2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式学案新人教B版必修2201802

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2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.4空间直角坐标系学案含解析新人教B版

2.4 空间直角坐标系2.4.1 空间直角坐标系2.4.2 空间两点的距离公式1．了解空间直角坐标系的建系方式．(重点)2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点)3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(重点))4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(难点[基础·初探]教材整理1 空间直角坐标系阅读教材P106～P107“练习”以上内容，完成下列问题．1．空间直角坐标系本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指轴的正方向，中指指向空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M 在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在空间直角坐标系中，在Ox 轴上的点的坐标一定是(0，b ，c )．( ) (2)在空间直角坐标系中，在yOz 平面上的点的坐标一定可写成(0，b ，c )．( ) (3)在空间直角坐标系中，在Oz 轴上的点的坐标可记作(0,0，c )．( ) (4)在空间直角坐标系中，在xOz 平面上的点的坐标是(a,0，c )．( ) 【解析】 (1)错误．x 轴上的点的坐标是纵坐标与竖坐标都为0. (2)、(3)、(4)正确．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√ 教材整理2 空间两点间的距离公式阅读教材P 108内容，完成下列问题．1．点P (x ，y ，z )到坐标原点O (0,0,0)的距离|OP |2．任意两点P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)间的距离|P 1P 2|＝在空间直角坐标系中，A (－1,2,3)，B (2,1，m )，若|AB |＝110，则m 的值为________．【解析】 |AB |＝(－1－2)2＋(2－1)2＋(3－m )2＝110，∴(3－m )2＝100,3－m ＝±10. ∴m ＝－7或13. 【答案】－7或13[小组合作型]11111G 在棱CD上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，试建立适当的坐标系，写出E 、F 、G 、H 的坐标．【精彩点拨】要求点的坐标，需求得横、纵、竖坐标的值，即确定出所求点的坐标．【自主解答】建立如图所示的空间直角坐标系．点E 在z 轴上，它的x 坐标、y 坐标均为0，而E 为DD 1的中点，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，0，12.由F 作FM ⊥AD 、FN ⊥DC ，由平面几何知FM ＝12、FN ＝12，则F 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，0. 点G 在y 轴上，其x 、z 坐标均为0，又GD ＝34，故G 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34，0. 由H 作HK ⊥CG 于K ，由于H 为C 1G 的中点，故HK ＝12、CK ＝18.∴DK ＝78.故H 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，78，12.1．建立空间直角坐标系时应遵循以下原则 (1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内； (2)充分利用几何图形的对称性．2．求某点的坐标时，一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影，确定其两个坐标，再找出它在另一轴上的射影(或者通过它到这个坐标平面的距离加上正负号)，确定第三个坐标．[再练一题]1．在棱长都为2的正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，建立恰当的空间直角坐标系，并写出三棱柱ABC A 1B 1C 1各顶点的坐标.【导学号：45722118】【解】取BC ，B 1C 1的中点分别为O ，O 1，连接OA ，OO 1，根据正三棱柱的几何性质，OA ，OB ，OO 1两两互相垂直，且OA ＝32×2＝3，以OA ，OB ，OO 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则正三棱柱ABCA1B1C1各顶点的坐标分别为：A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(0，－1,0)，A1(3，0,2)，B1(0,1,2)，C1(0，－1,2).(1)求点P关于x轴对称的点的坐标；(2)求点P关于xOy平面对称的点的坐标；(3)求点P关于点M(2，－1，－4)对称的点的坐标．【精彩点拨】对照空间点的对称的规律直接写出各点的坐标．【自主解答】(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P1(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点坐标为P2(－2,1，－4)．(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3的坐标为(6，－3，－12)．任意一点P x，y，z，关于原点对称的点是P1－x，－y，－z；关于x轴横轴对称的点是P2x，－y，－z；关于y轴纵轴对称的点是P3－x，y，－z；关于z 轴竖轴对称的点是P4－x，－y，z；关于xOy平面对称的点是P5x，y，－z；关于yOz平面对称的点是P6－x，y，z；关于xOz平面对称的点是P7x，－y，z,求对称点的问题可以用“关于谁对称，谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆.[再练一题]2．已知M(2,1,3)，求M关于原点对称的点M1，M关于xOy平面对称的点M2，M关于x 轴、y轴对称的点M3，M4.【解】由于点M与M1关于原点对称，所以M1(－2，－1，－3)；点M与M2关于xOy平面对称，横坐标与纵坐标不变，竖坐标变为原来的相反数，所以M2(2,1，－3)；M与M3关于x轴对称，则M3的横坐标不变，纵坐标和竖坐标变为原来的相反数，即M3(2，－1，－3)，同理M4(－2,1，－3)．[探究共研型]探究1【提示】 |PQ |＝(1－4)2＋(0－3)2＋(1＋1)2＝22.探究2 上述问题中，若在z 轴上存在点M ，使得|MP |＝|MQ |，请求出点M 的坐标．【提示】设M (0,0，z )，由|MP |＝|MQ |，得(－1)2＋02＋(z －1)2＝42＋32＋(－1－z )2， ∴z ＝－6.∴M (0,0，－6)．如图241所示，在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，|AB |＝|AD |＝3，|AA 1|＝2，点M在A 1C 1上，|MC 1|＝2|A 1M |，N 在D 1C 上且为D 1C 的中点，求线段MN 的长度．图241【精彩点拨】先建立空间直角坐标系，求出点M 、N 的坐标，然后利用两点间的距离公式求解．【自主解答】如图所示，分别以AB ，AD ，AA 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．由题意可知C (3,3,0)，D (0,3,0)， ∵|DD 1|＝|CC 1|＝|AA 1|＝2， ∴C 1(3,3,2)，D 1(0,3,2)， ∵N 为CD 1的中点， ∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3，1. M 是A 1C 1的三分之一分点且靠近A 1点，∴M (1,1,2)．由两点间距离公式，得 |MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12＋(3－1)2＋(1－2)2＝212.利用空间两点间的距离公式求线段长度问题的一般步骤为：[再练一题]3．如图242所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E 分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．图242【解】以点C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，B1(0,2,2)，由中点坐标公式可得，D(1,1,0)，E(0,1,2)，F(1,0,0)，∴|DE|＝(1－0)2＋(1－1)2＋(0－2)2＝5，|EF|＝(0－1)2＋(1－0)2＋(2－0)2＝ 6.1．点A(－1,2,1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( ) A．(－1,0,1)，(－1,2,0)B ．(－1,0,0)，(－1,2,0)C ．(－1,0,0)，(－1,0,0)D ．(－1,2,0)，(－1,2,0)【解析】点A (－1,2,1)在x 轴上的投影点的横坐标是－1，纵坐标、竖坐标都为0，故为(－1,0,0)，点A (－1,2,1)在xOy 平面上横、纵坐标不变且竖坐标是0，故为(－1,2,0)．【答案】 B2．在空间直角坐标系中，点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的位置关系是( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于xOy 平面对称 C ．关于坐标原点对称 D ．以上都不对【解析】点P (3,4,5)与Q (3，－4，－5)两点的横坐标相同，而纵、竖坐标互为相反数，所以两点关于x 轴对称．【答案】 A3．已知A (3,2，－4)，B (5，－2,2)，则线段AB 中点的坐标为________.【导学号：45722119】【解析】设中点坐标为(x 0，y 0，z 0)，则x 0＝3＋52＝4，y 0＝2－22＝0，z 0＝－4＋22＝－1，∴线段AB 的中点坐标为(4,0，－1)．【答案】 (4,0，－1)4．设A (4，－7,1)，B (6,2，z )，|AB |＝11，则z ＝________. 【解析】由|AB |＝(6－4)2＋(2＋7)2＋(z －1)2＝11，解得z ＝7或－5. 【答案】 7或－55．V ABCD 为正四棱锥，O 为底面中心，若AB ＝2，VO ＝3，试建立空间直角坐标系，并确定各顶点坐标．【解】以底面中心O 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．∵V 在z 轴正半轴上，且|VO |＝3，它的横坐标与纵坐标都是零， ∴点V 的坐标是(0,0,3)．而A 、B 、C 、D 都在xOy 平面上，∴它们的竖坐标都是零．又|AB|＝2，∴A(1，－1,0)，B(1,1,0)，C(－1,1,0)，D(－1，－1,0)，V(0,0,3)．。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案含解析新人教B版

2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.(难点)3.体会坐标法在几何中的作用.(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用.(难点)[基础·初探]教材整理两点间距离公式及中点公式阅读教材P 68～P 71“例4”以上内容，完成下列问题.1.已知在平面直角坐标系中两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有d (A ，B )＝|AB |＝2.已知平面直角坐标系中的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，设点M (x ，y )是线段AB 的中点，则有x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22.1.如图212，由A (－4，－2)，B (4，－2)，C (4,4)，是否能求出d (A ，C )?图212【答案】能，d (A ，C )＝|AB |2＋|BC |2＝10.2.(1)如图213，若A (－1,1)，C (3,1)连线的中点为M 1(x ，y ), 则x ，y 满足什么条件？图213【答案】 x －(－1)＝3－x ，y ＝1.(2)若B (3,4)，那么BC 的中点M 2的坐标是什么？【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，52.[小组合作型]).求证：△ABC是等边三角形.【精彩点拨】解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出三边长，再用三角形知识解决.【自主解答】由两点的距离公式得 |AB |＝ a ＋a 2＋ 0－0 2＝2|a |， |BC |＝ 0－a 2＋ 3a －0 2＝2|a |， |CA |＝－a －0 2＋ 0－3a 2＝2|a |. ∴|AB |＝|BC |＝|CA |，故△ABC 是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.[再练一题]1.本例若改为：已知A (－1，－1)，B (3,5)，C (5,3)，试判断△ABC 的形状. 【解】 d (A ，B )＝[3－－1 ]2＋[5－－1 ]2＝42＋62＝52＝213，d (A ，C )＝[5－－1 ]2＋[3－－1 ]2＝62＋42＝52＝213，d (B ，C )＝ 5－3 2＋ 3－5 2＝22＋22＝8＝2 2.所以|AB |＝|AC |≠|BC |，且显然三边长不满足勾股定理，所以△ABC 为等腰三角形.，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标.【导学号：45722072】【精彩点拨】可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解.【自主解答】设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点得： ⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－10，y 1＝6，设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点得 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＝5＋x22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1).1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的.2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解.[再练一题]2.已知平行四边形ABCD 的三个顶点坐标分别为A (0,0)，B (2,0)，D (1,3)，求顶点C 的坐标.【解】 ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴平行四边形对角线的中点坐标相同. 设C 点坐标为C (x ，y )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧0＋x 2＝2＋12＝32，0＋y 2＝0＋32＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，即C (3,3).[探究共研型]探究1【提示】(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究2 建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？【提示】不影响.在△ABC中，D为BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且AB2＝AD2＋BD·DC.求证：△ABC为等腰三角形.【精彩点拨】建系→设三角形各顶点的坐标→把条件转化为坐标运算→化简→证明|AB|＝|AC|→结论【自主解答】如图所示，作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(b<d<c).∵|AB|2＝|AD|2＋BD·DC，∴b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)(c－d)，∴－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又∵d－b≠0，∴－b－d＝c－d，即－b＝c.∴|AB|＝|AC|，故△ABC为等腰三角形.1.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化.2.在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点.[再练一题]3.已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.【证明】如图所示，以Rt△ABC 的直角边AB ，AC 所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B ，C 两点的坐标分别为(b,0)，(0，c ).因为点M 是BC 的中点，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0＋b 2，0＋c 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2，c 2.由两点间距离公式得|BC |＝ 0－b 2＋ c －0 2＝b 2＋c 2， |AM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b2－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c2－02＝12b 2＋c 2. 所以|AM |＝12|BC |.1.已知A (－8，－3)，B (5，－3)，则线段AB 的中点坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－3 【解析】由中点坐标公式可以求得. 【答案】 B2.已知A (1,2)，B (a,6)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A.4 B.－4或2 C.－2 D.－2或4【解析】a －1 2＋ 6－2 2＝5，解得a ＝－2或4.【答案】 D3.以A (5,5)，B (1,4)，C (4,1)为顶点的三角形为________.【解析】由题意|AB|＝17，|AC|＝17，|BC|＝18，显然△ABC为等腰三角形.【答案】等腰三角形4.若x轴上的点M到原点与到点(5，－3)的距离相等，则点M的坐标为________.【解析】设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|＝ x－5 2＋ 0＋3 2，即x2＝(x－5)2＋9，解得x＝3.4，故所求点M的坐标为(3.4,0).【答案】(3.4,0)5.已知矩形相邻两个顶点是A(－1,3)，B(－2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标.【导学号：45722073】【解】设对角线交点为P(x,0)，则|PA|＝|PB|，即(x＋1)2＋(0－3)2＝(x＋2)2＋(0－4)2，解得x＝－5，所以对角线交点为P(－5,0).所以x C＝2×(－5)－(－1)＝－9，y C＝2×0－3＝－3，即C(－9，－3)；x D＝2×(－5)－(－2)＝－8，y D＝2×0－4＝－4，所以D(－8，－4).所以另外两顶点的坐标C(－9,3)，D(－8，－4).。

第二章 2.4.2 空间两点的距离公式

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第二章平面解析几何初步
(3)因为点 P 在 xOy 平面内，所以设点 P(x，y,0)，由题意，得 (x－3)2＋(y－2)2＋52 ＝ (x－3)2＋(y－5)2＋12， 1 化简，得 y＝－ . 2 因为点 P 既在 xOy 平面内又在过线段 AB 的中点且与直线 AB 垂直的平面内，所以点 P 的轨迹是两个平面的交线， 1 即 xOy 面内的直线 y＝－ . 2
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(2)由题意，得 (x－2)2＋(y－3)2＋z2 ＝ (x－5)2＋(y－1)2＋z2，整理得 6x－4y－13＝0，所以这样的点(x，y，z)满足的条件是 6x－4y－13＝0. 这样的点的集合是过线段 AB 的中点且与直线 AB 垂直的平面．
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(2)设 E(x，y,0)．在 Rt△ADC 中， |AD|＝3，|CD|＝4，|AC|＝5， 12 ∴|DE|＝， 5 在 Rt△ADE 中，|DE|2＝x· |AD|， 144 25 48 ∴x＝＝ . 3 25
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第二章平面解析几何初步
【解】由已知可设 M(x,1－x,0)，则|MN|＝ (x－6)2＋(1－x－5)2＋(0－1)2 ＝ 2(x－1)2＋51.所以当 x＝1 时，|MN|min ＝ 51.所以 xOy 平面内的直线 x＋y＝1 上到点 N 的距离最小的点为 M(1,0,0)．

高二数学《空间两点间的距离公式》学案

广东惠州市高二数学《空间两点间的距离公式》学案【学习目标】1.会推导空间两点间的距离公式2.能利用公式求空间中两点的距离.3.通过建立适当的直角坐标系解决一些数学问题。

【重点难点】教学重点：利用空间中两点间的距离公式求空间两点的距离.教学难点：空间两点距离公式的应用.【使用说明及学法指导】1．先速读一遍教材P 136—P 138，再结合“预习案”进行二次阅读并回答，时间不超过10分钟．2．本课必须记住的内容：空间两点间的距离公式。

预习案一、知识梳理1. 空间两点1111(,,)P x y z 、2222(,,)P x y z 间的距离公式： .2. 坐标法求解立体几何问题时的三个步骤：①在立体几何图形中建立；②依题意确定；③通过得到答案.3. 对称问题，常用对称的定义求解. 一般地，点P (x , y , z ) 关于坐标平面xOy 、yOz 、zOx 的对称点的坐标分别为；关于x 轴、y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为；关于原点的对称点的坐标为 .二、问题导学1. 平面两点的距离公式？是怎样推导的？2. 建立空间直角坐标系时，为方便求点的坐标通常怎样选择坐标轴和坐标原点？3.空间两点间距离公式推导和平面两点间距离公式推导有何异同？三、预习自测1. 求点P 1(1, 0, -1)与P 2(4, 3, -1)之间的距离2．已知A (x ,2,3)、B (5,4,7)，且|AB |=6，求x 的值.3.设点B 是点(2,3,5)A 关于xOy 面的对称点，则||AB =（）.D. 38探究案【例1】（1）已知A (2, 5，－6)，在y 轴上求一点B ，使得|AB |=7；（2）求点P (5,－2，3)关于点A (2,0，-1)的对称点的坐标.【例2】⑴点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)o 的距离？⑵如果OP 是定长r,那么2222x y z r ++=表示什么图形？.【例3】在空间直角坐标系中，已知ABC ∆的顶点分别是15(1,2,3),(2,2,3),(,,3)22A B C --. 求证：ABC ∆是直角三角形.【例4】在四面体P -ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，设PA =P B =PC =a ，求点P 到平面ABC 的距课堂检测：１．在x 轴上找一点P ，使它与点0(4,1,2)P ，则点P 为（）.A ．(9,0,0)B ．(1,0,0)-C ．(9,0,0)(1,0,0)-D ．都不是２.方程222(2)(3)(1)36x y z -+++-=的几何意义是 .３. 已知ABC ∆的三点分别为(3,1,2),(4,2,2)A B --，(0,5,1)C 则BC 边上的中线长为 .４.已知(1,21)A -、(2,0,2)B ，在xOz 平面内的点M 到A 点与B 点等距离，求点M 的轨迹.。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.4.2 空间两点的距离公式学案新人教B版必修2-新人教B版

2．4．2 空间两点的距离公式1．了解空间两点的距离的定义．2．理解空间两点的距离公式的推导思路．3．掌握空间两点的距离公式．空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)的距离公式是d(A，B)＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2．特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为d(O，A)＝x2＋y2＋z2．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例．( )(2)将距离公式中两点的坐标顺序互换，结果不变．( )答案：(1)√(2)√2．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A． 6 B． 5C．2 D． 3答案：A3．求下列两点间的距离．(1)A(1，1，0)，B(1，1，1)；(2)C(－3，1，5)，D(0，－2，3)．解：(1)d(A，B)＝(1－1)2＋(1－1)2＋(0－1)2＝1．(2)d(C，D)＝(－3－0)2＋[1－(－2)]2＋(5－3)2＝22．求两点间的距离在如图所示的空间直角坐标系中，长方体的顶点C′的坐标为(4，4，2)，E，F分别为BC，A′B′的中点，求|EF|的长．【解】由C′(4，4，2)知：B(4，0，0)，C(4，4，0)，A′(0，0，2)，B′(4，0，2)，由中点坐标公式得，E(4，2，0)，F(2，0，2)．所以|EF|＝(4－2)2＋(2－0)2＋(0－2)2＝23．利用空间两点的距离公式求线段长度的一般步骤在空间直角坐标系中，点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，求A′、B′两点间的距离．解：因为点A(2，3，0)关于平面xOy的对称点为A′，所以A′(2，3，0)．因为点B(5，1，0)关于平面yOz的对称点为B′，所以B′(－5，1，0)．所以|A′B′|＝[2－(－5)]2＋(3－1)2＋(0－0)2＝72＋22＝53，所以A′、B′两点间的距离为53．利用距离公式求点的坐标(1)在z轴上求一点使得它到点A(4，5，6)与到点B(－5，0，10)的距离相等；(2)已知点P到坐标原点O的距离等于23，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．【解】(1)由题意可设该点的坐标为P(0，0，z)，则|PA|＝(4－0)2＋(5－0)2＋(6－z)2，|PB|＝(－5－0)2＋(0－0)2＋(10－z)2．又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0，0，6)． (2)由题意可设P 点的坐标为(x ，y ，z )．所以|OP |＝ x 2＋y 2＋z 2＝23．又x ＝y ＝z ，所以3x 2＝23．所以x ＝y ＝z ＝2或x ＝y ＝z ＝－2．所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．已知点在某轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解．在设点的坐标时，一般要根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算．点的位置与相应特征如下表：位置坐标特征 x 轴上 (x ，0，0) y 轴上 (0，y ，0) z 轴上 (0，0，z ) xOy 平面内 (x ，y ，0) yOz 平面内 (0，y ，z ) xOz 平面内(x ，0，z )已知空间中两点A (－3，－1，1)、B (－2，2，3)，在z 轴上有一点C ，它到A 、B 两点的距离相等，求点C 的坐标．解：设C 点的坐标为(0，0，z )，则 32＋12＋(z －1)2＝ 22＋(－2)2＋(z －3)2，即10＋(z －1)2＝8＋(z －3)2，解得z ＝32，所以点C 的坐标为(0，0，32)．空间两点距离公式的应用在xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上确定一点M ，使M 到点N (6，5，1)的距离最小．【解】由已知可设M (x ，1－x ，0)，则|MN |＝(x －6)2＋(1－x －5)2＋(0－1)2＝2(x －1)2＋51．所以当x ＝1时，|MN |min ＝51．所以xOy 平面内的直线x ＋y ＝1上到点N 的距离最小的点为M (1，0，0)．本题利用空间两点的距离公式，将空间距离问题转化为二次函数的最值问题，体现了数学上的转化思想和函数思想，此类题目的解题方法是直接设出点的坐标，利用距离公式就可以将几何问题代数化，分析函数即可．在空间直角坐标系中，已知△ABC 的顶点分别是A (－1，2，3)，B (2，－2，3)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，3．求证：△ABC 是直角三角形．证明：d (A ，B )＝ (－1－2)2＋(2＋2)2＋(3－3)2＝5，d (A ，C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－522＋(3－3)2 ＝102， d (B ，C )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－522＋(3－3)2 ＝3102．故[d (B ，C )]2＋[d (A ，C )]2＝904＋104＝25＝[d (A ，B )]2，所以△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形．(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间的距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下，任意给定坐标的两个点之间的距离．其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．(2)求距离的步骤：①建立适当的坐标系，并写出相关点的坐标；②代入空间两点间的距离公式求值．对于空间几何体建立空间直角坐标系后，就把点和坐标联系起来，这样就可以把空间中的线段长、距离及位置关系等几何问题转化成代数式再用代数的方法来解决，从而借助代数中最基本最普遍的函数与方程的思想，解决几何问题，使许多复杂的几何问题迎刃而解．1．点A (2，－3，5)关于xOy 平面的对称点是A ′，则|AA ′|等于( ) A ．4 B ．6 C ．10D ．38解析：选C ．因为点A 到平面xOy 的距离为5，所以|AA ′|＝10．2．若O (0，0，0)，P (x ，y ，z )，且|OP |＝1，则x 2＋y 2＋z 2＝1表示的图形是________________．解析：由题意知，P 点满足球的定义．答案：以原点O 为球心，以1为半径的球面3．点A 与坐标原点的距离为9，且它在x 、y 、z 轴上的坐标都相等，则点A 坐标为________．答案：(33，33，33)或(－33，－33，－33)[学生用书P131(单独成册)])[A 基础达标]1．空间直角坐标系中，点A (－3，4，0)和点B (2，－1，6)的距离是( ) A ．243 B ．221 C ．9D ．86解析：选D ．由空间两点间的距离公式可得|AB |＝(－3－2)2＋(4＋1)2＋(0－6)2＝86． 2．已知点A (3，3，1)，B (1，0，5)，C (0，1，0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM |等于( )A ．534B ．532 C ．532D ．132解析：选B ．AB 的中点M (2，32，3)，它到点C 的距离d (M ，C )＝ (2－0)2＋(32－1)2＋(3－0)2＝532．3．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，若D (0，0，0)、A (4，0，0)、B (4，2，0)、A 1(4，0，3)，则对角线AC1的长为( )A．9 B．29C．5 D．2 6解析：选B．由已知易求得C1(0，2，3)，所以|AC1|＝42＋22＋32＝29．4．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( ) A．等边三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：选B．|AB|＝(1－4)2＋(－2－2)2＋(11－3)2＝89，|BC|＝(4－6)2＋(2＋1)2＋(3－4)2＝14，|AC|＝(1－6)2＋(－2＋1)2＋(11－4)2＝75，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2．所以△ABC为直角三角形．5．一束光线自点P(1，1，1)出发，被xOy平面反射到达点Q(3，3，6)被吸收，那么光线所经过的距离是( )A．37 B．33C．47 D．57解析：选D．P关于xOy平面对称的点为P′(1，1，－1)，则光线所经过的距离为|P′Q|＝(3－1)2＋(3－1)2＋(6＋1)2＝57．6．在空间直角坐标系中，点M(1，0，3)与N(－1，1，a)两点间的距离为6，则a＝________．答案：2或47．已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．解析：设点P(0，0，z)，由|PA|＝|PB|，所以(1－0)2＋(－2－0)2＋(1－z)2＝(2－0)2＋(2－0)2＋(2－z)2，解得z＝3．答案：(0，0，3)8．点A(1－t，1－t，t)和B(2，t，t)的距离的最小值为________．解析：|AB|2＝(1－t－2)2＋(1－t－t)2＋(t－t)2＝5t2－2t＋2．当t ＝15时，|AB |2min ＝95，即|AB |min ＝355．答案：3559．已知A (x ，5－x ，2x －1)，B (1，x ＋2，2－x )，求|AB |取最小值时，A 、B 两点的坐标，并求此时的|AB |．解：由空间两点间的距离公式得|AB |＝(1－x )2＋[(x ＋2)－(5－x )]2＋[(2－x )－(2x －1)]2＝14x 2－32x ＋19 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57，当x ＝87时，|AB |有最小值57＝357．此时A ⎝ ⎛⎭⎪⎫87，277，97，B ⎝⎛⎭⎪⎫1，227，67．10．如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz ，已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 是正方体对角线D 1B 的中点，点Q 在棱CC 1上．(1)当2|C 1Q |＝|QC |时，求|PQ |；(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，求|PQ |的最小值．解：(1)由题意知点C 1(0，1，1)，点D 1(0，0，1)，点C (0，1，0)，点B (1，1，0)，点P 是体对角线D 1B 的中点，则点P (12，12，12)．因为点Q 在棱CC 1上，且2|C 1Q |＝|QC |，所以点Q 为(0，1，23)．由空间两点的距离公式，得|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－23)2＝1936＝196．(2)当点Q 在棱CC 1上移动时，则点Q (0，1，a )，a ∈[0，1]．由空间两点的距离公式有|PQ |＝(12－0)2＋(12－1)2＋(12－a )2＝ (a －12)2＋12．故当a ＝12时，|PQ |取得最小值22，此时点Q (0，1，12)．[B 能力提升]11．若P (x ，2，1)到Q (1，1，2)，R (2，1，1)的距离相等，则x 的值为( ) A ．12 B ．1C ．32D ．2解析：选B ．由(x －1)2＋(2－1)2＋(1－2)2＝(x －2)2＋(2－1)2＋(1－1)2，解得x ＝1．12．若点P (x ，y ，z )到平面xOz 与到y 轴距离相等，则P 点坐标满足的关系式为________．解析：由题意得|y |＝x 2＋z 2即x 2＋z 2－y 2＝0．答案：x 2＋z 2－y 2＝013．如图所示，在长方体OABC O 1A 1B 1C 1中，|OA |＝2，|AB |＝3，|AA 1|＝2，E 是BC 的中点，作OD ⊥AC 于点D ，求线段B 1E 的长度及顶点O 1到点D 的距离．解：由已知的空间直角坐标系及长方体的棱长可得长方体的各个顶点的坐标分别为：O (0，0，0)、A (2，0，0)、B (2，3，0)、C (0，3，0)、O 1(0，0，2)、A 1(2，0，2)、B 1(2，3，2)、C 1(0，3，2)．因为E 是BC 的中点，所以点E 的坐标为(1，3，0)，所以由两点间的距离公式得|B 1E |＝(2－1)2＋(3－3)2＋(2－0)2＝5．设D (x ，y ，0)，在Rt △AOC 中， |OA |＝2，|OC |＝3，|AC |＝13，所以|OD |＝2×313＝61313．在Rt △ODA 中， |OD |2＝x ·|OA |，所以x ＝36132＝1813．在Rt △ODC 中，|OD |2＝y ·|OC |，所以y ＝36133＝1213．所以点D (1813，1213，0)，由两点间的距离公式得 |O 1D |＝(0－1813)2＋(0－1213)2＋(2－0)2＝1 144132＝228613． 14．(选做题)已知正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 与平面ABEF 互相垂直，点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM ＝BN ＝a (0<a <2)，求：(1)MN 的长；(2)a 为何值时，MN 的长最小？解：(1)因为面ABCD ⊥面ABEF ，面ABCD ∩面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ，BE ⊂面ABEF ，所以BE ⊥面ABCD ．所以AB 、BC 、BE 两两垂直．所以以B 为坐标原点，分别以BA 、BE 、BC 所在直线为x 轴、y 轴和z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a 、N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0．所以|MN | ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝ a 2－2a ＋1 ＝(a －22)2＋12(0<a <2)． (2)因为|MN |＝(a －22)2＋12，故当a ＝22时，|MN |min ＝22．。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案新人教B版必修2

2．1.2 平面直角坐标系中的基本公式学习目标 1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题．知识点一两点的距离公式已知平面上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)．思考1 当x1≠x2，y1＝y2时，d(A，B)＝？思考2 当x1＝x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？思考3 当x1≠x2，y1≠y2时，d(A，B)＝？请简单说明理由．梳理两点间的距离公式A(x1，y1)，B(x2，y2)两点之间的距离公式d(A，B)＝|AB|＝________________；当AB垂直于y轴时，d(A，B)＝________；当AB垂直于x轴时，d(A，B)＝________；当B为原点时，d(A，B)＝________.知识点二中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝________，y＝________类型一两点间的距离公式例1 (1)已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，则△ABC的周长为( )A．4 2 B．8 2 C．12 2 D．16 2(2)若A (－5,6)，B (a ，－2)两点的距离为10，则a ＝____________.反思与感悟两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点P (x ，y )的坐标时，需要根据已知条件列出关于x ，y 的方程或方程组，解之即可．(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形．还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线．跟踪训练1 已知点A (－3,4)，点B (2，3)，试在x 轴上找一点P ，使得d (P ，A )＝d (P ，B )，并求出d (P ，A )．类型二中点公式及应用例2 已知平行四边形ABCD 的两个顶点坐标分别为A (4,2)，B (5,7)，对角线交点为E (－3,4)，求另外两顶点C 、D 的坐标．反思与感悟中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件．(2)将条件转化为与中点有关的问题．(3)利用中点公式求解．(4)转化为题目要求的结果．特别提醒：利用中点坐标公式可求得以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)为顶点的△ABC 的重心坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)．跟踪训练2 (1)已知三点A (x,5)，B (－2，y )，C (1,1)，且点C 是线段AB 的中点，求x ，y 的值；(2)求点M (4,3)关于点N (5，－3)的对称点．类型三坐标法的应用例3 证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．反思与感悟用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论．跟踪训练3 证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等．1．已知A(－3,5)，B(2,15)，则d(A，B)等于( )A．5 2 B．513C．517 D．5 52．已知两点A(a，b)，B(c，d)，且a2＋b2－c2＋d2＝0，则( )A．原点一定是线段AB的中点B．A、B一定都与原点重合C．原点一定在线段AB上但不是中点D．以上结论都不正确3．以A(1,5)，B(5,1)，C(－9，－9)为顶点的三角形是( )A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定4．已知A(a,6)，B(－2，b)，点P(2,3)平分线段AB，则a＋b＝________.5．已知平面内平行四边形的三个顶点A(－2,1)、B(－1,3)、C(3，4)，求第四个顶点D的坐标．1．坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离．反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标．2．平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明．用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”．答案精析问题导学知识点一思考1 d(A，B)＝|x2－x1|.思考2 d(A，B)＝|y2－y1|.思考3 如图，在Rt△ABC中，|AB|2＝|AC|2＋|BC|2，所以|AB|＝x2－x12＋y2－y12.即两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的距离为|AB|＝x2－x12＋y2－y12.梳理x2－x12＋y2－y12|x2－x1| |y2－y1| x21＋y21知识点二x1＋x22y1＋y22题型探究例1 (1)C (2)1或－11解析(1)∵A(4,1)，B(－3,2)，C(0,5)，∴|AB|＝－3－2＋－2＝50＝52，|BC|＝[0－－2＋－2＝18＝32，|AC|＝－42＋－2＝32＝4 2.∴△ABC的周长为|AB|＋|BC|＋|AC|＝52＋32＋42＝12 2.(2)∵|AB|＝x1－x22＋y1－y22＝－5－a2＋＋2＝10，∴a＝1或－11.跟踪训练1 解设P(x,0)，由题意得d (P，A)＝x＋2＋－2＝x2＋6x＋25，d (P，B)＝x－2＋－32＝x 2－4x ＋7.由d (P ，A )＝d (P ，B )，即x 2＋6x ＋25＝x 2－4x ＋7，化简得x ＝－95，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－95，0， d (P ，A )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋952＋42＝21095. 例2 解设C 点坐标为(x 1，y 1)，则由E 为AC 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝4＋x 12，4＝2＋y 12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－10，y 1＝6. 设D 点坐标为(x 2，y 2)，则由E 为BD 的中点，得⎩⎪⎨⎪⎧ －3＝5＋x 22，4＝7＋y 22，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－11，y 2＝1，故C 点坐标为(－10,6)，D 点坐标为(－11,1)．跟踪训练2 解 (1)由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧ x －22＝1，5＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝－3.(2)设所求点的坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋42＝5，y ＋32＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝－9，故所求对称点的坐标为(6，－9)．例3 证明如图所示，以顶点A 为坐标原点，AB 边所在直线为x 轴，建立直角坐标系，有A (0,0)．设B (a,0)，D (b ，c )，由平行四边形的性质，得点C 的坐标为(a ＋b ，c )．因为|AB |2＝a 2，|CD |2＝a 2，|AD |2＝b 2＋c 2，|BC |2＝b 2＋c 2，|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2，|BD |2＝(b －a )2＋c 2，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，|AC |2＋|BD |2＝2(a 2＋b 2＋c 2)，所以|AB |2＋|CD |2＋|AD |2＋|BC |2＝|AC |2＋|BD |2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．跟踪训练3 证明如图所示，以直角三角形的直角顶点C 为坐标原点，一直角边CA 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，则C (0,0)．设A (a,0)，B (0，b )，则斜边中点M 的坐标为(a 2，b 2)．因为|OM |＝a 24＋b 24＝12a 2＋b 2， |BM |＝a 24＋b 2－b 2 ＝12a 2＋b 2， |MA |＝a －a 22＋b 24 ＝12a 2＋b 2，所以|OM |＝|BM |＝|MA |.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等．当堂训练1．D 2.D 3.B 4．6解析由中点公式得2＝a －22，3＝b ＋62，∴a ＝6，b ＝0.∴a ＋b ＝6.5．解分以下三种情况(如图所示)．(1)以AC 为对角线构成▱ABCD 1.设D 1(x 1，y 1)，AC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52，其也为BD 1的中点坐标，∴12＝－1＋x12，52＝3＋y12，∴x1＝2，y1＝2，即D1(2,2)．(2)以BC为对角线构成▱ACD2B，同理得D2(4,6)．(3)以AB为对角线构成▱ACBD3，同理得D3(－6,0)．。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式学案新人教B版必修2

2．4.2 空间两点的距离公式学习目标 1.了解由特殊到一般推导空间两点间的距离公式的过程.2.会应用空间两点的距离公式求空间中两点间的距离．知识点空间两点的距离思考如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则其对角线AC1的长等于多少？梳理空间两点的距离公式(1)在空间直角坐标系Oxyz中，任意一点A(x，y，z)到原点间O的距离公式为d(O，A)＝|OA|＝x2＋y2＋z2.(2)空间中A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式是d(A，B)＝|AB|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.类型一求空间两点间的距离例1 如图，正方体OABC－D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|，求MN 的长．反思与感悟在平面直角坐标系中，我们学习了很多性质，但这些性质在空间直角坐标系中并不能全部都适用．如平面直角坐标系中的中点坐标公式，两点间距离公式可类比到三维空间中，而对直线方程及一些判定定理、性质则在三维空间中不适用．跟踪训练1如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E分别是棱AB，B1C1的中点，F是AC的中点，求DE，EF的长度．类型二空间两点的距离公式的应用命题角度1 求空间点的坐标引申探究1．若本例中已知条件不变，问能否在z轴上找一点P，使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形？2．若本例中“在z轴上”改为“在y轴上”，其他条件不变，结论又如何？例2 已知点A(4,5,6)，B(－5，0,10)，在z轴上有一点P，使|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．反思与感悟(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置，则可直接设出该点坐标，利用待定系数法求解点的坐标．(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系，以及其他的一些条件，则可以列出关于点的坐标的方程进行求解．跟踪训练2 设点P在x轴上，使它到点P1(0，2，3)的距离是到点P2(0,1，－1)的距离的2倍，求点P的坐标．命题角度2 空间中距离的最值例3 已知正方形ABCD、ABEF的边长都是1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜2)．(1)求|MN|的长；(2)当a为何值时，|MN|最小．反思与感悟距离是几何中的基本度量问题，无论是在几何问题中，还是在实际问题中，都会涉及距离的问题，它的命题方向往往有三个：(1)求空间任意两点间的距离；(2)判断几何图形的形状；(3)利用距离公式求最值．跟踪训练3 如图所示，正方体棱长为1，以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系Oxyz，点P在正方体的体对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上．当点P为体对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，求|PQ|的最小值．1．点P(1，2，3)到原点O的距离是( )A. 6B. 5 C．2 D. 32．点P(1,2,2)是空间直角坐标系中的一点，设它关于y轴的对称点为Q，则PQ的长为( )A ．2 5B ．5 2C ．3 2D ．2 33.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′，A ′C 的中点E 与AB 的中点F 的距离为( )A.2aB.22a C ．aD.12a 4．若A (4，－7,1)，B (6,2，z )，|AB |＝11，则z ＝________.5．求证：以A (10，－1,6)，B (4,1,9)，C (2,4,3)三点为顶点的三角形是等腰直角三角形．1．空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广，它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离，其推导过程体现了化空间为平面的转化思想．2．若已知两点坐标求距离，则直接代入公式即可；若已知两点间距离求参数或点的坐标时，应利用公式建立相应方程求解．答案精析问题导学知识点思考a 2＋b 2＋c 2.题型探究例1 解建立如图所示空间直角坐标系，过点M 作MF 垂直BC 于F ，连接NF ，显然MF 垂直平面ABCO ，所以MF 垂直NF ，因为|BM |＝2|MC ′|. 所以|BF |＝2|FC |. 又|AN |＝2|CN |，所以NF ∥AB ，所以|NF |＝|FC |＝13|AB |＝a3.同理|MF |＝23|CC ′|＝2a3，因此，得点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，2a 3，0，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，a ，2a 3，于是|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3－a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 3－a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫0－2a 32＝53a .跟踪训练1 解以点C 为坐标原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|C 1C |＝|CB |＝|CA |＝2，∴C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，由中点坐标公式，可得D (1,1,0)，E (0,1,2)，F (1,0,0)，∴|DE |＝－2＋－2＋－2＝5， |EF |＝－2＋－2＋－2＝ 6.例2 (0,0,6)解析设P (0,0，z )，由|PA |＝|PB |，得－2＋－2＋－z 2＝－5－2＋－2＋－z 2，解得z ＝6.∴点P 的坐标为(0,0,6)．引申探究1．解与例2的结论一样，P (0,0,6)． 2．解设P (0，y,0)，由|PA |＝|PB |，得－2＋－y 2＋－2＝－5－2＋－y 2＋－2，解得y ＝－245.∴点P 的坐标为(0，－245，0)．跟踪训练2 解因为点P 在x 轴上，所以设点P 坐标为(x,0,0)．因为|PP 1|＝2|PP 2|，所以x －2＋－22＋－2＝2x －2＋－2＋＋2，所以x ＝±1，所以点P 的坐标为(1,0,0)或(－1,0,0)．例3 解 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，AB ⊥BE ， ∴BE ⊥平面ABCD ，∴AB 、BC 、BE 两两垂直．过点M 作MG ⊥AB ，MH ⊥BC ，垂足分别为G 、H ，连接NG ，易证NG ⊥AB . ∵|CM |＝|BN |＝a ， ∴|CH |＝|MH |＝|BG |＝|GN |＝22a ， ∴以B 为原点，以BA 、BE 、BC 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz ，则M ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，0，1－22a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫22a ，22a ，0.(1)|MN |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a －22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22a －02＝a 2－2a ＋1＝ ⎝⎛⎭⎪⎫a －222＋12.(2)由(1)得，当a ＝22时，|MN |最短，最短为22，这时M 、N 恰好为AC 、BF 的中点．跟踪训练3 解建立如图所示的空间直角坐标系，则P (12，12，12)．∵点Q 在CD 上，∴设Q (0,1，z )，z ∈[0,1]， ∴|PQ | ＝ 12－2＋12－2＋12－z 2，＝12＋12－z 2，∴当z ＝12时，|PQ |min ＝22.当堂训练 1．A 2.A 3.B 4．－5或7解析 ∵|AB |＝11，∴(6－4)2＋(2＋7)2＋(z －1)2＝112，化简得(z －1)2＝36，即|z －1|＝6， ∴z ＝－5或z ＝7.5．证明根据空间两点间距离公式，得|AB |＝－2＋－1－2＋－2＝7，|BC|＝－2＋－2＋－2＝7，|AC|＝－2＋－1－2＋－2＝98. 因为|AB|2＋|BC|2＝|AC|2，且|AB|＝|BC|，所以△ABC是等腰直角三角形．。

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2_2_4点到直线的距离学案新人教B版必修2

- 让每一个人同等地提高自我2．点到直线的距离学习目标 1. 认识点到直线的距离公式的推导方法.2. 掌握点到直线距离的公式，并能灵巧应用于求平行线间的距离等问题.3. 初步掌握分析法研究几何问题的方法．知识点一点到直线的距离思虑 1你能说出求点P( x0， y0)到直线 l ： Ax＋By＋ C＝0的距离的一个解题思路吗？思虑 2依据思虑 1 的思路，点P 到直线 Ax＋ By＋ C＝0的距离 d 如何用 A， B，C及 x0， y0表示？思虑 3点到直线的距离公式关于当A＝0或 B＝0时的直线能否仍旧合用？梳理点到直线的距离及公式(1)定义：点到直线的 ________的长度．(2)图示：(3)公式： d＝________________.知识点二两条平行直线间的距离思虑直线 l 1：x＋ y－1＝0上有 A(1,0)、 B(0,1)、 C(－1,2)三点，直线l 2： x＋ y＋1＝0与直线 l 1平行，那么点A、 B、 C到直线 l 2的距离分别为多少？有什么规律吗？- 让每一个人同等地提高自我梳理两条平行直线间的距离及公式(1) 定义：夹在两平行线间的________________ 的长．(2)图示：(3)求法：转变为点到直线的距离．(4) 公式：两条平行直线l 1：＋＋1＝0与l2：＋＋2＝0之间的距离＝| C1－C2| .Ax By C Ax By C d A2＋ B2种类一点到直线的距离例 1 (1) 求点P(2 ，－ 3) 到以下直线的距离．4 1①y＝3x＋3；②3y＝4；③ x＝3.(2) 求过点( －1,2) ，且与点(2,3) ， ( －4,5) 距离相等的直线l 的方程．M A B反省与感悟(1) 应用点到直线的距离公式时应注意的三个问题①直线方程应为一般式，若给出其余形式应化为一般式．②当点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为0，公式仍旧合用．③直线方程Ax＋ By＋ C＝0，当 A＝0或 B＝0时公式也建立，但因为直线是特别直线( 与坐标轴垂直 ) ，故也可用数形联合求解．(2)当用待定系数法求直线方程时，第一考虑斜率不存在能否知足题意．追踪训练 1 (1) 若点 (4 ，a) 到直线4x－ 3y＝ 0 的距离不大于3，则 a 的取值范围为________________ ．(2) 已知直线l 过点 (3,4) 且与点 ( － 2,2) ， (4 ，－ 2) 等距离，则直线 l 的方程为P A B________________________ ．种类二两平行线间的距离例 2 (1) 两直线 3x ＋ y －3＝ 0 和 6x ＋ my －1＝ 0 平行，则它们之间的距离为 ____________． (2) 已知直线 l 到直线 l ： 2x － y ＋3＝ 0 和 l ： 2x －y － 1＝ 0 的距离相等，则 l 的方程为12________________ ．反省与感悟求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1： y ＝ kx ＋b 1， l 2： y ＝kx ＋ b 2，且 b 1≠ b 2 时， d ＝| b － b |；当直线 l 1：Ax ＋ By ＋C 1 ＝0， l 2： Ax ＋12k 2＋ 1＋ 2＝0且 1≠ 2 时，12. 但一定注意两直线方程中，的系数对应相等．d ＝| C －C|x y By CC CA 2＋B 2追踪训练 2(1) 求与直线l ：5 －12 y ＋ 6＝ 0 平行且到l 的距离为 2 的直线方程；x(2) 两平行直线 l， l2分别过 P (1,0) ， P (0,5) ，若 l1与 l2 的距离为 5，求两直线方程．112种类三利用距离公式求最值命题角度 1由点到直线的距离求最值例 3 已知实数 x ， y 知足 6 x ＋ 8 －1＝ 0，则2＋ y 2－ 2 y ＋ 1的最小值为________．y x反省与感悟解决此类题的重点是理解式子表示的几何意义，将“数”转变为“形”，进而利用图形的直观性加以解决．追踪训练 3(1) 动点 P ( x ， y ) 在直线 x ＋ y －4＝ 0 上， O 为原点，求 | OP | 最小时点 P 的坐标；(2) 求过点 P (1,2) 且与原点距离最大的直线方程．命题角度 2 相关两平行线间距离的最值例 4两条相互平行的直线分别过点 A (6,2) ， B ( － 3，－ 1) ，而且各自绕着点 A ，B 旋转，如果两条平行直线间的距离为d .(1) 求 d 的取值范围；(2) 求 d 取最大值时，两条直线的方程．反省与感悟两平行线间的距离可转变为两点间的距离，经过两点间的距离利用数形联合思想获得两平行线间距离的最值．追踪训练 4 已知 P ，Q 分别是直线 3x ＋ 4y －5＝ 0 与 6x ＋ 8y ＋ 5＝ 0 上的动点，则 | PQ | 的最小值为 ( )A ． 3B. 3 33 C. 2D. 21．已知点 (a, 1) 到直线－＋ 1＝ 0 的距离为 1，则 a 的值为()x yA ． 1B ．－ 1C. 2D ．±22．直线 x － 2y － 1＝ 0 与直线 x －2y － C ＝ 0 的距离为 2 5，则 C 的值为 ( )A ． 9B ．11 或－ 9C ．－ 11D ．9 或－ 113．已知点 M (1,2) ，点 P ( x ， y ) 在直线 2x ＋ y － 1＝ 0 上，则 | MP |的最小值是 ()3 5A. 10B. 5C. 6D ． 3 54．两平行直线 3x ＋ 4y ＋5＝ 0 与 6x ＋ ay ＋30＝ 0 间的距离为 d ，则 a ＋ d ＝ ________. 5．直线 3x － 4y － 27＝ 0 上到点 P (2,1) 距离近来的点的坐标是________________ ．1．点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式．当直线与坐标轴垂直时可直接求之．2．利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需联合图形，数形联合，使问题更清楚．| C 1－ C 2|3．已知两平行直线，其距离可利用公式d ＝ A2＋ B2求解，也可在已知直线上取一点，转变为点到直线的距离．- 让每一个人同等地提高自我答案精析问题导学知识点一AB思虑 1 由 PQ ⊥ l ，以及直线 l 的斜率为－ B ，可得 l 的垂线 PQ 的斜率为 A ，所以，垂线 PQ 的方程可求出．解垂线 PQ 与直线 l 的方程构成的方程组，得点 Q 的坐标，用两点间距离公式求出 | PQ | ，即为点 P 到直线 l 距离．| 0＋ 0＋ |思虑 2Ax By Cd ＝.A 2＋B 2思虑 3仍旧合用，①当＝ 0， ≠0时，直线 l 的方程为＋＝0，即 yC ＝ | y C＝－， 0＋A B By C BdB| By 0＋ C || ＝，合适公式．| B |CC| Ax ＋C |②当＝ 0， ≠0时，直线 l 的方程为＋＝0，＝－，＝|x 0＋ |＝ 0，合适公式．B AAx CxA dA | A |梳理(1) 垂线段| Ax 0＋ By 0＋ C | (3)A 2＋B 2知识点二思虑点 A 、 B 、 C 到直线 l 2 的距离分别为 2、 2、 2. 规律是当两直线平行时，一条直线上任一点到另一条直线的距离都相等．梳理 (1) 公垂线段题型研究41例 1 (1) 解 ① y ＝ 3x ＋ 3可化为 4x － 3y ＋ 1＝ 0，点 P (2 ，－ 3) 到该直线的距离为|4 ×2－3× －3 ＋ 1| 1842＋－3＝ .25②3y ＝4 可化为 3y － 4＝ 0，由点到直线的距离公式，得| －3×3－ 4|1302＋ 32＝ .3③ ＝3 可化为－3＝0，xx由点到直线的距离公式，得|2 －3|1 ＝ 1.(2) 解方法一当过点 M ( － 1,2) 的直线 l 的斜率不存在时，- 让每一个人同等地提高自我直线 l 的方程为 x ＝－ 1，恰巧与 A (2,3) ， B ( － 4,5) 两点的距离相等，故 x ＝－ 1 知足题意．当过点 M ( － 1,2) 的直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y － 2＝ k ( x ＋ 1) ，即 kx － y ＋ k ＋ 2＝ 0.由点 A (2,3) 与点 B ( － 4,5) 到直线 l 的距离相等，得 |2 k － 3＋ k ＋ 2| | － 4k －5＋ k ＋ 2|k 2＋ 1 ＝，k 2＋11解得 k ＝－ 3，1此时 l 的方程为 y － 2＝－ 3( x ＋ 1) ，即 x ＋3y － 5＝ 0.综上所述，直线l 的方程为 x ＝－1或 x ＋3 －5＝0.y方法二由题意，得 l ∥AB 或 l 过 AB 的中点，当 l ∥AB 时，设直线 AB 的斜率为 k AB ，直线 l 的斜率为 k l ，则 k l ＝k AB ＝ 5－ 3 1－ 4－＝－，231此时直线 l 的方程为 y －2＝－ 3( x ＋ 1) ，即 x ＋3y － 5＝ 0.当 l 过 AB 的中点 ( － 1,4) 时，直线 l 的方程为 x ＝－ 1.综上所述，直线l 的方程为 x ＝－1或 x ＋3 －5＝0.y追踪训练1 (1)[ 1 31， ]3 3(2)2 x － y － 2＝0 或 2x ＋ 3y － 18＝0分析 (1)由题意知， |4 ×4－ 3a |2≤3，42＋－3 1311 31解得 3≤ a ≤ 3 ，故 a 的取值范围为 [ 3， 3]．(2) 过点 (3,4) 且斜率不存在时的直线x ＝ 3 与、两点的距离不相等，PA B故可设所求直线方程为 y － 4＝ k ( x －3) ，即 kx － y ＋ 4－ 3k ＝ 0.由已知，得- 让每一个人同等地提高自我| － 2k － 2＋ 4－ 3k | ＝ |4 k ＋2＋ 4－ 3k | ，1＋ k 2 1＋ k 22∴ k ＝2 或 k ＝－ 3，∴所求直线 l 的方程为 2x ＋ 3y －18＝ 0 或 2x － y － 2＝ 0.例2(1)1046 m 分析由题意，得＝，3 1∴ m ＝ 2.将直线 3x ＋ y －3＝ 0 化为 6x ＋ 2y － 6＝ 0，由两平行线间距离公式，得| －1＋6| 5 10d ＝ 2 2 ＝ 40 ＝.6 ＋ 2 4 (2)2 x － y ＋ 1＝ 0分析设直线 l 的方程为 2x － y ＋C ＝ 0，|3 －C | | C ＋1| 2，由题意，得22＝22 ＋12 ＋1解得 C ＝ 1，∴直线 l 的方程为 2x － y ＋ 1＝ 0.追踪训练 2解 (1) 方法一设所求直线的方程为 5 － 12 y ＋＝0，x C1在直线 5x － 12y ＋ 6＝ 0 上取一点 P 0(0 ， 2) ，则点 P 0 到直线 5x － 12y ＋ C ＝ 0 的距离为1| － 12×2＋ C || －6|2＝ C .52＋－12 13 | C －6|＝ 2，由题意，得13所以 C ＝ 32 或 C ＝－ 20，故所求直线的方程为5x － 12y ＋ 32＝ 0 或 5x － 12y － 20＝ 0.方法二设所求直线的方程为5x － 12y ＋ C ＝0，由两平行直线间的距离公式，| C －6|得2＝52＋－12 2，解得C ＝ 32 或 C ＝－ 20，故所求直线的方程为5x－ 12y＋ 32＝ 0 或 5x－ 12y－ 20＝ 0.(2)依题意得，两直线的斜率都存在，设 l 1：y＝ k( x－1)，即 kx－ y－ k＝0，l 2： y＝kx＋5，即 kx－ y＋5＝0.因为 l 1与 l 2的距离为5，所以|－k－5|＝ 5，解得k＝0或5. k2＋1 12所以 l 1和 l 2的方程分别为y＝0和 y＝5或5x－12y－5＝0和5x－12y＋60＝0.例 3 7 10分析∵2＋y 2－2 ＋1x y＝x－02＋ y－12，∴上式可当作是一个动点M( x， y)到定点 N(0,1)的距离，即为点 N到直线 l ：6x＋8y－1＝0上随意一点M( x，y)的距离，∴ S＝| MN|的最小值应为点N到直线 l 的距离，|8 －1| 7即 | MN|min＝d＝62＋82＝10.追踪训练 3 解(1) 直线上的点到原点距离的最小值即为原点到直线的距离，此时OP垂直于已知直线，则k ＝1，OP∴ OP所在的直线方程为y＝ x.y＝ x，x＝2，由解得y＝2.x＋y－4＝0，∴点 P的坐标为(2,2) ．(2)由题意知，过点 P 且与 OP垂直的直线到原点 O的距离最大，∵k OP＝2，1∴所求直线方程为y－2＝－2( x－1)，即 x＋2y－5＝0.例 4 解(1) 设经过点A和点B的直线分别为l 1、 l 2，l ⊥ AB，明显当1时， l 1和 l 2的距离最大，l ⊥ AB2且最大值为| | ＝－3－6 2＋－1－ 2 2＝ 3 10，AB∴ d 的取值范围为(0,310] ．(2)由 (1) 知，d max＝ 3 10，此时k＝－ 3，两直线的方程分别为 3x＋y－ 20＝0 或 3x＋y＋ 10＝ 0.追踪训练 4 D [ 两平行线间的距离就是| PQ| 的最小值， 3x＋ 4y－ 5＝ 0 可化为 6x＋8y－ 10＝0，则 | PQ| ＝|5 －－10 | 362＋ 82 ＝2.]当堂训练1．4． 10|15 － 5|分析由两直线平行知，a＝8， d＝＝ 2，5∴a＋ d＝10.5． (5 ，－ 3)分析由题意知过点P 作直线3x－4y－27＝0的垂线，设垂足为 M，则| MP|为最小，4直线 MP的方程为 y－1＝－3( x－2)，3x－ 4y－ 27＝0，解方程组 4y－1＝－3x－2，x＝5，得y＝－3∴所求点的坐标为(5 ，－ 3) ．。

高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习(含解析)新人教B版必修2

对应学生用书P75知识点一空间两点间的距离高中数学第二章平面解析几何初步2.4.2空间两点的距离公式练习（含解析）新人教B版必修21．在空间直角坐标系中，点A(3，2，－5)到x轴的距离d等于( )A．32＋22 B．22＋－52C．32＋－52 D．32＋22＋－52答案 B解析过点A作AB⊥x轴于点B，则B(3，0，0)，所以点A到x轴的距离d＝|AB|＝22＋－52．2．如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO－A′B′C′O′，则A′C 的中点E与AB的中点F的距离为( )A．2aB．22aC．aD．12a答案 B解析A′(a，0，a)，C(0，a，0)，点E的坐标为a2，a2，a2，而F⎝⎛⎭⎪⎫a，a2，0，∴|EF|＝a24＋02＋a24＝22a，故选B．知识点二空间两点间距离公式的应用3．点P(x ，y ，z)满足x －12＋y －12＋z ＋12＝2，则点P 在( )A ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 B ．以点(1，1，－1)为中心，以2为棱长的正方体内 C ．以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上 D ．以上都不正确答案 C 解析x －12＋y －12＋z ＋12表示P(x ，y ，z)到点M(1，1，－1)的距离，即|PM|＝2为定值．故点P 在以点(1，1，－1)为球心，以2为半径的球面上．4．如图所示，PA ，AB ，AD 两两垂直，四边形ABCD 为矩形，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：MN⊥AB．证明如图所示，以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，设B(a ，0，0)，D(0，b ，0)，C(a ，b ，0)，P(0，0，c)，连接AN ．因为M ，N 分别是AB ，PC 的中点，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，b 2，c 2，则|AM|2＝a 24，|MN|2＝b 2＋c 24，|AN|2＝a 2＋b 2＋c24，所以|AN|2＝|MN|2＋|AM|2，所以MN⊥AB．对应学生用书P75一、选择题1．在空间直角坐标系中，一定点P 到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是( )A ．62 B ． 3 C ．32 D ．63答案 A解析如图所示，在正方体OABC －O 1A 1B 1C 1中，设正方体的棱长为a(a ＞0)，则点P 在顶点B 1处，建立分别以OA ，OC ，OO 1所在直线为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系，则点P 的坐标为(a ，a ，a)，由题意得a 2＋a 2＝1，∴a 2＝12，∴|OP|＝3a 2＝3×12＝62． 2．与两点A(3，4，5)，B(－2，3，0)距离相等的点M(x ，y ，z)满足的条件是( ) A ．10x ＋2y ＋10z －37＝0 B ．5x －y ＋5z －37＝0 C ．10x －y ＋10z ＋37＝0 D ．10x －2y ＋10z ＋37＝0 答案 A解析由|MA|＝|MB|，即(x －3)2＋(y －4)2＋(z －5)2＝(x ＋2)2＋(y －3)2＋z 2，化简得10x ＋2y ＋10z －37＝0，故选A ．3．到定点(1，0，0)的距离小于或等于2的点的集合是( ) A ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤2} B ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≤4} C ．{(x ，y ，z)|(x －1)2＋y 2＋z 2≥4}D ．{(x ，y ，z)|x 2＋y 2＋z 2≤4} 答案 B解析由空间两点间的距离公式可得，点P(x ，y ，z)到定点(1，0，0)的距离应满足x －12＋y 2＋z 2≤2，即(x －1)2＋y 2＋z 2≤4．4．△ABC 的顶点坐标是A(3，1，1)，B(－5，2，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，2，3，则它在yOz 平面上射影的面积是( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 D解析 △ABC 的顶点在yOz 平面上的射影点的坐标分别为A′(0，1，1)，B′(0，2，1)，C′(0，2，3)，∵|A′B′|＝0－02＋1－22＋1－12＝1，|B′C′|＝0－02＋2－22＋3－12＝2， |A′C′|＝0－02＋2－12＋3－12＝5，∴|A′B′|2＋|B′C′|2＝|A′C′|2，∴△ABC 在yOz 平面上的射影△A′B′C′是一个直角三角形，它的面积为1．5．已知A(x ，5－x ，2x －1)，B(1，x ＋2，2－x)，当|AB|取最小值时，x 的值为( ) A ．19 B ．－87 C ．87 D ．1914答案 C 解析 |AB|＝x －12＋3－2x2＋3x －32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －872＋57， ∴当x ＝87时，|AB|最小．二、填空题6．在空间直角坐标系中，设A(m ，1，3)，B(1，－1，1)，且|AB|＝22，则m ＝________．答案 1 解析 |AB|＝m －12＋[1－－1]2＋3－12＝22，解得m ＝1．7．已知点P 32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，则z ＝________．答案 0或－4解析由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为12，92，－2．又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以32－122＋52－922＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或－4．8．点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，则点A到原点的距离为________．答案4 2解析由点B(3，0，0)是点A(m，2，5)在x轴上的射影，得m＝3，所以点A到原点的距离为d＝32＋22＋52＝32＝42．三、解答题9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，|C1C|＝|CB|＝|CA|＝2，AC⊥CB，D，E，F分别是棱AB，B1C1，AC的中点，求|DE|，|EF|．解以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．∵|CC1|＝|CB|＝|CA|＝2，∴C(0，0，0)，A(2，0，0)，B(0，2，0)，C1(0，0，2)，B1(0，2，2)，由空间直角坐标系中的中点坐标公式可得D(1，1，0)，E(0，1，2)，F(1，0，0)，∴|DE|＝1－02＋1－12＋0－22＝5，|EF|＝0－12＋1－02＋2－02＝6．10．如图，正方形ABCD、ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<2)，(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小．解由于平面ABCD、ABEF互相垂直，其交线为AB，且CB⊥AB，所以CB⊥平面ABEF，故以B为原点O，BC所在直线为z轴正半轴，BA所在直线为x轴正半轴，BE所在直线为y轴正半轴，建立空间直角坐标系．由于N点在对角线BF上，且BN＝a，N点到x轴和到y轴的距离相等，所以N点坐标为2 2a，22a，0．同理M点的坐标为M22a，0，1－22a．于是：(1)MN＝22a－22a2＋22a－02＋22a－12＝a－222＋12，0<a<2．(2)由(1)知MN＝a－222＋12，故当a＝22时，MN有最小值，且最小值为22．。

【中小学资料】2018版高中数学第二章平面解析几何初步 2.1.2 第2课时两点式学案苏教版必修2

第2课时两点式学习目标 1.掌握直线方程两点式的形式、特点及适用范围.2.了解直线方程截距式的形式、特点及适用范围.3.会用中点坐标公式求两点的中点坐标.知识点一直线方程的两点式思考1 已知两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，其中x 1≠x 2，y 1≠y 2，求通过这两点的直线方程.思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)，(5,3)的直线呢？梳理思考1 过点(5,0)和(0,7)的直线能用x 5＋y7＝1表示吗？思考2 已知两点P 1(a,0)，P 2(0，b )，其中a ≠0，b ≠0，求通过这两点的直线方程.梳理类型一直线的两点式方程例1 已知三角形的三个顶点是A(4,0)，B(6,7)，C(0,3)，求三边所在的直线方程.反思与感悟(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程.(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误.在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系.跟踪训练1 已知△ABC的三个顶点为A(1,1)，B(5,1)，C(23－1，7－23).(1)求△ABC三边所在直线的方程；(2)求△ABC内角A，B的大小.类型二直线的截距式方程命题角度1 与三角形有关的直线方程例2 过点P (1,3)，且与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是________.反思与感悟求解此类问题的两个步骤：一是待定系数法，即根据题中条件设出直线方程，如在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b (a ≠0，b ≠0)的直线方程常设为x a ＋yb＝1；二是方程(组)思想，即根据已知条件，寻找关于参数的方程(组)，解方程(组)，得参数的值.跟踪训练2 直线l 与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积为2，两截距之差为3，求直线l 的方程.命题角度2 判断直线的条数例3 过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有________条.反思与感悟如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时，若采用截距式求直线方程，则一定要注意考虑“零截距”的情况.跟踪训练3 过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有________条.1.过两点(－2,1)和(1,4)的直线方程为__________________________________.2.若直线l 的方程为x －2＋y2＝1，则该直线的倾斜角为____________.3.经过P (4,0)，Q (0，－3)两点的截距式方程为________________________.4.过点(5,2)，且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的直线方程是____________________.5.下列四个结论： ①方程k ＝y －2x ＋1与方程y －2＝k (x ＋1)可表示同一直线； ②直线l 过点P (x 1，y 1)，倾斜角为90°，则其方程是x ＝x 1； ③直线l 过点P (x 1，y 1)，斜率为0，则其方程是y ＝y 1； ④所有的直线都有点斜式和截距式方程. 正确的为________.(填序号)1.当直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1求它的方程，此时直线的方程分别是x＝x1和y＝y1，而它们都适合(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)，即两点式的整式形式，因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)的形式.2.直线的截距式是两点式的一个特殊情形，用它来画直线以及判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方便.注意直线过原点或与坐标轴平行时，没有截距式方程，但直线过原点时两截距存在且同时等于零.答案精析问题导学知识点一思考1 y －y 1＝y 2－y 1x 2－x 1(x －x 1)，即y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1. 思考2 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母．过点(2,3)，(5,3)的直线也不能用两点式表示．知识点二思考1 能．由直线方程的两点式得y －07－0＝x －50－5，即x 5＋y7＝1. 思考2 由直线方程的两点式，得y －0b －0＝x －a0－a ，即x a ＋y b＝1. 题型探究例1 解直线AB 过A ，B 两点，由两点式得y －07－0＝x －46－4，整理得7x －2y －28＝0.∴直线AB 的方程为7x －2y －28＝0.直线AC 过A (4,0)，C (0,3)两点，由两点式得y －03－0＝x －40－4，整理得3x ＋4y －12＝0.∴直线AC 的方程为3x ＋4y －12＝0.直线BC 过B (6,7)，C (0,3)两点，由两点式得y －73－7＝x －60－6，整理得2x －3y ＋9＝0.∴直线BC 的方程为2x －3y ＋9＝0.跟踪训练1 解 (1)直线AB 过点A (1,1)，B (5,1)，由于A ，B 的纵坐标相等，所以直线AB 的方程为y ＝1.直线AC 过点A (1,1)，C (23－1,7－23)，由两点式方程可得y －16－23＝x －123－2，整理得3x －y ＋1－3＝0，这就是直线AC 的方程．直线BC 过点B (5,1)，C (23－1,7－23)，由两点式方程可得y －16－23＝x －523－6，整理得x ＋y －6＝0，这就是直线BC 的方程．(2)因为k AC ＝3，所以直线AC 的倾斜角α＝60°.又AB 平行于x 轴，所以∠A ＝60°. 因为k BC ＝－1，所以直线BC 的倾斜角β＝135°. 又AB 平行于x 轴，所以∠B ＝45°. 例2 3x ＋y －6＝0跟踪训练2 解由题设知，直线l 不过原点，且在x 轴、y 轴上的截距都大于0，设直线l 的方程为x a ＋y b＝1(a >0，b >0)，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，|a －b |＝3.①当a ≥b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，a －b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－4(舍去)；当a <b 时，①可化为⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝2，b －a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－1(舍去)．所以直线l 的方程为x4＋y ＝1或x ＋y4＝1，即x ＋4y －4＝0或4x ＋y －4＝0. 例3 3 跟踪训练3 2 当堂训练1．x－y＋3＝0 2.45° 3.x4－y3＝14．x＋2y－9＝0或2x－5y＝0 5.②③。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.1.5 平面上两点间的距离 2.1.6 点到直线的距离学案

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.5 平面上两点间的距离2.1.6 点到直线的距离学案苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.5 平面上两点间的距离2.1.6 点到直线的距离学案苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

1.5 平面上两点间的距离 2.1.6 点到直线的距离1．理解两点间的距离公式和点到直线的距离公式，并能进行简单应用．（重点、难点) 2．熟练掌握中点坐标公式．3．会求两条平行直线间的距离．(易错点）[基础·初探］教材整理1 两点间的距离公式阅读教材P97~P98，完成下列问题．平面上P1(x1，y1）,P2（x2，y2）两点间的距离公式P1P2＝错误!。

【答案】错误!，错误!，2错误!教材整理2 中点坐标公式阅读教材P99～P100，完成下列问题．对于平面上的两点P1（x1，y1)，P2(x2,y2），线段P1P2的中点是M（x0，y0),则错误!1．已知A（0，2）,B（3,0)，则AB中点P的坐标为________．【解析】设P (x ，y )，则错误!∴P（）32，1。

高中数学第二章平面解析几何初步 2.1.5 平面上两点间的距离 2.1.6 点到直线的距离学业分

2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.5 平面上两点间的距离2.1.6 点到直线的距离学业分层测评苏教版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.5 平面上两点间的距离2.1.6 点到直线的距离学业分层测评苏教版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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2。

1。

5-2。

1。

6 点到直线的距离（建议用时：45分钟)［学业达标］一、填空题1．△ABC三个顶点的坐标A（－3,2）,B（3,2）,C（4，0），则AB边的中线CD的长为________．【解析】AB的中点坐标为D（0,2），∴CD＝42＋22＝2错误!。

【答案】2错误!2．已知点A(－1,4)，B（2,5）,点C在x轴上，且｜AC|＝｜BC|，则点C的坐标为________．【解析】设C（x,0)，则由|AC｜＝|BC｜，得错误!＝错误!，解得x＝2,所以C（2，0)．【答案】（2，0）3．分别过点A(－2,1）和点B（3,－5）的两条直线均垂直于x轴，则这两条直线间的距离是________．【解析】两直线方程为x＝－2，x＝3，d＝｜3－（－2）｜＝5。

【答案】54．过点P(2，3），且与原点距离最大的直线的方程为__________．【解析】此直线为过P(2,3)且与OP垂直的直线,k OP＝错误!,故直线方程为y－3＝－错误! (x－2）,即2x＋3y－13＝0。