高考数学(理科)考前抢分必做 “12+4”专项练3 Word版含答案

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高考数学(全国乙卷(理科)考前抢分必做:“12+4”专项练10 Word版含答案

高考数学(全国乙卷(理科)考前抢分必做:“12+4”专项练10 Word版含答案

“12+4”专项练101.设集合A ={x |12<x <3},B ={x |(x +1)(x -2)<0},则A ∩B 等于() A.{x |12<x <2}B.{x |-1<x <3}C.{x |12<x <1}D.{x |1<x <2} 答案A2.(2016·课标全国乙)设(1+i)x =1+y i ,其中x ,y 是实数,则|x +y i|等于() A.1B.2C.3D.2答案B解析由(1+i)x =1+y i ,得x +x i =1+y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,x =y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,y =1.所以|x +y i|=x 2+y 2=2,故选B.3.已知命题p :“∃x 0∈R ,e0x -x 0-1≤0”,则綈p 为() A.∃x 0∈R ,e0x -x 0-1≥0 B.∃x 0∈R ,e 0x -x 0-1>0C.∀x ∈R ,e x -x -1>0D.∀x ∈R ,e x -x -1≥0答案C4.设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-2,-2≤x ≤0,x ,0<x <1,则f (52)等于() A.0B.1C.12D.-1 答案D解析因为f (x )是周期为3的周期函数,所以f (52)=f (-12+3)=f (-12)=4×(-12)2-2=-1,故选D.5.设函数f (x )=A sin(ωx +φ) (A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0),且函数f (x )的部分图象如图所示,则有()A.f (-3π4)<f (5π3)<f (7π6) B.f (-3π4)<f (7π6)<f (5π3) C.f (5π3)<f (7π6)<f (-3π4) D.f (5π3)<f (-3π4)<f (7π6) 答案D解析由题意T =43(5π6-π12)=π, ∴ω=2ππ=2, 又∵2×π12+φ=π2,解得φ=π3, ∴f (x )=A sin(2x +π3), 由图象知f (x )的一个减区间是(π12,7π12), 一个增区间是(7π12,1312π), f (-3π4)=f (π4), f (5π3)=f (2π3)=f (2×7π12-2π3)=f (π2), f (7π6)=f (π6),π12<π6<π4<π2<7π12, 所以f (π6)>f (π4)>f (π2),故选D. 6.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中x 的值等于()A.0.12B.0.012C.0.18D.0.018答案D解析依题意,0.054×10+10x +0.01×10+0.006×10×3=1,解得x =0.018,故选D.7.(2016·四川)已知a 为函数f (x )=x 3-12x 的极小值点,则a 等于()A.-4B.-2C.4D.2答案D解析∵f (x )=x 3-12x ,∴f ′(x )=3x 2-12,令f ′(x )=0,则x 1=-2,x 2=2.当x ∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f ′(x )>0,则f (x )单调递增;当x ∈(-2,2)时,f ′(x )<0,则f (x )单调递减,∴f (x )的极小值点为a =2.8.如图,长方形的四个顶点为O (0,0),A (4,0),B (4,2),C (0,2),曲线y =x 经过点B .小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC 中,则该电子元件落在图中阴影区域的概率是()A.512B.12C.23D.34答案C解析图中阴影部分是事件A 发生的区域,其面积S 阴=⎠⎛04x d x =23x 32⎪⎪⎪40=163, S 长方形=4×2=8,∴所求概率P =S 阴S 长方形=1638=23.故选C. 9.函数y =|log 2x |-(12)x 的零点个数是() A.0B.1C.2D.4答案C解析令y =|log 2x |-(12)x =0, 即|log 2x |=(12)x , 在同一坐标系下作出y =|log 2x |和y =(12)x 的图象(图略), 易知两图象有2个交点,即函数有2个零点.10.(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件答案C解析设数列的首项为a 1,则a 2n -1+a 2n =a 1q 2n -2+a 1q 2n -1=a 1q 2n -2(1+q )<0,即q <-1, 故q <0是q <-1的必要而不充分条件.故选C.11.设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是() A.3+1B.2+1C.3-1D.2-1答案D解析设点P 在x 轴上方,则依题意,P 点的坐标为(c ,b 2a). 因为△F 1PF 2为等腰直角三角形,所以b 2a=2c ,b 2=2ac ,即a 2-c 2=2ac , 两边除以a 2得1-e 2=2e ,解得e =2-1(e =-2-1舍去),故选D.12.已知f (x )=|x 2-1|+x 2+kx ,若关于x 的方程f (x )=0在(0,2)上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是()A.(-1,0)B.(-72,+∞)C.(-∞,-72)∪(-1,+∞)D.(-72,-1) 答案D解析本题考查函数零点及函数与方程的关系.当x ∈(0,1]时,f (x )=1-x 2+x 2+kx =kx +1,此时方程f (x )=0有一个零点-1k; 当x ∈(1,2)时,f (x )=g (x )=x 2-1+x 2+kx =2x 2+kx -1.∵g (x )=2x 2+kx -1=0必有一正根、一负根,∴正根一定位于区间(1,2)上,即⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)<0,g (2)>0,0<-1k ≤1,解得-72<k <-1,故选D. 13.如果执行下面的程序框图,那么输出的S =________.答案2解析开始i =0,S =2,判断i <4?是,i =1,S =2-12+1=13, 判断i <4?是,i =2,S =13-113+1=-12, 判断i <4?是,i =3,S =-12-1-12+1=-3,判断i <4?是,i =4,S =-3-1-3+1=2, 判断i <4?否,输出2,所以答案为2.14.(2x 2+x -1)5的展开式中,x 3的系数为__________.(用数字填写答案)答案 -30解析因为(2x 2+x -1)5=(2x -1)5(x +1)5,所以x 3的系数为C 2523·1-C 3522·C 45+C 4521·C 35-C 5520·C25=-30. 15.(2016·上海)已知△ABC 的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_____. 答案733解析利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为32+52-722×3×5=-12, 所以此角的正弦值为32, 由正弦定理得2R =732, 所以该三角形的外接圆半径R =733. 16.观察下面等式,则按此规律第n 个等式为____________________________.1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……………………答案n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2解析等式的右边为1,9,25,49,…,即为12,32,52,72,…,即奇数的平方,等式的左边为正整数为首项,每行个数为对应奇数的和,所以第n 个式子的右边为(2n -1)2,左边为n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2),所以第n个式子为n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二(下)第一次模拟数学试卷一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0,1,2},N={x},若M∪N={0,1,2,3},则x的值为()A.3 B.2 C.1 D.02.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为()A.球B.圆柱C.圆台D.圆锥3.在区间[0,5]内任取一个实数,则此数大于3的概率为()A.B.C.D.4.某程序框图如图所示,若输入x的值为1,则输出y的值是()A.2 B.3 C.4 D.55.已知向量=(1,2),=(x,4),若∥,则实数x的值为()A.8 B.2 C.﹣2 D.﹣86.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400,800.为了了解教师的教学情况,该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,207.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直8.不等式(x+1)(x﹣2)≤0的解集为()A.{x|﹣1≤x≤2}B.{x|﹣1<x<2}C.{x|x≥2或x≤﹣1}D.{x|x>2或x <﹣1}9.已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是()A.(x+2)2+(y+1)2=5 B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=10 C.(x﹣2)2+(y﹣1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=1010.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km,且∠ACB=120°,则A、B两点间的距离为()A.km B.km C.1.5km D.2km二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分.11.计算:log21+log24=.12.已知1,x,9成等比数列,则实数x=.13.已知点(x,y)在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则z=x+y的最大值是.14.已知a是函数f(x)=2﹣log2x的零点,则a的值为•15.如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,E、F分别是AB、CD的中点,现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C(如图2),则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为.三、解答题:本大题共5小题,满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知,<θ<π.(1)求tanθ;(2)求的值.17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况,抽样调査了100位职员的早餐日平均费用(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图,图中标注a的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求a的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数;(2)已知该公司有1000名职员,试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元?18.已知等比数列{a n}的公比q=2,且a2,a3+1,a4成等差数列.(1)求a1及a n;(2)设b n=a n+n,求数列{b n}的前5项和S5.19.已知二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(0)=6,f(1)=5(1)求函数f(x)解析式(2)求函数f(x)在x∈[﹣2,2]的最大值和最小值.20.已知圆C:x2+y2+2x﹣3=0.(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,求证:为定值;(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点,求直线m的方程,使△CDE 的面积最大.2016-2017学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二(下)第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={0,1,2},N={x},若M∪N={0,1,2,3},则x的值为()A.3 B.2 C.1 D.0【考点】并集及其运算.【分析】根据M及M与N的并集,求出x的值,确定出N即可.【解答】解:∵集合M={0,1,2},N={x},且M∪N={0,1,2,3},∴x=3,故选:A.2.如图是一个几何体的三视图,则该几何体为()A.球B.圆柱C.圆台D.圆锥【考点】由三视图求面积、体积.【分析】由三视图可知该几何体为圆锥.【解答】解:根据三视图可知,该几何体为圆锥.故选D.3.在区间[0,5]内任取一个实数,则此数大于3的概率为()A.B.C.D.【考点】几何概型.【分析】由题意,要使此数大于3,只要在区间(3,5]上取即可,利用区间长度的比求.【解答】解:要使此数大于3,只要在区间(3,5]上取即可,由几何概型的个数得到此数大于3的概率为为;故选B.4.某程序框图如图所示,若输入x的值为1,则输出y的值是()A.2 B.3 C.4 D.5【考点】程序框图.【分析】根据题意,模拟程序框图的运行过程,即可得出正确的答案.【解答】解:模拟程序框图的运行过程,如下;输入x=1,y=1﹣1+3=3,输出y的值为3.故选:B.5.已知向量=(1,2),=(x,4),若∥,则实数x的值为()A.8 B.2 C.﹣2 D.﹣8【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.【分析】根据向量平行的坐标公式建立方程进行求解即可.【解答】解:∵∥,∴4﹣2x=0,得x=2,故选:B6.某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400,800.为了了解教师的教学情况,该校采用分层抽样的方法从这三个年级中抽取45名学生进行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A.15,5,25 B.15,15,15 C.10,5,30 D.15,10,20【考点】分层抽样方法.【分析】根据分层抽样的定义,建立比例关系即可等到结论.【解答】解:∵高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400,800.∴从这三个年级中抽取45名学生进行座谈,则高一、高二、高三年级抽取的人数分别,高二:,高三:45﹣15﹣10=20.故选:D7.如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,直线BD与A1C1的位置关系是()A.平行B.相交C.异面但不垂直D.异面且垂直【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.【分析】连接AC,则AC∥A1C1,AC⊥BD,即可得出结论.【解答】解:∵正方体的对面平行,∴直线BD与A1C1异面,连接AC,则AC∥A1C1,AC⊥BD,∴直线BD与A1C1垂直,∴直线BD与A1C1异面且垂直,故选:D.8.不等式(x+1)(x﹣2)≤0的解集为()A.{x|﹣1≤x≤2}B.{x|﹣1<x<2}C.{x|x≥2或x≤﹣1}D.{x|x>2或x <﹣1}【考点】一元二次不等式的解法.【分析】根据一元二次不等式对应方程的实数根,即可写出不等式的解集.【解答】解:不等式(x+1)(x﹣2)≤0对应方程的两个实数根为﹣1和2,所以该不等式的解集为{x|﹣1≤x≤2}.故选:A.9.已知两点P(4,0),Q(0,2),则以线段PQ为直径的圆的方程是()A.(x+2)2+(y+1)2=5 B.(x﹣2)2+(y﹣1)2=10 C.(x﹣2)2+(y﹣1)2=5 D.(x+2)2+(y+1)2=10【考点】圆的标准方程.【分析】求出圆心坐标和半径,因为圆的直径为线段PQ,所以圆心为P,Q的中点,应用中点坐标公式求出,半径为线段PQ长度的一半,求出线段PQ的长度,除2即可得到半径,再代入圆的标准方程即可.【解答】解:∵圆的直径为线段PQ,∴圆心坐标为(2,1)半径r===∴圆的方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=5.故选:C.10.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A、B到点C的距离AC=BC=1km,且∠ACB=120°,则A、B两点间的距离为()A.km B.km C.1.5km D.2km【考点】解三角形的实际应用.【分析】直接利用与余弦定理求出AB的数值.【解答】解:根据余弦定理AB2=a2+b2﹣2abcosC,∴AB===(km).故选:A.二、填空题:本大题共5小题,每小题4分,满分20分.11.计算:log21+log24=2.【考点】对数的运算性质.【分析】直接利用对数的运算法则化简求解即可.【解答】解:log21+log24=0+log222=2.故答案为:2.12.已知1,x,9成等比数列,则实数x=±3.【考点】等比数列.【分析】由等比数列的性质得x2=9,由此能求出实数x.【解答】解:∵1,x,9成等比数列,∴x2=9,解得x=±3.故答案为:±3.13.已知点(x,y)在如图所示的平面区域(阴影部分)内运动,则z=x+y的最大值是5.【考点】简单线性规划.【分析】利用目标函数的几何意义求最大值即可.【解答】解:由已知,目标函数变形为y=﹣x+z,当此直线经过图中点(3,2)时,在y轴的截距最大,使得z最大,所以z的最大值为3+2=5;故答案为:5.14.已知a是函数f(x)=2﹣log2x的零点,则a的值为4•【考点】函数的零点.【分析】根据函数零点的定义,得f(a)=0,从而求出a的值.【解答】解:a是函数f(x)=2﹣log2x的零点,∴f(a)=2﹣log2a=0,∴log2a=2,解得a=4.故答案为:4.15.如图1,在矩形ABCD中,AB=2BC,E、F分别是AB、CD的中点,现在沿EF 把这个矩形折成一个直二面角A﹣EF﹣C(如图2),则在图2中直线AF与平面EBCF所成的角的大小为45°.【考点】直线与平面所成的角.【分析】由题意,AE⊥平面EFBC,∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角,即可得出结论.【解答】解:由题意,AE⊥平面EFBC,∴∠AFE是直线AF与平面EBCF所成的角,∵AE=EF,∴∠AFE=45°.故答案为45°.三、解答题:本大题共5小题,满分40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知,<θ<π.(1)求tanθ;(2)求的值.【考点】三角函数的化简求值.【分析】(1)由,<θ<π结合同角平方关系可求cosθ,利用同角基本关系可求(2)结合(1)可知tanθ的值,故考虑把所求的式子化为含“切”的形式,从而在所求的式子的分子、分母同时除以cos2θ,然后把已知tanθ的值代入可求.【解答】解:(1)∵sin2θ+cos2θ=1,∴cos2θ=.又<θ<π,∴cosθ=∴.(2)=.17.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况,抽样调査了100位职员的早餐日平均费用(单位:元),得到如图所示的频率分布直方图,图中标注a的数字模糊不清.(1)试根据频率分布直方图求a的值,并估计该公司职员早餐日平均费用的众数;(2)已知该公司有1000名职员,试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元?【考点】频率分布直方图.【分析】(1)由频率分布直方图中各小长方形的面积之和等于1,求出a的值,频率分布直方图中最高的小长方体的底面边长的中点即是众数;(2)求出本公司职员平均费用不少于8元的频率就能求出公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元.【解答】解:(1)据题意得:(0.05+0.10+a+0.10+0.05+0.05)×2=1,解得a=0.15,众数为:;(2)该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有:×2=200,18.已知等比数列{a n}的公比q=2,且a2,a3+1,a4成等差数列.(1)求a1及a n;(2)设b n=a n+n,求数列{b n}的前5项和S5.【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.【分析】(1)运用等比数列的通项公式和等差数列的中项的性质,解方程可得首项,进而得到所求通项公式;(2)求得b n=2n﹣1+n,再由数列的求和方法:分组求和,结合等差数列和等比数列的求和公式,计算即可得到所求和.【解答】解:(1)由已知得a2=2a1,a3+1=4a1+1,a4=8a1,又a2,a3+1,a4成等差数列,可得:2(a3+1)=a2+a4,所以2(4a1+1)=2a1+8a1,解得a1=1,故a n=a1q n﹣1=2n﹣1;(2)因为b n=2n﹣1+n,所以S5=b1+b2+b3+b4+b5=(1+2+...+16)+(1+2+ (5)=+=31+15=46.19.已知二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(0)=6,f(1)=5(1)求函数f(x)解析式(2)求函数f(x)在x∈[﹣2,2]的最大值和最小值.【考点】二次函数的性质;二次函数在闭区间上的最值.【分析】(1)利用已知条件列出方程组求解即可.(2)利用二次函数的对称轴以及开口方向,通过二次函数的性质求解函数的最值即可.【解答】解:(1)∵;(2)∵f(x)=x2﹣2x+6=(x﹣1)2+5,x∈[﹣2,2],开口向上,对称轴为:x=1,∴x=1时,f(x)的最小值为5,x=﹣2时,f(x)的最大值为14.20.已知圆C:x2+y2+2x﹣3=0.(1)求圆的圆心C的坐标和半径长;(2)直线l经过坐标原点且不与y轴重合,l与圆C相交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点,求证:为定值;(3)斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点,求直线m的方程,使△CDE 的面积最大.【考点】直线与圆的位置关系.【分析】(1)把圆C的方程化为标准方程,写出圆心和半径;(2)设出直线l的方程,与圆C的方程组成方程组,消去y得关于x的一元二次方程,由根与系数的关系求出的值;(3)解法一:设出直线m的方程,由圆心C到直线m的距离,写出△CDE的面积,利用基本不等式求出最大值,从而求出对应直线方程;解法二:利用几何法得出CD⊥CE时△CDE的面积最大,再利用点到直线的距离求出对应直线m的方程.【解答】解:(1)圆C:x2+y2+2x﹣3=0,配方得(x+1)2+y2=4,则圆心C的坐标为(﹣1,0),圆的半径长为2;(2)设直线l的方程为y=kx,联立方程组,消去y得(1+k2)x2+2x﹣3=0,则有:;所以为定值;(3)解法一:设直线m的方程为y=kx+b,则圆心C到直线m的距离,所以,≤,当且仅当,即时,△CDE的面积最大,从而,解之得b=3或b=﹣1,故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0.解法二:由(1)知|CD|=|CE|=R=2,所以≤2,当且仅当CD⊥CE时,△CDE的面积最大,此时;设直线m的方程为y=x+b,则圆心C到直线m的距离,由,得,由,得b=3或b=﹣1,故所求直线方程为x﹣y+3=0或x﹣y﹣1=0.2017年5月5日。

2020版考前小题练 高考数学理科(全国通用)总复习文档:12+4满分练84页(含答案解析)

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h+k A.
2
nh+mk B.
m+n
mh+nk C.
m+n
h+k D.
m+n
9.甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为 a,再由乙猜甲刚才想的数字,把
乙猜的数字记为 b,且 a,b∈{0,1,2,…,9}.若|a- b|≤1,则称甲乙“心有灵犀”.
现任意找两人玩这个游戏,则二人“心有灵犀”的概率为( )
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D. 2e
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二 、填空题
ππ
π
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高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷03(参考答案)

高考数学试题2024新高考新题型考前必刷卷03(参考答案)

2024年高考考前信息必刷卷(新题型地区专用)03数学·答案及评分标准(考试时间:120分钟试卷满分:150分)第I 卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

12345678ADCDCDCD二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

91011ACDABDACD第II 卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.{}113.28y x=14.②③④四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(13分)【解析】(1)易知()24f x x x m '=-+,依题意()211410f m '=-⨯+=,解得3m =,(2分)此时()()()24313f x x x x x '=-+=--,当1x <或3x >时,()0f x ¢>;当13x <<时,()0f x '<,即函数()f x 在(,1)-∞,(3,)+∞上单调递增,在()1,3上单调递减,(5分)因此函数()f x 在1x =时取得极值,所以3m =.(6分)(2)由(1)得函数()f x 在()2,3上单调递减,在()3,4上单调递增;所以()()32min 13323333f x f n n ==⨯-⨯+⨯+=,(10分)由题意可得2n n >,解得01n <<,所以n 的取值范围为()0,1.(13分)16.(15分)【解析】(1)记事件i A 为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为i 分(1,3,5)i =”,则()512P A =,()313P A =,()1112P A =--1136=.(2分)记事件i B 为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为i 分(1,3,5)i =”,则()525P B =,()325P B =,()1215P B =--2155=.(4分)记事件C 为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”,则()()()()51311513()P C P A B P A B P A B P A B =+++1111102122535651563=⨯+⨯+=⨯+⨯,则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为310.(7分)(2)由题知离散型随机变量ξ的所有可能取值分别为2,4,6,8,10,111(2)6530P ξ==⨯=,(8分)11122(4)356515P ξ==⨯+=,(9分)1112123(6)25653510P ξ==⨯++⨯=,(10分)12121(8)25353P ξ==⨯+=,(11分)121(10)255P ξ==⨯=,(12分)则离散型随机变量ξ的分布列为ξ246810P1302153101315所以数学期望123()2468301510E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯11106103515+⨯=.(15分)17.(15分)【解析】(1)连接1AB ,交1A B 于点E ,连接,NE ME ,(2分)则E 为1A B 的中点,因为M 为AB 的中点,所以ME 1AA ,且112ME AA =,因为N 为1DD 的中点,所以DN 111,2AA DN AA =,所以ME DN ,且ME DN =,所以四边形EMDN 为平行四边形,(5分)所以EN DM ,又因为DM ⊄平面1,A BN EN ⊂平面1A BN ,所以DM 平面1A BN .(6分)(2)由题意(1)及几何知识得,在直四棱柱1111ABCD A B C D -中,24AB AD ==,1,,AB AD AA 两两垂直,以A 为坐标原点,分别以1,,AB AD AA 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.(8分)设12(0)AA t t =>,则()()4,0,0,0,2,0B D ,()()()10,0,2,2,0,0,0,2,A t M N t ,()()()114,0,2,2,2,0,0,2,B t DM A N t =-=-.设异面直线DM与1A N所成角为θ,则111cos cos,DM A NDM A NDM A Nθ⋅===⋅,解得:1t=,(10分)故()()()110,0,2,0,2,1,4,0,2A N B,则()()()1114,0,2,0,2,1,0,0,2A B A N BB=-=-=设平面1A BN的一个法向量为(),,n x y z=,1B到平面1A BN的距离为d.所以110,0,A B nA N n⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即420,20,x zy z-=⎧⎨-=⎩取2z=,得()1,1,2n=.(12分)所以13B B ndn⋅==,即1B到平面1A BN(15分)18.(17分)【解析】(1)由题设得22223bcaa b c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得212a=,所以C的方程为221124x y+=;(5分)(2)由题意可设:(2)ABl y kx m m=+≠,设()11,A x y,()22,B x y,由221124y kx mx y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()2221363120k x kmx m+++-=,()()()222222Δ36413312121240k m k m k m=-+-=-+>.由韦达定理得212231213mx xk-=+,122613mkx xk-+=+,由4PA PB ABk k k+=得1212224y y kx x--+=,(9分)即1212224kx m kx m k x x +-+-+=,整理得()22(2)24mk m m k -=-,因为0k ≠,得220m m --=,解得2m =或1m =-,2m =时,直线AB 过定点(0,2)P ,不合题意,舍去;1m =-时,满足()2Δ36410k =+>,所以直线AB 过定点(0,1)-.(10分)(3))由(2)得直线:1AB l y kx =-,所以1(1)x y k=+,由221(1)1124x y k x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,整理得22221213120y y k k k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭,21Δ3640k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭,由题意得12121212212F AF BS F F y y y y k =-=-=+因为2AF k =218k >,所以2108k <<,(13分)令t,(2,t ∈,所以12F AF B S t=-,在(2,t ∈上单调递减,所以12F AF B S的范围是⎝.(17分)19.(17分)【解析】[解](1)12a =,23a =,31a =;12b =,21b =,33b =.11a =,23a =,32a =;13b =,21b =,32b =.(5分)[证明](2)若k k a b =(1,2,,k n = ),则有1k k a n a =+-,于是12k n a +=.当n 为正偶数时,1n +为大于1的正奇数,故12n +不为正整数.(8分)因为1a ,2a ,…,n a 均为正整数,所以不存在满足k k a b =(1,2,,k n = )的数列{}n a .(10分)[解](3)(1)k c n k =--(1,2,,k n = ).因为(1)k c n k =+-,于是122(1)12[(1)2][(1)]n c c nc n n n n n +++=+-++-+++- 222(12)(1)(12)n n n =++++-+++ 2111(1)(1)(21)(1)(2)266n n n n n n n n =+-++=++.(17分)。

高考数学(理科)考前抢分必做 考前回扣 回扣10 Word版含答案

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回扣10 复数、算法、推理与证明1.复数的相关概念及运算法则(1)复数z =a +b i(a ,b ∈R )的分类①z 是实数⇔b =0.②z 是虚数⇔b ≠0.③z 是纯虚数⇔a =0且b ≠0.(2)共轭复数复数z =a +b i 的共轭复数z =a -b i.(3)复数的模:复数z =a +b i 的模|z |=a 2+b 2.(4)复数相等的充要条件a +b i =c +d i ⇔a =c 且b =d (a ,b ,c ,d ∈R ).特别地,a +b i =0⇔a =0且b =0(a ,b ∈R ).(5)复数的运算法则加减法:(a +b i)±(c +d i)=(a ±c )+(b ±d )i ;乘法:(a +b i)(c +d i)=(ac -bd )+(ad +bc )i ;除法:(a +b i)÷(c +d i)=ac +bd c 2+d 2+bc -adc 2+d 2i ;其中a ,b ,c ,d ∈R .2.复数的几个常见结论(1)(1±i)2=±2i ;(2)1+i1-i =i ,1-i1+i =-i ;(3)i 4n =1,i 4n +1=i ,i 4n +2=-1,i 4n +3=-i ,i 4n +i 4n +1+i 4n +2+i 4n +3=0(n ∈Z );(4)ω=-12±32i ,且ω0=1,ω2=ω,ω3=1,1+ω+ω2=0.3.程序框图的三种基本逻辑结构(1)顺序结构:如图(1)所示.(2)条件结构:如图(2)和图(3)所示.(3)循环结构:如图(4)和图(5)所示.程序框图由程序框和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤;流程线带有方向箭头,按照算法进行的顺序将程序框连接起来.程序框图的基本逻辑结构包括顺序结构、条件结构和循环结构三种.4.推理推理分为合情推理与演绎推理,合情推理包括归纳推理和类比推理;演绎推理的一般模式是三段论.合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程:实验、观察―→概括、推广→猜测一般性结论(2)类比推理的思维过程:实验、观察―→联想、类推→猜测新的结论5.证明方法(1)分析法的特点:从未知看需知,逐步靠拢已知.推理模式:框图表示:Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显成立的条件(2)综合法的特点:从已知看可知,逐步推出未知.推理模式:框图表示:P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Q n⇒Q(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示要证明的结论).(3)反证法在假定命题结论成立的前提下,经过推理,若推出的结果与定义、公理、定理矛盾,或与命题中的已知条件相矛盾,或与假定相矛盾,从而说明命题结论的反面不可能成立,由此判定命题结论成立的方法叫反证法.1.复数z 为纯虚数的充要条件是a =0且b ≠0(z =a +b i ,a ,b ∈R ).还要注意巧妙运用参数问题和合理消参的技巧.2.复数的运算与多项式运算类似,要注意利用i 2=-1化简合并同类项.3.在解决含有循环结构的框图时,要弄清停止循环的条件.注意理解循环条件中“≥”与“>”的区别.4.解决程序框图问题时,要注意流程线的指向与其上文字“是”“否”的对应.5.类比推理易盲目机械类比,不要被表面的假象(某一点表面相似)迷惑,应从本质上类比.用数学归纳法证明时,易盲目以为n 0的起始值n 0=1,另外注意证明传递性时,必须用n =k 成立的归纳假设.6.在循环结构中,易错误判定循环体结束的条件,导致错求输出的结果.1.复数z =1+i 1-2i的虚部为( ) A.-15 B.15 C.-35 D.35答案 D解析 z =1+i 1-2i =(1+i )(1+2i )(1-2i )(1+2i )=-15+35i ,所以其虚部为35. 2.复数z 满足z (2-i)=1+7i ,则复数z 的共轭复数为( )A.-1-3iB.-1+3iC.1+3iD.1-3i答案 A解析 z (2-i)=1+7i ,∴z =1+7i 2-i =(1+7i )(2+i )(2-i )(2+i )=-5+15i 5=-1+3i , 共轭复数为-1-3i.3.阅读如图所示的程序框图,若m =8,n =10,则输出的S 的值等于( )A.28B.36C.45D.120答案 C解析 第一次循环:S =10,k =1;第二次循环:S =10×92=45,k =2; 第三次循环:S =45×83=120,k =3; 第四次循环:S =120×74=210,k =4; 第五次循环:S =210×65=252,k =5; 第六次循环:S =252×56=210,k =6; 第七次循环:S =210×47=120,k =7; 第八次循环:S =120×38=45,k =8=m ; 结束循环,输出S =45.4.已知x ∈(0,+∞),观察下列各式:x +1x ≥2,x +4x 2=x 2+x 2+4x 2≥3,x +27x 3=x 3+x 3+x 3+27x 3≥4,…, 类比有x +a x n ≥n +1 (n ∈N *), 则a 等于( )A.nB.2nC.n 2D.n n答案 D解析 第一个式子是n =1的情况,此时a =1,第二个式子是n =2的情况,此时a =4,第三个式子是n =3的情况,此时a =33,归纳可以知道a=n n.5.“∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD的对角线相等”,补充以上推理的大前提是()A.正方形都是对角线相等的四边形B.矩形都是对角线相等的四边形C.等腰梯形都是对角线相等的四边形D.矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析用三段论形式推导一个结论成立,大前提应该是结论成立的依据,∵由四边形ABCD 为矩形,得到四边形ABCD的对角线相等的结论,∴大前提一定是矩形的对角线相等.6.用反证法证明命题:“已知a,b∈N*,如果ab可被5整除,那么a,b中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为()A.a,b都被5整除B.a,b都不能被5整除C.a,b不能被5整除D.a不能被5整除答案 B解析由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.命题“a,b∈N*,如果ab可被5整除,那么a,b至少有1个能被5整除”的否定是“a,b都不能被5整除”.7. 以下是解决数学问题的思维过程的流程图:在此流程图中,①,②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法匹配正确的是()A.①—综合法,②—分析法B.①—分析法,②—综合法C.①—综合法,②—反证法D.①—分析法,②—反证法答案 A解析根据已知可得该结构图为证明方法的结构图:∵由已知到可知,进而得到结论的应为综合法,由未知到需知,进而找到与已知的关系为分析法,故①②两条流程线与“推理与证明”中的思维方法为:①—综合法,②—分析法.8.执行如图所示的程序框图,若输出的是n=6,则输入整数p的最小值为()A.15B.16C.31D.32答案 B解析 列表分析如下是否继续循环 S n循环前 0 1第一圈 是 1 2第二圈 是 3 3第三圈 是 7 4第四圈 是 15 5第五圈 是 31 6第六圈 否故当S 值不大于15时继续循环,大于15但不大于31时退出循环,故p 的最小正整数值为16.9.在平面上,如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的一个直角三角形,按图所标边长,由勾股定理有:c 2=a 2+b 2.设想正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥O -LMN ,如果用S 1,S 2,S 3表示三个侧面面积,S 4表示截面面积,那么类比得到的结论是______________.答案 S 21+S 22+S 23=S 24解析 将侧面面积类比为直角三角形的直角边,截面面积类比为直角三角形的斜边,可得S 21+S 22+S 23=S 24.10.若P 0(x 0,y 0)在椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)外,过P 0作椭圆的两条切线的切点为P 1,P 2,则切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2+y 0y b 2=1,那么对于双曲线则有如下命题:若P 0(x 0,y 0)在双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)外,过P 0作双曲线的两条切线,切点为P 1,P 2,则切点弦P 1P 2所在直线的方程是________________.答案 x 0x a 2-y 0y b 2=1 解析 设P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),则P 1,P 2的切线方程分别是x 1x a 2-y 1y b 2=1,x 2x a 2-y 2y b 2=1. 因为P 0(x 0,y 0)在这两条切线上,故有x 1x 0a 2-y 1y 0b 2=1,x 2x 0a 2-y 2y 0b 2=1, 这说明P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线x 0x a 2-y 0y b 2=1上, 故切点弦P 1P 2所在的直线方程是x 0x a 2-y 0y b 2=1.。

2024年高考考前信息必刷卷三(新高考新题型)数学及答案

2024年高考考前信息必刷卷三(新高考新题型)数学及答案

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷(新高考新题型)03数 学(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)2023年的对于三视图的考察也将近有尾声,留意的是立体几何中对圆锥的考察(侧面积的计算也会成一个热点)。

其他的题目难度变化不大,但侧重于考察学生运算能力与分析能力。

应特别注意新高考函数位于第一大题的位置,其难度有所下降,函数中多研究含参讨论单调性及恒成立存在问题,新高考概率位于第二大题的位置,概率中多研究条件概率、古典概率问题,同时注重圆锥曲线常规联立及二级结论(推导)第I 卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。

1.已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系,高三某次模考中,5名学生的数学和地理成绩如下表:学生的编号i 12345数学成绩x 100105908580地理成绩y75■686462现已知其线性回归方程为0.4527.6y x =+,则“■”代表该生的地理成绩为( )A .76B .74.85C .73D .72.52.已知点P 是ABC 的重心,则AP =( )A .1166AP AB AC=+ B .1144AP AB AC=+ C .2133AP AC BC=+ D .2133AP AB BC=+3.在等比数列{}n a 中,24791,16a a a a +=+=-,则101257a a a a +=+( )A .-4B .8C .-16D .164.下列说法中正确的是( )A .没有公共点的两条直线是异面直线B .若两条直线a ,b 与平面α所成的角相等,则//a bC .若平面α,β,γ满足αβ⊥,βγ⊥,则αγ⊥D .已知a ,b 是不同的直线,α,β是不同的平面.若a α⊥,b β⊥,a b ⊥,则αβ⊥5.一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登,这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人.现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队,如果这4人中恰有2人同姓,则不同的挑选方法的种数为( )A .480B .270C .240D .606.已知函数()22x xf x -=-,若不等式()()1ln 0f ax f x ++>在()0,∞+上恒成立,则实数a 的取值范围是( )A .2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B .()1,-+∞C .2,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D .(),1-∞-7.已知()()523456012345611x x a a x a x a x a x a x a x +-=++++++,则13a a +的值为( )A .1-B .1C .4D .2-8.已知12,F F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点,过点2F 作x 轴的垂线与椭圆C 在第一象限的交点为P ,若12F PF ∠的平分线经过椭圆C 的下顶点,则椭圆C 的离心率的平方为( )A B C D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.用“五点法”作函数()()sin φf x A x B ω=++(0A >,0ω>,π2ϕ<)在一个周期内的图象时,列表计算了部分数据,下列有关函数()y f x =描述正确的是( )x ωϕ+0π2π3π22πx a π3b5π6c()f x 131d 1A .函数()f x 的最小正周期是πB .函数()f x 的图象关于点5π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称C .函数()f x 的图象关于直线π3x =对称D .函数()f x 与()π2cos 213g x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭表示同一函数10.若复数2023i 12iz =-,则( )A .z 的共轭复数2i5z +=B .||z =C .复数z 的虚部为1i5-D .复数z 在复平面内对应的点在第四象限11.已知函数()f x 与其导函数()g x 的定义域均为R ,且()1f x -和()21g x +都是奇函数,且()103g =,则下列说法正确的有( )A .()g x 关于=1x -对称B .()f x 关于()1,0对称C .()g x 是周期函数D .112(2)4i ig i =∑=第II 卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合32|0,R 2x A x x x +⎧⎫=≤∈⎨⎬-⎩⎭与集合{|0,Z}B x x x =>∈,求集合A B = 13.已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ,第一象限的A 、B 两点在抛物线上,且满足4BF AF -=,AB =.若线段AB 中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为 .14.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,,,,,E F G H P 均为所在棱的中点,则下列结论正确的序号是.①棱AB 上一定存在点Q ,使得1QC D Q ⊥;②三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π;③过点,,E F G 作正方体的截面,则截面面积为④设点M 在平面11BB C C 内,且1A M 平面AGH ,则1A M 与AB 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数()32123f x x x mx n =-++在1x =时取得极值.(1)求实数m 的值;(2)若对于任意的[]2,4x ∈,()2f x n >恒成立,求实数n 的取值范围.16.(15分)2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行,会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测,检测合格后方可销售,其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试,测试的结果只有三种等次:优秀、良好、合格,优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分,该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为12,良好的概率为13;在续航测试中结果为优秀的概率为25,良好的概率为25,两项测试相互独立,互不影响,该型号新能源汽车两项测试得分之和记为ξ.(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率;(2)求离散型随机变量ξ的分布列与期望.17.(15分)如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为平行四边形,,M N 分别为1,AB DD 的中点.(1)证明:DM 平面1A BN ;(2)若底面ABCD 为矩形,24AB AD ==,异面直线DM 与1A N 1B 到平面1A BN 的距离.18.(17分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>,点()0,2P 在椭圆C 上,过点P 的两条直线PA ,PB 分别与椭圆C 交于另一点A ,B ,且直线PA ,PB ,AB 的斜率满足()40PA PB AB AB k k k k +=≠.(1)求椭圆C 的方程;(2)证明直线AB 过定点;(3)椭圆C 的焦点分别为1F ,2F ,求凸四边形12F AF B 面积的取值范围.19.(17分)已知1a ,2a ,…,n a 是由n (*n ∈N )个整数1,2,…,n 按任意次序排列而成的数列,数列{}n b 满足1k k b n a =+-(1,2,,k n = ).(1)当3n =时,写出数列{}n a 和{}n b ,使得223a b =.(2)证明:当n 为正偶数时,不存在满足k k a b =(1,2,,k n = )的数列{}n a .(3)若1c ,2c ,…,n c 是1,2,…,n 按从大到小的顺序排列而成的数列,写出k c (1,2,,k n = ),并用含n 的式子表示122n c c nc +++ .(参考:222112(1)(21)6n n n n +++=++ .)绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷(新高考新题型)03数 学(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)2023年的对于三视图的考察也将近有尾声,留意的是立体几何中对圆锥的考察(侧面积的计算也会成一个热点)。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做“12+4”专项练10含答案

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做“12+4”专项练10含答案

“12+4”专项练101.设集合A ={x |12<x <3},B ={x |(x +1)(x -2)<0},则A ∩B 等于( )A.{x |12<x <2}B.{x |-1<x <3}C.{x |12<x <1} D.{x |1<x <2}答案 A2.(2016·课标全国乙)设(1+i)x =1+y i ,其中x ,y 是实数,则|x +y i|等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.2 答案 B解析 由(1+i)x =1+y i ,得x +x i =1+y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x =1,x =y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x =1,y =1.所以|x +y i|=x 2+y 2=2,故选B. 3.已知命题p :“∃x 0∈R ,e 0x -x 0-1≤0”,则綈p 为( )A.∃x 0∈R ,e 0x -x 0-1≥0B.∃x 0∈R ,ex -x 0-1>0C.∀x ∈R ,e x -x -1>0D.∀x ∈R ,e x -x -1≥0 答案 C4.设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数,当x ∈[-2,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x 2-2,-2≤x ≤0,x ,0<x <1,则f (52)等于( )A.0B.1C.12 D.-1答案 D解析 因为f (x )是周期为3的周期函数,所以f (52)=f (-12+3)=f (-12)=4×(-12)2-2=-1,故选D.5.设函数f (x )=A sin(ωx +φ) (A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0),且函数f (x )的部分图象如图所示,则有( )A.f (-3π4)<f (5π3)<f (7π6)B.f (-3π4)<f (7π6)<f (5π3)C.f (5π3)<f (7π6)<f (-3π4)D.f (5π3)<f (-3π4)<f (7π6)答案 D解析 由题意T =43(5π6-π12)=π,∴ω=2ππ=2,又∵2×π12+φ=π2,解得φ=π3,∴f (x )=A sin(2x +π3),由图象知f (x )的一个减区间是(π12,7π12),一个增区间是(7π12,1312π),f (-3π4)=f (π4),f (5π3)=f (2π3)=f (2×7π12-2π3)=f (π2), f (7π6)=f (π6),π12<π6<π4<π2<7π12, 所以f (π6)>f (π4)>f (π2),故选D.6.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],则图中x 的值等于( )A.0.12B.0.012C.0.18D.0.018 答案 D解析 依题意,0.054×10+10x +0.01×10+0.006×10×3=1,解得x =0.018,故选D.7.(2016·四川)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a等于()A.-4B.-2C.4D.2答案 D解析∵f(x)=x3-12x,∴f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0,则x1=-2,x2=2.当x∈(-∞,-2),(2,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)单调递增;当x∈(-2,2)时,f′(x)<0,则f(x)单调递减,∴f(x)的极小值点为a=2.8.如图,长方形的四个顶点为O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲线y=x经过点B.小军同学在学做电子线路板时有一电子元件随机落入长方形OABC中,则该电子元件落在图中阴影区域的概率是()A.512 B.12 C.23 D.34答案 C解析图中阴影部分是事件A发生的区域,其面积S阴=⎠⎛4x d x=23x32⎪⎪⎪4=163,S长方形=4×2=8,∴所求概率P=S阴S长方形=1638=23.故选C.9.函数y=|log2x|-(12)x的零点个数是()A.0B.1C.2D.4答案 C解析令y=|log2x|-(12)x=0,即|log2x|=(12)x,在同一坐标系下作出y =|log 2x |和y =(12)x 的图象(图略),易知两图象有2个交点,即函数有2个零点.10.(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列,公比为q ,则“q <0”是“对任意的正整数n ,a 2n -1+a 2n <0”的( ) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件答案 C解析 设数列的首项为a 1,则a 2n -1+a 2n =a 1q 2n -2+a 1q 2n -1=a 1q 2n -2(1+q )<0,即q <-1, 故q <0是q <-1的必要而不充分条件.故选C.11.设椭圆的两个焦点分别为F 1,F 2 ,过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ,若△F 1PF 2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( ) A.3+1 B.2+1 C.3-1 D.2-1 答案 D解析 设点P 在x 轴上方, 则依题意,P 点的坐标为(c ,b 2a ).因为△F 1PF 2为等腰直角三角形, 所以b 2a =2c ,b 2=2ac ,即a 2-c 2=2ac ,两边除以a 2得1-e 2=2e ,解得e =2-1(e =-2-1舍去),故选D.12.已知f (x )=|x 2-1|+x 2+kx ,若关于x 的方程f (x )=0在(0,2)上有两个不相等的实根,则k 的取值范围是( )A.(-1,0)B.(-72,+∞)C.(-∞,-72)∪(-1,+∞)D.(-72,-1)答案 D解析 本题考查函数零点及函数与方程的关系. 当x ∈(0,1]时,f (x )=1-x 2+x 2+kx =kx +1, 此时方程f (x )=0有一个零点-1k ;当x ∈(1,2)时,f (x )=g (x )=x 2-1+x 2+kx =2x 2+kx -1. ∵g (x )=2x 2+kx -1=0必有一正根、一负根, ∴正根一定位于区间(1,2)上,即⎩⎪⎨⎪⎧g(1)<0,g(2)>0,0<-1k≤1,解得-72<k<-1,故选D.13.如果执行下面的程序框图,那么输出的S=________.答案 2解析开始i=0,S=2,判断i<4?是,i=1,S=2-12+1=13,判断i<4?是,i=2,S=13-113+1=-12,判断i<4?是,i=3,S=-12-1-12+1=-3,判断i<4?是,i=4,S=-3-1-3+1=2,判断i<4?否,输出2,所以答案为2.14.(2x2+x-1)5的展开式中,x3的系数为__________.(用数字填写答案)答案-30解析因为(2x2+x-1)5=(2x-1)5(x+1)5,所以x3的系数为C2523·1-C3522·C45+C4521·C35-C5520·C25=-30.15.(2016·上海)已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于_____. 答案733解析 利用余弦定理可求得最大边7所对应角的余弦值为32+52-722×3×5=-12,所以此角的正弦值为32, 由正弦定理得2R =732, 所以该三角形的外接圆半径R =733.16.观察下面等式,则按此规律第n 个等式为____________________________.1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……………………答案 n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2 解析 等式的右边为1,9,25,49,…, 即为12,32,52,72,…,即奇数的平方, 等式的左边为正整数为首项, 每行个数为对应奇数的和, 所以第n 个式子的右边为(2n -1)2, 左边为n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2),所以第n 个式子为n +(n +1)+(n +2)+…+(3n -2)=(2n -1)2.合理分配高考数学答题时间找准目标,惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习,对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心,我们把这称为战术上的纯熟。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做“12+4”专项练8含答案

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做“12+4”专项练8含答案

“12+4”专项练81.已知集合A ={x |(x -4)(x +2)<0},B ={-3,-1,1,3,5},则A ∩B 等于( ) A.{-1,1,3} B.{-3,-1,1,3} C.{-1,1,3,5} D.{-3,5} 答案 A2.复数53+4i 的共轭复数是( )A.3-4iB.35+45iC.3+4iD.35-45i答案 B3.命题“∀x ∈R ,都有log 2x >0成立”的否定为 ( ) A.∃x 0∈R ,使log 2x 0≤0成立 B.∃x 0∈R ,使log 2x 0>0成立 C.∀x ∈R ,都有log 2x ≥0成立 D.∀x ∈R ,都有log 2x >0成立 答案 A4.已知p :x >1,y >1,q :x +y >2,xy >1,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A5.某一批花生种子,如果每1粒发芽的概率为45,那么播下4粒种子恰好有2粒发芽的概率是( )A.16625B.96625C.192625D.256625 答案 B解析 依题意可知发芽数量满足二项分布X ~B (4,45),所以P (X =2)=C 24(45)2(15)2=96625. 6.将函数f (x )=sin(2x +π4)的图象向左平移φ (φ>0)个单位后,得到的函数图象关于y 轴对称,则φ的最小值为( ) A.58π B.38π C.π4 D.π8 答案 D解析 将函数f (x )=sin(2x +π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后,可得函数f (x )=sin[2(x +φ)+π4]=sin(2x +2φ+π4)的图象.再根据得到的函数图象关于y 轴对称,可得2φ+π4的最小正值为π2,∴φ=π8,故选D. 7.已知{a n }为等差数列,且a 6=4,则a 4a 7的最大值为( ) A.8 B.10 C.18 D.36 答案 C解析 设等差数列的公差为d ,则a 4a 7=(a 6-2d )(a 6+d )=(4-2d )(4+d )=-2(d +1)2+18,即a 4a 7的最大值为18. 8.如图,在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,AA 1=2,AC =BC =1,则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是 ( )A.65 B.64 C.66 D.63答案 C解析 连接BC 1,如图,由AC ∥A 1C 1可得异面直线A 1B 与AC 所成角为∠BA 1C 1,在△BA 1C 1中,A 1C 1=1,BC 1=5,A 1B =6,由余弦定理可得cos ∠BA 1C 1=A 1B 2+A 1C 21-BC 212A 1B ·A 1C 1=66.9.(2016·浙江)函数y =sin x 2的图象是( )答案 D解析 ∵y =sin x 2为偶函数,其图象关于y 轴对称,排除A 、C.又当x 2=π2,即x =±π2时,y max =1,排除B ,故选D.10.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC的面积是( )A.3B.932C.332 D.3 3答案 C解析 ∵c 2=(a -b )2+6, ∴c 2=a 2+b 2-2ab +6.①∵C =π3,∴c 2=a 2+b 2-2ab cos π3=a 2+b 2-ab .②由①②得-ab +6=0,即ab =6. ∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=332.11.已知实数x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x -3y -6≤0,y ≤2x +4,2x +3y -12≤0,直线(1+λ)x +(1-2λ)y +3λ-12=0 (λ∈R )过定点A (x 0,y 0),则z =y -y 0x -x 0的取值范围为( )A.(-∞,15]∪[7,+∞)B.[15,7] C.(-∞,17]∪[5,+∞)D.[17,5] 答案 D解析 由直线(1+λ)x +(1-2λ)y +3λ-12=0可得x +y -12=(-x +2y -3)λ,可知⎩⎪⎨⎪⎧ -x +2y -3=0,x +y -12=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x =7,y =5,即定点A (7,5),故z =y -5x -7,由不等式组作出可行域如图,目标函数可视为点A 与可行域中的点连线的斜率,则由图可知分别取点P ,Q 时,z 取得最小、最大值,又P (0,4),Q (6,0), 故z min =17,z max =5,故z 的取值范围为[17,5].12.对于三次函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d ,给出定义:设f ′(x )是函数y =f (x )的导数,f ″(x )是f ′(x )的导数,若方程f ″(x )=0有实数解x 0,则称点(x 0,f (x 0))为函数y =f (x )的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f (x )=13x 3-12x 2+3x -512,根据这一发现,则函数f (x )=13x 3-12x 2+3x -512的对称中心为( ) A.(12,1) B.(-12,1) C.(12,-1) D.(-12,-1) 答案 A解析 依题意,得f ′(x )=x 2-x +3,∴f ″(x )=2x -1,由f ″(x )=0,即2x -1=0.∴x =12,又f (12)=1,∴函数f (x )=13x 3-12x 2+3x -512的对称中心为(12,1).13.在8张奖券中有一,二,三等奖各1张,其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人,每人2张,则不同的获奖情况有________种(用数字作答). 答案 60解析 当一,二,三等奖被三个不同的人获得,共有A 34=24(种)不同的方法,当一,二,三等奖被两个不同的人获得,即有一个人获得其中的两个奖,共有C 23A 24=36(种)方法,所以获奖的不同情况有24+36=60(种)不同的方法.14.已知向量b 为单位向量,向量a =(1,1),且|a -2b |=6,则向量a ,b 的夹角为_____. 答案2π3解析 因为b 为单位向量,向量a =(1,1),所以|a |=2,|b |=1,因为|a -2b |=6⇒a 2-22a·b +2b 2=6,即2-22a·b +2=6⇒a·b =-22,所以向量a ,b 的夹角为cos 〈a ,b 〉=a·b|a||b |=-12,所以向量a ,b 的夹角为2π3. 15.已知F 1,F 2是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9,则b =________. 答案 3解析 由PF 1→⊥PF 2→知∠F 1PF 2=90°,则由题意,得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|+|PF 2|=2a ,12|PF 1|·|PF 2|=9,|PF 1|2+|PF 2|2=4c 2,可得4c 2+36=4a 2,即a 2-c 2=9, 所以b =3.16.在平面直角坐标系中,半径为r ,以点(x 0,y 0)为圆心的圆的标准方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=r 2;则类似地,在空间直角坐标系中,半径为R ,以(x 0,y 0,z 0)为球心的球的标准方程为________________.答案 (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2解析 在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时,一般为:由平面几何中圆的性质,类比推理空间几何中球的性质;故由“以半径为r ,以点(x 0,y 0)为圆心的圆的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2=r 2”,类比到空间可得的结论是:以点(x 0,y 0,z 0)为球心,R 为半径的球的方程为(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2.合理分配高考数学答题时间找准目标,惜时高效——合理分配高考数学答题时间经过漫长的第一、第二轮复习,对于各知识点的演练同学们已经烂熟于心,我们把这称为战术上的纯熟。

高三理科数学“12条选择+4条填空”限时训练题(7)含答案(全国适用)

高三理科数学“12条选择+4条填空”限时训练题(7)含答案(全国适用)

A.函数
y
sin
2x
3
在区间
3
,
6
内单调递增
B.函数 y cos4 x sin4 x 的最小正周期为 2
C.函数
y
cos
x
3
的图像是关于点
6
,
0
成中心对称的图形
开始
D.函数
y
tan
x
3
的图像是关于直线
x
6
成轴对称的图形
6.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).
0
PQ 的长度的最小值是( ).
2
A.
2
17
B.
3
C. 5
35
D.
5
12.已知点O 是 △ABC 的外心, AB 6 , AC 10 .若 AO x AB y AC ,
且 2x 10 y 5 ,则△ABC 的面积为( ).
A. 24
20 2
B.
3
C.18 或 20 2 3
D. 24 或 20 2
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高三理科数学“12+4”限时抢分训练题(七)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
1.已知集合 A
x x2 2x 0
,B
x
x x
1 1
0
,则
A
R B ( ).
A.x 0 x 1
画出可行域,如图所示,分析知点 P 到直线 y 2x 1 的距离为 PQ 的最小值,
故 PQmin
2 1 5
3 5 .故选 D. 5
评注 x 12 y 12 0 也可以等价为 x 1 y 1 ,采用分类讨论解决.

高考数学(全国乙卷(理科)考前抢分必做“12+4”专项练4 Word版含答案

高考数学(全国乙卷(理科)考前抢分必做“12+4”专项练4 Word版含答案

“+”专项练.设全集={<且∈},集合={,,},={,,,},图中阴影部分所表示的集合为().{,,,,,,,}.{,,,,}.{,,,,,,}.{,,,,,}答案.已知为虚数单位,则复数等于()+-.-+.--答案.(·浙江)命题“∀∈,∃∈*,使得≥”的否定形式是().∀∈,∃∈*,使得<.∀∈,∀∈*,使得<.∃∈,∃∈*,使得<.∃∈,∀∈*,使得<答案解析原命题是全称命题,条件为∀∈,结论为∃∈*,使得≥,其否定形式为特称命题,条件中改量词,并否定结论,只有选项符合.°°+°°等于().-答案解析°°+°°=°°-°°=(°-°)=°=,故选. .有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”结论显然是错误的,是因为().大前提错误.小前提错误.推理形式错误.非以上错误答案解析∵大前提的形式:“有些有理数是真分数”,不是全称命题,∴不符合三段论推理形式,∴推理形式错误..若∈,则>是方程-=表示双曲线的().充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件答案解析方程+=表示双曲线,只需满足(-)(--)<,解得>或<-.所以>是方程-=表示双曲线的充分不必要条件..已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()答案解析该几何体是一个四棱锥,其底面是边长为的正方形,右侧面是腰长为的等腰三角形,且垂直于底面,由此可得四棱锥的高为,所以体积=,故选..在正方体—中,,分别为,的中点,则异面直线与所成角的余弦值为()答案解析设正方体的边长为,以为坐标原点,,,分别为,,轴建立空间直角坐标系(如图),则(,,),(,,),(,,),(,,).所以=(,,),=(,,),所以θ==..设函数()=+的导函数′()=+,则数列{}的前项和是()答案解析由题意得函数()=+的导函数′()=+,即-+=+,所以=,即()=+,==(-),所以=(-+-+-+…+-)=(+--),则=(+--)=,故选..某校组织由名学生参加的演讲比赛,采用抽签法决定演讲顺序,在。

新高考数学“12+4”限时抢分(十四)(附答案及解析)

新高考数学“12+4”限时抢分(十四)(附答案及解析)

理科数学“12+4”限时抢分(十四)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.设i 为虚数单位,则复数32ii+的虚部为( ). A. 3i B. 3i - C. 3 D.3-2.已知条件()():30p x m x m --->,条件2:340q x x +-<,若p 是q 的必要不充分条件,则实数m 的取值范围是( ). A. ()(),71,-∞-+∞ B. (][),71,-∞-+∞ C. ()7,1- D.[]7,1-3.已知向量()(),,1,2x y ==-a b ,且()1,3+=a b ,则2-a b 等于( ). A. 1 B. 3 C.4 D. 54.若A 为不等式组002x y y x ⎧⎪⎨⎪-⎩表示的平面区域,则当a 从2-连续变化到1时,动直线x y a +=扫过A 中的那部分的面积为( ).A. 1B.32 C. 34 D. 745.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日长等.右图给出的是源于该思想的程序框图,若输入,a b 的分别为5,2,则输出的n =( ). A. 2 B. 3 C. 4 D. 56.函数()()sin 0f x x ωω=>的图像向右平移12π个单位得到函数()y g x =的图像,并且函数()y g x =在区间,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,则实数ω的值为( ). A. 74 B. 32 C. 2 D.547.如图为某几何体的三视图,则该几何体的内切球的表面积为( ). A.4πB. 3πC. 4πD.43π8.若,x y 满足1ln0x y-=,则y 关于x 的函数图像大致为( ).9.市一中早上8点开始上课,若学生小青和小明均在早上7:40到8:00之间到校,且两人在该时间段的任何时刻到校都是等可能的,则小青比小明至少早5分钟到校的概率为( ). A.932 B. 12 C. 364 D.56410.设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点为F ,虚轴的一个端点为B ,线段BF 与双曲线的一条渐近线交于点A ,若2FA AB =,则双曲线的离心率为( ). A. 6 B. 4 C. 3 D. 211.已知三棱锥O ABC -中,OA ,OB ,OC 两两垂直且长度都是6,长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动,另一个端点N 在BCO △内运动(含边界),则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面围成的几何体的体积为( ).A.6π B.6π或366π+ C. 366π- D. 6π或366π- 12.已知函数()()21e 02x f x x x =+-<,()()2ln g x x x a =++的图像上存在关于y 轴对称的两点,则a 的取值范围是( ).俯视图正视图B.A.⎛-∞ ⎝ B. (-∞ C. ⎛ ⎝ D.⎛⎝二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.在()612x x +的展开式中,含3x 的项的系数为 .14.现有2个男生,3个女生和1个老师共6人站成一排照相,若两端站男生,3个女生中有且仅有两人相邻,则不同的站法种数是 .15.设直线:340l x y a ++=,圆()22:22C x y -+=,若在圆C 上存在两点P ,Q ,在直线上存在一点M ,使得90PMQ ∠=,则a 的取值范围为 .16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,()212,cos 1n n n n S n n b a a n +=+=+π,数列{}n b 的前n 项和为n T ,若2n T tn 对任意的*n ∈N 恒成立,则实数t 的取值范围是 .理科数学“12+4”限时抢分(十四)参考答案一、选择题二、填空题13.60 14.24 15.[]16,4- 16.(],5-∞-解析部分1. 解析3+2i 32+23i i i==-,所以虚部为3-.故选D. 2. 解析 由()()30x m x m --->解得()(),3,x m m ∈-∞++∞,由2340x x +-<解得()4,1x ∈-.因为p 是q 的必要不充分条件,所以()()()4,1,3,m m -⊆-∞++∞,所以37m +<-或1m >,解得7m <-或1m >.故选B.3. 解析 由题可得()2,1=a ,所以()24,3-=-a b ,所以25-==a b .故选D.4. 解析 不等式组表示的平面区域A 如图阴影部分所示,则所求面积为11172212224OBCD BOE CDE S SS =-=⨯⨯-⨯⨯=△△.故选D.5. 解析 5,2,1a b n ===,第一次执行循环体,得15,4,2a b a b ==>,第二次执行循环体,得452,,8,4n a b a b ===>,第三次执行循环体,得1353,,16,8n a b a b ===>,第四次执行循环体,得4054,,32,16n a b a b ===<,结束循环,输出4n =.故选C.6. 解析 由题可得()sin 12g x x ω⎡π⎤⎛⎫=-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.因为函数()y g x =在区间63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,上单调递增,在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减,所以3x π=是函数()y g x =的一条对称轴,所以3122k ωπππ⎛⎫-=+π ⎪⎝⎭,解得22k ω=+,结合四个选项判断,只有C 正确.故选C.7. 解析 由三视图可得几何体为如图所示的四棱锥,其中PA ⊥底面ABCD ,底面ABCD 是边长为3的正方形,4PA =,所以5PB PD ==,所以13462PAD PAB S S ==⨯⨯=△△,115=3522PCD PBC S S =⨯⨯=△△,239ABCD S ==,所以11491233P ABCD ABCD V PA S -=⋅⋅=⨯⨯=,1562+2+9=362P ABCD S -=⨯⨯.设内切圆半径为R ,则球心到棱锥各面的距离均为R ,所以13P ABCD P ABCD S R V --⋅=,所以1R =,所以内切球的表面积244S R =π=π.故选C.8. 解析 由题可得0y >,排除C ,D.因为1ln 0x y -=,所以e ,01,0ex xx y x ⎧⎪=⎨>⎪⎩≤.故选B.9. 解析 设小青到校的时间为x ,小明到校的时间为y ,则(),x y 所有可能的值组成一个边长为20的正方形区域,对应的面积为400S =.记“小青比小明至少早5分钟到校”为事件M ,则(){},5M x y y x =-≥,对应图中阴影部分区域,即ABC △.可求得()40,60A ,()40,45B ,()55,60C ,所以()()12256045554022ABCS =⨯-⨯-=△,所以()2259240032P M ==.故选A.PDABC10. 解析 设点(),0F c ,点()0,B b .因为2FA AB =,所以()2OA OF OB OA -=-,解得2133OA OB OF =+,所以12,33OA c b ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又因为点A 在渐近线b y x a =上,所以2133b b c a =⋅,所以2ce a==.故选D. 11. 解析 由题可得OM ON ⊥,又因为点P 为MN 的中点,所以112OP MN ==,所以点P 的轨迹是以点O 为球心,以1R =为半径的球.若所围成的几何体为球的内部,则其体积为314836V R π=⋅π=,若所围成的几何体为球的外部,三棱锥的内部,则其体积为11666363266V ππ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.故选D.12. 解析 设点(),P x y ()0x <是函数()y f x =图像上的一点,其关于y 轴的对称点(),Q x y -在函数()y g x =图像上,则有()221e 2ln xy x y x a x ⎧=+-⎪⎨⎪=+-⎩,得到()()1e ln 02x a x x -=-<.只需考虑函数()()ln 0y a x x =-<与函数()1e 02x y x =-<的交点问题.当()()ln 0y a x x =-<过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭时,有1ln 2a =,解得a =a <.故选B. 13. 解析 求()612x x +的展开式中3x 项的系数,即为求()612x +的展开式中2x 项的系数,即为226C 260⨯=.14. 解析 2个男生有2种站法,3个女生中选2个站在一起,可以选靠近任何一个男生的2个位子,则有23A 2=12⨯(种)站法,剩下的1个女生和1个老师只有1种站法,则共有212=24⨯(种)站法.15. 解析 设直线:340l x y a ++=上一点1M ,当1M P 与1M Q 都与圆相切的时候,1PM Q ∠最NM P BO AC大,若要存在一点M ,使得90PMQ ∠=,则有190PM Q ∠≥,所以145PM C ∠≥,所以11sin 2PC PM C CM ∠=≥,所以12CM ≤,所以根据点到直线的距离公式得625a +≤,解得164a -≤≤,所以a 的取值范围是[]16,4-.16. 解析 因为数列{}n a 的前n 项和为22n S n n =+,当1n =时,113a S ==,当2n ≥时,121n n n a S S n -=-=+,所以数列{}n a 的通项公式为()21n a n n *=+∈N .又因为当n 为奇数时,()cos 11n +π=,当n 为偶数时,()cos 11n +π=-,所以()()()()2123,2123n n n n b n n n ++⎧⎪=⎨-++⎪⎩为奇数,为偶数. 当n 为奇数时,()()()()123451355779n n n T b b b b b b b -=+++++++=⨯+-⨯+⨯+()()()()()()91111132121212315471121n n n n n -⨯+⨯++--++++=+⨯++++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦21111221547426722n n n n n ⎡--⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥-⎝⎭⎢⎥+⨯⨯+⨯=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦;当n 为偶数时,()()()12341+n n n T b b b b b b -=+++++=()()()()()()35577991121212123n n n n ⨯-⨯+⨯-⨯++-+-++=⎡⎤⎣⎦()2122459214542622n n n n n n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⨯++++=-⨯⨯+⨯=--⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 所以22267,26,n n n n T n n n ⎧++⎪=⎨--⎪⎩为奇数为偶数.若2n T tn ≥对任意的n *∈N 都成立,则使2min n T t n ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤即可.因为当n 为偶数时,2222662n T n n n n n --==--,当2n =时,2min5n T n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,所以(],5t ∈-∞-.。

高考数学(全国乙卷(理科)考前抢分必做“12+4”专项练7 Word版含答案

高考数学(全国乙卷(理科)考前抢分必做“12+4”专项练7 Word版含答案

“+”专项练.已知全集=,={=+},={<},则(∁)∩等于().∅.{<≤}.{<}.{<<}答案.设,∈,且(+)=-,则-等于().-答案.命题“∀∈*,()∈*且()≤”的否定形式是().∀∈*,()∈*且()>.∀∈*,()∉*且()>.∃∈*,()∈*或()>.∃∈*,()∉*或()>答案.(·四川)为了得到函数=的图象,只需把函数=的图象上所有的点().向左平行移动个单位长度.向右平行移动个单位长度.向左平行移动个单位长度.向右平行移动个单位长度答案解析由题可知,==,则只需把=的图象向右平移个单位,故选..下列结论错误的是().命题“若,则”与命题“若綈,则綈”互为逆否命题.命题:“∀∈[,],≤≤(是自然对数的底数),命题:“∃∈,++<”,则∨为真.“<”是“<”成立的必要不充分条件.若∨为假命题,则、均为假命题答案.将函数=的图象向左平移个单位长度,再向上平移个单位长度,所得函数图象对应的解析式为()=(-)+==-=-答案解析将函数=的图象向左平移个单位长度,得到=[(+)]=(+)=,再向上平移个单位长度,得到=+=..设α,β是两个不重合的平面,,是两条不重合的直线,则以下结论错误的是().若α∥β,⊂α,则∥β.若∥α,∥β,α∩β=,则∥.若⊂α,⊂α,∥β,∥β,则α∥β.若∥α,⊥β,则α⊥β答案解析选项可由面面平行的性质可以得到;选项,可由线面平行的性质定理和判定定理,通过论证即可得到;选项,⊂α,⊂α,∥β,∥β,缺少条件和相交,故不能证明面面平行,错误;选项,∥α,⊥β,过作平面γ,α∩γ=,由线面平行的性质可得∥,∴⊥β,⊂α,∴α⊥β,正确..已知(+)=,()=(∈*),猜想()的表达式为()()=()=()=()=答案解析由题意知(+)==,()===,()===;可猜想:()=..(·天津)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出的值为()答案解析=不满足≥,==×=,=+=;=不满足>,=满足≥,则=-=,=+=;=不满足>,=不满足≥,则==×=,=+=;=满足>,输出=.故选. .设点(,)在不等式组(\\(≥,≥,+-≤))所表示的平面区域上,若对∈[,]时,不等式->恒成立,则实数的取值范围是().(,) .(,+∞).(,+∞) .(,+∞)答案。

高考数学(全国乙卷(理科)考前抢分必做“12+4”专项练8 Word版含答案

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“+”专项练.已知集合={(-)(+)<},={-,-,,,},则∩等于().{-,,}.{-,-,,}.{-,,,}.{-,}答案.复数的共轭复数是()-++-答案.命题“∀∈,都有>成立”的否定为 ().∃∈,使≤成立.∃∈,使>成立.∀∈,都有≥成立.∀∈,都有>成立答案.已知:>,>,:+>,>,则是的().充分不必要条件.必要不充分条件.充要条件.既不充分也不必要条件答案.某一批花生种子,如果每粒发芽的概率为,那么播下粒种子恰好有粒发芽的概率是()答案解析依题意可知发芽数量满足二项分布~(,),所以(=)=()()=..将函数()=(+)的图象向左平移φ(φ>)个单位后,得到的函数图象关于轴对称,则φ的最小值为()ππ答案解析将函数()=(+)的图象向左平移φ(φ>)个单位后,可得函数()=[(+φ)+]=(+φ+)的图象.再根据得到的函数图象关于轴对称,可得φ+的最小正值为,∴φ=,故选..已知{}为等差数列,且=,则的最大值为()答案解析设等差数列的公差为,则=(-)(+)=(-)(+)=-(+)+,即的最大值为..如图,在直三棱柱—中,∠=°,=,==,则异面直线与所成角的余弦值是 ()答案解析连接,如图,由∥可得异面直线与所成角为∠,在△中,=,=,=,由余弦定理可得∠==..(·浙江)函数=的图象是()答案解析∵=为偶函数,其图象关于轴对称,排除、.又当=,即=±时,=,排除,故选..在△中,内角,,所对的边分别是,,.若=(-)+,=,则△的面积是()答案解析∵=(-)+,∴=+-+.①∵=,∴=+-=+-.②由①②得-+=,即=.∴△==××=. .已知实数,满足(\\(--≤,≤+,+-≤,))直线(+λ)+(-λ)+λ-=(λ∈)过定点(,),则=的取值范围为()。

高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 考前回扣 回扣4 Word版含答案

高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 考前回扣 回扣4 Word版含答案

回扣数列.牢记概念与公式等差数列、等比数列等差数列等比数列 通项公式 =+(-)=- (≠) 前项和 ==+()≠,== ()=,=.活用定理与结论()等差、等比数列{}的常用性质等差数列等比数列 性质 ①若,,,∈*,且+=+,则+=+②=+(-)③,-,-,…仍成等差数列①若,,,∈*,且+=+,则·=· ②=- ③,-,-,…仍成等比数列(≠)()判断等差数列的常用方法①定义法:+-= (常数) (∈*)⇔{}是等差数列.②通项公式法:=+ (,为常数,∈*)⇔{}是等差数列.③中项公式法:+=++ (∈*)⇔{}是等差数列.④前项和公式法:=+(,为常数,∈*)⇔{}是等差数列.()判断等比数列的三种常用方法①定义法:= (是不为的常数,∈*)⇔{}是等比数列.②通项公式法:= (,均是不为的常数,∈*)⇔{}是等比数列.③中项公式法:=·+(·+·+≠,∈*)⇔{}是等比数列..数列求和的常用方法()等差数列或等比数列的求和,直接利用公式求和.()形如{·}(其中{}为等差数列,{}为等比数列)的数列,利用错位相减法求和.()通项公式形如=(其中,,,为常数)用裂项相消法求和.()通项公式形如=(-)·或=·(-)(其中为常数,∈*)等正负项交叉的数列求和一般用并项法.并项时应注意分为奇数、偶数两种情况讨论.()分组求和法:分组求和法是解决通项公式可以写成=+形式的数列求和问题的方法,其中{ }与{}是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列.()并项求和法:先将某些项放在一起求和,然后再求..已知数列的前项和求,易忽视=的情形,直接用--表示.事实上,当=时,=;当≥时,=--..易混淆几何平均数与等比中项,正数,的等比中项是±..等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件,灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{}与{}的前项和分别为和,已知=,求时,无法正确赋值求解..易忽视等比数列中公比≠,导致增解,易忽视等比数列的奇数项或偶数项符号相同造成增解..运用等比数列的前项和公式时,易忘记分类讨论.一定分=和≠两种情况进行讨论..利用错位相减法求和时,要注意寻找规律,不要漏掉第一项和最后一项.。

高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 “12+4”专项练9 Word版含答案

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“+”专项练
.若集合={≥},且⊆,则集合可能是()
.{,}.{≤}.{-,,}
答案
.复数=的虚部为()
.-.-
答案
.命题:∃∈,>的否定是()
.綈:∀∈,≤.綈:∃∈,≤
.綈:∀∈,<.綈:∃∈,<
答案
.在△中,=°,=,且△的面积为,则的长为()
答案
解析因为=××
=××=,所以=,
所以=+-·°=,
所以=.
.(·课标全国乙)执行如图所示的程序框图,如果输入的=,=,=,则输出,的值满足()
====
答案
解析执行题中的程序框图,知
第一次进入循环体:
=+=,=×=,+<;
第二次执行循环体:=+=,=+=,=×=,+<;
第三次执行循环体:=+=,=+=,=×=,+>,满足+≥,故退出循环,输出=,=,满足=,故选.
.设平面α与平面β相交于直线,直线在平面α内,直线在平面β内,且⊥,则“⊥”是“α⊥β”的()
.充分不必要条件.必要不充分条件
.充要条件.既不充分也不必要条件
答案
.(·课标全国甲)若将函数=的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为()
=-(∈)=+(∈)
=-(∈)=+(∈)
答案
解析由题意将函数=的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为=,由+=π+(∈),得函数的对称轴为=+(∈),故选.。

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 “12+4”专项练2 Word版含答案

考前三个月高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做 “12+4”专项练2 Word版含答案

“12+4”专项练21.设全集I =R ,集合A ={y |y =log 2x ,x >2},B ={x |y =x -1},则( )A.A ⊆BB.A ∪B =AC.A ∩B =∅D.A ∪B =∅ 答案 A2.若复数z 满足z i =1+2i ,则z 的共轭复数是( )A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i答案 B解析 ∵z i =1+2i ,∴z =1+2i i=2-i ,∴z =2+i. 3.下列有关命题的说法错误的是( )A.若“p ∨q ”为假命题,则p ,q 均为假命题B.“x =1”是“x ≥1”的充分不必要条件C.“sin x =12”的必要不充分条件是“x =π6” D.若命题p :∃x 0∈R ,x 20≥0,则命题綈p :∀x ∈R ,x 2<0 答案 C4.命题“若a >-3, 则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中, 真命题的个数为 ( )A.0B.1C.2D.3答案 C5.(2016·北京)设a ,b 是向量,则“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案 D解析 若|a |=|b |成立,则以a ,b 为邻边构成的四边形为菱形,a +b ,a -b 表示该菱形的对角线,而菱形的对角线不一定相等,所以|a +b |=|a -b |不一定成立;反之,若|a +b |=|a -b |成立,则以a ,b 为邻边构成的四边形为矩形,而矩形的邻边不一定相等,所以|a |=|b |不一定成立,所以“|a |=|b |”是“|a +b |=|a -b |”的既不充分也不必要条件.6.已知函数f (x )=sin(2x +φ),其中0<φ<2π,若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立,且f (π2)>f (π),则φ等于( )A.π6B.5π6C.7π6D.11π6答案 C解析 若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立, 所以|f (x )|max =f (π6)=sin(2×π6+φ)=sin(π3+φ), 即π3+φ=k π+π2,k ∈Z , 又0<φ<2π,所以φ=π6或φ=7π6, 当φ=π6时,f (π2)=sin(π+π6)=-sin π6=-12, f (π)=sin(2π+π6)=sin π6=12,f (π2)<f (π), 不合题意,当φ=7π6时,f (π2)=sin(π+7π6)=-sin 7π6=12, f (π)=sin(2π+7π6)=sin 7π6=-12,f (π2)>f (π),符合题意,所以φ=7π6,故选C. 7.已知两个不重合的平面α,β和两条不同的直线m ,n ,则下列说法正确的是( )A.若m ⊥n ,n ⊥α,m ⊂β,则α⊥βB.若α∥β,n ⊥α,m ⊥β,则m ∥nC.若m ⊥n ,n ⊂α,m ⊂β,则α⊥βD.若α∥β,n ⊂α,m ∥β,则m ∥n答案 B解析 A.若n ⊥α,m ⊥n ,则m ∥α或m ⊂α,又m ⊂β,∴α⊥β不成立,∴A 错误.B.若α∥β,n ⊥α,则n ⊥β,又m ⊥β,∴m ∥n 成立,∴B 正确.C.m ⊥n ,n ⊂α,m ⊂β,则α⊥β或α∥β.∴C 错误.D.若α∥β,n ⊂α,m ∥β,则m ∥n 或m 与n 相交或m ,n 为异面直线,∴D 错误.8.如图是某几何体的三视图,则该几何体体积是( )A.33B.533C.233D. 3 答案 B解析 由三视图可知,该几何体是由三棱柱割掉一个角(三棱锥)而成的几何体,所以体积为34×22×2-13×34×22×1=533. 9.已知{a n }为等比数列, a 1>0,a 4+a 7=2,a 5a 6=-8,则a 1+a 4+a 7+a 10等于( )A.-7B.-5C.5D.7答案 B解析 由等比数列性质可得a 5a 6=a 4a 7=-8,又a 4+a 7=2,解之得a 4=-2或a 7=4或a 7=-2,a 4=4,因为a 7=a 1q 6>0,所以a 4=-2,a 7=4,a 7=a 4q 3=-2q 3=4,所以q 3=-2,所以a 1=a 4q3=1,a 10=a 7q 3=-8,所以a 1+a 4+a 7+a 10=-5,故选B. 10.设随机变量X ~B ( n , p ),且E (X )=6,D (X )=3,则P (X =1)的值为( ) A.34 B.116 C.31 024 D.1256答案 C解析 根据二项分布的均值和方差公式,有⎩⎪⎨⎪⎧np =6,np (1-p )=3, 解之得n =12,p =12, 所以P (X =1)=C 112(12)12=31 024. 11.观察下列的图形中小正方形的个数,则第6个图和第n 个图小正方形的个数( )A.28,(n +1)(n +2)2B.14,(n +1)(n +2)2C.28,n 2D.12,(n 2+n )2答案 A解析 观察所给图形的小正方形,可得a n -a n -1=n +1 (n ≥2,n ∈N ),即a 2-a 1=3,a 3-a 2=4,…,a n -a n -1=n +1,这n -1个式子相加得到a n -a 1=(n -1)(3+n +1)2=(n -1)(n +4)2,a 1=3,解得a n =(n -1)(n +4)2+3=n 2+3n +22=(n +1)(n +2)2,验证n =1成立,当n =6时,a n =28,故选A.12.定义在R 上的函数f (x )的导函数为f ′(x ),已知f (x +1)是偶函数,(x -1)f ′(x )<0,若x 1<x 2且x 1+x 2>2,则f (x 1)与f (x 2)的大小关系为( )A.f (x 1)<f (x 2)B.f (x 1)=f (x 2)C.f (x 1)>f (x 2)D.不确定答案 C解析 因为f (x +1)是偶函数,所以f (-x +1)=f (x +1),则f (x )的图象关于x =1对称,由(x -1)f ′(x )<0得,x >1时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;x <1时,f ′(x )>0,f (x )单调递增.若x 1≤1,由x 1+x 2>2,得x 2>2-x 1≥1,所以f (x 1)=f (2-x 1)>f (x 2);若x 1>1,则1<x 1<x 2,所以f (x 1)>f (x 2).综上知f (x 1)>f (x 2).13.如图是一个算法的程序框图,最后输出的S =________.答案 25解析 因为a =1时,P =9>0,则S =9,此时a =2,P =16>9,继续可得S =16,将a =3代入得P =21>16,则得S =21,将a =4代入得P =24>21,则S =24,将a =5代入得P =25>24,得S =25,将a =6代入得P =24<25,此时输出S =25.14.若⎩⎪⎨⎪⎧ x -y ≤0,x +y ≥0,y ≤a ,若z =x +2y 的最大值为3,则a 的值是________.答案 1解析 画出可行域如图所示,A (a ,a )为最优解,故z =3a =3,a =1.15.如图,已知△ABC 的边BC 的垂直平分线交AC 于点P ,交BC 于点Q .若|AB →|=3,|AC →|=5,则(AP →+AQ →)·(AB →-AC →)的值为________.答案 -16解析 (AP →+AQ →)·(AB →-AC →)=(QP →+2AQ →)·(AB →-AC →)=QP →·(AB →-AC →)+2AQ →·(AB →-AC →)=QP →·CB →+2AQ →·(AB →-AC →)= 2AQ →)·(AB →-AC →)=(AB →+AC →)·(AB →-AC →)=AB →2-AC →2=9-25=-16.16.设P 为直线y =b 3a x 与双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)左支的交点,F 1是左焦点,PF 1垂直于x 轴,则双曲线的离心率e =________.答案 324解析 设P (-c ,y 0),代入双曲线C ∶x 2a 2-y 2b2=1, 得y 20=(b 2a )2,由题意知y 0<0,∴y 0=-b 2a , 又∵P 在直线y =b 3ax 上,代入得c =3b , 又∵c 2=a 2+b 2,∴e =c a =324.。

最新高考数学(理)抢分秘籍14 选考内容(含答案解析)

最新高考数学(理)抢分秘籍14 选考内容(含答案解析)

最新高考数学(理)抢分秘籍14 选考内容1.在平面直角坐标系中,坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l 上两点M ,N 的极坐标分别为(2,0),(2√33,π2).圆C 的参数方程为{x =2+2cosθy =−3+2sinθ,(θ为参数).(Ⅰ)设P 为线段MN 的中点,求直线OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系. 【解答】:(Ⅰ)M ,N 的极坐标分别为(2,0),(2√33,π2),所以M 、N 的直角坐标分别为:M (2,0),N (0,2√33),P 为线段MN 的中点(1,√33),直线OP 的平面直角坐标方程y=√33x ;(Ⅱ)圆C 的参数方程{x =2+2cosθy =−3+2sinθ(θ为参数).它的直角坐标方程为:(x ﹣2)2+(y+3)2=4,圆的圆心坐标为(2,﹣3),半径为2,直线l 上两点M ,N 的直角坐标分别为M (2,0),N (0,2√33),方程为x+√3y ﹣2=0,圆心到直线的距离为:|2−3√3−2|√12+(√3)2=3√32>2,所以,直线l 与圆C 相离.极坐标与直角坐标的互化方法(1)互化的前提:①直角坐标系的原点与极点重合;②x 轴的正半轴与极轴重合;③在两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式:设M 是平面内任一点,它的直角坐标是(x ,y ),极坐标是(ρ,θ),则极坐标与直角坐标的互化公式为cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩,222tan (0)x y yx x ρθ⎧=+⎪⎨=≠⎪⎩.2.在平面直角坐标系中,直线l 的参数方程为{x =t+1y =2t +6(其中t 为参数),现以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ+3=0. (Ⅰ)写出直线l 和曲线C 的普通方程;(Ⅱ)已知点P 为曲线C 上的动点,求P 到直线l 的距离的最大值和最小值. 【解答】:(Ⅰ)∵直线l 的参数方程为{x =t +1y =2t +6(其中t 为参数),∴直线l 的普通方程为y=2x+4,∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ+3=0.ρ2=x 2+y 2,ρcos θ=x ,ρsin θ=y , ∴曲线C 的普通方程为x 2+y 2﹣4x+3=0.(Ⅱ)如图,过圆心C 作l 的垂线m ,交圆于A 、B 两点,则A 点到直线l 的距离最小,B 点到直线l 的距离最大,记垂足为Q , 则|CQ|=8√5=8√55,∴圆上点P 到l 的距离的最小值为|AQ|=8√55﹣1,最大值为|BQ|=8√55+1.1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,将参数方程化为普通方程需消去参数. (2)如果知道变量x ,y 中的一个与参数t 的关系,例如,x =f (t ),把它代入普通方程,求出另一个变量与参数t 的关系y =g (t ),那么x f t y g t =⎧⎨=⎩(),()就是曲线的参数方程.(1)在参数方程与普通方程的互化中,一定要注意变量的范围以及转化的等价性.(2)普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一,即如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同. 2.几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ,b )为圆心,r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =a +r cos α,y =b +r sin α,其中α是参数.当圆心在(0,0)时,方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =r cos α,y =r sin α,其中α是参数.(2)椭圆椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x =a cos φ,y =b sin φ,其中φ是参数.椭圆x 2b 2+y 2a 2=1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =b cos φ,y =a sin φ,其中φ是参数.(3)直线经过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+t cos α,y =y 0+t sin α,其中t 是参数.3.已知函数f (x )=|x+1|﹣|x ﹣2|. (1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2﹣x+m 的解集非空,求m 的取值范围.【解答】:(1)∵f (x )=|x+1|﹣|x ﹣2|={−3,x <−12x −1,−1≤x ≤23,x >2,f (x )≥1,∴当﹣1≤x ≤2时,2x ﹣1≥1,解得1≤x ≤2; 当x >2时,3≥1恒成立,故x >2; 综上,不等式f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)原式等价于存在x ∈R 使得f (x )﹣x 2+x ≥m 成立,即m ≤[f (x )﹣x 2+x]max ,设g (x )=f (x )﹣x 2+x .由(1)知,g (x )={−x 2+x −3,x ≤−1−x 2+3x −1,−1<x <2−x 2+x +3,x ≥2,当x ≤﹣1时,g (x )=﹣x 2+x ﹣3,其开口向下,对称轴方程为x=12>﹣1, ∴g (x )≤g (﹣1)=﹣1﹣1﹣3=﹣5;当﹣1<x <2时,g (x )=﹣x 2+3x ﹣1,其开口向下,对称轴方程为x=32∈(﹣1,2), ∴g (x )≤g (32)=﹣94+92﹣1=54;当x ≥2时,g (x )=﹣x 2+x+3,其开口向下,对称轴方程为x=12<2,∴g (x )≤g (2)=﹣4+2+3=1; 综上,g (x )max =54,∴m 的取值范围为(﹣∞,54].1.|ax +b |≤c ,|ax +b |≥c 型不等式的解法(1)若c >0,则|ax +b |≤c ⇔–c ≤ax +b ≤c ,|ax +b |≥c ⇔ax +b ≥c 或ax +b ≤–c ,然后根据a ,b 的取值求解即可;(2)若c <0,则|ax +b |≤c 的解集为∅,|ax +b |≥c 的解集为R . 2.|x –a |+|x –b |≥c ,|x –a |+|x –b |≤c (c >0)型不等式的解法零点分区间法零点分区间法的一般步骤为:①令每个绝对值符号内的代数式为零,并求出相应的根;②将这些根按从小到大排序,并把实数集分成若干个区间;③由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式,解这些不等式,求出解集; ④取各个不等式解集的并集即可得到原不等式的解集.几何法(利用|x –a|的几何意义)由于|x –a|+|x –b|与|x –a|–|x –b|分别表示数轴上与x 对应的点到与a ,b 对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x –a|+|x –b|≤c (c >0)或|x –a|–|x –b|≥c (c >0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.数形结合法通过构造函数,利用函数的图象求解,体现函数与方程的思想,正确求出函数的零点并画出函数图象是解题的关键.3.|f (x )|>g (x ),|f (x )|<g (x )(g (x )>0)型不等式的解法: ①|f (x )|>g (x )⇔f (x )>g (x )或f (x )<–g (x ); ②|f (x )|<g (x )⇔–g (x )<f (x )<g (x ).4.设函数f (x )=|x ﹣1|﹣|x+2|,若﹣2<f (a )<0,﹣2<f (b )<0. (1)证明:|a+b|<1;(2)比较2|a ﹣b|与|1﹣4ab|的大小.【解答】:(1)f(x)={3,x <−2−2x −1,−2≤x <1−3,x ≥1,由{−2≤x <1−2<−2x −1<0得−12<x <12.从而−12<a <12,−12<b <12,即|b|≤12.|b|<12; 所以|a +b|≤|a|+|b|<12+12=1.(2)(2|a ﹣b|)2﹣|1﹣4ab|2=(4a 2﹣1)(4b 2﹣1). 由(1)得a 2<14,b 2<14,所以(4a 2﹣1)(4b 2﹣1)>0,故2|a ﹣b|>|1﹣4ab|.不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、反证法等. (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显,可考虑用分析法;(2)如果待证命题是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的,则考虑用反证法;(3)如果待证不等式与自然数有关,则考虑用数学归纳法.在必要的情况下,可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.1.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.已知圆C的极坐标方程为ρ2﹣4√2ρcos(θ﹣π4)+6=0.(1)将极坐标方程化为普通方程,并选择恰当的参数写出它的参数方程;(2)若点P(x,y)在圆C上,求x+y的最大值和最小值.【解答】:(1)由ρ2−4√2ρcos(θ−π4)+6=0,得ρ2−4√2ρ(cosθcosπ4+sinθsinπ4)+6=0,即ρ2−4√2ρ(√22cosθ+√22sinθ)+6=0,ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0,即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程,整理为圆的标准方程(x﹣2)2+(y﹣2)2=2,令x﹣2=√2cosα,y﹣2=√2sinα.得圆的参数方程为{x=2+√2cosαy=2+√2sinα(α为参数);(2)由(1)得:x+y=4+√2(cosα+sinα)=4+2sin(α+π4),∴当sin(α+π4)=1时,x+y的最大值为6,当sin(α+π4)=﹣1时,x+y的最小值为2.故x+y的最大值和最小值分别是6和2.1.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程时,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数基本关系式消参,如sin2θ+cos2θ=1等;(2)将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响,注意两种方程的等价性,避免产生增解的情况.2.将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数t ,确定x =f (t ),再代入普通方程,求得y =g (t ),即可化为参数方程x f t y g t =⎧⎨=⎩(),().注意参数t 的意义和取值范围.选取参数的原则:(1)曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单;(2)当参数取某一个值时,可以唯一确定x ,y 的值.一般地,与时间有关的问题,常取时间作为参数;与旋转有关的问题,常取旋转角作为参数.此外也常常用线段的长度,直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数. 3.化参数方程为普通方程的基本思路化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式(三角的或代数的)消参法;极坐标方程与直角坐标方程的互化主要是用好“公式”.一般与极坐标方程和参数方程有关的问题多采用化为直角坐标方程的方法,结合图形,合理转化,加以求解.2.极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点,极轴为x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相同,已知曲线C 的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ). (1)求曲线C 的直角坐标方程;(2)直线l :{x =12ty =1+√32t(t 为参数)与曲线C 交于A ,B 两点,求|AB|. 【解答】解:(1)∵曲线C 的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ) ∴ρ2=2ρcos θ+2ρsin θ,∴x 2+y 2=2x+2y 即(x ﹣1)2+(y ﹣1)2=2(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,得t 2﹣t ﹣1=0, 所以|AB|=|t 1|+|t 2|=|t 1﹣t 2|=√1+4=√51.求解与极坐标有关问题的主要方法(1)直接法:直接利用极坐标系求解,可与数形结合思想配合使用;(2)间接法:转化为直角坐标系,用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标,还应将直角坐标化为极坐标.2.对于直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x =x 0+aty =y 0+bt (t 为参数)易忽视只有满足a 2+b 2=1时t 才有几何意义.3.已知函数()|22|5f x x =+-.(1)解不等式:()|1|f x x ≥-;(2)已知1m ≥-,若函数()()||g x f x x m =+-的图象与x 轴围成一个三角形,求实数m 的取值范围. 【解析】(1)依题意,|22|5|1|x x +-≥-,①当1x <-时,原式化为2251x x ---≥-,解得8x ≤-; ②当11x -≤≤时,原式化为2251x x +-≥-,解得43x ≥,∵11x -≤≤,∴此时原不等式无解; ③当1x >时,原式化为2251x x +-≥-,解得2x ≥. 综上所述,不等式()|1|f x x ≥-的解集为(,8][2,)-∞-+∞U . (2)依题意,()(1)|22|5(|1|5)|1|0g m g m m m --=+--+-=+≥, 故()(1)g m g ≥-,当且仅当1m =-时取等号. 若1m =-,则()3|1|5g x x =+-满足题意;若1m >-,则33,,()|||22|53,1,37,1,x m x m g x x m x x m x m x m x --≥⎧⎪=-++-=+--≤<⎨⎪-+-<-⎩因为()(1)g m g >-,此时函数()g x 的图象和x 轴围成一个三角形等价于()230,(1)40,g m m g m =-≥⎧⎨-=-<⎩解得3[,4)2m ∈.综上所述,实数m 的取值范围为3[,4){1}2-U .1.可利用|||a |-|b |≤|a ±b |≤|a |+|b |去求形如f (x )=|x –a |+|x –b |或f (x )=|x –a |–|x –b |的最值. 2.不等式恒成立问题关键在于利用转化思想,常见的有:f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a ;f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a ;f (x )>a 有解⇔f (x )max >a ;f (x )<a 有解⇔f (x )min <a ;f (x )>a 无解⇔f (x )max ≤a ;f (x )<a 无解⇔f (x )min ≥a .4.已知函数f(x)=|2x+a|+|x﹣2|(其中a∈R).(1)当a=﹣1时,求不等式f(x)≥6的解集;(2)若关于x的不等式f(x)≥3a2﹣|2﹣x|恒成立,求a的取值范围.【解答】:(1)当a=﹣1时,函数f(x)=|2x﹣1|+|x﹣2|;则不等式为|2x﹣1|+|x﹣2|≥6;①当x≥2时,原不等式为2x﹣1+x﹣2≥6,解得:x≥3;≤x<2时,原不等式为2x﹣1+2﹣x≥6,解得:x≥5.此时不等式无解;②当12③当x<1时,原不等式为1﹣2x+2﹣x≥6,解得:x≤﹣1;2∴原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3};(2)不等式f(x)≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|;即关于x的不等式|2x+a|+2|x﹣2|≥3a2恒成立;而|2x+a|+2|x﹣2|=|2x+a|+|2x﹣4|≥|(2x+a)﹣(2x﹣4)|=|a+4|;∴|a+4|≥3a2;∴a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2;或a∈∅;解得−1≤a≤43].所以a的取值范围是[−1,431.不等式恒成立问题不等式的解集为R是指不等式恒成立问题,而不等式的解集为φ的对立面也是不等式恒成立问题,如f (x)>m的解集为φ,则f(x)≤m恒成立.2.不等式能成立问题(1)在区间D上存在实数x使不等式f(x)>A成立,等价于在区间D上f(x)max>A;(2)在区间D上存在实数x使不等式f(x)<B成立,等价于在区间D上f(x)min<B.3.不等式恰成立问题(1)不等式f(x)>A在区间D上恰成立,等价于不等式f(x)>A的解集为D;(2)不等式f (x )<B 在区间D 上恰成立,等价于不等式f (x )<B 的解集为D .5.设函数f (x )=|3x ﹣1|.(Ⅰ)解不等式f (x )﹣f (2﹣x )>x ; (Ⅱ)若a+b=2,证明:f (a 2)+f (b 2)≥4.【解答】:(Ⅰ)不等式f (x )﹣f (2﹣x )>x ⇔|3x ﹣1|﹣|3x ﹣5|>x . 可化为{x >13−4>x 或{13≤x ≤536x −6>x 或{x >534>x ,⇒x ∈∅,或65<x ≤53或53<x <4.∴原不等式解集为(65,4].(Ⅱ)证明:∵a+b=2,∴a 2+b 22≥(a+b 2)2=1,即a 2+b 2≥2,f (a 2)+f (b 2)=|3a 2﹣1|+|3b 2﹣1|≥|3(a 2+b 2)﹣2|≥3×2﹣2=4.利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法(1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时,常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形,使其完全满足基本不等式要求的“一正、二定、三相等”三个条件.(2)在应用柯西不等式求最大值时,要注意等号成立的条件,柯西不等式在排列上规律明显,具有简洁、对称的美感,运用柯西不等式求解时,按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题.1. 点 P(1,−√3),则它的极坐标是 ( )A. (2,π3) B. (2,4π3) C. (2,−π3)D. (2,−4π3)2. 把方程 xy =2 化为以 t 为参数的参数方程是 ( )A. {x =2t 12,y =t 12B. {x =sint,y =2sintC. {x =2cost,y =1costD. {x =tant,y =2tant3. 将点 M 的极坐标 (4,π6) 化成直角坐标为 ( )A. (2,2√3)B. (2√3,2)C. (2√2,2√2)D. (−2√3,2)4. 曲线 y =x 2 的一种参数方程是 ( )A. {x =t 2,y =t 4B. {x =sint,y =sin 2tC. {x =√t,y =tD. {x =t,y =t 2 5. 已知点 P 的极坐标是 (1,π3),则过点 P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ( )A. ρ=1B. ρ=cosθC. ρ=−1cosθD. ρ=12cosθ6. 在同一平面的直角坐标系中,直线 x −2y =2 经过伸缩变换 {xʹ=xyʹ=4y 后,得到的直线方程为 ( )A. 2xʹ+yʹ=4B. 2xʹ−yʹ=4C. xʹ+2yʹ=4D. xʹ−2yʹ=47. 直线 l 的参数方程为 {x =−√3t,y =1+3t (t 为参数),则 l 的倾斜角大小为 ( )A. π6 B . π3 C.2π3D.5π68. 在极坐标系中,直线 ρ(√3cosθ−sinθ)=2 与圆 ρ=4sinθ 的交点的极坐标为 ( )A. (2,π6) B. (2,π3) C. (4,π6) D. (4,π3)9. 极坐标方程 (ρ−3)(θ−π2)=0(ρ≥0) 表示的图形是 ( )A. 两个圆B. 一条直线和一条射线C. 两条直线D. 一个圆和一条射线10. 已知直线 {x =2+t,y =1+t (t 为参数)与曲线 M :ρ=2cosθ 交于 P ,Q 两点,则 ∣PQ∣∣= ( )A. 1B. √2C. 2 D . 2√211. 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 {x =1+cosα,y =sinα(α 为参数).若以射线 Ox 为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ( )A. ρ=sinθB. ρ=2sinθC. ρ=cosθD. ρ=2cosθ12. 在极坐标系中,圆 ρ=sinθ 的圆心的极坐标是 ( )A. (1,π2) B. (1,0) C. (12,π2) D. (12,0)13. 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线 C 的极坐标方程为ρcos (θ−π3)=1,M ,N 分别为 C 与 x 轴,y 轴的交点.(1)写出 C 的直角坐标方程,并求 M ,N 的极坐标; (2)设 MN 的中点为 P ,求直线 OP 的极坐标方程.14. 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 {x =2+2cosφ,y =2sinφ(φ 为参数),以 O 为极点,x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程;(2)直线的极坐标方程是 2ρsin (θ+π3)=3√3,射线 OM :θ=π3 与圆 C 的交点为 O ,P ,与直线的交点为 Q ,求线段 PQ 的长.15. 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 {x =2cosθ,y =4sinθ(θ 为参数),直线 l 的参数方程为{x =1+tcosα,y =2+tsinα(t 为参数). (1)求 C 和 l 的直角坐标方程;(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为 (1,2),求 l 的斜率.16.在极坐标系中,已知曲线C :ρ=2cos θ,将曲线C 上的点向左平移一个单位,然后纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍,得到曲线C 1,又已知直线l :{x =tcosπ3y =√3+tsin π3(t 是参数),且直线l 与曲线C 1交于A ,B 两点.(1)求曲线C 1的直角坐标方程,并说明它是什么曲线; (2)设定点P (0,√3),求1|PA|+1|PB|.17.在直角坐标系xOy 中,曲线M 的参数方程为{x =2+rcosθy =1+rsinθ(θ为参数,r >0),曲线N 的参数方程为{x =2√55t y =1+√55t(t 为参数,且t ≠0).(1)以曲线N 上的点与原点O 连线的斜率k 为参数,写出曲线N 的参数方程; (2)若曲线M 与N 的两个交点为A ,B ,直线OA 与直线OB 的斜率之积为43,求r 的值.18.已知函数()|1||24|f x x x =++-.(1)解不等式:2()f x x >;(2)若关于x 的不等式2()|2|f x x x m <-++在[0,3]上无解,求实数m 的取值范围.19.已知函数()||f x x m =-,()||g x x n =+,其中0,0m n >>.(1)若函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称,求不等式)()2(x f x f ≤+的解集; (2)若函数)()()(x g x f x h +=的最小值为1,求nm 11+的最小值及其相应的m 和n 的值.20.已知a >0,b >0,且a+b=1.(1)若ab ≤m 恒成立,求m 的取值范围;(2)若 4a +1b ≥|2x ﹣1|﹣|x+2|恒成立,求x 的取值范围.21.已知函数f (x )=|x +1|–|x –2|.(1)求不等式f (x )≥1的解集;(2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,求m 的取值范围.1. C2. D3. B 【解析】点 M 的极坐标 (4,π6) 化为直角坐标为 (4cos π6,4sin π6),即 (2√3,2). 4. D 5. D【解析】P 点坐标为 (12,√32),所以垂直于极轴的直线方程为 x =12,所以极坐标方程为 ρ⋅cosθ=12.6. B 【解析】由 {xʹ=x yʹ=4y 得 {x =xʹy =yʹ4,代入直线 x −2y =2 得 xʹ−2×yʹ4=2,即 2xʹ−yʹ=4. 7. C 8. A9. D【解析】因为 (ρ−3)(θ−π2)=0(ρ≥0),所以 ρ=3 或 θ=π2,所以 x 2+y 2=9 或 y 轴正半轴, 所以极坐标方程 (ρ−3)(θ−π2)=0(ρ≥0) 表示的图形是一个圆和一条射线. 10. C 11. D 12. C13.【解析】(1) 由 ρcos (θ−π3)=1,得 ρ(12cosθ+√32sinθ)=1.从而 C 的直角坐标方程为 12x +√32y =1.即 x +√3y =2.当 θ=0 时,ρ=2,所以 M (2,0), 当 θ=π2 时,ρ=2√33,所以 N (2√33,π2). (2) M 点的直角坐标为 (2,0),N 点的直角坐标为 (0,2√33). 所以 P 点的直角坐标为 (1,√33),则 P 点的极点标为 (2√33,π6), 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ=π6(ρ∈R ).14.【解析】(1) 圆 C 的普通方程为 (x −2)2+y 2=4, 又 x =ρcosθ,y =ρsinθ,所以圆 C 的极坐标方程为 ρ=4cosθ. (2) 设 P (ρ1,θ1),则由 {ρ=4cosθ,θ=π3, ⇒ {ρ1=2,θ1=π3. 设 Q (ρ2,θ2),则由 {ρ(sinθ+√3cosθ)=3√3,θ=π3,解得 {ρ2=3,θ2=π3. 所以 ∣PQ ∣=1. 15.【解析】(1) 曲线 C 的直角坐标方程为x 24+y 216=1.当 cosα≠0 时,l 的直角坐标方程为 y =tanα⋅x +2−tanα, 当 cosα=0 时,l 的直角坐标方程为 x =1.(2) 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程 (1+3cos 2α)t 2+4(2cosα+sinα)t −8=0, ⋯⋯①因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点 (1,2) 在 C 内,所以 ① 有两个解,设为 t 1,t 2,则 t 1+t 2=0.又由 ① 得 t 1+t 2=−4(2cosα+sinα)1+3cos 2α,故 2cosα+sinα=0,于是直线 l 的斜率 k =tanα=−2.16.【解析】:(1)曲线C 的直角坐标方程为:x 2+y 2﹣2x=0即(x ﹣1)2+y 2=1. ∴曲线C 1的直角坐标方程为x 24+y 2=1,∴曲线C 表示焦点坐标为(﹣√3,0),(√3,0),长轴长为4的椭圆.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程x 24+y 2=1中,得134t 2+12t +8=0. 设A 、B 两点对应的参数分别为t 1,t 2,∴t 1+t 2=﹣4813,t 1t 2=3213,∴1|PA|+1|PB|=|t 1+t 2t 1t 2=32.17.【解析】:(1)曲线M 的参数方程为{x =2+rcosθy =1+rsinθ(θ为参数,r >0),将{x =2√55ty =1+√55t 消去参数t ,得x ﹣2y+2=0(x ≠0).曲线N 的参数方程为{x =2√55ty =1+√55t (t 为参数,且t ≠0).由{x −2y +2=0y =kx ,得{x =22k−1y =2k 2k−1. 故曲线N 的参数方程为{x =22k−1y =2k 2k−1(k 为参数,且k ≠12). (2)曲线M 的普通方程为(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=r 2,将{x =22k−1y =2k 2k−1代入(x ﹣2)2+(y ﹣1)2=r 2并整理得(16﹣4r 2)k 2+(4r 2﹣32)k+17﹣r 2=0,因为直线OA 与直线OB 的斜率之积为43,所以17−r 216−4r 2=43,解得r 2=1,又r >0,所以r=1.将r=1代入(16﹣4r 2)k 2+(4r 2﹣32)k+17﹣r 2=0,得12k 2﹣28k+16=0,△>0, 故r=1.18.【解析】(1)依题意,2|1||24|x x x ++->,当1x <-时,原式化为2142x x x --+->,即2330x x +-<,解得312x --<<-;当12x -≤≤时,原式化为2142x x x ++->,即250x x +-<,解得112x --≤<; 当2x >时,原式化为2124x x x ++->,即2330x x -+<,无解.综上所述,所求不等式的解集为31()22---+. (2)由题意可知,[0,3]x ∈时,2|1||2|x x x m ++-≥+恒成立.当02x ≤≤时,23x m +≤,得2min (3)1m x ≤-=-; 当23x ≤≤时,221x m x +≤-,得2min (+21)4m x x ≤--=-.综上所述,实数m 的取值范围为(,4]-∞-.19.【解析】(1)Θ函数)(x f 的图象关于直线2=x 对称,2=∴m ,∴()|2|f x x =-,∴不等式)()2(x f x f ≤+可化为||x ≤|2|x -,即22)2(-≤x x ,化简得044≥+-x ,解得1≤x ,∴不等式)()2(x f x f ≤+的解集为{|1}x x ≤. (2)Θ()||f x x m =-,()||g x x n =+,∴)(x h ||||x m x n =-++, 由绝对值不等式的性质可得|||||()()|x m x n x m x n m n -++≥--+=+,∴函数)()()(x g x f x h +=的最小值为n m +,∴1=+n m ,由mn n m 2≥+得41≤mn ,∴4111≥=+=+mnmn n m n m , 当且仅当⎩⎨⎧=+=1n m n m ,即21==n m 时等号成立,∴n m 11+的最小值为4,此时21==n m .20.【解析】:(1)∵a >0,b >0,且a+b=1,∴ab ≤(a+b 2)2=14,当且仅当a=b=12时“=”成立,由ab ≤m 恒成立,故m ≥14;(2)∵a ,b ∈(0,+∞),a+b=1,∴4a +1b =(4a +1b )(a+b )=5+4b a +a b ≥5+2√4b a ⋅ab =9, 故若 4a +1b ≥|2x ﹣1|﹣|x+2|恒成立,则|2x ﹣1|﹣|x+2|≤9, 当x ≤﹣2时,不等式化为1﹣2x+x+2≤9,解得﹣6≤x ≤﹣2, 当﹣2<x <12,不等式化为1﹣2x ﹣x ﹣2≤9,解得﹣2<x <12,当x ≥12时,不等式化为2x ﹣1﹣x ﹣2≤9,解得12≤x ≤12,综上所述x 的取值范围为[﹣6,12].21.【解析】(1)∵f (x )=|x +1|–|x –2|=31211232x x x x -<-⎧⎪--≤≤⎨⎪⎩,,,>, ∵f (x )≥1,∴当–1≤x ≤2时,2x –1≥1,解得1≤x ≤2;当x >2时,3≥1恒成立,故x >2. 综上,不等式f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}.(2)若不等式f (x )≥x 2–x +m 的解集非空,则存在x ∈R 使得f (x )–x 2+x ≥m 成立, 即m ≤[f (x )–x 2+x ]max ,设g (x )=f (x )–x 2+x .由(1)知,g (x )=22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪-+--<<⎨⎪-++≥⎩,,,,当x ≤–1时,g (x )=–x 2+x –3,其开口向下,对称轴方程为x =12>–1, ∴g (x )≤g (–1)=–1–1–3=–5;当–1<x <2时,g (x )=–x 2+3x –1,其开口向下,对称轴方程为x =32∈(–1,2), ∴g (x )≤g (32)=–94+92–1=54; 当x ≥2时,g (x )=–x 2+x +3,其开口向下,对称轴方程为x =12<2,∴g (x )≤g (2)=–4+2+3=1; 综上,g (x )max =54,∴m 的取值范围为(–∞,54].。

高考数学(全国甲卷通用理科)考前抢分必做_考前回扣_回扣3_word版有答案

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回扣3 三角函数、平面向量1.准确记忆六组诱导公式对于“k π2±α,k ∈Z ”的三角函数值,与α角的三角函数值的关系可按口诀记忆:奇变偶不变,符号看象限.2.同角三角函数的基本关系式 sin 2α+cos 2α=1,tan α=sin αcos α(cos α≠0).3.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β. (2)cos(α±β)=cos αcos β∓sin αsin β. (3)tan(α±β)=tan α±tan β1∓tan αtan β.(4)a sin α+b cos α=a 2+b 2sin(α+φ)(其中tan φ=ba ).4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin2α=2sin αcos α.(2)cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α. (3)tan2α=2tan α1-tan 2α.5.三种三角函数的性质函数y =sin xy =cos xy =tan x图象单调性在[-π2+2k π,π2+2k π] (k ∈Z )上单调递增;在[π2+2k π,3π2+2k π] (k ∈Z )上单调递减 在[-π+2k π,2k π] (k ∈Z )上单调递增;在[2k π,π+2k π](k ∈Z )上单调递减在(-π2+k π,π2+k π)(k ∈Z )上单调递增对称性对称中心:(k π,0)(k ∈Z );对称轴:x =π2+k π (k ∈Z )对称中心:(π2+k π,0)(k ∈Z );对称轴:x =k π(k ∈Z )对称中心:(k π2,0)(k ∈Z )6.函数y =A sin(ωx +φ)(ω>0,A >0)的图象 (1)“五点法”作图:设z =ωx +φ,令z =0,π2,π,3π2,2π,求出相应的x 的值与y 的值,描点、连线可得.(2)由三角函数的图象确定解析式时,一般利用五点中的零点或最值点作为解题突破口. (3)图象变换:y =sin x ――――――――――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位y =sin(x +φ) ――――――――――――→横坐标变为原来的1ω(ω>0)倍纵坐标不变y =sin(ωx +φ) ――――――――――――→纵坐标变为原来的A (A >0)倍横坐标不变y =A sin(ωx +φ). 7.正弦定理及其变形a sin A =b sin B =csin C=2R (2R 为△ABC 外接圆的直径). 变形:a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C . sin A =a 2R ,sin B =b 2R ,sin C =c2R .a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C . 8.余弦定理及其推论、变形a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C . 推论:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 22ab.变形:b 2+c 2-a 2=2bc cos A ,a 2+c 2-b 2=2ac cos B ,a 2+b 2-c 2=2ab cos C . 9.面积公式S △ABC =12bc sin A =12ac sin B =12ab sin C .10.解三角形(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一. (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解. (4)已知三边,利用余弦定理求解. 11.平面向量的数量积(1)若a ,b 为非零向量,夹角为θ,则a·b =|a||b |cos θ. (2)设a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则a·b =x 1x 2+y 1y 2. 12.两个非零向量平行、垂直的充要条件 若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),则 (1)a ∥b ⇔a =λb (b ≠0)⇔x 1y 2-x 2y 1=0. (2)a ⊥b ⇔a·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. 13.利用数量积求长度(1)若a =(x ,y ),则|a |=a·a =x 2+y 2.(2)若A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则 |AB →|=(x 2-x 1)2+(y 2-y 1)2. 14.利用数量积求夹角若a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2),θ为a 与b 的夹角,则cos θ=a·b|a||b |=x 1x 2+y 1y 2x 21+y 21 x 22+y 22. 15.三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点,角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|=|OB →|=|OC →|=a 2sin A .(2)O 为△ABC 的重心⇔OA →+OB →+OC →=0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →=OB →·OC →=OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →+bOB →+cOC →=0.1.利用同角三角函数的平方关系式求值时,不要忽视角的范围,要先判断函数值的符号.2.在求三角函数的值域(或最值)时,不要忽略x 的取值范围.3.求函数f (x )=A sin(ωx +φ)的单调区间时,要注意A 与ω的符号,当ω<0时,需把ω的符号化为正值后求解.4.三角函数图象变换中,注意由y =sin ωx 的图象变换得y =sin(ωx +φ)时,平移量为⎪⎪⎪⎪φω,而不是φ. 5.在已知两边和其中一边的对角时,要注意检验解是否满足“大边对大角”,避免增解.6.要特别注意零向量带来的问题:0的模是0,方向任意,并不是没有方向;0与任意非零向量平行.7.a·b >0是〈a ,b 〉为锐角的必要不充分条件; a·b <0是〈a ,b 〉为钝角的必要不充分条件.1.2sin45°cos15°-sin30°的值等于( ) A.12B.22C.32D.1 答案 C解析 2sin45°cos15°-sin30°=2sin45°cos15°-sin(45°-15°)=2sin45°cos15°-(sin45°cos15°-cos45°sin15°)=sin45°cos15°+cos45°sin15°=sin60°=32.故选C. 2.要得到函数y =sin2x 的图象,可由函数y =cos(2x -π3)( )A.向左平移π6个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到C.向左平移π12个单位长度得到D.向右平移π12个单位长度得到答案 D解析 由于函数y =sin2x =cos(π2-2x )=cos(2x -π2)=cos[2(x -π12)-π3],所以可由函数y =cos(2x -π3)向右平移π12个单位长度得到函数y =sin2x 的图象, 故选D.3.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A.3B.932C.332D.3 3答案 C解析 c 2=(a -b )2+6,即c 2=a 2+b 2-2ab +6,① ∵C =π3,由余弦定理得c 2=a 2+b 2-ab ,②由①和②得ab =6,∴S △ABC =12ab sin C =12×6×32=332,故选C.4.(1+tan18°)(1+tan27°)的值是( ) A.3B.1+2C.2D.2(tan18°+tan27°) 答案 C解析 由题意得,tan(18°+27°)=tan18°+tan27°1-tan18°tan27°,即tan18°+tan27°1-tan18°tan27°=1,所以tan18°+tan27°=1-tan18°tan27°,所以(1+tan18°)(1+tan27°)=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=2,故选C.5.设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若b cos C +c cos B =a sin A ,则△ABC 的形状为( ) A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定 答案 B解析 ∵b cos C +c cos B =a sin A , ∴sin B cos C +cos B sin C =sin 2A ,∴sin(B +C )=sin 2A ,∴sin A =1,∴A =π2,三角形为直角三角形.6.已知A ,B ,C 是锐角△ABC 的三个内角,向量p =(sin A ,1),q =(1,-cos B ),则p 与q 的夹角是( ) A.锐角B.钝角C.直角D.不确定 答案 A解析 ∵A 、B 、C 是锐角△ABC 的三个内角,∴A +B >π2,即A >π2-B >0,∴sin A >sin(π2-B )=cos B ,∴p·q =sin A -cos B >0.再根据p ,q 的坐标可得p ,q 不共线,故p 与q 的夹角为锐角. 7. f (x )=12sin(2x -π3)+32cos(2x -π3)是( )A.最小正周期为2π的偶函数B.最小正周期为2π的奇函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数答案 C解析 f (x )=12sin(2x -π3)+32cos(2x -π3)=sin(2x -π3+π3)=sin2x ,是最小正周期为π的奇函数,故选C.8.已知a ,b 为同一平面内的两个向量,且a =(1,2),|b |=12|a |,若a +2b 与2a -b 垂直,则a 与b 的夹角为( ) A.0B.π4C.2π3D.π答案 D解析 |b |=12|a |=52,而(a +2b )·(2a -b )=0⇒2a 2-2b 2+3b·a =0⇒b·a =-52,从而cos 〈b ,a 〉=b·a|b|·|a |=-1,〈b ,a 〉=π,故选D.9.在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c 有下列命题: ①若A >B >C ,则sin A >sin B >sin C ;②若cos A a =cos B b =cos Cc ,则△ABC 为等边三角形;③若sin2A =sin2B ,则△ABC 为等腰三角形; ④若(1+tan A )(1+tan B )=2,则△ABC 为钝角三角形; ⑤存在A ,B ,C 使得tan A tan B tan C <tan A +tan B +tan C 成立. 其中正确的命题为________.(写出所有正确命题的序号). 答案 ①②④解析 若A >B >C ,则a >b >c ⇒sin A >sin B >sin C ; 若cos A a =cos B b =cos C c ,则cos A sin A =cos B sin B⇒sin(A -B )=0⇒A =B ⇒a =b ,同理可得a =c ,所以△ABC 为等边三角形;若sin2A =sin2B ,则2A =2B 或2A +2B =π,因此△ABC 为等腰或直角三角形;若(1+tan A )(1+tan B )=2,则tan A +tan B =1-tan A tan B ,因此tan(A +B )=1⇒C =3π4,△ABC 为钝角三角形;在△ABC 中,tan A tan B tan C =tan A +tan B +tan C 恒成立, 因此正确的命题为①②④.10.若△ABC 的三边a ,b ,c 及面积S 满足S =a 2-(b -c )2,则sin A =________. 答案817解析 由余弦定理得S =a 2-(b -c )2=2bc -2bc cos A =12bc sin A ,所以sin A +4cos A =4,由sin 2A +cos 2A =1,解得sin 2A +(1-sin A 4)2=1,sin A =817(0舍去).11.若tan θ=3,则cos 2θ+sin θcos θ=________. 答案 25解析 ∵tan θ=3, ∴cos 2θ+sin θcos θ=cos 2θ+sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=1+tan θtan 2θ+1=1+332+1=25.12.已知单位向量a ,b ,c ,且a ⊥b ,若c =t a +(1-t )b ,则实数t 的值为________. 答案 1或0解析 c =t a +(1-t )b ⇒c 2=t 2+(1-t )2=|c |2=1⇒t =0或t =1.13.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足b cos A =(2c +a )cos(A +C ). (1)求角B 的大小;(2)求函数f (x )=2sin2x +sin(2x -B )(x ∈R )的最大值. 解 (1)由已知,b cos A =(2c +a )cos(π-B ), 即sin B cos A =-(2sin C +sin A )cos B , 即sin(A +B )=-2sin C cos B , 则sin C =-2sin C cos B , ∴cos B =-12,即B =2π3.(2)f (x )=2sin2x +sin2x cos 2π3-cos2x sin 2π3=32sin2x -32cos2x =3sin(2x -π6), 即x =π3+k π,k ∈Z 时,f (x )取得最大值 3.14.已知函数f (x )=2cos x (sin x -cos x )+1. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间;(2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,且锐角A 满足f (A )=1,b =2,c =3,求a 的值. 解 (1)f (x )=2sin x cos x -2cos 2x +1 =sin2x -cos2x =2sin(2x -π4),所以f (x )的最小正周期为π.由-π2+2k π≤2x -π4≤π2+2k π(k ∈Z ),得k π-π8≤x ≤k π+3π8(k ∈Z ),所以f (x )的单调增区间为[k π-π8,k π+3π8](k ∈Z ).(2)由题意知f (A )=2sin(2A -π4)=1,sin(2A -π4)=22,又∵A 是锐角, ∴2A -π4=π4,∴A =π4,由余弦定理得a 2=2+9-2×2×3×cos π4=5,∴a = 5.。

最新整理高考数学江苏(理)考前抢分必做训练(三)

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高考数学江苏(理)考前抢分必做训练(三)1.2s i n45°c o s15°-s i n30°的值等于________.答案解析2s i n45°c o s15°-s i n30°=2s i n45°c o s 15°-s i n(45°-15°)=2s i n 45°c o s15°-(s i n45°c o s 15°-c o s 45°s i n 15°)=s i n 45°c o s 15°+c o s 45°s i n 15°=s i n60°=.2.要得到函数y=s i n 2x的图象,可由函数y=c o s(2x-)向________平移________个单位长度.答案右解析由于函数y=s i n2x=c o s(-2x)=c o s(2x-)=c o s[2(x-)-],所以可由函数y=c o s(2x-)向右平移个单位长度得到函数y=s i n2x的图象.3.在△A B C中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△A B C的面积是________.答案解析c2=(a-b)2+6,即c2=a2+b2-2a b+6,①∵C=,由余弦定理得c2=a2+b2-a b,②由①和②得a b=6,∴S△A B C=a b s i n C=×6×=.4.(1+t a n18°)(1+t a n27°)的值是________.答案2解析由题意得,t a n(18°+27°)=,即=1,所以t a n18°+t a n27°=1-t a n18°t a n27°,所以(1+t a n 18°)(1+t a n 27°)=1+t a n 18°+t a n 27°+t a n18°t a n27°=2.5.设△A B C的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b c o s C+c c o s B=a s i n A,则△A B C的形状为________三角形.答案直角解析∵b c o s C+c c o s B=a s i n A,∴s i n B c o s C+c o s B s i n C=s i n2A,∴s i n(B+C)=s i n2A,∴s i n A=1,∴A=,三角形为直角三角形.6.(·天津)已知△A B C是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边A B,B C的中点,连结D E并延长到点F,使得D E=2E F,则·的值为________.答案解析如图,由条件可知=-,=+=+=+,所以·=(-)·(+)=2-·-2.因为△A B C是边长为1的等边三角形,所以||=||=1,∠B A C=60°,所以·=--=.7.已知a,b为同一平面内的两个向量,且a=(1,2),|b|=|a|,若a+2b与2a-b垂直,则a与b的夹角为________.答案π解析|b|=|a|=,而(a+2b)·(2a-b)=02a2-2b2+3a·b=0a·b=-,从而c o s〈a,b〉==-1,〈a,b〉=π.8.在△A B C中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c有下列命题:①若A>B>C,则s i n A>s i n B>s i n C;②若==,则△A B C为等边三角形;③若s i n2A=s i n2B,则△A B C为等腰三角形;④若(1+t a n A)(1+t a n B)=2,则△A B C为钝角三角形;⑤存在A,B,C使得t a n A t a n B t a n C B>C,则a>b>c s i nA>s i n B>s i n C;若==,则=s i n(A-B)=0A=B a=b,同理可得a=c,所以△A B C为等边三角形;若s i n2A=s i n2B,则2A=2B或2A+2B=π,因此△A B C为等腰或直角三角形;若(1+t a n A)(1+t a n B)=2,则t a n A+t a n B=1-t a n A t a n B,因此t a n(A+B)=1C=,△A B C为钝角三角形;在△A B C中,t a n A t a n B t a n C=t a n A+t a n B+t a n C恒成立,因此正确的命题为①②④.9.若△A B C的三边a,b,c及面积S满足S=a2-(b-c)2,则s i n A=________.答案解析由余弦定理得S=a2-(b-c)2=2b c-2b c c o sA=b c s i n A,所以s i n A+4c o s A=4,由s i n2A+c o s2A=1,解得s i n2A+(1-)2=1,s i n A=(0舍去).10.若t a nθ=3,则c o s2θ+s i nθc o sθ=________.答案解析∵t a nθ=3,∴c o s2θ+s i nθc o sθ====.11.已知单位向量a,b,c,且a⊥b,若c=t a+(1-t)b,则实数t的值为________.答案1或0解析c=t a+(1-t)b c2=t2+(1-t)2=|c|2=1t=0或t=1.12.在△A B C中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b c o s A=(2c+a)c o s(A+C).(1)求角B的大小;(2)求函数f(x)=2s i n2x+s i n(2x-B)(x∈R)的值.解(1)由已知,b c o s A=(2c+a)c o s(π-B),即s i n B c o s A=-(2s i n C+s i n A)c o s B,即s i n(A+B)=-2s i n C c o s B,则s i n C=-2s i n C c o s B,∴c o s B=-,即B=.(2)f(x)=2s i n2x+s i n2x c o s-c o s2x s i n=s i n2x-c o s2x=s i n(2x-),当2x-=+2kπ,k∈Z时,f(x)取得值,即x=+kπ,k∈Z时,f(x)取得值.13.已知函数f(x)=2c o s x(s i n x-c o s x)+1.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)在△A B C中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,且锐角A满足f(A)=1,b=,c=3,求a的值.解(1)f(x)=2s i n x c o s x-2c o s2x+1=s i n2x-c o s2x=s i n(2x-),所以f(x)的最小正周期为π.由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以f(x)的单调增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)由题意知f(A)=s i n(2A-)=1,s i n(2A-)=,又∵A是锐角,∴2A-=,∴A=,由余弦定理得a2=2+9-2××3×c o s=5,∴a=.。

2023年高考-数学(理科)考试备考题库附带答案3

2023年高考-数学(理科)考试备考题库附带答案3

2023年高考-数学(理科)考试备考题库附带答案第1卷一.全考点押密题库(共50题)1.(单项选择题)(每题 5.00 分) 已知等比数列 an } 满足 a1 = 3 ,a1 + a3 + a5 = 21,则 a3 + a5 + a7 ={A. 21B. 42C. 63D. 84正确答案:B,2.(单项选择题)(每题 5.00 分) 安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种正确答案:D,3.(单项选择题)(每题 5.00 分) 如计算S=1-1/2+1/3-1/4+....+1/99-1/100,,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入A. i=i+1B. i=i+2C. i=i+3D. i=i+4正确答案:B,4.(单项选择题)(每题5.00 分) 已知等差数列 a n } 前 9 项的和为27,a 10 = 8 ,则 a100 = {A. 100B. 99C. 98D. 97正确答案:C,5.(单项选择题)(每题 5.00 分) 设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=A. [2,3]B. (-∞,2]∪[3,﹢∞]C. [3,﹢∞)D. (0,2]∪[3,﹢∞)正确答案:D,6.(单项选择题)(每题 5.00 分) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ,各成员的支付方式相互独立。

设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX = 2.4 ,P ( X = 4 )正确答案:B,7.(填空题)(每题 5.00 分) ()已知f(x)为偶函数,当x正确答案:y = - 2x - 1,8.(填空题)(每题 5.00 分) 已知点 M ( 1 ,1 ) 和拋物线 C:y2 = 4x ,过 C 的焦点且斜率为k 的直线与C交于A ,B 两点。

若∠AMB= 90°,则 k = ____ .正确答案:2 ,9.(填空题)(每题 5.00 分) 已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为7/8,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为.正确答案:40√2π,10.(填空题)(每题 5.00 分) 设 Sn 是数列 { a n }的前 n 项和,且 a1 = -1 , a n+1 = Sn S n+1 ,则 Sn = _______ .正确答案:- 1/n,11.(填空题)(每题 5.00 分) 已知向量 a = ( 1,2 ) ,b = ( 2 ,-2 ) ,c = ( 1 ,λ ) . 若 c // ( 2a + b ) ,则λ =_______ 。

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“12+4”专项练3
1.(2016·天津)已知集合A ={1,2,3,4},B ={y |y =3x -2,x ∈A },则A ∩B 等于( )
A.{1}
B.{4}
C.{1,3}
D.{1,4}
答案 D
解析 因为集合B 中,x ∈A ,所以当x =1时,y =3-2=1;
当x =2时,y =3×2-2=4;
当x =3时,y =3×3-2=7;
当x =4时,y =3×4-2=10.
即B ={1,4,7,10}.
又因为A ={1,2,3,4},所以A ∩B ={1,4}.故选D.
2.设z 是纯虚数,若1-i z +2
是实数,则z 等于( ) A.-2i B.-i C.i D. 2i
答案 A
解析 设z =b i(b ≠0),
1-i z +2=1-i
b i +2=(2-b )-(2+b )i 4+b 2
∈R , ∴2+b =0,b =-2,∴z =-2i.
3.已知命题p :“∀x ∈[1,2],x 2-a ≥0”,命题q :“∃x 0∈R ,使x 20+2ax 0+2-a =0”,若命题“p 且q ”是真命题, 则实数a 的取值范围是( )
A.{a |a ≤-2或a =1}
B.{a |a ≥1}
C.{a |a ≤-2或1≤a ≤2}
D.{a |-2≤a ≤1} 答案 A
解析 p 为真,则x 2≥a ,所以a ≤1;
q 为真,则Δ=(2a )2-4(2-a )≥0,
解得,a ≥1或a ≤-2.命题“p 且q ”为真命题,
则a 的取值范围为a ≤-2或a =1.
4.已知条件p :x 2-2x -3<0,条件q :x >a ,若p 是q 的充分不必要条件,则a 的取值范围
为( )
A.a >3
B.a ≥3
C.a <-1
D.a ≤-1
答案 D
5.函数y =sin(ωx +φ)的部分图象如图,则φ、ω可以取的一组值是( )
A.ω=π2,φ=π4
B.ω=π3,φ=π6
C.ω=π4,φ=π4
D.ω=π4,φ=5π4
答案 C
解析 由图象得T 4=2,∴T =8,ω=2πT =π4
, 当x =1时,y =1,∴sin(π4
+φ)=1, 则φ=π4
时符合,故选C. 6.由a 1=1,a n +1=a n 3a n +1
给出的数列{a n }的第34项是( ) A.1100 B.100 C.34103 D.14
答案 A
解析 由a 1=1,a n +1=a n 3a n +1得, a 2=13+1=14,a 3=143×14
+1=17, a 4=173×17+1=110,a 5=1103×110
+1=113, a 6=1133×113
+1=116,…,各项分子为1,分母构成等差数列{b n },首项b 1=1,公差为d =3, 所以b 34=b 1+(34-1)d =1+33×3=100,故选A.
7.给出以下四个命题:
①若ab ≤0,则a ≤0或b ≤0;
②若a >b ,则am 2>bm 2;
③在△ABC 中,若sin A =sin B ,则A =B ;
④在一元二次方程ax 2+bx +c =0中,若b 2-4ac <0,则方程有实数根.
其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是( )
A.①
B.②
C.③
D.④
答案 C
8.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.73
B.172
C.13
D. 17+3102
答案 C
解析 该三视图的几何体是三棱台ABC —DEF ,为正方体中的一部分,如图.
BC =2,EF =22,BE =CF =5,
S BCFE =12(2+22)× (5)2-(22)2=92
, 所以S 表=12+2+2×12×(1+2)×2+92
=13.故选C.
9.已知三角形的三边分别为a ,b ,c ,内切圆的半径为r ,则三角形的面积为S =12
(a +b +c )r ;四面体的四个面的面积分别为S 1,S 2,S 3,S 4,内切球的半径为R .类比三角形的面积可得四面体的体积为( )
A.V =12
(S 1+S 2+S 3+S 4)R B.V =13(S 1+S 2+S 3+S 4)R C.V =14(S 1+S 2+S 3+S 4)R D.V =(S 1+S 2+S 3+S 4)R
答案 B
解析 根据几何体和平面图形的类比关系,三角形的边应与四面体中的各个面进行类比,而
面积与体积进行类比,∴△ABC 的面积为S =12
(a +b +c )r , 对应于四面体的体积为V =13
(S 1+S 2+S 3+S 4)R . 10.甲乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字记为a ,再由乙猜甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b ,且a ,b ∈{0,1,2,…,9}.若|a -b |≤1,则称甲乙“心有灵犀”.现任意找两人玩这个游戏,则二人“心有灵犀”的概率为( )
A.725
B.925
C.750
D.950
答案 A
解析 共有10×10=100(种)猜字结果,其中满足|a -b |≤1的有:当a =0时,b =0,1;当a =1时,b =0,1,2;当a =2时,b =1,2,3;当a =3时,b =2,3,4;当a =4时,b =3,4,5;当a =5时,b =4,5,6;当a =6时,b =5,6,7;当a =7时,b =6,7,8;当a =8时,b =7,8,9;当a =9时,b =8,9,共28种,所以他们“心有灵犀”的概率为
P =28100=725
,故选A. 11.函数f (x )=2x 2-ln x 的单调递减区间是( )
A.(0,12
) B.(-12,0)和(12,+∞) C.(12
,+∞) D. (-∞,-12)和(0,12
) 答案 A
解析 由题意,得f ′(x )=4x -1x =4x 2-1x =(2x +1)(2x -1)x (x >0),又当x ∈(0,12
)时,f ′(x )<0, 所以函数f (x )的单调递减区间是(0,12
),故选A. 12.已知双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1的左,右焦点分别为F 1,F 2,点P 在双曲线的右支上,且|PF 1|=4|PF 2|,则此双曲线的离心率e 的最大值为( )
A.43
B.53
C.2
D.73
答案 B
解析 由双曲线的定义知|PF 1|-|PF 2|=2a ,
① 又|PF 1|=4|PF 2|,

联立①②解得|PF 1|=83a ,|PF 2|=23
a . 在△PF 1F 2中,由余弦定理,
得cos ∠F 1PF 2=649a 2+49a 2-4c 22·83a ·23a =178-98e 2. 要求e 的最大值,即求cos ∠F 1PF 2的最小值,
当cos ∠F 1PF 2=-1时,
解得e =53(e =-53
不合题意,舍去), 即e 的最大值为53,故选B. 13.(1-12
x )(1+2x )5展开式中x 2的系数为________. 答案 60
解析 因为(1+2x )5展开式的通项公式为
T k +1=C k 5·2k ·x 2k

所以(1-12
x )(1+2x )5展开式中x 2的系数为 1×C 45×24-12
×C 25×22=60. 14.曲线y =x 3-2x 在(1,-1)处的切线方程为__________________.
答案 x -y -2=0
解析 y ′=3x 2-2,y ′|x =1=1,
所以切线方程为x -y -2=0.
15.程序框图如图所示,该程序运行后输出的S 的值是__________________.
答案 13
解析 由程序框图知:第一次循环S =1+21-2=-3,i =2;第二次循环S =1-31+3
=-12,i =3;第三次循环S =1-121+12=13,i =4;第四次循环S =1+131-13
=2,i =5;第五次循环S =1+21-2=-3,i =6;…S 值的周期为4,∵跳出循环体的i 值为2 106,∴共循环了2 015次,∴输出的S =13
. 16.已知向量OP →=(2,1),OA →=(1,7),OB →=(5,1),设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原
点),那么XA →·XB →的最小值是________.
答案 -8
解析 直线OP 方程为y =12
x , 设点X 坐标为(m ,12
m ), 则XA →=(1-m ,7-12m ),XB →=(5-m ,1-12
m ), 所以XA →·XB →=(1-m )(5-m )+(7-12m )(1-12
m ) =54m 2-10m +12=54
(m -4)2-8, 当m =4时,XA →·XB →有最小值为-
8.。

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