既不完全可控又不完全可观的高阶状态空间模型
statespacemodel状态空间模型
一、状态空间模型
状态变量的个数为n，即系统的 最大线性无关组。 状态变量的个数等于系统的阶数，即系统 最大线 性无关组 的个数，是一个固定值。
状态空间描述是通过描述系统内部结构（状态） 来描述系统的，是系统的一种完全描述。
State-space description The internal description
a11 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n x1 b1 a2 n x b2 2 ，x ，b x b amn n m
Ax b
12 现代控制理论基础讲义 龚道雄
则
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型
13
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
质量—弹簧—阻尼模型 ０
０
14
现代控制理论基础讲义 龚道雄
一、状态空间模型
小车-倒立摆
1 x2 x 2 { 1m 2l 2 g}x3 { 1 ( I ml 2 )}u x 3 x4 x 4 { 1 ( M m)mgl}x3 { 1ml}u x
状态 空间
目录
一、状态空间模型 二、微分方程描述与状态空间模型 三、传递函数模型与状态空间模型 四、方框图组合与状态空间模型 五、状态空间模型的标准型
一、状态空间模型
有关状态、状态空间及状态空间表达式等线 性系统的基本概念是现代控制理论中状态空 间分析的基础。 状态空间分析又是研究最优控制、滤波问题 和系统辨识的基础。 因此，本章内容为现代控制理论的基础知识。
摆的状态： ,
10 现代控制理论基础讲义 龚道雄
状态空间分析与设计
状态空间分析与设计状态空间分析与设计是系统工程与控制工程中常用的分析和设计方法。
它通过建立系统的状态空间模型，对系统的动态行为进行定性和定量分析，并在此基础上进行系统设计和优化。
本文将深入介绍状态空间分析与设计的相关概念、原理和应用。
一、状态空间分析与设计概述状态空间是系统在任意时刻的状态所组成的集合。
在状态空间中，系统的每个状态都可以由一组状态变量完全描述。
因此，状态空间分析与设计的核心是建立系统的状态方程和输出方程，并利用这些方程进行性能分析和控制器设计。
二、状态方程与输出方程状态方程描述了系统状态的演变规律。
它是一个一阶微分方程，用矩阵形式表示为：x' = Ax + Bu其中，x是状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是输入矩阵，u 是外部输入。
状态方程描述了系统状态变量随时间的变化规律，可以用来分析系统的稳定性、响应速度等性能指标。
输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。
它是一个线性方程，用矩阵形式表示为：y = Cx + Du其中，y是输出向量，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
输出方程可以用来分析系统的可控性和可观性，以及设计满足特定输出要求的控制器。
三、状态空间分析方法1. 稳定性分析利用状态方程，可以通过特征值分析判断系统的稳定性。
对于线性时不变系统，当所有特征值的实部小于零时，系统是稳定的。
通过分析系统的特征值，可以设计出稳定性更好的控制器。
2. 响应分析利用状态方程和输出方程，可以分析系统的响应特性。
包括阶跃响应、脉冲响应、频率响应等。
通过分析系统的响应，可以评估系统的性能，并设计出满足要求的控制器。
3. 控制器设计状态空间方法可以直接用于控制器设计。
常见的控制器设计方法包括状态反馈控制、最优控制和鲁棒控制等。
这些方法都是基于状态空间模型进行的，可以根据系统的要求选择合适的控制器设计方法。
四、状态空间分析与设计应用状态空间分析与设计在工程实践中得到广泛应用。
例如，它可以用于电力系统的稳定性分析和控制、飞行器的自动控制系统设计、机械振动控制等。
第三章线性系统的可控性与可观性2
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
若满足下列条件，则称 1 与 2 是互为对偶的。
A2 A1T , B2 C1T , C 2 B1T
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
非奇异变换不改变系统的自然模态及能控性， 能观性，而且只有系统完全能控（能观）才能 化成能控（能观）标准型，对于一个传递函数 为
bn 1 s n 1 bn 2 s n 2 b1 s b0 W ( s) n s a n 1 s n 1 a1 s a 0
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
两个n维系统 S1(A1 B1 CI)、S2(A2 B2 C2) 若满足下列关系 A2=A1T B2=C1T C2=B1T 则称S1与S2是对偶系统.
式中
x1 , u1 , y1 , A1 , B1 , C1 , x2 u2 y2 A2 B2 C2
——n维状态矢量； ——各为r维与m维控制矢量； ——各为m 维与r维输出矢量； —— n n 系统矩阵； ——各为n×r 维与n×m维控制矩阵； ——各为n×m 维与n×r维输出矩阵；
第 三章 线性控制系统式的可控性和可观测性
如果∑1 和 ∑2 互为对偶系统，那么： 1．如果将∑1模拟结构图中将信号线反向；输入 端变输出端，输出端变输入端；信号综合点变信 号引出点，信号引出点变信号综合点，那么形成 的就是∑2的模拟结构图，如下图所示。
控制系统的状态空间分析与设计
控制系统的状态空间分析与设计控制系统的状态空间分析与设计是现代控制理论的重要内容之一，它提供了一种描述和分析控制系统动态行为的数学模型。
状态空间方法是一种广泛应用于系统建模和控制设计的理论工具，其基本思想是通过描述系统内部状态的变化来揭示系统的特性。
一、状态空间模型的基本概念状态空间模型描述了系统在不同时间点的状态，包括系统的状态变量和输入输出关系。
在控制系统中，状态变量是指影响系统行为的内部变量，如电压、速度、位置等。
通过状态空间模型，可以将系统行为转化为线性代数方程组，从而进行分析和设计。
1. 状态方程控制系统的状态方程是描述系统状态演化的数学表达式。
一般形式的状态方程可以表示为：x(t) = Ax(t-1) + Bu(t)y(t) = Cx(t) + Du(t)其中，x(t)是系统在时刻t的状态向量，A是系统的状态转移矩阵，B是控制输入矩阵，u(t)是系统的控制输入，y(t)是系统的输出，C是输出矩阵，D是直接传递矩阵。
2. 状态空间矩阵状态空间矩阵包括系统的状态转移矩阵A、控制输入矩阵B、输出矩阵C和直接传递矩阵D。
通过这些矩阵，可以准确描述系统的状态变化与输入输出之间的关系。
3. 系统的可控性和可观性在状态空间分析中，可控性和可观性是评估系统控制性能和观测性能的重要指标。
可控性是指通过调节控制输入u(t)，系统的状态可以在有限时间内从任意初始状态x(0)到达任意预期状态x(t)。
可控性可以通过系统的状态转移矩阵A和控制输入矩阵B来判定。
可观性是指通过系统的输出y(t)可以完全确定系统的状态。
可观性可以通过系统的状态转移矩阵A和输出矩阵C来判定。
二、状态空间分析方法状态空间分析方法包括了系统响应分析、系统稳定性分析和系统性能指标分析。
1. 系统响应分析系统的响应分析可以通过状态方程进行。
主要分析包括零输入响应和零状态响应。
零输入响应是指当控制输入u(t)为零时，系统的输出y(t)变化情况。
现代控制理论-第二章 状态空间分析法 2006 9
第一篇线性系统分析和综合第一章绪论第二章状态空间分析法大纲状态空间与状态方程的基本概念由状态方程到传递函数的数学模型转换由传递函数到状态方程的数学模型转换状态方程的求解系统的能控性系统的能观性系统结构分析状态变量反馈状态观测器李雅普诺夫稳定性分析2.1基本概念60s'以前,研究自动控制系统的传统方法主要使用传递函数作为系统的数学描述,研究对象是SISO系统，这样建立起来的理论就是现在所说的“古典控制理论”。
随着宇航和生产技术的发展及电子计算机的出现,控制系统日渐复杂（MIMO，时变，不确定，耦合，大规模）,传统的研究方法难以适应新的形势。
在50s'后期,Bellman等人提议使用状态变量法,即状态空间法来描述系统,时至今日,这种方法已成为现代控制理论的基本模型和数学工具。
状态空间法的实质不过是将系统的运动方程写成一阶微分方程组,这在力学和电工上早已使用,并非什么新方法,但用来研究控制系统时具有如下优点。
1、适用面广：适用于MIMO、时变、非线性、随机、采样等各种各样的系统,而经典法主要适用于线性定常的SISO系统。
2、 简化描述，便于计算机处理：可将一阶微分方程组写成向量矩阵方程,因而简化数学符号,方便推导,并很适合于计算机的处理,而古典法是拉氏变换法，用计算机不太好处理。
3、内部描述：不仅清楚表明I-O关系,还精确揭示了系统内部有关变量及初始条件同输出的关系。
4、有助于采用现代化的控制方法：如自适应控制、最优控制等。
上述优点便使现代控制理论获得了广泛应用，尤其在空间技术方面还有极大成功。
状态空间法的缺点:1、不直观，几何、物理意义不明显：不象经典法那样, 能用Bode 图及根轨迹进行直观的描述。
对于简单问题,显得有点烦琐。
2、对数学模型要求很高：而实际中往往难以获得高精度的模型,这妨碍了它的推广和应用。
―――继续发展：鲁棒控制、不确定系统控制理论。
综上,现代控制理论并不能完全取代经典法，而是各有长短，互相补充。
状态空间模型
若表示为
f ( x, x ) x
则说明二阶方程只有两个实际的未知变量。我们 为相变量。 称 x和 x
如果我们能够求出这两个量，这个系统的运动 状态就完全被确定了。
作为平面的直角坐标轴，则系统在 若采用x和 x 每一时刻的状态均对应于该平面上一点，当时间t变 化时，这一点在平面上绘出一条相应的轨迹线。该 轨迹线表征系统状态的变化过程，称为相轨迹。
y(t)
在采用模拟计算机对系统模拟时，必须根据实 际的状态空间表达式，画出各分量间的结构图 例：单输入－单输出系统
x1 ( t ) a11 a12 x1 b1 u( t ) x2 ( t ) a21 a22 x2 b2 y( t ) c c x1 1 2 x 2
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统 的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程， 被当作中间变量消掉了。 现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方 程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。 特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比 求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能 同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求 解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。 因而能同时确定系统内部的全部运动状态。
定义：由系统的n个状态变量x1(t), x2(t), …, xn(t)为坐标轴，构成的n维欧氏空间，称为n维状 态空间。 引入状态空间后，即可把n个状态变量用矢量 形式表示出来，称为状态矢量。 记为：
x1 ( t ) x (t ) x( t ) 2 xn ( t ) n1
但因
uc1+uc2+uc3=0
4.系统的可控可观性
事实上，在该系统的传递函数中存在相约因子。
由于X1(s)和U (s)之间的传递函数为：
X1(s)
1
U(s) (s1)s(2)s(3)
提示：A的最后一行6, 11, 6 确定
又Y (s)和X1(s)之间的传递函数为： Y(s) (s1)(s4) X1(s)
故Y(s)与U(s)之间的传递函数为：
Y(s) (s1)s(4) U(s) (s1)s(2)s(3)
4.1 可控性和可观测性
4.1.1 系统的可控性概念 如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限
点的控制输入来使其由任意的初态达到任意设定的 终态，则称系统是可控的，更确切的说是状态可控 的；否则，就称系统是不完全可控的，简称为系统 不可控。
说明1： 系统在时刻 t 的运动状态是由n个状态变量综 合描述的。系统可控就意味着这n个状态变量都必须与 系统的控制输入存在确定的联系，如果有一个或部分状 态变量不接受输入控制，就称系统是不可控的，或称系 统是部分可控。这样系统状态空间就分为可控状态空间 和不可控状态空间。
测值y(t)中消去。因此，为研究能观测性的充要条件，
只考虑式零输入系统就可以了。
4.1.5 系统的可观性判据
判据一：考虑下式所描述的线性定常系统。
x Ax
其输出向量为
y Cx
y(t)CA ext(0)
由于：
n1
eAt k(t)Ak k0
提示：凯莱-哈密顿
将y(t)写为A的有限项的形式，即：
2
0 0
u1 u 2
1
0
2 1
0 x1 4
x
2
2
0
2
5
1
x x
3 4
胡寿松《自动控制原理》笔记和课后习题(含考研真题)详解(线性系统的状态空间分析与综合)【圣才】
具有非正（负或零）实部，且具有零实部的特征值为 A 的最小多项式单根。
（2）系统的唯一平衡状态 xe＝0 是渐近稳定的充分必要条件：A 的所有特征根均具有
3．线性定常连续系统状态方程的解 （1）齐次方程求解方法：幂级数法；拉普拉斯变换法。 （2）非齐次方程求解方法：积分法；拉普拉斯变换法。
4．传递函数矩阵 表达式：G（s）＝C（sI－A）－1B＋D
二、线性系统的可控性与可观测性 1．可控性 如果系统的每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，而由任意的始点达到原点， 则该系统是完全可控系统，简称为系统可控。 （1）可控标准形
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的任意初始态 x0 出发的运动轨迹 x（t；x0，t0），在 t→∞都满足：||x（t；x0，t0）－xe||≤ε，
t≥t0，则称 xe 是李雅普诺夫意义下稳定的。
（3）渐近稳定
系统不仅满足李氏意义下的稳定，且
（2）可观测性判据
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现代控制理论试题与答案
现代控制理论试题与答案《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。
解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。
解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1-4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解：系统的状态空间表达式如下所示：1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。
解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6（2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A 的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-12已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示，并使驱动函数u的系数b(即控制列阵)为（1）解法1：解法2：求T,使得得所以所以，状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数。
状态空间模型
Ce La 1
f
x1 x2 x3
1 La 0 0
u
J
x1
Y 0
1
0
x2
x3
最后根据上述状态方程和输出方程可画出结构图
u(t) 1
La
Ra
+++
x1 L
dt
x1
Ca
L
x2
x2
Y(t)
dt
1
1
Cm
J
+ x3
+
dt
x3
f J
F3
第2讲
状态空间模型
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。
经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
x(t ) f x(t ) u(t )
y(t )
g
x(t
)
u(t )
5.非线性时变系统：
x(t) f x(t), u(t), t
y(t )
g
x(t ),
u(t), t
6.线性系统状态空间表达式的简便写法：
由上可知，对任意阶次的线性系统，其状态 空间表达式的基本形式是一样的，区别在于四个 矩阵不同，故可用四联矩阵来简单表示:
﹡完全描述：若给定 t=t0 时刻这组变量的值（初 始状态）又已知t≥t0 时系统的输入u(t)，则系统在 t≥t0 时，任何瞬时的行为就完全且唯一被确定。
现代控制理论智慧树知到答案章节测试2023年滨州学院
第一章测试1.系统前向通道传递函数阵为，反馈通道传递函数阵为，则系统闭环传递函数为（）。
A:B:C:D:答案:B2.下面关于线性时不变系统的系统矩阵说法错误的是（）。
A:由系统矩阵可以得到系统的运动模态。
B:具有相同特征值的系统矩阵，鲁棒稳定性是一样的。
C:系统矩阵的形式决定着系统的稳定性质。
D:系统矩阵不同，系统特征值可能相同。
答案:B3.下面关于状态空间模型描述正确的是（）。
A:对一个系统，只能选取一组状态变量。
B:模型的阶数就是系统中含有储能元件的个数。
C:代数等价的状态空间模型具有相同的特征多项式和稳定性。
D:对于线性定常系统的状态空间模型，经常数矩阵非奇异变换后的模型，其传递函数阵是的零点是有差别的。
答案:C4.线性变换不改变系统的（）A:状态变量B:特征值C:状态方程D:传递函数答案:BD5.对于同一控制系统，只能选取一组状态变量。
（）A:对B:错答案:B第二章测试1.非齐次状态方程的解包含零状态响应和零输入响应两部分。
（）A:对B:错答案:A2.系统的状态方程为齐次方程，若初始时刻为0，，则其解为（）。
A:B:D:答案:A3.下面关于线性连续系统的状态转移矩阵描述错误的是（）。
A:状态转移矩阵不唯一B:C:D:答案:A4.已知线性连续系统的状态空间表达式为，对该系统进行离散化为状态空间表达式为，其中采样周期为T，那么下列正确的是（）A:H=BB:G=AC:C=CD:D=D答案:CD5.对于线性定常系统，若系统矩阵A为，则系统的状态转移矩阵为（）。
A:B:1C:D:答案:C第三章测试1.下面关于连续线性系统的能观性说法错误的是（）。
A:常数非奇异变换不改变系统的能观性。
B:能观性表征了输出反映内部状态的能力。
C:一个系统不能观，意味着存在满足D:系统状态若不完全能观，则一定可以将状态分成完全能观子空间和不完全能观的子空间，这两个子空间完全正交。
答案:C2.下面关于连续线性系统的能控性说法正确的是（）。
考察既不完全可控又不完全可观系统的特性 (4)
考察既不完全可控又不完全可观系统的特性自动控制讨论课CONTENTS总结不完全可控又不完全可观系统特性系统的可控性和可观测性壹贰叁录系统的可控性和可观测性壹状态：完全描述系统行为的最小变量组。
需要加以注意的是“完全描述”。
只要确定了这组变量在某一初始时刻的值以及从初始时刻起的输入量函数，则系统在任意时刻的行为均可唯一地确定。
系统状态可控性：如果系统的每一个状态变量都能够受输入u控制，从而可在一定u的控制下，实现将任意初始状态转移到要求的状态上，则称系统的状态是完全可控的，否则就称系统的状态是不完全可控的。
系统状态可观测性：如果状态空间中存在一个非零状态或状态集合在t时刻是不可观测的，则称该系统状态在时刻t为不可观测；如果状态空间中的所有非零状态都不是在t时刻的不可观测状态，则称该系统状态在时刻t完全可观测的。
不完全可控又不完全可观系统特性贰构造一系统的状态空间表达式为：构造不完全可控又不完全可观系统按照对角线规范型判据（可控性：B阵中不含有全为零元素的行；可控性：C阵中不含有全为零元素的列），可判断系统各个状态的可控性和可观性如下：可观不可观可控x4x2不可控x3x1若按照规范分解时状态变量的通常排列顺序（可控可观、可控不可观、不可控可观、不可控不客观）重组状态向量为下列形式：对其进行结构分解对相应系统进行线性变换：其中，对矩阵A和B的行变换，相应于该矩阵左乘以变换矩阵的逆；对矩阵A和C的列变换，相应于该矩阵右乘以变换矩阵Q。
对于我们构造的矩阵，很容易得变换阵Q 及其逆：按照下式进行变换：则可得到系统状态空间表达式同时按照可控性和可观测性进行分解的规范型：对应可控不可观极点：可控可观测状态空间模型对应可控可观测极点：不可控不可观测状态空间模型可控不可观状态空间模型不可控可观测状态空间模型对应不可控可观测极点：对应不可控不可观测极点：系统传递函数根据系统矩阵A、控制矩阵B和输出矩阵C可求得系统传递函数如下：由此可见，传递函数反映的只是系统的可控可观测极点。
9-2线性系统的可控性与可观测性
1 6 4 1 4 6 1 3 2 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 1 6 4 1 4 1 1 0 4 3 2 0 1 5 3 3 2 0 5 0 20r1 r4 r2 r4 2
2
5
6 11
16 0.
23
454页例9-12：已知线性定常系统状态方程为
0 0 x 0 0 1 0 0 1 0 0 0 5 0 0 1 0 x 0 1 0 2 1 0 u 1 0
判断系统的可控性。 解：根据状态方程可写出
3
9.2.1． 可控性定义
1．状态可控
考虑n维线性时变系统的状态方程
x A(t ) x B(t )u
x(t0 ) x0
t Tt
如果对取定初始时刻 t 0 Tt 的一个非零初始状态 x(t0) =x0，存在一个时刻 t1 Tt , t1 t 0 和一个无约 束的容许控制u(t)， t [t 0 , t1 ] ，使状态由x(t0)=x0转 移到t1时的x(t1)=0 ，则称此x0是在时刻t0可控的.
25
2）当 s 3 5 时，有
rank sI A B =rank 5 0 0 0 1 1 5 1 0 4 0 0 1 0 2 0 0 1 0 4 1 0
A 2A I
2
A AA 2 A A 2(2 A I ) A 3A 2I
3 2 2
A AA 3A 2 A 3(2 A I ) 2 A 4 A 3I
3 2
根据数学归纳法有
A kA (k 1) I
k
所以：
A
自动控制原理课件8状态空间分析法
1 2 3
解析法
通过解状态方程和输出方程，得到系统的状态和 输出响应。
数值法
采用数值计算方法，如欧拉法、龙格-库塔法等， 对状态方程和输出方程进行离散化求解，得到系 统的离散时间响应。
线性时不变系统的性质
分析线性时不变系统的稳定性、可控性和可观测 性等性质，为系统设计和控制提供依据。
状态空间模型的求解方法
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
计算复杂度和提高计算效率。
状态空间分析法的优势与局限性
01 02 03 04
局限性
对于非线性系统和时变系统，建立状态空间模型可能较为复杂。
在处理高阶系统时，计算量较大，需要借助计算机进行数值计算。 在实际应用中，可能需要对系统进行适当的简化或近似处理，以降低
描述输入对状态变量的影响。
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
描述输入对状态变量的影响。
计算复杂度和提高计算效率。
02 状态空间模型的建立
02 状态空间模型的建立
状态方程的建立
状态变量的选择
选择系统的状态变量，通常基于系统 的物理性质和动态特性进行选择。
建立状态方程
根据状态变量和系统的动态特性，建 立状态方程，描述系统内部状态的变
化规律。
确定系统矩阵
根据状态方程，确定系统矩阵A和B， 其中A描述状态变量的时间导数，B
现代控制理论第9章答案
9-1．（1）选取状态变量)(),(x 21t yx t y ==,则 ⎩⎨⎧+--=+--====u x x t u t y t y t y x x t y x1222145)()(4)(5)()( 故系统的状态空间表达式为：[]⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎥⎢⎣⎢--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21212101105410xx y u x x x x9-2．（1）选取状态变量6x ,6x ,6x 321yy y ===，则11233322167416676416x y u x x x u y y y y x x x x x =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+---=+---====故系统的状态空间表达式为[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213210061006417100010x x x y u x x x x x x或:选取状态变量yy ===321x ,x ,y x ，则同样可得系统的状态空间表达式为[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213210016006417100010x x x y u x x x x x x（3）同理，系统的状态空间表达式为[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213212332100110033a 100010x x x y u x x x a a x x x（5）微分方程含有输入的导数项，可采用212P 的情形二：状态变量选择方法一：7,6,5,0;4,,2a 3210321=======b b b b a z a则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=---=-=--==-===za a ab a a b a b b 51545003122133021122011100ββββββββββ故系统的状态空间表达式为：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3213213210015154524100010x x x y u z x x x z x x x方法二（可控标准型）：[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎝+⎪⎪⎪⎭ ⎝⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣---=⎪⎪⎪⎭ ⎝3213213215671024100x x x y u x x z x x9-3．（1）同9-2（3），可得[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132132100118626116100010x x x y u x x x x x x或（可控标准型）：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎝+⎪⎪⎪⎭ ⎝⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣---=⎪⎪⎪⎭ ⎝32132132121840106116100x x x y u x x x x或（特征值规范型）：由32212112611640182)()()(232+++-+-=+++++==s s s s s s s s s U s Y s G（部分分式展开）选取状态变量：)(31)(x ),(21)(x ),(11)(x 321s U s s s U s s s U s s +=+=-=即：321332211212123x2x x x x x y u x u x u x +-=⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=+=则系统的状态空间表达式为：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛32132132121212u 11130020001x x x y x x x x x x（3）同（1）[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321001322452100010x x x y u x x x x x x或：[]⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321265100452100010x x x y u x x x x x x或：[]⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321111110200010011x x x y u x x x x x x9-4．（3）要求掌握由传递函数求状态空间表达式的公式：53316)()(131253s 1)21-21-+++=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+++=-s s s D B A SI C s G s s s A SI （9-5．掌握状态转移矩阵的算法：法一：拉氏变换法⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=-s s s A I 61553s 1)s (21-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-+++-++=3s 32s 23s 62s 63s 12s 13s 22s 3])[(e 11---=A sI L At⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+=------)2sin(22)2cos()2sin(223)2sin(22)2sin(22)2cos(t e t e t e t e t e t e t t t tt t ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==---)2cos()2sin(2)2cos()0(e )(t e t e t e x t x tt tAt法二：先将A 变换成对角矩阵由0=-A I λ可得系统的特征根为：i 212,1±-=λA 为友矩阵，则变换阵P 可选为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=i P 21i 2111⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=-ii i P 22122121221i 221211⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-=-i 21i 211AP P1)21()21(e ---+-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⇒P e e P t i ti At⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+=------)2sin(22)2cos()2sin(223)2sin(22)2sin(22)2cos(t e t e t e t e t e t e t t t tt t⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==---)2cos()2sin(2)2cos()0(e )(t e t e t e x t x tt tAt9-6．同9-5法一：拉氏变换法：])[(e 11---=A sI L At⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-+--+--+--+-+-+-+-=---------------------------t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t tt t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e 323232323232323232294e 2122716e 25912e 3232e 215.48e 2536e 321e 21234e 253e 3法二：化为对角阵系统特征值为321321-=-=-=λλλ，， 变换阵：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=941321111P ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=-21231143212531P132e e ----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Pe e P t tt At 9-7．状态转移矩阵：))(()(11---==ΦA sI L e t At⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=--------t t t ttt t t e e e e e e e e 32323232326623故状态方程的解为：τττd Bu t x t t t )()()0()()(x 0-Φ⎰+Φ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=----t t t t e e e e 323234121 9-8．方法一：利用状态转移矩阵的性质 0|)(t =Φ=t A而 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+--+--=Φ-----t t t t t te e t e t e t e t 22224)21(0)84()44(000)( ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⇒010440001A 方法二：利用])[(e 11---=A sI L At⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-++-++==⇒22221-)2(221)2(10)2(4)2(22100011)(A)-sI (s s s s s s s e L At ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++=-⇒01044000110440001)(A s s s A sI9-9．(2)根据)0()(x e t x At=，可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++------111222At t t t t t t e te e ete e e ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⇒-------t t t t t t Atte e e te e e e 2211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=----t t t t e t tete e t )21(4)21(求系统矩阵A ，同9-8可采用两种方法：1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-=Φ==----=1143)21()1()44()23(|)(00t t t tt t e t e t e t e t t A 2)⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-++-+==--22221)1(211)1(1)1(4)2(211)()(s s s s s s e L A sI At⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+=-⇒11431143)(A s s A sI 9-10．(2)先求状态转移矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-==Φ----tt At e e A sI L e t 2211021211))(()( 则离散化后的系统矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡====1353.004324.01e 1T t AtG⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+-==---⎰4324.02838.021********220)(T T T t T A e e T Bdt e H 9-11．1时刻：)0()0()1(x Hu Gx +=2时刻：)1()0()0()1()1()2(x 2Hu GHu x G Hu Gx ++=+= 若使系统在第二个采样时刻转移到原点，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=00)1(4.03.0)0(4.03.01.005.01)0(x 1.005.01)2(x 2u u 可求得,282.3)0(-=u 3032.0)1(=u即施加上述控制作用，可使系统在第二个采样时刻转移到原点。
线性代数在自动控制系统中的应用
线性代数在自动控制系统中的应用自动控制系统是现代工程和科学中的一个重要领域。
它的主要目标是通过使用传感器和执行器，对物理过程进行监测和控制，以实现所期望的系统功能。
而线性代数作为数学的一个分支，对于自动控制系统的设计、分析和优化发挥着重要的作用。
本文将探讨线性代数在自动控制系统中的应用。
1. 状态空间模型在自动控制系统中，状态空间模型是一种常用的数学工具，用于描述系统的行为。
它是基于向量和矩阵的线性代数概念构建的。
状态空间模型可以将系统的状态表示为一个向量，并使用线性方程组来描述系统的演化。
通过状态空间模型，可以方便地分析系统的稳定性、可控性和可观性等性质，以及设计控制器来实现所需的系统行为。
2. 矩阵运算线性代数中的矩阵运算在自动控制系统中也得到了广泛的应用。
在系统的动态建模过程中，矩阵运算可以用来描述系统的输入、输出关系。
例如，通过矩阵乘法可以表示系统的输入与状态之间的关系，进而得到系统的输出。
此外，矩阵运算还可以用于参数估计、滤波和优化等问题的求解。
3. 特征值与特征向量特征值与特征向量是线性代数中的重要概念，也在自动控制系统中发挥了重要作用。
在系统的稳定性分析中，通过计算系统的特征值，可以判断系统是否稳定。
当特征值的实部全部为负时，系统是稳定的；当存在一个或多个特征值的实部为正时，系统是不稳定的。
此外，特征向量也可以用来描述系统的振荡特性和响应模式。
4. 卡尔曼滤波器卡尔曼滤波器是一种重要的状态估计算法，广泛应用于自动控制系统中。
它基于线性代数的概念，通过对系统的测量和模型进行融合，提供对系统状态的最优估计。
卡尔曼滤波器在飞行器导航、位置跟踪和信号处理等应用中得到了广泛使用，为实时系统提供了准确的估计结果。
5. 最小二乘法最小二乘法是线性代数中的一种常见优化方法，也在自动控制系统中有着广泛的应用。
在系统辨识和参数估计问题中，最小二乘法可以用来拟合模型和估计参数。
通过最小化观测值与模型预测值之间的残差平方和，可以获得最优的拟合结果。
既不完全可控又不完全可观的高阶状态空间模型
4
4
1
3
14
23
第八章
令det(sI − A + BK ) = *(s)，可得
kk11
+ +
k 3
k 3
+ −
k 4
k 4
= +
5 kk
14
−
kk 23
−1
=
6
方程只有两个，而待求变量有四个，显然其解不唯一，理论上来说其解无穷多。 例如令k3=1，k4=0，可解得k1=4，k2=-2；k3=k4=1，可解得k1=3，k2=-1。即可求得 下列2个不同的状态反馈矩阵
− 2 0 1 −1 2
x
=
− −
4 4
−2 0
4 3
− 4 x + 1u − 3 2
0
0
0
1
0
y = 1 1 −1 2x
使用相同的方法：系统传递函数为 1 稳定。
s+2
C=[1 0 0 0]
稳 定
改变step的值，该状态值发生了 改变，说明可控
C=[0 1 0 0]
第七章
稳 定
C=[0 0 1 0]
1
2
第八章
设引入的状态反馈矩阵为：
K
=
k 1
k3
k2
k
4
则闭环系统的实际特征多项式为：
det( sI
−
A+
BK
)
=
det
s 0
0 1 s − 0
0 1 −1 + 0
1
k 1
1k3
k 2
k 4
= s2 + (k + k + k )s − k + k + k + k k − k k −1
既不可控又不可观系统的特性
既不可控又不可观系统的特性状态空间模型01系统状态变量图04结构分解02仿真分析05传递函数03总结06状态空间模型状态空间模型x=−201−1−4−24−4−403−30001x+212u y=11−12xQ c=2−22−2 1−24−8 2−22−2 0000rank Q c=2Qo=11−12−2−22044−44−8−88−4 rank Qo=2可控性分析：可观性分析：结构分解x=0.8220.16800−1.25 2.18002.28−4.03−1.890.314−3.037.100.31−1.11x+3uy= 1.78−1.68−0.940.33x可控极点：−1，−2不可控极点：{1,2}可控性结构分解：x=1.070.56 1.23−5.313.44−0.081.61−6.4000−0.14 2.14000.99−0.86x+0.062.94−0.440.38uy=000 2.65x可观极点：1,−2不可观极点：{2,−1}可观性结构分解：可控又可观极点：-2可控不可观极点：-1不可控可观极点：-1不可控不可观极点：2传递函数传递函数G=s3−2s2−s+2s4−5s2+4=(s−2)(s−1)(s+1)(s−2)(s−1)(s+1)(s+2)=1s+2零点：-1,2,1极点：-1,2,1,-2零点：0极点：-2系统状态变量图x cx c=A c A120A cx cx c+B cuy=C1C2x c x cx=0.8220.16800−1.25 2.18002.28−4.03−1.890.314−3.037.100.31−1.11x+3uy= 1.78−1.68−0.940.33x0010000110000100x oxതo=A o0A21A cx oxതo+B oBതouy=C o0x o xതox=1.070.56 1.23−5.313.44−0.081.61−6.4000−0.14 2.14000.99−0.86x+0.062.94−0.440.38uy=000 2.65x仿真分析状态x1、x2的响应曲线状态x1、x2的响应曲线疑问根据理论计算可得，我们所构造的系统存在两个可控，两个不可控的状态，但是我们在对未进行结构分解的系统仿真中系统只存在一个不可控的系统？？总结探究现实意义根据题目的要求我们在研究了即不完全客观又不完全可控的状态观测模型之后，我们需要思考，它的意义何在，而不是纯粹的数学运算。
不完全可控又不完全可观系统的特性
+
HC)
=
det( sI
−
A0
+
H1C0
)
det( sI
−
A) 0
因此，全维状态观测器的极点由 {A0 - H1C0}和{A0}这两部分组成。其中{A0 - H1C0} 为与可观测子系统相对应的观测器极点，可通过适当的选择增益矩阵 H1 对这部分极点进行任意配置；
{A0} 为受控系统的不可观测子系统的极点，它们不受增益矩阵的影响并全 部进行观测器系统，成为观测器极点的一部分，当此部分极点渐进稳定时， 不完全可观测受控系统可综合状态观测器并使之满足渐进趋近指标
• 0 1 0
x y
= =
0−.80.41x− 1.3 x
+
1u
经线性变换 x = T x 可将系统的
状态空间模型化为按可观测性 分解的规范形结构：
• - 0.8 -1.4 0.6247
x = 0
- 0.5x + 0.7809u
y = 0 1.2806x
B.受控系统不完全 可观测，则可通过 线性变换将系统化 为按可观测性结构 分解的规范形。 按可观测性结构分 解的规范形：
•
x
=
Ax
+
Bu
=
A0 A21
0 A
0
x0 x0 Nhomakorabea
+
BB12
u
y = Cx = C0 0 x
在此坐标系下不完全可观 测受控系统的观测器方程：
Qo初等行变换
可控子空间
自控
不可观子空间
基向量选择
可控既可观
可控不可观
考察既不完全可控又不完全可观系统的特性 (4)
考察既不完全可控又不完全可观系统的特性自动控制讨论课CONTENTS总结不完全可控又不完全可观系统特性系统的可控性和可观测性壹贰叁录系统的可控性和可观测性壹状态：完全描述系统行为的最小变量组。
需要加以注意的是“完全描述”。
只要确定了这组变量在某一初始时刻的值以及从初始时刻起的输入量函数，则系统在任意时刻的行为均可唯一地确定。
系统状态可控性：如果系统的每一个状态变量都能够受输入u控制，从而可在一定u的控制下，实现将任意初始状态转移到要求的状态上，则称系统的状态是完全可控的，否则就称系统的状态是不完全可控的。
系统状态可观测性：如果状态空间中存在一个非零状态或状态集合在t时刻是不可观测的，则称该系统状态在时刻t为不可观测；如果状态空间中的所有非零状态都不是在t时刻的不可观测状态，则称该系统状态在时刻t完全可观测的。
不完全可控又不完全可观系统特性贰构造一系统的状态空间表达式为：构造不完全可控又不完全可观系统按照对角线规范型判据（可控性：B阵中不含有全为零元素的行；可控性：C阵中不含有全为零元素的列），可判断系统各个状态的可控性和可观性如下：可观不可观可控x4x2不可控x3x1若按照规范分解时状态变量的通常排列顺序（可控可观、可控不可观、不可控可观、不可控不客观）重组状态向量为下列形式：对其进行结构分解对相应系统进行线性变换：其中，对矩阵A和B的行变换，相应于该矩阵左乘以变换矩阵的逆；对矩阵A和C的列变换，相应于该矩阵右乘以变换矩阵Q。
对于我们构造的矩阵，很容易得变换阵Q 及其逆：按照下式进行变换：则可得到系统状态空间表达式同时按照可控性和可观测性进行分解的规范型：对应可控不可观极点：可控可观测状态空间模型对应可控可观测极点：不可控不可观测状态空间模型可控不可观状态空间模型不可控可观测状态空间模型对应不可控可观测极点：对应不可控不可观测极点：系统传递函数根据系统矩阵A、控制矩阵B和输出矩阵C可求得系统传递函数如下：由此可见，传递函数反映的只是系统的可控可观测极点。
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第 一
第
、 二 、
七 章
三
、
五
题
第七章
构造一既不完全可控又不完全可观的高阶状态空间模型；
1 − 3 3 3 0
x
=
− −
5 2
−1 0
−5 −4
5 x
+
0
u
0 −1
− 2 0 − 2 4
−1
y = 1 2 1 − 2x
第七章
• 对其进行可控可观性状态空间结构分解，确定其既可控又 可观、可控不可观、可观不可控、既不可控又不可观子空 间的状态空间模型，以及各子空间所对应的系统极点；
0 − 6 0 − 24 1 0 0 0
Qc
=
0
0
0
0
→
0
0 0 0 = Qc
−1 4 − 4 16 −1 1 0 0
−1 − 2 − 4
→
0
1
0
−1 = Qo
22 26 22 − 26 0 0 0 0
−100 − 92 −100
92
0 0 0
0
1 0
o
=
nul (Qo) =
span −001，110
1 0
c
=
col(Qc) =
span−001, 110
1
co
=
span −001
第七章
1 0
o
− 2 0 1 −1 2
x
=
− −
4 4
−2 0
4 3
− 4 x + 1u − 3 2
0
0
0
1
0
y = 1 1 −1 2x
使用相同的方法：系统传递函数为 1 稳定。
s+2
C=[1 0 0 0]
稳 定
改变step的值，该状态值发生了 改变，说明可控
C=[0 1 0 0]
第七章
稳 定
C=[0 0 1 0]
4 − 2
K = 1
0
3 −1
K = 1
1
谢谢观看
1
2
第八章
设引入的状态反馈矩阵为：
K
=
k 1
k3
k2
k
4
则闭环系统的实际特征多项式为：
det( sI
−
A+
BK
)
=
det
s 0
0 1 s − 0
0 1 −1 + 0
1Leabharlann k 11k3k 2
k 4
= s2 + (k + k + k )s − k + k + k + k k − k k −1
1
3
第 七 八 章 讨 论
组
• 构造一既不完全可控又不完全可观的高阶状态空间 模型；
• 对其进行可控可观性状态空间结构分解，确定其既 可控又可观、可控不可观、可观不可控、既不可控 又不可观子空间的状态空间模型，以及各子空间所 对应的系统极点；
• 确定该系统的传递函数； • 利用上图对该系统进行MATLAB单位阶跃响应的仿
系统的传递函数可直接根据可控可观测子系统来确定，且 A = 2 co
故系统的传递函数为
( ) ( ) G(s) = C(sI − )A −1 B = C sI − A B −1 = C sI − A B −1 = 1
co
co
co s − 2
第七章
对该系统进行MATLAB单位阶跃响应的仿真，观察其各状态 变量的响应曲线，说明各状态变量的可控性、以及稳定性。
4
4
1
3
14
23
第八章
令det(sI − A + BK ) = *(s)，可得
kk11
+ +
k 3
k 3
+ −
k 4
k 4
= +
5 kk
14
−
kk 23
−1
=
6
方程只有两个，而待求变量有四个，显然其解不唯一，理论上来说其解无穷多。 例如令k3=1，k4=0，可解得k1=4，k2=-2；k3=k4=1，可解得k1=3，k2=-1。即可求得 下列2个不同的状态反馈矩阵
第八章
举例说明：
已知多输入受控系统的状态方程为
x
=
Ax
+
Bu
=
1 0
0 1 −1x + 0
1 1u
试确定状态反馈矩阵，使闭环系统极点配置为 = −2， = −3。
1
2
Q = B C
AB
=
1 0
1 1
1 0
1 −1
rank(Qc)=2，满秩
希望特征多项式：
*(s) = (s − )(s − ) = (s + 2)(s + 3) = s2 + 5s + 6
−8
0
1 0 0
1 0
c
=
col(Qc)
=
span−001, 110
第七章
• 对其进行可控可观性状态空间结构分解，确定其既可控又 可观、可控不可观、可观不可控、既不可控又不可观子空 间的状态空间模型，以及各子空间所对应的系统极点；
1
2
1 − 2 1 0 1 0
Qo
=
−7
−5
−7
5
=
nul (Qo) =
span −001，110
0
co
=
span 110
0
co
=
span
110
适当选取非零向量[0 0 0 1]T
构造变换矩阵
0 1 0 0 P = 0 0 0 1
1 −1 0 0 1 0 1 1
第七章
经线性变换x = Px则可导出，系统的状态空间表达式同时按可控性和可观测性分解的规范型为
可 控
加入初值为1
不可控
不稳定
第七章
C=[0 0 0 1]
加入初值为1
不可控
不稳定
第
八题 第 章九
l状态反馈配置极点是否唯一？ 为什么？举例说明？
第八章
当状态反馈阵唯一时，配置出的极点唯一。K一定，(A-B*K)一定，极点一定。
在单输入单输出系统中，希望极点一定时，配置的状态反馈阵唯一。因为极点 是n个，状态反馈阵是n维行向量，有n个未知数，可以确定。但是在多输入系 统中，K阵是一个p×n矩阵共有p×n个元素，而可以配置的极点只有n个，故多 输入系统的状态反馈矩阵不唯一。
使用simulink模型仿真，通过改变C来分别输出状态变量
C=[1 0 0 0]
不 稳 定
改变step的值，该状态值发生了 改变，说明可控
C=[0 1 0 0]
第七章
明 显 不 稳 定
C=[0 0 1 0]
可 控
加入初值为1
不可控
稳定
第七章
C=[0 0 0 1]
加入初值为1
不可控
不稳定
第七章
如果原系统稳定呢？
2 0 3 0 −1
x
=
6 0
−2 0
3 −4
0
x
+
0
u
0 0
0 0
5 4
0
y = −1 0 − 2 0x
式中A = P−1 AP, B = P−1B, C = CP
各子空间对应的极点：
A = 2；A = −2；A = −4；A = 4；
co
co
co
co
第七章
确定该系统的传递函数；