初中数学一元二次方程第01讲

合集下载

第1讲一元二次方程的根与解法学生版

初中数学联赛体系第1讲一元二次方程的根与解法【知识要点与基本方法】一、一元二次方程基本概念1、概念：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的形式的方程叫做一元二次方程.2、一元二次方程必须满足的三大条件（1）整式方程（2）含有一个未知数（3）未知数的最高次数为2 3、一元二次方程的一般形式形如关于x 的一元二次方程：)0(02≠=++a c bx ax 的形式，（它的特征是方程左边是一个关于未知数的二次三项式，方程右边是零，其中2ax 叫二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数；c 叫做常数项.注意b 、c 可以是任何实数，但a 绝对不能为零）二、一元二次方程的根与解法1、一元二次方程的根0x x =是方程20ax bx c ++=（,,a b c 为常数，0a ≠）的根的充要条件是0020=++c bx ax . 2、直接开平方法解一元二次方程：（1）把方程化成有一边是含有未知数的完全平方的形式，另一边是非负数的形式，即化成)0()(2≥=±a a b x 的形式（2）直接开平方，解得a b x a b x -=+= 21,3、配方法的定义：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法.【注】、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）利用配方法解一元二次方程时，如果02=++c bx ax 中a 不等于1，必须两边同时除以a ，使得二次项系数为1.（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。

（4）用直接开平方法求出方程的根. 4、公式法解一元二次方程（1）对于一元二次方程02=++c bx ax 其中0≠a ，由配方法有22244)2(aacb a b x -=+， ①当042≥-ac b 时，得aacb b x 242-±-=；②当042<-ac b 时，一元二次方程无实数解.（2）公式法的定义：利用求根公式接一元二次方程的方法叫做公式法.（3）运用求根公式求一元二次方程的根的一般步骤：①必须把一元二次方程化成一般式02=++c bx ax ，以明确a 、b 、c 的值； ②再计算ac b 42-的值：当04Δ2≥-=ac b 时，方程有实数解，其解为：aacb b x 242-±-=；当04Δ2<-=ac b 时，方程无实数解. 5、因式分解解一元二次方程（1）分解因式法解一元二次方程：当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的积时，可用解两个一元一次方程的方法来求得一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法称为分解因式法.（2）分解因式法的理论依据是：若0=⋅b a ，则0=a 或0=b （3）用分解因式法解一元二次方程的一般步骤： ①将方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； ③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，他们的解就是一元一次方程的解.6、含字母系数一元二次方程的解法解关于含字母系数的方程，要求对每个参数允许值回答：方程是否有解？若有解，写出解集.特别地，当二次项系数含有字母系数时，如果题目本身没有指明时一元二次方程，则必须对二次项系数讨论是否为零.【例1】 1、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． 2、若方程()112=⋅+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 . 【例2】1、用分解因式法解下列方程（1）01032=--x x （2）01762=+-x x （3）0625412=-+x x （4）021)1(4)1(2=----x x ． 2、利用求根公式求解下列方程（1） 0222=--x x （2）010342=+-x x（3）()()()()5211313+-=+-x x x x （4）061054422=--++-p x p px x【对应训练】：1、用公式法解下列方程（1）0232=+-x x （2）2212x x -=- （3）x x 3)1(2-=+（4）1(61)432(2)2x x x x ++-=+ （5）023222=--+-n mn m mx x【例3】解下列方程（1）42200x x --=；（2）06)13(2)32(2=----x x ；（3）.02)23()21(2=++-+x x【例4】解下列方程（1）4122+-=x x（2）112432--=-+x x x【例5】解关于x 的方程（1）；0)(222=++-ab x b a abx（2）.)1()1()232(22222b x x ab a x x -=+---【例6】1、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 .2、设b a 、是整数，方程02=++b ax x 有一个根是347-，则=+b a .3、已知02=++c bx ax )0(≠ac 有一个根是3，则方程02=++a bx cx 一定有一个根是，方程02=+-a bx cx 一定有一个根是 .4、已知两数积1≠ab ，且03123456789022=++a a ，02123456789032=++b b ，则=ba【例7】已知方程p x x =--)97)(19(有实根21,r r ，试求方程p r x r x -=--))((21的最小实根.【例8】求k 的值，使得两个一元二次方程0)2(,0122=-++=-+k x x kx x 有公共根，并分别求出这两个方程的解集.【例9】对于任意实数,k 方程04)(2)1(2222=++++-+b k k x k a x k 都有实根1，试求另一个根的最大值与最小值.【例10】已知方程)0(2>=++a x c bx ax 的两根21x x 、满足ax x 1021<<<.当10x x <<时，证明：12x c bx ax x <++<.【例11】已知首项系数不相等的两个一元二次方程0)2()2()1(,0)2()2()1(222222=+++--=+++--b b x b x b a a x a x a 有公共根.（1）求证：.2++=b a ab（2）若b a ,为正整数，求ab ab ba b a --++的值. （3）设0x 为公共根，求证：.048403040>++-x x x【课后强化训练】A 组1、下列方程中，是一元二次方程的序号是①042=-y y ； ②0322=--x x ； ③312=x； ④bx ax =2； ⑤x x 322+=； ⑥043=+-x x ； ⑦22=t ； ⑧0332=-+xx x ； ⑨22=-x x ； ⑩)0(2≠=a bx ax2、已知方程3ax 2－bx －1=0和ax 2+2bx －5=0，有共同的根1-，则a = ，b = .3、已知a 2－5ab +6b 2=0，则abb a +等于 4、在实数范围内分解因式：=--12x x ；=++-223y xy x5、等腰三角形的两边的长是方程091202=+-x x 的两个根，则此三角形周长为 6、已知042=+-b x x 的一根的相反数为042=-+b x x 的根，则042=-+bx x 的根是 7、已知0132=+-a a ，那么=++--2219294a a a ___________. 8、方程019991997199822=⋅++x x 的解是 . 9、若1≠ab ，且07200552=++a a ，05200572=++b b ，则_________=ba. 10、已知方程(2011x)2－2010·2012x －1＝0的较大根为a ，方程x2＋2010x －2011＝0的较小根为b ，则a －b ＝__________．11、方程0672=+-x x ，各根的和是 .12、若31028-是方程02=++b ax x 的一个根（其中b a 、是有理数），则ab 的值是 . 13、用公式法解下列各方程（1）x 2+6x +9=7 （2）017122=++x x（3）08242=+-x x （4）4)3)(12(=--x x（5）02)82(42=++-y y （6）02322=--x x（7）)3)(21()12(5+-=-x x x14、用因式分解法解下列方程：（1）t (2t －1)＝3(2t －1)；（2）y 2＋7y ＋6＝0；（3）y 2－15＝2y （4）(2x －1)(x －1)＝1．（5）)3)(21()12(5+-=-x x x （6）10x 2－x －3＝015、解下列方程（1）0)34()45(22=---x x ；（2）06)23(2=++-x x ；（3）0154)35(222=----x x ；（4）02)32()347(2=----x x ；（5）629332+=-+++x x x x .16、已知两个二次方程02=++b ax x ，02=++d cx x 有一个公共根1，求证：二次方程0222=++++db xc a x 也有一个根为1.17、求方程072=--kx x 与()0162=+--k x x 的公共根.B 组1、已知c b 、为方程02=++c bx x 的两个根，且0≠c ，c b ≠.则c b 、的值分别是、2、已知正实数a b c ，，满足方程组222229217226a b ac b c ab c a bc ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩，则a b c ++的值是3、关于x 的方程1)12(62++-=m x m x 有一根α，满足不等式：19981998≤≤-α，且使得α53为整数，则m 可取个值.4、已知02=++c bx ax 的两根和为1S ，两根平方和为2S ，两根立方根为3S ，则123cS bS aS ++的值是5、已知1=x 是方程02=++c bx ax 的根，0≠abc .则)111(32333222cb ac b a c b a +++++++的值是 .6、（2012湖北随州）设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012≠-ab ，52213⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+a a b ab 的值是 .7、解下列关于x 的方程（1）03222=-+m x m x ；（2）0))()((=+++++++abc b a x a c x c b x ；（3）)0(0)(33442≠=++-ab b a x b a abx ；（4）0)3(2)1(2=+--+m x m x m ；（5）02)5(522=--+-x m x m ）（.8、已知下面三个方程有公共根.02=++c bx ax ，02=++a cx bx ， 02=++b ax cx .求证：abc c b a 3333=++.9、设等腰三角形的一腰与底边长分别是方程062=+-a x x 的两根，当这样的三角形只有一个时，试求a 的取值范围.10、若21q q 、是方程02=++b ax x 的两个实根，且0,21≠≠b q q .又21c c 、是任意两个实数，则n n n q c q c x 2211+=是方程021=++--n n n bx ax x 的解.11、设2121,,,b b a a 都是实数，21a a ≠，且1))(())((22122111=++=++b a b a b a b a ，求证：1))(())((22211211-=++=++b a b a b a b a .初中数学联赛体系第2讲可化为一元二次方程的方程（组）模块一、特殊高次方程的解法次数超过2的整式方程称为高次方程.一般地高次方程没有统一的求解方法.对于一些特殊的高次方程，可通过降次，转化为一元二次方程或一元一次方程求解.转化的方法有因式分解法、换元法、变换主元法等.【例1】解下列方程（1）13322)132(222+-=+-x x x x（2）222222)143()352()2(+-=+-+-+x x x x x x（3）.3123=--x x x（4）.022224223=-+++x x x（5）062536506650362562345678=+-+-+-+-x x x x x x x x【例2】解方程.02)65(2)11(2102234=++++---a a x a x a x x 其中a 是常数.【例3】方程02=++b ax x 有两个不同的实数根.求证：方程01)2(234=+--++ax x b ax x 有4个不同的实数根.模块二、特殊分式方程的解法分母中含有未知数的方程叫分式方程，求解分式方程总的原则是通过去分母或换元，时期转化为整式方程，然后再求解.在这个过程中离不开分式的恒等变形，如通分、约分及降低分子的次数等等，这就有可能使未知数的范围扩大（或缩小），从而使方程产生增根（或遗根），因此，当未知数的范围扩大时，需验根。

一元二次方程(第1课时)

17.1 一元二次方程（第1课时）教材的地位和作用：一元二次方程是中学教学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位，在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算，一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，其内容都是学习一元二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固，一元二次方程也是以后学习(•指数方式，对数方程，三角方程以及不等式，函数，二次曲线等内容)的基础，此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要的意义。

教学目标：1、经历探究抽象一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型.2、了解一元二次方程的概念.3、知道一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化成一般形式，会辨认一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.学习重点：一元二次方程的概念，包括它的一般形式.学习难点：例题中包含了代数式的变形和等式变形两个方面，计算容易产生差错，是本节教学的难点.课前预习问题：1.只含_____________ ，并且_____________ 是2次，这样的整式方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的标准形式为_____________，其中________叫做二次项，______叫做一次项、_____叫做常数项.看看你的预习效果：3. 一元二次方程2x=x(x-5)化成标准形式为_______，其中二次项为，一次项为，常数项为．4.下列方程是一元二次方程的有.（1）10x²=9 (2)2(x-1)=3x (3)2x²-3x-1=0 (4)112=-xx课堂合作学习，探究新知：1、列出下列问题中关于未知数x的方程：（学生自主探索，并互相交流，自己列出方程）(1)把面积为12平方米的长方形分割成正方形和长方形两个部分，若小长方形的宽是1米，求正方形的边长。

设正方形的边长为x,可列出方程_________________；(2)据国家统计局公布的数据，浙江省2006年全省实现生产总值6万亿元，2008年生产总值达86400亿元，求浙江省这两年实现生产总值的年平均增长率。

第01讲一元二次方程的定义与解法(核心考点讲与练)【暑假预习】2024年暑假新九年级数学核心考点讲与

第01讲一元二次方程的定义与解法（核心考点讲与练）【基础知识】一．一元一次方程的定义（1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b＝0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b＝0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x 的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．二．二元一次方程组的解（1）定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．（2）一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数．三．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．四．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．五．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．六．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．七．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．八．解一元二次方程-公式法（1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式．（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．九．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．十．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．【考点剖析】一．一元二次方程的定义（共3小题）1．（2022春•泰兴市校级月考）下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．B．（x+1）（x﹣1）＝x2﹣xC．5x2﹣4＝0 D．ax2+bx+c＝02．（2021秋•宜兴市月考）已知关于x的方程（m﹣1）x|m|+1+（2m+1）x﹣m＝0是一元二次方程，则m＝．3．（2021秋•玉屏县期中）向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）（m﹣2）x﹣1＝0提出了下列问题：（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．二．一元二次方程的一般形式（共4小题）4．（2021秋•南京期末）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣45．（2021秋•海州区校级期中）一元二次方程x2﹣3x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别为（）A．1、0 B．1、3 C．1、﹣3 D．﹣1、﹣36．（2021秋•黄石期末）将方程2（x﹣1）2＝3﹣5x化为一般形式是．7．（2020秋•常州期中）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项为0．（1）求m的值；（2）求此时一元二次方程的解．三．一元二次方程的解（共5小题）8．（2021秋•金湖县期末）若a为方程x2+2x﹣4＝0的解，则a2+2a﹣8的值为（）A．2 B．4 C．﹣4 D．﹣129．（2022•常州模拟）已知a是方程2x2﹣7x﹣1＝0的一个根，则代数式a（2a﹣7）+5＝．10．（2022•邗江区一模）关于x的方程x2+nx﹣5m＝0（m、n为实数且m≠0），m恰好是该方程的根，则m+n的值为．11．（2021•南海区二模）若关于x，y的二元一次方程组的解x＞0，y＞0．（1）求a的取值范围；（2）若x是一个直角三角形的直角边长，y是其斜边长，此三角形另一条直角边的长为方程m2﹣8m+16＝0的解，求这个直角三角形的面积．12．（2021秋•高港区期中）定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．（1）判断一元二次方程3x2﹣4x﹣7＝0是否为凤凰方程，说明理由．（2）已知2x2﹣mx﹣n＝0是关于x的凤凰方程，若m是此凤凰方程的一个根，求m得值．四．解一元二次方程-直接开平方法（共4小题）13．（2021秋•盐都区期末）一元二次方程x2﹣25＝0的解为（）A．x1＝x2＝5 B．x1＝5，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣5 D．x1＝x2＝2514．（2021秋•东台市期中）解方程：2x2＝6．15．（2020秋•邗江区校级月考）求满足条件的x值：（1）3（x﹣1）2＝12；（2）x2﹣3＝5．16．（2018秋•鼓楼区期末）求4x2﹣25＝0中x的值．五．解一元二次方程-配方法（共3小题）17．（2020秋•香洲区期末）解方程：x2﹣4x+1＝0（配方法）．18．（2022•碑林区校级三模）解方程：2x2﹣4x﹣1＝0（用配方法）19．（2019秋•榕城区期中）用配方法解方程：2x2﹣4x＝1．六．解一元二次方程-公式法（共3小题）20．（2019•合浦县二模）解方程：x2+3x﹣2＝0．21．（2019•鼎城区模拟）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0．22．（2019•常德）解方程：x2﹣3x﹣2＝0．七．解一元二次方程-因式分解法（共2小题）23．（2021秋•广陵区期末）解方程：（1）x2+5x+4＝0．（2）4x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0．24．（2021秋•泗阳县期末）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣12＝0；（2）x（x﹣3）＝﹣2（x﹣3）．八．换元法解一元二次方程（共3小题）25．（2022春•射阳县校级月考）已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，则x2+y2的值为（）A．0 B．4 C．4或﹣2 D．﹣226．（2021秋•山亭区期末）若（a2+b2）2﹣2（a2+b2）﹣3＝0，则a2+b2＝．27．（2020春•开江县期末）基本事实：“若ab＝0，则a＝0或b＝0”．方程x2﹣x﹣6＝0可通过因式分解化为（x﹣3）（x+2）＝0，由基本事实得x﹣3＝0或x+2＝0，即方程的解为x＝3或x＝﹣2．（1）试利用上述基本事实，解方程：3x2﹣x＝0；（2）若实数m、n满足（m2+n2）（m2+n2﹣1）﹣6＝0，求m2+n2的值．【过关检测】一．选择题（共5小题）1．（2019•怀集县一模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2．（2019秋•竞秀区期末）将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（）A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x+4）2＝﹣9 D．（x+8）2＝73．（2021秋•顺德区月考）把一元二次方程x2+2x＝5（x﹣2）化成一般形式，则a，b，c的值分别是（）A．1，﹣3，2 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，﹣3，104．（2019秋•苏州期末）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．x+2＝3 B．x+y＝1 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2 15．（2021•吴中区开学）方程（x+1）2＝1的根为（）A．0或﹣2 B．﹣2 C．0 D．1或﹣1二．填空题（共3小题）6．（2018春•商南县期末）若（x﹣1）2＝4，则x＝．7．（2018春•西城区期末）将一元二次方程x2+8x+13＝0通过配方转化成（x+n）2＝p的形式（n，p为常数），则n＝，p＝．8．（2016•江阴市校级开学）如果（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣2＝0，则a2+b2＝．三．解答题（共9小题）9．（2020秋•沭阳县期末）解方程：（1）2（x﹣1）2﹣18＝0．（2）8（x+1）3＝27．10．（2021秋•新北区校级期中）用恰当的方法解方程：（1）（x﹣3）2﹣9＝0；（2）x2+4x﹣1＝0；（3）x2﹣3x﹣2＝0；（4）（x﹣1）（x+3）＝5（x﹣1）．11．（2021秋•南京期末）解方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）100（x﹣1）2＝121．12．（2022•常州模拟）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣45＝0；（2）x（x+4）＝﹣3（x+4）．13．（2016秋•盐都区期末）（1）解方程：（x+1）2＝9；（2）解方程：x2﹣4x+2＝0．14．（2021•吴中区开学）解方程：（1）（x﹣1）2﹣4＝0；（2）（x+1）2＝2（x+1）．15．（2018秋•武进区校级期末）阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到降次的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程：（x2+3x）2+5（x2+3x）﹣6＝0．16．（2018秋•京口区校级月考）（阅读理解题）阅读材料，解答问题：为解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，然后设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4．当y1＝1时，x2﹣1＝1．所以x2＝2．所以x＝±；当y ＝4时，x2﹣1＝4．所以x2＝5．所以x＝±，故原方程的解为x1，x2，x3，x4；上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．（1）已知方程x2﹣2x﹣3，若设x2﹣2x＝a，那么原方程可化为（结果化成一般式）（2）请利用以上方法解方程：（x2+2x）2﹣（x2+2x）﹣6＝0．17．（2020秋•饶平县校级期中）解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得到简化，这叫换元法．先阅读下面的解题过程，再解出右面的两个方程：例：解方程：．解：设（t≥0）∴原方程化为2t﹣3＝0∴而∴∴请利用上面的方法，解出下面两个方程：（1）（2）。

北师大版初中九年级上册数学课件《用公式法求解一元二次方程》一元二次方程PPT课件1(第1课时)

5. 已知 x2－4x＋1－m＝0 是关于 x 的一元二次方程． (1)若 x＝4 是方程的一个实数根，求 m 的值；解：将 x＝4 代入原方程，得 42－4×4＋1－m＝0，解得 m＝1.
5. 已知 x2－4x＋1－m＝0 是关于 x 的一元二次方程． (2)若该方程有两个实数根，求 m 的取值范围．
解：∵方程 x2－4x＋1－m＝0 有两个实数根， ∴Δ＝(－4)2－4×1×(1－m)＝12＋4m≥0，解得 m≥－3.
课堂小结
例题精讲
知识点 1 用公式法解一元二次方程例1 用公式法解方程： (1)3x2－6x＋1＝2；
【思路点拨】先把方程化为一般式，确定 a，b，c 的值并计算判别式的值，利用求根公式解方程．
解：移项，得 3x2－6x－1＝0，∴a＝3，b＝－6，c＝－1，
Δ＝b2－4ac＝( －6 )2－4×3×( －1 )＝48>0.
第二章一元二次方程
用公式法求解一元二次方程
第1课时
教学目标
1. 经历用配方法推导一元二次方程求根公式的过程，理解求根公式的由来．
2. 会用公式法求解一元二次方程．(重点) 3. 理解根的判别式的意义，并能用来解决相关的问题．(难点)
课前预习
(一)知识探究
1. 对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当 bb2－2－
4. 用公式法解方程： (2)5x2＝4x－5；解：方程整理，得 5x2－4x＋5＝0，则 a＝5，b＝－4，c＝5， ∴Δ＝16－4×5×5＝－84＜0，∴该方程无解．
4. 用公式法解方程： (3)4x2－36x＋81＝0. 解：∵a＝4，b＝－36，c＝81， ∴Δ＝(－36)2－4×4×81＝0， ∴x1＝x2＝23×64＝92.

苏科版九年级上册数学第1章一元二次方程认识一元二次方程

知4－练
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正
方形的边长x；
(2)一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的
长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与
全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短
一段的长x.
感悟新知
知2－练
解：(1)列方程4x2＝25，移项，得4x2－25＝0. (2)列方程x(x－2)＝100，去括号，得x2－2x＝100，移项，得x2－2x－100＝0. (3)列方程x•1＝(1－x)2，去括号，得x＝x2－2x＋1，移项，合并同类项，得x2－3x＋1＝0.
感悟新知
总结
知4－讲
建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．
感悟新知
1 随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，知4－练 2 据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约
感悟新知
下列例方1 程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；
③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；
1 x
⑤2x2－3x＝2(x2－2)，其中是一元二次方程的
有( )
A．1个 BA. 2个 C．3个 D．4个
知1－练
导引： ①含有两个未知数； ②不是整式方程； ③符合一元二次方程的“三要素” ④未知数的最高次数不是2 ⑤整理后未知数的最高次数不是2
知4－讲
(1)审题，认真阅读题目，弄清未知量和已知量之
间的关系；
(2)设出合适的未知数，一般设为x；
(3)确定等量关系；
(4)根据等量关系列出一元二次方程，有时要化为

第01讲一元二次方程的判别式与韦达定理+李嫁祥

第二十一章一元二次方程第一讲一元二次方程根的判别式与韦达定理专题讲解专题1运用判别式判定方程实根的个数例1判定下列关于x的方程的根的情况(其中a为常数)：(1)x2－3x＋3＝0；(2)x2－ax－1＝0；(3)x2－2x－a2＝0；(4)x2－ax＋(a－1)＝0．(2013，硚口区期中)点拨：此题直接利用判别式Δ＝b2－4ac来判断方程根的个数，从数字和字母两个方面来训练．解析：归纳总结：1．运用判别式判定方程实根的个数．2．含字母的情形需配方后判断，不能判别符号的需分类讨论.练1.1下列命题：①若a、c异号，则方程ax2＋bx＋c＝0必有两个不相等的实数根；②若a＋b＋c＝0，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根；③若b＞a＋c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；④若a＋c＝b，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0一定有一根为－1；⑤若b＝2a＋3c，则一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；其中正确的有( )．A．1个B．2个C．3个D．4(青山区，任家路中学八月调考)专题2利用判别式建立等式、不等式，求方程中参数的值或取值范围例2(1)当m取__________时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个不相等的实数根；(2)当m取________时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0有两个相等的实数根；(3)当m取_______时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)x＋1＝0没有实数根．(2013，江汉区期中)点拨：根据题目中根的信息可以求出某些参数的值或者取值范围．解析：归纳总结：把握一元二次方程本身具有的不等式信息．练2.1若关于x 的方程kx 2＋(k ＋2)x ＋k4＝0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围.专题3通过判别式证明与方程有关的代数问题例3已知关于x 的方程(k －1)x 2＋2kx ＋(k ＋1)＝0，求证：方程有实数根．(2013，汉阳区期中)点拨：此类型题考核两方面：①分类讨论方程类型；②判别式中含有完全平方式．解析：归纳总结：对于二次项系数不确定的情况要注意分类讨论．练3.1关于x 的方程2x 2＋kx －1＋12k ＝0．求证：方程有两个不相等的实数根．专题4借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何问题例4已知a ，b ，c 都是正数，且关于x 的方程(c ＋a )x 2＋2bx ＋(c －a )＝0有两个相等的实数根，问：a ，b ，c 可否作为一个三角形的三边长？如果可以，是个什么形状的三角形？(2013，江岸区期中)点拨：利用判别式来建立几何的等式或不等式关系．解析：归纳总结：与三角形相结合时要注意一般三角形的三边关系以及直角三角形勾股定理．练4.1已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，那么方程cx 2＋(a ＋b )x ＋c4＝0的根的情况是( )．A ．没有实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个异号实数根专题5利用一元二次方程根与系数的关系求代数式的值例5已知x 1，x 2是方程2x 2－7x －4＝0的两个根，求下列代数式的值： (1)x 12＋x 22＝_______； (2)1x 1＋1x 2＝________；(3)(x 1＋1)(x 2＋1)＝_______； (4)|x 1－x 2|＝______．点拨：灵活运用乘法公式．解析：归纳总结：完全平方公式和平方差公式是处理代数问题的基础．练5.1已知关于x 的方程x 2－(k ＋2)x ＋2k ＝0．(1)求证：无论k 取何值，方程总有实数根；(2)已知：无论k 为何值，此方程有一定根，请求出此定根的值；(3)若Rt △ABC 一边长为3，另两边长b 、c 恰好是这个方程的两根，求k 的值．(硚口区2013－2014九月起点考)练5.2已知a 、b 是方程x 2＋x －2015＝0的两个实数根，求a 2＋2a ＋b 的值．(武昌区，2014－2015七校联考)专题6确定方程中参数的值例6已知关于x 的方程x 2＋2(a －1)x ＋a 2－7a －4＝0的两根为x 1，x 2，且满足x 1x 2－3x 1－3x 2－2＝0．求(1＋4a 2－4)·a ＋2a的值．(2013，汉阳区期中)点拨：利用根与系数的关系建立方程求解方程中的参数，进而求解代数式的值．解析：归纳总结：注意隐藏判别式大于或等于0．练6.1已知关于x 的方程x 2－2(k －1)x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围；(2)若|x 1＋x 2|＝x 1x 2－1，求k 的值．专题7讨论根的符号特征例7(1)当m 为何值时，方程(m ＋3)x 2－2mx ＋1＝0有两个负数根？(2)已知方程x 2－11x ＋30＋m ＝0的两实根都大于5，求m 的取值范围．(2013，硚硚口区期中) 解析：归纳总结：将根的分布问题转化为韦达定理能够处理的形式，应时刻注意根的判别式．练7.1若关于x 的方程x 2＋x ＋a ＝0的一个根大于1，另一根小于1，求实数a 的取值范围．专题8构造一元二次方程辅助解题例8已知a ，b 为实数，且a 2＋3a ＋1＝0，b 2＋3b ＋1＝0，求b a ＋ab的值．(2013，硚口区期中)点拨：此类型题首先关注有没有a 等于b 的条件，若没有，则要分类讨论．解析：归纳总结：利用方程根的含义构造一元二次方程以及分类讨论．练8.1已知2m 2－5m －1＝0，2n 2＋5n －1＝0，求｜m －n ｜的值．分级检测 A 级1．在方程x 2－2x ＋1＝0，x 2＋2x －1＝0，3x 2－2x ＋3＝0，5x 2－45x ＝－3，3x 2－2x －1＝0中，有两个实根的方程有( )个． A ．2 B ．3 C ．4 D ．52．若关于x 的方程4x 2＋(m －3)x ＋1＝0有两个相等的实数根，则m 的值为( )． A ．7 B ．7或－1 C ．－1 D ．－7或13．在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中，若a 与c 异号，则方程( )． A ．有两个相等的实数根 B ．有两个不相等的实数根 C ．没有实数根 D ．根的情况无法判定4．若关于x 的方程4x (kx －2)－2x 2＋3＝0没有实数根，则k 的最小整数值是( )． A ．2 B ．1 C ．－1 D ．不存在5．若方程mx 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m ______．6．若关于x 的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根互为相反数，则p ＝______；若两根互为倒数，则q ＝______．7．如果方程x 2＋(k －1)x －3＝0的一个根是1，那么k 的值是______，另一个根是______． 8．求一个一元二次方程，使它的根分别是方程x 2＋3x －2＝0的各根的负倒数． 9．已知关于x 的方程(kx )2＋2(k －1)x ＋1＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)设方程有两个不相等的实数根x 1、x 2，且x 1与x 2互为倒数，求k 的值．B 级1．关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中，有一个根是零，则必有( )． A ．b 2－4ac ＝0 B ．b ＝0 C ．c ＝0 D ．c ≠02．已知α、β是方程2x 2－3x －4＝0的两个实数根，则α2－αβ－32α的值为( )．A ．0B ．0或4C ．2或4D ．43．若一元二次方程的两个根x 1，x 2满足x 1x 2－x 1－x 2＋1＝0，x 1x 2－2x 1－2x 2－3＝0，则这个一元二次方程是( )．A ．x 2－4x ＋5＝0B ．x 2＋4x －5＝0C ．4x 2＋x －5＝0D ．x 2＋4x ＋5＝0 4．若一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根为3，4，则二次三项式x 2－px ＋q 可分解为( )． A ．(x －3)(x －4) B ．(x ＋3)(x ＋4) C ．(x －3)(x ＋4) D ．(x ＋3)(x －4)5．已知关于x 的方程x 2＋m 2x ＋m ＝0的两个实数根是x 1，x 2；y 1，y 2是方程y 2＋5my ＋7＝0的两个实数根，且x 1－y 1＝2，x 2－y 2＝2，则m ＝______．6．已知关于x 的方程x 2－4x ＋k －1＝0的两根之差等于6，那么k ＝__________． 7．已知一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根的倒数和是16，且3p ＋2q ＝－9，则p ＝___________，q ＝___________．8．已知方程2x 2＋kx －2k ＋1＝0两根的平方和为294，求k 的值．9．已知关于x 的方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0的两根之和为－1，两根之差为1，试判断以a ，b ，c 为三边长的△ABC 的形状．课后反馈1．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0没有实数根，则实数m 的取值范围为_______． 2．已知x 1，x 2是方程3x 2－2x －8＝0的两个根，求下列各式的值： (1)1x 1＋1x 2＝_______；(2)x 12＋x 22＝___________；(3)|x 1－x 2|＝________． 3．若m ，n 是方程x 2＋2005x －1＝0的两个实数根，则m 2n ＋mn 2－mn 的值等于________． 4．已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x 2－8x ＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于( ) ．A ． 3B ． 3C ． 6D ． 95.若实数a ， b 满足a 2＋2a ＝2， b 2＋2b ＝2，且a ≠b ，则1a ＋1b ＝______．下次课必背1．用待定系数法求一次函数解析式．2．一元二次方程的解法如下：对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根：x 1,2＝－b ±b 2－4ac2a ；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根：x 1＝x 2＝－b2a ；(3)当△＜0时，方程没有实数根．。

苏科版九年级数学说课稿：第1讲一元二次方程

苏科版九年级数学说课稿：第1讲一元二次方程一. 教材分析苏科版九年级数学第1讲的内容是一元二次方程。

一元二次方程是中学数学中的重要内容，也是初中数学的高频考点。

本节内容主要介绍一元二次方程的定义、解法及其应用。

通过本节的学习，学生能够了解一元二次方程在实际生活中的应用，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，掌握了方程、不等式等基本概念。

但他们对一元二次方程的认识还较为模糊，解一元二次方程的方法也不够熟练。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生回顾旧知识，为新知识的学习做好铺垫。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法，并能运用一元二次方程解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，学生能够提高分析问题、解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，激发学生探究数学问题的热情。

四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的定义、解法及其应用。

2.教学难点：一元二次方程的解法，特别是因式分解法和解的判断。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法、合作学习法等。

2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学手段，结合课堂练习、小组讨论等教学活动。

六. 说教学过程1.导入新课：通过生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。

2.自主学习：学生自主探究一元二次方程的定义，了解一元二次方程的特点。

3.课堂讲解：教师讲解一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等。

4.案例分析：分析实际问题，引导学生运用一元二次方程解决问题。

5.小组讨论：学生分组讨论，总结一元二次方程的解法及其应用。

6.课堂练习：学生独立完成练习题，巩固所学知识。

7.总结拓展：教师引导学生总结本节课所学内容，布置课后作业。

七. 说板书设计板书设计如下：一元二次方程1.因式分解法八. 说教学评价1.课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

北师大版初中九年级上册数学课件《用配方法求解一元二次方程》一元二次方程PPT1(第1课时)

次项系数有什么关系？
等式左边常数项是一次项系数的一半的平方.
知识讲解
活动4：从以上题目你能否得到启示，如何解方程
x2+8x－9=0? 解：移项，得x2+8x=9，
配方，得x2+8x+16=9+16，即 (x+4)2=25.
要记得检验未
两边开平方，得x+4=±5，即x+4=5或x+4=－5. ∴x1=1，x2=－9.
24
∴x p p2 q p2 q （ 2 4≥ 0）. 4
课堂总结
用配方法解系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么？
（1）移项：把常数项移到方程的右边；（2）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；（3）变形：方程左边写成完全平方式，右边合并同类项；（4）开方：根据平方根的意义，方程两边开平方；（5）求解：解一元一次方程；（6）定解：写出原方程的解.
强化训练
活动6：用配方法解下
列方程.
x2 6x 5 0
（1）
；
x2 x 1 0
（2）
；
x2 1 x 3 0
（3） 2
；
x2 2 3x 2 0
（4）
.
强化训练
（1）x2 6x 5 0
解：移项，x2 6x 5
得配方， x2 6x .9 59
得x 32 14
，
两即边开平方，x 3. 14
2
解：移项，x2 1 x 3
得Байду номын сангаас
配方，
得即.，
x
1 4
2
x2
49 16
1 2
x
.2
1 4

初一数学一元二次方程全章精品讲义

当 ,方程有两个相等的根；
当 <0,方程无实数解。
典例分析：
题型1：根据判别式判断根的情况
例1：方程的根的情况（）
A、该方程有两个相等的实数根B、该方程有两个不相等的实数根
C、该方程没有实数根D、无法确定
例2：不解方程判断下列方程根的情况
（1）（2）（3）
（4）（5）
题型2：利用跟的判别式求方程中某个字母的值或取值范围
d=====(￣▽￣*)b_____________________________________
例2：已知是完全平方式，则的值为______。
例3：若是完全平方公式，则的值为_______。
例4：根据完全平方式填空
（1）（2）
（3） (4)
题型2：用配方法解一元二次方程
例1：用配方法解下列方程：
例3：已知一元二次方程的两个根分别为，则二次三项式可分解为_________________。
例4：在实数范围为定义一种运算“*”，其规则为，根据这个规矩，方程的解为______________。
例5：若关于的方程与有相同的实数根，则的值为_______。
例6：已知为非负数，方程
（2）如果方程有两个相等的实数根，是判断△ABC的形状，并说明理由。
（3）如果△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根。
例3：已知的两边AB、AD的长是关于x的方程的两个实数根。
（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长？
（2）若AB的长为2，那么平行四边形ABCD的周长为多少？
6、求证：关于的一元二次方程恒有两个实数根．
7、已知关于的方程
（1）当该方程的一个根为1时，求的值及该方程的另一个根

九年级第一次课讲义一元二次方程的定义,直接开平方,配方法

第1次课讲义-一元二次方程的定义、直接开平方、配方法一元二次方程的认识一、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．注意：要想判断一个方程是不是一元二次方程，首先要做到熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程；再次需要注意的是要对方程进行简单的化简整理.二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是()200ax bx c a ++=≠．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程有（）①20x =；②20ax bx c ++=23-=；④20a a x +-=；⑤()21402m m x x -++=；⑥21113x x +=2=；⑧()2219x x +=-． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个练习1.1 有下列关于x 的方程：①20ax bx c +=+，②()340x x -=，③230x y +-=，④212x x +=，⑤3380x x +=-，⑥215702x x -+=，⑦()()2251x x x -+=-．其中是一元二次方程的有（）个 A ．2B ．3C ．4D ．5在利用一元二次方程的定义求字母的值时，特别要注意0a ≠的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．也就是说我们不仅要使方程的最高次是二次的，同时要保证这个二次项是存在的，即二次项系数0a ≠.例2.已知：方程()||1310m m x mx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（）A ．3m =±B ．3m =C ．3m =或1m =-D ．1m =-练习2.已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．不能确定在判断一个含有字母参数的方程是什么方程时，一定要严格按照该方程的定义来判断. 例3.方程()()211310m m x m x +++--=；（1）m 取何值时是一元二次方程；（2）m 取何值时是一元一次方程．练习3.1 已知关于x 的方程()2210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程；（2）当m 为何值时是一元二次方程．在利用一元二次方程的一般式判断二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要先将已知的一元二次方程化简后再进行判断，同时要注意其前面的符号.例4.一元二次方程2342x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A ．3，﹣4，﹣2B ．3，﹣2，﹣4C ．3，2，﹣4D ．3，﹣4，0练习4.1 方程22650x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5练习4.2 关于x 的一元二次方程()()()33215x x a x a -+-+=的一次项系数是（）A ．8aB ．8a -C ．2aD ．79a -一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．已知一个数是方程的解，只需将这个数代入到方程中得到一个等式即可.例5. 关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++=-的一个根是0，则a 的值为（） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．12练习5.1 如果2是方程230x x k +=-的一个根，则常数k 的值为（）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2练习 5.2 我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =-，23x =D ．11x =-，23x =-不解方程，可以通过化简，用整体代入求值。

一元二次方程(第1课时)课件

注意事项
因式分解法适用于可以分解为两个一次方程的一元二次方程，但在分解过程中需要注意符号和根的存在性。
04
一元二次方程的根的性质
判别式的性质
判别式Δ=b²-4ac
用于判断一元二次方程实数根的个数，Δ>0时有两个不同的实根，Δ=0时有两个相同的实根，Δ<0时没有实数根。
判别式的几何意义
Δ表示一元二次方程与x轴交点的距离，即两根之间的距离。
数学中的一元二次方程问题
总结词
解决数学中的问题
详细描述
一元二次方程是数学中常见的问题，它可以用来解决一些代数、几何和三角函数的问题。通过解一元二次方程，可以找到数学模型中的未知数，从而解决一些数学问题。
科学中的一元二次方程问题
总结词
解决科学中的问题
VS
详细描述
一元二次方程在科学中也有着广泛的应用，如物理学中的自由落体运动、机械能守恒等问题，化学中的化学反应速率、化学平衡等问题，以及生物学中的种群增长、生态平衡等问题。通过解一元二次方程，可以找到科学模型中的未知数，从而解决一些科学问题。
03
一元二次方程的解法
配方法解一元二次方程
01Biblioteka 总结词通过配方将一元二次方程转化为完全平方的形式，从而求解。
02 03
详细描述
将一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 转化为 $a(x + frac{b}{2a})^2 = frac{b^2 - 4ac}{4a}$ 的形式，然后求解 $x = -frac{b}{2a} pm sqrt{frac{b^2 - 4ac}{4a^2}}$。
一元二次方程的标准形式为 ax^2 + bx + c = 0，其中 a、b、c 是常数，且 a ≠ 0。这个方程只含有一个未知数 x，且 x 的最高次数为 2。

人教版九年级数学上册第一讲一元二次方程讲义

第一讲一元二次方程知识点1．一元二次方程的判断标准：（1）方程是_____方程（2）只有___个未知数（一元）（3）未知数的最高次数是____（二次）三个条件同时满足的方程就是一元二次方程练习A ：1、下面关于x 的方程中：①ax 2+bx+c=0；②3x 2-2x=1；③x+3=；④x 2-y=0；④（x+1）2= x 2-1．一元二次方程的个数是 . 2、若方程kx 2+x=3x 2+1是一元二次方程，则k 的取值范围是_________． 3、若关于x 的方程05122=+-+-x k x k是一元二次方程，则k 的取值范围是_________．4、若方程（m-1）x |m|+1-2x=4是一元二次方程，则m=______．知识点 2．一元二次方程一般形式及有关概念一元二次方程的一般形式______________________,其中_______是二次项，______为二次项系数，_______是一次项，_______为一次项系数，______为常数项。

注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号练习B:1、将一元二次方程3x(x-1)=5(x+2)化成一般形式为_____________，其中二次项系数 a=________，一次项系数b=__________，常数项c=__________ 知识点3．完全平方式练习C:1、说明代数式2241x x --总大于224x x -- 2、已知110a a +=求1a a-的值.3、若x 2+mx+9是一个完全平方式，则m= ，若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是。

若942++kx x 是完全平方式，则k = 。

知识点4．整体运算练习D: 1、已知x 2+3x+5的值为11，则代数式3x 2+9x+12的值为 2、已知实数x 满足210x x +-=则代数式2337x x ++的值为____________ 知识点5．方程的解练习E ：1、已知关于x 的方程x 2+3x+k 2=0的一个根是x=-1，则k=___________． 2、求以12x 1x 3=-=-，为两根的关于x 的一元二次方程。

人教版九年级上册 21.2 一元二次方程的概念及解法讲义

第一讲一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数整式方程，并且都可以化为ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程。

注意：满足是一元二次方程的条件有：（1）必须是一个整式方程；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2。

（三个条件缺一不可）【例1--1】方程①13122=-xx ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是 .A. ①和②；B.②和③ ；C. ③和④；D. ①和③【例1--2】要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________. A ．a ≠0 B ．a ≠3C ．a ≠1且b ≠-1D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0 【例1--3】若（m+1）(2)1m m x+-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．2．一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般式是ax 2＋bx+c=0 (a 、b 、c 为常数，a ≠0）。

其中ax 2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。

【例2--1】一元二次方程)1(2)2)(1(2-=+-x x x 的一般形式是；二次项系数是；一次项系数是；常数项是。

【例2--2】把下列关于x 的一元二次方程化成一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项。

（1）5x （x+2）=3(x+1） (2)21x 21x 3x 2--=+-3.方程的根：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

【例3--1】判断下列括号里的数哪个是方程的解。

（1）)0,2,1(232x x = (2))4,5,5(0252-=-x【例3--2】若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根，求代数式）（c b a 2019+-的值。

九年级上数学第一单元一元二次方程

第一讲 :一元二次方程和用配方法解一元二次方程一、一元二次方程1. 一元二次方程的观点：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），而且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

2. 一元二次方程的一般形式：ax2bx c 0(a0)ax 2：二次项 a ：二次项系数bx ：一次项 b ：一次项系数c：常数项注：一元二次方程应同时知足三条（1）是整式；（2）只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是 2；（4）二次项的系数不为 0。

例 1：以下方程中，对于x的一元二次方程是（）A．（x 1）(x 2) 1 B．x 2 1 0 C．ax2．3x22xy 5 y20 x2 bx c 0 D例 2：把以下方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数和常数项（1）（ 2 t +3）2-2 （t -5 ）2 =41（2） x2 x 1 x 13 2 2例 3：对于x的方程(m 1) x2 (m 1) x 3m 2 0 ,当m 时为一元一次方程；当 m 时为一元二次方程。

3.一元二次方程的解（根）：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

例 4：（17年元调第1题）在数1， 2，3 和 4 中，是方程x2＋ x－12＝0的根的为（）A． 1．B．2．C．3．D．4．例 5：已知1是对于x的一元二次方程m 1 x2x 1 0 的一个根，则m 的值是4.对于一元二次方程根的重要结论（1）若a b c 0 ，则一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 必有一个根是x 1 ；反之也建立，即若x 1 是一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0) 的一个根，那么a b c 0 。

（2）若a b c 0 ，则一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 必有一个根是x 1 ；a b c 0 。

（3）若c 0 ，则一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 必有一个根是 x 0 ；反之也建立，即若 x 0 是一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的一个根，那么 c 0 。