化工传递 7热传导

x
B.C. (1) x 0 , t ts tb (θ 0)
0≤ x ＜∞ ∞＜ y ＜∞ ∞＜ z ＜∞
求解：拉普拉斯变换法和合成变量法
拉普拉斯变换法：求解微分方程转变为求解代数方程 合成变量法：两个定解条件合并为一个定解条件
变量置换法求解，引入无因次变量： x 2t t η 2η 0 （7-34） 2 4aθ η η
温度分布方程
q dt 由傅立叶定律 k A dx
kA q (t1 t2 ) b
导热速率方程
dt t1 t 2 ( ) dx b
kA q (t1 t2 ) b
（7-10）
t1 t2 t q b / kA R
导热推动力
导热阻力 （热阻）
热传导推动力 热传导速率 = 热传导热阻
Ch7：热传导
本章讨论固体内部的导热问题，重点介绍热传导方程的求解方
法，并结合实际情况，探讨导热理论在工程实际中的应用。
课后学习与作业：

第七章的概念和例题；
第七章作业：7-2，7-3，7-6，7-8

1 稳态热传导
一、无内热源的一维稳态热传导 二、有内热源的一维稳态热传导 三、二维稳态热传导（自学）
实验表明：当 Bi < 0.1时，可采用集总热容法处 理，其误差不超过5%。
（2） Fo
aθ
V A
2
傅立叶数（Fourier number）。
物理意义： 时间之比，即无因次时间。
t tb exp( BiFo) t t0
（7-32）
提示： 在求解不稳态传热问题时，首先要计算 Bi 的值，视其是否小于0.1，以便确定该传热问题 能否采用集总热容法处理。
导热微分方程化简：
t 1 t 1 t t q [ (r ) 2 2 2 ) r r r r z cp
2 2
0(稳态)
化简得
0(一维) 0(无内热源 )
t (r ) 0 r r
d dt (r ) 0 dr dr
d dt (r ) 0 dr dr
无量纲温度 分布方程
导热速率为
q qR 2 L
导热速率 即为发热 速率
2 不稳态导热 P141
一、内热阻可忽略的不稳态导热
二、忽略表面热阻的不稳态导热 三、内热阻与表面热阻均重要的不稳态导热 四、多维不稳态热导热
一、内热阻可忽略的不稳态导热
若固体的 k 很大，环境流体与固体表面间的对流传 热系数 h 较小时，可认为在任一时刻固体内部各处的 温度均匀一致。 初始温度（高温）为t0 的 金属球，在θ=0时刻放入温 度为tb的大量环境流体（如 水）中冷却。 试求球体温度随时间的变化。
其中
r2 r1 Am 2 L 2 rm L ln(r2 r1 )
或
圆筒壁的 对数平均 面积
2 Lr2 2 Lr1 A2 A1 Am 2 Lr2 A2 ln ln 2 Lr1 A1
圆筒壁的 对数平均 半径
r2 r1 rm r2 ln r1
4.多层圆筒壁的稳态热传导 假设层与层之间接触 良好，即互相接触的两 表面温度相同。
物理意义：物体内部的导热热阻与表面对流热阻之比。
长度对流传热系数 长度导热阻力 Bi
导热系数 对流传热阻力
① Bi 大，表示物体内部的导热热阻起控制作用， 物体内部存在较大的温度梯度；
② Bi 小，表示物体内部的热阻很小，表面对流 传热的热阻起控制作用，物体内部的温度梯度很 小，在同一瞬时各处温度均匀。
对n层平壁，其传热速率方程可表示为 t1 tn 1 q bi k A i
3.单层圆筒壁的一维稳态热传导 某一内半径为 r1 、 外半径 为 r2 的圆筒壁，其内侧温度为t1， 外侧温度为t2，且t1 > t2，沿径向 进行一维稳态导热。 示例
r 1 r2
q
t1 t2
单层圆筒壁导热
化工管路的传热； 间壁式换热器的传热。
（1）地面气温突然变化时土壤温度随之变化的问题；
（2）大建筑物表面温度变化时内部温度随之变化的问题； （3）大块钢锭的热处理问题等等：
y
t=t0 (θ＜0 )
0
t 2t α 2 θ x
I.C.
（7-19） z
θ 0 , t t（对于所有x） 0
(2) x , t t0 (θ 0)
一、无内热源的一维稳态热传导
2.多层平壁稳态导热 设平壁是由 n 层材料构成 各层壁厚为 b1、b2、b3 表面温度为 t1、t2、t3、t4 且 t1 t2 t3 t4
各层之间接触 良好，相互接 触的表面温度 相同
q
t1 t2
t3
b1 b2 b3
t4
x
多层平壁导热
稳态导热，通过各层平壁截面的传热速率必相等
（6-27a）
0(稳态)
化简得
0(一维) 0(无内热源 )
d 2t 0 2 dx
2t 0 2 x
d t 0 2 dx
2
q
第Ⅰ类 边界条件
t1 t2
b
B.C (1) x 0, t t1
(2) x b, t t2
x
边界条件分类： 第Ⅰ类B.C.：恒温边界，指壁面温度已知，t
tb
t tb e 0 t 0 tb
tb t0
流体的主体温度 物体的初始温度 任一时刻物体的温度
hA Vc
※ 忽略物体热内阻情况 下，物体温度与时间呈 指数的定量关系式
（7-28）
A
物体的表面积 导热时间 物体密度 物体体积


V
t
h
流体与物体表面的对流传热系数
温度分布方程
（2）导热速率
dt t1 t 2 1 ( ) dr ln( r2 / r1 ) r
q dt 由傅立叶定律 k A dr
t1 t2 q 2 kL ln(r2 / r1 )
单层圆筒壁 导热速率方程
可写成与单层平壁热传导速率方程相类似的形式
t1 t2 q kAm r2 r1
二、忽略表面热阻的不稳态导热
当 表面热阻＜＜内热阻，即 Bi ＞＞ 0.1时，表面
热阻可略，此时表面温度 ts 在θ>0 的所有时间内均为
一个常数，且基本等于环境温度。
典型问题有：
（1）半无限大固体的不稳态导热；
（2）大平板的不稳态导热。
（1）半无限大固体的不稳态导热
相对厚（如某些墙壁）或相当长的柱体（如长棒）可近似地视为无限厚或无限 长的固体。可将这类物体的导热问题视为只沿x方向进行的一维导热问题处理。
(1)r 1 r2 Nhomakorabeaq
B.C
r r1, t t1
(2)
r r2 , t t2
t1 t2
单层圆筒壁导热
第一类 边界条件
（1）温度分布方程 求解得
对数 型
t1 t2 r t t1 ln ln( r2 / r1 ) r1
※ 通过筒壁进行径向一 维稳态热传导时，温度 分布是r的对数函数！
tb
设：金属球的密度 ρ , 体积为V、表面积为A、 比热容为c 、初始温度 t0。 环境流体的主体温度 tb （恒定），流体与金属球 表面的对流传热系数为 h 。 以球表面为控制面，作热量 衡算，得 dt 0 hA(t tb ) ρVc dθ I.C. θ 0 , t t0
热量衡算，放热速率应等于其表 面与流体间的对流传热速率，即
多层圆筒壁的热传导
t1 t4 热传导速率： q r3 r2 r4 1 1 1 ln ln ln 2 Lk1 r1 2 Lk2 r2 2 Lk3 r3 t1 t4 r2 r1 r3 r2 r4 r3 k1 Am1 k2 Am 2 k3 Am3
t1 tn 对n层圆筒壁，为 q n bi k A i 1 i mi
一、无内热源的一维稳态热传导
1.单层平壁一维稳态热传导
厚度为 b 的大平壁，一侧温度为t1，另 一侧温度为t2，且t1 > t2，沿平壁厚度方 向（ x 方向）进行一维稳态导热。
q
t1 t2
示例
b
工业燃烧炉的炉壁传热； 居民住宅的墙壁传热。
x
单层平壁导热
导热微分方程的化简：
t 2t 2t 2t q ( 2 2 2) x y z cp
q1 q2 q3 q4 q
t2 t3 t3 t4 t1 t2 q k1 A k2 A k3 A b1 b2 b3
或
t1 t2 t2 t3 t3 t4 q b1 b2 b3 k1 A k2 A k3 A
三层平壁稳态热传导速率方程
t1 t4 q b3 b1 b2 k1 A k2 A k3 A
（7-44）
高斯误差积分或误差函数
设左端面的面积为A，则瞬时导热通量为
q0θ t k A x k t η k η x x 0
x 0
t s t0 πaθ
（7-46）
总热量
Q0 2 Ak t s t0

A
k
截面面积 导热系数 时间
(2) r R,
rR
dt R L k 2RL q dr
2
第二类 边界条件
温度分布方程为
求解得
抛物 线型
q 2 2 t tw ( R r ) 4k
当
温度分布方程
r 0 t t0 tmax &2 qR tmax t0 tw 4k
最高温度
故