用列举法计算概率 冷艳丽
用列举法求概率
解：由题意得两次抽取共有36种等可能出现的结果，
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字的结果
有14种，即有(1,1), (2,1), (2,2), (3,1), (3,3), (4,1), (4,2),
(4,4),(5,1)，(5,5)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,6) ，
学时经过的每个路口都是绿灯，此事件发生的概率是
多少？
这个问题能用直接列表法和列表法解
决吗？有什么简单的解决办法吗？
解：根据题意画树状图如下：
黄
红
第1路口
第2路口
红
黄
绿 红
黄
绿
绿
红
黄
绿
第3路口 红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿 红 黄 绿红 黄 绿红 黄 绿
红 红 红红 红 红红 红 红黄 黄 黄黄 黄 黄黄 黄 黄 绿 绿 绿绿 绿 绿绿 绿 绿
3
.
关键是不重不漏地
解：由2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的所有三位数为234,
列举出由2,3,4组成
的无重复数字的所
243, 324, 342, 432, 423，共6种情况, 而“V”数有324和423,共2
有的三位数.
种情况，
故从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数字的三位数中任意抽取一
①所有可能出现的结果是有限个;
②每个结果出现的可能性相等.
(3)所求概率是一个准确数，一般用分数表示.
新知探究 跟踪训练
例1 若我们把十位上的数字比个位和百位上数字都小的三位数称
为“V数”, 如756, 326 , 那么从2, 3, 4这三个数字组成的无重复数
用列举法求概率
用列举法求概率
列举法是一种基于所有可能性的方法，用于求解概率。
对于一个随机试验，可以通过列举出所有可能的结果，然后计算感兴趣事件发生的次数，再除以总的可能性数目来计算概率。
以下是使用列举法求解概率的步骤：
1.确定随机试验的所有可能结果。
这些结果应该是互不相同
且穷尽的。
2.计算感兴趣事件发生的次数。
根据实际情况，确定符合感
兴趣条件的结果个数。
3.计算总的可能性数目。
确定随机试验的总结果数目。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) 计算概率。
其中，P(A)表示感兴
趣事件发生的概率，n(A)表示感兴趣事件发生的次数，n(S)表示总的可能性数目。
例如，考虑一枚标准硬币的抛掷，求得正面向上的概率。
1.所有可能的结果是正面向上和反面向上。
2.感兴趣事件是正面向上。
3.总的可能性数目是2。
4.使用公式 P(A) = n(A) / n(S) ，其中 n(A) = 1（因为正面向上
只有一种可能），n(S) = 2。
P(正面向上) = 1 / 2 = 0.5
因此，得到正面向上的概率为0.5或50%。
使用列举法求解概率可以简单直观地计算概率，尤其适用于样
本空间较小且结果可列举的情况。
然而，对于复杂的问题或较大的样本空间，列举法可能不切实际，此时可以选择其他概率计算方法，如频率法或概率模型。
列举法求概率
①
②
“掷两枚硬币”所有结果如下：
①
②
①
②
①
②
①
②
正正
正反
反正
反反
解： （1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学 生赢的概率是
2 1; 42
（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师 赢的概率是
2 1. 42
∵P(学生赢）=P(老师赢）.
(5,1)
(6,1)
注意有序数
对要统一顺
2
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
序
3
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
4
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
5
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
6
(1,6)
问题2 怎样列表格？
列表法中表格构造特点: 一个因素所包含的可能情况
另一个因素所 包含的可能情 况
两个因素所组合的所有可能情况,即n
列表法
说明：如果第一个因素包含2 种情况；第二个因素包含3种 情况；那么所有情况 n=2×3=6.
典例精析
例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同；
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
《用列举法求概率》课件
具体案例
T恤衫抽奖活动
通过列举参与抽奖的每个人，我们可以计算出每个人获奖的概率。这有助于组织者做出公平 的决策。
扔币游戏
通过列举所有可能的硬币正反面结果，我们可以计算出正面和反面出现的概率，从而预测游 戏的结果。
掷骰子游戏
通过列举骰子的所有可能点数出现的结果，我们可以计算出每个点数出现的概率，去预测骰 子游戏的胜负。
总结
1 列举法适用于简单的随机事件
对于复杂的随机事件，我们可能需要其他计算方法，而列举法更适用于简单的问题。
2 准确、全面并确定性地对事件进行了解
为了统计概率，我们需要对事件有准确全面的了解，以便进行正确的概率计算。
3 尝试不同的方法来解决问题
有时，列举法可能并不是最方便的方法，我们需要尝试其他方法来解决问题，并选择最 合适的方法得到准确的答案。
《用列举法求概率》PPT 课件
欢迎大家参加今天的课程！今天我们将一起探讨用列举法来求解概率的方法， 并了解概率的定义和应用。
概率的定义
根据某项事件出现的次数与实验总次数的比例，可以计算出概率。概率的值 范围在0到1之间，0表示不可能事件，1表示必然事件。
列举法的应用
对于一些简单的随机事件，可以使用列举法来求解概率。列举法即将每个可 能的结果都列出来，然后统计符合条件的结果的个数。
用列举法求概率总结 niu
枚举法：所谓枚举法，就是将所有的可能结果一一列举出来， 来计算概率的一种数学方法. 列表法：将随机事件所有可能结果用列表方式呈现出来，这 样符合条件的情况就可以直接得出. 优点：避免重复、遗漏；直观、简明. 画树形图法：列举随机事件发生所有可能结果的重要方法之 一，因画出来像倒立的树而得名.
优点：防止遗漏； 揭示顺序、条理清Байду номын сангаас、层次分明、便于分析.
用列举法求概率优秀课件
例4.掷两枚硬币,求下列事件的概率: (1)两枚硬币全部正面朝上; (2)两枚硬币全部反面朝上; (3)一枚硬币正面朝上,一枚硬币反面朝上. 解:其中一枚硬币为A,另一枚硬币为B,则所有可能结果如表所示:
AB
正
反
正
(正,正)
(正,反)
4
2
思考2:
如图,袋中装有两个完全相同的球,分别标有数 字“1”和“2”.小明设计了一个游戏:游戏者 每次从袋中随机摸出一个球,并自由转动图中 的转盘(转盘被分成相等的三个扇形).
13
2
游戏规则是: w如果所摸球上的数字与转盘转出的数 字之和为2,那么游戏者获胜.求游戏者 获胜的概率.
驶向胜利 的彼岸
6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
例、同时掷两枚质地均匀的骰子,计算下列事件 的概率:
(1)两个骰子的点数相同
(2)两个骰子点数之和是9
(3)至少有一个骰子的点数为2
例2、同时掷两个质地相同的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同；(2)两个骰子的点数和是9； (3)至少有个骰子的点数是2。
解： 第1枚
第2枚
1
2
3
4
5
上（记为事件A）的结果只有一个，即“正正”
用列举法求概率
用列举法求概率在概率论中，列举法是一种常用的求解事件概率的方法。
该方法的核心思想是通过列举事件的可能出现情况并计算这些情况的频率，来推断事件出现的概率。
下面将通过一个例子详细说明如何使用列举法来计算概率。
例子假设一家公司有5个员工，其中3个是男性，2个是女性。
现在从这5个员工中随机选择1个人，求该人是男性的概率。
首先，我们列举可能的情况，即从5个人中选择1个人，共有5种可能：1.选择第1个员工，是男性2.选择第2个员工，是男性3.选择第3个员工，是男性4.选择第4个员工，是女性5.选择第5个员工，是女性接下来，我们计算每种情况的概率。
1.选择第1个员工，是男性的概率为3/52.选择第2个员工，是男性的概率为3/53.选择第3个员工，是男性的概率为3/54.选择第4个员工，是女性的概率为2/55.选择第5个员工，是女性的概率为2/5最后，根据概率的定义，该人是男性的概率为选择男性的情况数除以所有情况数，即3/5，约为0.6。
通过以上例子，我们可以看出，列举法是一种非常简单有效的求解事件概率的方法。
对于一些简单的问题，我们可以通过列举可能的情况并计算概率来快速得出答案。
当然，在实际应用中，我们也需要注意一些问题，比如是否考虑了所有可能的情况、每种情况的概率是否正确等。
只有在全面准确考虑了所有问题，我们才能得出可靠的概率结果。
最后，需要注意的是，在更加复杂的情况下，列举法可能不能很好地处理问题，此时我们可以尝试其他方法，比如概率公式法、贝叶斯法等。
掌握各种求解概率的方法，可以让我们更加准确、高效地解决问题。
用列举法求概率
用列举法求概率
用列举法求概率指的是通过对事件包含的所有可能情况进行数量计算，从而得出该事件发生的概率。
它可以用来计算单个或多个独立事件的概率。
一般步骤如下：
（1）首先确定所要求的概率事件；
（2）然后将该事件分解成一个或多个独立事件；
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来；
（4）统计满足条件的可能性的数量；
（5）最后计算出概率值。
例如：在一副有52张牌的扑克牌中抽出一张，问抽到的是黑桃的概率。
（1）首先确定所要求的概率事件：抽到的是黑桃
（2）将该事件分解成一个独立事件：抽到的是黑色；抽到的是桃子
（3）根据独立事件的可能性，将所有可能的结果列举出来：抽到的是黑桃、黑红桃、黑方块、红桃、红红桃、红方块、梅花、梅红桃、梅方块；
（4）统计满足条件的可能性的数量：抽到的是黑桃的可能性有1种；
（5）最后计算出概率值：P(抽到的是黑桃)=1/9=0.11。
25.2用列举法求概率(原卷版)
25.2 用列举法求概率1、用列举法求概率一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)=mn。
2、用列表法求概率当一次试验要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法。
3、用树形图法求概率当一次试验要涉及3个或更多的因素时，列方形表就不方便了，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图。
树形图是反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，并求出概率的方法。
（1）树形图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的方法。
（2）在用列表法和树形图法求随机事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同。
题型一列举法求概率【例1】两人一组，每人在纸上随机写一个不大于3的正整数，两人所写的正整数的和恰好是偶数的概率是（）A．59B．49C．12D．13【变式11】株洲市一中音乐节活动中，来自漫画社团、街舞社团、文学社团的三名选手准备在同一节目中依次表演，若他们出场先后的机会是均等的，则按“漫画社团—文学社团—街舞社团”顺序演奏的概率是（）A．16B．13C．112D．23【变式12】有四根细木棒，长度分别为3cm，5cm，7cm，9cm，则随机抽出三根木棒，能够组成三角形的概率是（）A．12B．13C．14D．34【变式13】由于疫情原因，我校在校门口建立A、B两个体温检测通道，九（3）班甲乙两位同学上午从两个通道中任意一个通道进入校园，求下列事件发生的概率．（1）甲同学从A通道进入的概率是；（2）求甲乙两位同学都从A通道进入的概率．（请写出分析过程）【变式14】不透明的箱子里有三个球，分别标有数字1，2，3，各球除所标的数外其他均相同．从箱子里任意摸出两个球，并记下数．（1）用适当的方法列举出所有的可能结果；（2）求两个数的积是偶数的概率．题型二列表法求概率【例2】某校矩形以《大国重器》为主题的演讲比赛，其中一个环节是即兴演讲，该环节共有三个题目，由电脑随机给每位参赛选手派发一个题目，选手根据题目对应的内容进行90秒演讲．小亮和小敏都参加了即兴演讲，则电脑给他们派发的是同一个题目的概率是（）A．13B．16C．14D．12【变式21】箱子中装有除颜色外完全相同的三个小球，其中2个红球一个白球，从箱子中随机摸出两个球，这两个球的颜色相同的概率是.【变式22】将分别标有“中”“国”“心”汉字的三个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别．随机摸出一个球后放回搅匀，随机摸出一个球，两次摸出的球上的汉字能组成“中国”的概率是．【变式23】某商场开展购物抽奖活动，抽奖箱中有4个标号分别为1，2，3，4的质地、大小相同的小球，顾客任意摸取一个小球，然后放回，再摸取一个小球，若两次摸出的数字之和为“8”是一等奖，数字之和为“6”是二等奖，数字之和为其他数字则是三等奖，请用列举法分别求出顾客抽中一、二、三等奖的概率．【变式24】第31届世界大学生夏季运动会于2023年7月28日8月8日在成都举行．彬彬和明明申请足球A、篮球B、排球C、乒乓球D．四项赛事中某一项的志愿者，他们被随机分配到这四项赛事中的任意一项的可能性相同．（1）“彬彬被分配到乒乓球D．赛事做志愿者”是___________事件(填“必然”、“不可能”或“随机”)．（2）请用画树状图法或列表法，求彬彬和明明被分配到同一项赛事做志愿者的概率．题型三树状图法求概率【例3】一枚质地均匀的正方体骰子，骰子各面分别标有数字1､2､3､4､5､6，掷两次所得点数之和为11的概率为（）A．118B．136C．112D．115【变式31】如图，某公园有一个入口，A、B、C三个出口，甲、乙两人进入这个公园，活动后从同一个出口出来的概率是（）A．12B．13C．14D．16【变式32】现在从“−3，0，1，3”四个数中任选两个数作为一次函数y=kx+b的系数k，b，则一次函数的图象经过一、二、四象限的概率为．【变式33】一只不透明的袋子中装有1个白球和2个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀．（1）从袋子中任意摸出1个球，则摸到的球是红球的概率为___________；（2）从袋子中任意摸出1个球，记录颜色后放回．．、搅匀，再从中任意摸出1个球，求两次中至少有一次是红球的概率．【变式34】在2022年高考中，西安某中学考生小玲高考673分，选择报考C9名校西安交通大学．西安交通大学有国家一级专业：A材料科学与工程、B动力工程、C电气工程、D生物医学工程，小玲可以选择填写两个志愿．（填写志愿和顺序无关）（1）小玲填写两个志愿中有A志愿的概率是；（2）小玲的第一志愿在A、B、C、D中选择一个，第二志愿在剩下的三个专业中选择一个，求小玲填写不选C志愿的概率．题型四游戏的公平性【例4】小军和小红用2、3、4三张数字卡片做游戏，如果摆出的三位数是偶数，算小红赢，否则算小军赢，这个游戏规则（填“公平“或“不公平”）．【变式41】甲、乙两班进行篮球比赛，裁判员采用同时抛掷两枚完全相同硬币的方法选择比赛场地：若两枚硬币朝上的面相同，则甲班先选择场地；否则乙班先选择场地．为了判断这种方法的公平性，明明画出树状图如图所示，根据树状图，这种选择场地的方法对两个班级．（填“公平”或“不公平”）【变式42】小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（）A．公平B．对小颖有利C．对小明有利D．无法确定【变式43】在一个不透明的盒子中只装2枚白色棋子和2枚黑色棋子，它们除颜色外其余均相同，从这个盒子中随机地摸出2枚棋子．（1）请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的棋子是不同颜色的概率．（2）若小明、小亮做游戏，游戏规则是：两次摸出的棋子颜色不同则小明得1分，颜色相同小亮得2分．你认为这个游戏公平吗？请说明理由．【变式44】一个不透明的盒子中装有两个白色乒乓球和一个黄色乒乓球，它们只有颜色的不同，甲、乙两人玩摸球游戏，每次只能摸出一个球．规则如下：甲摸一次，摸到黄乒乓球，得1分，否则得0分；乙摸两次，先摸出1个球，放回后，再摸出1个球，如果两次摸到的都是白色乒乓球，则得1分，否则不得分，得分多者获胜，如果平分，则再来一次，问此游戏是否公平，并请通过计算说明理由．。
用列举法求概率1
解：由题意画出树状图：
红
红
蓝
开
蓝
始
蓝
红 红
故 P都是蓝色 = 1蓝
6
由树状图可以 看出，所有可能 出现的结果共有 4个，都是蓝色 珠子的结果有1 个。
10.回顾例3，如果小王在游戏开始时踩中 的第一个格上出现了标号1，则下一步踩 在哪一个区域比较安全？
解：根据题意，我们可以画出如下的“树 形图”：
这些结果出现的可能性相等。
（1）只有一个元音字母的结果（红色）有5个， 即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P （一个元音）5 =
12
有两个元音字母的结果（绿色）有4个，即 ACI，ADI，AEH，BEI，所以
P（两个元音）= 4 = 1
12 3
（1）取出的3个一小次球实上验恰涉好及有三1个个、2个和3个 元音字母因的素概（率或分更别多是）多时少，？列表
就不方便了，为了不重不 （2）取出漏的的3列个出小所球有上可全能是结辅果音，字母的概率 是多少？ 通常采用树形图。
树形图的方法
第一步：可能产生的结果为A和B，两者出 现的可能性相同且不分先后，写在第一行。 第二步：可能产生的结果有C、D和E，三 者出现的可能性相同且不分先后，从A和B 分别画出三个分支，在分支下的第二行分 别写上C、D和E。
踩B区域。
例4：掷两枚硬币，求下列事件的概率： （1）两枚硬币全部正面朝上； （2）两枚硬币全部反面朝上； （3）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上。
解：我们把掷两枚硬币所能产生的结果全部列 举出来，它们是：正正，正反，反正，反反。 所有的结果共有4个，并且这4个节结果出现 的可能性相等。
（1）所有的结果中，满足两枚硬币全部正面 朝上（记为事件A）的结果只有一个，即“正 正”，所以P（A）=1
用列举法求概率
5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,6)
6 (6,1) (6,2) (6,3) (6,4) (6,5) (6,6)
P( )= 编辑ppt 14
第二次取出的数字能够整除第一次取出的数字
36
7 18
23
复习引入
等可能性事件（古典概形）的两个特征： 1.出现的结果有限多个; 2.各结果发生的可能性相等；
甲袋 20红，8黑
乙袋 20红,15黑,10白
球除了颜色以外没有任何区别。两袋中的球
都搅匀。蒙上眼睛从口袋中取一只球，如果
你想取出1只黑球，你选哪个口袋成功的机会
大呢？
解：在甲袋中，P（取出黑球）＝288
＝
2 7
在乙袋中，P（取出黑球)＝ 15 ＝ 1
1＞2
45 3
3
7
所以，选乙袋成功的机会大。
引例：掷两枚硬币，求下列事件的概率： (1)两枚硬币全部正面朝上； (2)两枚硬币全部反面朝上； (3)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上
用列举法求概率(1)
复习回顾：
一般地，如果在一次试验中，有n种
可能的结果，并且它们发生的可能性
都相等，事件A包含在其中的m种结
果，那么事件A发生的概率为：
求概率的步骤：
P( A)
m n
(1)列举出一次试验中的所有结果(n个)；
(2)找出其中事件A发生的结果(m个)；
(3)运用公式求事件A的概率：P(A) m n
等可能性事件的概率-------列举法
编辑ppt
24
小结 1.“列表法”的意义
2.随机事件“同时”与“先后”的关系 “放回”与“不放回”的关系.
编辑ppt
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
新元中学初中数学学科导学提纲
课题：用列举法计算概率
课型：新授课主备：冷艳丽审核：张玉红年级：初三时间：4月16日
学习目标：1、会用树状图和列举法计算简单事件的概率
2、通过求概率培养思维的条理性，提高分析问题解决问题的能力
3、通过自主探究、合作交流感受数学的简捷美及数学应用的广泛性
一、自主探究：
1、自学课本P112上半部分完成下列问题：
（1）、连续抛掷两枚硬币A,B，你能快速、准确的列举出所有等可能出现的结果吗？
开始
硬币A
硬币B
由图知共有（）种等可能的结果分别为：
其中同为反的结果有（）种
（2）、有两组扑克牌，每组中各有2张牌，第一组有红A, 黑A ；第二组有红K,黑K，现从每组中各抽出一张，你能列举出所有可能出现的情况吗？试试看
开始
第一组
第二组
由图知共有（）种等可能的结果分别为：
其中两张牌都为红色的结果有（）种
拓展提高：
甲、乙两个不透明的袋子中装有一些质地均匀、大小相同的球，甲袋中装有红球、蓝球各一个，乙袋中装有红球，黄球各一个。
从每个袋中分别任意摸出一个球，共有集中等可能的结果？其中两个球恰好同色的概率是多少？
2、自学课本P121—122
拓展提升：
二、小组交流、归纳点拨
3、根据刚才的研究学习独立完成下列问题。
（说明同桌两人左边的用树状图，右边的用列表法）
例1、在A,B两个盒子中都装入分别写有数字1、2的卡片，分别从每个盒子中任取一张卡片，两张卡片上的数字和为3的概率是多少？
三、应用规律、巩固新知
1、随堂练习1 （用列表法）
2、随堂练习2 （画树状图法）
四、归纳总结、检测反馈
1、甲、乙两个盒子中分别装有两张卡片，甲盒中的卡片上分别标有数字1，3，乙盒中的卡片上分别标有数字3、4，分别从两个盒子中各抽出一张卡片，计算抽得的两张卡片上的数字之和为奇数的概率？
2、袋中装有一个红球盒一个黄球，它们的质地、大小都相同。
随机从中摸出一个球，记录下颜色后放回袋中，充分摇动后，再随机摸出一球。
两次都摸到红球的概率是多少？
拓展提高：
1、有分别写有数字1、
2、3的三张卡片，任意抽出一张记下数字后放回，再任意抽出一张记下数字，两次数字和为几的概率最大？最大概率是多少？
2、若把上题的“放回”改为“不放回”结果一样吗？若不一样请计算一下？
五、教后反思：。