章末复习》名师教案(人教版)
第21章一元二次方程章末回顾一.本章思维导图.二.典型例题.例1.用适当方法解下列一元二次方程.1.（2x＋1）2=2x＋1．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：∵（2x＋1）2－（2x＋1）=0，∴（2x＋1）（2x＋1－1）=0，即2x（2x＋1）=0，则x=0或2x＋1=0，解得：x1=0或x2=12 -．【思路点拨】因式分解法求解可得．【答案】x1=0或x2=12 -．2. x2－4x＋1=0【知识点】解一元二次方程－配方法. 【解题过程】解：∵x2－4x＋1=0，∴x2－4x=－1，∴x 2－4x ＋4=4－1，⇒（x －2）2=3，⇒2x -=∴2x =±解得122x x ==【思路点拨】本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．【答案】122x x ==3. 4x 2－3=12x【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：原方程整理为：4x 2－12x －3=0，∵a=4，b=－12，c=－3，∴∆=144－4×4×（－3）=192＞0，则x=123=82±±． 【思路点拨】利用公式法求解可得．【答案】32x ±= 4. x 2＋x －2=0．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：分解因式得：（x －1）（x ＋2）=0，可得x －1=0或x ＋2=0，解得：x 1=1，x 2=－2．【思路点拨】方程左边利用十字相乘法分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【答案】x 1=1，x 2=－2．例2.关于x 的一元二次方程（a ＋c ）x 2＋2bx ＋（a －c ）=0，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．【知识点】根的判别式；等边三角形的性质；勾股定理的逆定理.【解题过程】解：（1）∵方程有两个相等的实数根，∴（2b）2－4（a＋c）（a－c）=0，∴4b2－4a2＋4c2=0，∴a2=b2＋c2，∴△ABC是直角三角形；（2）∵当△ABC是等边三角形，∴a=b=c，∵（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）=0，∴2ax2＋2ax=0，∴x1=0，x2=－1．【思路点拨】（1）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；（2）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．【答案】（1）△ABC是直角三角形；（2）x1=0，x2=－1．例3. 近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．（1）从今年年初至5月20日，猪肉价格不断走高，5月20日比年初价格上涨了60%．某市民在今年5月20日购买2.5千克猪肉至少要花100元钱，那么今年年初猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）5月20日，猪肉价格为每千克40元.5月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克40元的基础上下调a%出售．某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克40元的情况下，该天的两种猪肉总销量比5月20日增加了a%，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比5月20日提高了110a%，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：（1）设今年年初猪肉价格为每千克x元；根据题意得：2.5×（1+60%）x≥100，解得：x≥25．答：今年年初猪肉的最低价格为每千克25元；（2）设5月20日猪肉总销量为1，则5月21日两种猪肉的总销量为1+a%.根据题意得：40（1﹣a%）×34（1+a%）+40×14（1+a%）=40（1+110a%）， 令a%=y ，原方程化为：40（1﹣y ）×34（1+y ）+40×14（1+y ）=40（1+110y ）， 整理得：5y 2﹣y=0，解得：y=0.2，或y=0（舍去），则a%=0.2，∴a=20；【思路点拨】（1）设今年年初猪肉价格为每千克x 元；根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可；（2）设5月20日两种猪肉总销量为1；根据题意列出方程，解方程即可．【答案】（1）25元；（2）20.章末检测题一．选择题1．有下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c=0，②3x （x －4）=0，③x 2＋y －3=0，④21x ＋x=2，⑤x 3－3x ＋8=0，⑥12x 2－5x ＋7=0，⑦（x －2）（x ＋5）=x 2－1．其中是一元二次方程的有（ ） A ．2 B ．3 C ．4D ．5 【知识点】一元二次方程的定义.【解题过程】解：一元二次方程有②⑥，共2个，【思路点拨】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【答案】A ．2．若m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，则2014－m 2＋5m 的值是（ ）A ．2011B ．2012C ．2013D ．2014【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵m 是一元二次方程x 2－5x －2=0的一个实数根，∴m 2－5m=2，∴2014－m 2＋5m=2014－（m 2－5m ）=2014－2=2012．【思路点拨】把m 代入方程得出m 2－5m=2，再代入到2014－m 2＋5m 即可求解．【答案】B ．3．一元二次方程4x2－2x＋14=0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【知识点】根的判别式.【解题过程】解：在方程4x2－2x＋14=0中，∆=（－2）2－4×4×14=0，∴一元二次方程4x2－2x＋14=0有两个相等的实数根．【思路点拨】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出∆=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．【答案】B．4．一元二次方程x2－6x－6=0配方后化为（）A．（x－3）2=15 B．（x－3）2=3 C．（x＋3）2=15 D．（x＋3）2=3【知识点】解一元二次方程－配方法.【解题过程】解：方程整理得：x2－6x=6，配方得：x2－6x＋9=15，即（x－3）2=15，【思路点拨】方程移项配方后，利用平方根定义开方即可求出解．【答案】A.5．已知x=2是关于x的方程x2－（m＋4）x＋4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A．6 B．8 C．10 D．8或10【知识点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质.【解题过程】解：把x=2代入方程x2－（m＋4）x＋4m=0得4－2（m＋4）＋4m=0，解得m=2，方程化为x2－6x＋8=0，解得x1=4，x2=2，因为2＋2=4，所以三角形三边为4、4、2，所以△ABC的周长为10．【思路点拨】先利用一元二次方程解的定义把x=2代入方程x2－（m＋4）x＋4m=0得m=2，则方程化为x2－6x＋8=0，然后解方程后利用三角形三边的关系确定三角形的三边，最后就是三角形的周长．【答案】C．6. 新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设这个小组有x人，则根据题意可列方程为：（x﹣1）x=72，解得：x1=9，x2=﹣8（舍去）．【思路点拨】设这个小组的人数为x个，则每个人要送其他（x﹣1）个人贺卡，则共有（x ﹣1）x张贺卡，等于72张，由此可列方程．【答案】C．7.如图，是用4个相同的小矩形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知该图案的面积为49，小正方形的面积为4，若用x，y表示小矩形的两边长（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）A．x+y=7 B．x﹣y=2 C．x2+y2=25 D．4xy+4=49【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：A、因为正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，故x+y=7正确；B、因为矩形长和宽的差为中间小正方形的边长，即x﹣y=2，故B选项是正确的；C、x2+y2=（x+y）2﹣2xy=49﹣2×454=532，故x2+y2=25是错误的；D、由B可知4xy+4=49．故选C．【思路点拨】本题中正方形图案的边长7，同时还可用（x+y）来表示，其面积从整体看是49，从组合来看，可以是（x+y）2，还可以是（4xy+4），接下来，我们再灵活运用等式的变形，即可作出判断．【答案】C8．某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则（）A．10.8（1＋x）=16.8 B．16.8（1－x）=10.8C．10.8（1＋x）2=16.8 D．10.8[（1＋x）＋（1＋x）2]=16.8【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：10.8（1＋x）2=16.8，【思路点拨】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10.8万人次×（1＋增长率）2=16.8万人次，根据等量关系列出方程即可．【答案】C．9．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多（）A．12步B．24步C．36步D．48步【知识点】一元二次方程的应用.【解题过程】解：设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60－x）步，根据题意得：x（60－x）=864，整理得：x2－60x＋864=0，解得：x=36或x=24（舍去），∴x－（60－x）=12．【思路点拨】设矩形田地的长为x步（x＞30），则宽为（60－x）步，由矩形的面积=长×宽，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，将其代入x－（60－x）中，即可求出结论．【答案】A．10．若关于x的方程kx2－3x－94=0有实数根，则实数k的取值范围是（）A．k=0 B．k≥－1且k≠0C．k≥－1 D．k＞－1【知识点】根的判别式.【解题过程】解：当k=0时，方程化为－3x－94=0，解得x=34；当k≠0时，Δ=（－3）2－4k•（－94）≥0，解得k≥－1，所以k的范围为k≥－1．【思路点拨】讨论：当k=0时，方程化为－3x－94=0，方程有一个实数解；当k≠0时，△=（－3）2－4k•（－94）≥0，然后求出两个中情况下的k的公共部分即可．【答案】C．11．已知关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，则a－b的值为（）. A．3 B.1 C .－1 D.2【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，∴b2－ab＋b=0，∵－b≠0，∴b≠0，方程两边同时除以b，得b－a＋1=0，∴a－b=1．【思路点拨】由于关于x的一元二次方程x2＋ax＋b=0有一个非零根－b，那么代入方程中即可得到b2－ab＋b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．【答案】B．12.若方程x2－4x＋1=0的两根是x1，x2，则x1（1＋x2）＋x2的值为（）．A．4 B.5 C .6 D.7【知识点】根与系数的关系.【解题过程】解：根据题意得x1＋x2=4，x1x2=1，所以x1（1＋x2）＋x2=x1＋x1x2＋x2=x1＋x2＋x1x2=4＋1=5．【思路点拨】先根据根与系数的关系得到x1＋x2=4，x1x2=1，然后把x1（1＋x2）＋x2展开得到x1＋x2＋x1x2，然后利用整体代入的方法计算即可．【答案】B．二．填空题13．一元二次方程－12x2＋4x=3的二次项系数、一次项系数和常数项的乘积为．【知识点】一元二次方程的一般形式.【解题过程】解：－12x2＋4x=3，－12x2＋4x－3=0，∵二次项系数是-12，一次项系数是4，常数项是-3，∴-12×4×（－3）=6，【思路点拨】移项，化成一元二次方程的一般形式，找出各个项系数，即可得出答案．【答案】6．14．如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．【知识点】由实际问题抽象出一元二次方程.【解题过程】解：设小道进出口的宽度为xm，根据题意，得：30×20－20×2x－30x＋2x•x=532，整理，得：x2－35x＋34=0．【思路点拨】设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程，整理后即可得出结论．【答案】x2－35x＋34=0．15．若方程3x2－5x－2=0有一根是a，则6a2－10a=．【知识点】一元二次方程的解.【解题过程】解：由题意，把是a的根代入3x2－5x－2=0，得：3a2－5a=2，∴2×（3a2－5a）=2×2，∴6a2－10a=4．【思路点拨】将a代入方程3x2－5x－2=0，得到3a2－5a=2，等式的两边都扩大为原来的2倍，问题可求．【答案】4.16．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2－x＋8=0，则△ABC的周长是．【知识点】根的判别式；解一元二次方程－因式分解法；三角形三边关系.【解题过程】解：根据题意得k≥0且（）2－4×8≥0，解得k≥329，∵整数k＜5，∴k=4，∴方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．∴△ABC的周长为6或12或10．【思路点拨】根据题意得k≥0且（）2－4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形为x2－6x＋8=0，解得x1=2，x2=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2－6x＋8=0，所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形周长．【答案】6或12或10．17．现定义运算“☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b=a2－3a＋b，若x☆2=6，则实数x的值是．【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】解：x☆2=6，x 2－3x ＋2=6，x 2－3x －4=0，（x －4）（x ＋1）=0，x －4=0，x ＋1=0，x 1=4，x 2=－1，【思路点拨】先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．【答案】4或－1．18．已知x=2b -+（b 2－4c ＞0），则x 2＋bx ＋c 的值为 ． 【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】解：∵b 2－4c ＞0）， ∴x 2＋bx ＋c=2＋b ＋c=22244b b c --＋22b -+ c=222242244b bc b c ---+ =0．【思路点拨】把x 的值代入代数式，再进行计算即可．【答案】0．三．解答题19.解下列方程：（1）（2x －1）2=25．【知识点】解一元二次方程－直接开平方法.【解题过程】解：（2x －1）2=25开方得：2x －1=5或2x －1=－5，解得：x 1=3或x 2=－2．【思路点拨】方程利用平方根定义开方即可求出解．【答案】x 1=3或x 2=－2．（2）2x 2－x=1【知识点】解一元二次方程－因式分解法.【解题过程】2x 2－x －1=0，（2x ＋1）（x －1）=0，2x ＋1=0或x －1=0，所以x 1=－12，x 2=1； 【思路点拨】先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程；【答案】x 1=－12，x 2=1. （3）x 2＋4x ＋2=0．【知识点】解一元二次方程－公式法.【解题过程】∆=42－4×2=8，x=42-±=－，所以x 1=－2，x 2=－2．【思路点拨】利用求根公式法解方程．【答案】x 1=－2，x 2=－2．20.根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm ，面积为24cm 2，求它的两条直角边的长．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设十位数字为x ，则个位数字为x+3，百位数字为x+2，根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]﹣9[（x+3）2+x 2+（x+2）2]=20，化简为27x 2-21x ﹣66=0；（2）设其中一条直角边的长为x ，则另一条直角边为（14﹣x ），根据题意得：12x （14﹣x ）=24，整理得：x2﹣14x+48=0．【思路点拨】（1）个位上的数字是几，表示几个一，十位上的数字是几就表示几个十，百位上的数字是几就表示几个百；由此求解；（2）设一边长为x，然后表示出另一边，然后利用直角三角形的面积的计算方法列出方程即可．【答案】（1）27x2-21x﹣66=0；（2）x2﹣14x+48=0．21. 如图，为美化环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积；（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的38，求出此时通道的宽．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）=38×60×40，解得：a1=5，a2=45（舍去）．答：所以通道的宽为5米．【思路点拨】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的38，列出方程进行计算即可；【答案】（1）（40﹣2a）（60﹣2a）；（2）通道的宽为5米．22.为创建和谐社会，大力发展民生工程，其中一项就是拓展市民视野，增加农民生活科技含量．为此市财政部门于2012年投资160万创建社区书屋和农村阅读室，并计划2014年投资360万元．若每年投资增长率不变，那么年投资增长率应为多少？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：设年投资增长率为x，由题意得：160×（1+x）2=360，解得：x1==50%，x2=﹣2.2（不合题意舍去）．【思路点拨】首先设年投资增长率为x，2012年的投资×（1+增长率）2=2014年投资，把相关数值代入求解即可．【答案】年投资增长率为50%．23. 随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．（1）求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？（2）在销售过程中，A型空气净化器因为净化能力强，噪音小而更受消费者的欢迎．为了增大B型空气净化器的销量，商社电器决定对B型空气净化器进行降价销售，经市场调查，当B型空气净化器的售价为1800元时，每天可卖出4台，在此基础上，售价每降低50元，每天将多售出1台，如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为多少元？【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，由题意得，60007500300x x=+，解得：x=1200，经检验x=1200是原方程的根，则x+300=1500，答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；（2）设B型空气净化器的售价为x元，根据题意得；（x﹣1200）（4+180050x-）=3200，解得：x=1600，答：如果每天商社电器销售B型空气净化器的利润为3200元，请问商社电器应将B型空气净化器的售价定为1600元．【思路点拨】（1）设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解；（2）根据总利润=单件利润×销量列出一元二次方程求解即可．【答案】（1）1500元，1200元；（2）1600元.24.已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋2mx＋m＋3=0 有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．【知识点】根的判别式.【解题过程】解：（1）根据题意得m－2≠0且△=4m2－4（m－2）（m＋3）＞0，解得m＜6且m≠2；（2）m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2＋10x＋8=0，∴（3x＋4）（x＋2）=0，∴x1=－43，x2=－2．【思路点拨】（1）根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到m－2≠0且△=4m2－4（m－2）（m＋3）＞0，然后解不等式即可；（2）根据（1）的结论得到m满足条件的最大整数为5，则原方程化为3x2＋10x＋8=0，然后利用因式分解法解方程．【答案】（1）m＜6且m≠2；（2）x1=－43，x2=－2．25. 某校初2018届学生会进行了爱心义卖活动，准备将义卖获得的利润全部用于易书吧购买图书，免费借阅给全校学生，首次购进的义卖商品单价为25元，共卖出120件，第二次购进的义卖商品的单价是20元，共卖出150件．已知首次义卖的每件售价比第二次多20元，但第二次比第一次少获得600元．（1）求第二次义卖的商品每件售价是多少元？（2）为了让全校更多同学借阅到图书，初2018届学生会决定再进行一次义卖活动，此次义卖购进的商品单价为15元，每件售价比第二次上调了a%，则卖出的件数比第二次减少2a%，若第三次获利4500元，求a的值．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）设第二次义卖的商品每件售价为x元，则第一次义卖的商品每件售价为（x+20）元，根据题意得：120（x+20﹣25）=150（x﹣20）+600，解得：x=60．答：第二次义卖的商品每件售价是60元．（2）第三次义卖的商品每件售价为60（1+a%）元，售出的件数为150（1-2a%），根据题意得：150（1﹣2a%）[60（1+a%）﹣15]=4500，解得：a=25或a=﹣50（舍去）．答：a的值为25．【思路点拨】（1）设第二次义卖的商品每件售价为x元，则第一次义卖的商品每件售价为（x+20）元，根据总利润=单件利润×销售数量结合第二次比第一次少获得600元即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）第三次义卖的商品每件售价为60（1+a%）元，售出的件数为150（1+2a%），根据总利润=单件利润×销售数量即可得出关于a的一元二次方程，解之即可得出结论．【答案】（1）60元；（2）25.26. 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P、Q、M、N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．【知识点】一元二次方程的应用【解题过程】解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形．①当点P与点N重合时，由x2+2x=20，得x1211，x2=211（舍去）．因为BQ+CM=x+3x=421﹣1）＜20，此时点Q与点M不重合．所以x=21﹣1符合题意．②当点Q与点M重合时，由x+3x=20，得x=5．此时DN=x2=25＞20，不符合题意．故点Q与点M不能重合．所以所求x211．（2）由（1）知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20﹣（x+3x）=20﹣（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．当x=2时四边形PQMN是平行四边形．②当点P在点N的右侧时，由20﹣（x+3x）=（2x+x2）﹣20，解得x1=﹣10（舍去），x2=4．当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形．（3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x＞x，所以点E一定在点P的左侧．若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF，即2x﹣x=x2﹣3x．解得x1=0（舍去），x2=4．由于当x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形．【思路点拨】（1）以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根据这两种情况来求解x的值．（2）以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧．当点P在点N的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC，BQ=PD．所以可以根据这些条件列出方程关系式．（3）如果以P，Q，M，N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形．【答案】（11；（2）x=2或x=4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；（3）不能.。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十一章 一元二次方程 第1课时 用一元二次方程解决传播问题
C．x(x＋1)＝110 D．x(x－1)＝110 5．今年国庆节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包， 并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包， 若此次抢红包活动，群内所有人共收到 90 个红包，则该群一共有( B ) A．9 人 B．10 人 C．11 人 D．12 人
9．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，
一共开辟了15条航线，则这个航空公司共有飞机场( C ) A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
10．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置 相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22).若圈出的9个数中，最 大数与最小数的积为192，则这9个数的和为( )D A.32 B．126 C．135 D．144
解：(1)观察图形，可知：第四个图中 y 的值为 10，第五个图中 y 的值为 15. 故答案为：10 15 (2)∵1＝2×2 1 ，3＝3×2 2 ，6＝4×2 3 ，10＝5×2 4 ，15＝6×2 5 ， ∴y＝x（x－2 1） ，当 x＝48 时，y＝48×（248－1） ＝1 128. 故答案为：y＝x（x－2 1） 1 128 (3)依题意，得x（x－2 1） ＝190，化简，得 x2－x－380＝0， 解得 x1＝20，x2＝－19(不合题意，舍去).答：该班共有 20 名女生
6．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同， 会议结束后统计共签订了78份合同，有__1_3_家公司出席了这次交易会．
7．两个连续偶数的和为14，积为48，则这两个连续偶数是_6_和__8．
பைடு நூலகம்
初中数学九年级上册第21章《一元二次方程》 数学活动 PPT课件
…… 三角点阵中，从上往下有无数多行，其中第一行有 1 个点，第二行有 2 个点……第 n 行有 n 个点……
1．创设情境，发现规律
前 1 行的点数和：1 前 2 行的点数和：3 前 3 行的点数和：6 前 4 行的点数和：10
……
前 n 行的点数和：？
1．创设情境，发现规律
……
用试验的方法，由上而下 逐行相加其点数，可以得到结 果，但是当 n 很大的时候，我 们怎么简捷地得出答案呢？
前 n 行的点数和： 1+2+3+…+（ n-2）+（
n-1）+n=n（n2+1）
．
2．动脑思考，解决问题
假设三角点阵中前 n 行的点数和为 300，求 n 的值． n（n2+1）= 300
n 2 + n - 600 = 0
解方程： n 1 = 24， n 2 = -25（舍去）．
2．动脑思考，解决问题
九年级 上册
数学活动
课件说明
• 本课探究三角点阵中前课件说明
• 学习目标： 1．探究发现三角点阵中前 n 行的点数规律，并能用 于计算； 2．掌握从特殊到一般，从个别到整体地观察、分析 问题的方法，建立数学模型解决问题，培养应用 意识．
1．创设情境，发现规律
三角点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能， 求出 n；如果不能，试用一元二次方程说明道理．
n（n2+1）= 600
n 2 + n - 1 200 = 0 方程无整数根，所以不存在点数和为 600 的情况．
3．拓展延伸
如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换为 2， 4，6，…，2n，…，你能探究出前 n 行的点数和满足什 么规律吗？这个三角形点阵中前 n 行的点数和能是 600 吗？如果能，求出 n；如果不能，试用一元二次方程说 明道理．