求三角函数定义域和值域题型
三角函数的定义域、值域
要使y 1 sin z有最小值- 1，
必须
2
z
2
2k ,k z
2
要使y 1 sin z有最大值 1，
1 x 2k
必须
2
z
2
2k ,k z
1
x
2
2k
x
4k
2 x
35
2
4k
3
使原函数取得最小值的集合是
2 32
3
y sin x
x
|
x
5
3
4k ,k
Z
y sin x
角
练习 求函数 y＝cos2x＋4sin x 的最值及取到最大值和最小值 时的 x 的集合．
解 y＝cos2x＋4sin x＝1－sin2x＋4sin x ＝－sin2x＋4sin x＋1＝－(sin x－2)2＋5.
∴当 sin x＝1，即 x＝2kπ＋2π，k∈Z 时，ymax＝4； 当 sin x＝－1 时，即 x＝2kπ－2π，k∈Z 时，ymin＝－4. 所以 ymax＝4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ＋π2，k∈Z}； ymin＝－4，此时 x 的取值集合是{x|x＝2kπ－π2，k∈Z}.
2
所以结论要相反 y sin z 最小
3.二次函数的某些知识点
例 求函数 y＝sin2x－sin x＋1，x∈R 的值域．
解 设 t＝sin x，t∈[－1,1]，f(t)＝t2－t＋1. ∵f(t)＝t2－t＋1＝t－122＋34. ∵－1≤t≤1， ∴当 t＝－1，即 sin x＝－1 时，ymax＝f(t)max＝3；
x x sinx
忘掉的同学再去看看课本， 后面的老师还会讲到
课堂小结
三角函数的定义域与值域题库(精)
专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）一、选择题1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）A、[﹣，]B、[，]C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，解答（k∈Z）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．2、函数的定义域是（）A、.B、.C、D、.解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．3、函数的定义域为（）A、 B、C、 D、解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴，故选D．4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）A、[1，]B、C、D、解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx===又∵∴∴则1≤f（x）≤故选A．5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）A、[﹣1，1]B、[﹣，1]C、[﹣，﹣1]D、[﹣1，]解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣=sin2x+sinx﹣1=﹣∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B．6、函数值域是（）A、 B、C、 D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B7、函数的最大值是（）A、5B、6C、7D、8解答：∵==∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是78、若≤x≤，则的取值范围是（）A、[﹣2，2]B、C、D、解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，则函数f（x）的取值范围是：．故选C．9、若，则函数y=的值域为（）A、 B、 C、 D、解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、 B、C、 D、解答：∵函数，∴当 sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z} 故选A．11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．12、已知函数，则f（x）的值域是（）A、[﹣1，1]B、C、D、解答：解：由题=，当 x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当 x∈[﹣，]时，f （x）∈[﹣1，]可求得其值域为．故选D．13、函数的值域为（）A、 B、 C、[﹣1，1] D、[﹣2，2]解答：=﹣sinxcosx+cos2x=cos2x ﹣sin2x=cos （2x+）∴函数的值域为[﹣1，1] 故选C ．14、若≥，则sinx 的取值范围为（ ） A 、 B 、 C 、∪D 、∪解答：∵≥，∴解得x ∈[，）∪（，] ∴sinx ∈故选B15、函数y=sin2x+2cosx 在区间[﹣，]上的值域为（ ）A 、[﹣，2]B 、[﹣，2）C 、[﹣，]D 、（﹣，] 解答：∵x ∈[﹣，] ∴cosx ∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx ﹣1）2+2 则y ∈[﹣，2] 故选A 二、填空题（共7小题） 16、已知，则m 的取值范围是 ．解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．17、函数在上的值域是___________．解答：因为，故故答案为：18、函数的值域为．解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为．解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x ∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x﹣1∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2 故答案为：[2，+∞）20、函数的值域是．解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx∵∴x+∴从而有:f（x）==﹣2 在单调递增当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2故答案为：[﹣2]21、函数的定义域为．解答：要使函数有意义，必须解得，故答案为：（0，）．三、解答题（共8小题）22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin （cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
三角函数的定义域、值域及最值(人教A版)(含答案)
三角函数的定义域、值域及最值（人教A版）一、单选题(共14道，每道7分)1.函数的定义域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的定义域2.若函数的定义域是，则函数的定义域是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域3.函数的定义域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域4.函数的定义域为( )A. B.C. D.第一、三象限答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的定义域5.函数，当取得最小值时，的取值集合为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的最值6.函数的值域为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的定义域和值域7.函数，的值域为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的定义域和值域8.函数，的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的值域9.已知函数，则在区间上的最大值与最小值分别是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的值域10.若函数在区间上的最小值为，则的值为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正弦函数的定义域和值域11.函数的值域为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合函数的值域12.函数的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：正切函数的值域13.若（为常数）的最大值是3，最小值是，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的最值14.若，则下列不等式中成立的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的图象。
三角函数的定义域、值域及单调区间(含答案)
三角函数的定义域、值域及单调区间一、单选题(共12道，每道8分)1.与函数定义域相同的一个函数是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的定义域2.函数的定义域是( )A.B.C.D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的定义域3.函数的定义域是( ) A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的定义域4.的值域是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的值域5.函数的值域是( )A.{3}B.{3，﹣1}C.{3，1，﹣1}D.{3，1，﹣1，﹣3}答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的值域6.函数的值域是( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的值域7.已知函数，则f(x)在区间上的最大值与最小值分别是( )A.1，﹣2B.2，﹣1C.1，﹣1D.2，﹣2答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的最值8.已知函数的定义域为，值域为，则函数上，( )A.有最大值2B.有最小值2C.有最大值1D.有最小值1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：三角函数的最值9.函数的单调增区间为( ) A.B.C.D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合三角函数的单调性10.设函数，在区间D上单调递增，则区间D可以是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合三角函数的单调性11.函数的单调增区间是( )A.B.C.D.答案：A解题思路：先确定函数的定义域是全体实数，记，则，∵是递增函数，∴根据口诀“同增异减”可得，只需要找到的递增区间即可，∴．故选A试题难度：三颗星知识点：复合三角函数的单调性12.函数的单调递减区间是( ) A.B.C.D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：复合三角函数的单调性第11页共11页。
三角函数的值域问题
y sin x
y cos x
2
(k∈z)
2
时y min 1 x 2k 时y min 1
(k∈z)
二、新课讲解
• 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出 取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出 最大值、最小值分别是什么？ • (1)y=2sinx, xR • (2)y=-3sinx,xR • (3)y=asinx,xR(a>0) • (4)y=asinx,xR(a<0) • (5)y=asinx,xR(a≠0)
类型二：求y A sin( x )型函数的的值域与最值
例3：求函数y 2 sin( 2 x )的最值，并求取得最值时 3 自变量x的集合。
1 变式1：函数y 3 2 sin( x )的值域为 ______ . 2 3 变式2：已知y a sin( 2 x ) b(a 0)的最大值为3, 3 最小值为 1, 求a, b的值.
当题目中有出现自变量x属于某个小区间，那么
要用换元 2 x )的范围。 3
类型三：值域与最值的应用
延伸:
0 (2014 湖北高考改编)某实验室一天的温度(单位： C)
随时间t (单位：h)的变化近似满足函数： t )，t 0,24 12 6 求实验室一天的最大温差。 f (t ) 10 2 sin(
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx， x[0, 2]的简图：
y
1
一.复习
y=cosx，x[0, 2]
2
o
-1
2
3 2
三角函数的定义域与值域题库
专题三：三角函数的定义域与值域（习题库）一、选择题1、函数f（x）的定义域为[﹣，]，则f（sinx）的定义域为（）A、[﹣，]B、[，]C、[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）D、[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）分析：由题意知，求出x的范围并用区间表示，是所求函数的定义域；解答：∵函数f（x）的定义域为为[﹣，]，∴，解答（k∈Z）∴所求函数的定义域是[2kπ﹣，2kπ+]∪[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）故选D．2、函数的定义域是（）A、.B、.C、D、.解答：由题意可得sinx﹣≥0⇒sinx≥又x∈（0，2π）∴函数的定义域是．故选B．3、函数的定义域为（）A、B、C、 D、解答：由题意得tanx≥0，又tanx 的定义域为（kπ﹣，kπ+），∴，故选D．4、函数f（x）=cosx（cosx+sinx），x∈[0，]的值域是（）A、[1，]B、C、D、解答：∵f（x）=cosx（cosx+sinx）=cos2x+sinxcosx===又∵∴∴则1≤f（x）≤故选A．5、函数y=﹣cos2x+sinx﹣的值域为（）A、[﹣1，1]B、[﹣，1]C、[﹣，﹣1]D、[﹣1，]解答：函数y=﹣cos2x+sinx﹣=﹣（1﹣2sin2x）+sinx﹣=sin2x+sinx﹣1=﹣∵﹣1≤sinx≤1，∴当sinx=﹣时，函数y有最小值为﹣．sinx=1时，函数y 有最大值为1，故函数y 的值域为[﹣，1]，故选B．6、函数值域是（）A、B、 C、D、[﹣1，3]解答：因为，所以sinx∈[]，2sinx+1∈故选B7、函数的最大值是（）A、5B、6C、7D、8解答：∵==∈[﹣7，7] ∴函数的最大值是78、若≤x≤，则的取值范围是（）A、[﹣2，2]B、C、D、解答：=2（sinx+cosx）=2sin（），∵≤x≤，∴﹣≤≤，∴≤﹣sin（）≤1，则函数f（x）的取值范围是：．故选C．9、若，则函数y=的值域为（）A、B、 C、D、解答：函数y===因为，所以sin∈（0，）∈故选D10、函数，当f（x）取得最小值时，x的取值集合为（）A、 B、C、 D、解答：∵函数，∴当 sin（﹣）=﹣1时函数取到最小值，∴﹣=﹣+2kπ，k∈Z函数，∴x=﹣+4kπ，k∈Z，∴函数取得最小值时所对应x的取值集合:为{x|x═﹣+4kπ，k∈Z}故选A．11、函数y=sin2x﹣sinx+1（x∈R）的值域是（）A、[，3]B、[1，2]C、[1，3]D、[，3]解答：令sinx=t，则y=t2﹣t+1=（t﹣）2+，t∈[﹣1，1]，由二次函数性质，当t=时，y取得最小值．当t=﹣1时，y取得最大值3，∴y∈[，3] 故选A．12、已知函数，则f（x）的值域是（）A、[﹣1，1]B、C、D、解答：解：由题=，当x∈[，]时，f（x）∈[﹣1，]；当x∈[﹣，]时，f（x）∈[﹣1，] 可求得其值域为．故选D．13、函数的值域为（）A、B、 C、[﹣1，1] D、[﹣2，2]解答：=﹣sinxcosx+cos2x=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）∴函数的值域为[﹣1，1] 故选C．14、若≥，则sinx的取值范围为（）A、 B、C、∪D、∪解答：∵≥，∴解得x∈[，）∪（，] ∴sinx∈故选B15、函数y=sin2x+2cosx在区间[﹣，]上的值域为（）A、[﹣，2]B、[﹣，2）C、[﹣，]D、（﹣，]解答：∵x∈[﹣，] ∴cosx∈[﹣，1]又∵y=sin2x+2cosx=1﹣cos2x+2cosx=﹣（cosx﹣1）2+2则y∈[﹣，2] 故选A二、填空题（共7小题）16、已知，则m的取值范围是．解答：∵=2（sinθ+cosθ）=2sin（θ+），∴﹣2≤≤2，∴m≥，或m≤﹣，故m的取值范围是（﹣∝，﹣]∪[，+∞）．17、函数在上的值域是___________．解答：因为，故故答案为：18、函数的值域为．解答：由题意是减函数，﹣1≤sinx≤1，从而有函数的值域为，故答案为19、（理）对于任意，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为．解答：∵psin2x+cos4x≥2sin2x ∴psin2x≥2sin2x﹣1﹣sin4x+2sin2x=4sin2x﹣sin4x ﹣1∴p≥4﹣（sin2x+）而sin2x+≥2∴4﹣（sin2x+）的最大值为2则p≥2故答案为：[2，+∞）20、函数的值域是．解答：令t=sinx+cosx=，t2=1+2sinxcosx∵∴x+∴从而有:f（x）==﹣2在单调递增当t+1=2即t=1时，此时x=0或x=，函数有最小值当t+1=1+即t=时此时x=，函数有最大值2﹣2故答案为：[﹣2]21、函数的定义域为．解答：要使函数有意义，必须解得，故答案为：（0，）．三、解答题（共8小题）22.（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；分析：求函数的定义域：（1）要使0≤cosx≤1，（2）要使sin（cosx）＞0，这里的cosx以它的值充当角。
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总
高三高考文科数学《三角函数》题型归纳与汇总高考文科数学题型分类汇总：三角函数篇本文旨在汇总高考文科数学中的三角函数题型，包括定义法求三角函数值、诱导公式的使用、三角函数的定义域或值域、三角函数的单调区间、三角函数的周期性、三角函数的图象变换和三角函数的恒等变换。
题型一：定义法求三角函数值这类题目要求根据三角函数的定义，求出给定角度的正弦、余弦、正切等函数值。
这类题目的难点在于熟练掌握三角函数的定义，以及对角度的准确度量。
题型二：诱导公式的使用诱导公式是指通过对已知的三角函数进行代数变形，得到新的三角函数值的公式。
这类题目需要熟练掌握各种诱导公式，以及灵活应用。
题型三：三角函数的定义域或值域这类题目要求确定三角函数的定义域或值域。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数的定义域和值域的概念和计算方法。
题型四：三角函数的单调区间这类题目要求确定三角函数的单调区间，即函数在哪些区间上单调递增或单调递减。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数单调性的判定方法。
题型五：三角函数的周期性这类题目要求确定三角函数的周期。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对函数周期的计算方法。
题型六：三角函数的图象变换这类题目要求根据给定的变换规律，确定三角函数图象的变化。
需要掌握各种三角函数的性质和图象，以及对图象变换的计算方法。
题型七：三角函数的恒等变换这类题目要求根据已知的三角函数恒等式，进行变形和推导。
需要掌握各种三角函数的恒等式，以及灵活应用。
2）已知角α的终边经过一点P，则可利用点P在单位圆上的性质，结合三角函数的定义求解．在求解过程中，需注意对角终边位置进行讨论，避免忽略或重复计算．例2已知sinα=0.8，且α∈[0,π2]，则cosα=．答案】0.6解析】∵sinα=0.8，∴cosα=±√1-sin²α=±0.6XXXα∈[0,π2]，∴cosα>0，故cosα=0.6易错点】忘记对cosα的正负进行讨论思维点拨】在求解三角函数值时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．同时，需根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型二诱导公式的使用例3已知tanα=√3，且α∈(0,π2)，则sin2α=．答案】34解析】∵ta nα=√3，∴α=π/30<α<π/2，∴0<2α<πsin2α=sin(π-2α)=sinπcos2α-cosπsin2α=-sin2α2sin2α=0，∴sin2α=0sin2α=3/4易错点】忘记利用诱导公式将sin2α转化为sin(π-2α)思维点拨】在解决三角函数的复合问题时，可利用诱导公式将一个三角函数转化为其他三角函数的形式，从而简化计算．同时，需注意根据角度范围确定函数值的取值范围，避免出现超出范围的情况．题型三三角函数的定义域或值域例4已知f(x)=2sinx+cosx，则f(x)的值域为．答案】[−√5,√5]解析】∵f(x)=2sinx+cosx=√5(sin(x+α)+sin(α-x))，其中tanα=-121≤sin(x+α)≤1，-1≤sin(α-x)≤15≤f(x)≤√5f(x)的值域为[−√5,√5]易错点】忘记利用三角函数的性质将f(x)转化为含有同一三角函数的形式思维点拨】在确定三角函数的定义域或值域时，可利用三角函数的性质将其转化为含有同一三角函数的形式，从而方便计算．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其定义域或值域．题型四三角函数的单调区间例5已知f(x)=sin2x，则f(x)在区间[0,π]上的单调递增区间为．答案】[0,π/4]∪[3π/4,π]解析】∵f'(x)=2cos2x=2(2cos²x-1)=4cos²x-2f'(x)>0的充要条件为cosx12f(x)在[0,π/4]∪[3π/4,π]上单调递增易错点】忘记将f'(x)化简为含有同一三角函数的形式，或对于三角函数的单调性判断不熟练思维点拨】在求解三角函数的单调区间时，需先求出其导数，并将其化简为含有同一三角函数的形式．然后，利用三角函数的单调性进行判断，得出函数的单调区间．题型五三角函数的周期性例6已知f(x)=sin(2x+π)，则f(x)的周期为．答案】π解析】∵sin(2x+π)=sin2xcosπ+cos2xsinπ=-sin2xf(x)的周期为π易错点】忘记利用三角函数的周期性质思维点拨】在求解三角函数的周期时，需利用三角函数的周期性质，即f(x+T)=f(x)，其中T为函数的周期．同时，需注意对于复合三角函数，需先将其转化为含有同一三角函数的形式，再确定其周期．题型六三角函数的图象变换例7已知f(x)=sinx，g(x)=sin(x-π4)，则g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移了．答案】π4解析】∵g(x)=sin(x-π4)=sinxcosπ4-cosxsinπ4g(x)的图象相对于f(x)的图象向左平移π4易错点】忘记利用三角函数的图象变换公式，或对于三角函数的图象不熟悉思维点拨】在求解三角函数的图象变换时，需利用三角函数的图象变换公式，即y=f(x±a)的图象相对于y=f(x)的图象向左（右）平移a个单位．同时，需对于各种三角函数的图象有一定的了解，以便准确判断图象的变化情况．题型七三角函数的恒等变换例8已知cosα=12，且α∈(0,π2)，则sin2α的值为．答案】34解析】∵cosα=12，∴sinα=√3/2sin2α=2sinαcosα=√3/2×1/2=3/4易错点】忘记利用三角函数的恒等变换公式思维点拨】在求解三角函数的恒等变换时，需熟练掌握三角函数的基本恒等式和常用恒等式，从而简化计算．同时，需注意根据已知条件确定函数值的正负，避免出现多解或无解的情况．已知角α的终边所在的直线方程，可以通过设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义来解决相关问题。
三角函数定义域和值域
1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 y= sinx和 y= cosx， x[0, 2]的简图：
y
1
一.复习(3分钟完成)
y=cosx，x[0, 2]
2
o
-1
2
3 2
2
y=sinx，x[0, 2]
x
2.写出y=sinx和y=cosx的定义域,值域,最值,周期
-1 0
1 2
1
t
练习： y cos x sin x 2 的值域。
点拨:统一函数名
三） 分式型
sin x 例3： 求y 的值域。 反表示法 sin x 2 点拨: 1.反表示 2.利用 sinx 1, cos x 1有界性 2y 解 : sin x sinx 1 1 y 2y 1 | | 1 两边平方 值域为 1, 3 1 y
D
C
A
B
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这样，想找个有骨节有肩膊的都不能。”“或者也有，只轮不着我们罢了。”“你我倒也算了，老板——”“嘘！”很怕蝶宵华听见了伤心，偷 眼看他，他端坐鞍上，双目微阖，竟似僧人入定了。苏家，全凭苏小横在，才安定下来。明柯逃跑了，谁知嘉颜是帮着明柯弄亏空贪官中银子的， 也跟了明柯逃跑，临走还卷了一票。明远据说进京去，太守家似有悔婚之意。桩桩件件，每件都要压垮老太太。苏小横只道：“有我在！你们不 必问端底，等着就好。”众人也终于静了。回道观里，裳儿拿红纸剪着玩，有一搭没一搭的，又似剪窗花，又似只糟塌纸张，见苏小横回来，嘻 嘻笑道：“爷爷也计算差了。”苏小横道：“哦？”“盗坠索银的人，爷爷先把目标锁定在大哥、五哥身上，尤以五哥嫌疑更重，五哥手里也确 实有大笔银子来路不名，叫爷爷查出来，”裳儿弄着剪子，侃侃谈道，“可他旋即却糊涂得把田庄里贪得来的银子，都输在赌局里，以至于受蕙 妹妹胁迫，坏了笙表妹名声，吃了爹爹一顿杖，爬都爬不起来，爷爷就重点去调查大哥了罢？谁知五哥买通爹爹身边行杖的，筋骨无碍，装着养 伤，悄没声儿一切都打点好，拐了嘉颜姐姐，扔嘣就走了！把爷爷可摆了一道。”“是你被摆了一道。”苏小横道。裳儿手里的剪子，停了停。 “你将是独当一面的人，特立专行，生杀予夺，非如此，不足以在宫中固宠。”苏小横道，“内外种种，我知道的，你也知道，我并未瞒你，我 所不知道的，你也应该自己想办法知道，定出方略，克敌制胜。你没有做到，就是败了。宫中败亡，你把责任怪在爷爷头上，纵然爷爷肯承担， 有用么？”裳儿默然片刻，将剪子放下，端端正正拜苏小横一礼：“孙女谨受教。”“你剪的是什么？”苏小横看着那张叠了数叠、被剪了许多 刀的红纸。裳儿将红纸展开，胡乱纵横的刀痕，并未能形成任何花样：“这是裳儿的心境。”“本应如何呢？”苏小横又问。“本应，”裳儿打 开一本书，取出里面压得平平的剪纸，是鸳鸯戏水，“送于四姐姐贴在嫁妆箱上，给四姐姐道喜。”苏小横神色不动：“你四姐姐婚事有阻 碍。”“是。”裳儿知这也是考题，“大哥既进京，四姐姐婚事就没有阻碍了。”苏小横微微叹了口气：“你会看不起你大哥吗？”“不会。” 这倒是真心话，“虽说男女分工有别，但强盗杀来，若只余妇女，那妇女也必须举刃招架；同样道理，床帷间、私室里，若只有男儿能去，那末 男儿也该去。为家族效命，诗姐姐如此，裳儿如此，大哥如此，原没什么分别。”说着伤感起来，“爷爷，你可知孙女流落在外，最困苦时，只 为一勺掺着砂子的糙豆饭，他要我做什么都可以。”苏小横抚着裳儿的头：“爷爷救你太迟。”“相比很多人来说，已经
三角函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域一. 求三角函定义域: 11(1) y (2) y 1sin x 1sin(2x+)6p ==++(3) y 2cos x-1 (4) y lg(2sin lg(2sinx-1)x-1)==练点拨:1.列出三角不等式2.根据图象写出不等式的解集例1.求下列函数的定义域; 二.求 三角函值域的几种典型形式 一）一次型2sin 1y x =+例1：求 值域。
1cos 1x ££分析：利用 sinx sinx 有界性y=asinx+b 练习：口答下列函数的值域 (1)y=-2sinx+1 (2) y=3cosx+2 总结：形如y=asinx+b 的函数的最大值是 最小值是 a b +a b-+直接代入法二)二次型22sin sin 1y x x =-+例：求的值域。
2cos sin 2y x x =--+练习： 的值域。
点拨:1.换元(注明新元取值)2.运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点)点拨:统一函数名二次函数法 三） 分式型 sin sin a x by c x d+=+sin 3sin 2xy x =+例： 求的值域。
点拨: 1.反表示 1cos 1x ££2.利用sinx ,有界性cos 2cos 1x y x -=-练习： 反表示四）二合一 sin cos y a x b x =+22sin cos sin()a xb x a b x j +=++利用sin 3cos y x x =+例4. 的值域.2sin cos .y x x =-练习：的值域2cos sin cos y x x x =+例5. 的值域.1.降次2.二合一sin cos x x 1sin 22x =2cos x =1cos 22x +2sin x 1cos 22x-=22cos sin()3sin sin cos 3y x x x x x p=+-+例5. 的值域.1.统一角2.降次3.二合一2sin sin y a x b x c =++5sin cos sin cos y x x x x=++例：sin cos sin cos .x x x x +一般一个式子中同时出现了和想到了五） 其他形式：六：应用题求最值R 例6：把一段半径的圆木锯成横截面为矩形的木料，怎样锯法才能使得横截面的面积最大。
求三角函数的值域(最值)题型例析
2
2
1
3
3
s
i
n2
x c
o
s2
x +
=
3 =
2
2
2
s
i
n2
x-
(
3
7π
π
。 由 0≤x ≤
,可 得
+
2
1
2
3
)
π
π
5π
3
,所 以 - ≤ 2
x ≤
≤
3
3
6
2
s
i
n2
x-
(
π
π
≤1,所 以 0 ≤ s
i
n2
+
x3
3
)
(
)
[
;
当定义域为某个给定
-|A|+k,
|A|+k]
函数的单调性求值域。
题 型 2:
(
或 y=Ac
Aω≠0)
o
s(
ωx+φ)
+k(
Aω≠0)
例1
(32π-x) - 3 cosx + 3。 当 x ∈
[0,712π] 时,函 数 f(x)的 最 小 值 和 最 大 值 分
s
i
n
2
。
别为
解:
函数 f(
x)= (-s
i
nx)(-c
o
sx)-
1
3
(
o
s2x+ 3= s
i
n2
xc
o
s2
x+1)+
i
n(
ωx+φ)
+k 或y=Ac
三角函数的定义域、值域和最值讲解
三角函数的定义域、值域和最值一知识点精讲：1 三角函数的定义域（1）sinα=yryxxr定义域为R. （2）cosα=⎧⎩定义域为R.（3）tanα=定义域为⎨α|α≠πx⎫定义域为+kπ,k∈Z⎬. （4）cotα=2y⎭{α|α≠kπ,k∈Z}.2 三角函数的值域① y=asinx+b,(a≠0) 型当a>0时，y∈[-a+b,a+b] ；当a<0时 y∈[a+b,-a+b] ② y=asin2x+bsinx+c型此类型的三角函数可以转化成关于sinx的二次函数形式。
通过配方，结合sinx的取值范围，得到函数的值域。
sinx换为cosx也可以。
③ y=asinx+bcosx型利用公式asinx+bcosx=的情形。
④y=a(sinx+cosx)+bsinxcosx型利用换元法，设t=sinx+cosx, t∈[-2,2]，则sinxcosx=t-122a+bsin(x+φ),tanφ=22ba，可以转化为一个三角函数22,转化为关于t 的二次函数y=at+b22=b2t+at-2b2.⑤y=asinx+bcosx+csinxcosx型这是关于sinx,cosx的二次齐次式，通过正余弦的降幂公式以及正弦的倍角公式，sin2x=1-cos2x2,cos2x=1+cos2x2,sinxcosx=sin2x2，可转化为y=msin2x+ncos2x+p的形式。
⑥ y=⑦y=asinx+bcsinx+dsinx+a型可以分离常数，利用正弦函数的有界性。
cosx+b型可以利用反解的思想方法，把分母乘过去，整理得，sinx-ycosx=by-a，sin(x-φ)=by-a+y,by-a+y≤1, 通过解此不等式可得到y的取值范围。
或者转化成两点连线的斜率。
以上七种类型是从表达的形式上进行分类的，如果x有具体的角度范围，则再进行限制。
二典例解析：例1．求下列函数的定义域（1）y=3-3sinx-2cos2x；（2）y例2．求下列函数的值域(1) y=-2sinx+3 （2）y=2cos2x+5sinx-4；（3）y=5sin2x-4sinxcosx+2cos2x； (4)y=sinx+cosx+sinxcosx （5）yπ6=3sinx+13sinx+2=logsinx(cosx+12). （3） y=25-x+lgcosx；；（6）y=sinx+2cosx+21-tan()cosx.π4-x)（7）y=sin(x-（8）y=1+tan(π4-x)（9）求函数y=sin2x1-sinx-cosx+sin2x的值域.三课堂练习：1．若cosα⋅cscαsec2α-1=-1,则α所在的象限是A．第二象限限2．不解等式：（1）sinx<-3．已知f(x)的定义域为(-4．求下列函数的定义域（1）y=1tanx-112 （） B．第四象限 C．第二象限或第四象限 D．第一或第三象（2）cosx>12 12,32),则f(cosx)的定义域为____________. （2）y=sinx+125-x2.5．求下列函数的值域（1）y=2cosx-1（3）y=1+sinx+cosx+（5）y=12+sinx12sin2xx∈[-π,π]. （4）y=-cos3 （2）y=2sinxcos1+sinx2x. xsinx. （6）y=tan2x+4cot+1 26．有一块扇形铁板，半径为R，圆心角为60°，从这个扇形中切割下一个内接矩形，即矩形的各个顶点都半径或弧在扇形的上，求这个内接矩形的最大面积．。
高考复习：三角函数的图像与性质(含参考答案与解析方法)
4.3三角函数的图像与性质一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质 (下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域例1、（1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________．（2）函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．考点二 三角函数的单调性例2、函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为 _____________．变式训练1 （1）函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间为_____________； （2）函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间为_______________.考点三 三角函数的对称性与奇偶性例3、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值．例4 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.（2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．冲刺高考：1、已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．2、已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b 的值为________．3、(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 课堂练习1、 函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．2、 函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．3、 函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________．4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______．5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称；③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β ⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π.4、 函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________．5、 函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．4.3三角函数的图像与性质一 正弦、余弦、正切函数的图像与性质(下表中k ∈Z ).1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 考点一 三角函数的定义域与值域例1 （1）函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3， 即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. （2） (2014·湛江调研)函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧ sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， ∴2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .（3）①函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为________．②当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 解析：①y ＝2cos 2x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4＝－2sin 2x ＋5sin x －2 ＝－2(sin x －54)2＋98. 故当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]． ②∵x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎡⎦⎤－12，1. 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝ 2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78. ∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：(1)[－9,1] (2)78 2[类题通法]1．三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图像来求解．2．三角函数值域的不同求法 (1)利用sin x 和cos x 的值域直接求；(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式求值域； (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，转换成二次函数求值域； (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系转换成二次函数求值域． 考点二 三角函数的单调性例2、求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间 [解] 由2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4，k ∈Z .故函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调减区间为 ⎣⎡⎦⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 变式训练1 （1）求函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递减区间；（2）求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的单调递减区间 解 （1）画出函数y ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图像，易知其单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π4，k π＋5π4(k ∈Z )． (2) y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 例3、求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )．当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.考点三 三角函数的对称性与奇偶性例4、(2013·扬州期末)已知函数f (x )＝－2sin 2x ＋23sin x · cos x ＋1.(1)求f (x )的最小正周期及对称中心；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3时，求f (x )的最大值和最小值． 解：(1)f (x )＝ 3 sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.令 sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0，得x ＝k π2－π12(k ∈Z )， 所以f (x )的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，0(k ∈Z )． (2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3，所以－π6≤2x ＋π6≤5π6， 所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1，所以－1≤f (x )≤2. 所以当x ＝－π6时，f (x )的最小值为－1；当x ＝π6时，f (x )的最大值为2.例5 （1）若函数y ＝3sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图像关于点⎝⎛⎭⎫π3，0中心对称，则φ＝________.解析：由题意得3sin ⎝⎛⎭⎫23π＋φ＝0，所以23π＋φ＝k π(k ∈Z )．又因为0<φ<π，所以φ＝π3. （2） 已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为点⎝⎛⎭⎫π12，0，则ω的最小值为______．解析：由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2.(3)设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图像如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为______．解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cos πx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. [类题通法]1．若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值． 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.2．对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．三角函数的单调性、对称性、周期性例6、(1)已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在(π2，π)上单调递减，则ω的取值范围是________．(2)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 对任意实数x 有f (x ＋π4)＝f (－x )成立，且f (π8)＝1，则实数b的值为________．(3)(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 思维点拨 (1)(π2，π)为函数f (x )某个单调减区间的子集；(2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可得函数的对称轴，应用函数在对称轴处的性质求解即可；(3)利用正弦型函数图象的对称性求周期． 解析 (1)由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意知(π2ω＋π4，πω＋π4)⊆[π2，3π2]， ∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，∴12≤ω≤54. (2)由f (x ＋π4)＝f (－x )可知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋b 关于直线x ＝π8对称，又函数f (x )在对称轴处取得最值，故±2＋b ＝1，∴b ＝－1或b ＝3.(3)∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3. ∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12. 又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3. ∴14T ＝7π12－π3＝π4， ∴T ＝π. 答案 (1)[12，54] (2)－1或3 (3)π温馨提醒 (1)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解．(2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象与其对称轴的交点是最值点. 课堂练习1、函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为________________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ sin 2x >0，9－x 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<2x <2k π＋π，k ∈Z ，－3≤x ≤3.∴－3≤x <－π2或0<x <π2. ∴函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域为 {x |－3≤x <－π2或0<x <π2}.2、函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________． 解析 要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．3、函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4，x ∈[－π，0]的单调增区间为________． 解析：当x －π4∈⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z 时，是f (x )的单调增区间． 又因为x ∈[－π，0]，故取k ＝0得x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，0 4、若函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤－2π3，2π3上单调递增，则ω的最大值为______． 解析：依题意可知12×T ≥2×2π3，即12×2πω≥2×2π3，解得ω≤34，从而ω的最大值为34.5、将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是________．解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得 sin(π3＋m )＝±1， ∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ， ∵m >0，∴m 的最小值为π6.4.3三角函数的图像与性质（作业）1、已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π8)＝－2，则f (x )的单调递减区间是________．解析 由f (π8)＝－2得f (π8)＝－2sin(2×π8＋φ)＝－2sin(π4＋φ)＝－2，所以sin(π4＋φ)＝1.因为|φ|<π， 所以φ＝π4. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递减区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z )．2、将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎫3π4，0，则ω的最小值是________．解析 根据题意平移后函数的解析式为 y ＝sin ω⎝⎛⎭⎫x －π4， 将⎝⎛⎭⎫3π4，0代入得sin ωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0， 故ω的最小值为2. 3、给出下列四个命题，其中不正确的命题为______．(填序号) ①若cos α＝cos β，则α－β＝2k π，k ∈Z ；②函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象关于x ＝π12中心对称； ③函数y ＝cos(sin x )(x ∈R )为偶函数；④若α、β均为第一象限角，且α>β，则sin α>sin β⑤函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 答案 ①④⑤解析 命题①：若α＝－β，则cos α＝cos β，假命题；命题②：x ＝π12，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝cos π2＝0，故x ＝π12是y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的对称中心；命题⑤：函数y ＝sin|x |不是周期函数． 4、函数y ＝cos 2x ＋sin 2x ，x ∈R 的值域是________． 解析 y ＝cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1－cos 2x 2＝1＋cos 2x2.∵cos 2x ∈[－1,1]，∴y ∈[0,1]．5、函数y ＝cos(π4－2x )的单调减区间为________．解析 由y ＝cos(π4－2x )＝cos(2x －π4)得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，故k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )． 所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )．6、设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________． 解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值， 故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.7、已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________.解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)，所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.8、已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间． 解 (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]． ∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得，f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝－4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1， 又由lg g (x )>0，得g (x )>1，∴4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6>12， ∴2k π＋π6<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6<2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π<x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6<x <k π＋π3，k ∈Z .9、设函数f (x )＝sin(πx 4－π6)－2cos 2πx8＋1.(1)求f (x )的最小正周期．(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，求当x ∈[0，43]时，y ＝g (x )的最大值．解 (1)f (x )＝sin πx 4cos π6－cos πx 4sin π6－cos πx 4＝32sin πx 4－32cos πx 4＝3sin(πx 4－π3)， 故f (x )的最小正周期为T ＝2ππ4＝8.(2)方法一 在y ＝g (x )的图象上任取一点(x ，g (x ))， 它关于x ＝1的对称点(2－x ，g (x ))．由题设条件，知点(2－x ，g (x ))在y ＝f (x )的图象上，从而g (x )＝f (2－x )＝3sin[π4(2－x )－π3]＝3sin[π2－πx 4－π3]＝3cos(πx 4＋π3)．当0≤x ≤43时，π3≤πx 4＋π3≤2π3，因此y ＝g (x )在区间[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3cos π3＝32.方法二 区间[0，43]关于x ＝1的对称区间为[23，2]，且y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， 故y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为y ＝f (x )在[23，2]上的最大值．由(1)知f (x )＝3sin(πx 4－π3)，当23≤x ≤2时，－π6≤πx 4－π3≤π6. 因此y ＝g (x )在[0，43]上的最大值为g (x )max ＝3sin π6＝32.。
专题4.3三角函数的图象与性质(2021年高考数学一轮复习专题)
专题 三角函数的图象与性质一、题型全归纳题型一 三角函数的定义域【题型要点】三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域． (2)转化为求解简单的三角不等式来求复杂函数的定义域．【例1】(2020·昆山一中模拟)1．函数y ＝lg(3tan x －3)的定义域为 ．【答案】：Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++,2,6ππππ【解析】：要使函数y ＝lg(3tan x －3)有意义，则3tan x －3>0，即tan x >33.所以π6＋k π<x <π2＋k π，k ∈Z . 【例2】函数y ＝cos x －12的定义域为 ．【答案】 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ【解析】 要使函数有意义，则cos x －12≥0，即cos x ≥12，解得－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+-Z k k x k x ,2323ππππ. 题型二 三角函数的单调性命题角度一 确定三角函数的单调性(单调区间)【题型要点】求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用复合函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间．【易错提醒】要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定要先借助诱导公式将ω化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．【例1】(2020·广东省七校联考)函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是( ) A.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,342,322ππππ B.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-,344,324ππππ D.Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,344,324ππππ 【解析】：由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx 的单调递增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-,342,322ππππ，故选B. 【例2】．(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎪⎭⎫⎝⎛24ππ，单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos|x |D ．f (x )＝sin|x |【解析】A 中，函数f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递增，故A正确；B 中，函数f (x )＝|sin 2x |的周期为π2，当x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛24ππ，时，2x ∈⎪⎭⎫⎝⎛ππ，2，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.命题角度二 利用三角函数的单调性比较大小利用单调性比较大小的方法：首先利用诱导公式把已知角转化为同一区间内的角且函数名称相同，再利用其单调性比较大小．【例3】已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx ，设a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <c <b B ．c <a <b C ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 a ＝⎪⎭⎫⎝⎛7πf ＝2sin 10π21，b ＝⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＝2，c ＝⎪⎭⎫⎝⎛3πf ＝2sin 2π3＝2sin π3， 因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递增，且π3<10π21<π2，所以c <a <b .命题角度三 已知三角函数的单调区间求参数【题型要点】已知函数单调性求参数——明确一个不同，掌握两种方法(1)明确一个不同：“函数f (x )在区间M 上单调”与“函数f (x )的单调区间为N ”两者的含义不同，显然M 是N 的子集．(2)抓住两种方法．已知函数在区间M 上单调求解参数问题，主要有两种方法：一是利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；二是利用导数，转化为导函数在区间M 上的保号性，由此列不等式求解．【例4】(2020·湖南师大附中3月月考)若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，则正数ω的最大值为( ) A.18 B.16 C.14D ．13【解析】 法一：因为f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx ＝3sin 2ωx ＋1在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2323-ππ，上单调递增，所以⎩⎨⎧－3ωπ≥－π2，3ωπ≤π2.解得ω≤16，所以正数ω的最大值是16.故选B.法二：易知f (x )＝3sin 2ωx ＋1，可得f (x )的最小正周期T ＝πω，所以⎩⎨⎧－π4ω≤－3π2，π4ω≥3π2，解得ω≤16.所以正数ω的最大值是16.故选B.命题角度四 利用三角函数的单调性求值域(最值)【题型要点】1.三角函数值域的求法 (1)利用y ＝sin x 和y ＝cos x 的值域直接求．(2)把所给的三角函数式变换成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋b )的形式求值域． (3)把sin x 或cos x 看作一个整体，将原函数转换成二次函数求值域． (4)利用sin x ±cos x 和sin x cos x 的关系将原函数转换成二次函数求值域． 2.换元法求三角函数的值域(最值)的策略(1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)． (2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．【例5】 (2019·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx －3cos x 的最小值为 ． 【解析】 f (x )＝sin(2x ＋3π2)－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝1－2cos 2x －3cos x ＝－2243cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ＋178，因为cosx ∈[－1，1]，所以当cos x ＝1时，f (x )取得最小值，f (x )min ＝－4.【例6】(2020·河北省中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+10πx －2在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，则实数a 的最大值是 ．【解析】：法一：令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡5752ππ，上单调递减，所以a 的最大值为7π5.法二：因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，而f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡a ，2π上单调，所以a ＋π10≤3π2，即a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5.题型三 三角函数的周期性与奇偶性【题型要点】(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的最小正周期为πω求解．【例1】(2020·湖北宜昌联考)已知函数y ＝2sin(ωx ＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，则( ) A ．ω＝2，θ＝π2 B ．ω＝12，θ＝π2 C ．ω＝12，θ＝π4D ．ω＝2，θ＝π4【答案】因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y ＝2的某两个交点的横坐标分别为x 1，x 2，|x 2－x 1|的最小值为π，所以函数y ＝2sin(ωx ＋θ)的最小正周期是π. 由2πω＝π得ω＝2.因为函数y ＝2sin(ωx ＋θ)为偶函数，所以θ＝π2＋k π，k ∈Z . 又0＜θ＜π，所以θ＝π2，故选A.【例2】(2020·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+4πϕωx ⎪⎭⎫⎝⎛<>2,0πϕω的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )A ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递增 B ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递减 C ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛20π，上单调递减 D ．f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛22-ππ，上单调递增 【解析】：.f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-+4πϕωx ，因为f (x )的最小正周期为π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+42πϕx .f (－x )＝f (x )，即f (x )为偶函数，所以φ－π4＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋3π4(k ∈Z )．因为|φ|＜π2，所以φ＝－π4，所以f (x )＝－cos 2x ，所以f (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上单调递增，在⎪⎭⎫⎝⎛02-，π上单调递减，故选A. 题型四 三角函数的对称性【题型要点】对称中心的求解思路和方法(1)思路：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y ＝sin x 图象的对称轴和对称中心求解． (2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝（2k ＋1）π－2φ2ω，k ∈Z ，即对称轴方程；令ωx ＋φ＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π－φω，k ∈Z ，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y ＝A tan(ωx ＋φ)的图象无对称轴)．【例1】(2020·北京西城区模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<>>2,0,0πϕωA 的图象关于直线x ＝π3对称，它的最小正周期为π，则函数f (x )图象的一个对称中心是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛13，π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛012，π C.⎪⎭⎫ ⎝⎛0125，π D ．⎪⎭⎫⎝⎛012-，π 【解析】 由题意可得2πω＝π，所以ω＝2，可得f (x )＝A sin(2x ＋φ)，再由函数图象关于直线x ＝π3对称，故⎪⎭⎫ ⎝⎛3πf ＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛+ϕπ32＝±A ，故可取φ＝－π6. 故函数f (x )＝A sin ⎪⎭⎫⎝⎛-62πx ，令2x －π6＝k π，k ∈Z ， 可得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，故函数的对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0122，ππk ，k ∈Z . 所以函数f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛012，π. 【例2】已知函数f (x )＝|sin x ||cos x |，则下列说法错误的是( )A ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称B ．f (x )的周期为π2C ．(π，0)是f (x )的一个对称中心D ．f (x )在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，上单调递减【解析】：f (x )＝|sin x ||cos x |＝|sin x cos x |＝12·|sin 2x |，则⎪⎭⎫ ⎝⎛2πf ＝12|sin π|＝0，则f (x )的图象不关于直线x ＝π2对称，故A 错误；函数周期T ＝12×2π2＝π2，故B 正确；f (π)＝12|sin 2π|＝0，则(π，0)是f (x )的一个对称中心，故C 正确；当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡24ππ，时，2x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，2，此时sin 2x ＞0，且sin 2x 为减函数，故D 正确．题型五 三角函数的图象与性质的综合问题【题型要点】解决三角函数图象与性质综合问题的方法先将y ＝f (x )化为y ＝a sin x ＋b cos x 的形式，然后用辅助角公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再借助y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质(如周期性、对称性、单调性等)解决相关问题．【例1】 已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx . (1)求函数的最大值及相应的x 值的集合；(2)求函数f (x )的图象的对称轴方程与对称中心．【解析】：(1)当sin ⎪⎭⎫⎝⎛-42πx ＝1时，2x －π4＝2k π＋π2，k ∈Z ， 即x ＝k π＋3π8，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2；故f (x )的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x x ,83ππ(2)由2x －π4＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .即函数f (x )的图象的对称轴方程为x ＝3π8＋12k π，k ∈Z .由2x －π4＝k π，k ∈Z 得x ＝π8＋12k π，k ∈Z ，即对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛+0,28ππk k ∈Z . 【例2】已知函数f (x )＝sin(2π－x )·sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -23π－3cos 2x ＋ 3.(1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值． 【解析】 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2x ＋3＝sin x cos x －3cos 2x ＋3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋3＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )．(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知，－32≤sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ≤1，即0≤sin(2x －π3)＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.二、高效训练突破 一、选择题1．当x ∈[0，2π]，则y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( )A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡20π， B.⎥⎦⎤⎝⎛ππ，2 C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ， D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛ππ223， 【解析】：法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，x ≠k π＋π2，k ∈Z ，所以函数y 的定义域为⎪⎭⎫⎢⎣⎡23ππ，.故选C.法二：当x ＝π时，函数有意义，排除A ，D ；当x ＝5π4时，函数有意义，排除B.故选C.2．f (x )＝tan x ＋sin x ＋1，若f (b )＝2，则f (－b )＝( ) A ．0B ．3C ．－1D ．－2【解析】：因为f (b )＝tan b ＋sin b ＋1＝2，即tan b ＋sin b ＝1. 所以f (－b )＝tan(－b )＋sin(－b )＋1＝－(tan b ＋sin b )＋1＝0.3．已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx ，则( )A ．f (x )的最小正周期为πB ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )的最大值为12D ．f (x )的最小值为－12【解析】：.f (x )＝1＋cos 2x 2＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π32＝12＋12cos 2x ＋12－12⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π3－sin 2x sin π3＝14cos 2x ＋34sin 2x ＋1＝12sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋1，则f (x )的最小正周期为π，最小值为－12＋1＝12，最大值为12＋1＝32. 4．(2020·福州市第一学期抽测)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin 2x －1在[0，m ]上单调递增，则m 的最大值是( ) A.π4 B.π2 C.3π8D ．π【解析】：由题意，得f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛4-2πx ，由－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k ∈Z )， 解得－π8＋k π≤x ≤3π8＋k π(k ∈Z )，当k ＝0时，－π8≤x ≤3π8，即函数f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡838-ππ，上单调递增．因为函数f (x )在[0，m ]上单调递增，所以0＜m ≤3π8，即m 的最大值为3π8，故选C.5.若⎪⎭⎫⎝⎛08，π是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8【解析】：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx ，由题意，知⎪⎭⎫ ⎝⎛8πf ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+48πωπ＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6. 6．关于函数y ＝tan(2x －π3)，下列说法正确的是( )A ．是奇函数B ．在区间(0，π3)上单调递减C ．(π6，0)为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π【解析】：函数y ＝tan(2x －π3)是非奇非偶函数，A 错；在区间(0，π3)上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z 得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于(π6，0)中心对称，故选C.7.(2020·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，则ω的最大值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4【解析】：法一：因为x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，，所以ωx ＋π4∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+484πωππ，，因为f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πωx 在⎪⎭⎫ ⎝⎛80π，上单调递增，所以ωπ8＋π4≤π2，所以ω≤2，即ω的最大值为2，故选C.法二：将选项逐个代入函数f (x )进行验证，选项D 不满足条件，选项A 、B 、C 满足条件f (x )在⎪⎭⎫⎝⎛80π，上单调递增，所以ω的最大值为2，故选C.8．已知函数f (x )＝(x －a )k ，角A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，则下列判断正确的是( ) A ．当k ＝1，a ＝2时，f (sin A )<f (cos B ) B ．当k ＝1，a ＝2时，f (cos A )＞f (sin B ) C ．当k ＝2，a ＝1时，f (sin A )＞f (cos B ) D ．当k ＝2，a ＝1时，f (cos A )＞f (sin B )【解析】：A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个内角，因为A ＋B ＞π2，所以π2＞A ＞π2－B ＞0，所以sin A ＞sin⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝cos B ，cos A ＜cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-B 2π＝sin B ，且sin A ，sin B ，cos A ，cos B ∈(0，1)．当k ＝1，a ＝2时，函数f (x )＝x －2单调递增，所以f (sin A )＞f (cos B )，f (cos A )＜f (sin B )，故A ，B 错误； 当k ＝2，a ＝1时，函数f (x )＝(x －1)2在(0，1)上单调递减，所以f (sin A )＜f (cos B )，f (cos A )＞f (sin B )，故C 错误，D 正确．9.已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，则正数ω的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】：函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3πωx . 由f (α)＝2，f (β)＝2，且|α－β|的最小值是π2，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π2，所以ω＝2ππ2＝4.10．(2020·江西八所重点中学联考)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<<2,10πϕω的图象经过点(0，1)，且关于直线x ＝2π3对称，则下列结论正确的是( )A ．f (x )在⎥⎦⎤⎢⎣⎡3212ππ，上是减函数 B ．若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则一定有f ′(x 0)≠0 C ．f (x )≥1的解集是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+32,2πππk k ，k ∈Z D ．f (x )图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛03-，π 【解析】：由f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象经过点(0，1)，得sin φ＝12，又|φ|＜π2，所以φ＝π6，则f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx .因为f (x )的图象关于直线x ＝2π3对称，所以存在m ∈Z 使得2π3ω＋π6＝m π＋π2，得ω＝3m 2＋12(m ∈Z )，又0＜ω＜1，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx .令2n π＋π2≤12x ＋π6≤2n π＋3π2，n ∈Z ，得4n π＋2π3≤x ≤4n π＋8π3，n ∈Z ，故A 错误；若x ＝x 0是f (x )图象的对称轴，则f (x )在x ＝x 0处取得极值，所以一定有f ′(x 0)＝0，故B 错误；由f (x )≥1得4k π≤x ≤4k π＋4π3，k ∈Z ，故C 错误；因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πf ＝0，所以⎪⎭⎫⎝⎛03-，π是其图象的一个对称中心，故D 正确．选D.二、填空题1．比较大小：sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 【解析】：因为y ＝sin x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡02-，π上为增函数且－π18＞－π10>－π2，故sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛18-π＞sin ⎪⎭⎫⎝⎛10-π. 2．已知函数f (x )＝4sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx ，x ∈[－π，0]，则f (x )的单调递增区间是 ． 【解析】：由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π(k ∈Z )，又因为x ∈[－π，0]，所以f (x )的单调递增区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡127--ππ，和⎥⎦⎤⎢⎣⎡012-，π 3．设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛6-πωx (ω>0)．若f (x )≤⎪⎭⎫ ⎝⎛4πf 对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为 ． 【解析】：由于对任意的实数都有f (x )≤⎪⎭⎫⎝⎛4πf 成立，故当x ＝π4时，函数f (x )有最大值，故⎪⎭⎫⎝⎛4πf ＝1，πω4－π6＝2k π(k ∈Z )，所以ω＝8k ＋23(k ∈Z )，又ω>0，所以ωmin ＝23. 4．若函数y ＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πωx (ω∈N *)图象的一个对称中心是⎪⎭⎫⎝⎛06，π，则ω的最小值为 ． 【解析】：由题意知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )∈ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N *，所以ωmin ＝2.5．(2020·无锡期末)在函数∈y ＝cos|2x |；∈y ＝|cos 2x |；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ；∈y ＝tan 2x 中，最小正周期为π的所有函数的序号为 ．【解析】：∈y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；∈y ＝cos 2x ，最小正周期为π，由图象知y ＝|cos 2x |的最小正周期为π2；∈y ＝cos⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx 的最小正周期T ＝2π2＝π；∈y ＝tan 2x 的最小正周期T ＝π2.因此∈∈的最小正周期为π.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为 ．【解析】：由函数f (x )＝2sin(ωx －π6)＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，所以ω＝53，从而得函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5.三 解答题1.已知函数f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡44-ππ，时，f (x )≥－12. 【解析】：(1)f (x )＝3cos⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx －2sin x cos x ＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，所以T ＝2π2＝π. (2)证明：令t ＝2x ＋π3，因为－π4≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π3≤5π6，因为y ＝sin t 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡26-ππ，上单调递增，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡652ππ，上单调递减，且sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＜sin 5π6， 所以f (x )≥sin ⎪⎭⎫⎝⎛6-π＝－12，得证． 2．已知f (x )＝2sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)在(2)的条件下，求满足f (x )＝1且x ∈[－π，π]的x 的取值集合．【解析】：(1)f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋a ＋1，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ， 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z . (2)当x ＝π6时，f (x )取得最大值4，即⎪⎭⎫⎝⎛6πf ＝2sin π2＋a ＋1＝a ＋3＝4，所以a ＝1. (3)由f (x )＝2sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＋2＝1，可得sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+62πx ＝－12， 则2x ＋π6＝7π6＋2k π，k ∈Z 或2x ＋π6＝116π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝π2＋k π，k ∈Z 或x ＝5π6＋k π，k ∈Z ，又x ∈[－π，π]，解得x ＝－π2，－π6，π2，5π6，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π2，－π6，π2，5π6.3.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎪⎭⎫⎝⎛<<320πϕ的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛236，π，求f (x )的单调递增区间．【解析】：由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0， 已知上式对∈x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ＝32，所以sin⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯ϕπ62＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πx ，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )， 故f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )．4.已知函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛x -2πsin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，求cos(x 1－x 2)的值．【解】：(1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1)＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-2πx . 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时，函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，所以当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2.所以x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，所以cos(x 1－x 2)＝cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛22-65x π＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ，又f (x 2)＝sin⎪⎭⎫ ⎝⎛3-22πx ＝23，故cos(x 1－x 2)＝23.。
求三角函数值域及最值的常用方法+练习题
求三角函数值域及最值的常用方法（一）一次函数型或利用：=+=x b x a y cos sin )sin(22ϕ+⋅+x b a化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512y x π=--+，x x y cos sin =（3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2π上的最小值为 1 ．（4）函数tan()2y x π=-(44x ππ-≤≤且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-⋃+∞（二）二次函数型利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。
（2）函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈-=的最大值等于43．（3）.当20π<<x 时，函数x xx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 4 ．（4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ．（5）.若2αβπ+=，则cos 6sin y βα=-的最大值与最小值之和为____2____．（三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解型如dx c bx a x f ++=cos sin )(型。
此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。
例1：求函数sin cos 2xy x =-的值域。
解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。
作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2xy x =-得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为33-、33。
结合图形可知，此函数的值域是33[,]33-。
高一三角函数定义域、值域习题及答案
高一三角函数定义域、值域习题及答案
三角函数是数学中重要的概念之一，它在解决各种实际问题中发挥着重要的作用。
本文将介绍高一三角函数的定义域、值域，并提供一些题及答案供参考。
一、正弦函数的定义域和值域
正弦函数是三角函数中常见的一种，表示为sin(x)。
它的定义域是所有实数集合R，即无限制。
而它的值域是闭区间[-1, 1]，即sin(x)的取值范围在-1到1之间。
例题1：求函数y = sin(x)的定义域和值域。
答案：
定义域：D = R
值域：V = [-1, 1]
二、余弦函数的定义域和值域
余弦函数是另一种常见的三角函数，表示为cos(x)。
它的定义域也是所有实数集合R，无限制。
值域同样是闭区间[-1, 1]，即cos(x)的取值范围在-1到1之间。
例题2：求函数y = cos(x)的定义域和值域。
答案：
定义域：D = R
值域：V = [-1, 1]
三、正切函数的定义域和值域
正切函数是三角函数中另一个重要的函数，表示为tan(x)。
它的定义域是除去所有使得tan(x)无定义的点的实数集合。
tan(x)在x = (2n+1)π/2 (n为整数)时无定义，因此其定义域为除去这些点的实数集合。
正切函数的值域是全体实数R。
例题3：求函数y = tan(x)的定义域和值域。
答案：
定义域：D = R - {(2n+1)π/2} (n为整数)
值域：V = R
以上是高一三角函数定义域、值域的基本介绍以及一些习题的答案。
希望对您的学习有所帮助！。
求三角函数定义域和值域题型
二.求 三角函值域的几种典型形式
一）一次型 y=asinx+b
直接代入法
例1：求y 2sin x 1 值域。
分析：利用 sinx 1 cos x 1有界性
函数y 2sin x 1的值域为1，3
练习：口答下列函数的值域
(1)y=-2sinx+1
[－1，3]
(2) y=3cosx+2
[－1，5]
cos
x
t2
1 2
例5：y sin x cos x sin x cos x
y
解： 设t=sinx+cosx,则t 2, 2
原式化为： y=t+ t2 1 2
= 1 t2 t 1 = 1（t 1）2 1
2, 2
ymin =-1 ,
ymax
=
1 2
+
2
练习：y sin x cos x 1 sin x cos x
(2)cosx ≤1/2
解：作出余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象：
y
1
1/2
o
/2
3/2
2 x
-1
由图形可以得到，满足条件的x的集合为：
[π/3+2kπ,5 π/3+2kπ] k Z
题型二. 求三角函定义域:
【例 2】 求下列函数的定义域： (1)y＝ 36－x2＋lg cos x； (2)y＝logsin x(cos x＋12)．
例4. y sin x 3 cos x的值域.
解：原式= 12 （ 3）2 sin( x ) 2 sin( x ）
3
3
原式的值域为2，2
练习：y 2sin x cos x的值域. 值域为 5, 5
高一数学三角函数的性质及其应用的题型(上)
高一数学三角函数的性质及其应用的题型（上）
一、三角函数性质
二、三角函数题型
三角函数的图像和性质是高考的热点，也是大家在必修四学习的重点，这一模块题型复杂多样，思路扑朔迷离，技巧应用多变，下面对三角函数性质及其应用所涉及的题型稍作梳理，供大家学习参考.
题型一、三角函数求定义域问题
【解题指导】在求解涉及三角函数的定义域问题，特别是求综合性较强的三角函数的定义域，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，利用三角函数的定义及三角函数线表示三角不等式的解集，然后把多个不等式取交集的问题转化成表示不等式解集的扇形区域的交集来完成．如果和数集取交集，则对k赋值，利用数轴画线求交集的方法进行. 求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
题型二、三角函数的值域或最值
题型三、三角函数的周期性
题型四、函数的单调区间。
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1/2
o π/2 π 3π/2 2π
x
-1 由图形可以得到，满足条件的x的集合为： 由图形可以得到，满足条件的x的集合为：
[π/6+2k π,5 π/6+2k π] k ∈Z
解：原式= 1 + （ 3） sin( x +
2
π
3
）
练习：y = 2sin x − cos x的值域.
2 ∴ 原式的值域为[ −2，]
值域为 − 5, 5
例5. y = cos 2 x + sin x cos x的值域. 2.二合一 1.降次 二 降 1 1 + cos2x sin 2 x = 1 − cos 2 x 2 sin xcos x = sin 2 x cos x = 2 2 2 π 2 例5. y = 2cos x sin( x + ) − 3 sin x + sin x cos x的值域. 3 1.统一角 2.降次 统 3.二合一 降 二
解 :令 t = sin x ∈ [ − 1,1]
y
1 3 ∴当t = 时，y min = 2 4
2
1 2 3 ∴ y = (t − ) + 2 4
=-1时 当t=-1时，ymax =3
-1 0
1 2
1
练习： y = − cos x − sin x + 2 的值域。
点拨:统一函数名 点拨 统一函数名
1.在同一坐标系内， 1.在同一坐标系内，用五点法分别画出函数 在同一坐标系内 y= sinx和 y= cosx， x∈[0, 2π]的简图： sinx和 cosx， 2π 的简图：
y 1
π
2
-1
一.复习(3分钟完成) 复习(3分钟完成) (3分钟完成
−
o
π
2
y=cosx，x∈[0, 2π] 2π y=cosx，
2
2.根据图象写出不等式的解集 根据图象写出不等式的解集
由图知不等式组的解集为 3π π π 3π [－6，－ )∪(－ ， )∪( ，6]． 2 2 2 2 故原函数的定义域为 3π π π 3π [－6，－ )∪(－ ， )∪( ，6]． 2 2 2 2
1 (2)要使函数有意义，必须使sin x＞0sin x≠1cos x＞－ . 2 π 2π 2π 得2kπ＜x＜2kπ＋π，x≠2kπ＋ ，2kπ－ ＜x＜2kπ＋ ， (k∈Z)． 2 3 3 ∴原函数的定义域为 π π 2π (2kπ，2kπ＋ )∪(2kπ＋ ，2kπ＋ )(k∈Z)． 2 2 3
cos x − 2 练习： y = cos x − 1
2y | |≤ 1 1− y
四）二合一
y = a sin x + b cos x
π
3
利 用 a sin x + b cos x =
2
a 2 + b 2 sin( x + ϕ )
) = 2 sin ( x +
例4. y = sin x + 3 cos x的值域.
y
t2 −1 ∴ 原式化为： y=t+ 2
1 1 2 1 = （t + 1 2 − 1 ） = t +t − 2 2 2
Q t ∈ 2, − 2
−1
− 2
0
2
x
∴
1 ymin =-1 , ymax= + 2 2
sin x cos x 练习：y = 1 + sin x + cos x
例2：求 y = sin x − sin x + 1的值域。 二次函数法
2
二)二次型 y = a sin x + b sin x + c
2
点拨:1.换元 注明新元取值 点拨 换元(注明新元取值 换元 注明新元取值) 2.运用二次函数图象性质 一看对称轴 二看区间端点 运用二次函数图象性质(一看对称轴,二看区间端点) 运用二次函数图象性质 一看对称轴 二看区间端点
π
3π 2
2π
y=sinx， 2π y=sinx，x∈[0, 2π]
x
三、解三角不等式（数形结合） 三角不等式（数形结合） 不等式
1 1.sin x ≥ − 2
-
π
6 − 1 2
7π 6
π 3 3.cos(2 x + ) ≤ 3 2
3 2
将2 x +
π
3
π
看作一个整体
6
11π 6
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题型一：利用正弦函数和余弦函数的图象， 题型一：利用正弦函数和余弦函数的图象，解三角不等式 (1)sinx≥1/2 (2)cosx ≤1/2
∴ 3 函数y = 2sin x + 1的值域为[ −1，]
cos 分析：利用 sinx ≤ 1 x ≤ 1有界性
练习： 练习：口答下列函数的值域 [－1，3] (1)y=(1)y=-2sinx+1 [－1，5] (2) y=3cosx+2 y=asinx+b的函数的最大值是 总结：形如y=asinx+b 总结：形如y=asinx+b的函数的最大值是 a + b 最小值是 − a + b
(2)cosx ≤1/2
解：作出余弦函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象： 作出余弦函数y=cosx， y=cosx [0， ]的图象： y
1
1/2
o -1
π/2
π
3π/2
2π
x
由图形可以得到，满足条件的x的集合为： 由图形可以得到，满足条件的x/3+2kπ] k ∈Z
t
三） 分式型 y = a sin x + b c sin x + d
点拨: 点拨 1.反表示 反表示 2y 解: sin x = 1− y
sin x 例3： 求y = 的值域。 sin x + 2
反表示法
2.利用 sinx ≤ 1, cos x ≤ 1有界性 2.利 Q sinx ≤ 1
1 两边平方 ∴ 值 域 为 − 1, 3
函数的定义域主要考虑以下几点：偶次根号下不小于 0；对数的真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1；分母不能为 0 等．一般我们解满足这些条件的不等式求出 x 的 取值范围，再取交集即可．
三角函值域 值域的几种典型形式 二.求 三角函值域的几种典型形式 一）一次型 y=asinx+b 直接代入法
例1：求y = 2sin x + 1 值域。
题型二. 求三角函定义域 定义域: 题型二. 求三角函定义域:
【例 2】 求下列函数的定义域： (1)y＝ 36－x2＋lg cos x； 1 (2)y＝logsin x(cos x＋ )． 2
解：(1)要使函数有意义，必须使{36－x ≥0. cos x＞0 ， 点拨 点拨:1.列出三角不等式 列出三角不等式 π π 得－6≤x≤62kπ－ ＜x＜2kπ＋ ，k∈Z. 2 2
其他形式： 五） 其他形式：
一般一个式子中同时出现了sin x + cos x和sin x cos x. 想到了
例5：y = sin x cos x + sin x + cos x
解： 设t=sinx+cosx,则t∈ 2, − 2
t 2 −1 令t = sin x + cos x(t ∈ − 2, 2 ) 则sin x cos x = 2