倒立摆的PID控制

（1）
（2）
改系统的输出为 y(s)=G(s)/(1+KD(s)G(s))*F(s)= (num/den)/(1+(numPID)*(num)/(denPID)*(den))*F(s) =num(denPID)/((denPID)*(den)+(numPID)*(num))*F(s) 式中，num表示被控对象传递函数的分子项；den表示 控对象传递函数的分母项； numPID表示PID控制器传递函数的分子项；denPID表示 PID控制器传递函数的分母项。 被控对象的传递函数是 Φ(s)/U(s)=m*l/q*(s^2)/(s^4+b*(l+m*(l^2)/q*(s^3)(M+m)*m*g*l/q*(s^2)-b*m*g*l/q*s)=num/den 式中，q=[(M+m）*（I+m*l^2)-(m*l)^2].
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M m b L I F x Φ θ
小车的质量 摆杆质量 小车摩擦系数 摆杆转动轴心到杆质心的长度 摆杆惯量 加在小车上的力 小车位置 摆杆与垂直向上的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角
矢量方向定义
应用Newton方法来建立系统的动力学方程过程如下。 .. .. (1)分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方 程如下。 Mx=F-bx-N (2) 由摆摊水平方向的受力进行分析可以得到下面等 式 N=md^2/(dt^2)*(x+l*sinθ)
.. .
P-mg=m*l*θ*sinθ+m*l*θ^2cosθ
..
..
..
力矩平衡方程如下： -P*l*sinθ-N*l*cosθ=I*θ 合并这两个方程如下： （I+m*(l^2))*θ+m*g*l*sinθ=-m*l*x*cosθ
1.摆杆角度控制
这个控制问题和我们以前遇到的标准控制问题有 些不同，在这里输出量为摆杆的位置，它的初始 位置为垂直向上，我们给系统施加一个扰动，观 察摆杆的响应。系统狂徒如图（1）。 图中KD(s)是控制器传递函数，G(s)是被控对象传 递函数。 考虑到输入r(s)=0，结构图可以很容易地变换成 如图（2）。
由于输入信号r(s)=0,所以可以把结果图转换成如图2所示
（2）变换后的控制图
其中，反馈环代表我哦们面前设计的摆杆的控制器。 从此框图我们可以看出此处支队摆杆角度进行了控制， 并没有对小车位置进行控制。小车位置输出为
X(s)=G2(s)/(1+KD(s)G1(s)*F(s)=num2/den2/(1+( numPID)*(num1)/(denPID)(den1)*F(s) =(num2)*(denPID)*(den1)/((denPID)*(den1)*(d en2)+(numPID)*(num1)*(den2)*F(s) 式中，num1,den1,num2,den2分别代表被控对 象1和被控对象2传递函数的分子和分母。 1 2 numPID和denPID代表PID控制器传递函数的 分子和分母。下面我们来求G2(S).根据上市 式的推导，有 X(s)=[(I+m*l^2)/(m*l)-g/s^2]Φ(s) 可以推出小车位置的额传递函数为
G2(s)=(X(s)/U(s)=(I+m*l^2)/q*(s^2)-m*g*l/q)/ (S^4+b*(I+m*l^2)/q*(s^3)(M+m)*m*g*l/q*(s^2 )-b*m*g*l/q*s) 可以看出，den1=den2=den，小车的算式可以 简化成： X(s)=((num2)*(denPID)/(denPID)*(den)+k*(num PID)*(num1))*F(s)
（3）
2 小车位置控制算法的仿真 去Kp=100，kd=1，kp=20，阶跃响应仿真曲线 如图所示。
有仿真结果能过看出，当摆杆角度处于很好 的Biblioteka Baidu环控制下时，小车位置处于失控状态， 会沿着某一方向运动下去。
PID控制器的传递函数为 KD(s)=Kds+Kp+ki/s=(Kd(s^2)+Kps+Ki)/s= numPID/denPID 只需要调节PID控制器的参数，就可以得到满 意的控制效果。 2.小车位置控制 小车位置输出时，系统框图如图1所示。
（1）位置控制图
其中，G1(s)是摆杆传递函数，G2(s)是小车传递函数。
PID控制算法的MATLAB仿真
1.摆杆交的控制算法的仿真 其中有Kp,Ki,Kd分别为PID控制器的比例，积分 和微分系数。 当Kp=1，Ki=1，Kd=1，系统的脉冲响应曲线 如图（1）所示
（1）
此时的S=-8.0412 3.3105 0.0034 0
此时，有两个闭环极点位于S平面的右半部，系统不稳 S 定。从系统响应曲线也可看出，系统响应是不稳定的， 不能满足要求，需要调整系数Kp，Kd和Ki，知道获得 满意的控制结果。 首先增加比例系数Kp，观察它对响应的影响，取Kp=100， Ki=1，Kd=1，闭环极点为
N=m*x+m*l*θ*cosθm*l*(θ^2)*sinθ (3) 把这个等式带入上式中，就得到系统的第一个运动方程
.. . .. .
..
..
.
（M+m）*x+b*x+m*l*θ*cosθ-m*l*（θ^2)*sinθ=F
(4) 为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方 向上的合力进行分析，可以得到下面方程 P-mg=-m*（d^2)/d*(t^2)*(l*cosθ） 即
S= -2.3635+20.43961 -2.3635-20.43961 -0.0001 -0.0001 系统的脉冲响应曲线如图（2）所示：
（2）
系统闭环极点均位于S平面左半部，系统稳定。系统 稳定时间约为2s，满足要求。由于此时稳态误差 为0，所以不需要改变积分环节（可以改变积分系 数，观察系统响应如何变化），系统响应的超调 亮比较大，威力较小超调，增加微分系数Kp，取 Kp=20，响应曲线如图（3）所示
倒立摆的PID控制
1.摆杆角度控制的PID控制 2. 小车位置控制
倒立摆的数学模型建立
对系统建立数学模型是系统分析、设计的前提， 而一个准确又简练的数学模型将大大简化后期的 工作。为了简化系统分析，在实际的模型建立过 程中，要忽略空气流动阻力，以及各种次要的摩 擦阻力。这样，可将倒立摆系统抽象成小车和匀 质刚性杆组成的系统，如图