质点组力学
(完整版)第1章质点力学
1第1章 质点力学1—1 一质点的运动方程为x = 6t-t 2（SI ），则在t 由0至4s 的时间间隔内，质点的位移大小为 ；质点所走过的路程为 .1-3 一质点沿x 轴运动，其加速度a 与位置坐标x 的关系为a=2+6x 2(SI ），如果质点在原点处的速度为零，试求其在任意位置处的速度。
1-4一质点沿半径R 的圆周运动,运动方程为 θ=3+2t 2（SI ），则t 时刻质点的法向加速度大小为 an；角加速度 β= 。
1—5 某质点的运动方程为x= 3t —5t 3+6（SI),则该质点作 （A)匀加速直线运动,加速度沿x 轴正方向. （B ）匀加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
(C ）变加速直线运动，加速度沿x 轴正方向。
（D ）变加速直线运动，加速度沿x 轴负方向。
［ ］ 1—9 一质点作直线运动，其坐标x 与时间t 的函数曲线如图所示，则该质点在第秒瞬时速度为零；在第 秒至第 秒间速度与加速度同方向。
1—10 一物体作斜抛运动,初速度0v与水平方向夹角为θ， 如图所示，则物体到达最高点处轨道的曲率半径ρ为 .1-11一物体作如图所示的斜抛运动，测得在轨道A 点处速度v的大小为v ，其方向与水平方向夹角成30°。
则物体在A 点的切向加速度a t = ，轨道的曲率半径ρ= 。
6t(s)题1—10图 题1-11图21-12 在相对地面静止的坐标系内，A 、B 二船都以2 m/s 的速率匀速行驶，A 船沿x 轴正向,B 船沿y 轴正向。
今在船上设置与静止坐标系方向相同的坐标系（x 、y 方向单位矢用i 、j表示)，那么在A 船的坐标系中，B 船的速度（以m/s 为单位）为 ：(A)j 2i 2 + （B ）j 2i 2+-(C ）j 2i 2 -- （D ）j 2i 2- [ ]1—13 一飞机相对空气的速度大小为200km/h ，风速为56 km/h ，方向从西向东，地面雷达测得飞机速度大小为192 km/h ，方向是（A)南偏西 16。
大学物理A1期末复习1(质点、质点组力学)
v0
θ
0270一船以速度 v 0 在静水湖中匀速直线航行，
一乘客以初速 v1 在船中竖直向上抛出一石子，
则站在岸上的观察者看石子运动的轨迹是_____. 取抛出点为原点，x轴沿 v 0 方向，y轴沿竖直向上 方向，石子的轨迹方程是_______． v石岸 =v石船 +v 船岸 =v1 v0 斜抛
x1 ln k (t1 t0 ) k t x0
1 x1 t ln k x0
质量为0.25kg的质点，受力 F ti ( SI ) 的作用，式中t为时间。t=0时该质点以 v 2 j ( SI )
的速度通过坐标原点，则该质点任意时刻的位 置矢量=？
F ma ti
F T m1a T m2 g m2a
F m2 g a m1 m2
m2 T ( F m1 g ) m1 m2
F
T
m1 m2
（注意加速度的正方向应一致）
0351一圆锥摆摆长为l、摆锤质量为m，在水平 面上作匀速圆周运动，摆线与铅直线夹角，则 (1) 摆线的张力T＝_______； (2) 摆锤的速率v＝_____． l 2 （分解T） T sin m v / l sin
v kx ,
dv dv dx dv 2 v a k x, dt dx dx dt
F Ma Mk x
2
该质点从x=x0点运动到x=x1处所经历的时间 △t=___________。 x1 t1 dx dx v kx , x kdt , dt x0 t0
M g R g G 2 ，通过求导，得 2 2% R g R
0624分别画出物体A、B、C、D的受力图： (1) 被水平力F压在墙上保持静止的两个木块 A和B； (2) 被水平力F拉着在水平桌面上一起做匀速 运动的木块C和D． (各接触面均粗糙)
第2章 质点组力学
, 可引入外势能
对于第 i 个质点与第 j 个质点间的一对保守内力, 可引入 内势能 。
则质点系总内势能
把第 i 个质点所受非保守外力所做元功记为 把第个 i 质点与第 个 j 质点间的一对非保守内力所做元功 记为 ，则由质点系的动能定理可导出：
上式称为质点系的机械能定理。 定义质点系总势能： 总机械能：
质点间有内力相互作用是构成质点系的条件。
质点系内的质点是在外力与内力的共同作用下运动的； 对质点系内各质点的运动来说, 内力与外力有等同的作用。 质点系内一对对的内力造成了各质点间动量与角动量 的等量转移, 内力对质点系的运动至关重要 质点的动量 和角动量 分别从线运动和角运动的 角度描述质点的运动。质点的动量定理 和角动量 定理 指出, 力是质点动量变化率的度量, 力矩是质 点角动量变化率的度量。
对上式求时间导数可得：
由于 则：
由y 轴方向的动量定理
及y2=常量和
即可求出
用质点系动量定理解决问题可使未知内力不在方程中 出现, 因而使求解得以简化。
§2.3 动量矩定理与动量矩守恒律
一、质点系的角动量 1. 质点系角动量的定义 质点系对O点的总角动量 对O点角动量的矢量和： 定义为质点系内每个质点
式中
为质点系在质心系中对质心的角动量,
为质点系所受外力对质心力矩的矢量和。与惯性系中对固 定点的角动量定理形式相同, 均与内力矩无关。 证明: 由于各质点所受惯性力 量和 对质心力矩的矢 因此惯性力不在
方程中出现, 定理有与惯性系内定理相同的形式。 2. 质点系在质心系中对质心的角动量守恒定律 在某一过程中 则 常矢量 质点系在质心系中对过质心固定方向轴的角动量定理 （略）
证明:
大学力学质点系的功能原理
大学力学质点系的功能原理大学力学中，质点系是指由多个质点组成的系统。
质点系的功能原理可以通过牛顿第二定律和牛顿的引力定律来阐述。
首先，根据牛顿第二定律，当作用在质点上的合外力不为零时，质点会产生加速度。
这表明质点的运动状态与其所受的外力密切相关。
在质点系中，每个质点都受到诸多作用力，这些作用力可能来自于其他质点的引力、弹簧的弹性力、接触力等。
因此，质点系中每个质点的加速度都与其所受的合外力有关。
其次，对于质点系中的每个质点，根据牛顿的引力定律，其与其他质点之间存在着引力。
牛顿的引力定律表明，两个质点之间的引力与它们的质量和距离有关。
具体而言，两个质点之间的引力与质点质量的乘积成正比，与质点之间的距离的平方成反比。
质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用，这些引力作用将影响质点系的整体运动状态。
根据以上原理，我们可以得出质点系的功能原理：1. 动力学原理：质点系的运动状态受到作用在每个质点上的合外力的影响。
根据牛顿第二定律，合外力与质点的加速度成正比，质点系中的每个质点都会受到作用力的影响而产生加速度。
因此，通过分析质点系中每个质点所受的外力，可以预测整个质点系的运动状态。
2. 引力相互作用原理：质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用。
根据牛顿的引力定律，引力与质量的乘积和距离的平方成正比和反比。
因此，质点系中的每个质点都会受到其他质点的引力作用，并产生相应的加速度。
这些引力作用将影响质点系的整体运动状态。
3. 系统的平衡和稳定性分析：质点系中的平衡状态和稳定状态是分析质点系功能的重要内容。
平衡状态是指当质点系内的每个质点都不受合外力的作用时，质点系保持静止或作匀速直线运动的状态。
稳定状态是指当质点系受到微小扰动后能够回到原来的平衡状态。
通过对质点系的平衡和稳定性进行分析，可以了解质点系的功能特性和响应能力。
总的来说，质点系的功能原理可以通过动力学原理和引力相互作用原理进行解释。
质点系中的每个质点受到外力和引力的影响，其运动状态与所受的作用力密切相关。
理论力学第二章 质点组力学(2)
mr1
k2m
M m2
1 r22
r1 r1
从上式看出，力仍然与距离平方成反比， 故行星绕质心作圆锥曲线运动。太阳也如此。
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第二章 质点组力学（2）
12
行星相对于太阳的相对运动
由方程
M
d 2 rS dt 2
GMm r r2 r
m
d 2 rP dt 2
GMm r2
r r
m1
m2
m2
v2
u2
u1
u2
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
且定义e: u1 u2 ev1 v2
式中e称为恢复系数。
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第二章 质点组力学（2）
23
所以,考虑弹性碰撞问题,有以下两个方程
动量守恒 m2v1 m2v2 m1u1 m2u2
mv1 mv2 0
机械能守恒
r
（1） m1 v1
v2 m2
km1m2 a
1 2
m1v12
1 2
m2v22
km1m2 a/2
联立求解：
（2）
2k
2k
v1 m2
,
a m1 m2
v2 m1
a m1 m2
（3）
另：如果从动能定理出发
d
1 2
m1v12
1 2
理论力学
教材：周衍柏《理论力学教程》 编
北京交通大学理学院 教师：王波波
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第二章 质点组力学（2）
1
第二章 质点组力学
质点 质点组
质点质点组
质点是一个理想化的物理模型，它忽略了物体的形状、大小、质量等物理属性，只考虑物体的质量和位置信息。
质点组则是由多个质点组成的系统，这些质点之间可能存在相互作用力，如万有引力、电磁力等。
质点组动量定理表述了质点组动量的变化率等于作用于质点组的所有外力的矢量和。
这个定理可以用来描述质点组运动状态的变化规律，以及预测质点组在受到外部作用力时的运动情况。
此外，质心也是一个重要的概念，它是质点组的总质量的几何中心。
在质心参考系内，质心相对于质心的位置矢量为零，因此可以方便地计算和描述质点组的运动情况。
总之，质点、质点组和质心是力学中重要的概念和工具，可以用来描述和解释复杂的物理现象。
《理论力学》第九章质点动力学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω
理论力学讲稿 绪论 质点力学
ar
=
••
•
r－r
2
径向加速度
aθ
=
r
••
••
+ 2 r
=
1 d ( r2• ) r dt
横向加速度
径向加速度不仅是径向速度的大小对时间的导数，而 横向加速度也不仅是横向速度的大小对时间的导数。
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理论力学讲稿
[例题1]： 质点M沿着垂直于极轴的直线作匀速直线运 动，若用极坐标系描述M的运动，则 [A]
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理论力学讲稿
y
dj
j
j/
i/
di
Qi
j
r2
i
P
dθ
r1
θ
o
x
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30
理论力学讲稿
当质点沿曲线C由P点运动到Q点时，位矢由r1 变
为 r2，而单位矢量
也i 由 变i 为
，
i/
和i
的i/ 量值都等
于1，但方向不同。
、
i i/
和
di
组成一等腰三角形。
dθ→0时，
1956年以来，图平关于弹性电介质的系统研究，为电磁 连续介质理论的发展打下了基础。
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5
理论力学讲稿
1957年托马期关于奇异面的研究是另一重大进展。
1957年诺尔首先提出纯力学物质理论的公理化问题。 次年，他发表了连续介质的力学行为的数学理论，这便 是简单物质的公理体系的雏型，后来逐渐发展成为简单 物质谱系。
绪论 第一章 质点力学 第二章 质点组力学 第三章 刚体力学 第四章 转动参考系 第五章 分析力学
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质点系的力学系统分析
质点系的力学系统分析力学是物理学的一个重要分支，研究物体运动的原因和规律。
而质点系则是力学中的一个基本概念，指的是由多个质点组成的系统。
在质点系的力学系统分析中，我们将探讨质点系的运动规律、相互作用以及它们对系统整体运动的影响。
首先，让我们来了解一下质点系的基本概念。
质点是物理学中一个理想化的概念，将物体看作一个质点，忽略其形状和大小，只考虑其质量和位置。
质点系则是由多个质点组成的系统，每个质点都有自己的质量和位置。
质点系可以是任意数量的，可以是同种质点组成的，也可以是不同种质点组成的。
在质点系的力学系统分析中，我们需要考虑质点之间的相互作用。
相互作用可以是引力、电磁力、弹力等等。
这些相互作用力会影响质点的运动状态，使质点系整体呈现出各种不同的运动形式。
例如，当质点系中的质点之间存在引力相互作用时，质点系可能会形成行星系统，质点围绕着质心运动；而当质点系中的质点之间存在弹力相互作用时，质点系可能会出现弹性振动。
质点系的运动规律是力学系统分析的核心内容之一。
根据牛顿第二定律，质点的运动状态取决于施加在其上的合力。
对于质点系来说，我们需要考虑所有质点之间的相互作用力，将它们进行合力分析。
通过合力分析，我们可以得到质点系的总合力，从而确定质点系的整体运动规律。
例如，当质点系中的质点之间的相互作用力平衡时，质点系将保持静止或匀速直线运动；而当质点系中的质点之间的相互作用力不平衡时，质点系将出现加速度，产生各种复杂的运动形式。
除了运动规律，质点系的力学系统分析还需要考虑质点之间的相对位置和相对运动。
质点系中的质点之间可能存在着不同的相对位置关系，如静止、相对运动、相对静止等。
这些相对位置关系会影响质点系的整体运动形式。
例如，当质点系中的质点之间相对静止时，质点系可能呈现出稳定的结构；而当质点系中的质点之间相对运动时，质点系可能会出现碰撞、散射等现象。
在质点系的力学系统分析中，我们还需要考虑能量守恒定律。
能量守恒定律是自然界中的一个重要定律，指的是在一个封闭系统中，能量总量保持不变。
第二章 质点组力学 2.1节到2.4节
dp 0 dt
p mvC 恒矢量
n
vC 恒矢量
(e) 分量守恒律: 若 Fi 在 x 方向为 0, 则该方向 p x C，即
i 1
m v 守恒
i 1 i ix
n
(例子)
[例题]一门大炮在铁轨上，炮弹质量为 m ，炮身质量 M 。炮身与地面成 角度 a ，炮弹对炮身速度为 V。求炮弹相对地的速度及炮车反冲速度U。
则两人对滑轮中心的力矩为：
M rm' g rmg rg (m'm)
对滑轮中心的角动量为：
r
J rm' v' rmv r (mv m' v' ) 于是 由 dJ / dt M r(ma m' a' ) rg (m'm)
2 at 根据位移与加速度的关系(初始速度为0) s 1 2
[解] 将炮车与子弹视为质点组，且 x 方向无外力,
因此 x 方向上质点组总动量守恒。
m U? M
v? V
MU mvx 初始动量 0
V U v
因此
V 与 v 的关系：（用绝对速度，不能用相对速度）
x
U
Vx U v x Vy 0 v y V cos a U v x
Fi (e)
e: external (外力) i: internal (内力)
定义 质点组总动量为各个质点动量之和：
质点组总动量： p mi vi mvC
i 1 n
(各质点动量之矢量和)
dp n ( e ) Fi 质点组动量定理: dt i 1
n (e) dp Fi dt i 1
理论力学基础知识
《理论力学教程》基础知识第一章 质点力学1. 在求解平面曲线运动问题时，可采用平面极坐标系，常将速度矢量分解为径向速度和横向速度，其表达式分别为：rv r =；θθ r v =；将加速度矢量分解为径向加速度和横向加速度，其表达式分别为2θ r r a r -=； θθθ r r a 2+=。
第2题图2. 求解线约束问题，通常用内禀方程，它的优点是运动规律和约束反作用力可以分开解算，这套方程可表示为，切向：τF dtdv m =；法向：n n R F v m +=ρ2；副法向：b b R F +=0。
3. 试写出直角坐标系表示的质点运动微分方程式x F x m =、y F y m = 、z F z m = 。
4. 质点在有心力作用下，只能在垂直于动量矩J 的平面内运动，它的两个动力学特征是：（1）对力心的动量矩守恒；（2）机械能守恒。
5. 牛顿运动定律能成立的参考系，叫做惯性系；牛顿运动定律不能成立的参考系，叫做非惯性系，为了使得牛顿运动定律在此参考系中仍然成立，则需加上适当的惯性力。
6. 在平面自然坐标系中，切向加速度的表达式为dtdv a =τ，它是由于速度大小改变产生的；法向加速度的表达式为ρ2v a n =，它是由于速度方向改变产生的。
7. 质心运动定理反映了质点组运动的总趋势，而质心加速度完全取决于作用在质点组上的外力，而内力不能使质心产生加速度。
第8题图8. 一质量为m 的小环穿在光滑抛物线状的钢丝上并由A 点向顶点O 运动，其建立起的运动微分方程为：θsin mg dt dv m =；θρcos 2mg R v m -=。
注：此题答案不唯一。
第9题图9．一物体作斜抛运动，受空气阻力为v mk R -=，若采用直角坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：x x mkv dtdv m -=；y y mkv mg dt dv m --=；若采用自然坐标系建立其在任意时刻的运动微分方程为：θsin mg mkv dtdv m--=； θρc o s 2mg v m =。
质点组的力学量和内力的性质
质点组的合力：质点组中各质点所受力的矢量和。
n
F Fi i 1
n
n
F
F (e) i
F (i) i
i 1
i 1
质点组的力学量和内力的性质
6. 合力矩
质点组的合力矩：质点组中
z
F
B
各质点所受力对固定点的力 矩的矢量和，称为质点组的
A(x,y,z)
O
r
y
合力矩。
x
n
n
n
n
M
Mi
ri F i M
质点组的力学量和内力的性质
3 . 角动量
z
质点的角动量(动量矩)：质点的位矢与质点动 量的矢积
质点的角动量是矢量，它的单位是 kg m m/s 。
质点组的角动量（质点组动量矩）:质点系
O
中各质点角动量的矢量和。
x
B
mv
A(x,y,z)
r
y
质点组的力学量和内力的性质 4 . 动能
质点组的动能：质点组中各质点动能的和，称为质点组的动能。
动能的单位是焦耳（J）。
质点组的力学量和内力的性质
5.合 力
质点组的内力：质点组中各质点之间的相互作用力，称为内力，
用 Fi(i)表示。
质点组的外力：质点组以外的物体对质点组内质点的作用
力，称为外力，用
F(e) i
表示。
(i)
(e)
F i Fi Fi
(i 1, 2, , n)
质点组的力学量和内力的性质
nn
F (i) i1 j1 fij fij0表示第 i 个质点对第 j 个质点的作用力
j i
由牛顿第三定律可知，对任何一对质点间的相互作用力:
理论力学(周衍柏)第二章质点组力学.
d n i i zi y mi yi z dt i n1 d i xi z i mi zi x dt i 1 d n i yi x i mi xi y dt i 1
y F z F x F
n i n1 i 1 n i i 1 i
i 1 即:J x mi yi z i zi yi =常数 i 1 n n
⑶对质心的动量矩定理
(i ) (e) d 2 ri ' mi F F m r i i i c dt 2 式中 mi rc 为惯性力。
2 '
因ri 是pi相对于质心c的位矢，故 mi ri m rc 0
' ' ' i 1
n
' '2 1 1 n 1 1 n 2 T= m rc mi ri 或 T= mvc mi vi 1 n ' 2 2 2 i 1 2 2 i 1 mi ri 为质点组中各质点对质心系运动的动能。 2
' dJ M dt
'
⑷质心系中的动量矩守恒定律
若 则
M 0 J 常矢量
'
'
2.4动能定理与机械能守恒定律
⑴质点组的动能定理
由n个质点所组成的质点组，其中任选一个质量mi为，位矢为 ri (对定点 o)的质点pi, 作用在该质点上所有内力和外力的矢量和,分别为 Fi (i ) , Fi (e) ,则 质点组中任一质点动能的微分等于作用在该质点上外力及内力所做元功之 和,即
n n ' ' ' m r dr r m dr r d m r i c i c i i c i i 0 i 1 i 1 i 1 n
第2章 质点系力学
现在来补充说明
∑F
i =1
n
(i ) i
= 0 这一条件。
①. 首先，我们这里不能根据牛顿第三定律来提供这一条件。因为如果承认牛顿第三定律， 则当然可以由（A）式得到（B）式，但是这就违背了我们在这里进行注解的初衷：我 们原本就是想撇开牛顿定律去得出（B） ；其次，第一章中已指出，牛顿第三定律实际 是一个关于力的性质的很强的假设，不是一个物理上普遍的定律,物理学中有些力并不 符合这个定律 （例如洛仑兹力） ； 另外， 第一章中我们还指出， 就现今物理学的观点看， 牛顿第三定律所说的“相互作用是同时的”值得怀疑，它隐含着力的超距作用机制在内， 这是第三定律用到近代物理中遇到的又一个困难。实际上力并不能即时跨越空间发生 作用，而是以不大于光速的有限速率传递的。 ②. 迄今为止， 人们发现对于一个孤立的系统 （即没有受到外力作用的系统） ， 动量都守恒。 也就是说，一系统即使不服从牛顿定律，但只要是孤立的，动量守恒定律仍成立。所 以，动量守恒定律可以不依赖于牛顿第三定律而独立存在，而且是比牛顿定律更为基 本的（或说更为普遍的）物理规律。质点系的动量守恒律可以被表为：如果作用于质 点系的总外力为零， 则质点系的总动量不变， 而不论内力是多么复杂地相互作用着 （注 意这里动量守恒是针对整个质点系来说的，至于组内各个质点的动量则因各自所受到 的内力和外力之和未必也是零而不守恒） 。 这样就可以由动量守恒律得出上述内力之和 为0即 恒律
∑F
i =1
n
(i ) i
= 0 条件并由（A）推出（B）时已
看到，除了动量守恒律外还应用了单个质点的动量定理。实际上不论是正文还是刚才 所注的推导都不是由一般到特殊的推理，推导过程中都临时插入了除前提以外的条件 （如牛顿第三定律或动量守恒律等） ， 因此严格意义上只是“引出”而不是“推出” 。 反过来， 牛顿第二定律及单个质点的动量定理却确实能作为质点系动量定理的特例。可见，相 比起来，质点系动量定理最弱、最基本。引出式的“推出”只是出于教学上的考虑，动 量定理作为更普遍的公理其实也不需要去推出。
理论力学第二章 质点组力学-2)
m222
0
0
m1gl
cos
(4)
联立方程(1)(2)(3)(4)解得
1x
2m22 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
1y
2 m1 m2 gl sin
m1 m2 sin2
2
u
2m12 gl sin
m1 m2 m1tg 2 m2 sec2
ax
m m
ax
g
g
二人均以匀加速向上爬
t
2
t2
2s ax 2s ax
t t
t
ax
2ms ms m m g
m m sg ms ms
注：也可用对通 过滑轮中心水平 轴的动量矩定理
质量不等的两人能同时到达顶端的前提条件
ax 0, ax 0
即
ms ms, 且 m m 或ms ms,且 m m
i 1
i 1
i 1
i 1
3.在质心系中分析以上四项
s´系的原点固定在质点组的质心上，则：
第一项：
rvo rvc ,vo vc , rvc 0
n (rvo m ivo ) n (rvc m ivc ) rvc n m ivc 对o点的动量矩
求和后，
i 1, n
叙述:质点组动能的微分等于质点组所受的外力与内 力的元功之和。
特点：①内力所作的功不能互相抵消。
②质点组不受外力或合外力为零，动能不一定守恒。
三、质点组对质心的动能定理 质点组内力做功
引入质心参照系，质点组中第i个质点的动能
d
(1 2
mii2
)
v F (e)
i
drvi
v F (i)
质点组牛顿第二定律专题
在量子力学中，质点组牛顿第二定律可以表示为算符形式，如动量算符和能量算符。
质点组牛顿第二定律在量子力学中的应用
在研究原子、分子和粒子的运动时，需要考虑量子效应，如电子云和隧道效应。
质点组牛顿第二定律在其他领域的应用
质点组牛顿第二定律在生物学中的应用
01
在研究生物体的运动和行为时，可以利用质点组牛顿第二定律
质点组牛顿第二定律专
• 质点组牛顿第二定律概述 • 质点组牛顿第二定律的应用 • 质点组牛顿第二定律的推导与证明 • 质点组牛顿第二定律的扩展与推广 • 质点组牛顿第二定律的实验验证
01
质点组牛顿第二定律概述
定义与公式
定义
质点组牛顿第二定律描述了质点系中 各质点间的相互作用力和加速度之间 的关系。
实例二：弹簧连接的质点系统
总结词
质点组牛顿第二定律可以用于分析弹簧连接的质点系统中的 力和运动状态。
详细描述
在弹簧连接的质点系统中，质点之间的相互作用力和弹簧的 弹性力可以通过质点组牛顿第二定律进行描述。通过分析系 统的动量和能量守恒，可以得出系统的稳定性和运动规律。
பைடு நூலகம்
实例三：非惯性参考系下的质点组
来描述生物体的运动规律和力学特性。
质点组牛顿第二定律在地球科学中的应用
02
在研究地球的自转、板块运动和气候变化时，可以利用质点组
牛顿第二定律来描述地球的运动规律和力学特性。
质点组牛顿第二定律在经济学中的应用
03
在研究经济系统的动态变化时，可以利用质点组牛顿第二定律
来描述经济系统的运动规律和力学特性。
总结词
质点组牛顿第二定律可以用于分析非惯 性参考系下质点组的运动状态和相互作 用力。
理论力学第二章 质点组力学习题(带答案解析)
《理论力学》第二章质点组力学一、单选题（共14题）1、对功的概念有以下儿种说法:()①保守力作正功时,系统内相应的势能增加②质点运动经一闭合路径,保守力对质点作的功为零.③作用力和反作用力大小相等、方向相反,两者所作功的代数和必为零.A、①、②是正确的B、②、③是正确的C、只有②是正确的D、只有③是正确的正确答案：C解析：①错(保守力作正功时,系统相应的势能减少)。
③错.(作用力和反作用力虽然大小相等、方向相反,但两者所作功的代数和不一定为零;而等于力与两者相对位移的乘积。
)2、一小球在竖直平面内作匀速圆周运动,则小球在运动过程中:()A、机械能不守恒、动量不守恒、角动量守恒;B、机械能守恒、动量不守恒、角动量守恒;C、机械能守恒、动量守恒、角动量不守恒;D、机械能守恒、动量守恒、角动量守恒。
正确答案：A解析：小球在竖直平面内作匀速圆周运动,其动能不变,势能改变,所以机械能不守恒。
小球在运动过程中,速度方向在改变,所以动量不守恒。
由于小球作匀速圆周运动,它所受的合力指向圆心,力矩为零,所以角动量守恒。
3、甲、乙、丙三物体的质量之比是1:2:3,若它们的动能相等,并且作用于每一物体上的制动力都相同,则它们制动距离之比是:()A、1:2:3B、1:4:9C、1:1:1D、3:2:1正确答案：C解析：由动能定理可知三个制动力对物体所作的功相等;在这三个相同的制动力作用下,物体的制动距离是相同的.4、如图的系统,物体A,B置于光滑的桌面上,物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,首先用外力沿水平方向相向推压A和B,使弹簧压缩,后拆除外力,则A和B弹开过程中,对A、B、C、D和弹簧组成的系统()A、动量守恒,机械能守恒;B、动量不守恒,机械能守恒;C、动量不守恒,机械能不守恒;D、动量守恒,机械能不一定守恒.正确答案：D解析：桌面光滑,A、B、C、D和弹簧组成的系统不受外力,动量守恒;在A和B弹开过程中,物体A和C,B和D之间摩擦因数均不为零,一定存在摩擦力,如果A、C或B、D之间没发生相对位移,摩擦力不做功,则机械能守恒,若发生了相对位移,摩擦力做负功,机械能不守恒。
质点组力学
T Ti
2016/8/31 长春大学应用物理系 2
根据质点系的划分，作用于质点的力可分为内力和外力 内力：质点组内质点之间相互作用的力 该力在质点组内始终是成对出现的，且满足牛顿第三定律，对 于整个质点系而言，其内力的矢量和为零。即：
(i ) n n F f ij 0
n
2016/8/31 长春大学应用物理系
内力矩为 17 零？？
为什么内力矩为零？？
r1 f12 r2 f 21 (r2 r1 ) f 21 r12 f 21 r12 f12 0
n
r1
1
f12
o
r12
r2
dpy
d n n e mi viy Fiy dt dt i 1 i 1
dpz d n n e mi viz Fiz dt dt i 1 i 1
对微分式积分,得动量定理的积分表达式为
质点组的动量变化，只 与外力有关，（即外力 才能改变质点组的动 量），而与内力无关， 内力只能改变质点系内 各质点的动量。
t2 p2 p1 t1 Fdt
冲量定理
2016/8/31
Fdt
冲量元
质点组动量的改变等于合外力对质点组的冲量
长春大学应用物理系 11
二、质心运动定理
2 n n e d ri mi Fi 2 dt i 1 i 1
d mi ri
2 i 1
d mi v i
i 1
n
动量定理 微分形式
dt
F
i 1
n
(e) i
说明：质点组动量对时间的微分等于作用于此质点组外力的矢 量和。
2.1 质点组
2.1 质点组
质点组的概念 这里研究的质点组是由许多(有限或无限)相互联 系着的质点所组成的力学体系。 质点数目：n ≥ 2 质点间存在相互作用, 且这种相互作用与质点间 的相互运动状态有关。
对于n≥3的情况，理论上不能严格求解每个质点 的运动学方程。
对于质点组，我们一般只对其运动的整体性质 感兴趣。
rC
i dm i ri
dm r
i 1 n
i i
n
dm
i 1
i
其中 dm (r )dV ， 是质量密度
6
2.1.2 质心
例题：习题2.1
求均匀扇形薄片的质心，此扇形的半径为a, 所对的 4a 圆心角为 2 . 并证半圆片的质心离圆心的距离为 3 解：质心必在图示x轴上。 取图示小质元dm，其面积为
d rdr
0
0
a
x
对半圆片，取
2
可得
4a xC 3
8
2.1 质点组
9
ij ij
O (3) 所有内力的矢量和为零： 注意：不能称为合内力，因为无共同作用点
4
2.1.2 质心
质心的位矢/定义 选定参考点O后，质心C的位矢为
在直角坐标系中
,
,
5
2.1.2 质心
连续体质心位矢的积分计算 将原连续体划分为n 个小块，各小块中的 所有质点位矢近似相 等。这样可以把原连 续体看成是由n个质 点构成的质点组。 n O
dS rdrd
x
设此扇形薄片的面质量 密度 ，则 dm dS rdrd 小质元dm的x坐标为 x r cos
x轴同时也是极轴
7
第六章 刚体质点组力学(1)2012
⎛1 0 0 ⎞ ⎟ R=⎜ ⎜0 1 0 ⎟ ⎜ 0 0 −1⎟ ⎝ ⎠
记 Rr 为 r′ ，即 r′ = Rr 。由于
r = x1e1 + x2e 2 + x3e 3 = ∑ xi ei
i =1
3
由 R 的线性性，得
∑ xi′ei = r′ = Rr = ∑ x j Re j = ∑ x j ∑ Rijei
பைடு நூலகம்
′ , x′ ′ ϕ ( x1 , x2 , x3 ) = ϕ ′( x1 2 , x3 )
成立，则称 ϕ 是标量。 注意：当坐标变换之后，函数形式可能发生了改变（因此，记为 ϕ ′ ） ，但只要 ( x1 , x2 , x3 ) 和
′ , x′ ′ ( x1 2 , x3 ) 表示同一个点，则它们的值就相等。
6．1．2 正交变换（数学 II）
刚体有两种基本运动的运动形式，一是平动（translation） ，一是转动（rotation） 。 所谓平动是指刚体上任意两点的联线在整个运动过程中始终保持其原来的方向不变，或 者说，任意两点的联线始终与其初始位置平行的运动。
P′
P
Q′ Q
刚体的平动
刚体的转动则是指刚体上有两个点（实际上这两点连线上所有的点）始终保持不动的运 动。这两个点构成的直线称为转动轴。此时，刚体上所有各点都绕转动轴作圆周运动。
det | RR T |= det | R | ⋅ det | R T |= (det | R |) 2 = det | I |= 1
所以
det | R |= ±1
当 det | R |= +1 时， 对应的正交变换称为正当转动， 它表示空间内的旋转变换； 而当 det | R |= −1 时，正交变换为非正当转动，表示空间内的反演变换。 考察正交矩阵
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质点系
mi
∑m r
i =1 n
n
r ri
c质心
6
i i
∑m
i =1
i
o
r rc
rc = OC =
∑m r
i =1 n
n
i i
∑m
i =1
i
∑ mi xi xC = ∑ mi ∑ mi yi 分量式： 分量式： yC = ∑ mi 少数几个质点 zC = ∑ mi zi ∑ mi
2. 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。 靠码头的小船会因人上岸而离岸后退，为防止，应在岸上将船栓住。
13
理论力学
质点组力学
均质曲柄AB长为 质量为m 长为r, 例2-5 均质曲柄 长为 ,质量为 1,假设受力偶作用以不 转动， 变的角速度ω转动，并带动滑槽连杆以及与它固连的活塞D， 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为 如图所示。滑槽、连杆、活塞总质量为m2,质心在点C。在 活塞上作用一恒力F。不计摩擦及滑块 的质量 的质量。 活塞上作用一恒力 。不计摩擦及滑块B的质量。 求：作用在曲柄轴A处的最 作用在曲柄轴 处的最 大水平约束力Fx。
dp d = ∑( mi vi ) = ∑ Fi (e ) 或 dp = ∑ Fi (e ) dt 16 即质点组动量定理： 即质点组动量定理： dt dt
理论力学
即得质点组动量定理： 即得质点组动量定理：
质点组力学
dp d = dt dt
∑mv
i =1 i
n i =1
n
n
i
=
∑
=
=
n
i =1
n
y A l l
ϕ
B
x
O
消去t得轨迹方程
10
理论力学
（3） 质心运动定理
rc = OC =
质点组力学
∑m r
i =1 n n i i
由质心的定义： 由质心的定义： 两次求导： 两次求导： 或
∑m
i =1
得
i
mrC = ∑ mi ri
dv C d mvC = ∑ mi vi ⇒ m = (∑ mi vi ) ∑ Fi (e ) = dt dt d 2 rC 质心运动定 m 2 = ∑ Fi (e ) 理 dt
(1)牛顿第三定律： f ij + f ji = 0 F 牛顿第三定律： 牛顿第三定律 质点组中各内力的矢量和恒为零。 质点组中各内力的矢量和恒为零。 (2)牛顿第二定律 牛顿第二定律. 牛顿第二定律 孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。 ）：不受任何外力的质点组 4. 孤立系（闭合系）：不受任何外力的质点组。
该式表明质心的运动如同将外力、质量都集中于质心的质点的运动。 该式表明质心的运动如同将外力、质量都集中于质心的质点的运动。 质心的运动如同将外力 质心是一个特殊的几何点， 注：(1)质心是一个特殊的几何点，但它的运动状态可以代表质点组的 质心是一个特殊的几何点 整体特征； 整体特征； (2)内力不影响质心的运动状态，但能影响个别质点的状态； 内力不影响质心的运动状态，但能影响个别质点的状态； 内力不影响质心的运动状态 (3)给定外力，各质点运动状态尽管不知道,但质心的运动状态可以完全 给定外力，各质点运动状态尽管不知道 但质心的运动状态可以完全 给定外力 确定，质心的运动状态只取决外力。 确定，质心的运动状态只取决外力。
dm = λdl
xc
不均匀的连续体
yc
zc
dm = ρdV
∫ xdm = ∫ dm ∫ ydm = ∫ dm ∫ zdm = ∫ dm
dm = σds
为常数时， 几何中心； 当密度 为常数时，质心 = 几何中心； 为常矢量时， 重心。 当重力加速度 g 为常矢量时，质心 = 重心。
7
理论力学
4. 质心位置的确定
x
人走到船尾时，船移动的距离为 ， 人走到船尾时，船移动的距离为s，则质 心的坐标为
x
xc =
m 2 (a − l + s ) + m1 (b + s ) m1 + m 2
m a + m1 b xco = 2 m1 + m 2
上式代入
xc =
m 2 ( a − l + s ) + m1 ( b + s ) m1 + m 2
4
理论力学
§2.1 质点组
一. 质点组的内力和外力
质点组力学
1．质点组(质点系)：许多相互联系着的质点组成的系统。 质点组(质点系) 许多相互联系着的质点组成的系统。 2．内力与外力 内力： 质点组内质点间的相互作用力。 内力： 质点组内质点间的相互作用力。 外力： 质点组外物体对组内任一质点的作用力。 外力： 质点组外物体对组内任一质点的作用力。 3．内力满足的运动定律： ．内力满足的运动定律：
y a m2g b m1g s O m2g m1g l x x
xc = xco
可以求得小 m 2
1. 质点系的内力 （ 鞋底与船间摩擦力 ） 虽 质点系的内力（鞋底与船间摩擦力） 不能改变系统质心的运动， 不能改变系统质心的运动 ， 但能改变系统 中各部分的（人与船）的运动； 中各部分的（人与船）的运动；
i
质点系
mi
r ri
c质心
o
r rc
得到n个方程： 得到 个方程： 个方程 个方程相加： 将n个方程相加： 个方程相加
d 2 ri mi 2 = Fi(i) + Fi(e) dt
(i = 1.2.L.n)
d 2 ri dri d d (e ) (i ) ∑ mi 2 = ∑ Fi + ∑ Fi ⇒ ∑(mi ) = ∑(mi vi ) = ∑ Fi (e ) dt dt dt dt
y=
2 R cos θ 3
α
扇形总面积； 扇形总面积； A = ∫
1 2 R dθ = R 2α −α 2
由坐标公式： yC = 由坐标公式：
∫ ydA
A
2 1 R cos θ R 2 dθ 2 sin α ∫−α 3 2 = R = 2 3 α Rα
α
如以α=π/2代入，即得半园形的重心： 代入，即得半园形的重心： 如以 代入
11
如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾， 例题 3-4 如图所示，在静止的小船上，一人自船头走到船尾，设人 质量为m 船的质量为m 船长l，水的阻力不计。求船的位移。 质量为 2，船的质量为 1 ，船长 ，水的阻力不计。求船的位移。
解：取人与船组成质点系。 取人与船组成质点系。 因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零， 因不计水的阻力，故外力在水平轴上的投影之和等于零，即∑Fix ≡ 0。 。 则有
质点组力学
1）利用对称性(对称面、对称轴、对称中心等) ）利用对称性(对称面、对称轴、对称中心等) ——质心必在对称面、对称轴、对称中心上。 ——质心必在对称面、对称轴、对称中心上。 质心必在对称面 如：正园锥体（面）、正棱柱（面）— 正园锥体（ ）、正棱柱（ 正棱柱 轴线上; 轴线上;圆
几何中心上;正方形、 球（面）、椭球体 （面） — 几何中心上;正方形、 ）、椭球体 长方形、平形四边形—对角线交点上。 长方形、平形四边形—对角线交点上。 2）利用坐标公式计算或积分 ）
& & xc = xco xc = xco
y a m2g b m1g s O m2g m1g l
12
又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。 又因系统初瞬时静止，因此质心在水平轴上保持不变。即有
取坐标轴如图所示。在人走动前， 取坐标轴如图所示。在人走动前，系统的 质心坐标为
xco =
m 2 a + m1 b m1 + m 2
14
d 2 rC d 2 xC (e ) m 2 = ∑ Fi ⇒ m 2 = ∑ Fix(e ) dt dt
解：如图所示
应用质心运动定理， 应用质心运动定理，解得
显然， 显然，最大水平约束力为
15
§2.2 动量定理与动量守恒律
一.质点组的动量定理
参考系： 静止， 参考系： 静止， 质点组： 质点组： m1…mi…mn； r 1…r i…r n 内力： 内力： F1(i ) L Fi (i ) L Fn(i ) 外力： F (e) L F (e) L F (e) 外力： 1 i n
Fi
(e )
dp x d = dt dt
分量形式
∑mv
i
ix
∑F
第二章 质点组力学
1
理论力学
质点组力学
质点组是物理学中又一个理想模型， 质点组是物理学中又一个理想模型，由于物体总 是可以看作是质点的组合， 是可以看作是质点的组合，所以它比质点模型更接 实际，但它要考虑质点间的相互作用， 近 实际，但它要考虑质点间的相互作用，牵涉多个 微分方程的联立求解，很复杂。 微分方程的联立求解，很复杂。因此要研究质点组 的一些整体性质， 运动时 的一些整体性质，在这里运动定理和守恒定 律比质点力学更能发挥作用。 律比质点力学更能发挥作用。 我们先引进质心概念，在建立动量、 我们先引进质心概念，在建立动量、角动量和 能量定理后，研究两体运动，最后给出具有统计性 能量定理后，研究两体运动， 质的维里定理。 （不讨论） 质的维里定理。←（不讨论） 2
8
均匀扇形薄片,半径为R, 圆心角为2 例2-1 均匀扇形薄片,半径为R, 圆心角为2α,求质心。
解：取中心角的平分线，建立oxy 轴。 取中心角的平分线，建立 由对称关系,质心必在对称轴上 即 由对称关系 质心必在对称轴上,即 xc=0. 质心必在对称轴上 任取一微扇形，如图中阴影面积所示， 任取一微扇形，如图中阴影面积所示，其可 近似看作一等腰三角形，其质心 应距坐标 近似看作一等腰三角形，其质心P应距坐标 原点O的距离为 原点 的距离为OP=2R/3 ，则有 的距离为