2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解全国大纲文

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2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(大纲版,无答案)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021x x >- （B ）()1021x x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3（B ）()-1011-39 （C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y += （9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23（B（C（D ）13 （12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==两点,若则（A ）12（B）2 （C（D ）2 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B （II）若sin sin C.A C =求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判. （I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++ （I）求()f ;a x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。

2013年全国统一高考数学试卷文科大纲版含解析版

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣14．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．2246．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．210．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9B．6C．﹣9D．﹣611．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）= ．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c ）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F 2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．∅【考点】1F：补集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁U A，即可选出正确选项【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}所以∁U A={3，4，5}故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4B．﹣3C．﹣2D．﹣1【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．　4．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；59：不等式的解法及应用．【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28B．56C．112D．224【考点】DA：二项式定理．【专题】5I：概率与统计．【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．【解答】解：（x+2）8展开式的通项为T r+1=C x 8﹣r2 r令8﹣r=6得r=2，∴展开式中x6的系数是2 2C82=112．故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【考点】4R：反函数．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．7．（5分）已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】89：等比数列的前n项和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|=3算出A、B的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a2=4，b2=3，从而得到椭圆C的方程．【解答】解：设椭圆的方程为，可得c==1，所以a2﹣b2=1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴，且|AB|=3∴可得A（1，），B（1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a2=4，b2=3∴椭圆C的方程为故选：C．【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5B．4C．3D．2【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【专题】11：计算题；57：三角函数的图像与性质．【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y0）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选：B．【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9B．6C．﹣9D．﹣6【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】53：导数的综合应用．【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B．C．D．【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】15：综合题；16：压轴题；5G：空间角；5H：空间向量及应用．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B．C．D．2【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算；K8：抛物线的性质．【专题】11：计算题；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=　﹣1　．【考点】3T：函数的值．【专题】11：计算题．【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可．【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有　60　种．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•=60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为　0　．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；16：压轴题；59：不等式的解法及应用．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（1，1）=﹣1+1=0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于　16π　．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】16：压轴题；5F：空间位置关系与距离．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{a n}中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】84：等差数列的通项公式；8E：数列的求和．【专题】11：计算题；54：等差数列与等比数列．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求a n（II）由==，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴s n===【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c ）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HR：余弦定理．【专题】58：解三角形．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB 与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．【考点】LW：直线与平面垂直；MK：点、线、面间的距离计算．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD 的距离，即可求得点A到平面PCD的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，=∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF=∴点A到平面PCD的距离为1．【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．【考点】C5：互斥事件的概率加法公式；C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”，可得A=A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．可得B=，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”．则A=A1•A2．P（A）=P（A1•A2）=．（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B=，则P（B）=P（）=+=+=．【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a 的范围．【解答】解：（I）当a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F 2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【考点】K4：椭圆的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；15：综合题；16：压轴题；35：转化思想；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．　。

2013年高考真题——数学文(全国卷大纲版)解析版

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅（2）已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213（3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1（4）不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1U （D ）()()-2,00,2U（5）()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224（6）函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210xx ->（7）已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3（8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=（9）若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（10）已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6（11）已知正四棱锥1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于（A ）23 （B ）33 （C ）23 （D ）13（12）已知抛物线()2:82,2,C C y x M k C =-与点过的焦点，且斜率为的直线与交于,0,A B MA MB k ==u u u r u u u rg 两点,若则（A ）12（B ）22 （C 2 （D ）2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， .（14）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）（15）若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为.（16）已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K =o ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和18．（本小题满分12分）设()(),,,,,.ABC A B C a b c a b c a b c ac ∆++-+=的内角的对边分别为（I ）求;B（II ）若31sin sin , C.4A C -=求19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆o中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I）求第4局甲当裁判的概率；（II）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()2f ;a x =时，讨论的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2 6.y C =与的两个交点间的距离为（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且 11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西理

2013年陕西理一、选择题（共10小题；共50分）1. 设全集为R，函数f x=1−x2的定义域为M，则∁R M为 A. −1,1B. −1,1C. −∞,−1∪1,+∞D. −∞,−1∪1,+∞2. 根据下列算法语句，当输入x为60时，输出y的值为输入xIf x≤50 Then y=0.5xElse y=25+0.6x−50End If输出yA. 25B. 30C. 31D. 613. 设a,b为向量，则" a⋅b=a b "是" a∥b "的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工，现采用系统抽样方法，抽取42人做问卷调查，将840人按1,2,⋯,840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间481,720的人数为 A. 11B. 12C. 13D. 145. 如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是 A. 1−π4B. π2−1 C. 2−π2D. π46. 设z1,z2是复数，则下列命题中的假命题是 A. 若z1−z2=0，则z1=z2B. 若z1=z2，则z1=z2C. 若z1=z2，则z1⋅z1=z2⋅z2D. 若z1=z2，则z12=z227. 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b cos C+c cos B=a sin A，则△ABC的形状为A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不确定8. 设函数f x= x−1x6,x<0,−x,x≥0,则当x>0时，f f x表达式的展开式中常数项为 A. −20B. 20C. −15D. 159. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位m）的取值范围是 A. 15,20B. 12,25C. 10,30D. 20,3010. 设x表示不大于x的最大整数，则对任意实数x,y，有 A. −x=−xB. 2x=2xC. x+y≤x+yD. x−y≤x−y二、填空题（共7小题；共35分）11. 双曲线x216−y2m=1的离心率为54，则m等于．12. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为．13. 若点x,y位于曲线y= x−1与y=2所围成的封闭区域，则2x−y的最小值为．14. 观察下列等式：12=112−22=−312−22+32=612−22+32−42=−10⋯⋯照此规律，第n个等式可为．15. 已知a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，则am+bn bm+an的最小值为．16. 如图，弦AB与CD相交于⊙O内一点E，过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P．已知PD=2DA=2，则PE=．17. 如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x2+y2−x=0的参数方程为．三、解答题（共6小题；共78分），b=3sin x,cos2x ,x∈R，设函数f x=a⋅b．18. 已知向量a=cos x,−12（1）求f x的最小正周期．上的最大值和最小值．（2）求f x在0,π219. 设a n是公比为q的等比数列．（1）推导a n的前n项和公式；（2）设q≠1，证明数列a n+1不是等比数列．20. 如图，四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB=AA1=2．（1）证明：A1C⊥平面BB1D1D；（2）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．21. 在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1至5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列和数学期望．22. 已知动圆过定点A4,0，且在y轴上截得的弦MN的长为8．（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；（2）已知点B−1,0，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P,Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．23. 已知函数f x=e x,x∈R．（1）若直线y=kx+1与f x的反函数的图象相切，求实数k的值；（2）设x>0，讨论曲线y=f x与曲线y=mx2m>0公共点的个数；（3）设a<b，比较f a+f b2与f b−f ab−a的大小，并说明理由．答案第一部分1. D2. C3. C4. B5. A【解析】该地点有信号的概率P=扇形ADE+扇形CBF的面积矩形ABCD=12π12=π.所以该地点无信号的概率为1−π4．6. D7. B 【解析】本题要把边都转化成角，或者把角都转化成边之后，再判断．利用正弦定理可得到，sin B cos C+sin C cos B=sin A sin A，所以sin B+C=sinπ−A=sin A=sin2A，于是sin A=1，∠A=π2．8. A 【解析】f f x= −xx 6，展开式的通项为T r+1=C6r −x 6−rxr=−16−r C6r x3−r．由展开式的常数项可得r=3，代入可得−20．9. C 10. D【解析】由x的定义可得：x−1<x≤x，对于A，−x≤−x<1−x，−x−1<−x≤−x，所以A不正确．事实上，如果取x取1.5，则−1.5=−2，而−1.5=−1，显然不相等；对于B，2x−1<2x≤2x，2x−2<2x≤2x，所以B不正确．事实上，任然取x=1.5，则2×1.5=3，2× 1.5=2，不相等；设x=x+x，x为x的小数部分，则x=x+x，y=y+y，于是x+y=x+y+x+ y，x−y=x−y+x−y，对于C，x+y=x+y+x+y≥x+y，所以C不成立．如果取x=y=1.5，则1.5+1.5=3，1.5+1.5=2，也可以说明此不等式不成立；对于D，x−y=x−y+x−y≤x−y，所以D成立．第二部分11. 912. π313. −4【解析】如图，可行域为封闭三角形．令 x−1=2，得x1=−1，x2=3．∴三角形三个顶点分别为1,0，−1,2，3,2．目标函数z=2x−y所表示的直线经过点−1,2时，z取最小值；∴z min=2×−1−2=−4，故2x−y在点−1,2处取得最小值−4．14. 12−22+32−42+⋯+−1n+1n2=−1n+1n n+1215. 2【解析】因为a，b，m，n均为正数，且a+b=1，mn=2，所以am+bn bm+an=abm2+a2mn+b2mn+abn2=ab m2+n2+2a2+b2≥2ab⋅mn+2a2+b2=4ab+2a2+b2=2a2+b2+2ab=2a+b2=2,当且仅当m=n=2时，取" = "．所以所求最小值为2．16. 6【解析】∵BC∥PE，∴∠C=∠PED，∵∠C=∠A，∴∠A=∠PED．在△PED和△PAE中，∠PED=∠A，∠P=∠P．∴△PED∽△PAE，则PEPA =PDPE．从而PE2=PA⋅PD=3×2=6，即PE=6．17. x=cos2θy=sinθcosθ（θ为参数）【解析】将x2+y2−x=0配方，得：x−12+y2=1.∴圆的直径为1，设圆上一点P x,y，则x= OP cosθ=1×cosθ×cosθ=cos2θ,y= OP sinθ=1×cosθ×sinθ=sinθcosθ,∴圆x2+y2−x=0的参数方程为：x=cos2θy=sinθcosθ（θ为参数）．第三部分18. （1）f x =a ⋅b= cos x ,−1⋅ 3sin x ,cos2x= 3sin x cos x −12cos2x= 3sin2x −1cos2x =sin 2x −π.f x 的最小正周期为T =2πω=2π2=π, 即函数f x 的最小正周期为π．（2）因为0≤x ≤π2，所以−π6≤2x −π6≤5π6. 由正弦函数的图象，当2x −π6=π2，即x =π3时，f x 取得最大值1；当2x −π6=−π6，即x =0时，f x 取得最小值−12．因此，f x 在 0,π2 上的最大值是1，最小值是−12． 19. （1）设 a n 的前n 项和为S n ，当q =1时，S n=a 1+a 1+⋯+a 1=na 1.当q ≠1时，S n=a 1+a 1q +a 1q 2+⋯+a 1q n−1, ⋯⋯①qS n=a 1q +a 1q 2+⋯+a 1q n , ⋯⋯②①−②得1−q S n =a 1−a 1q n ,所以S n =a 1 1−q n 1−q,综上可得S n = na 1,q =1,a 1 1−q n1−q,q ≠1.（2）假设 a n +1 是等比数列，则对任意的k ∈N +，a k +1+1 2= a k +1 a k +2+1 ,a k +12+2a k +1+1=a k a k +2+a k +a k +2+1,a 12q 2k +2a 1q k =a 1q k−1⋅a 1q k +1+a 1q k−1+a 1q k +1,由a 1≠0，可知2q k =q k−1+q k +1,再结合q≠0，可得到q2−2q+1=0.∴q=1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故a n+1不是等比数列．20. （1）方法一：由题设易知OA,OB,OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图：∵AB=AA1=2，∴OA=OB=OA1=1，∴A1,0,0，B0,1,0，C−1,0,0，D0,−1,0，A10,0,1．由A1B1=AB，易得B1−1,1,1．A1C=−1,0,−1,BD=0,−2,0,BB1=−1,0,1,因此A1C⋅BD=0,A1C⋅BB1=0,可得出A1C⊥BD，A1C⊥BB1，BB1∩BD=B，故A1C⊥平面BB1D1D．方法二：∵A1O⊥平面ABCD，∴A1O⊥BD．又∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∴BD⊥平面A1OC，∴BD⊥A1C．又∵OA1是AC的中垂线，∴A1A=A1C=2，且AC=2，∴AC2=AA12+A1C2，∴△AA1C是直角三角形，∴AA1⊥A1C．又BB1∥AA1，∴A1C⊥BB1．又BB1∩BD=B，∴A1C⊥平面BB1D1D．（2）设平面OCB1的法向量n=x,y,z，∵OC=−1,0,0，OB1=−1,1,1，∴n⋅OC=−x=0,n⋅OB1=−x+y+z=0,∴x=0,y=−z.取n=0,1,−1，由（1）知，A1C=−1,0,−1是平面BB1D1D的法向量．因此cos θ= cos n ,A 1C = 2× 2=12. 又0≤θ≤π2，∴θ=π3．21. （1）设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P A =C 21C 32=23,P B =C 42C 53=35.∵ 事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P AB =P A ⋅P B =P A ⋅ 1−P B =23×25=415.（或P AB =C 21⋅C 43C 32⋅C 53=415．）（2）设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P B =C 4253=3.∵X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为P X =0 =P ABC =13×25×25=475,P X =1 =P ABC +P ABC +P ABC=2×2×2+1×3×2+1×2×3=2075=415,P X =2 =P ABC +P ABC +P ABC=2×3×2+2×2×3+1×3×3=33=11,P X =3 =P ABC =23×35×35=1875=625.∴X 的分布列为X 0123P4754151125625∴ X 的数学期望EX =0×4+1×4+2×11+3×6=140=28.22. （1）如图，设动圆圆心O 1 x ,y ，由题意，O 1A= O 1M .当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，所以O1M =x+4.又O1A =x−42+y2，所以x22=x+4.化简得，y2=8x x≠0.当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标0,0也满足方程y2=8x，所以动圆圆心的轨迹C的方程为y2=8x.（2）如图，由题意，设直线l的方程为y=kx+b k≠0，P x1,y1,Q x2,y2，将y=kx+b代入y2=8x中，得k2x2+2bk−8x+b2=0.其中Δ=−32kb+64>0．由根与系数的关系得x1+x2=8−2bkk2, ⋯⋯①因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以y1 x1+1=−y2x2+1,即y1x2+1+y2x1+1=0,所以kx1+b x2+1+kx2+b x1+1=0,所以2kx1x2+b+k x1+x2+2b=0, ⋯⋯③将①②代入③并整理得2kb2+k+b8−2bk+2k2b=0,所以k=−b，此时Δ>0，所以直线l的方程为y=k x−1,即直线l过定点1,0．23. （1）f x的反函数为g x=ln x.设直线y=kx+1与g x=ln x的图象在P x0,y0处相切，则有y0=kx0+1=ln x0,k=gʹx0=1 0 .解得x0=e2,k=1 2 .（2）曲线y=e x与y=mx2的公共点个数等于曲线y=e xx与y=m的公共点个数．令φx=e xx2，则φʹx=e x x−2x3,所以φʹ2=0.当x∈0,2时，φʹx<0，φx在0,2上单调递减；当x∈2,+∞时，φʹx>0，φx在2,+∞上单调递增．∴φx在0,+∞上的最小值为φ2=e2 .当0<m<e 24时，曲线y=exx与y=m无公共点；当m=e 24时，曲线y=exx2与y=m恰有一个公共点；当m>e 24时，在0,2内存在x1=m，使得φx1>m,在2,+∞内存在x2=m e2，使得φx2>m,由φx的单调性知，曲线y=e xx与y=m在0,+∞上恰有两个公共点．综上所述，当x>0时，若0<m<e 24，曲线y=f x与y=mx2没有公共点；若m=e 24，曲线y=f x与y=mx2有一个公共点；若m>e 24，曲线y=f x与y=mx2有两个公共点．（3）方法一：可以证明f a+f b2>f b−f ab−a．事实上，f a+f b2>f b−f ab−a⇔e a+e b2>e b−e ab−a⇔b−a2>e b−e ae b+e a⇔b−a2>1−2e ae b+e a⇔b−a2>1−2e b−a+1b>a.∗令ψx=x2+2e+1−1x≥0，则ψʹx=12−2e xe x+12=e x+12−4e xx2=e x−12x2≥0（当且仅当x=0时等号成立），∴ψx在0,+∞上单调递增，∴x>0时，ψx>ψ0=0.令x=b−a，即得∗式．结论得证．方法二：f a+f b2−f b−f ab−a=e b+e a2−e b−e ab−a=b e b+b e a−a e b−a e a−2e b+2e a2b−a=e ab−a e b−a+b−a−2e b−a+2.设函数u x=x e x+x−2e x+2x≥0，则uʹx=e x+x e x+1−2e x.令 x=uʹx，则ʹx=e x+e x+x e x−2e x=x e x≥0（当且仅当x=0时等号成立），∴uʹx单调递增，∴当x>0时，uʹx>uʹ0=0，∴u x单调递增．当x>0时，u x>u0=0．令x=b−a，则得b−a e b−a+b−a−2e b−a+2>0,所以e b+e a−e b−e a>0,所以f a+f b2>f b−f ab−a.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解天津理

2013年天津理一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合，，则A. B. C. D.2. 设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为A. B. C. D.3. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值为A. B. C. D.4. 已知下列三个命题：①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；③直线与圆相切．其中真命题的序号是A. ①②③B. ①②C. ①③D. ②③5. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于，两点，为坐标原点．若双曲线的离心率为，的面积为，则A. B. C. D.6. 在中，，则A. B. C. D.7. 函数的零点个数为A. B. C. D.8. 已知函数．设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知，是虚数单位．若，则．10. 的二项展开式中的常数项为．11. 已知圆的极坐标方程为，圆心为，点的极坐标为，则．12. 在平行四边形中，，，为的中点．若，则的长为．13. 如图，为圆的内接三角形，为圆的弦，且．过点作圆的切线与的延长线交于点，与交于点．若，，，则线段的长为．14. 设，，则当时，取得最小值．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数．（1）求的最小正周期；（2）求在区间上的最大值和最小值．16. 一个盒子里装有张卡片，其中有红色卡片张，编号分别为；白色卡片张，编号分别为．从盒子中任取张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（1）求取出的张卡片中，含有编号为的卡片的概率．（2）在取出的张卡片中，红色卡片编号的最大值设为，求随机变量的分布列和数学期望．17. 如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，平面，，，，，为棱的中点．（1）证明：；（2）求二面角的平面角的正弦值；（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．18. 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）设，分别为椭圆的左右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值．19. 已知首项为的等比数列不是递减数列，其前项和为，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的最大项的值与最小项的值．20. 已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）证明：对任意的，存在唯一的，使．（3）设（2）中所确定的关于的函数为，证明：当时，有．答案第一部分1. D2. A 【解析】作出可行域如图所示，当目标函数直线经过点时，取得最小值，计算得，最小值为．3. B4. C5. C【解析】由题意得，，又因为，所以．6. C 【解析】由余弦定理得：，．又由正弦定理可得：，即．．7. B 8. A 【解析】，，，解得，可排除C；又，，，，，，，，排除B，D．第二部分9.10.11.12.【解析】．13.【解析】由切割线定理得，即，解得．又易知，由可得，于是，所以，又，于是四边形为平行四边形，所以，．又由可得，于是，所以，即．14.【解析】当，时，取得最小值．由，，解得．第三部分15. （1）所以的最小正周期．（2）因为在区间上是增函数，在区间上是减函数，又故函数在区间上的最大值为，最小值为．16. （1）设"取出的张卡片中，含有编号为的卡片"为事件，则所以，取出的张卡片中，含有编号为的卡片的概率为．（2）随机变量的所有可能取值为．所以随机变量的分布列是随机变量的数学期望17. （1）如图所示，以为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，依题意得，，，，，．易得，，于是，所以 .（2）易得．设平面的法向量为，则消去，得，不妨取，可得法向量．由（1）知，又，可得平面，故为平面的一个法向量．于是，从而，故二面角的平面角的正弦值为 .（3）易得，．设，，则有．可取为平面的一个法向量，设为直线与平面所成的角，则，（舍去），所以 .18. （1）设，由，知过点且与轴垂直的直线为，代人椭圆方程有解得于是，解得又，从而所以椭圆的方程为（2）设点，，由得直线的方程为由方程组消去，整理得由根与系数的关系可得因为，，所以由已知得，解得19. （1）设等比数列的公比为，因为，，成等差数列，所以即，于是又不是递减数列且，所以．故等比数列的通项公式为（2）由（1）得为奇数为偶数当为奇数时，随的增大而减小，所以故当为偶数时，随的增大而增大，所以故综上，对于，总有所以数列最大项的值为，最小项的值为．20. （1）函数的定义域为．令，得．当变化时，的变化情况如下表：极小值所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．（2）当时，．，令由（1）知，在区间内单调递增．故存在唯一的，使得成立．（3）因为，由（2）知，，且，从而其中．要使成立，只需．当时，若，则由的单调性，有矛盾，所以，即，从而成立．另一方面，令令，得，当时，，当时，．故对，因此成立．综上，当时，有。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解上海文

2013年上海文一、填空题（共14小题；共70分） 1. 不等式x 2x−1<0 的解为．2. 在等差数列 {a n } 中，若 a 1+a 2+a 3+a 4=30 ，则 a 2+a 3= ．3. 设 m ∈R ，m 2+m −2+(m 2−1)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m = ．4. 若 ∣∣∣x 211∣∣∣=0，∣∣x y 11∣∣=1，则 x +y = ．5. 已知 △ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a 、 b 、 c ．若 a 2+ab +b 2−c 2=0 ，则角 C 的大小是．6. 某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%．在一次考试中，男、女生平均分数分别为 75 、 80，则这次考试该年级学生平均分数为．7. 设常数 a ∈R ．若 (x 2+a x )5的二项展开式中 x 7 项的系数为 −10 ，则 a = ． 8. 方程93x −1+1=3x 的实数解为．9. 若 cosxcosy +sinxsiny =13，则 cos (2x −2y )= ．10. 已知圆柱 Ω 的母线长为 l ，底面半径为 r ，O 是上底面圆心，A 、 B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线 OA 与 BC 所成角的大小为 π6，则 lr = ．11. 盒子中装有编号为 1，2，3，4，5，6，7 的七个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（结果用最简分数表示）．12. 设 AB 是椭圆 Γ 的长轴，点 C 在 Γ 上，且 ∠CBA =π4，若 AB =4，BC =√2，则 Γ 的两个焦点之间的距离为． 13. 设常数 a >0，若 9x +a 2x≥a +1 对一切正实数 x 成立，则 a 的取值范围为．14. 已知正方形 ABCD 的边长为 1 ．记以 A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 a 1⃗⃗⃗⃗ 、 a 2⃗⃗⃗⃗ 、 a 3⃗⃗⃗⃗ ；以 C 为起点，其余顶点为终点的向量分别为 c 1⃗⃗⃗ 、 c 2⃗⃗⃗ 、 c 3⃗⃗⃗ ．若 i,j,k,l ∈{1,2,3} 且 i ≠j ，k ≠l ，则 (a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c k ⃗⃗⃗+c l ⃗⃗ ) 的最小值是．二、选择题（共4小题；共20分）15. 函数 f (x )=x 2−1(x ≥1) 的反函数为 f −1(x ) ，则 f −1(2) 的值是 ( ) A. √3B. −√3C. 1+√2D. 1−√216. 设常数 a ∈R ，集合 A ={x∣ (x −1)(x −a )≥0}，B ={x∣ x ≥a −1}，若 A ∪B =R ，则 a 的取值范围为 ( )A. (−∞,2)B. (−∞,2]C. (2,+∞)D. [2,+∞)17. 钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的( )A. 充分条件B. 必要条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件18. 记椭圆x24+ny24n+1=1围成的区域（含边界）为Ωn(n=1,2,⋯)，当点(x,y)分别在Ω1，Ω2，⋯上时，x+y的最大值分别是M1，M2，⋯，则limn→∞M n=( )A. 0B. 14C. 2D. 2√2三、解答题（共5小题；共65分）19. 如图，正三棱锥O−ABC底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积．20. 甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100(5x+1−3x)元．（1）求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+1x −3x2)元；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此最大利润．21. 已知函数f(x)=2sin(ωx)，其中常数ω>0．（1）令ω=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并说明理由；（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象．对任意的a∈R，求y=g(x)在区间[a,a+10π]上零点个数的所有可能值．22. 已知函数f(x)=2−∣x∣．无穷数列{a n}满足a n+1=f(a n),n∈N∗．（1）若a1=0，求a2，a3，a4；（2）若a1>0，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值；（3）是否存在a1，使得a1，a2，a3，⋯，a n，⋯成等差数列?若存在，求出所有这样的a1；若不存在，说明理由．23. 如图，已知双曲线C1:x22−y2=1，曲线C2:∣y∣=∣x∣+1．P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1、C2都有公共点，则称P为“ C1−C2型点”．（1）在正确证明C1的左焦点是“ C1−C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证∣k∣>1，进而证明原点不是“ C1−C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=1内的点都不是“ C1−C2型点”．2答案第一部分 1. (0,12)2. 15【解析】a 1+a 2+a 3+a 4=2(a 2+a 3)=30，a 2+a 3=15． 3. −2 4. 3【解析】已知 ∣∣∣x 211∣∣∣=x −2=0，所以 x =2，又因为 ∣∣x y 11∣∣=x −y =1，联立上式解之得 {x =2,y =1, 即 x +y =3． 5. 2π3【解析】a 2+ab +b 2−c 2=0⇒cosC =a 2+b 2−c 22ab=−12⇒C =23π6. 78【解析】平均成绩 =40100×75+60100×80=78（分）．7. −2【解析】T r+1=C 5r (x 2)5−r (a x )r，令 2(5−r )−r =7 ，解得 r =1 ，从而 C 51a =−10，解得 a =−2 ．8. x =log 34【解析】提示：原式可化为 93x −1=3x −1，即 (3x −1)2=9． 9. −79【解析】cosxcosy +sinxsiny =cos (x −y )=13⇒cos2(x −y )=2cos 2(x −y )−1=−79 10. √3【解析】如图，取下底面中心，记为 M ，连接 OM 、 AM ，则 BC ∥OM ，所以 OA 与 BC 所成的角就是 ∠MOA ，即 ∠MOA =π6，tan π6=rl．11. 57【解析】P =C 32+C 31C 41C 72．12.4√63【解析】提示：由题求出 C 点坐标为 (1,1)，然后代入椭圆方程即可． 13. [15,+∞)【解析】当 x >0 时，f (x )=9x +a 2x≥2√9x ⋅a 2x=6a ≥a +1⇒a ≥15．14. −5【解析】如图，根据对称性，当向量 (a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ ) 与 (c k ⃗⃗⃗ +c l ⃗⃗ ) 互为相反向量，且它们的模最大时，(a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c k ⃗⃗⃗ +c l ⃗⃗ ) 最小．此时 a i ⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,a j ⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c k ⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c l ⃗⃗=CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，因此 (a i ⃗⃗⃗ +a j ⃗⃗⃗ )⋅(c k ⃗⃗⃗+c l ⃗⃗ )=AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =−AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=−5.第二部分 15. A16. B 【解析】当 a >1 时，A =(−∞,1]∪[a,+∞)，此时要使得 A ∪B =R ，需满足 a −1≤1，所以 1<a ≤2；当 a <1 时，A =(−∞,a ]∪[1,+∞)，此时要使得 A ∪B =R ，需满足 a −1≤a ，所以 a <1；当 a =1 时，A =R ，此时 A ∪B =R 成立．综上，a ≤2．17. A 【解析】“好货不便宜”是“便宜没好货”的逆否命题，根据互为逆否命题的真假一致得到：“好货不便宜”是真命题．所以“好货”能推出“不便宜”，反之，“不便宜”不能推出是“好货”，所以“好货”是“不便宜”的充分条件． 18. D 【解析】椭圆方程可变形为 x 24+y 24+1n=1，当 n →+∞ 时，x 24+y 24+1n=1→x 24+y 24=1．设 x +y =z ，则当 x +y =z 和圆 x 24+y 24=1 相切时，z 取最大值．此时 x +y =2√2，所以lim n→∞M n =2√2．第三部分19. 三棱锥 O −ABC 的体积是V O−ABC =13⋅S △ABC ⋅1=√33. 设 O 在面 ABC 中的射影为 Oʹ，BC 的中点 D ，则OOʹ=1,OʹD =√33, 在 Rt △OOʹD 中，有OD =√OOʹ2+DOʹ2=√12+(√33)2=√3,三棱锥 O −ABC 的表面积为S O−ABC =3S △OBC +S △ABC =3⋅BC2⋅OD +√3=3√3, 所以，三棱锥 O −ABC 的体积为 √33，表面积为 3√3．20. （1）因为每小时生产 x 千克产品，获利 100(5x +1−3x )，所以生产 a 千克该产品用时间为 ax ，且所获利润为100(5x +1−3x )⋅a x =100a (5+1x −3x2).（2）生产 900 千克该产品，所获利润为90000(5+1x −3x 2)=90000[−3(1x −16)2+6112],所以当 x =6 时，最大利润为 90000×6112=457500 元． 21. （1） ω=1 时，f (x )=2sinx ，所以F (x )=f (x )+f (x +π2)=2sinx +2sin (x +π2)=2sinx +2cosx=2√2sin (x +π4),奇函数 y =2√2sinx 的图象左移 π4后得F (x )=2√2sin (x +π4),所以 F (x ) 既不是奇函数，也不是偶函数．（2）由题意得g(x)=f(x+π6)+1=2sin(2x+π3)+1,所以，函数g(x)的最小正周期为T=π,则区间[a,a+10π]含有10个周期．当a是零点时，函数g(x)在[a,a+10π]上有21个零点；当a不是零点时，a+kπ(k∈Z)也不是零点，从而函数g(x)在[a+kπ,a+(k+1)π](k∈Z)上有两个零点，所以函数g(x)在[a,a+10π]上有20个零点，所以y=g(x)在区间[a,a+10π]上，零点个数可以取20、21个．22. （1）由题意得a n+1=2−∣a n∣,又a1=0，∴a2=2,a3=0,a4=2.（2）∵a1,a2,a3成等比数列，所以a3=a22a1=2−∣a2∣,所以a22=a1(2−∣a2∣)，又a2=2−∣a1∣，所以(2−∣a1∣)2=a1[2−∣2−∣a1∣∣],即(2−a1)2=a1[2−∣2−a1∣].分情况讨论如下：当2−a1≥0时，(2−a1)2=a1[2−(2−a1)]=a12⇒a1=1;当2−a1<0时，(2−a1)2=a1[2−(a1−2)]=a1(4−a1)⇒2a12−8a1+4=0⇒a12−4a1+4=2⇒(a1−2)2=2⇒a1=2+√2.综上，a1=1或a1=2+√2．（3）假设存在公差为d的等差数列{a n}满足题意，则∀n∈N∗,a n+1=2−∣a n∣=a n+d⇒2−d=a n+∣a n∣.讨论如下：当a n=m，即数列{a n}为常数数列时，d=0,2=2a n⇒a n=1⇒a1=1;当数列{a n}不是常数数列时，a n<0,2−d=0⇒d=2⇒∃n,使a n>0,所以不满足题意．综上，存在a1=1的等差数列{a n}，且a n=1满足题意．23. （1）由C1方程：x22−y2=1可知a2=2,b2=1,c2=a2+b2=3,F1(−√3,0).显然，由双曲线C1的几何图象性质可知，过F1的任意直线都与曲线C1相交．在曲线C2图象上取点P(0,1)，则直线PF1与两曲线C1、C2均有交点．这时直线方程为y =√33(x +√3)⇒√3y −x −√3=0. 所以，C 1 的左焦点是“ C 1−C 2 型点”．过该焦点的一条直线方程是 √3y −x −√3=0．（2）先证明“若直线 y =kx 与 C 2 有公共点，则 ∣k∣>1 ”．双曲线 C 1 的渐近线为y =±b a x =1√2若直线 y =kx 与双曲线 C 1 有交点，则 k ∈A =√2√2)．若直线 y =kx 与曲线 C 2 有交点，则 k ∈B =(−∞,−1)∪(1,+∞)．所以，若直线 y =kx 与 C 2 有公共点，则 ∣k∣>1．因为 A ∩B =∅，所以直线 y =kx 与曲线 C 1 、 C 2 不能同时有公共交点．所以原点不是“ C 1−C 2 型点”．（3）设直线 l 过圆 x 2+y 2=12 内一点，则斜率不存在时直线 l 与双曲线 C 1 无交点．设直线 l 方程为：y =kx +m ，显然当 k =0 时，直线 l 与 C 2 不相交．经计算，圆 x 2+y 2=12 内所有点均在曲线 C 2:∣y ∣=∣x∣+1 的延长线所围成的区域内，所以当 k =±ba=√2时，直线 l 与曲线 C 1 不相交．若直线 l 与曲线 C 2 相交，则 k 2>1. ⋯⋯① 下面讨论 k ≠√2时的情况．圆心到直线 l 的距离∣m∣√k 2+1<1√2⇒2m 2−1<k 2. ⋯⋯②假设直线 l 与曲线 C 1 相交，联立方程{x 22−y 2=1y =kx +m⇒x 2−2(k 2x 2+2kmx +m 2)=2⇒(2k 2−1)x 2+4kmx +2m 2+2=0,k ≠√2⇒Δ=(4km )2−4(2k 2−1)(2m 2+2)≥0⇒2k 2≤1+m 2. ⋯⋯③由 ①②③ 得{2k 2>22k 2>4m 2−22k 2≤1+m 2⇒{4m 2−2<1+m 22<1+m 2⇒{m 2<11<m 2⇒m ∈∅. 所以，过圆 x 2+y 2=12 内任意一点做任意直线，均不存在与曲线 C 1 和 C 2 同时相交．即圆 x 2+y 2=12 内的点都不是“ C 1−C 2 型点”．。

2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则（） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ，因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是（）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是（）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2）在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3）第11题图连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2）由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”，则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性；（II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。

2013年全国统一高考数学试卷文科大纲版教师版

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）（2013?大纲版）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则?A=U （）A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，3，4，5}D．?【分析】由题意，直接根据补集的定义求出?A，即可选出正确选项U【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}所以?A={3，4，5}U故选：B．）sinα=，则cosα=（5分）（2013?大纲版）若α为第二象限角，．2（．D C．A．B．的值，利用同角三角0，根据sinαcosα【分析】由α为第二象限角，得到小于的值．函数间的基本关系即可求出cosα，为第二象限角，且sinα=【解答】解：∵α﹣=．∴cosα=﹣．故选：A）⊥2，+2），若（，=（5分）（2013?大纲版）已知向量（λ+1，1）=（λ+．3）λ=（（﹣），则1D．﹣．﹣A．﹣4B3C．﹣2【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．，，．，【解答】解：∵，．=，，33∴）+（2λ，∵，=0∴∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．2﹣2|＜2|x的解集是（）4．（5分）（2013?大纲版）不等式A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）D．（﹣1）2，0）∪（0，2）C．（﹣1，0）∪（0，【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．22﹣2＜22＜x的解集，解：不等式|x的解集等价于，不等式﹣﹣2|＜2【解答】2＜4x，即0＜解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．86的系数是（的展开式中x）（2013?大纲版）（x+2）5．（5分）A．28B．56C．112D．2246的系求出xx的指数为6【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令数．8r8r﹣2 2展开式的通项为T ）=Cx【解答】解：（x+1r+，得r=2令8﹣r=6226．C的系数是2 ∴展开式中x=1128．C故选：1﹣=）0）的反函数f（x（2013?6．（5分）（大纲版）函数f（x）=log1+）（x＞2（）＞B．．Axx﹣1（x＞0．D22C．）﹣1（x∈R），x，yx=y【分析】把看作常数，求出x：互换，得到y=log（1+）的反2函数．注意反函数的定义域．，（解：设【解答】y=log+1）2：x看作常数，求出把yy，=2+1，＞y，其中0x=＞，y=+）的反函数：，y互换，得到y=log（1x2故选：A．7．（5分）（2013?大纲版）已知数列{a}满足3a+a=0，a=﹣，则{a}的前10n1nnn2+项和等于（）10﹣．B）A．﹣6（1﹣31010﹣﹣）+3D．C．3（1﹣33（）1可结合已知{a}是以﹣为公比的等比数列，【分析】由已知可知，数列n求a，然后代入等比数列的求和公式可求1【解答】解：∵3a+a=0nn1+∴∴数列{a}是以﹣为公比的等比数列n∵∴a=4110﹣）﹣3由等比数列的求和公式可得，S==3（110故选：C．8．（5分）（2013?大纲版）已知F（﹣1，0），F（1，0）是椭圆C的两个焦点，21过F且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点，且|AB|=3，则C的方程为（）2B．．A D．．C根据题意可得，=1．再由AB经过【分析】设椭圆的方程为的坐标，代入椭圆方程得、|x右焦点F且垂直于轴且|AB=3算出AB222a，两式联解即可算出=3，从而得到椭圆C=4，b的方程．＞＞，解：设椭圆的方程为【解答】22=1…①﹣=1可得c=，所以ab∵AB经过右焦点F且垂直于x轴，且|AB|=32②，…，代入椭圆方程得，∴可得A（1），B（1，﹣）22=3，ab=4联解①②，可得C的方程为∴椭圆．故选：Cω=）的部分图象如图，则（+φ）ω＞0大纲版）9．（5分）（2013?若函数y=sin （ωx）（2．3DB．4C．A．5然后求解求出函数的周期，【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，．ω，纵坐标相反，而，）与【解答】解：由函数的图象可知，（x，y00且不是相邻的对称点，，=）所以函数的周期T=2（．=4所以T=，所以ω==．B故选：24）处切线的斜2，a++ax在点（﹣+11大纲版）已知曲线510．（分）（2013?y=x）（8率为，a=6．﹣．﹣9DCBA．9．6的值．先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a【分析】24，ax解：∵【解答】y=x++13+2ax∴y′=4x，42+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为∵曲线y=x8+ax，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．11．（5分）（2013?大纲版）已知正四棱柱ABCD﹣ABCD中，AA=2AB，则CD11111与平面BDC所成角的正弦值等于（）1D．A．B．C．、、的方向为x轴、，分别以y【分析】设AB=1，则轴、z AA=21轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC的一个法向1量，CD与平面BDC所成角为θ，1|sinθ=|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．则、、的方向为【解答】解：设AB=1分别以，，则x轴、y轴、AA=21z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：，）0，，22），C（1，0，2）C（1，0，），B（1，10D则（0，，1，），0020，﹣），=（1，1，（=1，10），=（，的一个法向量，则BDC，即）为平面，，取设=（xy，z1，122=（，﹣，），|=与平面BDC所成角为θ，则sinθ=|设CD1故选：A．2=8x的焦点为F，点M（﹣y2，2），12．（5分）（2013?大纲版）已知抛物线C：）（，则k=B两点，若C且斜率为k的直线与交于A，过点F D．CB．A．．2=利用﹣2），代入抛物线方程，【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x （x+2，y﹣2）?（x+2，y﹣2）=0，即可求出k的值．21122=8x得焦点（2，y0），【解答】解：由抛物线C：由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），2222=0，△＞0x+x4k﹣（4k，+8代入抛物线方程，得到k）设A（x，y），B（x，y）．2211，xx+=4．∴x+x=42211∴y+y=，yy=﹣16，2121，=0又=0=2）+2，y﹣∴2x=（+2，y﹣）?（x2112．∴k=2．故选：D.5分二、填空题：本大题共4小题，每小题）时，1，3∈大纲版）设（5分）（2013?f（x）是以2为周期的函数，且当x[13．．1﹣2，则f（﹣）=﹣1xf（）=x，代入函数的解析式求解即可．（﹣1）1）=f（f【分析】利用函数的周期，求出=x））时，[2（x）是以为周期的函数，且当x∈1，3f（xf【解答】解：因设，﹣2．﹣）（）（﹣则f1=f1=12=﹣1．故答案为：﹣114．（5分）（2013?大纲版）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60种．（用数字作答）种方法，2名二等奖，种方法，利用【分析】6名选手中决出1名一等奖有分步计数原理即可得答案．种方名选手中决出1名一等奖有【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6法，种方法，第二步，再决出2名二等奖，有第三步，剩余三人为三等奖，?=60种方法．根据分步乘法计数原理得：共有故答案为：60．，则z=﹣x2013?大纲版）若x、y满足约束条件+y的最15．（5分）（小值为0．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．表示的平面区域，【解答】解：作出不等式组）4，C（0（），B0，），1A得到如图的△ABC及其内部，其中（1，进行平移，+y：z=﹣xlxx设z=F（，y）═﹣+y，将直线达到最小值z经过点A时，目标函数当l1=01=11=Fz∴（，）﹣+最小值故答案为：016．（5分）（2013?大纲版）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O等于球O的半径，的表面积等于16π．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角，CK=OC=根据题意得222，即OC=OK+CKOCK在△中，2=4r∴2=16π的表面积等于4πr∴球O故答案为16π.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，=2a=4，a中，2013?大纲版）等差数列{a}a分）17．（10（9197n的通项公式；{a}（Ⅰ）求n．Sn项和{b}的前，求数列（Ⅱ）设b=nnn，进而可求d，结合等差数列的通项公式可求a，=2a（【分析】I）由a=4，a19197a n，利用裂项求和即可求解==II（）由d}a）设等差数列（【解答】解：I{的公差为n∵a=4，a=2a，9719∴解得，a=1，d=1=∴==II（）∵=∴s n==18．（12分）（2013?大纲版）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．22=acbc），﹣+a﹣b+c）=（aa【解答】解：（I）∵（+b+c）（222=﹣ac﹣b∴a，+c∴=﹣，cosB=为三角形的内角，又B则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．19．（12分）（2013?大纲版）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．，⊥平面ABCD过P作POE，连接DE，则ABED为正方形，【分析】（I）取BC的中点⊥，即可证明PBOE∥CD，OE，证明PB⊥OE，OB垂足为O，连接OA，，OD；CDPCD到平面OF就是A到平面OF，证明OPCD的距离（II）取PD的中点F，连接的距离．PCD的距离，即可求得点A到平面⊥PO为正方形，过P作E，连接DE，则ABEDI【解答】（）证明：取BC的中点OE，，ODO，连接OA，OB，垂足为平面ABCDPA=PB=PD都是等边三角形知和△PAD由△PAB对角线的交点ABEDO为正方形∴OA=OB=OD，即OE⊥，∴PB∴OE⊥BDCDOE∥E是BC的中点，∴∵O是BD的中点，；⊥CD∴PBPBOF∥，连接OF，则（II）取PD的中点F，CD，∴OF⊥由（I）知PB⊥CD，=∵PDOF⊥∴△POD为等腰三角形，∴PCD⊥平面CD=D，∴OFPD∵∩PCDAE∥平面?平面PCD，∴PCD，∵AE∥CDCD?平面，AE的距离到平面PCDOF到平面PCD的距离就是AO∴OF=∵∴点A到平面PCD的距离为1．其中两人比赛，丙三人进行羽毛球练习赛，甲、乙、12分）（2013?大纲版）20．（另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方局甲当裁判．1获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第局甲当裁判的概率；4（Ⅰ）求第次裁判概率．14局中乙恰好当（Ⅱ）求前第三局甲参加比“A表示事件“第二局结果为甲胜”，【分析】（I）设A表示事件21利用相互独立．A=A?A第四局甲当裁判”，可得赛结果为甲负”，A表示事件“21事件的概率计算公式即可得出；第二局乙参加比赛结表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B（II）设B表示事件“21局前4，B表示事件“”，B表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”果为乙胜3，利用互斥事件”．可得B=中乙恰好当1次裁判和相互独立事件的概率计算公式即可得出．第三局甲参“，A表示事件）设A表示事件“第二局结果为甲胜”【解答】解：（I21．”表示事件“第四局甲当裁判加比赛结果为甲负”，A．?A则A=A21．=AP（A）=P（?A）21第二局乙参加比赛结表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B（II）设B表示事件“21，果为乙胜”1局中乙恰好当“表示事件前4B表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B3．”次裁判，B=则））B=P（则P（+=+=．=32+3x+3ax+1．（2013?大纲版）已知函数f（x）=x21．（12分）时，讨论fa=（x）的单调性；（Ⅰ）求（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（I）把a=代入可得函数（fx）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥（﹣0，可得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围．32+3x+1，+3xI解：（）当a=时，f（x）=x【解答】2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=f′（x）=3x﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，2）=3（x﹣））≥3（（x﹣2）＞0，xf′（）=3（x++2ax1所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f（2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞））的左、0a（＞0，b（22．（12分）2013?大纲版）已知双曲线C：＞=1．y=2与C的两个交点间的距离为，右焦点分别为FF，离心率为3，直线21（I）求a，b；（II）设过F的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF|=|BF|，112证明：|AF|、|AB|、|BF|成等比数列．22的关系，将双曲线的方程b，a得到参数3）由题设，可由离心率为I（【分析】．与的两个交点间的距离为建立方程求用参数a表示出来，再由直线出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x，y），B（x，211，再利用，），将其与双曲线C的方程联立，得出x+x=y212，建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系|AF|=|BF|11由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF|、|AB|、|BF|，22再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．22=8ab（I）由题设知=3，即=9，故【解答】解：222=8a8xy﹣所以C的方程为，±将y=2代入上式，并求得x=2=1由题设知，2a=，解得b=2所以a=1，22=8 的方程为8x﹣y①），F（3，0），C3（II）由（I）知，F（﹣，02122﹣x8代入①并化简得（k）﹣x﹣3），|k|＜2由题意，可设l的方程为y=k（22+8=0+6k9kx设A（x，y），B（x，y），2112，于是，x≥1，x+x=则x≤﹣1，2112=﹣（3x+1）|AF|=，11=3x+1，||BF=21，即+1+|BF|得﹣（3x1）=3x||AF=2111﹣=，解得=，从而故=1﹣3x，|AF由于|=12=3x﹣1=|，BF|22故|AB|=|AF|﹣|BF|=2﹣3（x+x）=4，|AF||BF|=3（x+x）﹣9xx﹣1=1621221222122，所以|AF|、|AB|、AB=|||AF因而|BF|||BF|成等比数列2222。

2013高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版

3．已知向量 m 1,1 , n 2,2 , 若 m n m n , 则 = （A） 4 （B） 3 （C） -2 （D） -1 【答案】B 【考点】考查平面向量垂直，数量积坐标运算. 【解析】∵ m n m n , ∴ m n m n 0 ∴ m n 0
a7 4 a1 6d 4 ，所以 a19 2a9 a1 18d 2(a1 8d )
解得 a1 1 ， d
1 n 1 ，所以 an 的通项公式为 an . 2 2
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（Ⅱ） bn
1 2 2 2 所以 nan n(n 1) n n 1
∵ MA MB 0 ∴ ( x1 2, y1 2) ( x2 2, y2 2) 0

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即 ( x1 2,)( x2 2) ( y1 2)( y2 2) 0 即 x1 x2 2( x1 x2 ) 4 y1 y2 2( y1 y2 ) 4 0 ○ 1 ∵
（I）求 an 的通项公式；（II）设 bn
1 , 求数列bn 的前n项和Sn . nan
【考点】考查等差数列通项公式、前 n 和项公式和裂项求和的方法；考查方程思想。转化思想及逻辑思维及逻辑思维能力。【解析】(Ⅰ)设等差数列 an 的公差为 d ，则 an a1 (n 1)d 因为
2 2
即 1 1 [ 2 4] 0 ∴ 3 ，故选 B.
2 2 2 4．不等式 x 2 2的解集是
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（A） -1,1 （B） -2, 2 （C） -1,0 0,1 （D） -2,0 0, 2 【答案】D 【考点】考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法【解析】 | x2 2 | 2 2 x2 2 2 0 x2 4 0 | x | 2

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解安徽文

2013年安徽文一、选择题（共10小题；共50分）1. 设i是虚数单位，若复数a−103−i(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )A. −3B. −1C. 1D. 32. 已知A={x∣ x+1>0}，B={−2,−1,0,1}，则(∁R A)∩B=( )A. {−2,−1}B. {−2}C. {−1,0,1}D. {0,1}3. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为( )．A. 34B. 16C. 1112D. 25244. “ (2x−1)x=0”是“ x=0”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( )A. 23B. 25C. 35D. 9106. 直线x+2y−5+√5=0被圆x2+y2−2x−4y=0截得的弦长为( )A. 1B. 2C. 4D. 4√67. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8=4a3，a7=−2，则a9=( )A. −6B. −4C. −2D. 28. 函数y=f(x)的图象如图所示，在区间[a,b]上可找到n(n≥2)个不同的数x1,x2,⋯,x n，使得f(x1) x1=f(x2)x2=⋯=f(x n)x n，则n的取值范围为( )．A. {2,3}B. {2,3,4}C. {3,4}D. {3,4,5}9. 设 △ABC 的内角 A ，B ，C 所对边的长分别为 a ，b ，c ，若 b +c =2a ，3sinA =5sinB ，则角C = ( )A. π3B. 2π3C. 3π4D. 5π610. 已知函数 f (x )=x 3+ax 2+bx +c 有两个极值点 x 1，x 2，若 f (x 1)=x 1<x 2，则关于 x 的方程 3(f (x ))2+2af (x )+b =0 的不同实根个数为 ( )A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共5小题；共25分）11. 函数 y =ln (1+1x )+√1−x 2 的定义域为．12. 若非负变量 x ，y 满足约束条件 {x −y ≥−1,x +2y ≤4, 则 x +y 的最大值为．13. 若非零向量 a ⃗，b ⃗⃗ 满足 ∣a ⃗∣=3∣∣b ⃗⃗∣∣=∣∣a ⃗+2b ⃗⃗∣∣，则 a⃗ 与 b ⃗⃗ 夹角的余弦值为． 14. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +1)=2f (x )．若当 0≤x ≤1 时，f (x )=x (1−x )，则当−1≤x ≤0 时，f (x )= ．15. 如图正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1，棱长为 1,P 为 BC 中点，Q 为线段 CC 1 上的动点，过 A 、 P 、Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ，则下列命题正确的是．（写出所有正确命题的编号）①当 0<CQ <12 时，S 为四边形 ② 当 CQ =12 时，S 为等腰梯形③ 当 CQ =34 时，S 与 C 1D 1 交点 R 满足 C 1R 1=13 ④ 当 34<CQ <1 时，S 为六边形⑤ 当 CQ =1 时，S 的面积为 √62．三、解答题（共6小题；共78分）16. 设函数 f (x )=sinx +sin (x +π3)．（1）求 f (x ) 的最小值，并求使 f (x ) 取得最小值的 x 的集合；（2）不画图，说明函数 y =f (x ) 的图象可由 y =sinx 的图象经过怎样的变化得到．17. 为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，用简单随机抽样，从这两校中各抽取30 名高三年级学生，以他们的数学成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图：（1）若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率（60分及60分以上为及格）；（2）设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为x1,x2，估计x1−x2的值．18. 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60∘．已知PB=PD=2，PA=√6．（1）证明：PC⊥BD；（2）若E为PA的中点，求三棱锥P−BCE的体积．19. 设数列{a n}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N∗，函数f(x)=(a n−a n+1+a n+2)x+a n+1⋅cosx−a n+2⋅sinx满足fʹ(π2)=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2(a n+12a n)，求数列{b n}的前n项和S n．20. 设函数f(x)=ax−(1+a2)x2，其中a>0，区间I={x∣ f(x)>0}，（1）求I的长度（注：区间(α,β)的长度定义为β−α）；（2）给定常数k∈(0,1)，当1−k≤a≤1+k时，求I长度的最小值．21. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4，且过点P(√2,√3)．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q(x0,y0)(x0y0≠0)为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E．取点A(0,2√2)，连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG，问这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由．答案第一部分1. D2. A3. C4. B5. D=4a3，a3+a6=a3，所以a6=0，所以d=−2，所以6. C 7. A 【解析】S8=4a3，8(a1+a8)2a9=a7+2d=−6．=m，则可将所求转化为求直线y=mx与曲线y=f(x)的交点个数问8. B 【解析】提示：令f(x)x题．由图可知，可能的交点个数为2,3,4．9. B 【解析】由3sinA=5sinB及正弦定理可得3a=5b，又有b+c=2a，用余弦定理可以求出cosC的值．10. A【解析】fʹ(x)=3x2+2ax+b，所以3(f(x))2+2af(x)+b=0即fʹ(f(x))=0．结合题意可知fʹ(x1)=fʹ(x2)=0，所以找f(x)=x1和f(x)=x2的实根个数即可．由图可知，共有三个实根．所以结果为3．第二部分11. (0,1]12. 413. −13【解析】将题中等式两边平方可得a⃗⋅a⃗=9b⃗⃗⋅b⃗⃗=a⃗⋅a⃗+4a⃗⋅b⃗⃗+4b⃗⃗⋅b⃗⃗，而a⃗⋅b⃗⃗=∣a⃗∣∣b⃗⃗∣cos⟨a⃗,b⃗⃗⟩，．可求得cos⟨a⃗,b⃗⃗⟩=−1314. −x(x+1)2【解析】设−1≤x≤0，则有0≤x+1≤1，因此f(x+1)=−x(x+1)，结合f(x+1)=2f(x)，可知f(x)=−x(x+1)．215. ①②③⑤【解析】设截面与 DD 1 相交于 T ，则 AT ∥PQ ，且 AT =2PQ ⇒DT =2CQ ．对于 ①，当 0<CQ <12 时，则 0<DT <1，所以截面 S 为四边形，且 S 为梯形，所以为真．对于 ②，当 CQ =12 时，DT =1,T 与 D 重合，截面 S 为四边形 APQD 1，所以 AP =D 1Q ，截面为等腰梯形，所以为真．对于 ③，当 CQ =34，QC 1=14，DT =32，D 1T =12，利用三角形相似解得，C 1R 1=13，所以为真．对于 ④，当 34<CQ <1 时，32<DT <2，截面 S 与线段 A 1D 1，D 1C 1 相交，所以四边形 S 为五边形，所以为假．对于 ⑤，当 CQ =1 时，Q 与 C 1 重合，截面 S 与线段 A 1D 1 相交于中点 G ，即即为菱形 APC 1G ，对角线长度为 √2 和 √3,S 的面积为 √62，所以为真，综上，选 ①②③⑤．第三部分 16. （1）因为f (x )=sinx +sinxcos π3+cosxsinπ3=sinx +12sinx +√32cosx=32sinx +√32cosx =√(32)2+(√32)2sin (x +π6)=√3sin (x +π6),所以当 x +π6=2kπ−π2(k ∈Z )，即 x =2kπ−2π3(k ∈Z ) 时，f (x ) 的最小值为 −√3，此时 x 的取值集合为 {x∣ x =2kπ−2π3,k ∈Z}．（2）先将 y =sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 √3 倍（横坐标不变），得 y =√3sinx 的图象；再将 y =√3sinx 的图象上所有的点向左平移 π6 个单位，得 y =f (x ) 的图象． 17. （1）设甲校高三年级学生总人数为 n ，由题意知，30n =0.05⇒n =300.05=600, 样本中甲校高三年级学生数学成绩不及格人数为 5，据此估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为 p =2530=56．（2）设甲、乙两校样本平均成绩分别为 x 1ʹ,x 2ʹ，根据样本茎叶图可知30(x 1ʹ−x 2ʹ)=30x 1ʹ−30x 2ʹ=(7−5)+(55+8−14)+(24−12−65)+(26−24−79)+(22−20)+92=2+49−53−77+2+92=15因此 x 1ʹ−x 2ʹ=0.5，故 x 1−x 2 的估计值为 0.5 分． 18. （1）连接 AC ，交于 BD 于 O 点，连接 PO ．因为底面 ABCD 是菱形，所以 AC ⊥BD ，BO =DO ．由 PB =PD 知，PO ⊥BD ．再由 PO ∩AC =O 知，BD ⊥面 APC ，因此 BD ⊥PC ．（2）因为 E 是 PA 的中点，所以V P−BCE =V C−PEB =12V C−PAB =12V B−APC .由 PB =PD =AB =AD =2 知，△ABD ≌△PBD ．因为 ∠BAD =60∘，所以PO =AO =√3,AC =2√3,BO =1.又PA =√6,PO 2+AO 2=PA 2,即 PO ⊥AC ，故S △APC =12PO ⋅AC =3.由（1）知，BO ⊥面APC ，因此V P−BCE =12V B−APC =12⋅13⋅BO ⋅S △APC =12.19. （1）由题设可得fʹ(x )=a n −a n+1+a n+2−a n+1sinx −a n+2cosx.对任意 n ∈N ∗，fʹ(π2)=a n −a n+1+a n+2−a n+1=0, 即a n+1−a n =a n+2−a n+1,故 {a n } 为等差数列．由 a 1=2，a 2+a 4=8，解得 {a n } 的公差 d =1，所以，a n =2+1⋅(n −1)=n +1.（2）由b n =2(a n +12a n )=2(n +1+12n+1)=2(n +1)+12n,知S n =b 1+b 2+⋯+b n=2n +2⋅n (n +1)2+12[1−(12)n]1−12=n 2+3n +1−12n .20. （1）因为方程 ax −(1+a 2)x 2=0(a >0) 有两个实根x 1=0,x 2=a1+a 2,故 f (x )>0 的解集为{x∣ x 1<x <x 2},因此区间 I =(0,a1+a 2)，区间 I 的长度为 a1+a 2. （2）设 d (a )=a 1+a 2，则dʹ(a )=1−a 2(1+a 2)2(a >0). 令 dʹ(a )=0，得 a =1，由于 0<k <1，故当 1−k ≤a <1 时，dʹ(a )>0，d (a ) 单调递增；当 1<a ≤1+k 时，dʹ(a )<0，d (a ) 单调递减；所以当 1−k ≤a ≤1+k 时，d (a ) 的最小值必定在 a =1−k 或 a =1+k 处取得，而d (1−k )d (1+k )=1−k1+(1−k )21+k 1+(1+k )2=2−k 2−k 32−k 2+k 3<1,故d (1−k )<d (1+k ).因此当 a =1−k 时，d (a ) 在区间 [1−k,1+k ] 上取得最小值 1−k 2−2k+k 2.21. （1）因为焦距为 4，所以a 2−b 2=4,又因为椭圆 C 过点 P(√2,√3)，所以2a 2+3b 2=1, 故a 2=8,b 2=4,从而椭圆 C 的方程为 x 28+y 24=1．（2）由题意知，E 点坐标为 (x 0,0)，设 D (x D ,0)，则AE⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x 0,−2√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(x D ,−2√2), 再由 AD ⊥AE 知，AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=0，即 x D x 0+8=0.由于 xy 0≠0，故 x D =−8x 0．因为点G是点D关于y轴的对称点，所以点G(8x,0)．故直线QG的斜率k QG=y0x0−8x0=x0y0x02−8.又因为Q(x0,y0)在椭圆C上，所以x02+2y02=8. ⋯⋯①从而k QG=−x02y0．故直线QG的方程为y=−x02y0(x−8x0). ⋯⋯②将②代入椭圆C方程，得(x02+2y02)x2−16x0x+64−16y02=0. ⋯⋯③再将①代入③，化简得x2−2x0x+x02=0,解得x=x0,则y=y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点．。

2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析

2013年全国统一高考大纲版文科数学试卷及参考答案与解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA＝( )A.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－14.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.2246.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.210.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－611.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有种.(用数字作答)15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1. (Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.A＝( )1.(5分)设集合U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{1,2},则∁UA.{1,2}B.{3,4,5}C.{1,2,3,4,5}D.∅A,即可选出正确选项【分析】由题意,直接根据补集的定义求出∁U【解答】解：因为U＝{1,2,3,4,5,},集合A＝{1,2}A＝{3,4,5}所以∁U故选：B.【点评】本题考查补集的运算,理解补集的定义是解题的关键2.(5分)若α为第二象限角,sinα＝,则cosα＝( )A. B. C. D.【分析】由α为第二象限角,得到cosα小于0,根据sinα的值,利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值.【解答】解：∵α为第二象限角,且sinα＝,∴cosα＝－＝－.故选：A.【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系,熟练掌握基本关系是解本题的关键.3.(5分)已知向量＝(λ＋1,1),＝(λ＋2,2),若(＋)⊥(－),则λ＝( )A.－4B.－3C.－2D.－1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出.【解答】解：∵,.∴＝(2λ＋3,3),.∵,∴＝0,∴－(2λ＋3)－3＝0,解得λ＝－3.故选：B.【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键.4.(5分)不等式|x2－2|＜2的解集是( )A.(－1,1)B.(－2,2)C.(－1,0)∪(0,1)D.(－2,0)∪(0,2)【分析】直接利用绝对值不等式的解法,去掉绝对值后,解二次不等式即可.【解答】解：不等式|x2－2|＜2的解集等价于,不等式－2＜x2－2＜2的解集,即0＜x2＜4, 解得x∈(－2,0)∪(0,2).故选：D.【点评】本题考查绝对值不等式的解法,考查转化思想与计算能力.5.(5分)(x＋2)8的展开式中x6的系数是( )A.28B.56C.112D.224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r＋1项,令x的指数为6求出x6的系数.【解答】解：(x＋2)8展开式的通项为Tr＋1＝C x 8－r2 r令8－r＝6得r＝2,∴展开式中x6的系数是2 2C82＝112.故选：C.【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具.6.(5分)函数f(x)＝log2(1＋)(x＞0)的反函数f－1(x)＝( )A. B. C.2x－1(x∈R) D.2x－1(x＞0)【分析】把y看作常数,求出x：x＝,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数.注意反函数的定义域.【解答】解：设y＝log2(1＋),把y看作常数,求出x：1＋＝2y,x＝,其中y＞0,x,y互换,得到y＝log2(1＋)的反函数：y＝,故选：A.【点评】本题考查对数函数的反函数的求法,解题时要认真审题,注意对数式和指数式的相互转化.7.(5分)已知数列{an }满足3an＋1＋an＝0,a2＝－,则{an}的前10项和等于( )A.－6(1－3－10)B.C.3(1－3－10)D.3(1＋3－10)【分析】由已知可知,数列{an }是以－为公比的等比数列,结合已知可求a1,然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3an＋1＋an＝0∴∴数列{an}是以－为公比的等比数列∵∴a1＝4由等比数列的求和公式可得,S10＝＝3(1－3－10)故选：C.【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础试题8.(5分)已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆于A、B两点,且|AB|＝3,则C的方程为( )A. B. C. D.【分析】设椭圆的方程为,根据题意可得＝1.再由AB经过右焦点F2且垂直于x轴且|AB|＝3算出A、B的坐标,代入椭圆方程得,两式联解即可算出a2＝4,b2＝3,从而得到椭圆C的方程.【解答】解：设椭圆的方程为,可得c＝＝1,所以a2－b2＝1…①∵AB经过右焦点F2且垂直于x轴,且|AB|＝3∴可得A(1,),B(1,－),代入椭圆方程得,…②联解①②,可得a2＝4,b2＝3∴椭圆C的方程为故选：C.【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长,求椭圆的方程.着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识,属于基础题.9.(5分)若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图,则ω＝( )A.5B.4C.3D.2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值,求出函数的周期,然后求解ω.【解答】解：由函数的图象可知,(x0,y)与,纵坐标相反,而且不是相邻的对称点,所以函数的周期T＝2()＝,所以T＝＝,所以ω＝＝4.故选：B.【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法,考查学生的视图用图能力.10.(5分)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,a＝( )A.9B.6C.－9D.－6【分析】先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得a的值.【解答】解：∵y＝x4＋ax2＋1,∴y′＝4x3＋2ax,∵曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1,a＋2)处切线的斜率为8,∴－4－2a＝8∴a＝－6故选：D.【点评】本题考查导数的几何意义,考查学生的计算能力,属于基础题.11.(5分)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,AA1＝2AB,则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A. B. C. D.【分析】设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||,在空间坐标系下求出向量坐标,代入计算即可.【解答】解：设AB＝1,则AA1＝2,分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如下图所示：则D(0,0,2),C1(1,0,0),B(1,1,2),C(1,0,2),＝(1,1,0),＝(1,0,－2),＝(1,0,0),设＝(x,y,z)为平面BDC1的一个法向量,则,即,取＝(2,－2,1),设CD与平面BDC1所成角为θ,则sinθ＝||＝,故选：A.【点评】本题考查直线与平面所成的角,考查空间向量的运算及应用,准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键.12.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,点M(－2,2),过点F且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若,则k＝( )A. B. C. D.2【分析】斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2),代入抛物线方程,利用＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝0,即可求出k的值.【解答】解：由抛物线C：y2＝8x得焦点(2,0),由题意可知：斜率k存在,设直线AB为y＝k(x－2), 代入抛物线方程,得到k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0,△＞0,设A(x1,y1),B(x2,y2).∴x1＋x2＝4＋,x1x2＝4.∴y1＋y2＝,y1y2＝－16,又＝0,∴＝(x1＋2,y1－2)•(x2＋2,y2－2)＝＝0∴k＝2.故选：D.【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查向量的数量积公式,考查学生的计算能力,属于中档题.二、填空题：本大题共4小题,每小题5分.13.(5分)设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝－1 . 【分析】利用函数的周期,求出f(－1)＝f(1),代入函数的解析式求解即可.【解答】解：因设f(x)是以2为周期的函数,且当x∈[1,3)时,f(x)＝x－2,则f(－1)＝f(1)＝1－2＝－1.故答案为：－1.【点评】本题考查函数的周期的应用,函数值的求法,值域函数的定义域是解题的关键,考查计算能力.14.(5分)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖,2名二等奖,3名三等奖,则可能的决赛结果共有60 种.(用数字作答)【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法,2名二等奖,种方法,利用分步计数原理即可得答案.【解答】解：依题意,可分三步,第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法,第二步,再决出2名二等奖,有种方法,第三步,剩余三人为三等奖,根据分步乘法计数原理得：共有•＝60种方法.故答案为：60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,掌握分步计数原理是解决问题的关键,属于中档题.15.(5分)若x、y满足约束条件,则z＝－x＋y的最小值为0 .【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z＝－x ＋y对应的直线进行平移,可得当x＝y＝1时,目标函数z取得最小值,从而得到本题答案.【解答】解：作出不等式组表示的平面区域,得到如图的△ABC及其内部,其中A(1,1),B(0,),C(0,4)设z＝F(x,y)═－x＋y,将直线l：z＝－x＋y进行平移,当l经过点A时,目标函数z达到最小值∴z最小值＝F(1,1)＝－1＋1＝0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组,求目标函数z＝－x＋y的最小值,着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识,属于基础题.16.(5分)已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆,其公共弦长等于球O的半径,,则球O的表面积等于16π.【分析】正确作出图形,利用勾股定理,建立方程,即可求得结论.【解答】解：如图所示,设球O的半径为r,AB是公共弦,∠OCK是面面角根据题意得OC＝,CK＝在△OCK中,OC2＝OK2＋CK2,即∴r2＝4∴球O的表面积等于4πr2＝16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)等差数列{an }中,a7＝4,a19＝2a9,(Ⅰ)求{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn ＝,求数列{bn}的前n项和Sn.【分析】(I)由a7＝4,a19＝2a9,结合等差数列的通项公式可求a1,d,进而可求an(II)由＝＝,利用裂项求和即可求解【解答】解：(I)设等差数列{an}的公差为d∵a7＝4,a19＝2a9,∴解得,a1＝1,d＝∴＝(II)∵＝＝∴sn＝＝＝【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较容易18.(12分)设△ABC的内角A,B,C的内角对边分别为a,b,c,满足(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac. (Ⅰ)求B.(Ⅱ)若sinAsinC＝,求C.【分析】(I)已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算,整理后得到关系式,利用余弦定理表示出cosB,将关系式代入求出cosB的值,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；(II)由(I)得到A＋C的度数,利用两角和与差的余弦函数公式化简cos(A－C),变形后将cos(A ＋C)及2sinAsinC的值代入求出cos(A－C)的值,利用特殊角的三角函数值求出A－C的值,与A＋C的值联立即可求出C的度数.【解答】解：(I)∵(a＋b＋c)(a－b＋c)＝(a＋c)2－b2＝ac,∴a2＋c2－b2＝－ac,∴cosB＝＝－,又B为三角形的内角,则B＝120°；(II)由(I)得：A＋C＝60°,∵sinAsinC＝,cos(A＋C)＝,∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝cosAcosC－sinAsinC＋2sinAsinC＝cos(A＋C)＋2sinAsinC＝＋2×＝,∴A－C＝30°或A－C＝－30°,则C＝15°或C＝45°.【点评】此题考查了余弦定理,两角和与差的余弦函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.19.(12分)如图,四棱锥P－ABCD中,∠ABC＝∠BAD＝90°,BC＝2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形.(Ⅰ)证明：PB⊥CD；(Ⅱ)求点A到平面PCD的距离.【分析】(I)取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE,证明PB⊥OE,OE∥CD,即可证明PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离,即可求得点A到平面PCD的距离.【解答】(I)证明：取BC的中点E,连接DE,则ABED为正方形,过P作PO⊥平面ABCD,垂足为O,连接OA,OB,OD,OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA＝PB＝PD∴OA＝OB＝OD,即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD,∴PB⊥OE∵O是BD的中点,E是BC的中点,∴OE∥CD∴PB⊥CD；(II)取PD的中点F,连接OF,则OF∥PB由(I)知PB⊥CD,∴OF⊥CD,∵,＝∴△POD为等腰三角形,∴OF⊥PD∵PD∩CD＝D,∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD,CD⊂平面PCD,AE⊈平面PCD,∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF＝∴点A到平面PCD的距离为1.【点评】本题考查线线垂直,考查点到面的距离的计算,考查学生转化的能力,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.20.(12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为,各局比赛的结果都相互独立,第1局甲当裁判.(Ⅰ)求第4局甲当裁判的概率；(Ⅱ)求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【分析】(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”,可得A＝A1•A2.利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”.可得B＝,利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出.【解答】解：(I)设A1表示事件“第二局结果为甲胜”,A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”,A表示事件“第四局甲当裁判”.则A＝A1•A2.P(A)＝P(A1•A2)＝.(II)设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”,B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”,B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”,B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”. 则B＝,则P(B)＝P()＝＋＝＋＝.【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键.21.(12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.(Ⅰ)求a＝时,讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若x∈[2,＋∞)时,f(x)≥0,求a的取值范围.【分析】(I)把a＝代入可得函数f(x)的解析式,求导数令其为0可得x＝－,或x＝－,判断函数在区间(－∞,－),(－,－),(－,＋∞)的正负可得单调性；(II)由f(2)≥0,可得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,由不等式的证明方法可得f′(x)＞0,可得单调性,进而可得当x∈[2,＋∞)时,有f(x)≥f(2)≥0成立,进而可得a的范围.【解答】解：(I)当a＝时,f(x)＝x3＋3x2＋3x＋1,f′(x)＝3x2＋6x＋3,令f′(x)＝0,可得x＝－,或x＝－,当x∈(－∞,－)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增,当x∈(－,－)时,f′(x)＜0,f(x)单调递减,当x∈(－,＋∞)时,f′(x)＞0,f(x)单调递增；(II)由f(2)≥0,可解得a≥,当a≥,x∈(2,＋∞)时,f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3()＝3(x－)(x－2)＞0,所以函数f(x)在(2,＋∞)单调递增,于是当x∈[2,＋∞)时,f(x)≥f(2)≥0,综上可得,a的取值范围是[,＋∞)【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性,涉及函数的最值问题,属中档题.22.(12分)已知双曲线C：＝1(a＞0,b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y＝2与C的两个交点间的距离为.(I)求a,b；(II)设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点,且|AF1|＝|BF1|,证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列.【分析】(I)由题设,可由离心率为3得到参数a,b的关系,将双曲线的方程用参数a表示出来,再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；(II)由(I)的方程求出两焦点坐标,设出直线l的方程设A(x1,y1),B(x2,y2),将其与双曲线C的方程联立,得出x1＋x2＝,,再利用|AF1|＝|BF1|建立关于A,B坐标的方程,得出两点横坐标的关系,由此方程求出k的值,得出直线的方程,从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|,再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论.【解答】解：(I)由题设知＝3,即＝9,故b2＝8a2所以C的方程为8x2－y2＝8a2将y＝2代入上式,并求得x＝±,由题设知,2＝,解得a 2＝1所以a ＝1,b ＝2(II)由(I)知,F 1(－3,0),F 2(3,0),C 的方程为8x 2－y 2＝8 ① 由题意,可设l 的方程为y ＝k(x －3),|k|＜2代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1≤－1,x 2≥1,x 1＋x 2＝,,于是 |AF 1|＝＝－(3x 1＋1), |BF 1|＝＝3x 2＋1, |AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1,即故＝,解得,从而＝－由于|AF 2|＝＝1－3x 1,|BF 2|＝＝3x 2－1,故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4,|AF 2||BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16 因而|AF 2||BF 2|＝|AB|2,所以|AF 2|、|AB|、|BF 2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系,考查了运算能力,题设条件的转化能力,方程的思想运用,此类题综合性强,但解答过程有其固有规律,一般需要把直线与曲线联立利用根系关系,解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性,给以后解答此类题提供借鉴.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题 (文科) word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(大纲卷)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013大纲全国，文1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则U A ＝( )．A ．{1,2}B ．{3,4,5}C ．{1,2,3,4,5}D ．∅ 答案：B解析：由题意得U A ＝{3,4,5}．故选B ．2．(2013大纲全国，文2)已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )． A ．1213- B ．513- C ．513 D ．1213答案：A解析：∵α是第二象限角，∴cos α＝1213==-.故选A ．3．(2013大纲全国，文3)已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1 答案：B解析：∵(m ＋n )⊥(m －n )，∴(m ＋n )·(m －n )＝0. ∴|m |2－|n |2＝0，即(λ＋1)2＋1－[(λ＋2)2＋4]＝0. ∴λ＝－3.故选B ．4．(2013大纲全国，文4)不等式|x 2－2|＜2的解集是( )．A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－1,0)∪(0,1)D ．(－2,0)∪(0,2) 答案：D解析：|x 2－2|＜2⇒－2＜x 2－2＜2⇒0＜x 2＜4⇒0＜|x |＜2⇒－2＜x ＜0或0＜x ＜2.故选D ．5．(2013大纲全国，文5)(x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( )．A ．28B ．56C ．112D ．224 答案：C解析：T 2＋1＝28C x 8－2·22＝112x 6.故选C ．6．(2013大纲全国，文6)函数f (x )＝21log 1x ⎛⎫+⎪⎝⎭(x ＞0)的反函数f －1(x )＝( )． A ．121x -(x ＞0) B ．121x-(x ≠0) C ．2x －1(x ∈R ) D ．2x－1(x ＞0) 答案：A解析：由y ＝f (x )＝21log 1x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⇒1＋1x ＝2y⇒x ＝121y-. ∵x ＞0，∴y ＞0. ∴f －1(x )＝121x -(x ＞0)．故选A ．7．(2013大纲全国，文7)已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，243a =-，则{a n }的前10项和等于( )．A ．－6(1－3－10) B ．19(1－310) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10) 答案：C解析：∵3a n ＋1＋a n ＝0⇒a n ＋1＝13-a n ， ∴{a n }是以13-为公比的等比数列．又∵a 2＝43-，∴a 1＝4. ∴S 10＝101413113⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+＝3(1－3－10)．故选C ．8．(2013大纲全国，文8)已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( )．A ．22x ＋y 2＝1 B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 答案：C解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得 |AF 1|＝2a －32.① 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝232⎛⎫ ⎪⎝⎭＋22.② 由①②得a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆C的方程为22143x y +=，应选C ．9．(2013大纲全国，文9)若函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0)的部分图像如图，则ω＝( )．A ．5B ．4C ．3D ．2 答案：B解析：∵由题中图象可知x 0＋π4－x 0＝2T .∴π2T =.∴2ππ2ω=.∴ω＝4.故选B ．10．(2013大纲全国，文10)已知曲线y＝x4＋ax2＋1在点(－1，a＋2)处切线的斜率为8，则a＝()．A．9 B．6 C．－9 D．－6答案：D解析：由题意知y′|x＝－1＝(4x3＋2ax)|x＝－1＝－4－2a＝8，则a＝－6.故选D．11．(2013大纲全国，文11)已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于()．A．23BC．D．13答案：A解析：如图，设AA1＝2AB＝2，AC交BD于点O，连结OC1，过C作CH⊥OC1于点H，连结DH.∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1.∵CH⊂平面ACC1A1，∴CH⊥BD．∴CH⊥平面C1BD．∴∠CDH为CD与平面BDC1所成的角．OC1==由等面积法得OC1·CH＝OC·CC1，2CH=.∴CH＝23.∴sin∠CDH＝22313CHCD==.故选A．12．(2013大纲全国，文12)已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若MA·MB＝0，则k＝()．A．12B．2CD．2答案：D解析：设AB：y＝k(x－2)，代入y2＝8x得：k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则∴x1＋x2＝2248kk+，x1x2＝4.(*)∵MA·MB＝0，∴(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝0，即(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0.∴x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋y1y2－2(y1＋y2)＋4＝0.①∵11222,2,y k x y k x =(-)⎧⎨=(-)⎩∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－4)，②y 1·y 2＝k 2(x 1－2)(x 2－2)＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]．③ 由(*)及①②③得k ＝2.故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．(2013大纲全国，文13)设f (x )是以2为周期的函数，且当x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝______.答案：－1解析：∵f (x )是以2为周期的函数，且x ∈[1,3)时，f (x )＝x －2，则f (－1)＝f (－1＋2)＝f (1)＝1－2＝－1.14．(2013大纲全国，文14)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有__________种．(用数字作答)答案：60解析：分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果．故共有123653C C C 60=(种)可能的结果．15．(2013大纲全国，文15)若x ，y 满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z ＝－x ＋y 的最小值为______．答案：0解析：z ＝－x ＋y ⇒y ＝x ＋z ，z 表示直线y ＝x ＋z 在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小．画出题中约束条件表示的可行域(如图中阴影部分所示)，当直线过点A (1,1)时，z min ＝0.16．(2013大纲全国，文16)已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，OK ＝32，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60°，则球O 的表面积等于______．答案：16π解析：如图，设MN 为公共弦，长度为R ，E 为MN 中点，连结OE ，EK ，则OE ⊥MN ，KE ⊥MN .∴∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角． ∴∠OEK ＝60°.又△OMN 为正三角形，∴OE. ∵OK ＝32，且OK ⊥KE ， ∴OE ·sin 60°＝32.32=.∴R ＝2.∴S ＝4πR 2＝16π.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(2013大纲全国，文17)(本小题满分10分)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式； (2)设1n nb na =，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则 a n ＝a 1＋(n －1)d .因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=(+)⎩解得a 1＝1，12d =.所以{a n }的通项公式为12n n a +=.(2)因为22211n b n n n n ==-(+)+，所以2222222122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．(2013大纲全国，文18)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac .(1)求B ；(2)若sin A sin C C ．解：(1)因为(a ＋b ＋c )(a －b ＋c )＝ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝－ac .由余弦定理得cos B ＝222122a cb ac +-=-，因此B ＝120°.(2)由(1)知A ＋C ＝60°，所以cos(A －C )＝cosA cos C ＋sin A sin C ＝cos A cos C －sin A sin C ＋2sin A sin C ＝cos(A ＋C )＋2sin A sin C＝1+22 ＝2，故A －C ＝30°或A －C ＝－30°，因此C ＝15°或C ＝45°.19．(2013大纲全国，文19)(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，BC ＝2AD ，△P AB 和△P AD 都是边长为2的等边三角形．(1)证明：PB ⊥CD ；(2)求点A 到平面PCD 的距离．(1)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O .连结OA ，OB ，OD ，OE .由△P AB 和△P AD 都是等边三角形知P A ＝PB ＝PD ，所以OA ＝OB ＝OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ，从而PB ⊥OE .因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD ．因此PB ⊥CD ．(2)解：取PD 的中点F ，连结OF ，则OF ∥PB ．由(1)知，PB ⊥CD ，故OF ⊥CD ．又OD ＝12BDOP= 故△POD 为等腰三角形，因此OF ⊥PD ．又PD ∩CD ＝D ，所以OF ⊥平面PCD ．因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD ，AE ⊄平面PCD ，所以AE ∥平面PCD ．因此O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而OF ＝12PB ＝1，所以A 到平面PCD 的距离为1.20．(2013大纲全国，文20)(本小题满分12分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果相互独立，第1局甲当裁判． (1)求第4局甲当裁判的概率；(2)求前4局中乙恰好当1次裁判的概率．解：(1)记A 1表示事件“第2局结果为甲胜”，A 2表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”， A 表示事件“第4局甲当裁判”．则A ＝A 1·A 2. P (A )＝P (A 1·A 2)＝P (A 1)P (A 2)＝14. (2)记B 1表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，B 2表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 3表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”， B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B ＝1B ·B 3＋B 1·B 2·3B ＋B 1·2B .P (B )＝P (1B ·B 3＋B 1·B 2·3B ＋B 1·2B )＝P (1B ·B 3)＋P (B 1·B 2·3B )＋P (B 1·2B ) ＝P (1B )P (B 3)＋P (B 1)P (B 2)P (3B )＋P (B 1)P (2B )＝111484++＝58.21．(2013大纲全国，文21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3x ＋1.(1)当a =f (x )的单调性；(2)若x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥0，求a 的取值范围．解：(1)当a =f (x )＝x 3－2＋3x ＋1，f ′(x )＝3x 2－＋3.令f ′(x )＝0，得11x =，21x .当x ∈(1)时，f ′(x )＞0，f (x )在(1)是增函数；当x ∈11)时，f ′(x )＜0，f (x )在11)是减函数；当x ∈1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )在1，＋∞)是增函数． (2)由f (2)≥0得54a ≥-. 当54a ≥-，x ∈(2，＋∞)时， f ′(x )＝3(x 2＋2ax ＋1)≥25312x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＝312x ⎛⎫- ⎪⎝⎭(x －2)＞0，所以f (x )在(2，＋∞)是增函数，于是当x ∈[2，＋∞)时，f (x )≥f (2)≥0. 综上，a 的取值范围是5,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.22．(2013大纲全国，文22)(本小题满分12分)已知双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C (1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等比数列．(1)解：由题设知3c a =，即2229a b a+=，故b 2＝8a 2. 所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2.将y ＝2代入上式，并求得x =由题设知，=a 2＝1.所以a ＝1，b =(2)证明：由(1)知，F 1(－3,0)，F 2(3,0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k (x －3)，|k (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝2268k k -，x 1·x 2＝22988k k +-.于是|AF 1|＝＝－(3x1＋1)，|BF1|＝3x2＋1.由|AF1|＝|BF1|得－(3x1＋1)＝3x2＋1，即x1＋x2＝2 3 -.故226283kk=--，解得24 5k=，从而x1·x2＝19 9 -.由于|AF2|＝1－3x1，|BF2|3x2－1，故|AB|＝|AF2|－|BF2|＝2－3(x1＋x2)＝4，|AF2|·|BF2|＝3(x1＋x2)－9x1x2－1＝16.因而|AF2|·|BF2|＝|AB|2，所以|AF2|，|AB|，|BF2|成等比数列．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解重庆文

2013年重庆文一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知集合U=1,2,3,4，集合A=1,2，B=2,3，则∁U A∪B= A. 1,3,4B. 3,4C. 3D. 42. 命题"对任意x∈R，都有x2≥0 "的否定为 A. 存在x0∈R，使得x02<0B. 对任意x∈R，都有x2<0C. 存在x0∈R，使得x02≥0D. 不存在x∈R，使得x2<03. 函数y=1log2x−2的定义域是 A. −∞,2B. 2,+∞C. 2,3∪3,+∞D. 2,4∪4,+∞4. 设P是圆x−32+y+12=4上的动点，Q是直线x=−3上的动点，则PQ 的最小值为 A. 6B. 4C. 3D. 25. 执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是 A. 3B. 4C. 5D. 66. 如图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间22,30内的频率为 A. 0.2B. 0.4C. 0.5D. 0.67. 关于x的不等式x2−2ax−8a2<0a>0的解集为x1,x2，且x2−x1=15，则a= A. 52B. 72C. 154D. 1528. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 180B. 200C. 220D. 240 9. 已知函数f x =ax 3+b sin x +4 a ,b ∈R ,f lg log 210 =5，则f lg lg2 = A. −5B. −1C. 3D. 410. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60∘的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1 = A 2B 2 ，其中A 1,B 1和A 2,B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. 2 33,2 B.2 33,2 C.2 33,+∞ D.2 33,+∞二、填空题（共5小题；共25分） 11. 设复数z =1+2i （i 是虚数单位），则 z = ． 12. 若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c −a = ．13. 若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为．14. 在OA 为边、OB 为对角线的矩形中，已知OA= −3,1 ，OB = −2,k ，则实数k = ．15. 设0≤α≤π，不等式8x 2− 8sin α x +cos2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为．三、解答题（共6小题；共78分）16. 设数列 a n 满足：a 1=1,a n +1=3a n ,n ∈N +．（1）求 a n 的通项公式及前n 项和S n ；（2）已知 b n 是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1=a 2,b 3=a 1+a 2+a 3，求T 20．17. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得 x i =8010i =1, y i =2010i =1, x i y i =18410i =1, x i 2=72010i =1．附：线性回归方程y =bx +a 中，b = x i y i −nxyn i =1 x i −nx2i =1，a =y −bx ，其中x ,y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y =b x +a ．（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y =bx +a ；（2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2=b 2+c 2+ 3bc ．（1）求A ；（2）设a = 3，S 为△ABC 的面积，求S +3cos B cos C 的最大值，并指出此时B 的值．19. 如图，四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA =2 3，BC =CD =2，∠ACB =∠ACD =π3．（1）求证：BD⊥平面PAC；（2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P−BDF的体积．20. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）．设该蓄水池的底面半径为r米，高为ℎ米，体积为V立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12000π元（π为圆周率）．（1）将V表示成r的函数V r，并求该函数的定义域；（2）讨论函数V r的单调性，并确定r和ℎ为何值时该蓄水池的体积最大．21. 如图，椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，离心率e=2，过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A，2Aʹ两点， AAʹ =4．（1）求该椭圆的标准方程；（2）取平行于y轴的直线与椭圆相交于不同的两点P，Pʹ，过P，Pʹ作圆心为Q的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q外，求△PPʹQ的面积S的最大值，并写出对应的圆Q的标准方程．答案第一部分1. D2. A3. C 【解析】要使函数x−2>0log2x−2≠0有意义，则x−2>0x−2≠1，即，即x>2且x≠3，故选C．4. B 【解析】设圆心到直线的距离为d，则d=6，则PQ的最小值为d−r，所以PQ的最小值为4．5. C6. B7. A8. D9. C 10. A【解析】先考虑焦点在x轴上的双曲线，由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x轴（或y 轴）对称，又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30∘且小于等于60∘，即tan30∘<ba ≤tan60∘，所以13<b2a2≤3．又e2=ca2=c2a2=1+b2a2,所以43<e2≤4，解得233<e≤2．焦点在y轴上的双曲线与焦点在x轴上的双曲线的开口宽窄要求完全相同，所以离心率的范围一致．第二部分11. 512. 7213. 2314. 4【解析】OA⋅OB=OA×OB cos OA,OB=OA 2=6+k，OA=10，故k=4．15. 0,π6∪5π6,π【解析】由题意，得Δ=64sin2α−32cos2α≤0，化简得cos2α≥12，又0≤α≤π，则0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，即0≤α≤π6或5π6≤α≤π．第三部分16. （1）由题设知a n是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n=3n−1,S n=1−3n1−3=123n−1.（2）由题b1=a2=3,b3=1+3+9=13,可得b3−b1=10=2d,所以公差d=5，故T20=20×3+20×192×5=1010.17. （1）由题意知n=10，x=1nx i=8010=8 ni=1,y=1y i=20=2 ni=1,又l xx=x i2ni=1−nx2=720−10×82=80,l xy=x ini=1y i−nxy=184−10×8×2=24,由此得b=l xyl xx=2480=0.3,a=y−bx=2−0.3×8=−0.4,故所求线性回归方程为y=0.3x−0.4.（2）由于变量y的值随x值的增加而增加b=0.3>0，故x与y之间是正相关．（3）将x=7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7−0.4=1.7千元.18. （1）由余弦定理得cos A=b2+c2−a22bc=−3bc2bc=−32.又因为0<A<π，所以A=5π.（2）由（1）得sin A=12．又由正弦定理及a=3，得S=1ab sin C=12⋅a sin Bsin A⋅a sin C=3sin B sin C,因此S+3cos B cos C=3sin B sin C+cos B cos C=3cos B−C.所以，当B=C，即B=π−A2=π12时，S+3cos B cos C取最大值3．19. （1）因为BC=CD，所以△BCD为等腰三角形．又∠ACB=∠ACD，所以BD⊥AC．因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD．从而BD与平面PAC内两条相交直线PA,AC都垂直，所以BD⊥平面PAC．（2）三棱锥P−BCD的底面BCD的面积S△BCD=1BC⋅CD⋅sin∠BCD=12×2×2×sin2π3= 3.由PA⊥底面ABCD，得V P−BCD=1⋅S△BCD⋅PA=13×3×23=2.由PF=7FC，得三棱锥F−BCD的高为18PA，故V F−BCD=13⋅S△BCD⋅18PA=13×3×18×23=1 ,所以V P−BDF=V P−BCD−V F−BCD=2−1 4=7 4 .20. （1）因为蓄水池侧面的总成本为100⋅2πrℎ=200πrℎ（元），底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为200πrℎ+160πr2元．又根据题意200πrℎ+160πr2=12000π,所以ℎ=15r300−4r2，从而V r=πr2ℎ=π300r−4r3.因为r>0，又由ℎ>0，可得r<53，故函数V r的定义域为0,53．（2）因为V r=π5300r−4r3，所以Vʹr=π300−12r2.令Vʹr=0，解得r1=5,r2=−5（因为r2=−5不在定义域内，舍去）．当r∈0,5时，Vʹr>0，故V r在0,5上为增函数；当r∈5,5时，Vʹr<0，故V r在5,5上为减函数．由此可知，V r在r=5处取得最大值，此时ℎ=8．即当r=5，ℎ=8时，该蓄水池的体积最大．21. （1）由题意知，A−c,2在椭圆上，则−c22+222=1,从而e2+4b =1．由e=22，得b2=42=8,从而a2=b21−e2=16．故该椭圆的标准方程为x2 16+y28=1.（2）由椭圆的对称性，可设Q x0,0．又设M x,y是椭圆上任意一点，则QM 2=x−x02+y2=x2−2x0x+x02+81−x2 16=1x−2x02−x02+8x∈−4,4.设P x1,y1，由题意知，点P是椭圆上到点Q的距离最小的点，因此，上式当x=x1时取最小值．又因为x1∈−4,4，所以，上式当x=2x0时取最小值，从而x1=2x0，且QP 2=8−x02．由对称性知Pʹx1,−y1，故 PPʹ =2y1，所以S=12y1⋅x1−x0=12⋅281−x1216⋅x0=2⋅4−x02x02=2⋅ − x02−22+4.当x0=±2时，△PPʹQ的面积S取到最大值22．此时对应的圆Q的圆心坐标为Q ±2,0，半径QP =8−x02=6,因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为x+22+y2=6,x−22+y2=6.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解山东文

2013年山东文一、选择题（共12小题；共60分）1. 复数z=2−i2i（i为虚数单位），则∣z∣= A. 25B.C. 5D.2. 已知集合A，B均为全集U=1,2,3,4的子集，且∁U A∪B=4，B=1,2，则A∩∁U B=A. 3B. 4C. 3,4D. ∅3. 已知函数f x为奇函数，且当x>0时，f x=x2+1x，则f−1= A. 2B. 1C. 0D. −24. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是 A. 48B. 483C. 4+1,83D. 8,85. 函数f x=xx+3的定义域为 A. −3,0B. −3,1C. −∞,−3∪−3,0D. −∞,−3∪−3,16. 执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a的值为−1.2，第二次输入的a的值为1.2，则第一次，第二次输出的a的值分别为 A. 0.2，0.2B. 0.2，0.8C. 0.8，0.2D. 0.8，0.87. △ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若B=2A，a=1，b=3，则c= A. 23B. 2C. 2D. 18. 给定两个命题p、q，若¬p是q的必要而不充分条件，则p是¬q的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 函数y=x cos x+sin x的图象大致为 A. B.C. D.10. 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为 A. 1169B. 367C. 36D. 67711. 抛物线C1:y=12p x2p>0的焦点与双曲线C2:x23−y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p= A. 316B. 38C. 233D. 43312. 设正实数x,y,z满足x2−3xy+4y2−z=0．则当zxy取得最小值时，x+2y−z的最大值为 A. 0B. 98C. 2 D. 94二、填空题（共4小题；共20分）13. 过点3,1作圆x−22+y−22=4的弦，其中最短弦的长为．14. 在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组2x+3y−6≤0x+y−2≥0y≥0所表示的区域上一动点，则∣OM∣的最小值是．15. 在平面直角坐标系xOy中，已知OA=−1,t，OB=2,2，若∠ABO=90∘，则实数t的值为．16. 定义"正对数"：ln+x=0,0<x<1ln x,x≥1，现有四个命题：①若a>0,b>0，则ln+a b=b ln+a；②若a>0,b>0，则ln+ab=ln+a+ln+b；③若a>0,b>0，则ln+ab≥ln+a−ln+b；④若a>0,b>0，则ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln2．其中真命题有（写出所有真命题的编号）．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某小组共有A,B,C,D,E五位同学，他们的身高（单位：米）及体重指标（单位：千克/米2）如下表所示：A B C D E身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82体重指标19.225.118.523.320.9（1）从该小组身高低于1.80的同学中任选2人，求选到的2人身高都在1.78以下的概率；（2）从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9中的概率．18. 设函数f x=32−3sin2ωx−sinωx cosωxω>0，且y=f x图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4．（1）求ω的值；（2）求f x在区间 π,3π2上的最大值和最小值．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB=2CD，E、F、G、M、N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．（1）求证：CE∥平面PAD；（2）求证：平面EFG⊥平面EMN．20. 设等差数列a n的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（1）求数列a n的通项公式；（2）若数列b n满足b1a1+b2a2+⋯+b na n=1−12n,n∈N∗，求b n的前n项和T n．21. 已知函数f x=ax2+bx−ln x a,b∈R．（1）设a≥0，求f x的单调区间；（2）设a>0，且对任意x>0，f x≥f1，试比较ln a与−2b的大小．．22. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，离心率为22（1）求椭圆C的方程；（2）A，B为椭圆C上满足△AOB的面积为6的任意两点，E为线段AB的中点，射线OE交椭圆C4于点P，设OP=tOE，求实数t的值．答案第一部分1. C2. A3. D4. B5. A【解析】由题意得1−2x≥0x+3>0，解得−3<x≤0．6. C7. B 【解析】由正弦定理得1sin A =3sin2A．所以1sin A=32sin A cos A．所以cos A=32．又0∘<A<180∘．所以A=30∘．B=60∘．C=90∘．所以c= a2+b2=12+32=2．8. A 9. D 【解析】首先，此函数为奇函数，排除B．又x=π时，y=−π<0，排除A．最后当x是一个比较小的正数时，如x=π6时，y>0，排除C．故选D．当然，也可以用零点角度考虑．10. B【解析】由图可知去掉的两个数是87,99，所以87+90×2+91×2+94+90+x=91×7，解得x=4．故s2=1787−912+90−912×2+91−912×2+94−912×2=367．11. D【解析】由题可知，双曲线右焦点为F2,0，渐近线方程为y=±33x；抛物线焦点为Fʹ0,p2．设M x0,y0，则y0=12p x02．∵k MFʹ=k FFʹ，∴12px02−p2x0=p2−2⋯①．又yʹ=xp，∴yʹ∣x=x=x0p=33⋯②．由①②得p=433．12. C 【解析】含三个参数x,y,z，消元，利用基本不等式及配方法求最值．z=x2−3xy+4y2x,y,z∈R+,所以z=x2−3xy+4y2=xy+4yx−3≥2x⋅4y−3=1.当且仅当xy =4yx，即x=2y时" = "成立，此时z=4y2−6y2+4y2=2y2．所以x+2y−z=2y+2y−2y2=−2y2+4y=−2y−12+2.所以当y=1时，x+2y−z取到最大值2．第二部分13. 214.15. 516. ①③④【解析】本题是新定义型问题，解题时要严格按照所给定义，对每一个选项逐一论证或排除． ①当a >1时，因为b >0，所以a b >1，从而ln + a b =ln a b =b ln a =b ln +a .当0<a <1时，因为b >0，所以0<a b <1，从而ln + a b =0．又ln +a =0，所以b ln +a =0，从而ln + a b =b ln +a .故①正确．②当a =2,b =14时，ln + ab =ln +12=0，而ln +a =ln2,ln +b =0,从而ln +a +ln +b =ln2≠ln + ab ，故②不成立．③a ．当0<a ≤1,0<b ≤1时，ln +a −ln +b =0−0=0，而ln + ab≥0，所以ln + a≥ln +a −ln +b .b ．当0<a ≤1,b >1时，ln +a −ln +b =−ln +b <0，而ln + ab =0，所以 ln + ab≥ln +a −ln +b .c ．当a >1,0<b ≤1时，ab ≥a >1，所以ln + a b =ln ab ≥ln a =ln +a =ln +a −ln +b .d ．当a >1,b >1，且a <b 时，ln + ab =0,ln +a −ln +b <0，所以ln + a≥ln +a −ln +b .e ．当a >1,b >1，且a >b 时，ab >1，所以ln + a =ln a=ln a −ln b =ln +a −ln +b .综上：ln + ab ≥ln +a −ln +b ，故③正确．④a ．当0<a +b ≤1时，0<a ≤1,0<b ≤1，所以ln + a +b =0，ln +a +ln +b +ln2=0+0+ln2>0,从而ln + a +b <ln +a +ln +b +ln2.b ．当a +b >1时，分以下三种情况：（i ）当0<a ≤1,b ≥1时，因为a +b ≤1+b ≤b +b =2b ，所以 ln + a +b =ln a +b≤ln2b=ln +a +ln +b +ln2.（ii ）当a ≥1,0<b ≤1时，因为a +b ≤1+a ≤a +a =2a ，所以ln + a +b =ln a +b≤ln2a =ln a +ln2=ln +a +ln +b +ln2.（iii）当0<a≤1,0<b≤1时，有a+b≤2，且ln+a=0,ln+b=0．所以ln+a+b=ln a+b≤ln2=ln+a+ln+b+ln2.综上：ln+a+b≤ln+a+ln+b+ln2，故④正确．第三部分17. （1）从身高低于1.80的同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有：A,B,A,C,A,D,B,C,B,D,C,D,共6个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.78以下的事件有A,B,A,C,B,C,共3个．因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P=3=1.（2）从该小组同学中任选2人，其一切可能的结果组成的基本事件有A,B,A,C,A,D,A,E,B,C,B,D,B,E,C,D,C,E,D,E,共10个．由于每个人被选到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9中的事件有C,D,C,E,D,E,共3个．因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在18.5,23.9中的概率为P=3 10 .18. （1）f x=3−3sin2ωx−sinωx cosωx=3−3⋅1−cos2ωx−1sin2ωx=32cos2ωx−12sin2ωx=−sin2ωx−π3.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4，又ω>0，所以2π2ω=4×π4,因此ω=1．（2）由（1）知f x=−sin2x−π3．当π≤x≤3π2时，5π≤2x−π≤8π.所以−32≤sin2x−π3≤1.因此−1≤f x≤3 2 .故f x在区间 π,3π2上的最大值和最小值分别为32,−1．19. （1）如图，取PA的中点H，连接EH，DH．因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH=12AB．又AB∥CD，CD=12AB，所以EH∥CD，EH=CD．所以四边形DCEH是平行四边形．所以CE∥DH．又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，所以CE∥平面PAD．（2）因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又AB⊥PA，所以AB⊥EF，同理可证AB⊥FG．又EF∩FG=F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，因此AB⊥平面EFG．又M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥DC．又AB∥DC，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG．又MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN．20. （1）设等差数列a n的首项为a1，公差为d．由S4=4S2，a2n=2a n+1，得4a1+6d=8a1+4d,a1+2n−1d=2a1+2n−1d+1.解得a1=1,d=2.因此a n=2n−1,n∈N∗.（2）由已知b1 1+b22+⋯+b nn=1−1,n∈N∗,当n=1时，b1a1=12；当n≥2时，b n a n =1−12n−1−12n−1=12n.所以b n a n =12n,n∈N∗.由（1）知a n=2n−1,n∈N∗，所以b n=2n−1,n∈N∗.所以T n=12+322+523+⋯+2n−12n,1 2T n=122+323+⋯+2n−32n+2n−12n+1,两式相减，得1 2T n=12+222+223+⋯+22n−2n−12n+1 =32−12n−1−2n−12n+1,所以T n=3−2n+3n.21. （1）由f x=ax2+bx−ln x,x∈0,+∞，得fʹx=2ax2+bx−1.①当a=0时，fʹx=bx−1.（1）若b≤0，当x>0时，fʹx<0恒成立，所以函数f x的单调递减区间是0,+∞．（2）若b>0，当0<x<1b时，fʹx<0，函数f x单调递减，当x>1b时，fʹx>0，函数f x单调递增，所以函数f x的单调递减区间是0,1b ，单调递增区间是1b,+∞ ．②当a>0时，令fʹx=0，得2ax2+bx−1=0.由Δ=b2+8a>0，得x1=−b− b2+8a,x2=−b+ b2+8a4a.显然x1<0,x2>0．当0<x<x2时，fʹx<0，函数f x单调递减；当x>x2时，fʹx>0，函数f x单调递增．所以函数f x的单调递减区间是0,−b+ b2+8a4a ，单调递增区间是−b+ b2+8a4a,+∞ ．综上所述，当a=0,b≤0时，函数f x的单调递减区间是0,+∞；当a=0,b>0时，函数f x的单调递减区间是0,1b ，单调递增区间是1b,+∞ ；当a>0时，函数f x的单调递减区间是0,−b+ b2+8a4a ，单调递增区间是−b+ b2+8a4a,+∞ ．（2）由题意知函数f x在x=1处取得最小值．由（1）知−b+ b2+8a4a是f x的唯一极小值点，故−b+ b2+8a=1,整理，得2a+b=1,即b=1−2a.令g x=2−4x+ln x，则gʹx=1−4x.令gʹx=0，得x=1 4 ,当0<x<14时，gʹx>0，g x单调递增；当x>14时，gʹx<0，g x单调递减．因此g x≤g1=1+ln 1 4=1−ln4<0,故g a<0,即2−4a+ln a=2b+ln a<0,即ln a<−2b.22. （1）设椭圆C的方程为x2a +y2b=1a>b>0，由题意知a2=b2+c2,c=2,2b=2,解得a = 2,b =1,因此椭圆C 的方程为x 2+y 2=1.（2）（i ）当A ，B 两点关于x 轴对称时，设直线AB 的方程为x =m ．由题意得− 2<m <0或0<m < 2.将x =m 代入椭圆方程x 22+y 2=1，得∣y ∣= 2−m 22,所以S △AOB=∣m ∣⋅2−m 22=6. 解得m 2=32或m 2=12. ⋯⋯①因为OP=tOE=12t OA +OB =1t 2m ,0 = mt ,0 ,又P 为椭圆C 上一点，所以mt 22=1. ⋯⋯② 由①②，得t 2=4或t 2=4,又t >0，所以t =2或t =2 33. （ii ）当A ，B 两点关于x 轴不对称时，设直线AB 的方程为y =kx + ．将其代入椭圆的方程x 22+y 2=1，得1+2k 2 x 2+4k x +2 2−2=0.设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ．由判别式Δ>0可得1+2k 2> 2,此时x 1+x 2=−4k1+2k 2,x 1x 2=2 2−21+2k 2,y 1+y 2=k x 1+x 2 +2=2 1+2k 2, 所以∣AB ∣= 1+k 2× x 1+x 2 2−4x 1x 2=2 2× 1+k × 1+2k 2− 21+2k 2.因为点O 到直线AB 的距离d =1+k 2,所以S △AOB=1∣AB∣d =1×2 2× 1+k 2×1+2k 2− 22× 1+k 2= 2× 1+2k 2− 21+2k 2×∣ ∣.又S △AOB =64，所以 2×1+2k 2− 21+2k 2×∣ ∣= 64. ⋯⋯③ 令n =1+2k 2，代入③整理得3n 2−16 2n +16 4=0.解得n =4 2或n =42,即1+2k 2=4 2或1+2k 2=432. ⋯⋯④因为OP=tOE=1t OA +OB =1t x 1+x 2,y 1+y 2 = −2k t 1+2k 2, t1+2k 2,又P 为椭圆C 上一点，所以t21−2k22+22=1,即2t21+2k2=1. ⋯⋯⑤将④代入⑤，得t2=4或t2=4 3 .又t>0，故t=2或t=23.经检验，适合题意．综合（i）（ii），得t=2或t=23 3.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解北京文

2013年北京文一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知集合A=−1,0,1，B=x−1≤x<1，则A∩B= A. 0B. −1,0C. 0,1D. −1,0,12. 设a,b,c∈R，且a>b，则 A. ac>bcB. 1a <1bC. a2>b2D. a3>b33. 下列函数中，既是偶函数又在区间0,+∞上单调递减的是 A. y=1xB. y=e−xC. y=−x2+1D. y=lg x4. 在复平面内，复数i2−i对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限5. 在△ABC中，a=3，b=5，sin A=13，则sin B= A. 15B. 59C. 53D. 16. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为．A. 1B. 23C. 1321D. 6109877. 双曲线x2−y2m=1的离心率大于2的充分必要条件是 A. m>12B. m≥1C. m>1D. m>28. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有 A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个二、填空题（共6小题；共30分）9. 若抛物线y2=2px的焦点坐标为1,0，则p=；准线方程为．10. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为．11. 若等比数列a n满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n项和S n=．12. 设D为不等式组x≥0,2x−y≤0,x+y−3≤0,表示的平面区域，区域D上的点与点1,0之间的距离的最小值为．13. 函数f x=log12x,x≥1,2x,x<1,的值域为．14. 已知点A1,−1,B3,0,C2,1．若平面区域D由所有满足AP=λAB+μAC1≤λ≤2,0≤μ≤1的点P组成，则D的面积为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知函数f x=2cos2x−1sin2x+12cos4x．（1）求f x的最小正周期及最大值；（2）若α∈π2,π ，且fα=22，求α的值．16. 下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．（1）求此人到达当日空气质量优良的概率；（2）求此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?（结论不要求证明）17. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：（1）PA⊥底面ABCD；（2）BE∥平面PAD；（3）平面BEF⊥平面PCD．18. 已知函数f x=x2+x sin x+cos x．（1）若曲线y=f x在点 a,f a处与直线y=b相切，求a与b的值；（2）若曲线y=f x与直线y=b有两个不同交点，求b的取值范围．+y2=1相交于A，C两点，O是坐标原点．19. 直线y=kx+m m≠0与椭圆W:x24（1）当点B的坐标为0,1，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；（2）当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．20. 给定数列a1，a2，⋯，a n，对i=1，2，⋯，n−1，该数列前i项的最大值记为A i，后n−i项a i+1，a i+2，⋯，a n的最小值记为B i，d i=A i−B i．（1）设数列a n为3，4，7，1，写出d1，d2，d3的值；（2）设a1，a2，⋯，a n n≥4是公比大于1的等比数列，且a1>0，证明：d1，d2，⋯，d n−1是等比数列；（3）设d1，d2，⋯，d n−1是公差大于0的等差数列，且d1>0，证明：a1，a2，⋯，a n−1是等差数列．答案第一部分1. B 【解析】−1,0,1∩x−1≤x<1=−1,0．2. D3. C4. A5. B【解析】由正弦定理：asin A =bsin B及已知得31=5sin B．所以sin B=59．6. C 【解析】依次执行的循环为S=1，i=0；S=23，i=1；S=1321，i=2．7. C 【解析】【解析】∵双曲线x^2-\dfrac{y^{2}}{m}=1的离心率e=\sqrt{1+m}，又∵e>\sqrt{2}，∴\sqrt{1+m}>\sqrt{2}，∴m>1．【答案】 C8. B 【解析】如图，取底面ABCD的中心O，连接PA，PC，PO．因为AC⊥平面DD1B，又PO⊂平面DD1B，所以AC⊥PO．又O是BD的中点，所以PA=PC．同理，取B1C与BC1的交点H，易证B1C⊥平面D1C1B，所以B1C⊥PH．又H是B1C的中点，所以PB1=PC，故PA=PB1=PC．同理可证PA1=PC1=PD．又P是BD1的三等分点，所以PB≠PD1≠PB1≠PD．故点P到正方体的顶点的不同距离有4个．第二部分9. 2，x=−110. 311. 2，2n+1−212. 25513. −∞,2【解析】当x≥1时，log1x≤0，当x<1时，0<2x<2，故函数的值域是−∞,2．14. 3【解析】设P x,y，则AP=x−1,y+1.由题意知AB=2,1,AC=1,2．由AP=λAB+μAC知x−1,y+1=λ2,1+μ1,2,即2λ+μ=x−1,λ+2μ=y+1.∴λ=2x−y−33,μ=2y−x+33,∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，∴3≤2x−y−3≤6,0≤2y−x+3≤3.作出不等式组表示的平面区域（如图阴影部分），由图可知平面区域D为平行四边形，可求出M4,2,N6,3，故MN=5．又x−2y=0与x−2y−3=0之间的距离为d=5，故平面区域D的面积为S=5×35=3.第三部分15. （1）因为f x=2cos2x−1sin2x+1cos4x=cos2x sin2x+1cos4x=1sin4x+cos4x=22sin4x+π4,所以f x的最小正周期为π2，最大值为22．（2）因为fα=22，所以sin4α+π=1.因为α∈π2,π ，所以4α+π4∈9π4,17π4,所以4α+π4=5π2,故α=9π16．16. （1）在3月1日至3月13日这13天中，1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天的空气质量优良，所以此人到达当日空气质量优良的概率是613．（2）根据题意，事件"此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染"等价于"此人到达该市的日期是4日，或5日，或7日，或8日"，所以此人在该市停留期间只有1天空气质量重度污染的概率为413．（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17. （1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于这两个平面的交线AD，所以PA⊥底面ABCD．（2）因为AB∥CD，CD=2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB=DE．所以四边形ABED为平行四边形．所以BE∥AD．又因为BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BE∥平面PAD．（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，所以BE⊥CD，AD⊥CD．由（1）知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD．又因为PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD．所以CD⊥PD．因为E和F分别是CD和PC的中点，所以PD∥EF．所以CD⊥EF．又因为CD⊥BE，EF∩BE=E，所以CD⊥平面BEF．所以平面BEF⊥平面PCD．18. （1）因为曲线y=f x在点 a,f a处与直线y=b相切，所以fʹa=a2+cos a=0,b=f a,解得a=0,b=f0=1.（2）令fʹx=0，得x=0．f x与fʹx的变化情况如下：x−∞,000,+∞fʹx−0+f x↘1↗所以函数f x在区间−∞,0上单调递减，在区间0,+∞上单调递增，f0=1是f x的最小值．当b≤1时，曲线y=f x与直线y=b最多只有一个交点；当b>1时，f−2b=f2b≥4b2−2b−1>4b−2b−1>b,f0=1<b,所以存在x1∈−2b,0，x2∈0,2b，使得f x1=f x2=b.由于函数f x在区间−∞,0和0,+∞上均单调，所以当b>1时，曲线y=f x与直线y=b有且仅有两个不同交点．综上可知，如果曲线y=f x与直线y=b有两个不同交点，那么b的取值范围是1,+∞．19. （1）因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB互相垂直平分．所以可设A t,12，代入椭圆方程得t2 4+14=1,即t=±3,所以AC=2 3.（2）假设四边形OABC为菱形．因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0．由x2+4y2=4,y=kx+m,消去y并整理得1+4k2x2+8kmx+4m2−4=0.设A x1,y1,C x2,y2，则Δ=8km2−41+4k24m2−4=64k2−16m2+16>0,y1+y22=k⋅x1+x22+m=m1+4k2,所以AC的中点为M −4km1+4k2,m1+4k2．因为M为AC和OB的交点，且m≠0,k≠0，所以直线OB的斜率为−14k．因为k⋅ −14k≠−1,所以AC与OB不垂直，所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾，所以当点B在W上且不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形．20. （1）d1=2，d2=3，d3=6．（2）因为a1>0，公比q>1，所以a1，a2，⋯，a n是递增数列．因此，对i=1，2，⋯，n−1，A i=a i，B i=a i+1．故i=1，2，⋯，n−1，d i=A i−B i=a i−a i+1=a11−q q i−1.=q i=1,2,⋅⋅⋅,n−2，即d1，d2，⋯，d n−1是等比数列．因此，d i≠0且d i+1d i（3）设d为d1，d2，⋯，d n−1的公差．对1≤i≤n−2，因为B i≤B i+1，d>0，所以A i+1=B i+1+d i+1≥B i+d i+d>B i+d i=A i.又因为A i+1=max A i,a i+1，所以a i+1=A i+1>A i≥a i.从而a1，a2，⋯，a n−1是递增数列．因此A i=a i i=1,2,⋯,n−1.又因为B1=A1−d1=a1−d1<a1,所以B1<a1<a2<⋯<a n−1.因此a n=B1，所以B1=B2=⋯=B n−1=a n.所以a i=A i=B i+d i=a n+d i.因此对i=1，2，⋯，n−2都有a i+1−a i=d i+1−d i=d,即a1，a2，⋯，a n−1是等差数列．。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解全国大纲理

2013年全国大纲理一、选择题（共12小题；共60分）1. 设集合A=1,2,3，B=4,5，M=x x=a+b,a∈A,b∈B，则M中元素的个数为 A. 3B. 4C. 5D. 62. 1+3= A. −8B. 8C. −8iD. 8i3. 已知向量m=λ+1,1，n=λ+2,2，若m+n⊥m−n，则λ= A. −4B. −3C. −2D. −14. 已知函数f x的定义域为−1,0，则函数f2x+1的定义域为 A. −1,1B. −1,−12C. −1,0 D. 12,15. 函数f x=log21+1xx>0的反函数f−1x= A. 12−1x>0 B. 12−1x≠0C. 2x−1x∈RD. 2x−1x>06. 已知数列a n满足3a n+1+a n=0，a2=−43，则a n的前10项和等于 A. −61−3−10B. 191−310C. 31−3−10D. 31+3−107. 1+x81+y4的展开式中x2y2的系数是 A. 56B. 84C. 112D. 1688. 椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是−2,−1，那么直线PA1斜率的取值范围是 A. 12,34B. 38,34C. 12,1 D. 34,19. 若函数f x=x2+ax+1x 在12,+∞ 是增函数，则a的取值范围是 A. −1,0B. −1,+∞C. 0,3D. 3,+∞10. 已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于 A. 23B. 33C. 23D. 1311. 已知抛物线C:y2=8x与点M−2,2，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若MA⋅MB=0，则k= A. 12B. 22C. 2D. 212. 已知函数f x=cos x sin2x，下列结论中错误的是 A. y=f x的图象关于点π,0中心对称B. y=f x的图象关于x=π2对称C. f x的最大值为32D. f x既是奇函数，又是周期函数二、填空题（共4小题；共20分）13. 已知α是第三象限角，sinα=−13，则cotα=．14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）15. 记不等式组x≥0,x+3y≥4,3x+y≤4,所表示的平面区域为D，若直线y=a x+1与D有公共点，则a的取值范围是．16. 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK=32，且圆O与圆K所在的平面所成的一个二面角为60∘，则球O的表面积等于．三、解答题（共6小题；共78分）17. 等差数列a n的前n项和为S n，已知S3=a22，且S1，S2，S4成等比数列，求a n的通项公式．18. 设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a+b+c a−b+c=ac．（1）求B；（2）若sin A sin C=3−14，求C．19. 如图，四棱锥P−ABCD中，∠ABC=∠BAD=90∘，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．（1）证明：PB⊥CD；（2）求二面角A−PD−C的大小．20. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为12，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（1）求第4局甲当裁判的概率；（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．21. 已知双曲线C:x2a −y2b=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为6．（1）求a，b；（2）设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且AF1=BF1，证明：AF2， AB ，BF2成等比数列．22. 已知函数f x=ln1+x−x1+λx1+x．（1）若x≥0时f x≤0，求λ的最小值；（2）设数列a n的通项a n=1+12+13+⋯+1n，证明：a2n−a n+14n>ln2．答案第一部分1. B2. A3. B4. B5. A6. C 【解析】由3a n+1+a n=0，得a n≠0（否则a2=0），且a n+1a n =−13，所以数列a n是公比为−13的等比数列，代入a2可得a1=4，故S10=4×1− −13101+13=3×1−1310=31−3−10.7. D 8. B 9. D 10. A【解析】提示：建立空间直角坐标系进行求解．11. D 【解析】由抛物线C的准线方程为x=−2可知，点M在准线上，设直线方程为y=k x−2，并设A x1,y1，B x2,y2，由MA⋅MB=0可得AM⊥BM，所以点M到直线AB中点N的距离等于AB弦长的一半，根据抛物线的定义，也即AB的中点N到准线的距离，所以线段MN即为三角形MBA的中线，所以MN平行于x轴，如图所示：则N点的纵坐标为2，而y1+y2=4，联立直线方程与抛物线方程得k8y2−y−2k=0，于是y1+y2= 8k=4，解得k=2．12. C 【解析】A项，因为f2π−x=cos2π−x sin4π−2x=cos−x sin−2x=−cos x sin2x=−f x,所以y=f x的图象关于点π,0中心对称，故正确．B项，因为fπ−x=cosπ−x sin2π−2x=cos x sin2x=f x,所以y=f x的图象关于直线x=π2对称，故正确．C项，f x=cos x sin2x=2sin x cos2x=2sin x1−sin2x=−2sin3x+2sin x,令sin x=t，则t∈−1,1，f x的最大值问题转化为求ℎt=−2t3+2t在t∈−1,1上的最大值．ℎʹt=−6t2+2,令ℎʹt=0，得t=−33或33，经计算比较得最大值为ℎ33=439，故错误．D项，由f−x=cos−x sin−2x=−cos x sin2x=−f x,知其为奇函数；对于任意的x，都有f x+2kπ=f x k∈Z，所以f x是以2π为周期的周期函数，故正确．第二部分13. 2214. 48015. 12,4【解析】画出可行域，如图中△ABC区域．又∵直线y=a x+1恒过定点−1,0，a是直线y=a x+1的斜率，当直线经过B点与A点这两个边界点时，对应的a分别为a=12与a=4，故a的范围为12,4．16. 16π【解析】如图所示，公共弦为AB，设球的半径为R，则AB=R．取AB中点M，连接OM，KM，由圆的性质知OM⊥AB，KM⊥AB，所以∠KMO为圆O与圆K所在平面所成的一个二面角的平面角，则∠KMO=60∘．在Rt△KMO中，OK=32，所以OM=OKsin60∘= 3.在Rt△OAM中，因为OA2=OM2+AM2，所以R2=3+14R2,解得R2=4，所以球O的表面积为4πR2=16π．第三部分17. 设a n的公差为d，由S3=a22，得3a2=a22，故a2=0 或 a2=3.由S1，S2，S4成等比数列得，S22=S1S4．又S1=a2−d,S2=2a2−d,S4=4a2+2d,故2a2−d2=a2−d4a2+2d.若a2=0，则d2=−2d2，所以d=0，此时S n=0不合题意；若a2=3，则6−d2=3−d12+2d,解得d=0 或 d=2.因此a n的通项公式为a n=3 或 a n=2n−1.18. （1）因为a+b+c a−b+c=ac,所以a2+c2−b2=−ac.由余弦定理得cos B=a2+c2−b2=−1,因此B=120∘.（2）由（1）知A+C=60∘，所以cos A −C =cos A cos C +sin A sin C=cos A cos C −sin A sin C +2sin A sin C =cos A +C +2sin A sin C =12+2× 3−14= 32, 故A −C =30∘或A −C =−30∘，因此C =15∘或C =45∘.19. （1）如图1，取BC 的中点E ，连接DE ，则ABED 为正方形．过P 作PO ⊥ 平面 ABCD ，垂足为O ．连接OA ，OB ，OD ，OE ．由△PAB 和△PAD 都是等边三角形，知PA =PB =PD ，所以OA =OB =OD ，即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD ．又OE ⊥OP ，BD ∩OP =O ，所以OE ⊥ 平面 PDB ，从而PB ⊥OE ．因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD ．因此PB ⊥CD ．（2）方法一：由⑴知，OE ⊥ 平面 PDB ，OE ∥CD ，故CD ⊥ 平面 PBD ．又PD ⊂ 平面 PBD ，所以CD ⊥PD ．取PD 的中点F ，PC 的中点G ，连接FG ，则FG ∥CD ，FG ⊥PD ，连接AF ，由△APD 为等边三角形可得AF ⊥PD ，所以∠AFG 为二面角A −PD −C 的平面角．连接AG ，EG ，则EG ∥PB ．又PB ⊥AE ，所以EG ⊥AE ．设AB =2，则CD =AE =2 2,EG=12PB =1, 故AG = AE 2+EG 2=3.在△AFG中，FG=12CD=2,AF=3,AG=3,所以cos∠AFG=FG2+AF2−AG2=−6 3 ,因此二面角A−PD−C的大小为π−arccos63．方法二：由（1）知，OE，OB，OP两两垂直．以O为坐标原点，OE的方向为x轴的正方向建立如图2所示的空间直角坐标系O−xyz．设AB=2，则A − 2,0,0,D 0,− 2,0,C 22,− 2,0,P 0,0,2.PC=22,− 2,− 2,PD=0,− 2,− 2,AP=2,0,2,AD=2,− 2,0.设平面PCD的法向量为n1=x,y,z，则n1⋅PC=x,y,z⋅22,− 2,− 2=0,n1⋅PD=x,y,z⋅0,− 2,− 2=0,可得2x−y−z=0,y+z=0.取y=−1，得x=0，z=1，故n1=0,−1,1.设平面PAD的法向量为n2=m,p,q，则n2⋅AP=m,p,q⋅2,0,2=0,n2⋅AD=m,p,q⋅2,− 2,0=0,可得m+q=0,m−p=0.取m=1，得p=1，q=−1，故n 2 = 1,1,−1 .于是cos n 1 ,n 2 =n 1 ⋅n 2n 1 n 2 =− 6.由于 n 1 ,n 2 等于二面角A −PD −C 的平面角，所以二面角A −PD −C 的大小为π−arccos 63． 20. （1）记A 1表示事件"第2局结果为甲胜"， A 2表示事件"第3局甲参加比赛时，结果为甲负"， A 表示事件"第4局甲当裁判"．则A =A 1⋅A 2．P A =P A 1⋅A 2=P A 1 P A 2=1.（2）X 的可能取值为0,1,2．记A 3表示事件"第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙"， B 1表示事件"第1局结果为乙胜丙"，B 2表示事件"第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲"， B 3表示事件"第3局乙参加比赛时，结果为乙负"．则P X =0 =P B 1⋅B 2⋅A 3=P B 1 P B 2 P A 3 =1,P X =2 =P B 1⋅B 3=P B 1 P B 3=1,P X =1 =1−P X =0 −P X =2=1−18−14=5, 故EX =0⋅P X =0 +1⋅P X =1 +2⋅P X =2=98.21. （1）由题设知ca =3，即a 2+b 2a 2=9,故b2=8a2．所以C的方程为8x2−y2=8a2.将y=2代入上式，求得x=±a2+1 .由题设知，2 a2+12=6，解得a2=1．所以a=1,b=2 2.（2）由（1）知，F1−3,0，F23,0，C的方程为8x2−y2=8. ⋯⋯①由题意可设l的方程为y=k x−3, k <22,代入①并化简得k2−8x2−6k2x+9k2+8=0.设A x1,y1，B x2,y2，则x1≤−1，x2≥1，x1+x2=6k2 k2−8,x1⋅x2=9k2+82.于是AF1= x1212= x1+32+8x12−8=−3x1+1,BF1= x2+32+y22=2222=3x2+1.由AF1=BF1，得−3x1+1=3x2+1，即x1+x2=−2 3 ,故6k2 2=−2,解得k2=45，从而x1⋅x2=−199．由于AF2= x1−32+y12= x1212=1−3x1,BF2= x2222= x2−32+8x22−8=3x2−1,普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版故AB = AF 2 − BF 2 =2−3 x 1+x 2 =4, AF 2 ⋅ BF 2 =3 x 1+x 2 −9x 1x 2−1=16.因而AF 2 ⋅ BF 2 = AB 2,所以 AF 2 ， AB ， BF 2 成等比数列．22. （1）由已知f 0 =0,fʹ x = 1−2λ x −λx 22,fʹ 0 =0.若λ≤0，则在 0,+∞ 上，fʹ x >0，f x 单调递增，f x >f 0 =0，不符题意；若0<λ<12，则当0<x <1−2λλ时，fʹ x >0，所以f x >0．若λ≥12，则当x >0时，fʹ x <0，f x 单调递减，所以当x >0时，f x <0．综上，λ的最小值是12．（2）令λ=12．由（1）知，当x >0时，f x <0，即x 2+x 2+2x>ln 1+x . 取x =1k ，则2k +12k k +1 >ln k +1k. 于是a 2n −a n +1= 1+1 2n−1k =n =2k +1 2n−1k =n > lnk +1k 2n−1k =n =ln2n −ln n =ln2,所以a 2n −a n +14n>ln2.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖南文

2013年湖南文一、选择题（共9小题；共45分）1. 复数（为虚数单位）在复平面上对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. " "是" "成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3. 某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为件，件，件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了件，则A. B. C. D.4. 已知是奇函数，是偶函数，且，，则等于A. B. C. D.5. 在锐角中，角，所对的边长分别为，．若，则角等于A. B. C. D.6. 函数的图象与函数的图象的交点个数为A. B. C. D.7. 已知正方体的棱长为，其俯视图是一个面积为的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于A. B. C. D.8. 已知，是单位向量，．若向量满足，则的最大值为A. B. C. D.9. 已知事件"在矩形的边上随机取一点，使的最大边是 "发生的概率为，则A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）10. 已知集合，，，则．11. 在平面直角坐标系中，若直线（为参数）和直线（为参数）平行，则常数的值为．12. 执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出的的值为．13. 若变量，满足约束条件，则的最大值为．14. 设，是双曲线的两个焦点，若在上存在一点，使，且，则的离心率为．15. 对于的子集，定义的"特征数列"为，其中，其余项均为，例如：子集的"特征数列"为．（1）子集的"特征数列"的前项和等于．（2）若的子集的"特征数列" 满足，的子集的"特征数列" 满足，则的元素个数为．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数．（1）求的值；（2）求使成立的的取值集合．17. 如图，在直棱柱中，，是的中点，点在棱上运动．（1）证明：；（2）当异面直线所成的角为时，求三棱锥的体积．18. 某人在如图所示的直角边长为米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量（单位：）与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过米．（1）完成下表，并求所种作物的平均年收获量；频数（2）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为的概率．19. 设为数列的前项和，已知，．（1）求，，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．20. 已知分别是椭圆的左，右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点．（1）求圆的方程；（2）设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为．当最大时，求直线的方程．21. 已知函数．（1）求的单调区间；（2）证明：当时，．答案第一部分1. B2. A3. D4. B5. A【解析】，．又由正弦定理得，．又为锐角，．6. C7. D8. C9. D 【解析】由于满足条件的概率为，且点在边上运动，根据图形的对称性，当点在靠近点的边的分点时，（当点超过点向点运动时，）．设，过点作交于点，则．在中，因为即，所以．第二部分10.11.12.13.14.15. ，【解析】（1）子集的"特征数列"中，其余均为，该数列为．故该数列前项的和为．（2）的子集的"特征数列" 中，由于因此集合中必含有元素．又当时，，且，故．同理可求得故的子集的"特征数列"为，即的子集的"特征数列" 中，由于因此集合中必含有元素．又当时，当时，当时，故所以的子集的"特征数列"为即因为，故．所以集合中有个元素，其下标为奇数的有个．因此共有个元素．第三部分16. （1）（2）等价于，即于是解得故使成立的的取值集合为17. （1）因为，是的中点，所以又在直三棱柱中，平面，而平面，所以由①②，得平面，由点在棱上运动，得平面，所以．（2）因为，所以是异面直线所成的角．由题意知．因为，所以．又，从而平面．于是，故又，所以从而三棱锥18. （1）所种作物的总株数为，其中“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有株，“相近”作物株数为的作物有株，列表如下：频数所种作物的平均年收获量为（2）由（1）知，故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为的概率为19. （1）令，得即．因为，所以．令，得解得．当时，由两式相减，得即．于是数列是首项为，公比为的等比数列．因此，所以数列的通项公式为．（2）由（1）知，记数列的前项和为，于是①②，得从而20. （1）由题设如，的坐标分别为，圆的半径为圆心为原点关于直线的对称点．设圆心的坐标为，由解得所以圆的方程为（2）由题意，可设直线的方程为，则圆心到直线的距离所以由得设与的两个交点坐标分别为，则于是从而当且仅当，即时等号成立．故当时，最大，此时，直线的方程为或即或21. （1）函数的定义域为．当时，；当时，．所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）当时，由于，故；同理，当时，．当时，不妨设，由（1）知，下面证明：，即证此不等式等价于令，则当时，，单调递减，从而即所以，而，所以从而由于，在上单调递增，所以，即。

2013高考文科数学(全国卷大纲版)解析版全word版

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则ð（A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）∅ 【答案】B【解析】由补集定义易得{}3,4,5U C A =,故选B. 【考点定位】补集的概念 2、已知a 是第二象限角，5sin ,cos 13a a ==则（A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）1213【答案】A【解析】因为α是第二象限角，∴12cos 13α===-，故选A. 【考点定位】考查同角三角函数基本关系式3、已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n（A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 【答案】B【解析】∵()(),+⊥-m n m n ∴()()0+⋅-=m n m n ∴220-=m n即()()2211[24]0λλ++-++=∴3λ=-，故选B. 【考点定位】考查向量垂直，数量积坐标运算.4、不等式222x -<的解集是（A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）()()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2 【答案】D【解析】22|2|2222x x -<⇒-<-<2040||2x x ⇒<<⇒<<2002x x ⇒-<<<<或，故选D.（也可用排除法）【考点定位】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法5、()862x x +的展开式中的系数是（A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 【答案】C【解析】26262+18=2112T C x x ⋅=，故选C【考点定位】二项式定理的通项公式 6、函数()()()-121log 10=f x x f x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数（A ）()1021x x >- （B ）()1021xx ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> 【答案】A【解析】由()2111log 11221yy y f x x x x ⎛⎫==+⇒+=⇒= ⎪-⎝⎭， ∵0x >∴0y >∴()11(0)21xfx x -=>-，故选A. 【考点定位】考查求反函数，指数式和对数式的互化.7、已知数列{}n a 满足12430,,3n n a a a ++==-则{}n a 的前10项和等于（A ）()-10-61-3 （B ）()-1011-39（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 【答案】C【解析】∵130,n n a a ++=∴113n n a a +=-，∴数列{}n a 是以13-为公比的等比数列.∵24,3a =-∴14a = ∴10101014[1()]33(13)113S ---==-+，故选C.【考点定位】考查等比数列的通项与求和.8、已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为（A ）2212x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154x y +=【答案】C【解析】如图，21213||||,||222AF AB F F ===,由椭圆定义得，13||22AF a =-○1在Rt △12AF F 中， 2222212123||||||()22AF AF F F =+=+○2由○1○2得，2a =∴2223b a c =-=，∴椭圆C 的方程为22143x y +=，故选C. 【考点定位】椭圆方程的求解9、若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】B【解析】由题中图象可知0042T x x π+-=,∴2T π= ∴22ππω=∴4ω=，故选B【考点定位】三角函数的图象与解析式10、已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点，处切线的斜率为，（A ）9 （B ）6 （C ）-9 （D ）-6 【答案】D【解析】由题意知311|(42)|428x x y x ax a =-=-'=+=--=，则6a =-.故选D 【考点定位】导数的几何意义11、已知正四棱锥1111ABCD A BC D -中，12,AA AB =则CD 与平面1BDC 所成的角的正弦值等于（A ）23 （B ）3 （C ）3（D ）13【答案】A【解析】如图，在正四棱锥1111ABCD A BC D -中，连结AC 、BD 记交点为O ,连结1OC ,过C 作CH ⊥1OC 于点H,∵BD ⊥AC ，BD ⊥1AA ，∴BD ⊥平面11ACC A ∵CH ⊂平面11ACC A∴CH ⊥BD,∴CH ⊥平面1C BD ∴∠CDH 为CD 与平面1BDC 所成的角.1OC=. 由等面积法得，1OC ·CH=OC ·1CC ，∴222CH ⋅= ∴23CH =∴223sin 13CH CDH CD ∠===，故选A【考点定位】线面角的定义求法12、已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，C 的焦点，且斜率为k 的直线与C 交于A,B 两点，若0MA MB =，则k =(A)12 （B（C（D ）2 【答案】D【解析】设直线AB 方程为(2y k x =-），代入28y x =得2222(48)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212248k x x k++=，124x x =（*） ∵0MA MB ⋅=∴1122(2,2)(2,2)0x y x y +-⋅+-=即1212(2,)(2)(2)(2)0x x y y +++--=即121212122()42()40x x x x y y y y ++++-++=○1 ∵1122(2)(2)y k x y k x =-⎧⎨=-⎩∴1212(4)y y k x x +=+-○22212121212(2)(2)[2()4]y y k x x k x x x x =--=-++○3 由（*）及○1○2○3得2k =，故选D 【考点定位】直线与抛物线相交问题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、设()f x 是以2为周期的函数，且当[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1f -= .【答案】1-【解析】∵()f x 是以2为周期的函数，且[)1,3x ∈时，()=2f x x -，则()1(12)(1)121f f f -=-+==-=- 【考点定位】函数的周期性，函数求值14、从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种.（用数字作答）【答案】60【解析】分三步：第一步，一等奖有16C 种可能的结果；第二步，二等奖有25C 种可能的结果；第三步，三等奖有33C 种可能的结果,故共12365360C C C =有种可能的结果.【考点定位】组合问题15、若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .【答案】0【解析】z x y =-+y x z ⇒=+，z 表示直线y x z =+在y 轴上的截距，截距越小，z 就越小.画出题中约束条件表示的可行域（如图中阴影部分所示），当直线过点A(1，1)时，min 0z =【考点定位】线性规划求最值16、已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【答案】16π【解析】如图，设MN 为公共弦，长度为R,E 为MN 的中点，连结OE,则OE ⊥MN,KE ⊥MN.∠OEK 为圆O 与圆K 所在平面的二面角.∴∠OEK=60°. 又∵△OMN 为正三角形.∴OE=2R . ∵OK=32且OK ⊥EK ∴3sin 602OE ⋅︒=∴3222R ⋅=∴R=2.∴2416S R ππ==【考点定位】二面角与球的表面积三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和【解析】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ，则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a ==⎧⎨⎩，所以11164182(8)a d a d a d +=+=+⎧⎨⎩解得11a =，12d =，所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. （Ⅱ）2)1122(1n n a n n b n n n ==-++=所以2222222)()()122311(n n n S n n -+-++-=+=+【考点定位】等差数列通项公式和裂项求和方法 18．（本小题满分12分）设△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+= （Ⅰ）求;B（Ⅱ）若1sin sin ,4A C =求C. 【解析】(Ⅰ)因为()()a b c a b c ac ++-+=，所以222a cb ac +-=-由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-==-，因此B=120°. （Ⅱ）由(Ⅰ)知A+C=120°，所以cos()cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+=cos()2sin sin A C A C ++=122+=故30A C -=︒或30A C -=-︒，因此C=15°或C=45°.【考点定位】考查余弦定理、两角和与差的公式以及求角问题，考查学生的转化能力和计算能力19．（本小题满分12分）如图，四棱锥902,P ABCD ABC BAD BC AD PAB PAD -∠=∠==∆∆ 中，，与都是边长为2的等边三角形.（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【解析】(Ⅰ)证明：取BC 的中点E ，连结DE ，则ABED 为正方形.过P 作PO ⊥平面ABCD,垂足为O.连结OA,OB,OD,OE.由△PAB 和△PAD 都是等边三角形知PA=PB=PD,所以OA=0B=OD,即点O 为正方形ABED 对角线的交点，故OE ⊥BD,从而PB ⊥OE.因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE ∥CD,因此;PB CD ⊥（Ⅱ）解：取PD 的中点F ，连结OF,则OF ∥PB ，由(Ⅰ)知，;PB CD ⊥，故OF ⊥CD.又12OD BD ==OP == 故△POD 为为等腰三角形，因此OF ⊥PD.又PD ∩CD=D ，所以OF ⊥平面PCD. 因为AE ∥CD ，CD ⊂平面PCD 的，AE ⊄平面PCD,所以AE ∥PCD. 因此，O 到平面PCD 的距离OF 就是A 到平面PCD 的距离，而112OF PB ==. 所以A 到平面PCD 的距离为1.【考点定位】(1)解题的关键是辅助线的添加，取BC 的中点E 是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）求点面距离的求解方法比较多，在解题过程中，如何根据题设条件恰当选择相适应的方法是比较棘手的问题 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率.【解析】(Ⅰ)记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”， 2A 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”，则12A A A =⋅,12()()P A P A A =⋅12()()P A P A ⋅14= （Ⅱ）记1B 表示事件“第1局结果为乙胜”2B 表示事件“第2局乙参加比赛时，结果为乙胜”3B 表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙胜”B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判” 则1312312B B B B B B B B =⋅+⋅⋅+⋅，所以1312312()()()()P B P B B P B B B P B B =⋅+⋅⋅+⋅1312312()()()()()()()()P B P B P B P B P B P B P B P B =⋅+⋅⋅+⋅ 11154848=++= 【考点定位】考查独立事件和互斥事件的概率问题以及离散型数学期望，考查分析问题和计算能力21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求()f ;a x =的单调性；（II ）若[)()2,0,.x f x a ∈+∞≥时，求的取值范围【解析】(Ⅰ)当a =()32=3 1.f x x x -++ ()2=33f x x '-+.令()0f x '=，得121,1x x =.当(1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 在(1)-∞上是增函数；当1)x ∈时，()0f x '<，()f x 在1)上是减函数；当1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在1,)+∞上是增函数；（Ⅱ）由(2)0f ≥得54a ≥-. 当54a ≥-，(2,)x ∈+∞时， ()22251=3633(21)3(1)3()(2)22f x x ax x ax x x x x '-+=-+≥-+=--所以()f x 在(2,)+∞是增函数，于是当[2,)x ∈+∞时，()f x (2)0f ≥≥.综上，a 的取值范围是5[,)4-+∞【考点定位】考查利用导数求解函数的单调性与参数范围问题 22．（本小题满分12分）已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b ；（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF -证明：22.AF AB BF 、、成等比数列【解析】(Ⅰ)由题设知3c a =，即2229a b a+=，故228b a =.所以C 的方程为22288x y a -=.将2y =代入上式，求得x =由题设知，=21a =. 所以1a =，b =（Ⅱ）由(Ⅰ)知，1(3,0)F -，2(3,0)F ,C 的方程为2288x y -=○1由题意可设的l 方程为(3)y k x =-，||k <，代入○1并化简得，2222(8)6980k x k x k -+--=，设1122(,),(,)A x y B x y ，11x ≤-，21x ≥则212268k x x k +=-，2122988k x x k +=-于是11||(31)AF x ===-+12||31BF x ===+由11||||AF BF =得123(1)31x x -+=+，即1223x x +=-故226283k k =--解得245k =从而12199x x =-由于21||13AF x ===-22||31BF x ===-故2212||||||23()4AB AF BF x x =-=-+=，221212||||3()9116AF BF x x x x ⋅=+--= 因而222||||||AF BF AB ⋅=，所以22||,||,||AF AB BF 成等比数列.【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查设而不求的思想及就是能力。

2013年全国统一高考数学试卷(文科)(大纲版)

2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁U A=（） A ．{1，2} B ．{3，4，5} C ．{1，2，3，4，5} D ．∅2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A ．B ．C ．D ．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．﹣14．（5分）不等式|x 2﹣2|＜2的解集是（）A ．（﹣1，1）B ．（﹣2，2）C ．（﹣1，0）∪（0，1）D ．（﹣2，0）∪（0，2）5．（5分）（x+2）8的展开式中x 6的系数是（） A ．28 B ．56 C ．112 D ．2246．（5分）函数f （x ）=log 2（1+）（x ＞0）的反函数f ﹣1（x ）=（） A ．B ．C ．2x ﹣1（x ∈R ）D ．2x ﹣1（x ＞0）7．（5分）已知数列{a n }满足3a n+1+a n =0，a 2=﹣，则{a n }的前10项和等于（） A ．﹣6（1﹣3﹣10） B ．C ．3（1﹣3﹣10）D ．3（1+3﹣10）8．（5分）已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（） A ．B ．C ．D ．9．（5分）若函数y=sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5 B．4 C．3 D．210．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣611．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B． C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）= ．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．（用数字作答）15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{an }中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．2013年全国统一高考数学试卷（文科）（大纲版）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A=（）1．（5分）设集合U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2}，则∁UA．{1，2} B．{3，4，5} C．{1，2，3，4，5} D．∅【分析】由题意，直接根据补集的定义求出∁A，即可选出正确选项U【解答】解：因为U={1，2，3，4，5，}，集合A={1，2}A={3，4，5}所以∁U故选：B．【点评】本题考查补集的运算，理解补集的定义是解题的关键2．（5分）若α为第二象限角，sinα=，则cosα=（）A．B．C．D．【分析】由α为第二象限角，得到cosα小于0，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系即可求出cosα的值．【解答】解：∵α为第二象限角，且sinα=，∴cosα=﹣=﹣．故选：A．【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．3．（5分）已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=（）A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选：B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．（5分）不等式|x2﹣2|＜2的解集是（）A．（﹣1，1）B．（﹣2，2）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣2，0）∪（0，2）【分析】直接利用绝对值不等式的解法，去掉绝对值后，解二次不等式即可．【解答】解：不等式|x2﹣2|＜2的解集等价于，不等式﹣2＜x2﹣2＜2的解集，即0＜x2＜4，解得x∈（﹣2，0）∪（0，2）．故选：D．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想与计算能力．5．（5分）（x+2）8的展开式中x6的系数是（）A．28 B．56 C．112 D．224【分析】利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为6求出x6的系数．=C x 8﹣r2 r【解答】解：（x+2）8展开式的通项为Tr+1令8﹣r=6得r=2，2=112．∴展开式中x6的系数是2 2C8故选：C．【点评】本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．6．（5分）函数f（x）=log2（1+）（x＞0）的反函数f﹣1（x）=（）A．B．C．2x﹣1（x∈R）D．2x﹣1（x＞0）【分析】把y看作常数，求出x：x=，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数．注意反函数的定义域．【解答】解：设y=log2（1+），把y看作常数，求出x：1+=2y，x=，其中y＞0，x，y互换，得到y=log2（1+）的反函数：y=，故选：A．【点评】本题考查对数函数的反函数的求法，解题时要认真审题，注意对数式和指数式的相互转化．7．（5分）已知数列{an }满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B． C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3an+1+an=0∴∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S 10==3（1﹣3﹣10）故选：C ．【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题8．（5分）已知F 1（﹣1，0），F 2（1，0）是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于A 、B 两点，且|AB|=3，则C 的方程为（） A ．B ．C ．D ．【分析】设椭圆的方程为，根据题意可得=1．再由AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴且|AB|=3算出A 、B 的坐标，代入椭圆方程得，两式联解即可算出a 2=4，b 2=3，从而得到椭圆C 的方程．【解答】解：设椭圆的方程为，可得c==1，所以a 2﹣b 2=1…①∵AB 经过右焦点F 2且垂直于x 轴，且|AB|=3 ∴可得A （1，），B （1，﹣），代入椭圆方程得，…②联解①②，可得a 2=4，b 2=3 ∴椭圆C 的方程为故选：C ．【点评】本题给出椭圆的焦距和通径长，求椭圆的方程．着重考查了椭圆的标准方程和椭圆的简单几何性质等知识，属于基础题．9．（5分）若函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图象如图，则ω=（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用函数图象已知的两点的横坐标的差值，求出函数的周期，然后求解ω．【解答】解：由函数的图象可知，（x0，y）与，纵坐标相反，而且不是相邻的对称点，所以函数的周期T=2（）=，所以T==，所以ω==4．故选：B．【点评】本题考查三角函数解析式以及函数的周期的求法，考查学生的视图用图能力．10．（5分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A．9 B．6 C．﹣9 D．﹣6【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故选：D．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于（）A．B． C． D．【分析】设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．【解答】解：设AB=1，则AA1=2，分别以的方向为x轴、y 轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2），=（1，1，0），=（1，0，﹣2），=（1，0，0），设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则，即，取=（2，﹣2，1），设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=||=，故选：A．【点评】本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．12．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若，则k=（）A．B． C．D．2【分析】斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，利用=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）=0，即可求出k的值．【解答】解：由抛物线C：y2=8x得焦点（2，0），由题意可知：斜率k存在，设直线AB为y=k（x﹣2），代入抛物线方程，得到k2x2﹣（4k2+8）x+4k2=0，△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）．∴x1+x2=4+，x1x2=4．∴y1+y2=，y1y2=﹣16，又=0，∴=（x1+2，y1﹣2）•（x2+2，y2﹣2）==0∴k=2．故选：D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x﹣2，则f（﹣1）= ﹣1 ．【分析】利用函数的周期，求出f（﹣1）=f（1），代入函数的解析式求解即可．【解答】解：因设f（x）是以2为周期的函数，且当x∈[1，3）时，f（x）=x ﹣2，则f（﹣1）=f（1）=1﹣2=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题考查函数的周期的应用，函数值的求法，值域函数的定义域是解题的关键，考查计算能力．14．（5分）从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有60 种．（用数字作答）【分析】6名选手中决出1名一等奖有种方法，2名二等奖，种方法，利用分步计数原理即可得答案．【解答】解：依题意，可分三步，第一步从6名选手中决出1名一等奖有种方法，第二步，再决出2名二等奖，有种方法，第三步，剩余三人为三等奖，根据分步乘法计数原理得：共有•=60种方法．故答案为：60．【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，掌握分步计数原理是解决问题的关键，属于中档题．15．（5分）若x、y满足约束条件，则z=﹣x+y的最小值为0 ．【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=﹣x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，目标函数z取得最小值，从而得到本题答案．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（0，），C（0，4）设z=F（x，y）═﹣x+y，将直线l：z=﹣x+y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最小值∴z最小值=F（1，1）=﹣1+1=0故答案为：0【点评】题给出二元一次不等式组，求目标函数z=﹣x+y的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．16．（5分）已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，，则球O的表面积等于16π．【分析】正确作出图形，利用勾股定理，建立方程，即可求得结论．【解答】解：如图所示，设球O的半径为r，AB是公共弦，∠OCK是面面角根据题意得OC=，CK=在△OCK中，OC2=OK2+CK2，即∴r2=4∴球O的表面积等于4πr2=16π故答案为16π【点评】本题考查球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）等差数列{an }中，a7=4，a19=2a9，（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn =，求数列{bn}的前n项和Sn．【分析】（I）由a7=4，a19=2a9，结合等差数列的通项公式可求a1，d，进而可求an（II）由==，利用裂项求和即可求解【解答】解：（I）设等差数列{an}的公差为d∵a7=4，a19=2a9，∴解得，a1=1，d=∴=（II）∵==∴sn===【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较容易18．（12分）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．（Ⅰ）求B．（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．【解答】解：（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，∴a2+c2﹣b2=﹣ac，∴cosB==﹣，又B为三角形的内角，则B=120°；（II）由（I）得：A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，则C=15°或C=45°．【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形．（Ⅰ）证明：PB⊥CD；（Ⅱ）求点A到平面PCD的距离．【分析】（I）取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE，证明PB⊥OE，OE∥CD，即可证明PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，证明O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD 的距离，即可求得点A到平面PCD的距离．【解答】（I）证明：取BC的中点E，连接DE，则ABED为正方形，过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，连接OA，OB，OD，OE由△PAB和△PAD都是等边三角形知PA=PB=PD∴OA=OB=OD，即O为正方形ABED对角线的交点∴OE⊥BD，∴PB⊥OE∵O是BD的中点，E是BC的中点，∴OE∥CD∴PB⊥CD；（II）取PD的中点F，连接OF，则OF∥PB由（I）知PB⊥CD，∴OF⊥CD，∵，=∴△POD为等腰三角形，∴OF⊥PD∵PD∩CD=D，∴OF⊥平面PCD∵AE∥CD，CD⊂平面PCD，AE⊈平面PCD，∴AE∥平面PCD∴O到平面PCD的距离OF就是A到平面PCD的距离∵OF=∴点A到平面PCD的距离为1．【点评】本题考查线线垂直，考查点到面的距离的计算，考查学生转化的能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；（Ⅱ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率．【分析】（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”，可得A=A1•A2．利用相互独立事件的概率计算公式即可得出；（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．可得B=，利用互斥事件和相互独立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（I）设A1表示事件“第二局结果为甲胜”，A2表示事件“第三局甲参加比赛结果为甲负”，A表示事件“第四局甲当裁判”．则A=A1•A2．P（A）=P（A1•A2）=．（II）设B1表示事件“第一局比赛结果为乙胜”，B2表示事件“第二局乙参加比赛结果为乙胜”，B3表示事件“第三局乙参加比赛结果为乙胜”，B表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”．则B=，则P（B）=P（）=+=+=．【点评】正确理解题意和熟练掌握相互独立事件和互斥事件的概率计算公式是解题的关键．21．（12分）已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1．（Ⅰ）求a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[2，+∞）时，f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（I）把a=代入可得函数f（x）的解析式，求导数令其为0可得x=﹣，或x=﹣，判断函数在区间（﹣∞，﹣），（﹣，﹣），（﹣，+∞）的正负可得单调性；（II）由f（2）≥0，可得a≥，当a ≥，x∈（2，+∞）时，由不等式的证明方法可得f′（x）＞0，可得单调性，进而可得当x∈[2，+∞）时，有f（x）≥f（2）≥0成立，进而可得a的范围．【解答】解：（I）当a=时，f（x）=x3+3x2+3x+1，f′（x）=3x2+6x+3，令f′（x）=0，可得x=﹣，或x=﹣，当x∈（﹣∞，﹣）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（﹣，﹣）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x∈（﹣，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；（II）由f（2）≥0，可解得a≥，当a≥，x∈（2，+∞）时，f′（x）=3（x2+2ax+1）≥3（）=3（x﹣）（x﹣2）＞0，所以函数f（x）在（2，+∞）单调递增，于是当x∈[2，+∞）时，f（x）≥f （2）≥0，综上可得，a的取值范围是[，+∞）【点评】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及函数的最值问题，属中档题．22．（12分）已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为．（I）求a，b；（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF1|=|BF1|，证明：|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列．【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将双曲线的方程用参数a表示出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；（II）由（I）的方程求出两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x1，y1），B（x2，y 2），将其与双曲线C的方程联立，得出x1+x2=，，再利用|AF1|=|BF1|建立关于A，B坐标的方程，得出两点横坐标的关系，由此方程求出k的值，得出直线的方程，从而可求得：|AF2|、|AB|、|BF2|，再利用等比数列的性质进行判断即可证明出结论．【解答】解：（I）由题设知=3，即=9，故b2=8a2所以C的方程为8x2﹣y2=8a2将y=2代入上式，并求得x=±，由题设知，2=，解得a2=1所以a=1，b=2（II）由（I）知，F1（﹣3，0），F2（3，0），C的方程为8x2﹣y2=8 ①由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2代入①并化简得（k2﹣8）x2﹣6k2x+9k2+8=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1≤﹣1，x2≥1，x1+x2=，，于是|AF1|==﹣（3x1+1），|BF1|==3x2+1，|AF1|=|BF1|得﹣（3x1+1）=3x2+1，即故=，解得，从而=﹣由于|AF2|==1﹣3x1，|BF2|==3x2﹣1，故|AB|=|AF2|﹣|BF2|=2﹣3（x1+x2）=4，|AF2||BF2|=3（x1+x2）﹣9x1x2﹣1=16因而|AF2||BF2|=|AB|2，所以|AF2|、|AB|、|BF2|成等比数列【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设条件的转化能力，方程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线联立利用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．。