第9章弯曲
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第9章弯5.7
等。
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弯
曲
24
小结：
等直梁纯弯曲正应力的计算
项目
依据
结果
变化规律
平Байду номын сангаас假设
变化规律
单向应力状态下的
胡克定律=E
=y/ =Ey/
中性轴位置 正应力公式
FN dA 0 通过截面形心
A
Mz ydA M
A
My
Iz
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弯
曲
25
线弹性, 小变形, 外力作用在纵向对称平面内; 线应变和正应力在横截面上的分布规律。
dx
FS(x)
C
M(x)+dM(x)
dM ( x) dx
FS (
x)
—— (2)
M(x)
FS(x)+dFS (x)
q(x)
d2M ( dx 2
x)
q(
x)
—— (3)
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弯
曲
5
2. 载荷集度、剪力图、弯矩图之间的关系
56
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弯
曲
6
归 纳： (1) 图 形 规 律
q
M
ydA E
y2dA
E
y2dA
A
A
A
y
22
z
A y
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弯
曲
23
M
E
y2dA
A
Iz y2dA
A
Iz为对z轴的惯性矩
1 M
EI z
EIz为抗弯刚度
E
Ey
公式的适用条件：
My
Iz
弹性力学第九章
b 2 ~ q( ) , 及扭应力 xy （合成扭矩 M xy） b ~ q ( ), 横向切应力 zx , zy （合成横向剪力Fsy ,Fsx ）
挤压应力
z ~ q.
第九章 薄板弯曲问题
所以 zx , zy 为次要应力，σ z 为更次要 应力。略去它们引起的形变，即得 zx 0, zy 0 . (a)
(1)具有一定的刚度，横向挠度 ； (2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；
(3)在内力中，仅由横向剪力 Fs 与横向荷
载 q 成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。
第九章 薄板弯曲问题
计算假定
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
根据其内力和变形特征，提出了3个计 算假定(kirchhoff)： 1. 垂直于中面的线应变 z 可以不计。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从计算假定1、2，得出 z zx zy 0,
故中面法线在薄板弯曲时保持不伸
缩，并且成为弹性曲面的法线。
第九章 薄板弯曲问题
3.中面的纵向位移可以不计，即
(u, v) z 0 0.
(9-3)
(c)
u v v u , y , xy , 由于 x x y x y
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u ，v 用 w 表示。
得
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
u w v w 0, 0. z x z y
w w u z f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ). x y
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在 xy 面上的投影形状保持不变。
挤压应力
z ~ q.
第九章 薄板弯曲问题
所以 zx , zy 为次要应力，σ z 为更次要 应力。略去它们引起的形变，即得 zx 0, zy 0 . (a)
(1)具有一定的刚度，横向挠度 ； (2) 在中面位移中,w 是主要的，而纵向位 移u,v很小，可以不计；
(3)在内力中，仅由横向剪力 Fs 与横向荷
载 q 成平衡，纵向轴力的作用可以不 计。
第九章 薄板弯曲问题
计算假定
本章研究小挠度薄板的弯曲问题。
根据其内力和变形特征，提出了3个计 算假定(kirchhoff)： 1. 垂直于中面的线应变 z 可以不计。
第九章 薄板弯曲问题
⑶ 从计算假定1、2，得出 z zx zy 0,
故中面法线在薄板弯曲时保持不伸
缩，并且成为弹性曲面的法线。
第九章 薄板弯曲问题
3.中面的纵向位移可以不计，即
(u, v) z 0 0.
(9-3)
(c)
u v v u , y , xy , 由于 x x y x y
第九章 薄板弯曲问题
2. 将 u ，v 用 w 表示。
得
应用几何方程及计算假定2， zx 0, zy 0,
u w v w 0, 0. z x z y
w w u z f1 ( x, y ), v z f 2 ( x, y ). x y
故
( x , y , xy ) z 0 0.
因此，中面在变形后，其线段和面积 在 xy 面上的投影形状保持不变。
工程力学 9弯曲
O
讨论： 惯性矩大于零
z
§A.3 惯性矩的平行移轴公式
组合截面的惯性矩
1.惯性矩的平行移轴公式 yc y 设有面积为A的任意形状的截面。 x xc dA C为其形心，Cxcyc 为形心坐标 yc xc 系。与该形心坐标轴分别平行 C 的任意坐标系为Oxy ,形心C在 y Oxy坐标系下的坐标为(a , b) 任意微面元dA在两坐标系 x 下的坐标关系为： O b
20
③计算静矩Sz(ω)和SzC(ω)
Sz ( ) A y C (0.1 0.02 0.14 0.02 0.103 0.494m 3 )
S zc ( ) Ai y C 0.1 0.02 0.047 - 0.02 0.14 0.033 1.6 10 6 m 3
（f)
纵向线应变在横截面范围内的变化规律
图c为由相距d x的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情
况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角d。梁的 横截面上距中性轴 z为任意距离 y 处的纵向线应变由图c可知 为
B1B B1 B y d AB1 O1O2 dx
(c)
令中性层的曲率半径为(如图c)，则根 1 d 据曲率的定义 有 dx y
切应力。
F
FS
M
F
M
C
C
F
A
Ⅰ. 纯弯曲时梁横截面上的正应力
计算公式的推导 (1) 几何方面━━ 藉以找出与横截面上正应力相对应 的纵向线应变在该横截面范围内的变化规律。 表面变形情况 在竖直平面内发生纯弯曲的梁(图a)：
(a)
1. 弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵 向直线段aa和bb(图b)，在梁弯曲后成为弧线(图a)，靠近梁
工程力学第9章 梁弯曲时的刚度计算
挠曲线
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
w
x
qx
F
x
9.1 挠曲线近似微分方程
9.1.2 挠度和转角的关系
◆挠曲线方程 ： w f x
w
挠曲线
w
x
qx
F
x
tan dw
dx
dw
dx
9.1.3 挠曲线近似微分方程
一、挠曲线的曲率公式
1M EI
1
x
M x
EI
d2w
1
x
6EI 2l
l 2
2l 2
l 2
2
11Fl3 96EI
未知约束力单独作用引起的B处挠度
wB FB
FB 2l 3
48EI
FBl 3 6EI
将上述结果代入式（b），得到补充方程
11Fl3 FBl3 0 96EI 6EI
w Mex x2 l2 6EIl
（c）
Me 3x2 l2 6EIl
（d）
（4）计算最大挠度与截面的转角
作出梁的弯矩图如下图所示，全梁弯矩为正。其最大 挠度处的转角为零。故由式（c）有
dw Me 3x2 l2 0 dx 6EIl
从而得最大挠度所在截面的坐标为
2
在集中力 F 单独作用下，大梁跨度中点C的挠度由教材表
7–1第5栏中查出为
wC
F
Fl 3 48EI
将以上结果叠加，即得在均布载荷 和q 集中力 的F 共同作用
下，大梁跨度中点C的挠度
材料力学——第9章(平面弯曲杆件的变形与刚度计算)
a
A
x1
F C
b
Fa l
当 a＞b 时——
6lEI
B
max
x2
Fab( l a ) max B 6lEI 当 a＞b 时——最大挠度发生在AC段
0 x l 2 b2 3 a( a 2b ) 3
xa
最大挠度一定在左侧段
x x
max 1
2 Fb 1 ( x x ) ( l b 2 )3 9 3 EIl
19
Fb l
讨论：1、此梁的最大挠度和最大转角。 左 1 max 1 0 x1 0 右 2 max 2 0 x 2 l 侧 侧 Fab( l b ) Fab( l a ) 段： 1 max A 段： 2 max B 6lEI
§9-1 挠曲线 挠度和转角
§9-2 挠曲线的近似微分方程
§9-3 积分法求梁的变形 §9-4 叠加法求梁的变形 §9-5 梁的刚度条件与合理刚度设计 §9-6 用变形比较法解简单超静定梁
1
研究范围：等直梁在对称弯曲时位移的计算。 研究目的：①对梁作刚度校核； ②解超静定梁（为变形几何条件提供补充方程）。
式中，C1、D1是积分常数，可通过梁的边界条件（支座 的约束条件）确定。
梁上有集中力、集中力偶以及间断性分布荷载作用时，弯 矩方程需分段写出，各梁段的挠曲线近似微分方程也不同。积 分常数还要利用连续性条件，才能求出。 7
二、位移边界条件
A F C B F D
支座位移条件： A 0 B 0 Nhomakorabea
18
⑸跨中点挠度及两端端截面的转角
x L 2
弹性力学第九章柱形杆的扭转和弯曲
zx G 1
2ab2 x
x2
y2
2 y
zy
G x a
ab2 (x2 y2 )
x2 y2 2
• 最大剪应力在A点，A（b，0)，得
zx A 0
zy
A
m
ax
2Ga1
2ba
• B（2b，0）点的剪应力
zx B 0
zy
B
Ga1
b2 4a 2
A O
r
Bx
当b<<a
yb 2
max |
zx
yb 2
| 3T ab2
(5)
二 任意边长比的矩形截面杆的扭转 在狭长矩形截面扭杆应力函数(1)的基础上，加上修正项F1，即
F(x,y)b42 y2F1(x,y)
(6)
函数F应满足方程
，将2式F(6)代入2，得到F1满足方程
2 F1 x2
2 F1 y 2
0
(7)
另外，应力函数F在矩形截面的边界处满足如下边界条件
§9.1 扭转问题的位移解法----圣维南扭转函数
柱体扭转 横截面翘曲 自由扭转——横截面翘曲变形不受限制 约束扭转——横截面翘曲变形受到限制 弹性力学讨论自由扭转
柱体自由扭转位移解法 自由扭转的位移 1. 2.翘曲假设
位移解法基本方程
u yz v xz
w(x,y)
设单位长度相对扭转角为
将
(a2 b2)T
a3b3G
代入式(9-1a)，得
翘曲位移为
u
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
yz
v
(a 2 b 2 )T
a 3b 3G
xz
w(a2a3bb32G)T xy
第9章 弯曲应力
应变分布规律 直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
2、物理关系
Hooke’s Law 所以
E（弹性范围内） M
y
?
O
z x
E
?
y
应力分布规律
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
9.2 弯曲正应力
max
M max [ ] W
对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等 截面直梁来说，危险截面仅有一个，既 M max 所在的截面，而截 面上的危险点，既 y max 所在之点 横截面关于中性轴对称的等直梁 b o
σ t max c max
o
M max Wz
2 2
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗
弯截面系数Wz增大。
由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不
同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度
均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性 轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：
?
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
3、静力关系
内力与外力相平衡可得
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
FN A dFN A dA 0 (1)
Mz
M
O
z
y
dA
x σdA
FN
M y dM y zdA 0 (2)
A A
My
y
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
2、物理关系
Hooke’s Law 所以
E（弹性范围内） M
y
?
O
z x
E
?
y
应力分布规律
直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离 成正比 待解决问题 中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
9.2 弯曲正应力
max
M max [ ] W
对塑性材料而言，由于材料的抗拉和抗压性能相同。因此对等 截面直梁来说，危险截面仅有一个，既 M max 所在的截面，而截 面上的危险点，既 y max 所在之点 横截面关于中性轴对称的等直梁 b o
σ t max c max
o
M max Wz
2 2
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处，以使抗
弯截面系数Wz增大。
由四根100 mm×80 mm×10 mm不等边角钢按四种不
同方式焊成的梁(角钢的长肢均平放，故四种截面的高度
均为160 mm)，他们在竖直平面内弯曲时横截面对于中性 轴的惯性矩Iz和弯曲截面系数Wz如下：
?
第9章 弯曲内力
9.2 弯曲正应力
3、静力关系
内力与外力相平衡可得
待解决问题
中性轴的位置 中性层的曲率半径ρ
FN A dFN A dA 0 (1)
Mz
M
O
z
y
dA
x σdA
FN
M y dM y zdA 0 (2)
A A
My
y
(修订)第9章 弯曲应力与弯曲变形-习题解答
第9章 弯曲应力与弯曲变形 习题解答题9 – 1 试计算下列各截面图形对z 轴的惯性矩I z （单位为mm ）。
解：（a ）mm 317400250500350200400250250500350≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()49323mm 107314002502003171240025050035025031712500350⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （b ）mm 431550400800500375550400400800500≈⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯=c y()()410323mm 1054615504003754311255040080050040043112800500⨯≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.I Z （c ）()mm 3060202060506020102060=⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯=c y()()46323mm103616020503012602020601030122060⨯=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-+⨯=.Z I(a)(b) (c)题9-1图题9–2 悬臂梁受力及截面尺寸如图所示。
设q = 60kN/m ，F = 100kN 。
试求（1）梁1– 1截面上A 、B 两点的正应力。
（2）整个梁横截面上的最大正应力和最大切应力。
解：（1）求支反力kN 220100260=+⨯=A F （↑）m kN 32021001260⋅=⨯+⨯⨯=A M （ ） （2）画F S 、M 图（3）求1-1截面上A 、B 两点的正应力 m kN 1305016011001⋅=⨯⨯+⨯=.MF MA 点：MPa 254Pa 1025412150100550101306331=⨯≈⨯⨯⨯==...I y M zA t σB 点：MPa 162Pa 107816112150100*********331=⨯≈⨯⨯⨯==....I y M σzB c （4）求最大正应力和最大切应力M P a 853Pa 10385361501010320623max max =⨯≈⨯⨯==...W M σzM P a 22Pa 10221501010220232363max =⨯≈⨯⨯⋅=⋅=..A F τS 题9 - 3 简支梁受力如图所示。
第9章-梁的弯曲变形与刚度计算
y
M
M
M＜0 w’’<0
O O
x
曲线向下凸 时： w’’>0, M＞0
因此, M与w’’的正负号相同。 y
M
M
w
M (x)
(1 w2 )32 EI
M＞0 w’’>0
x
w
(1
w2
)
3 2
M (x) EI
由于挠曲线是一条非常平坦的曲线, w'2远比1小, 可以略去不计, 于是上式可写成
w M (x) EI
转角(): 横截面 y
绕中性轴(即Z轴)转 A 过的角度（或角位 移）, 称为该截面 的 转 角 (Slope rotation angle) 。
F CBx
w(挠度)
C1
(转角)
9.1 工程实际中的弯曲变形问题
挠度和转角符号的规定：
挠度：在图示坐标系中, 向上为正, 向下为负。
转角： 逆时针转向为正,顺时针转向为负。
在这种情况下, 梁在几项载荷 (如集中力、集中力 偶或分布力)同时作用下某一横截面的挠度和转角, 就 分别等于每项载荷单独作用下该截面的挠度和转角的 叠加。此即为叠加原理。
例1：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示。
试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC 和支座处横
截面的转角A ,B 。
q Me
解：将梁上荷载分为两项 A
C
B
简单的荷载。
l
wC wCq wCM
5ql4 M el2 384EI 16EI
A Aq AM
ql3 M el 24EI 3EI
B
Bq BM
ql3 M el 24EI 6EI
例2:试利用叠加法, 求图示抗弯刚度为EI的简支
工程力学：第9章 弯曲应力及强度计算(新)
P1
例如：
P2
纵向对称面
aP
Pa
A
P FS P
B P
x
P Pa M
x
3、纯弯曲(Pure Bending): 某段梁的内力只有弯矩
没有剪力时，该段梁的变 形称为纯弯曲。
纯弯曲：AB段
三.两个概念 中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不
受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。 中性轴：中性层与横截面的交线。
x
t max
1.5
FS max A
1.5 5400 0.12 0.18
qL
2
0.375MPa 0.9MPa [t ]
应力之比
x
s max M max 2 A L 16.7
t max Wz 3FS h
P1=9kN
A
C
P2=4kN
B
D
1m RA
1m 1m RB
2.5kNm
x
4
例3 T 字形截面的铸铁梁受力如
(sdA)z
A
Eyz dA E
A
yzdA EI yz 0
A
（对称面）
M z
(sdA) y
A
Ey 2 dA E
A
y2dA
A
EI z
MZ
A y2dA I Z
• IZ—横截面对中性轴的惯性矩
1 Mz
EI z
… …(3) EIz 杆的抗弯刚度。
sx
M y Iz
...... (4)
M(x)+d M(x) 在梁上取微段如图b；
z
t1
x
在微段上取一块如图c，平衡
sI
t
工程力学(第二版)第9章武汉理工大学出版社 李卓球 朱四荣 侯作富
q 2
lx2 (
2
x3 3
)
C1
C2
q
0
(l 3
6lx2
EIw
4x3)
q 2
lx3 (
6
x4 )
12
C1x
C2
24EI
w qx (l3 2lx2 x3 ) 24EI
由对称性可知, 在两 端支座x＝0和x＝l 处, 转角的绝对值相 等且都是最大值
y
A
A
l/2
q wmax B
受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角
方程, 并确定其最大挠度wmax和最大转角max 。
解：以梁左端A为原点, y
取直角坐标系, 令x轴
向右, y轴向上为正。
A
F
B x
(1) 列弯矩方程
x
l
M (x) F (l x) Fl Fx
(2) 列挠曲线近似微分方程并积分
EIw M (x) Fl Fx
q
FB
梁的两个支反力为
A
B x
FA
FB
ql 2
x l
梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M (x) ql x 1 qx2 q (lx x2 ) (a)
22
2
EIw M (x) q (lx x2 )
(b)
2
y
FA
q
FB
A x
B x
l
EIw M (x) q (lx x2 )
C
B
简单的荷载。 l
wC wCq wCM
工程力学课后习题答案第9章题解g
( ) 10.5x − x2 = 10.5 ×140 ×106 × 875 ×10−6 62 ×103 = 20.75
x 2 − 10.5x + 20.75 = 0 x1 = 2.59 m ， x2 = 7.91 m l0 = x2 − x1 = 5.22 m
（2）校核加固部分强度
M max
=
M ⎜⎛ l ⎟⎞ ⎝2⎠
F E
D
3F / 2
68
F ≤ 28.9 ×103 N = 28.9 kN
9-5 一重量为 P 的均质钢条，长度为 l，截面宽为 b，厚为 t，放置在刚性平面上如图。 当在钢条一端用力 F = P 提起时，求钢条与刚性平面脱开的距离 a 及钢条内的最大正应力。
3
解（1） ∑ M C
=
0 , Fa −
M ⎜⎛ l ⎟⎞ Pl
σ max =
⎝ 3 ⎠ = 18 = Pl
W
bt 2 36t 2
6
9-6 ⊥ 型 截 面 铸 铁 悬 臂 梁 ， 尺 寸 及 载 荷 如 图 所 示 。 若 材 料 的 拉 伸 许 用 应 力
[σ t ] = 40 MPa ， 压 缩 许 用 应 力 [σ c ] = 160 MPa ， 截 面 对 形 心 轴 zC 的 惯 性 矩
思考题 9-5 图
答 (b)（从强度考虑，(b),(c)差不多，从工艺考虑，(b)简单些）
65
9-6 弯曲切应力公式τ = FSSz* 的右段各项数值如何确定？ Izb
答 FS 为整个横截面上剪力； I z 为整个横截面对中性轴的惯性矩； b 为所求切应力所
在位置横截面的宽度；
S
* z
为横截面上距中性轴为
I zC = 10 180 cm4 ， h1 =9.64 cm，求该梁的许可载荷 F。
工程力学-第9章
基本概念
梁的位移与约束密切相关
基本概念
三种承受弯曲的梁
AB段各横截面都受有相 同的弯矩（M＝Fa）作用。
三 种 情 形 下 ， AB 段 梁 的
曲率（1／）处处对应相等，
因而挠度曲线具有相同的形 状。但是，在三种情形下， 由于约束的不同，梁的位移 则不完全相同。
对于没有约束的梁，因 为其在空间的位置不确定， 故无从确定其位移。
第9章
弯曲刚度问题
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第9章 弯曲刚度问题
基本概念 小挠度微分方程及其积分 梁的刚度设计 结论与讨 论
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基本概念
梁在弯矩作用下发生弯曲变形。如果在弹性范围内加载， 梁的轴线在梁弯曲后变成一连续光滑曲线。这一连续光滑 曲 线 称 为 弹 性 曲 线 （ elastic curve ） ， 或 挠 度 曲 线 （deflection curve），简称弹性线或挠曲线。
变形后的横截面相对于变形前位置绕中性轴转过的角 度，称为转角（slope）用表示；
基本概念
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，种位置的 改变称为位移(displacement)。梁的位移包括三部分：
横截面形心沿水平方向的位移，称为轴向位移或水平 位移（horizontal displacement），用u表示。
3
C2
x
D2
其中，C1、D1、C2、D2为积分常数，由支承处的约束条件和
AB段与BC段梁交界处的连续条件确定确定。
小挠度微分方程及其积分
EI1
3 8
FP x 2
C1
EIw1
1 8
FP
x3
C1x
D1
EI
＝－3
2
弹性力学第9章—薄板的弯曲
b
O
a
x
z
y
边界条件
( w) x =0,a ( w) y =0,b ⎛∂ w⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0,a
2
因为任意的荷载函数q总能展 开成双重三角级数，因此纳维解的 基本形式为
∞
⎛ ∂2w ⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂y ⎠ y =0,b
mπ x nπ y sin w = ∑ ∑ Amn sin m =1 n =1 a b
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
9.3 薄板的边界条件
9.3.2 简支边界
x
y
x
侧视图
⎫ ( w ) x =0 = 0 ⎪ ( M x ) x =0 = 0 ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
将上式中的弯矩用挠度函数来表示，则有
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂2w ⎞ ⎜∂ 2⎟ ⎝ x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ = 0⎪ ⎭
9.3 薄板的边界条件
9.3.3 给定广义力的方案
x
x=a
侧视图 俯视图 以广义力为零的自由边界为例，x=a处的边界条件为
⎪ ⎪ M 0 = ( xy ) x=a ⎬ ⎪ (Qx ) x =a = 0 ⎪ ⎭
( M x ) x =a = 0 ⎫
其中第1式分布弯矩可以根据 M x = D (κ x + vκ y ) 用挠度函数表示
O
a
x
z
y
边界条件
( w) x =0,a ( w) y =0,b ⎛∂ w⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0,a
2
因为任意的荷载函数q总能展 开成双重三角级数，因此纳维解的 基本形式为
∞
⎛ ∂2w ⎞ =0 ⎜ 2 ⎟ =0 ⎝ ∂y ⎠ y =0,b
mπ x nπ y sin w = ∑ ∑ Amn sin m =1 n =1 a b
9.3 薄板的边界条件
薄板的边界条件可以分为以下三类， （1）位移边界条件，即在边界上给定挠度和转角； （2）静力边界条件：给定边界横向剪力、弯矩； （3）混合边界条件：在边界上同时给定广义力和广义位移。
9.3.1 固定边界
x
y
x
侧视图
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂w ⎞ ⎜ ⎟ =0 ⎝ ∂x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
9.3 薄板的边界条件
9.3.2 简支边界
x
y
x
侧视图
⎫ ( w ) x =0 = 0 ⎪ ( M x ) x =0 = 0 ⎬ ⎪ ⎭
俯视图
将上式中的弯矩用挠度函数来表示，则有
( w ) x =0 = 0
⎛ ∂2w ⎞ ⎜∂ 2⎟ ⎝ x ⎠ x =0
⎫ ⎪ ⎬ = 0⎪ ⎭
9.3 薄板的边界条件
9.3.3 给定广义力的方案
x
x=a
侧视图 俯视图 以广义力为零的自由边界为例，x=a处的边界条件为
⎪ ⎪ M 0 = ( xy ) x=a ⎬ ⎪ (Qx ) x =a = 0 ⎪ ⎭
( M x ) x =a = 0 ⎫
其中第1式分布弯矩可以根据 M x = D (κ x + vκ y ) 用挠度函数表示
岩土钻掘工程--第09章_钻孔弯曲与纠正
一二、、顶方角位测角量测原量理原理
123、、地陀地磁螺面定定向向原原理理
陀螺(top) ：指绕一个支点高速转动的刚体，通常 特指对称陀螺（一个质量均匀分布的、具有轴对称形 状的刚体，其几何对称轴就是它的自转轴）。大家小时 候都玩过的陀螺就是一例。陀螺一边自转，一边绕一个固定 轴旋转（一般是虚的），叫“旋进”(precession)，又 称回转效应(gyroscopic effect)。旋进要在一定的初始 条件和外力矩作用下产生，比如游戏陀螺快要“坏了” 时，还有旋转的硬币快要停下时，都是旋进的实例。 陀螺旋进是日常生活中常见的现象。
第一节 钻孔空间位置要素
一、钻孔轨迹的基本要素
孔口坐标Xo,Yo,Zo)
利用钻孔轨迹的基本要 素，可以计算出轨迹上 每一点的空间坐标。设 钻孔轨迹为一斜直线， 坐标系的原点为孔口，X 轴取正北、Y轴取正东方
向θ，—Z开轴孔铅顶垂角向；下α。—据开钻 孔顶的孔 测各角空方 点深和间位 钻度 方 坐角孔上 位 标；轴(角 计L线即A。 算—的测轨如孔长点迹下口度)的上：至。
钻孔弯曲
1.空间位置要素
第一节 钻孔空间位置要素
一二、、钻钻孔孔轨轨迹迹的弯基曲本强要度素
如果某一孔段既有顶角又有方位角变化， 则产生全弯曲角γ , 钻孔轨迹上A、B两点 的全弯曲角γ 可用下式计算：
γ cosθAcosθB sinθAsinθBcos(αB αA)
钻孔全弯强对于校核钻杆柱工作的安全性 和粗径钻具入孔的可通过性有实际意义。 也是设计定向钻孔轨迹的一个重要参数。
第二节 钻孔弯曲的测量及仪器 一二、、顶方角位测角量测原量理原理
12、、地地磁面定定向向原原理理
tg tg cos
式中：α-定位与钻孔倾斜方向方位角差； ф-终点角；θ-测点处钻孔顶角。
123、、地陀地磁螺面定定向向原原理理
陀螺(top) ：指绕一个支点高速转动的刚体，通常 特指对称陀螺（一个质量均匀分布的、具有轴对称形 状的刚体，其几何对称轴就是它的自转轴）。大家小时 候都玩过的陀螺就是一例。陀螺一边自转，一边绕一个固定 轴旋转（一般是虚的），叫“旋进”(precession)，又 称回转效应(gyroscopic effect)。旋进要在一定的初始 条件和外力矩作用下产生，比如游戏陀螺快要“坏了” 时，还有旋转的硬币快要停下时，都是旋进的实例。 陀螺旋进是日常生活中常见的现象。
第一节 钻孔空间位置要素
一、钻孔轨迹的基本要素
孔口坐标Xo,Yo,Zo)
利用钻孔轨迹的基本要 素，可以计算出轨迹上 每一点的空间坐标。设 钻孔轨迹为一斜直线， 坐标系的原点为孔口，X 轴取正北、Y轴取正东方
向θ，—Z开轴孔铅顶垂角向；下α。—据开钻 孔顶的孔 测各角空方 点深和间位 钻度 方 坐角孔上 位 标；轴(角 计L线即A。 算—的测轨如孔长点迹下口度)的上：至。
钻孔弯曲
1.空间位置要素
第一节 钻孔空间位置要素
一二、、钻钻孔孔轨轨迹迹的弯基曲本强要度素
如果某一孔段既有顶角又有方位角变化， 则产生全弯曲角γ , 钻孔轨迹上A、B两点 的全弯曲角γ 可用下式计算：
γ cosθAcosθB sinθAsinθBcos(αB αA)
钻孔全弯强对于校核钻杆柱工作的安全性 和粗径钻具入孔的可通过性有实际意义。 也是设计定向钻孔轨迹的一个重要参数。
第二节 钻孔弯曲的测量及仪器 一二、、顶方角位测角量测原量理原理
12、、地地磁面定定向向原原理理
tg tg cos
式中：α-定位与钻孔倾斜方向方位角差； ф-终点角；θ-测点处钻孔顶角。
第9章 弯曲强度-作业答案
解： 1．求支反力，作剪力、弯矩图。 FQ max 22 kN ， M max 16.2 kN m
2．按正应力强度条件选择工字钢型号
4
由 max
M max Wz
≤[ ] ，得到
Wz
≥
M max [ ]
16.2 103 160 106
101.25 cm3
查表选 14 号工字钢，其
Wz 102 cm3 ， b 5.5 mm ， I z
BC 连接，BC 杆在 C 处用铰链悬挂。已知圆截面杆直径 d＝20 mm，梁和杆的许用应力均为 ＝
0.5 x
M(kN.m)
0.4125
160 MPa，试求:结构的许用均布载荷集度 q 。
解：画弯矩图如图所示： 对于梁：
M max 0.5q
习题 9－10 图
max
M max W
,
0.5q
校核梁的强度。
F1=9kN
F2=4kN
E
A
C
EB
D
1m 1m
1m
80
y1 z
y2
20 120
20 y E—E 截面 解：由静力平衡方式程求出梁的支反力为 RA=2.5kN，RB=10.5kN 作弯矩图如图所示。最大正弯矩在截面 C 上，MC=2.5kN•m。最大负弯矩在截面 B 上， MB=－4kN•m。
MPa
D 截面
+ max
40 103 N m 153.6103 m 1.02 108 1012 m4
60.24106 Pa=60.24 MPa>
－ max
40 103 N m 96.4 103 m 1.02 108 1012 m4
37.8106 Pa=37.8 MPa
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先观察右侧列各组图
图中这种梁段的 弯曲(横截面上 既有 弯矩又有剪力）称为 横力弯曲。
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弯
曲
13
图中这种梁 的弯曲(横截面上 只有弯矩而无剪力） 称为纯弯曲。
M=0, FS =0
纯弯曲
纯弯梁
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弯
曲
14
9.2.2 单一材料梁的弯曲正应力
1. 分析模型： (1) 单一材料窄高矩形截面梁（h b） ； (2) 细长梁（l／h 10）； (3) 荷载作用在纵向对称平面内（xy平面内）。
弯
曲
38
例题 9-2
图a所示简支梁由56a号工字钢制成，其截面 简化后的尺寸见图b。已知F=150 kN。试求危险截 面上的最大正应力max和同一横截面上翼缘与腹板 交界处a点(图b)的正应力a。
(a)
(b)
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弯
曲
39
例题 9-2
解: 1. 在不考虑梁的自重(1.041kN/m)的情况下， 该梁的弯矩图如图所示，截面C为危险截面，相应 的最大弯矩值为
远小于外加荷载 F 所引起的最大正应力。
165.7 160 MPa 5.7 MPa
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弯
曲
43
§9-3 求惯性矩的平行移轴公式
y yC a , z zC b。
I y z 2dA ( zC b)2 dA
A 2 A 2
zC dA 2b zC dA b
ya a max ymax 148 MPa
0.56 m 0.021 m 2 160 MPa 0.56 m 2
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弯
曲
42
例题 9-2
如果考虑梁的自重(q=1.041 kN/m)则危险截面 未变，但相应的最大弯矩值变为 Fl ql 2 M max 375 kN m 13 kN m 388 kN m 4 8 而危险截面上的最大正应力变为 3 388 10 N m max 165.7 106 Pa 165.7 MPa 2342 106 m 3 显然，梁的自重引起的最大正应力仅为
弯
曲
25
线弹性，小变形，外力作用在纵向对称平面内； 线应变和正应力在横截面上的分布规律。
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弯
曲
26
4. 轴惯性矩
I z y 2d A
A h 2 h 2
bh3 y 2 b dy 12
空心矩形的惯性矩？ 圆的惯性矩？
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弯
曲
27
思考题 9-3
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弯
曲
36
例题 9-1
t ,max 56.0 MPa, c ,max 67.1 MPa。
C 截面上： B截面上：
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弯
曲
37
思考题 9-4 若例9-1中的梁截面为工字形，则横截面的最 大拉应力与最大压应力是否一定在弯矩绝对值最 大的横截面上？
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如图所示，当梁在水平面内弯曲时，中性轴 是哪个轴？截面对此轴的惯性矩表达式是什么？
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曲
28
5. 轴惯性矩及抗弯截面系数 (1) 实心矩形的惯性矩及抗弯截面系数 bh3 I z y 2dA 12 A My Iz M ymax M t ,max c ,max Iz Wz 对中性轴z 的抗弯截面系数:
A A
dA A
I yC Ab2 ( zC d A 0 ) 同理可得： I z I z Aa 2
C
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曲
44
思考题 9-5 (1) 根据求惯性矩的平行移轴公式，是否可得如下 结论：图形对于形心轴的惯性矩是图形对于与 该形心轴平行的轴之惯性矩中的最小者？ (2) 求图示截面对于形心轴z 的惯性矩。
E
y 2dA , I z y 2dA
A A
I z为对z轴的惯性矩 1 M EIz为抗弯刚度 EI z Ey My E Iz 公式的适用条件： (a) 几何方面：平面假设； (b) 物理方面：各纵向纤维间互不挤压，材料在 线弹性范围内工作，材料在拉伸和压缩时的 弹性模量相等。
max
M ( x) Wz
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曲
34
例题 9-1
对于图示 T 形截面梁，已知: Iz=290.6×10-8 m4求横截面上的最大拉应力和最大 压应力。
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弯
曲
35
例题 9-1
解： B 截面： （ 3 103）（ 35 10 3）N B上 8 2 36.1 MPa 290.6 10 m 65 B下 ( 36.1)MPa 67.1 MPa 35 C 截面： 2.5 2.5 C下 B下 67.1 MPa 56.0 MPa 3 3
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弯
曲
10
思考题 9-2
右面的剪力图和弯 矩图有无错误，请改正。
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弯
曲
11
§9-2 弯曲正应力
9.2.1 横力弯曲与纯弯曲的概念 M 0 横力弯曲 弯曲正应力 弯曲切应力
FS 0
FS dA
A
M ydA
A
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12
dM ( x ) FS ( x ) —— (2) dx d2 M ( x ) q( x ) —— (3) 2 dx
dFS q( x ) dx
—— (1)
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曲
5
2. 荷载集度、剪力图、弯矩图之间的关系
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曲
6
归 纳： (1) 图 形 规 律 q FS M 为 直 线 段 =0 >0 <0
从前面的例题6-9可见，将弯矩函数M(x)对x求 倒数，即得剪力函数FS(x)；将剪力函数FS(x)对x求 导数得均布荷载的集度q。本节对一般的直梁讨论：
荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系;
微分关系的推导; 荷载集度、剪力图、弯矩图之间的规律应用。
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曲
3
1. 微分关系的推导
荷载集度q(x)是x 的连续 函数。
弯
曲
8
3. 应用分析
已知: F=2 kN， M =10 kN · m，q =1 kN/m。 求: 梁ABCDE的剪力图及弯 矩图。 解：(1) 求约束力
FA 7 kN
FD 5 kN
(2) 利用微分关系作图
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曲
9
思考题 9-1 右面的剪力图和 弯矩图有无错误，请 改正。
(a)
M max
Fl 150 kN 10 m 375 kN m 4 4
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曲
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例题 9-2
由型钢规格表查得56a号工字钢截面
W z 2342 cm 3 I z 65586 cm 4
于是有 M max 375 103 N m max 6 3 160 MPa Wz 2342 10 m 危险截面上点a 处的正应力为
从几何、物理，静力学三方面综合考虑 此梁横截面上正应力的计算公式。
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曲
15
2. 实验研究
FN 0
静力学方面:
My 0 Mz M
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16
弯曲变形演示
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17
(1) 各横向周线仍各在一个平面内，只是各自 绕着与弯曲平面垂直的轴转动了一个角度； (2) 纵向线段变弯，但仍与横向周线垂直； (3) 部分纵向线段伸长，部分纵向线段缩短。
2 y2 z2
A
I P ( y 2 z 2 )dA I y I z
I P πd 4 I y Iz 2 64 πd 3 Wz 32
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曲
31
(4) 空心圆截面的惯性矩
π I y I z ( D4 d 4 ) 64 π D4 (1 4 ) 64 d D π D3 Wz (1 4 ) 32
0.56 m 375 10 N m 2 0.021 m M max ya 148 MPa a Iz 65586 108 m 4
3
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例题 9-2
该点处的正应力a亦可根据直 梁横截面上的正应力在与中性轴z 垂直的方向按直线变化的规律，利 用已求得的该横截面上的 max=160 MPa来计算：
Iz 1 2 Wz bh （单位为:mm3或m3） ymax 6
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(2) 空心矩形的惯性矩及抗弯截面系数
BH 3 bh3 Iz 12 12 HB 3 hb3 Iy 12 12
BH 3 bh3 Wz 6H
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(3) 实心圆截面的惯性矩及抗弯截面系数 πd 4 I P 2dA 32 A
FS >0
M
=0
<0
>0
<0
>0
<0
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