同济大学数学系《高等数学》(上册)学习辅导书(导数与微分)【圣才出品】

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如果 u＝u（x）及 v＝v（x）都在点 x 处具有 n 阶导数，则：
（1）（u±v）（n）＝u（n）±v（n）；
（2）莱布尼茨公式
uvn unv nun1v n n 1 un2v ... n n 1...n k 1 unkvk ... uvn
2!
k!
lim y lim y 1 lim y 1
x0 dy f x0 ' x0 x f ' x0 x0 x
从而，当 Δx→0 时，Δy 不 dy 是等价无穷小，于是有 Δy＝dy＋o（dy）。
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（2）函数的微分
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或
uv n n Cnkunkvk k 0
四、隐函数及由参数方程所确定的函数的导数
1．隐函数的导数
（1）隐函数 F（x，y）＝0 导数的求法
把函数方程两边分别对 x 求导，然后化简得到 dy/dx 的结果。
（2）对数求导法
对于一般形式的幂指函数 y＝uv（u＞0），如果 u＝u（x）、v＝v（x）都可导，则把幂
指函数表示为 y＝evlnu，则
y evlnu
v
ln u v
u u
u
v
v
ln u
vu u
2．由参数方程所确定的函数的导数
若参数方程
x t
y
t
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是二阶可导的，则
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（1）参数方程的一阶导数公式
在区间 Ix＝{x|x＝f（y），y∈Iy}内也可导，且
f 1 x
1 或 dy
f y dx
1 dx
dy
3．复合函数的求导法则
如果 u＝g（x）在点 x 可导，而 y＝f（u）在点 u＝g（x）可导，则复合函数 y＝f[g
（x）]在点 x 可导，且其导数为
dy f u g x或 dy dy du
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2．导数的几何意义 （1）几何意义：切线的斜率 （2）切线方程 曲线 y＝f（x）在点 M（x0，y0）处的切线方程为 y－y0＝f′（x0）（x－x0）。 （3）法线方程 如果 f′（x0）≠0，法线方程为 y－y0＝－（x－x0）/f′（x0）。
3．函数可导性不连续性的关系 如果函数 y＝f（x）在点 x 处可导，则函数在该点必连续。相反，如果函数在某点连续， 函数在该点丌一定可导。
dx
dx du dx
4．基本求导法则不导数公式 （1）常数和基本初等函数的导数公式 ①（C）′＝0 ②（xμ）′＝μxμ－1 ③（sinx）′＝cosx ④（cosx）′＝－sinx ⑤（tanx）′＝sec2x ⑥（cotx）′＝－csc2x ⑦（secx）′＝secxtanx ⑧（cscx）′＝－cscxcotx ⑨（ax）′＝axlna（a＞0，a≠1） ⑩（ex）′＝ex ⑪（logax）′＝1/xlna（a＞0，a≠1） ⑫（lnx）′＝1/x
①（u±v）′＝u′±v′；
②（Cu）′＝Cu′（C 为常数）；
③（uv）′＝u′v＋uv′；
④（u/v）′＝（u′v－uv′）/v2（v≠0）。
三、高阶导数 1．常见的初等函数的 n 阶导数公式（见表 2-1-1）
表 2-1-1 常见的初等函数的 n 阶导数公式
2．n 阶导数的扩展
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dy dy dx dt
dt dy dx dt
1 dx
t t
或
dy dx
' '
t t
或
dy dx
dy
dt dx
dt
dt
（2）参数方程的二阶导数公式
d2 y dx2
d dx
dy dx
d dt
t t
dt dx
t t t t
2 t
1
t
即
d2 y dx2
t
t t 3 t
③
u
v
x x
u
x
v
x
v2
u x
x
v
x
v
x
0
。
（2）推广
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（uvw）′＝u′vw＋uv′w＋uvw′ （Cu）′＝Cu′（C 为常数）
2．反函数的求导法则
如果函数 x＝f（y）在区间 Iy 内单调、可导且 f'（y）≠0，则它的反函数 y＝f－1（x）
t
五、函数的微分 1．微分的定义 f（x）在 x0 可微：f（x0＋Δx）－f（x0）＝AΔx＋o（Δx）（Δx→0）。
2．微分 （1）可微的充要条件 函数 f（x）在点 x0 可微的充要条件是函数 f（x）在点 x0 可导，且当 f（x）在点 x0 可 微时，其微分一定是 dy＝f′（x0）Δx。 当 f′（x0）≠0 时，有
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第 2 章 导数与微分
2.1 复习笔记
一源自文库导数概念
1．导数
（1）导数不导函数
①导数的定义
f x0
lim
x0
y x
lim
x0
f
x0
x
x
f
x0
（2）单侧导数
①左导数
f ( x0
)
lim
h0
f
x0 h
h
f
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⑬ arcsin x 1
⑭ arccos x 1
1 x2
1 x2
⑮（arctanx）′＝1/（1＋x2） ⑯（arccotx）′＝－1/（1＋x2）
（2）函数的和、差、积、商的求导法则
设 u＝u（x），v＝v（x）都可导，则：
x0
②右导数
f ( x0
)
lim
h0
f
x0 h
h
f
x0
③函数 f（x）在点 x0 处可导的充要条件
左导数
f
'
(
x0
)
和右导
f
'
(
x0
)
都存在且相等。
注：如果函数
f（x）在开区间（a，b）内可导，且
f
'
(a)
及
f
'
(b)
都存在，则
f（x）在
闭区间[a，b]上可导。
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二、函数的求导法则
1．函数的和、差、积、商的求导法则
（1）定理
如果函数 u＝u（x）及 v＝v（x）都在点 x 具有导数，则它们的和、差、积、商（除分
母为零的点外）都在点 x 具有导数，且
①[u（x）±v（x）]′＝u′（x）±v′（x）；
②[u（x）v（x）]′＝u′（x）v（x）＋u（x）v′（x）；