数学-北京市东城区2016-2017学年高二(上)期末试卷(文)(解析版)
北京市2016-2017学年高二上学期期末文科数学试题 Word版含解析
北京市2016-2017学年高二上学期期末试题文科数学第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．下列命题中，真．命题是（ ） A ．若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直 B ．若一个平面经过另一个平面的平行线，那么这两个平面相互平行 C ．若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于平面内的任意直线 D ．若一条直线同时平行于两个不重合的平面，则这两个平面平行 【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为A 是一个定理，当然正确。
而B 、C 、D 均与定理有不同的地方，都能找到反例，都不正确。
所以，只有A 正确 故答案为：A 【答案】A2．直线2y x b =-+一定通过（ ）A ．第一、三象限B ．第二、四象限C ．第一、二、四象限D ．第二、三、四象限【知识点】直线的倾斜角与斜率 【试题解析】因为斜率，倾斜角为钝角，所以，直线必过二、四象限故答案为：B 【答案】B3．某建筑由相同的若干个房间组成， 该楼的三视图如右图所示， 最高一层的房间在什么位置（ ）A ．左前B ．右前俯视图主视图C ．左后D ．右后【知识点】空间几何体的三视图与直观图【试题解析】因为由三视图可看出最高一层应在左后方所以，C 正确 故答案为：C 【答案】C4．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>中，已知4,3a b ==，则双曲线的离心率为（ ）A ．54B C ．53D ．45【知识点】双曲线【试题解析】因为由渐近线方程得得所以，离心率为故答案为：A 【答案】A5． “命题p 为真命题”是“命题p q ∨为真命题”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】因为由为真命题，得p 、q 均为真命题，能推出真命题，但反之不成立，所以，是充分不必要条件 故答案为：A 【答案】A6．抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点F 距离为 ( )A．2B．3C．4D．【知识点】抛物线【试题解析】因为所以，故答案为：B【答案】B7．棱长为2的正方体的内切球的表面积为（）A．23πB．43πC．2πD．4π【知识点】空间几何体的表面积与体积【试题解析】因为棱长为2的正方体内切球半径为1，所以，s=r2=故答案为：D【答案】D8．将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是（）A．平行 B．垂直C．相交成60角 D．异面且成60角【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为直线AB、CDAB，CD在原正方体的位置关系是相交成角故答案为：C【答案】C9．已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l，在平面α内一定存在一条直线m，使得直线l与直线m（ )A．平行B．相交C．异面D．垂直【知识点】点线面的位置关系【试题解析】因为当直线垂直于平面时，直线与平面内任一条直线垂直，直线不垂直于平面时，作在平面内的射影，在平面内一定存在一条直线，使得直线的射影与直线垂直所以，故答案为：D【答案】D10．某化工厂有8种产品，由于安全原因，有些产品不允许存放在同一仓库．具体情况由下表给出（“╳”表示该两种产品不能存放在同一仓库）则该厂至少需要几个产品仓库来存放这8种产品？（）A．2B．3C．4D．5【知识点】合情推理与演绎推理【试题解析】因为 1与2，1与3，2与3均不能放在同一仓库，所以，至少3个仓库，可这样放故答案为：B【答案】B第Ⅱ卷（非选择题共60分）二、填空题共4小题，每小题3分，共12分．11．命题p :“∀2,10x R x x ∈-+>”,则p ⌝为______________________． 【知识点】全称量词与存在性量词 【试题解析】因为为全称命题，所以，为特称命题故答案为： 【答案】12．过点(0，2)且与两坐标轴相切的圆的标准方程为___________________________． 【知识点】圆的标准方程与一般方程【试题解析】因为过点(0，2)且与两坐标轴相切， 所以圆心为或，半径为2．故答案为：【答案】13．已知抛物线和椭圆都经过点M (1，2)，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．则椭圆的焦点坐标为___________． 【知识点】抛物线椭圆【试题解析】因为设抛物线方程为过点M （1，2），，焦点，所以椭圆椭圆的焦点坐标为， 故答案为：【答案】14．在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙ O :221x y +=来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙ O 的距离P S 的定义如下：若P 与O 重合，r S P =；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙ O 的交点为A ，=P S AP 的长度（如右图）．①点1(,0)3到⊙ O 的距离为_____________；②直线2210x y ++=在圆内部分的点到⊙ O 的 最长距离为_______________． 【知识点】直线与圆的位置关系 【试题解析】因为点到⊙ O 的距离为，所以，所求即为0B 减去O 到直线的距离，，所以所求为，故答案为：【答案】三、解答题共6小题，共48分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分8分）已知直线l 经过直线250x y +-=与20x y -=的交点P ，直线1l 的方程为410x y -+=．（Ⅰ）若直线l 平行于直线1l ，求l 的方程；（Ⅱ）若直线l 垂直于直线1l ，求l 的方程． 【知识点】两条直线的位置关系【试题解析】解：联立方程组，可得．（Ⅰ）由题意，直线的斜率为4，所以的方程为；（Ⅱ）由题意，直线的斜率为，所以的方程为．【答案】见解析16．（本小题满分8分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60,ABC PA ∠=︒⊥平面ABCD ， 点E F G ，，分别为,,BC PA PD 的中点，且=PA （Ⅰ）证明：EF //平面ACG ； （Ⅱ）证明：平面PBC ⊥平面AEF ．【知识点】立体几何综合 【试题解析】证明： （Ⅰ）连接FG ， 在△中，点分别为的中点，所以，且，又因为点为的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形． 所以，又平面，平面，所以//平面．（Ⅱ）因为ABCD 为菱形，所以AB=BC 又，所以AB=BC=AC ，又E 为BC 中点，所以而平面ABCD ，平面ABCD ，所以D又，所以平面 又平面，所以平面⊥平面【答案】见解析 17．（本小题满分8分）如图，有一个正方体的木块，E 为棱1AA 的中点．现因实际需要，需要将其沿平面1D EC 将木块锯开． 请你画出前面11ABB A 与截面1D EC 的交线，并说明理由．【知识点】立体几何综合【试题解析】画法：取棱的中点F ，连接EF 即为交线．理由如下： 平面//平面，，．在正方体中，且，是平行四边形，在平面中，易证，进而所以，EF 即为所求． 【答案】见解析1A EA C18．（本小题满分8分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是正方形，221==AB AA ，E 是1DD 上的一点，且满足⊥D B 1平面ACE ．（Ⅰ）求证：AE D A ⊥1； （Ⅱ）求三棱锥CDE A -的体积．【知识点】立体几何综合 【试题解析】解：（Ⅰ）因为平面，平面，所以，在长方体中，易证平面，平面所以． 因为，所以平面．又平面所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，从而，，所以．【答案】见解析19． （本小题满分8分）1A A课本上的探索与研究中有这样一个问题：已知△ABC 的面积为S ，外接圆的半径为R ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，用解析几何的方法证明：4abcR S=． 小东根据学习解析几何的经验，按以下步骤进行了探究：(1) 在△ABC 所在的平面内，建立直角坐标系，使得△ABC 三个顶点的坐标的表示形式较为简单，并设出表示它们坐标的字母；(2) 用表示△ABC 三个顶点坐标的字母来表示△ABC 的外接圆半径、△ABC 的三边和面积； (3) 根据上面得到的表达式，消去表示△ABC 的三个顶点的坐标的字母，得出关系式．在探究过程中，小东遇到了以下问题，请你帮助完成：（Ⅰ）为了使得△ABC 的三边和面积表达式及△ABC 的外接圆方程尽量简单，小东考虑了如下两种建系方式，你选择第___________种建系方式．① ②（Ⅱ）根据你选择的建系方式，完成以下部分探究过程：（1）设△ABC 的外接圆的一般式方程为22x y Dx +++________________0=； （2）在求解圆的方程的系数时，小东观察图形发现，由圆的几何性质，可以求出圆心 的横坐标为_____________，进而可以求出D =___________；（3）外接圆的方程为________________________________．【知识点】圆的标准方程与一般方程【试题解析】（Ⅰ）②;（Ⅱ）（1）； （2），；．或（Ⅰ）①;（Ⅱ）（1）； （2），；．【答案】见解析20．（本小题满分8分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x ，左焦点)0,3(-F ，且离心率23=e (Ⅰ）求椭圆C 的方程；(Ⅱ)若直线:l y x m =+与椭圆C 交于不同的两点N M ,（N M ,不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆C 的右顶点A ．求直线l 的方程．【知识点】椭圆【试题解析】解：（Ⅰ）由题意可知：解得 ，所以椭圆的方程为：;（II）证明：由方程组，得，，整理得，设，则．由已知，且椭圆的右顶点为，，，即，也即，整理得：．解得或均满足．当时，直线的方程为，过定点（2，0）与题意矛盾舍去；当时，直线的方程为，符合题意．【答案】见解析。
【期末试卷】北京市东城区2016-2017学年高二下学期期末教学统一检测检测数学文试题Word版无答案
东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学 (文科) 2017.7本试卷共4页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，则A B = （ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,3-C ．{}1,2D ．{}32．设复数z 32i =-，则z 的虚部是 （ ）A ．iB ．3C ．2D ．2-3．下列函数在(0,)+∞上是减函数的是 （ ）A ．()ln f x x =B ．()e x f x -=C ．()f x =D ．1()f x x=-4．如图所示的程序框图，运行相应的程序. 如果输入n 的值为2，那么输出s 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．3D ．75．在下列区间中，函数()e 43xf x x =+-的零点所在的区间为（ ）． A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6. “0a b >>”是“22a ab b +>+”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知过点P 作曲线3y x =的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能 是 （ ）A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(1,1)D ．(2,1)--8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．” 乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．” 甲对乙说：“哦，那我也能确定了！” 根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是 （ ）A ．4排8号B ．3排1号C ．2排4号D ．1排5号第二部分（非选择题 共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上） 9．i 是虚数单位,复数13i1i+=- ． 10．已知函数2()2(1)3f x x m x =-+-+是R 上的偶函数,那么实数m =___________． 11．已知0x >，则14y x x=+的最小值是__________________． 12．已知函数()2x e f x x =+，则'(0)f = ．13．已知函数,1,()ln 2, 1.x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩则不等式()3f x >的解集是__________________．14．已知平面向量(,)m n =a ，(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈），定义:(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b = _____________；若(5,0)⊗a b =, 且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分8分）已知函数32()38f x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的极大值．16．（本题满分9分）已知集合2{|log 1}A x x =<，2{|(1)1,0}B x ax a =-<>，若A B A = ，求a 的取值范围．17．（本题满分9分）已知：在数列{}n a 中，11a =，131nn n a a a +=+，判断{}n a 的单调性．小明同学给出了如下解答思路，请补全解答过程． 第一步，计算：根据已知条件，计算出：2a =_______， 3a =________，4a =_________． 第二步，猜想：数列{}n a 是_____________________（填递增、递减）数列． 第三步，证明： 因为131n n n a a a +=+，所以13111n n n n a a a a ++==+_____________．因此可以判断数列1{}n a 是首项11a =_______，公差d =_________的等差数列． 故数列1{}na 的通项公式为______________________________． 且由此可以判断出： 数列1{}na 是________（填递增、递减）数列，且各项均为______（填正数、负数或零）． 所以数列{}n a 是___________（填递增、递减）数列．18．（本题满分9分）已知函数()e e xxf x -=-.（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（Ⅱ）若2()(1)0f x f kx ++>对任意R x ∈恒成立，求k 的取值范围．19．19．（本题满分9分）某研究中心计划研究S 市中学生的视力情况是否存在区域差异和年级差异．由数据库知S 市城区和郊区的中学生人数，如表1．表1 S 市中学生人数统计人数如表2．表2 S 市抽样样本中近视人数统计（Ⅰ）请你用独立性检验方法来研究高二．．（11．．年级．．）学生的视力情况是否存在城乡差异，填写22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过5%的前提下认定“学生的近视情况与地区有关”．附: 独立性检验公式为:22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（Ⅱ）请你选择合适的角度，处理表1和表2的数据，列出所需的数据表，画出散点图，并根据散点图判断城区．．中学生的近视情况与年级是成正相关还是负相关．20．（本题满分8分）已知函数()ln 2f x a x x =-+，（其中实数0a ≠）. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任意的1[1,e]x ∈，总存在2[1,e]x ∈，使得12()()3f x f x +≥，求a 的最小值．。
北京市2016-2017学年高二上学期期末数学(文)试卷 Word版含答案
北京市2016-2017学年高二上学期期末数学（文）试卷第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上）1.命题“p 或q ”为真命题（ ）A.命题p 为真B.命题q 为真C.命题p 和命题q 一真一假D.命题p 和命题q 至少一个为真2.已知m R ∈，则“5m ≠”是“曲线2215x y m +=为椭圆”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆上，2AF x ⊥轴，若12||5||3AF AF =，则椭圆的离心率等于（ ）A.2B.15C.12D.134.设抛物线2y px =的焦点与椭圆22162x y +=的左焦点重合，则p 的值为（ ） A.4-B.8-C.4D.85.已知点(4,8)A 是抛物线2:2C y px =与直线:(4)l y k x =+的一个交点，则抛物线的焦点到直线l 的距离是（ ）B.C.D.6.已知点P 在抛物线24y x =上，则点P 到直线1:43110l x y -+=的距离和到2:1l x =-的距离之和的最小值为（ ）A.3716B.3C.2D.1157.已知双曲线2221(0)x y m m-=>与抛物线24y x =的准线交于,A B 两点，O 为坐标原点，若AOB ∆的面积等于１，则m =（ ）B.１C.2D.128.若直线l 被圆224x y +=所截得的弦长不小于l 与下列曲线一定有公共点的是（ ）A.2212x y +=B.22(1)1x y -+=C.2y x =D.221x y -=第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，满分共30分。
把答案填写在答题纸上。
2016-2017学年东城区上学期期末考试数学试题(文科)
东城区2016-2017学年第一学期期末教学统一检测高三数学 （文科）2017.1本试卷共5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）集合{}11Αx x =-<<，{}|(2)0Βx x x =->，那么ΑΒ= （ ） （A ）{}|10x x -<< （B ）{}|12x x -<< （C ）{|01}x x << （D ）{|0x x <或2}x > （2）在复平面内，复数i(1i)z =+，那么||z =（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）2（3）已知实数,x y 满足3,2,2.x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩那么2z x y =+的最小值为（ ）（A ）2 （B ）3（C ）4（D ）5（4）已知函数()sin(),R f x x x ωϕ=+∈ (其中0,ωπϕπ>-<<)的部分图象,如图所示. 那么)(x f 的解析式为（ ）（A ）()sin()2f x x π=+（B ）()sin()2f x x π=-（C ）()sin(2)2f x x π=+ （D ）()sin(2)2f x x π=-（5）下列四个命题： ①0x ∃∈R ，使200230x x ++=；②命题“00,lg 0x x ∃∈>R ”的否定是“x ∀∈R ，0lg <x ”；③如果,a b ∈R ，且a b >，那么22a b >；④“若βα=，则βαsin sin =”的逆否命题为真命题.其中正确的命题是（ ） （A ）① （B ）②（C ）③ （D ）④（6）过抛物线24y x =的焦点作一条直线与抛物线相交于,A B 两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（ ）（A ）有且仅有一条 （B ）有且仅有两条 （C ）有无穷多条 （D ）不存在（7）为征求个人所得税法修改建议，某机构调查了10000名当地职工的月收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论：① 估计样本的中位数为4800元； ② 如果个税起征点调整至5000元，估 计有%50的当地职工会被征税； ③ 根据此次调查，为使%60以上的职工不用缴纳个人所得税，起征点应调整至5200元. 其中正确结论的个数有（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（8）对于给定的正整数数列{}n a ，满足1n n n a a b +=+，其中n b 是n a 的末位数字，下列关于数列{}n a 的说法正确的是（ ）（A ）如果1a 是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n必有相同的项； （B ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n必没有相同的项； （C ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n只有有限个相同的项； （D ）如果1a 不是5的倍数，那么数列{}n a 与数列{}2n有无穷多个相同的项.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤12．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．23．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．45．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=06．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= ．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是．14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．北京市西城区2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．命题“若a＞1，则a＞0”的逆命题是（）A．若a＞0，则a＞1 B．若a≤0，则a＞1 C．若a＞0，则a≤1D．若a≤0，则a≤1【考点】四种命题间的逆否关系．【专题】对应思想；综合法；简易逻辑．【分析】把原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论互换，就得到原命题的逆命题．【解答】解：互换原命题“若a＞1，则a＞0”的题设和结论，得到它的逆命题是“若a＞0，则a＞1”，故选：A．【点评】本题考查四种命题，解题的关键是熟练掌握四种命题的相互转换和它们之间的相互关系．属基础题．2．复数z=1+2i的虚部是（）A．﹣2i B．2i C．﹣2 D．2【考点】复数的基本概念．【专题】阅读型；对应思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】直接由复数的概念得答案．【解答】解：由复数概念知，复数z=1+2i的虚部是2．故选：D．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．3．在空间中，给出下列四个命题：①平行于同一个平面的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两个平面互相平行；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④垂直于同一条直线的两条直线互相平行．其中真命题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；运动思想；综合法；简易逻辑．【分析】由空间中点、线、面的位置关系逐一核对四个命题得答案．【解答】解：①平行于同一个平面的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故①错误；②垂直于同一个平面的两个平面有两种可能的位置关系：平行、相交，故②错误；③由平行公理可知：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故③正确；④垂直于同一条直线的两条直线有三种可能的位置关系：相平行、相交、异面，故④错误．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了空间中点、线、面的位置关系，是基础题．4．抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用抛物线的简单性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=2y的焦点到其准线的距离是：p=1．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．5．两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是（）A．B．C．A1A2+B1B2=0 D．A1A2﹣B1B2=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；直线与圆．【分析】结合直线垂直的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直⇔A1A2+B1B2=0，故两条直线A1x+B1y+C1=0，A2x+B2y+C2=0互相垂直的充分必要条件是A1A2+B1B2=0，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线垂直的条件是解决本题的关键．6．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，AB=BC，则下列结论中正确的是（）A．BD1∥B1C B．A1D1∥平面AB1CC．BD1⊥AC D．BD1⊥平面AB1C【考点】直线与平面垂直的性质；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；数形结合；分析法；空间位置关系与距离．【分析】连接BD，由AC⊥BD，AC⊥DD1，可证AC⊥平面BDD1，利用线面垂直的性质即可证明AC⊥BD1．【解答】解：∵如图，连接BD，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC，∴AC⊥BD，AC⊥DD1，∵BD∩DD1=D，∴AC⊥平面BDD1，∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．故选：C．【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质的应用，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．7．已知椭圆的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=2c（c＞0）．若点P在椭圆上，且∠F1PF2=90°，则点P到x轴的距离为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；作图题；数形结合；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】作椭圆，从而可得|PF1|+|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，从而可得|PF1|•|PF2|=2b2，再由三角形的面积公式求得．【解答】解：由题意作图如右，∵|PF1|+|PF2|=2a，又∵∠F1PF2=90°，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∴|PF1|•|PF2|===2b2，设点P到x轴的距离为d，则|PF1|•|PF2|=|F1F2|•d，故2b2=2cd，故d=，故选：B．【点评】本题考查了椭圆的定义的应用及数形结合的思想应用，同时考查了等面积的应用．8．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=6，BC=4，AA1=2，P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，则从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为（）A．3 B．4 C． D．5【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题．【专题】计算题；运动思想；分割补形法；立体几何．【分析】由题意画出图形，把问题转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．分类剪展求出最小值，求最小值中的最小者得答案．【解答】解：如图，∵P，Q分别为棱AA1，C1D1的中点，∴问题可转化为从小长方体PMNG﹣A1HQD1的一个顶点P到另一顶点的表面最短距离问题．共有三种剪展方法：沿QH剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QN剪开再展开，此时最短距离为l=；沿QD1剪开再展开，此时最短距离为l=．∴从点P出发，沿长方体表面到达点Q的最短路径的长度为．故选：B．【点评】本题考查多面体表面上的最短距离问题，考查分类讨论和数形结合的解题思想方法，想到剪展的所有情况是解题的关键，是中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9．命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是∃x∈R，x2﹣1≤0．【考点】命题的否定．【专题】计算题；规律型；对应思想；转化法；简易逻辑．【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∀x∈R，x2﹣1＞0”的否定是：∃x∈R，x2﹣1≤0．故答案为：∃x∈R，x2﹣1≤0．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．10．已知球O的大圆面积为S1，表面积为S2，则S1：S2= 1：4 ．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用球的面积公式，直接求解即可．【解答】解：设球的半径为r，所以大圆面积S1=πr2，表面积S2=4πr2，所以S1：S2=1：4故答案为：1：4．【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．11．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则= ﹣1+2i ．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】计算题；图表型；方程思想；数系的扩充和复数．【分析】由图形得到复数z1=﹣2﹣i，z2=i，代入，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由图可知，z1=﹣2﹣i，z2=i，∴=．故答案为：﹣1+2i．【点评】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．12．已知双曲线的一个焦点是（2，0），则b= ；双曲线渐近线的方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用双曲线的一个焦点是（2，0），求出b，即可求出双曲线渐近线的方程．【解答】解：∵双曲线的一个焦点是（2，0），∴1+b2=4，∵b＞0，∴b=，又a=1，∴双曲线渐近线的方程为故答案为：，【点评】本题考查双曲线渐近线的方程，考查学生的计算能力，正确求出b是关键．13．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是4．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】应用题；数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，故左视图是长方形，长为2，宽为2，由此能求出左视图的面积．【解答】解：∵正六棱柱的底面边长和侧棱长均为2，∴左视图是长方形，长为=2，宽为2，∴左视图的面积是2×2=4，故答案为：【点评】本题考查空间图形的三视图，是一个基础题，考查的内容比较简单，解题时要认真审题，仔细解答14．已知曲线C的方程是x4+y2=1．关于曲线C的几何性质，给出下列三个结论：①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③曲线C所围成的区域的面积大于π．其中，所有正确结论的序号是①③．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】探究型；对应思想；简易逻辑；推理和证明．【分析】分析关于原点对称的两个点（x，y）点（﹣x，﹣y），是否都在曲线上，可判断①；分析关于直线y=x对称的两个点（x，y）点（y，x），是否都在曲线上，可判断②；求出曲线C所围成的区域面积，可判断③．【解答】解：将方程中的x换成﹣x，y换成﹣y方程不变，所以曲线C关于原点对称，故①正确；将方程中的x换成y，y换成x，方程变为y4+x2=1与原方程不同，故②错误；在曲线C上任取一点M（x0，y0），x04+y02=1，∵|x0|≤1，∴x04≤x02，∴x02+y02≥x04+y02=1，即点M在圆x2+y2=1外，故③正确；故正确的结论的序号是：①③，故答案为：①③【点评】本题考查的知识点是曲线Cx4+y2=1的图象和性质，对称性的判断，面积的求解，难度中档．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD=AB=2．（Ⅰ）求PB的长；（Ⅱ）求四棱锥P﹣ABCD的表面积．【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【专题】规律型；数形结合；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连结BD．证明PD⊥BD，在直角三角形PDB中，求解PB即可．（Ⅱ）说明△PDA，△PDC为全等的直角三角形，利用四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD求解即可．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：连结BD．因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BD．因为底面ABCD是正方形，AB=2，所以．在直角三角形PDB中，．（Ⅱ）解：因为PD⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，从而△PDA，△PDC为全等的直角三角形，所以．由（Ⅰ）知，所以 AB2+PA2=PB2=BC2+PC2，从而△PAB，△PCB为全等的直角三角形．所以，四棱锥P﹣ABCD的表面积S=2S△PDA+2S△PAB+S正方形ABCD==．【点评】本题考查几何体的表面积，点、线、面距离的求法，考查计算能力．16．如图，已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，求m的值．【考点】圆的标准方程；直线与圆相交的性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】（Ⅰ）由两点间距离公式求出圆C的半径，由此能求出圆C的方程．（Ⅱ）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，从在则，由勾股定理求出CD，由点到直线的距离公式求出CD，由此能求出m．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O，∴圆C的半径，∴圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2=25．（Ⅱ）解：∵直线3x﹣4y+m=0与圆C交于A，B两点．若|AB|=8，作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，∴．在直角三角形ADC中，．由点到直线的距离公式，得，∴，解得m=±15．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．17．如图，矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，E是QD的中点．（Ⅰ）求证：QB∥平面AEC；（Ⅱ）求证：平面QDC⊥平面AEC；（Ⅲ）若AB=1，AD=2，求多面体ABCEQ的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】规律型；数形结合；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O，连接EO．证明EO∥QB，即可证明QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明CD⊥AE，AE⊥QD．推出AE⊥平面QDC，然后证明平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）通过多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，计算求解即可．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O，连接EO．因为 E，O分别为QD和BD的中点，则EO∥QB．又 EO⊂平面AEC，QB⊄平面AEC，所以QB∥平面AEC．（Ⅱ）证明：因为矩形ABCD所在的平面与正方形ADPQ所在的平面相互垂直，CD⊂平面ABCD，CD⊥AD，所以CD⊥平面ADPQ．又AE⊂平面ADPQ，所以CD⊥AE．．因为AD=AQ，E是QD的中点，所以AE⊥QD．所以AE⊥平面QDC．所以平面QDC⊥平面AEC．（Ⅲ）解：多面体ABCEQ为四棱锥Q﹣ABCD截去三棱锥E﹣ACD所得，所以．【点评】本题考查直线与平面平行，直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查计算能力．18．已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是．（Ⅰ）求抛物线的方程；（Ⅱ）设直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线相交于M，N两点，O为坐标原点，证明：OM⊥ON．【考点】直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程．【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x﹣2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON．【解答】（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为，所以，解得p=1，所以抛物线的方程为y2=2x．（Ⅱ）证明：设M（x1，y1），N（x2，y2）．将y=k（x﹣2）代入y2=2x，消去y整理得 k2x2﹣2（2k2+1）x+4k2=0．所以 x1x2=4．由，，两式相乘，得，注意到y1，y2异号，所以 y1y2=﹣4．所以直线OM与直线ON的斜率之积为，即OM⊥ON．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，韦达定理的应用，抛物线的简单性质的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．19．如图1，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F．将△ABD沿BD折起，得到三棱锥A1﹣BCD，如图2所示．（Ⅰ）若M是A1C的中点，求证：DM∥平面A1EF；（Ⅱ）若平面A1BD⊥平面BCD，试判断直线A1B与直线CD能否垂直？并说明理由．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）取FC中点N，推导出DN∥EF，MN∥A1F，由此能证明DM∥平面A1EF．（Ⅱ）推导出EF⊥平面A1BD，从而A1B⊥EF，假设A1B⊥CD，则A1B⊥平面BCD，A1E⊥平面BCD，与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，从而直线A1B与直线CD不能垂直．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）取FC中点N．在图1中，由D，N分别为AC，FC中点，所以DN∥EF．在图2中，由M，N分别为A1C，FC中点，所以MN∥A1F，所以平面DMN∥平面A1EF，所以DM∥平面A1EF．解：（Ⅱ）直线A1B与直线CD不可能垂直．因为平面A1BD⊥平面BCD，EF⊂平面BCD，EF⊥BD，所以EF⊥平面A1BD，所以A1B⊥EF．假设有A1B⊥CD，注意到CD与EF是平面BCD内的两条相交直线，则有A1B⊥平面BCD．（1）又因为平面A1BD⊥平面BCD，A1E⊂平面A1BD，A1E⊥BD，所以A1E⊥平面BCD．（2）而（1），（2）同时成立，这显然与“过一点和已知平面垂直的直线只有一条”相矛盾，所以直线A1B与直线CD不可能垂直．【点评】本题考查线面平行的证明，考查两直线是否垂直的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20．如图，已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率是，一个顶点是B（0，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设P，Q是椭圆C上异于点B的任意两点，且BP⊥BQ．试问：直线PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程．【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（Ⅰ）设椭圆C的半焦距为c．求出b利用离心率求出a，即可求解椭圆C的方程．（Ⅱ）证法一：直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，设 P（x1，y1），Q（x2，y2），利用韦达定理，通过BP⊥BQ，化简求出5m2﹣2m﹣3=0，求出m，即可得到直线PQ恒过的定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1，将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，解得x，设 P（x1，y1），转化求出P的坐标，求出Q坐标，求出直线PQ的方程利用直线系方程求出定点坐标．【解答】（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，且，解得 a2=4．所以，椭圆C的方程是．（Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0．设 P（x1，y1），Q（x2，y2），则，．①因为BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，所以，整理得 x1x2+y1y2﹣（y1+y2）+1=0．②因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m，所以 y1+y2=k（x1+x2）+2m，．③将③代入②，整理得．④将①代入④，整理得 5m2﹣2m﹣3=0．解得，或m=1（舍去）．所以，直线PQ恒过定点．证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得（1+4k2）x2+8kx=0．解得 x=0，或．设 P（x1，y1），所以，，所以．以替换点P坐标中的k，可得．从而，直线PQ的方程是．依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．在上述方程中，令x=0，解得．所以，直线PQ恒过定点．【点评】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题．。
2016-2017学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷(文科)
2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．﹣45°B．﹣30°C．45°D．135°2．（3分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．三棱锥3．（3分）命题“∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＜0成立”的否定形式是（）A．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＞0成立B．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3≥0成立C．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0恒成立D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立4．（3分）已知三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，则“a⊥c”是“b∥c”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．内含6．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n ⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，则α⊥β7．（3分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点，且，则x0的值为（）A．8 B．4 C．2 D．18．（3分）图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．（4分）若双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．10．（4分）若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．11．（4分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是．12．（4分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当BE⊥PC 时，的值为．13．（4分）已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为．14．（4分）某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（8分）已知直线l过点A（2，a），B（a，﹣1），且与直线m：2x﹣y+2=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）过点A与l垂直的直线交直线m于点C，求线段BC的长．16．（9分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（I）求证：AC⊥BD1；（Ⅱ）是否存在直线与直线AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．17．（9分）已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx﹣1与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．18．（9分）已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M﹣ACE的体积．19．（9分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．﹣45°B．﹣30°C．45°D．135°【分析】把已知直线的方程变形后，找出直线的斜率，根据直线斜率与倾斜角的关系，即直线的斜率等于倾斜角的正切值，得到倾斜角的正切值，由倾斜角的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出倾斜角的度数．【解答】解：由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故选：C．【点评】此题考查了直线的倾斜角，以及特殊角的三角函数值．熟练掌握直线倾斜角与斜率的关系是解本题的关键，同时注意直线倾斜角的范围．2．（3分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．三棱锥【分析】在A中，圆锥的横截面是圆；在B中，圆柱的横截面是圆；在C中，球的横截面是圆；在D中，三棱锥的截面不可能是圆．【解答】解：在A中，圆锥的横截面是圆，故A不成立；在B中，圆柱的横截面是圆，故B不成立；在C中，球的横截面是圆，故C不成立；在D中，三棱锥的截面不可能是圆，故D成立．故选：D．【点评】本题考查圆锥、圆柱、球、三棱锥的截面图形的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意圆锥、圆柱、球、三棱锥的性质的合理运用．3．（3分）命题“∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＜0成立”的否定形式是（）A．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＞0成立B．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3≥0成立C．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0恒成立D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立【分析】根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立，故选：D．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，根据特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础．4．（3分）已知三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，则“a⊥c”是“b∥c”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据直线平行和垂直的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，即当a⊥c时，b∥c不一定成立，即充分性不成立，若b∥c，则a⊥c成立，即必要性成立，则“a⊥c”是“b∥c”的必要不充分条件，故选：B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线平行的性质是解决本题的关键．5．（3分）圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．内含【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距，大于半径之差，而小于半径之和，可得两个圆关系．【解答】解：圆C1：x2+（y﹣1）2=1，表示以C1（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，表示以C2（3，4）为圆心，半径等于5的圆．∴两圆的圆心距d==3∵5﹣1＜3＜5+1，故两个圆相交．故选：A．【点评】本题主要考查圆的标准方程，圆和圆的位置关系，圆的标准方程的求法，属于基础题．6．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n ⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，则α⊥β【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选：D．【点评】本题考查了空间线面、面面平行和垂直关系，面面平行的判定定理，线面垂直的定义及其应用，空间想象能力7．（3分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点，且，则x0的值为（）A．8 B．4 C．2 D．1【分析】求出焦点坐标坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x0的值即可．【解答】解：该抛物线C：y2=4x的焦点（1，0）．P（x0，y0）是C上一点，且，根据抛物线定义可知x0+1=，解得x0=2，故选：C．【点评】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线的定义来解决．8．（3分）图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．【分析】由已知可得：捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，进而得到答案．【解答】解：由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，故选：B．【点评】本题考查的知识点是函数的图象，复变函数的图象和性质，本题比较抽象，理解起来有一定的难度．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．（4分）若双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=1．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到a的值即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，可得：，解得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，基本知识的考查．10．（4分）若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为3．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：3【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．11．（4分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为2，故棱柱的表面积S=3×2+（5+）×2=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度基础．12．（4分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当BE⊥PC时，的值为．【分析】取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B为原点，BA为x轴，BC为y 轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当BE⊥PC时，的值为．【解答】解：取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（，2，0），C（0，，0），设E（a，b，c），=λ（0≤λ≤1），则，即（a，b﹣，c）=λ（，0），∴，∴E（），∴=（），=（﹣，，0），∵BE⊥PC，∴=﹣2λ+﹣（2﹣）2λ=0，解得．∴当BE⊥PC时，的值为．故答案为：．【点评】本题考查线段的比值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．13．（4分）已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为．【分析】画出图形，利用已知条件列出方程，求解即可．【解答】解：O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，如图：可得：，==，可得b=c，a=c，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，考查计算能力．14．（4分）某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是 新京报 ；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是 北京晨报 ．【分析】求出三种报刊中，日平均销售量，日平均销售利润，可得结论； 【解答】解：三种报刊中，日平均销售量分别为=2230；=1720， =2100∴日平均销售量最大的报刊是新京报；设每份北京晨报的销售利润为x 元，则新京报为x ，北京青年报x ，∴三种报刊日平均销售利润分别是×2300，x ×1720，2100x ，可得三种报刊日平均销售利润最大的报刊是北京晨报．故答案为新京报，北京晨报．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（8分）已知直线l过点A（2，a），B（a，﹣1），且与直线m：2x﹣y+2=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）过点A与l垂直的直线交直线m于点C，求线段BC的长．【分析】（Ⅰ）根据题意，得，解得a=1，即可求直线l的方程；（Ⅱ）过点A与l垂直的直线方程为，与直线m：2x﹣y+2=0联立，求出C的坐标，即可求线段BC的长．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得，解得a=1．所以A（2，1），B（1，﹣1）．所求直线l的方程为2x﹣y﹣3=0．…（4分）（Ⅱ）过点A与l垂直的直线方程为，整理，得x+2y﹣4=0．由解得C（0，2）．．…（8分）【点评】本题考查直线方程，考查两点间的距离公式，属于中档题．16．（9分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（I）求证：AC⊥BD1；（Ⅱ）是否存在直线与直线AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）连结BD，推导出D1D⊥AC，AC⊥BD．由此能证明AC⊥BD1．（Ⅱ）作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）证明：如图，连结BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴D1D⊥平面ABCD．∵AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．…（5分）（Ⅱ）存在．答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．下面给出答案中的两种情况，其他答案只要合理就可以给满分．（9分）【点评】本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的直线的作法，是中档题，解题时要认真题、注意空间思维能力的培养．17．（9分）已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx﹣1与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．【分析】（Ⅰ）求出圆的半径，即可求圆C的方程；（Ⅱ）若DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形，因为r=2，则圆心D到直线y=kx﹣1的距离，即可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）因为圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，所以圆C的半径r=2．则所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4．…（5分）（Ⅱ）因为DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形．因为r=2，则圆心D到直线y=kx﹣1的距离．则，解得k=1或k=7．…（9分）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．18．（9分）已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M﹣ACE的体积．【分析】（Ⅰ）方法一：取AD中点N，连结MN．MN AB．证明EM∥NF．然后过证明EM∥平面ADF．方法二：证明BC∥AD．说明BC∥平面ADF．通过证明平面BCE∥平面ADF．推出EM∥平面ADF．（Ⅱ）方法一：取AB中点P，连结PE．证明EP⊥平面ABCD，然后利用等体积法求解即可．方法二：取BE中点Q，连结AQ．说明AQ为四面体A﹣EMC的高．求出．利用等体积法求解体积即可．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）方法一：取AD中点N，连结MN．∵四边形ABCD是正方形，M为BC中点，∴MN AB．∵四边形ABEF是菱形，∴AB EF．∴MN EF．∴四边形MNFE是平行四边形．∴EM∥NF．∵EM⊄平面ADF，NF⊂平面ADF，∴EM∥平面ADF．…（5分）方法二：∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵四边形ABEF是菱形，∴BE∥AF．∵BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF．∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF．∵EM⊂平面BCE，∴EM∥平面ADF．（Ⅱ）方法一：取AB中点P，连结PE．∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EP⊥平面ABCD，∴EP为四面体E﹣ACM的高．∴．…（9分）方法二：取BE中点Q，连结AQ．∵在菱形ABEF，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴AQ⊥BE．∵AB=2，∴．∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB．∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴BC⊥平面ABEF．∵AQ⊂平面ABEF，BE⊂平面ABEF，∴AQ⊥BC，BC⊥BE．∴AQ⊥平面BEC．∴AQ为四面体A﹣EMC的高．∵CB⊥EB，∴．∴．…（9分）【点评】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理以及性质定理的应用，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（9分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）连结AC．证明GF∥PA．推出GF∥平面PAD．然后证明EF∥AD．得到EF∥平面PAD．即可证明平面EFG∥平面PAD．（Ⅱ）存在λ，，即时，平面PBC⊥平面PAD．方法一：证明PE⊥BC，PE⊥AB．得到BC⊥平面PAB．说明PA=PB．当PA⊥PB，时，PA⊥平面PBC．然后求解即可．方法二：过点P作PQ∥BC．说明PQ，AD共面，推出PE⊥BC．说明∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．然后通过．即时，说明平面PBC⊥平面PAD．．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）证明：连结AC．∵底面ABCD是矩形，F是BD中点，∴F也是AC的中点．∵G是PC的中点，∴GF是△PAC的中位线，∴GF∥PA．∵GF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴GF∥平面PAD．∵E是AB中点，F是BD中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．∵EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．∵GF∥平面PAD，EF∥平面PAD，EF∩FG=F，∴平面EFG∥平面PAD．…（5分）（Ⅱ）解：存在λ，，即时，平面PBC⊥平面PAD．方法一：∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PE⊥BC，PE⊥AB．∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵PE∩AB=E，∴BC⊥平面PAB．∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．∵PE⊥AB，E为AB的中点，∴PA=PB．当PA⊥PB，即时，∴PA⊥平面PBC．∵PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PBC．此时．…（9分）方法二：过点P作PQ∥BC．∴PQ，BC共面，即PQ⊂平面PBC．∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC．∵PQ∥BC，∴PQ∥AD．∴PQ，AD共面，即PQ⊂平面PAD．∴平面PBC∩平面PAD=PQ．∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PE⊥BC．∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵PQ∥BC，∴PE⊥PQ，AB⊥PQ．∵PE∩AB=E，∴PQ⊥平面PAB．∵PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PA⊥PQ，PB⊥PQ，∴∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．∵平面PAD⊥平面PBC，∴∠APB=90°．∵PE⊥AB，E为AB的中点，∴PA=PB．∴△PAB是等腰直角三角形．∴．即时，平面PBC⊥平面PAD．…（9分）【点评】本题考查平面与平面平行于垂直的判定定理以及性质定理的应用，存在性问题的处理方法，考查空间想象能力以及计算能力．20．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），列出方程组求解a，b即可．（Ⅱ）设MP，NQ所在直线方程分别为y=﹣x+m，y=x+n，N（x1，y1），Q（x2，y2），NQ中点P（x0，y0）．利用直线与椭圆联立方程组，利用判别式以及韦达定理，通过两点间距离公式，求出四边形面积表达式，利用0≤n2＜4，所以0≤m2＜1．求解四边形MNPQ面积的最大值．【解答】（本题满分8分）解：（Ⅰ）根据题意得，解得．所求椭圆方程为．…（3分）（Ⅱ）因为MN=MQ，PN=PQ，所以对角线MP垂直平分线段NQ．设MP，NQ所在直线方程分别为y=﹣x+m，y=x+n，N（x1，y1），Q（x2，y2），NQ中点P（x0，y0）．由得4x2+6nx+3n2﹣3=0．令△=48﹣12n2＞0，得n2＜4.，．则．同理．所以．又因为，所以NQ中点．由点A在直线MP上，得n=﹣2m，所以．因为0≤n2＜4，所以0≤m2＜1．所以当m=0时，四边形MNPQ面积的最大值为3．…（8分）【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．。
2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题 Word版缺答案
2016-2017学年高二上学期文科数学期末试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.若复数（a +i ）（1+2i ）是纯虚数（i 是虚数单位，a 是实数），则a 等于（ ） A.B.2C.-D.-22.已知某物体的运动方程是s =+t ，则当t =3s 时的瞬时速度是（ ）A.2m /sB.3m /sC.4m /sD.5m /s 3.运行如图程序，则输出的结果是（ ）A.9B.11C.17D.19 4.“x =1”是“x 2-2x +1=0”的 （ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.从装有3个红球、2个白球的袋中任取2个球，则所取的2个球中至少有1个白球的概率是（ ） A.B.C.D.6. 为了解1500名学生对学校教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为50的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔k 为（ ） A.40 B.20 C.30 D.127.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） A.2B.4C.6D.128.执行如图所示的程序框图，则输出的k 的值是（ ）A.3B.4C.5D.6 9.点P 为△ABC 边AB 上任一点，则使S △PBC ≤S △ABC 的概率是（ ）A.B.C.D.10.若函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则y=f（x）的图象可能（）A. B. C. D.11．过点M（1，1）的直线与双曲线22143x y-=交于A，B两点，且点M平分AB，则直线AB的方程为（）A.4x+3y-7=0B.3x+4y+1=0C.3x-4y-7=0D.4x-3y-1=012.若直线y=m与y=3x-x3的图象有三个不同的交点，则实数m的取值范围为（）A.（-2，2）B.[-2，2]C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-∞，-2]∪[2，+∞）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.某公司对140名新员工进行培训，新员工中男员工有80人，女员工有60人，培训结束后用分层抽样的方法调查培训结果．已知男员工抽取了16人，则女员工应抽取人数为 ______ ．14.设命题p：，则¬p为 ______ ．15.函数f（x）=lnx的图象在点x=1处的切线方程是 ______ ．16.已知直线2x-y+4=0与抛物线x2=4y相交于A，B两点，O是坐标原点，P是抛物线弧AOB上的一点，则△ABP面积的最大值是 ______ ．三、解答题(本大题共6小题，第17题10分，第18-22题各12分，共70分)17.设x，y为实数，且+=，求x+y的值．18.设p：实数x满足x2-4ax+3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足＜0．（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19.某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了其中20名学生的成绩进行分析．右图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；（Ⅱ）学校决定从成绩在[110，120）的学生中任选2名进行座谈，求这2人的成绩都在[110，120）的概率．20.为了解某地区观众对大型综艺活动《中国好声音》的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众收看该节目的场数与所对应的人数表：将收看该节目场次不低于13场的观众称为“歌迷”，已知“歌迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料我们能否有95%的把握认为“歌迷”与性别有关？（Ⅱ）将收看该节目所有场次（14场）的观众称为“超级歌迷”，已知“超级歌迷”中有2名女性，若从“超级歌迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附：K2=．21.已知椭圆的焦点为F1、F2，抛物线y2=px（p＞0）与椭圆在第一象限的交点为Q，若∠F1QF2=60°．（1）求△F1QF2的面积；（2）求此抛物线的方程．22.已知函数f(x)=x3-(a∈R)．(Ⅰ)若a=1，求函数f(x)在[0，2]上的最大值；(Ⅱ)若对任意x∈(0，+∞)，有f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．。
北京市东城区高二数学上学期期末考试试题 理
北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分，考试时长120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ） A. 2B. 1C.21 D. 不存在2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ） A. 5)2()3(22=-+-y x B. 5)2()3(22=-++y x C. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x3. 已知直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则=m （ ） A. －1B.41C. 1D. 44. 已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m ∥α，n∥α，则m∥n B. 若m ⊥α，α⊂n ，则m ⊥n C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥αD. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α5. 双曲线8222=-y x 的实轴长是（ ） A. 2B. 22C. 4D. 246. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--831222yxyxyx，所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A.31- B.21- C. 1 D. 28. 已知抛物线xyC=2:的焦点为F，),(yxA是C上一点，45||xAF=，则x＝（）A. 1B. 2C. 4D. 89. 过点P)1,3(--的直线l与圆122=+yx有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A. ]6,0(πB. ]3,0(πC. ]6,0[πD. ]3,0[π10. 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（）A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 双曲线191622=-yx的两条渐近线的方程为__________。
北京市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
北京市2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ．2．直线l 过点P （2，﹣2），且与直线x+2y ﹣3=0垂直，则直线l 的方程为（ ）A ．2x+y ﹣2=0B ．2x ﹣y ﹣6=0C ．x ﹣2y ﹣6=0D ．x ﹣2y+5=03．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（ ）A ．4πB ．12πC ．16πD ．48π 4．在空间中，下列命题正确的是（ ）A ．如果直线m∥平面α，直线n ⊂α内，那么m∥nB ．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC ．如果平面α外的一条直线m 垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD ．如果平面α⊥平面β，任取直线m ⊂α，那么必有m⊥β5．“m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．方程x 2+2ax+y 2=0（a≠0）表示的圆（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y=x 轴对称D ．关于直线y=﹣x 轴对称7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）A．0°B．45°C．60°D．90°8．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．10．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于．11．给出下列命题：（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p∨q是假命题（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题（3）“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．其中叙述正确的是．（填上所有正确命题的序号）12．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为．13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是．14．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II ）平面EFG⊥平面ABC ．16．已知斜率为2的直线l 被圆x 2+y 2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l 的方程．17．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，平面PAB⊥平面ABCD ，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB ，E 为PA 的中点，M 在PD 上．（I ）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB ？（Ⅲ）在（II ）的条件下，求证：PC∥平面BEM ．18．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，，E ，F 分别是A 1C 1，AB 的中点．（I ）求证：平面BCE⊥平面A 1ABB 1； （II ）求证：EF∥平面B 1BCC 1； （III ）求四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积．19．已知斜率为1的直线l 经过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，|AB|=4．（I ）求p 的值；（II ）若经过点D （﹣2，﹣1），斜率为k 的直线m 与抛物线有两个不同的公共点，求k 的取值范围．20．已知椭圆的左焦点为F，离心率为，过点M（0，1）且与x轴平行的直线被椭圆G截得的线段长为．（I）求椭圆G的方程；（II）设动点P在椭圆G上（P不是顶点），若直线FP的斜率大于，求直线OP（O是坐标原点）的斜率的取值范围．北京市2016-2017学年高二上学期期末试卷（文科数学）参考答案与试题解析一、选择题：本大题供8小题，每小题5分，供40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．直线的倾斜角是（）A．B．C．D．【考点】直线的倾斜角．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可．【解答】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．2．直线l过点P（2，﹣2），且与直线x+2y﹣3=0垂直，则直线l的方程为（）A．2x+y﹣2=0 B．2x﹣y﹣6=0 C．x﹣2y﹣6=0 D．x﹣2y+5=0【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由直线的垂直关系可得直线的斜率，可得点斜式方程，化为一般式即可．【解答】解：∵直线x+2y﹣3=0的斜率为﹣，∴与直线x+2y﹣3=0垂直的直线斜率为2，故直线l的方程为y﹣（﹣2）=2（x﹣2），化为一般式可得2x﹣y﹣6=0故选：B【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系，属基础题．3．一个几何体的三视图如图所示，如果该几何体的侧面面积为12π，则该几何体的体积是（）A．4πB．12πC．16πD．48π【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何．【分析】几何体为圆柱，底面半径为2，根据侧面积求出圆柱的高h，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体是底面半径为2的圆柱，∴几何体的侧面积为2π×2×h=12π，解得h=3，∴几何体的体积V=π×22×3=12π．故选B．【点评】本题考查了圆柱的三视图，结构特征，体积，表面积计算，属于基础题．4．在空间中，下列命题正确的是（）A．如果直线m∥平面α，直线n⊂α内，那么m∥nB．如果平面α内的两条直线都平行于平面β，那么平面α∥平面βC．如果平面α外的一条直线m垂直于平面α内的两条相交直线，那么m⊥αD．如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么必有m⊥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】综合题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】利用线面平行、平面与平面平行的判定与性质，线面垂直、平面与平面垂直的判定与性质，即可得出结论．【解答】解：对于A，直线m∥平面α，直线n⊂α内，则m与n可能平行，可能异面，故不正确；对于B，如果平面α内的两条相交直线都平行于平面β，那么平面α∥平面β，故不正确；对于C，根据线面垂直的判定定理可得正确；对于D，如果平面α⊥平面β，任取直线m⊂α，那么可能m⊥β，也可能m和β斜交，；故选：C．【点评】本题主要考查命题的真假判断与应用，考查了空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系，同时考查了推理能力，属于中档题．5．“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（）A．必要而不充分条件B．充分而不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；转化思想；直线与圆；简易逻辑．【分析】对m分类讨论，利用直线相互垂直的充要条件即可得出．【解答】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直；当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则×=﹣1，解得m=1．综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．故选：B．【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．6．方程x2+2ax+y2=0（a≠0）表示的圆（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于直线y=x轴对称D．关于直线y=﹣x轴对称【考点】圆的一般方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】方程x2+2ax+y2=0（a≠0）可化为（x+a）2+y2=a2，圆心为（﹣a，0），即可得出结论．【解答】解：方程x 2+2ax+y 2=0（a≠0）可化为（x+a ）2+y 2=a 2，圆心为（﹣a ，0），∴方程x 2+2ax+y 2=0（a≠0）表示的圆关于x 轴对称，故选：A ．【点评】此题考查了圆的一般方程，方程化为标准方程是解本题的关键．7．如图，正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，则CD 1与EF 所成角为（ ）A ．0°B ．45°C ．60°D ．90° 【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角．【分析】由EF∥A 1D ，A 1B∥D 1C ，得∠DA 1B 是CD 1与EF 所成角，由此能求出CD 1与EF 所成角．【解答】解：连结A 1D 、BD 、A 1B ，∵正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AA 1，AD 的中点，∴EF∥A 1D ，∵A 1B∥D 1C ，∴∠DA 1B 是CD 1与EF 所成角，∵A 1D=A 1B=BD ， ∴∠DA 1B=60°．∴CD 1与EF 所成角为60°． 故选：C ．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），与椭圆方程联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，由此利用根的判别式能求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），联立，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2=0，∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆有公共点，∴△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）≥0，整理，得k2，解得﹣≤k≤．∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣，]．故选：D．【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．已知双曲线的标准方程为，则该双曲线的焦点坐标为，（±，0）渐近线方程为y=±2x．【考点】双曲线的简单性质．【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出双曲线的a，b，c，即可得到焦点坐标；由渐近线方程为y=±x，可得所求渐近线方程．【解答】解：双曲线的a=2，b=4，c==2，可得焦点的坐标为（±，0），渐近线方程为y=±x，即为y=±2x．故答案为：（±，0），y=±2x．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是焦点的求法和渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．10．如果直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行．那么a等于．【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．【专题】方程思想；综合法；直线与圆．【分析】由平行关系可得a的方程，解方程验证排除重合可得．【解答】解：∵直线3ax+y﹣1=0与直线（1﹣2a）x+ay+1=0平行，∴3aa=1（1﹣2a），解得a=﹣1或a=，经检验当a=﹣1时，两直线重合，应舍去故答案为：．【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题．11．给出下列命题：（1）命题p：；菱形的对角线互相垂直平分，命题q：菱形的对角线相等；则p∨q是假命题（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的逆否命题为真命题（3）“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的必要不充分条件（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则¬p：．其中叙述正确的是（4）．（填上所有正确命题的序号）【考点】命题的真假判断与应用．【专题】证明题；转化思想；定义法；简易逻辑．【分析】（1）判断命题p和q的真假即可．（2）先判断命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3”的真假即可．（3）根据充分条件和必要条件的定义进行判断．（4）根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解：（1）命题p：菱形的对角线互相垂直平分，为真命题．命题q：菱形的对角线相等为假命题；则p∨q是真命题，故（1）错误，（2）命题“若x2﹣4x+3=0，则x=3或x=1”，即原命题为假命题，则命题的逆否命题为假命题，故（2）错误，（3）由x2﹣4x+3＜0得1＜x＜3，则“1＜x＜3”是“x2﹣4x+3＜0”的充要条件，故（3）错误，（4）若命题p：∀x∈R，x2+4x+5≠0，则￢p：．正确，故答案为：（4）【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及复合命题的真假关系，四种命题，充分条件和必要条件以及含有量词的命题的否定，知识点较多，属于中档题．12．直线2x+3y+6=0与坐标轴所围成的三角形的面积为 3 ．【考点】直线的一般式方程．【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆．【分析】由直线方程可得直线与坐标轴的交点，由三角形的面积公式可得．【解答】解：把x=0代入2x+3y+6=0可得y=﹣2，把y=0代入2x+3y+6=0可得x=﹣3，∴直线与坐标轴的交点为（0，﹣2）和（﹣3，0），故三角形的面积S=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查直线的一般式方程和三角形的面积公式，属基础题．13．抛物线y2=﹣8x上到焦点距离等于6的点的坐标是（﹣4，）．【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】算出抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，利用抛物线的定义可得﹣m+2=6，解得m=﹣4，进而利用抛物线方程解出n=±4，可得所求点的坐标．【解答】解：∵抛物线方程为y2=﹣8x，可得2p=8， =2．∴抛物线的焦点为F（﹣2，0），准线为x=2．设抛物线上点P（m，n）到焦点F的距离等于6，根据抛物线的定义，得点P到F的距离等于P到准线的距离，即|PF|=﹣m+2=6，解得m=﹣4，∴n2=8m=32，可得n=±4，因此，点P的坐标为（﹣4，）．故答案为：（﹣4，）．【点评】本题给出抛物线的方程，求抛物线上到焦点的距离等于定长的点的坐标．着重考查了抛物线的定义与标准方程等知识，属于基础题．14．已知点A（2，0），点B（0，3），点C在圆x2+y2=1上，当△ABC的面积最小时，点C的坐标为（，）．【考点】圆的标准方程．【专题】转化思想；待定系数法；不等式的解法及应用；直线与圆．【分析】设C（a，b）．根据点A、B的坐标利用待定系数法求得直线AB方程，然后根据点到直线的距离和不等式的性质得到a、b的数量关系，将其代入圆的方程即可求得a、b的值，即点C的坐标．【解答】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，E，F，G分别是AC，AD，BC的中点．求证：（I）AB∥平面EFG；（II）平面EFG⊥平面ABC．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】证明题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）利用线线平行证明线面平行，利用三角形中位线的性质证明AB∥EG即可；（II）证明CD⊥平面ABC，可得EF⊥平面ABC，从而可证平面平面EFG⊥平面ABC．【解答】证明：（I）在三棱锥A﹣BCD中，E，G分别是AC，BC的中点．所以AB∥EG…因为EG⊂平面EFG，AB⊄平面EFG所以AB∥平面EFG…（II）因为AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD所以AB⊥CD…又BC⊥CD且AB∩BC=B所以CD⊥平面ABC…又E，F分别是AC，AD，的中点所以CD∥EF所以EF⊥平面ABC…又EF⊂平面EFG，所以平面平面EFG⊥平面ABC．…【点评】本题考查线面平行，考查面面垂直，掌握线面平行，面面垂直的判定是关键．16．已知斜率为2的直线l被圆x2+y2+14y+24=0所截得的弦长为，求直线l的方程．【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆．【分析】先设直线的方程，再求出圆心到直线的距离，再由半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和建立方程求解．【解答】解：将圆的方程写成标准形式，得x2+（y+7）2=25，所以，圆心坐标是（0，﹣7），半径长r=5．…因为直线l被圆所截得的弦长是，所以，弦心距为，即圆心到所求直线l的距离为．…因为直线l的斜率为2，所以可设所求直线l的方程为y=2x+b，即2x﹣y+b=0．所以圆心到直线l的距离为，…因此，解得b=﹣2，或b=﹣12．…所以，所求直线l的方程为y=2x﹣2，或y=2x﹣12．即2x﹣y﹣2=0，或2x﹣y﹣12=0．…【点评】本题主要考查直线方程，考查直线与圆的位置关系，在相交时半径的平方等于圆心到直线的距离平方与弦长一半的平方的和的灵活运用．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，E为PA的中点，M在PD上．（I）求证：AD⊥PB；（Ⅱ）若，则当λ为何值时，平面BEM⊥平面PAB？（Ⅲ）在（II）的条件下，求证：PC∥平面BEM．【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离．【分析】（I）由平面PAB⊥平面ABCD可得AD⊥平面PAB，进而得出AD⊥PB；（II）由AD⊥平面PAB可知当EM∥AD时，平面BEM⊥平面PAB，故EM为△PAD的中位线，所以λ=；（III）设CD的中点为F，连接BF，FM，则可证BF∥AD∥EM，故FM⊂平面BEM，由中位线定理得PC∥FM，从而PC∥平面BEM．【解答】（I）证明：∵平面PAB⊥平面ABCD，AB⊥AD，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴AD⊥平面PAB．又PB⊂平面PAB，∴AD⊥PB．（II）解：由（I）可知，AD⊥平面PAB，又E为PA的中点，当M为PD的中点时，EM∥AD，∴EM⊥平面PAB，∵EM⊂平面BEM，∴平面BEM⊥平面PAB．此时，．（III）设CD的中点为F，连接BF，FM由（II ）可知，M 为PD 的中点．∴FM∥PC． ∵AB∥FD，FD=AB ，∴ABFD 为平行四边形． ∴AD∥BF，又∵EM∥AD，∴EM∥BF．∴B，E ，M ，F 四点共面． ∴FM ⊂平面BEM ，又PC ⊄平面BEM ，∴PC∥平面BEM ．【点评】本题考查了线面垂直的性质，线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．18．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，，E ，F 分别是A 1C 1，AB 的中点．（I ）求证：平面BCE⊥平面A 1ABB 1； （II ）求证：EF∥平面B 1BCC 1； （III ）求四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（I ）由BB 1⊥底面ABC 得BB 1⊥BC，又AB⊥BC，故BC⊥平面A 1ABB 1，于是平面BCE⊥平面A 1ABB 1；（II ）取BC 的中点D ，连接C 1D ，FD ，由中位线定理和平行公理可得四边形FDC 1E 是平行四边形，故而EF∥C 1D ，于是EF∥平面B 1BCC 1；（III ）过点B 作BG⊥AC 于点G ，则BG 为四棱锥的高，代入体积公式计算即可．【解答】（I ）证明：在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，BB 1⊥底面ABC ，所以，BB 1⊥BC．又因为AB⊥BC 且AB∩BB 1=B ， 所以，BC⊥平面A 1ABB 1． 因为BC ⊂平面BCE ， 所以，平面BCE⊥平面A 1ABB 1．（II ）证明：取BC 的中点D ，连接C 1D ，FD ． 因为E ，F 分别是A 1C 1，AB 的中点，所以，FD∥AC 且．因为AC∥A 1C 1且AC=A 1C 1， 所以，FD∥EC 1且 FD=EC 1．所以，四边形FDC 1E 是平行四边形． 所以，EF∥C 1D ．又因为C 1D ⊂平面B 1BCC 1，EF ⊄平面B 1BCC 1， 所以，EF∥平面B 1BCC 1．（III ）解：因为，AB⊥BC所以，．过点B 作BG⊥AC 于点G ，则．因为，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AA 1⊂平面A 1ACC 1 所以，平面A 1ACC 1⊥底面ABC ． 所以，BG⊥平面A 1ACC 1．所以，四棱锥B ﹣A 1ACC 1的体积．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，线面垂直的性质，棱锥的体积计算，属于中档题．19．已知斜率为1的直线l经过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，|AB|=4．（I）求p的值；（II）若经过点D（﹣2，﹣1），斜率为k的直线m与抛物线有两个不同的公共点，求k的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由消y并整理，利用|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=4，即可求p的值；（II）由题意，直线m的方程为y=kx+（2k﹣1），与抛物线方程联立，利用判别式，即可求k的取值范围．【解答】解：（I）由题意可知，抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标为，准线方程为．所以，直线l的方程为…由消y并整理，得…设A（x1，y1），B（x2，y2）则x1+x2=3p，又|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+p=4， 所以，3p+p=4，所以p=1…（II ）由（I ）可知，抛物线的方程为y 2=2x ． 由题意，直线m 的方程为y=kx+（2k ﹣1）．…由方程组（1）可得ky 2﹣2y+4k ﹣2=0（2）… 当k=0时，由方程（2），得y=﹣1．把y=﹣1代入y 2=2x ，得．这时．直线m 与抛物线只有一个公共点．…当k≠0时，方程（2）得判别式为△=4﹣4k （4k ﹣2）． 由△＞0，即4﹣4k （4k ﹣2）＞0，亦即4k 2﹣2k ﹣1＜0．解得．于是，当且k≠0时，方程（2）有两个不同的实根，从而方程组（1）有两组不同的解，这时，直线m 与抛物线有两个不同的公共点，…因此，所求m 的取值范围是．…【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．已知椭圆的左焦点为F ，离心率为，过点M （0，1）且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为．（I ）求椭圆G 的方程；（II ）设动点P 在椭圆G 上（P 不是顶点），若直线FP 的斜率大于，求直线OP （O 是坐标原点）的斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I ）由已知点在椭圆G 上，离心率为，列出方程组求出a ，b ，能求出椭圆G 的方程．（II ）点F 的坐标为（﹣1，0），设点P 的坐标为（x 0，y 0），直线FP 的方程为y=k （x+1），从而得．设直线OP 的方程为y=mx ．得．由此能求出直线OP （O 是坐标原点）的斜率的取值范围．【解答】解：（I ）∵椭圆的左焦点为F ，离心率为，过点M （0，1）且与x 轴平行的直线被椭圆G 截得的线段长为．∴点在椭圆G 上，又离心率为，∴，解得∴椭圆G 的方程为．（II ）由（I ）可知，椭圆G 的方程为．∴点F 的坐标为（﹣1，0）．设点P 的坐标为（x 0，y 0）（x 0≠﹣1，x 0≠0），直线FP 的斜率为k ，则直线FP 的方程为y=k （x+1），由方程组消去y 0，并整理得．又由已知，得，解得或﹣1＜x 0＜0．设直线OP 的斜率为m ，则直线OP 的方程为y=mx ．由方程组消去y 0，并整理得．由﹣1＜x 0＜0，得m 2＞，∵x 0＜0，y 0＞0，∴m＜0，∴m∈（﹣∞，﹣），由﹣＜x 0＜﹣1，得，∵x 0＜0，y 0＞0，得m ＜0，∴﹣＜m ＜﹣．∴直线OP （O 是坐标原点）的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，﹣）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆与直线的位置关系的合理运用．。
2017东城区高二(上)期末数学(文科)
9．（4 分）若双曲线
=1（a＞0）的一条渐近线方程为 y=2x，则 a= ．
10．（ 4 分）若 x，y 满足约束条件
则 z=x+2y 的最小值为 ．
11．（ 4 分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是
．
12．（ 4 分）如图，在三棱锥 P﹣ABC中， PA⊥平面 ABC，AB=BC，PA=AC，E 为 PC 上的动点，当 BE ⊥ PC时， 的值为 ．
2000 2100 2200 2300 2400
新京报
10 15 30 35 10
北京晨报
18 20 40 20 2
北京青年报
35 25 20 15 5
三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是
；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的
北京青年报的 1.2 倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是
．
1.5 倍，
4．（3 分）已知三条不同的直线 a， b， c，若 a⊥b，则 “ａ⊥c”是“ｂ∥c”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（3 分）圆 C1： x2+（ y﹣ 1） 2=1 和圆 C2：x2﹣6x+y2﹣ 8y=0 的位置关系为（
）
A．相交 B．内切 C．外切 D．内含
，则 x0 的值为（ ）
A．8 B．4 C． 2 D．1
8．（3 分）图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食
者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（
）
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A．
B
．
C．
D．
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
2017东城区高二(上)期末数学(文科)
2017东城区高二（上）期末数学（文科）一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．﹣45°B．﹣30°C．45°D．135°2．（3分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．三棱锥3．（3分）命题“∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＜0成立”的否定形式是（）A．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＞0成立B．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3≥0成立C．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0恒成立D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立4．（3分）已知三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，则“a⊥c”是“b∥c”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．内含6．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥n C．若m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，则α⊥β7．（3分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点，且，则x0的值为（）A．8 B．4 C．2 D．18．（3分）图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．（4分）若双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．10．（4分）若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．11．（4分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是．12．（4分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC，PA=AC，E为PC上的动点，当BE ⊥PC时，的值为．13．（4分）已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为．14．（4分）某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：2000三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（8分）已知直线l过点A（2，a），B（a，﹣1），且与直线m：2x﹣y+2=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）过点A与l垂直的直线交直线m于点C，求线段BC的长．16．（9分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（I）求证：AC⊥BD1；（Ⅱ）是否存在直线与直线AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．17．（9分）已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx﹣1与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．18．（9分）已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M﹣ACE的体积．19．（9分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面PAD．（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面PAD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．参考答案与试题解析一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故选C．2．【解答】在A中，圆锥的横截面是圆，故A不成立；在B中，圆柱的横截面是圆，故B不成立；在C中，球的横截面是圆，故C不成立；在D中，三棱锥的截面不可能是圆，故D成立．故选：D．3．【解答】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立，故选：D4．【解答】垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，即当a⊥c时，b∥c不一定成立，即充分性不成立，若b∥c，则a⊥c成立，即必要性成立，则“a⊥c”是“b∥c”的必要不充分条件，故选：B5．【解答】圆C1：x2+（y﹣1）2=1，表示以C1（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，表示以C2（3，4）为圆心，半径等于5的圆．∴两圆的圆心距d==3∵5﹣1＜3＜5+1，故两个圆相交．故选：A．6．【解答】对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D．7．【解答】该抛物线C：y2=4x的焦点（1，0）．P（x0，y0）是C上一点，且，根据抛物线定义可知x0+1=，解得x0=2，故选：C．8．【解答】由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，故选：B二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．【解答】双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，可得：，解得a=1．故答案为：1．10．【解答】作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0）此时z=3+2×0=3．故答案为：311．【解答】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为2，故棱柱的表面积S=3×2+（5+）×2=，故答案为：12．【解答】取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（，2，0），C（0，，0），设E（a，b，c），=λ（0≤λ≤1），则，即（a，b﹣，c）=λ（，0），∴，∴E（），∴=（），=（﹣，，0），∵BE⊥PC，∴=﹣2λ+﹣（2﹣）2λ=0，解得．∴当BE⊥PC时，的值为．故答案为：．13．【解答】O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，如图：可得：，==，可得b=c，a=c，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．14．【解答】三种报刊中，日平均销售量分别为=2230；=1720，=2100∴日平均销售量最大的报刊是新京报；设每份北京晨报的销售利润为x元，则新京报为x，北京青年报x，∴三种报刊日平均销售利润分别是×2300，x×1720，2100x，可得三种报刊日平均销售利润最大的报刊是北京晨报．故答案为新京报，北京晨报．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．【解答】（Ⅰ）根据题意，得，解得a=1．所以A（2，1），B（1，﹣1）．所求直线l的方程为2x﹣y﹣3=0．…（4分）（Ⅱ）过点A与l垂直的直线方程为，整理，得x+2y﹣4=0．由解得C（0，2）．．…（8分）16．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）证明：如图，连结BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴D1D⊥平面ABCD．∵AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．…（5分）（Ⅱ）存在．答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．下面给出答案中的两种情况，其他答案只要合理就可以给满分．（9分）17．【解答】（Ⅰ）因为圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，所以圆C的半径r=2．则所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4．…（5分）（Ⅱ）因为DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形．因为r=2，则圆心D到直线y=kx﹣1的距离．则，解得k=1或k=7．…（9分）18．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）方法一：取AD中点N，连结MN．∵四边形ABCD是正方形，M为BC中点，∴MN AB．∵四边形ABEF是菱形，∴AB EF．∴MN EF．∴四边形MNFE是平行四边形．∴EM∥NF．∵EM⊄平面ADF，NF⊂平面ADF，∴EM∥平面ADF．…（5分）方法二：∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵四边形ABEF是菱形，∴BE∥AF．∵BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF．∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF．∵EM⊂平面BCE，∴EM∥平面ADF．（Ⅱ）方法一：取AB中点P，连结PE．∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EP⊥平面ABCD，∴EP为四面体E﹣ACM的高．∴．…（9分）方法二：取BE中点Q，连结AQ．∵在菱形ABEF，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴AQ⊥BE．∵AB=2，∴．∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB．∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴BC⊥平面ABEF．∵AQ⊂平面ABEF，BE⊂平面ABEF，∴AQ⊥BC，BC⊥BE．∴AQ⊥平面BEC．∴AQ为四面体A﹣EMC的高．∵CB⊥EB，∴．∴．…（9分）19．【解答】（本题满分9分）（Ⅰ）证明：连结AC．∵底面ABCD是矩形，F是BD中点，∴F也是AC的中点．∵G是PC的中点，∴GF是△PAC的中位线，∴GF∥PA．∵GF⊄平面PAD，PA⊂平面PAD，∴GF∥平面PAD．∵E是AB中点，F是BD中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．∵EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴EF∥平面PAD．∵GF∥平面PAD，EF∥平面PAD，EF∩FG=F，∴平面EFG∥平面PAD．…（5分）（Ⅱ）解：存在λ，，即时，平面PBC⊥平面PAD．方法一：∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PE⊥BC，PE⊥AB．∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵PE∩AB=E，∴BC⊥平面PAB．∵PA⊂平面PAB，∴PA⊥BC．∵PE⊥AB，E为AB的中点，∴PA=PB．当PA⊥PB，即时，∴PA⊥平面PBC．∵PA⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面PBC．此时．…（9分）方法二：过点P作PQ∥BC．∴PQ，BC共面，即PQ⊂平面PBC．∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC．∵PQ∥BC，∴PQ∥AD．∴PQ，AD共面，即PQ⊂平面PAD．∴平面PBC∩平面PAD=PQ．∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PE⊥BC．∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵PQ∥BC，∴PE⊥PQ，AB⊥PQ．∵PE∩AB=E，∴PQ⊥平面PAB．∵PA⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，∴PA⊥PQ，PB⊥PQ，∴∠APB是平面PAD和平面PBC所成二面角的平面角．∵平面PAD⊥平面PBC，∴∠APB=90°．∵PE⊥AB，E为AB的中点，∴PA=PB．∴△PAB是等腰直角三角形．∴．即时，平面PBC⊥平面PAD．…（9分）20．【解答】（本题满分8分）（Ⅰ）根据题意得，解得．所求椭圆方程为．…（3分）（Ⅱ）因为MN=MQ，PN=PQ，所以对角线MP垂直平分线段NQ．设MP，NQ所在直线方程分别为y=﹣x+m，y=x+n，N（x1，y1），Q（x2，y2），NQ中点P（x0，y0）．由得4x2+6nx+3n2﹣3=0．令△=48﹣12n2＞0，得n2＜4.，．则．同理．所以．又因为，所以NQ中点．由点A在直线MP上，得n=﹣2m，所以．因为0≤n2＜4，所以0≤m2＜1．所以当m=0时，四边形MNPQ面积的最大值为3．…（8分）。
北京市东城区2016-2017学年高二下学期期末教学统一检
东城区2016—2017学年度第二学期期末教学统一检测高二数学 (文科) 2017.7本试卷共4页，共100分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共24分）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2,3B =，则A B =（ ）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,3-C ．{}1,2D ．{}32．设复数z 32i =-，则z 的虚部是（ ） A ．iB ．3C ．2D ．2-3．下列函数在(0,)+∞上是减函数的是 （ ）A ．()ln f x x =B ．()e x f x -=C ．()f x =D ．1()f x x=-4．如图所示的程序框图，运行相应的程序. 如果输入n 的值为2，那么输出s 的值是 （ ）A ．0B ．1C ．3D ．75．在下列区间中，函数()e 43x f x x =+-的零点所在的区间为（ ）． A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭6. “0a b >>”是“22a ab b +>+”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知过点P 作曲线3y x =的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能 是 （ ）A ．(0,0)B ．(0,1)C ．(1,1)D ．(2,1)--8．甲、乙两人约好一同去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩9张该场电影的电影票，电影票的座位信息如下表．丙从这9张电影票中挑选了一张，甲、乙询问丙所选的电影票的座位信息．丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下面是甲、乙关于丙所选电影票的具体座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不能确定丙的座位信息，你肯定也不能确定．” 乙对甲说：“本来我不能确定，但是现在我能确定了．” 甲对乙说：“哦，那我也能确定了！” 根据上面甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是 （ ）A ．4排8号B ．3排1号C ．2排4号D ．1排5号第二部分（非选择题 共76分）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．i 是虚数单位,复数13i1i+=- ． 10．已知函数2()2(1)3f x x m x =-+-+是R 上的偶函数,那么实数m =___________． 11．已知0x >，则14y x x=+的最小值是__________________． 12．已知函数()2xe f x x =+，则'(0)f = ．13．已知函数,1,()ln 2, 1.x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩则不等式()3f x >的解集是__________________．14．已知平面向量(,)m n =a ，(,)p q =b ，（其中,,,Z m n p q ∈），定义:(,)mp nq mq np ⊗=-+a b ．若(1,2)=a ，(2,1)=b ，则⊗a b = _____________；若(5,0)⊗a b =, 且||5<a ，||5<b ，则=a _________，=b __________（写出一组满足此条件的a 和b 即可）．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本题满分8分）已知函数32()38f x x x =-+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求()f x 的极大值．16．（本题满分9分）已知集合2{|log 1}A x x =<，2{|(1)1,0}B x ax a =-<>，若A B A =，求a 的取值范围．17．（本题满分9分）已知：在数列{}n a 中，11a =，131nn n a a a +=+，判断{}n a 的单调性．小明同学给出了如下解答思路，请补全解答过程． 第一步，计算：根据已知条件，计算出：2a =_______， 3a =________，4a =_________． 第二步，猜想：数列{}n a 是_____________________（填递增、递减）数列． 第三步，证明： 因为131n n n a a a +=+，所以13111n n n na a a a ++==+_____________．因此可以判断数列1{}n a 是首项11a =_______，公差d =_________的等差数列． 故数列1{}na 的通项公式为______________________________． 且由此可以判断出： 数列1{}na 是________（填递增、递减）数列，且各项均为______（填正数、负数或零）． 所以数列{}n a 是___________（填递增、递减）数列．18．（本题满分9分）已知函数()e e xxf x -=-.（Ⅰ）判断函数()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（Ⅱ）若2()(1)0f x f kx ++>对任意R x ∈恒成立，求k 的取值范围．19．19．（本题满分9分）某研究中心计划研究S 市中学生的视力情况是否存在区域差异和年级差异．由数据库知S 市城区和郊区的中学生人数，如表1．表1 S 市中学生人数统计得到近视的学生人数如表2．表2 S 市抽样样本中近视人数统计（Ⅰ）请你用独立性检验方法来研究高二．．（11．．年级．．）学生的视力情况是否存在城乡差异，填写22⨯列联表，并判断能否在犯错误概率不超过5%的前提下认定“学生的近视情况与地区有关”．附:独立性检验公式为:2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（Ⅱ）请你选择合适的角度，处理表1和表2的数据，列出所需的数据表，画出散点图，并根据散点图判断城区．．中学生的近视情况与年级是成正相关还是负相关．20．（本题满分8分）已知函数()ln 2f x a x x =-+，（其中实数0a ≠）. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果对任意的1[1,e]x ∈，总存在2[1,e]x ∈，使得12()()3f x f x +≥，求a 的最小值．。
2016东城区高二(上)期末数学(文科)
2016东城区高二（上）期末数学（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）圆x2+y2﹣2x+4y+1=0的半径为（）A．1 B．C．2 D．42．（3分）直线x﹣3y+1=0的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（3分）过点（1，0）且与直线x﹣2y﹣2=0平行的直线方程是（）A．x﹣2y﹣1=0 B．x﹣2y+1=0 C．2x+y﹣2=0 D．x+2y﹣1=04．（3分）双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是（）A．4B．4 C．2D．25．（3分）已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（）A．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n B．若m⊥α，m⊥n，则n∥αC．若m∥α，m⊥n，则n⊥αD．若m∥α，n∥α，则m∥n6．（3分）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）A．0 B．1 C．D．27．（3分）设抛物线y2=8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A．4 B．6 C．8 D．128．（3分）一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．49．（3分）过点的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（3分）甲工厂八年来某种产品年产量与时间（单位：年）的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品产量增长速度越来越快；②前三年该产品产量增长速度越来越慢；③第三年后该产品停止生产；④第三年后该产品年产量保持不变．其中说法正确的是（）A．①③B．①④C．②③D．②④二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．（3分）抛物线y2=4x的准线方程是．12．（3分）以边长1的正方形的一边所在直线为旋转轴将正方形旋转一周，所得圆柱的侧面积等于．13．（3分）双曲线的两条渐近线方程为．14．（3分）f′（x）是的导函数，则f′（﹣1）的值是．15．（3分）设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知，则C的离心率为．16．（3分）如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，BD∩AC=O，M是线段D1O上的动点，过点M作平面ACD1的垂线交平面A1B1C1D1于点N，则点N到点A距离的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知三角形的三个顶点A（4，6），B（﹣3，0），C（﹣1，﹣4），求BC边上中线和高线所在的直线方程．18．（10分）已知圆C经过A（1，3），B（﹣1，1）两点，且圆心在直线y=x上．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）设直线l经过点（2，﹣2），且l与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．19．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，PA=PB，且侧面PAB⊥平面ABCD，点E是棱AB的中点．（Ⅰ）求证：CD∥平面PAB；（Ⅱ）求证：PE⊥AD；（Ⅲ）若CA=CB，求证：平面PEC⊥平面PAB．20．（11分）设a∈R，函数f（x）=2x3+（6﹣3a）x2﹣12ax+2．（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最小值．21．（11分）已知椭圆的长轴长为，离心率，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；（Ⅲ）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】圆x2+y2﹣2x+4y+1=0变形得：（x﹣1）2+（y+2）2=4，∴圆的半径为2．故选：C．2．【解答】由题意，直线的斜率为即直线倾斜角的正切值是又倾斜角大于或等于0°且小于180°，故直线的倾斜角为30°，故选A．3．【解答】设直线方程为x﹣2y+c=0，又经过（1，0），∴1﹣0+c=0故c=﹣1，∴所求方程为x﹣2y﹣1=0；故选A．4．【解答】双曲线2x2﹣y2=8，可化为∴a=2，∴双曲线2x2﹣y2=8的实轴长是4故选B．5．【解答】由m，n表示两条不同直线，α表示平面，知：在A中：若m⊥α，n⊂α，则由线面垂直的性质得m⊥n，故A正确；在B中：若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故B错误；在C中：若m∥α，m⊥n，则n与α相交、平行或n⊂α，故C错误；在D中：若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故D错误．故选：A．6．【解答】作出不等式组表示的平面区域，当l经过点B时，目标函数z达到最大值=0+2×1=2．∴z最大值故选：D．7．【解答】抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B8．【解答】由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，四棱锥的底面是长方形，长方形的长、宽分别为1、2，∴几何体的体积V=×1×2×3=2．故选：B．9．【解答】由题意可得点在圆x2+y2=1的外部，故要求的直线的斜率一定存在，设为k，则直线方程为y+1=k（x+），即kx﹣y+k﹣1=0．根据直线和圆有公共点、圆心到直线的距离小于或等于半径可得≤1，即3k2﹣2k+1≤k2+1，解得0≤k≤，故选：D．10．【解答】设产量与时间的关系为f（x），由图可知f（3）﹣f（2）＜f（2）﹣f（1），∴前三年该产品产量增长速度越来越慢．故①错误，②正确．由图可知从第四年开始产品产量不发生变化且f（4）≠0，故③错误，④正确．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．【解答】∵2p=4，∴p=2，开口向右，∴准线方程是x=﹣1．故答案为x=﹣1．12．【解答】边长为1的正方形，绕其一边所在直线旋转一周，得到的几何体为圆柱，则所得几何体的侧面积为：1×2π×1=2π，故答案为：2π13．【解答】∵双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上而双曲线的渐近线方程为y=±x∴双曲线的渐近线方程为故答案为：14．【解答】f′（x）=x2+2，把x=﹣1代入f′（x）得：f′（﹣1）=1+2=3故答案为：315．【解答】由题意作图如下，，由题意知，|AB|2=a2+b2，|F1F2|2=4c2，∵，∴a2+b2=•4c2，即a2+a2﹣c2=3c2，即a2=2c2，故e==，故答案为：．16．【解答】∵平面ACD1⊥平面BDD1B1，又MN⊥平面ACD1，∴MN⊂平面BDD1B1，∴N∈B1D1，过N作NG⊥A1B1，交A1B1于G，将平面A1B1C1D1展开，如图：设NG=x，（0≤x≤1），∴AN===≥，当x=时，AN取最小值．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．【解答】设BC边中点为M（x0，y0），∵B（﹣3，0），C（﹣1，﹣4），∴，．∴M（﹣2，﹣2）．（2分）又A（4，6），．（4分）∴BC边上中线所在的直线方程为4x﹣3y+2=0．（6分）设BC边上的高线为AH，∵AH⊥BC，∴．（8分）∴BC边上高线所在的直线方程为x﹣2y+8=0．（10分）18．【解答】（Ⅰ）设圆C的圆心坐标为（a，a），依题意，有，即a2﹣6a+9=a2+2a+1，解得a=1，（2分）所以r2=（1﹣1）2+（3﹣1）2=4，（4分）所以圆C的方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．（5分）（Ⅱ）依题意，圆C的圆心到直线l的距离为1，所以直线x=2符合题意．（6分）设直线l方程为y+2=k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k﹣2=0，则，解得，所以直线l的方程为，即4x+3y﹣2=0．（9分）综上，直线l的方程为x﹣2=0或4x+3y﹣2=0．（10分）19．【解答】（Ⅰ）因为底面ABCD是菱形，所以CD∥AB．又因为CD⊄平面PAB，所以CD∥平面PAB．（Ⅱ）因为PA=PB，点E是棱AB的中点，所以PE⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，PE⊂平面PAB，所以PE⊥平面ABCD，因为AD⊂平面ABCD，所以PE⊥AD．（Ⅲ）因为CA=CB，点E是棱AB的中点，所以CE⊥AB，由（Ⅱ）可得PE⊥AB，所以AB⊥平面PEC，又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PEC．20．【解答】（Ⅰ）f'（x）=6[x2+（2﹣a）x﹣2a]=6（x+2）（x﹣a）．（3分）当a=1时，f'（0）=﹣12，f（0）=2，所以切线方程为y﹣2=﹣12x，即12x+y﹣2=0．（6分）（Ⅱ）令f'（x）=0，解得：x1=﹣2，x2=a．①a≥2，则当x∈（﹣2，2）时，f'（x）＜0，函数f（x）在（﹣2，2）上单调递减，所以，当x=2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（2）=42﹣36a．（8分）②﹣2＜a＜2，则当x∈（﹣2，2）时，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：所以，当x=a时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（a）=﹣a3﹣6a2+2．（11分）③a≤﹣2，则当x∈（﹣2，2）时，f'（x）＞0，函数f（x）在（﹣2，2）上单调递增，所以，当x=﹣2时，函数f（x）取得最小值，最小值为f（﹣2）=10+12a．（13分）综上，当a≤﹣2时，f（x）的最小值为10+12a；当﹣2＜a＜2时，f（x）的最小值为﹣a3﹣6a2+2；当a≥2时，f（x）的最小值为42﹣36a．（14分）21．【解答】（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为，∵长轴长2a=，离心率e=，∴，所求椭圆方程为；（Ⅱ）∵直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，∴直线l的方程为y=x﹣1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得，3y2+2y﹣1=0，解得，∴．（Ⅲ）①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．因为△=16k4﹣4（1+2k2）（2k2﹣2）=8（k2+1）＞0，所以．因为y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），所以．因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，所以k OP•k OQ=﹣1，因为，所以x1x2+y1y2=得k2=2．所以．所以所求直线的方程为．word下载地址第11页共11。
2017-2018学年北京市东城区高二年级上学期期末考试数学(文)试题 解析版
绝密★启用前北京市东城区2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学（文）试题一、单选题1．若A，B两点的纵坐标相等，则直线AB的倾斜角为A．0 B．C．D．π【答案】A【解析】∵，两点的纵坐标相等∴直线与轴平行∴直线的倾斜角为0故选A.2．已知命题p:x0R，lgx0<0，那么命题p为A．x R，lgx>0 B．x0R，lgx0>0C．x R，lgx≥0D．x0R，lgx0≥0【答案】C【解析】因为命题p:x0R，lgx0<0，所以p为x R，lgx≥0，选C.3．某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是A．三棱锥B．四棱锥C．四棱台D．三棱台【答案】B【解析】几何体为四棱锥，如图，选B.点睛：三视图问题的常见类型及解题策略(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．4．将直线x+2y=0绕坐标原点逆时针旋转90°，再向下平移1个单位，所得到直线的方程为A．x-2y-1=0 B．2x-y-1=0C．2x+y-1=0 D．2x-y+1=0【答案】B【解析】将直线x+2y=0绕坐标原点逆时针旋转90°，得，再向下平移1个单位，得，选B.5．已知p:a>3，q:点A（a，1）在圆x2+y2=9外，则p是q的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】q:，所以p是q的充分不必要条件，选A.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与棱AD所在直线异面的棱的条数是A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】与棱AD所在直线异面的棱为,共4条，选B.7．已知双曲线x2-=1上一点P到它的一个焦点的距离等于4，那么点P到另一个焦点的距离等于A．2 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】由题意得,负值舍去，所以选D.8．已知直线l，m和平面，，且l⊥，m∥，则下列命题中正确的是A．若⊥，则l∥m B．若∥，则l⊥mC．若l∥，则m⊥D．若l⊥m，则∥【答案】B【解析】l⊥，m∥，⊥，则l，m位置关系不定；l⊥，∥，则l⊥，因为m∥，所以l⊥m；l⊥，m∥，l∥，则l，m位置关系不定；l⊥，m∥，l⊥m，则，位置关系不定；所以选B.9．若半径为1的动圆与圆(x-1)2+y2=4相切，则动圆圆心的轨迹方程为A ． (x-l)2+y2=9B ． (x-l)2+y2=3C ． (x-l)2+y2=9或(x-l)2+y2=1D ． (x-1)2+y2=3或(x-l)2+y2=5 【答案】C【解析】设动圆圆心(),A x y ，已知圆的圆心()1,0O ，半径为2.若两圆外切，则有123AO =+=，即有()2219x y -+=； 若两圆内切，则有211AO =-=，即有()2211x y -+=； 综上，动圆圆心的轨迹方程是()2219x y -+=或()2211x y -+=故选C.点睛：求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： ①直接法：直接根据题目提供的条件列出方程； ②定义法：根据圆、直线等定义列方程； ③几何法：利用圆的几何性质列方程；④代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．10．如图，探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，已知灯口截面圆的直径PQ 为60cm ，灯深OE 为40cm ，则抛物线POQ 的标准方程可能是A ． y2=xB ． y2=xC ． x2=-yD ． x2=-y【答案】C 【解析】若抛物线标准方程为，则过点，所以，因此标准方程可能是x 2=-y ，选C.11．已知圆C：x2+y2=4，直线l:x+y=m（m R），设圆C上到直线l的距离为1的点的个数为S，当0≤m<3时，则S的可能取值共有A．2种B．3种C．4种D．5种【答案】B【解析】因为圆C上到直线l的距离为，所以当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3；当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为2；当时，圆C上到直线l的距离为1的点的个数为4；因此S的可能取值共有3种，选B.点睛：判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．12．将圆（x-1）2+y2=2绕直线kx-y-k=0旋转一周所得的几何体的表面积为A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】因为直线kx-y-k=0过圆心，所以旋转一周所得的几何体为球，表面积为选D.点睛：计算旋转体的侧面积时，一般根据轴截面形状确定旋转体形状，根据旋转体对应几何体表面积公式求解.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．在空间直角坐标系中，点P(2,-1,1)在yOz 平面内的射影为Q(x,y,z)，则x+y+z=________. 【答案】0【解析】∵点Q 是点()2,1,1P -在yOz 坐标平面内的射影 ∴Q 点坐标为()0,1,1- ∴0,1,1x y z ==-= ∴0x y z ++= 故答案为0.14．试写出一个离心率为，焦点在y 轴上的椭圆的标准方程_________【答案】（答案不唯一）【解析】因为离心率为，所以可设，此时椭圆的标准方程为15．已知直线l1:4x+By-C=0，直线l2:2x-3y-1=0，若l1与l2的交点在x 轴上，则C 的值为_________ 【答案】2 【解析】因为l 2与x 轴的交点为，所以16．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，若它的准线过点（2，1），则该抛物线的标准方程为_________，焦点坐标为__________ 【答案】 （-2，0）【解析】由题意可设抛物线的标准方程为；焦点坐标为.17．一个水平横放的圆柱形水桶，桶内的水漫过底面周长的四分之一，那么当桶直立时，水的高度与桶的高度的比为__________【答案】（）：4【解析】设水桶底面半径为，高为，当桶直立时水的高度为，所以点睛：等积法包括等面积法和等体积法．等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高或内切球的半径，特别是在求三角形的高和三棱锥的高时，这一方法回避了通过具体作图得到三角形(或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．18．已知曲线C上的任意一点M(x,y)满足到两条直线y x=的距离之积为12.给出下列关于曲线C的描述：①曲线C关于坐标原点对称；②对于曲线C上任意一点M(x,y)一定有6x…；③直线y=x与曲线C有两个交点；④曲线C与圆x2+y2=16无交点.其中所有正确描述的序号是________.【答案】①③④【解析】∵任意一点(),M x y满足到两条直线y x=的距离之积为1212=∴2213618x y-=对于①，由曲线C的方程可得曲线C的图象关于原点对称，故正确；对于②，由曲线C的方程可得x R ∈，故错误；对于③，联立直线y x =与曲线C 的方程，得交点为()()6,6,6,6--，故正确；对于④，联立圆2216x y +=与曲线C的方程得222216{ 13618x y x y +=-=，方程组无解，则圆与曲线C 无交点，故正确.故答案为①③④.三、解答题19．已知直线l 过点A(0,4)，且在两坐标轴上的截距之和为1. （Ⅰ）求直线l 的方程；（Ⅱ）若直线l1与直线l 平行，且l1与l 间的距离为2，求直线l1的方程. 【答案】（Ⅰ）4x-3y+12=0；（Ⅱ）4x-3y+2=0或4x-3y+22=0.【解析】试题分析：（Ⅰ）求出直线在,x y 轴上的截距分别为3,4-，可得直线方程；（Ⅱ）可设直线1:430l x y m -+=，根据已知列出2=，解之即可得到m 的值，从而求出直线1l 的方程.试题解析：（Ⅰ）由直线l 过点(0,4)，所以直线l 在y 轴上的截距为4. 由已知条件可得直线l 在x 轴上的截距为-3，即直线过点B(-3,0). 故直线方程为134xy+=-，即4x-3y+12=0. （Ⅱ）由条件设直线l 1的方程为4x-3y+m=0，由两条直线间的距离为2，可得(0,4)到直线l 1的距离为2， 则有2=，解得m=2或m=22.故所求直线l 1的方程为4x-3y+2=0或4x-3y+22=0. 20．已知圆C ：x2+y2+10x+10y+34=0。
北京市东城区2016-2017学年高二下学期期末教学统一检测检测数学文试题Word版无答案
东城区 2016—2017 学年度第二学期期末教课一致检测高二数学(文科 )2017.7 本试卷共 4 页，共 100 分．考试时长120 分钟．考生务势必答案写在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共24分）一、选择题（本大题共8 小题，每题 3 分，共 24 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）1．若会合A 1,0,1,2 ，B 1,2,3 ，则 A B （）A．1,0,1,2,3 B．1,3 C．1,2 D．32．设复数 z 3 2i ，则z的虚部是（）A．i B．3 C．2 D．23．以下函数在(0,) 上是减函数的是（）．f (x) ln x ．f ( x) e x． f ( x) xD． 1A B C f ( x)x 4．以下图的程序框图，运转相应的程序. 假如输入 n 的值为 2，那么输出 s 的值是（）A ． 0 B． 1 C． 3 D ． 75．在以下区间中，函数 f x e x 4 x3的零点所在的区间为（）．A．1,0 B．0,1C．1,1D．1,3 4 4 4 2 2 46. “b 0 ”是“a a2 b b2”的（）aA．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件7．已知过点P作曲线y x3 的切线有且仅有两条，则点P 的坐标可能是（）A．(0,0) B．(0,1)C．(1,1) D．( 2, 1)8．甲、乙两人约好一起去看《变形金刚5》，两人买完了电影票后，偶遇丙也来看这场电影，此时还剩 9 张该场电影的电影票，电影票的座位信息以下表．1排4号1排5号1排8号2排4号3排1号3排5号4排1号4排2号4排8号丙从这 9 张电影票中精选了一张，甲、乙咨询丙所选的电影票的座位信息．丙只将排数告诉了甲，只将号数告诉了乙．下边是甲、乙对于丙所选电影票的详细座位信息的一段对话：甲对乙说：“我不可以确立丙的座位信息，你一定也不可以确立．”乙对甲说：“原来我不可以确立，可是此刻我能确立了．”甲对乙说：“哦，那我也能确立了！”依据上边甲、乙的对话，判断丙选择的电影票是（）A．4排8号B．3 排1 号C．2 排4 号D．1排5 号第二部分（非选择题共76分）二、填空题（本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）1 3i9．i是虚数单位 ,复数 1 i ．10．已知函数 f ( x) x2 2(m 1) x 3 是R上的偶函数,那么实数 m ___________．11．已知x 0 ，则y 4 x 1的最小值是 __________________．x12．已知函数f ( x) e x ，则 f ' (0) ．x 2 13．已知函数 f ( x) x, x 1,则不等式 f (x) 3 的解集是__________________．ln x 2, x 1.14．已知平面向量 a (m, n) ，b ( p,q) ，（此中 m,n, p, q Z ），定义 : a b (mp nq, mq np) ．若 a (1,2) ，b (2,1) ，则a b= _____________；若 a b = (5,0), 且 | a | 5 ， |b | 5 ，则a_________，b __________ （写出一组知足此条件的 a 和b即可）．三、解答题（本大题共 6 个小题，共52 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（此题满分（Ⅰ）求曲线8 分）已知函数 f (x) x33x28 ．y f ( x) 在点 (1, f (1))处的切线方程；（Ⅱ）求 f ( x) 的极大值．16．（此题满分 9 分）已知会合A { x |log2x 1} ， B { x | (1 ax) 2 1,a 0} ，若 A B A ，求a的取值范围．17．（此题满分 9 分）已知：在数列 { a n } 中， a 1 1， a n 1a n ，判断 { a n} 的单一性．3a n1小明同学给出了以下解答思路，请补全解答过程． 第一步，计算：依据已知条件，计算出：a 2 _______， a 3 ________， a 4_________ ．第二步，猜想：数列 { a n } 是 _____________________ （填递加、递减）数列．第三步，证明：由于 a n a n，所以1 3a n 1 1 11 an 1 a n _____________．3a na n所以能够判断数列 { 1}是首项1 _______，公差 d _________的等差数列．a na 1故数列 {1} 的通项公式为 ______________________________ ．a n且由此能够判断出：数列 { 1} 是 ________（填递加、 递减）数列， 且各项均为 ______（填正数、 负数或零）．a n所以数列 { a n } 是___________（填递加、递减）数列．18．（此题满分9 分）已知函数f (x)e xe x .（Ⅰ）判断函数f ( x)的奇偶性和单一性，并说明原因；（Ⅱ）若2f (x )f (kx1)对随意xR 恒建立，求k 的取值范围．19． 19．（此题满分 9 分）某研究中心计划研究S 市中学生的视力状况能否存在地区差别和年级差别．由数据库知S 市城区和郊区的中学生人数，如表 1．表 1S 市中学生人数统计人数 年级89101112 地区7城区 30000 24000 20000 16000 12500 10000 郊区500044004000230022001800现用分层抽样的方法从全市中学生中抽取总量百分之一的样本， 进行了检查， 获得近视的学生人数如表 2．表 2 S 市抽样样本中近视人数统计人数年级7 8 9 10 11 12地区城区75 72 76 72 75 74郊区10 9 15 8 9 11（Ⅰ）请你用独立性查验方法来研究高二（ 11 年级）学生的视力状况能否存在城乡差别，．．．．．．填写 2 2 列联表，并判断可否在出错误概率不超出5%的前提下认定“学生的近视情况与地域有关”．附 :P(K 2 k0 ) 0.5 0.4 0.25 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828独立性查验公式为 : K2(an(ad bc)2b)( c d )(a c)(b d)（Ⅱ）请你选择适合的角度，办理表 1 和表 2 的数据，列出所需的数据表，画出散点图，并依据散点图判断城区中学生的近视状况与年级是成正有关仍是负有关．．．20．（此题满分8 分）已知函数 f (x) a ln x x 2 ，（此中实数 a 0 ）.（Ⅰ）求 f ( x) 的单一区间；（Ⅱ）假如对随意的x1 [1,e] ，总存在x2 [1,e] ，使得 f ( x1 ) f ( x2 ) 3 ，求a 的最小值．。
北京市东城区高二数学上学期期末考试试题理
北京市东城区2015-2016学年上学期高二年级期末考试数学试卷（理科）本试卷共100分，考试时长120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知)5,3(),3,1(B A --，则直线AB 的斜率为（ ） A. 2B. 1C.21 D. 不存在2. 圆心为)2,3(-且过点)1,1(-A 的圆的方程是（ ） A. 5)2()3(22=-+-y x B. 5)2()3(22=-++y x C. 25)2()3(22=-+-y xD. 25)2()3(22=-++y x3. 已知直线052=+-y x 与直线062=-+my x 互相垂直，则=m （ ） A. －1B.41C. 1D. 44. 已知n m ,表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A. 若m ∥α，n∥α，则m∥n B. 若m ⊥α，α⊂n ，则m ⊥n C. 若m⊥α，m⊥n，则n∥αD. 若m∥α，m⊥n，则n⊥α5. 双曲线8222=-y x 的实轴长是（ ） A. 2B. 22C. 4D. 246. 一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 47. 在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-+≥--083012022y x y x y x ，所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为（ ）A. 31-B. 21-C. 1D. 28. 已知抛物线x y C =2:的焦点为F ，),(00y x A 是C 上一点，045||x AF =，则0x ＝（ ） A. 1B. 2C. 4D. 89. 过点P )1,3(--的直线l 与圆122=+y x 有公共点，则直线l 的倾斜角的取值范围是（ ） A. ]6,0(πB. ]3,0(πC. ]6,0[πD. ]3,0[π10. 点P 到图形C 上每一个点的距离的最小值称为点P 到图形C 的距离，那么平面内到定圆C 的距离与到定点A 的距离相等的点的轨迹不可能．．．是（ ） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 直线二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11. 双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为__________。
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2016-2017学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：（共大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）直线x﹣y+1=0的倾斜角为（）A．﹣45°B．﹣30°C．45°D．135°2．（3分）用一个平面去截一个几何体，得到的截面不可能是圆的几何体是（）A．圆锥B．圆柱C．球D．三棱锥3．（3分）命题“∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＜0成立”的否定形式是（）A．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3＞0成立B．∃x0∈R，使得x2﹣2x﹣3≥0成立C．∀x∈R，x2﹣2x﹣3＜0恒成立D．∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立4．（3分）已知三条不同的直线a，b，c，若a⊥b，则“a⊥c”是“b∥c”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（3分）圆C1：x2+（y﹣1）2=1和圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0的位置关系为（）A．相交B．内切C．外切D．内含6．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m⊂α，n⊂β，下列命题中正确的是（）A．若α⊥β，则m⊥n B．若α∥β，则m∥nC．若m⊥n，则α⊥βD．若n⊥α，则α⊥β7．（3分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，P（x0，y0）是C上一点，且，则x0的值为（）A．8 B．4 C．2 D．18．（3分）图中的两条曲线分别表示某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．对捕食者和被捕食者数量之间的关系描述正确的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请把答案填在答题卡中相应题中横线上）9．（4分）若双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，则a=．10．（4分）若x，y满足约束条件则z=x+2y的最小值为．11．（4分）一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是．12．（4分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，AB=BC，P A=AC，E为PC上的动点，当BE⊥PC时，的值为．13．（4分）已知O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，则该椭圆的离心率为．14．（4分）某销售代理商主要代理销售新京报、北京晨报、北京青年报三种报刊．代理商统计了过去连续100天的销售情况，数据如下：2000三种报刊中，日平均销售量最大的报刊是；如果每份北京晨报的销售利润分别为新京报的1.5倍，北京青年报的1.2倍，那么三种报刊日平均销售利润最大的报刊是．三、解答题（本大题共6个小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（8分）已知直线l过点A（2，a），B（a，﹣1），且与直线m：2x﹣y+2=0平行．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）过点A与l垂直的直线交直线m于点C，求线段BC的长．16．（9分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中．（I）求证：AC⊥BD1；（Ⅱ）是否存在直线与直线AA1，CC1，BD1都相交？若存在，请你在图中画出两条满足条件的直线（不必说明画法及理由）；若不存在，请说明理由．17．（9分）已知圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，直线y=kx﹣1与圆C交于M，N两点．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若DM⊥DN，求k的值．18．（9分）已知边长为2的正方形ABCD与菱形ABEF所在平面互相垂直，M为BC中点．（Ⅰ）求证：EM∥平面ADF．（Ⅱ）若∠ABE=60°，求四面体M﹣ACE的体积．19．（9分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，E，F，G分别是AB，BD，PC的中点，PE⊥底面ABCD．（Ⅰ）求证：平面EFG∥平面P AD．（Ⅱ）是否存在实数λ满足PB=λAB，使得平面PBC⊥平面P AD？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．20．（8分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．参考答案一、选择题1．C【解析】由直线x﹣y+1=0变形得：y=x+1，所以该直线的斜率k=1，设直线的倾斜角为α，即tanα=1，∵α∈[0，180°），∴α=45°．故选C．2．D【解析】在A中，圆锥的横截面是圆，故A不成立；在B中，圆柱的横截面是圆，故B不成立；在C中，球的横截面是圆，故C不成立；在D中，三棱锥的截面不可能是圆，故D成立．故选：D．3．D【解析】命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即∀x∈R，x2﹣2x﹣3≥0恒成立，故选：D4．B【解析】垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，即当a⊥c时，b∥c不一定成立，即充分性不成立，若b∥c，则a⊥c成立，即必要性成立，则“a⊥c”是“b∥c”的必要不充分条件，故选：B5．A【解析】圆C1：x2+（y﹣1）2=1，表示以C1（0，1）为圆心，半径等于1的圆．圆C2：x2﹣6x+y2﹣8y=0，即（x﹣3）2+（y﹣4）2=25，表示以C2（3，4）为圆心，半径等于5的圆．∴两圆的圆心距d==3，∵5﹣1＜3＜5+1，故两个圆相交．故选：A．6．D【解析】对于A，若α⊥β，则m、n位置关系不定，不正确；对于B，若α∥β，则m∥n或m，n异面，不正确；对于C，若m⊥n，则α、β位置关系不定，不正确；对于D，根据平面与平面垂直的判定可知正确．故选D．7．C【解析】该抛物线C：y2=4x的焦点（1，0）．P（x0，y0）是C上一点，且，根据抛物线定义可知x0+1=，解得x0=2，故选：C．8．B【解析】由已知中某理想状态下捕食者和被捕食者数量随时间的变化规律．可得捕食者和被捕食者数量与时间以10年为周期呈周期性变化，故捕食者和被捕食者数量之间的关系应为环状，故选：B二、填空题9．1【解析】双曲线=1（a＞0）的一条渐近线方程为y=2x，可得：，解得a=1．故答案为：1．10．3【解析】作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，直线y=的截距最小，此时z最小，由，得，即C（3，0），此时z=3+2×0=3．故答案为：311．【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积为：×（1+2）×2=3，底面周长为：2+2+1+=5+，高为2，故棱柱的表面积S=3×2+（5+）×2=，故答案为：12．【解析】取特殊值，设AB⊥BC，AB=BC=，以B为原点，BA为x轴，BC为y轴，过B作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，0，0），P（，2，0），C（0，，0），设E（a，b，c），=λ（0≤λ≤1），则，即（a，b﹣，c）=λ（，0），∴，∴E（），∴=（），=（﹣，，0），∵BE⊥PC，∴=﹣2λ+﹣（2﹣）2λ=0，解得．∴当BE⊥PC时，的值为．故答案为：．13．【解析】O为椭圆中心，F1为椭圆的左焦点，A，B分别为椭圆的右顶点与上顶点，P为椭圆上一点，若PF1⊥F1A，PO∥AB，如图：可得：，==，可得b=c，a=c，所以椭圆的离心率为：．故答案为：．14．新京报北京晨报【解析】三种报刊中，日平均销售量分别为=2230；=1720，=2100∴日平均销售量最大的报刊是新京报；设每份北京晨报的销售利润为x元，则新京报为x，北京青年报x，∴三种报刊日平均销售利润分别是×2300，x×1720，2100x，可得三种报刊日平均销售利润最大的报刊是北京晨报．故答案为新京报，北京晨报．三、解答题15．解：（Ⅰ）根据题意，得，解得a=1．所以A（2，1），B（1，﹣1）．所求直线l的方程为2x﹣y﹣3=0．（Ⅱ）过点A与l垂直的直线方程为，整理，得x+2y﹣4=0．由解得C（0，2）．．16．（Ⅰ）证明：如图，连结BD．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1，∴D1D⊥平面ABCD．∵AC⊂平面ABCD，∴D1D⊥AC．∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．∵BD∩D1D=D，∴AC⊥平面BDD1．∵BD1⊂平面BDD1，∴AC⊥BD1．（Ⅱ）存在．答案不唯一，作出满足条件的直线一定在平面ACC1A1中，且过BD1的中点并与直线A1A，C1C相交．下面给出答案中的两种情况，其他答案只要合理就可以．17．解：（Ⅰ）因为圆C的圆心为点D（2，3），且与y轴相切，所以圆C的半径r=2．则所求圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣3）2=4．（Ⅱ）因为DM⊥DN，|DM|=|DN|=r，所以△DMN为等腰直角三角形．因为r=2，则圆心D到直线y=kx﹣1的距离．则，解得k=1或k=7．18．（Ⅰ）方法一：取AD中点N，连结MN．∵四边形ABCD是正方形，M为BC中点，∴MN AB．∵四边形ABEF是菱形，∴AB EF．∴MN EF．∴四边形MNFE是平行四边形．∴EM∥NF．∵EM⊄平面ADF，NF⊂平面ADF，∴EM∥平面ADF．方法二：∵四边形ABCD是正方形，∴BC∥AD．∵BC⊄平面ADF，AD⊂平面ADF，∴BC∥平面ADF．∵四边形ABEF是菱形，∴BE∥AF．∵BE⊄平面ADF，AF⊂平面ADF，∴BE∥平面ADF．∵BC∥平面ADF，BE∥平面ADF，BC∩BE=B，∴平面BCE∥平面ADF．∵EM⊂平面BCE，∴EM∥平面ADF．（Ⅱ）方法一：取AB中点P，连结PE．∵在菱形ABEF中，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴EP⊥AB．∵AB=2，∴．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴EP⊥平面ABCD，∴EP为四面体E﹣ACM的高．∴．方法二：取BE中点Q，连结AQ．∵在菱形ABEF，∠ABE=60°，∴△AEB为正三角形，∴AQ⊥BE．∵AB=2，∴．∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥AB．∵平面ABCD⊥平面ABEF，∴BC⊥平面ABEF．∵AQ⊂平面ABEF，BE⊂平面ABEF，∴AQ⊥BC，BC⊥BE．∴AQ⊥平面BEC．∴AQ为四面体A﹣EMC的高．∵CB⊥EB，∴．∴．19．（Ⅰ）证明：连结AC．∵底面ABCD是矩形，F是BD中点，∴F也是AC的中点．∵G是PC的中点，∴GF是△P AC的中位线，∴GF∥P A．∵GF⊄平面P AD，P A⊂平面P AD，∴GF∥平面P AD．∵E是AB中点，F是BD中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD．∵EF⊄平面P AD，AD⊂平面P AD，∴EF∥平面P AD．∵GF∥平面P AD，EF∥平面P AD，EF∩FG=F，∴平面EFG∥平面P AD．（Ⅱ）解：存在λ，，即时，平面PBC⊥平面P AD．方法一：∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PE⊥BC，PE⊥AB．∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵PE∩AB=E，∴BC⊥平面P AB．∵P A⊂平面P AB，∴P A⊥BC．∵PE⊥AB，E为AB的中点，∴P A=PB．当P A⊥PB，即时，∴P A⊥平面PBC．∵P A⊂平面P AD，∴平面P AD⊥平面PBC．此时．方法二：过点P作PQ∥BC．∴PQ，BC共面，即PQ⊂平面PBC．∵底面ABCD是矩形，∴AD∥BC．∵PQ∥BC，∴PQ∥AD．∴PQ，AD共面，即PQ⊂平面P AD．∴平面PBC∩平面P AD=PQ．∵PE⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PE⊥BC．∵底面ABCD是矩形，∴AB⊥BC．∵PQ∥BC，∴PE⊥PQ，AB⊥PQ．∵PE∩AB=E，∴PQ⊥平面P AB．∵P A⊂平面P AB，PB⊂平面P AB，∴P A⊥PQ，PB⊥PQ，∴∠APB是平面P AD和平面PBC所成二面角的平面角．∵平面P AD⊥平面PBC，∴∠APB=90°．∵PE⊥AB，E为AB的中点，∴P A=PB．∴△P AB是等腰直角三角形．∴．即时，平面PBC⊥平面P AD．20．解：（Ⅰ）根据题意得，解得．所求椭圆方程为．（Ⅱ）因为MN=MQ，PN=PQ，所以对角线MP垂直平分线段NQ．设MP，NQ所在直线方程分别为y=﹣x+m，y=x+n，N（x1，y1），Q（x2，y2），NQ中点P（x0，y0）．由得4x2+6nx+3n2﹣3=0．令△=48﹣12n2＞0，得n2＜4.，．则．同理．所以．又因为，所以NQ中点．由点A在直线MP上，得n=﹣2m，所以．因为0≤n2＜4，所以0≤m2＜1．所以当m=0时，四边形MNPQ面积的最大值为3．。