三年高考(2016_2018)高考数学习题分项版解析专题23立体几何中的角理(含解析)

专题23 立体几何中的角
2018年高考全景展示
1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则
A. θ1≤θ2≤θ3
B. θ3≤θ2≤θ1
C. θ1≤θ3≤θ2
D. θ2≤θ3≤θ1
【答案】D
【解析】分析:分别作出线线角、线面角以及二面角，再构造直角三角形，根据边的大小关系确定角的大小关系.
详解：设O为正方形ABCD的中心，M为AB中点，过E作BC的平行线EF，交CD于F，过O作ON垂直EF于N，连接SO，SN，OM，则SO垂直于底面ABCD，OM垂直于AB，因此从而
因为，所以即
，选D.
点睛：线线角找平行，线面角找垂直，面面角找垂面.
2．【2018年理数全国卷II】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】C
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
3．【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．
（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
详解：方法一：
（Ⅰ）由得，所以.
故.由，得，由得
，
由，得，所以，故.因此平面.
（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.
由平面得平面平面，由得平面，
所以是与平面所成的角.由得
，所以，故.
因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
方法二：
（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知各点坐标如下：
因此由得.
由得.所以平面.
（Ⅱ）设直线与平面所成的角为.由（Ⅰ）可知
设平面的法向量.由即可取.
所以.因此，直线与平面所成的角的正弦值是.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
2017年高考全景展示
1.【2017课标II ，理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）
A C 【答案】C
【考点】 异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用
【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,
2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直
线所成的角。

求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。

2.【2017浙江，9】如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，
CA 上的点，AP=PB ，
2BQ CR
QC RA
==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则
A ．γ<α<β
B ．α<γ<β
C ．α<β<γ
D ．β<γ<α
【答案】B 【解析】
试题分析：设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等，因此αγβ<<，所以选B ． 【考点】 空间角（二面角）
【名师点睛】立体几何是高中数学中的重要内容，也是高考重点考查的考点与热点．这类问题的设置一般有线面位置关系的证明与角度距离的计算等两类问题．解答第一类问题时一般要借助线面平行与垂直的判定定理进行；解答第二类问题时先建立空间直角坐标系，运用空间向量的坐标形式及数量积公式进行求解． 3.【2017课标3，理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线
与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.
其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③ 【解析】
试题分析：由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥ ，又AC ⊥圆锥
底面，在底面内可以过点B ，作B D a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴ ，
连结AD ，等腰△ABD 中，AB AD ==
当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠= ，故BD =，
又在BDE Rt △ 中，2,BE DE =∴=，
过点B 作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性可知BF DE ==ABF ∴△ 为等边三角形，60ABF ∴∠= ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.
由最小角定理可知③正确；
很明显，可以满足平面ABC ⊥直线a ，直线AB 与a 所成的最大角为90°，④错误. 正确的说法为②③.
【考点】 异面直线所成的角
【名师点睛】(1)平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：
①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； ②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； ③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛
⎤
⎥⎝
⎦
，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.
(2)求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围.
4.【2017课标II ，理19】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠= E 是PD 的中点。

（1）证明：直线//CE 平面PAB ；
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45 ，求二面角M AB D --的余弦值。

【答案】(1)证明略；
试题解析：
（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF 。

因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ,1
2
EF AD =
,由90BAD ABC ∠=∠=得BC ∥AD ，又1
2
BC AD =
,所以EF BC ∥。

四边形BCEF 为平行四边形，CE ∥BF 。

又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ，故CE ∥平面PAB 。

（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，
则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C
，(P
，(10PC =，,(100)AB =，，， 设()(),,01M x y z x <<则(
)(1,,,,1,BM x y z PM x y z =-=-， 因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而()0,0,1=n 是底面ABCD 的法向量， 所以cos ,sin 45BM =n ，
=
， 即()2
22
10x y z -+-=。

①
又M 在棱PC 上，设PM PC λ
=,则
,1,x y z λ===。

②
由①，②解得
121x y z ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩
(舍去)
，121x y z ⎧=-⎪
⎪⎪
=⎨⎪
⎪=⎪
⎩。

所以122M ⎛-
⎝⎭
，从而122AM ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝
⎭。

设()000,,x y z =m 是平面ABM 的法向量，则
0,0,AM AB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪
⎩m m
即(0000220,0,x y x ⎧++=⎪⎨
=⎪⎩
所以可取()
0,2=m 。

于是
cos ,⋅=
=
m n m n m n ，
因此二面角M AB D -- 【考点】 判定线面平行；面面角的向量求法
【名师点睛】(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算。

(2)设m ，n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与<m ，n >互补或相等，故有|cos θ|＝|cos<m ，
n >|=
⋅m n
m n。

求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角。

5.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线
段PB 上，PD//平面MAC ，PA =PD AB=4． （I ）求证：M 为PB 的中点； （II ）求二面角B -PD -A 的大小；
（III ）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．
【答案】（Ⅰ）详见解析：（Ⅱ）3π ；（Ⅲ）9
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设,AC BD 交点为E ，连接ME ，因为线面平行，//PD 平面MAC ,根据性质定理，可知线线平行，即//PD ME ，E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点；（Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，
PA PD =，所以取AD 的中点O 为原点建立如图空间直角坐标系，根据向量法先求两平面的法向量，n 和
p ，
再根据公式cos ,n p <> ，求二面角的大小，（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，直接求sin |cos ,|MC n θ=<> . 试题解析：解：（I ）设,AC BD 交点为E ，连接ME . 因为PD ∥平面MAC ，平面MAC
平面PBD ME =，所以PD ME ∥.
因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点.
设平面BDP 的法向量为(,,)x y z =n ，则00
BD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n
，即440
20
x y x -=⎧⎪⎨
=⎪⎩.
令1x =，则1y =
，z =
于是(1,1=n .
平面PAD 的法向量为(0,1,0)=p ，所以1cos ,||||2
⋅=
=<>n p n p n p .
由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为
3
π
.
（III
）由题意知(1,2,
2
M -，(2,4,0)D ，(3,2,)2MC =-. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则||2sin |cos ,|||||
MC MC MC α⋅=
=
=<>n n n . 所以直线MC 与平面BDP . 【考点】1.线线，线面的位置关系；2.向量法.
【名师点睛】本题涉及到了立体几何中的线面平行与垂直的判定与性质，全面考查立体几何中的证明与求解，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；利用空间向量解决立体几何问题是一种成熟的方法，要注意建立适当的空间直角坐标系以及运算的准确性.
6.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒.点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2.
（Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；
（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；
（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE ，求线段AH 的长.
【答案】 （1）证明见解析（2 （3）85 或12 【解析】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出AH 的值.
试题解析：如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得
A （0，0，0），
B （2，0，0），
C （0，4，0），P （0，0，4），
D （0，0，2），
E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）.
（Ⅰ）证明：DE =（0，2，0），DB =（2，0，2-）.设(,,)x y z =n ，为平面BDE 的法向量，
则00
DE DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得(1,0,1)=n .又MN =（1，2，1-），可得0MN ⋅=n . 因为MN ⊄平面BDE ，所以MN //平面BDE
.
（Ⅲ）依题意，设AH =h （04h ≤≤），则H （0，0，h ），进而可得(1,2,)NH h =--，(2,2,2)BE =-.由已知，
得|||cos ,|||||NH BE NH BE NH BE h ⋅<>=
==
，整理得2102180h h -+=，解得85h =，或12h =. 所以，线段AH 的长为85
或12.
【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角
【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.
7.【2017浙江，19】（本题满分15分）如图，已知四棱锥P –ABCD ，△PAD 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，AD BC //，CD ⊥AD ，PC =AD =2DC =2CB ，E 为PD 的中点．
（Ⅰ）证明：//CE 平面PAB ；
（Ⅱ）求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
8
2． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PA 中点F ，构造平行四边形BCEF ，可求证；（Ⅱ）由题取取BC ，AD 的中点为M ，N ．，可得AD ⊥平面PBN ，即BC ⊥平面PBN ，过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．可知MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．依此可在Rt △MQH 中，求∠QMH 的正弦值． 试题解析：
（Ⅰ）如图，设PA 中点为F ，连结EF ，FB ．
因为E ，F 分别为PD ，PA 中点，所以AD EF //且AD EF 2
1 ， M F H Q N P
A
B C
D E
又因为AD BC //，AD BC 2
1=，所以BC EF //且BC EF =， 即四边形BCEF 为平行四边形，所以BF CE //，
因此//CE 平面PAB ．
（Ⅱ）分别取BC ，AD 的中点为M ，N ．连结PN 交EF 于点Q ，连结MQ ．
因为E ，F ，N 分别是PD ，PA ，AD 的中点，所以Q 为EF 中点，
在平行四边形BCEF 中，MQ//CE ．
由△PAD 为等腰直角三角形得PN ⊥AD ．
由DC ⊥AD ，N 是AD 的中点得BN ⊥AD ．
所以 AD ⊥平面PBN ，
由BC //AD 得BC ⊥平面PBN ，
那么平面PBC ⊥平面PBN ．
过点Q 作PB 的垂线，垂足为H ，连结MH ．
MH 是MQ 在平面PBC 上的射影，所以∠QMH 是直线CE 与平面PBC 所成的角．
设CD =1．
在△PCD 中，由PC =2，CD =1，PD=2得CE =2，
在△PBN 中，由PN =BN =1，PB =3得QH =4
1， 在Rt △MQH 中，QH=4
1，MQ =2， 所以sin ∠QMH =82， 所以直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值是8
2． 【考点】证明线面平行，求线面角
【名师点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理，属于中档题．证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行．②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面． 本题（1）是就是利用方法①证明的．另外，本题也可利用空间向量求解线面角．
8.【2017江苏，22】 如图, 在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ,且AB =AD =2,AA 1
120BAD ∠=︒.
（1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；
（2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值
.
【答案】（1）17（2
【解析】解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E .
因为AA 1⊥平面ABCD ，
所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .
如图，以1{,,}AE AD AA 为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz .
因为AB =AD =2，AA 1
120BAD ∠=︒.
则11(0,0,0),1,0),(0,2,0),A B D E A C -.
(1) 11(3,1,3),(3,1AB AC =--=， 则111111(1cos ,7||||
A B AC A B AC A B AC ⋅===-. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为
17.
从而3cos ,4||||AE AE AE ⋅===m m m , 设二面角B -A 1D -A 的大小为θ，则3|cos |4θ=.
因为[0,]θ∈π，所以sin 4
θ==.
因此二面角B -A 1D -A . 【考点】空间向量、异面直线所成角及二面角
【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标1卷】平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1,αI 平面ABCD =m ,αI 平面AB B 1A 1=n ,则m 、n 所成角的正弦值为
13 【答案】A
【解析】
试题分析：如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m ,平面11CB D 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D ,所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角.延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm ,同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60︒,
故,m n 选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
2.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF =2FD , 90AFD ∠=,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．
（I ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；
（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．
【答案】（I ）见解析（II
） 【解析】 试题分析：（I ）先证明F A ⊥平面FDC E ,结合F A ⊂平面F ABE ,可得平面F ABE ⊥平面FDC E ．（II ）建立空间坐标系,分别求出平面C B E 的法向量m 及平面C B E 的法向量n ,再利用cos ,n m n m n
m
⋅=求二面角.
又平面CD AB 平面FDC DC E =,故//CD AB ,CD//F E ．
由//F BE A ,可得BE ⊥平面FDC E ,所以C F ∠E 为二面角C F -BE -的平面角,
C F 60∠E =．从而可得(
C -． 所以(C E =
,()0,4,0EB =,(C 3,A =--,()4,0,0AB =-．
设(),,n x y z =是平面C B E 的法向量,则 C 00n n ⎧⋅E =⎪⎨⋅EB =
⎪⎩,即040x y ⎧=
⎪⎨=⎪⎩, 所以可取(3,0,n =． C
B
D E
F
设m 是平面CD AB 的法向量,则C 00
m m ⎧⋅A =⎪⎨⋅AB =⎪⎩, 同理可取()0,3,4m =．则219cos ,19
n m n m n m ⋅==
-
． 故二面角C E -B -A 的余弦值为19
-．
考点：垂直问题的证明及空间向量的应用
【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.
3.【2016高考新课标3理数】如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥地面A B C D ，AD BC ，3AB AD AC ==
=，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．
（I ）证明
MN 平面PAB ；
（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；． 【解析】
试题分析：（Ⅰ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以A 为坐标原点，以,AD AP 所在直线分别为,y z
轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线AN 的方向向量与平面PMN 法向量的夹角来处理AN 与平面PMN 所成角．
（Ⅱ）取BC 的中点E ，连结AE ，由AC AB =得BC AE ⊥，从而AD AE ⊥，且
5)2
(2222=-=-=BC AB BE AB AE . 以A 为坐标原点，AE 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -，
由题意知，)4,0,0(P ，)0,2,0(M ，)0,2,5(C ，)2,1,2
5(N ， (0,2,4)PM =-，)2,1,25(-=PN ，)2,1,2
5(=AN . 设(,,)n x y z =为平面PMN 的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00PN n PM n ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-022
5042z y x z x ，可取(0,2,1)n =， 于是||8
5|cos ,|||||n AN n AN n AN ⋅<>==.
考点：1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．。