湘教版高中数学必修三课件6.2.3.2平面与平面的垂直必修3

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湘教版高中数学必修3课件 6.2.2 平行关系(二)课件1

又 CF∥B1H，∴EN∥CF，
又 EN⊄平面 A1FC，CF⊂平面 A1FC，CF⊂平面 A1FC
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
∴EN∥平面 A1FC，同理可证 MN∥平面 A1FC. 又 EN∩MN＝N，∴平面 EMN∥平面 A1FC.
方法点评对于开放性问题，要仔细观察题目本身的特点，结合相应的定理，大胆地进行猜想，然后给予证明．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【训练 2】如图，已知 α∥β，GH、GD、HE 分别交 α、β 于 A、B、C、D、E、F，且 GA＝9，AB＝12，BH＝16，S△AEC＝72，求 S△BFD.
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课堂讲练互动
活页规范训练
解 ∵α∩平面 GAC＝AC，β∩平面 GBD＝BD，且 α∥β，
证明 (1)如图所示，连接 SB. ∵E、G 分别是 BC、SC 的中点， ∴EG∥SB. 又∵SB⊂平面 BDD1B1，EG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 EG∥平面 BDD1B1.
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课堂讲练互动
活页规范训练
(2)如图所示，连接 SD. ∵F、G 分别是 DC、SC 的中点，∴FG∥SD. 又∵SD⊂平面 BDD1B1，FG⊄平面 BDD1B1， ∴直线 FG∥平面 BDD1B1. 又 EG∥平面 BDD1B1，且直线 EG⊂平面 EFG，直线 FG⊂平面 EFG，直线 EG∩直线 FG＝G. ∴平面 EFG∥平面 BDD1B1.
纠错心得本题是由点 A 的位置不确定引起的分类讨论，然后由线面平行转化为线线平行，根据相似求 EG.
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课堂讲练互动
明面面平行时，可利用面面平行判定定理的结论：如果一个平面

湘教版高中数学必修三课件6.2.2.2平面与平面的平行必修3.pptx

自学导引
面面平行的判定定理、性质定理
定理表示
面面平行的判定定理
面面Байду номын сангаас行的性质定理
一个平面内的两条相交直如果两个平行平面同时和第三
文字叙述线与另一个平面平行，则这个平面相交，那么它们的
两个平面平行
交线平行
符号表示
a⊂α b⊂α a∩b＝P
a∥β b∥β
⇒α∥β
α∥β α∩γ＝a
解 ∵α∩平面 GAC＝AC，β∩平面 GBD＝BD，且 α∥β，
∴AC∥BD.同理可证 AE∥BF.
又∵∠EAC 与∠FBD 同向，∴∠EAC＝∠FBD.
又∵GA＝9，AB＝12，AC∥BD，∴BADC＝GGAB＝9＋912＝37.
同理，由 HB＝16，AB＝12，AE∥FB，可得AFBE＝74.
纠错心得本题是由点 A 的位置不确定引起的分类讨论，然后由线面平行转化为线线平行，根据相似求 EG.
课堂总结 1．利用判定定理证明两个平面平行，必须具备：①一个平面内有两条直线平行于另一个平面．②这两条直线必须相交．定理中要紧紧抓住“两条”“相交”“平行”这六个字．由此定理还可以得到一个推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行．由此可见，线线平行⇒线面平行⇒面面平行．其中证明线线平行是基础，也是关键． 2．面面平行的性质定理是证明线线平行的重要方法．在面面平行关系的学习中，要善于对线线、线面平行的概念、判定和性质进行类比、探索、总结，特别要注意相互转化．
面，即 αa⊂∥αβ⇒a∥β，可用来证明线面平行． ②夹在两平行平面间的平行线段相等． ③平行于同一平面的两个平面平行(平面平行的传递性)即

数学新设计同步湘教版必修三课件：第六章立体几何初步 6-2-3-2

线线、线面、面面垂直的综合应用
如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为
a 的菱形，且∠ DAB ＝ 60°，侧面 PAD 为正三角形，其所
在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD； (2)求证：AD⊥PB.
证明 (1)∵在菱形ABCD中，
G为AD的中点，∠DAB＝60°， ∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，
高中数学· 必修3· 湘教版
第2课时
平面与平面垂直
[学习目标] 1．掌握平面与平面垂直的定义． 2．掌握平面与平面垂直的判定与性质定理．
3．理解线线垂直，线面垂直和面面垂直的内在联系．
[知识链接] 1．直线与平面垂直的判定定理两条相交直定理：如果一条直线垂直于一个平面内的 __________ 线，那么这条直线就与这个平面垂直．平行线中的一条垂直于一个平面，那推论：如果两条 ________ 么另一条也垂直于这个平面.
∴BG⊥平面PAD.
(2)连结PG，如图， ∵△PAD为正三角形，

G为AD的中点，∴PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G， ∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
规律方法
证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定
定理，另一种方法是利用面面垂直的性质定理．本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理．证明线面垂直的问题时，要注意以下三点：(1)两个平面垂直；(2)直线必须在其中一个平面内；(3)直线必须垂直
∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，
又PO∩AO＝O， ∴BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，∴BD⊥PA，

湘教版高中数学必修三课件6.2.1.1点、线、面的位置关系(一)必修3

① (3)平面的表示法
②
图①的平面可表示为平面α ，平面 ABCD，平面AC 或平面 BD.
2．点、线、面之间的关系 (1)直线在平面内概念：如果直线 l 上的所有点都在平面 α 内，就说直线 l 在平面 α 内，或者说平面α经过直线l .
(2)一些文字语言与数学符号的对应关系：
文字语言表达点A在直线l上点A在平面α内数学符号表示 A∈ .. l A.. ∈α l⊂ .. α l∩m＝A 文字语言表达点A在直线l外点A在平面α外数学符号表示 A.. ∉l A∉ .. α
答案 (4)
4．如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，判断下列直线的位置关系： (1)直线 AA1 与 CC1 的位置关系是________； (2)直线 AB 与 B1C1 的位置关系是________； (3)直线 D1D 与 D1A 的位置关系是________； (4)直线 AB 与 B1C 的位置关系是________．
2．平面的画法及表示当我们从适当的角度和距离观察桌面或黑板面时，感到它们都很像平行四边形，因此立体几何中我们通常用平行四边形来表示平面．当平面水平放置时，通常把平行四边形的锐角画成 45° ，横边画成邻边的 2 倍长．如图 1 所示．
探究 2：若 a⊂α，b⊂β，那么 a 与 b 一定是异面直线吗？
提示
不一定，两直线是异面直线，则不同在任何一个平面
内．当 a⊂α，b⊂β 时，可能存在平面 γ，使 a⊂γ 且 b⊂γ，即 a 与 b 共面．
预习测评 1．下列命题中正确的是( A．书桌面是平面 B．有一个平面的长是 40 m，宽是 10 m C．平面是绝对平的，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 D．平面的形状是平行四边形

数学同步优化指导湘教版必修3课件622第2课时

∴平面PMN∥平面A1BD．
本例的证明体现了证明面面平行的常用方法，解决此类问题的关键是选择或添加适当的辅助线(或辅助面)，使问题转化为证线面平行或线线平行．
2.如图，三棱锥P－ABC中，E，F，G分别是AB，AC，AP
的中点．证明平面GFE∥平面PCB．
证明：因为E，F，G分别是AB，AC，AP的中点，所以EF∥BC，GF∥CP. 因为EF，GF⊄平面PCB，
a⊂α
b⊂α
a∩b＝P⇒α∥β，五个条件缺一不可．
a∥β
b∥β
应用时的关键是在 α 内找到与 β 平行的相交直线 a，b.
(3)化归为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β(证明后可用)．
(4)利用平行平面的传递性：两个平面同时和第三个平面平行，则这两个平面平行．
平面与平面之间的位置关系
已知下列说法： ①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面 α∥β，a⊂α，b⊂β则a与b是异面直线； ③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b一定不相交； ④若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面； ⑤若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则，a与β一定相交．其中正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．
1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相
平行，那么两个平面的位置关系一定是( )

A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．不能确定
解析：如图所示，由图可知C正确．答案：C
平面与平面平行的判定
在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， M 、 N 、 P 分别是
C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD．

2016-2017学年湘教版高中数学必修三：6.2.2.2、平面与平面的平行课件4

[提示]
动点 C 的轨迹一定是在平面 α 与 β 之间且与它们等距
离的一个平行平面．
3．若直线 a∥平面 α，平面 α∥β，则直线 a 与平面 β 的关系是什么？
[提示] a⊂β 或 a∥β.
面面平行性质定理的应用
如图所示，平面 α∥平面 β，△ABC、 △A′B′C′分别在 α、β 内，线段 AA′、 BB′、CC′共点于 O，O 在 α、β 之间，若 AB＝2，AC＝1，∠BAC＝90° ，OA∶OA′＝ 3∶2. 求△A′B′C′的面积．
证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD， ∴MQ∥AD，NQ∥BP， ∵BP⊂平面 PBC，NQ⊄平面 PBC， ∴NQ∥平面 PBC.
又底面 ABCD 为平行四边形， ∴BC∥AD，∴MQ∥BC， ∵BC⊂平面 PBC，MQ⊄平面 PBC， ∴MQ∥平面 PBC. 又 MQ∩NQ＝Q，根据平面与平面平行的判定定理，得平面 MNQ∥平面 PBC.
应用判定定理证明面面平行，只需在一个平面内寻找两条相交直线与另一平面平行即可；而证明线面平行只需证明一条直线与平面内的一条直线平行即可．
2．如图，已知四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，点 M， N， Q 分别在 PA， BD， PD 上，且 PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD. 求证：平面 MNQ∥平面 PBC.
[自主解答]
相交直线 AA′，BB′所在平面和两平行平面 α，β 分
别相交于 AB，A′B′，由面面平行的性质定理可得 AB∥A′B′. 同理相交直线 BB′，CC′确定的平面和平行平面 α、β 分别相交于 BC，B′C′，从而 BC∥B′C′. 同理易证 AC∥A′C′. ∴∠BAC 与∠B′A′C′的两边对应平行且方向相反， ∴∠BAC＝∠B′A′C′. 同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCA＝∠B′C′A′.

湘教版高中数学必修三课件6.2.3.1直线与平面的垂直必修3

∵SA∩AB＝A，∴BC⊥平面 SAB. 又∵AE⊂平面 SAB， ∴AE⊥BC. ∵SC∩BC＝C，∴AE⊥平面 SBC，而 SB⊂平面 SBC，∴AE⊥SB.
课堂总结 1．证明直线与平面垂直的方法 (1)判定定理法：要证明直线与平面垂直必须先证明直线垂直于平面内的两条相交直线．定理中的关键词是“两条”、“相交” 和“垂直”，在证明过程中不可忽视． (2)定义法：证明了直线与平面中的任意一条直线垂直，则可说明直线与平面垂直，证明过程中对平面中的任意一条直线的操作目前有一定困难，故常结合反证法来实现．
如：若a⊥α，b⊂α，则a⊥b. 简述之即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．
2．关于直线与平面垂直的判定定理的理解必须注意以下几点：
(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要抓牢．
命题 1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面．
3．如图，拿一张矩形的纸对折后略微展开，竖立在桌面上，折痕与桌面的位置关系是________．
解析折痕与矩形在桌面内的两条相交直线垂直，因此折痕与桌面垂直．
答案垂直
ห้องสมุดไป่ตู้
4．如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面 ABC，则在△ABC，△PAC 的边所在的直线中：
(1)与 PC 垂直的直线有________； (2)与 AP 垂直的直线有________．
【训练 1】设 l，m 是两条不同的直线，α 是一个平面，则下列命题正确的是( )．
A．若 l⊥m，m⊂α，则 l⊥α B．若 l⊥α，l∥m，则 m⊥α C．若 l∥α，m⊂α，则 l∥m D．若 l∥α，m∥α，则 l∥m

高中数学 6.2.3 垂直关系(1)学案湘教版必修3(2021年整理)

6。

2.3 垂直关系（1）1．定义：如果一条直线与一个平面相交，并且垂直于这个平面内所有的直线，就称这条直线与这个平面垂直．这条直线叫作这个平面的垂线，这个平面叫作这条直线的垂面，它们的交点叫作垂足．2．设a ，b 是异面直线，过a 上任意一点A 作c ∥b ,如果a ⊥c ,就称a ⊥b . 3⇒a ⊥α⇒b ⊥α直线l 垂直于面α内的无数条直线，l 与面α垂直吗？提示：不一定垂直，如图所示．如果l ⊥a ，l ⊥b ,l ⊥c ,…;a ∥b ∥c ∥…;a ，b ，c ，…⊂α. 但l 与α不垂直．4．定理7(直线与平面垂直的性质定理）：垂直于同一个平面的两条直线平行．一、线面垂直的判定【例1】如图所示，AB 为圆O 的直径，C 为圆O 上的一点，PA ⊥平面ABC ，AE ⊥BP 于点E ，AF ⊥CP 于点F ,求证：BP ⊥平面AEF .n A m n ⎪⎪⎬⎪⊥⎪⊥⎪⎭＝a b a α⎫⎬⊥⎭要证BP⊥面AEF，转化为证BP垂直于面AEF内的两条相交直线．已知AE⊥PB，再找出AF⊥PB就可以了．错误!错误!错误!⇒PB⊥面AEF。

（1）证明线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面．②用线面垂直判定定理:证一直线与平面内两相交直线都垂直,这条直线与平面垂直．③用线面垂直性质：两平行线之一垂直平面,则另一条也必垂直于这个平面(后面学习)．（2)证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．1－1如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，求证：OO1⊥平面AC。

证明：正方体ABCD－A1B1C1D1错误!错误!错误!⇒O1O⊥平面AC。

二、线面垂直的性质【例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC,求证：EF∥BD。

数学同步优化指导(湘教版必修3)课件：6.2.3 第2课时

2 ．运用平面垂直的性质定理时，一般需要作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直．
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活页作业(十二)
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谢谢观看！
证明：∵平面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB．
∴BC⊥平面VAB，VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，∴VB⊥VA，又VB∩BC＝B， ∴VA⊥平面VBC， ∵VA⊂平面VAC． ∴平面VBC⊥平面VAC．
线面垂直的综合应用
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为 a 的菱形，且∠ DAB ＝ 60°，侧面 PAD 为正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD． (1) 若 G 为 AD 边的中点，求证： BG⊥
在运用面面垂直的性质定理时，若没有与交线垂直的直线，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样便把面面垂直问题转化为线面垂
直问题，进而转化为线线垂直问题．
2．如图，四棱锥V—ABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面 ABCD，又VB⊥平面VAD．
求证：平面VBC⊥平面VAC．
(1)两个平面垂直；
(2)直线必须在其中一个平面内； (3)直线必须垂直于它们的交线．
3. 如图，已知四棱锥 P—ABCD 的底面是直角梯形，∠ ABC ＝∠BCD＝ 90°，AB＝ BC＝ PB＝ PC＝ 2CD，侧面 PBC⊥底面 ABCD． PA与BD是否相互垂直？请证明你的结论．
证明：(1)如图，取BC的中点O，连接PO、AO. ∵PB＝PC， ∴PO⊥BC，又侧面PBC⊥底面ABCD， ∴PO⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD． ∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易证△ABO≌△BCD，

数学同步优化指导(湘教版必修3)课件：6.2.3 第1课时

∵BC⊥AB，SA⊥BC，显然得证．
解：∵SA⊥面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴SA⊥BC． ∵ABCD是正方形，∴AB⊥BC． ∵SA∩AB＝A， ∴BC⊥面SAB． ∵AE⊂面SAB， ∴BC⊥AE. ∵SC⊥面AGFE，∴SC⊥AE.
又∵BC∩SC＝C，∴AE⊥面SBC．
线面垂直的应用
如右图所示， ABCD 为正方形， SA⊥平面 ABCD ，过 A 且垂直于 SC 的平面分
别交SB、SC、SD于点E、F、G.
求证：AE⊥SB．思路点拨：要证 AE⊥SB ，只要证 AE⊥ 面 SBC ， ∵ SC⊥ 面 AGFE，
∴SC⊥AE，故只要证AE⊥BC，只要证BC⊥面SAB．
2 ．如图，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中， E ， F 分别是棱 AB ， BC 的中点， O 是底面 ABCD 的中心，求证： EF⊥ 平面 BB1O.
证明：∵ABCD为正方形，∴AC⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B， ∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AC，∴EF⊥平面BB1O.
解：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC． ∴PA⊥BC．又∵AB是⊙O的直径， ∴BC⊥AC．而PA∩AC＝A， ∴BC⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC， ∴BC⊥AE.
∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，
∴AE⊥平面PBC．
1. 用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法． 2．线线垂直与线面垂直的转化关系：线面垂直的判定定理线线垂直线面垂直线面垂直的定义

湘教版高中数学必修3第6章立体几何初步6.2.3 垂直关系教学课件 (共24张PPT)

M
证明：连结 MO
O O A,M C M A C
MO AC
又 AB是 CD 菱形
D
C DB AC
O
B D M OO
MO 平面 BDM
A
B
BD平面 BDM
AC平面 MBD
我们来巩固
例2 在三棱锥 ABCD中，ABD和 BCD是边长为2的正三角形，AC 6，E为BD的中点,求证：
BD平面 AEC
l
我们来探究
请准备一块三角形的纸片，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触），请问：折痕AD与桌面垂直吗？如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？
A
B
D
CAຫໍສະໝຸດ BDC图1
A
B
D
C
A
B
D
C
图2
A
D B
C
我们来探究
A
D B
C
我们来发现
判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
（2）利用判定定理，证明这条直线和平面内的两条相交直线垂直；
共同点：线线垂直
线面垂直
我们共努力
Homework
作业
1.（必做）本P42第4,5题；
2.（选做）探究直线与平面垂直的性质；
3.（校本）查阅资料，了解直线与平面垂直的判定定理的证明方法.
在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。” 而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都有最准确的判断和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外……其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就解释了他的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书死啃，每天要求上中学的女儿和自己英语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行

2016-2017学年湘教版高中数学必修三：6.2.3.1、直线与平面的垂直课件4

证明：因为 EA⊥α，α∩β＝l，即 l⊂α，所以 l⊥EA.同理 l ⊥EB. 又 EA∩EB＝E，所以 l⊥平面 EAB. 因为 EB⊥β，a⊂β，所以 EB⊥a，又 a⊥AB，EB∩AB＝B，所以 a⊥平面 EAB.因此，a∥l.
1．直线 a 与直线 b 垂直，b 平行于平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 A．a⊥α C．a⊂α 或 a∥α B．a∥α D．不确定 ( )
3．在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的．在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？
[提示]
根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也
垂直于此平面，可推出若干平行杆中一个与工件表面垂直，其他都和工件表面垂直．
直线与平面垂直的定义及判定的理解
2．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90° ，D 是 AC 的中点， S 是△ABC 所在平面外一点，且 SA＝SB＝SC. (1)求证：SD⊥平面 ABC； (2)若 AB＝BC，求证：BD⊥平面 SAC.
证明：(1)因为 SA＝SC，D 是 AC 的中点，所以 SD⊥AC. 在 Rt△ABC 中，AD＝BD，SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以 SD⊥BD. 又 AC∩BD＝D，所以 SD⊥平面 ABC. (2)因为 AB＝BC，D 为 AC 的中点，所以 BD⊥AC.由(1)知 SD⊥BD，因为 SD∩AC＝D，所以 BD⊥平面 SAC.
有下列四个命题，正确的命题的序号是________． ①过空间一点有且只有一条直线与已知平面垂直； ②已知两条不重合的直线 m，n 和平面 α，若 m⊥n，m⊥α，则 n∥α； ③a，b，l 表示三条不同的直线，α 表示平面，若 a⊂α，b⊂α， l⊥a，l⊥b，则 l⊥α； ④若直线 a 不平行于平面 α，则直线 a 垂直于平面 α.

数学新设计同步湘教版必修三课件：第六章立体几何初步 6-2-3-1

)
答案 B
解析
对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，
所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于
C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．
①a∥b，a⊥α⇒b⊥α；
②α∥β，a⊥α⇒a⊥β.
跟踪演练2 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平
面BB1O.
证明 ∵四边形ABCD为正方形，
∴AC⊥BO. 又∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1，又∵BO∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1O，又EF是△ABC的中位线，∴EF∥AC，
直．答案 ③④
解析当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，
所以①不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以②不正确，③正确．根据线面垂直的定义，若l⊥α则l与α的所有直线都垂直，所以④正确．
规律方法
1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线
的任意性要注意理解．实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义．当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线．由此可知，如果一条直线与一个平面内
例1 下列命题中，正确的序号是________． ①若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；②若直线l 不垂直于平面 α ，则 α 内没有与 l 垂直的直线；③若直线 l 不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；④若平
面 α 内有一条直线与直线 l 不垂直，则直线 l 与平面 α 不垂

高中数学《空间中直线平面的垂直关系》公开课优秀教学设计三

课题：6.2.3 直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质教材：湘教版高中数学·必修3【教学内容解析】本节课是湘教版教材必修3中第六章第二节的内容，属于新授性质原理课.其中直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质的形成是教学重点.以上结构图反应出了直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质在本节中的位置.是在学生掌握了线面垂直、面面垂直的判定之后紧接着研究的其性质.线面平行、面面平行研究了性质定理，为本节课提供了研究方法上的范式.线面、面面垂直是线线垂直的拓展，又是空间垂直的基础，且后续内容如：空间的角和距离等又都借助垂直来构建，在空间几何中起着承上启下的作用.通过本节课的学习研究，可进一步完善空间垂直与平行的知识结构，更好地培养学生观察发现、空间想象、推理能力，体会由特殊到一般、正难则反、类比、归纳、转化等数学思想方法．因此，学习这部分知识有着非常重要的意义．【教学目标设置】1.学生通过对生活视频、实验操作的观察、直观感知、发现、猜想、归纳直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质定理．2.在性质的探究活动中，学生通过独立思考与合作交流，直观感知、发展类比、归纳等培养学生合情推理能力、逻辑思维能力和空间想象能力．3.学生运用特殊化、类比、正难则反、转化等数学思想，体验了研究空间位置关系的一般方法.4.在探究线面垂直的性质、面面垂直的性质的过程中，体会数学的严谨、简洁之美，体验探究发现的乐趣，培养善于实验观察、勇于探索的良好习惯.【学生学情分析】1.学生已有的认知基础学生能够感知生活中有大量的线面、面面垂直关系，已经掌握了线线、线面、面面平行的判定和性质以及线面、面面垂直的判定的相关知识，从而具备了研究空间位置关系的经验，也体会了立体几何中转化、类比的数学思想方法.2.达成目标所需要的认知基础要达成本节课的目标，这些已有的知识和经验基础不可或缺，还需要整体上把握本节课的研究内容、方法和途径，能运用转化、类比等数学思想，同时具备较好地观察发现、直观感知、空间想象、合情推理、抽象概括等能力，以及独立思考、合作交流、反思质疑等良好的数学学习习惯.我校为全市二类重点高中，招收的学生相当部分基础薄弱，自主学习能力差.进入高二，虽然能领悟一些基本的数学思想与方法，但还没有形成完整、严谨的数学思维习惯，对问题的探究能力也有待培养.3.重难点及突破策略重难点：1.运用转化、正难则反、特殊到一般、类比等数学思想方法来研究直线与平面、平面与平面垂直的性质，提高学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的能力.2.探究实验、归纳猜想、推理论证直线与平面、平面与平面垂直的性质定理，突破“空间向平面”、“平行与垂直”、“线面与面面”的转化.突破策略：1.启发学生明确研究的内容与方法，从总体上认识研究的目标与手段．2.引导学生经过“直观感知⇒操作确认⇒推理论证”的学习过程形成线面垂直、面面垂直的性质定理.3.发动学生通过问题串交流、汇报、展示思维过程，相互启发.【教学策略分析】根据学生已有学习基础，为提升学生的学习能力，本节课的教学，采用教法和学法如下：怎样快速判断旗杆与地面的垂直关系？旨在让学生直观感知，借助生活现象形成关于同垂直一个平面的多条直线平行的直观感，可以帮助学既真实又有效. 并引导学生进一步概括直线与平面垂直的性质定理本质.《直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质》一课的点评“直线与平面垂直的性质、平面与平面垂直的性质”是高中数学的基本内容，但在教学要求及认知要求上和以前发生了一些变化，即课标要求通过直观感知及操作确认的方式，归纳出性质定理。

湘教版高中数学必修3全套PPT课件

台
ABCD-A′B
′C′D′.
3.旋转体
旋转体
结构特征
圆柱
以矩形的一边所在直
线为旋转轴，其余三
边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫
做圆柱的底面；平行于轴 .的边旋
转而成的曲面叫做圆
柱的侧面；无论旋转到什么位置 . 不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
• 解析根据正方体的特点可知①③④正确，② 不正确．
• 答案 ①③④
名师点睛 1．各种四棱柱的关系在棱柱中，当侧棱不垂直于底面时，称为斜棱柱；当侧棱垂直于底面时，称为直棱柱；如果直棱柱的底面是正多边形，则称为正棱柱；在四棱柱中，如果底面是平行四边形，则称为平行六面体；当平行六面体的侧棱与底面不垂直时，称为斜平行六面体；当平行六面体的侧棱与底面垂直时，称为直平行六面体；如果直平行六面体的底面是矩形，则称为长方体；当长方体的棱长都相等时，称为正方体．在四棱柱中，可以用下面的图示帮助把握它们之间的关系：
解 (1)不正确，直棱柱的侧面都是矩形． (2)不正确，平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间是棱台． (3)正确．
题型二圆柱、圆锥、圆台的结构特征
【例 2】给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各
取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆
周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆
• 3．要正确区分斜棱柱、直棱柱和正棱柱、长方体与正方体的关系，正确区分正三棱锥与正四面体的关系.
在平面上画立体图形
【课标要求】 பைடு நூலகம்．了解中心投影和平行投影． 2．了解斜二测画法的概念． 3．能画出简单空间图形的三视图、直观图． 4．通过观察三视图和直观图，了解空间图形的不同表示形式及不同形式间的联系．

湘教版高中数学必修3：第6章立体几何初步复习课件

方法点评：正四棱锥可以自己制作模型，也可以根据正四棱锥的几何结构特征想象出空间图形，画几何体的直观图依据斜二测画法，画三视图时可依据三视图的概念和画法规则进行。
3．体积问题【例 5】若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）
1 A.3 C．1
2 B.3 D．2
解析由所给三视图知，对应几何体的直观图为一平放的直三棱柱 ABC-A′B′C′（如图所示），其底面为直角三角形，两直角边边长分别为 1， 2，侧棱长为 2。
方法点评：能够把三视图的投影面移到对应的空间几何体上是画三视图的一种有效方法。
2．面积问题【例 4】画一个侧棱长为 4cm，底面边长为 4cm 的正四棱锥的三视图和直观图，并求其表面积。
解正四棱锥的三视图和直观图如图所示。此正四棱锥的表面积为 S 表＝4× 43×42＋42＝16（ 3＋1）（cm2）。
2．圆柱、圆锥、圆台、球是由平面图形矩形、直角三角形、直角梯形、半圆面旋转而成的，它们都称为旋转体。在研究它们的结构特征以及解决应用问题时，常需作它们的轴截面或截面。
3．由柱、锥、台、球组成的简单组合体，研究它们的结构特征实质是将它们分解成多个基本几何体。
二、空间几何体的画法 1．斜二测画法主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法。它的主要步骤：（1）画轴；（2）画平行于 x、y、z 轴的线段分别为平行于 x′、 y′、z′轴的线段；（3）截线段：平行于 x、z 轴的线段的长度不变，平行于 y 轴的线段的长度变为原来的一半。 2．三视图画法它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线，可见线用细实线画出。
【例 7】如图所示，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别为 AB， AD 的中点，G，H 分别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝1∶ 2。求证：

6.2.垂直关系-湘教版必修3教案

6.2.垂直关系-湘教版必修3教案
一、教学目标
1.了解垂直两线段的性质；
2.掌握垂直线段之间长度的计算方法；
3.能够运用垂直线段的性质来解决几何问题。

二、教学重难点
1.垂直两线段的性质，特别是其中与正交的关系；
2.垂直线段之间长度的计算方法。

三、教学过程
第一步：引入
通过几个问题的引入，引出垂直线段的概念和性质： 1. 什么是垂直？ 2. 如何判断两线段是否垂直？ 3. 垂直线段之间有哪些性质？
第二步：讲解垂直线段的性质
1.垂直线段的夹角是直角；
2.垂直线段之间长度的计算方法，即勾股定理。

第三步：解决几何问题
在板书上列出几个练习题，教师通过讲解和引导，帮助学生运用垂直线段的性质，解决这些几何问题。

第四步：练习与巩固
学生自主完成课本上的相关习题，并进行相互检查和答疑。

四、教学方法和手段
采用问题引入、讲解、示范、引导、练习等多种教学方法和手段，旨在激发学生的兴趣，增强他们的自主学习能力。

五、教学评价方式
通过提问、课堂练习、小测验等方式对学生的掌握情况进行评价，并及时发现和纠正学生的错误。

六、教学后记
本节课的内容难度较大，需要教师耐心讲解和引导，帮助学生理解和掌握垂直线段的性质和计算方法。

同时，教师应重视练习和巩固，让学生能够熟练地应用所学知识解决几何问题。

高中数学(湘教版)必修3(备课资源)第6章立体几何初步 6.2.3.2

双基达标(限时20分钟)1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()．A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能答案 D2．已知P A⊥矩形ABCD所在平面(如图)，则图中互相垂直的平面有()．A．1对B．2对C．3对D．5对解析面P AD⊥面ABCD，面P AB⊥面ABCD，面P AB⊥面PBC，面PDC ⊥面P AD，面P AD⊥面P AB.答案 D3．空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()．A．平面ABC⊥平面ADC B．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBC D．平面ADC⊥平面DBC解析∵AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，∴AD⊥平面BCD.又∵AD⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面DBC.答案 D4．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有以下四个说法：①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.其中正确的序号是________．解析①∵l⊥α，α∥β.∴l⊥β又m⊂β，∴l⊥m，故①正确．②l⊥α，α⊥β，m⊂β⇒l∥m或l∩m或l与m异面．故②不正确．③∵l⊥α，l∥m，∴m⊥α.又∵m⊂平面β，∴α⊥β，故③正确．④l⊥m，l⊥α，m⊂β⇒α∥β或α∩β，故④不正确．答案①③5．三个平面两两垂直且共点于O，点P到三个面的距离分别为3,4,5，则OP＝________.解析以3、4、5为相邻三边构造一个长方体，则OP长即为长方体的体对角线长，所以OP长为32＋42＋52＝5 2.答案5 26．如图所示，在四面体ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD.点E、F分别是AB、BD的中点．求证：(1)直线EF∥平面ACD；(2)平面EFC⊥平面BCD.证明(1)在△ABD中，∵E、F分别是AB、BD的中点，∴EF∥AD.又AD⊂平面ACD，EF⊄平面ACD，∴直线EF∥平面ACD.(2)在△ABD中，∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD.在△BCD中，∵CD＝CB，F为BD的中点，∴CF⊥BD.∵EF⊂平面EFC，CF⊂平面EFC，EF∩CF＝F，∴BD⊥平面EFC.又∵BD⊂平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD.综合提高(限时25分钟)7．已知平面α、β、γ，则下列命题中正确的是()．A．α⊥β，β⊥γ，则α∥γB．α∥β，β⊥γ，则α⊥γC．α∩β＝a，β∩γ＝b，α⊥γ，则a⊥bD．α⊥β，α∩β＝a，a⊥b，则b⊥α解析如图，A中，平面AA1B1B⊥平面A1B1C1D1，平面AA1D1D⊥平面A1B1C1D1，而平面AA1B1B与平面AA1D1D相交；C中，平面AA1B1B∩平面AB1D1＝AB1，平面AA1D1D∩平面AB1D1＝AD1，平面AA1B1B⊥平面AA1D1D，而AB1与AD1不垂直；D中，b不一定在平面β内．答案 B8．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()．A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析由面面垂直的性质定理可知D项是正确的．A项中缺少了条件l⊂α，故A错．B项中缺少了条件α⊥β，故B错．C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错．D项具备了面面垂直的性质定理的全部条件，正确．答案 D9．AB是⊙O的直径，P A⊥⊙O所在平面，C是圆周上任一点(不同于A，B)，连接AC，BC，PB，PC，则在四面体P－ABC中，共有________对互相垂直的平面．解析由题意可推得，面P AC⊥面ABC，面P AB⊥面ABC，面P AC⊥面PBC.共有3对．答案 310．α、β是两个不同的平面，m、n是平面α、β外的两条不同直线，给出四个结论：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析假设①③④为条件，即m⊥n，n⊥β，m⊥α成立，如图．过m上一点P作PB∥n，则PB⊥m，PB⊥β.设垂足为点B，又设m⊥α，垂足为点A，过P A、PB的平面与α、β的交线l交于点C.∵l⊥P A，l⊥PB，∴l⊥平面P AB.∴l⊥AC，l⊥BC.∴∠ACB是二面角α-l-β的平面角．由m⊥n，显然P A⊥PB，∴∠ACB＝90°.∴α⊥β.由①③④⇒②成立．反过来，如果②③④成立，与上面证法类似可得①成立．答案①③④⇒②或②③④⇒①11．四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是面积为23的菱形，∠ADC为锐角，M为P A的中点．(1)求证：P A⊥CD；(2)求证：平面CDM⊥平面P AB.证明(1)取DC中点E，连接PE、AE，因为△PDC为正三角形，所以PE ⊥DC，PE＝ 3.又因为四边形ABCD为菱形，面积为23，且∠ADC为锐角，所以23＝2×2×sin∠ADC，得sin∠ADC＝32，有∠ADC＝60°.所以△ADC为正三角形所以AE⊥DC.又因为PE⊥CD，AE∩PE＝E，所以CD⊥平面PEA，又P A ⊂平面PEA，所以CD⊥P A.(2)因为AD＝DP，M为P A的中点，所以DM⊥P A，由(1)知P A⊥CD，DM∩CD＝D，所以P A⊥平面CDM，又P A⊂平面P AB所以平面CDM⊥平面P AB.12．(创新拓展)如图，平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，AD＝4.将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求证：AB⊥DE；(2)求三棱锥E-ABD的侧面积．(1)证明在△ABD中，∵AB＝2，AD＝4，∠DAB＝60°，设F为AD边的中点，连接FB，∴△ABF为等边三角形，∠AFB＝60°.又∵DF＝BF＝2，∴△BFD为等腰三角形．∴∠FDB＝30°，故∠ABD＝90°.∴AB⊥BD.又∵平面EBD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB⊂平面ABD，∴AB⊥平面EBD.∵DE⊂平面EBD，∴AB⊥DE.(2)解由(1)知AB⊥BD，∵CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥BD.在Rt△DBE中，∵DB＝23，DE＝DC＝AB＝2，∴S△DBE ＝12DB·DE＝2 3.又∵AB⊥平面EBD，BE⊂平面EBD，∴AB⊥BE.∵BE＝BC＝AD＝4，∴S△ABE ＝12AB·BE＝4.∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，∴ED⊥平面ABD.而AD⊂平面ABD，∴ED⊥AD，∴S△ADE ＝12AD·DE＝4.综上，三棱锥E-ABD的侧面积8＋2 3.。