南京邮电大学08-09高数A下期末试卷A

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高等数学A下期末试卷A卷

南京邮电大学2009 /2010 学年第二学期《高等数学A 》(下) 期末试卷（A ）院(系) 班级学号姓名一、选择题（每小题3分，共15分）1、设21:x y L -=，则⎰+Lds y x )(22= （）(A ) π2. (B ) π. (C )2π(D ) π4 2、∑为锥面 22y x z +=介于1,0==z z 之间的部分，则=⎰⎰∑zdS （） (A )⎰⎰1320ρρθπd d (B ) ⎰⎰1220ρρθπd d(C ) ⎰⎰102202ρρθπd d (D ) ⎰⎰13202ρρθπd d3、已知2-=x 是∑∞=1n n n x a 的收敛点，则当21=x 时，级数（） (A ) 发散 (B ) 绝对收敛 (C ) 条件收敛 (D ) 无法断定4、微分方程x y y 2cos 4=+''的特解形式可设为（） (A ) x a 2cos (B ) x ax 2cos (C ) )2sin 2cos (x b x a x + (D )x b x a 2sin 2cos +5、若9:22=+y x L 为逆时针方向，则⎰-+-Ldy x x dx y xy )4()22(2= ( )(A ) π9 (B )π18 (C )π18- (D )π9-装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊二、填空题（每小题4分，共20分） 1、∑是球面,2222R z y x =++则.2=⎰⎰∑dS y2、∑∞=-11n n nx 的收敛域为_______，和函数=)(x s _____________.3、以x xe y -=为特解的二阶常系数线性齐次方程为__________________.4、设∑∞==≤≤=12,sin )(,10,)(n n x n b x s x x x f π其中⎰=12,sin 2xdx n x b n π,...3,2,1=n ，则.)21(=-s5、=+)1(i Ln ___________________，0=z 是函数521ze z-的____级极点. 三、讨论下列级数的敛散性。

南京邮电大学高数书上的习题答案下册

南京邮电大学-高数书上的习题答案(下册)南京邮电大学《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章习题7.12.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I(3);33323323ππ≤≤-I 习题7.2 1.(1) ;),(),(4420402⎰⎰⎰⎰-yy x dx y x f dy dy y x f dx 或 (2);),(),(2222220⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dyy x f dx 或(3) ;),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dy y x f dx 或(4)222222221411142411142414(,)(,)(,)(,)x x x x x x x x dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy------------+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2.(1) ;),(110⎰⎰xdy y x f dx (2) ;),(240⎰⎰xx dy y x f dx (3) ;),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5);),(1⎰⎰eey dx y x f dy(6).),(),(arcsin arcsin 10arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π-(3);556 (4);1--e e (5);49(6).12-π 4..3π 5..27 6..6179.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 0210⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d (2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d(3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4) .)sin ,cos (sec tan sec 40⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d 11.(1) ;434a π(2) ;12- (3) ;)1(4-e π (4).6432π12.(1) ;222π+(2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π 13..42a π14.(1);6π (2) .32π15. (1);2ln 37 (2);21-e (3).21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=xy v yx u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==yx v x u 习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x xdz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641 (2));852(ln 21- (3);0 (4);422R h π(5).2π-4. (1) ;81 (2) ;127π (3).316π5. (1) ;54π (2);674a π (3)).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d 球面坐标系.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2024020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1) ;332π(2) ;233a π (3);6π (4)).455(32-π8. .)(422t f t π 9..4R k π习题7.41..)612655(2a π-+ 2..2π 3..162R5.(1);34,0πb y x ==(2);0,)(222=+++=y b a a ab b x(3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4).43,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛6..796,572==y xI I7. (1) ;384a (2);157,0,02a z y x ===(3) .451126ρa8..])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π(2) ;0 (3);2π (4);4μ(5) .344R π3.(1);94124R R ππ+ (2).π4. (1) ;3250π (2).328163a π-5..)]0(3[3hf h +π第八章习题8.11.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lxds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL L L dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ2. (1);212+n a π (2);)12655(121-+ (3);2)42(-+a e a π(4);)1(232--e (5) ;9 (6).152563a3.质心在扇形的对称轴上且与圆心的距离为ϕϕsina 处. 4..6πk6. (1) ;23a π-(2) ;2π- (3);1514- (4);3233ππa k -(5) ;13 (6) .21 7. (1) ;334 (2) ;11 (3) ;14 (4) .3328.;)(12z z mg - 9..23a π10. (1) ;2),(),(ds y x Q y x P L⎰+ (2);41),(2),(2ds xy x xQ y x P L⎰++(3).)],()1(),(2[2ds y x Q x y x P x x L⎰-+-11. .941),,(3),,(2),,(22ds yx z y x yR z y x xQ z y x P L⎰++++习题8.21. (1) ;8 (2) .3012. (1) ;12 (2) ;0 (3);24a π(4) ;42π (2).6742sin -3. (1) ;25 (2) ;236 (3) ;5 (4) .23-4. (1);2122122y xy x ++ (2);cos cos 22y x x y + (3).12124223y y ye e y x y x +-+习题8.3 1.⎰⎰∑+=.),,()(22dS z y x z y I x μ3. (1) ;313π (2) ;30149π (3).10111π4. (1);614 (2) ;427- (3) ;)(22h aa -π (4).215644a 5.).136(152+π6. (1);10527R π (2);23π (3);21 (4) .81 7.(1) ⎰⎰∑++;)5325253(dS R Q P (2) .4412222⎰⎰∑++++dS yx R yQ xP 8..8π习题8.41. (1) ;23 (2) ;5125a π (3);81π (4);525a π(5).4π2. (1) ;0 (2) ;)62(23a a - (3) .108π3. (1);222z y x ++ (2);)sin(2)sin(2xz xz xy x ye xy -- (3).2x 习题8.5 1. (1);32a π- (2));(2b a a +-π (3);20π-(4) .29- 2. (1);642k j i ++ (2);j i +(3) )]cos()sin(cos [2xz xyz x -i )sin(cos z y -j ]cos )cos([22y x xz z y -+k3. (1) ;0 (2).4-4. (1) ;2π (2) ;12π6. .0总习题8 1. (1) ;12a (2) ;4a π (3) ;4 (4);6π-(5);)(22223γβαπ++R (6);23R π (7) );(C(8) ).(B2.(1);2arctan222222ln )41(3ln 2+--+++ππ(2) ;18π (3) ;0 (4) ;2a π (5).162π3. (1) ;arctan2RH π (2);414h π- (3);2π4. .85. .21 6. .2 7..93,3,3,3max abc W c b a ====ςηξ8. .23 习题9. 1 1. (1)2(1)ln(1)=++n n u n n ; (2)11(1)-+=-n n n u n;(3)1(1)!-=-n n x u n ; (4)1sin (1)-=-n n nx u n.2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 收敛; (4) 发散.3. (1) 发散; (2) 发散; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 发散.4. 提示：利用数列收敛与其子列收敛之间的关系.5. 提示：21221++=+n n n ss u .习题9. 21. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛.2. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛；(7) 收敛; (8)<b a 时收敛，>b a 时发散，=b a不能确定.3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛; (4) 发散; (5) 收敛; (6) 收敛.4. (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 条件收敛; (4) 发散; (5) 条件收敛; (6) 条件收敛.6. 提示：11≤nn ab ab . 7. 211()2≤+n n u u n. 8. 提示：0≤-≤-nnn nc ab a . 9. 提示：≤⋅n nn na ba b .10. 当1<a 时绝对收敛，当1>a 时发散，1=a 时条件收敛，1=-a 时发散. 习题 9. 31. (1) 1,[1,1]=-R ; (2)111,[,]222=-R ; (3)1,[1,1]=-R ; (4) ,(,)=+∞-∞+∞R ; (5)3,[0,6)=R ; (6)1,[1,0)2=-R .2. (1) 11ln (11)21+-<<-x x x; (2)3424(11)(1)-<<-x x x ; (3)32(11)(1)-<<-x x ; (4)ln(1)(11)1---<<-xx x x.3.2()arctan ,[1,1];2=-s x x .4. (1) 4π; (2) 4; (3) ln 22π-; (4)2(1)ππ-+.习题9. 4 1.20cos (1),(,)(2)!∞==-∈-∞+∞∑nnn x x x n .2. (1)210,(,)(21)!+∞=∈-∞+∞+∑n n x x n ; (2)11ln 2(1),(2,2]∞-=+-∈-∑nn nn x x na ; (3)(ln ),(,)!∞=∈-∞+∞∑n nn a x x n ;(4)2121(1)21,(,)(2)!-∞=-+∈-∞+∞∑n n nn x x n ；(5)111(1),(1,1](1)+∞+=-+∈-+∑n n n x x x n n ; (6) 21211(1)211arctan 2,[,]2122-∞-=-+∈--∑n n n n x x n .3. (1)11011()(1),(3,1)23∞++=-+∈-∑n n n n x x ;(2)111(1)(1),(0,2]ln10∞-=--∈∑nn n x x n;(3) 0(1),(,)!∞=-∈-∞+∞∑n n ex x n ;(4) 2211113(1)[())],(,)2(2)!33ππ∞+=-++∈-∞+∞∑n n n n x x x n . 4.(1)1110(1)[1],(1,1)2+∞++=--+∈-∑n n n n x x ;(2)2101(1)(1)(2),(1,3)2∞+=-+-∈∑n n n n x x .5. 21212(2)!(),[1,1]2(21)(!)∞+=+∈-+∑n n n x x x n n ，()2220,2,(0)[(2)!],2 1.2(!)=⎧⎪=⎨=+⎪⎩n k n k f k n k k6.11(),(,)(1)!-∞==∈-∞+∞+∑n n nx f x x n . 7. (1)0.9848; (2)0.9461.习题9. 5 2. (1)11cos(43)cos(41)()[],(21),0,1,2,4341ππ∞=--=-≠+=±±--∑n n x n xf x x k k n n ;(2)121[1(1)]()(1)()(){cos sin },(21),0,1,4πππ-∞=-----+=++≠+=±∑n n n b a a b a b f x nx nx x k k n n2,±; (3) 21212(1)()4cos ,3π+∞=-=+-∞<<+∞∑n n f x nx x n ;(4)33211(1)()[(3cos sin )],(21),0,1,2,69ππππ-∞=--=+-≠+=±±+∑nn e e f x nx n nx x k k n .3. (1) 12124(1)()cos ,[,]41ππππ-∞=-=+∈--∑n n f x nx x n ;(2)221111(1)(1)1(1)(){cos []sin },211ππππππ--∞=+----+---=+++++∑n n nn e e n ne f x nx nx n n n(,)ππ∈-x . 4. 123121(1)6(){(31)[1(1)]}sin ,ππ-∞=-=++---∑n n n f x nx n nn(0,)π∈x .5.211(1)()cos ,[0,]4πππ∞=--=+∈∑nn f x nx x n . 6.121cos ()sin ,(0,)(,)ππ∞=-=∈⋃∑n nhf x nx x h h n ; 12sin ()cos ,[0,)(,)πππ∞==+∈⋃∑n hnhf x nx x h h n .习题9. 61. (1)221(1)12()cos ,(,)4ππ∞=--=+∈-∞+∞∑n n l l n xf x x l n ; (2)112()sin ,,0,1,2,2ππ∞==-≠=±±∑n E E n xf x x kT k n T; (3) 1221111(1)()cos 2,(,)12ππ+∞=-=+∈-∞+∞∑n n f x n x x n .2. (1) 2212(1)()sin sin sin ,[0,)(,]22221ππππ∞=-=+∈⋃-∑n x n n n x l lf x x l l l n ;2211211()cos(cos 1)cos ,[0,)(,]2221ππππππ∞=-=++-∈⋃-∑n xn n x l lf x n x l ll n;(2) 33141(1)()sin ,[0,1]ππ∞=--=∈∑nn f x n x x n ; 221121(1)()cos ,[0,1]6ππ∞=+-=-∈∑nn f x n x x n .3.2222015411()cos(21),[1,1],26(21)πππ∞∞===-+∈-=+∑∑n n f x n x x n n.4. (1)1sin ()12,(0,2)ππ∞==--∈∑n nxf x x n ;(2) 12(1)(1)1()sin ,(0,)πππ∞=---=∈∑n n f x nx x n; (3) 12sin 2(),(0,)2ππ∞=-=-∈∑n nxf x x n ; (4) 112(1)()1sin ,(1,1)ππ+∞=-=-+∈-∑n n f x n x x n.5. 112(1)51sin ,(3,5)ππ+∞=--=-+∈∑n n x n x x n.6. 0(1)51,(3,5)ππ+∞=-∞≠--=-+∈∑n in xn n i x e x n ;7.121()sin cos ,2,0,1,2,τπτπτπ∞==+≠±+=±±∑n E E n n tf t t kl k l n l l.总习题 91. (1) C ; (2) C ; (3) B ; (4) A ; (5) A .2. (1) 8; (2)1,01,0><≤≤p p p ; (3)2=R ;(4)2ln(1),[2,0)(0,2),[2,2),()210;⎧--∈-⋃⎪-=⎨⎪=⎩x x s x x x (5)14-. 3. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5)1>a 时收敛, 01<≤a 时发散;(6)01<<a 时收敛, 1>a 时发散,1=a 且1>k 时收敛, 1=a 且01<≤k 时发散.4. (1) 绝对收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 条件收敛.5. 12>k 时收敛, 12≤k 时发散. 6. (1) 11[,)33-; (2) 11(,)-e e; (3) (2,0)-; (4)(1,1)-. 7. (1)111ln arctan (11)412++--<<-x x x x x ;(2)11(1)ln(1),(1,0)(0,1],()0,0,1,1;⎧-++∈-⋃⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩x x x s x x x(3)21(02)(2)-<<-x x x ; (4)2222(22)(2)+-<-x x x .8. (1)1ln 34; (2)2227. 9. (1) 881()(11)∞+=--<<∑nn n xxx ; (2)210(1)(11)421π∞+=-+-≤<+∑n n n x x n .10.3318sin(21)()(0);32(21)πππ∞=-=≤≤-∑n n x f x x n .习题10.11.(1) 1 ；（2）2 ；（3）1 ；（4）2，2.（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是，4.（1）22(1)4y y '+= ；（2）2220x y xy y '''-+=，5.（1）222xy y+= ；（2）2xy xe =，6.20x yy '+= ，习题10.2 1.（1）22(1)x y C-+= ；（2）222(1)(1)x y Cx ++=（3）sin cos y x C = ；（4）1010xy C-+=（5）()(1)y C x a ay =+- ；（6）2(1)y x x C+=2.（1）212ln(1)2ln(1)xy e e -=+-+；（2）arctan 4xy eπ-= ；（3）(1)1x y += ；（4）ln tan 2xy =，3.()ln 1f x x =+4.（1）cxy xe =；（2）3()x yy Ce =；（3）tan()y x x C +=+（4）2sin()y x Cx=5.（1）33x y Ce -=；（2）()xy x C e -=+；（3）(ln ln )y x x C =+ （4）2sin 1x C y x +=-；（5）12(1)yx y Ce =+；（6）()x x C y e +=6.（1）x a e ab e y x+-=；（2）1cos xy xπ--=；（3）21y x x =- （4）sin 2sin 1xy e x -=+-7.（1）535(5)2y xCx +=；（2）822931(1)y x C x =-+-；（3）22212x yCe x x =---；（4）3243(12ln )xyx x C-=-+8.（1）21xy e=-；（2）2xy e =-9.（1）是，323x xy y C +-=；（2）是，cos cos y x x y C+=（3）是，2(1)e Cθρ+=10.（1）4242x xy y C+-=；（2）arctan()x x C y=+ （3221arctan xx y Cy++=；（4）2x y C y x=+11.约3.4秒， 13.（1）2321234ln 2x y x C x C x C x C =++++；（2）12()xy C x eC -=-+；（3）1211y C x C=-+；（4）221124(1)()C y C x C -=- 习题10.31.(1) 相关；（2）无关；（3）无关；（4）相关，2.212()x y C C x e =+，3.（1）212xy C x C e -=+ ；（2）212(21)xy C eC x =++5.2212()(1)1y C xx C x =-+-+，6.（1）2211210(21)!!(2)!!(1(1))((1))(2)!!(21)!!kk k k k k k k y C x C x k k +∞+∞+==-=+-+-+∑∑；（2）211(21)!!kk x y k +∞==+-∑，7.（1）2312xxy C eC e -=+；（2）412xy C C e =+（2）(12)(12)12xxy C eC e =+；（4）21233(cossin )22x y e C x C x -=+(5)当0a <时，12ax axy C e C e --=+；当0a =时，12y C C x =+；当0a >时，12y C ax C ax=-+-；(6）当1λ>时，22(1)(1)12x xy C eC e λλλλ-+----=+；当1λ=时，12x xy C e C xe λλ--=+；当1λ<时，2212(11)xy eC x C x λλλ-=-+-；（7）1234cos sin xx y C eC e C x C x-=+++；21xλ- （8）123cos sin y C x C x C =++；（9）1234()cos ()sin y C C x x C C x x=+++；（10）y =21234()()xxC C x eC C x e -+++；（11）2123()axy eC C x C x =++；（12）1234()cos sin x y C C x e C x C x=+++；8.（1）342xxy ee=+；（2）2(2)xy x e -=+；（3）2(42)x y x e -=-；（4）(cos3sin3)xy ex x -=+；（5）1cos sin 2x t t t =+ 9.1cos3sin 33y x x =- ， 10.（1）3122xx y C eC e =++；（2）2121()(1)4x y C C x e x =+++；（3）3212123xy CC e x x x =+---；（4）121cos sin cos 2y C x C x x x =+-；（5）61275cos sin 7474xx y C eC e x x =+++；（6）21233231()sin 2cos 226262xy eC x C x x -=+-++，11.（1）()cos ()sin xy Ae B Cx x D Ex x=++++；（2）4[()cos2()sin 2]xy xeB Cx x D Ex x =+++；（3）2[()(cos2sin 2)]xy e x B Cx D x E x =+++；（4）32[()(cos2sin 2)]xy ex Ax Bx C D x E x =++++；（5）[()cos ()sin ]y x B Cx x D Ex x =+++；（6）2xy A =，12.（1）21122xx y e e x -=---；（2）11cos3cos 248y x x =+；（3）(sin )xy ex x -=-；（4）2sin xy xex=，13.（1）121(ln )y C x C x=+；（2）12ln y C C x ax=++；（3）212(ln )ln y x C x C x x=++；（4）2123(ln )y x C x C C x -=++，14.g x a t a= ； 15.约1.9秒，总习题10 1.（3）23222(ln )33x x x C y=-++；（4）2212x y C y-= ；（5）1()C xy x c x C C x -=--；（6）11y x=- ， 2.()1f x x =- 3.()cos sin x x x ϕ=+4.nx Cy = 或ny Cx = 5.22x y Cx+= ，6.（1）21213()164x x y C C x e e -=+++；（2）12cos3cos sin sin 416x xy C x C x x =+--；(3)1211cos 2210x x y C e C e x -=+-+；（4）12cos(3)sin(3)sin(ln )2xy C x C x x =++ ，7.()x ϕ=22121(1)22xx x xC eC e x e ++-，8.1sin 2xx y ee x-=-- 9. 约2.8秒.习题11. 11. (1) 32322Re ,Im ,,arctan 2()13131313313π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(2)3131101Re ,Im ,,arctan 2()22223π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; ;(3)7752926Re ,Im 13,13,arctan 2()227ππ=-=-=-+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; (4)Re 1,Im 3,13,10,arctan32()π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z .2. 1,11==x y .3. (1)2cos sin 22πππ=+=ii i e ; (2) 1cos sin πππ-=+=ii e ;(3) 6sincoscos()sin()3366πππππ--=-+-=ii i e;(4)422(cos sin )2144πππ---=+-+i i i e i .6. (1)8-i; (2)16316-i; (3)75666121242,2,2πππ-ii i eee;3131,22±i i i . 7. 1.9. (1) 以1为中心，半径为2的圆周； (2)直线3=-x ；(4) 中心在2-i ，半径为1的圆周及其外部区域；(4)不包含实轴的上半平面.10. (1) 直线=y x ；(2)双曲线1=xy ；(3)双曲线1=xy 在第一象限中的一支；(4)抛物线21=+y x .习题11. 21. (1)123,22,8=-=-+=w i w i w i ； (2)0arg π<<w .2. (1)圆周2211()24-+=u v ； (2) 圆周2214+=u v；(3)直线=-v u ； (4) 直线12=u . 3. (1)不存在； (2)0； (3)不存在. 4. (1)处处连续； (2)除=±z i 外处处连续. 习题11. 32. (1) 在直线12=y 上可导，在复平面上处处不解析；(2) 230=x y 上可导，在复平面上处处不解析；(3) 在0=z 点可导，在复平面上处处不解析；(4) 在复平面上处处可导、处处解析. 3. (1) 除=±z i外在复平面上处处解析,222()(1)'=-+z f z z ;(2) 当0≠c 时除=-d z c外在复平面上处处解析, 2()()-'=+ad bc f z cz d ．4.3,1,==-=l n m3()=f z iz ,2()3'=f z iz .习题11. 41. (1) -ei ; 42(1)2e i +; (3)1ch ; (4)sin12cos12ch i sh +.2. (1) 1ln 2(2),24i k k Z ππ++∈; (2)4ln5arctan (21),3i k i k Zπ-++∈; (3)2,k ek Zπ-∈; (4)1(2)4ln 2ln 2(cossin ),22k ei k Z π-+∈.3. (1)k π; (2)2k ππ+; (3) (21)k iπ+; (4)4k ππ-, 这里0,1,2,k =±±. 4. (1) k i π; (2)212k i π+; (3) 1(2)2k iπ+, 这里0,1,2,k =±±.5. ln z 与Lnz 在除原点与负实轴外处处解析，且1()()Lnz lnz z ''==. 6. Lnzw ze αα==对每个单值分支在除原点与负实轴外处处解析，且1()z z ααα-'=.总习题 111. (1) 333333Re ,Im ,2,,222422z z z argz z i π=-====--;(2)充分，必要； (3)C ； (4)2,3,2a b c ==-=；(4) sin 1i ish =, 22()k ii e k Z ππ+-=∈, 1ln(1)ln 224i i π-=-. 2. (1)2(13i ; (2)2222cossin,0,1,2,344k k i k ππππ-+-++=.3. (1)2(22)i±; (2)2468tan ,0,,,,45555i i eααππππα-=.6. ()f z 处处不可导、处处不解析. 8. (1) ln 2(2),3i k k Z ππ++∈; (2) 2e -. 习题12. 12. (1)31(3)3i +；(2)31(3)3i +；(3)31(3)3i +. 3. (1)1566i -+；(2) 1566i -+. 4. (1)i ； (2) 2i .5. (1)4i π； (2) 8iπ. 6. (1)0； (2) 0.习题12. 21. (1) 0； (2) 0； (3) 0； (4) 0.2. 相等；不能利用闭路变形原理.3. 0.4. (1) 0； (2) π.5. i π.6. (1) 0； (2) 1(2)2sh i ππ-； (3) sin1cos1-； (4)2211(tan1tan 11)122th ith -+++.习题12. 32. (1)22e i π；(2)i a π；(3) e π；(4)0；(5) 0；(6) 0；(7)；(8) 12iπ.3. (1) 0；(2) 0,当1α>时；i ie απ-,当1α<时.4. 当α与α-都不在C 的内部时，积分值为0；当α与α-中有一个在C 的内部时，积分值为i π；当α与α-都在C 的内部时，积分值为2i π.习题12. 4 4.2222,()(1)v x xy y C f z i z iC=+-+=++(C 为实数).5. (1)2(1)i z --；(2)2(1)i z iC-+ (C 为实数)；(3)21iz +；(4)ln z C +. 6. 当1p =±时，v 为调和函数；当1p =时,()()z f z e C C R =+∈；当1p =-时,()()z f z e C C R -=-+∈.总习题 121. (1)D ； (2)D ； (3)C ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)π； (3)i π； (4)2i π；(5)12i π；(6)64i π.3. (1)0； (2)2i π； (3)ei π-； (4)(2)e i π-. 5.2iπ. 9.12()u C ax by C =++.习题13. 14. (1) 收敛，极限为1-；(2) 收敛，极限为0；；(3) 收敛，极限为0；(4)发散.5. (1) 发散；(2) 发散； (3)绝对收敛； (4)条件收敛.6. (1)2； 2； (3)1； (4)1.习题13. 2 1. (1) i ； (2) 11(1)n n n z ∞-=+∑.2. (1)30(1),1nnn z R ∞=-=∑； (2)11,1n n nzR ∞-==∑； (3)40(1),(2)!nnn z R n ∞=-=∞∑；(4)212121(1),(2)!n nnn z R n -∞=+-=∞∑；(5)210,(21)!n n z R n +∞==∞+∑；(6)20,!nn z R n ∞==∞∑.3. (1)11(1)(1),22n n nn z R -∞=--=∑； (2)211011(1)()(2),323nn n n n z R ∞++=---=∑；(3)10310[(1)],(13)n nn n z i R i ∞+=-+-∑； (4)11(1)(1),1n n n z R n -∞=--=∑.习题13. 3 2. (1)1(1)nn z ∞=---∑,201(1)(2)nn n z ∞+=--∑；(2)1(2)nn n z∞=-+∑,2(1)(1)nnn z ∞=---∑;(3) 23432121211()524816z z z z z z z++-------；(4)11200()(2),(2)()n nn n n n z i i i z i -∞∞++==+-+∑∑； (5)2111()(1),01n n n n n z i z i i -∞-+=--<-<∑；30(1)(1),1()nnn n n i z i z i ∞+=+-<-<+∞-∑； (6) 234111112!3!4!z zz z ---++.习题13. 41. (1)0z =,一级极点；z i =±,二级极点； (2)1z =-,一级极点；1z =,二级极点；(3)0z =,可去奇点； (4)0z =,三级极点；2(1,2,)k z k i k π==±±,一级极点；(5)z i =±,二级极点；(21)(1,2,)kzk i k =+=±,一级极点；(6)0z =,二级极点；,(1,2,)k i k k ππ±±=均为一级极点. 2. (1)z a =,m n+级极点；(2)z a=,当m n >时为m n -级极点，当m n <时为n m -级极点，当m n =时为可去奇点； (3)z a=为极点，级数为m 、n 中较大者；当m n =时z a =为极点, 级数小于或等于m , 也可能是可去奇点.7. (1)1Re [(),0]2s f z =-，3Re [(),2]2s f z =；(2)4Re [(),0]3s f z =-；(3)1Re [(),0]6s f z =-；(4)Re [(),0]0s f z =，1Re [(),](1),1,2,ks f z k k k ππ=-=±±.8. (1) 0；(2) 24e iπ；(3)2iπ-；(4)2iπ.总习题 131. (1)D ； (2)C ； (3)A ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)1,1R z i =-≤；(3)31a -=-；(4)Re [()(),0](0)s f z g z f =；(5)一级极点, 4sin 1Re [,0]6z z s z-=. 3. (1)1e ； (2)1； (3)2； (4)2；2； 24. (1)1111,()ln arctan 412z R s z z z z +==+--； (2) 231,()(4)z R s z z -==-.5. (1)101(1),33n n n z R ∞+=-+=∑； (2)11(1),1n n n z R ∞-=+=∑；(3)210(1)(),(21)!nn n z R n π∞+=---=+∞+∑； (4)21(1),121n n n z R n ∞+=-=+∑.6. (1) 在014z <-<内，11(1)54nn n z z ∞+=-=--∑；在41z <-<+∞内，10145(1)nn n z z ∞+==--∑；(2) 在12z <<内，1221001()2(1)2nn n n n n z f z z ∞∞+++===--∑∑；在025z <-<内，11101(2)(2)()(1)(2)25n n n nn n i i f z i z z ++∞+=+--=+---∑；(3) 2101(1)sin (1),011(21)!nn n z z z n ∞--=-=--<-<+∞-+∑；(4)1(1),011!z n n e z e z z n -∞=-=-<-<+∞-∑.8. (1)0z =为一级极点，z i =±为二级极点； (2)0z =为三级极点；(3)0z =为可去奇点，1z =为三级极点； (4)1z =为本性奇点，2()kzk i k Z π=∈为一级极点． 9. (1)1Re [,](1)(),cos 22k z s k k k Zz ππππ++=-+∈；(2)42313Re [,]8(1)z s i i z +=-+,42313Re [,]8(1)z s i i z +-=+； (3)1Re [cos,1]01s z=-；(4) 1Re [,0]0s zshz =,11(1)Re [,],1,2,k s k i i k zshz k ππ--==±±.10. m -.11. (1)2i π-； (2)当3m ≥且为奇数时，原式12(1)(2)!n i n π-=-；当3m <或为偶数时，原式0=；(3)12i -； (4)26i π-. 12.. (1)2π； 2(1)a a +.。

高等数学(A)下期末试卷及答案(优选.)

南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分）1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）(A ) ⎰⎰x e dx y x f dy ln 01),( (B )⎰⎰1),(dx y x f dy e e y(C )⎰⎰eeydx y x f dy ),(10(D )⎰⎰ex dx y x f dy 1ln 0),(2、锥面22y x z +=在柱面x y x 222≤+内的那部分面积为（D ）(A )⎰⎰-θππρρθcos 2022d d (B )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d(C )⎰⎰-θππρρθcos 202222d d (D )⎰⎰-θππρρθcos 20222d d3、若级数∑∞=-1)2(n nn x a 在2-=x 处收敛，则级数∑∞=--11)2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为（A ）(A ) ∑∞=-1)13(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n 5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值为（c ）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面方程为624=-+z y x2、已知)0(:222>=+a a y x L ，则=-+⎰Lds xy y x )]sin([22 32 a π 3、Ω是由曲面22y x z +=及平面)0(>=R R z 所围成的闭区域，在柱面坐标下化三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x f )(22为三次积分为⎰⎰⎰RR dz f d d ρπρρρθ)(20204、函数x x f =)()0(π≤≤x 展开成以2π为周期的正弦级数为nx nx n n sin )1(211+∞=-=∑，收敛区间为π<≤x 05、=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导数，求y x z x z ∂∂∂∂∂2,解：2112yg g y f x x z ++'=∂∂ … 3分=∂∂∂yx z2f xy ''4113122221g y x g y xyg g --++ 5分四、(本题8分）在已知的椭球面134222=++z y x 内一切内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

08-09高数(下)(A)试卷及答案

08-09 高等数学(下) A 考试方式：闭卷完成时限： 120分钟一、填空（每小题3分，满分15分）：1. 与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行,且过点)5,2,3(-的直线方程_______________.2. 函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-处取得极值,则常数 =a _______________.3. 若积分区域D 为x y x 222≤+,则二重积分⎰⎰σDd y x f ),(化为极坐标下的二次积分为_____________.4. 设)ln(222z y x u ++=则=)(u grad _______________.5.若级数∑∞=0n n nx a在5-=x 处条件收敛,则该级数的收敛半径为._______. 二、单项选择（每小题3分，满分15分）：1. ()00,y x f x 和()00,y x f y 存在是函数()y x f ,在点()00,y x 连续的( )A. 必要非充分条件;B. 充分非必要条件;C. 充分且必要条件;D. 既非充分又非必要条件2. 已知 dy y x dx ay x )43()(+++为某一函数的全微分,则=a ( )A. 0 ;B. 1 ;C. 3 ;D. 4.3. 二次积分dx y x f dy y y⎰⎰22),(交换积分次序后为( )A. ⎰⎰⎰⎰+221210),(),(xxxdy y x f dx dy y x f dx;B.dy y x f dx x ⎰⎰22),( ;C.⎰⎰22),(xxdy y x f dx; D.⎰⎰⎰⎰+21221),(),(xxxdy y x f dx dy y x f dx .4. 22y x z +=在点(1,2)处沿着从点(1,2)到点)32,2(+的方向的方向导数为( )A. 32+ ;B. 321+ ;C. 342+;D. 34+ .5. 下列级数中条件收敛的是( )A.∑∞=-1)1(n nnB. ∑∞=-13)1(n nnC. ∑∞=--22)1(n n nn nD. ∑∞=-12)1(n nn 三、计算下列各题（每小题7分，满分49分）： 1. 求直线⎩⎨⎧=--+=++-0101z y x z y x 在平面0=++z y x 上的投影直线的方程.2. 设⎩⎨⎧=+=-10xv yu yv xu ，求y vx u ∂∂α∂ ,.3. 求曲线⎩⎨⎧=+-++=0253222z y x y x z 上点)9,2,1(-处的切线方程和法平面方程.4. 计算dy yye dx x y ⎰⎰-121 .5. 设Ω是由z y x 222=+和2=z 所围在的区域，求⎰⎰⎰Ω+dv y x z )(22. 6. 求幂级数nn n nx n ∑∞=-12)1(的收敛域.7. 设⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0 , 10 , arctan 1)(2x x x x x x f ,求)(x f 展开成x 的幂级数,并求级数∑+∞=--1241)1(n n n 的和. 四、应用题（每小题8分，满分16分）： 1.设长方体的三个面在坐标面上,其一顶点在平面1=++czb y a x 上,且.0,0,0>>>c b a 试问长方体的高z 取什么值时,其体积最大.2. 求球体2222R z y x ≤++与球体Rz z y x 2222≤++的公共部分的体积. 五、证明题（5分）设),2,1(,⋅⋅⋅=≤≤n b c a n n n ,并设级数∑∞=1n na和∑∞=1n nb均收敛,试证明∑∞=1n nc也收敛.08-09高数(下)A 参考答案一、填空题（每小题3分，共15分） 1153243-=-=+z y x ， 2 -5 3 ⎰⎰-θππρρθρθρθcos )sin ,cos (2022d f d4 )2,2,2(222222222zy x zz y x y z y x x ++++++ 5 5. 二、选择题（每小题3分，共15分） 1.D 2.C 3.A 4.B 5.A三、计算题（每小题7分，共49分）1.解: 现求过直线和平面垂直的平面方程有1=-z y (5)那么所求直线方程为⎩⎨⎧=++=-01z y x z y (7)2.解: 方程两边求微分，得⎩⎨⎧=+++=--+00vdx xdv udy ydu vdy ydv udx xdu …………………………………………………………(3) 22y x yvxu x u ++-=∂∂，……………………………………………………………………（5） 22yx yvxu y v ++-=∂∂……………………………………………………………………（7） 3. 解 ⎩⎨⎧='-'+'+='05342x x xx z y y y x z ，在点)9,2,1(-处，解得334,35='='xx z y ,…………..(3) 所以在点)9,2,1(-处的切向量为 {}34 ,5 ,3,……………………………………………..(5) 因此切线方程3495231-=-=+z y x ,.....................................................(6) 法平面方程 3133453=++z y x (7)4.解:交换积分次序,1d e d d 1e 1110==-=⎰⎰⎰y y x y yy I y yy (7)5.解: 采用柱面坐标，⎰⎰⎰=22320202d d d r z z r r I πθππ8d )44(2122043=-⋅=⎰r r r (7)6.解:收敛半径为 2121lim lim1=+==∞→+∞→n n a a R n n n n , (4)当21-=x 时,级数为∑∞=-11n n,发散； (5)当21=x 时,级数为∑∞=--11)1(n n n ,收敛， (6)所以收敛区间为 ]21,21(-； (7)7.解: 211x + ,)1(02∑∞=-=n n n x )1,1(-∈x ………………………………………….(1) x a r c t a n ∴ ⎰+=xx x 02d 11 ,12)1(012∑∞=++-=n n n x n ]1,1[-∈x ……………………(3) 于是)(x f ∑∞=+-+=1212)1(1n n n x n ∑∞=++-+02212)1(n n n xn ………………………………..…..(4) ∑∞=+-+=1212)1(1n n n x n ∑∞=---+12112)1(n nn x n (5)∑∞=⎥⎦⎤--+⎢⎣⎡-+=12121121)1(1n nn x n n ,41)1(21122∑∞=--+=n nn x n ]1,1[-∈x ……………………………………….(6) ∑∞=--∴1241)1(n nn]1)1([21-=f 214-=π (7)四、应用题（每小题8分，共16分）1.解: 1. 目标函数 xyz V =，约束条件1=++c zb y a x ，………………………….(2) 设拉格朗日函数 )1(-+++=czb y a x xyz L λ， (4)令 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=+='=+='=+='1000cz b y a x c xy L b xz L a yz L z y x λλλ，解得唯一驻点 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧===333c z b y a x ， (7)由实际问题，当高3cz =时，其体积最大 (8)2.解: 可用三重积分⎰⎰⎰Ωdv ……计算, 也可用二重积分⎰⎰σ-Dd )(底顶…计算.⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰σ+σ==Ω)(2)(221z D RR z D R d dz d dzdv V (4)⎰⎰-π+-π=RR R dz z R dz z Rz 22222)()2( (6)=3125R π (8)五、证明题（每小题5分，共5分）证明：由条件知，n n n n a b a c -≤-≤0,),2,1( =n ,由题设∑∞=1n n a 和∑∞=1n n b 均收敛，故正项级数∑∞=-1)(n n n a b 收敛，由比较判别法知正项级数∑∞=-1)(n n na c也收敛，而n n n n a a c c +-=)(,),2,1( =n ，再由∑∞=1n n a 的收敛性，证明了∑∞=1n n c 收敛. (5分)。

南京邮电大学第二学期期末考试高等数学(下)复习重点

南京邮电大学第二学期期末考试高等数学（下）复习重点一、期中考试前内容(20%左右)第6xx多元函数微分学及其应用1、会求空间曲面的切平面。

(曲面的法向量）2、会计算可微函数在一点沿某个方向的方向导数3、会用拉格朗日乘数法求多元函数的条件极值、最值。

第9xx无穷级数1、掌握正项级数敛散性的比值、根值、比较判别法2、掌握任意项级数的绝对收敛、条件收敛的判别方法，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。

3、掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法，理解Abel定理。

第10xx微分方程1、掌握二阶常系数线性齐次，非齐次方程的求解。

二、期中考试后内容(80%左右)第7xx积分(25%左右)1、会把二重积分化成直角坐标，极坐标下的二次积分,会交换积分次序,会适当选取坐标系来计算二重积分.2、会适当选取直角坐标（投影法、截面法）、柱面坐标、球面坐标来计算三重积分。

3、会利用二重积分、三重积分计算空间曲面的面积与空间立体的体积。

(注意对称性的应用)第8xx曲线积分与曲面积分(30%左右)1.两类曲线积分的直接计算。

2.掌握xx公式及其应用。

3、两类曲面积分的直接计算。

4、会用高斯公式和投影转换法计算曲面积分。

5、散度、旋度的计算。

（注意第一类曲线与曲面积分的对称性的应用)第11-13xx复变函数（25%左右）1、掌握复数的各种表示法及其基本运算：(1).四则运算、乘方、开方(2).几个初等函数的定义及其运算2、掌握复变函数利用C-R方程判别可导及解析性的方法.3、掌握复变函数沿闭曲线的积分4.洛朗级数5、会求孤立奇点及类型，并会求函数在孤立奇点的留数。

高等数学(A)下期末试卷及答案

来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为（A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值为（c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。

来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。

南京邮电大学高数书上的习题答案下册

南京邮电大学高数书上的习题答案下册南京邮电大学《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章习题7.12.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ (3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I(3);33323323ππ≤≤-I习题7.2 1.(1) ;),(),(4420402⎰⎰⎰⎰-yy x dx y x f dy dy y x f dx 或(2);),(),(2222220⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dy y x f dx 或(3) ;),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dyy x f dx 或(4)222222221411142411142414(,)(,)(,)(,)x x x x x x x x dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy----------------+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy 2.(1) ;),(110⎰⎰xdy y x f dx (2) ;),(240⎰⎰xx dy y x f dx (3) ;),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5);),(1⎰⎰ee ydx y x f dy (6).),(),(arcsin arcsin 1arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π-(3);556 (4);1--e e (5);49(6).12-π 4..3π 5..27 6..6179.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 021⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d (2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d(3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4) .)sin ,cos (sec tan sec 4⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d11.(1) ;434a π(2) ;12- (3);)1(4-e π (4).6432π12.(1) ;222π+(2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π13..42a π14.(1);6π (2) .32π15. (1);2ln 37 (2);21-e (3).21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=xy v yx u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==yx v x u 习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x xdz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641(2));852(ln 21- (3);0 (4);422R h π (5).2π-4. (1) ;81 (2) ;127π (3).316π5. (1);54π (2);674a π (3)).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d 球面坐标系.sin )cos ,sin sin ,cos sin (2024020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1) ;332π(2) ;233a π (3);6π (4)).455(32-π8. .)(422t f t π 9..4R k π习题7.41..)612655(2a π-+ 2..2π 3..162R5.(1);34,0πb y x ==(2);0,)(222=+++=y b a a ab b x(3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4).43,0,0⎪⎭⎫ ⎝⎛6..796,572==y xI I7. (1) ;384a (2);157,0,02a z y x ===(3) .451126ρa8..])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π(2) ;0 (3);2π (4);4μ(5) .344R π3.(1);94124R R ππ+ (2).π4. (1) ;3250π (2).328163a π-5..)]0(3[3hf h +π第八章习题8.11.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lxds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL L L dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ。

高等数学(A)下期末试卷及答案

《高等数学 A 》( 下）期末试卷 A 答案及评分标准得一、选择题（本大题分 5 小题，每题 3 分，共 15 分分）e dxln x f ( x, y)dy 的积分序次为1、互换二次积分1（c ）e ln xf ( x, y)dxe1 (A)dy(B)e ydyf ( x, y)dx11 eln xe(C)dy e y f ( x, y)dx(D)dy1f ( x, y)dx2、锥面zx2y 2在柱面 x2y22x 内的那部分面积为（ D ）d2 cos2d2 cos 2d(A)2d2(B)222cos 2d22 cosd(C)2 d(D)2 d2 023、若级数a n ( x 2) n在 x2 处收敛，则级数n 1na n ( x 2)n 1（ B ）在 x 5n 1(A)条件收敛 (B) 绝对收敛 (C) 发散 (D) 收敛性不确立4、以下级数中收敛的级数为（ A ）(A)( n ) n(B)n2 3n 1 n 1 n 1 n 1(C)sin1(D)n!n 1 3 n n 1 n 15、若函数f ( z)( x 2 y 2 2 xy) i( y 2 axy x2 ) 在复平面上到处分析，则实常数 a 的值为（c ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) -2得二、填空题（本大题分 5 小题，每题 4 分，共 20 分分）、曲面 z x2y21 在点 (2,1,4) 处的切平面1方程为 4x 2 y z62 、已知L : x2y2a 2(a 0) ，则L [ x 2y2sin( xy)]ds2 a33、是由曲面zx2y 2及平面 zR(R0) 所围成的闭地区，在柱面坐标下化三重积分f ( x2y 2)dxdydz 为2 RR2)dz三次积分为ddf (4、函数 f (x) x (0 x) 睁开成以 2 为周期的正弦级数为x2 ( 1) n 1 sin nx，收敛区间为n 1n0 x5、Ln( 1 i)ln 2 i(32k ), k 0, 1, 24Re s[e z,0]12得三、 (此题 8 分）设zf ( x2y 2) g( x, xy) ，分y此中函数 f (t) 二阶可导， g(u, v) 拥有二阶连续偏导数，求 z ,2zx x y解： z 2xf1g 1yg23 分xy2z4xyfg 2xyg 221 g 1 x g 11 5 分x yy 2 y 3得x 2y 2z 21内分四、(此题 8 分）在已知的椭球面43全部内接的长方体（各边分别平行坐标轴）中，求最大的内接长方体体积。

南京邮电大学-高数书上的习题答案(下册)

南京邮电大学《高等数学》(下册) 习题参考答案第七章习题7.1 2.(1);)()(32⎰⎰⎰⎰+≥+DD d y x d y x σσ (2);)()(23⎰⎰⎰⎰+≥+DDd y x d y x σσ(3);1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ>xyzdv xyzdv (4);)()(2222222⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ++≤++dv z y x dv z y x3. (1);02π≤≤I (2);10036ππ≤≤I (3);33323323ππ≤≤-I习题7.21.(1);),(),(442042⎰⎰⎰⎰-yy xdx y x f dy dy y x f dx 或(2);),(),(22222200⎰⎰⎰⎰-----y r y r rx r r rdx y x f dy dyy x f dx 或(3);),(),(),(22121121121⎰⎰⎰⎰⎰⎰+yyxxdx y x f dy dx y x f dy dyy x f dx 或(4)11121121(,)(,)(,)(,)dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy dx f x y dy ----+++⎰⎰⎰⎰⎰或.),(),(),(),(2222222241.11141144124421⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰----------------+++y y y y y y y y dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy dx y x f dy2.(1);),(11⎰⎰xdy y x f dx (2);),(24⎰⎰xx dy y x f dx(3);),(21011⎰⎰--x dy y x f dx (4);),(212111⎰⎰+--y y dx y x f dy(5) ;),(1⎰⎰ee y dx y xf dy (6).),(),(arcsin arcsin 1arcsin 201⎰⎰⎰⎰---+yyydx y x f dy dx y x f dy ππ3.(1);320 (2);23π- (3);556 (4);1--e e (5);49 (6).12-π 4. .3π 5. .27 6. .617 9.(1);)sin ,cos (20⎰⎰bad f d ρρθρθρθπ(2);)sin ,cos (cos 2022⎰⎰-θππρρθρθρθd f d(3) .)sin ,cos (1)sin (cos 021⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d10.(1);)sin ,cos ()sin ,cos (csc 024sec 040⎰⎰⎰⎰+θππθπρρθρθρθρρθρθρθd f d d f d(2);)(sec 2034⎰⎰θππρρρθd f d (3);)sin ,cos (1)sin (cos 201⎰⎰-+θθπρρθρθρθd f d(4).)sin ,cos (sec tan sec 40⎰⎰θθθπρρθρθρθd f d11.(1) ;434a π (2);12- (3) ;)1(4-e π (4) .6432π12.(1) ;222π+ (2);)2(8-ππ(3) ;144a (4)).(3233a b -π 13..42a π14.(1);6π (2) .32π 15. (1) ;2ln 37 (2) ;21-e (3) .21ab π16.(1)提示：作变换;⎩⎨⎧-=+=x y v y x u (2)提示：作变换.⎩⎨⎧+==y x v xu习题7.3 1.(1) ;),,(111112222⎰⎰⎰+----y x x x dz z y x f dy dx (2);),,(22222221111⎰⎰⎰-+----x y x x x dz z y x f dy dx(3);),,(222111⎰⎰⎰+-y x x dz z y x f dy dx (4).),,(01010⎰⎰⎰-xy xdz z y x f dy dx2. (1);3641 (2) );852(ln 21- (3) ;0 (4) ;422R h π(5) .2π- 4. (1) ;81 (2) ;127π (3) .316π5. (1) ;54π (2) ;674a π (3) ).(15455a A -π6.直角坐标系 ;),,(22222221111⎰⎰⎰--+----y x y x x x dz z y x f dy dx柱面坐标系 ;),sin ,cos (22120⎰⎰⎰-ρρπρθρθρρθdz z f d d球面坐标系 .sin )cos ,sin sin ,cos sin (224020⎰⎰⎰dr r r r r f d d ϕϕθϕθϕϕθππ7.(1);332π (2) ;233a π (3) ;6π (4) ).455(32-π 8. .)(422t f t π 9..4R k π 习题7.4 1. .)612655(2a π-+ 2. .2π 3. .162R5.(1);34,0πby x == (2);0,)(222=+++=y b a a ab b x (3);)(8)(3,0,03344⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a A a A (4) .43,0,0⎪⎭⎫⎝⎛6..796,572==y x I I 7. (1) ;384a (2) ;157,0,02a z y x === (3) .451126ρa8. .])([2,02222h R a R a h G F F F z y x ++-+--===ρπ 总习题71.(1) (C); (2) (A); (3) (B); (4) (D); (5) (B),(D).2. (1) ;32π (2) ;0 (3) ;2π (4) ;4μ (5) .344R π 3.(1) ;94124R R ππ+ (2).π4. (1);3250π (2).328163a π- 5..)]0(3[3hf h +π 第八章习题8.1 1.(1);),(,),(22⎰⎰==Ly Lx ds y x x I ds y x y I μμ(2).),(),(,),(),(⎰⎰⎰⎰==LL LL dsy x ds y x y y dsy x ds y x x x μμμμ 2. (1) ;212+n aπ (2);)12655(121-+ (3) ;2)42(-+a e a π(4);)1(232--e (5) ;9 (6) .152563a 3.质心在扇形的对称轴上且与圆心的距离为ϕϕsin a 处. 4..6πk6. (1) ;23a π- (2) ;2π- (3) ;1514-(4) ;3233ππa k - (5) ;13 (6) .217. (1);334 (2) ;11 (3) ;14 (4) .3328. ;)(12z z mg - 9. .23a π10. (1) ;2),(),(ds y x Q y x P L⎰+ (2);41),(2),(2ds xy x xQ y x P L⎰++(3).)],()1(),(2[2ds y x Q x y x P x x L⎰-+-11..941),,(3),,(2),,(22ds yx z y x yR z y x xQ z y x P L⎰++++习题8.21. (1) ;8 (2).301 2. (1) ;12 (2) ;0 (3) ;24a π(4) ;42π (2) .6742sin - 3. (1) ;25 (2) ;236 (3) ;5 (4) .23- 4. (1) ;2122122y xy x ++ (2) ;cos cos 22y x x y + (3) .12124223yy ye e y x y x +-+习题8.3 1. ⎰⎰∑+=.),,()(22dS z y x z y I x μ 3. (1);313π (2) ;30149π (3) .10111π 4. (1) ;614 (2) ;427- (3) ;)(22h a a -π (4) .215644a5. ).136(152+π6. (1) ;10527R π (2) ;23π (3) ;21 (4) .817.(1)⎰⎰∑++;)5325253(dS R Q P (2) .4412222⎰⎰∑++++dS yx R yQ xP8. .8π习题8.4 1. (1);23(2) ;5125a π (3) ;81π (4) ;525a π (5) .4π2. (1) ;0 (2) ;)62(23a a - (3) .108π 3. (1) ;222z y x ++ (2) ;)sin(2)sin(2xz xz xy x ye xy-- (3) .2x习题8.51. (1) ;32a π- (2) );(2b a a +-π (3) ;20π- (4) .29-2. (1) ;642k j i ++ (2) ;j i +(3) )]cos()sin(cos [2xz xy z x -i )sin(cos z y -j ]cos )cos([22y x xz z y -+k 3. (1) ;0 (2) .4- 4. (1) ;2π (2) ;12π 6. .0 总习题81. (1) ;12a (2) ;4a π (3) ;4 (4) ;6π-(5) ;)(22223γβαπ++R (6) ;23R π (7) );(C (8) ).(B2.(1);2arctan 222222ln )41(3ln 2+--+++ππ(2) ;18π (3) ;0 (4) ;2a π (5).162π 3. (1) ;arctan 2RHπ (2) ;414h π- (3) ;2π4. .85. .216. .27..93,3,3,3max abc W c b a ====ςηξ 8..23 习题9. 11. (1) 2(1)ln(1)=++n n u n n ; (2) 11(1)-+=-n n n u n ;(3)1(1)!-=-n n x u n ; (4) 1sin (1)-=-n n nx u n .2. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 收敛; (4) 发散.3. (1) 发散; (2) 发散; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 发散.4. 提示：利用数列收敛与其子列收敛之间的关系.5. 提示：21221++=+n n n s s u .习题9. 21. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛.2. (1) 发散; (2) 收敛; (3) 发散; (4) 收敛; (5) 收敛; (6) 收敛；(7) 收敛; (8)<b a 时收敛，>b a 时发散，=b a 不能确定.3. (1) 收敛; (2) 收敛; (3) 收敛; (4) 发散; (5) 收敛; (6) 收敛.4. (1) 绝对收敛; (2) 条件收敛; (3) 条件收敛; (4) 发散; (5) 条件收敛; (6) 条件收敛. 6. 提示：11≤n n a b a b . 7.211()2≤+n u n.8. 提示：0≤-≤-n n n n c a b a . 9. 提示：≤⋅n n n n a b a b .10. 当1<a 时绝对收敛，当1>a 时发散，1=a 时条件收敛，1=-a 时发散. 习题 9. 31. (1) 1,[1,1]=-R ; (2) 111,[,]222=-R ; (3) 1,[1,1]=-R ;(4) ,(,)=+∞-∞+∞R ; (5) 3,[0,6)=R ; (6) 1,[1,0)2=-R .2. (1) 11ln (11)21+-<<-xx x; (2)3424(11)(1)-<<-x x x ; (3)32(11)(1)-<<-x x ; (4) ln(1)(11)1---<<-xx x x.3. ()arctan ,[1,1];=-s x x .4. (1) 4π; (2) 4; (3) ln 22π-; (4) 2(1)ππ-+. 习题9. 41. 20cos (1),(,)(2)!∞==-∈-∞+∞∑nnn x x x n . 2. (1) 210,(,)(21)!+∞=∈-∞+∞+∑n n x x n ; (2) 11ln 2(1),(2,2]∞-=+-∈-∑n n n n x x na ;(3) 0(ln ),(,)!∞=∈-∞+∞∑n nn a x x n ; (4) 2121(1)21,(,)(2)!-∞=-+∈-∞+∞∑n n n n x x n ； (5) 111(1),(1,1](1)+∞+=-+∈-+∑n n n x x x n n ; (6) 21211(1)211arctan 2,[,]2122-∞-=-+∈--∑n n n n x x n .3. (1) 11011()(1),(3,1)23∞++=-+∈-∑nn n n x x ; (2) 111(1)(1),(0,2]ln10∞-=--∈∑nn n x x n ; (3)(1),(,)!∞=-∈-∞+∞∑nn ex x n ;(4) 221111(1)[())],(,)2(2)!33ππ∞+=-++∈-∞+∞∑n n n n x x x n .4. (1) 1110(1)[1],(1,1)2+∞++=--+∈-∑n n n n x x ; (2)211(1)(1)(2),(1,3)2∞+=-+-∈∑n n n n x x .5. 21212(2)!(),[1,1]2(21)(!)∞+=+∈-+∑n n n x x x n n ，()2220,2,(0)[(2)!],2 1.2(!)=⎧⎪=⎨=+⎪⎩n k n k f k n k k6. 11(),(,)(1)!-∞==∈-∞+∞+∑n n nx f x x n .7. (1) 0.9848; (2) 0.9461.习题9. 52. (1) 11cos(43)cos(41)()[],(21),0,1,2,4341ππ∞=--=-≠+=±±--∑n n x n xf x x k k n n ;(2)121[1(1)]()(1)()(){cos sin },(21),0,1,4πππ-∞=-----+=++≠+=±∑n n n b a a b a b f x nx nx x k k n n2,±;(3) 21212(1)()4cos ,3π+∞=-=+-∞<<+∞∑n n f x nx x n ; (4) 33211(1)()[(3cos sin )],(21),0,1,2,69ππππ-∞=--=+-≠+=±±+∑nn e e f x nx n nx x k k n .3. (1) 12124(1)()cos ,[,]41ππππ-∞=-=+∈--∑n n f x nx x n ;(2) 221111(1)(1)1(1)(){cos []sin },211ππππππ--∞=+----+---=+++++∑n n nn e e n ne f x nx nx n n n(,)ππ∈-x .4. 123121(1)6(){(31)[1(1)]}sin ,ππ-∞=-=++---∑n n n f x nx n n n(0,)π∈x .5. 211(1)()cos ,[0,]4πππ∞=--=+∈∑nn f x nx x n .6. 121cos ()sin ,(0,)(,)ππ∞=-=∈⋃∑n nhf x nx x h h n ; 12sin ()cos ,[0,)(,)πππ∞==+∈⋃∑n hnhf x nx x h h n. 习题9. 61. (1) 221(1)12()cos ,(,)4ππ∞=--=+∈-∞+∞∑n n l ln xf x x l n ; (2)112()sin ,,0,1,2,2ππ∞==-≠=±±∑n E E n xf x x kT k n T ;(3) 1221111(1)()cos 2,(,)12ππ+∞=-=+∈-∞+∞∑n n f x n x x n . 2. (1) 2212(1)()sin sin sin ,[0,)(,]22221ππππ∞=-=+∈⋃-∑n x n n n x l lf x x l l l n ;2211211()cos(cos 1)cos ,[0,)(,]2221ππππππ∞=-=++-∈⋃-∑n x n n x l lf x n x l ll n;(2) 33141(1)()sin ,[0,1]ππ∞=--=∈∑nn f x n x x n ;221121(1)()cos ,[0,1]6ππ∞=+-=-∈∑nn f x n x x n . 3. 2222015411()cos(21),[1,1],26(21)πππ∞∞===-+∈-=+∑∑n n f x n x x n n .4. (1) 1sin ()12,(0,2)ππ∞==--∈∑n nxf x x n ; (2) 12(1)(1)1()sin ,(0,)πππ∞=---=∈∑n n f x nx x n;(3) 12sin 2(),(0,)2ππ∞=-=-∈∑n nxf x x n ; (4) 112(1)()1sin ,(1,1)ππ+∞=-=-+∈-∑n n f x n x x n.5. 112(1)51sin ,(3,5)ππ+∞=--=-+∈∑n n x n x x n.6. 0(1)51,(3,5)ππ+∞=-∞≠--=-+∈∑n in xn n i x e x n ;7. 121()sin cos ,2,0,1,2,τπτπτπ∞==+≠±+=±±∑n E E n n t f t t kl k l n l l.总习题 91. (1) C ; (2) C ; (3) B ; (4) A ; (5) A .2. (1) 8; (2) 1,01,0><≤≤p p p ; (3)2=R ;(4) 2ln(1),[2,0)(0,2),[2,2),()210;⎧--∈-⋃⎪-=⎨⎪=⎩x x s x x x (5)14-. 3. (1) 收敛; (2) 发散; (3) 发散; (4) 发散; (5) 1>a 时收敛, 01<≤a 时发散;(6) 01<<a 时收敛, 1>a 时发散, 1=a 且1>k 时收敛, 1=a 且01<≤k 时发散. 4. (1) 绝对收敛; (2) 绝对收敛; (3) 条件收敛; (4) 条件收敛. 5. 12>k 时收敛, 12≤k 时发散. 6. (1) 11[,)33-; (2) 11(,)-e e; (3) (2,0)-; (4) (1,1)-.7. (1)111ln arctan (11)412++--<<-x x x x x ; (2)11(1)ln(1),(1,0)(0,1],()0,0,1,1;⎧-++∈-⋃⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎩x x x s x x x (3)21(02)(2)-<<-x x x ;(4)2222((2)+<-x x x . 8. (1)1ln 34; (2)2227. 9. (1)881()(11)∞+=--<<∑nn n xxx ; (2) 210(1)(11)421π∞+=-+-≤<+∑n n n x x n . 10. 3318sin(21)()(0);32(21)πππ∞=-=≤≤-∑n n x f x x n .习题10.11.(1) 1 ；（2）2 ；（3）1 ；（4） 2 ，2.（1）不是；（2）不是；（3）不是；（4）是，4.（1）22(1)4y y '+= ；（2）2220x y xy y '''-+=， 5.（1）222x y y += ；（2）2xy xe =， 6.20x yy '+= ，习题10.21.（1）22(1)x y C -+= ；（2）222(1)(1)x y Cx ++= （3）sin cos y x C = ；（4）1010xyC -+=（5）()(1)y C x a ay =+- ；（6）(y x C =2.（1）212ln(1)2ln(1)xy e e -=+-+；（2）arctan 4xy e π-= ；（3）(1)1x y += ；（4）ln tan2xy =， 3.()ln 1f x x =+ 4.（1）cxy xe =；（2）3()x yy Ce=；（3）tan()y x x C +=+（4）2sin()y x C x=5.（1）33x y Ce-=；（2）()xy x C e -=+；（3）(ln ln )y x x C =+（4）2sin 1x C y x +=-；（5）12(1)yx y Ce =+；（6）()x x C y e +=6.（1）x ae ab e y x+-=；（2）1cos xy xπ--=；（3）y x = （4）sin 2sin 1xy ex -=+-7.（1）535(5)2y x Cx +=；（2）82291(1)x C x =-+-；（3）22212xy Cex x =---；（4）3243(12ln )xyx x C -=-+8.（1）21xy e =-；（2）2xy e =-9.（1）是，323x xy y C +-=；（2）是，cos cos y x x y C +=（3）是，2(1)e C θρ+=10.（1）4242x xy y C +-=；（2）arctan()xx C y=+（3arctan xC y=；（4）2x y C y x =+ 11.约3.4秒，13.（1）2321234ln 2x y x C x C x C x C =++++；（2）12()xy C x e C -=-+；（3）1211y C x C =-+；（4）221124(1)()C y C x C -=-习题10.3 1.(1) 相关；（2）无关；（3）无关；（4）相关，2.212()x y C C x e =+， 3.（1）212xy C x C e-=+ ；（2）212(21)xy C e C x =++5.2212()(1)1y C x x C x =-+-+，6.（1）2211210(21)!!(2)!!(1(1))((1))(2)!!(21)!!kk k k k k k k y C x C x k k +∞+∞+==-=+-+-+∑∑；（2）211(21)!!kk x y k +∞==+-∑ ，7.（1）2312x x y C e C e -=+；（2）412xy C C e =+（2）(1(112xxy C e C e =+；（4）212(cossin )22x y eC x C x -=+ (5)当0a <时，12y C C e =+；当0a =时，12y C C x =+；当0a >时，12y C C =+；(6）当1λ>时，((12xxy C e C e λλ--=+；当1λ=时，12x x y C e C xe λλ--=+；当1λ<时，12()x y e C C λ-=+；（7）1234cos sin x xy C e C e C x C x -=+++；（8）123cos sin y C x C x C =++；（9）1234()cos ()sin y C C x x C C x x =+++；（10）y =21234()()x xC C x e C C x e -+++；（11）2123()ax y e C C x C x =++；（12）1234()cos sin xy C C x e C x C x =+++；8.（1）342x xy e e =+；（2）2(2)x y x e-=+；（3）2(42)x y x e-=-；（4）(cos3sin 3)xy e x x -=+；（5）1cos sin 2x t t t =+ 9.1cos3sin 33y x x =- ，10.（1）3122x xy C e C e =++；（2）2121()(1)4xy C C x ex =+++；（3）3212123x y C C e x x x =+---；（4）121cos sin cos 2y C x C x x x =+-；（5）61275cos sin 7474x xy C e C e x x =+++；（6）212231(cossin )sin 2cos 22226262x y eC x C x x x -=+-++， 11.（1）()cos ()sin xy Ae B Cx x D Ex x =++++；（2）4[()cos 2()sin 2]xy xe B Cx x D Ex x =+++；（3）2[()(cos 2sin 2)]xy e x B Cx D x E x =+++；（4）32[()(cos 2sin 2)]xy e x Ax Bx C D x E x =++++；（5）[()cos ()sin ]y x B Cx x D Ex x =+++；（6）2x y A =， 12.（1）21122xx y e e x -=---；（2）11cos3cos 248y x x =+；（3）(sin )x y e x x -=-；（4）2sin xy xe x =，13.（1）121(ln )y C x C x=+；（2）12ln y C C x ax =++；（3）212(ln )ln y x C x C x x =++；（4）2123(ln )y x C x C C x -=++，14.x a = ； 15.约1.9秒，总习题101.（3）23222(ln )33x x x C y =-++；（4）2212x y C y-= ；（5）1y C C =；（6）11y x=- ，2.()1f x =- 3.()cos sin x x x ϕ=+4.nx Cy = 或ny Cx = 5.22x y Cx += ， 6.（1）21213()164xx y C C x ee -=+++；（2）12cos3cos sin sin 416x xy C x C x x =+--； (3)1211cos 2210x x y C e C e x -=+-+；（4）12))sin(ln )2x y C x C x x =++ ， 7.()x ϕ=22121(1)22xxx xC e C e x e ++-， 8.1sin 2xx y e e x -=-- 9. 约2.8秒. 习题11. 1 1. (1) 32322Re ,Im ,,arctan 2()131313133π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(2) 31311Re ,Im ,,arctan 2()22223π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z ; ;(3) 7726Re ,Im 13,13,arctan 2()227ππ=-=-=-+==-+∈z z z i z Argz k k Z ;(4) Re 1,Im 3,13,arctan 32()π==-=+==-+∈z z z i z Argz k k Z . 2. 1,11==x y . 3. (1)2cos sin22πππ=+=ii i e ; (2) 1cos sin πππ-=+=i i e ;(3) 6sincoscos()sin()3366πππππ--=-+-=ii i e; (4) 42sin )144πππ---=+-+i i i i .6. (1)8-i ; (2)16-i ; 7512124,πππ-ii i ee ; 11,22±i i i . 7. 1.9. (1) 以1为中心，半径为2的圆周； (2)直线3=-x ；(4) 中心在2-i ，半径为1的圆周及其外部区域；(4)不包含实轴的上半平面. 10. (1) 直线=y x ；(2)双曲线1=xy ；(3)双曲线1=xy 在第一象限中的一支； (4)抛物线21=+y x .习题11. 21. (1)123,22,8=-=-+=w i w i w i ； (2)0arg π<<w .2. (1)圆周2211()24-+=u v ； (2) 圆周2214+=u v ； (3)直线=-v u ； (4) 直线12=u . 3. (1)不存在； (2)0； (3)不存在.4. (1)处处连续； (2)除=±z i 外处处连续. 习题11. 32. (1) 在直线12=y 上可导，在复平面上处处不解析；(2) 0=上可导，在复平面上处处不解析； (3) 在0=z 点可导，在复平面上处处不解析； (4) 在复平面上处处可导、处处解析.3. (1) 除=±z i 外在复平面上处处解析, 222()(1)'=-+zf z z ;(2) 当0≠c 时除=-dz c外在复平面上处处解析, 2()()-'=+ad bc f z cz d ．4. 3,1,==-=l n m 3()=f z iz , 2()3'=f z iz . 习题11. 41. (1) -ei ; )i +; (3)1ch ; (4)sin12cos12ch i sh +.2. (1)1ln 2(2),24i k k Z ππ++∈; (2) 4ln 5arctan (21),3i k i k Z π-++∈; (3) 2,k e k Z π-∈; (4) 1(2)4ln 2ln 2(cossin ),22k ei k Z π-+∈. 3. (1) k π; (2) 2k ππ+; (3) (21)k i π+; (4) 4k ππ-, 这里0,1,2,k =±±.4. (1) k i π; (2)212k i π+; (3) 1(2)2k i π+, 这里0,1,2,k =±±.5. ln z 与Lnz 在除原点与负实轴外处处解析，且1()()Lnz lnz z''==. 6. Lnz w z e αα==对每个单值分支在除原点与负实轴外处处解析，且1()z z ααα-'=. 总习题 111. (1) 33333Re ,Im ,,22422z z z argz z i π=-====--; (2)充分，必要； (3)C ； (4)2,3,2a b c ==-=； (4) sin 1i ish =, 22()k ii e k Z ππ+-=∈, 1ln(1)ln 224i i π-=-.2. (1)2(1); (2)2222cossin,0,1,2,344k k i k ππππ-+-++=.3. (1)(22)i ; (2)2468tan,0,,,,45555i i e ααππππα-=. 6. ()f z 处处不可导、处处不解析.8. (1) ln 2(2),3i k k Z ππ++∈; (2) 2e -.习题12. 12. (1)31(3)3i +；(2)31(3)3i +；(3)31(3)3i +.3. (1)1566i -+；(2) 1566i -+. 4. (1)i ； (2) 2i .5. (1)4i π； (2) 8i π.6. (1)0； (2) 0.习题12. 21. (1) 0； (2) 0； (3) 0； (4) 0.2. 相等；不能利用闭路变形原理.3. 0.4. (1) 0； (2) π.5. i π.6. (1) 0； (2) 1(2)2sh i ππ-； (3) sin1cos1-； (4) 2211(tan1tan 11)122th ith -+++. 习题12. 32. (1)22e i π；(2)i a π；(3) eπ；(4)0；(5) 0；(6) 0；(7) 0；(8) 12i π.3. (1) 0；(2) 0,当1α>时；i ie απ-,当1α<时.4. 当α与α-都不在C 的内部时，积分值为0；当α与α-中有一个在C 的内部时，积分值为i π；当α与α-都在C 的内部时，积分值为2i π.习题12. 44. 2222,()(1)v x xy y C f z i z iC =+-+=++(C 为实数).5. (1)2(1)i z --；(2)2(1)i z iC -+ (C 为实数)；(3)21iz +；(4)ln z C +.6. 当1p =±时，v 为调和函数；当1p =时, ()()z f z e C C R =+∈；当1p =-时,()()z f z e C C R -=-+∈.总习题 121. (1)D ； (2)D ； (3)C ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)π； (3)i π； (4)2i π；(5)12i π；(6)64i π.3. (1)0； (2)2i π； (3)ei π-； (4)(2)e i π-. 5. 2i π. 9. 12()u C ax by C =++.习题13. 14. (1) 收敛，极限为1-；(2) 收敛，极限为0；；(3) 收敛，极限为0；(4)发散.5. (1) 发散；(2) 发散； (3)绝对收敛； (4)条件收敛.6. (1)2；； (3)1； (4)1.习题13. 21. (1) i ； (2) 11(1)n n n z ∞-=+∑.2. (1)30(1),1nnn z R ∞=-=∑； (2)11,1n n nzR ∞-==∑； (3) 40(1),(2)!nnn z R n ∞=-=∞∑； (4) 212121(1),(2)!n nnn z R n -∞=+-=∞∑；(5)210,(21)!n n z R n +∞==∞+∑；(6) 20,!nn z R n ∞==∞∑. 3. (1) 11(1)(1),22n n n n z R -∞=--=∑； (2)211011(1)()(2),323n n n n n z R ∞++=---=∑；(3) 103[(1)],(13)n n n n z i R i ∞+=-+=-∑； (4) 11(1)(1),1n n n z R n -∞=--=∑. 习题13. 32. (1) 1(1)nn z ∞=---∑, 201(1)(2)nn n z ∞+=--∑；(2) 1(2)nn n z∞=-+∑,2(1)(1)nnn z ∞=---∑;(3) 23432121211()524816z z z z z z z++-------；(4) 112()(2),(2)()n nn n n n z i i i z i -∞∞++==+-+∑∑； (5) 2111()(1),01n n n n n z i z i i -∞-+=--<-<∑； 30(1)(1),1()n nn n n i z i z i ∞+=+-<-<+∞-∑； (6) 234111112!3!4!z z z z ---++.习题13. 41. (1)0z =,一级极点；z i =±,二级极点； (2)1z =-,一级极点；1z =,二级极点； (3)0z =,可去奇点； (4)0z =,三级极点；2(1,2,)k z k i k π==±±,一级极点； (5)z i =±,二级极点；(21)(1,2,)k z k i k =+=±,一级极点；(6)0z =,二级极点；1,2,)k ±=均为一级极点.2. (1)z a =, m n +级极点；(2) z a =,当m n >时为m n -级极点，当m n <时为n m -级极点，当m n =时为可去奇点； (3) z a =为极点，级数为m 、n 中较大者；当m n =时z a =为极点, 级数小于或等于m , 也可能是可去奇点.7. (1)1Re [(),0]2s f z =-，3Re [(),2]2s f z =；(2)4Re [(),0]3s f z =-；(3)1Re [(),0]6s f z =-；(4)Re [(),0]0s f z =，1Re [(),](1),1,2,ks f z k k k ππ=-=±±.8. (1) 0；(2) 24e i π；(3) 2i π-；(4) 2i π.总习题 131. (1)D ； (2)C ； (3)A ； (4)D ；(5)B .2. (1)0； (2)1,1R z i =-≤；(3)31a -=-；(4)Re [()(),0](0)s f z g z f =；(5)一级极点, 4sin 1Re [,0]6z z s z -=.3. (1)1e ； (2)1； (3)2； (4)2；； 4. (1)1111,()lnarctan 412z R s z z z z +==+--； (2) 231,()(4)z R s z z -==-.5. (1) 101(1),33n n n z R ∞+=-+=∑； (2)11(1),1n n n z R ∞-=+=∑；(3) 210(1)(),(21)!nn n z R n π∞+=---=+∞+∑； (4)21(1),121n n n z R n ∞+=-=+∑. 6. (1) 在014z <-<内，101(1)54nn n z z ∞+=-=--∑；在41z <-<+∞内，10145(1)n n n z z ∞+==--∑； (2) 在12z <<内，1221001()2(1)2nn n n n n z f z z ∞∞+++===--∑∑；在02z <-<11101(2)(2)()(1)(2)25n n n n n n i i f z i z z ++∞+=+--=+---∑； (3) 2101(1)sin (1),011(21)!nn n z z z n ∞--=-=--<-<+∞-+∑；(4) 1(1),011!z n n e z e z z n -∞=-=-<-<+∞-∑.8. (1)0z =为一级极点，z i =±为二级极点； (2)0z =为三级极点；(3)0z =为可去奇点，1z =为三级极点； (4)1z =为本性奇点，2()k z k i k Z π=∈ 为一级极点．9. (1)1Re [,](1)(),cos 22k z s k k k Z z ππππ++=-+∈； (2)42313Re [,]8(1)z s i i z +=-+, 42313Re [,]8(1)z s i iz +-=+； (3) 1Re [cos ,1]01s z =-； (4) 1Re [,0]0s zshz=, 11(1)Re [,],1,2,k s k i i k zshz k ππ--==±±.10. m -.11. (1)2i π-； (2)当3m ≥且为奇数时，原式12(1)(2)!n i n π-=-；当3m <或为偶数时，原式0=； (3)12i -； (4)26i π-. 12.. (1)2π； .。

高数下册期末a卷考试题及答案

高数下册期末a卷考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 以下哪个函数不是周期函数？A. \( \sin(x) \)B. \( \cos(x) \)C. \( e^x \)D. \( \tan(x) \)答案：C2. 函数 \( f(x) = x^2 \) 在 \( x=1 \) 处的导数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C3. 以下哪个选项是 \( \int_0^1 x^2 dx \) 的正确计算结果？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A4. 以下哪个选项是 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \) 的值？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B5. 以下哪个选项是 \( \int \frac{1}{x} dx \) 的原函数？A. \( \ln|x| + C \)B. \( x + C \)C. \( e^x + C \)D. \( \sin x + C \)答案：A6. 以下哪个选项是 \( \int e^x \cos x \, dx \) 的正确积分结果？A. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) + C \)B. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) + C \)C. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x + \sin x) - C \)D. \( \frac{1}{2} e^x (\cos x - \sin x) - C \)答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = \ln(x) \) 的定义域是 \( ______ \)。

答案：\( (0, +\infty) \)2. 函数 \( f(x) = \sqrt{x} \) 的导数是 \( ______ \)。

2008-2009(2)期末考试试卷(A)参考答案(高等数学)

0
0
7
a4
10
2
1
6.
7. 补上平面块∑1：z=h,x2+y2≤h2，取上侧。
由高斯公式 xdydz ydzdx zdxdy 3dv =h3
6
1
而 xdydz ydzdx zdxdy h3
8
1
所以原式= 0
10
8．
d y( y
y
1)
dx x
（3 分）
ln y ln x ln C y 1
y(x) 3y(x) 6xex （2 分）
（6 分）（8 分）（10 分）
2
特征方程： r 2 3r 0 的根为： r 0,3
对应的齐次微分方程的通解为 y C1 C2e 3x
4
可设特解为 y* ex (ax b) ，代入方程得 a 3, b 3 2
所以非齐次方程通解为
{2 y,1,3y 4}，
4
z y 3
过（1，1，1）的切向量为 s {2,1,3}
6
所求切线方程为
x 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
y
1
z
1
，
法平面为 2x y 3z 0
10
2
1 3
4.
5.
解：
Q x
y2，
P y
x 2 由格林公式，原式
(x2 y2)d xd y
5
x2 y 2 a1
2 d a r 2 r d r
高等数学 2 期末试卷（A）参考答案
09.6 一、填空题(每小题 2 分, 共 14 分)
3
1.
4
2.
x3 y4 z4
1
2 1

(8)08-09高数A(下)A卷试题参考答案

2008-2009（2）高数A （下）试题参考答案一、填空题（每小题3分，共15分）1. 1；2. 0；3. 22 ；4. 05. 512x x y C e C e -=+二、选择题（每小题3分，共15分）：1. B2. C 3 . B 4 . A 5 . C三、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：z y y y x xy x∂==∂ …………………………………2分 ()()ln ln 1z x xy y xy y xy∂=+=+∂ …………………………………5分 21z x y x∂=∂∂ …………………………………7分 2.解：21111y e Dd dy dx xy xy σ=⎰⎰⎰⎰ …………………………………4分 []21111ye lnx dy y==⎰ …………………………………7分 3.解：补上曲面1∑：1,z =(,)x y ∈22:1x y +≤D ，取上侧.则∑和1∑围成封闭空间闭区域 Ω.由高斯公式得()12x z dydz zdxdy ∑+∑++⎰⎰=3dv Ω⎰⎰⎰ 221100332d d dz πρθρρπ==⎰⎰⎰ …………………………………4分 ()12x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰1Ddxdy dxdy π∑===⎰⎰⎰⎰ ………………………5分()2x z dydz zdxdy ∑++⎰⎰=()12x z dydz zdxdy ∑+∑++⎰⎰()12x z dydz zdxdy ∑-++⎰⎰3122πππ=-= …………………………………7分四、计算题（每小题7分，共21分）：1.解：补上BA :0,y x =从a 到-a 。

设L 与BA 所围成的区域为 D.由格林公式，得()2222DL BA xy dy x ydx x y dxdy +-=-+⎰⎰⎰340014ad d a πθρρπ=-=-⎰⎰ …………………………………4分而 220BA xy dyx ydx -=⎰ …………………………………5分所以 222222414L L B A B A x y d y x y d x x y d y x y d x x y d y x y d x a π+-=---=-⎰⎰⎰………7分2.解：原方程可变形为211dxx dy y y -= …………………………………2分设()()211P y ,Q y y y =-=，代入公式，得原方程的通解为()()()P y dy P y dyx e Q y e dy C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰ 1121dy dyy y e e dy C y ⎛⎫--- ⎪⎝⎭⎛⎫⎰⎰=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰ 21122y C Cy y y⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ …………………………………7分3.解：222u u uu i j k y zi xyzj xy k x y z ∂∂∂∇=++=++∂∂∂函数在点P 处的梯度为 24P u i j k ∇=-+…………………………………4分函数在点P 处沿24P n u i j k =∇=-+处的方向导数为 2421P P uu i j k n ∂=∇=-+=∂…………………………………7分五、计算及应用（每小题8分，共16分）1.解：幂级数的收敛半径为1R =，当1x =±时，级数发散，级数的收敛域为()11,-.设()()000212n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑，()11x ,∈- …………………………………3分()101112222n n n n n n n n nx x nx xx x x∞∞∞∞-===='⎛⎫'=== ⎪⎝⎭∑∑∑∑()22211x x x ,x x '⎛⎫== ⎪-⎝⎭- ()11x ,∈- …………………………………5分 01,1n n x x∞==-∑ ()11x ,∈- …………………………………7分 ()()000212n n n n n n S x n x nx x ∞∞∞====+=+∑∑∑()221xx =-11x +-()211x x +=-， ()11x ,∈- …………………………………8分 2.解：曲面22z xy x y =++在点()P x,y,z 处的法向量为()221n y x,x y,=++- ，由条件知，已知平面的法向量()1331n ,,=- 与向量n 平行，得2211331y x x y ++-===-，又点P 在曲面22z xy x y =++上，所以点P 的坐标为(1,1,3) ……………………4分所求的法平面方程为()()()313130x y y z -+---= ，即 3330x y z +--=…………6分法线方程为113331x y z ---==- …………………………………8分六、证明题（每小题6分，共12分）1.证： ()()u u f u yf u y y ∂∂'=+∂∂ ()()1f u u y yf u ∂='∂-…………………………………3分 ()1u u yf u x x ∂∂'=+∂∂ ()11u x yf u ∂='∂-…………………………………5分 ()u u f u y x∂∂∴=∂∂ …………………………………6分 2.证：（1）因为已知数列{}n a 为有界单调增加数列，且0n a >，所以由单调有准则知n n lim a →∞存在，不妨设为n n lim a A →∞=。

高数A(下)考试试卷答案

高数A （下）考试试题答案班级姓名学号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。

2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z z yxx y∂∂+=∂∂2xy 。

3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++=⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则z y∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。

6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。

7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u z=P 点处沿方向n 的方向导数117。

8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y fx y x -=⎰()()()2113321d ,d d ,d x x x fx y y x fx y y -+⎰⎰⎰⎰ 。

9．设L 为封闭曲线22143xy+=，其周长为a ，则()22234d L x ys ++=⎰ 14a 。

10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂。

解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z x f y f f yf xyyf z x x y f f y f yf x yy y y x y x f f y y f yf y yy ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。

高数A期末试卷

08-09-3东南大学高数A 期末试卷（150分钟）一. 填空题21.cos()4π-++=xz x x y e yz 曲面在点(0,1,2)处的法线方程是_______(1,2,0)2._______==u gradu 设则梯度003.2,(1)1∞∞++∑∑nn n n a a x x n 设的收敛半径是则的收敛区间是_______24.:1,,-+=⎰ÑC x y ydx x dy 设闭曲线C 取逆时针方向则曲线积分的值是_______»5.(,),(,)()+⎰ABF x y F x y ydx xdy 设具有一阶连续偏导数则曲线积分与路径无关的充要条件是=_______1016.()[0,],(),21<(21)_____πππ-≤<⎧=⎨≤⎩-=x f x S x x x S 将函数在上展开为余弦级数其和函数则 17.2,,(1)(3)=---⎰Ñz dz z i z C 设闭曲线C:取逆时针方向则积分的值是_______218.[sin ,0]=Res z z留数_______ 009. ,,ln .∞∞=∑∑n n n a a a n 取可使得级数收敛且发散二. 计算题.210.(7)((),),,,,.ϕϕ=-∂∂∂∂∂z f x y x y f z z x x y分设其中具有连续的二阶偏导数具有连续导数计算111.(7),.1n n n e ∞=-∑分判别级数的敛散性并说明理由1112.(8)(1),2ln .∞=--∑n n n n 分判别级数是否收敛若收敛,判别是绝对收敛, 还是条件收敛?并说明理由13.(8)()1 (1)2.=-≤f x x x Fourier 分将函数展开为以为周期的级数114.(7).∞=∑2n n nx 三、分求的收敛域及和函数2115.(7)()13.4=<+<+f z z i Laurent z 四、分将函数在圆环域内展开为级数16.(7)cos (5sin ),.=+-=⎰x x C I e ydx xy e y dy C x y 五、分计算其中为曲线方向沿增大的方向22217.(7)()^()^()^,S 20,=++++-==⎰⎰S I y xz dy dz z y dz dx x z dx dy z z 六、分计算其中为所截的部分取上侧.11118.(6)0,0(1,2,),0,(1,2,),.αα++∞=>>=>-≥=∑L L n n n n n n n n b a b n a a n b b 七、分设若存在常数使得则级数收敛。

高数A期末考试答案(2008级)

一、DDAB 二、1．10π， 2．32π 3．334a -4． 614５．12012)1(+∞=∑+-n n nxn ；]1,1[- ６． ⎩⎨⎧±=<<-πππx x x 0,三．1．（A 类）解：记，)(222y x y P +=，)(222y x x Q +-=则xQ y xyx yP ∂∂=+-=∂∂22222)(2。

（1）设D 是由L 所围成的闭区域。

因奇点D ∉)0,0(，所以由格林公式，得⎰⎰⎰=∂∂-∂∂=+-DLdxdy yP xQy x xdy ydx 0)(222。

（2）设D 是由L 所围成的闭区域。

选取一正数12-<r ，则222:r y x l =+是位于D 内的圆周(取逆时针方向)。

记L 和l 所围成的闭区域为1D ，1)0,0(D ∉，从而由格林公式，得122d d d d 02()L lD y x x yQP x y x y xy-+-∂∂=-=+∂∂⎰⎰⎰，故2222222222d d d d sin cos d 2()2()2Lly x x yy x x yr r x y x y rπθθθπ----===-++⎰⎰⎰。

（B 类）解：补上曲线:0,:02l y x a =→，记L 和l 所围成的闭区域为D 。

由格林公式，得 (sin 2)d (cos 2)d (sin 2)d (cos 2)d xxx xL lle y y x e y y e y y x e y y +-+---+-⎰⎰2d d 0Dx y =-⎰⎰2a π=2．（A 类）解：利用对称性和曲面方程，得222[22]d I x y z xy y z S ∑=++++⎰⎰222[]d x y z S ∑=++⎰⎰2()d x z S ∑=+⎰⎰ 4d x S ∑=⎰⎰41d S ∑=⋅⋅⎰⎰32π=（B 类）解：设1:z ∑=(,)xy x y D ∈；2:1z ∑=，(,)xy x y D ∈，其中22{(,)|1}xy D x y x y =+≤。

高等数学(南京邮电大学)

南京邮电大学2008/2009学年第一学期《高等数学A 》期末试卷（A ）院(系) 班级学号姓名一、选择题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、当0→x 时，)cos 3(cos 41x x -是2x 的（）(A ) 同价但不等价无穷小 (B ) 等价无穷小 (C ) 高阶无穷小 (D ) 低阶无穷小2、1=x 是函数|1|)1sin()(--=x x x f 的（）（A ）可去间断点（B ）跳跃间断点（C ）振荡间断点（D ）无穷间断点 3、设⎩⎨⎧≥++<=0)1ln(0)(x x b x ae x f x在0=x 可导，则（）(A ) 1,1-=-=b a (B ) 1,1==b a (C ) 2,2==b a (D ) 1,2==b a 4、设x e -是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )( （） (A ) C x e x+--)1( (B ) C x ex+--)1((C ) C x ex++-)1( (D ) C x e x++--)1(5、函数),(y x f z =在),(00y x 点偏导数),(),(0000y x f y x f y x 、存在是函数f (x , y )在该点连续的条件（）(A ) 充分 (B ) 必要 (C ) 充要 (D ) 非充分非必要装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、若2)1(lim e x a x xx =++∞→，则=a 。

2、设),2cos(x y =则=)2()10(πy 。

3、函数⎰-=x x tdt e x F 22)(的单增区间为。

4、设dx x f x x f ⎰+=1)(2)(，则=)(x f 。

5、设yx e z x sin-=，则=∂∂)1,2(πxz 。

三、计算下列极限 (每题6分，共12分) 1、)12111(lim 222nn n n n +++++∞→2、]sin )31ln(3[lim 0xx x xx +-→四、计算下列各题(每题6分，共12分) 1.设⎩⎨⎧-'='=)()()(t f t f t y t f x ,)(t f ''存在且不为零，求x d y d 22.2.⎰xdx x arctan 2五、(本题6分)设,011011)(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=x ex x x f x 求⎰-2)1(dx x f六、(本题8分)设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，21)21(,0)1()0(===f f f ，),1,0(∈k 证明：至少存在一点)1,0(∈ξ，使得k f =')(ξ。

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