一次函数与一元一次不等式(基础)知识讲解【名校学案word打印版+详细解答】

一次函数与一元一次不等式（基础）

【学习目标】

1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．

2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．

【要点梳理】

要点一、一次函数与一元一次不等式

由于任何一个一元一次不等式都可以转化为ax b +＞0或ax b +＜0或ax b +≥0或ax b +≤0（a 、b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数y ax b =+的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.

要点诠释：求关于x 的一元一次不等式ax b +＞0（a ≠0）的解集，从“数”的角度看，就是x 为何值时，函数y ax b =+的值大于0？从“形”的角度看，确定直线y ax b =+在x 轴（即直线y ＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.

要点二、一元一次方程与一元一次不等式

我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.

要点三、如何确定两个不等式的大小关系

ax b cx d +>+（a ≠c ，且0ac ≠）的解集⇔y ax b =+的函数值大于y cx d =+的函数值时的自变量x 取值范围⇔直线y ax b =+在直线y cx d =+的上方对应的点的横坐标范围．

【典型例题】

类型一、一次函数与一元一次不等式

1、如图，直线y kx b =+交坐标轴于A （－3，0）、B （0，5）两点，则不等式kx b --＜0的解集为（ ）

A ．x ＞－3

B ．x ＜－3

C ．x ＞3

D ．x ＜3

【思路点拨】kx b --＜0即kx b +＞0，图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式kx b +＞0的解集.

【答案】A ；

【解析】观察图象可知，当x ＞－3时，直线y kx b =+落在x 轴的上方，

即不等式kx b +＞0的解集为x ＞－3，

∵kx b --＜0

∴kx b +＞0，

∴kx b --＜0解集为x ＞－3．

【总结升华】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．

举一反三：

【变式】如图，直线y kx b =+与坐标轴的两个交点分别为A （2，0）和B （0，－3），则不

等式kx b +＋3≥0的解集是（ ）

A ．x ≥0

B ．x ≤0

C ．x ≥2

D ．x ≤2

【答案】A ；

提示：从图象上知，直线y kx b =+的函数值y 随x 的增大而增大，与y 轴的交点

为B （0，－3），即当x ＝0时，y ＝－3，所以当x ≥0时，函数值kx b +≥－3．

2、直线b x k y l +=11:与直线x k y l 22:=在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，

则关于x 的不等式x k b x k 21>+的解为（ ）．

A ．1->x

B ．1-

C ．2-

D ．无法确定

【答案】B ；

【解析】从图象上看x k b x k 21>+的解，就是找到1l 在2l 的上方的部分图象，看这部分图象

自变量的取值范围.当1-+，故选B. y=k 2-1-2y x y=k 1x+b O

【总结升华】本题考察了用数形结合的方法求解不等式的大小关系，解题的关键是找出表示两条直线的交点的横坐标，再根据在上方的图象表示的函数值大，下方的图象表示的函数值小来解题.

举一反三：

【变式】直线1l ：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于x 的不等式1k x b +＜2k x c +的解集为（ ）

A ．x ＞1

B ．x ＜1

C ．x ＞－2

D ．x ＜－2

【答案】B ；

提示：1y k x b =+与直线2l ：2y k x c =+在同一平面直角坐标系中的交点是（1，

－2），根据图象得到x ＜1时不等式1k x b +＜2k x c +成立．

3、画出函数21y x =+的图象，并利用图象求：

(1)方程2x ＋1＝0的解；

(2)不等式2x ＋1≥0的解集；

(3)当y ≤3时，x 的取值范围；

(4)当－3≤y ≤3时，x 的取值范围．

【思路点拨】可用两点法先画出函数21y x =+的图象，方程2x ＋1＝0的解从“数”看就是自变量x 取何值时，函数值是0，从“形”看方程2x ＋1＝0的解就相当于确定直线21y x =+与x 轴的交点，故图象与x 轴交点的横坐标就是方程2x ＋1＝0的解．同理：图象在x 轴上方所有点的横坐标的集合就构成不等式2x ＋1＞0的解集．

【答案与解析】

解：列表： x 0

12- y 1 0

在坐标系内描点(0，1)和1,02⎛⎫-

⎪⎝⎭

，并过这两点画直线，即得函数21y x =+的图象．如图所示．

(1)由图象可知：直线21y x =+与x 轴交点1,02⎛⎫-

⎪⎝⎭， ∴ 方程2x ＋1＝0的解为12

x =-； (2)由图象可知：直线21y x =+被x 轴在1,02⎛⎫-

⎪⎝⎭点分成两部分，在点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭右侧，图象在x 轴的上方．故不等式2x ＋1≥0的解集为12

x ≥-； (3)过点(0，3)作平行于x 轴的直线交直线21y x =+于点M ，过M 点作x 轴的垂线，垂

足为N ．则N 点坐标为(1，0)；从图象上观察，在点(1，0)的左侧，函数值y ≤3，

则当y ≤3时，自变量x 的取值范围是x ≤1；

(4)过(0，－3)作x 轴的平行线交直线21y x =+于点P ，过P 作x 轴的垂线，垂足为H ，则点H 的坐标为(－2，0)．观察图象，在(－2，0)的右侧，在(1，0)的左侧，函数

值－3≤y ≤3．∴ 当－3≤y ≤3时，自变量的取值范围是－2≤x ≤1．

【总结升华】仔细体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系：

(1)一元一次方程0kx b y +=(0y 是已知数)的解就是直线y kx b =+上0y y =这点的横坐标；(2)一元一次不等式1y ≤kx b +≤2y (1y ，2y 是已知数，且1y ＜2y )的解集就是直线y kx b =+上满足1y ≤y ≤2y 那条线段所对应的自变量的取值范围；(3)一元一次不等式kx b +≤0y (或kx b +≥0y )(0y 是已知数)的解集就是直线y kx b =+上满足y ≤0y (或y ≥0y )那条射线所对应的自变量的取值范围.

举一反三：

【变式】已知直线y=kx+b 经过点A （5，0），B （1，4）．

（1）求直线AB 的解析式；

（2）若直线y=2x ﹣4与直线AB 相交于点C ，求点C 的坐标；

（3）根据图象，写出关于x 的不等式2x ﹣4＞kx+b 的解集．