2017-2018学年河北省武邑中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2017-2018学年河北省武邑中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知函数y = 2−x 的定义域为M ，集合N ={xy =lg （x -1）}，则M ∩N =（ ）

A. [0,2)

B. (0,2)

C. [1,2)

D. (1,2 2. 已知集合A 到B 的映射f ：x →y =x 2+1，那么集合B 中象5在A 中对应的原象是（ ）

A. 26

B. 2

C. −2

D. ±2

3. 函数f (x )= 1−3x x +2的定义域为（ ） A. (−2,0 B. (−∞,−2)∪(−2,0) C. (−2,1

D. (−∞,−2)∪(−2,1 4. 若向量BA =(2，3)，CA =(4，7)，则BC 等于（ ） A. (6,10) B. (2,4)

C. (−2,−4)

D. (−6,−10) 5. 已知函数f （x ）= 3x ,x ≤0log 4x ,x >0，则f [f (1

16) =（ ） A. 19 B. −19 C. 9 D. −9

6. 直线 x -y +1=3，当变动时，所有直线都通过定点（ ）

A. (0,0)

B. (0,1)

C. (3,1)

D. (2,1)

7. 已知奇函数f （x ）在区间（-∞，0）内单调递增，且f （-2）=0，则不等式f （x ）≤0的解集为（ ）

A. [−2,2

B. (−∞,−2 ∪(0，2

C. (−∞,−2 ∪[2,+∞)

D. [−2,0 ∪[2,+∞)

8. 函数f （x ）=ln （x +1）-2

x 的零点所在的大致区间是（ ） A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)

9. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′=3，B ′C ′=2，则AB 边上的中线的实际长度为（ ）

A. 52

B. 5

C. 54

D. 2

10. 函数y =e x −e −x

e +e 的图象大致为（ ）

A. B. C. D.

11. 过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分的面积之比为（ ）

A. 1：2：3

B. 1：3：5

C. 1：2：4

D. 1：3：9 12. 已知函数f （x ）=2x +x ，g （x ）=log 2x +x ，h （x ）=log 2x -2的零点依次为a ，b ，c ，则（ ）

A. a

B. c

C. c

D. b

13. 直线ax +y +3=0的倾斜角为120°，则a 的值是______．

14. 若α，β都是锐角，sinα=35，sin （α-β）=513，则cosβ=______．

15. 当0＜x ＜π2时，函数f (x )=1+cos 2x +8sin 2x

sin 2x 的最小值为______．

16. 已知函数f (x )= (x −3)2,x >33− x ,x≤3

，函数

g （x ）=b -f （3-x ），其中b ∈R ，若函数y =f （x ）-g （x ）恰有4个零点，则b 的取值范围为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）

17. 已知圆C 经过点A （2，-1）和直线x +y -1=0相切，且圆心在直线y =-2x 上．

（1）求圆C 的方程；

（2）若直线y =2x -2与圆C 交于A ，B 两点，求弦AB 的长．

18. 如图所示，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，BB 1=2，连结A 1C 、BD ．

（Ⅰ）求证：A 1C ⊥BD ；

（Ⅱ）求三棱锥A 1-BCD 的体积．

19.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求证：AC1∥平面CDB1．

20.在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0，∠A的平分线所在直线的方程为y=0，若B点的坐标为（1，2）．

（1）求直线AC的方程；

（2）求A，C两点间的距离．

21.设f（x）=log1（1−ax

）为奇函数，a为常数．

x−1

（1）求a的值；

（2）证明：f（x）在（1，+∞）内单调递增；

）x+m恒成立，求实数m的取值范围．（3）若对于[3，4 上的每一个x的值，不等式f（x）＞（1

2

22.已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）= f（x+2），其中常数为负数，且f（x）在区间[0，2 上有表达式f（x）=x（x-2）．

（1）写出f（x）在[-3，3 上的表达式，并写出函数f（x）在[-3，3 上的单调区间（不用过程，直接出即可）；

（2）求出f（x）在[-3，3 上的最小值与最大值，并求出相应的自变量的取值．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：∵2-x≥0

∴x≤2

∴M={ ≤2}

又∵x-1＞0

∴x＞1

∴N={ ＞1}

∴M∩N={x 1＜x≤2}

故选：D．

分别由函数所满足的条件求出集合M、N，在进行集合运算即可

本题考查函数定义域的求法和集合运算．求函数定义域时，须把保证函数有意义的条件全部列出，求解不等式（组）；集合运算可借助数轴完成．属简单题

2.【答案】D

【解析】

解：∵集合A到B的映射f：x→y=x2+1，

由5=x2+1，得x=±2，

∴集合B中象5在A中对应的原象为±2．

故选：D．

由5=x2+1，得x=±2，由此能求出集合B中象5在A中对应的原象．

本题考查原象的求法，考查映射等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

3.【答案】A

【解析】

解：由，解得-2＜x≤0．

∴函数的定义域为[-2，0 ．

故选：A．

由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．

本题考查函数的定义域及其求法，考查指数不等式的解法，是基础题．

4.【答案】C

【解析】

解：∵向量，，

∴=-（4，7）+（2，3）=（-2，-4）．

故选：C．

直接利用向量的加法运算法则求解即可．

本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题．

5.【答案】A

【解析】

解：由题意可得f（）==-2，f[（f（）=f（-2）=3-2=，

故选：A．

先由函数的解析式求出f（）=-2，可得要求的式子即f（-2）=3-2，运算求得结果．

本题主要考查利用分段函数求函数的值的方法，体现了分类讨论的数学思想，对数的运算性质，属于中档题．

6.【答案】C

【解析】