最新人教A版必修一高中数学单元测试第一章)B卷及答案

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2019-2020年高中数学第一章单元检测卷(B)新人教A版必修1

2019-2020年高中数学第一章单元检测卷（B ）新人教A 版必修1一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．下列各组对象中不能构成集合的是( )A ．北京尼赏文化传播有限公司的全体员工B ．xx 年全国经济百强县C ．xx 年全国“五一”劳动奖章获得者D ．美国NBA 的篮球明星2．能表示直线x ＋y ＝2与直线x －y ＝4的公共点的集合是( )A ．x ＝3，y ＝－1B ．(3，－1)C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{x |x <－2或x >5}，那么如图所示的阴影部分所表示的集合为( )A ．[－3,5)B ．[－2,3]C ．[－3，－2)D ．(－∞，3]∪[5，＋∞)4．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x >1}，则集合A ∩∁U B 等于( )A ．{x |1<x <2}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x <1}D ．{x |0<x ≤1}5．若集合A 、B 、C 满足A ∩B ＝A ，B ∪C ＝C ，则A 与C 之间的关系是( )A ．ACB ．CAC ．A ⊆CD ．C ⊆A6．已知f (x )、g (x )为实数函数，且M ＝{x |f (x )＝0}，N ＝{x |g (x )＝0}，则方程[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是( )A ．MB ．NC ．M ∩ND ．M ∪N7．满足M ⊆{a 1，a 2，a 3，a 4}且M ∩{a 1，a 2，a 3}＝{a 1，a 2}的集合M 的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－32x ＋y ＝6的解集的正确表示方法为( ) A ．{1,4} B ．{4,1}C ．{(1,4)}D ．{x ＝1，y ＝4}9．已知集合A ＝{0,2,3}，B ＝{x |x ＝a ·b ，a ，b ∈A }，则集合B 的子集的个数是( )A ．4个B ．8个C ．15个D ．16个10．集合M 由正整数的平方组成，即M ＝{1,4,9,16,25，…}，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的．M 对下列运算封闭的是( )A ．加法B ．减法C ．乘法D ．除法11．设集合M ＝{x |－1≤x <2}，N ＝{x |x －k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[－1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．[－1,2]12．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合运算：P *Q ＝{z |z ＝ab (a ＋b )，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，则P *Q 中元素之和是( )A ．0B ．6C．12二、填空题(13．设集合A＝{x|－3≤x≤2}，B＝{x|2k－1≤x≤2k＋1}，且A⊇B，则实数k的取值范围为________．14．定义两个数集A，B之间的距离是|x－y|min(其中x∈A，y∈B)．若A＝{y|y＝x2－1，x ∈Z}，B＝{y|y＝5x，x∈Z}，则数集A，B之间的距离为______________．15．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则满足条件的实数x组成的集合为____________．16．若A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}，B⊆A，则实数m的取值范围为________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|x2－5x＋q＝0，x∈U}，求q的值及∁U A. 18．(12分)已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤3}，N＝{x|x<1}，求M∪N，(∁U M)∩N，(∁U M)∪(∁U N)．19．(12分)已知全集U＝{x∈P|－1≤x≤2}，集合A＝{x|0≤x<2}、集合B＝{x|－0.1<x≤1}．(1)若P＝R，求∁U A中最大元素m与∁U B中最小元素n的差m－n的值；(2)若P＝Z，证明：(∁U B)∪A＝U.20．(12分)已知全集U＝{|a－1|，(a－2)(a－1)，4,6}；(1)若∁U(∁U B)＝{0,1}，求实数a的值；(2)若∁U A＝{3,4}，求实数a的值．21．(12分)设集合A＝{x∈R|2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2－2(m＋1)x＋m2＝0}．(1)若m＝4，求A∪B；(2)若B⊆A，求实数m的取值范围．22．(12分)已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R }．(1)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；(2)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．第一章集合(B)1．D [根据集合中元素的确定性来判断是否构成集合．因为A 、B 、C 中所给对象都是确定的，从而可以构成集合；而D 中所给对象不确定，原因是没有具体的标准衡量一位美国NBA 球员是否是篮球明星，故不能构成集合．]2．D [选项A 不是集合的表示方法；选项B 代表点的坐标，也不是集合的表示；选项C 是表示了集合，但里面的元素是3和－1，而两条直线的公共点是一个坐标，表示由这样的点构成的集合应把点的坐标放在集合中．]3．B [化简集合A ，得A ＝{x |－3≤x ≤3}，集合B ＝{x |x <－2或x >5}，所以A ∩B ＝{x |－3≤x <－2}，阴影部分为∁A (A ∩B )，即为{x |－2≤x ≤3}．]4．D [因为∁U B ＝{x |x ≤1}，所以A ∩∁U B ＝{x |0<x ≤1}．]5．C [∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，∵B ∪C ＝C ，∴B ⊆C ，∴A ⊆C ，故选C.]6．C [若[f (x )]2＋[g (x )]2＝0，则f (x )＝0且g (x )＝0，故[f (x )]2＋[g (x )]2＝0的解集是M ∩N .]7．B 8.C9．A [B ＝{0,6}，子集的个数为22＝4个．]10．C [设a 、b 表示任意两个正整数，则a 2、b 2的和不一定属于M ，如12＋22＝5∉M ；a 2、b 2的差也不一定属于M ，如12－22＝－3∉M ；a 2、b 2的商也不一定属于M ，如1222＝14∉M ；因为a 、b 表示任意两个正整数，a 2·b 2＝(ab )2，ab 为正整数，所以(ab )2属于M ，即a 2、b 2的积属于M .故选C.]11．B12．D [∵P ＝{0,1}，Q ＝{2,3}，a ∈P ，b ∈Q ，故对a ，b 的取值分类讨论．当a ＝0时，z ＝0；当a ＝1，b ＝2时，z ＝6；当a ＝1，b ＝3时，z ＝12.综上可知：P *Q ＝{0,6,12}，元素之和为18.]13．[－1，12] 解析由题意，∴实数k 的取值范围为[－1，12]． 14．0解析集合A 表示函数y ＝x 2－1的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为－1,0,3,8,15,24，….集合B 表示函数y ＝5x 的值域，由于x ∈Z ，所以y 的值为0,5,10,15，….因此15∈A ∩B .所以|x －y |min ＝|15－15|＝0.15．{－3,2}解析 ∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3和2符合集合中元素的互异性，故所求的集合为{－3,2}．16．[－1，＋∞)解析 ∵B ⊆A ，当B ＝∅时，得2m －1>m ＋1，∴m >2，当B ≠∅时，解得－1≤m ≤2.综上所述，m 的取值范围为m ≥－1.17．解设方程x 2－5x ＋q ＝0的两根为x 1、x 2，∵x ∈U ，x 1＋x 2＝5，∴q ＝x 1x 2＝1×4＝4或q ＝x 1·x 2＝2×3＝6.当q ＝4时，A ＝{x |x 2－5x ＋4＝0}＝{1,4}，∴∁U A ＝{2,3,5}；当q ＝6时，A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}，∴∁U A ＝{1,4,5}．18．解由题意得M ∪N ＝{x |x ≤3}，∁U M ＝{x |x >3}，∁U N ＝{x |x ≥1}，则(∁U M )∩N ＝{x |x >3}∩{x |x <1}＝∅，(∁U M )∪(∁U N )＝{x |x >3}∪{x |x ≥1}＝{x |x ≥1}．19．(1)解 ∁U A ＝{x |－1≤x <0，或x ＝2}，∴m ＝2，又∁U B ＝{x |－1≤x ≤0.1，或1<x ≤2}，∴n ＝－1，∴m －n ＝2－(－1)＝3；(2)证明 ∵P ＝Z ，∴U ＝{－1,0,1,2}，A ＝{0,1}，B ＝{0,1}，∴∁U B ＝{－1,2}，从而(∁U B )∪A ＝U .20．解 (1)∵∁U (∁U B )＝B ＝{0,1}，且B ⊆U ，∴|a －1|＝0，且(a －2)(a －1)＝1；或|a －1|＝1，且(a －2)(a －1)＝0；第一种情况显然不可能，在第二种情况中由|a －1|＝1得a ＝0或a ＝2，而a ＝2适合(a －2)(a －1)＝0，∴所求a 的值是2；(2)依题意知|a －1|＝3，或(a －2)(a －1)＝3，若|a －1|＝3，则a ＝4或a ＝－2；若(a －2)(a －1)＝3，则a ＝3±132，经检验知a ＝4时，(4－2)(4－1)＝6，与集合中元素的互异性相矛盾，∴所求的a 的值是－2，或3±132. 21．解 (1)当m ＝4时，A ＝{x ∈R|2x －8＝0}＝{4}，B ＝{x ∈R|x 2－10x ＋16＝0}＝{2,8}， ∴A ∪B ＝{2,4,8}．(2)若B ⊆A ，则B ＝∅或B ＝A .当B ＝∅时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)<0，得m <－12；当B ＝A 时，有Δ＝[－2(m ＋1)]2－4m 2＝4(2m ＋1)＝0，且－－2m ＋12＝4，解得m 不存在．故实数m 的取值范围为(－∞，－12)．22．解 A 中元素x 即为方程ax 2＋2x ＋1＝0(a ∈R ，x ∈R)的解．(1)∵A 中只有一个元素，∴ax 2＋2x ＋1＝0只有一解．当a ＝0时，方程为2x ＋1＝0，解得x ＝－12符合题意；当a ≠0且Δ＝4－4a ＝0即a ＝1时，方程的解x 1＝x 2＝－1，此时A 中也只有一元素－1.综上可得：当a ＝0时，A 中的元素为－12；当a ＝1时，A 中的元素为－1. (2)若A 中只有一个元素，由(1)知a ＝0或a ＝1，若A 中没有元素，即方程ax 2＋2x ＋1＝0无解，解得a >1，综上可得：a >1或a ＝0或a ＝1..。

人教版A版高中数学必修第一册第一章综合测试01试题试卷含答案答案在前

第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】A【解析】A 显然正确；0不是集合，不能用符号“⊆”，B 错误；∅不是M 中的元素，C 错误；M 为无限集，D 错误. 2.【答案】D【解析】{}=0469B ，，，，B ∴的子集的个数为42=16. 3.【答案】D【解析】对于①，当=4a 为正整数；对于②，当=1x 时，为正整数；对于③，当=1y 时，为正整数，故选D .4.【答案】A【解析】由1231x --＜＜，得12x ＜＜，即{}|12x x x ∈＜＜，由30x x -（）＜，得03x ＜＜，即{}|03x x x ∈＜＜，{}|12x x ＜＜是{}|03x x ＜＜的真子集，{}|03x x ＜＜不是{}|12x x ＜＜的子集，故选A .5.【答案】D【解析】两个集合的交集其实就是曲线和直线的交点，注意结果是两对有序实数对. 6.【答案】B【解析】{=|=0A B x x 或}1x ≥，A 错误；{}=12A B ，，B 正确；{}{}R =|1=0A B x x B （）＜，C 错误；{}R =|0A B x x （）≠ ，D 错误.7.【答案】B【解析】方法一：11a a ⇒⇒＞，1011a a ⇒-⇒）＞＞，∴甲是乙的充要条件，故选B .方法二：20a a a a ⎧⇔⎨⎩＞，＞，，1a ∴＞，故选B .8.【答案】C【解析】由题意得N M ⊆，由Venn 图（图略）可知选C . 9.【答案】C【解析】由题意知，0=2bx a-为函数2=y ax bx c ++图象的对称轴方程，所以0y 为函数y 的最小值，即对所有的实数x ，都有0y y ≥，因此对任意x ∈R ，0y y ≤是错误的，故选C .10.【答案】D【解析】{}=|1U B x x - ＞，{}=|0U A B x x ∴ ＞ .{}=|0U A x x ≤ ，{}=|1U B A x x ∴- ≤ .{=|0U U A B B A x x ∴ （）（）＞或}1x -≤.11.【答案】A【解析】一元二次方程2=0x x m ++有实数解1=1404m m ⇔∆-⇔≥≤.当14m ＜时，14m ≤成立，但14m ≤时，14m ＜不一定成立.故“14m ＜”是“一元二次方程2=0x x m ++有实数解”的充分不必要条件.12.【答案】C【解析】A C A B ⊇ （）（），U U A C A B∴⊆ （）（），∴①为真命题.A C A B ⊆ （）（），U U A C A B∴⊇ （）（），即U U U U A C A B ⊇ （）（），∴②为真命题.由Venn 图（图略）可知，③为假命题.故选C . 二、13.【答案】x ∀∈R ，210x +≥【解析】存在量词命题的否定是全称量词命题. 14.【答案】0【解析】依题意得，23=3m m ，所以=0m 或=1m .当=1m 时，违反集合中元素的互异性（舍去）. 15.【答案】充分不必要【解析】由=2a 能得到1)(2)0(=a a --，但由1)(2)0(=a a --得到=1a 或=2a ，而不是=2a ，所以=2a 是1)(2)0(=a a --的充分不必要条件. 16.【答案】12【解析】设全集U 为某班30人，集合A 为喜爱篮球运动的15人，集合B 为喜爱乒乓球运动的10人，如图.设所求人数为x ，则108=30x ++，解得=12x . 三、17.【答案】（1）命题的否定：有的正方形不是矩形，假命题（2.5分）（2）命题的否定：不存在实数x ，使31=0x +，假命题.（5分）（3）命题的否定：x ∀∈R ，2220x x ++＞，真命题.（7.5分）（4）命题的否定：存在0x ，0y ∈R ，00110x y ++-＜，假命题.（10分）18.【答案】（1）{=|1U A x x - ＜或1x ≥，{=|12U A B x x ∴（）≤≤ .（6分）（2）{}=|01A B x x ＜＜，{=|0U A Bx x ∴ （）≤ 或}1x ≥.（12分） 19.【答案】①若=A ∅，则2=240p ∆+-（）＜，解得40p -＜＜.（4分）②若方程的两个根均为非正实数，则12120=200.10.=x x p p x x ∆⎧⎪+-+⎨⎪⎩≥，（）≤，解得≥＞（10分）综上所述，p 的取值范围是{}|4p p -＞.（12分） 20.【答案】证明：①充分性：若存在0x ∈R ，使00ay ＜，则2220004=4b ab b a y ax bx ----（） 222000=444b abx a x ay ++-200=240b ax ay +-（）＞，∴方程=0y 有两个不等实数根.（6分）②必要性：若方程=0y 有两个不等实数根. 则240b ab -＞，设0=2bx a-，则20=22b b ay a a b c a a ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（）（） 2224==0424b b ac b ac --+＜（10分）由①②知，“方程=0y 有两个不等实根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.（12分） 21.【答案】（1）当=2a 时，{}=|17A x x ≤≤，{}=|27AUB x x -≤≤，（3分）{R =|1A x x ＜或}7x ＞，{}R =|21A B x x - （）≤＜ .（6分）（2）=A B A ，A B ∴⊆.①若=A ∅，则123a a -+＞，解得4a -＜；（8分）②若A ∅≠，则12311212234.a a a a a -+⎧⎪⎪---⎨⎪+⎪⎩≤，≥，解得≤≤≤，（10分）综上可知，a 的取值范围是1|412a a a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭＜或≤≤.（12分）22.【答案】设选修甲、乙、丙三门课的同学分别组成集合A ，B ，C ，全班同学组成的集合为U ，则由已知可画出Venn 图如图所示.（2分）选甲、乙而不选丙的有2924=5-（人），选甲、丙而不选乙的有2824=4-（人），选乙、丙而不选甲的有2624=2-（人），（6分）仅选甲的有382454=5---（人），仅选乙的有352452=4---（人），仅选丙的有312442=1---（人），（8分）所以至少选一门的人数为24542541=45++++++，（10分）所以三门均未选的人数为5045=5-.（12分）第一章综合测试一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}=|23M x x -＜＜，则下列结论正确的是（） A .2.5M ∈ B .0M ⊆C .M ∅∈D .集合M 是有限集2.已知集合{}=023A ，，，{}=|=B x x ab a b A ∈，，，则集合B 的子集的个数是（） A .4B .8C .15D .163.下列存在量词命题中，真命题的个数是（）①存在一个实数a 为正整数；②存在一个实数x ，使为正整数；③存在一个实数y 为正整数. A .0B .1C .2D .34.已知1231p x --:＜＜，30q x x -:（）＜，则p 是q 的（） A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件D .既不充分也不必要条件5.设集合{}2=|=+M x y y x x （，），{}N=|=+16x y y x （，），则M N 等于（） A .416（，）或412-（，）B .{420，，}412-， C .{412（，），}420-（，）D .{420（，），}412-（，）6.若集合{}=|1A x x ≥，{}=012B ，，，则下列结论正确的是（） A .{}=|0A B x x ≥B .{}=12A B ，C .{}R =01A B （），D .{}R =|1A B x x（）≥7.甲：“1a ＞”是乙：“a ”的（） A .既不充分也不必要条件 B .充要条件 C .充分不必要条件D .必要不充分条件8.已知全集*=U N ，集合{}*=|=2M x x n n ∈N ，，{}*=|=4N x x n n ∈N ，，则（）A .=U M NB .=U U M N （）C .=U U M N （）D .=U U M N （）9.已知0a ＞，函数2=++y ax bx c .若0x 满足关于x 的方程2+b=0ax ，则下列选项中的命题为假命题的是（）A .存在x ∈R ，y y 0≤B .存在x ∈R ，0y y ≥C .对任意x ∈R ，y y 0≤D .对任意x ∈R ，0y y ≥10.已知=U R ，{}=|0A x x ＞，{}=|1B x x -≤，则U U A B B A （）（）等于（）A .∅B .{}|0x x ≤C .{}|1x x -＞D .{|0x x ＞或}1x -≤11.“14m ＜”是“一元二次方程2++=0x x m 有实数解”的（）A .充分不必要条件B .充要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件12.已知U 为全集，A ，B ，C 是U 的子集，A C A B ⊆ （）（），A C A B ⊇ （）（），则下列命题中，正确的个数是（）①U U A C A B ⊆ （）（）； ②U U U U A C A B ⊇ （）（）；③C B ⊆. A .0B .1C .2D .3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上） 13.命题：“0x ∃∈R ，2+10x ＜”的否定是________.14.设集合{}2=33A m ，，{}=33B m ，，且=A B ，则实数m 的值是________. 15.若a ∈R ，则“=2a ”是“(1)(2)=0a a --”的________条件.16.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）写出下列命题的否定并判断其真假. （1）所有正方形都是矩形；（2）至少有一个实数0x 使3+1=0x ；（3）0x ∃∈R ，2+2+20x x ≤；（4）任意x ，y ∈R ，+1+10x y -≥.18.（本小题满分12分）设全集=U R ，集合{}=|11A x x -≤＜，{}=|02B x x ＜≤.（1）求U A B （）；（2）求U A B（） .19.（本小题满分12分）已知{}2=|+2++1=0A x x p x x ∈Z （），，若{}|0=A x x ∅ ＞，求p 的取值范围.20.（本小题满分12分）已知2=0y ax bx c a b c a ++∈R （，，，且≠）.证明：“方程=0y 有两个不相等的实数根”的充要条件是“存在0x ∈R ，使00ay ＜”.21.（本小题满分12分）已知集合{}=|12+3A x a x a -≤≤，{}=|24B x x -≤≤，全集=.U R（1）当=2a 时，求A B 和R A B （）；（2）若=A B A ，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）某班有学生50人，学校开设了甲、乙、丙三门选修课，选修甲的有38人，选修乙的有35人，选修丙的有31人，兼选甲、乙两门的有29人，兼选甲、丙两门的有28人，兼选乙、丙两门的有26人，甲、乙、丙三门均选的有24人，那么这三门均未选的有多少人？。

人教版高中数学必修一第一章单元测试(含答案)

高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷佛冈中学全校学生家长的全体 1、下列各组对象中不能构成集合的是（）A 、佛冈中学高一（20）班的全体男生B 、C 、李明的所有家人D 王明的所有好朋友选择（将题的填入2、已知集合A x R|x 5 ,B x R x 1 ,那么AI B 等于3、4、5、 A 、6、 7、 A. C. {2, 2,3,4,5 3,4} D.B.2, 3,4,12,3,4,5,6,7,8 ，集合 A {1,2,315}, 设全集U 则图中的阴影部分表示的集合为（）A. 2B. 4,6C. 1,3,5D. 4,6,7,8 下列四组函数中表示同一函数的是 A. f(x) x , g(x) (Tx )2B. f (x) C. f (x)廉,g(x) |x|D. f(x) 函数 f(x)= 2x 2- 1 , x? (0,3) o1B 1C 、2D B {2,4,6} ()x 2,g(x) x 1 0 , g(x) < x 1 ■. 1 x若f （a ）= 7,则a 的值是（） x 2,(x 0)血设f(x) !,(x 0),则f[f(1)]() A 3B 1C.0D.-1 函数f （x ） = . x + 3的值域为（） A 、[3 , +x ） B 、（一x, 3]C 、[0 , +x ）D R 8、下列四个图像中，不可能是函数图像的是（） 9、设f （x ）是R上的偶函数，且在 [0,+ x ）上单调递增，则f(-2),f(3),f(- )的大小顺序是：() A f(- )>f(3)>f(-2)B 、f(- )>f(-2)>f(3) C 、f(-2)>f(3)>f(- )D 、f(3)>f(-2)>f(- ) 10、在集合｛a , b , c , d ｝上定义两种运算和如下:那么 b (a c)() A. aB. bC. cD. d二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11、函数y 1 (x 3)0的定义域为12、函数f(x) x 2 6x 10在区间［0,4］的最大值是Q I /'13、若 A { 2,2,3,4} , B {x|x t 2,t A}，用列举法表示 B 是.14、下列命题：①集合a,b,c,d 的子集个数有16个；②定义在R 上的奇函数f(x)必满足f (0) 0 ; ③f(x) 2x 1 2 2 2x 1既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与y 轴相交；⑤f(x)」x在 ,0 U 0, 上是减函数。

人教A版高中数学选修一第一章节B卷答案

答案部分B11．解析：①不是命题，因为不涉及真假。

②和③都不是命题，因为句子中含有变量x ，在不给定变量的值之前，我们无法判定语句的真假。

④不是命题，因为疑问句不作出判断，故不是命题。

⑤是命题，是假命题，数1不是质数也不是合数。

⑥不是命题，它是祈使句，没有作出判断。

选A 。

2．解析：由四种命题的相互关系，可知否命题与逆命题互为逆否命题。

选B 。

3．解析：充分性：不失一般性，设060B ∠=，则由三角形的内角和为0180知：0120A C ∠+∠=，即2B A C ∠=∠+∠，所以A ∠、B ∠、C ∠成等差数列。

必要性：设A ∠、B ∠、C ∠成等差数列，则2B A C ∠=∠+∠，由三角形的内角和为0180知：0180A C B ∠+∠=-∠，所以03180B ∠=，所以060B ∠=。

4．解析：A 是否命题，B 是逆命题，C 是逆否命题，D 是为凑足四个选支而设置的干扰项。

选A 。

5．解析：240b ac ∆=-≥是实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有实根的充要条件，利用该结论知①、②、③正确，由于240b ac ∆=-=时，方程有相等的实根，故④也是正确的。

选D 。

6．解析：①②③均为假命题，④是真命题。

故选C 。

7．解析：原命题是真命题，所以逆否命题是真命题。

逆命题是：“已知,,,a b c d 是实数，若a c b d +=+，则a b =，c d =”，它是一个假命题，所以原命题的否命题也是假命题。

故四个命题中共有2个真命题。

故选B 。

8．解析：原命题的逆命题：若q 则p ，它是一个真命题，所以q p ⇒，所以p 是q 的必要条件。

故选B 。

9．解析：D 是充要条件，A 和B 都不充分，只有C 符合题意。

故选C 。

10．解析：由1a h -<且1b h -<得()()1111a b a b a b -+-≥---=-，所以有2a b h -<，∴p 是q 的必要条件。

人教A版高一数学必修第一册第一章《集合与常用逻辑用语》单元练习题卷含答案解析(33)

2021年11月02日高中数学试卷-5（共22题）一、选择题（共10题）1.已知a=3，A={x∣ x≥√2}，则( )A．a∈A B．a∉A C．{a}=A D．a∉{a}2.已知集合A={x∣ 0<x≤2}，B={x∣ 1<x<3}，则A∩B=( )A．{x∣ 0<x<3}B．{x∣ 2<x<3}C．{x∣ 0<x≤1}D．{x∣ 1<x≤2}3.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是( )A．∀x,y∈R，x2+y2≥2xy B．∃x,y∈R，使x2+y2≥2xyC．∀x>0，y>0，x2+y2≥2xy D．∃x<0，y<0，使x2+y2≥2xy4.设命题p:∃n∈N，n2>2n，则¬p为( )A．∀n∈N，n2>2n B．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n5.若集合A⊆{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有( )A．3个B．4个C．5个D．6个6.命题“∀x>0，lnx≥1−1x”的否定是( )A．∃x0≤0，lnx0≥1−1x0B．∃x0≤0，lnx0<1−1x0C．∃x0>0，lnx0≥1−1x0D．∃x0>0，lnx0<1−1x07.已知集合A={1,2,3}，B={1,2,4}则A∩B=( )A．{2}B．{2,3}C．{1,2}D．{1,2,3,4}8.下列关系中错误的个数是( )① 1∈{0,1,2}；② {1}∈{0,1,2}；③ {0,1,2}⊆{0,1,2}；④ {0,1,2}={2,0,1}；⑤ {0,1}⊆{(0,1)}．A．1B．2C．3D．49.已知集合A={1,2,3,4}，B={2,3,4,5}，则A∩B中元素的个数是( )A．1B．2C．3D．410.设集合A={x∣ −1<x≤1}，B={−1,0,1,2}，则A∩B=( )A．{−1,0,1}B．{−1,0}C．{0,1}D．{1,2}二、填空题（共6题）11.若集合A={x∣ −1≤x≤2}，B={x∣ x<a}．（1）若A⊆B，则实数a的取值范围是；（2）若a=1，则A∩(∁R B)=．12.已知集合A={1,2,4}，B={2,4,6}，则A∪B=．13.已知命题p：“∃x0∈R，ex0−x0−1≤0”，则¬p为．14.已知集合A={0,1,2,8}，B={−1,1,6,8}，那么A∩B=．15.交集①文字语言：一般地，由集合A和集合B的组成的集合，叫做A与B的交集，记作（读作“A交B”）．②符号语言：A∩B=．③文氏图表示：16.已知集合A={1,2}，B={−1,x}．若A∩B={2}，则x=．三、解答题（共6题）<x<2}，集合Q={x∣ m−1≤x≤3m−2}．17.已知集合P={x∣ 14(1) 当m=1时，求P∪Q及∁R Q；(2) 若P∩Q=Q，求实数m的取值范围．18. 已知集合 A ={x∣ x 2−2x −3≤0,x ∈R }，B ={x∣ x 2−2mx +m 2−4≤0,x ∈R,m ∈R }．(1) 若 A ∩B =[0,3]，求实数 m 的值； (2) 若 A ⊆∁R B ，求实数 m 的取值范围．19. 求下列方程组的解集．(1) {3x −y +z =10,x +2y −z =6,x +y +2z =17;(2) {x 2−4y 2=12,x +2y =6.20. 判断下列命题的真假：(1) ∃x ∈R ，x 3<1； (2) ∃x ∈Q ，x 2=3．21. 已知集合 A ={x ∈R∣ ax 2−3x +2=0,a ∈R } .(1) 若 A 是空集，求 a 的取值范围．(2) 若 A 中只有一个元素，求 a 的值，并写出集合 A ．22. 对于任意的有理数 a ，b ，c ，d ，我们规定：∣∣∣ab cd ∣∣∣=ad −bc ，根据这一规定，解答以下问题：若 x ，y 同时满足 ∣∣x −y −65∣∣=13，∣∣∣34−y x ∣∣∣=4，求 ∣∣x −y 3−2∣∣ 的值．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】A【解析】a=3，3>√2，则a∈A，{a}⊆A．【知识点】元素和集合的关系2. 【答案】D【知识点】交、并、补集运算3. 【答案】A【解析】x2+y2≥2xy对一切实数x，y均成立．【知识点】全称命题与特称命题4. 【答案】C【解析】命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n．【知识点】全（特）称命题的否定5. 【答案】D【解析】集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．【知识点】n元集合的子集个数6. 【答案】D【解析】“∀x>0，lnx≥1−1x ”的否定为∀x>0，lnx≥1−1x不恒成立，即“∃x0>0，lnx0<1−1x0”．故选D．【知识点】全（特）称命题的否定7. 【答案】C【知识点】交、并、补集运算8. 【答案】B【解析】①正确；因为集合{1}是集合{0,1,2}的真子集，不能用∈来表示，所以②错误；③正确，因为任何集合都是它本身的子集；④正确，因为集合中元素具有无序性；因为集合{0,1}表示数集，它有两个元素，而集合{(0,1)}表示点集，它只有一个元素，所以⑤错误，所以错误的个数是2．【知识点】包含关系、子集与真子集9. 【答案】C【解析】由题得A∩B={2,3,4}，所以A∩B中元素的个数是3．【知识点】交、并、补集运算10. 【答案】C【解析】A∩B={0,1}．【知识点】交、并、补集运算二、填空题（共6题）11. 【答案】{a∣ a>2}；{x∣ 1≤x≤2}【解析】（1）若A⊆B，则a>2；（2）因为B={x∣ x<1}，所以∁R B={x∣ x≥1}，所以A∩(∁R B)={x∣ 1≤x≤2}．【知识点】包含关系、子集与真子集、交、并、补集运算12. 【答案】{1,2,4,6}【解析】因为A={1,2,4}，B={2,4,6}，所以A∪B={1,2,4,6}．【知识点】交、并、补集运算13. 【答案】“∀x∈R，e x−x−1>0”【解析】根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬p为“∀x∈R，e x−x−1>0”．【知识点】全（特）称命题的否定14. 【答案】{1,8}【解析】根据交集定义A∩B={x∣ x∈A且x∈B}求结果．由题设和交集的定义可知：A∩B= {1,8}．【知识点】交、并、补集运算15. 【答案】所有公共元素；A∩B；{x∣ x∈A且x∈B}【知识点】交、并、补集运算16. 【答案】2【知识点】交、并、补集运算三、解答题（共6题）17. 【答案】(1) 当m=1时，Q={x∣ 0≤x≤1}，所以P∪Q={x∣ 0≤x<2}，∁R Q ={x∣ x <0或x >1}．(2) 因为 P ∩Q =Q ，所以 Q ⊆P ，①当 m −1>3m −2，即 m <12 时，Q =∅，满足题意，②当 m −1≤3m −2，即 m ≥12 时，{m −1>14,3m −2<2, 解得 54<m <43，综合①②可得：实数 m 的取值范围 {m∣ m <12或54<m <43}．【知识点】交、并、补集运算、包含关系、子集与真子集18. 【答案】(1) 由已知得 A ={x∣ −1≤x ≤3}，B ={x∣ m −2≤x ≤m +2}．因为 A ∩B =[0,3]，所以 {m −2=0,m +2≥3, 故 {m =2,m ≥1,所以 m =2．(2) ∁R B ={x∣ x <m −2或x >m +2}．因为 A ⊆∁R B ，所以 m −2>3 或 m +2<−1，所以 m >5 或 m <−3．所以 m 的取值范围为 (−∞,−3)∪(5,+∞)．【知识点】交、并、补集运算、包含关系、子集与真子集19. 【答案】(1) 因为 {3x −y +z =10, ⋯⋯①x +2y −z =6, ⋯⋯②x +y +2z =17, ⋯⋯③所以① + ②得 4x +y =16, ⋯⋯④ ② ×2+ ③得 3x +5y =29, ⋯⋯⑤ 由④⑤组成方程组 {4x +y =16,3x +5y =29, 解得 {x =3,y =4,将 x =3，y =4 代入③得 z =5，所以方程组的解集为 {(x,y,z )∣ (3,4,5)}． (2) 因为 {x 2−4y 2=12, ⋯⋯①x +2y =6, ⋯⋯②由①得 (x +2y )(x −2y )=12, ⋯⋯③将②代入③得 6(x −2y )=12，即 x −2y =2，原方程组化为 {x −2y =2,x +2y =6, 解得 {x =4,y =1,所以原方程组的解集是 {(x,y )∣ (4,1)}．【知识点】集合的表示方法20. 【答案】(1) 因为 0∈R ，当 x =0 时，x 3=0<1，所以“∃x ∈R ，x 3<1”是真命题．(2) 因为使得 x 2=3 成立的数只有 ±√3，而 √3∉Q ，−√3∉Q ，所以“∃x ∈Q ，x 2=3”是假命题．【知识点】全（特）称命题的概念与真假判断21. 【答案】(1) 要使 A 为空集，方程 ax 2−3x +2=0 应无实数根，所以应满足 {a ≠0,Δ<0,解得 a >98．(2) 当 a =0 时，方程为一元一次方程，有一解 x =23；当 a ≠0 时，方程为一元二次方程，此时使集合 A 中只有一个元素的条件是 Δ=0，解得 a =98，此时 x =43．综上，当 a =0 时，A ={23}；当 a =98 时，A ={43}．【知识点】元素和集合的关系22. 【答案】根据题意可知 {5x −6y =13,3x +4y =4,解得 {x =2,y =−12.当 x =2，y =−12 时，∣∣x −y 3−2∣∣=−2x +3y =−2×2+3×(−12)=−4−32=−112．【知识点】集合的表示方法。

高中数学第一单元集合与函数概B卷单元测试新人教A版必修1

集合与函数本试卷满分：100分；考试时间：90分钟一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.下列函数中与函数y =x -1相同的是（） A ．y =(1-x )2B ．y =2)1(-xC ．y =1123++-x x xD ．y =112+-x x2.下列函数表示偶函数的是（） A ．y =2xB ．y =x 3C ．y =x +1D ．y =x 2(-1<x ≤1) 3.函数y =242x x ---的定义域是（）A ．{2}B ．{1，2}C ．{x |x ≤-2}D ．∅4.已知符号函数：sgn （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>).0(1),0(0),0(1x x x 不等式sgn （x -2）<1的解集是（）A ．x ≤2B ．x <2C ．x ≥2D ．x <3 5.已知f （x ）是奇函数，且当x >0时，f （x ）=x （1-x ），则x <0时，f （x ）为（） A ．-x （1-x ） B ．x （1-x ） C ．x （1+x ）D ．-x （1+x ）6.已知集合A ={（x ,y ）|2x -y =0}，集合B ={（x ，y ）|x -y =3}，则集合A ∩B 是（） A ．{-6，-3}B ．{（-3，-6）}C ．{3，6}D ．（-3，-6）7.函数f (x )=xx x -+-||1212的定义域是（）A ．{x |x ≤0}B ．{x |x ≤-1）C ．{x |x ≥1）D ．{x |x ≤-1或x ≥1）8.已知狄利克雷函数的定义为：则D （x ）的图象是（）A ．两条平行直线B ．两条平行直线上稠密的点C ．两条相交直线D ．两条相交直线上稠密的点 9.函数y =2x +x1（x ≥1）的值域是（）A ．{y |y ≥3}B ．{y |y ≥22}C ．{y |y ≥4}D ．{y |22≤y ≤3} 10.函数y =x 1-x 的大致图象是（）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上） 11.在给定A →B 的映射f ：（x ，y ）→（x +y ，x -y ）下，集合A 中的元素（2，1）对应着B 中的元素__________．12.函数y =|x -3|的递减区间是__________．13.函数f （x ）对于任意的x 1，x 2∈R +恒有f （x 1+x 2）＝f （x 1）+f （x 2）成立，且f （1）=41，则f （2 008）=__________．14.要修一个面积为800 m 2的长方形的网球场，并且四周修前后l m ，左右2 m 的小路（如图），则占地面积的最小值是__________m 2．三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地：速率不超过c km ／h ．已知汽车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成．可变部分与速率钞km ／h 的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．（1）把全部运输成本y 元表示成速率v km ／h 的函数，指出函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速率行驶?16.函数y =f (x )的图象如图所示．（1）函数y =f （x ）的定义域可能是什么? （2）函数y =f （x ）的值域可能是什么? （3）y 的哪些值只与x 的一个值对应?17.先用定义判断函数f （x ）=1+12 x 在区间[2，6]上的单调性，再求函数f (x )在区间[2，6]上的最大值和最小值．18.（1）求下列函数的定义域： ①1231)(2-++-=x x x x f ；②03)1(1312)(-+++-=x x x x f .（2）已知函数f （x ）= 213+++x x .①求f （-3）、f (32)的值；②当m >0时，求f （m -1）的值．19.设某公民的月所得（工资、薪金所得）x 元，每月纳所得税f （x ）元是x 的函数．当前国家制定的《个人所得税率表》如下：（2）某人在某月缴纳个人所得税是240元，他那个月的工资、薪金收入是多少元?（结果保留整数）。

最新人教A版高一数学必修一单元测试题全套及答案

最新人教A 版高一数学必修一单元测试题全套及答案第一章单元质量评估时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知全集U ＝R ，集合P ＝{x ∈N *|x <7}，Q ＝{x |x －3>0}，那么图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,2,3,4,5,6}B ．{x |x >3}C ．{4,5,6}D ．{x |3<x <7}2．若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A ．4 B ．2 C ．0D ．0或43．下表给出函数y ＝f (x )的部分对应值，则f (1)＝( )x －1 0 1 478y2π1 －3 1A. π C ．8D ．04．下列四个函数中，在(－∞，0)上是增函数的为( ) A ．f (x )＝x 2＋1B ．f (x )＝1－1xC ．f (x )＝x 2－5x －6D ．f (x )＝3－x5．函数f (x )＝1＋x ＋x 2＋11－x 的定义域为( )A ．[－1，＋∞)B ．(－∞，－1]C ．RD ．[－1,1)6．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π7．已知函数f (x )的定义域为(3－2a ，a ＋1)，且f (x ＋1)为偶函数，则实数a 的值等于( )A.23 B ．2 C ．4D ．68．已知函数y ＝k (x ＋2)－1的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f (x )＝3x ＋b 的图象上，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3727等于( )A.89 B.79 C.59D.299．已知函数y ＝f (x )在(0,2)上为增函数，函数y ＝f (x ＋2)为偶函数，则f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72B ．f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5210．定义运算ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，则函数f (x )＝x 2|x |的图象是( )11．若函数y ＝f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则f (x )＋f (－x )2x<0的解集为( ) A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)12．函数f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2在[0，a ]上的最大值为3，最小值为2，则a 的值为( )A ．0B ．1或2C ．1D ．2二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知f (x ＋2)＝x 2－4x ，则f (x )＝________.14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，则f (7.5)＝________.15．已知二次函数f (x )＝x 2＋2ax －4，当a ________时，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，当a ________时，函数f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．答案1．C P ＝{1,2,3,4,5,6}，Q ＝{x |x >3}，则阴影部分表示的集合是P ∩Q ＝{4,5,6}．2．A 当a ＝0时，方程ax 2＋ax ＋1＝0无解，这时集合A 为空集，故排除C 、D.当a ＝4时，方程4x 2＋4x ＋1＝0只有一个解x ＝－12，这时集合A 只有一个元素，故选A. 3．A4．B A ，C ，D 选项中的三个函数在(－∞，0)上都是减函数，只有B 正确．5．D 要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥0，1－x >0，解得－1≤x <1，所以函数的定义域为[－1,1)． 6．B 因为π是无理数，所以g (π)＝0，所以f (g (π))＝f (0)＝0.故选B.7．B 因为函数f (x ＋1)为偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，即函数f (x )关于x ＝1对称，所以区间(3－2a ，a ＋1)关于x ＝1对称，所以3－2a ＋a ＋12＝1，即a ＝2，所以选B.8．A 由题知A (－2，－1)．又由A 在f (x )的图象上得3×(－2)＋b ＝－1，b ＝5，则f (x )＝3x ＋5，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3727＝89.故选A.9．A y ＝f (x ＋2)关于x ＝0对称，则y ＝f (x )关于x ＝2对称，因为函数f (x )在(0,2)上单调递增，所以函数f (x )在(2，＋∞)上单调递减，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52>f (1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫72. 10．B 根据运算ab ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b ，得f (x )＝x 2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <－1或x >1，|x |，－1≤x ≤1，由此可得图象如图所示． 11．C ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，故f (x )＋f (－x )2x <0可化为f (x )x <0.又f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且f (3)＝0，结合图象知，当x >3时，f (x )<0，当－3<x <0时，f (x )>0，故f (x )x <0的解集为(－3,0)∪(3，＋∞)．12．C 二次函数y ＝x 2－2ax ＋a ＋2的图象开口向上，且对称轴为x ＝a ，所以该函数在[0，a ]上为减函数，因此有a ＋2＝3且a 2－2a 2＋a ＋2＝2，得a ＝1.13．x 2－8x ＋12解析：设t ＝x ＋2，则x ＝t －2， ∴f (t )＝(t －2)2－4(t －2)＝t 2－8t ＋12. 故f (x )＝x 2－8x ＋12. 14．－0.5解析：由题意，得f (x )＝－f (x ＋2)＝f (x ＋4)，则f (7.5)＝f (3.5)＝f (－0.5)＝－f (0.5)＝－0.5.15．≥－1 ＝－1解析：∵f (x )＝x 2＋2ax －4＝(x ＋a )2－4－a 2， ∴f (x )的单调递增区间是[－a ，＋∞)，∴当－a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上是增函数，即a ≥－1；当a ＝－1时，f (x )的单调递增区间是[1，＋∞)．16．定义在R 上的偶函数f (x )，当x ∈[1,2]时，f (x )<0，且f (x )为增函数，给出下列四个结论：①f (x )在[－2，－1]上单调递增； ②当x ∈[－2，－1]时，有f (x )<0； ③f (x )在[－2，－1]上单调递减； ④|f (x )|在[－2，－1]上单调递减．其中正确的结论是________(填上所有正确的序号)．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)设全集为实数集R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <a }．(1)求A ∪B 及(∁R A )∩B ；(2)若A ∩C ＝A ，求a 的取值范围； (3)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围． 18.(12分)已知函数f (x )＝1＋x －|x |4. (1)用分段函数的形式表示函数f (x )； (2)在平面直角坐标系中画出函数f (x )的图象；(3)在同一平面直角坐标系中，再画出函数g (x )＝1x (x >0)的图象(不用列表)，观察图象直接写出当x >0时，不等式f (x )>1x 的解集．——————————————————————————答案16.②③解析：因为f (x )为定义在R 上的偶函数，且当x ∈[1,2]时，f (x )<0，f (x )为增函数，由偶函数图象的对称性知，f (x )在[－2，－1]上为减函数，且当x ∈[－2，－1]时，f (x )<0.17．解：(1)A ∪B ＝{x |3≤x <7}∪{x |2<x <10}＝{x |2<x <10}，∁R A ＝{x |x <3或x ≥7}，所以(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3，或7≤x <10}．(2)由A ∩C ＝A 知A ⊆C ，借助数轴可知a 的取值范围为[7，＋∞)． (3)由A ∩C ≠∅可知a 的取值范围为(3，＋∞)． 18．解：(1)当x ≥0时，f (x )＝1＋x －x4＝1；当x <0时，f (x )＝1＋x ＋x 4＝12x ＋1.所以f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，12x ＋1，x <0.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)函数g (x )＝1x (x >0)的图象如图所示，由图象知f (x )>1x 的解集是{x |x >1}．19．(12分)已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a >0，且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．20.(12分)已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2.(1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断函数f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)求函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值．答案19.(1)证明：任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．故f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)解：任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ).∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述，a 的取值范围是(0,1]．20．解：(1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，其中k 1k 2≠0. ∵f (1)＝1，g (1)＝2，∴k 1×1＝1，k 21＝2， ∴k 1＝1，k 2＝2，∴f (x )＝x ，g (x )＝2x . (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，则h (x )＝x ＋2x ， ∴函数h (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． ∵h (－x )＝－x ＋2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－h (x )，∴函数h (x )是奇函数，即函数f (x )＋g (x )是奇函数． (3)由(2)知h (x )＝x ＋2x .设x 1，x 2是(0，2]上的任意两个不相等的实数，且x 1<x 2，则h (x 1)－h (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋2x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－2x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x 1x 2＝(x 1－x 2)(x 1x 2－2)x 1x 2. ∵x 1，x 2∈(0，2]，且x 1<x 2， ∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<2.∴x 1x 2－2<0，∴(x 1－x 2)(x 1x 2－2)>0.∴h (x 1)>h (x 2)．∴函数h (x )在(0，2]上是减函数，函数h (x )在(0，2]上的最小值是h (2)＝22，即函数f (x )＋g (x )在(0，2]上的最小值是2 2.——————————————————————————21．(12分)若定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1成立，且当x >0时，f (x )>1.(1)求证：y ＝f (x )－1为奇函数； (2)求证：f (x )是R 上的增函数； (3)若f (4)＝5，解不等式f (3m －2)<3.22.(12分)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝x ＋mx 2＋nx ＋1.(1)求m ，n 的值；(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上为增函数；(3)若f (x )≤a3对x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13恒成立，求a 的取值范围．答案21.(1)证明：因为定义在R 上的函数f (x )对任意x 1，x 2∈R ，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1成立，所以令x 1＝x 2＝0，则f (0＋0)＝f (0)＋f (0)－1，即f (0)＝1.令x 1＝x ，x 2＝－x ，则f (x －x )＝f (x )＋f (－x )－1，所以[f (x )－1]＋[f (－x )－1]＝0，故y ＝f (x )－1为奇函数．(2)证明：由(1)知y ＝f (x )－1为奇函数，所以f (x )－1＝－[f (－x )－1]．任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)－1 ＝f (x 2)－[f (x 1)－1]＝f (x 2)－f (x 1)＋1. 因为当x >0时，f (x )>1，所以f (x 2－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)＋1>1，即f (x 1)<f (x 2)，故f (x )是R 上的增函数．(3)解：因为f (x 1＋x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)－1，且f (4)＝5，所以f (4)＝f (2)＋f (2)－1＝5，即f (2)＝3，由不等式f (3m －2)<3，得f (3m －2)<f (2)．由(2)知f (x )是R 上的增函数，所以3m －2<2，即3m －4<0，即m <43，故不等式f (3m －2)<3的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，43. 22．(1)解：因为奇函数f (x )的定义域为R ，所以f (0)＝0. 故有f (0)＝0＋m02＋n ×0＋1＝0，解得m ＝0.所以f (x )＝xx 2＋nx ＋1.由f (－1)＝－f (1)，即－1(－1)2＋n ×(－1)＋1＝－112＋n ×1＋1，解得n ＝0.所以m ＝n ＝0. (2)证明：由(1)知f (x )＝x x 2＋1，任取－1<x 1<x 2<1.则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 21＋1－x 2x 22＋1＝x 1(x 22＋1)－x 2(x 21＋1)(x 21＋1)(x 22＋1)＝x 1x 22－x 2x 21＋(x 1－x 2)(x 21＋1)(x 22＋1) ＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(x 21＋1)(x 22＋1).因为－1<x 1<1，－1<x 2<1，所以－1<x 1x 2<1，故1－x 1x 2>0，又因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，故f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在(－1,1)上为增函数． (3)解：由(2)知f (x )在(－1,1)上为增函数，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13上为增函数，故最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝310.由题意可得a 3≥310，解得a ≥910.故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫910，＋∞.第二章单元质量评估时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分) 1.(lg9－1)2的值等于( ) A ．lg9－1 B ．1－lg9 C ．8D ．2 22．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝log2xC ．y ＝2xD ．y ＝2x 2＋x ＋13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18的值为( )A ．27 B.127 C ．－27D ．－1274．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )5．已知a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a6．在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )7．一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a kg 的这种物质的半衰期(剩余量为原来的一半所需的时间)t 等于( )A ．lg 0.50.92B ．lg 0.920.5 C.lg0.5lg0.92D.lg0.92lg0.58．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x 3 C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |9．已知b >0，log 5b ＝a ，lg b ＝c,5d ＝10，则下列等式一定成立的是( ) A ．d ＝ac B ．a ＝cd C ．c ＝adD ．d ＝a ＋c10．已知f (x )是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f (lg x )>f (1)，则x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(1，＋∞)C.⎝⎛⎭⎪⎫110，10 D ．(0,1)∪(1，＋∞)11．函数f (x )＝log 2|2x －1|的图象大致是( )12．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，设a ＝f (log 26)，b ＝f (log 123)，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c二、填空题(每小题5分，共20分) 13．已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________.14．已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.15．函数y ＝log a (2x －3)＋4的图象恒过定点M ，且点M 在幂函数f (x )的图象上，则f (3)＝________.16．已知0<x <y <1，且有以下关系：①3y>3x；②log x 3>log y 3；③⎝ ⎛⎭⎪⎫13y >⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④log 4x <log 4y ；⑤log 14x <log 4y .其中正确的关系式的序号是________．答案1．B 因为lg9<lg10＝1，所以(lg9－1)2＝|lg9－1|＝1－lg9.故选B.2．C 函数y ＝2x 为(0，＋∞)上的减函数．故选C.3．B f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝f (－3)＝3－3＝127. 4．A 函数过定点(0,0)，排除选项B 、D ，又f (－x )＝ln(x 2＋1)＝f (x )，所以f (x )为偶函数，排除选项C.故选A.5．A ∵a ＝212，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－0.5＝2 12＝2>1.∴a >b >1.又c ＝2log 52＝log 54<1，因此a >b >c .6．D 若a >1，则函数g (x )＝log a x 的图象过点(1,0)，且单调递增，但当x ∈[0,1)时，y ＝x a 的图象应在直线y ＝x 的下方，故C 选项错误；若0<a <1，则函数g (x )＝log a x 的图象过点(1,0)，且单调递减，函数y ＝x a (x ≥0)的图象应单调递增，且当x ∈[0,1)时图象应在直线y ＝x 的上方，因此A ，B 均错，只有D 项正确．7．C 设t 年后剩余量为y kg ，则y ＝(1－8%)ta ＝0.92ta .当y ＝12a 时，12a ＝0.92t a ，所以0.92t ＝0.5，则t ＝log 0.920.5＝lg0.5lg0.92.8．B A 项，函数y ＝e －x 为R 上的减函数； B 项，函数y ＝x 3为R 上的增函数； C 项，函数y ＝ln x 为(0，＋∞)上的增函数；D 项，函数y ＝|x |在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．故只有B 项符合题意，应选B. 9．B 由log 5b ＝a ，得lg blg5＝a ；由5d ＝10，得d ＝log 510＝lg10lg5＝1lg5，又lg b ＝c ，所以cd ＝a .故选B.10．C 由于f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f (－1)＝f (1)，且f (x )在(－∞，0)上是增函数，应有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－1<lg x <1，解得110<x <10.选C. 11．C 当0<x <1时，f (x )＝log 2(2x －1)为增函数，排除A.当x <0时，f (x )＝log 2(－2x ＋1)<0且为减函数．故选C.12．A 由f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，则f (x )在[0，＋∞)上是增函数，由b ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 12 3＝f (－log 23)＝f (log 23)，由0<13<log 23<log 26，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f (log 23)<f (log 26)，即c <b <a .故选A.13.10解析：由4a ＝2，可得a ＝log 42＝12.所以lg x ＝12，即x ＝10 12＝10.14．2解析：由已知可得，lg(ab )＝1，故f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝lg(a 2b 2)＝2lg(ab )＝2×1＝2.15．9解析：当2x －3＝1时y ＝4.即函数y ＝log a (2x －3)＋4图象恒过定点M (2,4)，又M 在幂函数f (x )图象上，设f (x )＝x m ，则4＝2m ，解得m ＝2，即f (x )＝x 2，则f (3)＝32＝9.16．①②④解析：∵3>1，y >x ，∴3y >3x ，故①正确．由对数函数的图象知②正确；由①正确知③不正确； ∵4>1，x <y ，∴log 4x <log 4y ，故④正确；log 14x >0，log 4y <0，∴log 12x >log 4y ，故⑤不正确．————————————————————————————三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)计算： (1)⎝⎛⎭⎪⎫21412 －(－0.96)0－⎝ ⎛⎭⎪⎫338－ 23 ＋1.5－2＋[(－32)－4]－ 34 ；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg25÷100－ 12＋7log 72＋1.18.(12分)已知函数f (x )＝x m －2x 且f (4)＝72. (1)求m 的值； (2)判定f (x )的奇偶性；(3)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．答案17.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫94 12 －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫278－ 23 ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋[(32)－4]－ 34＝32－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＋(32)3＝12＋2＝52.(2)原式＝－(lg4＋lg25)÷100－ 12＋14＝－2÷10－1＋14＝－20＋14＝－6. 18．解：(1)因为f (4)＝72，所以4m－24＝72，所以m ＝1.(2)由(1)知f (x )＝x －2x ，所以函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f (－x )＝－x ＋2x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x ＝－f (x )．所以函数f (x )是奇函数．(3)函数f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，证明如下：设x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－2x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－2x 2 ＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0,1＋2x 1x 2>0.所以f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．———————————————————————————— 19．(12分)设f (x )＝log a (1＋x )＋log a (3－x )(a >0，且a ≠1)，f (1)＝2. (1)求a 的值及f (x )的定义域；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值和最小值．20.(12分)若函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a3x －1为奇函数．(1)求a 的值； (2)求函数的定义域； (3)求函数的值域．答案19.解：(1)∵f (1)＝2，∴log a 4＝2， ∵a >0，且a ≠1，∴a ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧1＋x >0，3－x >0，得x ∈(－1,3)．故函数f (x )的定义域为(－1,3)．(2)∵由(1)知，f (x )＝log 2(1＋x )＋log 2(3－x )＝log 2(1＋x )(3－x )＝log 2[－(x －1)2＋4]，∴当x ∈(－1,1]时，f (x )是增函数；当x ∈(1,3)时，f (x )是减函数．∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最大值是f (1)＝log 24＝2.∵函数y ＝－(x －1)2＋4的图象的对称轴是x ＝1，∴f (0)＝f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，∴函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上的最小值为f (0)＝log 23.20．解：∵函数y ＝f (x )＝a ·3x －1－a 3x －1＝a －13x －1.(1)由奇函数的定义，可得f (－x )＋f (x )＝0，即2a －13x －1－13－x －1＝0，∴a ＝－12.(2)∵y ＝－12－13x －1，∴3x －1≠0，即x ≠0.∴函数y ＝－12－13x －1的定义域为{x |x ≠0}．(3)∵x ≠0，∴3x －1>－1.∵3x －1≠0，∴－1<3x －1<0或3x －1>0， ∴－12－13x －1>12或－12－13x －1<－12.故函数的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y >12或y <－12. ———————————————————————————— 21．(12分)已知函数f (x )＝2x 2－4x ＋a ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)． (1)若函数f (x )在[－1,2m ]上不具有单调性，求实数m 的取值范围； (2)若f (1)＝g (1)． ①求实数a 的值；②设t 1＝12f (x )，t 2＝g (x )，t 3＝2x ，当x ∈(0,1)时，试比较t 1，t 2，t 3的大小．(12分)设函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－ax (a ∈R )，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1. (1)求f (x )的解析式；(2)g (x )＝log 21＋x k ，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23时，f (x )≤g (x )有解，求实数k 的取值集合．答案21.解：(1)因为抛物线y ＝2x 2－4x ＋a 开口向上，对称轴为x ＝1，所以函数f (x )在(－∞，1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，因为函数f (x )在[－1,2m ]上不单调，所以2m >1，得m >12，所以实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)①因为f (1)＝g (1)，所以－2＋a ＝0，所以实数a 的值为2.②因为t 1＝12f (x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2， t 2＝g (x )＝log 2x ， t 3＝2x ，所以当x ∈(0,1)时，t 1∈(0,1)，t 2∈(－∞，0)，t 3∈(1,2)，所以t 2<t 1<t 3. 22．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝log 21－131＋a 3＝－1，∴231＋a 3＝12，即43＝1＋a3，解得a ＝1. ∴f (x )＝log 21＋x1－x .(2)∵log 21＋x1－x≤log21＋x k＝2log 21＋xk ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k 2， ∴1＋x 1－x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x k 2. 易知f (x )的定义域为(－1,1)，∴1＋x >0,1－x >0，∴k 2≤1－x 2.令h (x )＝1－x 2，则h (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上单调递减，∴ h (x )max ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝34.∴只需k 2≤34.又由题意知k >0，∴0<k ≤32.第三章单元质量评估时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，则只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝02．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定3．若函数f (x )在[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，且同时满足f (a )f (b )<0，f (a )·f (a ＋b 2)>0，则( )A ．f (x )在[a ，a ＋b2]上有零点B ．f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点 C ．f (x )在[a ，a ＋b2]上无零点 D ．f (x )在[a ＋b2，b ]上无零点4．函数f (x )＝1－x ln x 的零点所在的区间是( ) A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1,2)D ．(2,3)5．设f (x )＝3x ＋3x －8，若用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根所在的区间为( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定6．若函数f (x )＝x 2＋3x ＋2，且f (a )>f (b )>0，则函数f (x )的区间(a ，b )内( ) A ．一定无零点 B ．一定有零点 C ．可能有两个零点D ．至多有一个零点7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗中盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与下落时间t (分钟)的函数关系表示的图象可能是( )8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日 12 35 000 2015年5月15日4835 600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升D ．12升9．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－110．设a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若x 0>a ，则( ) A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2，－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．(74，＋∞) B ．(－∞，74) C ．(0，74)D ．(74，2) 答案1．C 当零点在区间(a ，b )内时，f (a )f (b )>0也可能成立，因此A 不正确，C 正确；若y ＝f (x )满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B ，D 都不正确．2．D 由题意，知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f (－1)·f (1)的符号不确定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x .3．B 由f (a )f (b )<0，f (a )f (a ＋b 2)>0可知f (a ＋b2)f (b )<0，根据零点存在性定理可知f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点．4．C 由于f (1)＝1－ln1＝1>0，f (2)＝1－2ln2＝lne －ln4<0，由零点存在性定理可知所求区间为(1,2)．5．B ∵f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，∴f (1.5)·f (1.25)<0，因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．6．C 根据二次函数的图象可知选项C 正确．7．B 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B.8．B 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.9．D 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.10．B 如图所示，画出函数y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象，可知当x 0>a 时，2x0>log 12x 0，故f (x 0)>0.11．D 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根，由x 2－3x ＝x －3，解得x ＝1或3.当x <0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x .由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．故选D.12．D 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是(74，2)．———————————————————————————— 二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：x 1 23456f (x )136.13515.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.06414．用二分法求函数f (x )的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)≈0.200 f (1.587 5)≈0.133 f (1.575 0)≈0.067 f (1.562 5)≈0.003f (1.556 25)≈－0.029f (1.550 0)≈－0.060． 15．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.若f (x )恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)(1)判断函数f (x )＝x 3－x －1在区间[－1，2]上是否存在零点； (2)求函数y ＝x ＋2x －3的零点．18．(12分)若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝ln x ＋2x －6，试判断函数f (x )的零点个数．答案13.3解析：由已知数据可知f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，所以函数在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内各至少有1个零点，则函数至少有3个零点．14．1.562 5(答案不唯一)解析：由参考数据知，f (1.562 5)≈0.003>0，f (1.556 25)≈－0.029<0，即f (1.556 25)·f (1.562 5)<0，又1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f (x )的一个零点的近似值可取为1.562 5.15．24解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，即⎩⎨⎧e b＝192，e 11k ＝12，所以该食品在33℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝(12)3×192＝24(小时)．16．[12，1)∪[2，＋∞)解析：当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a ，21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为[12，1)∪[2，＋∞)．17．解：(1)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (－1)f (2)<0.∴f (x )在[－1,2]上存在零点．(2)x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝(x －1)(x －2)x ，解方程x ＋2x －3＝0，即(x －1)(x －2)x ＝0，可得x ＝1或x ＝2.∴函数y ＝x ＋2x －3的零点为1,2.18．解：方法一：当x <0时，－x >0，f (－x )＝ln(－x )－2x －6，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x )＋2x ＋6. 故函数f (x )的解析式为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6，x >00，x ＝0－ln (－x )＋2x ＋6，x <0令f (x )＝0易得函数f (x )有3个零点．方法二：当x >0时，在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象如图所示，易知两函数图象只有1个交点，即当x >0时，函数f (x )有1个零点．由f(x)为定义在R上的奇函数，可知f(0)＝0，且图象关于原点对称，则当x<0时，函数f(x)有1个零点．综上可知，f(x)在R上有3个零点．————————————————————————————19．(12分)已知二次函数f(x)＝x2＋bx＋c，且方程f(x)＋4＝0有唯一解x＝1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数f(x)在区间[a，a＋4]上存在零点，求实数a的取值范围．(12分)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．答案19.解：(1)方程f (x )＋4＝0有唯一解x ＝1，即一元二次方程x 2＋bx ＋c ＋4＝0有唯一解x ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4(c ＋4)＝0，b ＋c ＋5＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3，所以f (x )＝x 2－2x －3.(2)结合(1)易知函数f (x )的零点为－1,3. 当－1∈[a ，a ＋4]时，－5≤a ≤－1；当3∈[a ，a ＋4]时，－1≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[－5,3]． 20．解：(1)当0≤t <1时，y ＝4t ；当t ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a 此时M (1,4)在曲线上，故4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ，解得a ＝3，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.故y ＝f (t )＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1.(1)因为f (t )≥0.25，则⎩⎨⎧4t ≥0.25，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得⎩⎨⎧t ≥116，t ≤5，所以116≤t ≤5，因此服药一次治疗疾病有效的时间为 5－116＝41516(h)．————————————————————————————21．(12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．22.(12分)人们对声音有不同的感觉，这与它的强度I(单位：W/m2)有关系．但在实际测量时，常用声音的强度水平L1(单位：dB)表示，它满足公式：L1＝10×lg II0 (L1≥0，其中I0＝1×10－12W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．根据以上材料，回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语声的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播声的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 dB以下，试求声音的强度I的范围是多少？答案21.解：(1)由于f (x )为定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋2，x ≥0，－(x ＋2)2＋2，x <0. (2)图象如图所示：(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )的图象可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．22．解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2，则I 1I 0＝1，所以LI 1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0 dB.耳语声的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则I 2I 0＝102，所以LI 2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20 dB.恬静的无线电广播声的强度是I 3＝1×10－8W/m 2，则I 3I 0＝104，所以LI 3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播声的强度水平为40 dB.(2)由题意知，0≤L 1<50，即0≤10×lg I I 0<50，所以1≤II 0<105，即10－12≤I <10－7.所以小区内公共场所的声音的强度I 的范围为大于或等于10－12W/m 2，同时应小于10－7W/m 2.模块综合评估时限：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．已知集合M ＝{x |x <3}，N ＝{x |log 2x >1}，则M ∩N 等于( ) A ．∅ B ．{x |0<x <3} C ．{x |1<x <3}D ．{x |2<x <3}2．设U 是全集，集合A ，B 满足A B ，则下列式子中不成立的是( )A ．A ∪(∁UB )＝U B ．A ∪B ＝BC ．(∁U A )∪B ＝UD ．A ∩B ＝A3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3(2x－1)，x ≥2，则f [f (2)]等于( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．34．下列函数中，随x 增大而增大速度最快的是( ) A ．y ＝2 006ln x B ．y ＝x 2 006 C ．y ＝e x2 006 D ．y ＝2 006·2x5．设a ＝0.7 12 ，b ＝0.8 12，c ＝log 30.7，则()A ．c <b <aB ．c <a <bC ．a <b <cD ．b <a <c6．函数y ＝a x －2＋log a (x －1)＋1(a >0，a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,1)D ．(2,2)7．已知函数f (x )＝m ＋log 2x 2的定义域是[1,2]，且f (x )≤4，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，2)C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)8．已知x 2＋y 2＝1，x >0，y >0，且log a (1＋x )＝m ，log a 11－x ＝n ，则log a y 等于( )A ．m ＋nB ．m －n C.12(m ＋n )D.12(m －n )9．函数y ＝x 2－3在区间(1,2)内的零点的近似值(精确度0.1)是( ) A ．1.55 B ．1.65 C ．1.75D ．1.8510．已知f (x )＝a x ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)g (3)<0，那么f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是( )11．设函数F (x )＝f (x )－1f (x )，其中x －log 2f (x )＝0，则函数F (x )是( )A ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数B ．奇函数且在(－∞，＋∞)上是减函数C ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是增函数D ．偶函数且在(－∞，＋∞)上是减函数12．已知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x )是奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2－x ＋a ，若函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，则实数a 的取值范围是( )A ．a <0B ．a ≤0C ．a ≤1D ．a ≤0或a ＝1二、填空题(每小题5分，共20分)13．设U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m ＝________.14．若函数f (x )＝mx 2－2x ＋3只有一个零点，则实数m 的取值是________． 15．对于函数f (x )＝ln x 的定义域中任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有如下结论： ①f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)； ②f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)； ③f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.上述结论中正确结论的序号是________． 16．已知函数f (x )＝log 0.5(x ＋1x )，下列说法①f (x )的定义域为(0，＋∞)；②f (x )的值域为[－1，＋∞)；③f (x )是奇函数；④f (x )在(0,1)上单调递增．其中正确的是________．答案1．D N ＝{x |x >2}，∴用数轴表示集合可得M ∩N ＝{x |2<x <3}，选D. 2．A 依题意作出Venn 图，易知A 不成立．3．C ∵f (2)＝log 3(22－1)＝1，∴f [f (2)]＝f (1)＝2e 1－1＝2.4．C 根据幂函数、指数函数、对数函数的变化趋势即得答案． 5．B ∵幂函数y ＝x12在[0，＋∞)上是增函数，又∵0.7<0.8，∴0<0.7 12 <0.8 12. 又log 30.7<0，∴log 30.7<0.712 <0.812，即c <a <b ，选B.6．D 由指数与对数函数的图象性质即得答案．7．A 本题考查函数的定义域、函数的单调性及参数取值范围的探求．因为f (x )＝m ＋2log 2x 在[1,2]是增函数，且由f (x )≤4，得f (2)＝m ＋2≤4，得m ≤2，故选A.8．D 由m －n ＝log a (1＋x )－log a 11－x ＝log a (1－x 2)＝log a y 2＝2log a y ，所以log a y ＝12(m －n )．故选D.9．C 经计算知函数零点的近似值可取为1.75.10．C f (x )＝a x 与g (x )＝log a x 有相同的单调性，排除A ，D ；又当a >1时，f (3)g (3)>0，排除B ，当0<a <1时，f (3)g (3)<0，选C.11．A 由x －log 2f (x )＝0，得f (x )＝2x ， ∴F (x )＝2x －12x ＝2x －2－x .∴F (－x )＝2－x －2x ＝－F (x )，∴F (x )为奇函数，易知F (x )＝2x －2－x 在(－∞，＋∞)上是增函数．12．D 由于f (x )为奇函数，且y ＝x 是奇函数，所以g (x )＝f (x )－x 也应为奇函数，所以由函数g (x )＝f (x )－x 的零点恰有两个，可得两零点必定分别在(－∞，0)和(0，＋∞)上，由此得到函数g (x )＝x 2－2x ＋a 在(0，＋∞)上仅有一个零点，即函数y ＝－(x －1)2＋1与直线y ＝a 在(0，＋∞)上仅有一个公共点，数形结合易知应为a ≤0或a ＝1，选D.13．－3解析：∵∁U A ＝{1,2}，∴A ＝{0,3}．∴0,3是方程x 2＋mx ＝0的两根，∴m ＝－3.14．0或13解析：由题意得m ＝0或Δ＝4－12m ＝0，即m ＝0或m ＝13.15．②③解析：本题考查对数函数的性质．函数f (x )＝ln x 满足ln(x 1·x 2)＝ln(x 1)＋ln(x 2)；由函数f (x )＝ln x 是增函数，知ln x 1－ln x 2x 1－x 2，即f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立．故②③正确． 16．①④解析：f (x )＝log 0.5(x 2＋1x )；∴x >0，即定义域为(0，＋∞)；又∵f (x )＝log 0.5(x ＋1x )，定义域不关于原点对称，则f (x )为非奇非偶函数；又∵x ＋1x ≥2，∴log 0.5(x ＋1x )≤log 0.52＝－1.∴值域为(－∞，－1]，②错；又∵x ＋1x 在(0,1)上为递减函数，∴log 0.5(x ＋1x )在(0,1)上为递增函数．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)设A ＝{－3,4}，B ＝{x |x 2－2ax ＋b ＝0}，B ≠∅且B ⊆A ，求a ，b .(12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋2.(1)求f (x )的表达式；(2)画出f (x )的图象，并指出f (x )的单调区间．答案17.解：由B ≠∅，B ⊆A 知B ＝{－3}或{4}或B ＝{－3,4}．当B ＝{－3}时，a ＝－3，b ＝9；当B ＝{4}时，a ＝4，b ＝16；当B ＝{－3,4}时，a ＝12，b ＝－12.18．解：(1)设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－(－x )2－2x ＋2＝－x 2－2x ＋2.又∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∴f (x )＝x 2＋2x －2.又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －2， x <0，0， x ＝0，－x 2＋2x ＋2， x >0.(2)先画出y ＝f (x )(x >0)的图象，利用奇函数的对称性可得到相应y ＝f (x )(x <0)的图象，其图象如图所示．由图可知，其增区间为[－1,0)和(0,1]，减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．————————————————————————————19．(12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图象与y 轴交于点(0,1)，且满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )．(1)求该二次函数的解析式及函数的零点；(2)已知函数在(t －1，＋∞)上为增函数，求实数t 的取值范围．20.(12分)已知函数f (x )＝2x 2＋2x ＋a (－2≤x ≤2)．(1)写出函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )的最大值为64，求f (x )的最小值．答案19.解：(1)因为二次函数为f (x )＝ax 2＋2x ＋c (a ≠0)的图象与y 轴交于点(0,1)，故c ＝1.①又因为函数f (x )满足f (－2＋x )＝f (－2－x )(x ∈R )，故x ＝－22a ＝－2.②由①②得：a ＝12，c ＝1.故二次函数的解析式为：f (x )＝12x 2＋2x ＋1.由f (x )＝0，可得函数的零点为：－2＋2，－2－ 2.(2)因为函数在(t －1，＋∞)上为增函数，且函数图象的对称轴为x ＝－2，由二次函数的图象可知：t －1≥－2，故t ≥－1.20．解：(1)f (x )＝2(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)，∴在[－2，－1]上，f (x )为减函数；在[－1,2]上，f (x )为增函数．即f (x )的减区间是[－2，－1]，f (x )的增区间是[－1,2]．(2)设U (x )＝(x ＋1)2＋a －1(－2≤x ≤2)，则U (x )的最大值为U (2)＝8＋a ，最小值为U (－1)＝a －1.故f (x )的最大值为f (2)＝28＋a ，最小值为f (－1)＝2a －1.∵28＋a ＝64，∴a ＝－2.∴f (x )的最小值为f (－1)＝2－2－1＝18.————————————————————————————21．(12分)已知函数f (x )＝log a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2x ＋1在区间[1,2]上恒为正，求实数a 的取值范围．22.(12分)定义在(0，＋∞)上的函数f (x )，对于任意的m ，n ∈(0，＋∞)，都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，当x >1时，f (x )<0.(1)求证：1是函数f (x )的零点；(2)求证：f (x )是(0，＋∞)上的减函数；(3)当f (2)＝12时，解不等式f (ax ＋4)>1.答案21.解：当a >1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2x ＋1是减函数，故⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2·2＋1>1，则a <12，矛盾．当0<a <1时，0<⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2x ＋1<1，设y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －2x ＋1，分类讨论1a －2的取值，得12<a <23.22．解：(1)证明：对于任意的正实数m ，n 都有f (mn )＝f (m )＋f (n )成立，所以令m ＝n ＝1，则f (1)＝2f (1)．∴f (1)＝0，即1是函数f (x )的零点．(2)证明：设0<x 1<x 2，∵f (mn )＝f (m )＋f (n )，∴f (mn )－f (m )＝f (n )．∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)．因0<x 1<x 2，则x 2x 1>1. 而当x >1时，f (x )<0，从而f (x 2)<f (x 1)．所以f (x )在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (4)＝f (2)＋f (2)＝1，所以不等式f (ax ＋4)>1可以转化为f (ax ＋4)>f (4)．因为f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以0<ax ＋4<4.当a ＝0时，解集为∅；当a >0时，－4<ax <0，即－4a <x <0，。

人教版数学高中A版必修一单元测验卷全册(附答案)

第一章单元检测题时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x >0}，则S ∩T ＝( ) A ．[2,3] B ．(－∞，2]∪[3，＋∞) C ．[3，＋∞)D ．(0,2]∪[3，＋∞)2．设集合A ＝{a ，b }，B ＝{a ＋1,6}，且A ∩B ＝{1}，则A ∪B ＝( ) A ．{1,6} B ．{0,6} C ．{0,1}D ．{0,1,6}3．已知f (x )＝ax ＋bx (a ，b 为常数)，且f (1)＝1，则f (－1)＝( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．不能确定4．f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥0，－x ，x <0，则f (3)＝( )A ．3B ．－3C ．0D ．65．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋2xy ，f (1)＝2，则f (3)等于( ) A ．10 B ．6 C ．12D ．166．若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)7．设f (x )＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( ) A ．1B ．0C ．－1D ．π8．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．49．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，集合B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若A ∪B ＝A ，则实数m 的取值范围是( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3<m <4 C ．2<m ≤4 D ．m ≤410．y ＝1x －2＋1在[3,4]的最大值为( ) A ．2 B.32 C.52D ．411．奇函数f (x )在(0，＋∞)上的解析式是f (x )＝x (1－x )，则在(－∞，0)上，函数f (x )的解析式是( ) A ．f (x )＝－x (1－x ) B ．f (x )＝x (1＋x ) C ．f (x )＝－x (1＋x )D ．f (x )＝x (x －1)12．若函数f (x )是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f (－2)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( ) A ．(－2,0)∪(0,2)B ．(－∞，－2)∪ (0,2)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,0)∪(2，＋∞)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上) 13．已知f (2x ＋1)＝x 2，则f (5)＝________。

人教A版新教材高中数学必修第一册第一章章末检测试卷(一)

二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．全部选对的得 5 分，部分选对的
得 3 分，有选错的得 0 分)
9．已知 U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则( )
A．M∩N＝{4,6}
B．M∪N＝U
C．(∁UN)∪M＝M 答案 BCD
(2)∵B＝{x|x<1}，∴∁RB＝{x|x≥1}． ∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}． 15．已知集合 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－1<x<m＋1}，若 x∈A 是 x∈B 成立的一个充分不必
要条件，则实数 m 的取值范围是________．
答案 {m|m>1}
解析由 x∈A 是 x∈B 成立的一个充分不必要条件，
解 (1)由 x－1>0 得 x>1，即 B＝{x|x>1}．所以 A∩B＝{x|1<x<2}，A∪B＝{x|x>－1}． (2)集合 A－B 如图中的阴影部分所示．
由于 A－B＝{x|x∈A，且 x∉B}，又 A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x>1}，所以 A－B＝{x|－1<x≤1}． 21．(12 分)已知非空集合 P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|－2≤x≤5}． (1)若 a＝3，求(∁RP)∩Q； (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．解因为 P 是非空集合，所以 2a＋1≥a＋1，即 a≥0. (1)当 a＝3 时，P＝{x|4≤x≤7}，∁RP＝{x|x<4 或 x>7}， Q＝{x|－2≤x≤5}，所以(∁RP)∩Q＝{x|－2≤x<4}． (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，即 PQ，

【创优单元测评卷】高中人教A版数学必修1单元测试：第一章集合与函数概念(二)B卷(含答案解析)

高中同步创优单元测评B 卷数学班级：________姓名：________得分： ________第一章会合与函数观点(二 )( 函数的观点与基天性质)名校好题·能力卷 ]( 时间： 120分钟满分： 150 分 )第Ⅰ卷( 选择题共60分)一、选择题 (本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．以下四组函数中，表示同一函数的是()A ． y＝ x－ 1 与 y＝－2B ． y＝ x－ 1与 y＝x－ 1 x－ 12C． y＝ 4lg x 与 y＝2lg xxD ． y＝ lg x － 2 与 y＝ lg1002A 中的元素个数最2．已知 f： x→x是会合 A 到会合 B＝ {0,1,4} 的一个映照，则会合多有()A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个x＋1的定义域是 ()3．函数 f(x) ＝x－1A ．－ 1,1)B ．－ 1,1)∪ (1，＋∞)C．－ 1，＋∞)D． (1，＋∞)4．函数 y＝ 2－－ x2＋ 4x的值域是 ()A ．－ 2,2]B ．1,2]C． 0,2]D．－ 2， 2]5．已知 f(x) 的图象如图，则f(x) 的分析式为 ()1， 0≤ x≤1 A．f(x)＝－ x－ 2， 1<x≤2－1， 0≤x≤1B ． f(x) ＝x＋2， 1<x ≤2－1， 0≤x≤1 C． f(x) ＝x－2， 1<x ≤2－1， 0≤x≤1 D．f(x)＝－ x＋ 2， 1<x≤26．定义两种运算： a⊕b＝a2－ b2，＝－2，则函数 f(x) ＝2⊕ x的－2分析式为 ()A ． f(x) ＝4－ x2， x∈－ 2,0)∪ (0,2]xB ． f(x) ＝x2－ 4， x∈ (－∞，－ 2]∪ 2，＋∞) xx2－ 4C． f(x) ＝－，x∈ (－∞，－2]∪ 2，＋∞)x4－ x2D ． f(x) ＝－，x∈－2,0)∪ (0,2]x7．函数 f(x) ＝1－ x 的图象对于 () xA ．坐标原点对称B ． x 轴对称C． y 轴对称D．直线 y＝ x 对称8．设 f(x) 是定义在－ 6,6] 上的偶函数，且f(4)>f(1) ，则以下各式必定建立的是 () A ． f(0)<f(6) B ．f(4)>f(3)C． f(2)>f(0)D． f( －1)<f(4)9．若奇函数 f(x) 在 1,3] 上为增函数，且有最小值0，则它在－ 3，－ 1]上 () A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C．是减函数，有最大值0 D ．是增函数，有最大值010．已知函数f(x)a x，满足对任意 x1≠x2，都有＝－＋，1 －2)<0 建立，则 a 的取值范围是 (x1－ x21A.0，4 B ．(0,1)1C.4， 1D． (0,3)11．若 f(x) 是 R 上的减函数，且f(x) 的图象经过点A(0,4) 和点 B(3 ，－ 2)，则当不等式|f(x ＋ t)－ 1|<3 的解集为 (－ 1,2)时， t 的值为 ()A ．0B．－ 1C． 1D． 212．已知函数y＝f(x) 知足：① y＝ f(x ＋ 1)是偶函数；②在 1，＋∞)上为增函数．若 x1 <0，x2>0，且 x1＋ x2<－2，则 f( － x1)与 f( －x2 )的大小关系是 ()A ． f( － x1)>f( －x2)B ． f(－ x1)<f( － x2)C． f( － x1)＝ f(－ x2 ) D ．没法确立第Ⅱ卷(非选择题共 90分 )二、填空题 (本大题共 4 个小题，每题 5 分，共 20 分，请把正确答案填在题中横线上 )13．若函数f(x) ＝ ax7＋bx－ 2，且 f(2 014) ＝ 10，则 f( － 2 014)的值为 ________．ax＋1在 x∈ (－ 2，＋∞)上单一递减，则实数 a 的取值范围是 ________．14．若函数 f(x) ＝x＋2x＋3，记 f(1) ＋ f(2) ＋f(4) ＋ f(8) ＋ f(16) ＝m，f1＋ f1＋ f1＋ f1 15．已知函数 f(x) ＝x＋124816＝ n，则 m＋ n＝ ________.16．设 a 为常数且 a<0， y＝ f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当x<0 时， f(x) ＝ x＋a2－2.x 2a 的取值范围为 ________．若 f(x) ≥a－1 对全部 x≥0都建立，则三、解答题 (本大题共 6 个小题，共70 分，解答时应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )17． (本小题满分 10 分 )(1)已知 f(x － 2)＝ 3x－ 5，求 f(x) ；(2)若 f(f(f(x))) ＝ 27x ＋ 26，求一次函数 f(x) 的分析式．18． (本小题满分 12 分 )已知 f(x) ＝1， x ∈ 2,6] ．x － 1(1) 证明： f(x) 是定义域上的减函数；(2) 求 f(x) 的最大值和最小值．19． (本小题满分 12分)某企业生产一种电子仪器的固定成本为20 000 元，每生产一台仪器需增添投入100 元，1 2，0≤x ≤400，已知总利润知足函数：R(x) ＝ 400x － x2此中 x 是仪器的月产量．80 000， x>400 ，(1) 将利润 f(x) 表示为月产量 x 的函数；(2) 当月产量 x 为什么值时，企业所赢利润最大？最大利润是多少元？(总利润＝总成本＋利润 )20． (本小题满分12 分 )已知函数f(x) ＝ x2＋ 2ax＋ 2， x∈－ 5,5]．(1)当 a＝－ 1 时，求函数的最大值和最小值；(2) 若 y＝ f(x) 在区间－ 5,5]上是单一函数，务实数 a 的取值范围．21． (本小题满分12 分 )已知二次函数f(x) ＝ ax2＋ bx(a， b∈ R)，若 f(1)＝－ 1 且函数 f(x) 的图象对于直线x＝1对称．(1)求 a， b 的值；(2)若函数 f(x) 在 k， k＋ 1](k ≥上1)的最大值为 8，务实数 k 的值．22． (本小题满分12分)7已知二次函数f(x) 的图象过点 (0,4)，对随意 x 知足 f(3－ x)＝ f(x) ，且有最小值.4(1)求 f(x) 的分析式；(2)求函数 h(x) ＝ f(x) －(2t －3)x 在区间 0,1] 上的最小值，此中 t∈ R；(3)在区间－ 1,3] 上， y＝ f(x) 的图象恒在函数 y＝ 2x＋ m 的图象上方，试确立实数m 的范围．详解答案第一章会合与函数观点 ( 二 ) (函数的观点与基天性质)名校好题·能力卷 ]1．D分析：∵ y＝ x－ 1与 y＝－2＝ |x－ 1|的对应关系不一样，∴它们不是同一函数；y＝x－ 1(x ≥1)与 y＝x－1(x>1) 的定义域不一样，∴它们不是同一函数；又 y＝ 4lg x(x>0)x－1与 y＝ 2lg x 2(x ≠ 0)的定义域不一样，所以它们也不是同一函数，而 y＝ lg x － 2(x>0) 与 y＝ lg x＝100 lg x － 2(x>0) 有同样的定义域、值域与对应关系，所以它们是同一函数．2． C分析：令 x2＝ 0,1,4，解得 x＝0，±1，±2.应选 C.3． B分析：由x＋ 1≥0，解得 x≥－ 1，且 x≠1. x－1≠0，4． C分析：令t＝－ x2＋4x， x∈ 0,4] ，∴ t∈ 0,4]．又∵ y1＝ x， x∈ 0，＋∞)是增函数∴t∈0,2] ，－ t ∈－ 2,0] ，∴ y∈ 0,2] ．应选 C.5． C 分析：当 0≤ x≤1时， f(x) ＝－ 1；当 1<x ≤2时，设 f(x) ＝ kx＋ b(k ≠ 0)，把点(1，－ 1， 0≤x≤1，－ 1)， (2,0)代入 f(x) ＝ kx ＋b(k ≠0)，则 f(x) ＝ x－ 2.所以 f(x) ＝应选 C.x－ 2，1<x ≤ 2.2⊕ x＝22－ x24－x24－ x2≥0，得－6．D分析： f(x) ＝＝|x－ 2|－ 2.由－2－2－ 2|x－ 2|－ 2≠0，2≤ x≤2且 x≠ 0∴. f(x) ＝－4－ x2 x.7．A11－ x＝－ f(x) ，分析：函数 f(x) 的定义域对于原点对称，又∵ f( － x)＝－x＋ x＝－x∴ f(x) 为奇函数，其图象对于坐标原点对称．8．D分析：∵ f(x) 是定义在－6,6]上的偶函数，∴ f( － 1)＝ f(1) ．又 f(4)>f(1)，f(4)>f( －1)．9． D分析：因为奇函数f(x) 在 1,3] 上为增函数，且有最小值0，所以 f(x) 在－ 3，－1]上是增函数，且有最大值 0.x，a知足对随意 x≠x，都有10 ． A 分析：因为函数f(x) ＝＋12－1 －0<a<1，1 2a－ 3<0，x1－ x2<0 建立，所以该函数为R 上的减函数，所以解得 0<a≤0，4. 4a≤a解题技巧：此题主要考察了分段函数的单一性，解决此题的重点是利用好该函数为R上的减函数这一条件．应特别注意隐含条件“a≥ 4a．”11． C 分析：由不等式 |f(x＋ t) － 1|<3，得－ 3＜ f(x ＋ t)－ 1＜ 3，即－ 2＜ f(x ＋ t)＜ 4.又因为 f(x) 的图象经过点 A(0,4) 和点 B(3，－ 2)，所以 f(0)＝ 4， f(3) ＝－ 2，所以 f(3) ＜f(x ＋ t)＜f(0) ．又 f(x) 在 R 上为减函数，则 3＞x＋ t＞ 0，即－ t＜x＜ 3－ t，解集为 (－ t,3－ t)．∵不等式的解集为 (－ 1,2)，∴－ t＝－ 1,3－ t＝ 2，解得 t＝ 1.应选 C.12．A 分析：由 y＝ f(x ＋ 1)是偶函数且把 y＝ f(x ＋ 1)的图象向右平移 1 个单位可得函数 y＝f(x) 的图象，所以函数 y＝ f(x) 的图象对于 x＝ 1 对称，即 f(2＋ x)＝ f( － x)．因为 x1<0，x2>0，且 x1＋x2<－ 2，所以 2＜2＋ x2＜－ x1.因为函数在 1，＋∞)上为增函数，所以 f(2＋ x2)＜f( －x1)，即 f( － x1)>f( － x2)，应选 A.13．－ 14分析：设g(x)＝ax7＋bx，则g(x)是奇函数，g(－2 014)＝－g(2 014)．∵ f(2 014)＝ 10 且 f(2 014) ＝g(2 014) － 2，∴ g(2 014) ＝ 12，∴ g(－ 2 014)＝－ 12，∴ f(－ 2 014)＝ g(－2 014)－ 2，∴ f( － 2 014)＝－ 14.1分析： f(x) ＝ax＋1＝ a＋1－2a1在 x∈ (－2，＋∞)上是减函数，∴ 114． a<2x＋ 2x＋ 2 .∵y＝x＋ 2－ 2a>0，∴ a<1 . 215． 18分析：因为函数x＋3，所以 f1＝ 1＋ 3x f(x) ＝x＋1x x＋ 1.又因为 f(x) ＋ f 1＝＋＝4，x＋ 1x1111f(1) ＋ f(2) ＋ f(4) ＋ f(8) ＋ f(16) ＋ f 2＋ f4＋ f 8＋ f 161111＝ f(1) ＋ f(2) ＋ f 2＋ f(4) ＋ f 4＋ f(8) ＋ f8＋ f(16) ＋f 16＝ f(1) ＋ 4×4＝ 18，所以 m＋ n＝18.解题技巧：此题主要考察了学生的察看、概括、推理的能力，解决此题的重点是发掘出题目中隐含的规律 f(x) ＋ f 1＝4. x16．－ 1≤ a<0 分析：当 x＝ 0时， f(x) ＝ 0，则2－ 1，解得－ 1≤a≤1，所以－ 1≤a<0. 0≥a当 x>0 时，－ x<0 ，f( － x)＝－ x＋a2－ 2，则 f(x) ＝－ f( － x)＝ x＋a2＋2.－ x x由对数函数的图象可知，当x＝ a2＝|a|＝－ a 时，有 f(x) min＝－ 2a＋ 2，22所以－ 2a＋2≥a－ 1，即 a ＋ 2a－ 3≤0，解得－ 3≤a≤又1. a<0，所以－ 3≤a<0.综上所述，－1≤a<0.17．解： (1)令 t＝x－ 2，则 x＝t＋2，t∈R，由已知有f(t) ＝ 3(t＋ 2)－ 5＝ 3t＋ 1，故 f(x)＝3x ＋ 1.(2)设 f(x) ＝ ax＋ b(a ≠，0) f(f(x)) ＝ a2x＋ ab＋ b，f(f(f(x)))232＝ a(a x＋ ab＋ b)＋ b＝a x＋a b＋ ab＋ b，a3＝ 27，∴a2b＋ ab＋b＝ 26，解得 a＝ 3， b＝ 2.则 f(x) ＝ 3x＋ 2.18． (1)证明：设2≤x1<x 2≤6，则 f(x 1)－f(x 2)＝1－ 1 ＝x2－ x1，x1－ 1x2－ 11－2－因为 x1－ 1>0， x2－ 1>0 ，x2－ x1>0，所以 f(x 1)－ f(x 2)>0 ，即 f(x 1 )>f(x 2) ．所以 f(x) 是定义域上的减函数．1(2) 由(1) 的结论可得，f(x) min＝ f(6) ＝5， f(x) max＝ f(2) ＝ 1.19．解： (1) 当 0≤ x≤ 400时，12－ 20 000＝－12＋ 300x－ 20 000.f(x) ＝ 400x－ x － 100x2x2当 x>400 时， f(x) ＝ 80 000－100x － 20 000＝ 60 000－ 100x，－1x2＋ 300x－ 20 000， 0≤x≤400，所以 f(x) ＝260000－ 100x，x>400.(2)当 0≤ x≤ 400时，f(x) ＝－1212；2x＋ 300x－ 20 000＝－ (x－ 300)＋ 25 0002当 x＝ 300 时， f(x) max＝ 25 000；当 x>400 时，f(x) ＝ 60 000－ 100x<f(400) ＝20 000<25 000 ；所以当 x＝300 时， f(x) max＝ 25 000.故当月产量 x 为 300 台时，企业赢利润最大，最大利润为25 000 元．20．解： (1) 当 a＝－ 1 时， f(x) ＝ x2－ 2x＋ 2＝ (x－ 1)2＋ 1.又因为 x∈－ 5,5] ．所以函数的最大值为37，最小值为 1.(2)若 y＝ f(x) 在区间－ 5,5]上是单一函数，则有－ a≤－ 5 或－ a≥5解得 a≤－ 5 或 a≥5.解题技巧：此题主要考察了二次函数在给定区间上的最值与单一性．解决此题的重点是确立对称轴和区间端点的关系．注意分类议论．b21．解： (1) 由题意可得 f(1) ＝ a ＋ b ＝－ 1 且－＝ 1，解得 a ＝ 1， b ＝－ 2.(2)f(x) ＝ x 2－ 2x ＝ (x －1) 2－1.因为 k ≥1，所以 f(x) 在 k ，k ＋ 1]上单一递加，所以 f(x) max ＝ f(k ＋ 1)＝ (k ＋ 1)2－2(k ＋ 1)＝ 8，解得 k ＝ ±3.又 k ≥1，所以 k ＝3.22．解： (1) 由题知二次函数图象的对称轴为3，又最小值是 7，x ＝ 24则可设 f(x) ＝ a x － 3 2 7(a ≠ 0)，2＋4 又图象过点 (0,4)，则 a 0－32＋ 7＝ 4，解得 a ＝ 1.243 272∴ f(x) ＝ x － 2 ＋4＝ x － 3x ＋ 4.(2)h(x) ＝ f(x) － (2t －3)x ＝ x 2－ 2tx ＋ 4＝ (x －t) 2＋ 4－ t 2，其对称轴 x ＝ t.① t ≤0时，函数 h(x) 在 0,1]上单一递加，最小值为 h(0)＝ 4；②当 0<t<1 时，函数 h(x) 的最小值为 h(t)＝ 4－ t 2；③当 t ≥1时，函数 h(x) 在 0,1] 上单一递减，最小值为h(1) ＝ 5－ 2t ，所以 h(x) min ＝4， t ≤0，4－ t 2， 0<t<1 ，5－ 2t ， t ≥ 1.(3) 由已知： f(x)>2x ＋ m 对 x ∈－ 1,3] 恒建立，∴ m<x 2－ 5x ＋ 4 对 x ∈－ 1,3]恒建立．∴ m<(x 2－5x ＋ 4)min (x ∈－ 1,3]) ．29 ∵ g(x) ＝ x － 5x ＋ 4 在 x ∈－ 1,3] 上的最小值为－ 4，∴ m< －9.4。

最新人教A版高中数学选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》课后同步练习(含答案解析)

【2019统编版新教材】高中数学A版选择性必修第一册第一章《空间向量与立体几何》课后同步练习（含答案解析）目录1.1.1空间向量及其运算——线性运算1.给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一点为起点，则它们的终点构成一个圆；②若空间向量,a b 满足a b =，则a b =；③若空间向量,,m n p 满足,m n n p ==，则m p =；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤零向量没有方向. 其中假命题的个数是( ) A.1B.2C.3D.42.下列条件，能说明空间不重合的,,A B C 三点共线的是( ) A.AB BC AC +=B.AB BC AC -=C.AB BC =D.AB BC =3.在直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA CB CC ===a b c ，则1A B =( ) A.+-a b cB.-+a b cC.-++a b cD.--b a c4.有下列命题：①若向量p xa yb =+，则p 与,a b 共面；②若p 与,a b 共面，则p xa yb =+；③若MP xMA yMB =+，则,,,P M A B 四点共面；④若,,,P M A B 四个点共面，则MP xMA yMB =+.其中真命题的个数是( )A.1B.2C.3D.45.如图所示，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为AC 与BD 的交点.若11A B a =，11A D b =，1A A c =，则下列向量中与1B M 相等的向量是( )A.1122a b c -++ B.1122a b c ++ C.1122a b c -+D.1122a b c --+6.在平行六面体1111ABCD A B C D -中，,,,,,E F G H P Q 分别是111111,,,,,A A AB BC CC C D D A 的中点，则( )A.0EF GH PQ ++=B.0EF GH PQ --=C.0EF GH PQ +-=D.0EF GH PQ -+=7.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是11AC 的中点，点F 是AE 的一个三等分点，且12AF EF =，则AF =( )A.11122AA AB AD ++ B.1111222AA AB AD ++ C.1111266AA AB AD ++ D.1111366AA AB AD ++ 8.已知点G 是正方形ABCD 的中心，点P 为正方形ABCD 所在平面外一点，则PA PB PC PD +++=( )A.4PGB.3PGC.2PGD.PG9.已知空间向量,a b ，且2,56,72AB BC CD =+=-+=-a b a b a b ，则一定共线的三点是( ) A.,,A B DB.,,A B CC.,,B C DD.,,A C D10.如图所示，在空间四边形OABC 中，,,OA a OB b OC c ===，点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN =( )A.121232a b c -+ B.211322a b c -++C.111222a b c +-D.221332a b c -+-11.在平行六面体''''ABCD A B C D -中，与向量''A B 的模相等的向量有________个.12.已知,,,A B C D 为空间中任意四点，化简()()AB CD AC BD ---=___________. 13.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，若1,,,CA a CB b CC c E ===是1A B 的中点，则CE =__________.(用,,a b c 表示)14.对于空间中的非零向量,,AB BC AC ，有下列各式：①AB BC AC +=；②AB AC BC -=；③AB BC AC +=；④AB AC BC -=.其中一定不成立的是___________.15.如图，已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，点E 在'AC 上，且:'1:2AE EC =，点,F G 分别是''B D 和'BD 的中点，试用',,BB BA BC 表示以下向量：(1)AE ； (2)BF ； (3)GF .答案以及解析1.答案：D解析：①假命题.将空间中所有的单位向量移到同一个点为起点时，它们的终点将构成一个球面，而不是一个圆.②假命题.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量a 与b 的方向不一定相同.③真命題.向量的相等满足递推规律.④假命题.空间中任意两个单位向量的模长均为1，但方向不一定相同，所以不一定相等.⑤假命题.零向量的方向是任意的. 2.答案：C解析：对于空间中的任意向量，都有AB BC AC +=，选项A 错误；若AB BC AC -=，则AC BC AB +=，而AC CB AB +=，据此可知BC CB =，即,B C 两点重合，选项B 错误；AB BC =，则,,A B C 三点共线，选项C 正确；AB BC =，则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等，不一定有,,A B C 三点共线，选项D 错误. 3.答案：D解析：1111A B AB AA CB CA AA CB CA CC =-=--=--=--b a c .故选D. 4.答案：B解析：其中①③为真命题.②中需满足,a b 不共线，④中需满足,,M A B 三点不共线. 5.答案：A解析：11111()22B M B B BM A A BD c BA BC =+=+=++111111112222A B A D c a b c =-++=-++.6.答案：A解析：观察平面六面体1111ABCD A B C D -可知，向量,,EF GH PQ 平移后可以首尾相连，于是0EF GH PQ ++=.7.答案：D解析：易知1111111111111,,,32AF AE AE AA A E A E AC AC A B A D ==+==+，1111,A B AB A D AD ==，所以11111111136366AF AA AC AA AB AD =+=++，故选D. 8.答案：A解析：方法一：PA PB PC PD +++=PG GA PG GB PG GC PG GD +++++++=4()()PG GA GC GB GD ++++.又四边形ABCD 是正方形，G 是它的中心，所以CA GC GB GD +=+=0，故4PA PB PC PD PG +++=.方法二：因为四边形ABCD 是正方形，G 是它的中心，所以G 为AC 的中点，也为BD 的中点，所以()()224PA PB PC PD PA PC PB PD PG PG PG +++=+++=+=. 9.答案：A 解析：567224BD BC CD =+=-++-=+a b a b a b ，2BA AB =-=--a b ，2,,,BD BA A B D ∴=-∴三点共线，故选A.10.答案：B解析：12211()23322MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++.11.答案：7解析：''''''''D C DC C D CD BA AB B A A B =======. 12.答案：0解析：利用相反向量的关系转化为加法运算()()AB CD AC BD AB CD AC BD AB DC CA BD ---=--+=+++0AB BD DC CA =+++=.13.答案：1()2a b c ++ 解析：11111()()()222CE CA CB CA CC CB a b c =+=++=++.14.答案：②解析：根据空间向量的加减运算法则可知，对于①：AB BC AC +=恒成立；对于③：当,,AB BC AC 方向相同时，有AB BC AC +=；对于④：当,AB AC 方向相同且BC 与,AB AC 方向相反时，有AB AC BC -=.只有②一定不成立.15.答案：(1):'1:2AE EC =，()()111'333''AE AC AB BC CC AB AD AA ∴==++=++=111111''333333AA AB AD BB BA BC ++=-+. (2)F 为''B D 的中点，()()'''''11'22BF BB BD BB BA AA A D ∴=+=+++=()1112''222BB BA BC BB BA BC ++=++. (3),G F 分别为',''BD B D 的中点，12'GF BB ∴=.1.1.2空间向量的数量积运算1.对于空间向量,,a b c 和实数λ，下列命题中真命题是( ) A.若0a b ⋅=，则0a =或0b = B.若0a λ=，则0λ=或0a = C.若22a b =，则a b =或a b =-D.若a b a c ⋅=⋅，则b c =2.在空间四边形ABCD 中，AB CD AC DB AD BC ⋅+⋅+⋅等于( ) A.-1B.0C.1D.不确定3.已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60°，其模均为1，则2-+=a b c ( )A.5B.64.已知空间向量,,1,2a b a b ==，且a b -与a 垂直，则a 与b 的夹角为( ) A.60︒B.30︒C.135︒D.45︒5.如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，对角线1AC 和1BD 相交于点O ，则( )A.2112AB AC a ⋅=B.212AB AC a ⋅=C.212AB AO a ⋅=D.21BC DA a ⋅=6.已知在矩形ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，则以下等式中可能不成立的是( ) A.0DA PB ⋅= B.0PC BD ⋅= C.0PD AB ⋅=D.0PA CD ⋅=7.设平面上有四个互异的点,,,A B C D ，已知(2)()0DB DC DA AB AC +-⋅-=，则ABC 一定是( ) A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形8.已知空间向量,a b 均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b +=( )D.49.设,,a b c 是任意的非零空间向量，且它们相互不共线，有下列命题： ①()()0a b c c b a ⋅-⋅=；②a a a =⋅；③22a b b a =；④22(34)(34)916a b a b a b +⋅-=-.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④10.若空间向量a 与b 不共线，0a b ⋅≠，且a a c a b a b ⎛⎫⋅=- ⎪⋅⎝⎭，则向量a 与c 的夹角为( ) A.0B.6π C.3π D.2π 11.已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为a ，则11AB BC ⋅=_____________. 12.已知空间向量,,2,2,2a b a b a b ==⋅=-，则,a b =___________.13.已知空间向量,,|||5,,,,135λ===+=+〈︒〉=a b a b m a b n a b a b ，若⊥m n ，则 λ的值为_____________.14.已知空间向量,,a b c 中每两个的夹角都是3π，且4,6,2a b c ===，则a b c ++=_______.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别是111,C D D D 的中点，正方体的棱长为1.(1)求,CE AF 〈〉的余弦值； (2)求证：1BD EF ⊥.答案以及解析1.答案：B解析：对于选项A ，还包括a b ⊥的情形；对于选项C ，结论应是a b =；对于选项D ，也包括垂直的情形. 2.答案：B解析：如图，令,,AB a AC b AD c ===，则AB CD AC DB AD BC⋅+⋅+⋅()()()a c b b a c c b a =⋅-+⋅-+⋅-0a c a b b a b c c b c a =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅-⋅=3.答案：C解析：由题意得2221,12⋅=⋅=⋅====a b b c a c a b c ，所以2-+=a b c==4.答案：D解析：∵a b -与a 垂直，∴()0a b a -⋅=，∴2cos ,a a a b a a b a b ⋅-⋅=-⋅⋅11cos ,0a b =-=，∴2cos ,2a b =. ∵0,180a b ︒≤≤︒，∴,45a b =︒. 5.答案：C解析：1111()22AB AO AB AC AB AB AD AA ⋅=⋅=⋅++2221111()222AB AB AD AB AA AB a =+⋅+⋅==. 6.答案：B解析：由题意得四边形ABCD 为矩形，且PA ⊥平面ABCD ，则,AD PB AB PD ⊥⊥，PA CD ⊥，故选项A 中，0DA PB ⋅=正确；选项C 中，0PD AB ⋅=正确；选项D 中，0PA CD ⋅=正确；而选项B 只有四边形ABCD 为正方形时才正确.故选B.7.答案：B 解析：2()()DB DC DA DB DA DC DA +-=-+-=,(2)()AB AC DB DC DA AB AC +∴+-⋅-=()()AB AC AB AC +⋅-=22||||0,||||AB AC AB AC -=∴=，故ABC 一定是等腰三角形，故选B.8.答案：C解析：∵2222223(3)696cos ,9a b a b a a b b a a b a b b +=+=+⋅+=+⋅⋅+，∵1,,60a b a b ===︒，∴2313a b +=，∴313a b +=.9.答案：D解析：由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，22a b b a ⋅=⋅一定不成立，故③不正确，④运算正确 10.答案：D解析：∵0a a a a a c a a b a a a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅=⋅-=⋅-⋅=⎢⎥⎪ ⎪⋅⋅⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴a c ⊥，故选D. 11.答案：2a 解析：如图，211111111cos ,2cos60A B B C A B A D AB A D A B A D a ⋅=⋅=⋅⋅=⨯︒=12.答案：34π解析：2cos ,2a b a b a b⋅==-，∴3,4a b π=.13.答案：310-解析：由题意，知||||cos ,515⎛⋅=〈〉=⨯=- ⎝⎭a b a b a b .由⊥m n ，得()()0λ+⋅+=a b a b ，即221815(1)250λλλλ+⋅+⋅+=-++=a a b a b b ，解得310λ=-. 14.答案：10解析：∵4,6,2a b c ===，且,,,3a b a c b c π===，∴2()()a b c a b c a b c ++=++⋅++222222a b c a b a c b c =+++⋅+⋅+⋅2222cos ,2cos ,2cos ,a b c a b a b a c a c b c b c=+++⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅222462464262100=+++⨯+⨯+⨯=，∴10a b c ++=.15.答案：(1)112AF AD DF AD AA =+=+， 11111122CE CC C E AA CD AA AB =+=+=-.110,0,0AB AD AB AA AD AA ⋅=⋅=⋅=，11111222CE AF AA AB AD AA ⎛⎫⎛⎫∴⋅=-⋅+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又52||||,cos ,5||||CE AF AF CE CE AF CE AF ⋅==∴〈〉==. (2)111BD BD DD AD AB AA =+=-+，()11112EF ED D F AB AA =+=-+， ()()()2211111110,22BD EF AD AB AA AB AA AB AA BD EF ⎡⎤∴⋅=-+⋅-+=--+=∴⊥⎢⎥⎣⎦.1.2空间向量基本定理1.已知,,a b c 是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是( ) A.3,,2a a b a b -+B.2,2,2b b a b a -+C.,2,a b b c -D.,,c a c a c +-2.已知:,,p a b c 是三个非零向量；:{,,}q a b c 为空间的一个基底，则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.在以下三个命题中，真命题的个数是( )①若三个非零向量,,a b c 不能构成空间的一个基底，则,,a b c 共面；②若两个非零向量,a b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则,a b 共线；③若,a b 是两个不共线的向量，而c a b λμ=+(,λμ∈R 且0λμ≠)，则{},,a b c 构成空间的一个基底. A.0B.1C.2D.34.在空间四点,,,O A B C 中，若{},,OA OB OC 是空间的一个基底，则下列命题不正确的是( )A.,,,O A B C 四点不共线B.,,,O A B C 四点共面，但不共线C.,,,O A B C 四点不共面D.,,,O A B C 四点中任意三点不共线5.已知四面体1,O ABC G -是ABC 的重心，G 是1OG 上点，且13OG GG =，若OG xOA yOB zOC =++，则(),,x y z 为( )A.111,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭B.333,,444⎛⎫ ⎪⎝⎭C.111,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭D.222,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭6.已知,,,M A B C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使{},,MA MB MC 成为空间的一个基底的是( )A.111333OM OA OB OC =++B.MA MB MC =+C.OM OA OB OC =++D.2MA MB MC =-7.已知{}123,,e e e 为空间的一个基底，若123123123,,=++=+-=-+a e e e b e e e c e e e ，12323=++d e e e ，且αβγ=++d a b c ，则,,αβγ分别为( )A.51,1,22--B.51,1,22 C.51,1,22--D.51,1,22- 8.在正方体''''ABCD A B C D -中，123,,O O O 分别是,','AC AB AD 的中点，以{}123,,AO AO AO 为基底，123'AC xAO yAO zAO =++，则,,x y z 的值是( ) A.1x y z ===B.12x y z ===C.2x y z ===D.2x y z ===9.已知,,,O A B C 为空间不共面的四点，且向量a OA OB OC =++，向量b OA OB OC =+-，则与,a b 不能构成空间基底的是( )A.OAB.OBC.OCD.OA 或OB10.如图，在四面体ABCD 中，G 为ABC △的重心，E 是BD 上一点，3BE ED =，以{},,AB AC AD 为基底，则GE =___________.11.已知,,,,A B C D E 是空间五点，且任何三点不共线.若,,AB AC AD 与,,AB AC AE 均不能构成空间的一个基底，则下列结论：①,,AB AD AE 不能构成空间的一个基底；②,,AC AD AE 不能构成空间的一个基底；③,,BC CD DE 不能构成空间的一个基地；④,,AB CD EA 能构成空间的一个基底.其中正确的有_________个.12.在平面六面体1111ABCD A BC D -中，若1123AC xAB yBC zC C =++，则x y z ++=_______.13.如图，已知正方体''''ABCD A B C D -，点E 是上底面''''A B C D 的中心，取{},,'AB AD AA 为一个基底，在下列条件下，分别求,,x y z 的值.(1)''BD xAD yAB zAA =++； (2)'AE xAD yAB zAA =++.14.如图，在三棱锥P ABC -中，点G 为ABC 的重心，点M 在PG 上，且3PM MG =，过点M 任意作一个平面分别交线段,,PA PB PC 于点,,D E F ，若,,PD mPA PE nPB PF tPC ===，求证：111m n t++为定值，并求出该定值.答案以及解析1.答案：C解析：对于选项A ，有32()2a a b a b =-++，则3,,2a a b a b -+共面，不能作为基底；同理可判断选项,B D 中的向量共面.故选C. 2.答案：B解析：三个不共面的向量才能作为空间的一个基底，故p 不能推出q ，但q 可以推出p .故选B. 3.答案：C解析：①正确，作为基底的向量必须不共面；②正确；③错误，,a b 不共线，当c a b λμ=+时，,,a b c 共面，故只有①②正确. 4.答案：B解析：选项A 对应的命题是正确的，若四点共线，则相连,,OA OB OC 共面，构不成基底；选项B 对应的命题是错误的，若四点共面，则,,OA OB OC 共面，构不成基底；选项C 对应的命题是正确的，若四点共面，则,,OA OB OC 构不成基底；选项D 对应的命题是正确的，若有三点共线，则这四个点共面，向量,,OA OB OC 构不成基底. 5.答案：A解析：如图所示，连接1AG 并延长，交BC 于点E ，则点E 为BC 的中点，11()(2)22AE AB AC OB OA OC =+=-+，121(2)33AG AE OB OA OC ==-+.13OG GG =，()11333121111444333444OG OG OA AG OA OB OA OC OA OB OC ⎛⎫∴==+=+-+=++ ⎪⎝⎭，故选A.6.答案：C解析：对于选项A ，由(1),,,OM xOA yOB zOC x y z M A B C =++++=⇒四点共面，知,,MA MB MC 共面；对于选项B ，D ，易知,,MA MB MC 共面，故选C.7.答案：A解析：由题意知()()()123123123αβγαβγ=++=++++-+-+=d a b c e e e e e e e e e 123()()()αβγαβγαβγ++++-+-+e e e .又12323=++d e e e ，所以123αβγαβγαβγ++=⎧⎪+-=⎨⎪-+=⎩，解得52112αβγ⎧=⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩.8.答案：A解析：''''AC AB BC AB BB BC AB AA AD=+=++=++111111()(')(')''222222AB AD AB AA AA AD AC AB AD =+++++=++123AO AO AO =++，对比123'AC xAO yAO zAO =++，可得1x y z ===.9.答案：C解析：∵1()2OC a b =-，∴OC 与,a b 共面，∴,,a b OC 不能构成空间基底. 10.答案：1131234AB AC AD --+解析：连接AG 交BC 于点M ，连接AE ，则32321()()43432GE AE AG AB BD AM AB AD AB AB AC =-=+-=+--⨯+1131234AB AC AD =--+ 11.答案：3解析：由题意知空间五点,,,,A B C D E 共面，故①②③正确，④错误. 12.答案：76解析：∵11AC AB BC CC =++，又1123AC xAB yBC zC C =++，∴1,21,31x y z ===，即111,,23x y z ===-，故1171236x y z ++=+-=.13.答案：(1)因为''''BD BD DD BA AD DD AB AD AA =+=++=-++，又''BD xAD yAB zAA =++，所以1,1,1x y z ==-=. (2)因为()''''11''''''22AE AA A E AA A C AA A B A D =+=+=++=111122''''''22AA A B A D AD AB AA ++=++又'AE xAD yAB zAA =++，所以11,,122x y z ===.14.答案：连接AG 并延长交BC 于点H ，由题意，可令{},,PA PB PC 为空间的一个基底，33332()44443PM PG PA AG PA AH ==+=+⨯=311()422PA AB AC +⨯+=311()()444PA PB PA PC PA +-+-=111444PA PB PC ++. 连接DM .因为点,,,D E F M 共面，所以存在实数,λμ，使得DM DE DF λμ=+，即()()PM PD PE PD PF PD λμ-=-+-，所以(1)(1)PM PD PE PF mPA nPB PC λμλμλμλμ=--++=--++. 由空间向量基本定理，知111(1),,444m n t λμλμ=--==，所以1114(1)444m n tλμλμ++=--++=，为定值.1.3.1空间直角坐标系1.点()2,0,3在空间直角坐标系Oxyz 中的( ) A.y 轴上B.Oxy 平面内C.Oxz 平面内D.Oyz 平面内2.在空间直角坐标系O xyz -中，下列说法正确的是( ) A.向量AB 的坐标与点A 的坐标相同 B.向量AB 的坐标与点B 的坐标相同 C.向量AB 与向量OB 的坐标相同 D.向量AB 与向量OB OA -的坐标相同3.在空间直角坐标系中，点()3,4,5P 与点(3,4,5)Q --的位置关系是（） A.关于x 轴对称B.关于xOy 平面对称C.关于坐标原点对称D.以上都不对4.在空间直角坐标系O xyz -中，点()1,2,2-关于点()1,0,1-的对称点是( ) A. ()3,2,4--B. ()3,2,4--C. ()3,2,4--D. ()3,2,4-5.已知{,,}i j k 是标准正交基底，且AB =-+-i j k ，则AB 的坐标为( ) A.(1,1,1)--B.(, ,)--i j kC.(1,1,1)--D.(1,1,1)-6.已知在长方体1111ABCD A B C D -中，向量a 在基底{}1,,AB AD AA 下的坐标为()2,1,3-，则向量a 在基底{}1,,DA DC DD 下的坐标为( ) A.()2,1,3-B.()1,2,3--C.()1,8,9-D.()1,8,9--7.点P 为空间直角坐标系中的点，过点P 作平面 xOy 的垂线，垂足为 Q ，则点 Q 的坐标为( )A. B. C.D.8.设{},,i j k 是空间中的一个单位正交基底，已知向量864=++p a b c ，其中=+a i j ，=+b j k ，=+c k i ，则向量p 在基底{},,i j k 下的坐标是( )A.()12,14,10B.()10,12,14C.()14,12,10D.()4,3,29.如图所示，在空间直角坐标系中2BC =，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 上，且90,30BDC DCB ∠=︒∠=︒，则向量OD 的坐标为( )A.1,02⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.10,2⎛- ⎝⎭C.1,2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.10,,2⎛⎝⎭10.在空间直角坐标系中，点(123)，，关于Oyz 面对称的点的坐标为____________. 11.点()1,2,1P -在Oxy 平面内的射影为(),,B x y z ，则x y z ++=__________.12.如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标是____________.13.在长方体1111ABCD A B C D -中，已知14,3DA DC DD ===，连接111,,A B B C AC ，如图，建立空间直角坐标系.(1)在图中标出点3(1,2,)2E 的位置；(2)求1A B 与1B C 的坐标；(3)求向量1A C 在平面ABCD 上的投影向量的坐标.14.已知，在棱长为2的正四面体A BCD 中，以BCD 的中心O 为坐标原点，OA 为z 轴，OC 为y 轴建立空间直角坐标系，如图所示，M 为AB 的中点，求OM 的坐标.答案以及解析1.答案：C解析：点()2,0,3的纵坐标为0，所以该点在Oxz 平面内. 2.答案：D解析：因为点,A B 不一定为坐标原点，所以选项A ，B ，C 都不正确；因为AB OB OA =-，所以选项D 正确. 3.答案：A 解析：点()3,4,5P与点()3,4,5Q --的横坐标相同，而纵、竖坐标分别互为相反数，所以两点关于x 轴对称. 4.答案：A解析：由中点坐标公式可得：点()1,2,2-关于点()1,0,1-的对称点是()3,2,4--．故选A ． 5.答案：A解析：根据空间向量坐标的定义，知()1,1,1AB =--，故选A. 6.答案：B 解析：111232323,AB AD AA DC DA DD DA DC DD =+-=--=-+-∴a 向量 a 在基底{}1,,DA DC DD 下的坐标为()1,2,3--，故选B.7.答案：D解析：由空间点的坐标的定义，知点 Q 的坐标为. 8.答案：A解析：依题意，知()()()864864121410=++=+++++=++p a b c i j j k k i i j k ，故向量p 在基底{},,i j k 下的坐标是()12,14,10. 9.答案：B解析：如图所示，过D 作DE BC ⊥，垂足为E ，在Rt BCD △中，由90BDC ∠=︒，30DCB ∠=︒，2BC =，得1,BD CD ==∴11sin 30cos601222DE CD OE OB BD =⋅︒==-⋅︒=-=.∴D 点坐标为10,2⎛- ⎝⎭，即向量OD 的坐标为10,2⎛- ⎝⎭.10.答案：(1,2,3)-解析：在空间直角坐标系中，点(123)，，关于平面yoz 对称的点的坐标是(1,2,3)-，故答案为：(1,2,3)- 11.答案：解析：点(1,2,1)P -在Oxy 平面内的射影为(1,2,0)B ，1,2,0,1203x y z x y z ===∴++=++=. 12.答案：(4,3,2)-解析：(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-. 13.答案：(1)点31,2,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭的位置如图所示：(2)设,,i j k 分别为1,,DA DC DD 方向上的单位向量，则11143A B AB AA DC DD j k =-=-=-，1111143BC B B BC DD DA i k =+=--=-- 所以11(0,4,3),(4,0,3)A B BC =-=-- (3)连接AC ，则向量1A C 在平面ABCD 上的投影向量为AC ，又44AC AD DC DA DC i j =+=-+-+，所以()4,4,0AC =-.14.答案：易知BCD 2=OC =.OA ∴==设,,i j k 分别是,,x y z 轴正方向上的单位向量，x 轴与BC 的交点为E ，则1233OE BD ==，1113()()2222OM OA OB OA OC CB OA OC CE ⎛⎫∴=+=++=++=⎪⎝⎭13()22OA OC OE OC ⎡⎤++-=⎢⎥⎣⎦31114422OE OC OA -+=-+i j ，1,2OM ⎛∴= ⎝⎭.1.3.2空间向量运算的坐标表示1.已知((),+=-=a b a b ，则cos ,=a b ( )A.13B.162.已知()()()1,0,1,2,1,1,3,1,0==--=a b c ，则2-+=a b c ( ) A.()9,3,0--B.()0,2,1-C.()9,3,0D.()9,0,03.设(3,3,1),(1,0,5),(0,1,0)A B C ，则AB 的中点M 到C 的距离为( )B.5324.已知()1,2,0A -和向量()3,4,12=-a ，且2AB =a ，则点B 的坐标为( ) A.()7,10,24-B.()7,10,24--C.()6,8,24-D.()5,6,24-5.已知向量()()2,4,,2,,2x y ==a b ，若6=a ，且⊥a b ，则x y +的值为( ) A.3-B.1C.3-或1D.3或16.在空间直角坐标系中，已知点()()()1,2,11,4,2,3,6,1,4A B C --，则ABC 一定是( ) A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.已知向量()()1,1,0,1,0,2==-a b ，且k +a b 与2-a b 互相垂直，则实数k 的值为( ) A.25 B.15 C.35D.758.已知()()()1,1,0,0,1,1,1,0,1,,2====-=+-a b c p a b q a b c ，则⋅=p q ( ) A.1-B.1C.0D.2-9.若()()()1,1,3,2,,2,3,3,9A m n B m n m n C m n +--+-三点共线，则m n +的值为( ) A.0B.1-C.1D.2-10.已知11(1)=a ,,，02()1=-b ,,，(441)m n =++-c a b ,,若c 与a 及b 都垂直，则m n ,的值分别为( ) A.1-，2B.1，2-C.1，2D.1-，2-11.如果(1,5,2),(2,4,1),(,3,2)A B C a b -+三点共线，那么a b -=_________. 12.已知(2,3,0)a =-，(,0,3)b k =，,120a b =︒，则k =___________.13.若ABC 的三个顶点分别为((102,,A B C ⎛- ⎝，则角A 的大小为________.14.已知()()1,5,1,2,3,5=-=-a b . (1)当()()3λ+-a b a b 时，求实数λ的值；(2)当()()3λ-⊥+a b a b 时，求实数λ的值.15.如图，,,OA OB OC 两两垂直，3,2,OA OC OB M ===为OB 的中点，点N 在线段AC 上，2AN NC =.(1)求MN 的长；(2)若点P 在线段BC 上，设BPPCλ=，当AP MN ⊥时，求实数λ的值.答案以及解析1.答案：C解析：由已知，得cos,||||⋅==∴〈〉===a ba b a ba b.2.答案：C解析：()()()()()()21,0,12,1,16,2,03,1,06,2,09,3,0-+=---+=+=a b c.3.答案：C解析：由题意，知313015,,222M+++⎛⎫⎪⎝⎭，即32,,32M⎛⎫⎪⎝⎭，312,,3(0,1,0)2,,322CM⎛⎫⎛⎫=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2||2CM=.故选C.4.答案：D解析：(3,4,12),2,(6,8,24)AB AB=-=∴=-a a.设(),,B x y z，则16(1,2,),2824xAB x y z yz-=-⎧⎪=-+∴+=⎨⎪=⎩，解得5624xyz=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，即点B的坐标为()5,6,24-.故选D.5.答案：C解析：由(2,4,)x=a，且||6=a，得64x=±.由⊥a b，得4420y x++=，得43xy=⎧⎨=-⎩或41xy=-⎧⎨=⎩，则1x y+=或3-.6.答案：C解析：(3,4,8),(5,1,7),(2,3,1)AB AC BC=-=-=-，2||3AB∴=2||5AC=2||2BC=，222||||||,AC BC AB ABC∴+=∴一定为直角三角形.7.答案：D解析：由已知得(,,0)(1,0,2),)(12,k k k k k+=+-=-a b，2(3,2,2)-=-a b.由k+a b与2-a b互相垂直，得(1,,2)(3,2,2)0k k-⋅-=，得570k-=，解得75k=，故选D.8.答案：A 解析：()()()1,0,1,20,3,1,1003111=-=-=+-=∴⋅=⨯+⨯+-⨯=-p a b q a b c p q ，故选A. 9.答案：A解析：因为(1,1,23),(2,2,6)AB m m n AC =---=-，由题意得，ABAC ，所以1123226m m n ---==-，所以0,0m n ==，所以0m n +=. 10.答案：A解析：由已知得(4,24,1)m m n m n =++--+c ，故310m n ⋅=++=a c ，590m n ⋅=+-=b c . 解得12m n =-⎧⎨=⎩，故选A.11.答案：1解析：∵,,A B C 三点共线，∴AB AC λ=，即(1,1,3)(1,2,4)((1),2,(4))a b a b λλλλ-=--+=--+.∴1(1)123(4)a b λλλ=-⎧⎪-=-⎨⎪=+⎩，解得1232a b λ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩， ∴1a b -=. 12.答案：解析：∵2a b k ⋅=，213,9a b k ==+，∴1cos1202︒==-，∴0k <，解得k =13.答案：30°解析：31,,0,(1,0,0)2AB AC ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则3cos cos ,2||||AB AC A AB AC AB AC ⋅=〈〉==故角A 的大小为30°.14.答案：(1)()()1,5,1,2,3,5=-=-a b ，()()()()()31,5,132,3,51,5,16,9,157,4,16∴-=---=---=--a b ，()()()()()1,5,12,3,5,5,2,3,52,53,5λλλλλλλλ+=-+-=-+-=-+-+a b .()()3λ+-a b a b ，25357416λλλ-+-+∴==--，解得13λ=-. (2)()()3λ-⊥+a b a b ，(7,4,16)(2,53,5)0λλλ∴--⋅-+-+=，即7(2)4(53)16(5)0λλλ--+--+=，解得1063λ=. 15.答案：(1)以O 为坐标原点，分别以,,OA OB OC 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，则()()()()0,0,0,3,0,0,0,2,0,0,0,3O A B C ，由M 为OB 的中点，2AN NC =，得()()0,1,0,1,0,2M N ，()1,1,2MN ∴=-，6MN ∴=，即MN (2)设(0,,),BPP y z PCλ=，且点P 在线段BC 上， 23,1,0,,11BP PC P λλλλλ⎛⎫∴=≠-∴ ⎪++⎝⎭， 233,,11AP λλλ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭， ,0AP MN AP MN ⊥∴⋅=， 26530,113λλλλ∴--+=∴=++.1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系1.若点()()1,0,1,1,4,7A B -在直线l 上，则直线l 的一个方向向量为( ) A.()1,2,3B.()1,3,2C.()2,1,3D.()3,2,12.已知()3,1,2AB =-，平面α的一个法向量为()2,2,4=-n ，点A 不在平面α内，则直线AB 与平面α的位置关系为( ) A.AB α⊥B.AB α⊂C.AB 与α相交但不垂直D.ABα3.已知平面α的法向量是(2,3,1)-，平面β的法向量是(4,,2)λ-，若//αβ，则λ的值是( ) A.103-B.6C.6-D.1034.已知平面α内的两个向量()()1,1,1,0,2,1==-a b ，且()4,4,1m m =++-c a b .若c 为平面α的法向量，则,m n 的值分别为( ) A.1,2-B.1,2-C.1，2D.1,2--5.已知三条直线123,,l l l 的一个方向向量分别为()()()4,1,0,1,4,5,3,12,9=-==--a b c ，则( )A.12l l ⊥，但1l 与3l 不垂直B.13l l ⊥，但1l 与2l 不垂直C.23l l ⊥，但2l 与1l 不垂直D.123,,l l l 两两互相垂直6.已知平面α内的三点(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)A B C ，平面β的一个法向量为(1,1,1)n =---，且β与α不重合，则( )A.//αβB.αβ⊥C.α与β相交但不垂直D.以上都不对7.如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，点,,M P Q 分别为棱,,AB CD BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出以下结论：①11//A M D P ；②11//A M B Q ；③1//A M 平面11DCC D ；④1//A M 平面11D PQB 其中正确的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个8.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，(2,1,4),(4,2,0)AB AD =--=，(1,2,1)AP =--，则PA 与底面ABCD 的关系是( )A.相交B.垂直C.不垂直D.成60︒角9.如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是1D D 的中点，N 是11A B 的中点，则直线,NO AM 的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面垂直D.异面不垂直10.已知点(0,1,0),(1,0,1),(2,1,1),(,0,)A B C P x z --，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为( ) A.(1,0,2)-B.(1,0,2)C.(1,0,2)-D.(2,0,1)-11.若不同的平面,αβ的一个法向量分别为111,,1,,1,3632⎛⎫⎛⎫⎪=-- ⎪⎝⎭⎝-⎭=m n ，则α与β的位置关系为_________.12.已知平面α的法向量1(,1,2)n x =-，平面β的法向量21(1,,)2n y =-，若//αβ，则x y +=______.13.已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为(1,3,)u z =，向量(3,2,1)v =-与平面α平行，则z =__________.14.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果(2,1,4),(4,2,0)AB AD =--=，(1,2,1)AP =--.对于结论：①AP AB ⊥；②AP AD ⊥；③AP 是平面ABCD 的法向量；④//AP BD .其中正确的是___________.15.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒，2,PA AB BC E ===是PC 的中点.求证： (1)CD AE ⊥； (2)PD ⊥平面ABE .答案以及解析1.答案：A解析：由题意，可得直线l 的一个方向向量(2,4,6)AB =.又11(2,4,6)(1,2,3)22AB ==，所以向量(1,2,3)是直线l 的一个方向向量.故选A. 2.答案：D解析：因为2(3)(2)1420AB ⋅=⨯-+-⨯+⨯=n ，所以AB ⊥n .又点A 不在平面α内，n 为平面α的一个法向量，所以AB α，故选D.3.答案：B解析：∵//αβ，∴α的法向量与β的法向量也互相平行.∴23142λ-==-.∴6λ=. 4.答案：A解析：(4,4,1)(,,)(0,2,)(4,4,1)(4,24,1)m n m m m n n m m n m n =++-=+-+-=++--+c a b .由c 为平面α的法向量，得00⋅=⎧⎨⋅=⎩c a c b ，即310590m n m n ++=⎧⎨+-=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩. 5.答案：A 解析：(4,1,0)(1,4,5)4400,(4,1,0)(3,12,9)12120240⋅=-⋅=-+=⋅=-⋅--=--+=-≠a b a c ，(1,4,5)(3,12,9)348450⋅=⋅--=-+-=b c ，,∴⊥a b a 与c 不垂直，1223,,l l l l ⊥∴⊥⊥b c ，但1l 不垂直于3l .6.答案：A解析：(0,1,1),(1,0,1),10(1)1(1)(1)0AB AC n AB =-=-⋅=-⨯+-⨯+-⨯-=，1110(1)(1)0n AC ⋅=-⨯-⨯+-⨯-=，∴,n AB n AC ⊥⊥.∴n 也为α的一个法向量.又α与β不重合，∴//αβ.7.答案：C解析：11111111,22A M A A AM A A AB D P D D DP A A AB =+=+=+=+，∴11//AM D P ，从而11//A M D P .∴①③④正确. 8.答案：B解析：因为0,0AP AB AP AD ⋅=⋅=，所以AP ⊥平面ABCD .9.答案：C解析：建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为2，则(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(2,1,2)A M O N ，(1,0,2)NO =--，(2,0,1)AM =-，0NO AM ⋅=，则直线,NO AM 的位置关系是异面垂直.10.答案：C解析：由题意知(1,1,1),(2,0,1),(,1,)AB AC AP x z =---==-，又PA ⊥平面ABC ，所以(1,1,1)(,1,)0AB AP x z ⋅=---⋅-=，得10x z -+-=①，(2,0,1)(,1,)0AC AP x z ⋅=⋅-=，得20x z +=②，联立①②，解得1,2x z =-=，故点P的坐标为(1,0,2)-. 11.答案：平行解析：3,,αβ=-∴∴n m mn .12.答案：154解析：12//,//n n αβ∴所以存在实数k ，使得12n kn = 1122x k ky k ⎧⎪=-⎪∴=⎨⎪⎪-=⎩，解得4414k x y ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩， 154x y ∴+=. 13.答案：3解析：∵平面α的法向量为(1,3,)u z =.又v 与平面α平行，∴133(2)10u v z ⋅=⨯+⨯-+⨯=，解得3z =.14.答案：①②③解析：∵0,0AB AP AD AP ⋅=⋅=，∴,AB AP AD AP ⊥⊥，则①②正确.又AB 与AD 不平行，∴AP 是平面ABCD 的法向量，则③正确.由于(2,3,4)BD AD AB =-=，(1,2,1)AP =--，∴BD 与AP 不平行，故④错误.15.答案：(1)以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()10,0,0,2,0,0,,,0,0,2,2A B C D P E ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以311,,0,,2CD AE ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以110102CD AE ⋅=-⨯++⨯=，所以CD AE ⊥. (2)由(1)，得4310,,2,(2,0,0),,2PD AB AE ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设向量(),,x y z =n 是平面ABE 的法向量，则00AB AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn ，得20102x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，取2y =，则(0,2,=n ，所以23PD =，所以PD n ，所以PD ⊥平面ABE .1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题1.已知平面α的一个法向量()2,2,1n =--，点–1,()3,0A 在平面α内，则点()2,1,4P -到平面α的距离为 ( ) A.10B.3C.83D.1032.正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与平面1A BD 所成角的正弦值为( )3.如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，且1,PD AB G ==为ABC 的重心，则PG 与底面ABCD 所成的角θ满足( )A.π4θ=B.cos θ=C.tan θ=D.sin θ=4.已知,a b 是异面直线，,,,,,A B a C D b AC b BD b ∈=⊥⊥ ，且2,1AB CD ==，则a 与b 所成的角是( )A.30B.45C.60D.905.在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A A ⊥平面1,3ABCD AA =，底面是边长为4的菱形，且1111160,,,DAB AC BD O AC B D O E ∠=⋂=⋂=︒是1O A 的中点，则点E 到平面1O BC 的距离为( ) A.2B.1C.32D.36.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ，则平面11AB D 与平面1BDC 的距离为( )7.如图所示，在直二面角D AB E --中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AEB 是等腰直角三角形，其中90AEB ∠=︒，则点D 到平面ACE 的距离为( )D.8.如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面1π,,2ABC AB BC AA ABC ==∠=，点,E F 分别是棱1,AB BB 的中点，则直线EF 和1BC 的夹角是( )A.π6B.π4C.π3D.π29.如图，已知直三棱柱111ABO A B O -中，,2,6,2AOB AO BO D π∠===为11A B 的中点，且异面直线OD 与1A B 垂直，则直线11A B 到平面ABO 的距离为( )A.2B.3C.4D.610.如图所示，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且PA ⊥平面,ABCD PA AD AC ==，点F 为PC 的中点，则平面CBF 与平面BFD 夹角的正切值为( )11.在直三棱柱111ABC A B C -中，3AC =，3BC =，AB =14AA =，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为__________ .12.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB AD ===，点,F G 分别是1,AB CC 的中点，则点1D 到直线GF 的距离为_______.13.已知两平面的法向量分别为10(0)=,,m ，11(0)=,,n ，则两平面所成的二面角为 .14.如图，在底面是直角梯形的四棱锥P ABCD -中，侧棱PA ⊥底面,ABCD BCAD ，90ABC ∠=︒，2,1PA AB BC AD ====，则AD 到平面PBC 的距离为_______.15.如图，已知正方形ABCD 的边长为1，PD ⊥平面ABCD ，且1,,PD E F =分别为,AB BC 的中点.(1)求点D 到平面PEF 的距离； (2)求直线AC 到平面PEF 的距离.答案以及解析1.答案：D解析：由(1,2,4)AP =--，得点P 到平面α的距离||103||AP n d n ⋅==. 2.答案：C解析：连接1AC ，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为1，则()()()()()110,0,0,1,0,1,1,1,0,0,1,1,1,0,0D A B C A ，1111(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1),(1,0,1)BC AC A B A D ∴=-=-=-=--， 1111110,110AC A B AC A D ∴⋅=-=⋅=-=，1111,AC A B AC A D ∴⊥⊥.又111A B A D A ⋂=，1AC ∴⊥平面11,A BD AC ∴是平面1A BD 的一个法向量.1111111cos ,2BC AC BC AC BCAC ⋅===， ∴直线1BC 与平面1A BD 3.答案：B解析：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,1,1,0,0,1,1,0,0,1,0P A B C ，所以2222,,0,,,13333G PG ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1=n ，则cos ,PG 〈〉==n 所以PG 与平面ABCD 所.4.答案：C解析：由题意，知,AB CD 分别为直线,a b 的方向向量，因为AB AC CD DB =++，所以2AB CD AC CD CD DB CD ⋅=⋅++⋅，即21cos ,1AB CD ⨯⨯〈〉=，所以1cos ,2AB CD 〈〉=，得,60AB CD ︒〈〉=，则a 与b 所成的角是60.5.答案：C解析：易得1OO ⊥平面ABCD ，所以11,OO OA OO OB ⊥⊥.又OA OB ⊥，所以建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz .因为底面ABCD 是边长为4的菱形，60DAB ∠=︒，所以2OA OB ==，则()()()()1,0,2,0,,0,0,3A B C O -，所以11(0,2,3),(3)O B OC =-=--. 设平面1O BC 的法向量为(,,)x y z =n ，则1100O B O C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，所以23030y z z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩，取2z =，则3x y ==，则(=n 是平面1O BC 的一个法向量. 设点 E 到平面1O BC 的距离为d .因为E 是1O A的中点，所以133,22E EO ⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎭⎝⎭，则13||2EO d ⋅==n n ，所以点E 到平面1O BC 的距离为32.6.答案：D解析：由正方体的性质，易得平面11AB D 平面1BDC ，则两平面间的距离可转化为点B 到平面11AB D 的距离.以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则1(,0,0),(,,0),(,0,),(0,,0)A a B a a A a a C a ，1(,,),(0,,0)CA a a a BA a =-=-，连接1A C ，则11111,AC B D AC AB ⊥⊥，所以1AC ⊥平面11AB D ，得平面11AB D 的一个法向量为(1,1,1)n =-，则两平面间的距离||||BA d ⋅===n n .7.答案：B解析：取AB 的中点O ，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则1,0),(1,0,0),(0,1,2),(0,1,,)(02E D C A --，从而(0,0,2),(1,1,0),(0,2,2)AD AE AC ===.设平面ACE 的法向量为(,,)x y z =n ，则0AE AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，令1y =，则1,1x z =-=-，所以()1,1,1=--n 为平面ACE 的一个法向量.故点D 到平面ACE的距离||AD d ⋅==n n8.答案：C解析：如图所示，立空间直角坐标系Bxyz ，由于1AB BC AA ==，不妨取2AB =，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,2)B E F C ，1(0,1,1),(2,0,2)EFBC ∴=-=，1111cos ,2||||2EF BC EF BC EF BC ⋅∴〈〉===，所以异面直线EF 和1BC 的夹角为π3，故选C. 9.答案：C解析：由直棱柱的性质，知直线11A B 到平面ABO 的距离为棱柱的高，不妨设为(0)t t >.以O 为坐标原点，1,,OA OB OO 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，11(0,6,0),(2,0,),(0,6,)B A t B t ，则(1,3,)D t ，所以1(2,6,),(1,3,)A B t OD t =--=，所以212180A B OD t ⋅=-+-=，所以4t =，故选C.10.答案：D解析：如图所示，设AC 与BD 交于点O ，连接OF .以O为坐标原点，,,OB OC OF 所在直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系Oxyz .设1PA AD AC ===，则BD =1(0,0,0),,0,0,2O B F ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，10,,02C ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1310,,0,,022OC BC ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，312FB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.易知OC 为平面BFD 的一个法向量，设平面CBF 的法向量为(),,x y z =n ，则00BC FB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即102102y x z ⎧+=⎪⎪-=，令1x =，则y z CBF 的一个法向量为=n ，所以2127cos ,,sin ,OC OC 〈〉=〈〉=n n ，所以2tan ,OC 〈〉=n 故平面CBF 与平面BFD 夹角的.。

人教版高中数学必修一第一章单元测试(含答案)

人教版高中数学必修一第一章单元测试(含答案)本页仅作为文档页封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March第3题高中数学《必修一》第一章教学质量检测卷一、选择题（将选择题的答案填入下面的表格。

本大题共10小题，每小题5分，共50分。

）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案1、下列各组对象中不能构成集合的是（）A 、佛冈中学高一（20）班的全体男生B 、佛冈中学全校学生家长的全体C 、李明的所有家人D 、王明的所有好朋友 2、已知集合{}{}5,1,A x R x B x R x =∈≤=∈>那么A B 等于（）Ａ．｛１，２，３，４，５｝Ｂ．｛２，３，４，５｝Ｃ．｛２，３，４｝Ｄ．{}15x R x ∈<≤3、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,4,6}B =，则图中的阴影部分表示的集合为（） A ．{}2 B ．{}4,6 C ．{}1,3,5 D ．{}4,6,7,8 4、下列四组函数中表示同一函数的是（）A.x x f =)(，2())g x x =B.()221)(,)(+==x x g x x fC.2()f x x =()g x x =D.()0f x =，()11g x x x =--5、函数2()21f x x ，(0,3)x。

()7,f a 若则a 的值是（）题号一二 15 16 17 18 19 20 总分得分A 、1B 、1-C 、2D 、2±6、2,0()[(1)]1 0x x f x f f x （）设,则，（）+≥⎧=-=⎨<⎩（） A 、3 B 、1 C. 07、()3f x x函数的值域为（）A 、[3，+∞）B 、（－∞，3]C 、[0，+∞）D 、R8、下列四个图像中，不可能是函数图像的是 ( )9、设f(x)是R 上的偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，则f(-2),f(3),f(-π)的大小顺序是：（）A 、 f(-π)>f(3)>f(-2)B 、f(-π) >f(-2)>f(3)C 、 f(-2)>f(3)> f(-π)D 、 f(3)>f(-2)> f(-π)10、在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么b ⊗ ()a c ⊕=( )A ．aB ．bC ．cD ．d二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11、函数0(3)2y x x --的定义域为xO yxxyyyO O O ABCD12、函数2()610f x x x =-+-在区间[0,4]的最大值是13、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 是 . 14、下列命题：①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个；②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③()()2()21221f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数；④偶函数的图像一定与y 轴相交；⑤1()f x x=在()(),00,-∞+∞上是减函数。

(完整版)高中数学必修1第一章集合测试题

新课标人教 A 版会集单元测试题一、选择题：〔每题〔时间4 分，共计80 分钟，总分值40 分〕100 分〕1、若是会集U1,2,3,4,5,6,7,8， A2,5,8， B1,3,5,7，那么 (U A)B等于〔〕(A)5(B)1,3,4,5,6,7,8(C)2,8(D)1,3,72、若是 U是全集， M，P，S 是U 的三个子集，那么阴影局部所表示的会集为〔〕〔A〕〔 M∩P〕∩ S；〔B〕〔 M∩P〕∪ S；〔C〕〔M∩P〕∩〔 C U S〕〔D〕〔M∩P〕∪〔 C U S〕3、会集M {( x, y) | x y2},N{( x, y) | x y 4} ，那么会集M I N 为〔〕A、x3, y1B、(3,1)C、 {3,1}D、 {(3,1)}4.A{4, 2a1, a2} ,B= { a5,1a,9},且 A B {9} ,那么 a 的值是()A. a 3B.a3C.a3D. a 5或 a35.假设会集A{ x kx24x 40, x R} 中只有一个元素 , 那么实数 k 的值为 ()B. 1C. 0或 1D.k16.会集 A{ y y x24, x N , y N} 的真子集的个数为()A. 9B. 8C. 7D. 67.符号 { a}P { a,b,c} 的会集P的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 58. M{ y y x21, x R}, P{ x x a 1, a R} , 那么会集 M与 P 的关系是()A. M=PB.P R C .M P D.M P9.设 U为全集 , 会集 A、B、C满足条件 A B A C ，那么以下各式中必然成立的是（〕A.A B A CB.B CC.A(C U B)A(C U C)D.(C U A) B (C U A) C10.A{ x x 2x60}, B{ x mx10} ,且A B A ,那么的取值范围是( )mA.{ 1,1} B.{0, 1 ,1} C.{0,1,1} D.{1,1}323232 3 2二、选择题：〔每题 4 分，总分值 20 分〕11.设会集 M { 小于5的质数 } ，那么M的真子集的个数为.12. 设U{1,2,3,4,5,6,7,8} , A {3,4,5}, B {4,7,8}. 那么: (C U A) (C U B) ,(C U A)(C U B) .13 . 某班有学生 55 人, 其中音乐爱好者34 人 , 体育爱好者 43 人, 还有 4 人既不爱好体育也不爱好音乐 , 那么班级中即爱好体育又爱好音乐的有人.14.A{ x x1或x 5}, B{ x a x a4} ,假设A B, 那么实数a 的取值范围是.15.会集P{ x x m23m1}, T{ x x n23n1} , 有以下判断:① P T { y y 5}②P4T { y y5}③P4T④ P T其中正确的选项是 .三、解答题16. 〔此题总分值 10 分〕含有三个元素的会集 { a, b,1}{ a2 , a b,0}, 求a2007b 2021 a的值 .17.〔此题总分值 10 分〕假设会集S {小于10的正整数}，A S,B S ,且 (C S A) B {1,9}, A B { 2}, (C S A) (C S B) {4,6,8} ，求A和B。

高中人教A版数学必修1单元测试：第一章单元测评卷及解析

所以两函数解析式不同；D 中两个函数解析式不同，故选 C.
解题技巧：判定两个函数是否相同时，就看定义域和对应法则是
否完全一致，完全一致的两个函数才算相同．
3．C 解析：A 选项中，元素 3 在 N 中有两个元素与之对应，故
不正确；同样 B，D 选项中集合 M 中也有一个元素与集合 N 中两个元
素对应，故不正确；只有 C 选项符合映射的定义．
7 7．D 解析：∵f(x)在(－∞，－2]上是增函数，且－4<－2A A<－3，
E
∴f(4)＝f(－4)<f－72<f(－3)，故选 D. 8．D 解析：由反比例函数的图象知 k<0，∴二次函数开口向下，
1 排除 A，B，又对称轴为 x＝k<0，排除 C.
9．D
2x－1≥0，
解析：根据题意，得
1
A
－E2E A＜f(－3)
8．已知反比例函数
k
y＝ A
xA
的图象如图所示，则二次函数
y＝2kx2－
E
4x＋k2 的图象大致为( )
1 9．函数 f(x)是定义在 0，＋∞)上的增函数，则满足 f(2x－1)<fAE3EA
的 x 的取值范围是( )
1 2
A.
A
E3，3E
A
1 2
C.AE2，3E
A
1 2 B.A3，E3E
1
1 1
5π＋1
∵0<π<1，∴fπ＝π＋5＝ π .
∵－1<0，∴f(－1)＝－3＋5＝2.
(2)如图：
在函数 y＝3x＋5 的图象上截取 x≤0 的部分，在函数 y＝x＋5 的图
象上截取 0<x≤1 的部分，在函数 y＝－2x＋8 的图象上截取 x>1 的部

高中数学(人教A必修1)第一章检测(B)

第一章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出以下三个关系:⌀∈{0};0∈⌀;⌀⊆{0}.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.0解析:因为空集是不包含任何元素的集合,{0}是以0为元素的集合,所以⌀∈{0},0∈⌀都是错误的,⌀⊆{0}是正确的.答案:A2.已知全集U=Z,集合A={-1,0,1,2},B={x|x2=x},则A∩(∁U B)等于()A.{1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,2}解析:∵A={-1,0,1,2},B={x|x2=x}={0,1},∴A∩(∁U B)={-1,2}.答案:D3.已知集合M={x|x-2>0,x∈R},N={y|y∈R},则图中阴影部分表示的集合等于()A.{x|x≥1}B.{x|1≤x<2}C.{x|x>2}D.{x|x>2或x<0}解析:易知M={x|x>2},N={y|y≥1}.又题图阴影部分表示的是M∩N,∴M∩N={x|x>2}.答案:C4.函数f(x)的定义域是A.[-1,+∞)B.(-∞,0)∪(0,+∞)C.[-1,0)∪(0,+∞)D.R解析:要使函数f(x)有意义,x的取值需满足解得x≥-1,且x≠0,则函数f(x)的定义域是[-1,0)∪(0,+∞).答案:C5.下列各组函数相等的是()A.f(x)B.f(x)-C.f(x)=1,g(x)=x0D.f(x)=x+1,g(x)--解析:A中函数对应关系不同;C,D中函数定义域均不同;B中函数是相等的.答案:B6.若函数f(x)=ax2+(a-2b)x+a-1是定义在区间(-a,0)∪(0,2a-2)内的偶函数,则A.1B.3 C解析:因为偶函数的定义域关于原点对称,则-a+2a-2=0,解得a=2.又偶函数不含奇次项,所以a-2b=0,即b=1.所以f(x)=2x2+1,所以答案:B7.函数y=f(x)与y=g(x)的图象分别为①②,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是()解析:由题图可知,y=f(x)的定义域为R,图象关于y轴对称,是偶函数;而y=g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),图象关于原点对称,是奇函数,所以y=f(x)·g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且为奇函数,所以函数y=f(x)g(x)的图象关于原点对称,故选D.答案:D8.已知函数f(x)=x2+mx+1在区间(-∞,-1]上是减函数,在区间[1,+∞)内是增函数,则实数m的取值范围是()A.[-2,2]B.(-∞,-2]C.[2,+∞)D.R解析:二次函数图象的对称轴是直线x=则由题意可得-1≤≤1,所以-2≤m≤2.答案:A9.设奇函数f(x)在区间(0,+∞)内为增函数,且f(1)=0,则不等式--的解集为A.(-1,0)∪(1,+∞)B.(-∞,-1)∪(0,1)C.(-∞,-1)∪(1,+∞)D.(-1,0)∪(0,1)解析:∵f(x)为奇函数,且f(x)在(0,+∞)内为增函数,f(1)=0,∴f(x)在(-∞,0)上为增函数,且f(-1)=-f(1)=0--可化为当x>0时,f(x)<0,即f(x)<f(1),x<1,故0<x<1;当x<0时,f(x)>0,即f(x)>f(-1),x>-1,故-1<x<0.综上,原不等式的解集为(-1,0)∪(0,1).答案:D10.若一系列的函数解析式相同、值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“同型异构”函数.那么函数解析式为y=-x2,值域为{-1,-9}的“同型异构”函数有()A.10个B.9个C.8个D.7个解析:由题意,得x从-1,1中至少取一个,从3,-3中至少取一个,故定义域中至少有2个元素,最多有4个元素,分别为{-1,-3},{-1,3},{1,-3},{1,3},{-1,1,-3},{-1,1,3},{-1,-3,3},{1,-3,3},{-1,1,3,-3},共9个.答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.已知函数f(x)则解析:f(1)=3+1=4,f(f(1))=f(4)答案:212.已知集合A={0,1,2},B={x|ax2+(1-a)x-1=0},若B⫋A,则a的取值集合是.解析:当a=0时,B={1},符合题意;当a≠0时,B-∵B⫋A,∴故a的取值集合为-答案:-13.已知函数f(x)是定义在区间[-1,3]上的减函数,且函数f(x)的图象经过点P(-1,2),Q(3,-4),则该函数的值域是.解析:∵f(x)的图象经过点P,Q,∴f(-1)=2,f(3)=-4.又f(x)在区间[-1,3]上是减函数,∴f(3)≤f(x)≤f(-1),即-4≤f(x)≤2,∴该函数的值域是[-4,2].答案:[-4,2]14.如图,定义在区间[-1,+∞)内的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成,则f(x)的解析式为.解析:当x∈[-1,0]时,设y=kx+b,由f(x)的图象得--解得当x∈(0,+∞)时,设y=a(x-2)2-1,由f(x)的图象得0=a(4-2)2-1,解得a ∴y-答案:f(x)∈---∈15.已知函数y=f(x)在区间(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则f(1),的大小关系为解析:因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以其图象关于y轴对称,所以函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,所以f(1)=f(3).因为函数y=f(x)在区间(0,2)上是增函数,所以函数y=f(x)在区间(2,4)上是减函数.因为2则即答案:三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)设非空集合A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},C={y|y=x2,x∈A},全集U=R.(1)若a=1,求(∁R C)∩B;(2)若B∪C=B,求a的取值范围.解:(1)当a=1时,A={x|-2≤x≤1},B={y|-1≤y≤5},C={y|0≤y≤4},∴∁R C={y|y<0,或y>4},∴(∁R C)∩B={y|-1≤y<0,或4<y≤5}.(2)∵A={x|-2≤x≤a},B={y|y=2x+3,x∈A},∴B={y|-1≤y≤2a+3}.∵B∪C=B,∴C⊆B.①当a≤2时,C={y|0≤y≤4},∴4≤2a+3,解得a≥≤a≤2.②当a>2时,C={y|0≤y≤a2},∴a2≤2a+3,解得-1≤a≤3,∴2<a≤3.综合①②得≤a≤3.17.(8分)已知函数f(x)-(1)求的值(2)画出这个函数的图象;(3)求f(x)的最大值.解:(1)(2)作出函数f(x)的图象,如图所示.(3)由函数f(x)的图象可知,当x=1时,f(x)取得最大值为6.18.(9分)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)(1)求f(-1)的值;(2)求当x<0时函数的解析式;(3)用定义证明f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.(1)解因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1)=2-1=1.(2)解当x<0时,-x>0,所以f(-x)-又因为f(x)为偶函数,所以当x<0时,f(x)=f(-x)-(3)证明设x1,x2是区间(0,+∞)内的任意两个实数,且0<x1<x2,则f(x2)-f(x1)--因为x1-x2<0,x1x2>0,所以f(x2)-f(x1)<0.所以f(x1)>f(x2).因此f(x)在区间(0,+∞)内是减函数.19.(10分)某商店经营的某种消费品的进价为每件14元,月销售量Q(单位:百件)与每件的销售价格p(单位:元)的关系如图所示,每月各种开支2 000元.(1)写出月销售量Q(单位:百件)关于每件的销售价格p(单位:元)的函数解析式.(2)写出月利润y(单位:元)与每件的销售价格p(单位:元)的函数解析式.(3)当该消费品每件的销售价格为多少元时,月利润最大?并求出最大月利润.解:(1)由题意,得Q --(2)当14≤p≤20时,y=100(p-14)(-2p+50)-2 000,即y=-200(p2-39p+360).当20<p≤26时,y=100(p-14-000, 即y=-50(3p2-122p+1 160).所以y ----(3)由(2)中的解析式和二次函数的知识,可得当14≤p≤20时,则p取到最大值,为4 050;当20<p≤26时,则p取到最大值,为又050,所以当该消费品每件的销售价格为元时,月利润最大,为4 050元.20.(10分)设y=f(x)是定义在R上的函数,对任意实数m,n,恒有f(m+n)=f(m)f(n)成立,且当x>0时,0<f(x)<1.求证:(1)f(0)=1,且当x<0时,f(x)>1;(2)f(x)在R上是减函数.证明(1)∵f(m+n)=f(m)f(n),m,n为任意实数,∴取m=0,n=2,则有f(0+2)=f(0)f(2).又当x>0时,0<f(x)<1,∴f(2)≠0,∴f(0)=1.当x<0时,-x>0,∴0<f(-x)<1-取m=x,n=-x,则f(x-x)=f(0)=f(x)f(-x)=1,∴f(x)-(2)由(1)及题设可知,在R上,f(x)>0.设x1,x2∈R,且x1<x2,则x1-x2<0,f(x1-x2)>1,∴f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)·f(x2)-f(x2)=[f(x1-x2)-1]f(x2).∵f(x1-x2)-1>0,f(x2)>0,∴f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),故f(x)在R上是减函数.。

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第一章单元测试(时间：120分钟满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数y ＝1－x2x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∩⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，1 2．已知a ，b 为两个不相等的实数，集合M ＝{a 2－4a ，－1}，N ＝{b 2－4b ＋1，－2}，映射f ：x →x 表示把集合M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x －x ，－x 2＋3x x ，则f (－1)＋f (4)的值为( )A ．－7B ．3C ．－8D ．44．已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且A ∪B ＝A ，则m 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．1或－1或05．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32，满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( )A ．3B ．－3C ．3或－3D ．5或－36．若函数f (x )的定义域为R ，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34>f (a 2－a ＋1)B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34<f (a 2－a ＋1)C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≤f (a 2－a ＋1)7．函数y ＝x |x |，x ∈R ，满足( )A ．既是奇函数又是减函数B ．既是偶函数又是增函数C ．既是奇函数又是增函数D ．既是偶函数又是减函数8．若f (x )是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，又f (－3)＝1，则不等式f (x )<1的解集为( )A ．{x |x >3或－3<x <0}B ．{x |x <－3或0<x <3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}9．已知f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，F (x )＝⎩⎨⎧g x ，若f x g x ，f x，若fxg x则F (x )的最值是( )A ．最大值为3，最小值为－1B ．最大值为7－27，无最小值C ．最大值为3，无最小值D ．既无最大值，又无最小值10．定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (－2)<f (1)B ．f (1)<f (－2)<f (3)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (3)<f (1)<f (－2) 11．已知y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象如下图：则F (x )＝f (x )·g (x )的图象可能是下图中的( )12．设f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数．若x 1<0，且x 1＋x 2>0，则( )A ．f (x 1)>f (x 2)B ．f (x 1)＝f (x 2)C ．f (x 1)<f (x 2)D ．无法比较f (x 1)与f (x 2)的大小第Ⅱ卷 (非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知集合M ＝{－2,3x 2＋3x －4，x 2＋x －4}，若2∈M ，则满足条件的实数x 组成的集合为________．14．若函数f (x )＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f (x )的递减区间是________．15．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，(x ，y ∈R )，则下列各式恒成立的是________．①f (0)＝0；②f (3)＝3f (1)；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；④f (－x )·f (x )<0.16．若函数f (x )＝x 2－(2a －1)x ＋a ＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设集合A 为方程－x 2－2x ＋8＝0的解集，集合B 为不等式ax －1≤0的解集． (1)当a ＝1时，求A ∩B ；(2)若A ⊆B ，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)设全集为R ，A ＝{x |3<x <7}，B ＝{x |4<x <10}， (1)求∁R (A ∪B )及(∁R A )∩B ；(2)C ＝{x |a －4≤x ≤a ＋4}，且A ∩C ＝A ，求a 的取值范围．19．(本小题满分12分) 函数f (x )＝2x －1x ＋1，x ∈3,5]．(1)判断单调性并证明； (2)求最大值和最小值．20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝－x2＋2ax－a在区间0,1]上有最大值2，求实数a的值．21．(本小题满分12分)已知函数f(x)的值满足f(x)>0(当x≠0时)，对任意实数x，y都有f(xy)＝f(x)·f(y)，且f(－1)＝1，f(27)＝9，当0<x<1时，f(x)∈(0,1)．(1)求f(1)的值，判断f(x)的奇偶性并证明；(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明；(3)若a≥0且f(a＋1)≤39，求a的取值范围．22．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)． (1)判断f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若f (1)＝2，试判断f (x )在2，＋∞)上的单调性．详解答案创优单元测评 (第一章) 名校好题·能力卷]1．D 解析：由题意知，⎩⎨⎧1－x ≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎨⎧x ≤1，x ≠－12且x ≠2.故选D.2．D 解析：∵集合M 中的元素－1不能映射到N 中为－2，∴⎩⎨⎧a 2－4a ＝－2，b 2－4b ＋1＝－1.即⎩⎨⎧a 2－4a ＋2＝0，b 2－4b ＋2＝0.∴a ，b 为方程x 2－4x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝4.3．B 解析：f (4)＝2×4－1＝7，f (－1)＝－(－1)2＋3×(－1)＝－4，∴f (－1)＋f (4)＝3，故选B.4．D 解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{－1}或B ＝{1}．则m ＝0或－1或1.解题技巧：涉及到B ⊆A 的问题，一定要分B ＝∅和B ≠∅两种情况进行讨论，其中B ＝∅的情况易被忽略，应引起足够的重视．5．B 解析：f (f (x ))＝cf x 2f x ＋3＝x ，f (x )＝3x c －2x ＝cx2x ＋3，得c ＝－3.6．C 解析：∵f (x )在(0，＋∞)上是减函数，且a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，∴f (a 2－a ＋1)≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34.解题技巧：根据函数的单调性，比较两个函数值的大小，转化为相应的两个自变量的大小比较．7．C 解析：由f (－x )＝－f (x )可知，y ＝x |x |为奇函数．当x >0时，y ＝x 2为增函数，而奇函数在对称区间上单调性相同．8．C 解析：由于f (x )是偶函数，∴f (3)＝f (－3)＝1，f (x )在(－∞，0)上是增函数，∴当x >0时，f (x )<1即为f (x )<f (3)，∴x >3，当x <0时，f (x )＜1即f (x )<f (－3)，∴x <－3.综上知，故选C.9．B 解析：作出F (x )的图象，如图实线部分，则函数有最大值而无最小值，且最大值不是3，故选B.10．A 解析：若x 2－x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)，∴f (x )在0，＋∞)上是减函数，∵3>2>1，∴f (3)<f (2)<f (1)．又f (x )是偶函数，∴f (－2)＝f (2)， ∴f (3)<f (－2)<f (1)，故选A.11．A 解析：由图象知y ＝f (x )与y ＝g (x )均为奇函数，∴F (x )＝f (x )·g (x )为偶函数，其图象关于y 轴对称，故D 不正确．在x ＝0的左侧附近，∵f (x )>0，g (x )<0，∴F (x )<0，在x ＝0的右侧附近，∵f (x )<0，g (x )>0，∴F (x )<0.故选A.12．C 解析：∵x 1<0且x 1＋x 2>0，∴－x 2<x 1<0. 又f (x )在(－∞，0)上为减函数， ∴f (－x 2)>f (x 1)．而f (x )又是偶函数，∴f (－x 2)＝f (x 2)． ∴f (x 1)<f (x 2)．13．{－3,2} 解析：∵2∈M ，∴3x 2＋3x －4＝2或x 2＋x －4＝2，解得x ＝－2,1，－3,2，经检验知，只有－3,2符合元素的互异性，故集合为{－3,2}．14．(－∞，0] 解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝kx 2－(k －1)x ＋2＝kx 2＋(k －1)x ＋2＝f (x )． ∴k ＝1.∴f (x )＝x 2＋2，其递减区间为(－∞，0]． 15．①②③ 解析：令x ＝y ＝0得，f (0)＝0；令x ＝2，y ＝1得，f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)；令x ＝y ＝12得，f (1)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；令y ＝－x 得，f (0)＝f (x )＋f (－x )．即f (－x )＝－f (x )， ∴f (－x )·f (x )＝－f (x )]2≤0. 16.⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≥52或a ≤32 解析：函数f (x )的对称轴为x ＝2a －12＝a －12，∵函数在(1,2)上单调， ∴a －12≥2或a －12≤1，即a ≥52或a ≤32.解题技巧：注意分单调递增与单调递减两种情况讨论． 17．解：(1)由－x 2－2x ＋8＝0，解得A ＝{－4,2}．当a ＝1时，B ＝(－∞，1]． ∴A ∩B ＝{}－4. (2)∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧－4a －1≤0，2a －1≤0，∴－14≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.18．解：(1)∁R (A ∪B )＝{x |x ≤3或x ≥10}， (∁R A )∩B ＝{x |7≤x <10}．(2)由题意知，∵A ⊆C ，∴⎩⎨⎧a ＋4≥7，a －4≤3，解得3≤a ≤7，即a 的取值范围是3,7]．19．解：(1)f (x )在3,5]上为增函数．证明如下：任取x 1，x 2∈3,5]且x 1<x 2. ∵ f (x )＝2x －1x ＋1＝x ＋－3x ＋1＝2－3x ＋1，∴ f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3x 2＋1 ＝3x 2＋1－3x 1＋1＝x 1－x 2x 1＋x 2＋，∵ 3≤x 1<x 2≤5，∴ x 1－x 2<0，(x 2＋1)(x 1＋1)>0， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， ∴ f (x )在3,5]上为增函数． (2)根据f (x )在3,5]上单调递增知， f (x )]最大值＝f (5)＝32，f (x )]最小值＝f (3)＝54.解题技巧：(1)若函数在闭区间a ，b ]上是增函数，则f (x )在a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．(2)若函数在闭区间a ，b ]上是减函数，则f (x )在a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．20．解：由f (x )＝－(x －a )2＋a 2－a ，得函数f (x )的对称轴为x ＝a . ①当a <0时，f (x )在0,1]上单调递减，∴f (0)＝2，即－a ＝2，∴a ＝－2.②当a >1时，f (x )在0,1]上单调递增，∴f (1)＝2，即a ＝3.③当0≤a ≤1时，f (x )在0，a ]上单调递增，在a,1]上单调递减， ∴f (a )＝2，即a 2－a ＝2，解得a ＝2或－1与0≤a ≤1矛盾．综上，a ＝－2或a ＝3.21．解：(1)令x ＝y ＝－1，f (1)＝1.f (x )为偶函数．证明如下：令y ＝－1，则f (－x )＝f (x )·f (－1)，∵f (－1)＝1， ∴f (－x )＝f (x )，f (x )为偶函数． (2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．设0<x 1<x 2，∴0<x 1x 2<1，f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2·f (x 2)，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2f (x 2)＝f (x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2.∵0<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<1，f (x 2)>0，∴Δy >0，∴f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (3)∵f (27)＝9，又f (3×9)＝f (3)×f (9)＝f (3)·f (3)·f (3)＝f (3)]3， ∴9＝f (3)]3，∴f (3)＝39， ∵f (a ＋1)≤39，∴f (a ＋1)≤f (3)， ∵a ≥0，∴a ＋1≤3，即a ≤2，综上知，a 的取值范围是0,2]．22．解：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2，f (－x )＝f (x )．∴函数f (x )是偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋a x(x ≠0)，而f (－1)＋f (1)＝2≠0，f (－1)－f (1)＝－2a ≠0，∴ f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)． ∴ 函数f (x )既不是奇函数也不是偶函数．(2)f (1)＝2，即1＋a ＝2，解得a ＝1，这时f (x )＝x 2＋1x.任取x 1，x 2∈2，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 21＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＋1x 2＝(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2－1x 1x 2，由于x 1≥2，x 2≥2，且x 1<x 2，∴ x 1－x 2<0，x 1＋x 2>1x 1x 2，f (x 1)<f (x 2)，故f (x )在2，＋∞)上单调递增．解题技巧：本题主要考查函数奇偶性的判断和函数单调性的判断．本题中由于函数解析式中含有参数，所以在判断函数奇偶性时需要根据参数的不同取值进行分类讨论；第(2)问中则需要根据f (1)＝2先确定参数的值，再根据函数单调性的定义判断函数的单调性．。

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