最新浙教版数学八年级下册第四章第6节《反证法》ppt 课件
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4.6 反证法-2020春浙教版八年级数学下册课件 (共7张PPT)
3.用反证法证明的一般步骤： (1)反设(先假设命题结论的反面成立或命题不成立). (2)归谬(利用已知条件和反设，通过逻辑推理，得出与已学过的 基本事实、定理、定义或已知矛盾). (3)写出结论(由矛盾判断出反设不成立，从而得到原命题成立).
重要提示
1.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互 为 否 定 的 表 述 形 式 十 分 必 要 . 例 如 ： “ 是 与 不 是 ”“ 等 于 与 不 等 于”“大于与不大于”“小于与不小于”“都是与不都是”“至少有一 个与一个都没有”“至少有 n 个与至多有(n－1)个”“至多有一个与 至少有两个”“唯一与至少有两个”.
解题指导
【例 1】 请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数， 那么这两个整数中至少有一个是偶数.
【解析】 假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为 2n＋1，另一个奇数为 2p＋1(n，p 为整数)，则(2n＋1)(2p ＋1)＝2(2np＋n＋p)＋1. ∵无论 n，p 取何值，2(2np＋n＋p)＋1 都是奇数，这与 积是偶数相矛盾， ∴假设不成立， ∴这两个整数中至少有一个是偶数.
2.用反证法证明是从假设出发，得到矛盾后便可立刻下结论推翻假 设.如果结论的反面不止一种情形，必须把各种情况列出来，并 且逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确，这与举反例不同， 应予以区分.
3.并非所有的命题都能用反证法证明，有时用反证法反而会使证明 过程相当麻烦，因此在证明过程中要先考虑用正面方法证明，如 果不行，再考虑用反证法.
【例 3】 求证：如果整系数二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理 数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数.
【解析】 假设 a，b，c 全为奇数，Δ＝b2－4ac≥0， 则有 x＝－b± 2ba2－4ac.
重要提示
1.反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互 为 否 定 的 表 述 形 式 十 分 必 要 . 例 如 ： “ 是 与 不 是 ”“ 等 于 与 不 等 于”“大于与不大于”“小于与不小于”“都是与不都是”“至少有一 个与一个都没有”“至少有 n 个与至多有(n－1)个”“至多有一个与 至少有两个”“唯一与至少有两个”.
解题指导
【例 1】 请用反证法证明：如果两个整数的积是偶数， 那么这两个整数中至少有一个是偶数.
【解析】 假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为 2n＋1，另一个奇数为 2p＋1(n，p 为整数)，则(2n＋1)(2p ＋1)＝2(2np＋n＋p)＋1. ∵无论 n，p 取何值，2(2np＋n＋p)＋1 都是奇数，这与 积是偶数相矛盾， ∴假设不成立， ∴这两个整数中至少有一个是偶数.
2.用反证法证明是从假设出发，得到矛盾后便可立刻下结论推翻假 设.如果结论的反面不止一种情形，必须把各种情况列出来，并 且逐一加以否定之后，才能肯定原结论正确，这与举反例不同， 应予以区分.
3.并非所有的命题都能用反证法证明，有时用反证法反而会使证明 过程相当麻烦，因此在证明过程中要先考虑用正面方法证明，如 果不行，再考虑用反证法.
【例 3】 求证：如果整系数二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理 数根，那么 a，b，c 中至少有一个是偶数.
【解析】 假设 a，b，c 全为奇数，Δ＝b2－4ac≥0， 则有 x＝－b± 2ba2－4ac.
浙教版八年级数学下册课件：4.6 反证法 课件
(3)判定假设命题不成立是________的，确定所求证
的命题________．
（来自《典中点》）
知1－导
合作学习
求证：在同一平面内，如果两条直线都和第三条
直线平行，那么这两条直线也互相平行. (1)你会选择哪一种证明方法？ (2)如果你选择反证法，先怎样假设？结果和什么产生 矛盾?
（来自《教材》）
A．①
B．①③
C．②
D．①②③④
（来自《典中点》）
知1－练
3
用反证法证明命题“若AB∥CD，AB∥EF，则 CD∥EF”，证明的第一步是( A．假设CD∥EF B．假设CD不平行于EF )
C．假设AB∥EF
（来自《教材》）
2
在证明一个命题时，人们有时先________命题不成 立，从这样的假设出发，经过推理得出和________
矛盾，或者与定义、________、定理等矛盾，从而
得出________命题不成立是错误的，即所求证的命 题正确，这种证明方法叫做反证法．
（来自《典中点》）
知1－练
3
利用反证法证明命题的一般步骤： (1)假设命题________； (2)从假设出发，经过推理得出与________矛盾或者 与定义、定理、基本事实等矛盾；
由矛盾判定假设命题的结论不成立不正确，从而肯定
所求证的命题的结论正确．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.
已知：四边形ABCD(如图). 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角. 证明： 假设四边形ABCD中没有一个角 是钝角或直角，即
∠A＜90°，∠B＜90°，
1.定义：先假设命题不成立，从这样的假设出发，经
八年级数学下册 4.6 反证法课件(3) (新版)浙教版
已知: 直线l1,l2,l3在同一(tóngyī)平面内,且l1∥l2,l3与l1相
交于点P.
求证 l3与l2相交.
(qiúzhè
n证g)明: : 假设___l_3_与__l2__不_相__交,那. 么 ______l_3∥__l2.
因为已知_____l1_∥_l_2_,
l3
P
l1
l2
所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行,
求证： l3∥l2
l
１
l1
2
l2
３
l3
第九页，共13页。
已知:如图,直线(zhíxiàn)l与 l1,l2,l3都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
求证:∠1=∠2
l
1
l1
2
l2
l3
第十页，共13页。
警察局里有５名嫌疑犯，他们分别做了如下(rúxià)口供： Ａ说：这里有１个人说谎． Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎． Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎．
第一页，共13页。
路边(lù biān) 苦李 王戎7岁时,与小伙伴
们外出游玩,看到路边的 李树上结满了果子.小伙 伴们纷纷(fēnfēn)去摘 取果子,只有王戎站在原 地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子(duō zǐ),此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
a∥b
a<0
b是0或负数 (fùshù)
a不垂直于b
第四页，共13页。
在证明一个命题(mìng tí)时,人们有时
先假设命题不成立, 从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾 ,或者与定义,公理,定理等矛盾, 从而得出假设命题不成立，是错误的, 即所求证的命题正确. 这种证明方法(fāngfǎ)叫做反证法.
浙教版八年级数学下册课件：4.6 反证法 (共14张PPT)
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°
6．设 x1，x2，x3 都是正数，且 x1＋x2＋x3＝1，那么这三个数中至少有一
个大于第或一等步于是13.用假反设证x1法，证x2明，这x3 一都结小论于的13
．
7．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于 60°.”
9．用反证法证明：若一元二次方程 8x2－(k－1)x＋k－7＝0 有两个不相 等实数根，则两根不可能互为倒数．
解：假设若一元二次方程 8x2－(k－1)x＋k－7＝0 有两个不相等实数根， 且两根互为倒数设两根为 x1，x2，由题意可得 x1·x2＝k－8 7＝1，解得 k＝15， 故一元二次方程为 8x2－(15－1)x＋15－7＝0，即 4x2－7x＋4＝0，则 b2－4ac ＝49－64＝－15＜0，此方程无实数根，故假设不成立，原命题正确，即若 一元二次方程 8x2－(k－1)x＋k－7＝0 有两个不相等实数根，则两根不可能 互为倒数
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.
求证：假设l1 不平行 l2，即l1与l2相交于一点P， 则∠1＋∠2＋∠P＝ 180° ，所以∠1＋∠2__＜__180°， 这与 ∠1＋∠2＝180° 矛盾，故假设不成立，所以l_1_∥__l2．
15．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB和AC上，CD，BE相交于点 O，求证：CD，BE不可能互相平分．
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( D) A．a不垂直于c B．a，b都不垂交
4．对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2.”，用反证法证明，应假设( D) A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2
6．设 x1，x2，x3 都是正数，且 x1＋x2＋x3＝1，那么这三个数中至少有一
个大于第或一等步于是13.用假反设证x1法，证x2明，这x3 一都结小论于的13
．
7．用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于 60°.”
9．用反证法证明：若一元二次方程 8x2－(k－1)x＋k－7＝0 有两个不相 等实数根，则两根不可能互为倒数．
解：假设若一元二次方程 8x2－(k－1)x＋k－7＝0 有两个不相等实数根， 且两根互为倒数设两根为 x1，x2，由题意可得 x1·x2＝k－8 7＝1，解得 k＝15， 故一元二次方程为 8x2－(15－1)x＋15－7＝0，即 4x2－7x＋4＝0，则 b2－4ac ＝49－64＝－15＜0，此方程无实数根，故假设不成立，原命题正确，即若 一元二次方程 8x2－(k－1)x＋k－7＝0 有两个不相等实数根，则两根不可能 互为倒数
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2＝180°.
求证：假设l1 不平行 l2，即l1与l2相交于一点P， 则∠1＋∠2＋∠P＝ 180° ，所以∠1＋∠2__＜__180°， 这与 ∠1＋∠2＝180° 矛盾，故假设不成立，所以l_1_∥__l2．
15．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB和AC上，CD，BE相交于点 O，求证：CD，BE不可能互相平分．
3．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( D) A．a不垂直于c B．a，b都不垂交
4．对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2.”，用反证法证明，应假设( D) A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2
浙教初中数学八下《4.6 反证法》PPT课件 (13)
这与已知的∠1≠∠2矛盾
∴假设不成立 ∴a∥b
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.
已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交
于点P.
l3
求证: l3与l2相交. 证明: 假设__l_3与__l2_不__相_交__._,
P
l1
这与事实矛盾吗？ 说明李子是甜的这个假 设是错的还是对的？
所以，李子是苦的
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件 “树在道边而多子”产生矛 盾 假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别 人采摘,这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李.
这与_三___角__形__三___个__内___角__的__和___等__于__1_8_0__°_相矛盾.
所以_假__设___不成立，所求证的结论成立.
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
1
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
c a b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等)
所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,
那么能不用反证法证明吗?你是怎样证明的?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
p
2 1
l1 l2
证明:作直线l交直线l2于点p，
3
l3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
一、提出假设 二、推理论证 三、得出矛盾 四、结论成立
浙教版数学八年级下册第4章《4.6反证法》课件
∵AB//CD,AB =CD ∴四边形ABCD是平行 四边形.
∵ AD=CB,AB=DC ∴四边形ABCD是平行 四边形.
∵ AO=CO, BO=DO， ∴ 四边形ABCD是平行 四边形.
课前复习
【2】三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【3】三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
课堂小结
【新知1】反证法 在证明一个命题的时候，人们有时先假设命题不成立，从这样的
假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、 定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正 确.这种证明方法叫做反证法.
提出假设
推理论证
得出矛盾
结论成立
【新知2】平行线的性质定理
在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【几何语言】
∵ DE是△ABC的中位线，
∴
DE
=//
1 2
BC
D B
A E C
课前练习
【练习 1】如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分∠BAD，交
BC 于点 E，连结 OE.已知∠ADC＝60°，AB＝12BC.有下列结论：①∠CAD＝30°；
②S▱ ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝14BC.其中正确的是(
)
A. ①②
B. ③④
C. ①②③
D. ①②④
课前练习
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝120°. 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°. 又∵AB＝12BC，∴AE＝BE＝12BC，
∵ AD=CB,AB=DC ∴四边形ABCD是平行 四边形.
∵ AO=CO, BO=DO， ∴ 四边形ABCD是平行 四边形.
课前复习
【2】三角形的中位线 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
【3】三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
课堂小结
【新知1】反证法 在证明一个命题的时候，人们有时先假设命题不成立，从这样的
假设出发，经过推理得出和已知条件矛盾，或者与定义、基本事实、 定理等矛盾，从而得出假设命题不成立是错误的，即所求证的命题正 确.这种证明方法叫做反证法.
提出假设
推理论证
得出矛盾
结论成立
【新知2】平行线的性质定理
在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
【几何语言】
∵ DE是△ABC的中位线，
∴
DE
=//
1 2
BC
D B
A E C
课前练习
【练习 1】如图，▱ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，AE 平分∠BAD，交
BC 于点 E，连结 OE.已知∠ADC＝60°，AB＝12BC.有下列结论：①∠CAD＝30°；
②S▱ ABCD＝AB·AC；③OB＝AB；④OE＝14BC.其中正确的是(
)
A. ①②
B. ③④
C. ①②③
D. ①②④
课前练习
【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°， ∴∠BAD＝120°. 又∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE，∠AEB＝60°. 又∵AB＝12BC，∴AE＝BE＝12BC，
反证法课件浙教版数学八年级下册
【点悟】反证法的步骤：假设结论的反面成立→逻辑推理得出矛盾→ 肯定原结论正确．
4.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条 平行线中的一条相交，那么和另一条也相交．
已知：如图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且 l1∥l2，l3与l1相交于点P.
求证：l3与l2相交． 证明：假设______________，那么_________．因为已知 ___________，所以过直线l2外一点P，有两条直线与l2平行，这与
论不成立
归谬
与已知条
结论
件矛盾
推理得出
假设不
的结论 与定理，定义， 成立
公理矛盾
所证命 题成立
探究新知 反证法的一般步骤: 一、提出假设
二、推理论证 三、得出矛盾
什么时候运用 反证法呢？
四、结论成立
归纳: 宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
合作探究
求证:在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果你选择反证法，先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
l１
已知:如图，l1∥l2 ，l 2 ∥l 3
p
l２
求证： l１∥l３
l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p. ∵l１∥l２ ， l２∥l３， 则过点p就有两条直线l１、 l３都 与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线 平行于已知直线”矛盾．
4.求证：在同一平面内，如果一条直线和两条 平行线中的一条相交，那么和另一条也相交．
已知：如图，直线l1，l2，l3在同一平面内，且 l1∥l2，l3与l1相交于点P.
求证：l3与l2相交． 证明：假设______________，那么_________．因为已知 ___________，所以过直线l2外一点P，有两条直线与l2平行，这与
论不成立
归谬
与已知条
结论
件矛盾
推理得出
假设不
的结论 与定理，定义， 成立
公理矛盾
所证命 题成立
探究新知 反证法的一般步骤: 一、提出假设
二、推理论证 三、得出矛盾
什么时候运用 反证法呢？
四、结论成立
归纳: 宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
合作探究
求证:在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两 条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法?
(2)如果你选择反证法，先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
l１
已知:如图，l1∥l2 ，l 2 ∥l 3
p
l２
求证： l１∥l３
l３
证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p. ∵l１∥l２ ， l２∥l３， 则过点p就有两条直线l１、 l３都 与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线 平行于已知直线”矛盾．
浙教版数学八年级下册 4.6 反证法 课件(共18张PPT)
假设 “李子甜”不成立
所以“树在道边而多子, 此必为苦李” 是正确的
①假设结论不成立
②结合条件推出相应 的结论
③产生矛盾（与已知 条件定义,公理,定理）
④“假设不成立”
⑤命题正确
在证明一个命题时， 人们有时先假设命题不成立， 从这样的假设出发，经过推理 得出和已知条件矛盾，或者
①假设结论不成立
②结合条件推出相应 的结论
反证法
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
王戎的推理方法如下:
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件 “树在道 边而多子”产生矛盾
求证： a∥c
p
a b c
证明：假设a不平行c，则a与c相交，设交点为p.
∵a∥b , b∥c, 则过点p就有两条直线a、 c 都与b平行，这与“经过直线外一点，有且
只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 a∥c
返回
任务三
定理：在同一平面内,如果两条直线都和第 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
几何语言表示:∵a∥b, c ∥b,
∴a∥c
（在同一平面内,如果两条直线都和 第三条直线平行,那么这两条直线也 互相平行.）
判定两直线平行的 又一判定定理
a b c
直接证法
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直
线平行,那么这两条直线也互相平行.
m
已知:如图，a∥b ,b ∥c
所以“树在道边而多子, 此必为苦李” 是正确的
①假设结论不成立
②结合条件推出相应 的结论
③产生矛盾（与已知 条件定义,公理,定理）
④“假设不成立”
⑤命题正确
在证明一个命题时， 人们有时先假设命题不成立， 从这样的假设出发，经过推理 得出和已知条件矛盾，或者
①假设结论不成立
②结合条件推出相应 的结论
反证法
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动.
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?
王戎的推理方法如下:
假设“李子甜”
树在道边则李子少
与已知条件 “树在道 边而多子”产生矛盾
求证： a∥c
p
a b c
证明：假设a不平行c，则a与c相交，设交点为p.
∵a∥b , b∥c, 则过点p就有两条直线a、 c 都与b平行，这与“经过直线外一点，有且
只有一条直线平行于已知直线”矛盾．
所以假设不成立，所求证的结论成立，
即 a∥c
返回
任务三
定理：在同一平面内,如果两条直线都和第 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.
几何语言表示:∵a∥b, c ∥b,
∴a∥c
（在同一平面内,如果两条直线都和 第三条直线平行,那么这两条直线也 互相平行.）
判定两直线平行的 又一判定定理
a b c
直接证法
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直
线平行,那么这两条直线也互相平行.
m
已知:如图，a∥b ,b ∥c
2022年浙教初中数学八下《反证法》PPT课件6
B.
AC BD AE BF
C. AC DF D. AE BD
AE BF
BF AC
倍 速 课 时 学 练
2、填空题:
如图:DE∥BC,
已知: AE 2 AC 5
则
AD AB
2 5.
倍
速
课
时
学
练
E
D
A
B
C
3.已知：DE//BC, AB=15,AC=9,BD=4 .求AE的长. A
解: ∵ DE∥BC,
么这两条直线也互相平行.
l
(3)不用反证法证明
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证: l1∥l3
2 l1
p1
l2
证明:作直线l交直线l2于点p，
3
l3
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3
∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内，
如果一条直线和两条平行直线中的一条相
交，那么和另一条直线也相交）
4.6 反证法
小故事:
中国古代有一个叫《路边苦李》的故事:王戎 7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上 结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎 站在原地不动.有人问王戎为什么?
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.”
小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的吗?他 运用了怎样的推理方法?
一 平行线分线段成比例定理（基本事实）
如图（1）小方格的边长都是1，直线a ∥b∥c ,分别交直线 m,n于A1,A2,A3,B1,B2,B3.
倍 速 课 时 学 练 （1）计算 A1 A2 , B1 B 2 你有什么发现？
A2 A3 B2 B3
（2） 将ｂ向下平移到如下图2的位置，直线ｍ，ｎ与直 线ｂ的交点分别为 A2, B2 .你在问题（１）中发现的结论还 成立吗？如果将ｂ平移到其他位置呢？
4.6反证法课件 2021-2022学年浙教版数学八年级下册
王戎推理方法是:
假设“李子甜” 树在道边则李子少 与已知条件“树在道边而多子”产生矛盾 假设 “李子甜”不成立 所以“树在道边而多子,此必为苦李” 是正确的
王戎的推理方法是: 假设李子不苦， 则因树在“道”边，李子早就被别
人采摘而没有了， 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立，李为苦李.
合作探究 想一想
“________________________________________ __________” 矛盾，所以假设不成立，即求证的命题正确．
l3与l2不相交 l3∥l2
l1∥l2
经过直线外一点，有且只有一条 直线与已知
直线平行
课堂总结
反证法的一般步骤：(1)假设结论不成立；(2)从假设出发推出矛盾；(3)假设不成立， 则结论成立．注意：用反证法证题时，应注意的事项：(1)全面罗列原命题结论的否 定事项，防止否定不当或有所遗漏；(2)推理过程必须完整，否则不能说明命题的真 伪性；(3)在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推
二、推理论证 三、得出矛盾
什么时候运用 反证法呢？
四、结论成立
归纳: 宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题；
（2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （5）解决整除性问题； （6）一些不等量命题的证明； （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等.
所以假设不成立，所求证的结论成立，即 l１∥l３
定理:在同一平面内，如果两条直线都和第三条直 线平行，那么这两条直线也互相平行.
几何语言表示:
∵a∥b，b∥c，
浙教版初二数学下册4.6反证法PPT课件(8)
证明：假设结论不成立,则∠B是_直__角__或_钝__角___. 当∠B是__直_角__时，则∠__B_+__∠__C_=_1_8_0_°_ 这与__三__角__形__的__三__个__内__角__和__等__于__1_8_0_°_矛盾；
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
Ｂ
∠Ａ＿＜＿６０°， ∠Ｂ＿＜＿６０°，∠Ｃ＿＜＿６０°
Ｃ
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
这于＿＿三＿角＿形＿的＿内＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿０＿°＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿不＿成＿立＿＿， 2019/11/所24 以，所求证的结论成立．
ห้องสมุดไป่ตู้
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直
线平行,那么这两条直线也互相平行.
l3
l3交于于点A，B，C。
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）
∴∠2 =∠3（等式性质）
∴ l ∥l 2019/11/214 3 （同位角相等，两直线平行）
已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
求证:∠1=∠2
论反面成立
推理得出 的结论
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
所证命题 成立
2019/11/24
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角 大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度
证明 假设所求证的结论不成立，即
定理
当∠B是_钝__角__时，则_∠__B_+__∠__C_＞__1_8_0_°
Ｂ
∠Ａ＿＜＿６０°， ∠Ｂ＿＜＿６０°，∠Ｃ＿＜＿６０°
Ｃ
则 ∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＜ １８０度
这于＿＿三＿角＿形＿的＿内＿角＿和＿等＿于＿１＿８＿０＿°＿＿＿矛盾
所以假设命题＿＿不＿成＿立＿＿， 2019/11/所24 以，所求证的结论成立．
ห้องสมุดไป่ตู้
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直
线平行,那么这两条直线也互相平行.
l3
l3交于于点A，B，C。
∵l1∥l2 ,l 2∥l 3（已知） ∴∠2 =∠1 ，∠1 =∠3（两直线平行，同位角相等）
∴∠2 =∠3（等式性质）
∴ l ∥l 2019/11/214 3 （同位角相等，两直线平行）
已知:如图,直线l与l1,l2,l3 都相交,且 l1∥l2,l2∥l3,
求证:∠1=∠2
论反面成立
推理得出 的结论
与已知条 件矛盾
与定理，定义， 公理矛盾
假设不 成立
所证命题 成立
2019/11/24
试试看!
用反证法证明（填空）：在三角形的内角中，至少有一个角 大于或等于６０°
已知：如图， ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ是△ＡＢＣ的内角
Ａ
求证： ∠Ａ，∠Ｂ，∠Ｃ中至少有一个角大于或等于６０度
证明 假设所求证的结论不成立，即
定理
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这与“四边形的内角和为360°”矛盾. 所以四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角.
试一试
已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2
c
1
a b
求证：a∥b
2
证明：假设结论不成立，则a∥b
∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 ∴ a∥ b
求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平 行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交 于点P. l 求证: l3与l2相交. l3与l2 不相交. 证明: 假设____________, l3∥l2 那么_________. l1∥l2 因为已知_________, 所以过直线l2外一点P,有两条直线和l2平行, 经过直线外一点,有且只有一条直 这与“_______________________ 线平行于已知直线 _____________”矛盾.
3
P
l1 l2
所以假设不成立,即求证的命题正确.
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾?
l１ 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 l２ p 求证： l１∥l３ l３ 证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p. ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有 且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 所以假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１ ∥ l３
l2
1、写出下列各结论的反面：
（1）a//b （2）a≥0 （3）b是正数 （ 4） a⊥ b ( 5 )至多有一个 （6）至少有一个
a∥b a<0
b是0或负数
a不垂直于b
至少有两个 一个也没有
变式训练
1、“a＜b”的反面应是（ D ） （A）a≠＞b （B）a ＞b （C）a=b （D）a=b或a ＞b 2、用反证法证明命题“三角形中最多有 一个是直角”时，应如何假设？ 假设三角形中有两个或三个角是直角 ___________________________________
等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误
的,即所求证的命题正确。这种证明方法
叫做反证法。
一、提出假设 二、推理论证
三、得出矛盾 四、结论成立
什么时 候运用 反证法 呢？
例
求证：四边形中至少有一个角是钝角或直角.
已知：四边形ABCD(如右图). 求证：四边形ABCD中至少有一个角是钝角或直角. 证明：假设四边形ABCD中没有一个角 是钝角或直角，即∠A<90°， ∠B<90°, ∠C<90°, ∠D<90° 于是∠A+ ∠B+∠C+ ∠D<360°.
定理
求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行, 那么这两条直线也互相平行. l (3)能不用反证法证明吗?你是怎样证明的?
已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 p 1 l2 求证: l1∥l3 3 证明:作直线l交直线l2于点p， l3 ∵l1∥l2 ,l 2∥l 3 ∴直线l必定与直线l2，l3相交（在同一平面内， 如果一条直线和两条平行直线中的一条相 交，那么和另一条直线也相交） ∴∠2 =∠1=∠3（两直线平行，同位角相等） ∴ l1∥l3 （同位角相等，两直线平行）
路边苦李
王戎7岁时,与小 伙伴们外出游玩,看 到路边的李树上结满 了果子.小伙伴们纷 纷去摘取果子,只有 王戎站在原地不动…
王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样 的推理方法?
假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被 过路人摘去解渴呢？
小芳全家没外出旅游.
他是如何推断该命题的正确性的?
小芳全家没外出旅游.
假设小芳全家外出旅游,
那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾,
所以假设不成立,
所以小芳全家没有外出旅游.
在证明一个命题时,有时先假设命题
不成立,从这样的假设出发,经过推理得出
和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理
2
l1
定理:在同一平面内,如果两条直
线 都和第 三条直线平行,那么这两 条直线也互相平行.
几何语言表示: ∵a∥b,b∥c,
∴a∥c
a b c
已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相 交,且 l1∥l3,l2∥l3, 求证:∠1=∠2
l
1 2
l1
证明: ∵l1∥l3,l2∥l3(已知) l3 ∴l1∥l2 (在同一平面内,如果两条直线都和第 三条直线平行,那么这两条直线也互相平行) ∴∠1=∠2(两直线平行,同位角相等)
那么，树上的李子还会这么多吗？ 这与事实矛盾吗？ 说明李子是甜的这个假 设是错的还是对的？ 所以，李子是苦的
王戎的推理方法是:
假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被
设不成立,李为苦李.
发生在身边的例子:
妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天在外 地旅游. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和 她妈妈呢! 上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么?
延伸拓展 你能用反证法证明以下命题吗？
如图，在△ABC中,若∠C是直角，那么∠B一 定是锐角. 直角 或______. 钝角 证明：假设结论不成立,则∠B是_____ 直角 B+ ∠C= 180° 当∠B是_____时，则∠ _____________ 三角形的三个内角和等于180° 这与____________________________ 矛盾； 当∠B是_____ 钝角 时，则______________ ∠B+ ∠C＞180° 综上所述,假设不成立. ∴∠B一定是锐角.
常用的互为否定的表述方式：
• • • • • • • 是——不是；存在——不存在 平行——不平行；垂直——不垂直 等于——不等于；都是——不都是 大于——不大于；小于——不小于 至少有一个——一个也没有 至少有三个——至多有两个 至少有n个——至多有(n-1)个 至多有一个—— 至少有两个 至少有一个 —— 一个也没有