第九章 正弦稳态电路的分析

I I
u i z
Z又称为复阻抗（也是等效阻抗、输入阻抗、 或是驱动点的阻抗）Z的模值 Z 称为阻抗模，幅角 z 称为阻抗角。 其中： U z u i Z
I
Z 阻抗Z的代数形式为： R jX R 其中： Re [Z ] Z cos z 称为电阻； X I m [Z ] Z sin z 称为电抗。 对于纯电阻电路有： Z R R Z 对于纯电感电路：L jL jX L X L L 称为感性电抗，简称感抗；
1 Z 对于纯电容电路： C jc j C jX C 1 XC 称为容性电抗，简称容抗； C 1
对于 R, L, C 串联电路有：
U 1 1 Z R j L R j ( L ) R jX Z z I jC C
U 1 1 Z R j L R j ( L ) R jX Z z I jC C X 2 2 X Z sin z z arctg R Z cos z Z R X
§9.2电路的相量图
相量图可以直观地显示各相量之间的关系， 并可用来辅助电路的分析计算。其做法： 若以并联支路的电压为参考相量，通过元件的 VCR------电压相量与电流相量之间的夹角， ---------通过对某一节点KCL---相量求和----各 支路电流相量的多边形；若以串联电路的电流 为参考相量，通过元件的VCR------电压相量与 电流相量之间的夹角，---通过对某一回路KVL ----相量求和---各电压相量的多边形；

6
UR

3
UL
I1
Us
U2
1 B C , L
当 B 0 时即C L Y , G, B 均为 的函数，即 Y ( j) G() jB() Y Y , G, B的关系可用导纳三角形表示。
时，称Y呈容性 时，称Y呈感性； 1 时呈电阻性（谐振）。
y B G 导纳三角形
3.阻抗与导纳的等效的互换
- + I2 Uab R2 b
I1
I
Us
I2
UL
U ab
相量图
U L I ( R1 Z L ) 0.652.3(10 j157) 94.4138.7V ,
电路的相量图为：
例题：如图电路中，已知，
u s 200 2 cos( 314 t
解：设U s
1000V ,
（参考相量）
Z ab
1 Z R1 10, Z R 2 1000 , Z L jL j157, Z C j318.47 jC 1000 ( j318.47) Z C // Z R 2 303.45 72.33 (92.11 j 289.13) 1000 j318.47
Y i u
Y 代数形式为： G jB 实部 G Re [Y ] Y cos y 称为电导（分量）， 虚部B I m [Y ] Y sin y称为电纳（分量），
U
(Y , G, B均为电导的量纲）
对于纯电阻电路有： R Y
1
1 G , R
1 YL 对于纯电感电路： jL j L jBL ;

3
)V ,
I1
电流表 A1 的读数为2A, U 电压表V1 V2 的读数为200V。
s
+
+ A1 +
V1
UR U1
-+
UL
R
j L
1
-
+
U2
j C
V2
-
求参数R、L、C，并作出电路的相量图。 解：电路为R、L、C串联，选 I1 作为参考相量，
、
即设 I1 20 A,（如图）U1 U 2 U s 200V , 即三者构成一个等边三角形。（如图）由相量图可 U1 得：
+ U -
I1 Y1
I2 Y2
In Yn
(分流公式）
例9-1R、L、C串联电路如图所示，其中 R 15,
L 12mH, C 5 F ,
+
I
R
j L
+ U - +UL - + 端电压u 100 2 cos5000tV , R UC U 试求：（1）电路中的电流I 和各元件两端电压相量； （2）电路的等效导纳Yeq 和其并联等效电路。 解：（1）（相量法） U 1000V ,
IR
R
IL j L
1 jC
IC
1 I 1 1 1 Y jC j (C ) G jB R jL R L U
且有： G 2 B 2 , Y
1 当 B 0 时即C L 1 C 当 B 0 时即 L
B y arctg G
第九章正弦稳态电路的分析
内容提要：阻抗与导纳、 正弦稳态电路的分析、 正弦稳态电路中的功率、 （串联谐振与并联谐振）。 本章重点： 阻抗与导纳、 正弦稳态电路的分析、 各种功率的计算、 （串联谐振与并联谐振的特点及应用）。 本章难点：用相量法分析正弦稳态电路、 复杂正弦稳态电路的计算。
第九章正弦稳态电路的分析 I + §9.1阻抗与导纳 + N0 Z U U 1、阻抗 图（b） 如图所示：端口的电压相量U 图（a） 与电流相量 I 的比值定义为该一端口的阻抗Z， 即有：Z U U Z
U R RI 60 53.13V
+
U
I
R
j L
U L jLI 24036.87V
UC 1 I 160 143.13V , jC
+ U - +UL R
+ 1 U C jC -
-
其相量图为：（如图） Y （2） eq 1 1 53.13 (0.024 j0.032)S
YC 对于纯电容电路： jC jBC BC C ，称为容性电纳，简称容纳； I R, L, C 并联电路有： 对于
1 Bl L
称为感性电纳，简称感纳；
U U I I R I L IC jCU R jL
+ U -
j L
L
a
I1
1 j C
U ab Z an I 303.45 72.33 0.652.3 182.07 20.03V ,
U ab 182.07 20.03 I1 0.5769.97 A, ZC j318.47
U ab 182.07 20.03 0.18 20.03 A, I2 R2 1000
1 jC
Z 则：eq 15 j60 j 40 (15 j 20) 2553.13
U 1000 4 53.13 A I Z eq 2553.13
电流的瞬时表达式为;
i 4 2 cos(5000 53.13) A, t
各元件两端的电压相量为：
Z eq Z R1 Z L Z ab 10 j157 92.11 j 289.13 166.99 52.3
总的等效阻抗为：
各支路电流为：
1000 Us I 0.652.3 A, Z eq 166.99 52.3
I R1 + + U Us -
当X
1 0 时，即L C
Z 时， 呈感性；
R
1 当X 0时，即 L C 时， 呈容性； 1 当X 0 时，即L 时， Z 呈电阻性； C 上述讨论的 Z , R, X 均为 的函数：即为
Z
Z ( j) R() jX ()
可用直角三角形表示 Z , R, X （均为电阻的量纲）的关系， 该三角形称为阻抗三角形。
1 Z R j (L ) R jX 对于 串联电路有阻抗： C R X Y 其等效导纳为： G( ) jB( ) R 2 X 2 j R 2 X 2
R , L, C
Y 对于 R, L, C 并联电路有导纳： 1 1 j (C ) G jB R L
Z ( j ) Y ( j ) 1 Z ( j )Y ( j ) 1 互换的条件： z y 0
1 R( ) jX ( ) Y ( j ) G( ) jB( ) R( ) jX ( ) [ R( ) jX ( )][R( ) jX ( )] R() X () R( ) X () 2 j 2 j 2 R () X 2 ( ) R () X 2 () Z ( j) 2 Z ( j)
Z z X R 阻抗三角形
2.导纳
U
（复数）阻抗的倒数定义为（复数）导纳用Y 表示， 1 I 即 Y I i u Y y
Z U
Y 又称为复导纳（也是等效导纳、输入导纳、 或是驱动点的导纳）Y 的模值 Y 称为导纳模，幅
角 y 称为导纳角。 其中： I Y
1 0.024S 或 Req 41.67, Geq
Z eq 25
UL UC 53.13 U
G 其中： eq 相பைடு நூலகம்图 由于等效的电纳为负值即为感性，因此有：
1 1 Leq 6.25m H, 3 B 0.032 12 10
UR
+
i
u Req
Leq
即其并联等效电路为电阻与电感并联。 -
G B Z 其等效阻抗为： G 2 B 2 j G 2 B 2
当电路中含有受控源时，可能会有 或 z 90 的情况， 对于一般 R, L, C 电路有： Re [Z ( j)] 0, 90 z 90 4.阻抗（导纳）的串联与并联 （1）串联： 对于n个阻抗串联而成的电路，由于通过每个阻抗 都是同一电流，其等效阻抗为： I Z1 Z2
-
（分压公式）
（2）并联： 对于n个导纳并联而成的电路，由于每个导纳两端 的电压是同一电压，其等效导纳为： I
YnU I Y1U Y2U Yeq U U U U Y1 Y2 Yn Yk I 通过每个导纳的电流为：I k Yeq
R 例题：已知电路如图，1 10,
L 0.5H , R2 1000, C 10 F ,
U s 100 , 314rad / s, V
I R1 + + U Us -
j L
L
a
I1
1 j C
U L 并画出电路的相量图。 求各支路电流相量和电压
- + I2 Uab R2 b
Z eq Z nI U Z1 I Z 2 I I I I I
+
U
Re [Z ( j)] 0,
+ U - +U 1 2
+ Z Un n -
Zk U Uk 每个阻抗两端的电压为： Z eq
Z1 Z 2 Z n
导纳的代数形式：
G 由此可得： ( )
R( ) Z ( j )
2
B( )
X ( ) Z ( j )
2
（用阻抗表示导纳）
阻抗的代数形式：
1 G( ) B( ) Z ( j ) R( ) jX ( ) j 2 2 G( ) jX ( ) Y ( j ) Y ( j ) G( ) B( ) R( , X ( ) 即有： ) 2 2 Y ( j ) Y ( j )