【解析版】【考点突破】【全国通用】2015届中考数学总复习第19讲三角形与全等三角形
2019中考数学高频考点剖析专题19平面几何之直角三角形问题—解析卷.doc
备考2019中考数学高频考点剖析专题十九平面几何之直角三角形问题考点扫描☆聚焦中考直角三角形问题，是每年中考的必考重点内容之一，考查的知识点包括直角三角形的性质、勾股定理和解直角三角形三方面，总体來看，难度系数低，以选择填空为主。
关于解直角三角形主要是解析题。
解析题主要以计算为主。
结合2018年全国各地中考的实例，我们从三方血进行直角三角形问题的探讨：（1）直角三角形的性质；（2）勾股定理；（3）解直角三角形.考点剖析☆典型例题頑（2018・玉林）如图，在四边形ABCD中，ZB二ZD二90° , ZA=60° , AB二4,则AD的取值范围是2<AD<8・【分析】如图，延长BC交AD的延长线于E,作BF丄AD于F.解直角三角形求出AE、AF即可判断；【解答】解：如图，延长BC交AD的延长线于E,作BF丄AD于F.在RtAABE 中，VZE=30° , AB=4,AAE=2AB=8,在RtAABF 中，AF二寺AB二2,AAD的取值范围为2<AD<8,故答案为2<AD<8.例2| （2018・盐城）如图，在直角△ABC 中，ZC 二90° , AC 二6, BC 二8, P 、Q 分别为边BC 、AB 上的两个动点，若要使AAPQ 是等腰三角形且Z\BPQ 是直角三角形，则AQ 二 芈或孕. 【分析】分两种情形分别求解:①如图1屮，当AQ 二PQ, ZQPB=90°时，②当AQ 二PQ, ZPQB=90° 时；【解答】解：①如图1中，当AQ=PQ, ZQPB 二90°时,设AQ 二PQ 二x,・.・PQ 〃AC,AABPQ^ABCA,.BQ_PQ・ 10-x = x10 ~_6,・15 rAAQ~. 4②当 AQ 二PQ, ZPQB=90° 时，设 AQ 二PQ 二y.VABQP^ABCA,• PQ.BQ•• A L BC '■ y,10-y飞8 例3| （2018・黄冈）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm,底面周长为32cm,在杯内壁离杯底5cm 的点B 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm 与蜂蜜相对的点A 处，则 蚂蚁从外壁A 处到内壁B 处的最短距离为20 cm （杯壁厚度不计）.・・x 二 图1 图?蚂蚁月【分析】将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A',根据两点之间线段最短可知“ B的长度即为所求.:【解答】解：如图连接A' B,则A' B 即为最短距离，A' B=A/A^D^+BD^A/162+1 2 2=20 (cm).故答案为20.^H| （2018*杭州）如图，在中，ZACB=90°,以点B为圆心，BC长为半径画弧，交线段AB于点D；以点A为圆心，八D长为半径画弧，交线段AC于点E,连结CD.（1）若ZA=28° ,求ZACD的度数.（2）设BC=a, AC二b.①线段AD的长是方程x2+2ax・b2=0的一个根吗？说明理由.②若AD=EC,求学的值.B【分析】（1）根据三角形内角和定理求出ZB,根据等腰三角形的性质求出ZBCD,计算即可；（2）①根据勾股定理求岀AD,利用求根公式解方程，比较即可；②根据勾股定理列出算式，计算即可.【解答】解：（1） V ZACB=90° , ZA=28° ,.\ZB=62° ,VBD=BC,・・・ZBCD二ZBDC二59° ,・・・ZACD二90° - ZBCD二31°；（2）①由勾股定理得，A B R AC J BC S/ai2 + b2,AD=Va2 + b2 - a，解方程x2+2ax - b~0 得，x^~2a± V4a2+4b2^ 土需盯予-a,2・・・线段AD的长是方程x2+2ax - b2=0的一个根；② VAD=AE,AAE=EC=4，2 由勾股定理得，a2+b2=（寺b+a）2, 整理得，竿导.b 4巫（2018-遵义）如图，吊车在水平地血上吊起货物时，吊绳BC与地血保持垂直，吊臂AB与水平线的夹角为64。
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破
二次函数与三角形的综合-中考数学函数考点全突破一、考点分析：二次函数与三角形的综合解答题一般涉及到这样几个方面：1.三角形面积最值问题2.特殊三角形的存在问题包括等腰等边和直角三角形。
这类题目一般出现在压轴题最后两道上，对知识的综合运用要求比较高。
一解决此类题目的基本步骤与思路1.抓住目标三角形，根据动点设点坐标2.根据所设未知数去表示三角形的底和高，一般常用割补法去求解三角形的面积从而得出面积的关系式3.根据二次函数性质求出最大值.4.特殊三角形问题首先要画出三角形的大概形状，分类讨论的去研究。
例如等腰三角形要弄清楚以哪两条边为要，直角三角形需要搞清楚哪个角作为直角都需要我们去分类讨论。
注意事项：1.简单的直角三角形可以直接利用底乘高进行面积的表示2.复杂的利用“补”的方法构造矩形或者大三角形，整体减去部分的思想3.利用“割”的方法时，一般选用横割或者竖割，也就是做坐标轴的垂线。
4.利用点坐标表示线段长度时注意要用大的减去小的。
5.围绕不同的直角进行分类讨论，注意检验答案是否符合要求。
6.在勾股定理计算复杂的情况下，灵活的构造K字形相似去处理。
二、二次函数问题中三角形面积最值问题（一）例题演示1.如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5．(1)求抛物线的函数表达式；(2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB,求△PBD面积的最大值．DBOAyxC解答：(1)抛物线令y＝0，解得x＝－2或x＝4，∴A(－2，0)，B(4，0)．∵直线经过点B(4，0)，∴，解得，∴直线BD解析式为：当x＝－5时，y＝3，∴D(－5，3)∵点D(－5，)在抛物线上，∴，∴．∴抛物线的函数表达式为：．(2)设P(m,)∴∴△BPD面积的最大值为．【试题精炼】2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）.（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为时，求抛物线的函数表达式；HF解答：1）A（－1，0）∵CD＝4AC，∴点D的横坐标为4∴，∴.∴直线l的函数表达式为y＝ax＋a（2）过点E作EH∥y轴，交直线l于点H设E（x，ax2－2ax－3a），则H（x，ax＋a）.∴∴.∴△ADE的面积的最大值为，∴，解得.∴抛物线的函数表达式为.【中考链接】3.如图，直线l：y=﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；解答：（1）令x=0代入y=﹣3x+3，∴y=3，∴B（0，3），把B （0，3）代入y=ax2﹣2ax+a+4，∴3=a+4，∴a=﹣1，∴二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3；（2）令y=0代入y=﹣x2+2x+3，∴0=﹣x2+2x+3，∴x=﹣1或3，∴抛物线与x轴的交点横坐标为﹣1和3，∴S=DM•BE+DM•OE=DM（BE+OE）=DM•OB=××3==（m﹣）2+∵0＜m＜3，∴当m=时，S有最大值，最大值为；二、二次函数问题中直角三角形问题（一）例题演示如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，且抛物线经过A（1，0），C（0，3）两点，与x轴交于点B．（1）若直线y=mx+n经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；（2）设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解答：（1）依题意得：，解得，∴抛物线解析式为.把B（，0）、C（0，3）分别代入直线y=mx+n，得，解得，∴直线y=mx+n的解析式为y=x+3；（2）设P（，t），又∵B（－3，0），C（0，3），∴BC2=18，PB2=（+3）2+t2=4+t2，PC2=（）2+（t－3）2=t26t+10，①若点B为直角顶点，则BC2+PB2=PC2即：18+4+t2=t2－6t+10解得：t=；②若点C为直角顶点，则BC2+PC2=PB2即：18+t2－6t+10=4+t2解得：t=4，③若点P为直角顶点，则PB2+PC2=BC2即：4+t2+t2－6t+10=18解得：，.综上所述P的坐标为（，）或（，4）或（，）或（，）．【试题精炼】如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．（1）用含m的代数式表示a；（2）)求证：为定值；（3）设该二次函数图象的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）以线段GF、AD、AE 的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】试题分析：（1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.试题解析：解：（1）将C （0，-3）代入函数表达式得，∴.（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.由解得x1=－m，x2=3m．∴A(－m，0)，B(3m，0).∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）．∵AB平分∠DAE．∴∠DAM=∠EAN．∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN,∴.设点E的坐标为（x,）,∴,∴x=4m.∴为定值.（3）存在，如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH 中,∵tan∠CGO＝,tan∠FGH＝,∴=．∴OG=“3m,“由勾股定理得，GF=，AD=∴.由（2）得，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5．∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.考点：1.二次函数综合题；2.定值和直角三角形存在性问题；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.二次函数的性质；5.勾股定理和逆定理；6相似三角形的判定和性质；7.锐角三角函数定义.【中考链接】如图所示，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板ABC斜靠在两坐标轴上放在第二象限，点C的坐标为（－1，0）．B点在抛物线y＝x2＋x－2的图像上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点的横坐标为－3．(1)求BC所在直线的函数关系式．(2)抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解答：（1）∵C点坐标为（-1,0），∴BD=CO=1．∵B点的横坐标为-3，∴B点坐标为（-3,1）设BC所在直线的函数关系式为y=kx+b，则有，解得∴BC所在直线的函数关系式为y=x．（2）①若以为AC直角边，点C为直角顶点，如图所示，作CP1⊥AC，因为BC⊥AC，所以点P1为直线BC与对称轴直线的交点，即点P1的横坐标为-。
八年级数学第19章 全等三角形的小结与复习华东师大版知识精讲
初二数学第19章全等三角形的小结与复习华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：第19章全等三角形的小结与复习二. 重点、难点：1. 重点：⑴研究命题、定理的条件与结论，以及公理与定理、原命题与它的逆命题、原定理与它的逆定理之间的关系；⑵熟练掌握全等三角形的判定方法：（S.S.S.），（S.A.S.），（A.S.A.），（A.A.S.），（H.L.），并灵活应用；⑶认识尺规作图，掌握五种基本作图，并运用基本方法作图；⑷学习几个重要的定理及逆定理，并灵活运用.2. 难点：⑴灵活运用（S.S.S.），（S.A.S.），（A.S.A.），（A.A.S.），（H.L.）这些全等判定方法，解决各种问题．⑵能灵活运用几个重要的定理及逆定理，提高数学推理的能力．三. 知识梳理：（一）本章知识框架图：（二）本章知识回顾：1. 命题⑴命题的概念：可以判断正确或错误的句子．命题必是判断句，与句子是否正确无关．正确的命题称为真命题．包括公理和定理等．错误的命题称为假命题．只要能举出一个反例就能说明是假命题．⑵命题的组成：许多命题常由题设（或已知条件）和结论两部分组成；命题常可写成“如果……，那么……”的形式．“如果”开始的部分就是题设，“那么”开始的部分就是结论．2. 公理、定理⑴公理：数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理．⑵定理：数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理．3. 逆命题与逆定理：⑴逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．每个命题都有逆命题．⑵逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理．如果命题和它的逆命题都是定理，那么它们就是互逆定理．注意：SSA和AAA不能作为判定两个三角形全等的条件．6. 尺规作图：我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图．7. 基本作图内容：⑴画一条线段等于已知线段；⑵画一个角等于已知角；⑶经过一点画已知直线的垂线；⑷画已知线段的垂直平分线；⑸平分已知角．8. 本节中的定理：⑴等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．简称“等角对等边”．⑵勾股定理及逆定理：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．⑶角平分线有关定理角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；角平分线的性质定理的逆命题：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上；内心：三角形三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等．⑷线段垂直平分线有关定理：定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．定理的逆命题：到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．【典型例题】例⒈写出下列命题的逆命题，并判断真假．（1）同位角相等，两直线平行．（2）如果x＝3，那么x2＝9．（3）如果△ABC≌△A’B’C’，那么BC＝B’C’，AC＝A’C’，∠ABC＝∠A’B’C’．（4）如果△ABC是直角三角形，那么当每个内角取一个对应外角时，△ABC的三个外角中只有两个钝角．分析：（1）每一个命题都有逆命题，但原命题是真命题，而它的逆命题不一定是真命题（2）每一个定理不一定有逆定理．解答：（1）逆命题是：两直线平行，同位角相等．真命题．（2）逆命题是：如果x2＝9，则x＝3．它是一个假命题．由x2＝9可知，除x＝3外，还有x＝－3．（3）逆命题是：如果在△ABC和△A’B’C’中，BC＝B’C’，AC＝A’C’，∠ABC＝∠A’B’C’，那么△ABC≌△A’B’C’．这是一个假命题，因为有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．（4）逆命题是：如果△ABC的三个外角中只有两个钝角，那么△ABC是直角三角形．它是一个假命题．因为△ABC还有可能是钝角三角形．例2. 如图，AB//CD，BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，若∠BED＝72°，则∠BFD的度数为．分析：由AB//CD可得∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，又因为BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，可得∠ABF＋∠CDF＝12（∠ABE＋∠CDE），而∠ABE＋∠CDE＝∠BED＝72°．所以∠BFD＝36°．解答：∠BFD＝36°例3. 测量池塘两端的距离．校八（1）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下几种方案．（I）如图⑴，先在平地取一个可直接到达A、B的点C，再连接AC、BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB之长．（Ⅱ）如图⑵，先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC＝CD，接着过点D作BD的垂线DE，交AC的延长线于E，则测出DE的长即为A、B距离．阅读后回答下列问题：⑴方案（I）是否可行？，理由是．⑵方案（Ⅱ）是否切实可行？，理由．⑶方案（Ⅱ）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD＝∠BDE≠90°，方案（Ⅱ）是否仍成立？，理由．分析：实际问题转化为数学问题，关键是找到数学模型．问题中的（1）、（2）、（3）可转化为判断两个三角形是否全等，解：⑴可行，DC＝AC，∠DCE＝∠ACB，EC＝BC，根据（S．A．S．）识别方法知△DCE≌△ACB，所以DE＝AB．⑵可行，∠EDC＝∠ABC＝90°，CD＝CB，∠ECD≌△ACB，根据（A．S．A．）识别方法知△ECD≌△ACB，所以DE＝AB．（3）为了使△EDC≌△ABC 成立．∠EDC＝∠ABC，CD＝CB，∠ECD＝∠ACB，根据（A.S.A.）识别方法知△EDC≌△ABC，所以ED＝AB．例4. （2006年乐山市）如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边BA、DC延长线上的点，且AE＝CF，EF交AD于点G，交BC于点H．⑴图中的全等三角形有对，它们分别是：（不添加任何辅助线）⑵请在（1）问中选出一对你认为全等的三角形进行证明．我选择的是：．证明：C D分析：本题重在考查学生的识图能力以及证明能力，主要是根据全等三角形的判定条件去寻找，然后再作出证明．解：⑴2，△AEG≌△CFH和△BEH≌△DFG．⑵△AEG≌△CFH．证明：在平行四边形ABCD中，有∠BAG＝∠HCD．所以∠EAG＝180º－∠BAG＝18Oº－∠HCD＝∠FCH．又因为BA∥DC，所以∠E＝∠F．又因为AE＝CF，所以△AEG≌△CFH．例5. （2006年湖州市）如图（1），已知Rt△ABC中，∠C＝90º．根据要求作图；（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法．）①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为点H；③连接ED．分析：只需依次按要求作图．解答：如右图⑵．例6. 如图，已知∠BAC＝∠DAE，∠ABD＝∠ACE，BD＝CE．求证：AB＝AC，AD＝AE．分析：对于几何问题，要善于将已知条件的数量关系和图形相结合来处理，同时要看清问题的实质，准确把握要解决问题的方向．证明：因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAC－∠DAC＝∠DAE－∠DAC，即∠BAD＝∠CAE又因为∠ABD＝∠ACE，BD＝CE所以△ABD≌△ACE（AAS）．所以AB＝AC，AD＝AE．例7. 如图所示，沿折痕AE折叠矩形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB＝8，且△ABF的面积为24，求EC的长．分析：⑴折叠是一种轴对称，故折叠前后会产生全等形．⑵通过设未知数，用方程的知识来解决有关几何的计算问题是一种非常有用的方法．欲求CE的长，可考虑在Rt△CEF中利用勾股定理求得．由△AFE≌△ADE可知EF＝DE，即EF＋CE＝CD＝AB＝8．因此，要求CE的长，只需求出CF的长，而CF＝BC－BF．故只需根据题目的已知条件求出BC和BF的长即可．解：由AB＝8，S＝24，所以BF＝6．所以在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2，AF＝10．由题意可知△ADE≌△AFE，所以AD＝AF＝1O．所以CF＝BC－BF＝AD－BF＝1O－6＝4．设CE＝x，则EF＝DE＝8－x，在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，x2＋42＝（8－x）2．解得x＝3．所以EC的长为3．例8. 如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90º，∠B＋∠D＝180º，AB＝AD，作AH BC 于H，若AH＝5cm，求四边形ABCD的面积．分析：求不规则四边形面积常用割补法，使图形变成规则图形，而面积保持不变．解：过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADE＋∠ADC＝180°，∴∠ADE＝∠B在△ADE和△ABH中∵∠ADE＝∠B，∠AED＝∠AHB＝90°，AD＝AB∴△ADE≌△ABH（AAS）∴AE＝AH＝5cm∴△ADE面积＝△ABH面积四边形ABCD面积＝矩形AHCE面积＝AE·AH＝5×5＝25（cm2）．例9. 如图，已知AE平分∠BAC，AB＝AC＋BD，E是CD的中点，试证明BE平分∠ABD．分析：本题抓住“AB＝AC＋BD”，通过截长、补短的方法添加辅助线构造全等三角形，从而顺利解决了问题，“截长补短法”添加辅助线是解决形如条件“a＝b＋c”型问题中普遍采用的方法．要证BE平分∠ABD，即证∠ABE＝∠DBE．考虑到AB＝AC＋BD且AE平分∠CAB，可尝试通过三角形全等来证明·显然图中三角形均不全等，因此，必须构造全等三角形．由AE平分∠CAB得∠1＝∠2，AE可看作公共边，条件AB＝AC＋BD是关键，其一，构造一个三角形与 ACE全等，则需在AB上截取AF＝AC；其二，构造一个三角形与△ABE 全等，则需延长AC至F使AF＝AB，由此找到突破口，问题便可解决了．证法一：在AB上截取AF＝AC，连结EF如图（1）因为AB＝AC＋BD，AF＝AC，所以BF＝BD．在△ACE与△AFE中，由AC＝AF ，∠CAE＝∠FAE，AE＝AE得：△ACE≌△AFE（S.A.S.）则CE＝FE因为E为CD中点，则CE＝DE所以FE＝DE在△BEF与△BED中BF＝BD，BE＝BE，EF＝ED所以△BEF≌△BED（S.S.S.）所以∠FBE＝∠DBE，即BE平分∠ABD．证法二：如图（2），延长AC至F，使CF＝BD，连结EF因为AB＝AC＋BD，CF＝BD所以AB＝AF在△ABE与△AFE中AB＝AF，∠BAE＝∠FAE，AE＝AE所以△ABE≌△AFE（S.S.S.）所以BE＝EF，∠F＝∠ABE在△BED与△FEC中由BE＝FE，CE＝DE，BD＝FC得△BED≌△FEC（S.S.S.）所以∠EBD＝∠F所以∠EBD＝∠ABE，即BE平分∠ABD．【模拟试题】（答题时间：90分钟）一、选择题1、以下命题：①同一平面内的两条直线不平行就相交；②三角形的外角必定大于它的内角；③两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等；④两个全等三角形的面积相等．其中的真命题是 （ ）A. ① ③B. ① ④C. ① ② ④D. ② ③ ④2、两个三角形只有以下元素对应相等，不能判定两个三角形全等的是 （ ） A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边3、根据下列条件，能惟一画出△ABC 的是 （ ） A. ∠A ＝60º，∠B ＝45º，AB ＝4； B. AB ＝4，BC ＝3，∠A ＝30º C. AB ＝3，BC ＝4，AC ＝8； D.∠C ＝90º，AB ＝64、如图所示，在等边△ABC 中，D 、E 、F ，分别为AB 、BC 、CA 上一点（不是中点），且AD ＝BE ＝CF ，图中全等的三角形组数（都全等的为一组）有 （ ）A. 3组B. 4组C. 5组D. 6组5、如图，△ABD 和△ACE 都是等边三角形，则ABE ADC ∆≅∆的根据是 （ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS6、如图，在四边形ABCD 中，AD ＝CD ，BD 平分∠ABC ，则∠BAD ＋∠C 的和为 （ ） A. 120º B. 150º C. 180º D. 210º7、如图，在△ABC 中，DE 、GF 分别是AB 、AC 边上的垂直平分线，若AB ＝10， BC ＝22，AC ＝18，则△AEG 的周长等于（ ）A. 22B.24C. 25D. 308、在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，O 是△ABC 的三条角平分线的交点，则O 到AB 的距离是（ ）A. 2B. 3C. 4D. 2.4二、填空题9、写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题： ． 10、如图，已知，∠ABC ＝∠DEF ，AB ＝DE ，要说明△ABC ≌△DEF ， （1）若以“SAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （2）若以“ASA ”为依据，还须添加的一个条件为 ； （3）若以“AAS ”为依据，还须添加的一个条件为 ；11、如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果EC ＝7cm ，那么ED ＝ cm ；如果∠ECD ＝60°，那么∠EDC ＝ ．12、如图，AB ＝CD ，AD ＝BC ，O 为BD 中点过O 点作直线与DA 、BC 延长线交于E 、F ，若︒=∠60ADB ，EO ＝10，则∠DBC ＝ ，FO ＝ ．13、如图，P 是正方形ABCD 内一点，将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转能与△CBP ′重合，若PB ＝3，PP ′＝ ．14、如图所示，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，线段AB 的垂直平分线EF 交AB 于点E ，交CD 于点F ，且AC ＝FD ，则△ABF 是 三角形．15、如图，在ΔABC 中，已知AB 的垂直平分线交AC 于E ，ΔABC 和ΔBEC 的周长分别为24厘米和14厘米，求AB长为．16、如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上，点C与点C’重合，则折叠后重合部分的面积为．三、解答题17、如图所示，在图中作出点C，使得C是∠MON平分线上的点，且AC＝OA，并简述步骤．M18、已知：如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝FE，求证：AE＝CE．19、已知如图：△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于E，ED＝2，求：E到BC的距离．20、已知如图，在ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）求证：DE＝DF；（2）求证：AD⊥EF．【试题答案】一. 选择题。
中考数学难点突破与经典模型精讲练解直角三角形中的背靠背模型(解析版)
专题14 解直角三角形中的背靠背模型【模型展示】通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC为公共边，DC+CB=DB.一、单选题1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是()A．B．(30 海里C．120海里D．60海里【答案】B【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt⊥ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB．【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D，则⊥ACD=30°，⊥BCD=45°，在Rt⊥ACD中，AD=12CA=12×60=30（海里），，⊥⊥BCD=45°，⊥BDC=90°，⊥在Rt⊥BCD中，BD=CD，⊥AB=AD+BD=AD+CD=（30+故选：B．【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线．2．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（）A．60m B．C．D．【答案】B【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出⊥ADB、⊥CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出．【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt⊥ABD中，⊥⊥BAD＝30°，AD＝30m，⊥BD＝AD•tan30°＝30=m），在Rt⊥ACD中，⊥⊥CAD＝60°，AD＝30m，⊥CD＝AD•tan60°＝30=m），⊥BC＝BD+CD＝=m），即这栋高楼高度是．故选择：B．【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形．二、填空题3．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在它的北偏西60°方向，此时轮船与小岛的距离AD为________海里．【答案】【分析】过点A作AC⊥BD，根据方位角及三角函数即可求解．【详解】如图，过点A作，依题意可得⊥ABC=45°⊥⊥ABC是等腰直角三角形，AB=20(海里)海里)在Rt⊥ACD中，⊥ADC=90°-60°=30°(海里)故答案为：．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．4．4月26日，2015黄河口（东营）国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30︒，B处的俯角为45︒．如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是____________米．）【答案】200【分析】在两个直角三角形中，都是知道已知角和对边，根据正切函数求出邻边后，相加求和即可．【详解】⊥⊥CDA=⊥CDB=90°，⊥A=30°，⊥B=45°，BD=CD=200，⊥AB=AD+BD=200）（米）考点：解直角三角形的应用.5．如图所示，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70︒方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50︒方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25︒方向上，则灯塔C与码头B的距离是______海里(结果精确到个位， 1.4≈，≈ 2.41.7≈)【答案】24【分析】作BD⊥AC于点D，在直角⊥ABD中，利用三角函数求得BD的长，然后在直角⊥BCD 中，利用三角函数即可求得BC的长．【详解】⊥CBA=25°+50°=75°，作BD⊥AC于点D，则⊥CAB=（90°﹣70°）+（90°﹣50°）=20°+40°=60°，⊥ABD=30°，⊥⊥CBD=75°﹣30°=45°，在直角⊥ABD中，在直角⊥BCD中，⊥CBD=45°，≈10×2.4=24（海里），则故答案是：24．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，正确求得⊥CBD以及⊥CAB的度数是解决本题的关键．6．如图，某轮船以每小时30海里的速度向正东方向航行，上午8：00，测得小岛C在轮船A的北偏东45°方向上；上午10：00，测得小岛C在轮船B的北偏西30°方向上，则轮船在）．航行中离小岛最近的距离约为__海里（精确到1【答案】38．【分析】作CD⊥AB于点D，再求得AB、⊥ACD、⊥BCD的值，然后根据锐角三角函数求出CD的长即可解答．【详解】解：如图，作CD⊥AB于点D，根据题意可知：AB＝30×（10﹣8）＝60（海里），⊥ACD＝45°，⊥BCD＝30°，在Rt⊥ACD 中，CD ＝AD ，在Rt⊥CBD 中，BD ＝AB ﹣AD ＝60﹣CD ，⊥tan30°＝BD CD ，60CD CD -， 解得CD ≈38（海里）．答：轮船在航行中离小岛最近的距离约为38海里．故答案为38．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握方向角的概念和解直角三角形的知识是解答本题的关键．7．某拦水坝的横截面为梯形ABCD ， 迎水坡BC 的坡角为α，且34α=tan ， 背水坡AD 的坡度为2:5i =是指坡面的铅直高度AE 与水平宽度DE 的比，坝面宽3m AB =，坝高12m,AE =则坝底宽CD =__________．【答案】49m【分析】添一条辅助线，作BF ⊥CD ，AE =12m ，根据3tan =4α，可得CF 的长，根据背水坡AD 的坡度2:5i =，可得DE 的长，且AB =EF ，坝底CD =DE +EF +FC ，可得出答案．【详解】解：如图所示，添一条辅助线，作BF ⊥CD ，⊥12m AE =，且3tan =4α，而tan =BF CF α，⊥==16tan tan BF AE CF αα=m ， 又⊥背水坡AD 的坡度2:5i =，⊥2=5AE DE ，故DE =30m ， 且3m EF AB ==，坝底3031649m CD DE EF FC =++=++=，故答案为：49m ．【点睛】本题主要考查了用正切值求边长，坡度是坡角的正切，在直角三角形中，正切值为对边⊥斜边，掌握定义就不会算错．三、解答题8．如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知⊥A＝30°，⊥B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km），）【答案】14.0千米【分析】首先过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x，即可表示出AC，BC的长，进而求出x的值，再利用锐角三角函数关系得出AD，BD的长，即可得出答案．【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，设CD＝x．在Rt⊥ACD中，sin⊥A＝CDAC，AC＝sin30CD︒＝2x，在Rt⊥BCD中，sin⊥B＝CDBC，BC＝sin45CD︒，⊥AC+BC＝2x＝68，⊥x68202 1.4≈=+，在Rt⊥ACD中，tan⊥A＝CDAC，AD＝tan30CD=︒在Rt⊥BCD中，tan⊥B＝CDBD，BD＝tan45CD︒＝20，AB＝，AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，准确分析计算是解题的关键．9．已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：sin sin sin a b c A B C==．（1）如图1，若6,45,75a B C =∠=∠=︒︒，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若,14CD AB AC ⊥=米，10AB =米，sin ACB ∠=CD 的长度． 【答案】（1）（2）【分析】（1）过C 作CD AB ⊥于点D ，解直角三角形即可；（2）由已知条件可知sin sin AB AC ACB B=∠，求得sin B ，勾股定理求得BD ， 解Rt BDC 即可求得CD 的长【详解】（1）如图，过C 作CD AB ⊥于点D45B ∠=︒ DC BD ∴=,45DCB ∠=︒sin sin 456DC DB BC B a ==⨯=⨯︒==75C ∠=︒ 30ACD ∴∠=︒cos CD ACD AC∠=cos CD AC ACD ∴===∠即b =（2）sin sin AB AC ACB B =∠，14AC =，sinACB ∠=10AB =14sin 14sin 10AC ACB B AB ⨯∠∴===60B ∴∠=︒在Rt BDC 中，设BD x =，则CD =10AD x ∴=-在Rt ADC 中，222AD CD AC +=即: 222(10))14x -+=解得：128,3x x ==-（不符题意，舍）CD ∴==【点睛】本题考查解直角三角形应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．10．为加强我市创建文明卫生城市宣传力度，需要在甲楼A 处到E 处悬挂一幅宣传条幅，在乙楼顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角⊥ADF=45°，条幅底端E 点的俯角为⊥FDE=30°，DF⊥AB ，若甲、乙两楼的水平距离BC 为21米，求条幅的长AE 约是多少米？1.73=，结果精确到0.1米）【答案】33.1米【分析】根据题意及解直角三角形的应用直接列式求解即可．【详解】解：过点D 作DF⊥AB ，如图所示：在Rt⊥ADF 中，DF=BC=21米，⊥ADF=45°⊥AF=DF=21米在Rt⊥EDF 中，DF=21米，⊥EDF=30°⊥EF=DF×tan30°=⊥AE=AF+BF=米．答：条幅的长AE约是33.1米．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，关键是根据题意及利用三角函数求出线段的长．11．如图，是某小区的甲、乙两栋住宅楼，小丽站在甲栋楼房AB的楼顶，测量对面的乙栋楼房CD的高度，已知甲栋楼房AB与乙栋楼房CD的水平距离AC=小丽在甲栋楼房顶部B点，测得乙栋楼房顶部D点的仰角是30︒，底部C点的俯角是45︒，求乙栋楼房CD 的高度（结果保留根号）．【答案】【分析】根据仰角与俯角的定义得到AB=BE=AC,再根据三角函数的定义即可求解．【详解】如图，依题意可得⊥BCA=45°，⊥⊥ABC是等腰直角三角形，⊥AB=CE=AC=⊥⊥DBE=30°⊥DE=BE×tan30°=18⊥CD的高度为．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．12．如图，我市计划在某工业园区内，为相距4千米的彩印公司、包装公司修一条笔直的公路．点P表示住宅小区，在彩印公司北偏东30︒方向与包装公司北偏西60︒方向的交点，住宅小区在以P为圆心，0.8千米为半径的范围内，问这条公路是否会穿越这个住宅小区？（参1.414 1.732）【答案】不会【分析】过点P 作PD MN ⊥于D ，根据角的正切值表示出MD 和ND 的长，然后列方程求解PD 的长度，从而做出判断．【详解】解：如图，过点P 作PD MN ⊥于D ．由题意得60,30,4PMD PND MN ∠=︒∠=︒=．⊥在Rt ⊥PMD 中，tan 60PD MD ︒=，即3tan 603PD MD ==在Rt ⊥PND 中，tan 30PD ND ︒=，即tan30PD ND =︒ ⊥4MD ND MN +==，4+=，⊥0.8PD =．答：这条公路不会穿越这个住宅小区．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．13．如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸选取B 、C 两点，对岸岸边有一块石头A ，在ABC 中，测得64B ∠=︒，45C ∠=︒，50BC =米，求河宽（即点A 到边BC 的距离）（结果精确到0.1米）．1.41≈，sin640.90︒=，cos640.44︒=，tan642.05︒=）【答案】河宽约为33.6米【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x 米，则由已知条件可以得到关于x 的方程，解方程即可得到河的宽度．【详解】解：如图，过A 作AD ⊥BC 于D ，并设AD =x 米，⊥ ⊥C =45°，⊥⊥DAC =90°-45°=45°，⊥CD =AD =x ，⊥⊥B =64°，⊥BD =tan 64tan 64AD x =︒︒， ⊥BC =50 米，⊥50tan 64x x +=︒， 解之得：x≈33.6，答：河宽约33.6米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义并结合方程思想求解是解题关键．14．在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量公园中孔子塑像的高度，他们分别在A ，B 两处用高度为1.5m 的测角仪测得塑像顶部C 的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离AB 为20m ，求塑像的高度CF ．（结果保留根号）【答案】(8.5)米．【分析】在Rt CDG △和Rt CEG △中，求出公共边CG 的长度，然后可求得CF CG GF =+．【详解】解：20m AB =，20m DE DG EG ∴=+=，在Rt CEG △中，45CEG ∠=︒，EG CG ∴=，在Rt CDG △中，30CDG ∠=︒，60DCG ∠=︒，tan60DG CG ∴=︒，则tan6020m DE CG CG =︒+=． 即20DE CG +=．10CG ∴=．由题意知： 1.5GF m =10 1.58.5CF CG GF ∴=+=+=答：塑像CF 的高为()8.5m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．15．如图，C 地在A 地的正东方向，因有大山阻隔，由A 地到C 地需要绕行B 地，已知B 位于A 地北偏东67°方向，距离A 520 km ，C 地位于B 地南偏东30°方向，若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A 地到C 地之间高铁线路的长．（结果保留整数）参考数据：（sin67°≈1213；cos67°≈513；tan67°≈125）【答案】A 地到C 地之间高铁线路的长约为()596km ．【分析】过点B 作BD⊥AC 于点D ，利用锐角三角函数的定义求出AD 及CD 的长，进而可得出结论．【详解】解：如解图，过点B 作BD AC ⊥于点D ，⊥B 地位于A 地北偏东67︒方向，距离A 地520km ，⊥67ABD ︒∠=， ⊥12sin 67520480()13AD AB km ︒=⋅≈⨯=， 5cos67520200()13BD AB km ︒=⋅≈⨯=． ⊥C 地位于B 地南偏东30︒方向，⊥30CBD ︒∠=，⊥tan 30200)CD BD km ︒=⋅==，⊥480596()AC AD CD km =+=≈． 答：A 地到C 地之间高铁线路的长约为()596km ．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，解题关键是添加常用辅助线，构造直角三角形．16．某次台风来袭时，一棵笔直且垂直于地面的大树AB 被刮倾斜后在C 处折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D 处，测得⊥ACD ＝60°，⊥ADC ＝37°，AD ＝5米，求这棵大树AB 的高．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）【答案】这棵大树AB 原来的高度约是9.2米．【分析】过点A 作AE⊥CD 于点E ，解Rt⊥AED ，求出DE 及AE 的长度，再解Rt⊥AEC ，得出CE 及AC 的长，进而可得出结论．【详解】过点A 作AE⊥CD 于点E ，则⊥AEC ＝⊥AED ＝90°．⊥在Rt⊥AED 中，⊥ADC ＝37°，AD=5，⊥cos37°＝DEAD＝5DE≈0.8，⊥DE≈4，⊥sin37°＝AEAD＝5AE≈0.6，⊥AE≈3，在Rt⊥AEC中，⊥⊥CAE＝90°﹣⊥ACE＝90°﹣60°＝30°，⊥CE＝⊥AC＝2CE＝⊥AB＝AC+CE+ED＝＝（米）．答：这棵大树AB原来的高度约是9.2米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．17．一滑板运动场斜坡上的点A处竖直立着一个旗杆，旗杆在其点B处折断，旗杆顶部落在斜坡上的点C处，AC=75°，斜坡与水平地面的夹角为30°，求旗杆的高度．1.4≈, 1.7≈，精确到1米）．【答案】旗杆的高度约为9米．【分析】根据题意过点C 作CD AB ⊥于点D ，利用解直角三角形的方法进行分析即可求得答案．【详解】解：过点C 作CD AB ⊥于点D ，30DCA =︒∠，AC =12AD =，AC =cos30°3CD AC =⋅==， 又BCA 7°5∠=， °BCD 74°55°30∴∠=-=，3CD BD ∴==，BC =BD =33 1.43 1.78.99()AB BC ∴+=+⨯++=≈米 答：旗杆的高度约为9米．【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握并根据题意构造直角三角形进行分析是解题的关键．18．一艘轮船向正东方向航行，在A 处测得灯塔P 在A 的北偏东60°方向，航行40海里到达B 处，此时测得灯塔P 在B 的北偏东15°方向上．（1）求灯塔P 到轮船航线的距离PD 是多少海里？（结果保留根号）（2）当轮船从B 处继续向东航行时，一艘快艇从灯塔P 处同时前往D 处，尽管快艇速度是轮船速度的2倍，但快艇还是比轮船晚15分钟到达D 处，求轮船每小时航行多少海里？（结果保留根号）【答案】（1）灯塔P 到轮船航线的距离PD 是（）海里；（2）轮船每小时航行（60﹣【分析】（1）作BC ⊥AP 于C ，根据余弦的定义求出AC ，根据等腰直角三角形的性质求出CP ，得到AP 的长，根据直角三角形的性质计算，得到答案；（2）根据余弦的定义求出AD，得到BD的长，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【详解】解：（1）作BC⊥AP于C，在Rt⊥ABC中，⊥P AB＝30°，⊥BC＝1AB＝20，AC＝AB•cos⊥P AB＝⊥⊥NBP＝15°，⊥⊥PBD＝75°，⊥⊥CBP＝180°﹣60°﹣75°＝45°，⊥PC＝BC＝20，⊥AP＝AC+PC＝，在Rt⊥ADP中，⊥A＝30°，⊥PD＝1AP＝，答：灯塔P到轮船航线的距离PD是（）海里；（2）设轮船每小时航行x海里，在Rt⊥ADP中，AD＝AP•cosA＝，⊥BD＝AD﹣AB＝10，1560解得，x＝60﹣经检验，x＝60﹣）海里．答：轮船每小时航行（60﹣【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题和分式方程的应用，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义、正确列出分式方程是解题的关键．19．如图，在东西方向的海面线MN上，有A，B两艘巡逻船，两船同时收到渔船C在海面停滞点发出的求救信号，测得渔船分别在巡逻船A，B的北偏西30°和北偏东45°方向，巡逻≈1.41）船A和渔船C相距120海里．（1）求巡逻船B 与渔船C 间的距离；（2）已知在A ，B 两艘巡逻船间有一观测点D （A ，B ，D 在直线MN 上），测得渔船C 在观测点D 的北偏东15°方向，观测点D 的45海里范围内有暗礁．若巡逻船B 沿BC 方向去营救渔船C ，问有没有触礁的危险？并说明理由．【答案】（1）巡逻船B 与渔船C 间的距离为海里；（2）没有触礁的危险，理由详见解析．【分析】（1）作CE MN ⊥于E ，由直角三角形的性质得1602AE AC ==，3603CE BE AE ，=45ABC ∠︒，证BCE ∆是等腰直角三角形，得出2606BC CE 即可；（2）作DF BC ⊥于F ，由=45ABC ∠︒，得出BDF ∆是等腰直角三角形，则2542DFBD 海里，由5445>，即可得出没有触礁的危险．【详解】解：（1）作CE MN ⊥于E ，如图1所示：则30ACE ∠=︒，45BCE ∠=︒，15DCE ∠=︒，=45ABC ∠︒， 1602AE AC ，3603CE AE ，BCE ∆是等腰直角三角形，603BE CE ，2606BC CE ，答：巡逻船B 与渔船C 间的距离为（2）没有触礁的危险；理由如下：由题意得：60360ABBE AE ， 301545ACD ACE DCE，ACD ABC ∴∠=∠，CAD BAC ∠=∠，CAD BAC∽，∴AD ACAC AB=，即12012060360AD，解得：120(31)AD，60360120(31)180603BD AB AD（海里）；作DF BC⊥于F，如图2所示：45ABC∠=︒，BDF∴∆是等腰直角三角形，2902306542DF BD（海里），5445，∴没有触礁的危险．【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、含30︒角直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握直角三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．20．如图，某野外生态考察小组早晨7点整从A营地出发，准备前往正东方向的B营地，由于一条南北向河流的阻挡（图中阴影部分），他们需要从C处过桥．经过测量得知，A、B 之间的距离为13 km，⊥A和⊥B的度数分别是37°和53°，桥CD的长度是0.5 km，图中的区域CDFE近似看做一个矩形区域．（1）求CE的长；（2）该考察小组希望到达B营地的时间不迟于中午12点，则他们的行进速度至少是多少？（结果保留1位小数）（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）【答案】（1）CE 的长为6km ；（2）他们的行进速度至少是3.6/km h ．【分析】（1）设CE xkm =，先根据矩形的性质可得0.5EF CD km ==，CE DF xkm ==，CE EF ⊥，DF EF ，再解直角三角形分别求出43AE x =，34BF x =，然后根据线段的和差列出等式，求解即可得；（2）先根据题（1）的结论求出AE 、BF 、DF 的长，再利用勾股定理分别求出AC 、BD 的长，然后根据速度的计算公式列出不等式，求解即可得．【详解】（1）设CE xkm =四边形CDFE 是矩形0.5EF CD km ∴==，CE DF xkm ==，CE EF ⊥，DF EF 在Rt ACE 中，tan CE A AE =，即tan 37x AE =︒ 解得4()tan 370.753x x AE x km =≈=︒ 在Rt BDF 中，9037BDF B ∠=︒-∠=︒，tan BF BDF DF ∠=，即tan 37BF x =︒ 解得3tan 370.75()4BF x x x km =︒≈=又AE EF BF AB ++=430.51334x x ∴++= 解得6()x km =故CE 的长为6km ；（2）由（1）可知，483AE x km ==，3942BF x km ==，6DF x km ==则10()AC km157.5()2BD km === 设他们的行进速度为/ykm h 由题意得：127AC CD BD y ++≤-，即100.57.55y ++≤解得 3.6(/)y km h ≥答：他们的行进速度至少是3.6/km h ．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形的实际应用、勾股定理等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．21．一艘渔船从位于A 海岛北偏东60°方向，距A 海岛60海里的B 处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A 海岛周围50海里水域内有暗礁．（参考数据：2.65≈）（1）这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．（2）渔船航行3小时后到达C 处，求A ，C 之间的距离．【答案】（1）没有危险，理由见解析；（2）79.50海里【分析】（1）过A 点作AD BC ⊥于点D ，在Rt ABD 中求出AD 与50海里比较即可得到答案；（2）在Rt ABD 中求出BD 得到CD ，再根据勾股定理求出AC.【详解】解：（1）过A 点作AD BC ⊥于点D ，⊥90ADB ADC ∠=∠=︒，由题意可得=60B ∠︒，⊥在Rt ABD 中，sin 606051.950AD AB =⋅︒==≈>， ⊥渔船在航行过程中没有触礁的危险；（2）在Rt ABD 中，cos6030BD AB ︒=⋅=，⊥33090BC =⨯=，⊥903060DC =-=，在Rt ADC 中，79.50AC =，即A ，C 之间的距离为79.50海里.【点睛】此题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形，将已知的线段和角度放在直角三角形中，利用锐角三角函数解决问题是解题的关键.22．如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A 、B 、C ，测得30CAB ∠=︒，=45ABC ∠︒，8AC =千米，求A 、B 两点间的距离． 1.4≈ 1.7，结果精确到1千米）．【答案】A 、B 两点间的距离约为11千米．【分析】如图（见解析），先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出CD 、AD 的长，再根据等腰直角三角形的判定与性质可得BD 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D在Rt ACD 中，30CAD ∠=︒，8AC =千米118422CD AC ∴==⨯=（千米），AD ==在Rt BCD △中，45DBC ∠=︒Rt BCD ∴是等腰直角三角形4BD CD ∴==千米44 1.7410.811AB AD BD ∴=+=≈⨯+=≈（千米）答：A 、B 两点间的距离约为11千米．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．23．共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A ，B 两地向C 地新建AC ，BC 两条笔直的污水收集管道，现测得C 地在A 地北偏东45︒方向上，在B 地北偏西68︒方向上，AB 的距离为7km ，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km ，sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈ 1.41≈）【答案】新建管道的总长度约为8.2km ．【分析】如图（见解析），先根据方位角的定义求出45,22CAD CBD ∠=︒∠=︒，设AD xkm =，则(7)BD x km =-，再在Rt ACD 中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得AC 、CD 的长，然后在Rt BCD △中，解直角三角形可得x 的值，从而可得AC 、BC 的长，由此即可得出答案．【详解】如图，过点C 作CD AB ⊥于点D由题意得：904545,906822CAD CBD ∠=︒-︒=︒∠=︒-︒=︒，7AB km =设AD xkm =，则(7)BD x km =-,45CD AB CAD ⊥∠=︒Rt ACD ∴△是等腰直角三角形,CD AD xkm AC ∴====在Rt BCD △中，tan CD CBD BD ∠=，即tan 227x x =︒- 解得7tan 2270.402()1tan 2210.40x km ︒⨯=≈=+︒+ 经检验，7tan 221tan 22x ︒=+︒是所列分式方程的解2.82()AC km ∴=，2CD km =在Rt BCD △中，sin CD CBD BC ∠=，即2sin 22BC =︒ 解得22 5.41()sin 220.37BC km =≈≈︒ 则 2.82+5.418.238.2()AC BC km +≈=≈答：新建管道的总长度约为8.2km ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角三角形的方法是解题关键．24．在数学实践与综合课上，某兴趣小组同学用航拍无人机对某居民小区的1、2号楼进行测高实践，如图为实践时绘制的截面图．无人机从地面点B 垂直起飞到达点A 处，测得1号楼顶部E 的俯角为67°，测得2号楼顶部F 的俯角为40°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高度为20米，且EC 和FD 分别垂直地面于点C 和D ，点B 为CD 的中点，求2号楼的高度．（结果精确到0.1）（参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan67°≈2.36）【答案】45.8米【分析】通过作辅助线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系，分别求出EM ，AN ，进而计算出2号楼的高度DF 即可．【详解】解：过点E、F分别作EM⊥AB，FN⊥AB，垂足分别为M、N，由题意得，EC＝20，⊥AEM＝67°，⊥AFN＝40°，CB＝DB＝EM＝FN，AB＝60，⊥AM＝AB﹣MB＝60﹣20＝40，在Rt⊥AEM中，⊥tan⊥AEM＝AM EM，⊥EM＝AMtan AEM∠＝40tan67︒≈16.9，在Rt⊥AFN中，⊥tan⊥AFN＝AN FN，⊥AN＝tan40°×16.9≈14.2，⊥FD＝NB＝AB﹣AN＝60﹣14.2＝45.8，答：2号楼的高度约为45.8米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．25．今年由于防控疫情，师生居家隔离线上学习，AB和CD是社区两栋邻楼的示意图，小华站在自家阳台的C点，测得对面楼顶点A的仰角为30°，地面点E的俯角为45°．点E在线段BD上．测得B，E间距离为8.7米．楼AB高CD的长（结果精确到1 1.41≈1.73）【答案】10米【分析】作CH⊥AB于H，得到BD=CH，设CD=x米，根据正切的定义和等腰直角三角形的性质分别用x表示出HC、ED，然后列出方程，解方程即可．【详解】解：作CH⊥AB 于H ，则四边形HBDC 为矩形，⊥BD=CH ，由题意得，⊥ACH=30°，⊥CED=45°，设CD=x 米，则AH=)x 米，在Rt⊥AHC 中，HC=36tan AH ACH ==∠ 则BD=CH=36⊥ED=368.7=27.3-在Rt⊥CDE 中，CD=DE即=27.3x解得：10x ≈答：立柱CD 的高为10米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的概念、仰角俯角的定义是解题的关键．26．小婷在放学路上，看到隧道上方有一块宣传“中国﹣南亚博览会”的竖直标语牌CD ．她在A 点测得标语牌顶端D 处的仰角为42°，测得隧道底端B 处的俯角为30°（B ，C ，D 在同一条直线上），AB=10m ，隧道高6.5m （即BC=6.5m ），求标语牌CD 的长（结果保留小数点后一位）．（参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）【答案】标语牌CD 的长为6.3m ．【详解】分析：如图作AE⊥BD 于E ．分别求出BE 、DE ，可得BD 的长，再根据CD=BD -BC计算即可；详解：如图作AE⊥BD于E．在Rt⊥AEB中，⊥⊥EAB=30°，AB=10m，AB=5（m），m），⊥BE=1在Rt⊥ADE中，DE=AE•tan42°=7.79（m），⊥BD=DE+BE=12.79（m），⊥CD=BD-BC=12.79-6.5≈6.3（m），答：标语牌CD的长为6.3m．点睛：本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．27．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东66.1°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长（结果取整数）．参考数据：sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，tan64°≈2.26 1.414．【答案】BP的长为154海里，BA的长为158海里．【分析】如图作PC⊥AB于C．在Rt⊥APC中，求出PC、AC的长，在Rt⊥PCB中求出PB 的长，从而可解决问题．【详解】解：如图作PC⊥AB于C．由题意⊥A=66.1°，⊥B=45°，PA=120，在Rt⊥APC 中，sinA=PC PA ，cosA=AC PC， ⊥PC=PA•sinA=120•sin66.1°，AC=PA•cosA=120•cos66.1°，在Rt⊥PCB 中，⊥⊥B=45°，⊥PC=BC ，⊥PB=sin 45PC ︒≈154． ⊥AB=AC+BC=120•cos66.1°+120•sin66.1°≈120×0.41+120×0.91≈158．答：BP 的长为154海里和BA 的长为158海里．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．。
2024_2025学年八年级数学上学期期中核心考点专题01三角形的基础含解析新人教版
期中考点专题01 三角形的基础重点突破三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。
三角形特性三角形用符号“”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“ABC”，读作“三角形ABC”。
三角形按边分类：等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。
等边三角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。
三角形三边的关系（重点（1）三角形的随意两边之和大于第三边。
三角形的随意两边之差小于第三边。
（这两个条件满意其中一个即可）用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a，b，c，则a＋b＞c或c－b＜a。
（2）已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b三角形的分类：三角形按边的关系分类如下：三角形按角的关系分类如下：三角形的稳定性➢三角形具有稳定性➢四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。
考查题型考查题型一三角形的个数问题典例1．（2024·西林县期中）如图所示，其中三角形的个数是（）A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】D【提示】依据三角形的定义解答即可，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.【详解】图中的三角形有：△ABC，△BCD，△BCE，△ABE，△CDE共5个.故选D.【名师点拨】本题考查了三角形的概念，由不在同始终线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻边的公共端点叫做三角形的顶点.相邻两条边组成的角，叫做三角形的内角，简称为三角形的角.变式1-1．（2024·秦皇岛市期中）图中三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】D【解析】图中的三角形有: △ABD, △ADE, △AEC, △ABE, △ADC, △ABC,共6个.故选D.变式1-2．（2024·洛阳市期末）图中三角形的个数是（）A．4个B．6个C．8个D．10个【答案】C【提示】依据三角形的定义即可得．【详解】图中的三角形是，共8个故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形的定义，驾驭理解三角形的概念是解题关键．变式1-3．（2024·恩施市期中）如图，图中三角形的个数有（）A．6个B．8个C．10个D．12个【答案】B【解析】试题解析：以O为一个顶点的有△CBO、△CDO、△ABO、△ADO，不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个．故选B.考查题型二三角形的分类典例2（2024·石家庄市期末）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形态是（）A．等边三角形 B．锐角三角形C．直角三角形 D．钝角三角形【答案】D【解析】试题提示：依据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形态．解：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选D．变式2-1．（2024·黄冈市期中）一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形肯定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【解析】试题提示：依据三角形的内角和为180°，可知最大角为90°，因式这个三角形是直角三角形.故选B.变式2-2．（2024·深圳市期中）在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：3：5，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形态不确定【答案】C【提示】依据∠A：∠B：∠C=1：3：5，可设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，再依据三角形内角和为180°可得方程x+3x+5x=180，解方程算出x的值，即可推断出△ABC的形态．【详解】解：∵∠A：∠B：∠C=1：3：5，∴设∠A=x°，∠B=3x°，∠C=5x°，∴x+3x+5x=180，解得：x=20，∴∠C=5×20°=100°，∴△ABC是钝角三角形．故选：C．【名师点拨】本题考查三角形内角和定理，关键是利用方程思想列出三个角的关系式．变式2-3．（2024·石家庄市期末）下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能确定三角形类型的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形按角分类的方法一一推断即可．【详解】视察图象可知：选项B，D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型．故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的分类，解题的关键是娴熟驾驭基本学问，属于中考常考题型．考查题型三构成三角形的条件典例3．（2024·宜兴市期末）下列各组线段不能组成三角形的是 ( )A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【答案】B【提示】依据三角形的随意两边之和大于第三边对各选项提示推断后利用解除法求解.【详解】A 、4485+=>，∴445cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；B 、461011+=<，∴4611cm cm cm 、、不能组成三角形，故本选项正确；C 、5496+=>，∴456cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误；D 、5121713+=>，∴51213cm cm cm 、、能组成三角形，故本选项错误.故选：B .【名师点拨】本题考查了三角形的三边关系，是基础题，熟记三边关系是解题的关键.变式3-1．（2024·太仓市）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18【答案】B【解析】试题提示：依据题意，要分状况探讨：①、3是腰；②、3是底．必需符合三角形三边的关系，随意两边之和大于第三边．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是6，但是3+3=6，∴不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是6，6．3+6＞6，符合条件．成立．∴C=3+6+6=15．故选B ．变式3-2．（2024·兰州市期末）等腰三角形的一边长为4，另一边长为9，则这个三角形的周长为( )A ．22B ．17C ．13D ．17或22【答案】A【提示】分4是腰长和底边两种状况探讨求解即可．【详解】解：4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，∵4+4=8＜9，∴不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22．故选A ．【名师点拨】本题主要考查了三角形三边关系，难点在于分状况探讨并利用三角形的三边关系推断是否能组成三角形．cm cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的变式3-3．（2024·哈尔滨市期中）下列长度的四根木棒中，能与49，是（）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【答案】C【提示】依据三角形三边关系：三角形随意两边之和大于第三边，逐一推断选项，即可.【详解】∵4+4<9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴4cm，49，∴A错误；∵5+4=9，cm cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，∴5cm，49，∴B错误；∵9+4>9，cm cm长的木棒能组成三角形，∴9cm，49，∴C正确；∵4+9=13，cm cm长的木棒，不能组成三角形，∴13cm，49，∴D错误；故选C.【名师点拨】本题主要考查三角形的三边关系，驾驭“三角形随意两边之和大于第三边”，是解题的关键.m-=，且m，n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，变式3-4．（2024·濮阳市期末）若实数m，n满意20则△ABC的周长是( )A．12 B．8 C．10 D．10或8【答案】C【提示】依据非负数的性质求出,m n的值，依据等腰三角形的性质求解即可.m-=【详解】20m n∴==2,4,当三角形的腰长为2时，224+=，构不成三角形；++=.当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：44210故答案选：C.【名师点拨】考查非负数的性质以及等腰三角形的性质，驾驭三角形的三边关系是解题的关键.考查题型四三角形第三边的取值范围典例4．（2024·三明市期末）已知三角形两边的长分别是3和7，则此三角形第三边的长可能是（）A．1 B．2 C．8 D．11【答案】C【提示】依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可确定出第三边的范围，据此依据选项即可推断. 【详解】设第三边长为x，则有7-3<x<7+3，即4<x<10，视察只有C选项符合，故选 C.【名师点拨】本题考查了三角形三边的关系，娴熟驾驭三角形三边之间的关系是解题的关键.a的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（）变式4-1．（2024·龙岩市期中）若长度分别为,3,5A．1 B．2 C．3 D．8【答案】C【提示】依据三角形三边关系可得5﹣3＜a＜5+3，解不等式即可求解．【详解】由三角形三边关系定理得：5﹣3＜a＜5+3，即2＜a＜8，由此可得，符合条件的只有选项C，故选C．【名师点拨】本题考查了三角形三边关系，能依据三角形的三边关系定理得出5﹣3＜a＜5+3是解此题的关键，留意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．变式4-2．（2024·齐齐哈尔市期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为A．2 B．3 C．5 D．13【答案】B【提示】依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”，可得x的取值范围，一一推断可得答案. 【详解】解：依据“三角形两边之和大于第三边, 两边之差小于第三边”可得:13-2<x<13+2,即11<x<15,因为取正整数,故x的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.故本题正确答案为B.【名师点拨】本题主要考查构成三角形的三边的关系.变式4-3．（2024·广州市期中）一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A ．5或7B ．7或9C ．7D ．9【答案】B 【详解】依据三角形三边关系可得：5＜第三边＜11，依据第三边长为奇数，则第三边长为7或9．故选B.考查题型五 三角形三边关系的应用典例5．（2024·德州市期末）已知三角形的两边分别为1和4，第三边长为整数 ，则该三角形的周长为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【提示】依据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再依据第三边是整数，从而求得周长．【详解】设第三边为x ，依据三角形的三边关系，得：4-1＜x ＜4+1，即3＜x ＜5，∵x 为整数，∴x 的值为4．三角形的周长为1+4+4=9．故选C.【名师点拨】此题考查了三角形的三边关系．关键是正确确定第三边的取值范围．变式5-1．（2024·汕头市期中）已知a b c 、、是ABC ∆的三边长，化简a b c b a c +----的值是（ ）A ．2c -B ．22b c -C ．22a c -D ．22a b - 【答案】B【提示】依据三角形的三边关系“随意两边之和大于第三边，随意两边之差小于第三边”，得到a+b-c ＞0，b -a -c ＜0，再依据肯定值的性质进行化简计算.【详解】依据三角形的三边关系，得a+b-c>0，b -a -c <0.∴原式= a+b-c −(a +c −b)= 22b c -.故选择B 项.【名师点拨】本题考查三角形三边关系和肯定值，解题的关键是娴熟驾驭三角形三边关系.变式5-2．（2024·保定市期末）如图，为估计池塘岸边A ，B 的距离，小明在池塘的一侧选取一点O ，测得OA=15米，OB=10米，A ，B 间的距离可能是（ ）A．30米B．25米C．20米D．5米【答案】C【解析】设A，B间的距离为x．依据三角形的三边关系定理，得：15-10＜x＜15+10，解得：5＜x＜25，所以，A，B之间的距离可能是20m．故选C．变式5-3．（2024·滨州市期末）若（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．15 C．12或15 D．18【答案】B【提示】依据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a、b的值，依据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，依据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a﹣3）2+|b﹣6|＝0，得a﹣3＝0，b﹣6＝0．则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B．【名师点拨】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．变式5-4．（2024·南开区期末）假如一等腰三角形的周长为27，且两边的差为12，则这个等腰三角形的腰长为（）A．13 B．5 C．5或13 D．1【答案】A【详解】设等腰三角形的腰长为x，则底边长为x﹣12或x+12，当底边长为x﹣12时，依据题意，2x+x﹣12=27，解得x=13，∴腰长为13；当底边长为x+12时，依据题意，2x+x+12=27，解得x=5，因为5+5＜17，所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13，故选A．考查题型六三角形的稳定性典例6．（2024·路北区期中）下列图形具有稳定性的是（）A．B．C．D．【答案】A【提示】依据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性进行推断即可得．【详解】A、具有稳定性，符合题意；B、不具有稳定性，故不符合题意；C、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，故选A．【名师点拨】本题考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，正确驾驭三角形的性质是解题关键．变式6-1．（2024·乌鲁木齐市期末）为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．三角形具有稳定性D．两直线平行，内错角相等【答案】C【解析】试题提示：三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形态就不会变更．解：这样做的道理是三角形具有稳定性．故选：C．变式6-2．（2024·安阳市期末）王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，如图．要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条？（）．A．0根B．1根C．2根D．3根【答案】B【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，故选B变式6-3．（2024·济南市期末）如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是（）A．三角形的稳定性B．垂线段最短C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短【答案】A【提示】依据点A、B、O组成一个三角形，利用三角形的稳定性解答．【详解】解：一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形态，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性．故答案选A.【名师点拨】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用．变式6-4．（2024·深圳市期末）如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形，这样做的依据是( )A．两点之间的线段最短B．长方形的四个角都是直角C．三角形有稳定性D．长方形是轴对称图形【答案】C【详解】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的依据是三角形具有稳定性．故选：C．【名师点拨】本题考查了三角形具有稳定性在实际生活中的应用，是基础题．变式6-5．（2024·抚顺市期中）人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（）A．两点之间，线段最短B．垂线段最短C．两直线平行，内错角相等D．三角形具有稳定性【答案】D【提示】依据三角形的稳定性解答即可．【详解】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，故选：D．【名师点拨】此题考查三角形的性质，关键是依据三角形的稳定性解答．。
全等三角形-中考数学总复习精品课件
三角形全等的条件
如何找边相等、 角相等
1.找“角”相等的途径主要有:对顶角相等;两直线平行,同位角、 内错角相等;余角等角代换;角平分线;平行四边形对角相等等.
2.找“边”相等主要借助中点、平行四边形对边相等来证明.
三角形全等的证明
如何找边相等、 角相等
3．判定两个三角形全等的三个条件中，“边”是必不可少的．
垂足分别是点 D，E，AD＝3，BE＝1，则 DE 的长是( B )
3 A.2
B．2
C．2 2
D. 10
61．2如0° 图，△ABC≌△A′B′C′，其中∠A＝36°，∠C′＝24°，则∠B＝________.
7．如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC＝DB， ③AB＝DC，其中不能确定△ABC≌△DCB的是_②_____(只填序号)．
A．∠A＝∠D B．AC＝DF C．AB＝ED D．BF＝EC
平移加翻折型
2．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF，且 BC＝5，∠A＝70°，∠B＝75°，EC＝2，则下列结论中错误的是
( C)
A．BE＝3 B．∠F＝35° C．DF＝5 D．AB∥DE
平移型
3．如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M，N的距离，如果
对称型
解：(1)在△ABC 和△ADC 中，AABC＝ ＝AADC，，∴△ABC≌△ADC(SSS)， BC＝DC，
∴∠BAC＝∠DAC，即 AC 平分∠BAD (2) 由 (1) 得 ∠BAE ＝ ∠ DAE ， 在 △BAE 和 △DAE 中 ，
BA＝DA， ∠BAE＝∠DAE，∴△BAE≌△DAE(SAS)，∴BE＝DE AE＝AE，
中考数学总复习第一编教材知识梳理篇第四章图形的初步认识与三角形、四边形第二节三角形的基本概念及全等三
第二节三角形的根本概念及全等三角形,怀化七年中考命题规律)年份题型题号考察点考察内容分值总分2021解答17全等三角形全等三角形的判定及其性质882021 解答17三角形中位线利用三角形的中位线的性质得条件，证三角形全等882021选择5全等三角形以等腰梯形为背景，判断三角形全等3填空15三角形内外角关系利用三角形的内外角关系求角362021选择5三角形中位线以测量池塘为背景，利用三角形中位线的性质得33到两点间的距离2021解答19全等三角形以等腰梯形为背景证三角形全等10填空11三角形中位线以平行四边形为背景，利用三角形中位线的性质求线段的长度3132021选择2三角形内外角的关系利用三角形的外角及内角的关系比拟大小33命题规律纵观怀化七年中考，“三角形的根本概念及全等三角形〞这一考点其余各年都有考察，根本概念考察层次偏低，全等三角形考察中等，其中，三角形内外角关系考察2次，三角形中位线考察3次，全等三角形考察3次．命题预测预计2021年怀化中考会以三角形中的重要线段，三主要考察对象，全等三角形的判定与性质也会在解答题中考察.,怀化七年中考真题及模拟)三角形的内外角关系(2次)1．(2021怀化中考)如下图，∠A，∠1，∠2的大小关系是( B)A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠AC．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1(第1题图)(第2题图)2．(2021怀化中考)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝50°，延长BC 到D，那么∠ACD＝__80°__．三角形的中位线(3次)3．(2021怀化中考)如图，为测量池塘边A，B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA，OB的中点分别是点D，E，且DE＝14 m，那么A，B间的距离是( C)A．18 m B．24 m C．28 m D．30 m(第3题图)(第4题图)4．(2021怀化中考)如图，在▱ABCD中，AD＝8，点E，F分别是BD，CD 的中点，那么EF＝__4__．全等三角形(3次)5．(2021怀化中考)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，AC及BD相交于点O，那么以下判断不正确的选项是( B)A．△ABC≌△DCB B．△AOD≌△COBC ．△ABO ≌△DCOD ．△ADB ≌△DAC(第5题图)(第6题图)6．(2021怀化二模)如图，OP 是∠AOB 的平分线，点C ，D 分别在角的两边OA ，OB 上．添加以下条件，不能判定△POC≌△POD 的选项是( D )A ．PC ⊥OA ，PD ⊥OB B ．OC ＝OD C ．∠OPC ＝∠OPD D ．PC ＝PD7．(2021怀化学业考试指导)一个等腰三角形的两边长分别为2与5，那么它的周长为( C )A ．7B ．9C ．12D ．9或128．(2021鹤城模拟)三角形的两边长分别为3与6，第三边的长是方程x 2－6x ＋8＝0的一个根，那么这个三角形的周长是( D )A ．2或4B ．11或13C ．11D ．139．(2021芷江模拟)在△ABC 中，∠ABC ＝30°，AB 边长为10，AC 边的长度可以在3、5、7、9、11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是( D )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个10．(2021怀化考试说明)如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BE ⊥CD ，垂足为D ，交AC 于点E ，∠A ＝∠ABE，假设AC ＝5，BC ＝3，那么BD 的长为( D )A ．2.5B ．1.5C ．2D ．111．(2021怀化中考)如图，在等腰梯形ABCD 中，点E 为底边BC 的中点，连接AE ，DE.求证：AE ＝DE.证明：∵四边形ABCD 为等腰梯形，∴AB ＝DC ，∠B ＝∠C，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ，∴△ABE ≌△DCE(SAS )，∴AE ＝DE.12．(2021怀化中考)如图，AD ＝BC ，AC ＝BD. (1)求证：△ADB≌△BCA；(2)OA 及OB 相等吗？假设相等，请说明理由．证明：(1)在△ADB 与△BCA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，AC ＝BD ，AB ＝BA ，∴△ADB ≌△BCA(SSS )；(2)OA ＝OB.理由如下：∵△ADB≌△BCA，∴∠DBA ＝∠CAB，即∠OAB＝∠OBA，∴OA ＝OB.13．(2021怀化一模)如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D，∠B ＝∠C，求证：AB ＝DC.证明：∵BE＝CF ，∴BF ＝CE ，又∵∠A＝∠D，∠B ＝∠C，∴△ABF ≌△DCE ，∴AB ＝DC.14．(2021洪江模拟)△ABN 与△ACM 的位置如下图，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2.求证：(1)BD ＝CE ；(2)∠M＝∠N.证明：(1)∵在△ABD 与△ACE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE ，∴BD ＝CE ；(2)∵△ABD≌△ACE，∴∠ADB ＝∠AEC.又∵∠MDO＝∠ADB，∠NEO ＝∠AEC，∴∠MDO ＝∠NEO.∵∠MOD＝∠NOE，∴180°－∠MDO－∠MOD＝180°－∠NEO－∠NOE，∴∠M ＝∠N.考点清单)三角形分类及三边关系1．三角形分类 (1)按角分类锐角三角形直角三角形钝角三角形(2)按边分类两条边相等的三角形 三边相等的三角形 三边互不相等的三角形 __等腰__三角形__等边__三角形不等边三角形2．三边关系：三角形任意两边之与__大于__第三边，任意两边之差小于第三边，如图，__a ＋b__>c ，|a －b|<__c__．3．判断几条线段能否构成三角形：运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形，并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之与大于第三条线段的长度即可判断这三条线段能构成一个三角形．三角形内角与定理及内外角关系4．内角与定理：三角形的内角与等于__180°__．5．内外角关系：三角形的一个外角__等于__及它不相邻的两个内角之与．三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角．三角形中的四条重要线段四线定义性质 图形中线连接一个顶点及它对边中点的线段BD ＝DC高线从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段AD⊥BC，即∠ADB＝∠ADC＝90°续表角平分线一个内角的平分线及这个角的对边相交，顶点及交点之间的线段∠1＝∠2中位线连接三角形两边中点的线段DE∥BC且DE＝12BC全等三角形及其性质6．定义：能完全重合的两个三角形叫做全等三角形．7．性质：(1)全等三角形的对应边__相等__，对应角__相等__．(2)全等三角形的对应线段(角平分线、中线、高线、中位线)相等，对应__周长__相等，对应面积__相等__．全等三角形的判定8．三角形全等的判定类型图形条件是否全等形成结论一般三角形的判定A1B1＝A2B2，B1C1＝B2C2，A1C1＝A2C2是__SSS__∠B1＝∠B2，B1C1＝B2C2，∠C1＝∠C2是ASA ∠B1＝是AAS∠B 2， ∠C 1＝∠C 2， A 1C 1＝A 2C 2 A 1B 1＝A 2B 2， ∠B 1＝∠B 2， B 1C 1＝B 2C 2 是 __SAS __续表直角 三角 形的 判定A 1B 1＝A 2B 2，A 1C 1＝A 2C 2，是__HL __【方法技巧】证明三角形全等的思路判定三角形全等⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧两边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角→SAS 找直角→HL 或SAS找另一边→SSS 一边和一角⎩⎪⎨⎪⎧边为角的对边→找任一角→AAS 边为角的邻边⎩⎪⎨⎪⎧找夹角的另一边→SAS 找夹边的另一角→ASA 找边的对角→AAS两角⎩⎪⎨⎪⎧找夹边→ASA找任一边→AAS,中考重难点突破)三角形三边关系【例1】(2021 洪江模拟)如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．假设调整木条的夹角时不破坏此木框，那么任意两个螺丝间距离的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．10【解析】4条木棍的四边长为2、3、4、6；①选2＋3、4、6作为三角形，那么三边长为5、4、6；5－4<6<5＋4，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为6；②选3＋4、6、2作为三角形，那么三边长为2、7、6；6－2<7<6＋2，能构成三角形，此时两个螺丝间的最大距离为7；③选4＋6、2、3作为三角形，那么三边长为10、2、3；2＋3<10，不能构成三角形，此种情况不成立；④选6＋2、3、4作为三角形，那么三边长为8、3、4；而3＋4<8，不能构成三角形，此种情况不成立．综上所述，任意两个螺丝间距离的最大值为7. 【学生解答】C1．(2021岳阳中考)以下长度的三根小木棒能构成三角形的是( D ) A ．2 cm ，3 cm ，5 cm B ．7 cm ，4 cm ，2 cm C ．3 cm ，4 cm ，8 cm D ．3 cm ，3 cm ，4 cm三角形的内角与外角关系【例2】(2021原创)如图，CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，AB ∥CD ，∠A ＝50°，那么∠B 的大小是( )A ．50°B ．60°C ．40°D ．30°【解析】∵AB∥CD，∴∠A ＝∠ACD＝50°，又∵CD 是△ABC 外角∠ACE 的平分线，∴∠ACD ＝∠DCE＝50°，∴∠ACE ＝2∠ACD＝100°，由三角形内外角关系可得∠B ＋∠A＝∠ACE，∴∠B ＝∠ACE －∠A ＝100°－50°＝50°.【学生解答】A2．(2021乐山中考)如图，CE 是△ABC 的外角∠ACD 的平分线，假设∠B＝35°，∠ACE ＝60°，那么∠A＝( C )A ．35°B ．95°C ．85°D ．75°三角形中重要线段的应用【例3】在△ABC 中，D 为AB 的中点，E 为AC 上一点，CE ＝13AC ，BE ，CD 交于点O ，BE ＝5 cm ，那么OE ＝________cm .(例3题图)(例3题解图)【解析】如解图，过D 作DF∥BE，那么DF 就是三角形ABE 的中位线，∴DF ＝12BE ，AF ＝EF ，又∵CE ＝13AC ，∴CE ＝EF ，∴OE 就是三角形CDF 的中位线，∴OE ＝12DF ＝14BE ＝1.25 cm .【学生解答】1.253．(2021枣庄中考)如图，△ABC 的面积为6，AC ＝3，现将△ABC 沿AB 所在直线翻折，使点C 落在直线AD 上的C′处，P 为直线AD 上的一点，那么线段BP 的长不可能是( A )A ．3B ．4C ．5.5D ．10全等三角形的证明及性质【例4】如图，点D 为等腰Rt △ABC 内一点，∠CAD ＝∠CBD＝15°，E 为AD 延长线上的一点，，且DC ＝DM ，试探究线段ME 及BD 的数量关系，并说明理由．【解析】连接MC ，先证△BDC≌△ADC，再证△ADC≌△EMC.【学生解答】解：如图，连接MC ，在等腰Rt △ABC 中，∵∠CAD ＝∠CBD＝15°，∴∠BAD ＝∠ABD＝45°－15°＝30°，∴BD ＝AD ，又AC ＝BC ，∴△BDC ≌△ADC(SSS )，∴∠DCA ＝∠DCB＝45°，∠EDC ＝∠DAC＋∠DCA＝15°＋45°＝60°.∵DC ＝DM ，∴△MDC 是等边三角形，即CM ＝CD ，又∵∠EMC＝180°－∠DMC＝180°－60°＝120°，∠ADC ＝180°－∠MDC ＝180°－60°＝120°，∴∠EMC ＝∠ADC.又∵CE＝CA ，∴∠DAC ＝∠CEM ＝15°，∴△ADC ≌△EMC(AAS )，∴ME ＝AD ＝DB ，∴ME ＝BD.4．(2021南京中考)如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△ABO ≌△ADO ，以下结论：①AC⊥BD；②CB＝CD ；③△ABC≌△ADC；④DA ＝DC ，其中正确结论的序号是__①②③__．图形旋转中全等三角形的判定及性质【例5】(2021 苏州中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，F 分别在AB ，AC 上，CF ＝CB ，连接CD ，将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)假设EF∥CD，求∠BDC 的度数．【解析】(1)由旋转的性质可得：CD ＝CE ，再根据同角的余角相等可证明∠BCD＝∠FCE，再根据全等三角形的判定方法即可证明△BCD≌△FCE.(2)由(1)可知△BCD≌△FCE，所以∠BDC＝∠E，易求∠E＝90°，进而可求出∠BDC 的度数．【学生解答】解：(1)∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE ，∴CD ＝CE ，∠DCE ＝90°，又∵∠ACB ＝90°，∴∠BCD ＝90°－∠ACD＝∠FCE，在△BCD 与△FCE中，⎩⎪⎨⎪⎧CB ＝CF ，∠BCD ＝∠FCE，CD ＝CE ，∴△BCD ≌△FCE(SAS )；(2)第 11 页 由(1)可知△BCD≌△FCE ，∴∠BDC ＝∠E ，∵EF ∥CD ，∴∠E ＝180°－∠DCE＝90°，∴∠BDC ＝90°.5．(2021怀化三模)如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，点D 在边AB 上，使DB ＝BC ，过点D 作EF⊥AC，分别交AC 于点E ，交CB 的延长线于点F.求证：AB ＝BF.提示：证Rt △ABC ≌Rt △FBD 即可．6．(2021淄博中考)如图，△ABC，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC 的中点为M ，ME ∥AD ，交BA 的延长线于点E ，交AC 于点F.求证：(1)AE ＝AF ；(2)BE ＝12(AB ＋AC)． 证明：(1)∵AD 平分∠BAC，∴∠BAD ＝∠CAD.∵AD∥EM，∴∠BAD ＝∠AEF ，∠CAD ＝∠AFE ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ；(2)过点C 作CG∥EM，交BA 的延长线于点G ，∴∠AGC ＝∠AEF，∠ACG ＝∠AFE.∵∠AEF ＝∠AFE，∴∠AGC ＝∠ACG，∴AG ＝AC.∵BM＝CM ，EM ∥CG ，∴BE ＝EG ，∴BE ＝12BG ＝12(BA ＋AG)＝12(AB ＋AC)．。
2015中考数学总复习专题复习讲义要点
1.在ABC △中，90BAC AB AC M ∠=<°，，是BC 边的中点，MN BC ⊥交AC 于点N ．动点P 从点B 出发沿射线BA 以每秒3厘米的速度运动．同时，动点Q 从点N 出发沿射线NC 运动，且始终保持MQ MP ⊥．设运动时间为t 秒（0t >）．（1）PBM △与QNM △相似吗？以图１为例说明理由；（2）若6043ABC AB ∠==°，厘米．①求动点Q 的运动速度； ②设APQ △的面积为S （平方厘米），求S 与t 的函数关系式；2．已知：如图，△ABC 中，AB ＝4，D 是AB 边上的一个动点，DE ∥BC ，连结DC ，设△ABC 的面积为S ，△DCE 的面积为S ′． (1)当D 为AB 边的中点时，求S ′∶S 的值； (2)若设,,y SS x AD ='=试求y 与x 之间的函数关系式及x 的取值范围．3．如图，点P 是正方形ABCD 边AB 上一点(不与点A ．B 重合)，连接PD 并将线段PD 绕点P 顺时针方向旋转90°得到线段PE ， PE 交边BC 于点F ．连接BE 、DF 。
（1）求证：∠ADP=∠EPB ； （2）求∠CBE 的度数； （3）当APAB的值等于多少时．△PFD ∽△BFP ？并说明理由． 4.如图，△ABC 和△DEF 是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC =∠EDF =90°，△DEF 的顶点E 与△AB 的斜边BC 的中点重合．将△DEF 绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP =AQ 时，求证：△BPE ≌△CQE ； （2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：△BPE ∽△CEQ ；并求当BP =a ，CQ =92a 时， P 、Q 两点间的距离 (用含a 的代数式表示)． 5.在△ABC 中，AB 、BC 、AC 三边的长分别为5、10、13， 求这个三角形的面积．小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC （即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处），如图①所示．这样不需要求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积，这种方法叫做构图法．（1）△ABC 的面积为 ： （2）若△DEF 三边的长分别为13、25、29，请在图①的正方形网格中画出相应的△DEF ，并利用构图法求出它的面积．（3）利用第（2）小题解题方法完成下题：如图②，一个六边形绿化区ABCDEF 被分割成7个部分，其中正方形ABQP ，CDRQ ，EFPR 的面积分别为13，20，29，且△PQR 、△BCQ 、△DER 、△APF 的面积相等，求六边形绿化区ABCDEF 的面积．6. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：(1) 如图△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2)如图，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.AB P NQC M A B C N M 图1 图2（备用图） 第3题 FC 温馨提示：由平移性A N QANPS ∕海里 13t(海里) 5t(海里) 8t(海里)150 t ∕小时t(海里)(3)如图，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα的值. 7．已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.8.黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富.一天某渔船离开港口前往该海域捕鱼.捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航.渔政船接到报告后，立即从该港口出发赶往黄岩岛.下图是渔政船及渔船与港口的距离s 和渔船离开港口的时间t 之间的函数图象.（假设渔船与渔政船沿同一航线航行） （1）直接写出渔船离港口的距离s 和它离开港口的时间t 的函数关系式. （2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离.（3）在渔政船驶往黄岩岛的过程中，求渔船从港口出发经过多长时间与渔政船相距30海里？9．如图1，△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，D 、F 分别在AB 、AC 边上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立. （1）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转θ（090θ<<）时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由. （2）当正方形ADEF 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点G .① 求证：BD ⊥CF ；② 当AB ＝4，AD ＝2时，求线段BG 的长.图 1 图 2图3 10．如图，已知：直线y=-x+3交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A 、B 、C （1，0）三点.（1）求抛物线的解析式; （2）若点D 的坐标为（-1，0），在直线y=-x+3上有一点P ，使ΔABO 与ΔADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，在x 轴下方的抛物线上，是否存在点E ，使ΔADE 的面积等于四边形APCE 的面积？如果存在，请求出点E 的坐标；如果不存在，请说明理由． 11. 对于正数x ，规定 1f (x)1x =+，例如：11f (4)145==+，114f ()14514==+，求++)2012()2013(f f …++++)21()1()2(f f f …=+)20131()20121(f f1.解：（1）PBM QNM △∽△． 理由如下： 如图1，∴PMB QMN ∠=． ∴PBM QNM △∽△．（2）9060283BAC ABC BC AB∠=∠=∴==°，°，cm ． 又MN 垂直平分BC ，43BM CM ∴==cm ．AB EF CD AB(E )(F )CDE (F )α 图13.3图13.2图13.1A 45°θG A B C D E F F ED C B FE D C B A3303C MN CM∠=∴=°，＝4cm．①设Q点的运动速度为v cm/s．如图１，当04t<<时，由（1）知PBM QNM△∽△．NQ MNBP MB∴=，即4133vtvt=∴=，．如图2，易知当4t≥时，1v=．综上所述，Q点运动速度为1 cm/s．②1284cmAN AC NC=-=-=，∴如图1，当04t<<时，4334AP t AQ t=-=+，．∴12S AP=()()21343348322AQ t t t=-+=-+·．如图2，当t≥4时，343AP t=-,4AQ t=+,∴12S AP=()()21334348322AQ t t t=-+=-·．综上所述，()()2238304238342t tSt t⎧-+<<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩≥5、解：（1）S△ABC=3×3-12×3×1-12×2×1-1 2 ×3×2=3.5；………………2分（2）答案不唯一，如图所示………………4分S△DEF=4×5-12×2×3-12×2×4-12×2×5=8；………………6分（3）由（2）可知S△PQR=8，………………8分∴六边形花坛ABCDEF的面积为：S正方形ABQP+S正方形RQDC+S正方形EFPR+4S△PQR………………10分=13+20+29+8×4………………11分=94．………………12分6．解：(1)过C点作CG⊥AB于G，在Rt△AGC中，∵sin60°=ACCG，∴23=CG········· 1分∵AB=2，∴S梯形CDBF=S△ABC=2323221=⨯⨯ ·········· 3分(2)菱形···························································································· 5分∵CD∥BF，FC∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形·························· 6分∵DF∥AC，∠ACD=90°，∴CB⊥DF ··············································· 7分AB EFCD G∴四边形CDBF 是菱形 ··································································· 8分 (判断四边形CDBF 是平行四边形，并证明正确，记2分)解法二：∵△ADH ∽△ABE ······························································ 8分∴AEADBE DH = 即：713=DH∴73=DH ····································································· 10分∴sinα=)1421(723或=DE DH ················································· 12分 7. 解：（1）由5x x 122+=0， ···································································· （1分）得01=x ，5122-=x ． ············································································ （3分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（512-，0）． ······································ （5分）（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ······························· （6分） 分别过点A 、B 、C 作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则有ABC S ∆=S ADFC 梯形 -ADEB S 梯形 -BEFC S 梯形 ·················································· （7分）=22)8117(⨯+-21)4417(⨯+-21)8144(⨯+ ···································· （8分）=5（个单位面积） ···································································· （9分）（3）如：)(3123y y y -=． ··································································· （12分）事实上，)3(12)3(523a a y ⨯+⨯= =45a 2+36a ．3（12y y -）=3[5×（2a ）2+12×2a -（5a 2+12a ）] =45a 2+36a ．∴)(3123y y y -=． ···························································· （14分）8.解：（1） 当0≤t ≤5时 s =30t …………………………………………… （1分）当5＜t ≤8时 s=150 …………………………………………… （2分） 当8＜t ≤13时 s=－30t+390 ………………………………………（3分）（2） 渔政船离港口的距离与渔船离开港口的时间的函数关系式设为s=kt+b⎪⎩⎪⎨⎧+=+=b k b k 33415080 ………………………………………………（4分） 解得： k=45 b=－360∴s=45t －360 ………………………………………………（5分）B(E )(F )CDE (F )αH⎩⎨⎧+-=-=3903036045t s t s解得 t=10 s=90 渔船离黄岩岛距离为 150－90=60 （海里） ……………………………（6分） (3) S 渔=－30t+390S 渔政=45t －360 分两种情况：① S 渔－S 渔政=30－30t+390－（45t －360）=30解得t=485（或9.6） -……………………………………………… （8分）② S 渔政－S 渔=3045t －360－（－30t+390）=30解得 t=525（或10.4）∴当渔船离开港口9.6小时或10.4小时时，两船相距30海里. ………（10分） 9．（本小题满分12分）解（1）BD ＝CF 成立.理由：∵△ABC 是等腰直角三角形，四边形ADEF 是正方形，∴AB=AC ，AD=AF ，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=DAC BAC ∠-∠，∠CAF=DAC DAF ∠-∠，∴∠BAD=∠CAF ，∴△BAD ≌△CAF .∴BD ＝CF .……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG 交AC 于点M .∵△BAD ≌△CAF （已证），∴∠ABM ＝∠GCM . ∵∠BMA ＝∠CMG ，∴△BMA ∽△CMG .∴∠BGC ＝∠BAC ＝90°.∴BD ⊥CF .……………………………………（7分）②过点F 作FN ⊥AC 于点N . ∵在正方形ADEF 中，AD ＝2， ∴AN ＝FN ＝121=AE . ∵在等腰直角△ABC 中，AB ＝4， ∴CN ＝AC －AN ＝3，BC ＝2422=+AC AB .Rt △FCN ∽Rt △ABM ，∴ABCNAM FN =∴AM ＝=⨯AB 3134.∴CM ＝AC －AM ＝4－34＝38，310422=+=AM AB BM .…… （9分）∵△BMA ∽△CMG ，∴CGCMBA BM =. ∴CG3843104=. ∴CG ＝5104.…………………………………… （11分）∴在Rt △BGC 中，=-=22CG BC BG 5108. ……………… （12分）10.解：（1）：由题意得，A （3，0），B （0，3）BMNFE DCBA G 45°图13.3∵抛物线经过A 、B 、C 三点，∴把A （3，0），B （0，3），C （1，0）三点分别代入2y ax bx c =++得方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++==++03039c b a c c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-==341c b a ∴抛物线的解析式为243y x x =-+ …………………………… （4分） （2）由题意可得：△ABO 为等腰三角形,如图所示，若△ABO ∽△AP1D ，则1DP OBAD AO = ∴DP1=AD=4 , ∴P1(1,4)-若△ABO ∽△ADP2 ，过点P2作P2 M ⊥x 轴于M ，AD=4,∵△ABO 为等腰三角形, ∴△ADP2是等腰三角形,由三线合一可得：DM=AM=2= P2M ，即点M 与点C 重合∴P2（1，2） ……………………（8分） （3）如图设点E (,)x y ，则 ①当P1(-1,4)时，S 四边形AP1CE=S 三角形ACP1+S 三角形ACE ||2214221y ⋅⨯+⨯⨯== 4y + ∴24y y =+ ∴4y = ∵点E 在x 轴下方 ∴4y =-代入得： 2434x x -+=-,即 0742=+-x x∵△=(-4)2-4×7=-12<0 ∴此方程无解 ②当P2（1，2）时，S 四边形AP2CE=S 三角形ACP2+S三角形ACE =2y +∴22y y =+ ∴2y =∵点E 在x 轴下方 ∴2y =- 代入得：2432x x -+=-即 0542=+-x x ，∵△=(-4)2-4×5=-4<0∴此方程无解综上所述，在x 轴下方的抛物线上不存在这样的点E 。
2015届四川中考数学总复习课件：4.2三角形及其性质
【思路点拨】过D作DF∥BE交AC于F，∵D是
AB中点，即DF就是△ABE的中位线，利用三 角形中位线定理，可求DF，而CE＝ 次使用三角形中位线定理，可求出OE. 【解析】如解图，过D作DF∥BE,那么DF就是
1 △ABE的中位线，∴DF= BE,AF=EF,又∵CE 2 1
AC，
AF1 1 ∵OE= DF= BE=1.25 cm.
2 4
AC,∴CE=EF,∴OE就是△CDF的中位线，
【方法指导】对于三角形求线段长度的问题，若
条件涉及三角形的中位线或两边中点时一般都需 要运用中位线性质来解答，即利用三角形的中位 线平行且等于第三边的一半来说明位置或数量关 系.
第四章 三角形
第二节 三角形及其性质
考点特训营
考点梳理
分类 按边分 按角分 内角和定理 内外角关系 三边关系 边角关系
三角形的分类及性质
三 角 形 及 其 性 质 性质
中线 三角形中的主要线段 角平分线 高线 内心 中位线 三角形的四心 外心 重心 垂心
重难点突破
命题点 三角形中重要线段的相关计算（重点） 例 在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上一点， 1 CE= AC，BE、CD交于点O，BE=5 cm，则 3 1.25 OE＝________cm .
中考数学 考点系统复习 第四章 三角形 方法技巧突破(四) 全等三角形之六大模型
得对应边相等
2．(2021·泸州)如图，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.求
证：BD＝CE. 证明：在△ABE与△ACD中，
∠A＝∠A，
AB＝AM，
在△ABN 和△AMC 中，∠BAN＝∠MAC， AN＝AC，
∴△ABN≌△AMC(SAS)，∴BN＝MC.
6．如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE 与 BD 交于点 F.
(1)求证：AE＝BD； 证明：∵AC⊥BC， DC⊥EC， ∴∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB＋∠BCE＝∠DCE＋∠BCE， 即∠ACE＝∠BCD.在△ACE 和△BCD 中， AC＝BC，
证明：∵ BF＝EC，
∴EF＝ BC，
在△BCA与△EFD中，
AB＝DE，
∠B＝∠E， BC＝EF， ∴△BCA≌△FED（SAS）， ∴∠A＝∠D，
模型二：轴对称型 【模型归纳】
有公 模型 共边 展示 有公共
顶点Leabharlann 模型 所给图形沿公共边所在直线或者经过公共顶点的某条直线 特点 折叠，两个三角形能完全重合
5．如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作等边三角形 ABM 与等边 三角形 ACN，连接 MC，BN.求证：BN＝MC.
证明：∵△ABM 和△ACN 是等边三角形， ∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠NAC＝60°， 又∵∠BAN＝∠BAC＋∠NAC， ∠CAM＝∠BAC＋∠BAM， ∴∠BAN＝∠MAC，
＝ 43BD2
解题 常过顶点作角两边的垂线，构造全等三角形，或旋转一定的角
【中考宝典】2015年中考数学真题分类汇编：模块四 图形的认识与三角形
一、相交线与平行线1.（2015宜昌）如图，AB ∥CD ，FE ⊥DB ，垂足为E ，∠1=50°，则∠2的度数是（ ）解析：∵FE⊥DB，∵∠DEF=90°．∵∠1=50°，∴∠D=90°﹣50°=40°．∵AB∥CD，∴∠2=∠D=40°．故选C ．2.（2015聊城）直线a 、b 、c 、d 的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）解析：∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°，∴∠4=∠5=110°，故选C ．3.（2015崇左）下列各图中，∠1与∠2互为余角的是（ C ）4.（2015滨州）如图，直线AC ∥BD ，AO 、BO 分别是∠BAC 、∠ABD 的平分线，那么∠BAO 与∠ABO 之间的大小关系一定为（ ）A ． 互余B ． 相等C ． 互补D ． 不等解析：∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∵AO、BO分别是∠BAC、∠ABD的平分线，∴∠CAB=2∠OAB，∠ABD=2∠ABO，∴∠OAB+∠ABO=90°，∴∠AOB=90°，∴OA⊥OB，故选A5. （2015东营）如图，将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=20°，∠2=40°，则∠3等于（）A．50° B．30° C．20° D．15°解析：由题意得：∠4=∠2=40°；由外角定理得：∠4=∠1+∠3，∴∠3=∠4﹣∠1=40°﹣20°=20°，故选C．6.（2015昆明）如图，在△ABC中，∠B=40°，过点C作CD∥AB，∠ACD=65°，则∠ACB的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°解析：∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD=65°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣65°﹣40°=75°即∠ACB的度数为75°．故选D．7．（2015毕节）如图，直线a∥b，直角三角形ABC的顶点B在直线a上，∠C=90°，∠β=55°，则∠α的度数为（）A．15° B．25° C．35° D．55°解析：过点C作CE∥a，∵a∥b，∴CE∥a∥b，∴∠BCE=∠α，∠ACE=∠β=55°，∵∠C=90°，∴∠α=∠BCE=∠ABC﹣∠ACE=35°．故选C．8．（2015黔南州）如图，下列说法错误的是（）A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若∠1=∠2，则a∥cC．若∠3=∠2，则b∥c D．若∠3+∠5=180°，则a∥c解析：A、若a∥b，b∥c，则a∥c，利用了平行公理，正确；B、若∠1=∠2，则a∥c，利用了内错角相等，两直线平行，正确；C、∠3=∠2，不能判断b∥c，错误；D、若∠3+∠5=180°，则a∥c，利用同旁内角互补，两直线平行，正确；故选C．9．（2015恩施州）如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（）解析：延长ED交BC于F，∵AB∥DE，∠ABC=70°，∴∠MFC=∠B=70°，∵∠CDE=140°，∴∠FDC=180°﹣140°=40°，∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°，故选B．10.（2015宿迁）如图所示，直线a，b被直线c所截，∠1与∠2是（）A．同位角B．内错角C．同旁内角D．邻补角解析：如图所示，∠1和∠2两个角都在两被截直线直线b和a同侧，并且在第三条直线c （截线）的同旁，故∠1和∠2是直线b、a被c所截而成的同位角．故选A．11.（2015庆阳）已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥C．其中真命题的是①②④．（填写所有真命题的序号）解析：①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c是真命题，故①正确；②如果b∥a，c∥a，那么b∥c是真命题，故②正确；③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c是假命题，故③错误；④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c是真命题，故④正确．故答案为：①②④．12.（2015云南）如图，直线l1∥l2，并且被直线l3，l4所截，则∠α= 64°．解析：如图1，，∵∠1+56°=120°，∴∠1=120°﹣56°=64°，又∵直线l1∥l2，∴∠α=∠1=64°．故答案为：64°．13.（2015永州）如图，∠1=∠2，∠A=60°，则∠ADC= 120 度．二、三角形1.（2015达州）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（）解析：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=∠ABD=24°，∵∠A=60°，∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF=CF，∴∠FCB=24°，∴∠ACF=72°﹣24°=48°，故选A．2.（2015滨州）在△ABC中，∠A：∠B：∠C=3：4：5，则∠C等于（）A．45° B．60° C．75° D．90°解析：180°×==75°即∠C等于75°．故选：C．3.（2015长沙）如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（）A． B． C． D．解析：为△ABC中BC边上的高的是A选项．故选A．4．（2015桂林）如图，在△ABC中，∠A=50°，∠C=70°，则外角∠ABD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°解析：由三角形的外角性质的，∠ABD=∠A+∠C=50°+70°=120°．故选B．5.（2015南通）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．5，6，10 B．5，6，11 C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）解析：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；B、∵11﹣5=6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；C、∵3+4=7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；D、∵4a+4a=8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．故选A．6.（2015宿迁）若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的周长为（）A．9 B．12 C．7或9 D．9或12解析：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，周长=5+5+2=12；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；所以这个三角形的周长是12．故选：B．7.（2015连云港）在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是4：3 ．解析：∵AD是△ABC的角平分线，∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h1，h2，∴h1=h2，∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3.8. （2015盐城）如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，连接DE、EF、DF．若△ABC 的周长为10，则△DEF的周长为 5 ．9.（2015昆明）如图，在△ABC中，AB=8，点D、E分别是BC、CA的中点，连接DE，则DE= 4 ．解析：∵在△ABC中，点D、E分别是BC、CA的中点，AB=8，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=AB=×8=4．10.（2015巴中）若a、b、c为三角形的三边，且a、b满足+（b﹣2）2=0，则第三边c的取值范围是1＜c＜5 ．11．（2015云南）如图，在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，按这样的规律下去，P n M n的长为（n为正整数）．解析：在△ABC中，BC=1，点P1，M1分别是AB，AC边的中点，点P2，M2分别是AP1，AM1的中点，点P3，M3分别是AP2，AM2的中点，可得：P1M1=，P2M2=，故P n M n=，故答案为：12．（2015聊城）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是．13.(2015陕西)如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法）解：如图，直线AD即为所求：三、全等三角形1.（2015娄底）如图，已知AB=BC，要使△ABD≌△CBD，还需添加一个条件，你添加的条件是∠ABD=∠CBD或AD=CD．．（只需写一个，不添加辅助线）解析：答案不唯一．①∠ABD=∠CBD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SAS）；②AD=CD．在△ABD和△CBD中，∵，∴△ABD≌△CBD（SSS）．故答案为：∠ABD=∠CBD或AD=CD．2.（2015永州）如图，在△ABC中，已知∠1=∠2，BE=CD，AB=5，AE=2，则CE= 3 ．解：△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（AAS），∴AD=AE=2，AC=AB=5，∴CE=BD=AB﹣AD=3.3.（2015永州）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=DC．延长AD到E点，使DE=AB．（1）求证：∠ABC=∠EDC；（2）求证：△ABC≌△EDC．（1）证明：在四边形ABCD中，∵∠BAD=∠BCD=90°，∴90°+∠B+90°+∠ADC=360°，∴∠B+∠ADC=180°，又∵∠CDE+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠CDE，（2）连接AC ，由（1）证得∠ABC=∠CDE，在△ABC 和△EDC 中，，∴△ABC≌△EDC（SAS ）．4.（2015崇左）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，AB=AC ，AD=AE ．求证：BE=CD ．证明：在△ADE 和△AEB 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=AE AD A A AC AB ，∴△ADE≌△AEB，∴BE=CD.5.（2015通辽）如图，四边形ABCD 中，E 点在AD 上，其中∠BAE=∠BCE=∠ACD=90°，且BC=CE ，求证：△ABC 与△DEC 全等．解：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠3+∠4=∠4+∠5，∴∠3=∠5，在△ACD中，∠ACD=90°，∴∠2+∠D=90°，∵∠BAE=∠1+∠2=90°，∴∠1=∠D，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS）．6. （2015云南）如图，∠B=∠D，请添加一个条件（不得添加辅助线），使得△ABC≌△ADC，并说明理由．解：添加∠BAC=∠DAC．理由如下：在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（AAS）．7.（2015昆明）如图，点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，∠B=∠DEF，BE=CF．求证：AC=DF．证明：∵BF=EC（已知），∴BF+FC=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），∴AC=DF（全等三角形对应边相等）．8.（2015温州）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．（1）求证：AB=CD．（2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度数．证明：（1）∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AB=CD；（2）∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，BE=CF，∵AB=CF，∠B=30°，∴AB=BE，∴△ABE是等腰三角形，∴∠D=．四、等腰三角形1、(2015陕西)如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中等腰三角形共有（）解析：∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形；∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=36°，∴∠A=∠ABD=36°，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形；在△BCD中，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=180°﹣36°﹣72°=72°，∴∠C=∠BDC=72°，∴BD=BC，∴△BCD是等腰三角形；∵BE=BC，∴BD=BE，∴△BDE是等腰三角形；∴∠BED=（180°﹣36°）÷2=72°，∴∠ADE=∠BED﹣∠A=72°﹣36°=36°，∴∠A=∠ADE，∴DE=AE，∴△ADE是等腰三角形；∴图中的等腰三角形有5个．故选D．2.（2015湘西州）如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（ ）A ．36°B ． 60°C ． 72°D ． 108°解析：∵∠A=36°，AB=AC ，∴∠ABC=∠C=72°，∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD=36°，∴∠1=∠A+∠ABD=72°，故选：C ．3.（2015烟台）等腰三角形三边长分别为2a b 、、，且a b 、是关于x 的一元二次方程2610x x n -+-=的两根，则n 的值为（ C ）A ．9 B. 10 C. 9或10 D. 8或104.（2015南通）如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，AC=AD=DB ，∠BAC=102°，则∠ADC= 52 度．解析：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C， 设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC 中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．5.（2015西宁）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是 110°或70° ．解析：此题要分情况讨论：当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+20°=110°；当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣20°=70°．故答案为：110°或70°6.（2015攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．解析：∵四边形OABC是矩形∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．7.（2015成都）如图，直线m∥n，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，则∠1=45 度．解析：∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵直线m∥n，∴∠1=∠ABC=45°，质，以及平行线的性质，关键是证明∠2=∠3推出BC=CF．8．（2015庆阳）如图，在△ABC中，∠C=60°，∠A=40°．（1）用尺规作图作AB的垂直平分线，交AC于点D，交AB于点E（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；（2）求证：BD平分∠CBA．解：（1）如图1所示：（2）连接BD，如图2所示：∵∠C=60°，∠A=40°，∴∠CBA=80°，∵DE是AB的垂直平分线，∴∠A=∠DBA=40°，∴∠DBA=∠CBA，∴BD平分∠CBA．9．（2015青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论．【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形．所以，当n=3时，m=1．（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形．所以，当n=4时，m=0．（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=5时，m=1．（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形．若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形．所以，当n=6时，m=1．综上所述，可得：表①【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表②中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表②中）表②你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，…【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k﹣1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表③中）表③【问题应用】：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了672 根木棒．（只填结果）10. （2015宿迁）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC，求证：∠C=2∠D．证明：∵AB=AC=AD，∴∠C=∠ABC，∠D=∠ABD，∴∠ABC=∠CBD+∠D，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠D，∴∠ABC=∠D+∠D=2∠D，又∵∠C=∠ABC，∴∠C=2∠D．五、直角三角形与勾股定理1.（2015毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A． ，，B． 1，，C． 6，7，8 D． 2，3，4解析：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故错误；B、12+（）2=（）2，能构成直角三角形，故正确；C、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误．故选：B．2.（2015宿迁）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若C D=5，则EF的长为 5 ．解析：∵△ABC是直角三角形，CD是斜边的中线，∴CD=AB，又∵EF是△ABC的中位线，∴AB=2CD=2×5=10cm，∴EF=×10=5cm故答案为：5．3．（2015枣庄）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于8 ．4．（2015庆阳）在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）解析：如图所示，∵无弹性的丝带从A至C，∴展开后AB=2πcm，BC=3cm，由勾股定理得：AC==cm．故答案为：．5.（2015东营）如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．解析：将正方体展开，右边与后面的正方形与前面正方形放在一个面上，展开图如图所示，此时AB最短，∵△BCM∽△ACN，∴=，即==2，即MC=2NC，∴CN=MN=，在Rt△ACN中，根据勾股定理得：AC==，故答案为：．。
【聚焦中考】2015中考数学(陕西省)总复习课件：第20讲 三角形与全等三角形
一组是( D )
A．1，2，6 B．2，2，4
C．1，2，3 D．2，3，4
(2)(2013·德阳)如果三角形的两边分别为3和5，那
么连接这个三角形三边中点所得的三角形的周长可
能是( A ) A．5.5 B．5
C．4.5
D．4
【点评】 三角形三边关系性质的实质是“两点之 间，线段最短”．根据三角形的三边关系，已知三 角形的两边a，b，可确定三角形第三边长c的取值范 围|a－b|＜c＜a＋b.
(AAS)；
④ 三边
对应相等的两个三角形全等(SSS)；
⑤ 斜边和一条直角边
对应相等的两个直角三
角形全等(HL)．
要点梳理
一个防范 按边分类时，一定要注意等边三角形也是一种等腰 三角形，不要把它单独分出来．选择题中经常把它作 为一个错误项出现；按角分类时，每一个角都是锐角 的三角形才是锐角三角形，只要有一个角是直角或者 有一个角是钝角，就能判定它是直角三角形或者是钝 角三角形，但已知两角都为锐角时，要计算出第三角 才能作出判定．
1．(1)(2014·宜昌)已知三角形两边长分别为 3 和 8，则该
三角形第三边的长可能是( B )
A．5
B．10
C．11
D．12
(2)(2013·滨州)若从长度分别为 3，5，6，9 的四条线段中
任取三条，则能组成三角形的概率为( A )
A.12
B.34
C.31
D.14
三角形的内角、外角的性质 【例2】 (1)(2014·赤峰)如图，把一块含有30°角
要点梳理 两种思考途径 (1)当图形明显具有对称性(轴对称或中心对称)或旋 转性时，思考途径是：从居于对称位置的线、角或 部分证相等或全等入手，或由前一次全等为后一次 全等提供所缺的条件，或利用特殊三角形、特殊四 边形的性质提供所缺的条件；
数学八年级下华东师大版第19章全等三角形复习课件
•C
E
D
D•
•
C
•
D C
试一试,你准行
已知：AB=AC，EB=EC，AE的延长线交BC于D，
试说明：BD=CD
A
解：在△ABE和△ACE中 AB=AC，EB=EC，AE=AE ∴ △ABE≌△ACE (SSS) ∴∠BAE＝∠CAE 在△ABD和△ACD中
∵AB=AC ∠BAE= ∠CAE ∴ △ABD≌ △ACD (SAS ) ∴ BD = CD
考考你，学得怎样？
1、如图1，已知AC=BD，∠1=∠2，
那么△ABC≌
， 其判定根
据是__________。 A
2、 如图2，△ABC中，AD⊥BC于D， 要使△ABD≌△ACD，若根据“HL” 判定，还需加条件___ = ___，
B
3、 如右图，已知AC=BD， ∠A=∠D ，请你添一个直接条件，
B AD=AD
E DC
A
E
D
A
A
E
D
C
D
A D
B E
基本 图形 演变
B
C
B
D A
C
B D
C B A
D B
C
A
E
F
B
C
F
A
D
E
C
B
C
E.
(1) 请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等
解的：理∵由∠;ACB=90°
EB
∴BC⊥AC
∵AO平分∠BAC
O
又DE⊥AB BC⊥AC
∴OE=OC（角平分线上的 A 点到角两边的距离相等
CD
（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，
中考数学高频考点突破——解直角三角形的应用 (1)
中考数学高频考点突破——解直角三角形的应用一、单选题1．某简易房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，则坡屋顶上弦杆AC的长为（）A．511αsin米B．511αcos米C．115αsin米D．115αcos米2．如图,在△ABC中,△A=45°,△C=90°,点D在线段AC上,△BDC=60°,AD=1,则BD等于()A3B3+1C3-1D．3 33．如图，等边三角形ABC的边长为8，以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB，AC相切，则△O的半径为（）A．3B．3C．4D．3二、填空题4．如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为米(用含α的代数式表示)．5．如图，小明在某天15：00时测量某树的影长时，日照的光线与地面的夹角△ACB ＝60°，当他在17：00时测量该树的影长时，日照的光线与地面的夹角△ADB ＝30°，若两次测得的影长之差CD 长为 3m ，则树的高度为 m ．6．如图，在平行四边形 ABCD 中， 12sin ,13,2413A BC CD === ，点E 在边CD 上，将 BCE 沿直线BE 翻折，点C 落在点F 处，且 AF BF = ，则CE 的长为 ．三、综合题7．如图1是某小区门口的门禁自动识别系统，主要由可旋转高清摄像机和其下方固定的显示屏．图2是其结构示意图，摄像机长20AB cm =，点O 为摄像机旋转轴心，O 为AB 的中点，显示屏的上沿CD 与AB 平行，15CD cm =，AB 与CD 连接杆OE AB ⊥，10OE cm =，2CE ED =，点C 到地面的距离为60cm ．若AB 与水平地面所成的角的度数为35︒．（1）求显示屏所在部分的宽度；（2）求镜头A 到地面的距离．（参考数据：350.574sin ︒≈，350.819cos ︒≈，350.700tan ︒≈，结果保留一位小数）8．图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B 可以上下调整高度，离地面CD 的距离BC ＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，且花洒臂长AB ＝30cm.假设水柱AE 垂直AB 直线喷射，小华在离墙面距离CD ＝120cm 处淋浴.（1）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE. （2）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE ，使点E 与点D 重合①其他条件不变，只要把活动调节点B 向下移动即可，移动的距离BF 与小华的身高DE 有什么数量关系？直接写出你的结论； ②活动调节点B 不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.（参考数据：3≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）9．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC （BC 伸出部分不计），A 、C 、D 在同一直线上.量得△ACB ＝90°，△A ＝60°，AB ＝16cm ，△ADE ＝150°，灯杆CD 长为40cm ，灯管DE 长为16cm.（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离）.10．如图①是钓鱼伞，为遮挡不同方向的阳光，钓鱼伞可以在撑杆AN上的点O处弯折并旋转任意角，图②是钓鱼伞直立时的示意图，当伞完全撑开时，伞骨AB，AC与水平方向的夹角△ABC＝△ACB＝30°，伞骨AB与AC水平方向的最大距离BC＝2m，BC与AN交于点M，撑杆AN＝2.2m，固定点O到地面的距离ON＝1.6m．（1）如图②，当伞完全撑开并直立时，求点B到地面的距离．（2）某日某时，为了增加遮挡斜射阳光的面积，将钓鱼伞倾斜与铅垂线HN成30°夹角，如图③．①求此时点B到地面的距离；②若斜射阳光与BC所在直线垂直时，求BC在水平地面上投影的长度约是多少．（说明：3≈1.732，结果精确到0.1m）11．湖州西山漾湿地公园一休闲草坪上有一架秋千．秋千静止时，底端A到地面的距离AB为0.5m，从竖直位置开始，向右可摆动的最大夹角为37°，若秋千的长OA=2m．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（1）如图1，当向右摆动到最大夹角时，求'A到地面的距离；（2）如图2，若有人在B点右侧搭建了一个等腰三角形帐篷，已知BC=0.6m，CD=2m，帐篷的高为1.8m，当人站立在秋千上，请问摆动的过程中是否会撞到帐篷？若不会撞到，请说明理由；若会撞到，则帐篷应该向右移动超过多少米才能不被撞到？12．为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图， 隧道 AB 在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道 450 米的高度上水平飞行，到达点 P 处测得点 A 的俯角为 30, 继续飞行 1500 米到达点 Q 处，测得点 B 的俯角为 45︒ .（1）填空： A ∠= 度， B ∠= 度； （2）求隧道 AB 的长度(结果精确到 1 米).(参考数据：23 1.732≈≈ )13．小华同学将笔记本电脑水平放置在桌子上，当是示屏的边缘线 OB 与底板的边缘线 OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图①）．侧面示意图为图②；使用时为了散热，他在底板下面垫入散热架，如图③，点B 、O 、C 在同一直线上， 24cm OA OB == ， BC AC ⊥ ， 30OAC ∠=︒ ．（1）求 OC 的长；（2）如图④，垫入散热架后，要使显示屏的边缘线 OB ' 与水平线的夹角仍保持120°，求点 B ' 到 AC 的距离．（结果保留根号）14．图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点 B E D ，， 均为可转动点，现测得 20cm AB BE ED CD ==== ，经多次调试发现当点 B E ， 都在 CD 的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座 DC 与灯杆 DE 的夹角的大小；（2）当A 点到水平桌面（ CD 所在直线）的距离为 42cm 43cm - 时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将 ABE ∠ 调节到 105︒ ，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据： sin150.26cos150.97tan150.273 1.73︒=︒=︒==，，， ）15．如图，雨伞不论张开还是收紧，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角△BAC.当伞收紧时，点D 与点M 重合，且点A ，E （F ），D 在同一条直线上.已知伞骨的部分长度如下（单位：cm ）：DE=DF=AE=AF=40.（1）求AM 的长.（2）当伞撑开时，量得△BAC=110°，求AD 的长.（结果精确到1cm ） 参考数据：550.8192550.573655 1.4281sin cos tan ︒≈︒≈︒≈，，.16．如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图.汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为0.8米.已知小汽车车门宽 AO 为1.2米.（参考数据：sin 400.6428,cos 400.7660︒≈︒≈ ， sin 410.6561,cos 410.7547,sin 420.6691,cos 420.7431︒≈︒≈︒≈︒≈ ）（1）当车门打开角度 AOB ∠ 为 40︒ 时，车门是否会碰到墙？请说明理由. （2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？17．如图1，滑动调节式遮阳伞的立柱 AC 垂直于地面 AB ， P 为立柱上的滑动调节点，伞体的截面示意图为 PDE ∆ ， F 为 PD 中点， 2.8AC m = ， 2PD m = ， 1CF m = ， 20DPE ∠= .当点 P 位于初始位置 0P 时，点 D 与 C 重合（图2）.根据生活经验，当太阳光线与 PE 垂直时，遮阳效果最佳.（参考数据： sin700.94≈ ， cos700.34≈ ， tan70 2.75≈ ， 2 1.41≈ ， 3 1.73≈ ）（1）上午10:00时，太阳光线与地面的夹角为 65 （图3），为使遮阳效果最佳，点 P 需从 0P 上调多少距离？（结果精确到 0.1m ） （2）中午12:00时，太阳光线与地面垂直（图4），为使遮阳效果最佳，点 P 在（1）的基础上还需上调多少距离？（结果精确到 0.1m ）18．某体育看台侧面的示意图如图所示，观众区AC 的坡度i 为1：2，顶端C 离水平地面AB 的高度为10m ，从顶棚的D 处看E 处的仰角α＝18°30′，竖直的立杆上C 、D两点间的距离为4m ，E 处到观众区底端A 处的水平距离AF 为3m ．（sin18°30′≈0.32，tanl8°30′≈0.33，结果精确到0.1m ） 求：（1）观众区的水平宽度AB ； （2）顶棚的E 处离地面的高度EF ．19．抛物线y=ax 2+bx+3（a≠0）经过点A （﹣1，0），B （32，0），且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式； （2）求△ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE△AC ，当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．20．平面内，如图，在△ABCD 中，AB=10，AD=15， 4tan 3A =，点P 为AD 边上任意点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转 90 得到线段PQ.（1）当△DPQ= 10 时，求△APB 的大小；（2）当 tan tan 32ABP A ∠=：： 时，求点Q 与点B 间的距离(结果保留根号)；（3）若点Q 恰好落在△ABCD 的边所在的直线上，直接写出PB 旋转到PQ 所扫过的面积.(结果保留 π )21．观察猜想：（1）如图1，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，△BAC ＝30°，点D 与点C 重合，点E 在斜边AB 上，连接DE ，且DE ＝AE ，将线段DE 绕点D 顺时针旋转90°得到线段DF ，连接EF ，则 EFAD＝ ，sin△ADE ＝ ，（2）在（1）中，如果将点D 沿CA 方向移动，使CD ＝ 13AC ，其余条件不变，如图2，上述结论是否保持不变？若改变，请求出具体数值：若不变，请说明理由． 拓展延伸（3）如图3，在△ABC 中，△ACB ＝90°，△CAB ＝a ，点D 在边AC 的延长线上，E 是AB 上任意一点，连接DE ．ED ＝nAE ，将线段DE 绕着点D 顺时针旋转90°至点F ，连接EF ．求 EFAD和sin△ADE 的值分别是多少？（请用含有n ，a 的式子表示）22．足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门AB 的张角越大，射门越好.当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点.通过研究发现，如图1所示，运动员带球在直线CD 上行进时，当存在一点Q ，使得CQA ABQ ∠=∠（此时也有DQB QAB ∠=∠）时，恰好能使球门AB 的张角AQB ∠达到最大值，故可以称点Q 为直线CD 上的最佳射门点.（1）如图2所示，AB 为球门，当运动员带球沿CD 行进时，1Q ，2Q ，3Q 为其中的三个射门点，则在这三个射门点中，最佳射门点为点 ； （2）如图3所示，是一个矩形形状的足球场，AB 为球门，CD AB ⊥于点D ，3AB a =，BD a =.某球员沿CD 向球门AB 进攻，设最佳射门点为点Q. ①用含a 的代数式表示DQ 的长度并求出tan AQB ∠的值； ②5，若此时守门员站在张角AQB ∠内，双臂张开MN 垂直于AQ 进行防守，求MN 中点与AB 的距离至少为多少时才能确保防守成功.（结果用含a 的代数式表示）答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】如图，过点A 作AH△BC 于H ．由题意AB ＝AC ，BC ＝4+0.2+0.2＝4.4（m ）， ∵AH△BC ，∴BH ＝CH ＝2.2（m ）， ∴AC ＝AB ＝αBH cos ＝2.2αcos ＝115αcos （m ）， 故答案为：D ．【分析】过点A 作AH△BC 于H ，先求出CH 的长，再利用解直角三角形的方法可得AC ＝AB ＝αBH cos ＝ 2.2αcos ＝115αcos 。
中考数学难点突破与经典模型精讲练全等三角形中的角平分线模型(解析版)
专题08 全等三角形中的角平分线模型【模型展示】特点利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
结论三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等【模型证明】解决方案角平分线+垂直两边型角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等．【证明】∵ OC为∵AOB的角平分线，D为OC上一点DE∵OA，DF∵OB∵(AAS)OFD△OED△∵DE=DF角平分线+垂直角平分线型构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
DFEOCBAOBＮＭＢＣＯ角平分线+平行线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∠ON ，交 OM 于点 Q 。
结论：∠POQ 是等腰三角形。
【证明】∠PQ ∥ON∴∠PON=∠OPQ又∵OP 是∠MON 的平分线∴∠POQ=∠PON∴∠POQ=∠OPQ∴△POQ 是等腰三角形【题型演练】一、单选题1．已知：如图，BD 为∠ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF∠AB ，F 为垂足，下列结论：∠∠ABD∠∠EBC∠∠BCE+∠BCD=180°∠AD=AE=EC ∠ BA+BC=2BF 其中正确的是（ ）A ．∠∠∠B ．∠∠∠C ．∠∠∠D ．∠∠∠∠ 【答案】D【分析】易证ABD EBC ∆∆≌，可得BCE BDA ∠=∠，AD=EC 可得∠∠正确；再根据角平分线的性质可求得DAE DCE ∠=∠ ，即∠正确，根据∠可判断∠正确；【详解】∠ BD 为∠ABC 的角平分线，∠ ∠ABD=∠CBD ，∠在∠ABD 和∠EBD 中，BD=BC ，∠ABD=∠CDB ，BE=BA ，∠∠ABD EBC ∆∆≌(SAS)，故∠正确；∠ BD 平分∠ABC ，BD=BC ，BE=BA ，∠ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA，∠∠ABD∠∠EBC，∠∠BCE=∠BDA，∠∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，故∠正确；∠∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE，∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA，∠∠DCE=∠DAE，∠∠ACE是等腰三角形，∠AE=EC，∠∠ABD∠∠EBC，∠AD=EC，∠AD=AE=EC，故∠正确；作EG∠BC，垂足为G，如图所示：∠ E是BD上的点，∠EF=EG，在∠BEG和∠BEF中BE BE EF EG=⎧⎨=⎩∠ ∠BEG∠∠BEF，∠BG=BF，在∠CEG和∠AFE中EF EG AE CE=⎧⎨=⎩∠∠CEG∠∠AFE，∠ AF=CG，∠BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF，故∠正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键；2．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别是AB 、AD 上任意的点（不与端点重合），且AE=DF ，连接BF 与DE 相交于点G ，连接CG 与BD 相交于点H ．给出如下几个结论：∠∠AED∠∠DFB ；∠S 四边形BCDG 2；∠若AF=2DF ，则BG=6GF ；∠CG 与BD 一定不垂直；∠∠BGE 的大小为定值．其中正确的结论个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】B【详解】试题分析：∠∠ABCD 为菱形，∠AB=AD ，∠AB=BD ，∠∠ABD 为等边三角形，∠∠A=∠BDF=60°，又∠AE=DF ，AD=BD ，∠∠AED∠∠DFB ，故本选项正确；∠∠∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD ，即∠BGD+∠BCD=180°，∠点B 、C 、D 、G 四点共圆，∠∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∠∠BGC=∠DGC=60°，过点C 作CM∠GB 于M ，CN∠GD 于N （如图1），则∠CBM∠∠CDN （AAS ），∠S 四边形BCDG =S 四边形CMGN ，S 四边形CMGN =2S ∠CMG ，∠∠CGM=60°，∠GM=12CG ，，∠S 四边形CMGN =2S ∠CMG =2×12×122，故本选项错误； ∠过点F 作FP∠AE 于P 点（如图2），∠AF=2FD ，∠FP ：AE=DF ：DA=1：3，∠AE=DF ，AB=AD ，∠BE=2AE ，∠FP ：BE=FP ：12AE=1：6，∠FP∠AE ，∠PF∠BE ，∠FG ：BG=FP ：BE=1：6，即BG=6GF ，故本选项正确；∠当点E ，F 分别是AB ，AD 中点时（如图3），由（1）知，∠ABD ，∠BDC 为等边三角形，∠点E ，F 分别是AB ，AD 中点，∠∠BDE=∠DBG=30°，∠DG=BG ，在∠GDC 与∠BGC 中，∠DG=BG ，CG=CG ，CD=CB ，∠∠GDC∠∠BGC ，∠∠DCG=∠BCG ，∠CH∠BD ，即CG∠BD ，故本选项错误；∠∠∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°，为定值，故本选项正确；综上所述，正确的结论有∠∠∠，共3个，故选B ．考点：四边形综合题．3．如图，Rt ACB 中，90ACB ︒∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论：∠135APB ︒∠=；∠PF PA =；∠AH BD AB +=；∠S 四边形23ABDE S ABP =，其中正确的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据三角形全等的判定和性质以及三角形内角和定理逐一分析判断即可．【详解】解：∠在∠ABC 中，∠ACB=90°，∠∠CAB+∠ABC=90°∠AD 、BE 分别平分∠BAC 、∠ABC ， ∠∠BAD=12CAB ∠，∠ABE=12ABC ∠ ∠∠BAD+∠ABE=111+=()45222CAB ABC CAB ABC ∠∠∠+∠=︒ ∠∠APB=180°-（∠BAD+∠ABE ）=135°，故∠正确；∠∠BPD=45°，又∠PF∠AD ，∠∠FPB=90°+45°=135°∠∠APB=∠FPB又∠∠ABP=∠FBPBP=BP∠∠ABP∠∠FBP （ASA ）∠∠BAP=∠BFP ，AB=AB ，PA=PF ，故∠正确；在∠APH 与∠FPD 中∠∠APH=∠FPD=90°∠PAH=∠BAP=∠BFPPA=PF∠∠APH∠∠FPD （ASA ），∠AH=FD ，又∠AB=FB∠AB=FD+BD=AH+BD ，故∠正确；连接HD ，ED ，∠∠APH∠∠FPD ，∠ABP∠∠FBP∠APH FPD S S =，ABP FBP S S =，PH=PD ，∠∠HPD=90°，∠∠HDP=∠DHP=45°=∠BPD∠HD∠EP ，∠EPH EPD S S =∠ABP BDP AEP EPD ABDE S S SS S =+++四边形 ()ABP AEP EPH PBD S S S S =+++ABP APH PBD SS S =++ ABP FPD PBD S S S =++ABP FBP S S=+ 2ABPS = 故∠错误，∠正确的有∠∠∠，故答案为：B ．【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的方法有：SSS 、SAS 、AAS 、ASA 、HL ，注意AAA 和SAS 不能判定两个三角形全等．二、填空题4．已知，∠ABC 中，∠BAC ＝120°，AD 平分∠BAC ，∠BDC ＝60°，AB ＝2，AC ＝3，则AD 的长是________．【答案】5【分析】过D 作，DE AC ⊥，DF AB ⊥交AB 延长线于F ，然后根据全等三角形的性质和30︒角直角三角形的性质即可求解．【详解】过D 作，DE AC ⊥，DF AB ⊥交AB 延长线于F ，∠AD 平分BAC ∠，DE AC ⊥，DF AB ⊥，∠DE DF =，90DEC DFB DEA ==︒=∠∠∠，∠360BAC BDC DCE DBA +++=︒∠∠∠∠，12060BAC BDC =︒=︒∠，∠，∠180DCE DBA +=︒∠∠，∠180DBF DBA +=︒∠∠，∠DCE DBF ∠=∠，在DEC 和DFB △中，DCE DBF DEC DFB DE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∠()DEC DFB AAS △≌△，∠CE BF =，在Rt DEA △和Rt DFA 中，DE DF DA DA =⎧⎨=⎩， ∠()Rt DEA DFA HL △≌△，∠AE AF =，∠,AE AC CE AF AB BF =-=+，∠AC CE AB BF -=+，∠1CE BF AC AB +=-=， ∠12CE BF ==， ∠52AF AB BF =+=， ∠AD 平分BAC ∠， ∠1602DAB BAC ==︒∠∠， ∠18030ADF DAB DFB =︒--=︒∠∠∠，∠25AD AF ==．【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形．5．如图，∠ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝50︒，∠CAP ＝______．【答案】40°【分析】过点P 作PF∠AB 于F ，PM∠AC 于M ，PN∠CD 于N ，根据三角形的外角性质和内角和定理，得到∠BAC 度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得到答案．【详解】解：过点P 作PF∠AB 于F ，PM∠AC 于M ，PN∠CD 于N ，如图：设∠PCD=x ，∠CP 平分∠ACD ，∠∠ACP=∠PCD=x ，PM=PN ，∠∠ACD=2x ，∠BP 平分∠ABC ，∠∠ABP=∠PBC ，PF=PM=PN ，∠∠BPC ＝50°，∠∠ABP=∠PBC=50PCD BPC x ∠-∠=-︒，∠2(50)ABC x ∠=-︒,∠22(50)100BAC ACD ABC x x ∠=∠-∠=--︒=︒，∠18010080FAC ∠=︒-︒=︒，在Rt∠APF 和Rt∠APM 中，∠PF=PM ，AP 为公共边，∠Rt∠APF∠Rt∠APM （HL ），∠∠FAP=∠CAP ， ∠180402CAP ∠=⨯︒=︒； 故答案为：40°；【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，角平分线的性质，以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，正确求出80FAC ∠=︒是关键．6．如图所示，ABC 的外角ACD ∠的平分线CP 与ABC ∠的平分线相交于点P ，若36BPC ∠=︒，则CAP ∠=_______．【答案】54︒【分析】如图（见解析），设CBP x ∠=，从而可得2ABC x ∠=，先根据三角形的外角性质可求出72BAC =︒∠，再根据角平分线的性质可得,PM PN PM PE ==，从而可得PN PE =，然后根据直角三角形全等的判定定理与性质可得PAN PAE ∠=∠，最后根据平角的定义即可得．【详解】如图，过点P 分别作PM BD ⊥于点M ，PN BA ⊥于点N ，PE AC ⊥于点E ， 设CBP x ∠=，则2ABC x ∠=，36BPC ∠=︒，36DCP BP CBP C x ∠+∴∠=∠=+︒， CP 是ACD ∠的平分线，2272ACD DCP x ∴∠=∠=+︒，272272BAC ACD ABC x x ∴∠=∠-∠=+︒-=︒， BP 是ABC ∠的平分线，PM BD ⊥，PN BA ⊥，PM PN ∴=，同理可得：PM PE =，PN PE ∴=， 在Rt ANP 和Rt AEP △中，PN PE PA PA =⎧⎨=⎩， ()Rt ANP Rt AEP HL ∴≅，PAN PAE ∴∠=∠，即PAN CAP ∠=∠，又180PAN CAP BAC ∠+∠+∠=︒，272180CAP ∴∠+︒=︒，解得54CAP ∠=︒，故答案为：54︒．【点睛】本题考查了角平分线的定义与性质、三角形的外角性质、直角三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，利用角平分线的性质是解题关键．三、解答题7．如图，ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，过点B 作BE ∠AD ，交AD 延长线于点E ，F 为AB 的中点，连接CF ，交AD 于点G ，连接BG ．（1）线段BE 与线段AD 有何数量关系？并说明理由；（2）判断BEG 的形状，并说明理由．【答案】（1）BE ＝12AD ，见解析；（2）BEG 是等腰直角三角形，见解析【分析】（1）延长BE 、AC 交于点H ，先证明∠BAE ∠∠HAE ，得BE ＝HE ＝12BH ，再证明∠BCH ∠∠ACD ，得BH ＝AD ，则BE ＝12AD ；（2）先证明CF 垂直平分AB ，则AG ＝BG ，再证明∠CAB ＝∠CBA ＝45°，则∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，于是∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，可证明∠BEG 是等腰直角三角形．【详解】证：（1）BE ＝12AD ，理由如下：如图，延长BE 、AC 交于点H ，∠BE ∠AD ，∠∠AEB ＝∠AEH ＝90°，∠AD 平分∠BAC ，∠∠BAE ＝∠HAE ，在∠BAE 和∠HAE 中，AEB AEH AE AEBAE HAE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BAE ∠∠HAE （ASA ），∠BE ＝HE ＝12BH ，∠∠ACB ＝90°，∠∠BCH ＝180°﹣∠ACB ＝90°＝∠ACD ，∠∠CBH ＝90°﹣∠H ＝∠CAD ，在∠BCH 和∠ACD 中，BCH ACD BC ACCBH CAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠BCH ∠∠ACD （ASA ），∠BH ＝AD ，∠BE ＝12AD ．（2）∠BEG 是等腰直角三角形，理由如下：∠AC ＝BC ，AF ＝BF ，∠CF ∠AB ，∠AG ＝BG ，∠∠GAB ＝∠GBA ，∠AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∠∠CAB ＝∠CBA ＝45°，∠∠GAB ＝12∠CAB ＝22.5°，∠∠GAB ＝∠GBA ＝22.5°，∠∠EGB ＝∠GAB +∠GBA ＝45°，∠∠BEG ＝90°，∠∠EBG ＝∠EGB ＝45°，∠EG ＝EB ，∠∠BEG 是等腰直角三角形．【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键．8．已知：如图，在四边形ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠A +∠C ＝180°，BC ＞BA ．求证：点D 在线段AC 的垂直平分线上．【答案】见解析【分析】在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，证明∠ABD ∠∠BED ，可得出∠C ＝∠DEC ，则DE ＝DC ，从而得出AD ＝CD 即可证明．【详解】证：如图，在BC 上截取BE ＝BA ，连接DE ，∠BD ＝BD ，∠ABD ＝∠CBD ，∠∠BAD ∠∠BED ，∠∠A ＝∠DEB ，AD ＝DE ，∠∠A +∠C ＝180°，∠BED +∠DEC ＝180°，∠∠C ＝∠DEC ，∠DE ＝DC ，∠AD ＝CD ，∠点D 在线段AC 的垂直平分线上．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，以及垂直平分线的判定等，学会做辅助线找出全等三角形是解题的关键．9．如图所示，在四边形ABCD 中，AC 平分,DAB CD CB ∠=，求证：180B D ∠+∠=．【答案】详见解析【分析】过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，由条件可得出∠CDF∠∠CEB ，可得∠B=∠FDC ，进而可证明∠B+∠ADC=180°．【详解】证明：过点C 分别作CE AB ⊥于E ，CF AD ⊥于F ，∠AC 平分∠BAD ，CE∠AB 于E ，CF AD ⊥于F ，∠CF=CE ，在Rt∠CDF 与Rt∠CEB 中，CF=CE CD=CB ⎧⎨⎩∠CBE CDF ∆∆≌，CBE CDF ∴∠=∠，180ADC CDF ∠+∠=︒，A C 180B D ∴∠+∠=︒ .【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据HL 证明∠CDF∠∠CEB 进而得出∠B=∠FDC ．10．已知：如图，AC ∠BD ，AE 、BE 分别平分∠CAB 和∠ABD ，点E 在CD 上．用等式表示线段AB 、AC 、BD 三者之间的数量关系，并证明．【答案】AC +BD =AB ，理由见见解析【分析】在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，先证得BEF BED ≌，可得到∠BFE =∠D ，再由AC ∠BD ，可得∠AFE =∠C ，从而证得AEF AEC ≌，可得AF =AC ，即可求解．【详解】解：AC +BD =AB ，证明如下：在BA 上截取BF =BD ，连接EF ，如图所示：∠AE 、BE 分别平分∠CAB 和∠ABD ，∠∠EAF =∠EAC ，∠EBF =∠EBD ，在∠BEF 和∠BED 中，BF BD EBF EBD BE BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠BEF BED ≌（SAS ），∠∠BFE =∠D ，∠AC ∠BD ，∠∠C +∠D =180°，∠∠AFE +∠BFE =180°，∠∠AFE +∠D =180°，∠∠AFE =∠C ，在∠AEF 和∠AEC 中，EAF EAC AFE C AE AE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠AEF AEC ≌（AAS ），∠AF =AC ，∠AF +BF =AB ，∠AC +BD =AB ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．11．在ABC 中，BE ，CD 为ABC 的角平分线，BE ，CD 交于点F ．（1）求证：1902BFC A ∠=︒+∠； （2）已知60A ∠=︒．∠如图1，若4BD =， 6.5BC =，求CE 的长；∠如图2，若BF AC =，求AEB ∠的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°．【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出1902FBC FCB A ∠+∠=︒-∠的度数，再由三角形内角和定理可求出BFC ∠的度数，（2）在BC 上取一点G 使BG=BD ，构造BFG BFD ≅△（SAS ），再证明()FEC FGC ASA ≅，即可得BC BD CE =+，由此求出答案；（3）延长BA 到P ，使AP=FC ，构造BFC CAP ≅△（SAS ），得PC=BC ，12P BCF ACB ∠=∠=∠，再由三角形内角和可求40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒，进而可得180()100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒．【详解】解：（1）BE 、CD 分别是ABC ∠与ACB ∠的角平分线，11(180)9022FBC FCB A A ∴∠+∠=︒-∠=︒-∠， 1180()180(90)2BFC FBC FCB A ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒-∠， 1902BFC A ∴∠=︒+∠， （2）如解（2）图，在BC 上取一点G 使BG=BD ，由（1）得1902BFC A ∠=︒+∠， 60BAC ∠=︒，120BFC ∴∠=︒，∠18060BFD EFC BFC ∠=∠=︒-∠=︒，在BFG 与BFD △中，BF BF FBG FBD BD BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠BFG BFD ≅△（SAS ）∠BFD BFG ∠=∠，∠60BFD BFG ∠=∠=︒，∠12060CFG BFG ∠=︒-∠=︒，∠60CFG CFE ∠=∠=︒在FEC 与FGC △中，CFE CFG CF CFECF GCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()FEC FGC ASA ∴≅，CE CG ∴=，BC BG CG =+，BC BD CE ∴=+；∠4BD =， 6.5BC =，∠ 2.5CE =（3）如解（3）图，延长BA 到P ，使AP=FC ，60BAC ∠=︒，∠180120PAC BAC ∠=︒-∠=︒，在BFC △与CAP 中，120BF AC BFC CAP CF PA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩， ∠BFC CAP ≅△（SAS ）∠P BCF ∠=∠，BC PC =，∠P ABC ∠=∠，又∠12P BCF ACB ∠=∠=∠， ∠2ACB ABC ∠=∠，又∠180ACB ABC A ∠+∠+∠=︒，∠360180ABC ∠+︒=︒，∠40ABC ∠=︒，80ACB ∠=︒， ∠1202ABE ABC ∠=∠=︒，180()180(2060)100AEB ABE A ∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒ 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．12．如图，∠ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，CD 平分∠ACB ，BE ∠CD ，垂足E 在CD 的延长线上．求证：BE ＝12CD ．【答案】见解析【分析】分别延长BE 、CA 交于点F ，首先结合题意推出∠CFE ∠∠CBE ，从而得到BE ＝EF ＝12BF ，然后证明∠BF A ∠∠CDA ，得到BF ＝CD ，即可得出结论．【详解】证明：分别延长BE 、CA 交于点F ，∠BE ∠CD ，∠∠BEC ＝∠FEC ＝90°．∠CD 平分∠ACB ，∠∠FCE ＝∠BCE ．在∠CFE 与∠CBE 中，∠∠BEC ＝∠FEC ，∠FCE ＝∠BCE ，CE ＝CE ，∠∠CFE ∠∠CBE ，∠BE ＝EF ＝12BF ．在∠CFE 与∠CAD 中，∠∠F ＋∠FCE ＝∠ADC ＋∠ACD ＝ 90°，∠∠F ＝∠ADC ．在∠BF A 与∠CDA 中，∠∠F ＝∠ADC ，∠BAC ＝∠F AB ，AB ＝AC ，∠∠BF A ∠∠CDA ，∠BF ＝CD ．∠BE ＝12CD ．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，理解角平分线的基本定义，熟练运用角平分线的性质构造辅助线，并且准确判定全等三角形是解题关键．13．如图，在∠ABC 中，∠C ＝90°，AD 是∠BAC 的角平分线，交BC 于点D ，过D 作DE ∠BA 于点E ，点F 在AC 上，且BD ＝DF ．（1）求证：AC ＝AE ；（2）若AB ＝7.4，AF ＝1.4，求线段BE 的长．【答案】（1）见解析；（2）3【分析】（1）证明∠ACD ∠∠AED （AAS ），即可得出结论；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，证∠F AD ∠∠MAD （SAS ），得FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，再证Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE （HL ），得ME =BE ，求出MB =AB -AM =6，即可求解．【详解】解：（1）证明：∠AD 平分∠BAC ，∠∠DAC =∠DAE ，∠DE ∠BA ，∠∠DEA =∠DEB =90°，∠∠C =90°，∠∠C =∠DEA =90°，在∠ACD 和∠AED 中，C DEA DAC DAE AD AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ACD ∠∠AED （AAS ），∠AC =AE ；（2）在AB 上截取AM =AF ，连接MD ，在∠F AD 和∠MAD 中，AF AM DAF DAM AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠F AD ∠∠MAD （SAS ），∠FD =MD ，∠ADF =∠ADM ，∠BD =DF ，∠BD =MD ，在Rt ∠MDE 和Rt ∠BDE 中，MD BD DE DE =⎧⎨=⎩， ∠Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE （HL ），∠ME =BE ，∠AF =AM ，且AF =1.4，∠AM =1.4，∠AB =7.4，∠MB =AB -AM =7.4-1.4=6，∠BE ＝12BM ＝3，即BE 的长为3．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线定义、直角三角形的性质、三角形的外角性质等知识；证明∠F AD ∠∠MAD 和Rt ∠MDE ∠Rt ∠BDE 是解题的关键．14．（1）如图1，射线OP 平分∠MON ，在射线OM ，ON 上分别截取线段OA ，OB ，使OA ＝OB ，在射线OP 上任取一点D ，连接AD ，BD ．求证：AD ＝BD ．（2）如图2，在Rt ∠ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝60°，CD 平分∠ACB ，求证：BC ＝AC +AD ．（3）如图3，在四边形ABDE 中，AB ＝9，DE ＝1，BD ＝6，C 为BD 边中点，若AC 平分∠BAE ，EC 平分∠AED ，∠ACE ＝120°，求AE 的值．【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证∠AOD∠∠BOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有∠ACD∠∠ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证∠ABC∠∠AFC，∠CDE∠∠CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得∠CFG是等边三角形，最后问题可求解．【详解】证明：（1）∠射线OP平分∠MON，∠∠AOD=∠BOD，∠OD=OD，OA＝OB，∠∠AOD∠∠BOD（SAS），∠AD＝BD．（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示：∠∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∠∠ACD=∠ECD，∠B=30°，∠CD=CD，∠∠ACD∠∠ECD（SAS），∠∠A=∠CED=60°，AD=DE，∠∠B+∠EDB=∠CED，∠∠EDB=∠B=30°，∠DE=BE，∠AD=BE，∠BC=CE+BE，∠BC＝AC+AD．（3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示：同理（1）（2）可得：∠ABC∠∠AFC，∠CDE∠∠CGE，∠∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1，∠C为BD边中点，∠BC=CD=CF=CG=3，∠∠ACE＝120°，∠∠ACB+∠DCE=60°，∠∠ACF+∠GCE=60°，∠∠FCG=60°，∠∠CFG是等边三角形，∠FG=CF=CG=3，∠AE=AF+FG+GE=9+3+1=13．【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等．15．如图，已知∠ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC．求证：BC=AB+CD．【答案】证明见解析【分析】在BC上截取点E，并使得BE=BA，连接DE，证明∠ABD∠∠EBD，得到∠DEB=∠BAD=108°，进一步计算出∠DEC=∠CDE=72°得到CD=CE即可证明．【详解】证明：在线段BC 上截取BE =BA ，连接DE ，如下图所示：∠BD 平分∠ABC ，∠∠ABD =∠EBD ，在∠ABD 和∠EBD 中：AB BE ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠ABD ∠∠EBD (SAS )，∠∠DEB =∠BAD =108°，∠∠DEC =180°-108°=72°，又AB =AC ，∠∠C =∠ABC =(180°-108°)÷2=36°，∠∠CDE =180°-∠C -∠DEC =180°-36°-72°=72°，∠∠DEC =∠CDE ，∠CD =CE ，∠BC =BE +CE =AB +CD ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰BC 上截取BE ，并使得BE =BA ，这是角平分线辅助线和全等三角形的应用的一种常见作法．16．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点，PD∠AB 于D ，PE∠AC 于E ．（1）求证：BD ＝CE ；（2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）2【分析】（1）连接BP 、CP ，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP CP =，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DP EP =，然后利用“HL ”证明Rt BDP ∆和Rt CEP 全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）利用“HL ”证明Rt ADP ∆和Rt AEP 全等，根据全等三角形对应边相等可得AD AE =，再根据AB 、AC 的长度表示出AD 、CE ，然后解方程即可．【详解】（1）证明：连接BP 、CP ，点P 在BC 的垂直平分线上，BP CP ∴=， AP 是DAC ∠的平分线，DP EP ，在Rt BDP ∆和Rt CEP 中，BPCP DP EP ，Rt BDPRt CEP(HL)， BD CE ∴=；（2）解：在Rt ADP ∆和Rt AEP 中，APAP DP EP ，Rt ADPRt AEP(HL)， AD AE ∴=，6AB cm =，10AC cm =，610AD AE ，即610AD AD ，解得AD 2cm =．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．17．如图，ABC ∆的外角ACD ∠的平分线CP 与内角ABC ∠的平分线BP 交于点P ，若40BPC ∠=︒，求CAP ∠的度数．【答案】50°【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP ，即可得出答案．【详解】延长BA ，作PN∠BD ，PF∠BA ，PM∠AC ，设∠PCD=x°，∠CP 平分∠ACD ，∠∠ACP=∠PCD=x°，PM=PN ，∠BP 平分∠ABC ，∠∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，∠PF=PM ，∠∠BPC=40°，∠∠ABP=∠PBC=∠PCD -∠BPC=(x -40)°，∠∠BAC=∠ACD -∠ABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°，∠∠CAF=100°，在Rt∠PFA 和Rt∠PMA 中，PA PA PM PF =⎧⎨=⎩， ∠Rt∠PFA∠Rt∠PMA(HL)，∠∠CAP=∠FAP ，又∠∠CAP+∠PAF=∠CAF ，∠∠CAP =50°．【点睛】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM=PN=PF 是解决问题的关键．18．四边形ABCD 中，DA DC =，连接BD ．（1）如图1，若BD 平分ABC ∠，求证：180A C ∠+∠=︒．（2）如图2，若BD BC =，150=︒∠BAD ，求证：2DBC ABD ∠=∠．（3）如图3，在（2）的条件下，作AE BC ⊥于点E ，连接DE ，若DA DC ⊥，2BC =，求DE 的长度．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3【分析】（1）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，根据角平分线的性质可得ED FD =，结合已知条件HL 证明Rt DAE ≌Rt DCF △，继而可得C EAD ∠=∠，根据平角的定义以及等量代换即可证明180BAD BCD ∠+∠=︒；（2）过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，根据含30度角的直角三角形的性质可得12ED AD =，根据三线合一，可得12DG DC =，进而可得DE DG =，根据角平分线的判定定理可推出12ABD DBG DBC ∠=∠=∠，进而即可证明2DBC ABD ∠=∠；（3）先证明四边形DMEF 是矩形，证明△MAD ≌FCD ，进而证明四边形DMEF 是正方形，设ABD α∠=，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得15α=︒，进而求得30DBC ∠=︒，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得EF ，进而在Rt DEF △中，勾股定理即可求得DE 的长．【详解】（1）如图，过点D 分别作DF BC ⊥于点F ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，BD 平分ABC ∠，ED FD ∴=DA DC =，在Rt DAE 与Rt DCF △中AD DC ED FD =⎧⎨=⎩∴Rt DAE ≌Rt DCF △（HL ）C EAD ∴∠=∠180DAB EAD DAB C ∴∠+∠=∠+∠=︒即180BAD BCD ∠+∠=︒（2）如图，过点D 作DE BA ⊥交BA 的延长线于点E ，过点B 作BG DC ⊥，BD BC =11,22DG GC DC DBG CBG DBC ∴==∠=∠=∠150=︒∠BAD，18015030EAD∴∠=︒-︒=︒12ED AD∴=DA DC=ED DG∴=,ED BE DG BG⊥⊥EBD GBD∴∠=∠12ABD DBC∴∠=∠即2DBC ABD∠=∠（3）如图，过点D分别作DF BC⊥于点F，DM EA⊥交EA的延长线于点M，AE BC⊥，,DM ME DF FE⊥⊥∴四边形DMEF是矩形90MDF∴∠=︒90MDA ADF∴∠+∠=︒DA DC⊥90ADC∴∠=︒90ADF FDC∴∠+∠=︒FDC MDA∴∠=∠在△MAD与FCD中MDA FDCDMA DFCDA DC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△MAD≌FCDDM DF∴=，MDA FDC∠=∠∴四边形DMEF是正方形DF EF∴=设ABDα∠=∴22DBC ABD α∠=∠=BD BC =()11802902BDC BCD αα∴∠=∠=︒-=- 90MDA FDC BCD α∴∠=∠=︒-∠=90DAE M MDA α∴∠=∠+∠=︒+150BAD ∠=︒60BAE α∴∠=-在BAE 中9030ABE BAE α∠=︒-∠=︒+23ABE ABD DBC ααα∠=∠+∠=+=15α∴=︒230DBC α∴∠==︒2BD =112122DF BD ∴==⨯= 在Rt DEF △中，1EF DF ==DE ∴==【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．19．在∠ABC 中，AD 为∠ABC 的角平分线，点E 是直线BC 上的动点．（1）如图1，当点E 在CB 的延长线上时，连接AE ，若∠E ＝48°，AE ＝AD ＝DC ，则∠ABC 的度数为 ．（2）如图2，AC ＞AB ，点P 在线段AD 延长线上，比较AC +BP 与AB +CP 之间的大小关系，并证明．（3）连接AE ，若∠DAE ＝90°，∠BAC ＝24°，且满足AB +AC ＝EC ，请求出∠ACB 的度数（要求：画图，写思路，求出度数）．【答案】（1）108︒；（2）AC BP AB PC +>+，见解析；（3）44°或104°；详见解析．【分析】（1）根据等边对等角，可得E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，再根据三角形外角的性质求出=2=48ADE DAC ∠∠︒，由此即可解题；（2）在AC 边上取一点M 使AM =AB ，构造ABP AMP ≅，根据MP MC PC +>即可得出答案；（3）画出图形，根据点E 的位置分四种情况，当点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，可得GC EC =，可得G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；根据∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，可得=12BAD DAC ∠∠=︒，可证AGE ABE ≅（SAS ），得出=90ABE G x ∠=∠︒-，利用还有 242ABE x ∠=︒+，列方程90242x x ︒-=︒+；当点E 在BD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在BC 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ， 可得GC EC =，得出G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则G GEC x ∠=∠=；∠BAC ＝24°，根据AD 为∠ABC 的角平分线，得出=12BAD DAC ∠∠=︒，证明AGE ABE ≅（SAS ），得出=ABE G x ∠=∠，利用三角形内角和列方程242180x x +︒+=︒，解方程即可．【详解】解：（1）∠AE ＝AD ＝DC ，∠E ADE ∠=∠，DAC C ∠=∠，∠48E ∠=︒，=ADE DAC C ∠∠+∠，∠=2=48ADE DAC ∠∠︒，∠AD 为∠ABC 的角平分线，即=2BAC DAC ∠∠，∠48BAC ∠=︒；∠1804824108ABC ∠=︒-︒-︒=︒（2）如图2，在AC 边上取一点M 使AM =AB ，连接MP ，在ABP 和AMP 中，AB AM BAP MAP AP AP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠ABP AMP ≅（SAS ），∠BP M P =，∠MP MC PC +>，MC AC AM =-，∠AC AB BP PC -+>，∠AC BP AB PC +>+；（3）如图，点E 在射线CB 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，∠AB +AC ＝EC ，∠AG +AC ＝EC ，即GC EC =，∠G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则=90G GEC x ∠=∠︒-；又∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，∠=12BAD DAC ∠∠=︒，又∠90DAE ∠︒＝，∠9078BAE BAD ∠︒-∠=︒＝，9078GAE DAC ∠=︒-∠=︒，∠BAE GAE ∠∠＝，在AGE 和ABE △中，AE AE GAE BAE AG AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠AGE ABE ≅（SAS ），∠=90ABE G x ∠=∠︒-，又∠242ABE BAC ACB x ∠=∠+∠=︒+，∠90242x x ︒-=︒+，解得：22x =︒，∠=2=44ACB x ∠︒；当点E 在BD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；当点E 在CD 上时，∠EAD ＜90°，不成立；如图，点E 在BC 延长线上，延长CA 到G ，使AG =AB ，∠AB +AC ＝EC ，∠AG +AC ＝EC ，即GC EC =，∠G GEC ∠=∠，设=2ACB x ∠，则G GEC x ∠=∠=又∠∠BAC ＝24°，AD 为∠ABC 的角平分线，∠=12BAD DAC ∠∠=︒，又∠90DAE ∠︒＝，∠90102BAE BAD ∠︒+∠=︒＝，90102GAE DAC ∠=︒+∠=︒，∠BAE GAE ∠∠＝，在AGE 和ABE △中，AE AE GAE BAE AG AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠AGE ABE ≅（SAS ），∠=ABE G x ∠=∠，∠242180x x +︒+=︒，解得：52x =︒，∠=2=104ACB x ∠︒．∠∠ACB 的度数为44°或104°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键．20．如图，已知在四边形ABCD 中，BD 是ABC ∠的平分线，AD CD =．2 求证：180A C ∠+∠=︒．【答案】见解析【分析】方法一，在BC 上截取BE ，使BE AB =，连接DE ，由角平分线的定义可得ABC DBC ∠=∠，根据全等三角形的判定可证ABD △和EBD △全等，再根据全等三角形的性质可得A BED ∠=∠，AD DE =，由AD =CD 等量代换可得DE DC =，继而可得C DEC ∠=∠，由于180BED DEC ∠+∠=︒，可证180A C ∠+∠=︒；方法2，延长BA 到点E ，使BE BC =，由角平分线的定义可得ABD DBC ∠=∠，根据全等三角形的判定可证EBD △和CBD △全等，继而可得E C ∠=∠，DC DE =．由AD CD =，可得DE AD =，继而求得E EAD ∠=∠，由180EAD BAD ∠+∠=︒，继而可得180BAD C ∠+∠=︒；方法3， 作DE BC ⊥于点E ，DE BA ⊥交BA 的延长线于点F ，由角平分线的定义可得，由DE BC ⊥，DE BA ⊥，可得90F DEB ∠=∠=︒，根据全等三角形的判定可证FBD 和EBD △全等，继而可得DF DE =，再根据HL 定理可得可证180BAD C ∠+∠=︒．【详解】解：方法1 截长如图，在BC 上截取BE ，使BE AB =，连接DE ，因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABC DBC ∠=∠．在ABD △和EBD △中，因为AB EB ABD DBC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩所以ABD EBD ≅，所以A BED ∠=∠，AD DE =．因为AD CD =，所以DE DC =，所以C DEC ∠=∠．因为180BED DEC ∠+∠=︒，所以180A C ∠+∠=︒．方法2 补短如图，延长BA 到点E ，使BE BC =．因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠在EBD △和CBD △中，因为BC BE EBD DBC BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以EBD CBD ≅，所以E C ∠=∠，DC DE =．因为AD CD =，所以DE AD =，所以E EAD ∠=∠．因为180EAD BAD ∠+∠=︒，所以180BAD C ∠+∠=︒．方法3 构造直角三角形全等作DE BC ⊥于点E ．DE BA ⊥交BA 的延长线于点F因为BD 是ABC ∠的平分线，所以ABD DBC ∠=∠．因为DE BC ⊥，DE BA ⊥，所以90F DEB ∠=∠=︒，在FBD 和EBD △中，因为F DEB ABD DBC BD BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，所以FBD EBD ≅，所以DF DE =．在Rt FAD △和Rt ECD △中，因为DF DE AD DC =⎧⎨=⎩， 所以Rt Rt FAD ECD ≅，所以FAD C ∠=∠．因为180FAD BAD ∠+∠=︒，所以180BAD C ∠+∠=︒．21．阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图一，∠ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 数量关系.小明发现可以用下面方法解决问题:作DE∠BC 交BC 于点E ：(1)根据阅读材料可得AD 与DC 的数量关系为__________.(2)如图二，∠ABC 中，∠A=120°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与DC 的数量关系，并证明你的猜想.(3)如图三，∠ABC 中，∠A=100°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，猜想线段AD 与BD 、BC 的数量关系，并证明你的猜想.【答案】（1）AD ；（2）；（3）BC=AD+BD.【分析】（1）由角平分线的性质可得AD=DE ，根据∠A=90°，AB=AC ，可得∠C=45°，由DE∠BC 可得∠DEC 是等腰直角三角形，可得，进而可得答案；（2）在BC 上截取BE=AB ，连接DE ，利用SAS 可证明∠ABD∠∠EBD ，可得AD=DE ，∠BED=∠A=120°，由等腰三角形的性质可得∠C=30°，利用三角形外角性质可得∠CDE=90°，利用含30°角的直角三角形的性质即可得答案；（3）在BC 上取一点E ，使BE=BD ，作DF∠BA 于F ，DG∠BC 于G ，由角平分线的性质就可以得出DF=DG ，利用AAS 可证明∠DAF∠∠DEG ，可得 DA=DE ，利用外角性质可求出∠EDC=40°，进而可得DE=CE ，即可得出结论．【详解】（1）∠∠A=90°，BD 平分∠ABC ，DE∠BC ，∠DE=AD，∠∠A=90°，AB=AC，∠∠C=45°，∠∠CDE是等腰直角三角形，AD，故答案为（2）如图，在BC上截取BE=AB，连接DE，∠BD平分∠ABC，∠∠ABD=∠DBE，在∠ABD和∠EBD中，AB BEABD DBE BD BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠∠ABD∠∠EBD，∠DE=AD，∠BED=∠A=120°，∠AB=AC，∠∠C=∠ABC=30°，∠∠CDE=∠BED-∠C=90°，（3）如图，在BC上取一点E，是BE=BD，作DF∠BA于F，DG∠BC于G，∠∠DFA=∠DGE=90°．∠BD平分∠ABC，DF∠BA，DG∠BC，∠DF=DG．∠∠BAC=100°，AB=AC，∠∠FAD=80°，∠ABC=∠C=40°，∠∠DBC=20°，∠BE=BD，∠∠BED=∠BDE=80°，∠∠FAD=∠BED．在∠DAF和∠DEG中，DFA DGEFAD BED DF=DG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪⎩，∠∠DAF∠∠DEG（AAS），∠AD=ED．∠∠BED=∠C+∠EDC，∠80°=40+∠EDC，∠∠EDC=40°，∠∠EDC=∠C，∠DE=CE，∠AD=CE．∠BC=BE+CE，∠BC=BD+AD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的运用，角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时合理添加辅助线是解答本题的关键．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角形与全等三角形
一、选择题(每小题6分，共24分)
1．(2014·邵阳)如图，在△ABC 中，∠B ＝46°，∠C ＝54°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，DE ∥AB ，交AC 于点E ，则∠ADE 的大小是( C )
A ．45°
B ．54°
C ．40°
D ．50°
,第1题图) ,第2题图)
2．(2013·衡阳)如图，∠1＝100°，∠C ＝70°，则∠A 的大小是( C )
A ．10°
B ．20°
C ．30°
D ．80°
3．(2012·南通)如图，在△ABC 中，∠C ＝70°，沿图中虚线截去∠C ，则∠1＋∠2＝( B )
A ．360°
B ．250°
C ．180°
D ．140°
,第3题图) ,第4题图)
4．(2014·威海)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝50°，∠ACB ＝60°，点E 在BC 的延长线上，∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，连接AD ，下列结论中不正确的是( B )
A ．∠BAC ＝70°
B ．∠DO
C ＝90°
C ．∠BDC ＝35°
D ．∠DAC ＝55°
二、填空题(每小题7分，共28分)
5．(2014·广州)在△ABC 中，已知∠A ＝60°，∠B ＝80°，则∠C 的外角的度数是__140°__．
6．(2013·白银)如图，已知BC ＝EC ，∠BCE ＝∠ACD ，要使△ABC ≌△DEC ，则应添加的一个条件为__AC ＝DC (答案不唯一)__．(答案不唯一，只需填一个)
,第6题图) ,第7题图)
7．(2012·乐山)如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，…，∠A n －1BC 的平分线与∠A n －1CD 的平分线交于点A n ，设∠A ＝θ.则：
(1)∠A 1＝__θ2
__； (2)∠A n ＝__θ2
n __． 解析：(1)∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 2B 是∠A 1BC 的平分线，∴∠A 1BC ＝12
∠ABC ，同理∠A 1CD
＝12∠ACD.又∵∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ，∠A 1CD ＝∠A 1BC ＋∠A 1，∴12(∠A ＋∠ABC )＝12
∠ABC ＋∠A 1，∴∠A 1＝12∠A ＝θ2 (2)同理可得∠A 2＝12∠A 1＝12·θ2＝θ22，∴∠A n ＝θ2n 8．(2012·黄石)将下列正确命题的序号填在横线上__②__．
①若n 为大于2的正整数，则n 边形的所有外角之和为(n －1)·180°；
②三角形的三条中线的交点就是三角形的重心；
③证明两个三角形全等的方法有：SSS ，SAS ，ASA ，SSA 及HL 等．
三、解答题(共48分)
9．(12分)(2014·武汉)如图，AC 和BD 相交于点O ，OA ＝OC ，OB ＝OD.求证：DC ∥AB.
∵在△ODC 和△OBA 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OB ，∠DOC ＝∠BOA ，OC ＝OA ，
∴△ODC ≌△OBA (SAS )，∴∠C ＝∠A (或者∠D
＝∠B )(全等三角形对应角相等)，∴DC ∥AB (内错角相等，两直线平行)
10．(12分)(2014·宜宾)如图，在△AFD 和△CEB 中，点A ，E ，F ，C 在同一直线上，AE ＝CF ，∠B ＝∠D ，AD ∥BC.求证：AD ＝BC.
∵AD ∥BC ，∴∠A ＝∠C ，∵AE ＝CF ，∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ，即AF ＝CE ，∵在△ADF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B ＝∠D ，∠A ＝∠C ，AF ＝CE ，
∴△ADF ≌△CBE (AAS )，∴AD ＝BC
11．(12分)(2013·佛山)课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．
(1)叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS ；
(2)证明推论AAS .
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．
(1)三角形全等的判定方法中的推论AAS 指的是：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
(2)已知：在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠C ＝∠F ，BC ＝EF.求证：△ABC ≌△DEF.证明：如图，在△ABC 与△DEF 中，∠A ＝∠D ，∠C ＝∠F (已知)，∴∠A ＋∠C ＝∠D ＋∠F (等量代换)．又∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∠D ＋∠E ＋∠F ＝180°(三角形内角和定理)，∴∠B ＝∠E ，∴在△ABC 与△DEF
中，⎩⎪⎨⎪⎧∠C ＝∠F ，BC ＝EF ，∠B ＝∠E ，
∴△ABC ≌△DEF (ASA )
12．(12分)(2014·杭州)在△ABC 中，AB ＝AC ，点E ，F 分别在AB ，AC 上，AE ＝AF ，BF 与CE 相交于点P.求证：PB ＝PC ，并直接写出图中其他相等的线段．
在△ABF 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAF ＝∠CAE ，AF ＝AE ，
∴△ABF ≌△ACE (SAS )，∴∠ABF ＝∠ACE (全等三角形
的对应角相等)，∴BF ＝CE (全等三角形的对应边相等)，∵AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴BE ＝CF ，在△BEP 和
△CFP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BPE ＝∠CPF ，∠PBE ＝∠PCF ，BE ＝CF ，
∴△BEP ≌△CFP (AAS )，∴PB ＝PC ，∵BF ＝CE ，∴PE ＝PF ，∴图中相
等的线段为PE ＝PF ，BE ＝CF
2015年名师预测
1．如图，在△ABC 和△DEC 中，已知AB ＝DE ，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC ，不能添加的一组条件是( C )
A ．BC ＝EC ，∠
B ＝∠E
B ．B
C ＝EC ，AC ＝DC
C ．BC ＝DC ，∠A ＝∠D
D ．∠B ＝∠
E ，∠A ＝∠D
,第1题图) ,第2题图)
2．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB ∥DE ，AB ＝DE ，BE ＝CF ，AC ＝6，则DF ＝__6__．。