安徽中考数学复习课件 第三章函数及其图象 第13讲 二次函数的应用
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售价x(元/千克) 销售量y(千克) 50 100 60 80 70 60
(1)求y与x之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润 ＝收入－成本)； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价 为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
考点2
用二次函数解决实际问题
1．在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题，我 们要善于通过分析实际问题中的数量关系，尤其是两个变量之间的 函数关系，建立二次函数的模型，从而用二次函数解决有关的实际 问题． 2．建立起实际问题中的二次函数关系后，要注意根据实际问题确 定其自变量的取值范围．
归纳►二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解 题意，利用二次函数解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利 润、最节省方案等问题.
命题趋势►二次函数的应用注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决 实际问题能力的考察．近六年安徽中考中，本知识点命题难度较大， 预测►二次函数的实际应用仍将作为重难点考查，题型以解答题为主．
∴AE＝2BE. 设BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a.
∵DF＋FC＋HG＋AE＋EB＋EF＋BC＝80，即8a＋
2x＝80， 1 ∴a＝－ x＋10. 4 3 ∴y＝3ax＝－ x2＋30x. 4
1 ∵a＝－ x＋10＞0， 4 3 ∴x＜40，则y＝－ x2＋30x(0＜x＜40)； 4 3 2 3 (2)∵y＝－ x ＋30x＝－ (x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系 4 3 4 数为－ ＜0， 4 ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
命题点1
二次函数在营销问题方面的应用
1．[2018·安徽，T22，12分]小明大学毕业回家乡创业，第一期培 植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元， 花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆 景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期 增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位： 元 )． (1)用含x的代数式分别表示W1，W2； (2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最 大，最大总利润是多少？
规范解答：(1)设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有(50 ＋x)盆，花卉有(50－x)盆． ∴W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8000，W2＝19(50－x)＝－ 19x＋950；…………………………………………………………(6分) (2)根据题意，得 W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8000－19x＋950＝－2x2＋41x＋8950＝ －2(x－ )2＋
第三用
考点1 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数与一元一次方程的关系 (1)一元一次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，就是二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x轴交点的 横坐标 ． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位于x轴 上方 的部分对应的x 的取值范围，就是不等于式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集；二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位于x轴 下方 的部分对应的x的取值范围， 就是不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集． 2．用二次函数的图象求一元二次方程的近似解：根据二次函数与一 元二次方程的关系，我们可以作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象，它与x轴交点的 横坐标 就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根．
类型1
二次函数与一元二次方程的关系
1．[2018·莱芜]函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则
使函数值y＜0成立的x的取值范围是( A )
A．x＜－4或x＞2 C．x＜0或x＞2 B．－4＜x＜2 D．0＜x＜2
2．[2018·南京]已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)． (1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？ 解：(1)证明：当y＝0时，2(x－1)(x－m－3)＝0.解得x1＝1，x2＝m＋ 3. 当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1， 即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m为何值， 该函数的图像与x轴总有公共点． (2)当x＝0时，y＝2m＋6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m ＋6. 当2m＋6＞0，即m＞－3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上 方． 3．[2018·乐山]已知关于x的一元二次方程mx2＋(1－5m)x－5＝ 0(m≠0)． (1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点， 且|x1－x2|＝6，求m的值； (3)若m＞0，点P(a，b)与Q(a＋n，b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不 重合)，求代数式4a2－n2＋8n的值．
3．[2013·安徽，T22，12分]某大学生利用暑假40天社会实践参与 了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天 销售的相关信息如下表所示．
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？ (2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式； (3)这40天中，该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
命题点2
二次函数在几何图形中的应用
4．[2015·安徽，T22，12分]为了节省材料，某水产养殖户利用水 库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成 了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积 相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为ym2. (1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 解：(1)∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
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∵－2＜0，且x为整数， ∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9160. 答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是9160元．…………………………………(12分)
2．[2017·安徽，T22，12分]某超市销售一种商品，成本每千克40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每 天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数 据如下表：
(1)求y与x之间的函数表达式； (2)设商品每天的总利润为W(元)，求W与x之间的函数表达式(利润 ＝收入－成本)； (3)试说明(2)中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价 为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
考点2
用二次函数解决实际问题
1．在现实的生活生产中存在着很多有关二次函数的实际问题，我 们要善于通过分析实际问题中的数量关系，尤其是两个变量之间的 函数关系，建立二次函数的模型，从而用二次函数解决有关的实际 问题． 2．建立起实际问题中的二次函数关系后，要注意根据实际问题确 定其自变量的取值范围．
归纳►二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解 题意，利用二次函数解决实际问题．应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利 润、最节省方案等问题.
命题趋势►二次函数的应用注重多个知识点的综合考查以及对学生应用二次函数解决 实际问题能力的考察．近六年安徽中考中，本知识点命题难度较大， 预测►二次函数的实际应用仍将作为重难点考查，题型以解答题为主．
∴AE＝2BE. 设BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a.
∵DF＋FC＋HG＋AE＋EB＋EF＋BC＝80，即8a＋
2x＝80， 1 ∴a＝－ x＋10. 4 3 ∴y＝3ax＝－ x2＋30x. 4
1 ∵a＝－ x＋10＞0， 4 3 ∴x＜40，则y＝－ x2＋30x(0＜x＜40)； 4 3 2 3 (2)∵y＝－ x ＋30x＝－ (x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系 4 3 4 数为－ ＜0， 4 ∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300平方米．
命题点1
二次函数在营销问题方面的应用
1．[2018·安徽，T22，12分]小明大学毕业回家乡创业，第一期培 植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元， 花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆 景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变． 小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期 增加x盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1，W2(单位： 元 )． (1)用含x的代数式分别表示W1，W2； (2)当x取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最 大，最大总利润是多少？
规范解答：(1)设培植的盆景比第一期增加x盆，则第二期盆景有(50 ＋x)盆，花卉有(50－x)盆． ∴W1＝(50＋x)(160－2x)＝－2x2＋60x＋8000，W2＝19(50－x)＝－ 19x＋950；…………………………………………………………(6分) (2)根据题意，得 W＝W1＋W2＝－2x2＋60x＋8000－19x＋950＝－2x2＋41x＋8950＝ －2(x－ )2＋
第三用
考点1 二次函数与一元二次方程的关系 1．二次函数与一元一次方程的关系 (1)一元一次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的解，就是二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)的图象与x轴交点的 横坐标 ． (2)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位于x轴 上方 的部分对应的x 的取值范围，就是不等于式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集；二次函数y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象位于x轴 下方 的部分对应的x的取值范围， 就是不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集． 2．用二次函数的图象求一元二次方程的近似解：根据二次函数与一 元二次方程的关系，我们可以作出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图 象，它与x轴交点的 横坐标 就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 的根．
类型1
二次函数与一元二次方程的关系
1．[2018·莱芜]函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则
使函数值y＜0成立的x的取值范围是( A )
A．x＜－4或x＞2 C．x＜0或x＞2 B．－4＜x＜2 D．0＜x＜2
2．[2018·南京]已知二次函数y＝2(x－1)(x－m－3)(m为常数)． (1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点； (2)当m取什么值时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上方？ 解：(1)证明：当y＝0时，2(x－1)(x－m－3)＝0.解得x1＝1，x2＝m＋ 3. 当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1， 即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．所以，不论m为何值， 该函数的图像与x轴总有公共点． (2)当x＝0时，y＝2m＋6，即该函数的图像与y轴交点的纵坐标是2m ＋6. 当2m＋6＞0，即m＞－3时，该函数的图像与y轴的交点在x轴的上 方． 3．[2018·乐山]已知关于x的一元二次方程mx2＋(1－5m)x－5＝ 0(m≠0)． (1)求证：无论m为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴交于A(x1，0)、B(x2，0)两点， 且|x1－x2|＝6，求m的值； (3)若m＞0，点P(a，b)与Q(a＋n，b)在(2)中的抛物线上(点P、Q不 重合)，求代数式4a2－n2＋8n的值．
3．[2013·安徽，T22，12分]某大学生利用暑假40天社会实践参与 了一家网店的经营，了解到一种成本为20元/件的新型商品在第x天 销售的相关信息如下表所示．
(1)请计算第几天该商品的销售单价为35元/件？ (2)求该网店第x天获得的利润y关于x的函数关系式； (3)这40天中，该网店第几天获得的利润最大？最大利润是多少？
命题点2
二次函数在几何图形中的应用
4．[2015·安徽，T22，12分]为了节省材料，某水产养殖户利用水 库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成 了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积 相等．设BC的长度为x m，矩形区域ABCD的面积为ym2. (1)求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围； (2)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？ 解：(1)∵三块矩形区域的面积相等， ∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，
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∵－2＜0，且x为整数， ∴当x＝10时，W取得最大值，最大值为9160. 答：当x＝10时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是9160元．…………………………………(12分)
2．[2017·安徽，T22，12分]某超市销售一种商品，成本每千克40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元．经市场调查，每 天的销售量y(千克)与每千克售价x(元)满足一次函数关系，部分数 据如下表：