4功和能

在 t1 到 t2 这段时间内，质点沿路径L从 A 到B
A L F dr L
B A B
F v dt
B A
d 1 1 1 2 2 L ( m v )dt m v2 m v2 1 dt 2 2 2 A
A Ek 2 Ek 1 Ek
1、对保守内力才能引进势能的概念； 2、某一位形的势能总是相对于选定的标准位形（零 点势能）来说的。对不同的零点势能，系统在同一 位形的势能值是不同的；但两个位形的势能差是 一定的，与势能零点的选择无关。
几种常见保守力的势能：
重力势能： 选h0 处为标准位形
y
h
h0 x
EPh Ahh0 mg(h h0 )
内力分为两部分
A外 A内非保 A内保 EKB EKA
A内保AB EP ( A) EP (B)
A外 A内非 ( EKB EPB ) ( EKA EPA )
机械能 E E K E P 质点系在运动过程中，它所 受的外力的功与系统内非保 守内力的功的总和等 于它的 机械能的增量。称为功能原理。
注意
1、系统的内力的功之和不一定等 于零，尽管力是成对出现，但受力 两质点的位移不同。因而质点系 的动能会因内力做功而增减.
2、动能是质点因运动而具有的能 量，是物体的基本属性，反映了物 体运动状态，是状态参量。而功是 作用在物体上的力对物体空间移动 过程中的累积，是过程量。求过程 量时，可以通过求状态量来求得。
一般地，令 h0 = 0，则：
E ph mgh
例：引力势能
Gm1m2 Gm1m2 AAB rB rA Gm1m2 Gm1m2 E PA E PB AAB rB rA
选两质点相距无限远时为势能零点 Ep
Gm1m2 E p (r ) r
O
r
f
例：弹性势能 弹性力
B
解： 水平方向动量守恒
a
mv0 (m M )v
视木块为质点 系，质心加速度：
s
f Ma
考虑一个随木块的质心一起加速平动的参考系 对子弹： 1 2
( f ma ) s 0 mv 0 2
子弹在木块穿行的距离为：
2 mMv0 s 2 f (m M )
例2：有一面为1/4凹圆柱面（半径R）的物体（质量M）放置 在光滑水平面，一小球（质量m），从静止开始沿圆面从顶端 无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体时速度 v ， 求：1）重力所做的功；2）内力所做的功。
3
1
vr E vr s vEs
42.2 29.8103 12.4 103 ms1
（3）考虑火箭必须克服地球引力势能（地心系）
1 2 GM E m 1 2 GM E m m v3 m vr E 2 RE 2 R
1 mv 22 2
∥ ∥ 0
2 2 v3 v2 vr2E
小结：过程量、状态量
过程量
FΔt I
状态量 动量
冲量矩 Mt
功 F dr A
P
角动量
L
动能
Ek
过程量引起状态量的变化，如：力对时间的积累， 对空间的积累等，仅仅与状态量的初、末状态有关 状态量是描写质点运动的物理量，不能彼此替代。
例1. 在光滑水平桌面上放着一静止的木块，其质量为M。质 量为m的子弹以水平速度v0 打击木块。设子弹在木块中钻行 时，受阻力f，求子弹在木块中钻行的距离。
vrs
v0 42.2 103 ms1
（2）考虑地球绕太阳运动（日心系） 公转速度为
vE s vr E
RsE
vr E vr s vsE vr s vEs
发射时选择火箭相对太阳的速度与地球相 对太阳运动速度一致，则
vEs 29.8 10 ms
v3 16.7 103 ms1
势能曲线
弹力势能 重力势能 万有引力势能
EP
1 2 kx 2
E P mgh
EP
EP
Gm1 m 2 EP r
EP
0
r
0
x
0
h
六、 碰撞问题——系统动量守恒
① 完全非弹性碰撞
碰前
v1
m1 1
v2
m2 2
碰后
V
M
m1v1 m2v2 (m 1 m2 ) V
A外 A内非 EB EA
当质点系只有保守内力做功，外力和非保守内力做功为零时， 机械能守恒。 即：
A外 A内非保 0
E机 EB E A 常量
更普遍地，孤立系统能量守恒。
在只有保守内力做 功的情况下，质点 系的机械能保持不 变。这一结论叫机 械能守恒。
五、能量守恒定律与三种宇宙速度
要飞离地球必须
R 时v 0
v0
2GM E RE
1 GM E m 2 m v0 0 2 RE
又
M Em mg G 2 RE
v2 2gRE 11.2 103 ms1
第三宇宙速度——从地面发射的航天器，能够飞离太阳 的引力范围，所需要的相对地球的最小速度。
（1）只考虑太阳的引力（日心系）
A到B做功
B
ri
A
B
j
i
Fi
功等于质点受的力 和它的位移的标积
B Ai Fi ri L F dr i i A
AAB
AAB
L F dr
A
质点沿路径L从A到 B力F对它做的功
恒力的功
F
dr
F
F
AAB
B
L F dr
AAB
A
xA xB
A
B
B f dr f x dx
A
N
AAB
1 2 1 2 kx A kxB 2 2
h
例2 重力的功
AAB mgh
mg
二、 动能定理
合外力对质点所做的功等于质点动能的增量。 质点的动能
A L F dr L
B A
F vdt
相对地心参考系
可绕地球运行 所需的最小 初速度称为
第一宇宙速度
第二宇宙速度 第三宇宙速度
使人造星体
完全脱离地球
脱离太阳
第一宇宙速度
把卫星和地球看做一个系统，则其机械能守恒。(地心系）
1 ME m 1 ME m 2 2 mv0 G mv G 2 RE 2 r
万有引力做为卫星绕地心做圆形轨道运动的向心力，则：
x
kx
O
xA xB
A
B
1 2 2 AAB k xdx k ( x A xB ) 2 A 1 2 2 E PA E PB k ( x A x B ) 2
以弹簧处于自然长度 时为弹性势能零点，则：
1 2 E P kx 2
四、 功能原理与机械能守恒定律
A外 A内 EKB EKA
AAB EPA EPB EP
系统由位形A改变到位形B的过程中，保守内力的功 等于系统势能的减少(或势能增量的负值)。 选标准参考点（势能零点），设
E PB 0
E PA AAB
系统在任一位形时的势能等于它从此位 形改变至标准位形（势能零点）时保守 内力所做的功。
注意
E PA AAB
A1
O 初位形为A，末位形为B 一对内力所做的功为：
AAB
dA f 2 dr21
B B A A
两质点间的“一对力”所做功之和等于其中一个质点受的力沿 着该质点相对于另一质点所移动的路径所做的功。 一对力所做的功只决定于两质点的相对路径，因而也就 和确定两质点的位置时所选的参考系无关

f dr 0
保守力沿任意闭合路径所做的功为零。 保守力：万有引力、静电力、弹性力等
与保守力相对的称为耗散力，如摩擦力。
（三）势能
E pB
E pA
A 保守力做功
在保守力场（在任意点受保守力 B 的作用），质点从A-->B，所做 的功与路径无关，而只与这两点 的位置有关。可引入一个只与位 置有关的函数，这个由位形决定 的函数 叫系统的势能函数，简 称为势能(也叫位能)。E p
§2.4 1 .功
功能原理和机械能守恒定律
2 .动能定理 3 .保守力,势能 4 .功能原理与机械能守恒定律 5 .能量守恒定律与三种宇宙速度 6. 碰撞问题与系统动量守恒
一、 功
力的空间积累
Ai Fi cosji ri Ai Fi ri
dA F dr
B A B
j
B
A
s
F dr cosj F cosj dr
A A
AAB Fs cosj
合力的功
恒力做的功
AAB A1AB A2 AB ANAB
合力的功等于各分 力沿同一路径所做 的功的代数和
几种常见力的功
f 弹力，重力 x O 相对平衡位置
例1
弹力的功
B
f x kx
v0
R se
GM s m 1 2 m v0 0 2 RsE
v0 2GM s RsE
GM s m 1 GM s m 1 2 2 m v0 mv 2 REs 2 R
要飞离太阳必须 R 时 v 0
M s 2 10 kg
30
RsE 11.5 10 m
11
G 6.67 1011 SI
解：重力只对小球做功
m M R