2015-2016学年福建省漳州市高一(上)数学期末试卷和解析

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XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)

高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．如果集合=A {}0242=+-x mx x 中只有一个元素，则实数m 的值为（）A ．0 错误！未找到引用源。

B ．1 错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

2D ．0或2 【答案】D【解析】试题分析：集合A 只有一个元素，即方程2420mx x -+=只有一个根．0m =时，方程变形为420x -+=，必有一个根；0m ≠时，要使方程2420mx x -+=只有一个根，则16420m ∆=-⨯⨯=，解得2m =．综上可得0m =或2m =．故D 正确．【考点】1集合的元素；2方程的根．【易错点睛】本题重点考查方程根的个数问题，属容易题．但在做题时极容易将方程2420mx x -+=误看做一元二次方程，只注意到使其判别式等于0时此方程只有一个根，而忽视二次项系数m 是否为0．当0m =时此方程为一次方程，一次方程必有一个根．注意当二次项系数含参数时一定要讨论其是否为0，否则极易出错．2．已知全集{}4,3,2,1,0,1-=M ，且{}4321，，，=B A ，{}32，=A ，则=)(A C B U （）A ．{}41， B ．{}1 C ．{}4 D ．φ 【答案】A【解析】试题分析：由题意分析可得1，4必在集合B 内，2，3可能在集合B 内．由已知可得{}1,0,1,4U C A =-，所以(){}1,4U B C A = ．故A 正确．【考点】集合的运算．3．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为（）A ．31B ．21C ．32D ．43【答案】C【解析】试题分析：甲乙同学各自在一个小组时共有6种可能，甲乙同学在同一组时共有3种可能，则这两位同学不在同一个兴趣小组的概率为62633P ==+．故C 正确．试卷第2页，总14页【考点】古典概型概率．4．已知函数1)2)(2+++=mx x m x f （为偶函数，则)(x f 在区间()∞+，1上是（）A ．先增后减B ．先减后增C ．减函数D ．增函数【答案】D【解析】试题分析：因为函数()f x 为偶函数，所以()200022m m m m +≠⎧⎪⇒=⎨-=⎪+⎩．所以()221f x x =+．所以函数()221f x x =+的图像是开口向上以y 轴为对称轴的抛物线，所以函数()f x 在()1,+∞上单调递增．故D 正确．【考点】1偶函数的性质；2二次函数的单调性．【方法点睛】本题主要考查偶函数的性质和二次函数单调性问题，难度一般．偶函数的图像关于y 轴轴对称，在本题中由此可求得m 的值．二次函数的单调性由开口方向和对称轴同时决定．5．若以下程序框图的输出结果为120，则判断框中应填写的判断条件为（）A ．?5<iB ．?5>iC ．?6>iD ．?5≥i 【答案】B【解析】试题分析：根据框图的循环结构依次可得: 122,213T i =⨯==+=；236,314T i =⨯==+=；6424,415T i =⨯==+=；246120,516T i =⨯==+=，此时应跳出循环输出120T =．所以判断框中应填入5?i >．故B 正确．【考点】程序框图．【易错点晴】本题主要考查的是程序框图，属于容易题．解题时一定要抓住重要条件输出“120T =”，否则很容易出现错误．在给出程序框图有输出结果而需要填判断框时只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件，此时即可得出判断框中所填内容．6．已知函数⎩⎨⎧<+≥-=4)),2((4,1)(x x f f x x x f ，则=)3(f （）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】试题分析：()()()()()35514413f f f f f ==-==-=．故C 正确．【考点】分段函数求值．7．若a 是从区间[]2,0中任取的一个实数， b 是从区间[]3,0中任取的一个实数，则概率是（）A ．32B ．65C ．31D ．61【答案】A【解析】试题分析：试验的全部结果构成的区域（如图）为边长分别为2和3的矩形，面积为236⨯=．其中满足a b <的结果构成的区域为图中阴影部分，其面积为162242-⨯⨯=．则所求概率为4263P ==．故A 正确．【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．几何概型的概率为长度比或面积比或体积比．所以应先根据已知条件作出满足初始条件的点所构成的可行域，再在其中标注出其中满足b a <的点构成的可行域．分别计算出其面积．即可求得所求概率．8．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图所示，1x ，2x 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，21S ，22S 分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的方差，则有（）试卷第4页，总14页A ．1x >2x ，21S ＜22S B ．1x ＝2x ，21S >22S C ．1x ＝2x ，21S ＝22S D ．1x ＝2x ，21S <22S【答案】B【解析】试题分析：181315151722156x +++++==；291415151621156x +++++==；()()()()()()222222211538151315151515151715221563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦，()()()()()()222222221379151415151515151615211563S ⎡⎤=-+-+-+-+-+-=⎣⎦．故B 正确．【考点】平均数，方差．9．函数54ln )(2++-=x x x x f 的零点个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】C【解析】试题分析：函数()2ln 45f x x x x =-++的零点个数等价于函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像的交点个数问题．由数形结合可知函数ln y x =图像与函数245y x x =--图像有2个交点．所以函数()f x 有2个零点．故C 正确．【考点】1函数零点；2转化思想．10．向顶角为0120的等腰三角形ABC （其中BC AC =）内任意投一点M ，则AM 小于AC 的概率为（） A ．33π B ．93πC ．21D ．3π【答案】B【解析】试题分析：令1AC BC ==，则111sin1202ABC S ∆=⨯⨯⨯= ．满足AC AM <的点M 所在区域的面积为230136012ππ⨯⨯=．所以所求概率为9Pπ==．【考点】几何概型．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率，难度一般．因为几何概率的值为比值所以边长的取值对结果没有影响，为计算方便不妨令等腰三角形两腰长为1，从而可得此三角形的面积．AM小于AC时点M所在区域为以A为圆心以AC为半径的圆且在三角形内部的扇形部分，可得此扇形面积．扇形面积与三角形面积的比值即为所求．11．如果奇函数)0)((≠=xxfy在()0,∞-∈x时，1)(+=xxf，那么使0)2(<-xf成立的x的取值范围是（）A．()()∞+∞-31,B．()1,-∞-()1,0C．()()3,00,∞-D．()1,∞-()32，【答案】D【解析】试题分析：因为()y f x=为奇函数，所以()()f x f x-=-，即()()f x f x=--．x>时0x-<，()()()11f x f x x x=--=--+=-．()()()1,01,0x xf xx x+<⎧⎪∴=⎨->⎪⎩．()2020210xf xx-<⎧∴-<⇔⎨-+<⎩或20210xx->⎧⎨--<⎩1x⇒<或23x<<．故D正确．【考点】1奇函数；2不等式．12．若函数)2(log)(2xxxfa-=）且1,0(≠>aa在区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>xf，则函数)(xf的单调递增区间是（）A．()0，∞- B．⎪⎭⎫⎝⎛∞-41， C．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,21D．⎪⎭⎫⎝⎛∞+，41【答案】A【解析】试题分析：2200x x x->⇒<或12x>．函数()f x的定义域为试卷第6页，总14页()1,0,2⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭．要使区间⎪⎭⎫⎝⎛1,21内恒有0)(>x f ，只需()min 0f x >当1a >时，此时存在33log log 1048a a f ⎛⎫=<= ⎪⎝⎭．故舍．当01a <<时，又函数22y x x =-在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以函数()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．此时()()1log 10a f x f >==恒成立，符合题意．综上可得01a <<．因为函数22y x x =-在(),0-∞上单调递减；在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，又01a <<所以函数)(x f 的单调递增区间(),0-∞．故A 正确．【考点】对数函数单调性；二次函数单调性；复合函数单调性．二、填空题13．若六进制数)6(510k （k 为正整数）化为十进制数为239，则=k ．【答案】3 【解析】试题分析：()321061051606656216652216239k k k k =⨯+⨯+⨯+⨯=++=+=，解得3k =．【考点】进位制．14．幂函数1222)33)(+-+-=m mx m m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ．【答案】2【解析】试题分析：由题意可知2331m m -+=，即2320m m -+=，解得1m =或2m =．当1m =时，()0f x x =，在区间()0,+∞上为常数1，不具有单调性，故舍；当2m =时，()f x x =，在区间()0,+∞上单调递增，符合题意．综上可得2m =．【考点】1幂函数的概念；2函数的单调性．【思路点睛】本题主要考查幂函数的概念和函数的单调性，难度一般．根据幂函数的定义: a y x =叫做幂函数，可知2331m m -+=，从而可得m 的值．将其分别代入()f x 验证是否满足()f x 在区间()0,+∞上单调递增．15．函数)(x g 是函数)2(log )(-=x x f a )1,0(≠>a a 且的反函数，则函数)(x g 的图象过定点．【答案】()3,0【解析】试题分析：()3log 10a f == ，∴函数()()log 2a f x x =-的图像过定点()3,0．所以函数()g x 的图像过定点()0,3．【考点】互为反函数的性质．【思路点睛】本题重点考查对数函数过定点和互为反函数的性质问题，属容易题．根据对数公式log 10a =可求得()f x 所过的定点．因为互为反函数的两个函数图像关于y 轴对称，所以函数()f x 图像过的定点()00,x y 关于y 轴的对称点()00,y x 即为函数()g x 的图像过的定点．16．0x 是x 的方程x a a x log =)10(≠>a a ，且的解，则0,1,x a 这三个数的大小关系是．【答案】10<<x a【解析】试题分析：当1a >时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像无交点，所以此时方程log x a a x =无解，不合题意故舍；当01a <<时，由数形结合可知函数x y a =的图像与函数log a y x =的图像只有一个交点，即此时方程log x a a x =只有一个解0x ．由数形结合分析可知00001,0log 1x x a x a <<<=<，又01a <<，0000log 1log 1log log 1x a a a a x a x a ∴<<⇔<<⇒>>．综上可得10<<x a ．【考点】1指数函数，对数函数图像；2对数不等式；3数形结合思想．三、解答题17．一台机器按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时试卷第8页，总14页生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，具有线性相关关系，下表为抽样试验的结果：（1）如果y 对x 有线性相关关系，求回归方程；（2）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？参考公式：x b y aˆˆ-=，∑∑==---=ni ini i ix xy y x xb 121)())((ˆ∑∑==--=ni ini ii x n xyx n yx 1221【答案】（1）52107ˆ-=x y；（2）机器的运转速度应控制在7614转/秒内．【解析】试题分析：（1）根据已给公式求,x y ，再求ˆb，ˆa 从而可求得回归方程．（2）根据题意解不等式ˆ10y≤即可求得所求．试题解析：解：（1）设所求回归方程为a x b yˆˆˆ+=，则由上表可得 12=x ，8=y ，107ˆ=b， 52107128ˆˆ-=⨯-=-=x b y a ∴回归方程为52107ˆ-=x y ．（2）由y ≤10得1052107ˆ≤-=x y，解得7614≤x ，所以机器的运转速度应控制在7614转/秒内．【考点】线性回归方程．18．（1）计算20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π（2）计算3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-【答案】（1）0；（2）3．【解析】试题分析：（1）根据指数的性质及运算法则即可求得其值；（2）根据对数的性质及运算法则即可求得其值．试题解析：解：（1）20325.0)43()2(2)27102(2)1615(--÷+⨯-⨯-π232)34(2)2764(21681÷-⨯-=- 22)43(2)43(249⨯-⨯-=0=（2）3log 28log 318log 3log 4913662742log --+⋅-3log 2log 23664log 3++-=6log 246+-=12+=3=【考点】1指数的性质及运算法则；2对数的性质及运算法则．19．已知集合A 是函数][))(2(log )(a x a x x g a ---=)1,0(≠>a a 且的定义域，集合B 和集合C 分别是函数x x f 39)(-=的定义域和值域。

福建省漳州市2015届高三数学上学期期末试卷理(含解析)

福建省漳州市2015届高三上学期期末数学试卷（理科）一.选择题1．（5分）设集合A={x|0＜x＜2}，集合B={x|0＜x≤1}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，1] C．（1，2）D．A．B．C．D．5．（5分）“a n+1•a n﹣1=a2，n≥2，且n∈N”是“数列{a n}为等比数列”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）（x﹣）6的展开式中常数项为（）A．B．﹣C．D．﹣7．（5分）某程序框图如图所示，若输出的S=41，则判断框内应填（）A．k＞4？B．k＞5？C．k＞6？D．k＞7？8．（5分）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A．若α∥β，a⊂α．b⊂β则a∥b B．若a∥α，b⊥β且α⊥β则a∥bC．若a⊥α，a∥b，b∥β则α⊥βD．若a⊥b，a⊂α，b⊂β则α⊥β9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为，过焦点F斜率为k的直线与抛物线C交于A、B两点，且=2，则|k|=（）A．2B．C．D．10．（5分）已知函数定义域（﹣1，1]，满足f（x）+1=，当x∈时，f（x）=x，若函数g（x）=，方程g（x）﹣mx﹣2m=0有三个实根，则实数m的取值范围是（）A．≤m＜B．＜m＜1 C．≤m＜D．二.填空题11．（4分）已知||=1，||=2，与的夹角为，则=．12．（4分）复数z为纯虚数，若（1+i）•z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为．13．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ+）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，则φ的值为．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，设M是由不等式组表示的区域，A是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向A中随机投一点，则所投点落在M中的概率是．15．（4分）已知集合X={x1，x2，…x n}（n∈N*，n≥3），若数列{x n}是等差数列，记集合P （X）={x|x=x i+x j，x i，x j⊂X，1≤i＜j≤n，i，j∈N*}的元素个数为|P（X）|，则|P（X）|关于n的表达式为．三.解答题16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=2sin（π﹣C）．△ABC 的面积为2，求边长a的值．17．（13分）根据新修订的“环境空气质量标准”指出空气质量指数在0﹣50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数．从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为C．（1，2）D．，∴A∩B=（0，1]，故选：B．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）已知命题p：∀x∈R，sinx≤，则（）A．￢p：∃x∈R，sinx B．￢p：∃x∈R，sinx＞C．￢p：∀x∈R，sinx D．￢p：∀x∈R，sinx考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．解答：解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，故￢p：∃x∈R，sinx＞，故选：B．点评：本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．3．（5分）某几何体的三视图如图，该几何体的体积为（）A．B．C．1 D．2考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：通过观察几何体的三视图，可得该几何体是一个四棱锥，计算即得结论．解答：解：根据几何体的三视图，得该几何体是一个四棱锥，其底面为边长为1的正方形，高为2，∴该四棱锥的体积为V四棱锥=×1×1×2=，故选：B．点评：本题主要考查几何体的体积，注意解题方法的积累，属于基础题．4．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的解析式可得函数在（﹣∞，0）上单调递增，且f（x）＜1；函数在a⊥b；故B错误；对于C，若a⊥α，a∥b，b∥β，利用线面垂直的性质以及线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理，可以得到α⊥β；故C正确；对于D，若a⊥b，a⊂α，b⊂β如图，得到α∥β；故D错误；故选：C．点评：本题考查了线面平行，线面垂直、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练运用定理对选项逐一分析．9．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离为，过焦点F斜率为k的直线与抛物线C交于A、B两点，且=2，则|k|=（）A．2B．C．D．考点：双曲线的简单性质；抛物线的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先根据抛物线C的焦点F到双曲线的渐近线距离求出p的值，再利用直线方程与抛物线C的方程联立，消去x，求出y的值，利用=2，得出y A与y B的关系式，从而求出k的值．解答：解：根据题意，得；抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），且F到双曲线x2﹣=1的渐近线y=±x的距离为，∴=，解得p=4；∴过焦点F斜率为k的直线为y=k（x﹣2），与抛物线C：y2=8x联立，得：，消去x，得y2=8（+2），整理，得ky2﹣8y﹣16k=0，解得y=；又∵=2，∴（4﹣x A，﹣y A）=2（x B﹣4，y B），∴y A=﹣2y B；当k＞0时，y A＞0，y B＜0，∴=2•（﹣），解得k=2；当k＜0时，y A＜0，y B＞0，∴﹣=2•，解得k=﹣2；∴|k|=2．故选：A．点评：本题考查了双曲线与抛物线的综合应用问题，也考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，是较难的题目．10．（5分）已知函数定义域（﹣1，1]，满足f（x）+1=，当x∈时，f（x）=x，若函数g（x）=，方程g（x）﹣mx﹣2m=0有三个实根，则实数m的取值范围是（）A．≤m＜B．＜m＜1 C．≤m＜D．考点：根的存在性及根的个数判断；抽象函数及其应用；分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：先求出g（x）的解析式，再分别画出函数g（x）与y=m（x+2）的图象，观察图象求出m的取值范围解答：解：当x∈，x+1∈，∵当x∈时，f（x）=x，∴f（x+1）=x+1∵f（x）=﹣1=﹣1=﹣，∴f（x）=∵函数g（x）=，∴g（x）=∵方程g（x）﹣mx﹣2m=0有三个实根，∴g（x）=m（x+2），即函数g（x）与直线y=m（x+2）有三个交点，分别画出函数g（x）与y=m（x+2）的图象，如图所示，函数y=m（x+2）过定点（﹣2，0），∴当直线过点B（1，1）时，函数图象有两个交点，即m=，故当m＜时，两个图象有三个交点，当直线过点C时，函数图象有4个交点，即y=m（x+2）与g（x）=﹣（x2﹣5x+6）有且只有一个交点，∴m（x+2）=﹣（x2﹣5x+6），即x2﹣（5﹣2m）x+6+4m=0，∴△=（5﹣2m）2﹣4（6+4m）=0，解得m=（舍去），或m=，∴实数m的取值范围=＜x＜，故选：D点评：本题考查了解析式的求法，以及方程根的问题，关键是利用了数形结合的思想，运算量较大，属于中档题二.填空题11．（4分）已知||=1，||=2，与的夹角为，则=1．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用向量的数量积的定义：=||•||•cos＜，＞，代入计算即可得到所求．解答：解：由||=1，||=2，与的夹角为，则=||•||•cos=1×2×=1．故答案为：1．点评：本题考查向量的数量积的定义，考查运算能力，属于基础题．12．（4分）复数z为纯虚数，若（1+i）•z=a+i（i为虚数单位），则实数a的值为﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵（1+i）•z=a+i，∴（1﹣i）（1+i）•z=（1﹣i）（a+i），∴2z=a+1+（1﹣a）i，∵复数z为纯虚数，∴a+1=0，1﹣a≠0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．13．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ+）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，则φ的值为．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数图象可得T，由周期公式从而可求ω，由点（，0）在函数图象上，结合范围0＜φ≤，即可解得φ的值．解答：解：由函数图象可得：T=2（）=π，从而可求ω==2，由点（，0）在函数图象上，所以：sin（2×+φ+）=0，解得：φ=k，k∈Z，由0＜φ≤，从而可得：φ=．故答案为：．点评：本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，三角函数的图象与性质，属于基本知识的考查．14．（4分）在平面直角坐标系xOy中，设M是由不等式组表示的区域，A是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向A中随机投一点，则所投点落在M中的概率是．考点：几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的落在圆内的面积区域和到原点的距离不大于1的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．解答：解：根据题意可得，A是到原点的距离不大于1的点构成的区域，表示以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，面积为S1=π，点M（x，y）满足，其构成的区域D如图所示，落在圆内的面积为S2=，所以所求的概率为P=．故答案为：．点评：本题主要考查几何概型．几何概型的特点是：实验结果的无限性和每一个实验结果出现的等可能性．在具体问题的研究中，要善于将基本事件“几何化”，构造出随机事件对应的几何图形，抓住其直观性，把握好几何区域的“测度”，利用“测度”的比来计算几何概型的概率．15．（4分）已知集合X={x1，x2，…x n}（n∈N*，n≥3），若数列{x n}是等差数列，记集合P （X）={x|x=x i+x j，x i，x j⊂X，1≤i＜j≤n，i，j∈N*}的元素个数为|P（X）|，则|P（X）|关于n的表达式为2n﹣3．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：利用特殊化思想，取特殊的等差数列进行计算，结合类比推理可得|P（X）|=2n﹣3．解答：解：∵集合X={a1，a2，…，a n}（n∈N*，n≥3），定义集合P（X）={x|x=x i+x j，x i，x j∈X，1≤i＜j≤n，i，j∈N*}，∴取特殊的等差数列进行计算，取X={1，2，3，…，n}，则|P（X）|={3，4，5，…，2n﹣1}，∵（2n﹣1）﹣3+1=2n﹣3，∴P（X）=中共2n﹣3个元素，利用类比推理可得若a1，a2，…，a n是公差大于零的等差数列，则|P（X）|=2n﹣3．故答案为：2n﹣3．点评：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意特殊化思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属基础题．三.解答题16．（13分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（1）求函数f（x）的最小正周期和函数f（x）的单调递增区间；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（A）=1，sinB=2sin（π﹣C）．△ABC 的面积为2，求边长a的值．考点：正弦定理；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质；解三角形．分析：（1）由三角函数恒等变换化简解析式可得f（x）=2sin（2x+），由正弦函数的周期性及单调性即可得解．（2）由（1）可得f（A）=2sin（2A+）=1，由0＜A＜π，可得2A+的范围，从而可求A的值．又sinB=2sin（π﹣C）=2sinC，可求b=2c，根据三角形面积公式可求b，c的值，由余弦定理即可求a的值．解答：解：（1）∵（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1∴f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴函数f（x）的最小正周期T=…3分∵2k≤2x+≤2kπ，k∈Z．∴可解得：k≤x≤kπ，k∈Z．∴函数f（x）的单调递增区间是：，k∈Z…6分（2）∵f（A）=2sin（2A+）=1，0＜A＜π，∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=，…9分又∵sinB=2sin（π﹣C）=2sinC，∴b=2c，又∵△ABC的面积为2，∴S=bcsinA=2，∴bc=8，∴c=2，b=4，∴a2=b2+c2﹣bc=16+4﹣8=12，∴a=2，∴边长a的值为2…13分．点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的周期性与单调性，三角形面积公式以及余弦定理的综合应用，解题时注意分析角的范围，属于中档题．17．（13分）根据新修订的“环境空气质量标准”指出空气质量指数在0﹣50，各类人群可正常活动．某市环保局在2014年对该市进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数．从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为内为“最优等级”，且指数达到“最优等级”的概率为0.3，则ξ～B（2，0.3）ξ的可能取值为0，1，2，则P（ξ=0）=C（0.3）0×（0.7）2=，P（ξ=1）=C（0.3）1×（0.7）1=，P（ξ=2）=C（0.3）2×（0.7）0=，ξ的分布列为：ξ0 1 2P \frac{49}{100}期望Eξ=0×+1×+2×=0.6（或者Eξ=2×0.3=0.6）故答案为：（1）0.02（2）25.6（3）分布列如上表，期望0.6．点评：本题考查了频率分布直方图中每一个矩形的面积表示频率，二项分布的概率公式和期望公式，属于中档题18．（13分）如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，AB=2，D，E分别为AC，BD 的中点，连接AE并延长BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2，所示，（1）求证：AE⊥平面BCD；（2）求平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值；（3）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在，请指出点M的位置；若存在，请指出点M的位置；若不存在，说明理由．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出AE⊥BD于E，由此能证明AE⊥平面BCD．（Ⅱ）以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，利用向量法能求出二面角的余弦值．（Ⅲ）根据线面平行的判定定理，利用向量法建立共线共线，设，解方程即可．解答：（Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为AC的中点，∴AD=BD=DC，又∠BAC=60°，∴△ABD为等边三角形，∵E是BD的中点，∴AE⊥BD，∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD∴AE⊥平面BCD．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）结论AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF．由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD．如图，以E为坐标原点，分别以EF，ED，EA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E﹣xyz，由（Ⅰ）知AB=BD=DC=AD=2，BE=ED=1．由图1条件计算得则AE=，BC=2，BF=，则E（0，0，0），D（0，1，0），A（0，0，），F（，0，0），C（，2，0）．则，，易知，平面AEF的一个法向量为=（0，1，0）．设平面ADC的法向量为=（x，y，z），则，即令z=1，得y=，x=1，即=（1，，1），∴cos＜，＞==，即平面AEF与平面ADC所成的锐角二面角的余弦值为．（Ⅲ）解：设，其中λ∈．∵=（，0，﹣），∴=λ（，0，﹣），∴==（），由，得，解得∈．∴在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC且AM：AF=3：4．点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，综合性较强，运算量较大．19．（13分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点P（0，），离心率e=．（1）求椭圆C的方程（2）如图，动直线l：y=kx+m与椭圆C有且仅有一个公共点．①求k，m满足的关系式②如图，F1，F2为椭圆的左右焦点，作F1M⊥l，F2N⊥l，垂足分别为M，N，四边形F1MNF2的面积S是否存在最大值？若存在，求出该最大值，若不存在请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）椭圆C过点P（0，），离心率e=．可求得椭圆方程．（2）设出直线方程代入椭圆列式得到关系式，根据面积公式，由均值不等式求得最值．解答：解：（1）设椭圆得方程为，∴．∴椭圆C的方程为．（2）①将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x2+4y2=12中，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，化简得m2=4k2+3，②设d1=|F1M|=当k≠0时，设直线l的倾斜角为θ．则|d1d2|=|MN||tanθ|，∴，=，∵m2=4k2+3，当k≠0时，，∴又当k=0时，四边形F1MNF2为矩形，，∴四边形F1MNF2的最大值为．点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的关系，利用均值不等式求得最值．在2015届高考中圆锥曲线的最值经常与均值不等式合体考查，应重点注意．20．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣c（x＞0）（1）若x=1为函数g（x）=xf（x）的极值点，求c的值．（2）若lna＜c＜lnb①已知l1：x=a，l2：x=b，若直线l1，l2及直线y=c与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影部分所示，求阴影面积S关于c的函数S（c）的最小值m②证明：不等式：＜ln2．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出函数g（x）的解析式和导数，由题意可得g′（1）=0，即可得到c=1；（2）①运用定积分可得S（c）=|lnx﹣c|dx+|lnx﹣c|dx，由计算法则可得S（c）的解析式，再求导数，判断单调性可得最小值m；②＜ln2⇔alna+blnb﹣（a+b）ln＜（b﹣a）ln2，令F（x）=alna+xlnx﹣（a+x）ln﹣（x﹣a）ln2（x≥a），求出导数，判断单调性，即可得证．解答：解：（1）f（x）=lnx﹣c（x＞0），g（x）=xf（x）=xlnx﹣cx，导数g′（x）=lnx+1﹣c，x=1为函数g（x）=xf（x）的极值点，即有g′（1）=0，1﹣c=0，解得c=1，经检验可得x=1为极值点，则有c=1；（2）①S（c）=|lnx﹣c|dx+|lnx﹣c|dx=（c﹣lnx）dx+（lnx﹣c）dx=2e c﹣c（a+b）﹣（a+b）+alna+blnb，即有S′（c）=2e c﹣（a+b），由lna＜c＜lnb，当c∈（lna，ln），S′（c）＜0，S（c）递减，当c∈（ln，lnb），S′（c）＞0，S（c）递增，当c=ln时，S（c）取得最小值，且为m=alna+blnb﹣（a+b）ln．②证明：＜ln2⇔alna+blnb﹣（a+b）ln＜（b﹣a）ln2，令F（x）=alna+xlnx﹣（a+x）ln﹣（x﹣a）ln2（x≥a），则F′（x）=lnx﹣ln﹣ln2，由x≥a，则F′（x）≤0，即有F（x）在解答：解：（1）任取直线l：x+y=0上一点P（x′，y′），经矩阵变换后点为P′（x，y），则有（x′，y′）=（x，y），可得，解得，代入直线l：x′+y′=0，化简得3x﹣y=0．直线l′的方程3x﹣y=0；（2）∵矩阵A=，∴|A|=1×2﹣2×（﹣1）=4，∴A﹣1=．点评：本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，矩阵，考查矩阵变换，关键是正确利用矩阵的乘法公式．选修：4-4坐标系与参数方程22．（7分）已知直线L的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：ρ=2sin（θ+）（θ为参数）．（1）求圆C的直角坐标方程．（2）判断直线L和圆C的位置关系．考点：直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：（1）运用代入法，即可得到直线的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，即可化极坐标方程为直角坐标方程；（2）求出圆心到直线的距离你，再由d，r的大小，即可判断直线和圆的位置关系．解答：解：（1）消去参数t，得直线l的方程为y=2x+1；ρ=2sin（θ+），即ρ=2（sin θ+cos θ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsin θ+ρcos θ），消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=2；（2）由于圆心C（1，1）到直线l的距离，d==＜r=，所以直线l和⊙C相交．点评：本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程或直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，属于基础题．选修4-5：不等式选讲23．已知函数f（x）=|x﹣m|．（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数m的值（2）若实数a，b，c满足：a2+b2+c2=m，求a+2b+2c的最大值．（m为（1）中的m）考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）由f（x）≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，利用不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，可得，解得m即可．（2）由（1）可得：a2+b2+c2=2，利用“柯西不等式”即可得出．解答：解：（1）由f（x）≤3，可得|x﹣m|≤3，解得m﹣3≤x≤m+3，∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，∴，解得m=2．（2）由（1）可得：m=2．∴a2+b2+c2=2，∴a+2b+2c≤=，当且仅当，a2+b2+c2=2，即b=c=2a=时取等号．∴a+2b+2c的最大值为3．点评：本题考查了含绝对值不等式的解法、“柯西不等式”的性质，考查了计算能力，属于基础题．。

福建省漳州市普通高中2015届高三上学期质量检查数学(理)试题含解析

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.设集合{}02x x A =<<，集合{}01x x B =<≤，则集合AB =(）A ．()0,1B ．(]0,1C ．()1,2D ．[)1,2 【答案】B考点：集合的运算；2.已知命题:p R x ∀∈，1sin 2x ≤,则（）A ．:p ⌝R x ∃∈,1sin 2x ≤ B ．:p ⌝R x ∃∈,1sin 2x >C ．:p ⌝R x ∀∈，1sin 2x > D ．:p ⌝R x ∀∈，1sin 2x ≥【答案】B 【解析】试题分析:全称命题的否定为特称命题，命题:p R x ∀∈，1sin 2x ≤，的否定是xR∃∈，1sin 2x>,选B.考点：全称量词与存在量词;3。

某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A ．13B ．23C ．1D ．2【答案】B考点：三视图 4.函数()21,01,03x x x f x x ⎧-+<⎪=⎨⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】试题分析：由于0x<时,2()1f x x =-+,其图象为顶点在(0,1)，开口向下的抛物线的左支，排除B 、D ，当0x≥时，1()()3x f x =，其图象过（0，1）点，在[0,)+∞为减函数，排除A,本题选C. 考点：分段函数的图象；5.“211n n naaa +-=,2n ≥且n ∈N ”是“数列{}n a 为等比数列"的（ )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A考点：充要条件6。

612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为（）A ．1516B ．1516-C ．52D ．52- 【答案】D 【解析】试题分析：利用二项式定理的通项公式，66216611()()22r r r r r x r T C x C x x --+=-=-⋅⋅,令620r -=，3r =,334615()22T C =-⋅=-，选D 。

高一数学上学期期末考试试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题

某某省某某第一中学2015-2016学年高一上学期期末考试数学一、选择题：共10题1．下列说法中,正确的是A.幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)B.当a＝0时,函数y＝xα的图象是一条直线C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称,则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大D.幂函数y＝xα,当a<0时,在第一象限内函数值随x值的增大而减小【答案】D【解析】本题主要考查幂函数的图象与性质.由幂函数的图象与性质可知，A错误；当x=0时，y=0，故B错误；令a＝-1，则y=x-1，显然C错误；故D正确.2．如图所示,则这个几何体的体积等于A.4B.6C.8D.12【答案】A【解析】由三视图可知所求几何体为四棱锥,如图所示,其中SA⊥平面ABCD,SA=2,AB=2,AD=2,CD=4,且四边形ABCD为直角梯形,∠DAB=90°,∴V=SA×(AB+CD)×AD=×2××(2+4)×2=4,故选A.3．下列关于函数y＝f(x),x∈[a,b]的叙述中,正确的个数为①若x0∈[a,b]且满足f(x0)＝0,则(x0,0)是f(x)的一个零点;②若x0是f(x)在[a,b]上的零点,则可用二分法求x0的近似值;③函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根,f(x)＝0的根也一定是函数f(x)的零点;④用二分法求方程的根时,得到的都是根的近似值.A.0B.1C.3D.4【答案】B【解析】本题主要考查方程与根、二分法.由零点的定义知，零点是曲线与x轴交点的横坐标，故①错误；当f(a)=0时，无法用二分法求解，故②错误；显然，③正确；若f(x)=2x-x-1，在区间(-1,1)上的零点，用二分法，可得f(0)=0，显然，④错误.4．如图,在三棱锥S-ABC中,E为棱SC的中点,若AC＝,SA＝SB＝SC＝AB＝BC＝2,则异面直线AC与BE所成的角为A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】C【解析】本题主要考查异面直线所成的角.取SA的中点D，连接BD、DE，则,是异面直线AC与BE所成的角或补角，由题意可得BD=BE=，DE=，即三角形BDE是等边三角形，所以5．如图,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF＝,则下列结论中错误的是A.AC⊥BEB.EF∥平面ABCDC.直线AB与平面BEF所成的角为定值D.异面直线AE、BF所成的角为定值【答案】D【解析】本题主要考查线面平行与垂直的判定定理、线面所成的角、异面直线所成的角，考查了空间想象能力.易证AC⊥平面BDD1B1，则AC⊥BE，A正确，不选；易知平面A1B1C1D1∥平面ABCD，则EF∥平面ABCD，B正确，不选；因为平面BEF即是平面BDD1B1，所以直线AB 与平面BEF所成的角为定值，故C正确，不选；故选D.6．若函数且)有两个零点,则实数a的取值X围是A. B. C. D.【答案】B【解析】本题主要考查函数的性质与零点.当时，函数是减函数，最多只有1个零点，不符合题意，故排除A、D；令,易判断函数在区间上分别有一个零点，故排除C，所以B正确.7．已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l【答案】D【解析】本题涉及直线与平面的基本知识,意在考查考生的空间想象能力、分析思考能力,难度中等偏下.由于m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交,但未必垂直,且交线垂直于直线m,n,又直线l满足l⊥m,l⊥n,则交线平行于l ,故选D.8．已知直线(1+k)x+y-k-2＝0过定点P,则点P关于直线x-y-2＝0的对称点的坐标是A.(3,﹣2)B.(2,﹣3)C.(3,﹣1)D.(1,﹣3)【答案】C【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.将(1+k)x+y-k-2＝0整理为：k(x-1)+x+y-2=0,则x-1=0且x+y-2=0,可得P(1,1),设点P的对称点坐标为(a,b),则，则x=3,y=-1,故答案：C.9．如图,平面⊥平面与两平面所成的角分别为和．过分别作两平面交线的垂线,垂足为,则＝A. B. C. D.【答案】A【解析】本题主要考查线面与面面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力.根据题意，由面面垂直的性质定理可得，,则,则AB=2，则10．经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正值,若截距之和最小,则直线的方程为A.x＋2y-6＝0 B.2x＋y-6＝0 C.x-2y＋7＝0 D.x-2y-7＝0【答案】B【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式.由直线的斜率为k(k<0)，则y-4=k(x-1),分别令x=0、y=0求出直线在两坐标轴上的截距为：4-k，1-,则4-k+1-,当且仅当-k=-，即k=-2时，等号成立，则直线的方程为2x＋y-6＝0二、填空题：共5题11．已知直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,则经过点A(3,2)且与直线垂直的直线方程为________．【答案】2x-y-4＝0【解析】本题主要考查直线方程、两条直线的位置关系.因为直线: x+(1+m)y+m-2=0与直线:mx＋2y＋8＝0平行,所以(m+1)m-2=0,且8-(m-2),则m=1，直线: x+2y-1=0,根据题意，设所求直线方程为2x-y+t＝0，将点A(3,2)代入可得t=-4，即：2x-y-4＝012．用斜二测画法得到的四边形ABCD是下底角为45°的等腰梯形,其下底长为5,一腰长为,则原四边形的面积是________.【答案】8【解析】本题主要考查平面直观图.根据题意，直观图中，梯形的下底长为5，一腰长为,则易求上底为3，高为1，面积为,所以原四边形的面积是13．已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】3π【解析】本题主要考查空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力.将正方体截去四个角可得到一个正四面体，由题意，可将该三棱锥补成一个棱长为1的正方体，所以该三棱锥的外接球的直径即为正方体的对角线，所以2r=，则该三棱锥的外接球的表面积为S=14．已知关于x的方程有两根,其中一根在区间内,另一根在区间内,则m的取值X围是________．【答案】【解析】本题主要考查二次函数的性质与二元一次方程的根.设,由题意可知：，求解可得15．甲、乙、丙、丁四个物体同时以某一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，，有以下结论：①当时，甲走在最前面；②当时，乙走在最前面；③当时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.其中，正确结论的序号为_________(把正确结论的序号都填上，多填或少填均不得分).【答案】③④⑤【解析】①错误.因为，，所以，所以时，乙在甲的前面.②错误.因为，，所以，所以时，甲在乙的前面.③正确.当时，，的图象在图象的上方.④正确.当时，丙在甲乙前面，在丁后面，时，丙在丁前面，在甲、乙后面，时，甲、乙、丙、丁四人并驾齐驱.⑤正确.指数函数增长速度越来越快，x充分大时，的图象必定在，，上方，所以最终走在最前面的是甲.三、解答题：共5题16．如图(1)所示,在直角梯形中,BC AP,AB BC,CD AP,又分别为线段的中点,现将△折起,使平面平面(图(2))．(1)求证:平面平面;(2)求三棱锥的体积．【答案】证明:(1)分别是的中点,∵平面,AB平面.∴平面.同理,平面,∵,EF平面平面∴平面平面.(2)＝.【解析】本题主要考查面面与线面平行与垂直的判定与性质、空间几何体的表面积与体积，考查了空间想象能力与等价转化.(1)根据题意,证明、,再利用线面与面面平行的判定定理即可证明;(2)由题意易知，则结果易得.17．已知两点,直线,求一点使,且点到直线的距离等于2．【答案】设点的坐标为.∵．∴的中点的坐标为．又的斜率．∴的垂直平分线方程为,即．而在直线上．∴．①又已知点到的距离为2．∴点必在于平行且距离为2的直线上,设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:∴或．∴点在直线或上．∴或②∴①②得:或．∴点或为所求的点．【解析】本题主要考查直线方程与斜率、两条直线的位置关系、中点坐标公式.设点的坐标为，求出统一线段AB的垂直平分线，即可求出a、b的一个关系式；由题意知，点必在于平行且距离为2的直线上, 设直线方程为,由两条平行直线之间的距离公式得:，求出m的值，又得到a、b的一个关系式，两个关系式联立求解即可.18．(1)已知圆C经过两点,且被直线y=1截得的线段长为.求圆C的方程;(2)已知点P(1,1)和圆过点P的动直线与圆交于A,B两点,求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】(1)设圆方程为.因为点O,Q在圆上,代入:又由已知,联立:解得:由韦达定理知:.所以:.即即:.即:.则.所以所求圆方程为:.(2)设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2). 由题意:,又.所以: 化简:所以M 点的轨迹方程为【解析】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的性质、直线的斜率公式、方程思想.(1)设圆方程为，将y =1代入圆的方程，利用韦达定理，求出D 、E 、F 的一个关系式，再由点O 、Q 在圆上，联立求出D 、E 、F 的值，即可得到圆的方程;(2) 设点M (x ,y ), 圆的圆心坐标为C (0,2)，由题意:,又，化简求解即可得到结论.19．如图,在四棱锥P —ABCD 中,PA ⊥底面ABCD , AB ⊥AD , AC ⊥CD ,∠ABC ＝60°,PA ＝AB ＝BC ,E 是PC 的中点．C A PB D E(1)求PB 和平面PAD 所成的角的大小;(2)证明:AE ⊥平面PCD ;(3)求二面角A-PD-C的正弦值．【答案】(1)在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥A B.又AB⊥AD,PA∩AD＝A,从而AB⊥平面PAD,∴PB在平面PAD内的射影为PA,从而∠APB为PB和平面PAD所成的角．在Rt△PAB中,AB＝PA,故∠APB＝45°.所以PB和平面PAD所成的角的大小为45°.(2)证明:在四棱锥P—ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴CD⊥PA.由条件CD⊥AC,PA∩AC＝A∵CD⊥平面PA C.又AE⊂平面PAC,∴AE⊥C D.由PA＝AB＝BC,∠ABC＝60°,可得AC＝PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥P C.又PC∩CD＝C,综上得AE⊥平面PCD.(3)过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示．由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD.因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角．由已知,可得∠CAD＝30°.设AC＝a,可得PA＝a,AD＝a,PD＝a,AE＝在Rt△ADP中,∵AM⊥PD,∴AM·PD＝PA·AD,则AM＝＝.在Rt△AEM中,sin∠AME＝＝.所以二面角A—PD—C的正弦值为.【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理与性质定理、线面角与二面角，考查了空间想象能力.(1)根据题意，证明AB⊥平面PAD,即可得证∠APB为PB和平面PAD所成的角，则易求结果；(2)由题意，易证CD⊥平面PA C，可得AE⊥C D，由题意易知AC＝PA，又因为E是PC 的中点,所以AE⊥P C，则结论易证；(3) 过点E作EM⊥PD,垂足为M,连接AM,如图所示，由(2)知,AE⊥平面PCD,AM在平面PCD内的射影是EM,则可证得AM⊥PD，因此∠AME是二面角A—PD—C的平面角，则结论易求.20．诺贝尔奖的奖金发放方式为:每年一发,把奖金总额平均分成6份,分别奖励给在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人,每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半;另一半利息计入基金总额,以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r＝6.24%.资料显示:1999年诺贝尔发放后基金总额约为19 800万美元．设f(x)表示第x(x∈N*)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f(1),2000年记为f(2),…,依次类推)(1)用f(1)表示f(2)与f(3),并根据所求结果归纳出函数f(x)的表达式;(2)试根据f(x)的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真,并说明理由．(参考数据:1.031 29≈1.32)【答案】(1)由题意知:f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%＝f(1)×(1＋3.12%),f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%＝f(2)×(1＋3.12%)＝f(1)×(1＋3.12%)2,∴f(x)＝19800(1＋3.12%)x-1(x∈N*)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)＝19800(1＋3.12%)9＝26136,故2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%≈136(万美元),与150万美元相比少了约14万美元,是假新闻．【解析】本题主要考查指数函数、函数的解析式与求值,考查了分析问题与解决问题的能力、计算能力.(1)由题意知: f(2)＝f(1)(1＋6.24%)-f(1)·6.24%，f(3)＝f(2)×(1＋6.24%)-f(2)×6.24%，化简，即可归纳出函数f(x)的解析式；(2)根据题意，求出2008年诺贝尔奖发放后基金总额为f(10)，再求出2009年度诺贝尔奖各项奖金为·f(10)·6.24%，即可判断出结论.。

2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(解析版)附答案

2015-2016学年福建省师大附中高一上学期期末考试数学试题(附答案)一、选择题1．已知直线方程34)y x --，则这条直线的倾斜角是（） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．30︒【答案】C【解析】试题分析：由题意得，直线的斜率为k =tan α=60α= ，故选C ．【考点】直线的倾斜角．2．在空间直角坐标系中，点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是（） A ．(1,3,6)- B ．(1,3,6)-- C ．(1,3,6)-- D ．(1,3,6)-- 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，根据空间直角坐标系，可得点(1,3,6)P 关于x 轴对称的点的坐标是(1,3,6)--，故选D ．【考点】空间直角坐标系．3．已知α，β是平面，m ，n 是直线．下列命题中不．正确的是（） A ．若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α B ．若m ∥α，α∩β= n ，则m ∥n C ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m β，则α⊥β 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，A 中，若//,m n m α⊥，则有直线与平面垂直的判定定理得n α⊥，所以是正确的；B 中，若//,m n ααβ= ，则m 与n 平行或异面，所以是不正确的；C 中，若,m m αβ⊥⊥，则由平面与平面平行的判定定理得//αβ，所以是正确的；D 中，,m m αβ⊥⊂，则由平面与平面垂直的判定定理得αβ⊥，所以是正确的．【考点】空间中线面位置的判定．4．已知12:20,:(1)210,l mx y l m x my +-=+-+=若12l l ⊥ 则m ＝（）ÌA ．m=0B ．m=1C ．m=0或m=1D ．m=0或m=1- 【答案】C【解析】试题分析：由12l l ⊥，得(1)1(2)0m m m ⨯++⨯-=，解得0m =或1m =，故选C ．【考点】两直线垂直的应用．5．正方体''''ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，'DD 的中点为N ，异面直线M B '与CN 所成的角是（）A ．0 B ． 90 C ． 45 D ．60【答案】B 【解析】试题分析：取A A '的中点为E ，连接BE ，则直线B M '与CN 所成角就是直线B M'与BE 所成的角，由题意得得B M BE '⊥，所以异面直线M B '与CN 所成的角是90，故选B ．【考点】异面直线所成的角．6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A ．6π BC ．3πD ．12π【答案】B【解析】试题分析：由题意得，此问题是球内接长方体，所以可得长方体的对角线长等于球的直径，即2R =所以R =，所以求得体积为334433V R ππ==⨯=．【考点】球的组合及球的体积的计算．7．圆（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1关于直线20x y --=对称的圆的方程为（） A ．22(4)(1)1x y -++= B ．22(4)(1)1x y +++= C ．（x+2）2+（y+4）2=1 D ．22(2)(1)1x y -++= 【答案】A【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为()1,2，设圆心()1,2关于直线20x y --=的对称点为(,)P x y ，则2111122022y x x y -⎧⨯=-⎪⎪-⎨++⎪--=⎪⎩，解得4,1x y ==-，所以对称圆方程为22(4)(1)1x y -++=．【考点】点关于直线的对称点；圆的标准方程．8．已知实数,x y满足22(5)(12)25,x y ++-= ）A ．5B ．8C ．13D ．18 【答案】B【解析】试题分析：=(,)P x y 到原点的距离，所以的最小值表示圆()()2251225x y ++-=上一点到原点距离的最小值，又圆心()5,12-到原点的距离为13=的最小值为138R -=，故选B ．【考点】圆的标准方程及圆的最值．9．如图，在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：连接11AC 交11B D 于点O ，连接BO ，因为长方体中，，所以1C O ⊥平面11BDD B ，所以1C BO ∠为1BC 与平面11BDD B 所成角，因为11112C O A C ==，1BC ，所以111sin C O C BO BC ∠===，故选D ．1111D C B A ABCD -2==BC AB 11=AA 1BC D D BB 11635525155101111D C B A ABCD -2==BC AB1A 1A【考点】直线与平面所成角的求解．10．已知点()()4,0,0,2B A －，点P 在圆()()5=4+3-:22－y x C ，则使090=∠APB 的点P 的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】试题分析：设(,)P x y ，要使90APB ∠=，只需P 到AB 中点(1,2)-的距离为12AB ==，而圆上的所有点到AB 中点距离范围为，即，所以使090=∠APB 的点P 的个数只有一个，就是AB 中点与圆心连线与圆的交点．【考点】点与圆的位置关系．11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为6480π+，则r =（）A ．1B ． 2C ． 4D ． 8 【答案】 C【解析】试题分析：由几何体的三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体的一个半球和一个半圆柱，所以其表面积为22222111422254222S r r r r r r r r πππππ=⨯+++⨯+=+，又因为该几何体的表面积为1620π+，即22546480r r ππ+=+，解得4r =．【考点】几何体的三视图；体积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用和几何体的体积的计算与应用，属于中档试题，同时着重考查了学生的空间想象能力和运算能力，求解三视图问题时，要牢记三是的规则“长对正，高平齐、宽相等”，得到原结合体的形状，再根据几何体的体积公式求解几何体的体积，本题的解答中通过给定的三视图可得该几何体为一个半球和半个圆锥拼接的几何体，通过计算半球的体积和半个圆柱的体积，从而得到给几何体的体积． 12．已知点(,)M a b ，(0)ab ≠是圆222:O x y r +=内一点，直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，直线n 的方程是2ax by r +=，那么（）A ．//m n 且n 与圆O 相离B ．//m n 且n 与圆O 相交C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离D ．m n ⊥且n 与圆O 相交【答案】A【解析】试题分析：直线m 是以点M 为中点的弦所在直线，所以m PO ⊥，所以m 的斜率为ab -，所以//n m ，圆心到直线n，因为M 在圆内，所以2ax by r +<，r >，所以直线n 与圆相离，故选A ．【考点】直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及应用，属于中档试题，对于直线和圆的位置关系分为相交、相离、相切三种情形，常利用圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断，本题解答中利用直线m 是以点M 为中点的弦所在直线可求得其斜率，进而根据直线n 的方程可判断出两直线平行，表示出点到直线n 的距离，根据点M 在园内判断出,a b 和r 的关系，进而判断长圆心到直线n 的距离大于半径，判断长二者的关系是相离．二、填空题13．不论k 为何值，直线(21)(2)(4)0k x k y k ----+=恒过的一个定点是__________．【答案】(2,3)【解析】试题分析：由题意得，直线(21)(2)(4)k x k y k ----+=，可化为(21)(24)0k x y x y ---+-=，解方程组240210x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得2,3x y ==，所以直线恒经过点(2,3)．【考点】直线方程．14．在正方体1111ABCD A BC D -中，二面角1C BD C --的正切值为．【解析】试题分析：设正方体111A B C D A B C D -的棱长为a ，则111,BD DC BC CD BC CC a ======，取BD 的中点O ，连接1,OC OC ，则1COC ∠就是二面角1C B DC --的平面角，因为12CO BD ==，所以1t a n 2C O C ∠．【考点】二面角的求解．15．点P （4，－2）与圆224x y ＋＝上任一点连线的中点的轨迹方程是．【答案】22(2)(1)1x y -++=【解析】试题分析：设圆上任意一点为11(,)A x y ，AP 中点为(),x y ，则114222x x y y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以112422x x y y =-⎧⎨=+⎩，代入224x y ＋＝得22(24)(22)4x y -++=，化简22(2)(1)1x y -++=，所以轨迹方程为22(2)(1)1x y -++=．【考点】轨迹方程的求解．【方法点晴】本题主要考查了与圆有关的轨迹方程的求解，属于基础题，着重考查了代入法求解轨迹方程，其中确定坐标之间的关系是解答此类问题的关键．本题解答中通过设圆上任意一点为11(,)A x y ，表示AP 中点为(),x y ，确定出A 与AP 中点坐标之间的关系112422x x y y =-⎧⎨=+⎩，再代入圆的方程，化简即可得到动点的轨迹方程． 16．若直线x y k +=与曲线y =k 的取值范围是．【答案】11k k -≤<=或【解析】试题分析：曲线y =(1,0)A -时，直线y x k =-+与半圆只有一个交点，此时1k =-；当直线过点(1,0),(0,1)B C 时，直线y x k =-+与半圆有两个交点，此时1k =；当直线y x k =-+与半圆相切时，只有一个公共点，k =11k -≤<或k =x y k +=与曲线y =个公共点．【考点】直线与圆的方程的应用．17．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心，则与底面所成角的正弦值等于．【答案】【解析】试题分析：由题意得，不妨设棱长为2，如图，在底面内的射影为的中心，故DA =由勾股定理得13A D ==，过1B 作1B E ⊥平面ABC ，则1B AE ∠为1AB 与底面ABC所成角，且1B E =，作1A S AB ⊥于中点S，所以111ABC A B C -1A ABC ABC △1ABABC 31A ABC ABC △1AS =，所以1AB ==，所以与底面所成角的正弦值为1sin 3B AE ∠==．【考点】直线与平面所成的角．18．若直线被两平行线12:0:0l x y l x y +=+=与所截得的线段的长为的倾斜角可以是①；②；③；④105︒；⑤120︒；⑥165︒其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）【答案】④或⑥【解析】试题分析：由题意得，两直线12,l l之间的距离为d ===线被两平行线1:0l x y +=与2:0l x y +=所截得的线段的长为m 与直线0x y +=的夹角为45，所以直线的倾斜角可以是105︒或165︒．【考点】两平行线之间的距离；直线的夹角．【方法点晴】本题主要考查了两条平行线之间的距离公式的应用及两直线的位置关系的应用，属于中档试题，解答的关键是根据两平行线之间的距离和被截得的线段的长，确定两条直线的位置关系（夹角的大小），本题的解答中，根据平行线之间的距离和被截得的线段长为确定直线m 与两平行线的夹角为45，从而得到直线m 的倾斜角．三、解答题19．如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(14)A ,-，(21)B ,--，(23)C ,．1ABABC m m 15 45 60 m m（1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；（2）在∆ACD 中，求CD 边上的高线所在直线方程；（3）求ACD ∆的面积．【答案】（1）(3,8)；（2）5190x y +-=；（3）8．【解析】试题分析：（1）设AC 的中点为M ，则由M 为AC 的中点求得17(,)22M ，设点D 坐标为(,)x y ，由已知得M 为线段BD 中点，求D 的坐标；（2）求得直线CD 的斜率CD k ，可得CD 边上的高线所在的直线的斜率为15-，从而在ACD ∆中，求得CD 边上的高线所在直线的方程；（3）求得CD ，用两点式求得直线CD 的方程，利用点到直线的距离公式，求得点A 到直线CD 的距离，可得ACD ∆的面积．试题解析：（1）），点坐标为（则边中点为设2721,M M AC 设点D 坐标为（x ，y ），由已知得M 为线段BD 中点，有[⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+-27212122y x 解得⎩⎨⎧==83y x 所以D （3，8）（2）所以CD 边上的高线所在直线的斜率为15-故CD 边上的高线所在直线的方程为14(1)5y x -=-+，即为5190x y +-= （3）(2,3),(3,8)C D由C ，D 两点得直线CD 的方程为：570x y --=【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式． 20．如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且，设、分别为、的中点．（1）求证：//平面；（2）求证：面平面；（3）求二面角的正切值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【解析】试题分析：（1）利用线面平行的判定定理：连接AC ，直线证明//EF PA ，利用中位线定理即可得证；（2）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA ⊥面PDC ，进而转化为证明,PA PD PA DC⊥⊥，可证PAD ∆为等腰直角三角形，可得PA AD ⊥；由面PAD ⊥面ABCD 的性质及正方形ABCD 的性质可证CD ⊥面PAD ，得CD PA ⊥；（3）设PD 的中点为M ，连接,EM MF ，则EM P D ⊥，由此可知PD ⊥平面EFM ，则EM F ∠是二面角的平面角，通过解Rt FEM ∆可得所求二面角的正切值．试题解析：（1）证明：为平行四边形，连结，为中点，为中点∴在中，//，且平面，平面 ∴（2）证明：面面，平面面又为正方形，且平面平面，∴，又是等腰直角三角形，又，且、面面又面，面面（3）解：设的中点为，连结，，则，由（2）知面面，是二面角的平面角P ABCD -ABCD a PAD ⊥ABCD PA PD AD ==E F PC BD EF PAD PAB ⊥PDC B PD C --B PD C --ABCD AC BD F = F AC E PC CPA ∆EF PA PA ⊆PAD EF ⊄PAD PAD EF 平面// PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD = ABCD ∴CD AD ⊥CD ⊂ABCD CD ⊥PAD CD PA ⊥2PA PD AD ==∴PAD ∆∴PA PD ⊥CD PD D = CD PD ⊆ABCD ∴PA ⊥PDC PA ⊆PAB ∴PAB ⊥PDC PD M EM MF EM PD ⊥EF ⊥PDC ∴EF PD ⊥∴PD ⊥EFM ∴PD MF ⊥∴EMF ∠B PD C --B在中，【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；二面角的求解．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱圈最高点距水面8m ，拱圈内水面宽32m ，船只在水面以上部分高6.5m ，船顶部宽8m ，故通行无阻，如下图所示．（1）建立适当平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m ，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m 2.45≈）【答案】（1）400；（2）0.9．【解析】试题分析：（1）建立平面直角坐标系，确定,,A B D 三点的坐标，根据CD CB =，求解圆心坐标，从而得到圆的方程；（2）代入4x =，可得7.6y ≈米，可判断桥拱宽为8m 的地方距离正常水位时水面的宽度，通过比较可判断船是否通过．试题分析：（1）解：在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x 轴，过拱圈最高点且与水面垂直的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A ，B ，D 三点的坐标分别为（-16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C 在y 轴上，故可设C （0，b ）．因为|CD|=|CB|，所以8b -12b =-．所以圆拱所在圆的方程为： 2222(12)(812)20x y ++=+==400（2）当x=4时，求得y ≈7．6，即桥拱宽为8m 的地方距正常水位时的水面约7．60m ，距涨水后的水面约5．6m ，因为船高6．5m ，顶宽8m ，所以船身至少降低6．5-5．6=0．9（m ）以上，船才能顺利通过桥洞．【考点】圆的方程及其应用．22．如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，1AB AA =，160BAA ∠= ．Rt FEM ∆124EF PA a ==1122EM CD a ==4tan 12a EF EMF EM a ∠===（1）证明：1AB AC ⊥；（2）若2AB CB ==，1AC =111ABC A B C -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）3．【解析】试题分析：（1）由题目给出的边的关系，可取AB 的中点O ，连接1,OC OA ，通过证明AB ⊥平面1OAC ，即可证明1AB AC ⊥；（2）在三角形1OAC 中，由勾股定理得到1OA OC ⊥，再根据1OA AB ⊥，得到1OA 为三棱柱111ABC A B C -的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求解体积．试题解析：（1）取AB 的中点O ，连接OC 、1OA 、1A B ，因为CA=CB ，所以OC AB ⊥，由于AB=AA 1，∠BA A 1=600，故,AA B ∆为等边三角形，所以OA 1⊥AB ．因为OC ⋂OA 1=O ，所以AB ⊥平面OA 1C ．又A 1C ⊆平面OA 1C ，故AB ⊥A 1C ．（2）由题设知12ABC AA B ∆∆与都是边长为的等边三角形， 12AA B 都是边长为的等边三角形，所以22111111,OC OA AC OA OC OA OC OA AB ===+⊥⊥ 又=A C ，故又111111111,--= 3.ABC ABC OC AB O OA ABC OA ABC A B C ABC S A B C V S OA =⊥∆=⨯= 因为所以平面，为棱柱的高，又的面积ABC 的体积【考点】直线与平面垂直的判定与性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面垂直的判定与性质和几何体的体积的计算，属于中档试题，着重考查了空间想象能力、运算能力和推理论证能力，解答此类问题的关键是把线线垂直的证明转化为线与面垂直，利用线面垂直的性质证明1AB AC ⊥；第2问中，利用线面垂直，确定几何体的高是解答三棱锥的体积的是求解几何体体积的一个难点．23．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:16C x y +=和圆222:(7)(4)4C x y -+-=．（1）求过点(4,6)的圆1C 的切线方程；（2）设P 为坐标平面上的点，且满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）512520x y -+=或4x =；（2）1(4,6)P 或2362(,)55P ．【解析】试题分析：（1）设出切线方程()64y k x -=-，利用圆心到切线的距离等于圆的半径，求解k 的值，从而确定切线的方程；（2）设出直线1l 的方程，确定2l 的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，确定,a b 的值，从而得到点的坐标．试题解析：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为()64y k x -=-，则圆心1C 到切线的距离4d ==，解得512k =所以切线的方程为：512520x y -+=;若切线的斜率不存在，则切线方程为4x =，符合题意．综上所述，过P 点的圆1C 的切线方程为512520x y -+=或4x =．（2）设点(,)P a b 满足条件，不妨设直线1l 的方程为：()(0)y b k x a k -=-≠，即0(0)kx y b ak k -+-=≠，则直线2l 的方程为：1()y b x a k-=--，即0x k y b k a +--=．因为圆1C 的半径是圆2C 的半径的2倍，及直线1l 被圆1C 截得的弦长是直线2l 被圆2C 截得的弦长的2倍，所以圆1C 的圆心到直线1l 的距离是圆2C 的圆心到直线2l 的距离的2倍，2=整理得 214(28)ak b a b k -=-+-从而214(28)ak b a b k -=-+-或214(28)b ak a b k -=-+-，即(28)214a b k a b -+=+-或(28)214a b k a b +-=-++，因为k 的取值有无穷多个，所以2802140a b a b -+=⎧⎨+-=⎩或2802140a b a b +-=⎧⎨-++=⎩，解得46a b =⎧⎨=⎩或36525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，这样点P 只可能是点1(4,6)P 或点2362(,)55P ．经检验点1P 和点2P 满足题目条件．【考点】直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式和方程问题的综合应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系求解圆的切线方程及利用点到直线的距离公式和方程解问题的综合应用，属于难度较大的试题，并着重考查了转化的思想方法和计算能力．本题的解答中设出直线1l 的方程，根据垂直关系，确定2l 的方程，利用截得的弦长之间的关系转为圆心到两条直线的距离的关系，利用点到直线的距离求解列出方程，根据方程无穷多个解，是解答一个难点，平时应重视圆的转化思想在求解圆的方程中的应用．。

2015-2016学年(福建省)高一上学期期末考试数学试题(解析版)8

高一上学期期末考试数学试题一、选择题1．若，，，则实数（）A. B. C. D. 2或【答案】D【解析】由于两个向量平行，故.点睛：本题主要考查两个向量的位置关系.两个向量，两个向量平行时，有；若两个向量垂直，则有.本题中将题目所给的两个向量的坐标代入，即可求得的值.2．下列图形中可以是某个函数的图象的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于函数来说，一个只有唯一一个和其对应，故错误，选.3．函数（且）的图象经过的定点是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】当时，函数值恒为，故定点为.4．函数的图象的一条对称轴方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】正弦函数对称轴为，令，求得对称轴为.5．若，则一定存在一个实数，使得当时，都有（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，的图像在的上方，故，排除选项.当时，，而是幂函数，增长速度比对数函数要快，故当时，.故选选项.6．若，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于两个向量垂直，根据向量加法的几何性质可知，平行四边形为矩形，对角线相等，即.7．若集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意，故.8．若，，则在方向上的投影是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】依题意有投影为.9．若一扇形的周长为4，面积为1，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，解得，所以弧度数为.10．若函数在上的最大值与最小值之和为，则实数的值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】依题意函数在上单调，故，解得.11．（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由于，即.点睛：本题主要考查两角和的正切公式的变形，考查了化归与转化的数学思想方法.首先注意到题目所给的两个角度的特殊关系，即.而题目涉及到正切的公式，我们就联想到两角和的正切公式，变形为.12．已知向量与的夹角为，，，若与的夹角为锐角，则实数的取值范围是（）A. B.C.D. 【答案】D 【解析】根据夹角为锐角，有，即，也即，即，解得.点睛：本题主要考查平面向量的数量积运算与夹角公式，考查了锐角对应三角函数的取值范围，考查了两个向量的位置关系.题目一开始给定两个向量的模和夹角，那么它们的数量积可以通过公式求解出来.由于后面给定两个向量的夹角为锐角，则转化为数量积大于零，且不等于，就说明两个向量不能共线，由此得到.二、填空题13．，，，则与的夹角是__________．【答案】【解析】，所以夹角为.14．若函数是偶函数，则__________．【答案】【解析】由于函数为偶函数，故需要符合诱导公式中的奇变偶不变，故，由于，所以.15．若，则__________．【答案】【解析】，化简得.所以.16．若定义在上的函数满足，是奇函数，现给出下列4个论断：①是周期为4的周期函数；②的图象关于点对称；③是偶函数；④的图象经过点．其中正确论断的序号是__________（请填上所有正确论断的序号）．【答案】①②③【解析】由可知函数周期为.由是奇函数关于原点对称，可知关于对称，即.，所以函数为偶函数，无法判断其值.综上，正确的序号是①②③.点睛：本题主要考查函数的奇偶性与周期性，考查函数平移变换等知识.在阅读题目的时候，采用逐句转化的方法，即读到“”时，将其转化为函数的周期为，这个要记住小结论，即若，，则函数为周期函数，且周期为.向左平移个单位后得到，这是函数变换的知识.三、解答题17．已知函数．（Ⅰ）求函数的定义域与零点；（Ⅱ）判断函数的奇偶性．【答案】（I）定义域为，零点为；（II）奇函数.【解析】试题分析：（I）定义域为.令，即.（II）利用奇偶性的定义，判断，所以函数为奇函数.试题解析：解：（Ⅰ）∵∴，∴的定义域为．由，得，∴，解得，∴的零点为．（Ⅱ）∵对任意的实数，都有，∴是奇函数．18．已知函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期和递增区间；（Ⅱ）求函数的图象的对称中心的坐标．【答案】（I）最小正周期，单调递增区间是，；（II）对称中心的坐标是，.【解析】试题分析：（I）利用降次公式和二倍角公式，化简，由此得到最小正周期.令，解出的范围即是函数的增区间.（II）令，解出的值即是对称中心的横坐标，由此得到对称中心的坐标.试题解析：解：．（Ⅰ）函数的最小正周期．由，，得，．∴函数的单调递增区间是，．（Ⅱ）由，，得，，∴函数的图象的对称中心的坐标是，．19．已知某海滨浴场的海浪高度（单位：米）是时间（单位：小时，）的函数，记作．如表是某日各时的浪高数据：（时）（米）（Ⅰ）在如图的网格中描出所给的点；（Ⅱ）观察图，从，，中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的解析式；（Ⅲ）依据规定，当海浪高度高于1.25米时才对冲浪爱好者开放，请依据（Ⅱ）的结论判断一天内的8:00到20:00之间有多长时间可供冲浪爱好者进行活动．【答案】（I）详见解析；（II），（III）小时.【解析】试题分析：（I）根据题目所给数据进行描点.（II）根据图象，应该选择，利用可求得的值，利用周期可求得的值，最后代入图像上一个最高点或最低点，求得的值.（III）由（II）令，解这个三角不等式可求得的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）（Ⅱ）根据图，应选择．不妨设，，由图可知，，，．∴，又当时，，∴，∴，∴，．∴，∴所求的解析式为．（Ⅲ）由，即，得，即，．又，∴．答：一天内的8:00到20:00之间有4个小时可供冲浪爱好者进行活动．20．已知，，，求的值．【答案】.【解析】试题分析：由于，故可以用诱导公式，将已知的表达式转化为.利用平方差公式，可将化简为.利用对数的运算公式，可将化简为.由此求得的值.试题解析：解：∵．．．∴．21．已知，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）依题意有，利用正切的二倍角公式可求得.（II）利用，求出，由此求得，利用求得，所以.试题解析：解：（Ⅰ）∵，，∴，即．∵，∴，∴，∴，∴．（Ⅱ）∵，∴，又∵，∴，∴，．又，∴．点睛：本题主要考查向量模的概念，考查正切函数的二倍角公式，考查三角恒等变形.第一步是利用向量的模的概念，求得，然后利用正切的二倍角公式求得的值.第二问主要通过划归与转化的思想方法，将进行转化，利用其正切值求得相应的弧度数.22．已知函数的值域为，函数，的值域为．（Ⅰ）求集合和集合；（Ⅱ）若对任意的实数，都存在，使得，求实数的取值范围．【答案】（I）详见解析；（II）.【解析】试题分析：（I）利用两角和与差的正弦、余弦公式，辅助角公式，化简.所以.对分成三类，利用配方法，分类讨论的取值.（II）由于，，根据题意，有.由（I）的讨论，列出不等式组，由此求得的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）．∴．．（1）若，则，；（2）若，则．∵，∴，当时，，①若，则，∴；②若，则，（i ）若，即，则；（ii ）若，即，则．综上，若，则；若，则；若，则；若，则．（Ⅱ）∵，∴的值域为，∴的值域．∴对任意的实数，都存在，使得，即，或或或第 11 页共 12 页或或或或或或或．∴所求的取值范围为．点睛：本题主要考查两角和与差的正弦、余弦公式，辅助角公式.考查恒成立问题的处理方法，考查三角函数的值域等知识，还考查了分类讨论的数学思想方法.第一问主要利用三角函数公式进行三角恒等变形，化为一个角且次数为一次的三角函数，由此求得值域.第二问需要对分类讨论，情况比较多，分类要做到不重不漏.第 12 页共 12 页。

福建师大附中2015-2016学年高一(上)期末数学试卷(解析版)

2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∩β，则α⊥β4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（）A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣15．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN 所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A．6πB．C．3πD．12π7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=18．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么的最小值为（）A．5 B．8 C．13 D．189．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．812．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为．15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是．16．若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点，则k的取值范围是．17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是．（写出所有正确答案的序号）三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求△ACD的面积．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．2015-2016学年福建师大附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．已知直线方程y﹣3=（x﹣4），则这条直线的倾斜角是（）A．150°B．120°C．60°D．30°【考点】直线的倾斜角．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由直线的斜率等于直线倾斜角的正切值求得答案．【解答】解：化直线方程y﹣3=（x﹣4）为，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan，∴α=60°．故选：C．2．在空间直角坐标系中，点P（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（1，3，﹣6） B．（﹣1，3，﹣6）C．（﹣1，﹣3，6）D．（1，﹣3，﹣6）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】由点P的坐标，利用点关于x轴对称的条件，建立相等关系，可得其对称点的坐标．【解答】解：设p（1，3，6）关于x轴对称的点的坐标为（x，y，z），则x=1，y=﹣3，z=﹣6，所以对称点的坐标为（1，﹣3，﹣6）．故选：C．3．已知α，β是平面，m，n是直线．下列命题中不正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β=n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∩β，则α⊥β【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】在A中，由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α；在B中，m与n平行或异面；在C中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β；在D中，由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β．【解答】解：∵在A中：若m∥n，m⊥α，则由直线与平面垂直的判定定理得n⊥α，故A 正确；在B中：若m∥α，α∩β=n，则m与n平行或异面，故B错误；在C中：若m⊥α，m⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故C正确；在D中：若m⊥α，m∩β，则由平面与平面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：B．4．已知l1：mx+y﹣2=0，l2：（m+1）x﹣2my+1=0，若l1⊥l2则m=（）A．m=0 B．m=1 C．m=0或m=1 D．m=0或m=﹣1【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】对m分类讨论，利用两条直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：y﹣2=0，x+1=0，此时两条直线相互垂直，∴m=0．当m≠0时，∵l1⊥l2，∴﹣m×=﹣1，解得m=1．综上可得：m=0，或m=1．故选：C．5．正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M与CN 所成角的大小为（）A．0°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】利用异面直线所成的角的定义，取A′A的中点为E，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE成的角．【解答】解：取A′A的中点为E，连接BE，则直线B′M与CN所成角就是直线B′M与BE 成的角，由题意得B′M⊥BE，故异面直线B′M与CN所成角的大小为90°，故选D．6．若长方体的一个顶点上三条棱长分别是1、1、2，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的体积是（）A．6πB．C．3πD．12π【考点】球的体积和表面积．【分析】长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径即可求出体积【解答】解：长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，设球的半径为r，所以2r==，所以这个球的体积积：=π故选：B．7．圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2=1 B．（x+4）2+（y+1）2=1 C．（x+2）2+（y+4）2=1 D．（x﹣2）2+（y+1）2=1【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【分析】求出圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标，可得要求的对称圆的方程．【解答】解：由于圆心（1，2）关于直线x﹣y﹣2=0对称的点的坐标为（4，﹣1），半径为1，故圆（x﹣1）2+（y﹣2）2=1关于直线x﹣y﹣2=0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2=1，故选：A．8．已知实数x，y满足（x+5）2+（y﹣12）2=25，那么的最小值为（）A．5 B．8 C．13 D．18【考点】圆的标准方程．【分析】由题意画出图形，利用的几何意义结合图象得答案．【解答】解：如图，圆（x+5）2+（y﹣12）2=25的圆心M（﹣5，12），|MO|=，的几何意义为圆（x+5）2+（y﹣12）2=25上的点到原点的距离，则最小值为|OM|﹣5=13﹣5=8．故选：B．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】直线与平面所成的角．【分析】由题意，由于图形中已经出现了两两垂直的三条直线所以可以利用空间向量的方法求解直线与平面所成的夹角．【解答】解：以D点为坐标原点，以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系（图略），则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），C1（0，2，1）∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，2，0），且为平面BB1D1D的一个法向量．∴cos＜，＞═=．∴BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为故答案为D．10．已知点A（﹣2，0），B（0，4），点P在圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=5上，则使∠APB=90°的点P的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】点与圆的位置关系．【分析】设P（x，y），要使∠APB=90°，只要求出P到AB中点的距离以及圆上的所有点到AB中点距离范围．【解答】解：设P（x，y），要使∠APB=90°，那么P到AB中点（﹣1，2）的距离为，而圆上的所有点到AB中点距离范围为[，]，即[，3]，所以使∠APB=90°的点P的个数只有一个，就是AB中点与圆心连线与圆的交点；故选B11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为64+80π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．8【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为半圆柱与半球的组合体．【解答】解：由俯视图可知几何体为半圆柱与半球的组合体，半圆柱与半球的半径均为r，半圆柱的高为2r，∴几何体的表面积为为+++πr×2r+2r×2r=5πr2+4r2=64+80π．解得r=4．故选：C．12．已知点P（a，b）（ab≠0）是圆O：x2+y2=r2内一点，直线m是以P为中点的弦所在的直线，若直线n的方程为ax+by=r2，则（）A．m∥n且n与圆O相离B．m∥n且n与圆O相交C．m与n重合且n与圆O相离D．m⊥n且n与圆O相离【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用直线m是以P为中点的弦所在的直线可求得其斜率，进而根据直线n的方程可判断出两直线平行；表示出点到直线n的距离，根据点P在圆内判断出a，b和r的关系，进而判断出圆心到直线n的距离大于半径，判断出二者的关系是相离．【解答】解：直线m是以P为中点的弦所在的直线∴直线m⊥PO，∴m的斜率为﹣，∵直线n的斜率为﹣∴n∥m圆心到直线n的距离为∵P在圆内，∴a2+b2＜r2，∴＞r∴直线n与圆相离故选A二、填空题：（本大题6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷上）13．不论k为何值，直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0恒过的一个定点是（2，3）．【考点】恒过定点的直线．【分析】把所给的直线分离参数，再令参数的系数等于零，即可求得定点的坐标．【解答】解：直线（2k﹣1）x﹣（k﹣2）y﹣（k+4）=0，即k（2x﹣y﹣1）+（﹣x+2y﹣4）=0，一定经过直线2x﹣y﹣1=0 和直线﹣x+2y﹣4=0的交点（2，3），故答案为：（2，3）．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，二面角C1﹣BD﹣C的正切值为．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，由此能求出二面角C1﹣BD﹣C的正切值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，则，CD=BC=CC1=a，取BD的中点O，连接OC1，OC，则∠COC1就是二面角C1﹣BD﹣C的平面角，∵CO==，∴tan∠COC1==．故答案为：．15．点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（x﹣2）2+（y+1）2=1．【考点】轨迹方程；圆的标准方程．【分析】设圆上任意一点为A，确定A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，即可得到结论．【解答】解：设圆上任意一点为A（x1，y1），AP中点为（x，y），则，∴代入x2+y2=4得（2x﹣4）2+（2y+2）2=4，化简得（x﹣2）2+（y+1）2=1．故答案为：（x﹣2）2+（y+1）2=116．若直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点，则k的取值范围是﹣1≤k＜1或k=．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】曲线y=表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线位于此两条直线之间时满足题意．当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，也满足条件．【解答】解：曲线y=表示一个半圆，如图所示．当直线过点A（﹣1，0）时，直线y=﹣x+k与半圆只有一个交点，此时k=﹣1；当直线过点B（1，0），C（0，1）时，直线y=﹣x+k与半圆有两个交点，此时k=1；当直线y=﹣x+k与半圆相切时只有一个公共点，k=．因此当﹣1≤k＜1时，或k=，直线x+y=k与曲线y=恰有一个公共点．故答案为﹣1≤k＜1，或k=．17．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC 的中心，则AB1与底面ABC所成角的正弦值等于．【考点】直线与平面所成的角．【分析】先求出点A1到底面的距离A1D的长度，即知点B1到底面的距离B1E的长度，再求出AB1的长度，在直角三角形AEB1中，即可求得结论．【解答】解：由题意不妨令棱长为2，如图，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心，故DA=，由勾股定理得A1D==过B1作B1E⊥平面ABC，则∠B1AE为AB1与底面ABC所成角，且B1E=，如图作A1S⊥AB于中点S，∴A1S=，∴AB1==∴AB1与底面ABC所成角的正弦值sin∠B1AE==．故答案为：18．若直线m被两平行线l1：x+y=0与l2：x+y+=0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°②45°③60°④105°⑤120°⑥165°其中正确答案的序号是④或⑥．（写出所有正确答案的序号）【考点】直线的倾斜角；直线的一般式方程与直线的平行关系．【分析】由两平行线间的距离=，得直线m和两平行线的夹角为30°．再根据两条平行线的倾斜角为135°，可得直线m的倾斜角的值．【解答】解：由两平行线间的距离为=，直线m被平行线截得线段的长为2，可得直线m和两平行线的夹角为30°．由于两条平行线的倾斜角为135°，故直线m的倾斜角为105°或165°，故答案为：④或⑥．三、解答题：（本大题共5题，满分60分）19．已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3）．（1）求平行四边形ABCD的顶点D的坐标（2）在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程；（3）求△ACD的面积．【考点】待定系数法求直线方程；点到直线的距离公式．【分析】（1）设AC的中点为M，则由M为AC的中点求得M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，求得D的坐标．（2）求得直线CD的斜率K CD，可得CD边上的高线所在直线的斜率为，从而在△ACD 中，求得CD边上的高线所在直线的方程0．（3）求得，用两点式求得直线CD的方程，利用点到直线的距离公式求得点A到直线CD的距离，可得△ACD的面积．【解答】解：（1）由于平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A（﹣1，4），B（﹣2，﹣1），C（2，3），设AC的中点为M，则M（，），设点D坐标为（x，y），由已知得M为线段BD中点，有，解得，所以，D（3，8）．（2）∵直线CD的斜率K CD==5，所以CD边上的高线所在直线的斜率为，故△ACD中，CD边上的高线所在直线的方程为，即为x+5y﹣19=0．（3）∵C（2，3），D（3，8），∴，由C，D两点得直线CD的方程为：5x﹣y﹣7=0，∴点A到直线CD的距离为=，∴．20．如图在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=AD，设E、F分别为PC、BD的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）求证：面PAB⊥平面PDC；（Ⅲ）求二面角B﹣PD﹣C的正切值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）利用线面平行的判定定理：连接AC，只需证明EF∥PA，利用中位线定理即可得证；（Ⅱ）利用面面垂直的判定定理：只需证明PA⊥面PDC，进而转化为证明PA⊥PD，PA⊥DC，易证三角形PAD为等腰直角三角形，可得PA⊥PD；由面PAD⊥面ABCD的性质及正方形ABCD的性质可证CD⊥面PAD，得CD⊥PA；（Ⅲ）设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）可证PD⊥平面EFM，则∠EMF是二面角B﹣PD﹣C的平面角，通过解Rt△FEM可得所求二面角的正切值；【解答】（Ⅰ）证明：ABCD为平行四边形，连结AC∩BD=F，F为AC中点，E为PC中点，∴在△CPA中EF∥PA，且PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，∴EF∥平面PAD；（Ⅱ）证明：因为面PAD⊥面ABCD，平面PAD∩面ABCD=AD，ABCD为正方形，∴CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA，又，所以△PAD是等腰直角三角形，且，即PA⊥PD，CD∩PD=D，且CD、PD⊂面ABCD，PA⊥面PDC，又PA⊂面PAB，∴面PAB⊥面PDC；（Ⅲ）解：设PD的中点为M，连结EM，MF，则EM⊥PD，由（Ⅱ）知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF，∠EMF是二面角B﹣PD﹣C 的平面角，Rt△FEM中，，，，故所求二面角的正切值为；21．一艘船在航行过程中发现前方的河道上有一座圆拱桥．在正常水位时，拱桥最高点距水面8m，拱桥内水面宽32m，船只在水面以上部分高6.5m，船顶部宽8m，故通行无阻，如图所示．（1）建立适当的平面直角坐标系，求正常水位时圆弧所在的圆的方程；（2）近日水位暴涨了2m，船已经不能通过桥洞了．船员必须加重船载，降低船身在水面以上的高度，试问：船身至少降低多少米才能通过桥洞？（精确到0.1m，）【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系建立坐标系，利用|CD|=|CB|，确定圆的方程；（2）令x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少．【解答】解：（1）在正常水位时，设水面与桥横截面的交线为x轴，过拱桥最高点且与水面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则A，B，D三点的坐标分别为（﹣16，0），（16，0），（0，8）．又圆心C在y轴上，故可设C（0，b）．…因为|CD|=|CB|，所以，解得b=﹣12．…所以圆拱所在圆的方程为：x2+（y+12）2=（8+12）2=202=400…（2）当x=4时，求得y≈7.6，即桥拱宽为8m的地方距正常水位时的水面约7.60m，…距涨水后的水面约5.6m，因为船高6.5m，顶宽8m，所以船身至少降低6.5﹣5.6=0.9（m）以上，船才能顺利通过桥洞．…22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°（Ⅰ）证明：AB⊥A1C；（Ⅱ）若AB=CB=2，A1C=，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．【考点】直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】（Ⅰ）由题目给出的边的关系，可想到去AB中点O，连结OC，OA1，可通过证明AB⊥平面OA1C得要证的结论；（Ⅱ）在三角形OCA1中，由勾股定理得到OA1⊥OC，再根据OA1⊥AB，得到OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高，利用已知给出的边的长度，直接利用棱柱体积公式求体积．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B．因为CA=CB，所以OC⊥AB．由于AB=AA1，，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB．因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C．又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以．又，则，故OA1⊥OC．因为OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高．又△ABC的面积，故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．23．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用．【分析】（1）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，求出k，即可求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，根据⊙C1和⊙C2的半径，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2，可得⊙C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离2倍，故我们可以得到一个关于直线斜率k的方程，即可以求所有满足条件的点P的坐标．【解答】解：（1）若切线的斜率存在，可设切线的方程为y﹣6=k（x﹣4），则圆心C1到切线的距离，解得，所以切线的方程为：5x﹣12y+52=0；若切线的斜率不存在，则切线方程为x=4，符合题意．综上所述，过P点的圆C1的切线方程为5x﹣12y+52=0或x=4．…（2）设点P（a，b）满足条件，不妨设直线l1的方程为：y﹣b=k（x﹣a）（k≠0），即kx﹣y+b﹣ak=0（k≠0），则直线l2的方程为：，即x+ky﹣bk﹣a=0．因为圆C1的半径是圆C2的半径的2倍，及直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍，所以圆C1的圆心到直线l1的距离是圆C2的圆心到直线l2的距离的2倍，即…整理得|ak﹣b|=|2a﹣14+（2b﹣8）k|从而ak﹣b=2a﹣14+（2b﹣8）k或b﹣ak=2a﹣14+（2b﹣8）k，即（a﹣2b+8）k=2a+b﹣14或（a+2b﹣8）k=﹣2a+b+14，因为k的取值有无穷多个，所以或，…解得或，这样点P只可能是点P1（4，6）或点．经检验点P1和点P2满足题目条件．…2016年7月31日。

福建省漳州市淑华中学高一化学上学期期末试卷含解析

福建省漳州市淑华中学高一化学上学期期末试卷含解析一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。

）1. 下列反应适用于实验室制氢气的是( )A．锌与稀硫酸反应 B．甲烷热分解 C．电解水 D．赤热的炭与水蒸气反应参考答案：A略2. 在下图所表示的微粒中，氧化性最强的是参考答案：B3. 向50 mL 18 mol/L的H2SO4溶液中加入适量的锌粉并加热。

充分反应后，被还原的H2SO4,的物质的量为A．小于O.45mol B．等于0.45 molC．在O.45～0.90 mol之间 D．等于O.90 mol参考答案：C4. 下列各组顺序的排列不正确的是（）A．酸性强弱：H2CO3＜H2SO4＜HClO4 B．碱性强弱：NaOH＞Mg(OH)2＞Al(OH)3C．热稳定性：HF＞HCl＞H2S D．离子半径：Na＋＞Mg2＋＞F－参考答案：D略5. 下列变化属于物理变化的是A．裂化 B．分馏C．干馏 D．变性参考答案：B略6. 下列变化可以直接通过取代反应来实现的是（）A. CH3CH2OH→CH3CHOB. CH2 == CH2→CH3– CH2BrC. D.CH3COOH→(CH3COO)2Ca参考答案：C7. 铊是超导材料的组成元素之一，铊在元素周期表中位于第6周期，与铝是同主族元素，元素符号是Tl。

下列对铊单质及其化合物的性质推断中，错误的是（）A.铊是易导电的银白色金属B.铊能生成＋3价的阳离子C.氢氧化铊是两性氢氧化物D. T13+的得电子能力比A13+弱参考答案：C略8. 下列说法正确的是A. 二氧化硅用于制太阳能电池板B. 淀粉、纤维素都是高分子化合物,水解的最终产物相同C. 氨基酸与蛋白质遇到重金属盐均变性D. 尼龙绳、羊绒衫和棉衬衣等生活用品都是由合成纤维制造的参考答案：B分析： A.晶体硅用于制太阳能电池板；B. 淀粉和纤维素都属于天然的高分子化合物，水解的最终产物都是葡萄糖；C. 蛋白质遇重金属盐发生变性而不是氨基酸；D.羊绒衫的成分为蛋白质，棉衬衣的成分为纤维素，只有尼龙绳为合成纤维。

易错汇总2016-2017年福建省漳州一中高一上学期期末数学试卷和答案

【解答】解：根据题意， =（ x，1），
，
若
，则有 x2﹣4=0，
解可得： x=±2；故选： D．
2．（5.00 分）下列图形中可以是某个函数的图象的是（
）
A．
B．
C．
D．【解答】解：由函数的概念， A、B、C 中有的 x，存在两个 y 与 x 对应，不符合函数的定义，而 D 符合．故选： D．
18．（ 12.00 分）已知函数
．
（Ⅰ）求函数 f （x）的最小正周期和递增区间；
（Ⅱ）求函数 f （x）的图象的对称中心的坐标．
∴﹣ 1＜x＜1，
∴ f（x）的定义域为（﹣ 1，1）．由 f（ x）=ln（1+x）﹣ ln（1﹣x）=0，得 ln（ 1+x）=ln（1﹣x）， ∴ 1+x=1﹣x＞0，解得 x=0，∴ f （x）的零点为 x=0．（Ⅱ）结合（ I）的结论可得函数的定义域关于坐标原点对称，且对任意的实数 x∈（﹣ 1，1），都有 f （﹣ x）=ln（1﹣x）﹣ ln（ 1+x） =﹣ f（x）， ∴ f（x）是奇函数．
2．（5.00 分）下列图形中可以是某个函数的图象的是（
）
A．
B．
C．
D． 3．（ 5.00 分）函数 f（ x）=loga（ x+2）+1（ a＞ 0 且 a≠1）的图象经过的定点是（）
A．（﹣ 2，1） B．（﹣ 1，1） C．（1，0） D．（1，2）
4．（5.00 分）函数
的图象的一条对称轴方程是（
4．（5.00 分）函数
的图象的一条对称轴方程是（
）
A．x=0 B．
C．
D．
【解答】解：函数

2015学年福建省漳州市高一下学期期末数学试卷及参考答案

2014-2015学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，请将正确答案选项写在答题卷上。

1．（5分）已知A（2，0），B（3，3），直线l∥AB，则直线l的斜率为（）A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．（5分）已知a+b＞0，b＜0，那么a，b，﹣a，﹣b的大小关系是（）A．a＞b＞﹣b＞﹣a B．a＞﹣b＞﹣a＞b C．a＞﹣b＞b＞﹣a D．a＞b＞﹣a＞﹣b 3．（5分）如图，长方体ABCO﹣A1B1C1O1中，|OA|=4，|OC|=6，|OO1|=2，BC1与B1C相交于点P，则点P的坐标是（）A．（6，2，1）B．（1，2，6）C．（4，6，2）D．（2，6，1）4．（5分）过点（﹣1，2）且与直线2x﹣3y+4=0垂直的直线方程为（）A．3x+2y﹣1=0 B．3x+2y+7=0 C．2x﹣3y+5=0 D．2x﹣3y+8=05．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC中点，则异面直线EF与AB1所成角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）数列{a n}中，a1=1，a n+1=，则a4等于（）A．B．C．1 D．7．（5分）当x＞0时，若不等式x2+ax+1≥0恒成立，则a的最小值为（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣1 D．8．（5分）一个空间几何体的正视图、左视图、俯视图为全等的、直角边为1的等腰直角三角形（如图），那么这个几何体的体积为（）A．1 B．C．D．9．（5分）若直线=0与圆x2+y2﹣2y=0相切，则实数m等于（）A．﹣1或3 B．﹣3或3 C．1或﹣1 D．3或110．（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A．若m⊥n，n∥α，则m⊥αB．若m∥β，β⊥α，则m⊥αC．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α11．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．112．（5分）设点M（1，y0），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则y0的取值范围是（）A．[﹣1，1]B．[﹣]C．[﹣]D．[﹣]二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题

福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题试卷说明：福建师大附中2015-2016学年高（上）期末数学试卷一、选择题：（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1．（5分）下列条件中，能使α∥β的条件是（）A．平面α内有无数条直线平行于平面βB．平面α与平面β同平行于一条直线C．平面α内有两条直线平行于平面βD．平面α内有两条相交直线平行于平面β考点：平面与平面之间的位置关系．.专题：规律型．分析：直接利用平面与平面平行的判定定理以及平面与平面平行的定义，判断选项即可．解答：解：对于A，如果直线都是平行线，平面α不平行于平面β，所以A不正确；对于B，平面α与平面β同平行于一条直线，这条直线平行与两个平面的交线，两个平面也不平行，B不正确；对于C，平面α内有两条直线平行于平面β，不满足直线与平面平行的判定定理，所以C不正确；对于D，平面α内有两条相交直线平行于平面β，这是两个平面平行的判定定理，所以正确．故选D．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理与定义的应用，基本知识的考查．2．（5分）直线x+y+1=0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（）A．135°，1B．45°，?1C．45°，1D．135°，?1考点：直线的截距式方程；直线的倾斜角．.专题：计算题．分析：先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角；在直线方程中，令x=0，能得到它在 y 轴上的截距．解答：解：∵直线x+y+1=0的斜率为?1，所以它的倾斜角为135°，在x+y+1=0中，由x=0，得y=?1，∴x+y+1=0在 y 轴上的截距为?1．故选D．点评：本题考查直线的倾斜角的求法和求直线的截距，解题时要注意公式的合理运用．3．（5分）三个平面把空间分成7部分时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1条或2条考点：平面的基本性质及推论．.分析：画出把空间分成7部分时的三个平面，如图产，可知它们的交线情况，从而解决问题．解答：解：根据题意，三个平面把空间分成7部分，此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线．故选C．点评：本题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题．4．（5分）已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0互相平行，则a的值是（）A．1B．?3C．1或?3D．0考点：直线的一般式方程与直线的平行关系．.专题：计算题；直线与圆．分析：利用两条直线平行，斜率相等，建立等式即可求a的值．解答：解：因为直线l1：ax?y+a=0，的斜率存在，斜率为a，要使两条直线平行，必有l2：（2a?3）x+ay?a=0的斜率为a，即=a，解得 a=?3或a=1，当a=1时，已知直线l1：ax?y+a=0，l2：（2a?3）x+ay?a=0，两直线重合，当a=?3时，已知直线l1：?3x+y?3=0与直线l2：?3x?y=1，两直线平行，则实数a的值为?3．故选B．点评：本题考查两条直线平行的判定，是基础题．本题先用斜率相等求出参数的值，再代入验证，是解本题的常用方法5．（5分）（2009?浙江）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）A．若l⊥α，α⊥β，则l?βB．若l∥α，α∥β，则l?βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β考点：空间中直线与平面之间的位置关系．.分析：本题考查的知识点是直线与平面之间的位置关系，逐一分析四个答案中的结论，发现A，B，D中由条件均可能得到l∥β，即A，B，D三个答案均错误，只有C满足平面平行的性质，分析后不难得出答案．解答：解：若l ⊥α，α⊥β，则l?β或l∥β，故A错误；若l∥α，α∥β，则l?β或l∥β，故B错误；若l⊥α，α∥β，由平面平行的性质，我们可得l⊥β，故C正确；若l∥α，α⊥β，则l⊥β或l∥β，故D错误；故选C点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a ∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．6．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y=15上，则的最小值为（）A．2B．3C．D．5考点：基本不等式．.专题：计算题．分析：由题意可得，3a+4b=15，而a2+b2==，根据二次函数的性质可求解答：解：由题意可得，3a+4b=15∵a2+b2==根据二次函数的性质可得，当b=时有最小值9则的最小值为3故选B点评：本题主要考查了最值的求解，解题的关键是根据已知关系把所求的式子转化为二次函数的最值求解7．（5分）一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（）A．2B．C．2D．4考点：平面图形的直观图．.专题：计算题；作图题．分析：根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．解答：解：如图，有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．故应选D．点评：本题考查斜二测画法作图规则，属于规则逆用的题型．8．（5分）若P（2，?1）为圆（x?1）2+y2=25的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A．x?y?3=0B．2x+y?3=0C．x+y?1=0D．2x?y?5=0考点：直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质．.专题：计算题．分析：由圆心为O（1，0），由点P为弦的中点，则该点与圆心的连线垂直于直线AB求解其斜率，再由点斜式求得其方程．解答：解：已知圆心为O（1，0）根据题意：Kop=kABkOP=?1kAB=1∴直线AB的方程是x?y?3=0故选A点评：本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了弦的中点与圆心的连线与弦所在的直线垂直．9．（5分）长方体的三个相邻面的面积分别是2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积为（）A．B．56πC．14πD．16π考点：球的体积和表面积．.专题：计算题．分析：根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．解答：解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是圆的直径，因为长方体的体对角线的长是：球的半径是：这个球的表面积：4 =14π故选C．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线，考查计算能力，空间想象能力，此题属于基础题．10．（5分）（2009?宁夏）已知圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x?y?1=0对称，则圆C2的方程为（）A．（x+2）2+（y?2）2=1B．（x?2）2+（y+2）2=1C．（x+2）2+（y+2）2=1D．（x?2）2+（y?2）2=1考点：关于点、直线对称的圆的方程．.专题：计算题．分析：求出圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标，关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标求出，即可得到圆C2的方程．解答：解：圆C1：（x+1）2+（y?1）2=1的圆心坐标（?1，1），关于直线x?y?1=0对称的圆心坐标为（2，?2）所求的圆C2的方程为：（x?2）2+（y+2）2=1故选B点评：本题是基础题，考查点关于直线对称的圆的方程的求法，考查计算能力，注意对称点的坐标的求法是本题的关键．11．（5分）M（x0，y0）为圆x2+y2=a2（a＞0）内异于圆心的一点，则直线x0x+y0y=a2与该圆的位置关系为（）A．相切B．相交C．相离D．相切或相交考点：直线与圆的位置关系．.专题：计算题．分析：由圆的方程找出圆心坐标与半径，因为M为圆内一点，所以M到圆心的距离小于圆的半径，利用两点间的距离公式表示出一个不等式，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，根据求出的不等式即可得到d大于半径r，得到直线与圆的位置关系是相离．解答：解：由圆的方程得到圆心坐标为（0，0），半径r=a，由M为圆内一点得到：＜a，则圆心到已知直线的距离d=＞=a=r，所以直线与圆的位置关系为：相离．故选C点评：此题考查小时掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，灵活运用两点间的距离公式及点到直线的距离公式化简求值，是一道综合题．12．（5分）如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E、F，且EF=，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥BEB．EF ∥平面ABCD C．三棱锥A?BEF的体积为定值D．△AEF的面积与△BEF的面积相等考点：棱柱的结构特征．.专题：计算题．分析：A．AC⊥BE，可由线面垂直证两线垂直；B．EF∥平面ABCD，可由线面平行的定义证线面平行；C．三棱锥A?BEF 的体积为定值，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；D．由图形可以看出，B到线段EF的距离与A到EF 的距离不相等，故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确．福建师大附中2015-2016学年高一上学期期末考试数学试题。

漳州市2015-2016学年高一上学期期末数学试卷含解析

2015-2016学年福建省漳州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．下列函数中哪个与函数y=x相等（）A．y=（）2B．y=C．y=D．y=2．设a=20.3，b=0.32，c=log20.3，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜c＜a3．化简=（）A．cosαB．﹣sinαC．﹣cosαD．sinα4．在△ABC中，=，=,若点D满足=2，则=(）A．+B．﹣C．﹣D．+5．已知区间D⊆[0,2π]，函数y=cosx在区间D上是增函数,函数y=sinx在区间D上是减函数，那么区间D可以是（)A．［0，]B．[，π]C．［π,］ D．［，2π]6．已知单位向量、满足⊥，则函数f（x）=（x+）2 （x∈R)（）A．既不是奇函数也不是偶函数 B．既是奇函数又是偶函数C．是偶函数 D．是奇函数7．设f（x）是定义域为R，最小正周期为的函数,若，则等于（）A．B．1 C．0 D．8．方程e x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间（k，k+1）(k∈N），则k的值为（）A．0 B．1 C．2 D．39．函数f(x）=x2ln｜x|的图象大致是（）A．B．C．D．10．如图所示为f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜）的部分图象,P，Q分别为f(x）图象的最高点和最低点,点P坐标为（2，A）,PR⊥x轴于R，若∠PRQ=．则A及φ的值分别是(）A．，B．,C．2， D．2，11．若函数与函数y=sin2x+acos2x的图象的对称轴相同,则实数a的值为(）A．B．C．D．12．某同学对函数f（x）=xsinx进行研究后，得出以下结论：①函数y=f（x)的图象是轴对称图形;②对任意实数x，｜f（x）｜≤｜x｜均成立；③函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点的距离相等；③当常数k满足|k|＞1时，函数y=(x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点．其中正确结论的序号是：（)A．①②B．①④C．①②③ D．①②④二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．函数y=f（x）的图象如图（含曲线端点），记f（x）的定义域为A，值域为B，则A∩B=．14．已知函数f（x）=2sin（+2），如果存在实数x1，x2使得对任意的实数，都有f（x1）≤f （x2）,则|x1﹣x2｜的最小值是．15．已知非零向量,满足|｜=|｜=｜﹣｜，则向量，夹角的余弦值为．16．2002年8月，在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，大正方形的面积是1,小正方形的面积是,则sin2θ﹣cos2θ的值等于．三、解答题：（本大题共6小题，共70分。

2015-2016学年高一第一学期期末考试数学试题 Word版含答案

2015-2016学年高一第一学期期末考试数学试题 Word版含答案2014-2015学年度高一第一学期期末考试数学试题一、选择题（每小题4分，共40分）1.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={0,3,6,9,12}，则A∩(N-B)=（）A.{1,5,7}B.{3,5,7}C.{1,3,9}D.{1,2,3}2.在△ABC中，AN=12NC，P是BN上的一点，若AP=mAB+AC，则实数m的值为()A.1/3B.1/2C.2/3D.3/23.已知f(x)=log2x,x>1x+1,x≤1若f(x)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（）A.[0,2]B.[1,2]C.[-1,0]D.[-1,2]4.已知函数y=sin(ωx+φ)，ω>0,φ<π/2的部分图象如图所示，则（）图略A.ω=1，φ=π/6B.ω=2，φ=-π/6C.ω=1，φ=-π/6D.ω=2，φ=π/65.如果函数f(x)上存在两个不同点A、B关于原点对称，则称A、B两点为一对友好点，记作A,B。

规定A,B和B,A是同一对，已知f(x)=cosx,x≥0lgx,x<0则函数f(x)上共存在友好点（）A.1对B.3对C.5对D.7对6.已知方程sin2x+cosx+k=0有解，则实数k的取值范围为（）A.-1≤k≤5/4B.-5/4≤k≤1C.-1≤k≤1D.-5/4≤k≤-1二、填空题11.已知O为坐标原点，点A(2,0),B(0,2),C(cosα,sinα)，且π/2<α<π。

若|OA+OC|=7，则OB与OC的夹角为______。

12.已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边落在第三象限,与圆心在原点的单位圆交于点P(cosα,-sinα)，则tanα=________。

13.已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间(0,a/2)上恒有f(x)>1，则实数a的取值范围是________。

福建省漳州市高一数学下学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．135°2．在x轴上与点（3，2，1）的距离为3的点是（）A．（﹣1，0，0） B．（5，0，0）C．（1，0，0）D．（5，0，0）和（1，0，0）3．如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（）A．ac＜bc B．a﹣b＞0 C．a2＞b2D．＜4．已知等差数列{a n}中，a1+a9=16，a4=1，则a6的值是（）A．64 B．31 C．30 D．155．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的位置关系为（）A．外切 B．相交 C．内切 D．相离6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为CD和A1D1的中点，那么异面直线AM与BN 所成的角是（）A．90° B．60° C．45° D．30°7．实数x，y满足的约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．8．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，以下命题正确的是（）A．若l∥α，α∥β，则l∥βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l⊥α，α⊥β，则l∥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β9．等差数列{a n}中，a1＜0，S9=S12，若S n有最小值，则n=（）A．10 B．10或11 C．11 D．9或1010．如图，网络纸上正方形的边长为l，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（）A．12π B．34π C．D．17π11．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m﹣3，m+3），则实数c的值为（）A．3 B．6 C．9 D．1212．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．不等式的解集是．14．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．15．如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一个生命迹象，这是它向右转135°可回到出发点，那么x= （单位：m）．16．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d ＞0；②S4029＞0；③S4030＜0；④数列{S n}中的最大项为S2015；⑤|a2015|＞|a2016|．其中正确结论的序号是．（写出所有正结论的序号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．已知直线l经过点（1，﹣2），且与直线m：4x﹣3y+1=0平行；（1）求直线l的方程；（2）求直线l被圆x2+y2=9所截得的弦长．18．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）求cosA及a的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，满足：a1=b1=1，a5=b3，且S3=9．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求++…+的值．20．随着我市九龙江南岸江滨路建设的持续推进，未来市民将新增又一休闲好去处，据悉南江滨路建设工程规划配套建造一个长方形公园ABCD，如图所示，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽度分别为4m和10m．（1）若休闲区的长A1B1=x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？21．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，AB=2AF=2，∠CBA=60°．（1）求证：AN⊥DM；（2）求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；（3）求三棱锥D﹣MAN的体积．22．设平面直角坐标系xOy中，曲线G：y=+x﹣a2（x∈R），a为常数．（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）若a=0，已知点M（0，3），在y轴上存在定点N（异于点M）满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．2015-2016学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．135°【考点】直线的倾斜角．【分析】化方程为斜截式，易得斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的方程可化为y=x﹣1，可得直线的斜率为1，故tanθ=1，（θ为直线的倾斜角），又0°≤θ＜180°，故可得θ=45°故选B2．在x轴上与点（3，2，1）的距离为3的点是（）A．（﹣1，0，0） B．（5，0，0）C．（1，0，0）D．（5，0，0）和（1，0，0）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】设点的坐标为（x，0，0），利用两点间的距离公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设点的坐标为（x，0，0），则=3，∴x=1或5，∴在x轴上与点（3，2，1）的距离为3的点是（5，0，0）和（1，0，0）．故选：D．3．如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（）A．ac＜bc B．a﹣b＞0 C．a2＞b2D．＜【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的关系进行判断即可．【解答】解：A．当c=0时，不等式ac＜bc不成立，B．∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，故B错误，C．∵a＜b＜0，∴a2＞b2成立，D..∵a＜b＜0，∴＞，不成立，故选：C4．已知等差数列{a n}中，a1+a9=16，a4=1，则a6的值是（）A．64 B．31 C．30 D．15【考点】等差数列的通项公式．【分析】由待等差数列的通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出该数列的第6项．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a9=16，a4=1，∴，解得a1=﹣20，d=7，∴a6=﹣20+5×7=15．故选：D．5．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的位置关系为（）A．外切 B．相交 C．内切 D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心M（2，3），半径 R=3．∴|CM|==5=R+r=3+2=5．∴两圆外切．故选：A．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为CD和A1D1的中点，那么异面直线AM与BN 所成的角是（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取C1D1的中点P，取PD1的中点Q，连接BQ，NQ，易证得NQ∥AM，，∠BNQ即为异面直线AM与BN 所成的角，根据在△BNQ中，易求出∠ADQ为直角．【解答】解：取C1D1的中点P，取PD1的中点Q，连接BQ，NQ根据正方体的结构特征可得AM∥A1P，且NQ∥A1P，故NQ∥AM，则∠BNQ即为异面直线AM与BN 所成的角，∵在△BC1Q中，BQ==∴在△BNQ中，NQ=，BN=，∴BN2+NQ2=BQ2∴∠BNQ=90°故答案为90°．故选A．7．实数x，y满足的约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（﹣1，﹣1），此时z=﹣1×2﹣1=﹣3，故选：B8．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，以下命题正确的是（）A．若l∥α，α∥β，则l∥βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l⊥α，α⊥β，则l∥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l∥β或l⊂β；在B中，由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β；在C 中，l∥β或l⊂β；在D中，l与β相交、平行或l⊂β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，知：在A中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故A错误；在B中，若l⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故C错误；在D中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．9．等差数列{a n}中，a1＜0，S9=S12，若S n有最小值，则n=（）A．10 B．10或11 C．11 D．9或10【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a1=﹣10d，由此求出S n=n2﹣，利用配方法能求出S n有最小值时，n的值的求法．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1＜0，S9=S12，∴9a=12a1+，解得a1=﹣10d，∴S n=na1+=n2﹣=﹣．∵S n有最小值，∴n=10或n=11．故选：B．10．如图，网络纸上正方形的边长为l，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（）A．12π B．34π C．D．17π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，底面为直角三角形，直角边长分别为2，2，高为3．该三棱锥所在的长方体的对角线的长度即为其外接球的直径．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，底面为直角三角形，直角边长分别为2，2，高为3．∴该三棱锥所在的长方体的对角线的长度==．即为其外接球的直径．∴该几何体的外接球表面积S=4π×=17π，故选；D．11．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m﹣3，m+3），则实数c的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m﹣3，m+3，最后利用根与系数的关系建立方程，解之即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=，不等式f（x）＜c的解集为（m﹣3，m+3），即为x2+ax+＜c解集为（m﹣3，m+3），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m﹣3，m+3，∴m﹣3+m+3=2m=﹣a，即m=﹣a，（m﹣3）•（m+3）=m2﹣9=﹣c，即为﹣9=﹣c，解得c=9．故选：C．12．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．不等式的解集是（﹣3，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】由不等式可得（x+3）（x﹣1）＜0，解此一元二次不等式，求得原不等式的解集．【解答】解：由不等式可得（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，故答案为（﹣3，1）．14．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．【考点】平面图形的直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．15．如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一个生命迹象，这是它向右转135°可回到出发点，那么x= （单位：m）．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意设AB=x，得到各角的值，再由正弦定理可确定答案．【解答】解：由题意设AB=x可知∠ABC=180°﹣105°=75°，∠ACB=180°﹣135°=45°，∠A=60°，根据正弦定理可得：，即，∴x=．故答案为：．16．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d ＞0；②S4029＞0；③S4030＜0；④数列{S n}中的最大项为S2015；⑤|a2015|＞|a2016|．其中正确结论的序号是②④⑤．（写出所有正结论的序号）【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由题意得到等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，然后由等差数列的求和公式和性质，逐个选项验证可得正确答案．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①错误，④正确；再由S2016＞S2014，可得S2016﹣S2014=a2015+a2016＞0，∴a2015＞﹣a2016，即⑤|a2015|＞|a2016|，故⑤正确；S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030=（a1+a4030）=2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故答案为：②④⑤．三、解答题（共6小题，满分74分）17．已知直线l经过点（1，﹣2），且与直线m：4x﹣3y+1=0平行；（1）求直线l的方程；（2）求直线l被圆x2+y2=9所截得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据l∥m，设l的方程为4x﹣3y+c=0，把点（1，﹣2）代入求出c的值，可得l的直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，利用弦长公式求出直线l被圆C 截得的弦长．【解答】解：（1）由题意知l∥m，设l的方程为4x﹣3y+c=0，∵点（1，﹣2）在直线l上，∴4×1﹣3×（﹣2）+c=0，解得c=﹣10，∴直线l的方程为4x﹣3y﹣10=0；（2）设直线l与圆x2+y2=9相交与点A、B，则|AB|=2，其中r=3，且d为圆心（0，0）到直线l：4x﹣3y﹣10=0的距离，d==2，∴|AB|=2==．18．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）求cosA及a的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA•cosA=sinA，又0＜A ＜π，即可求得cosA的值，进而由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的△ABC中，利用正弦定理可求a．（2）利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴2cosA=1⇒cosA=．∵A∈（0，π），∴A=．∴由cosA=⇒sinA=，由于顶点在单位圆上的△ABC中，2R=2，利用正弦定理可得：．可得：a=2sinA=．…（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA⇒bc=b2+c2﹣a2=4﹣3=1．…∴S△ABC=bcsinA=•=．…19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，满足：a1=b1=1，a5=b3，且S3=9．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求++…+的值．【考点】数列的求和；正整数指数函数；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S3=9．可求得a2=3，d=a2﹣a1=2，根据等差数列通项公式即可求得a n，a5=b3，求得q2=9，数列{b n}的各项均为正数，即可求得q=3，根据等比数列通项公式即可求得b n；（2）首先求得S n+1=n2+n=n（n+1），=，采用“裂项法“求得=﹣，代入整理即可求得++…+的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列的公比为q，S3=a1+a2+a3=9．即a2=3，d=a2﹣a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，a5=b3=9，即q2=9，∵b n＞0，∴q=3，∴数列{b n}的通项公式b n=3n﹣1；（2）由等差数列前n项和公式S n==n2，S n+n=n2+n=n（n+1），∴==﹣，++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=．++…+=．20．随着我市九龙江南岸江滨路建设的持续推进，未来市民将新增又一休闲好去处，据悉南江滨路建设工程规划配套建造一个长方形公园ABCD，如图所示，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽度分别为4m和10m．（1）若休闲区的长A1B1=x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出B1C1=米进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知B1C1=米∴S=（x+20）（+8）=4160+8x+（x＞0）；（2）S=4160+8x+≥4160+2=5760当且仅当8x=，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米．21．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，AB=2AF=2，∠CBA=60°．（1）求证：AN⊥DM；（2）求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；（3）求三棱锥D﹣MAN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【分析】（1）连接AC，证明AN⊥AD，利用平面与平面垂直的性质证明AN⊥平面ADEF，即可证明AN⊥DM；（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，可得∠NMA为直线MN与平面ADEF所成的角，求出AN，AM，即可求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；（3）利用三棱锥D﹣MAN的体积=三棱锥N﹣MAD的体积，即可求三棱锥D﹣MAN的体积．【解答】证明：（1）连接AC，在菱形ABCD中，∵∠CBA=60°且AB=BC，∴△ABC为等边三角形．∵N为BC的中点，∴AN⊥BC，又∵BC∥AD，∴AN⊥AD，∵平面ABCD⊥平面ADEF，AN⊂平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD∴AN⊥平面ADEF，∵DM⊂平面ADEF，∴AN⊥DM；解：（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，∴∠NMA为直线MN与平面ADEF所成的角，∵四边形ADEF为矩形，AD=2AF=2，M是EF的中点，∴AF=FM=1，∴△AMF为等腰直角三角形，∴AM=，∵△ABC为边长为2的等边三角形且N是BC的中点，∴AN=，在Rt△NAM中，tan∠NMA==；（3）∵四边形ADEF为矩形，M是EF的中点，AB=2AF=2，∴ME=DE=1，且DM=AM=，∴AD2=AM2+DM2，∴∠AMD=90°，∴S△AMD==1．由（1）NA⊥平面ADEF，∴三棱锥D﹣MAN的体积=三棱锥N﹣MAD的体积==．22．设平面直角坐标系xOy中，曲线G：y=+x﹣a2（x∈R），a为常数．（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）若a=0，已知点M（0，3），在y轴上存在定点N（异于点M）满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．【考点】轨迹方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，利用待定系数法求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）由（1）可得C（﹣，），消去a，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2），由此求出点N（0，），对于圆C上任一点P，都有为一常数，再进行证明即可．【解答】解：（1）令x=0，得曲线与y轴的交点是（0，﹣a2），令y=0，则+x﹣a2=0，解得x=﹣2a或x=a，∴曲线与x轴的交点是（﹣2a，0），（a，0）．设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=a，E=a2﹣2，F=﹣2a2，∴圆的一般方程为x2+y2+ax+（a2﹣2）y﹣2a2=0；（2）由（1）可得C（﹣，）设C（x，y），则x=﹣，y=，消去a，得到y=1﹣2x2，∵a≠0，∴x≠0，∴圆心C所在曲线的轨迹方程为y=1﹣2x2（x≠0）；（3）若a=0，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=1，令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2）由题意设y轴上的点N（0，t）（t≠3），当P与圆C的交点为（0，2）时， =，当P与圆C的交点为（0，0）时， =，由题意， =，∴t=（t=3舍去）下面证明点N（0，），对于圆C上任一点P，都有为一常数设P（x，y），则x2+（y﹣1）2=1，∴==，∴=，∴在y轴上存在定点N（0，），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数．。

福建省漳州市高一上学期期末数学试卷

福建省漳州市高一上学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一上·中山月考) 已知，则三者的大小关系是（）A .B .C .D .3. （2分）“”是“方程表示圆”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分）过点P（3，0）有一条直线l，它加在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，则直线l方程为（）A . 6x﹣y﹣18=0B . 8x﹣y﹣24=0C . 5x﹣2y﹣15=0D . 8x﹣3y﹣24=05. （2分）如图为一个几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（）A . 4πB . 12πC . 12πD . 24π6. （2分）已知直线l：4x﹣3y﹣12=0与圆（x﹣2）2+（y﹣2）2=5交于A，B两点，且与x轴、y轴分别交于C，D两点，则（）A . 2|CD|=5|AB|B . 8|CD|=4|AB|C . 5|CD|=2|AB|D . 3|CD|=8|AB|7. （2分） (2017高三上·郫县期中) 设函数，若关于x的方程f2（x）﹣（a+2）f（x）+3=0恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高三上·辽宁期中) 函数f（x）= 的图象可能是（）A .B .C .D .9. （2分）对于直线m，n和平面α，β，使m⊥α成立的一个充分条件是（）A . m⊥n，n∥αB . m∥β，β⊥αC . m⊥β，n⊥β，n⊥αD . m⊥n，n⊥β，β⊥α10. （2分） (2016高一下·九江期中) 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A . 9B . 10C . 11D .11. （2分） (2016高二上·眉山期中) 圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0上的动点P到直线x+y=0的最小距离为（）A . 1B . 2 -1C .D . 212. （2分）若定义[-2012，2012]上的函数f(x)满足：对于任意有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2011且当x>0时有f(x)>2011，若f(x)的最大值、最小值分别为M，N，M+N等于（）A . 2011B . 2012C . 4022D . 4024二、填空题： (共4题；共5分)13. （1分） (2019高一上·翁牛特旗月考) 下列叙述正确的有________.①集合，，则；②若函数的定义域为，则实数；③函数，是奇函数；④函数在区间上是减函数14. （1分） (2015高一上·福建期末) 若圆C1：x2+y2=1与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0外切，则m=________15. （2分）已知函数f（x）=lg（﹣x2+4x+5），则该函数的单调递减区间为________；该函数在定义域内的最大值为________．16. （1分）(2017·鞍山模拟) 设点P在曲线y= ex上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|的最小值为________．三、解答题： (共6题；共60分)17. （10分） (2015高一下·嘉兴开学考) 已知集合A={x|a﹣1＜x＜a+1，x∈R}，B={x|1＜x＜5，x∈R}．（1）若a=1，求A∩B；（2）若A⊆A∩B，求a的取值范围．18. （10分）综合题。

福建省漳州市高一数学下学期期末试卷(含解析)

2015-2016学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．135°2．在x轴上与点（3，2，1）的距离为3的点是（）A．（﹣1，0，0） B．（5，0，0）C．（1，0，0）D．（5，0，0）和（1，0，0）3．如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（）A．ac＜bc B．a﹣b＞0 C．a2＞b2D．＜4．已知等差数列{a n}中，a1+a9=16，a4=1，则a6的值是（）A．64 B．31 C．30 D．155．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的位置关系为（）A．外切 B．相交 C．内切 D．相离6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为CD和A1D1的中点，那么异面直线AM与BN 所成的角是（）A．90° B．60° C．45° D．30°7．实数x，y满足的约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．8．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，以下命题正确的是（）A．若l∥α，α∥β，则l∥βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l⊥α，α⊥β，则l∥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β9．等差数列{a n}中，a1＜0，S9=S12，若S n有最小值，则n=（）A．10 B．10或11 C．11 D．9或1010．如图，网络纸上正方形的边长为l，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（）A．12π B．34π C．D．17π11．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m﹣3，m+3），则实数c的值为（）A．3 B．6 C．9 D．1212．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．不等式的解集是．14．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．15．如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一个生命迹象，这是它向右转135°可回到出发点，那么x= （单位：m）．16．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d ＞0；②S4029＞0；③S4030＜0；④数列{S n}中的最大项为S2015；⑤|a2015|＞|a2016|．其中正确结论的序号是．（写出所有正结论的序号）三、解答题（共6小题，满分74分）17．已知直线l经过点（1，﹣2），且与直线m：4x﹣3y+1=0平行；（1）求直线l的方程；（2）求直线l被圆x2+y2=9所截得的弦长．18．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）求cosA及a的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，满足：a1=b1=1，a5=b3，且S3=9．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求++…+的值．20．随着我市九龙江南岸江滨路建设的持续推进，未来市民将新增又一休闲好去处，据悉南江滨路建设工程规划配套建造一个长方形公园ABCD，如图所示，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽度分别为4m和10m．（1）若休闲区的长A1B1=x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？21．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，AB=2AF=2，∠CBA=60°．（1）求证：AN⊥DM；（2）求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；（3）求三棱锥D﹣MAN的体积．22．设平面直角坐标系xOy中，曲线G：y=+x﹣a2（x∈R），a为常数．（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）若a=0，已知点M（0，3），在y轴上存在定点N（异于点M）满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．2015-2016学年福建省漳州市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．直线x﹣y﹣1=0的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．135°【考点】直线的倾斜角．【分析】化方程为斜截式，易得斜率，由斜率和倾斜角的关系可得．【解答】解：直线x﹣y﹣1=0的方程可化为y=x﹣1，可得直线的斜率为1，故tanθ=1，（θ为直线的倾斜角），又0°≤θ＜180°，故可得θ=45°故选B2．在x轴上与点（3，2，1）的距离为3的点是（）A．（﹣1，0，0） B．（5，0，0）C．（1，0，0）D．（5，0，0）和（1，0，0）【考点】空间两点间的距离公式．【分析】设点的坐标为（x，0，0），利用两点间的距离公式，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设点的坐标为（x，0，0），则=3，∴x=1或5，∴在x轴上与点（3，2，1）的距离为3的点是（5，0，0）和（1，0，0）．故选：D．3．如果a＜b＜0，那么下面一定成立的是（）A．ac＜bc B．a﹣b＞0 C．a2＞b2D．＜【考点】不等式的基本性质．【分析】根据不等式的关系进行判断即可．【解答】解：A．当c=0时，不等式ac＜bc不成立，B．∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，故B错误，C．∵a＜b＜0，∴a2＞b2成立，D..∵a＜b＜0，∴＞，不成立，故选：C4．已知等差数列{a n}中，a1+a9=16，a4=1，则a6的值是（）A．64 B．31 C．30 D．15【考点】等差数列的通项公式．【分析】由待等差数列的通项公式列出方程组，求出首项与公差，由此能求出该数列的第6项．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1+a9=16，a4=1，∴，解得a1=﹣20，d=7，∴a6=﹣20+5×7=15．故选：D．5．圆（x+2）2+y2=4与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的位置关系为（）A．外切 B．相交 C．内切 D．相离【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】由两圆的方程可得圆心坐标及其半径，判断圆心距与两圆的半径和的关系即可得出．【解答】解：圆C（x+2）2+y2=4的圆心C（﹣2，0），半径r=2；圆M（x﹣2）2+（y﹣3）2=9的圆心M（2，3），半径 R=3．∴|CM|==5=R+r=3+2=5．∴两圆外切．故选：A．6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别为CD和A1D1的中点，那么异面直线AM与BN 所成的角是（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取C1D1的中点P，取PD1的中点Q，连接BQ，NQ，易证得NQ∥AM，，∠BNQ即为异面直线AM与BN 所成的角，根据在△BNQ中，易求出∠ADQ为直角．【解答】解：取C1D1的中点P，取PD1的中点Q，连接BQ，NQ根据正方体的结构特征可得AM∥A1P，且NQ∥A1P，故NQ∥AM，则∠BNQ即为异面直线AM与BN 所成的角，∵在△BC1Q中，BQ==∴在△BNQ中，NQ=，BN=，∴BN2+NQ2=BQ2∴∠BNQ=90°故答案为90°．故选A．7．实数x，y满足的约束条件，则z=2x+y的最小值为（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合数形结合即可得到结论．．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即B（﹣1，﹣1），此时z=﹣1×2﹣1=﹣3，故选：B8．设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，以下命题正确的是（）A．若l∥α，α∥β，则l∥βB．若l⊥α，α∥β，则l⊥βC．若l⊥α，α⊥β，则l∥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】在A中，l∥β或l⊂β；在B中，由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β；在C 中，l∥β或l⊂β；在D中，l与β相交、平行或l⊂β．【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，知：在A中，若l∥α，α∥β，则l∥β或l⊂β，故A错误；在B中，若l⊥α，α∥β，则由直线与平面垂直的判定定理得l⊥β，故B正确；在C中，若l⊥α，α⊥β，则l∥β或l⊂β，故C错误；在D中，若l∥α，α⊥β，则l与β相交、平行或l⊂β，故D错误．故选：B．9．等差数列{a n}中，a1＜0，S9=S12，若S n有最小值，则n=（）A．10 B．10或11 C．11 D．9或10【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列通项公式得a1=﹣10d，由此求出S n=n2﹣，利用配方法能求出S n有最小值时，n的值的求法．【解答】解：∵等差数列{a n}中，a1＜0，S9=S12，∴9a=12a1+，解得a1=﹣10d，∴S n=na1+=n2﹣=﹣．∵S n有最小值，∴n=10或n=11．故选：B．10．如图，网络纸上正方形的边长为l，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为（）A．12π B．34π C．D．17π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，底面为直角三角形，直角边长分别为2，2，高为3．该三棱锥所在的长方体的对角线的长度即为其外接球的直径．【解答】解：由三视图可知：该几何体为一个三棱锥，底面为直角三角形，直角边长分别为2，2，高为3．∴该三棱锥所在的长方体的对角线的长度==．即为其外接球的直径．∴该几何体的外接球表面积S=4π×=17π，故选；D．11．已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m﹣3，m+3），则实数c的值为（）A．3 B．6 C．9 D．12【考点】二次函数的性质．【分析】根据函数的值域求出a与b的关系，然后根据不等式的解集可得f（x）=c的两个根为m﹣3，m+3，最后利用根与系数的关系建立方程，解之即可．【解答】解：∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），∴f（x）=x2+ax+b=0只有一个根，即△=a2﹣4b=0则b=，不等式f（x）＜c的解集为（m﹣3，m+3），即为x2+ax+＜c解集为（m﹣3，m+3），则x2+ax+﹣c=0的两个根为m﹣3，m+3，∴m﹣3+m+3=2m=﹣a，即m=﹣a，（m﹣3）•（m+3）=m2﹣9=﹣c，即为﹣9=﹣c，解得c=9．故选：C．12．如图，在长方形ABCD中，AB=，BC=1，E为线段DC上一动点，现将△AED沿AE折起，使点D在面ABC上的射影K在直线AE上，当E从D运动到C，则K所形成轨迹的长度为（）A．B．C．D．【考点】轨迹方程．【分析】根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接D'K，则D'KA=90°，得到K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度．【解答】解：由题意，将△AED沿AE折起，使平面AED⊥平面ABC，在平面AED内过点D作DK⊥AE，K为垂足，由翻折的特征知，连接D'K，则D'KA=90°，故K点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，如图当E与C重合时，AK==，取O为AD′的中点，得到△OAK是正三角形．故∠K0A=，∴∠K0D'=，其所对的弧长为=，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．不等式的解集是（﹣3，1）．【考点】其他不等式的解法．【分析】由不等式可得（x+3）（x﹣1）＜0，解此一元二次不等式，求得原不等式的解集．【解答】解：由不等式可得（x+3）（x﹣1）＜0，解得﹣3＜x＜1，故答案为（﹣3，1）．14．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是．【考点】平面图形的直观图．【分析】水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可．【解答】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+，S=（1++1）×2=2+．故答案为：2+．15．如图，在某灾区的搜救现场，一条搜救犬从A点出发沿正北方向行进x m到达B处发现生命迹象，然后向右转105°，行进10m到达C处发现另一个生命迹象，这是它向右转135°可回到出发点，那么x= （单位：m）．【考点】解三角形的实际应用．【分析】由题意设AB=x，得到各角的值，再由正弦定理可确定答案．【解答】解：由题意设AB=x可知∠ABC=180°﹣105°=75°，∠ACB=180°﹣135°=45°，∠A=60°，根据正弦定理可得：，即，∴x=．故答案为：．16．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，下列五个命题：①d ＞0；②S4029＞0；③S4030＜0；④数列{S n}中的最大项为S2015；⑤|a2015|＞|a2016|．其中正确结论的序号是②④⑤．（写出所有正结论的序号）【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由题意得到等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，然后由等差数列的求和公式和性质，逐个选项验证可得正确答案．【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，公差为d，且S2015＞S2016＞S2014，∴等差数列的前2015项和最大，故a1＞0，d＜0，且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①错误，④正确；再由S2016＞S2014，可得S2016﹣S2014=a2015+a2016＞0，∴a2015＞﹣a2016，即⑤|a2015|＞|a2016|，故⑤正确；S4029=（a1+a4029）=×2a2015＞0，故②正确；S4030=（a1+a4030）=2015（a2015+a2016）＞0，故③错误．故答案为：②④⑤．三、解答题（共6小题，满分74分）17．已知直线l经过点（1，﹣2），且与直线m：4x﹣3y+1=0平行；（1）求直线l的方程；（2）求直线l被圆x2+y2=9所截得的弦长．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）根据l∥m，设l的方程为4x﹣3y+c=0，把点（1，﹣2）代入求出c的值，可得l的直线方程；（2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离，利用弦长公式求出直线l被圆C 截得的弦长．【解答】解：（1）由题意知l∥m，设l的方程为4x﹣3y+c=0，∵点（1，﹣2）在直线l上，∴4×1﹣3×（﹣2）+c=0，解得c=﹣10，∴直线l的方程为4x﹣3y﹣10=0；（2）设直线l与圆x2+y2=9相交与点A、B，则|AB|=2，其中r=3，且d为圆心（0，0）到直线l：4x﹣3y﹣10=0的距离，d==2，∴|AB|=2==．18．已知△ABC的外接圆半径为1，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosA=ccosB+bcosC．（1）求cosA及a的值；（2）若b2+c2=4，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得2sinA•cosA=sinA，又0＜A ＜π，即可求得cosA的值，进而由同角三角函数基本关系式可求sinA的值，由于顶点在单位圆上的△ABC中，利用正弦定理可求a．（2）利用余弦定理可得bc的值，利用三角形面积公式即可得解．【解答】解：（1）∵2acosA=ccosB+bcosC，由正弦定理得：2sinA•cosA=sinCcosB+sinBcosC⇒2sinA•cosA=sin（B+C）=sinA，又∵0＜A＜π⇒sinA≠0，∴2cosA=1⇒cosA=．∵A∈（0，π），∴A=．∴由cosA=⇒sinA=，由于顶点在单位圆上的△ABC中，2R=2，利用正弦定理可得：．可得：a=2sinA=．…（2）由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA⇒bc=b2+c2﹣a2=4﹣3=1．…∴S△ABC=bcsinA=•=．…19．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，满足：a1=b1=1，a5=b3，且S3=9．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）求++…+的值．【考点】数列的求和；正整数指数函数；等比数列的通项公式．【分析】（1）由S3=9．可求得a2=3，d=a2﹣a1=2，根据等差数列通项公式即可求得a n，a5=b3，求得q2=9，数列{b n}的各项均为正数，即可求得q=3，根据等比数列通项公式即可求得b n；（2）首先求得S n+1=n2+n=n（n+1），=，采用“裂项法“求得=﹣，代入整理即可求得++…+的值．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列的公比为q，S3=a1+a2+a3=9．即a2=3，d=a2﹣a1=2，∴数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1，a5=b3=9，即q2=9，∵b n＞0，∴q=3，∴数列{b n}的通项公式b n=3n﹣1；（2）由等差数列前n项和公式S n==n2，S n+n=n2+n=n（n+1），∴==﹣，++…+=（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），=1﹣，=．++…+=．20．随着我市九龙江南岸江滨路建设的持续推进，未来市民将新增又一休闲好去处，据悉南江滨路建设工程规划配套建造一个长方形公园ABCD，如图所示，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1（阴影部分）和环公园人行道组成，已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000m2，人行道的宽度分别为4m和10m．（1）若休闲区的长A1B1=x m，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？【考点】基本不等式在最值问题中的应用；基本不等式．【分析】（1）利用休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，表示出B1C1=米进而可得公园ABCD所占面积S关于x的函数S（x）的解析式；（2）利用基本不等式确定公园所占最小面积，即可得到结论．【解答】解：（1）由A1B1=x米，知B1C1=米∴S=（x+20）（+8）=4160+8x+（x＞0）；（2）S=4160+8x+≥4160+2=5760当且仅当8x=，即x=100时取等号∴要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长为100米、宽为40米．21．如图，平面ABCD⊥平面ADEF，四边形ABCD为菱形，四边形ADEF为矩形，M、N分别是EF、BC的中点，AB=2AF=2，∠CBA=60°．（1）求证：AN⊥DM；（2）求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；（3）求三棱锥D﹣MAN的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【分析】（1）连接AC，证明AN⊥AD，利用平面与平面垂直的性质证明AN⊥平面ADEF，即可证明AN⊥DM；（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，可得∠NMA为直线MN与平面ADEF所成的角，求出AN，AM，即可求直线MN与平面ADEF所成的角的正切值；（3）利用三棱锥D﹣MAN的体积=三棱锥N﹣MAD的体积，即可求三棱锥D﹣MAN的体积．【解答】证明：（1）连接AC，在菱形ABCD中，∵∠CBA=60°且AB=BC，∴△ABC为等边三角形．∵N为BC的中点，∴AN⊥BC，又∵BC∥AD，∴AN⊥AD，∵平面ABCD⊥平面ADEF，AN⊂平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD∴AN⊥平面ADEF，∵DM⊂平面ADEF，∴AN⊥DM；解：（2）由（1）知，NA⊥平面ADEF，∴∠NMA为直线MN与平面ADEF所成的角，∵四边形ADEF为矩形，AD=2AF=2，M是EF的中点，∴AF=FM=1，∴△AMF为等腰直角三角形，∴AM=，∵△ABC为边长为2的等边三角形且N是BC的中点，∴AN=，在Rt△NAM中，tan∠NMA==；（3）∵四边形ADEF为矩形，M是EF的中点，AB=2AF=2，∴ME=DE=1，且DM=AM=，∴AD2=AM2+DM2，∴∠AMD=90°，∴S△AMD==1．由（1）NA⊥平面ADEF，∴三棱锥D﹣MAN的体积=三棱锥N﹣MAD的体积==．22．设平面直角坐标系xOy中，曲线G：y=+x﹣a2（x∈R），a为常数．（1）若a≠0，曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）在（1）的条件下，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）若a=0，已知点M（0，3），在y轴上存在定点N（异于点M）满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数．【考点】轨迹方程；圆的一般方程；直线与圆的位置关系．【分析】（1）求出曲线G的图象与两坐标轴有三个交点，利用待定系数法求经过这三个交点的圆C的一般方程；（2）由（1）可得C（﹣，），消去a，求圆心C所在曲线的轨迹方程；（3）令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2），由此求出点N（0，），对于圆C 上任一点P，都有为一常数，再进行证明即可．【解答】解：（1）令x=0，得曲线与y轴的交点是（0，﹣a2），令y=0，则+x﹣a2=0，解得x=﹣2a或x=a，∴曲线与x轴的交点是（﹣2a，0），（a，0）．设圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，解得D=a，E=a2﹣2，F=﹣2a2，∴圆的一般方程为x2+y2+ax+（a2﹣2）y﹣2a2=0；（2）由（1）可得C（﹣，）设C（x，y），则x=﹣，y=，消去a，得到y=1﹣2x2，∵a≠0，∴x≠0，∴圆心C所在曲线的轨迹方程为y=1﹣2x2（x≠0）；（3）若a=0，圆C的方程为x2+（y﹣1）2=1，令x=0，得到圆C与y轴交于点（0，0），（0，2）由题意设y轴上的点N（0，t）（t≠3），当P与圆C的交点为（0，2）时， =，当P与圆C的交点为（0，0）时， =，由题意， =，∴t=（t=3舍去）下面证明点N（0，），对于圆C上任一点P，都有为一常数设P（x，y），则x2+（y﹣1）2=1，∴==，∴=，∴在y轴上存在定点N（0，），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数．。

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