期权定价的蒙特卡罗模拟方法

3). 模拟步骤
用蒙特卡罗模拟方法计算期权价格的过程： (1)输入资产及期权的有关参数 S 0 , S X , T , , , r , 时段数n和模拟次数m，并计算 t T / n ； (2)关于 i 1,2,, m 作下列模拟和计算：
S k 1 S k exp( t z t ), k 0,1,, n 1
频率
40 30 20 10 0 48 58 68 78 88 98 108 118 128 138 148 158
价格
模拟所得期权价值分布
200 180 160 140 120
频率
模拟所得股票价格分布 (已具备对数正态分布的 特征 ) 300次模拟所得的股 票价格分布和期权价 值分布的直方图
100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 价格 40 50 60 70
8.714933
0 0 43.21086 2.756024 0 0
26
27 28 29 30 31 32
99.23675
129.963 148.2776 65.82037 60.15786 114.829 130.8468
11.23675
41.96297 60.27763 0 0 26.82896 42.84677
0.08
0.25
S0 80
St t St exp(t z t )
S0 S1 S2 ST 1 ST
次数
股票价格 期权价值
ST CT
次数
股票价格
期权价值
1
2 3 4 5 6 7
96.wk.baidu.com1493
86.69949 79.92797 131.2109 90.75602 77.14289 82.56374
C[CT ] E
100 7.66 6.86
200 9.37 8.39
300 8.88 7.95
500 9.78 8.76
随着模拟次数的增加，由模拟所得的期权价格同用 布莱克—舒尔斯模型计算的期权价格越来越接近， 这反映随着模拟次数的不断增多，模拟所得的股票 价格越来越接近股票价格的真实分布。
80 70 60 50
42.76877 0 0
38 39 40
87.75519 78.61444 86.31097
0 0 0
16
17 18 19 20 21 22
79.57162
91.73871 66.88669 75.17505 70.62426 74.25586 70.2892
0
3.738708 0 0 0 0 0
41
rT
C S0 N (d1 ) S X e
N (d 2 ) 8.497
两者之间有较大的差距 , 原因在于模拟的次数 只有50次，所得的股票在到期日的价格不能 很好地复盖股票在到期日的实际价格分布。
增加模拟次数，使得模拟所得的股票在 期权到期日的价格尽可能好地复盖实际 的价格分布。
模拟次数 到期日价值 期权的价格
假定资产价格呈对数正态分布 已知资产在时间t (0 t T ) 的价格 St 资产在时间 t t 的价格为
St t St exp(t z t )
将期权的持有期T分成n个间隔相等的时 段 t T / n ，从资产在期权签约日的价 格开始 S 0 ，重复利用上述公式n次可得 资产在期权到期日的一个价格 ST ,由资 产的这个价格估计可得期权在到期日的 一个价值 估计.
对于期限短的期权，可以取一个工作日作为时 段的长度，对于期限相对长的期权，可以取 一周，或十个工作日作为一个时段，以减少 模拟单个价格所需的工作量，同时又能较好 的模拟价格走势；对于模拟次数，一般要求 不少于1000次，比较理想的次数在5000至 10000之间。
B. 资产价格分布的分析,以及有关参数的 估计: 收益的均值， 收益的波动性， 无风险资产的收益率,
rT
N (d 2 )
d1
ln( S0 / S X ) (r 2 / 2)T
T
ln(80 / 88) (0.11 0.252 / 2) 0.1838 0.25
d2 d1 T 0.0662
N (d1 ) 0.5729
N (d 2 ) 0.4736
期权定价的蒙特卡罗模拟方法
1). 2). 3). 4). 基本原理 基本过程 模拟步骤 注意事项
1). 基本原理
根据资产价格呈对数正态分布的假设， 模拟出资产在期权持有期内的不同的价 格走势，得到资产在期权到期日的不同 价格分布，由此根据期权在资产不同价 格下的价值得到期权在到期日的价值分 布，再取期权在到期日价值的均值作为 期权的价格。
42 43 44 45 46 47
91.21032
77.66045 93.91685 81.63916 81.54932 74.15813 105.5507
3.210317
0 5.916854 0 0 0 17.55074
23
24 25
69.91536
90.66702 77.86832
0
2.667019 0
8
9 10
70.92131
79.33796 85.42295
0
0 0
33
34 35
105.1063
78.59089 93.19428
17.10626
0 5.194279
11
12
89.47693
78.94285
1.476934
0
36
37
78.55582
82.48832
0
0
13 14 15
130.7688 87.83761 62.89268
买入期权的价值估计式
CT max{ST S X ,0}
卖出期权的价值估计式
P max{S X ST ,0} T
重复作这样的模拟m次，可得期权m个可 能的价值，再取它们的均值即可得期权 的一个价格估计.
C E[CT ]e
rT
P E[ P ]e T
rT
2). 基本过程
48
49 50
77.92296
81.99887 100.5379
0
0 12.53786
计算模拟所得的期权价值的平均值后， 再计算现值得期权价格的一个估计
C E[CT ]e
rT
7.000053 e
0.11
6.27
用布莱克—舒尔斯模型计算期权的价格
C S0 N (d1 ) S X e
例：设有这样一个股票，其现行的市场 价格为80元，已知该股票对数收益的均 值为8%，对数收益的波动性为25%， 无风险资产的收益率为11%。现在有以 该股票为标的资产, 执行期限为1年的买 入期权，确定的股票执行价格为88元， 用模拟法确定该期权的价格。
设一年有250个工作日，将其分为250 个相等的时段，即有 t 1/ 250
从 S 0 开始模拟得 S T S n CT max{ ST S X ,0} 或 P max{ S X ST ,0} T
(3)计算 E[CT ]或 E[ PT ]及期权的价格.
4). 注意事项
A. 模拟次数和计算精度之间的考量。 理论上的要求，在模拟时，时段的长度 应小，模拟次数应尽可能的多，以便使 所得的资产价格估计尽可能涵盖资产价 格的真实分布，这会大大增加模拟的计 算工作量。