线性代数讲义4_特征值与二次型
线性代数 第四章 二次型
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ... + 2a1n x1 xn 2 +a22 x2 + 2a23 x2 x3 + ... + 2a2 n x2 xn 2 +a33 x3 + ... + 2a3 n x3 xn + ............. 2 +ann xn
定义4.2 定义4.2 设两组变量 x1 , x2 ,..., xn 和 y1 , y2 ,..., yn 具有如下关系
x1= c11 y1+ c12 y2 + ... + c1n yn x2 = c21 y1+ c22 y2 + ... + c2 n yn xn = cn1 y1+ cn 2 y2 + ... + cnn yn
∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽
存在可逆矩阵C,使得 存在可逆矩阵C,使得 C T AC =B 可逆矩阵C,
P −1 AP=B 存在可逆矩阵P, 可逆矩阵 存在C是正交矩阵,则 C T = C −1
B=C 既相似又合同. 此时若 B=CTAC = C −1 AC 则B与A既相似又合同.
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + ... + a1n x1 xn 2 +a21 x2 x1 +a22 x2 +a23 x2 x3 +... + a2 n x2 xn 2 +a31 x3 x1 +a32 x3 x2 + a33 x3 +... + a3 n x3 xn + ............. 2 +an1 xn x1 +an 2 xn x2 +an 3 xn x3 +... + ann xn
特征值与特征向量二次型
,n
第五步
得到正交变换X=TY
T =(1 ,2 ,
,n )
正定二次型
定义 设有实二次型 f ( x ) x T Ax, 如果对任何x 0,
都有f ( x ) 0(显然f (0) 0), 则称f为正定二次型 , 并 称对称矩阵A是正定的; 如果对任何x 0, 都有f ( x ) 0, 则称f为负定二次型 , 并称对称矩阵 A是负定的.
i , j 1
例1 设A是3阶矩阵, 它的3个特征值为 1 1, 2 1, 3 2, 设B A 3 5 A 2 , 求 B ; A 5 E . 解 利用 A 1 2 n来计算 A .
, 令f ( x ) x3 5 x2 , 因为 1 , 2 , 3 是A的全部特征值 所以f ( i)(1 i 3)是f ( A) A3 5 A2 B的全部特征值故 . B f ( A) f ( 1) f ( 2 ) f ( 3 ) ( 4)( 6)( 12) 288.
定义
求 法
定义 特征值 特征多项式 特征向量 不同特征值的特征向量线性无关 k重特征值至多有k个线性无关的特征向量
特 征 值
性 质
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
概念 矩阵对角化 应用
相 似 实对称阵隐含的信息
( 2) 12 n A .
显然，如果矩阵A可逆，则A的特征值不等于0.
3. 设 是A (a ij ) nn的特征值, 则 (1)也是 AT的特征值; (2) k是 Ak的特征值( k 为任意自然数); ( )是
( A)的特征值.其中 ( ) a 0 a1 ( A) a 0E a1A a m Am.
2020考研数学考点：线代特征值与二次型
2020考研数学考点：线代特征值与二次型一、矩阵的特征值与特征向量问题矩阵的特征值与特征向量这一章节的内容可以归结为三大问题：1.矩阵的特征值与特征向量的概念理解以及计算问题这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量，常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。
若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。
若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。
考研教育网2.矩阵(方阵)的相似对角化问题这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。
事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。
3.实对称矩阵的正交相似对角化问题其实质还是矩阵的相似对角化问题，与2不同的是求得的可逆阵为正交阵。
这里要求考生除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。
这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A.最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。
二、二次型二次型这一章节主要研究两个方面的问题：1.二次型的标准化问题二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题紧密相连，因此化二次型为标准形的问题就转化成了实对称矩阵的相似对角化问题。
特征值、特征向量与二次型
4、特征多项式性质 1）、若x是A的对应于λ的特征向量，则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2）、设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值， p1, p2分别 是与之对应的特征向量，则p1+ p2不是A的特征向量 3）、方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4）、对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
3）、以这n个两两正交的单位特征向量为列向量构 成正交矩阵P,这时P-1AP = PTAP = Λ,其中对角方阵Λ 的元素排列顺序依次与P的列向量的排列顺序相对应 三、二次型及其标准形 1、实二次型及矩阵 含n个变量的二次齐次函数
f (x1, x2 ,L, xn )
= a x + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 +L+ 2a1n x1xn 2 + a22 x2 + 2a23x2 x3 +L+ 2a2n x2 xn +L 2 + ann xn
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
线性组合 k x + k x +L+ k x 1 1 2 2 m m 也是A的对应于λ的特征向量. 的对应于λ
特征值问题及二次型
ϕ (λ ) = a 0 + a1λ + L + a s λs , ϕ ( A) = a 0 I + a1 A + L + a s A s 。
3）若 A 可逆，则（ 1 / λ ， ξ ）是 A 的特征对。
−1
证明
1）假设 λξ = Aξ = µξ ， λ ≠ µ 。故 (λ − µ )ξ = θ ，因为 ξ ≠ θ ， λ =
λi ， 所以 ai = 0 ， (i = 1,2, L, k ) .
代入（1）式，得 a k +1ξ k +1 = θ .因为 ξ k +1 ≠ θ ，所以 a k +1 = 0 ，故 ξ1 , ξ 2 , L , ξ k +1 线性无关。 ■
97
பைடு நூலகம்
例3
⎛ −1 1 0⎞ ⎜ ⎟ 设 A = ⎜ − 4 3 0⎟ 。 ⎜ 1 0 2⎟ ⎝ ⎠
λI − A = (λ − 4) − 1 λ − 2
−1
λ1 = 4 ， λ 2 = λ3 = 1 . − 1 = (λ − 4) (λ − 1) 2 =0， λ −2
⎛ 1⎞ ⎜ ⎟ 对于 λ1 = 4 ，解 ( 4 I − A) x = θ ，得 α 1 = ⎜1⎟ . 属于 λ1 = 4 的特征向量全体为 kα 1 。 ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − 1⎞ ⎛ − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 解 ( I − A) x = θ ， 得无关的 α 2 = ⎜ 1 ⎟ ，α 3 = ⎜ 0 ⎟ . 属于 λ 2 = λ3 = 1 对于 λ 2 = λ3 = 1 ， ⎜0⎟ ⎜1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
−1
因为 P 可逆，故 P = P 1 P2 L Ps 。 于 是 有 ■
二次型矩阵的特征值
二次型矩阵的特征值在线性代数中，一个二次型矩阵可以表示为一个二次型函数，它的形式为：Q(x)=x^TAx其中，x是一个n维列向量，A是一个n×n的矩阵，称之为二次型矩阵，^T表示向量的转置。
二次型矩阵可以看作是一个多元二次函数，它描述了一个关于n个变量的二次方程的性质。
特征值是一个方块矩阵的重要特性，它反映了矩阵在向量空间中的线性变换性质。
对于一个n阶方阵A，如果存在一个非零向量x，满足Ax=λx，那么λ被称为矩阵A的一个特征值，x被称为该特征值对应的特征向量。
对于二次型矩阵，特征值的概念与方阵是类似的。
给定一个特征向量x，满足Ax=λx，将其代入二次型矩阵的定义中，我们可以得到：Q(x)=x^TAx=x^T(λx)=λ(x^Tx)=λ，x，^2由于特征向量x是非零向量，所以，x，^2不等于0，因此，我们可以得到Q(x)=λ，x，^2，即特征值与二次型矩阵的值之间存在着线性关系。
1.特征值是实数或复数。
对于实数域上的二次型矩阵，其特征值一定是实数。
对于复数域上的二次型矩阵，其特征值可能是复数。
2.特征值与特征向量是一一对应的。
对于每一个特征值λ，都存在一个特征向量x。
3. 特征值与二次型矩阵的行列式和迹有关。
二次型矩阵的特征值可以通过求解矩阵的特征方程来得到。
设A的特征值为λ_1, λ_2, ...,λ_n，则有det(A) = λ_1λ_2...λ_n 和tr(A) = λ_1 + λ_2 + ... + λ_n。
特征值的求解方法有多种，通常可以通过求解矩阵的特征多项式的根来得到。
特别地，对于对称矩阵，特征值一定是实数，且存在一组正交的特征向量。
1.特征值可以用于判定二次型矩阵的正负惯性。
对于正定矩阵，所有特征值都是正数；对于负定矩阵，所有特征值都是负数；对于半正定矩阵，所有特征值都大于等于0；对于半负定矩阵，所有特征值都小于等于0；对于不定矩阵，特征值同时包含正负数。
2.特征值可以用于二次型矩阵的对角化。
线性代数特征值、特征向量与二次型
Step1 计算A的特征多项式|A - λE|. Step2 令|A - λE| = 0得出A的所有不同的特征值. Step3 对于每个不同的特征值λ,求出齐次线性方程组 (A - λE)x = 0的所有非零解即得A的对应于λ的全部特 征向量. 更具体地说, 先求出(A - λE)x = 0的一个基础解系ξ1, ξ2,…, ξn-r,其所有非零的线性组合k1ξ1+ k2ξ2+…+ kn-rξn(只要k1, k2, …, kn-r不全为0)就是A的对应于λ的全部 k 0) A r( 特征向量, 其中R(A) = r.
i = m
ai Ai 的特征值为 f(λ); ∑
n
4,特征多项式性质 1),若x是A的对应于λ的特征向量,则对于任意k ≠ 0, kx也是A的对应于λ的特征向量. 2),设λ1, λ2是方阵A的两个不同特征值, p1, p2分别 是与之对应的特征向量,则p1+ p2不是A的特征向量 3),方阵A的对应于λ的特征向量不是唯一的, 而是有 的对应于λ 无限多个. 4),对于方阵A的对应于λ的所有特征向量, 其非零的 的对应于λ 非零的
5), f ( A) = 6),A与AT
有相同的特征值; 7),AB与BA有相同的特征值; 8),0是A的特征值====|A|=0; 9),零矩阵有n重特征值0; 10),单位矩阵有n重特征值1; 11),数量矩阵kE有n重特征值k; 12),幂等矩阵(A^2=A )只有特征值0或1; 13),对和矩阵(A^2=E )只有特征值-1或1; 14),k- 幂矩阵(A^k=E )只有特征值1的k次方; 3,设n阶方阵A = (aij)的n个特征值为λ1, λ2, …, λn(重 根按重数计算), 则 (1) λ1+λ2+ …+λn= a11+a22+ …+ann . (2) λ1λ2 …λn= |定义 设A是n阶方阵, 若存在数λ 和非零向量x, 使得Ax = λx, 则称λ为方阵A的特征值 特征值(eigenvalue), x是对应于λ 特征值 对应于 的特征向量( 的特征向量 λ). A - λE 称为A的特征矩阵; |A - λE|称为方阵A的特征多项式;|A - λE| = 0为A的 特征多项式; 特征方程.注意: 特征向量是非零向量 特征方程. 2,特征值的性质和运算, 如λ是A 的特征值, 则 1),kA 的 特征值为k λ; 2), Am的特征值为 λm; 3), A-1的特征值为 λ-1; 4), A*的特征值为 |A|/λ;
考研数学线性代数 特征值与二次型讲解
考研数学线性代数特征值与二次型讲解一、矩阵的特征值与特征向量问题矩阵的特征值与特征向量这一章节的内容可以归结为三大问题：1.矩阵的特征值与特征向量的概念理解以及计算问题这一部分要求会求给定矩阵的特征值与特征向量，常考的题型有数值型矩阵的特征值与特征向量的计算和抽象型矩阵的特征值与特征向量的计算。
若给定的矩阵是数值型的矩阵，则一般的方法是通过求矩阵特征方程的根得到该矩阵的特征值，然后再通过求解齐次线性方程组的非零解得到对应特征值的特征向量。
若给定的矩阵是抽象型的，则在求特征值与特征向量的时候常用的方法是通过定义，但此时需要考虑的是特征值与特征向量的性质以及应用。
2.矩阵(方阵)的相似对角化问题这里要求掌握一般矩阵相似对角化的条件，会判断给定的矩阵是否可以相似对角化，另外还要会矩阵相似对角化的计算问题，会求可逆阵以及对角阵。
事实上，矩阵相似对角化之后还有一些应用，主要体现在矩阵行列式的计算或者求矩阵的方幂上，这些应用在历年真题中都有不同的体现。
3.实对称矩阵的正交相似对角化问题其实质还是矩阵的相似对角化问题，与2不同的是求得的可逆阵为正交阵。
这里要求考生除了掌握实对称矩阵的正交相似对角化外，还要掌握实对称矩阵的特征值与特征向量的性质，在考试的时候会经常用到这些考点的。
这块的知识出题比较灵活，可直接出题，即给定一个实对称矩阵A，让求正交阵使得该矩阵正交相似于对角阵;也可以根据矩阵A的特征值、特征向量来确定矩阵A中的参数或者确定矩阵A;另外由于实对称矩阵不同特征值的特征向量是相互正交的，这样还可以由已知特征值的特征向量确定出对应的特征向量，从而确定出矩阵A.最重要的是，掌握了实对称矩阵的正交相似对角化就相当于解决了实二次型的标准化问题。
二、二次型二次型这一章节主要研究两个方面的问题：1.二次型的标准化问题二次型的标准化问题与矩阵的对角化问题紧密相连，因此化二次型为标准形的问题就转化成了实对称矩阵的相似对角化问题。
高等数学线性代数特征值、特征向量与二次型教学ppt(5)
为A的
.
二、特征值与特征向量的求法
Ax x (A E)x 0,
(A E)x 0有非零解 A E 0.
设0是方阵A的一个特征值, 则由 ( A 0E)x 0,
可求得非零解x p0,
p0就是A对应于0的一个特征向量.
求矩阵A的特征值及特征向量的步骤 :
(1)计算 A E ; (2)求 A E 0的所有根,即A的所有的特征值;
1 0 0 0
1
00,
2
10,
3
10,
4
0 0
.
0
0
0
1
也为R4的一个标准正交基.
三、正交矩阵与正交变换
定义6 若n阶方阵A满足 AT A E 即A1 AT ,则
称A为 正交矩阵 .
若A (1,2 , ,n ),则AT A E等价于
1T
T 2
1,
2
,
nT
,n E
由例1知道,1 2 3 3 a11 a22 a33,
定理3
123 4 | A | .
设n阶方阵A (aij )nn的n个特征值为1, 2, , n
(重特征值按重数算), 则
(1) 12 n A ;
(2) 1 2 n a11 a22
(注: trA称为矩阵A的迹)
ann trA.
所以P是正交矩阵.
2 2 1 2 2 1
3
3
3
3
3
3
PT
P
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 3
2 3
2 3
1 0 0
0 0
考研数学重点解析线代之特征值与二次型
考研数学重点解析线代之特征值与二次型线性代数是数学的一个重要分支，对于考研数学来说也是非常重要的一部分。
在线性代数中，特征值与二次型是两个非常重要的概念和研究方向。
下面我们将重点解析一下这两个内容。
一、特征值（Eigenvalue）特征值是矩阵理论中的一个非常重要的概念，它对于解决线性代数的问题有着很重要的作用。
对于一个n阶矩阵A和一个非零列向量x，如果满足Ax=λx，其中λ为实数，那么λ就是矩阵A的一个特征值，x就是A对应于特征值λ的特征向量。
特征值和特征向量的研究在线性代数中有着广泛的应用，比如在解决矩阵的对角化、矩阵的相似性等问题时，都需要用到这些概念和方法。
特征值和特征向量的计算也是重点内容，可以通过特征值方程进行求解。
特征值的性质也是需要重点掌握的部分，比如特征值的个数与特征向量的个数相等，特征值的求和等于矩阵的迹等。
二、二次型（Quadratic Form）二次型是二次齐次多项式的一种形式，它是线性代数中非常重要的一个概念。
对于一个n元二次型Q(x1, x2, ..., xn)，可以表示为Q(x1, x2, ..., xn) = x^TAX，其中x = [x1, x2, ..., xn]^T为变量向量，A 为一个对称矩阵。
二次型在线性代数中有着广泛的应用，比如在优化问题、最小二乘法等领域都有着重要的作用。
掌握二次型的性质和研究方法是非常重要的，比如二次型的矩阵表示、规范形、正定性等。
其中，二次型的规范形可以通过正交变换将其转化为一个简化的形式，而二次型的正定性则是判断一个二次型的重要标准。
特征值和二次型都是线性代数中的重点内容，对于考研数学来说也是需要重点掌握的部分。
除了了解它们的定义、性质和计算方法，还需要善于应用它们解决实际问题。
因此，在备考考研数学时，需要着重学习和理解特征值和二次型的相关知识，并进行大量的习题练习，才能够在考试中取得好的成绩。
总结起来，特征值与二次型是考研数学线性代数中的两个重点内容。
线性代数4.4 二次型
例
解
求下列平面图形所围图形的面积：
3x 2 xy 3 y 1 f ( x, y) 3x2 2xy 3 y 2
2 2
3 1 A I 2 6 8 ( 2)( 4) 1 3
A 的特征值为
3 1 A 1 3
可顺次求得单位特征向量
0.6 0.6 0.8 e1 令 P 0.8 e2 0.6 0.8 则经正交变换 x Py，可得标准形
0.8 0.6
f 10 y 15 y
2 1
2 2
例、试用正交变换化二次型
解:
3 2 x1 求二次型 f ( x1 , x2 ) x1 x2 x 经过线性变换 2 6 2 x1 2 y1 y2 之后的表达式。 x2 y1 2 y2 2 1 T T 令 x x1 x2 , y y1 y2 , 有 x y, 则 1 2 3 2 x1 f x1 x2 x 2 6 2 2 1 3 2 2 1 y1 y1 y2 y 1 2 2 6 1 2 2 10 0 y1 y1 y2 10 y12 35 y22 0 35 y2
换x=Hy变成y的二次型
2 2 f (Hy) d1 y12 d2 y2 dn yn
就称此二次型为原来二次型的标准形。
如例4.17
f ( x1 , x2 ) x1
3 2 x1 x2 2 6 x2
x1 2 y1 y2 2 f 10 y12 35 y2 经线性变换 化得标准形 x2 y1 2 y2
线性代数第4章相似矩阵及二次型课件
则1,2 ,3 两两正交.
四、正交矩阵
定义 6 如果 n 阶矩阵 满足 T E 即1 T , 那么称 为正交矩阵，简称正交阵.
定理 2 设矩阵 是 n 阶方阵，则下列结论等价：
1 是 n 阶正交阵； 2 的列向量组是 n 的一个规范正交基； 3 的行向量组是 n 的一个规范正交基.
0 0 3
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
解 矩阵 A 的特征多项式为
1 0 0
A E 0 2 0 1 2 3 ,
0 0 3
所以 A 的全部特征值为 1 1 , 2 2 , 3 3.
由此例可知，对角矩阵的全部特征值就是它的对角线上的元素.
一、方阵的特征值与特征向量的概念及其求法
1 1
1 2
11，
3 应满足齐次线性方程组 Ax 0， 即
1 1
1 2
1 1
x1 x2 x3
0 0
，
对系数矩阵 A 实施初等行变换，有
A
1 1
1 2
1 1
1 0
1 3
1
0
1 0
0 1
01，
得
x1 x2
x3 0
，
从而有基础解系
1 0 1
.
1
取3
0
1
，则3 为所求.
正交矩阵具有如下性质：
(i) 若 A 为正交阵,则 A1 AT 也是正交阵，且 A 1或 1；
(ii) 若 A 和 B 都是正交阵，则 AB 也是正交阵.
定义 7 若 P 为正交矩阵，则线性变换 y Px 称为正交变换. 设 y Px 为正交变换， 则有 y yT y xTPTPx xT x x . 因此正交变换保持向量的长度不变.
线性代数(4)矩阵的对角化与二次型
5100
1 1
13,
1 4
3 5100 1 5100
3 3 13
5100 5100
.
例（3 2000年四）（9分）
设A
1 x
1 4
1 y
已知A有三个线性无关的
特征向量， 2是A的
3 3 5 二重特征根.
1
2
B 0
1 2
0 1 0
1
2
0 .
1 2
例3 若A是正交矩阵，证明A*也是正交矩阵.
(其中k1 , k2为不全为零的任意常数)
对3 1，解( A I )x 0,
1 A I 0
1
0 2 0
~ 1
0 1
1 0 0
0 1 0
1 0 0
得
x1 x2
x3
x3 0 x3
1
得 到 一 个 基 础 解 系 为p 3
特征值相同是相似的必要条件，但不是充分条件.
二、矩阵的对角化
定理 n阶方阵A相似于
A有n个线性无关的特征向量.
相似变换矩阵P的列向量就是A的n个线性无 关的特征向量. 的对角元是A的n个特征值 .
定理 若 n 阶方阵 A 有 n 个不同的特征值
则 A 可对角化.
1
即 A~
2
2
n
其中， 1, 2 , , n ,是A的n个特征值，
P是由n个线性无关的特征向量作为 列向量所构成的矩阵.
二次型和矩阵特征值的关系
二次型和矩阵特征值的关系一、引言二次型和矩阵特征值是线性代数中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。
本文将从二次型的定义入手，介绍二次型的矩阵表示及其与特征值的关系。
二、二次型的定义在线性代数中，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式。
对于一个n维实数向量x = (x1, x2, ..., xn)，其对应的二次型可以表示为Q(x) = x^TAX，其中A是一个n×n的实对称矩阵。
三、二次型的矩阵表示对于二次型Q(x) = x^TAX，我们可以将其表示为矩阵的形式。
假设x和A分别表示为列向量和矩阵的形式，即x = [x1, x2, ..., xn]^T，A = [a_ij]，则有Q(x) = x^TAX = [x1, x2, ..., xn] [a_ij] [x1, x2, ..., xn]^T = Σ(a_ij * xi * xj)，其中Σ表示对i和j的求和。
四、特征值和特征向量的定义特征值和特征向量是矩阵特征值问题中的重要概念。
对于一个n×n 的矩阵A，如果存在一个实数λ和一个非零向量v，使得Av = λv 成立，则称λ为A的特征值，v为A的对应于特征值λ的特征向量。
五、二次型与特征值的关系对于一个n维实对称矩阵A，它的特征值问题可以表示为Av = λv，其中A是一个n×n的实对称矩阵，v是一个非零向量，λ是一个实数。
将特征向量表示为x，即x = v，则有Ax = λx。
根据二次型的矩阵表示，我们可以将二次型Q(x) = x^TAX表示为Q(x) = x^T(λx) = λ(x^Tx) = λ||x||^2。
由此可见，二次型的值与特征值λ之间存在着直接的关系。
六、二次型的正定性与特征值正定性是二次型重要的性质之一。
一个二次型Q(x)被称为正定的，如果对于所有非零向量x，都有Q(x) > 0。
对于正定的二次型，其特征值均为正数。
同样地，如果一个二次型Q(x)被称为半正定的，如果对于所有非零向量x，都有Q(x) ≥ 0。
线性代数-第五章-特征值问题与二次型
b1 1 1 1 1 1 e1 1,1,1,1 , , , b1 2 2 2 2 2 b2 1 2 1 3 0,2,1,3 0, e2 , , b2 14 14 14 14 b3 1 1 1 2 1,1,2,0 , , ,0 e3 b3 6 6 6 6
４ 向量空间的正交基
若 1 , 2 , , r 是向量空间V的一个基, 且 1 , 2 , , r 是两两正交的非零向量 , 则称 1 , 2 , , r 是 组 向量空间V的正交基. 例1 已知三维向量空间中两个向量 1 1 1 1, 2 2 1 1 正交，试求 3 使 1 , 2 , 3 构成三维空间的一个正交 基.
1 例４ 已知 a 1 1 , 求一组非零向量a 2 , a 3 , 使 a 1 , a 2 , 1 a 3 两两正交. , a 3 应满足方程aT x 0,即 1 解 a2 x1 x 2 x 3 0.
它的基础解系为 1 0 1 0 , 2 1 . 1 1
第五章
特征值问题与二次型
预备知识
一、内积的定义及性质
定义1 设有n 维向量 x1 y1 x2 y2 x , y , x y n n 令 x, y x1 y1 x2 y2 xn yn
[e i , e j ] 0, i j且i , j 1,2,3,4. 由于 [e i , e j ] 1, i j且i , j 1,2,3,4.
所以 e1 , e2 , e3 , e4为R 4的一个规范正交基.
特征值二次型
特征值二次型特征值二次型本章提要本章主要介绍了矩阵的特征值和特征向量、矩阵的对角化、二次型和它的标准形以及正定二次型的判定。
整个内容可分四部分：预备知识：（1）向量的内积、长度。
（2）正交向量组，施密特正交法。
（3）正交矩阵及其它的性质。
特征值和特征向量：（1）特征值、特征向量的定义。
（2）特征值、特征向量的求法：用特征方程求特征向量, 用特征矩阵方程组求特征向量。
（3）特征值、特征向量的性质。
矩阵的对角化：（1）相似矩阵的定义及相似矩阵的特征值、特征向量。
（2）矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件，矩阵对角化的方法。
（3）实对称矩阵的对角化。
二次型及其标准形：（1）二次型及其标准的定义。
（2）二次型化标准形的方法：用正交变换化二次型为标准形；用配方法化二次型为标准形。
（3）正定二次型及其判定方法。
4.6.2方法应用举例1. 求方阵的特征值与特征向量. ⎡-1⎢例1 求矩阵 A =-4⎢⎢⎣11300⎤⎥0 的特征根及特征向量. ⎥2⎥⎦解: A 的特征方程为-1-λ13-λ0002-λA -λE =-41=（λ-2）（λ-1）2=0解得特征根λ1=2λ2=λ3=1.对应于λ1=2, 由齐次方程组(A -2E ) X =0得⎡-3⎢-4⎢⎢⎣11100⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥0x 2=0 ⎥⎢⎥⎢⎥0⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦解得特征向量⎡0⎤⎢⎥η=0⎢⎥⎢⎣0⎥⎦于是k 1η1（k 1是不为零的任意常数）是A 对应于λ1=2的全部特征向量. 对应于λ1=λ2=1, 由齐次方程组(A -E ) X =0得⎡-2⎢-4⎢⎢⎣11200⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥0x 2=0 ⎥⎢⎥⎢⎥1⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦解得特征向量η2⎡1⎤⎢⎥=2 ⎢⎥⎢⎣-1⎥⎦于是k 2η2（k 2是不为零的任意常数）是A 对应于λ2=λ3=1的全部特征向量. 2. 将方阵对角化的方法: (1)一般矩阵对角化. 例2 将矩阵⎡4⎢ A =-3⎢⎢⎣-36-5-60⎤⎥0 ⎥1⎥⎦对角化.解:由4-λ6-5-λ-6001-λ=-(λ-1) (λ+2) =02|A -λE |=-3-3解得特征值λ1=-2, λ2=λ3=1.对λ1=-2, , (A +2E ) X =0得⎡6⎢-3⎢⎢⎣-3T6-3-60⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥0x 2=0 ⎥⎢⎥⎢⎥3⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦解得基础解系为η1=[-111], 即为A 对于λ1=-2的特征向量. 对λ2=λ3=1, 由齐次方程组(A -E ) X =0得⎡3⎢-3⎢⎢⎣-36-6-610⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥0x 2=0 ⎥⎢⎥⎢⎥0⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦0], η3=[0T解得基础解系为η2=[-2向量.1], 即为A 对应于λ2=λ3=1的特征T容易验证向量η1, η2, η3线性无关, 所以取可逆矩阵⎡-1⎢P =(η1η2η3) =1⎢⎢⎣1⎡-2⎢-1则有 P AP =0⎢⎢⎣0010-2100⎤⎥0. ⎥1⎥⎦0⎤⎥0 ⎥1⎥⎦(2)实对称矩阵对角化.例3将实对称矩阵⎡2⎢A =2⎢⎢⎣-225-4-2⎤⎥-4 ⎥5⎥⎦对角化.解:由特征方程⎡2-λ⎢|A -λE |=2⎢⎢⎣-225-λ-4-2⎤⎥2-4=-(λ-10)(λ-1) =0⎥5-λ⎥⎦解得特征值λ1=10, λ2=λ3=1.对λ1=10, 由齐次方程组(A -10E ) X =0得⎡-8⎢ 2⎢⎢⎣-22-5-4-2⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥-4x 2=0 ⎥⎢⎥⎢⎥-5⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦-11⎥, 即为A 对应于λ1=10的特征向量. 将其标准化得⎦232⎤. ⎥3⎦TT⎡1解得基础解系η1=-⎢2⎣⎡1β1=-⎢3⎣-对于λ2=λ3=1, 由齐次方程组(A -E ) X =0得⎡1⎢2⎢⎢⎣-224-4-2⎤⎡x 1⎤⎡0⎤⎥⎢⎥⎢⎥-4x 2=0 ⎥⎢⎥⎢⎥4⎥⎦⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎣0⎥⎦ 1], η3=[-2T解得基础解系η2=[210], 即为A 对应于λ2=λ3=1的特征向量.T将其正交化, 由施密特正交法, 令α2=η2=2Tα3=η3-(η3, α2) (α2, α2)α2⎡2⎤-22⎡⎤⎡⎤⎢-⎥5⎢⎥4⎢⎥⎢=1+0=1⎥. ⎢⎥5⎢⎥⎢4⎥⎢⎢⎥⎣0⎥⎦⎣1⎥⎦⎢⎢⎣5⎥⎦再将其标准化得β2为此求得正交矩阵⎡2=⎢⎣5⎡1⎤2, β=-3⎥⎢5⎦⎣35T5354⎤⎥. 35⎦T⎡⎢-⎢P =(β1β2β3) =⎢-⎢⎢⎢⎣13232325015-2⎤⎥35⎥5⎥⎥354⎥⎥35⎦使得⎡10⎢-1P AP =0⎢⎢⎣00100⎤⎥0. ⎥1⎥⎦3. 将二次型化为标准形方法:(1)正交变换法. 例4化二次型22f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+5x 2+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3标准形, 并给出所用的正交变换.解: 二次型的矩阵为⎡2⎢A =2⎢⎢⎣-225-4-2⎤⎥-4 ⎥5⎥⎦由例3可得一正交变换⎢-⎡x 1⎤⎢⎢⎥⎢x =-⎢2⎥⎢⎢⎣x 3⎥⎦⎢⎢⎣13232325015-2⎤⎥35⎥⎡y 1⎤5⎥⎢⎥y 2, ⎢⎥⎥35⎢⎥4⎥⎣y 3⎦⎥35⎦在该变换作用下, 有f (x 1, x 2, x 3) =10y 1+y 2+y 3.222(2)配方法.例5用配方法化二次型2f (x 1, x 2, x 3) =x 1+4x 1x 2+4x 1x 3+4x 2x 3为标准形, 并求出所作的可逆线性变换.解:首先进行配方f (x 1, x 2, x 3) =x 1+4x 1(x 2+x 3) +4x 2x 3=[x 1+4x 1(x 2+x 3) +4(x 2+x 3) ]-4(x 2+x 3) +4x 2x 3=(x 1+2x 2+2x 3) -4x 2-4x 2x 3-4x 3=(x 1+2x 2+2x 3) -4(x 2+222222212x 3) -3x 32令⎧y 1=⎪⎨y 2=⎪⎩y 3=x 1+2x 2+2x 31x 2+x 32x 322得标准形f (x 1, x 2, x 3) =y 1-4y 2-3y 3并得所作的可逆变换为⎧x 1=⎪⎩x 3=y 1-2y 2-y 31y 2-y 32y 34. 判定正定二次型:用定理4.5.1, 定理4.5.2及推论进行判定. 例6判定矩阵⎡1⎢A =1⎢⎢⎣11231⎤⎥ 3 ⎥6⎥⎦的正定性.解:由于A 的顺序主子式12=1>0, 12313=1>0 61>0,所以A 是正定的.例7判定二次型的正定性.解: 因为⎡-5⎢A =22-602⎤⎥0 ⎥-4⎥⎦f (x 1, x 2, x 3) =-5x 1-6x 2-4x 3+4x 1x 2+4x 1x 222有顺序主子式-522-6-5=26>0, 222-6020-4=-80-5所以二次型为负定二次型.。
特征值与二次型
湖南科技大学 吴晓勤
13
将向量空间V (V Rn )的任一基1 , 2 ,, r
转换为一正交规范基的Schmidt正交化方法,
其具体步骤如下:
取
1
1,
2
2
1 , 2 1, 1
1,
r r
1,r 1, 1
r
证 设有1, 2 ,r ,使 ii 0,
i 1
分别用k与上式两端作内积(k 1,2,, r）,
即得k[k ,k ] [k ,0] 0
因k 0,故[k ,k ] k 2 0, 从而k 0, k 1,2,, r,
常采用正交向量组 作为向量空间的基, 称为向量空间的正
00,
1
1
得基础解系为
0
, 取 3
0
,
则
即为
3
所
求.
1
1
湖南科技大学 吴晓勤
12
定义3 设n维向量e1 , e2 ,,er 是向量空间 V (V Rn )的一个基,如果e1 , e2 ,,er 两两 正 交 且 都 是 单 位 向 量, 则 称 之 为V的 一 个 正交规范基(标准正交基).
② 0.
③ 对于非零向量α与β， , .
2、正交组
2
若向量组中的向量两两正交，且均为非零向量，则
这个向量组称为正交向量组，简称正交组.
3、标准正交组
由单位向量组成的正交组称为标准正交组.
湖南科技大学 吴晓勤
9
定理1 若n维非零向量1,2,…,r为正交向量组,则 它们为线性无关向量组.
第4章矩阵的特征值及二次型
第4章 矩阵的特征值及二次型一、内容解析1.理解矩阵特征值、特征向量的概念；掌握特征值与特征向量的求法； 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得 x Ax λ=则称数λ为A 的特征值，称x 为A 相应于特征值λ的特征向量。
注意特征向量必为非零向量。
例如，设⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11,2,3113x A λ因⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--112113113所以2为x 的特征值，⎥⎦⎤⎢⎣⎡11为A 相应于2的特征向量。
特征值的求法： 求特征方程0||=-A I λ的根；特征向量的求法： 求齐次线性方程组 o x A I =-)(λ的非零解，称为矩阵A 的相应于特征值λ的特征向量。
几个有用的结论：（1）n 阶方阵n 个特征值之和等于方阵对角线元素之和（称为迹）。
（2）n 阶方阵n 个特征值之乘积等于方阵的行列式值。
（3）若λ为方阵A 特征多项式的k 重根，则A 相应于λ的特征向量线性无关的个数不会超过k ，即有可能相等，有可能小于。
（4）任一方阵对应于不同特征值的特征向量是线性无关的。
由此结论知，方阵A 所有特征向量中线性无关的总数为对应于每个特征值的线性无关特征向量个数之和。
2.了解矩阵相似的定义和相似矩阵的性质；设A ，B 都是n 阶方阵，若有可逆方阵P ,使P -1A P =B则称B 是A 的相似矩阵，或说A 和B 相似，记为A ~B ，对A 进行运算P -1A P 称为对A 进行相似变换，其中可逆阵P 称为相似变换矩阵。
相似矩阵有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。
3.掌握实对称矩阵对角化的方法。
当n 阶矩阵A 有n 个线性无关的特征向量时，A 被它的特征值和特征向量唯一确定，即一定有A =P Λ P -1其中P 是以特征向量为列向量的方阵，Λ是以特征值为对角线元素的对角阵。
4.理解二次型的定义，二次型的矩阵表示； 把变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式222112222221221112112211121 ),,,(nnn n n n n n n n n n x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f ++++++++++++=称为n 元二次型。
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Ap l p
那么称数 l 为 A 的特征值, 特征值 l 的特征向量. • p 为方阵 A 对应于特征值 l 的特征向量, 也即 p 为方 称非零向量 p 为 A 对应于
程组 (lE A) x 0 的任一非零解.
• l 为方阵 A 的特征值的充分必要条件是 |lE A | 0. • 对应于 n 阶方阵 A的特征值 l 有 nR(lEA) 个线性 无关的特征向量, 称属于 l 的线性无关特征向量组.
l 1
4 1
1 0 l3 0 ( l 2)( l 1)2 0 l 2
方阵 A 的特征值为 l1 2, l2 l3 1. 当 l1 2 时, 解方程组 (2 E A) x 0, 得基础解系
0 p1 0 1
方阵 A 对应于 l1 2 的全部特征向量为 k1 p1 ( k1 0).
A2 p A( Ap ) A(l p ) l ( Ap ) l 2 p
因此 l2 为 A2 的一个特征值.
• 若 l 为方阵 A 的一个特征值, 则 f (l) 为 f (A) 的一个 特征值. • 设 l 为可逆方阵 A 的一个特征值, 则 1 1 (1) l 为 A 的一个特征值. 1 (2) | A|l 为 A 的一个特征值.
定理5 特征值的几何重数不大于代数重数. 注: 单(一重)特征值的几何重数必为1, 等于代数重数. • 对应于 n 阶方阵 A的特征值 l 有 nR(lEA) 个线性 无关的特征向量, 称属于 l 的线性无关特征向量组.
2015/10/22
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方阵相似对角化的条件
定理6 n 阶方阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量. • 练习1中的3阶方阵 A 有三个线性无关的特征向量, 因此 可相似对角化. • 练习2中的3阶方阵 A 只有两个线性无关的特征向量, 因 此不可相似对角化.
A PL P 1 , Ak PL k P 1 , f ( A) Pf ( L ) P 1
而对于对角阵 L diag(l1,…, ln), 有
k L k diag(l1k ,, ln ), f ( L ) diag[ f ( l1 ),, f ( ln )]
由此可方便地计算 A 的多项式. 定理1 n阶方阵 A与对角阵 L diag(l1,…, ln) 相似 的充分必要条件是存在线性无关向量组 p1,…, pn 满足
1 p2 2 1
方阵 A 对应于 l2 l3 1 的全部特征向量为 k2 p2 ( k2 0).
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练习3 设 l 为方阵 A 的一个特征值, 试证 l 为 A 的一 个特征值.
2 2
证明 存在非零向量 p, 使 Ap l p, 于是
P 1 AP B, 故
| l E B | | l E P 1 AP | | P 1 (l E A) P | | P 1 | | l E A | | P | | l E A |
推论 若对角阵L 是 A 的相似矩阵, 则L 以 A 的特征值 为对角元素.
f (1) 1, f ( 1) 3, f (2) 3
1
则 f (A) 的特征值为
于是
| A 3 A 2 E | | f ( A) | ( 1) ( 3) 3 9
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定理3 设 l1,…, lm 是方阵 A 的 m 个不同的特征值, p1,…, pm 为对应的特征向量, 则 p1,…, pm 线性无关.
n i 1
n
n 1
ck l n k
k 2
5
n
设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1 cn
其中
c1 (a11 a22 ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. • 在复数范围内, n 阶方阵有 n 个特征值(重根按重数算). • 设 l1,…, ln 为 A 的所有特征值, 则有
线性代数讲义4 特征值与二次型
张宏浩
2015/10/22
1
相似矩阵
设
f ( x ) an x n a1 x a0 , 记 f ( A) an An a1 A a0 E
称 f (A) 为方阵 A 的多项式. 对于方阵
B P 1 AP , 有 Bk P 1 Ak P , f ( B ) P 1 f ( A) P
2 2 k2 p2 k3 p3 ( k2 k3 0)
方阵 A 的特征值为
2015/10/22
l1 1, l2 l3 10.
10
1 1 0 练习2 求方阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2 解 方阵 A 的特征多项式为 |lE A|
6
2015/10/22
设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1 cn
其中
c1 (a11 a22 ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. 定理2 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值). 证明 设 A 与 B 相似, 即有可逆阵 P, 使
8 2 2 1 1/ 4 1/ 4 1 0 1/ 2 r r E A 2 5 4 0 9 / 2 9 / 2 0 1 1 2 4 5 0 9 / 2 9 / 2 0 0 0
(l 10)(l 2 11l 10) (l 1)(l 10)2
方阵 A 的特征值为
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l1 1, l2 l3 10.
8
9 2 2 练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>> 2 4 6
解 当 l1 1 时, 解方程组 ( E A) x 0. 由
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1 1 0 练习2 求方阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2 解 方阵 A 的特征多项式为 |lE A|
l 1
4 1
1 0 l3 0 ( l 2)( l 1)2 0 l 2
方阵 A 的特征值为 l1 2, l2 l3 1. 当 l2 l3 1 时, 解方程组 ( E A) x 0, 得基础解系
a21 |lE A| a n1
l a11
a12 a1n l a22 a2 n an 2 l ann
n n k k 2
(l a11 )(l ann ) bk l
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l ( aii )l
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9 2 2 练习1 求方阵 A 2 6 4 的特征值和特征向量. >>> 2 4 6
解 方阵 A 的特征多项式为
|lE A|
l 9
2 2
2 2 l 6 4 4 l 6
l 9
2 2
2 0 l 9 2 0 l 6 l 10 4 l2 0 4 l 10 2 4 l 10
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设 A (aij) 为 n 阶方阵, l 为变元, 则有
| l E A | l n c1l n1 cn
其中
c1 (a11 a22 ann ).
• 称 n 次多项式 |lE A| 为 A 的特征多项式. • 称 n 次方程 |lE A| 0 为 A 的特征方程. 注: 方阵 A 的特征多项式也记为 | AlE | , 除了可能差 一个负号外与 |lE A| 并无本质性的差异.
2015/10/22
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练习4 设3阶方阵 A的特征值为1,1,2, 求 | A 3A2E |.
解
| A | l1l2l3 2, A 可逆,
A | A | A1 2 A1
记
A 3 A 2 E 2 A 3 A 2 E 2 f ( x) 3 x 2 x
定理7 方阵 A 可相似对角化的充分必要条件是 A的 每一特征值的几何重数等于代数重数. 提示: 设 l1,…,lm 是 n 阶方阵 A 的所有不同的特征值.
相似矩阵 设 A, B 为 n 阶方阵, 若存在可逆矩阵 P, 使
P 1 AP B
则称 B 是 A 的相似矩阵. 称 P 为相似变换矩阵.
• 矩阵的相似具有反身性、对称性和传递性.
2015/10/22 2
可相似对角化方阵的多项式计算 若存在可逆矩阵 P, 使 P1AP 为对角矩阵 L, 则称 方阵 A 可相似对角化. 此时有
解 当 l2 l3 10 时, 解方程组 (10 E A) x 0. 由
2 2 1 1 2 2 r 10 E A 2 4 4 0 0 0 2 4 4 0 0 0 2 2 p2 1 , p3 0 得基础解系 0 1 因此, 方阵 A 对应于 l2 l3 10 的全部特征向量为
定理1 n阶方阵 A与对角阵 L diag(l1,…, ln) 相似 的充分必要条件是存在线性无关向量组 p1,…, pn 满足
2015/10/22
Api li pi ( i 1,, n)
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