【精编】2016-2017年江苏省南京市鼓楼区高一(上)数学期中试卷带解析答案
[精品]2016-2017年江苏省南京市金陵中学高一(上)数学期中试卷与答案
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2016-2017学年江苏省南京市金陵中学高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题）1．已知集合A={1，2，5}，B={1，3，5}，则A∩B=．2．函数的定义域为．3．已知f（x）=x2﹣1，则f（2x）=．4．函数y=的值域为．5．函数f（x）=lg（x2﹣9）的单调增区间是．6．已知，则f（4）=．7．若关于x的方程lgx=5﹣2x的解x0∈（k，k+1），k∈Z，则k=．8．幂函数f（x）的图象经过，则f（2）=．9．已知函数f（x）=x5+px3+qx﹣8满足f（﹣2）=10，则f（2）=．10．已知函数f（x）=，则=．11．若m∈（1，2），a=0.3m，b=log0.3m，c=m0.3，则用“＞”将a，b，c按从大到小可排列为．12．若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（﹣∞，0]上单调递减，且f（﹣4）=0，则使得x|f（x）+f（﹣x）|＜0的x的取值范围是．13．设f（x）=1﹣2x2，g（x）=x2﹣2x，若，则F（x）的最大值为．14．设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若对任意的x ∈[t，t+2]，不等式f（x+2t）≥4f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．二、解答题15．（1）计算：2lg4+lg；（2）已知=3，求的值．16．设全集为R，集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），记函数f（x）=的定义域为集合B（1）分别求A∩B，A∩?R B；（2）设集合C={x|a+3＜x＜4a﹣3}，若B∩C=C，求实数a的取值范围．17．已知定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2+2x﹣1（1）求f（﹣3）的值；（2）求函数f（x）的解析式．18．2016年10月28日，经历了近半个世纪风雨的南京长江大桥之前大桥在改善我们城市的交通状况方面功不可没．据相关数据统计，一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到280辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆/千米时，车流速度为50千米/小时．研究表明，当30≤x≤280时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤280时，求函数v（x）的表达式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）可以达到最大，并求出最大值．19．已知函数f（x）=+m为奇函数，m为常数．（1）求实数m的值；（2）判断并证明f（x）的单调性；（3）若关于x的不等式f（f（x））+f（ma）＜0有解，求实数a的取值范围．20．已知函数g（x）=x2﹣ax+b，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为﹣1，设f（x）=．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（3x）﹣t?3x≥0在x∈[﹣2，2]上恒成立，求实数t的取值范围；（3）若关于x的方程f（|2x﹣2|）+k?﹣3k=0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．。
2016-2017学年苏教版高一数学上册期中试卷及答案
2016-2017学年度第一学期期中考试高一年级数学试卷一、填空题：（本大题包括14小题，每小题5分，共70分，把答案写在答题纸相应的横线上）1．已知集合{}{}0,,1,2,M x N ==若==N M N M 则},1{ .2．函数y =的定义域是 . 3．函数⎩⎨⎧<+≥-=)4)(3()4(3)(x x f x x x f ，则(1)f -= . 4．函数x x y 21--=值域为 .5．22log 3321272log 8-⨯+= . 6．若函数2()lg 21f x x a x =-+的图像与x 轴有两个交点，则实数a 的取值范围是 .7．方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，则k = .8．对,a b R ∈,记{},max ,,,a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩函数{}()max 1,2()f x x x x R =+-∈的最小值 是 .9．函数()log 23a y x =-图象恒过定点P ,P 在幂函数()f x 图象上，则()9f = ． 10．函数()()122-+-+=a x b a ax x f 是定义在()()22,00,--a a 上的偶函数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+522b a f . 11．已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =+，那么不等式()210f x -<的解集是 .12．函数⎩⎨⎧≥+-<=)0(4)3(),0()(x a x a x a x f x 满足))](()([2121x x x f x f --0<对定义域中的任意两个不相等的12,x x 都成立，则a 的取值范围是 .13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()21x f x x -=+，若对任意实数1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()10f t a f t +-->恒成立，则实数a 的取值范围是 .14．已知函数)1,0(1log )(≠>-=a a x x f a ，若1234x x x x <<<，且12()()f x f x =34()()f x f x ==，则12341111x x x x +++= . 二、解答题：(本大题包括6小题，共90分. 请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程)15.(本题满分14分)设全集{|5U x x =≤且*2},{|50}x N A x x x q ∈=-+=，2{|120}B x x px =++=且(){1,3,4,5}U C A B ⋃=，求实数,p q 的值.16．(本题满分14分) 已知集合{A x y ==，)}127lg(|{2---==x x y x B ，}121|{-≤≤+=m x m x C ．（1）求A B ；（2）若A C A = ，求实数m 的取值范围．17. (本题满分15分)某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示。
南京市2016-2017学年度第一学期期末检测卷(高一数学)参考答案终稿
南京市2016－2017学年度第一学期期末检测卷高一数学参考答案及评分标准 2017.01说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．{0，1，2} 2．(－∞，1) 3．2π3 4．－513 5．126．9 7．－148．5 9．c ＜a ＜b 10．1 11．3 12．4 13．(0，13)∪(3，＋∞) 14．(0，14) 二、解答题：本大题共6小题，共90分．15． 解：（1）因为sin α＋cos αsin α－2cos α＝2，化简得sin α＝5cos α． ……………………………2分 当cos α＝0时不符合题意，所以cos α≠0，所以tan α＝5． ………………………………………………6分（2）cos(π2－α)·cos(－π＋α)＝－sin αcos α ……………………………8分 ＝－sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝－tan αtan 2α＋1…………………………………………12分 ＝－ 526． ……………………………………………14分 16．解：（1）因为a ＝(－2，1)，b ＝(3，－4)，所以a ＋b ＝(1，－3)，2a －b ＝(－7，6)， ……………………4分所以(a ＋b )·(2a －b )＝1×(－7)＋(－3)×6＝－25． ……………………6分（2）由（1）可知a ＋b ＝(1，－3)，且a ＝(－2，1)，所以|a |＝5，|a ＋b |＝10，a ·(a ＋b )＝－5． ……………………9分设向量a 与a ＋b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·(a ＋b )|a |·|a ＋b |＝－22． ……………………11分 因为θ∈[0，π]，所以θ＝3π4，即向量a 与a ＋b 的夹角为3π4． ……………………14分 17．解：（1）依题意，y ＝x (a －2x )(2a －2x )，x ∈(0，1]． ………………………………4分（2）y ＝V (x )x＝(a －2x )(2a －2x ) …………………………………6分 ＝4x 2－6ax ＋2a 2．因为对称轴x ＝34a ，且a ＞2 ，所以x ＝34a ＞32＞1， …………………………8分 所以当x ＝1，y min ＝4－6a ＋2a 2． ………………………12分答：当x ＝1时，y 最小，最小值为4－6a ＋2a 2． …………………………14分18． 解：（1）由T ＝2πω，得2πω＝π，所以ω＝2． 因为点P (π6，2)是该函数图象的一个最高点，且A ＞0，所以A ＝2．…………2分 此时f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又将点P (π6，2)的坐标代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)， 得2sin(π3＋φ)＝2，即sin(π3＋φ)＝1， 所以π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝2k π＋π6，k ∈Z ． ………………………4分 又因为|φ|＜π2，所以φ＝π6． 综上，f (x )＝2sin(2x ＋π6)． ………………………6分 （2） 因为x ∈[－π2，0]，所以2x ＋π6∈[－5π6，π6]， ………………………8分 所以sin(2x ＋π6)∈[－1，12]，即2sin(2x ＋π6)∈[－2，1]， 所以函数y ＝f (x )的值域为[－2，1]． ………………………10分（3）y ＝g (x )＝2sin[2(x －θ)＋π6]＝2sin(2x －2θ＋π6)． ………………………12分 因为0≤x ≤π4，所以π6－2θ≤2x －2θ＋π6≤2π3－2θ， 所以⎩⎨⎧π6－2θ≥2k π－π2，2π3－2θ≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得－k π＋π12≤θ≤－k π＋π3，k ∈Z ． ………………………14分 因为0＜θ＜π2，所以k ＝0，所以π12≤θ≤π3． ………………………16分 19．解：（1）因为AB →＝CB →－CA →， ………………………2分所以AB →2＝(CB →－CA →)2＝CB →2－2CB →·CA →＋CA →2＝22－2×2×1×12＋12＝3， 所以|AB →|＝3． ………………………4分（2）解法1：①当λ＝12时，AE →＝12CB →－CA →，CD →＝12(CB →＋CA →)． ……………………6分 所以AE →·CD →＝(12CB →－CA →)·12(CB →＋CA →)＝12×(12CB →2－12CB →·CA →－CA →2) ＝12×(12×22－12×2×1×12－12)＝14． …………………8分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为BE →＝λBC →，所以AE →＝CE →－CA →＝(1－λ)CB →－CA →． …………………10分因为AD →＝λAB →，所以CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋λAB →＝CA →＋λ(CB →－CA →)＝λCB →＋(1－λ)CA →． ……………………12分所以AE →·CD →＝[(1－λ)CB →－CA →]·[λCB →＋(1－λ)CA →]＝λ(1－λ)CB →2＋(λ2－3λ＋1)CB →·CA →－(1－λ)CA →2＝λ(1－λ)×22＋(λ2－3λ＋1)×2×1×12－(1－λ)×12 ＝－3λ2＋2λ＝0． ………………………14分解得λ＝23或λ＝0． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，故存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分 解法2：由（1）得CA ＝1，CB ＝2，AB ＝3，满足CB 2＝AB 2＋CA 2， 所以∠CAB ＝90︒．如图，以A 原点，AB 边所在直线为x 轴，AC 边所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (3，0)，C (0，1)． ……………6分 ①当λ＝12时，AE →＝(32，12)，CD →＝(32，－1)， 则AE →·CD →＝14． ………………………10分 ②假设存在非零实数λ，使得AE →⊥CD →．因为AE →＝(3(1－λ)， λ)，CD →＝(3λ，－1)，所以AE →·CD →＝－3λ2＋2λ＝0， ………………………14分解得λ＝0或λ＝23． 因为点在三角形的边上，所以λ∈[0，1]，所以存在非零实数λ＝23，使得AE →⊥CD →． ………………………16分 20．解：（1）F (x )＝f (x )－g (x )＝x －a －a |x |．①当a ＝12时，由F (x )＝0，得x －12－12|x |＝0． 当x ≥0时，x －12－12x ＝0，解得x ＝1，满足条件． 当x ＜0时，x －12＋12x ＝0，解得x ＝13，不满足条件． 综上，函数y ＝F (x )的零点是1． ………………………2分②F (x )＝0，则x －a －a |x |＝0，即a (1＋|x |)＝x ．因为1＋|x |≠0，所以a ＝x 1＋|x |． ………………………4分 设φ(x )＝x 1＋|x |， 当x ＞0时，φ(x )＝x 1＋x ＝1－11＋x，所以φ(x )∈(0，1)． ………………………6分 因为φ(－x )＝－φ(x )，所以φ(x )是奇函数，所以当x ＜0时，φ(x )∈(－1，0)．又因为φ(0)＝0，所以当x ∈R ，φ(x )∈(－1，1)，所以a ∈(－1，1)． ………………………8分（2）设函数h (x )的最大值和最小值分别是M ，N ．因为对任意x 1，x 2∈[－2，2]，| h (x 1)－h (x 2)|≤6成立，所以M －N ≤6． ………………………10分解法1：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当a ＞1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＜0，所以h (x )在(－∞，0)单调减．因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2)，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (0)＝－a ，所以a ＋2－(－a )≤6，解得a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． ………………………12分②当a ＝1时，h (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≥0，－1， x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝3，N ＝h (x )min ＝－1，所以3－(－1)≤6恒成立，所以 a ＝1符合题意．③当－1＜a ＜1时，因为a ＋1＞0，所以h (x )在(0，＋∞)单调增；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (2)＝a ＋2，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以(a ＋2)－(a －2)＝4≤6恒成立，所以－1＜a ＜1符合题意．④当a ＝－1时，h (x )＝⎩⎨⎧1， x ≥0，2x ＋1，x ＜0，所以M ＝h (x )max ＝1，N ＝h (x )min ＝h (－2)＝－3，所以1－(－3) ＝4≤6恒成立，所以a ＝－1符合题意． ……………………14分⑤当a ＜－1时，因为a ＋1＜0，所以h (x )在(0，＋∞)单调减；因为1－a ＞0，所以h (x )在(－∞，0)单调增．所以M ＝h (x )max ＝h (0)＝－a ，因为h (2)＝a ＋2，h (－2)＝a －2，所以h (2)＞h (－2) ，所以N ＝h (x )min ＝h (－2)＝a －2，所以－a －(a －2)≤6，解得a ≥－2．又因为a ＜－1，所以－2≤a ＜－1．综上，a 的取值范围为[－2，2]． ……………………16分解法2：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．可知函数的图象是由两条折线段构成．所以函数的M 和N 分别为h (－2)＝－2＋a ，h (0)＝－a ，h (2)＝2＋a 三个值当中的两个． 显然2＋a ＞－2＋a ．当a ≤－1时，2＋a ≤－a ；当a ＞－1时，2＋a ＞－a ．当a ≤1时，－2＋a ≤－a ；当a ＞1时，－2＋a ＞－a ．所以，①当a ＞1时，M ＝2＋a ，N ＝－a ，M －N ＝2＋2a ，因为M －N ≤6，所以a ≤2．又因为a ＞1，所以1＜a ≤2． …………………12分②当－1＜a ≤1时，M ＝2＋a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝4．因为M －N ≤6恒成立，所以－1＜a ≤1满足条件． …………………14分③当a ≤－1时，M ＝－a ，N ＝－2＋a ，M －N ＝2－2a ．因为M －N ≤6，所以a ≥－2．又因为a ≤－1，所以－2≤a ≤－1.综上，a 的取值范围为[－2，2]． ………………………16分解法3：因为h (x )＝f (x )＋g (x )＝x －a ＋a |x |，x ∈[－2，2]，所以h (x )＝x －a ＋a |x |＝⎩⎨⎧(a ＋1)x －a ，x ≥0，(1－a )x －a ，x ＜0．①当0≤x≤2，h(x)＝(1＋a)x－a．若a＞－1，则1＋a＞0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是增函数．所以h(x)max＝h(2)＝2＋a，h(x)min＝h(0)＝－a．若a＜－1，则1＋a＜0，所以h(x)＝(1＋a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(0)＝－a，h(x)min＝h(2)＝2＋a．若a＝－1，h(x)＝1，所以h(x)max＝h(x)min＝1．②当－2≤x＜0，h(x)＝(1－a)x－a．若a＜1，则1－a＞0，所以h(x)＝(1－a)x－a是增函数．所以h(x)＜h(0)＝－a，h(x)min＝h(－2)＝－2＋a．若a＞1，则1－a＜0，所以h(x)＝(1－a)x－a是减函数．所以h(x)max＝h(－2)＝－2＋a，h(x)＞h(0)＝－a．若a＝1，h(x)＝－1，所以h(x)max＝h(x)min＝－1．………………12分显然2＋a＞－2＋a．因为当a≤－1时，2＋a≤－a；当a＞－1时，2＋a＞－a；当a≤1时，－2＋a≤－a；当a＞1时，－2＋a＞－a．………………………14分所以，(Ⅰ)当a＞1时，M＝2＋a，N＝－a，M－N＝2＋2a．因为M－N≤6，所以a≤2．又因为a＞1，所以1＜a≤2．(Ⅱ)当－1＜a≤1时，M＝2＋a，N＝－2＋a，M－N＝4．因为M－N≤6恒成立，所以－1＜a≤1满足条件．(Ⅲ)当a≤－1时，M＝－a，N＝－2＋a，M－N＝2－2a．因为M－N≤6，所以a≥－2．又因为a≤－1，所以－2≤a≤－1．综上，a的取值范围为[－2，2]．………………………16分。
江苏省南京市2016-2017高一(上)期末数学试卷(解析版)教程文件
2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为．3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．5．若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为．9．若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为．10．函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为_．11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为．13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为．14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f （x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V （x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1} ．【考点】对数函数的定义域．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【考点】扇形面积公式．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为﹣．【考点】平行向量与共线向量．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．故答案为：5．9．若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为c＜a ＜b．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为1_．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），即a=1，故答案为：111．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为2．【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减，f（1）＞f（log3x），1＜|log3x|，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减∵f（1）＞f（log3x）∴1＜|log3x|，∴0＜x＜3或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3，故答案为0＜x＜3或x＞3．14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．故答案为：（0，）．二、解答题（共6题，90分）15．已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos（﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．（2）利用数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos＜， +＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V （x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V（x）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ω=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得||；（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，求出•=0时的λ值即可．【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a ≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得： |x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．2017年2月21日。
江苏省南京九中、雨花四校2016-2017学年高一上学期期中考试数学试卷(解析版).doc
2016-2017学年江苏省南京九中、雨花四校联考高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题3分，共42分，请把答案填写在答题卡相应位置上）1．（2016秋•南京期中）设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，5}，则（C u A）∩（C u B）={4}．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合思想；定义法；集合．【分析】根据补集和交集的定义进行计算即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，集合A={1，2，3}，B={2，5}，所以C u A={4，5}，C u B={1，3，4}，所以（C u A）∩（C u B）={4}．故答案为：{4}．【点评】本题考查了补集和交集的定义与应用问题，是基础题目．2．（2016秋•南京期中）函数f（x）=﹣lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=﹣lg（2﹣x）有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x＞0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：函数f（x）=﹣lg（2﹣x）有意义，只需x﹣1≥0，且2﹣x＞0，解得1≤x＜2，则定义域为[1，2）．故答案为：[1，2）．【点评】本题考查函数的定义域的求法，注意运用偶次根式被开方数非负，对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．3．（2016秋•南京期中）已知幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，16），则实数a的值是4．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数f（x）的图象经过点（2，16），列出方程，求出a的值．【解答】解：∵幂函数f（x）=x a的图象经过点（2，16），∴2a=16；解得a=4；故答案为：4．【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．4．（2016秋•南京期中）若函数f（x）满足f（x+3）=2x﹣1，则函数f（x）的解析式：f（x）=2x﹣7．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】设x+3=t，则x=t﹣3，得到关于t 的解析式，即得到f（x）的解析式．【解答】解：设x+3=t，则x=t﹣3，所以f（t）=2（t﹣3）﹣1=2t﹣7，以f（x）=2x﹣7；故答案为：2x﹣7．【点评】本题考查了利用换元法求函数的解析式；属于基础题．5．（2016秋•南京期中）已知f（x）是奇函数，当x＞0 时，f（x）=x3﹣x，则f（﹣2）=﹣6．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；方程思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】直接利用奇函数的定义，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（x）=23﹣2=6，∵f（x）是奇函数，∴f（﹣2）=﹣f（2）=﹣6．故答案为﹣6．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．6．（2016秋•南京期中）计算：﹣+lg0.01+（0.75）﹣1+ln=﹣．【考点】对数的运算性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用对数与指数幂的运算性质即可得出．【解答】解：原式=4﹣﹣2+﹣1=﹣8+=﹣6﹣=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查了对数与指数幂的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．（2016秋•南京期中）设a=log0.60.7，b=ln0.7，c=30.7，则a、b、c 由小到大的顺序是b＜a＜c．（用“＜”连接）【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【解答】解：∵0=log0.61＜a=log0.60.7＜log0.60.6=1，b=ln0.7＜ln1=0，c=30.7＞30=1，∴a、b、c 由小到大的顺序为b＜a＜c．故答案为：b＜a＜c．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．8．（2016秋•南京期中）函数y=log a（x﹣3）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点坐标（4，1）．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由log a1=0得x﹣3=1，求出x的值以及y的值，即求出定点的坐标【解答】解：∵log a1=0，∴当x﹣3=1，即x=4时，y=1，则函数y=log a（x﹣3）+1的图象恒过定点（4，1）．故答案为：（4，1）．【点评】本题考查对数函数的性质和特殊点，主要利用log a1=0，属于基础题9．（2016秋•南京期中）函数f（x）=的值域[0，]．【考点】函数的值域．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】求出函数的定义域，根据定义域求出函数y=3﹣x2的值域可得函数f（x）的值域．【解答】解：函数f（x）=，其定义域必须满足3﹣x2≥0，解得：﹣≤x．令y=3﹣x2，在[，]的值域为[0，3]，∴函数f（x）=的值域为[0，]，故答案为：[0，]，【点评】本题考查了复合函数的值域问题，要抓住定义域入手．注意定义域范围．属于基础题．10．（2015春•龙岩期末）函数f（x）=log（x2﹣2x﹣3）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）．【考点】复合函数的单调性．【专题】计算题．【分析】先求函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}，要求函数的单调递增区间，只要求解函数t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减区间即可【解答】解：函数的定义域为{x|x＞3或x＜﹣1}令t=x2﹣2x﹣3，则y=因为y=在（0，+∞）单调递减t=x2﹣2x﹣3在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（3，+∞）单调递增由复合函数的单调性可知函数的单调增区间为（﹣∞，﹣1）故答案为：（﹣∞，﹣1）【点评】本题考查复合函数的单调性，对数函数的单调性，解本题时容易漏掉对函数的定义域的考虑，写成函数的单调增区间为：（﹣∞，1），是基础题．11．（2016秋•南京期中）对于定义在R上的函数f（x），下列说法正确的序号是②③．①若f（﹣4）=f（4），则函数f（x）是偶函数；②若函数f（x）是R上单调减函数，则必有f（﹣4）＞f（4）；③函数f（x）是奇函数，则必有f（﹣4）+f（4）=0；④函数f（x）不是R上的单调增函数，则f（﹣4）≥f（4）【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若f（﹣4）=f（4），由于取值不具有任意性，故不能得到函数f（x）是偶函数，不正确；②若函数f（x）是R上单调减函数，则必有f（﹣4）＞f（4），正确；③函数f（x）是奇函数，根据奇函数定义，则必有f（﹣4）+f（4）=0，正确；④函数f（x）不是R上的单调增函数，则f（﹣4）≥f（4），即f（﹣4）＜f（4），函数f（x）是R上的单调增函数，由于取值不具有任意性，故不正确．故答案为：②③．【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．12．（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=为R上的增函数，则实数a的取值范围是[2，5）．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=为R上的增函数，则，解得实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=为R上的增函数，∴，解得a∈[2，5），故答案为：[2，5）【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的单调性，正确理解分段函数单调的含义，是解答的关键．13．（2016秋•南京期中）函数f（x）对任意正整数a、b满足条件f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2，则+++…+的值是1008．【考点】函数的值．【专题】计算题；方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】令b=1，得=，由此能求出+++…+的值．【解答】解：∵数f（x）对任意正整数a、b满足条件f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2，∴令b=1，得f（a+1）=f（a）•f（1）=2f（a），∴=，∴===…==，+++…+=2016×=1008．故答案为：1008．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x），其中a，b∈R，若关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2，则实数a的取值范围是a≤﹣2或a＞﹣．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】化简不等式可得2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），从而令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=﹣+a﹣ab，分类讨论以确定F（x）≥0的解集为[2，+∞），结合函数的单调性及方程与不等式的关系求解即可．【解答】解：f（x）=2x﹣1+a，g（x）=bf（1﹣x）=b（21﹣x﹣1+a）=b（2﹣x+a），∵f（x）≥g（x），∴2x﹣1+a≥b（2﹣x+a），令F（x）=2x﹣1+a﹣b（2﹣x+a）=+a﹣﹣ab=﹣+a﹣ab，①若b＜0，则（﹣+a﹣ab）=+∞，与关于x的不等式f（x）≥g（x）的解的最小值为2相矛盾，故不成立；②若b=0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）=+a≥0的解集为[2，+∞），故a=﹣2；③若b＞0，则F（x）=﹣+a﹣ab在R上是增函数；即F（x）≥0的解集为[2，+∞），故2+a=b（+a），故b=＞0，故a＜﹣2或a＞﹣；综上所述，a≤﹣2或a＞﹣，故答案为：a≤﹣2或a＞﹣．【点评】本题考查了学生的化简运算能力，同时考查了方程与不等式、函数的关系应用，同时考查了分类讨论的思想应用．二、解答题：本大题共6小题，共计58分.请在答题卡指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（8分）（2016秋•南京期中）已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，集合C={x|x＞a}．（1）求集合A UC R B；（2）若A∩C≠φ，求实数a的取值范围．【考点】交集及其运算；交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】（1）根据全集R求出B的补集，找出A与B补集的并集即可；（2）由A，C，以及两集合交集不为空集，确定出a的范围即可．【解答】解：（1）A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|0＜x＜2}，∴C R B={x|x≤0或x≥2}，∴A UC R B={x|x＜1或x≥2}，（2）集合C={x|x＞a}，A∩C≠∅，∴a＜1故实数a的取值范围（﹣∞，1）．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．16．（8分）（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=（1）作出函数f（x）的图象；（2）直接写出函数f（x）的值域；（3）求f[f（﹣1）]的值．【考点】指数函数的图象与性质．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）当x≥0时，函数为y=（）x；当x＜0时，函数为y=（）﹣x=2x，画出指数函数的图象即可；（2）根据图象求出f（x）的值域即可；（3）先求出f（﹣1），再求出f（f（﹣1））的值即可．【解答】解：（1）当x≥0时，函数为y=（）x；当x＜0时，函数为y=（2）﹣x=2x，其图象由y=（）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象合并而成．而y=（）x（x≥0）和y=2x（x＜0）的图象关于y轴对称，所以原函数图象关于y轴对称，图象如图：（2）由图象可知，值域是（0，1]；（3）f[f（﹣1）]=f（）==．【点评】本题考查函数图象的画法，考查数形结合的数学思想，正确作图是关键．17．（10分）（2016秋•南京期中）已知二次函数f（x）=x2﹣2ax+1，a∈R；（1）若函数f（x）在区间（﹣1，2）上是单调函数，求实数a的取值范围；（2）若不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在区间[1，+∞）的最小值为﹣2，求实数a的值．【考点】二次函数的性质．【专题】综合题；函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】（1）求解得出对称轴x=a，根据二次函数的性质得出a≤﹣1或a≥2，即可判断在在区间（﹣1，2）上是单调函数；（2）不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，则△=4a2﹣4＜0，解得即可；（3）分析函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象和性质，结合函数在区间[1，+∞）的最小值为﹣2，分类讨论，满足条件的a值，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：（1）f（x）=x2﹣2ax+1的对称轴为x=a，∵f（x）在区间（﹣1，2）上是单调函数，∴a≤﹣1或a≥2，故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），（2）∵不等式f（x）＞0对任x∈R上恒成立，∴△=4a2﹣4＜0，解得﹣1＜a＜1，故a的取值范围为（﹣1，1），（3）：二次函数f（x）=x2﹣2ax+1的图象是开口朝上，且以直线x=a为对称轴的抛物线，当a≤1时，函数在区间[1，+∞）上单调递增，当x=1时函数取最小值2﹣2a=﹣2，解得a=2，舍去，当a＞1时，函数在区间[1，a]上单调递减，在[a，+∞]上单调递增，当x=a时函数取最小值﹣a2+1=﹣2，解得：a=，或a=﹣（舍去），综上所述，a=．【点评】本题给出含有参数的二次函数，讨论函数的单调性并求函数在闭区间上的最值，着重考查了二次函数的图象与性质和函数的单调性等知识，属于中档题．18．（10分）（2016秋•南京期中）某农场种植黄瓜，根据多年的市场行情得知，从春节起的300天内，黄瓜市场售价与上市时间的关系用图1所示的一条折线表示，黄瓜的种植成本与上市时间的关系用图2所示的抛物线表示．（注：市场售价和种植成本的单位：元/kg，时间单位：天）（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f（t）；写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（x）；（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问从春节开始的第几天上市的黄瓜纯收益最大？并求出最大值．【考点】函数模型的选择与应用；函数的图象．【专题】数形结合；转化思想；函数的性质及应用．【分析】（1）利用一次函数、二次函数的图象与性质即可得出．（2）设t时刻的纯收益为h（t），则h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=，利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由图1可得市场售价与时间的函数关系为f（t）=，由图2可得种植成本与时间的函数关系式为g（t）=（t﹣150）2+100，0≤t≤300；（2）设t时刻的纯收益为h（t），则h（t）=f（t）﹣g（t），即h（t）=，当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=﹣（t﹣50）2+100，所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=﹣（t﹣350）2+100，所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300]上的最大值87.5；综上所述，纯收益最大值为100元，此时t=50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿收益最答．【点评】本题考查了一次函数、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（10分）（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=log a（a x﹣1）（a＞0，a≠1 ）（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a=2时，不等式f（x）﹣log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]恒成立，求实数m的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】综合题；函数思想；函数的性质及应用．【分析】（1）由a x﹣1＞0，得a x＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f （x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【解答】解：（1）由a x﹣1＞0，得a x＞1．（1分）当a＞1时，x＞0；（2分）当0＜a＜1时，x＜0．所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（﹣∞，0）．（4分）（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则ax1＜ax2，所以ax1﹣1＜ax2﹣1．（6分）因为a＞1，所以loga（ax1﹣1）＜loga（ax2﹣1），即f（x1）＜f（x2）．（8分）故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．∵f（x）＜f（1）；∴a x﹣1＜a﹣1，∵a＞1，∴x＜1；（3）∵令g（x）=f（x）﹣log2（1+2x）=log2（1﹣在[1，3]上是单调增函数，∴g（x）min=﹣log23，∵m＜g（x），∴m＜﹣log23．【点评】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．20．（12分）（2016秋•南京期中）已知函数f（x）=|﹣1|，其中x＞0（1）求f（x）的单调区间；（2）是否存在实数a，b （0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域和值域都是[a，b]若存在，请求出a，b的值；若不存在，请说明理由；（3）若存在实数a，b （0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域是[0，b]，值域是[ma，mb]（m≠0 ），求实数m的范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】（1）去绝对值依据图象求解；（2）（3）问都是根据函数的单调性、定义域、值域的关系，转化为根的分布求解．【解答】解：f（x）=（1））．∵0＜x＜1时，f（x）递减，x＞1时，f（x）递增f（x）的单调减区间：（0，1），单调增区间：（1，+∞）；（2）．由函数图象知，0＜x＜1时，f（x）递减，x＞1时，f（x）递增∴有两种可能情况：0＜a＜1＜b或1＜a＜b当0＜a＜1＜b时，因f（1）=0，故值域为[0，b]，与值域为[a，b]相矛盾（a＞0）当1＜a＜b时，由图象知，f（a）＜1f（b）＜1另一方面，由y=f（x）的定义域和值域都是[a，b]得：，∴a，b是方程1﹣=x的两个大于1的实根，又因为方程程1﹣=x没有两个大于1的实根，所以不存在实数a，b （0＜a＜b ），使得函数f（x）的定义域和值域都是[a，b]；（3）∵函数f（x）的值域为[0，+∞）∴m＞0，ma＞mb，∴1＜a＜b，要使函数f（x）的定义域是[a，b]，值域是[ma，mb]，则，即方程有两个大于1的实根，方程mx2﹣x+1=0有两个大于1的不等实根，⇒0＜m＜所以实数的取值范围为（0，）．【点评】本题实际上是考查了分段函数的图象与性质，及一元二次方程根的分布，属于中档题．。
2016-2017年江苏省南京市高一上学期期末数学试卷带答案
2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5.00分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2．（5.00分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为．3．（5.00分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．5．（5.00分）若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．6．（5.00分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．7．（5.00分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为．8．（5.00分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为．9．（5.00分）若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为．10．（5.00分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为_．11．（5.00分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为12．（5.00分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a 的值为．13．（5.00分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为．14．（5.00分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．（14.00分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．（14.00分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．（14.00分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．（16.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．（16.00分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．（16.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5.00分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2} ．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（5.00分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1} ．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}3．（5.00分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．（5.00分）若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．（5.00分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．（5.00分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为﹣．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．（5.00分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．故答案为：5．9．（5.00分）若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为c＜a＜b．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log 32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5.00分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为1_．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），即a=1，故答案为：111．（5.00分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为3【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．（5.00分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a 的值为2．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f（2017）=f（2×1008+1）=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P（2017，8）是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．13．（5.00分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x 取值范围为（0，）∪（3，+∞）．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，又因为x＞0递减，f（1）＞f（log3x），|log3x|＞1，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，f′（x）=﹣﹣6x，f（x）在（0，+∞）递减，∵f（1）＞f（log3x）∴|log3x|＞1，∴0＜x＜或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为（0，）∪（3，+∞），故答案为（0，）∪（3，+∞）．14．（5.00分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．故答案为：（0，）．二、解答题（共6题，90分）15．（14.00分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得t anα的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos（﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．（14.00分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．（2）利用数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos＜，+＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．（14.00分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V（x）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．18．（16.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点P（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．（16.00分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得||；（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，求出•=0时的λ值即可．【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．20．（16.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a ≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．。
2016-2017年江苏省南京市高一上学期数学期末试卷带答案
2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5.00分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B=．2．（5.00分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为．3．（5.00分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．5．（5.00分）若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．6．（5.00分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm2．7．（5.00分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为．8．（5.00分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为．9．（5.00分）若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为．10．（5.00分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为_．11．（5.00分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为12．（5.00分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a 的值为．13．（5.00分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为．14．（5.00分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．（14.00分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．（14.00分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．（14.00分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．（16.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．（16.00分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．（16.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．（5.00分）若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2} ．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．（5.00分）函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1} ．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}3．（5.00分）函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．（5.00分）已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．（5.00分）若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．（5.00分）若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．（5.00分）设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为﹣．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．（5.00分）定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．故答案为：5．9．（5.00分）若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为c＜a＜b．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log 32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，∴c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5.00分）函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为1_．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），即a=1，故答案为：111．（5.00分）如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为3【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．（5.00分）已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P（2017，8）是该函数图象上一点，则实数a 的值为2．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f（2017）=f（2×1008+1）=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P（2017，8）是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．13．（5.00分）设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x 取值范围为（0，）∪（3，+∞）．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，又因为x＞0递减，f（1）＞f（log3x），|log3x|＞1，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，f′（x）=﹣﹣6x，f（x）在（0，+∞）递减，∵f（1）＞f（log3x）∴|log3x|＞1，∴0＜x＜或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为（0，）∪（3，+∞），故答案为（0，）∪（3，+∞）．14．（5.00分）已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．故答案为：（0，）．二、解答题（共6题，90分）15．（14.00分）已知=2．（1）求tanα；（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos（﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．（14.00分）已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．（2）利用数量积求解向量的夹角即可．【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos＜，+＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．（14.00分）如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V（x）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x为何值时，y最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V（x）=（2a﹣2x）（a﹣2x）x（0＜x≤1）；（2）y==（2a﹣2x）（a﹣2x）=，∵a＞2，0＜x≤1，∴x=1时，y最小，最小值为2（a﹣1）（a﹣2）．18．（16.00分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点P（，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得φ=，∴f（x）=2sin（2x+）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x+∈[﹣，]，∴sin（2x+）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．（16.00分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用余弦定理求出AB的长即得||；（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，求出•=0时的λ值即可．【解答】解：（1）△ABC中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB2=CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D、E分别是BC，AB的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．20．（16.00分）已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h （x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a ≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x﹣|x|﹣=0得：|x|=x﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：由图可知，当0＜a＜1时，折线y=a|x|与直线y=x﹣a有交点，即函数y=F（x）存在零点；同理可得，当﹣1＜a＜0时，求数y=F（x）存在零点；又当a=0时，y=x与y=0有交点（0，0），函数y=F（x）存在零点；综上所述，a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h（x）=f（x）+g（x）=x﹣a+a|x|，x∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x＜0时，h（x）=（1﹣a）x﹣a；当0≤x≤2时，h（x）=（1+a）x﹣a；又对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，则h（x1）max﹣h（x2）min≤6，①当a≤﹣1时，1﹣a＞0，1+a≤0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增；h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h（x）=﹣a）；∴h（x）max=h（0）=﹣a，又h（﹣2）=a﹣2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，∴﹣a﹣（a﹣2）=2﹣2a≤6，解得a≥﹣2，综上，﹣2≤a≤﹣1；②当﹣1＜a＜1时，1﹣a＞0，1﹣a＞0，∴h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递增，且h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上也单调递增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（﹣2）=a﹣2，由a+2﹣（a﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a＜1适合题意；③当a≥1时，1﹣a≤0，1+a＞0，h（x）=（1﹣a）x﹣a在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．赠送—高中数学知识点【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，正数a 的正的n n a 表示，负的n 次方根用符号n a -0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根．n a n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥．③根式的性质：()n n a a =；当n 为奇数时，nn a a =；当n 为偶数时，(0)|| (0)nn a a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩． （2）分数指数幂的概念①正数的正分数指数幂的意义是：(0,,,m nm na a a m n N +=>∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数指数幂的意义是： 11()()(0,,,m m m n n n aa m n N a a-+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．（3）分数指数幂的运算性质①(0,,)rsr sa a aa r s R +⋅=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈③()(0,0,)r r rab a b a b r R =>>∈【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称指数函数定义函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数图象1a >01a <<定义域 R值域 (0,)+∞过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =．奇偶性 非奇非偶单调性在R 上是增函数在R 上是减函数函数值的 变化情况1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x >>==<< 1(0)1(0)1(0)x x x a x a x a x <>==>< a 变化对 图象的影响 在第一象限内，a 越大图象越高；在第二象限内，a 越大图象越低．〖2.2〗对数函数【2.2.1】对数与对数运算（1）对数的定义①若(0,1)xa N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫xa y =xy(0,1)O1y =xa y =xy (0,1)O 1y =做底数，N 叫做真数．②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =⇔=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式log 10a =，log 1a a =，log b a a b =．（3）常用对数与自然对数常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…）． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a MM N N-= ③数乘：log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a Na N =⑤log log (0,)b n a a nM M b n R b=≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b NN b b a=>≠且【2.2.2】对数函数及其性质（5）对数函数函数 名称 对数函数定义函数log (0a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数图象1a > 01a <<定义域 (0,)+∞值域 R过定点 图象过定点(1,0)，即当1x =时，0y =．奇偶性 非奇非偶单调性在(0,)+∞上是增函数在(0,)+∞上是减函数x yO(1,0)1x =log a y x=xyO (1,0)1x =log a y x=函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x>>==<<<log0(1)log0(1)log0(01)aaax xx xx x<>==><<a变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高．。
2017-2018年江苏省南京市鼓楼区高一上学期数学期中试卷带答案
2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）求值：（log23）（log34）=．4．（5分）计算：=．5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））．6．（5分）化简式子的结果是．7．（5分）函数的值域是．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第象限．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为，（按由小到大的顺序排列）．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i＜x＜…＜x n=q）．﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．2017-2018学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设集合A={0，1，2}，B={2，4}，则A∪B={0，1，2，4} ．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={2，4}，∴A∪B={0，1，2，4}故答案为：{0，1，2，4}2．（5分）函数的定义域为．【解答】解：由2x+1＞0，得x．∴函数的定义域为．故答案为：．3．（5分）求值：（log23）（log34）=2．【解答】解：：（log23）（log34）=．故答案为2．4．（5分）计算：=．【解答】解：分数指数幂的运算，故答案为：5．（5分）已知函数f（x），g（x）分别由表给出：则f（g（1））1．【解答】解：由题意得：g（1）=3，f（3）=1，∴f（g（1））=f（3）=1．故答案为：1．6．（5分）化简式子的结果是a﹣b．【解答】解：=|b﹣a|=a﹣b，故答案为：a﹣b7．（5分）函数的值域是．【解答】解：∵，∴函数（x∈[﹣3，2]）单调递减，又f（2）=，f（﹣3）=9，∴函数（x∈[﹣3，2]）的值域为，故答案为．8．（5分）已知，则幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．【解答】解：当a=﹣1或a=3时，幂函数y=x a的图象经过一、三象限，当时，幂函数y=x a的图象经过第一象限．∴幂函数y=x a的图象不可能经过第二、四象限．故答案为：二、四．9．（5分）设实数a=30.5，b=30.8，c=2.30.5，则a，b，c的大小关系为c＜a＜b，（按由小到大的顺序排列）．【解答】解：根据幂函数y=x0.5是定义域R上的单调递增函数，所以2.30.5＜30.5；又因为指数函数y=3x是定义域R上的单调递增函数，所以30.5＜30.8；所以c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．10．（5分）已知函数y=﹣x2+4ax在区间[﹣1，2]上单调递减，则实数a的取值范围是；．【解答】解：根据题意，函数y=﹣x2+4ax为二次函数，且开口向下，其对称轴为x=2a，若其在区间[﹣1，2]上单调递减，则2a≤﹣1，所以，即a的取值范围为；故答案为：．11．（5分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则满足不等式的x的取值范围是（，）．【解答】解：根据题意，偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，若，则，即，解可得：＜x＜，即；故答案为：（，）．12．（5分）若，则lgx•lgy的最大值是4．【解答】解：等号两边同时取对数，得lg（•y）=lg100=2即，利用换元法，令t=lgy（t∈R），则lgx=8﹣4t，∴lgx•lgy=（8﹣4t）t=﹣4t2+8t=﹣4（t﹣1）2+4，当t=1时，取最大值，最大值为4，故答案为：4．13．（5分）已知函数f（x）=3﹣x﹣3x，则关于的下列结论：①f（0）=0②f（x）是奇函数③f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数④对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，其中正确的有（填写序号即可）①②④．【解答】解：∵f（x）=3﹣x﹣3x，f（﹣x）=3x﹣3﹣x=﹣（3﹣x﹣3x），∴f（x）=﹣f（﹣x），即函数f（x）=3﹣x﹣3x是奇函数，由奇函数的性质，①②均正确；又，是R上的单调递减函数，y=3x是R上的单调递增函数，由函数单调性的性质，减函数﹣增函数=减函数，∴f（x）=3﹣x﹣3x在R上单调递减．又∵函数值域为R，对任意实数a，方程f（x）﹣a=0都有解，∴③错误，④正确．∴正确的有①②④．故答案为：①②④．14．（5分）已知a∈R，函数f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a在区间[1，5）上的最大值是4，则a的取值范围是（﹣∞，] ．【解答】解：由题意知，x∈[1，5），2|x﹣3|∈[1，4]，故2|x﹣3|﹣a∈[1﹣a，4﹣a]，①a≤1时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=|2|x﹣3|∈[1，4]，故符合题意；②时，1﹣a＜0，4﹣a＞0且a﹣1≤4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，4﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，4]，故符合题意；③时，1﹣a＜0，4﹣a＞0，且a﹣1＞4﹣a，∴|2|x﹣3|﹣a|∈[0，1﹣a]，故f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a∈[a，1]故不符合题意；④a＞4时，f（x）=|2|x﹣3|﹣a|+a=2a﹣2|x﹣3|∈[2a﹣4，2a﹣1]，故不符合题意．综上所述：（﹣∞，]．二、解答题（共6小题，满分90分）15．（14分）若集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}，（1）求A∩B．（2）已知函数y=ln（x+3）的定义域为E，求∁E（A∩B）．【解答】解：（1）集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|（x+1）（x﹣3）＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}；（2）函数y=ln（x+3）的定义域为E={x|x+3＞0}={x|x＞﹣3}，由（1）知A∩B={x|﹣2＜x＜﹣1}，∴∁E（A∩B）={x|﹣3＜x≤﹣2或x≥﹣1}．16．（14分）已知f（x）是偶函数，且x≤0时，f（x）=x2+6x+10．（1）求f（x）的解析式．（2）若f（x）在区间[0，a]上的最小值是5，求实数a的值．【解答】解：（1）当x＞0时，﹣x＜0，∴f（﹣x）=（﹣x2）+6（﹣x）+10=x2﹣6x+10，又由于f（x）是偶函数，∴f（x）=f（﹣x），故当x＞0时，f（x）=f（﹣x）=x2﹣6x+10，故：；（2）由题意知：当x∈[0，a]时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1，若a≥3，f min（x）=f（3）=1，不符合题意，当0＜a＜3时，f（x）=x2﹣6x+10=（x﹣3）2+1在[0，a]内单调递减，∴f min（x）=f（a）=5，解得：a1=1，a2=5（舍）．综上所述：a=1．17．（14分）已知函数．（1）求证：f（x）是奇函数．（2）已知g（x）=f（x）+mx3+3，且，试求的值．【解答】解：（1）由题意知：，解得f（x）的定义域为：（1，1），定义域关于原点对称．∵，∴f（x）是奇函数．（2）设h（x）=g（x）﹣3=f（x）+mx3由（1）知，h（x）为奇函数，∴，即，解得：．18．（16分）某企业为了保护环境，发展低碳经济，在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了一个把二氧化碳处理转化为一种化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（单位：元）与月处理量x（单位：吨）之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳所得的这种化工产品可获利200元，如果该项目不获利，那么亏损数额将由国家给予补偿．（1）求x=30时，该项目的月处理成本．（2）当x∈[100，200]时，判断该项目能否获利？如果亏损，那么国家每月补偿数额（单位：元）的范围是多少？【解答】解：（1）当x=30时，y=300×30=9000，∴x=30时，该项目的月处理成本为9000元．（2）当x∈[100，200]时，利润g（x）=200x﹣（﹣10x2+2000x+48000），化简得：g（x）=10x2﹣1800x﹣48000=10（x﹣90）2﹣129000，g（x）为单调递增函数，故此时g（x）＜0，∴该项目不能获利；当x=100时，g min（x）=﹣128000，当x=200时，g max（x）=﹣8000，故补偿金额的范围是[8000，128000]．19．（16分）（1）求函数f（x）=x2+3x﹣4的零点．（2）试确定关于x的方程的解的个数．（3）如果（2）的解记为x0，且x0∈[k，k+1]，k∈Z，那么k的值是多少？【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）=x2+3x﹣4，令f（x）=x2+3x﹣4=0，解得：x1=﹣4，x2=1．即函数的零点为﹣4与1；（2）根据题意，设，y2=log3x，如图，两个函数只有一个交点，则方程只有一个解；（3）设，又由f（4）=2﹣log34＞0，，则f（x）在[4，5]必有零点，故k=4．20．（16分）已知函数f（x）=b•a x（其中a，b为常量，且a＞0，a≠1的图象经过点A（1，2），B（3，8）．（1）求a，b的值．（2）当x≤﹣2时，函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，求实数m的取值范围．（3）定义在[p，q]上的一个函数m（x），如果存在一个常数M＞0，使得式子对一切大于1的自然数n都成立，＜x＜…＜x n=q）．则称函数m（x）为“[p，q]上的H函数”（其中，P=x0＜x1＜…＜x i﹣1试判断函数f（x）是否为“[﹣1，3]上的H函数”．若是，则求出M的最小值；若不是，则请说明理由．（注：）．【解答】解：（1）点A（1，2），B（3，8）代入函数f（x）的解析式中，得，两式相比得a2=4，∵a＞0，∴a=2，b=1，f（x）=2x；（2）函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，代入a=2，b=1得函数的图象恒在函数y=4x+m图象的上方，设，∵在（﹣∞，2]上单调递减，y=﹣4x在（﹣∞，﹣2]上单调递减，∴g（x）在（﹣∞，﹣2]上为单调递减函数，∴g min（x）=g（﹣2）=13﹣m，要使g（x）在x轴上方恒成立，即13﹣m＞0恒成立，即m＜13；（3）∵f（x）=2x在[﹣1，3]上单调递增，∴=|f（x1）﹣f（x0）|+|f（x2）﹣f（x1）|+…+|f（x n）﹣f（x n﹣1）|=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（x n）﹣f（x n﹣1）=﹣f（x0）+f（x n）=f（3）﹣f（﹣1）=23﹣2﹣1=，∴m的最小值为．赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型： 图形特征：60°60°60°45°45°45°运用举例：1.如图，若点B 在x 轴正半轴上，点A (4，4)、C (1，－1)，且AB ＝BC ，AB ⊥BC ，求点B 的坐标；2.如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ，则14S S += ．ls 4s 3s 2s 13213. 如图，Rt △ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC =2，点D 在BC 上运动（不与点B ，C 重合），过D 作∠ADE =45°，DE 交AC 于E ． （1）求证：△ABD ∽△DCE ；（2）设BD =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当△ADE 是等腰三角形时，求AE 的长．EB4.如图，已知直线112y x =+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点D ，抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点，且B 点坐标为 (1，0)。
江苏省南京市2016-2017学年第一学期高一期末数学试卷与解析版
第1页（共17页）2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x |x +1＞0}，则A ∩B=．2．函数f （x ）=log 2（1﹣x ）的定义域为．3．函数f （x ）=3sin （3x+）的最小正周期为．4．已知角α的终边过点P （﹣5，12），则cosα=．5．若幂函数y=x a （a ∈R ）的图象经过点（4，2），则a 的值为．6．若扇形的弧长为6cm ，圆心角为2弧度，则扇形的面积为cm 2．7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k 的值为．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx 的图象与y=cosx 的图象的交点个数为．9．若a=log 32，b=20.3，c=log2，则a ，b ，c 的大小关系用“＜”表示为．10．函数f （x ）=2x +a•2﹣x 是偶函数，则a 的值为_．11．如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若•=﹣2，则•的值为12．已知函数f （x ）对任意实数x ∈R ，f （x +2）=f （x ）恒成立，且当x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=2x +a ，若点P 是该函数图象上一点，则实数a 的值为．13．设函数f （x ）=﹣3x 2+2，则使得f （1）＞f （log 3x ）成立的x 取值范围为．14．已知函数f （x ）=，其中m ＞0，若对任意实数x ，都有f （x ）＜f （x +1）成立，则实数m 的取值范围为．二、解答题（共6题，90分）15．已知=2．（1）求tanα；（2）求cos （﹣α）•cos（﹣π+α）的值．16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．（1）试写出V（x）的解析式；（2）记y=，当x为何值时，y最小？并求出最小值．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P （，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB 上一点，满足=λ，点E是边CB 上一点，满足=λ．第2页（共17页）①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．第3页（共17页）2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B={0，1，2}．【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}．故答案为：{0，1，2}．2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}．【考点】对数函数的定义域．【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．【解答】解：要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义则1﹣x＞0即x＜1∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}故答案为：{x|x＜1}3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．第4页（共17页）【解答】解：函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，故答案为：．4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα=．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．【解答】解：角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．故答案为﹣．5．若幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】根据幂函数y=x a的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．【解答】解：幂函数y=x a（a∈R）的图象经过点（4，2），所以4a=2，解得a=．故答案为：．6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为9cm2．【考点】扇形面积公式．【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：因为：扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，所以：圆的半径为：3，第5页（共17页）所以：扇形的面积为：6×3=9．故答案为：9．7．设，是不共线向量，﹣4与k +共线，则实数k的值为﹣．【考点】平行向量与共线向量．【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．【解答】解：∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，∴，∴λk=1，λ=﹣4，∴，故答案为﹣．8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为5．【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．]上的图象如图实数：【解答】解：画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．第6页（共17页）第7页（共17页）故答案为：5．9．若a=log 32，b=20.3，c=log 2，则a ，b ，c 的大小关系用“＜”表示为c ＜a ＜b ．【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵a=log 32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log 2＜0，∴c ＜a ＜b ．故答案为：c ＜a ＜b ．10．函数f （x ）=2x +a•2﹣x 是偶函数，则a 的值为1_．【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．【解答】解：∵f （x ）=2x +a•2﹣x 是偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即f （﹣x ）=2﹣x +a•2x =2x +a•2﹣x ，则（2﹣x ﹣2x ）=a （2﹣x ﹣2x ），即a=1，故答案为：111．如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，若•=﹣2，则•的值为3【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．【解答】解：以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，则：E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）可得：=（a，2a），=（2a，﹣2a）．若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，=（﹣1，2），=（1，2），则•的值：﹣1+4=3．故答案为：3．12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为2．【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．【解答】解：函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：2，f=f（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，点P是该函数图象上一点，可得21+a=8，解得a=2．故答案为：2．13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x ＞3．第8页（共17页）【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减，f（1）＞f（log3x），1＜|log3x|，即可得出结论．【解答】解：由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减∵f（1）＞f（log3x）∴1＜|log3x|，∴0＜x＜3或x＞3，∴使得f（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3，故答案为0＜x＜3或x＞3．14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为（0，）．【考点】分段函数的应用．【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．【解答】解：由函数f（x）=，其中m＞0，可得f（x+1）=，作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得第9页（共17页）2m=1﹣2m，解得m=，通过图象平移，可得m的范围为0＜m ＜．．故答案为：（0，）二、解答题（共6题，90分）15．已知=2．（1）求tanα；（2）求cos （﹣α）•cos（﹣π+α）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．【解答】解：（1）∵已知=2=，∴tanα=5．（2）cos （﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（1）求（+）•（2﹣）的值；（2）求向量与+的夹角．【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．【分析】（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．（2）利用数量积求解向量的夹角即可．第10页（共17页）第11页（共17页）【解答】解：（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．（2）+=（1，﹣3），cos ＜，+＞===﹣．向量与+的夹角为135°．17．如图，在一张长为2a 米，宽为a 米（a ＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x 米（0＜x ≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V （x ）表示铁盒的容积．（1）试写出V （x ）的解析式；（2）记y=，当x 为何值时，y最小？并求出最小值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用小反弹的体积公式，写出V （x ）的解析式；（2）记y=，利用配方法，即可得到当x 为何值时，y 最小，并求出最小值．【解答】解：（1）由题意，V （x ）=（2a ﹣2x ）（a ﹣2x ）x （0＜x ≤1）；（2）y==（2a ﹣2x ）（a ﹣2x ）=，∵a ＞2，0＜x ≤1，∴x=1时，y 最小，最小值为2（a ﹣1）（a ﹣2）．18．已知函数f （x ）=Asin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P （，2）是该函数图象的一个人最高点．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由x的范围可求2x+∈[﹣，]，利用正弦函数的性质可求其值域．（3）利用三角函数平移变换规律可求g（x）=2sin（2x﹣2θ+），利用正弦函数的单调性可求函数的单调递增区间，进而可得，k∈Z，结合范围0＜θ＜，可求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵由题意可得，A=2，=π，∴ω=2．∵再根据函数的图象经过点M （，2），可得2sin（2×+φ）=2，结合|φ|＜，可得ω=，∴f（x）=2sin（2x +）．（2）∵x∈[﹣，0]，∴2x +∈[﹣，]，∴sin（2x +）∈[﹣1，]，可得：f（x）=2sin（2x+）∈[﹣2，1]．（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）=2sin[2（x﹣θ）+]=2sin（2x﹣2θ+），∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+，k∈Z，第12页（共17页）可得函数的单调递增区间为：[kπ+θ﹣，kπ+θ+]，k∈Z，∵函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，∴，∴解得：，k∈Z，∵0＜θ＜，∴当k=0时，θ∈[，]．19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求||；（2）已知点D是AB 上一点，满足=λ，点E是边CB 上一点，满足=λ．①当λ=时，求•；②是否存在非零实数λ，使得⊥？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）利用余弦定理求出AB 的长即得||；（2）①λ=时，D、E分别是BC，AB 的中点，求出、的数量积即可；②假设存在非零实数λ，使得⊥，利用、分别表示出和，第13页（共17页）第14页（共17页）求出•=0时的λ值即可．【解答】解：（1）△ABC 中，CA=1，CB=2，∠ACB=60°，由余弦定理得，AB 2=CA 2+CB 2﹣2CA•CB•cos ∠ACB=12+22﹣2×1×2×cos60°=3，∴AB=，即||=；（2）①λ=时，=，=，∴D 、E 分别是BC ，AB 的中点，∴=+=+，=（+），∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22=；②假设存在非零实数λ，使得⊥，由=λ，得=λ（﹣），∴=+=+λ（﹣）=λ+（1﹣λ）；又=λ，∴=+=（﹣）+λ（﹣）=（1﹣λ）﹣；∴•=λ（1﹣λ）﹣λ•+（1﹣λ）2•﹣（1﹣λ）=4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ）=﹣3λ2+2λ=0，解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得⊥．20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，求函数y=F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数零点的判定定理．【分析】（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．①若a=，由F（x）=0，即可求得F（x）的零点；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，等号两端构造两个函数，当a＞0时，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可求得满足题意的a的取值范围的一部分；同理可得当a＜0时的情况，最后取并即可求得a的取值范围．（2）h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立⇔h（x1）max﹣h（x2）min≤6，分a≤﹣1、﹣1＜a＜1、a≥1三类讨论，即可求得a的取值范围．【解答】解：（1）F（x）=f（x）﹣g（x）=x﹣a﹣a|x|，①若a=，则由F（x）=x ﹣|x |﹣=0得：|x|=x ﹣，当x≥0时，解得：x=1；当x＜0时，解得：x=（舍去）；综上可知，a=时，函数y=F（x）的零点为1；②若函数y=F（x）存在零点，则x﹣a=a|x|，当a＞0时，作图如下：第15页（共17页）第16页（共17页）由图可知，当0＜a ＜1时，折线y=a |x |与直线y=x ﹣a 有交点，即函数y=F （x ）存在零点；同理可得，当﹣1＜a ＜0时，求数y=F （x ）存在零点；又当a=0时，y=x 与y=0有交点（0，0），函数y=F （x ）存在零点；综上所述，a 的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵h （x ）=f （x ）+g （x ）=x ﹣a +a |x |，x ∈[﹣2，2]，∴当﹣2≤x ＜0时，h （x ）=（1﹣a ）x ﹣a ；当0≤x ≤2时，h （x ）=（1+a ）x ﹣a ；又对任意x 1，x 2∈[﹣2，2]，|h （x 1）﹣h （x 2）|≤6恒成立，则h （x 1）max ﹣h （x 2）min ≤6，①当a ≤﹣1时，1﹣a ＞0，1+a ≤0，h （x ）=（1﹣a ）x ﹣a 在区间[﹣2，0）上单调递增；h （x ）=（1+a ）x ﹣a 在区间[0，2]上单调递减（当a=﹣1时，h （x ）=﹣a ）；∴h （x ）max =h （0）=﹣a ，又h （﹣2）=a ﹣2，h （2）=2+a ，∴h （x 2）min =h （﹣2）=a ﹣2，∴﹣a ﹣（a ﹣2）=2﹣2a ≤6，解得a ≥﹣2，综上，﹣2≤a ≤﹣1；②当﹣1＜a ＜1时，1﹣a ＞0，1﹣a ＞0，∴h （x ）=（1﹣a ）x ﹣a 在区间[﹣2，0）上单调递增，且h （x ）=（1+a ）x ﹣a 在区间[0，2]上也单调递增，∴h （x ）max =h （2）=2+a ，h （x 2）min =h （﹣2）=a ﹣2，由a +2﹣（a ﹣2）=4≤6恒成立，即﹣1＜a ＜1适合题意；③当a ≥1时，1﹣a ≤0，1+a ＞0，h （x ）=（1﹣a ）x ﹣a 在区间[﹣2，0）上单调递减（当a=1时，h（x）=﹣a），h（x）=（1+a）x﹣a在区间[0，2]上单调递增；∴h（x）min=h（0）=﹣a；又h（2）=2+a＞a﹣2=h（﹣2），∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a﹣（﹣a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；综上所述，﹣2≤a≤2．第17页（共17页）。
2015-2016年江苏省南京市鼓楼区高一上学期期中数学试卷带答案
2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A=．2．（5分）函数的定义域为．3．（5分）设集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，4}，则a=．4．（5分）已知映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a+b的值是．5．（5分）函数y=|x﹣2|+3的最小值是．6．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=2x+3，若f（m）=3，则m=．7．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，则函数y=f （x）的解析式是．8．（5分）若幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），则m=．9．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）10．（5分）设集合A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围为．11．（5分）设，若f（x）是单调函数，则a的取值范围为．12．（5分）若函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为．13．（5分）设函数f（x）满足f（x+1）=f（x）对一切实数x恒成立，若0≤x＜1时，f（x）=2x，则f（log212）=．14．（5分）下列说法中，正确的是．（填序号）①若函数f（x）满足f（x）＜f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）是增函数；②若函数满足|f（﹣x）|＜|f（x）|对一切实数x成立，则是奇函数或是偶函数；③若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称；④若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x﹣1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）设集合A={x|x2＜9，x∈Z}，B={x|2x＞a}．（1）若a=1，写出A∩B的所有真子集；（2）若A∩B有4个子集，求a的取值范围．16．（14分）设．（1）求的值；（2）若，求b的值．17．（14分）设f（x）=lg（5﹣x）．（1）若10f（k）=10f（2）×10f（3），求k的值；（2）若f（2m﹣1）＜f（m+1），求实数m的取值范围．18．（16分）设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．．（1）当k=1时，求f（x）的解析式；（2）已知0＜x＜1时，f（x）＞1恒成立，求实数k的取值范围．19．（16分）已知函数f（x）=2log3（3﹣x）﹣log3（1+x）．（1）求f（x）的定义域；（2）当0≤x≤2时，求f（x）的最大值和最小值．20．（16分）设f（x）=3x+m3﹣x，m、x是实数．（1）若y=|f（x）|是偶函数，求m的值；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）当m=1时，若log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，求a的最大值．2015-2016学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．（5分）设全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A={3} ．【解答】解：全集U={1，3，5}，集合A={1，5}，则∁U A={3}．故答案为：{3}．2．（5分）函数的定义域为（1，+∞）．【解答】解：要使原函数有意义，则2x﹣2＞0，得x＞1．∴函数的定义域为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．3．（5分）设集合A={1，2}，B={2，a}，若A∪B={1，2，4}，则a=4．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，a}，A∪B={1，2，4}，∴a=4．故答案为：4．4．（5分）已知映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a+b的值是10．【解答】解：映射f：A→B，A={1，3}，B={a，b}，a，b是实数，对应法则f：x→x2，则a=12=1，b=32=9，故a+b=10，故答案为：105．（5分）函数y=|x﹣2|+3的最小值是3．【解答】解：y=|x﹣2|+3≥3，当x=2时，取得等号．故函数y=|x﹣2|+3的最小值是3，故答案为：36．（5分）已知函数f（x）满足f（x+1）=2x+3，若f（m）=3，则m=1．【解答】解：∵f（x+1）=2x+3=2（x+1）+1，∴f（x）=2x+1，∵f（m）=3，∴2m+1=3，解得m=1，故答案为：17．（5分）若函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，则函数y=f （x）的解析式是y=e x+1．【解答】解：在函数y=e1﹣x的解析式中，取x=﹣x，可得y=e1+x，又函数y=f（x）的图象与函数y=e1﹣x的图象关于y轴对称，∴函数y=f（x）的解析式是y=e x+1．故答案为：y=e x+1．8．（5分）若幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），则m=4．【解答】解：幂函数y=x n（n是有理数）的图象经过点（8，4）和（﹣8，m），∴8n=4，解得n=，∴y=；当x=﹣8时，y=m==4．故答案为：4．9．（5分）设lg2=a，lg3=b，则log512=．（用a，b表示）【解答】解：log512==．故答案为：．10．（5分）设集合A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，若A∩B=A，则实数a 的取值范围为[3，4）．【解答】解：∵A∩B=A，∴A⊆B，∵A={x|4≤x＜5}，B={x|a＜x≤2a﹣1}，∴，∴3≤a＜4．故答案为：[3，4）．11．（5分）设，若f（x）是单调函数，则a的取值范围为（﹣∞，1] ．【解答】解：由题意可知f（x）在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上的值域为（﹣∞，a），在[0，+∞）上的值域为[1，+∞）．∵f（x）是单调函数，∴a≤1．故答案为（﹣∞，1]．12．（5分）若函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，则a的取值范围为（1，+∞）．【解答】解：y′==，∵函数在区间（﹣2，+∞）上是增函数，∴＞0在（﹣2，+∞）上恒成立，∴2a﹣2＞0，即a＞1，故答案为（1，+∞）．13．（5分）设函数f（x）满足f（x+1）=f（x）对一切实数x恒成立，若0≤x＜1时，f（x）=2x，则f（log212）=．【解答】解：f（x+1）=f（x），可得函数的周期为1，当0＜x≤1，f（x）=2x，f（log212）=f（log212﹣3）=f（log2）=2=，故答案为：14．（5分）下列说法中，正确的是④．（填序号）①若函数f（x）满足f（x）＜f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）是增函数；②若函数满足|f（﹣x）|＜|f（x）|对一切实数x成立，则是奇函数或是偶函数；③若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x+1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称；④若函数f（x）满足f（1﹣x）=f（x﹣1）对一切实数x成立，则f（x）的图象关于y轴对称．【解答】解：对于①，若f（x）=[x]，[x]表示不大于x的整数，显然[x]＜[x+1]，即f（x）＜f（x+1），而f（x）不是增函数，故①错误；对于②，若f（x）是奇函数或偶函数，则|f（﹣x）|=|f（x）|，与已知矛盾，故②错误；对于③，若f（1﹣x）=f（x+1），则f（x）的图象关于直线x=1对称，故③错误；对于④，若f（1﹣x）=f（x﹣1），则f[1﹣（1﹣x）]=f[（1﹣x）﹣1]，即f（x）=f（﹣x），所以f（x）关于y轴对称，故④正确．故答案为④．二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15．（14分）设集合A={x|x2＜9，x∈Z}，B={x|2x＞a}．（1）若a=1，写出A∩B的所有真子集；（2）若A∩B有4个子集，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1，B={x|x＞}，A={x|x2＜9，x∈Z}={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={1，2}，真子集为∅，{1}，{2}．（2）若A∩B有4个子集，则A∩B中有且仅有2个元素，显然A∩B={1，2}，即1∈B，0∉B，∴0≤＜1，∴0≤a＜2，即a的取值范围是[0，2）．16．（14分）设．（1）求的值；（2）若，求b的值．【解答】解：由已知得到a==，所以（1）==；（2）=﹣=﹣=﹣3，解得﹣b=9，即b=﹣9．17．（14分）设f（x）=lg（5﹣x）．（1）若10f（k）=10f（2）×10f（3），求k的值；（2）若f（2m﹣1）＜f（m+1），求实数m的取值范围．【解答】解：（1）∵10f（k）=10f（2）×10f（3），∴f（k）=f（2）+f（3），∴lg（5﹣k）=lg3+lg2，∴5﹣k=2×3，解得k=﹣1．经过验证满足条件．∴k=﹣1．（2）∵f（x）=lg（5﹣x）单调递减．f（2m﹣1）＜f（m+1），∴2m﹣1＞m+1，5﹣（2m﹣1）＞0，5﹣（m+1）＞0，解得2＜m＜3．18．（16分）设f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．．（1）当k=1时，求f（x）的解析式；（2）已知0＜x＜1时，f（x）＞1恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）是定义在实数集R上的奇函数，当x＞0时，．当x＜0时，﹣x＞0，则f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[]=；当x=0时，f（0）=0．∴；（2）由在（0，1）上恒成立，∵x+1＞0，∴k＞x+1在（0，1）上恒成立，∵x+1∈（1，2），∴k≥2．即k的取值范围为[2，+∞）．19．（16分）已知函数f（x）=2log3（3﹣x）﹣log3（1+x）．（1）求f（x）的定义域；（2）当0≤x≤2时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）由f（x）有意义得，解得﹣1＜x＜3．∴f（x）的定义域为（﹣1，3）．（2）f（x）=log3，令g（x）==，则g′（x）==，∵x∈[0，2]，∴（x+1）2﹣16＜0，∴g（x）是减函数，∴g（2）≤g（x）≤g（0）即≤g（x）≤9，∴当g（x）=时，f（x）取得最小值log 3=﹣1，当g（x）=9时，f（x）取得最大值log39=2．20．（16分）设f（x）=3x+m3﹣x，m、x是实数．（1）若y=|f（x）|是偶函数，求m的值；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，求实数m的取值范围；（3）当m=1时，若log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，求a的最大值．【解答】解：（1）若y=|f（x）|是偶函数，则f（﹣x）=f（x），即|3﹣x+m3x|=|3x+m3﹣x|，3﹣x+m3x=3x+m3﹣x，①或3﹣x+m3x=﹣3x﹣m3﹣x，②由①得m=1，由②得m=﹣1．综上m=1或m=﹣1；（2）若x≥1时，3x[f（x）+1]≥0恒成立，则等价物f（x）+1≥0，即3x+m3﹣x+1≥0，即（3x）2+3x+m≥0恒成立，则m≥﹣[（3x）2+3x]，∵y=﹣[（3x）2+3x]=﹣（3x+）2+，∵x≥1，则3x≥3，∴y≤﹣（9+3）=﹣12，∴m≥﹣12．（3）当m=1时，f（x）=3x+3﹣x，则log3[3x f（x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，等价为log3[3x（3x+3﹣x）]﹣2x＞a对一切实数x成立，即log3[（3x）2+1]﹣2x＞a则log3＞a，∵log3＞log31=0，∴a≤0，即实数m的取值范围是（﹣∞，0]．第11页（共11页）。
江苏省南京市鼓楼区2015-2016学年高一上学期期中数学试题 含答案bybao 精品
高一上期期中试卷数学 2017.04一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 设全集{}1,3,5U =，集合{}1,5A =，则U C A = .2. 函数y = . 3.设集合{}{}1,2,2,A B a ==，若{}1,2,4A B =，则a = .4.已知映射{}{}:,1,3,,,,f A B A B a b a b →==是实数，对应法则2:f x x →，则a b +的值是 .5．函数23y x =-+的最小值是 .6.已知函数()f x 满足()123f x x +=+，若()3f m =，则m = .7.若函数()y f x =的图象与函数1x y e -=的图象关于y 轴对称，则函数()y f x =的解析式是 .8.若幂函数n y x =（n 是有理数）的图象经过点()8,4和()8,m -，则m = .9.若lg 2,lg3a b ==，则5log 12=为 .（用,a b 表示）10.设集合{}{}|45,|21A x x B x a x a =≤<=<≤-，若A B A =，则实数a 的取值范围为 .11.设()2,01,0x a x f x x x +<⎧=⎨+≥⎩，若()f x 是单调函数，则a 的取值范围为 .12.若函数22ax y x +=+在区间()2,-+∞上是增函数，则a 的取值范围为 . 13.设函数()f x 满足()()1f x f x +=对一切实数x 恒成立，若01x ≤<时，()2x f x =，则()2log 12f = .14.下列说法中，正确的是 .（填序号）①若函数()f x 满足()()1f x f x <+对一切实数x 成立，则()f x 是增函数； ②若函数满足()()f x f x -<对一切实数x 成立，则是奇函数或是偶函数； ③若函数()f x 满足()()11f x f x -=+对一切实数x 成立，则()f x 的图象关于y 轴对称；④若函数()f x 满足()()11f x f x -=-对一切实数x 成立，则()f x 的图象关于y 轴对称二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）设集合{}{}2|9,,|2.A x x x Z B x x a =<∈=>（1）若1a =，写出A B 的所有真子集；（2）若A B 有4个子集，求a 的取值范围.16.（本题满分14分）设a =（1（2a =-，求b 的值.17.（本题满分14分）设()()lg 5.f x x =-（1）若()()()23101010f k f f =⨯，求k 的值；（2）若()()211f m f m -<+，求实数m 的取值范围.18.（本题满分16分）设()f x 是定义在实数集R 上的奇函数，当0x >时，(),,0.1k f x k R k x =∈≠+. （1）当1k =时，求()f x 的解析式；（2）已知01x <<时，()1f x >恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本题满分16分）已知函数()()()332log 3log 1.f x x x =--+.（1）求()f x 的定义域；（2）当02x ≤≤时，求()f x 的最大值和最小值.20.（本题满分16分）设()33,,x x f x m m x -=+⋅是实数（1）若()y f x =是偶函数，求m 的值；（2）若1x ≥时，()310x f x +≥⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围；（3）当1m =时，若()3log 32x f x x a ⎡⎤⋅->⎣⎦对一切实数x 恒成立，求a 的最大值.。
江苏省南京十三中2016-2017学年高一上学期期中数学试卷 含解析
2016—2017学年江苏省南京十三中高一(上)期中数学试卷一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．式子用分数指数幂表示为．2．集合A={x｜＜2x≤4},则A∩Z=．3．幂函数f(x）的图象经过点（8，2），则f（x)的解析式为．4．函数y=的定义域为．5．设全集U={l，3,5，7，9},集合M={1，a﹣5｝，M⊆U且∁U M={3，5，7｝，则实数a=．6．函数y=log a（x﹣2）的图象经过一个定点,该定点的坐标为．7．函数y=3﹣的值域为．8．方程x3﹣3x+1=0的一个根在区间（k，k+1)（k∈N )内，则k=．9．已知函数f（x）=，若f（f（1）)=3a，则实数a=．10．若f(x）=|x+a｜（a为常数）在区间（﹣∞，﹣1）是减函数，则a的取值范围是．11．已知f（x）=a x,g(x)=log a x（a＞0且a≠1）满足f（2）•g（2）＜0，那么f（x)与g（x）在同一坐标系内的图象可能为．12．若函数y=+m有零点,则实数m的取值范围是．13．函数是偶函数,若h（2x﹣1）≤h（b），则x的取值范围是．14．若函数(a，b，c,d∈R）,其图象如图所示，则a：b：c：d=．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．已知集合A={x|a≤x≤a+4｝，B={x｜x＞1 或x＜﹣6｝．(1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2）若A∪B=B，求a的取值范围．16．已知函数f（x）=log3x．（1）求f（45）﹣f(5）的值；（2）若函数y=g(x）（x∈R）是奇函数，当x＞0时,g(x)=f（x），求函数y=g（x)的表达式．17．已知函数f（x）=ka x(k为常数,a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1)和点B（2，16）．（1)求函数的解析式；（2）g（x）=b+是奇函数,求常数b的值；(3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较与的大小．18．已知函数f（x）=（b≠0且b是常数）．（1）如果方程f(x）=x有唯一解，求b值．（2）在（1)的条件下，求证：f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数；（3)若函数f(x)在(1，+∞）上是减函数，求负数b的取值范围．19．已知函数f（x）=x｜x﹣2|．（1）作出函数f(x）=x|x﹣2｜的大致图象；(2）若方程f（x）﹣k=0有三个解，求实数k的取值范围．（3）若x∈（0,m]（m＞0)，求函数y=f(x）的最大值．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx，g(x）=2x﹣1．（1)当a=1时，若函数f（x)的图象恒在函数g（x)的图象上方,试求实数b 的取值范围；(2）若y=f（x)对任意的x∈R均有f(x﹣2)=f（﹣x）成立，且f（x）的图象经过点A(1，)．①求函数y=f（x）的解析式；②若对任意x＜﹣3，都有2k＜g（x）成立，试求实数k的最小值．2016-2017学年江苏省南京十三中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1．式子用分数指数幂表示为．【考点】方根与根式及根式的化简运算．【分析】把根式化为分数指数幂运算即可．【解答】解:原式====．故答案为．2．集合A=｛x|＜2x≤4｝，则A∩Z={0，1，2} ．【考点】交集及其运算．【分析】求出集合A,然后求解交集即可．【解答】解：集合A={x｜＜2x≤4}={x|﹣1＜x≤2｝，则A∩Z={0，1,2｝．故答案为:｛0,1，2}．3．幂函数f（x）的图象经过点（8，2），则f（x）的解析式为f(x）=．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设幂函数的解析式为f（x）=xα，利用图象经过点（8，2），代入解析式求出α的值即可．【解答】解：设幂函数为f（x)=xα,因为图象经过点(8,2），所以f（8）=8α=2，解得α=;所以函数的解析式为f(x）=．故答案为：f（x）=．4．函数y=的定义域为{x|x＜5且x≠2｝．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由，解得x＜5且x≠2．∴函数y=的定义域为{x|x＜5且x≠2}．故答案为：{x｜x＜5且x≠2｝．5．设全集U={l，3，5，7，9｝，集合M={1，a﹣5｝，M⊆U且∁U M={3,5，7}，则实数a=14．【考点】补集及其运算．【分析】根据补集的定义，求出集合M，再计算a的值．【解答】解：由U=｛1，3,5，7，9}，且C U M=｛3，5，7}，所以M=｛1，9}；又M={1，a﹣5}，所以a﹣5=9，解得a=14．故答案为：14．6．函数y=log a（x﹣2）的图象经过一个定点，该定点的坐标为（3，0)．【考点】函数恒成立问题．【分析】根据log a1=0恒成立,可得函数y=log a（x﹣2）的图象经过的定点坐标．【解答】解：∵log a1=0恒成立，∴当x=3时,y=log a（x﹣2）=0恒成立，故函数y=log a(x﹣2）的图象恒过(3，0）点,故答案为：（3,0）7．函数y=3﹣的值域为[1，3] ．【考点】函数的值域．【分析】根据二次函数的性质，利用换元法转化为二次函数配方法求解值域即可．【解答】解:函数y=3﹣；令t=﹣x2+6x﹣5=﹣（x﹣3）2+4,t≥0．由二次函数的性质可知．当x=3时，t取得最大值为4．∴0≤≤2,∴1≤3﹣≤3．即y=3﹣的值域为［1，3］故答案为［1，3]．8．方程x3﹣3x+1=0的一个根在区间(k,k+1)(k∈N ）内,则k=1．【考点】二分法的定义．【分析】令f（x)=x3﹣3x+1，判断函数的零点的方法是若f（a）•f(b）＜0，则零点在（a，b），可知f（1）＜0，f（2）＞0进而推断出函数的零点存在的区间．【解答】解:令f（x）=x3﹣3x+1,∴f（2）=8﹣6+1＞0,f(1）=1﹣3+1＜0，∴f（1）•f（2）＜0,∴零点在(1，2）内，∵方程x3﹣3x+1=0的一个根在区间（k，k+1）（k∈N )内,故f（x）在区间（k，k+1）(k∈Z)上有唯一零点．∴k=1，故答案为：1．9．已知函数f（x）=，若f（f(1））=3a，则实数a=﹣3．【考点】函数的值．【分析】根据自变量的值代入分段函数，从而得到方程求解即可．【解答】解：∵f（x）=，∴f（1）=5﹣2=3，f(f（1））=f（3）=9+6a=3a，解得,a=﹣3,故答案为：﹣3．10．若f（x)=｜x+a|（a为常数)在区间（﹣∞，﹣1）是减函数,则a的取值范围是a≤1．【考点】分段函数的应用；函数单调性的判断与证明．【分析】将函数化为分段函数的形式，进而求出函数的减区间,可得a的取值范围．【解答】解:f（x)=｜x+a｜=的单调递减区间为（﹣∞，﹣a]，若f（x)=｜x+a｜(a为常数）在区间（﹣∞，﹣1）是减函数，则﹣1≤﹣a，解得:a≤1，故答案为：a≤111．已知f（x）=a x,g（x)=log a x（a＞0且a≠1）满足f（2）•g（2)＜0，那么f（x）与g（x）在同一坐标系内的图象可能为③．【考点】函数的图象．【分析】由题意可得log a2＜0，从而可得0＜a＜1，从而由函数的性质判断即可．【解答】解：∵f(x）=a x，g(x）=log a x（a＞0且a≠1)，f（2）•g(2)＜0，∴f（2）•g(2）=a2•log a2＜0,∴log a2＜0,∴0＜a＜1，故f（x）与g(x）在同一坐标系内的图象可能为③，故答案为：③．12．若函数y=+m有零点，则实数m的取值范围是[﹣1，0）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】由题意转化为方程=﹣m有解，从而结合指数函数的性质判断取值范围即可．【解答】解：∵函数y=+m有零点，∴方程+m=0有解，即方程=﹣m有解，∵｜x|≥0，∴0＜≤1,∴0＜﹣m≤1,故﹣1≤m＜0，故答案为：[﹣1,0）．13．函数是偶函数,若h（2x﹣1）≤h（b），则x的取值范围是．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由h（x)为偶函数求出b值，由偶函数性质得h(｜2x﹣1｜)≤h（|b|)，再利用h（x)在(0,+∞)上的单调性可得|2x﹣1｜与|b｜的大小关系，从而可解x的范围．【解答】解：当x＞0时，﹣x＜0,因为h(x）是偶函数，所以h(﹣x）=h（x）,即（﹣x）2﹣b（﹣x）=x2+x，得b=1．h（2x﹣1)≤h（b），即h（2x﹣1）≤h（1），又h（x）为偶函数，所以h（|2x﹣1|）≤h（1）, 当x＞0时，h（x）=x2+x=(﹣，在（0，+∞）上单调递增，所以0＜|2x﹣1|≤1，解得0≤x＜或＜x≤1,故答案为:[0，）∪（,1]．14．若函数（a，b，c，d∈R），其图象如图所示，则a:b：c：d=1：（﹣6）:5：（﹣8)．【考点】函数的图象．【分析】根据图象可先判断出分母的分解式,然后利用特殊点再求出分子即可．【解答】解：由图象可知x≠1，5∴分母上必定可分解为k（x﹣1）x﹣5）∵在x=3时有y=2∴d=﹣8k∴a：b:c：d=1:(﹣6）：5：（﹣8），故答案为1:（﹣6）：5:(﹣8）．二、解答题（本大题共6小题，共90分）15．已知集合A=｛x|a≤x≤a+4｝，B={x｜x＞1 或x＜﹣6}．（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；（2)若A∪B=B,求a的取值范围．【考点】集合的相等．【分析】（1）根据A∩B=∅，建立关系求解a的取值范围．（2)根据A∪B=B，建立关系求解a的取值范围．【解答】解：(1）集合A={x｜a≤x≤a+4}，B=｛x｜x＞1 或x＜﹣6｝．∵A∩B=∅,∴必须满足，解得:﹣6≤a≤﹣3，故当A∩B=∅，实数a的取值范围实［﹣6，﹣3］．（2)∵A∪B=B,可知A⊆B则有a+4＜﹣6或a＞1，解得：a＜﹣10或a＞1．故当A∪B=B,实数a的取值范围实(﹣∞，﹣10）∪(1，+∞）．16．已知函数f（x)=log3x．（1)求f（45)﹣f（5）的值；（2）若函数y=g（x）（x∈R)是奇函数，当x＞0时，g(x）=f（x），求函数y=g（x）的表达式．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】（1）由已知中函数f(x)=log3x，结合对数的运算性质，可得f（45）﹣f（5）的值；(2）根据函数y=g（x）（x∈R）是奇函数，当x＞0时，g（x）=f（x），可得函数y=g（x）的表达式．【解答】解:（1）∵函数f（x）=log3x．∴f（45）﹣f（5）=log345﹣log33=log39=2；（2）若函数y=g（x)（x∈R）是奇函数，当x＞0时，g(x）=f（x）=log3x，∴当x＜0时，﹣x＞0，g（x）=﹣g（﹣x）=﹣log3（﹣x），又由g（0）=0得:g(x）=．17．已知函数f（x）=ka x（k为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A(0,1）和点B（2，16）．（1）求函数的解析式;（2)g(x）=b+是奇函数，求常数b的值;（3）对任意的x1，x2∈R且x1≠x2，试比较与的大小．【考点】指数函数的图象与性质；函数奇偶性的判断．【分析】（1）将A、B的坐标代入f（x），求出k，a的值，从而求出函数的解析式即可；(2）根据函数奇偶性的定义求出b的值即可；（3）分别求出与的表达式,根据基本不等式的性质判断其大小即可．【解答】解：(1）将A（0，1)和点B（2，16)代入f(x）得:，解得：，故f（x）=4x;（2)由（1）g（x)=b+，若g（x)是奇函数，则g（﹣x）=b+=b+=﹣b﹣,解得：b=﹣;(3）∵f（x）的图象是凹函数,∴＜，证明如下：=,=≥=，故＜．18．已知函数f（x)=(b≠0且b是常数）．（1)如果方程f（x）=x有唯一解，求b值．（2)在（1）的条件下，求证:f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数；（3）若函数f（x)在（1，+∞）上是减函数，求负数b的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（1)根据方程f（x）=x有唯一解,可得b的值；(2)求导，根据当x∈（﹣∞，﹣1）时,f′(x)＞0恒成立，可得：f（x）在（﹣∞，﹣1）上是增函数；（3）若函数f(x）在（1,+∞）上是减函数，则f′（x）=＜0在（1，+∞)上恒成立，解得负数b的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=x有唯一解即=x有唯一解，∴x2+（b﹣1）x=0有唯一解，又b≠0，∴△=（b﹣1）2=0解得b=1；证明：（2）∵由（1）得函数f(x）=，f′（x)=，当x∈（﹣∞，﹣1)时，f′（x）＞0恒成立，故f（x)在（﹣∞，﹣1）上是增函数；（3）若函数f（x）在（1，+∞)上是减函数，则f′（x）=＜0在（1，+∞)上恒成立,且恒有意义，故，即解得：﹣1≤b＜0．19．已知函数f（x)=x|x﹣2|．（1）作出函数f（x）=x|x﹣2|的大致图象；（2）若方程f(x）﹣k=0有三个解，求实数k的取值范围．(3)若x∈（0，m］（m＞0），求函数y=f（x）的最大值．【考点】分段函数的应用;根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）写出f（x）的分段形式,画出图象;（2）由题意可得，函数f（x）图象与直线y=k有三个交点,通过平移直线y=k，即可得到k 范围；（3）对m讨论，分当0＜m≤1时，当1＜m≤1+时，当m＞1+时，三种情况，通过图象和单调性，即可得到最大值．【解答】解：(1)函数f(x)=x｜x﹣2｜=，由分段函数的画法，可得如图：（2）若方程f（x）﹣k=0有三个解，即函数f（x)图象与直线y=k有三个交点，由图可得，当0＜k＜1时,有三个交点，即方程f(x）﹣k=0有三个解;(3）当0＜m≤1时，f（x）在（0，m]递增，f（m）取得最大值，且为2m﹣m2；由x2﹣2x=1，解得x=1+（1﹣舍去），当1＜m≤1+时,由f（x)的图象可得f(1）取得最大值1；当m＞1+时，由f（x）的图象可得f（m）取得最大值m2﹣2m．综上可得，当0＜m≤1时，f（x）的最大值为2m﹣m2;当1＜m≤1+时，f（x）的最大值为1；当m＞1+时，f（x）的最大值为m2﹣2m．20．已知二次函数f（x）=ax2+bx，g（x）=2x﹣1．（1）当a=1时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x）的图象上方,试求实数b 的取值范围; （2）若y=f(x）对任意的x∈R均有f（x﹣2）=f(﹣x）成立，且f(x）的图象经过点A（1，)．①求函数y=f（x)的解析式；②若对任意x＜﹣3，都有2k＜g（x）成立，试求实数k的最小值．【考点】二次函数的性质；函数恒成立问题．【分析】（1）当a=1时，若函数f(x）的图象恒在函数g（x）的图象上方，则x2+bx＞2x﹣1，即x2+（b﹣2）x+1＞0恒成立，即△=（b﹣2）2﹣4＜0，解得实数b 的取值范围；（2）①若y=f（x)对任意的x∈R均有f(x﹣2)=f（﹣x）成立，且f（x）的图象经过点A（1，)．则，解得：a,b的值，可得函数y=f(x）的解析式;②若对任意x＜﹣3，都有2k＜g（x）成立,则对任意x＜﹣3，都有k＞=﹣成立,进而可得实数k的最小值．【解答】解：(1）a=1时，若函数f（x）的图象恒在函数g（x)的图象上方，则x2+bx＞2x﹣1,即x2+(b﹣2）x+1＞0恒成立，即△=(b﹣2）2﹣4＜0,解得:b∈（0，4)；（2)①若y=f(x）对任意的x∈R均有f(x﹣2）=f（﹣x）成立，且f（x)的图象经过点A（1，)．则,解得：，∴y=f（x)=x2+x，②若对任意x＜﹣3，都有2k＜g（x)成立，则对任意x＜﹣3,都有2k（x+）＜2x﹣1成立,则对任意x＜﹣3，都有k＞=﹣成立，由x＜﹣3时，﹣∈（，），∴k≥，故实数k的最小值为．2016年12月27日。
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2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分，不需要写解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置）1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∩B=．2．（5分）函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域是．3．（5分）计算的结果是．4．（5分）下列四个函数图象中，不是函数图象的是（填序号）5．（5分）不等式2x+2＞8的解集为．6．（5分）设f（x）=，则f（4）=．7．（5分）已知一次函数f（x）满足f（f（x））=4x+9，则f（x）的函数关系式．8．（5分）已知f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，则a﹣b的值是．9．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），且满足f（x）=64的x的值是．10．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣bx+5，a，b∈R，若f（﹣3）=﹣1，则f（3）=．11．（5分）已知a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2），a，b∈R，则计算（lg2）3+3lg2•lg5+（lg5）3+结果是．12．（5分）若f（x）=x2﹣4x+4+m的定义域值域都是[2，n]，则m n=．13．（5分）函数f（x）=满足对于任意x1＜x2时都有＞0成立，则a的取值范围．14．（5分）设已知函数f（x）=|lnx|，正数a，b满足a＜b，且f（a）=f（b），若f（x）在区间[a2，b]上的最大值为2，则2a+b=．二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应必要的文字说明，证明过程或演算步骤）（本题满分90分）15．（14分）已知集合A={x|﹣1≤x≤10}，集合B={x|2x﹣6≥0}．（1）求∁R（A∪B）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．16．（14分）解方程ln（2x+1）=ln（x2﹣2）；求函数f（x）=（）2x+2×（）x（x≤﹣1）的值域．17．（14分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x﹣3．当x∈[2，4]时，求f（x）的值域；当f（m）=6时，求m的值．18．（16分）某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设，三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉，三角形CAE区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米，OB=3千米，∠AOB=90°，甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元）关于x的函数关系式；求x为何值时，种植花卉的总造价最小，并求出总造价．19．（16分）已知函数f（x）=，x∈R，a∈R．（1）a=1时，求证：f（x）在区间（﹣∞，0）上为单调增函数；（2）当方程f（x）=3有解时，求a的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=x2+2bx+5（b∈R）．（1）若b=2，试解不等式f（x）＜10；（2）若f（x）在区间[﹣4，﹣2]上的最小值为﹣11，试求b的值；（3）若|f（x）﹣5|≤1在区间（0，1）上恒成立，试求b的取值范围．2016-2017学年江苏省南京市鼓楼区高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分，不需要写解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置）1．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∩B={2，4} ．【解答】解：∵A={1，2，4}，B={2，4，6}，∴A∩B={2，4}故答案为：{2，4}．2．（5分）函数f（x）=lg（x﹣1）的定义域是{x|x＞1} ．【解答】解：要使函数有意义，则有x﹣1＞0，解得，x＞1，∴函数的定义域是{x|x＞1}，故答案为：{x|x＞1}．3．（5分）计算的结果是．【解答】解：==，故答案为：4．（5分）下列四个函数图象中，不是函数图象的是（2）（填序号）【解答】解：根据函数的定义可知，只有（2）不能表示函数关系．故答案为（2）．5．（5分）不等式2x+2＞8的解集为（1，+∞）．【解答】解：由2x+2＞8，得2x+2＞23，∴x+2＞3，即x＞1．∴不等式2x+2＞8的解集为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．6．（5分）设f（x）=，则f（4）=2．【解答】解：∵f（x）=，∴f（4）=log24=2，故答案为：27．（5分）已知一次函数f（x）满足f（f（x））=4x+9，则f（x）的函数关系式f （x）=2x+3和f（x）=﹣2x﹣9．【解答】解：由题意：f（x）是一次函数，设函数f（x）=kx+b（k≠0），则：f（f（x））=k（kx+b）+b=k2x+kb+b∵f（f（x））=4x+9，可得：k2x+kb+b=4x+9，即，解得：或∴f（x）的函数关系式为f（x）=2x+3和f（x）=﹣2x﹣9．故答案为：f（x）=2x+3和f（x）=﹣2x﹣9．8．（5分）已知f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，则a﹣b的值是﹣1．【解答】解：∵函数f（x）=x2+3ax+4，b﹣3≤x≤2b是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），即x2﹣3ax+4=x2+3ax+4，且b﹣3+2b=0得出a=0，b=1，∴a﹣b=﹣1．故答案为﹣19．（5分）幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），且满足f（x）=64的x的值是4．【解答】解：设幂函数y=f（x）=xα，α∈R；∵函数的图象过点（2，8），∴2α=23，解得α=3；又∵f（x）=64，∴x3=64，解得x=4．故答案为：4．10．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣bx+5，a，b∈R，若f（﹣3）=﹣1，则f（3）=11．【解答】解：∵函数f（x）=ax3﹣bx+5，a，b∈R，∴f（﹣x）=﹣ax3+bx+5，∴f（﹣x）+f（x）=10，∵f（﹣3）=﹣1，∴f（3）=11，故答案为：11．11．（5分）已知a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2），a，b∈R，则计算（lg2）3+3lg2•lg5+（lg5）3+结果是．【解答】解：（lg2）3+3lg2•lg5+（lg5）3+=（lg2+lg5）（lg22﹣lg2lg5+lg25）+3lg2•lg5+ =lg22+2lg2lg5+lg25+=（lg2+lg5）2+=1+=．12．（5分）若f（x）=x2﹣4x+4+m的定义域值域都是[2，n]，则m n=8．【解答】解：∵f（x）=x2﹣4x+4+m的对称轴为x=2，∴函数f（x）在[2，n]上为增函数，f（2）=4﹣8+4+m=2，解得m=2，f（n）=n2﹣4n+4+m=n，解得n=3或n=2（舍去），∴m n=23=8，故答案为：813．（5分）函数f（x）=满足对于任意x1＜x2时都有＞0成立，则a的取值范围[﹣，0）．【解答】解：根据题意，由增函数的定义知，此函数是一个增函数；故有，解得﹣≤a＜0，则a的取值范围是[﹣，0），故答案为：[﹣，0）．14．（5分）设已知函数f（x）=|lnx|，正数a，b满足a＜b，且f（a）=f（b），若f（x）在区间[a2，b]上的最大值为2，则2a+b=+e．【解答】解：由对数函数的性质知∵f（x）=|lnx|正实数a、b满足a＜b，且f（a）=f（b），∴0＜a＜1＜b，以及ab=1，又函数在区间[a2，b]上的最大值为2，由于f（a）=f（b），f（a2）=2f（a）故可得f（a2）=2，即|lna2|=2，即lna2=﹣2，即a2=，可得a=，b=e则2a+b=+e，二、解答题（本大题共6小题，共90分，解答应必要的文字说明，证明过程或演算步骤）（本题满分90分）15．（14分）已知集合A={x|﹣1≤x≤10}，集合B={x|2x﹣6≥0}．（1）求∁R（A∪B）；（2）已知C={x|a＜x＜a+1}，且C⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）集合A={x|﹣1≤x≤10}，集合B={x|2x﹣6≥0}={x|x≥3}，∴A∪B={x|x≥﹣1}；∴∁R（A∪B）={x|x＜﹣1}；（2）C={x|a＜x＜a+1}，且C⊆A，∴，解得a的取值范围是﹣1≤a≤9．16．（14分）解方程ln（2x+1）=ln（x2﹣2）；求函数f（x）=（）2x+2×（）x（x≤﹣1）的值域．【解答】解：（1）由题意：ln（2x+1）=ln（x2﹣2）；所以有⇒x=3 或﹣1（负舍）故方程的解为{x|x=3}；（2）由题意：函数f（x）=（）2x+2×（）x（x≤﹣1）令t=∈[2，+∞），换元后得：g（t）=t2+2t （t≥2）g（t）为一元二次函数，开口朝上，对称轴为t=﹣1，知：g（t）在（2，+∞）上单调递增，g（t）min=8故g（t）的值域为[8，+∞）17．（14分）定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x﹣3．当x∈[2，4]时，求f（x）的值域；当f（m）=6时，求m的值．【解答】解：当x＞0时，f（x）=﹣x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣2，∵x∈[2，4]，∴函数单调递减，∴f（x）的值域是[﹣11，﹣3]；x＞0时，f（x）=﹣x2+2x﹣3=6，可得x2﹣2x+9=0，无解；当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣（﹣x2﹣2x﹣3）=x2+2x+3=6，∴x=﹣3或x=1（舍去），∴m=﹣3．18．（16分）某公园有一个直角三角形地块，现计划把它改造成一块矩形和两块三角形区域．如图，矩形区域用于娱乐城设施的建设，三角形BCD区域用于种植甲种观赏花卉，三角形CAE区域用于种植乙种观赏花卉．已知OA=4千米，OB=3千米，∠AOB=90°，甲种花卉每平方千米造价1万元，乙种花卉每平方千米造价4万元，设OE=x千米．试建立种植花卉的总造价为y（单位：万元）关于x的函数关系式；求x为何值时，种植花卉的总造价最小，并求出总造价．=x2．【解答】解：由题意，CD=OE=x．由△BCD∽△BAO知BD=x，所以S△BCD =（x﹣4）2．…6分同理得S△CAE所以，y=[x2+（x﹣4）2×4]=（5x2﹣32x+64），其中，0＜x＜4．…10分y=[5（x﹣）2+]…13分因为0＜＜4，…14分所以x=时，y有最小值为4.8万元．…15分答：x为时，种植花卉的总造价最小，总造价最小值为4.8万元．19．（16分）已知函数f（x）=，x∈R，a∈R．（1）a=1时，求证：f（x）在区间（﹣∞，0）上为单调增函数；（2）当方程f（x）=3有解时，求a的取值范围．【解答】证明：（1）a=1时，f（x）=，x＜0时，f（x）=，令x1＜x2＜0，则f（x1）﹣f（x2）=﹣=，∵x1＜x2＜0，∴（1﹣x1）（1﹣x2）＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在区间（﹣∞，0）上为单调增函数；解：（2）由f（x）==3，得：ax=3|x|+2，画出函数y=ax和y=3|x|+2的图象，如图示：，结合图象，a＞3或a＜﹣3．20．（16分）已知函数f（x）=x2+2bx+5（b∈R）．（1）若b=2，试解不等式f（x）＜10；（2）若f（x）在区间[﹣4，﹣2]上的最小值为﹣11，试求b的值；（3）若|f（x）﹣5|≤1在区间（0，1）上恒成立，试求b的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=x2+4x+5＜10，即x2+4x﹣5＜0，即（x+5）（x﹣1）＜0，解得﹣5＜x＜1，故不等式的解集为（﹣5，1），（2）f（x）=x2+2bx+5=（x+b）2﹣b2+5，其对称轴为x=﹣b，当﹣b＜﹣4即b＞4时，在区间[﹣4，﹣2]上单调递增，故y min=16﹣8x+5=﹣11，解得b=4，舍去；当﹣4≤﹣b≤﹣2即2≤b≤4时，在对称轴处取最小值，故y min=﹣b2+5=﹣11，解得b=±4，只有b=4符合题意，当﹣b＞﹣2即b＜2时，在区间[﹣4，﹣2]上单调递减，故y min=4﹣4b+5=﹣11，解得b=5，不符合题意，舍去；综上所述：b的值为4，（3）|f（x）﹣5|≤1在区间（0，1）上恒成立，∴|x2+2bx|≤1在区间（0，1）上恒成立，∴﹣1≤x2+2bx≤1，∴﹣x﹣≤2b≤﹣x+∵函数y=﹣x﹣在（0，1）上为增函数，y＞﹣1﹣1=﹣2，函数y=﹣x+在（0，1）上为减函数，y＜﹣1+1=0，∴﹣2≤2b≤0，解得﹣1≤b≤0，故b的取值范围为[﹣1.0]赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=45APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。