上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：极限、框图

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上海2019届高三数学一轮复习典型题专项训练数列

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练数列一、选择、填空题1、（2018上海高考）记等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若87014a a a =+=₃，，则S 7= 2、（2017上海高考）已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =3、（2016上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________.4、（宝山区2018高三上期末）若n （n 3≥，n N *∈）个不同的点n n n Q a b Q a b Q a b 111222()()()，、，、、，满足：n a a a 12<<<，则称点n Q Q Q 12、、、按横序排列．设四个实数k x x x 123，，，使得k x x x x 2231322()2-，，成等差数列，且两函数y x y x213==+、图象的所有．．交点P x y 111()，、P x y 222()，、P x y 333()，按横序排列，则实数k 的值为．5、（崇明区2018高三上期末（一模））若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公比为a ﹣，且 S n =a ，则a= ．6、（奉贤区2018高三上期末）等差数列{}n a 中，10a ≠，若存在正整数,,,m n p q 满足m n p q+>+时有m n p q a a a a +=+成立，则41a a =（）． A ．4 B ．1C ．由等差数列的公差的值决定D ．由等差数列的首项1a 的值决定7、（虹口区2018高三二模）已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且2a ，4a ，3a 成等差数列，则q = _______．8、（黄浦区2018高三二模）已知数列{}n a 是共有k 个项的有限数列，且满足11(2,,1)n n nna a n k a +-=-=-，若1224,51,0k a a a ===，则k = ．9、（静安区2018高三二模）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S （n ∈*N ），且63198S S =-，42158a a =--，则3a 的值为 10、（普陀区2018高三二模）设函数()log m f x x =（0m >且1m ≠），若m 是等比数列{}n a （*N n ∈）的公比，且2462018()7f a a a a =，则22221232018()()()()f a f a f a f a ++++的值为_________.11、（青浦区2018高三二模）在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，若51S =，则10S = ．12、（青浦区2018高三上期末）设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =13、（松江、闵行区2018高三二模）已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅ .14、（松江区2018高三上期末）已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若1918a a +=，47a =，则10S = ▲ ．15、（浦东新区2018高三二模）已知{}n a 是等比数列，它的前n 项和为n S ，且34a =，48a =-，则5S =16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*N ∈n ），若112)1(++-=n n n n a a n b ,则数列}{n b 的前n 项和=n T _______________.二、解答题1、（2018上海高考）给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{b n }满足：对任意*n N ∈，都有1||nn b a -≤，则称{}{}n n b a 与“接近”。

2019年上海高考数学真题试卷(word解析版)

⎨ ⎩f ( ) n →∞绝密★启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（满分 150 分，考试时间 120 分钟）考生注意1. 本场考试时间 120 分钟，试卷共 4 页，满分 150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1. 已知集合 A = (-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为 . 4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为. ⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0 y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 6. 已知函数 f (x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2x ，则 3= .27. 若 x 、y ∈ R + ，且 1+ 2 y = 3 ，则 yx x的最大值为.8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.9. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2 = 4x 交于 A 、B ， A 在 B 上方， M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ =.10. 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N *）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y 2 = 上，则lim P n P n +1 6 2= .12. 已知 f (x ) = - a ( x > 1, a > 0) ，若a = a 0 ， f ( x ) 与 x 轴交点为 A ， f ( x ) 为曲线 L ，在 L 上任意一点 P ，总存在一点Q （ P 异于 A ）使得 AP ⊥ AQ 且 AP = a 0 =.AQ ，则 2 x -11二.选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分） 13. 已知直线方程2x - y + c = 0 的一个方向向量d 可以是（） A. (2,-1)B. (2,1)C. (-1,2)D. (1,2)14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（） A. 1B. 2C. 4D. 815. 已知ω ∈ R ，函数 f (x ) = ( x - 6)2⋅sin (ωx ) ，存在常数 a ∈ R ，使得 f ( x + a ) 为偶函数，则ω 可能的值为（）A.πB.2πC. 3πD. π4516. 已知tan α ⋅ tan β = tan(α + β ) . ①存在α 在第一象限，角 β 在第三象限； ②存在α 在第二象限，角 β 在第四象限； A. ①②均正确；B. ①②均错误；C. ①对，②错；D. ①错，②对；三.解答题（本大题共 5 题，共 76 分）17. （本题满分 14 分）如图，在长方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M 为 BB 1 上一点，已知BM = 2 ， AD = 4 ， CD = 3 ， AA 1 = 5 .（1）求直线 A 1C 与平面 ABCD 的夹角；（2）求点 A 到平面 A 1MC 的距离.18.（本题满分 14 分）已知 f ( x ) = ax +1x +1(a ∈ R ) . （1）当a = 1 时，求不等式 f (x ) +1 < f ( x +1) 的解集；（2）若 x ∈[1, 2]时， f ( x ) 有零点，求a 的范围.19.（本题满分 14 分）如图， A - B - C 为海岸线， AB 为线段， BC 为四分之一圆弧，BD = 39.2km ， ∠BDC = 22， ∠CBD = 68， ∠BDA = 58.（1）求 BC 长度；2 （2）若 AB = 40km ，求 D 到海岸线 A - B - C 的最短距离.（精确到0.001km ）20.（本题满分 16 分）已知椭圆 x+ y 8 4= 1， F 1 , F 2 为左、右焦点，直线l 过 F 2 交椭圆于 A 、B 两点.（1）若 AB 垂直于 x 轴时，求 AB ；（2）当∠F 1 AB = 90 时， A 在 x 轴上方时，求 A , B 的坐标；（3）若直线 AF 1 交 y 轴于 M ，直线 BF 1 交 y 轴于 N ，是否存在直线l ，使 S △F AB = S △F MN ，11若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.21.（本题满分 18 分）数列{a n } 有100 项，a 1 = a ，对任意n ∈[2,100] ，存在a n = a i + d , i ∈[1, n -1]，若a k与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质 P .（1）若a 1 = 1，求a 4 可能的值；（2）若{a n } 不为等差数列，求证：{a n } 中存在满足性质 P ；（3）若{a n } 中恰有三项具有性质 P ，这三项和为C ，使用a , d , c 表示 a 1 + a 2 ++ a 100 .25 ⎨ ⎩3上海市 2019 届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共 12 题，1-6 题每题 4 分，7-12 题每题 5 分，共 54 分）1. 已知集合 A =(-∞, 3)、B = (2, +∞) ，则 A B =.【思路分析】然后根据交集定义得结果．【解析】：根据交集概念，得出： (2,3) .【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2. 已知 z ∈ C 且满足 1- 5 = i ，求 z = .z 【思路分析】解复数方程即可求解结果．【解析】： 1 = 5 + i ， z =z1 5 + i = 5 - i (5 + i )(5 - i ) = 5 - 26 1 i . 26 【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．3. 已知向量a = (1,0,2) ， b = (2,1,0) ，则a 与b 的夹角为.【思路分析】根据夹角运算公式cos θ 求解．【解析】： cos θ a ⋅ b = = 2 .5【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础．4. 已知二项式(2x +1)5，则展开式中含 x 2 项的系数为.【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含 x 2项的的项，再求系数．【解析】： T = C r ⋅ (2x )5-r ⋅1r = C r ⋅ 25-r ⋅ x 5-rr +155令5 - r = 2 ，则r = 3 ， x 2 系数为C 3 ⋅ 22 = 40 .【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用，比较基础．⎧ 5. 已知 x 、y 满足⎪x ≥ 0y ≥ 0 ，求 z = 2x - 3y 的最小值为.⎪x + y ≤ 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值，当 x = 0 ，y = 2 时， z min = -6 .【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．6. 已知函数 f( x ) 周期为1，且当0 < x ≤ 1， f ( x ) = - log 2 x ，则 f ( 2) =.【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转 3 到已知范围0 < x ≤ 1内，代入函数解析式即2a ⋅b a ⋅ ba ⋅ b2 5 ⋅ 51⋅ 2 y x S n →∞3 可．【解析】：f ( ) = 21 f ( ) 2= -log1 = 1 .2 2【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题．7. 若 x 、y ∈ R + ，且1 +2 y =3 ，则 yx x的最大值为 .y 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有x的式子求解1y ⎛ 3 ⎫2 9 【解析】：法一： 3 = + 2 y ≥ 2 x ，∴ ≤ ⎪ = ；x ⎝ 2 2 ⎭ 8 法二：由 1 = 3 - 2 y ， y = (3 - 2 y ) ⋅ y = -2 y 2+ 3y （ 0 < y < 3 ），求二次最值⎛ y ⎫ = 9 .⎪x x 2 ⎝ x ⎭max 8【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题．8. 已知数列{a n }前 n 项和为 S n ，且满足 S n + a n = 2 ，则 S 5 =.【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列. 【解析】：由⎧S n + a n = 2 得： a = 1a （ n ≥ 2 ） ⎨ ⎩ n -1{ } + a n -1 = 2(n ≥ 2)1n 2 n -1 1⋅[1 -( 1 )5] 231 ∴ a n 为等比数列，且a 1 = 1 ， q = 2 ，∴ S 5 == . 1 -1 16 29. 过 y 2 = 4x 的焦点 F 并垂直于 x 轴的直线分别与 y 2= 4x 交于 A 、B ，A 在 B 上方，M 为抛物线上一点， OM = λOA + (λ - 2)OB ，则λ = .【思路分析】根据等式建立坐标方程求解【解析】：依题意求得： A (1,2) ， B (1,-2) ，设 M 坐标 M (x , y )有： (x , y ) = λ(1,2) + (λ - 2) ⋅ (1,-2) = (2λ - 2,4) ，代入 y 2 = 4x 有：16 = 4 ⋅ (2λ - 2) 即： λ = 3 .【归纳与总结】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10 某三位数密码锁，每位数字在0 - 9 数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是.【思路分析】分别计算出总的排列数和恰有两位数字相同的种类求解.C 1 ⋅ C 2 ⋅ C 1 27【解析】：法一： P = 10 3 9 = 103100 （分子含义：选相同数字×选位置×选第三个数字） C 1 + P 3 27 法二： P = 1 - 10 10= 103100 （分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同）【归纳与总结】本题考查古典概型的求解，是中档题．11. 已知数列{a n } 满足a n < a n +1 （ n ∈ N * ）， P n (n , a n ) 在双曲线 x 2 - y2= 上，则lim P n P n +1 6 2= .1n →∞ 2 2【思路分析】利用点在曲线上得到 P n P n +1 关于 n 的表达式，再求极限.【解析】：法一：由 n 8 a 2 - n = 1 得： a n = 2 n 2 2( 6-1) ，∴ P n (n , 2( n -1)) ， 6 P n +1 (n +1, (n +1)2 2(61) ) ，利用两点间距离公式求解极限。

2019年上海高考·高三数学第一轮复习

高三“三角函数”专题的复习分析与指导一、“三角函数”专题内容分析（一）“三角函数”专题知识体系的梳理 1、地位与价值在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。

从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。

从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。

2、知识网络图 3、核心知识①研究三角函数的概念、图像和性质，其突出特征是具有周期性的函数，尤其是正、余弦函数具有边界和零点；难点是函数()()sin +f x A x k ωϕ=+的图像变换，落实“五点法”画图技能.A 的确定：()()max min =2f x f x A - ；k 的确定：()()max min k=2f x f x +；ω的确定：()20T πωω=> ；ϕ的确定：初始角=ϕω-，与平移单位有关.②三角恒等变换的综合应用，主要应用于两个方面：一是化简函数与三角函数的性质相结合；二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量，解三角形就是有条件的恒等变换.（二）“三角函数”专题中研究的核心问题 1、问题类型①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等； ③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响. 2、问题研究与解决①三角函数求值与化简的常用方法：弦切互化：包括“切割化弦”、“齐次式化切”等；和积互化：包括“平方关系”、“降幂公式”和利用()2sin cos 12sin cos x x x x ±=± 进行变形转化；巧用“1”的变换：22221sin cos sec tan tan (4)πθθθθ=+=-==②转化为与三角函数有关的基本类型：sin y a x b =+ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为一次函数；sin cos y a x b x c =++ 借助辅助角公式转化为)y x c ϕ=++； 2sin sin y a x b x c =++ 设sin t x =，[]1,1t ∈- 转化为二次函数（闭区间内）；sin cos (sin cos )y a x x b x x c =+±+ 设sin cos t x x =±，t ⎡∈⎣则21sin cos =2t x x -±，转化为二次函数；tan cot y a x b x =+，设tan t x =，当0a b >时可用均值定理；③函数()()sin f x A x ωϕ=+的奇偶性、对称性及图像变换对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定与函数零点有关；由()sin f x x =的图像通过变换得到()()sin f x A x ωϕ=+的图像有两种途径：“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”，可用“五点法”作为突破口.④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式” 给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角；给值求值：现变同角再求值；给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围. ⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系； “化角为边”通过解方程求边；都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、学生学习三角函数的主要困难 2、三角函数知识的核心观点张景中院士认为，在数学课程中三角函数至关重要，它是几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学与高等数学的一条通道，函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识.① 强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型； ② 数形结合解决三角函数的图形变换；③ 加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题. 3、核心思想方法与核心技能“三种思想”+“三个技能”：函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为sin()y A x ωϕ=+型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断.二、“三角函数”高考的典型考题结构（一）近年北京高考题中三角函数考查的内容试题特点：试题总体比较平稳，不管是位置还是考查的知识点和难度都是比较稳定的，高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考查，回归到双基和通性通法的考查上，文科基本小题考解三角形，大题就是用三角公式变形为正弦型函数，再讨论它的性质（特殊值、周期、值域）。

上海市13区2019届高三上期末(一模)考试数学试题分类汇编立体几何

上海市13区2019届高三上期末（一模）考试数学试题分类汇编立体几何一、填空、选择题1、（宝山区2019届高三）将函数y =的图像绕着y 轴旋转一周所得的几何容器的容积是．2、（崇明区2019届高三）设一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则此圆锥的体积等于3、（虹口区2019届高三）关于三个不同平面α、β、γ与直线l ，下来命题中的假命题是（） A. 若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于βB. 若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于βC. 若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥D. 若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β4、（金山区2019届高三）在120︒的二面角内放置一个半径为6的小球，它与二面角的两个半平面相切于A 、B 两点，则这两个点在球面上的距离是5、（浦东新区2019，母线与底面所成角为3π，则该圆锥的表面积为 6、（浦东新区2019届高三）下列命题正确的是（） A. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 B. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 C. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 D. 如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行7、（普陀区2019届高三）如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为4，记1111AC B D F =I ，11BC B C E =I ，若AE BF ⊥，则此棱柱的体积为8、（青浦区2019届高三）已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为9、（徐汇区2019届高三）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（）（A ）16 （B ）（C ）163 （D ）128310、（杨浦区2019届高三）若圆锥的母线长5()l cm =，高4()h cm =，则这个圆锥的体积等于 3()cm11、（长宁区2019届高三）若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为 12、（闵行区2019届高三）如图，在过正方体1111ABCD A B C D -的任意两个顶点的所有直线中，与直线1AC 异面的直线的条数为13、（闵行区2019届高三）已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=I ，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（）A. b ⇐β，且b ∥αB. b ⇐α，且b ∥βC. b ∥α，且b ∥βD. b 与α、β都相交14、（青浦区2019届高三）对于两条不同的直线m 、n 和两个不同的平面α、β，以下结论正确的是（） A. 若m ⇐α，n ∥β，m 、n 是异面直线，则α、β相交 B. 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥β C. m ⇐α，n ∥α，m 、n 共面于β，则m ∥nD. 若m α⊥，n β⊥，α、β不平行，则m 、n 为异面直线参考答案一、填空、选择题1、π322、33、D4、2π5、3π6、D7、 8、12π 9、C 10、12π 11、π3312、12 13、D 14、C二、解答题 1、（宝山区2019届高三）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，正方形ABCD 的边长为2，4PA =，设E 为侧棱PC 的中点．（1）求正四棱锥E ABCD -的体积V ；（2）求直线BE 与平面PCD 所成角θ的大小．2、（崇明区2019届高三）如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成的角为4π. （1）求三棱锥1A A BD -的体积；（2）求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小.3、（奉贤区2019届高三）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，AB AC =，D 是BC 的中点.（1）求证：BC ⊥平面11A AD ；（2）若90BAC ︒∠=，4BC =，三棱柱111ABC A B C -的体积是1A D 与1AB 所成角的大小.4、（虹口区2019届高三）在如图所示的圆锥中，底面直径与母线长均为4，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.（1）求该圆锥的侧面积与体积；（2）求异面直线AB 与CD 所成角的大小.5、（金山区2019届高三）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，M 是 BC 的中点，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π. 求：（1）三棱锥P ABC -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）6、（浦东新区2019届高三）已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=. （1）求异面直线1A B 与11B C 所成角；（2）求点1B 到平面1A BC 的距离.7、（普陀区2019届高三）如图所示，某地出土的一种“钉”是由四条线段组成，其结构能使它任意抛至水平面后，总有一端所在的直线竖直向上，并记组成该“钉”的四条线段的公共点为O ，钉尖为i A （1,2,3,4i =）. （1）记i OA a =（0a >），当1A 、2A 、3A 在同一水平面内时，求1OA 与平面123A A A 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）若该“钉”的三个钉尖所确定的三角形的面积为2，要用某种线型材料复制100枚这种“钉”（耗损忽略不计），共需要该种材料多少米？8、（青浦区2019届高三）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为3，15A D =. （1）求该正四棱柱的侧面积与体积；（2）若E 为线段1A D 的中点，求BE 与平面ABCD 所成角的大小.9、（徐汇区2019届高三）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1. （1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B 是异面直线？（2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC 所成角的大小.10、（杨浦区2019届高三）如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，1PA AB ==，2AD =，点F 是PB的中心，点E 在边BC 上移动. （1）求三棱锥E PAD -的体积；（2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有AF ⊥PE .11、（长宁区2019届高三）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长；（精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.参考答案二、解答题1、解：（1）因为正方形ABCD 的边长为2，所以4ABCD S =，…………2分11633P ABCD ABCD V S PA -=⋅=， …………………………………4分因为E 为侧棱PC 的中点，所以1823P ABCD V V -==.…………………………………………………6分（2）建立空间直角坐标系，(0,0,0)A ，如图所示：(2,0,0)B ，(0,0,4),(2,2,0),(1,1,2)P C E ，……8分()()()1,1,2,2,2,4,2,0,0,BE PC DC =-=-=u u u r u u u r u u u r……………9分设平面PCD 的一条法向量为(,,)n a b c =r02240020PC n a b c CD n a ⎧⋅=⇒+-=⎪⎨⋅=⇒=⎪⎩u u u r r u u ur r ，令1c =，则(0,2,1)n =r，……………………………………………………11分故sin BE n BE nθ⋅==u u u r ru u u r r ……………………………………………13分所以，直线BE 与平面PCD所成角大小.……………………14分 17. 2、解：（1）联结AC ，因为1AA ABCD ⊥平面，所以1A CA ∠就是直线1A C 与平面ABCD 所成的角，……………………………………2分所以14ACA π∠=，所以1AA =4分所以11113A BD ABD ABD A A V V S A A --==⋅7分（2）联结1A D ，BD因为11//A B CD ，所以11//A D B C所以1BA D ∠就是异面直线1A B 与1B C 所成的角或其补角………………………3分在1BA D V中，12cos 3BA D ∠==所以12arccos 3BA D ∠=……………………………………6分所以异面直线1A B 与1B C 所成角的大小是2arccos 3……………………………………7分3、4、5、6、解：（1）在直三棱柱ABC C B A -111中，AB AA ⊥1，AC AA ⊥1,︒=∠===9011BAC ,AA AC AB所以，211===BC C A B A ．…………………………2分因为，11C B //BC ，所以，BC A 1∠为异面直线B A 1与11C B 所成的角或补角．……4分在BC A 1∆中，因为，211===BC C A B A ，所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………………………7分（2）设点1B 到平面BC A 1的距离为h ，由（1）得23322211=π⋅⨯⨯=∆sin S BC A ，…………………………9分 21112111=⨯⨯=∆B B A S ，…………………………11分因为，B B A C BC A B V V 1111--=，…………………………12分所以，CA S h S B B A BC A ⋅=⋅∆∆1113131，解得，33=h ．所以，点1B 到平面BC A 1的距离为33．…………………………14分或者用空间向量：（1）设异面直线B A 1与11C B 所成角为θ，如图建系，则()1011-=,,B A ，()01111,,C B -=，…………4分因为，321221π=θ⇒=⋅-==θcos 所以，异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．…………7分（2）设平面BC A 1的法向量为()w ,v ,u =，则B A n ,BC n 1⊥⊥．又()011,,BC -=，()1011-=,,B A ，……………9分所以，由⎩⎨⎧=-=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00001w u v u A ，得()111,,n =．…………12分所以，点1B 到平面BC A 1的距离33==d ．…………………………14分 7、8、解：（1）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，∵1AA ⊥平面ABCD ，AD ⊂≠平面ABCD ，∴1AA AD ⊥，故14AA =，∴正四棱柱的侧面积为(43)448⨯⨯=，体积为2(3)436⨯=．（2）建立如图的空间直角坐标系O xyz -，由题意可得(0,0,0)D ,(3,3,0)B ,1(3,0,4)A ,(0,0,0)D ,3(,0,2)2E , 1(0,0,4)AA =u u u r ，3(,3,2)2BE =--u u u r ，设1AA uuu r 与BE u u u r 所成角为α，直线BE 与平面ABCD 所成角为θ，则11cos ||||AA BE AA BE α⋅===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r 又1AA uuu r 是平面ABCD 的一个法向量，故sin cos θα==，θ=．所以直线BE 与平面ABCD所成的角为． 9、解：(1)由异面直线的定义可知，棱,,',','',''AD DC CC DD D C B C 所在的直线与直线'A B 是异面直线 ……………….6分(2)连结',''BC A C ，因为,M N 分别是','A B BC 的中点，所以MN ∥''A C ，又因为BC ∥''B C ，所以异面直线MN 与BC 所成角为'''A C B ∠(或其补角)，…….9分由于'''','''90A B B C A B C =∠=o于是'''45A C B ∠=o ， ………………13分所以异面直线MN 与BC 所成角的大小为45o . ………….14分10、解：（1） …… 6分（2）只需证明因为，故，又，故，所以； ……10分中，，点是的中点，故 ……12分所以，，故无论点在边的何处，都有. ……14分11、（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分由DB PDPBD =∠tan 得 2415tan PD=︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分（2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD =I ，PD DC ,≠⊂平面PDC ，所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，1133P ADE ADE V PA S -∆=⋅⋅=AF PBC ⊥面PA ABCD ⊥面PA BC ⊥BC AB ⊥BC AB ⊥面P BC AF ⊥PAB ∆PA AB =F PB AF PB ⊥AF PBC ⊥面E BC AF PE ⊥ABCD为直角三角形．…………………………………7分所以PBCPDBC由鳖臑的定义知，四面体为鳖臑．………………………8分。

2019年上海高考数学第一轮复习第25讲数列的极限

第25讲数列的极限[基础篇]一、数列极限的概念：（1）有穷数列一定不存在极限，无穷数列不一定有极限（2）数列是否有极限与数列前面的有限项无关（3）如果一个数列有极限，那么它的极限是一个确定的常数二、数列极限的运算：（1）3个常见的数列极限是：lim n c c →∞=；1lim 0n n →∞=；lim 0nn q →∞=，1q <（2）只有当数列极限都存在时才能对数列极限之间进行运算（3）仅限定在有限个极限间的四则运算，不能推广到无限个极限间做运算三、无穷等比数列的各项和：（1）使用的条件：若公比为q ，则q 的范围是01q << （2）常见的应用：循环小数化分数，几何应用[技能篇]例题1 下列命题正确的是（） A ．若0)(lim =∞→n n n b a ，则0lim =∞→n n a 且0lim =∞→n n b ；B ．无穷数列{}n a 有极限，则1lim lim +∞→∞→=n n n n a a ；C ．若n n a ∞→lim 存在，n n b ∞→lim 不存在，则)(lim n n n b a ∞→不存在；D. 若两个无穷数列的极限都存在，且n n b a ≠，则≠∞→n n a lim n n b ∞→lim 。

例题2 若()131lim331nnn n a +→∞=++，则a 的取值范围______例题3 求下列极限：（1）∞→n lim757222+++n n n ; （2） ∞→n lim （n n n -+2）; （3）∞→n lim （22n +24n +…+22n n ）．例题4 若12122lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-+∞→bn n an n n ，则b a 的值为例题5 数列{}n a 中，22211100010012n n na n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限为例题6 若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是例题7 若nn a a ⎪⎭⎫⎝⎛-∞→21lim 存在，则a 的取值范围是________例题8 若21lim 01n n an b n →∞⎛⎫+--=⎪+⎝⎭，则a =_______，b = _______例题9 已知无穷等比数列{}n a 的各项的和是4，则首项1a 的取值范围是________例题10 若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 2524例题11 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x=>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞=例题12 设无穷等比数列{}n a 满足135218lim(...)3n n a a a a -→∞++++=，求首项1a 的取值范围．例题13 以正方形ABCD 的四个顶点为圆心，以正方形的边长a 为半径，在正方形内画弧，得四个交点1111,,,A B C D ，再在正方形1111A B C D 内用同样的方法得到又一个正方形2222A B C D ，这样无限地继续下去，求所有这些正方形面积之和（包括正方形ABCD ）A M NEFC B H GS1S 2例题14 如图，在等腰直角三角形ABC 中，已知∠A 90=°，斜边BC 长为a ，途中排列着的内接正方形的面积分别为123,,S S S ⋯求：（1）无穷个正方形的周长之和；（2）无穷个正方形的面积之积[竞技篇]一、填空题：1、若lim n n a A →+∞=，数列{}n b 是由{}n a 中123,,,......()k k k a a a k N *+++∈按照原来的顺序排列而成，则lim n n b →+∞=2、数列{}n a 中，22211100010012n n n a n n n n ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪≥⎪-⎩，则数列{}n a 的极限 3、32211lim()334n n n n n n →∞-+-=++ 4、1111lim(...)1447710(32)(31)n n n →∞++++=⨯⨯⨯-+ 5、若321lim()03n n an b n n →∞---=+，则a ，b 的值为 6、1lim()1nnn a a →∞-=+ （a ≠－1） 7、若131lim 3(1)3n n n n a +→∞=++，则实数a 的取值范围是8、设等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则22lim n n na n S →∞-=9、在数列{}n a 中，542n a n =-，2123...n a a a a an bn ++++=+，n ∈N*，其中a ，b 为常数，则lim n n n nn a b a b →∞-=+ 10、16248...(2)lim 43927 (3)n n n +→∞-+-++-=+++++ 11、248211111lim(1)(1)(1)(1)...(1)22222n n →∞+++++= 12、1111lim(...)123n m n n n n n m→∞-----=++++ （m ∈N*，m 为常数）二、选择题：13、无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则数列{}n a 有极限是数列{}n S 有极限的（） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件12、若数列{}n a 的通项公式是()()321322nn n n n n a ----++--=，1,2n =，…，则()12lim n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=.A 1124 .B 1724 .C 1924 .D 252415、一个无穷等比数列公比为q ，满足01q <<，前n 项和为n S ，且它的第四项和第八项之和等于178，第五项与第七项之积等于14，则lim n n S →∞等于（）（A ）64 （B ）32 （C ）16 （D ）816、设(),n n n P x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim 1n x ny x →∞-=-A. 1-B. 12-C. 1D. 2三、解答题：17、已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为x （x ＞0），其前n 项和为n S ，求函数1()lim nn n S f x S →∞+=的解析式：18、已知等差数列{}n a 的首项11a =，公差为d ，前n 项和为n A ；等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，1q <，前n 项和为n B ，记12...n n S B B B =+++，若lim()1nn n A S n→∞-=，求{}n a 、{}n b 的通项公式19、设{}n a 是首项为a ，公比为q （q ＞0）的等比数列，前n 项和为n S ，若22212...()n n G a a a n N *=+++∈，求lim nn nS G →+∞20、函数2()12f x x =+-n 为正整数），设()f x 在(0,)+∞上取最小值时，自变量x 的取值为n a（1）求数列{}n a 的通项公式（2）已知数列{}n b ，对任意正整数n ，都有2(45)1n n b a ⋅-=成立，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，求lim n n S →∞（3）在点列112233(1,),(2,),(3,),...,(,),...n n A a A a A a A n a 中是否存在两点,i j A A （,i j 为正整数）使直线i j A A 的斜率为1？若存在，则求出所有的数对（,i j ）；若不存在，说明理由21、已知数列{}n a 的前n 项和n S 可表示为(3)(2)(1)(2)(1)166n n n n n n nS +++++=-+（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()f n 为关于n 的多项式，且满足lim ()2n n n S f n a →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，求()f n 的表达式。

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练：函数

上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练函数一、填空题1、（2018上海高考）设常数a R ∈，函数f (x )=log 2(x +a )，若f (x )的反函数的图像经过点(3,1)，则a= 。

2、（2017上海高考）定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为 3、（2016上海高考）已知点(3,9)在函数xa x f +=1)(的图像上，则________)()(1=-x f x f 的反函数4、（宝山区2018高三上期末）给出函数g x x bx 2()=-+，h x mx x 2()4=-+-，这里b m x R ∈，，，若不等式g x b ()10++≤（x R ∈）恒成立，h x ()4+为奇函数，且函数()()g x x t f x h x x t ()()()⎧≤⎪=⎨>⎪⎩恰有两个零点，则实数t 的取值范围为．5、（崇明区2018高三上期末（一模））若函数f （x ）=x a 的反函数的图象经过点（，），则a= ．6、（奉贤区2018高三上期末）已知13a >，函数()lg(||1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值为0且有最大值为lg(1)a +，则实数a 的取值范围是________.7、（虹口区2018高三二模）已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．8、（黄浦区2018高三二模）若函数2()82f x ax x =--是偶函数，则该函数的定义域是．9、（静安区2018高三二模）函数lg 2y x =+（）的定义域为 10、（普陀区2018高三二模）若函数1()21f x x m =-+是奇函数，则实数m =________.11、（青浦区2018高三二模）已知()f x 是定义在[2,2]-上的奇函数，当(0,2]x ∈时，()21xf x =-，函数2()2g x x x m =-+. 如果对于任意的1[2,2]x ∈-，总存在2[2,2]x ∈-，使得12()()f x g x ≤，则实数m 的取值范围是 .12、（青浦区2018高三上期末）已知函数22log (),0()3,0x a x f x x ax a x +≤⎧=⎨-+>⎩有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．13、（松江、闵行区2018高三二模）定义在R 上的函数()21xf x =-的反函数为1()y fx -=，则1(3)f -= .14、（松江区2018高三上期末）已知函数)(log )(2a x x f +=的反函数为)(1x f y -=，且1)2(1=-f ，则实数a = ▲ ．15、（杨浦区2018高三上期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若点(,)n n S （*n N ∈）在函数2log (1)y x =+的反函数的图像上，则n a =16、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知函数x x f a log 1)(+=，)(1x f y -=是函数)(x f y =的反函数，若)(1x fy -=的图像过点)4,2(，则a 的值为_____________.17、（黄浦区2018高三二模）方程33log (325)log (41)0x x⋅+-+=的解x = ．18、（黄浦区2018高三二模）已知函数2()(02)f x ax bx c a b =++<<对任意R x ∈恒有()0f x ≥成立，则代数式(1)(0)(1)f f f --的最小值是．19、（普陀区2018高三二模）若函数()f x =()g x ，则函数()g x 的零点为________.20、（松江、闵行区2018高三二模）若函数2()log (1)a f x x ax =-+(01)a a >≠且没有最小值，则a 的取值范围是 .21、（松江区2018高三上期末）已定义,(,),a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数(),()f x g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是 ▲ ．（写出所有真命题的序号） ① 若(),()f x g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数． ② 若(),()f x g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数． ③ 若(),()f x g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数． ④ 若(),()f x g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数．22、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知函数)(x f 是定义在R 上且周期为4的偶函数．当]4,2[∈x 时，⎪⎭⎫ ⎝⎛-=23log )(4x x f ，则⎪⎭⎫⎝⎛21f 的值为__________. 二、选择题1、（2018上海高考）设D 是含数1的有限实数集，f x （）是定义在D 上的函数，若f x （）的图像绕原点逆时针旋转π6后与原图像重合，则在以下各项中，1f （）的可能取值只能是（）（A （B ）2 （C ）3（D ）0 2、（浦东新区2018高三二模）设P 、Q 是R 上的两个非空子集，如果存在一个从P 到Q 的函数()y f x =满足：（1）{()|}Q f x x P =∈；（2）对任意12,x x P ∈，当12x x <时，恒有12()()f x f x <，那么称这两个集合构成“P Q →恒等态射”，以下集合可以构成“P Q →恒等态射”的是（） A. R →Z B. Z →Q C. [1,2](0,1)→ D. (1,2)→R3、（2016上海高考）设()f x 、()g x 、()h x 是定义域为R 的三个函数，对于命题：①若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数，则()f x 、()g x 、()h x 中至少有一个增函数；②若()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均是以T 为周期的函数，则()f x 、()g x 、()h x 均是以T为周期的函数，下列判断正确的是（）A 、①和②均为真命题B 、①和②均为假命题C 、①为真命题，②为假命题D 、①为假命题，②为真命题4、（宝山区2018高三上期末）若函数y f x (2)=-的图象与函数y log 2=的图象关于直线y x =对称，则f x ()= （）（A ）x 223- （B ）x 213- （C ）x23（D ）x 213+5、（奉贤区2018高三上期末）设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()1,0≠>+=a a b a x f x，若()f x 在R 上存在反函数，则下列结论正确是（）．A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或⎩⎨⎧≥-≤<<0110b b a 或C ．⎩⎨⎧-<<->121b a 或⎩⎨⎧-<<-<<5.0110b aD ．⎩⎨⎧-≤>21b a 或 ⎩⎨⎧<<-<<05.010b a6、（虹口区2018高三二模）下列函数是奇函数的是（） A. ()1f x x =+ B. ()sin cos f x x x =⋅ C. ()arccos f x x = D. 0()0x x f x x x >⎧=⎨-<⎩7、（静安区2018高三二模）已知函数3()10f x x x =++，实数1x 、2x 、3x 满足120x x +<，230x x +<，310x x +<，则123()()()f x f x f x ++的值（）A. 一定大于30B. 一定小于30C. 等于30D. 大于30、小于30都有可能8、（青浦区2018高三二模）已知函数()f x 是R 上的偶函数，对于任意x ∈R 都有(6)()(3)f x f x f +=+成立，当[]12,0,3x x ∈，且12x x ≠时，都有1212()()0f x f x x x ->-．给出以下三个命题：①直线6x =-是函数()f x 图像的一条对称轴； ②函数()f x 在区间[]9,6--上为增函数； ③函数()f x 在区间[]9,9-上有五个零点．问：以上命题中正确的个数有（）．（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个9、（杨浦区2018高三上期末）给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||2x y =；④arcsin y x =. 其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ②④10、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤=,121,22,210,2)(x x x x x f 且)()(1x f x f =，))(()(1x f f x f n n -=，,3,2,1=n …．则满足方程x x f n =)(的根的个数为……………………………（）．（A ）n 2个（B ）22n 个（C ）n2个（D ）)12(2-n个三、解答题1、崇明区2018高三上期末（一模））若存在常数k （k ＞0），使得对定义域D 内的任意x 1，x 2（x 1≠x 2），都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，则称函数f （x ）在其定义域 D 上是“k ﹣利普希兹条件函数”．（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，求常数k 的最小值；（2）判断函数f （x ）=log 2x 是否是“2﹣利普希兹条件函数”，若是，请证明，若不是，请说明理由；（3）若y=f （x ）（x ∈R ）是周期为2的“1﹣利普希兹条件函数”，证明：对任意的实数x 1，x 2，都有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．2、（奉贤区2018高三上期末）已知函数()()()x x x f --+=3log 3log 22 （1）判断函数的奇偶性；（2）()1sin =αf ，求α的值．3、（黄浦区2018高三二模）已知函数22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩(1) 求函数()f x 的反函数1()fx -；(2)试问:函数()f x 的图像上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若方程22()21|()21|240f x x f x x ax +-+----=的三个实数根123x x x 、、满足: 123x x x <<，且32212()x x x x -=-，求实数a 的值．4、（普陀区2018高三二模）定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的实数x ，存在非零常数t ，都有()()f x t tf x +=-成立.（1）若函数()3f x kx =+，求实数k 和t 的值；（2）当2t =时，若[0,2]x ∈，()(2)f x x x =-，求函数()f x 在闭区间[2,6]-上的值域；（3）设函数()f x 的值域为[,]a a -，证明：函数()f x 为周期函数.5、（青浦区2018高三二模）设函数()2()5f x ax a x=-+∈R ．（1）求函数的零点；（2）当3a =时，求证：()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）若对任意的正实数a ，总存在[]01,2x ∈，使得0()f x m ≥，求实数m 的取值范围．6、（青浦区2018高三上期末）对于定义在[)0,+∞上的函数()f x ，若函数()()y f x ax b =-+满足：①在区间[)0,+∞上单调递减，②存在常数p ，使其值域为(]0,p ，则称函数()g x ax b =+是函数()f x 的“逼进函数”．（1）判断函数()25g x x =+是不是函数22911()2x x f x x ++=+，[)0+x ∈∞，的“逼进函数”；（2）求证：函数1()2g x x =不是函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，[)0+x ∈∞，的“逼进函数”；（3）若()g x ax =是函数()f x x =+[0,)x ∈+∞的“逼进函数”，求a 的值．7、（松江区2018高三上期末）已知函数 ()1,(0af x x x=-≠,常数)a R ∈ . （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当0a >时，研究函数()f x 在(0,)x ∈+∞内的单调性.8、（杨浦区2018高三上期末）已知函数1()ln 1xf x x+=-的定义域为集合A ，集合(,1)B a a =+，且B A ⊆.（1）求实数a 的取值范围；（2）求证：函数()f x 是奇函数但不是偶函数.9、（长宁、嘉定区2018高三上期末）已知函数xx x f -+=22)(．（1）求证：函数)(x f 是偶函数；（2）设R ∈a ，求关于x 的函数)(22222x af y x x-+=-在),0[∞+∈x 时的值域)(a g 的表达式；（3）若关于x 的不等式12)(-+≤-m x mf x在),0(∞+∈x 时恒成立，求实数m 的取值范围．10、（崇明县2017届高三第一次模拟）设12()2x x af x b+-+=+（,a b 为实常数）．（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数；（2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ，都有2()33f x c c <-+成立？若存在试找出所有这样的D ；若不存在，请说明理由．11、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知函数21()(21x xa f x a ⋅-=+为实数) ．（1）根据a 的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围.参考答案：一、填空题1、72、8x =-3、2log (x 1)-4、[20)[4)-+∞，，5、126、1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7、－2 8、[2,2]- 9、[1,)-+∞ 10、1211、5m ≥- 12、1a ≥ 13、2 14、3 15、12n n a -=16、4 17、2 18、3 19、3x = 20、[)(0,1)2,+∞21、②③④ 22、21 二、选择题1、B2、D3、D4、C5、B6、B7、B8、B9、B 10、C 三、解答题1、解：（1）若函数f （x ）=，（1≤x ≤4）是“k ﹣利普希兹条件函数”，则对于定义域[1，4]上任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥=恒成立．∵1≤x 2＜x 1≤4，∴＜＜，∴k 的最小值为．（2）f （x ）=log 2x 的定义域为（0，+∞），令x 1=，x 2=，则f （）﹣f （）=log 2﹣log 2=﹣1﹣（﹣2）=1，而2|x 1﹣x 2|=，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞2|x 1﹣x 2|， ∴函数f （x ）=log 2x 不是“2﹣利普希兹条件函数”．证明：（3）设f （x ）的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[0，2]内f （a ）=M ，f （b ）=m ，则|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b ）≤|a ﹣b |．若|a ﹣b |≤1，显然有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤|a ﹣b |≤1．若|a ﹣b |＞1，不妨设a ＞b ，则0＜b +2﹣a ＜1，∴|f （x 1）﹣f （x 2）|≤M ﹣m=f （a ）﹣f （b +2）≤|a ﹣b ﹣2|＜1．综上，|f （x 1）﹣f （x 2）|≤1．2、解：（1）定义域()3,3- 3分关于原点对称 1分 ()()()()22log 3log 3f x x x f x -=-+-+=- 2分所以()f x 是奇函数 2分（2）()3sin 3sin 2sin log 1f ααα+-== 2分sin 1α= 2分 2,2k k Z παπ=+∈ 2分3、解 (1)22, 10,()=1, 0 1.x x f x x x --≤<⎧⎨-≤≤⎩∴当10x -≤<时，()2,0()2f x x f x =-<≤且.由2y x =-，得12x y =-，互换x y 与，可得11()(02)2f x x x -=-<≤. 当01x ≤≤时，2()1,()0f x x f x =-≤≤且-1.由21y x =-，得1+x y =，互换x y 与，可得1()1+(10)f x x x -=-≤≤.11, 0<2,2()1, 10.x x f x x x -⎧-≤⎪∴=⎨⎪+-≤≤⎩(2) 答函数图像上存在两点关于原点对称.设点00000(,)(01)(,)A x y x B x y <≤--、是函数图像上关于原点对称的点，则00()()0f x f x +-=，即200120x x -+=，解得001(1,)x x ==舍去，且满足01x <≤ .因此，函数图像上存在点1,2(12)A B -和关于原点对称. (3) 考察函数()y f x =与函数y =当12x -≤≤-时，有()f x ≥4240x ax ---=，解得 2+2x a =-，且由21+22a -≤-≤-，得02a ≤≤.当12x -<≤时，有()f x <240ax -=，化简得 22(4)40a x ax ++=，解得24=0+4a x x a =-，或(当02a ≤≤时，2404aa <-<+). 于是，123224,,024ax x x a a =-=-=++. 由32212()x x x x -=-，得22442=2(+)+442a a a a a -++，解得a =.因为312a --=<-，故32a --=不符合题意，舍去；022a -<=<，满足条件.因此，所求实数2a -=. 4、（1）由()()f x t tf x +=-得，()3(3)k x t t kx ++=-+对R x ∈恒成立，即()(3)30k kt x k t ++++=对R x ∈恒成立，则(1)0(3)300k t k t t +=⎧⎪++=⎨⎪≠⎩，……………………2分即01k t =⎧⎨=-⎩. ……………………………………………………………………………4分（2）当[0,2]x ∈时，2()(2)1(1)[0,1]f x x x x =-=--∈，……………………………2分当[2,0]x ∈-时，即2[0,2]x +∈，由(2)2()f x f x +=-得1()(2)2f x f x =-+，则1()[,0]2f x ∈-，……………………3分当[2,4]x ∈时，即2[0,2]x -∈，由(2)2()f x f x +=-得()2(2)f x f x =--，则()[2,0]f x ∈-， ……………………4分当[4,6]x ∈时，即2[2,4]x -∈，由()2(2)f x f x =--得()[0,4]f x ∈， …………………………………………………5分综上得函数()f x 在闭区间[0,6]上的值域为[2,4]-. ……………………………………6分（3）（证法一）由函数()f x 的值域为[,]a a -得，()f x t +的取值集合也为[,]a a -，当0t >时，()()[,]f x t tf x ta ta +=-∈-，则ta ata a-=-⎧⎨=⎩，即1t =.……………………2分由(1)()f x f x +=-得(2)(1)()f x f x f x +=-+=，则函数()f x 是以2为周期的函数. …………………………………………………………3分当0t <时，()()[,]f x t tf x ta ta +=-∈-，则ta ata a-=⎧⎨=-⎩，即1t =-.……………………5分即(1)()f x f x -=，则函数()f x 是以1为周期的函数.故满足条件的函数()f x 为周期函数. ………………………………………………………6分（证法二）由函数()f x 的值域为[,]a a -得，必存在0R x ∈，使得0()f x a =，当1t >时，对1t >，有00()()f x t tf x ta a +=-=-<-，对1t <-，有00()()f x t tf x ta a +=-=->，则1t >不可能；当01t <<时，即11t >，001()()f x f x t t=-+，由()f x 的值域为[,]a a -得，必存在0R x ∈，使得0()f x t a +=，仿上证法同样得01t <<也不可能，则必有1t = ，以下同证法一.5、解：（1）①当0a =时，函数的零点为25x =-； ②当2508a a ≥-≠且时，函数的零点是52x a ±=；③当258a <-时，函数无零点；（2）当3a =时，2()3+5f x x x =-，令2()3+5g x x x=- 任取12,(,1)x x ∈-∞-，且12x x <，则()211212121212()2322()()3535x x x x g x g x x x x x x x -+⎛⎫-=-+--+= ⎪⎝⎭因为12x x <，12,(,1)x x ∈-∞-，所以210x x ->，121x x >，从而()211212()230x x x x x x -+>即1212()()0()()g x g x g x g x ->⇒>故()g x 在区间(),1-∞-上的单调递减当(),1x ∈-∞-时，()()6,g x ∈+∞22()3+5=3+5()f x x x g x x x∴=--= 即当3a =时，()f x 在区间(),1-∞-上单调递减；（3）对任意的正实数a ，存在[]01,2x ∈使得0()f x m ≥，即0max ()f x m ≥，当()0,x ∈+∞时，25,02()+5255,2ax x x f x ax x ax x xa ⎧-+<<⎪⎪=-=⎨⎪-+-≥⎪⎩ 即()f x在区间50,2a ⎛+ ⎝⎭上单调递减，在区间⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增；所以{}{}0max ()max (1),(2)max 7,62f x f f a a ==--，又由于0a >，{}8max 7,623a a --≥，所以83m ≤．6、解：（1）229111()()(25)22x x y f x g x x x x ++=-=-+=++………………………2分即()()y f x g x =-在区间[)0,+∞上单调递减，……………………………………3分值域为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以()g x 是()f x 的“逼进函数”． ………………………………4分（2）11()()22xy f x g x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭在区间[)0,+∞上单调递减，取2x =，则13()()1044f xg x -=-=-<，不符合“存在常数p ，使其值域为(]0,p ”，所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………10分（3）2a =时，()g x ax =是函数()f x x =[0,)x ∈+∞的“逼近函数”．…………………………………………………………………………………………12分当2a <时，()()(1)(1)(2)f x g x a x a x a x -=->-=-，取22px a=-，此时222(2)2222p p p f g a p a a a ⎛⎫⎛⎫->-= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………14分当2a >时，()()(1)(1)(1)(2)1f x g x a x x a x a x -=-≤+--=-+，取22x a =-，此时222(2)11222p p f g a a a a ⎛⎫⎛⎫-≤-+=- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，所以()g x 不是()f x 的“逼进函数”． ……………………………………………16分当2a =时，()()f x g x x -==[)0,+∞上单调递减，值域为(]0,1，所以()g x 是()f x 的“逼进函数”． ………………………………18分（3）解法二：令()()(1)y f x g x a x =-=-，[)0,x ∈+∞对任意120x x ≤<，)1212(1)(1)y y a x a x ----12()(1)0x x a ⎡⎤⎥=---<⎥⎦及1a ->1<，所以2a ≥因为值域为(]0,1，即(1)0y a x =->在[)0,x ∈+∞恒成立当0x =时，a ∈R ，当0x >时，1a -<，即112a a -≤⇒≤ 综上：2a =又2a =时，符合值域为(]0,17、解：（1）当0=a 时，()1(0)f x x =≠，对任意(0)(0)x ∈-∞+∞，，，()1()f x f x -==， )(x f ∴为偶函数．………3分当0≠a 时，()0f a =，()2f a -= ……… ……… ………………4分 ()(),()()f a f a f a f a ∴-≠-≠- ……… ……… …………………5分 ∴ 函数)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数． ……… ……… ……………6分（2）0a >时，()f x 在(0,)x a ∈内单调递减，在[,)x a ∈+∞内单调递增．……8分此时，当(0,)x a ∈时，0x a << ，()1af x x=- ……… ……… ………10分由()ag x x=单调递减知()f x 单调递减 ……… ……… …………………11分当[,)x a ∈+∞时，0a x << ，()1af x x=- ……… ……… ……………13分由()ag x x =- 单调递增知()f x 单调递增 ……… ……… …………………14分8、解：（1）令101xx+>-，解得11x -<<，所以(1,1)A =-， ……3分因为B A ⊆，所以111a a ≥-⎧⎨+≤⎩，解得10a -≤≤，即实数a 的取值范围是[1,0]- ……6分（2）函数()f x 的定义域(1,1)A =-，定义域关于原点对称 ……8分1()()ln 1()x f x x ---=+-1111ln ln ln ()111x x x f x x x x -+--⎛⎫===-=- ⎪-++⎝⎭……12分而1()ln32f =，11()ln 23f -=，所以11()()22f f -≠ ……13分所以函数()f x 是奇函数但不是偶函数. ……14分 9、（1）函数)(x f 的定义域为R ，对任意R ∈x ，)(22)(x f x f x x=+=--，所以，函数)(x f 是偶函数． ………………………………………………（4分）（2）2)22(2)22()22(222222-+-+=+-+=----x x x x x x x xa a y ，………………（1分）令t xx=+-22，因为0≥x ，所以12≥x ，故2≥t ，原函数可化为222--=at t y ，),2[∞+∈t ，2)(22222---=--=a a t at t y 图像的对称轴为直线a t =，当2≤a 时，函数222--=at t y 在),2[∞+∈t 时是增函数，值域为),42[∞+-a ； …………………………………………………………（3分）当2>a 时，函数222--=at t y 在],2[a t ∈时是减函数，在),[∞+∈a t 时是增函数，值域为),2[2∞+--a ． ……………………………………………………………（5分）综上，⎩⎨⎧>∞+--≤∞+-=.2,),2[,2,),42[)(2a a a a a g （3）由12)(-+≤-m x mf x ，得12]1)([-≤--xx f m ， …………………………（1分）当0>x 时，12>x ，所以222)(>+=-xxx f ，所以011)(>>-x f ，所以，xx xx x x x x f m 21221122121)(122-+-=-+-=--≤---恒成立．……………………………（3分）令xt 21-=，则0<t ，1111)1(21221222-+=+-=+-=-+-tt t t t t t t x x x ，由0<t ，得21-≤+t t ，所以311-≤-+t t ，011131<-+≤-tt ． ………………（6分）所以，31-≤m ，即m 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛-∞-31,． …………………………………（7分）10、解：（1）证明：511212)1(2-=++-=f ，412121)1(=+-=-f ，所以)1()1(f f -≠-，所以)(x f 不是奇函数............................3分（2）)(x f 是奇函数时，)()(x f x f -=-，即bab a x x x x ++--=++-++--112222对定义域内任意实数x 都成立即0)2(2)42(2)2(2=-+⋅-+⋅-b a ab b a x x ，对定义域内任意实数x 都成立...........................................5分所以⎩⎨⎧=-=-042,02ab b a 所以⎩⎨⎧-=-=21b a 或⎩⎨⎧==21b a ．经检验都符合题意........................................8分（2）当⎩⎨⎧==21b a 时，121212212)(1++-=++-=+x x x x f ，因为02>x ，所以112>+x ，11210<+<x ，所以21)(21<<-x f .......................................10分而4343)23(3322≥+-=+-c c c 对任何实数c 成立；所以可取D =R 对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立........12分当⎩⎨⎧-=-=21b a 时，)0211212212)(1≠-+-=---=+x x f xx x （，所以当0>x 时，21)(-<x f ；当0<x 时，21)(>x f .............14分1）因此取),0(+∞=D ，对任何x 、c 属于D ，都有33)(2+-<c c x f 成立． 2）当0<c 时，3332>+-c c ，解不等式321121≤-+-x得：75log 2≤x ．所以取]75log ,(2-∞=D ，对任何属于D 的x 、c ，都有33)(2+-<c c x f 成立.....16分11、解：（1）函数)(x f y =的定义域为R ，且212()2112x xxxa a f x --⋅---==++ ……………2分 ①若)(x f y =是偶函数，则对任意的x 都有()()f x f x =- ，即 2122112x x x xa a ⋅--=++ 即2(1)1xa a +=+ ∴1a =- ……………3分 ②若)(x f y =是奇函数，则对任意的x 都有()()f x f x =-- ，即 2122112x x x xa a ⋅--=-++ 即2(1)1xa a -=- ∴1a = ……………4分 ∴当1a =-时，()f x 为偶函数，当1a =时，()f x 为奇函数，当1a ≠±时，()f x 既非偶函数也非奇函数 ……………6分（2）由()1f x ≥ 可得 2121x xa +≤⋅- 即 212x a ≤- ……………8分∵当 1x ≥时，122x y = 单调递减，其最大值为1 ∴2a ≥ ……………10分同理，由()3f x ≤ 可得 21323x xa ⋅-≤⋅+ 即 432x a -≤∵当 1x ≥时，142x y = 单调递减，且无限趋近于0，∴3a ≤……………13分∴23a ≤≤ ………………………14分。

【上海卷】2019年普通高等学校招生全国统一考试数学真题(含解析)

2019 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）
数学一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分）
1．（4 分）已知集合 A {1 ，2，3，4， 5}， B {3 ，5， 6} ，则 A B ．
2．（4
分）计算
lim
34.34
10030.70 35.67 8431.98 29.99
2013 31668.95 10729.34
33.88
11393.79 35.98 9545.81 30.14
2014 35312.40 11295.41
31.99
13437.75 38.05 10579.23 29.96
2015 40974.64 11992.65
D．两两异面
16．（5 分）以 (a1 ， 0) ， (a2 ， 0) 为圆心的两圆均过 (1, 0) ，与 y 轴正半轴分别交于 ( y1 ，
0)
， ( y2
， 0)
，且满足 lny1

lny2

0
，则点
1 ( a1
,
1 a2
)
的轨迹是
(
)
A．直线
B．圆
C．椭圆
D．双曲线
三、解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18＝76 分）
关于 x 轴对称，若有 F1PF2P„
1 ，则
F1P 与 F2Q 的夹角范围为．
12．（5 分）已知集合 A [t ， t 1][t 4 ， t 9] ， 0 A ，存在正数，使得对任意
a A ，都有 A ，则 t 的值是． a

高三数学高考大题专项训练全套（15个专项）（典型例题）（含答案）

⾼三数学⾼考⼤题专项训练全套（15个专项）（典型例题）（含答案）1、函数与导数（1）2、三⾓函数与解三⾓形3、函数与导数（2）4、⽴体⼏何5、数列（1）6、应⽤题7、解析⼏何8、数列（2）9、矩阵与变换10、坐标系与参数⽅程11、空间向量与⽴体⼏何12、曲线与⽅程、抛物线13、计数原理与⼆项式分布14、随机变量及其概率分布15、数学归纳法⾼考压轴⼤题突破练 (⼀)函数与导数(1)1．已知函数f (x )＝a e xx＋x .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线经过点(0，－1)，求a 的值；(2)是否存在负整数a ，使函数f (x )的极⼤值为正值？若存在，求出所有负整数a 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，∴f ′(1)＝1，f (1)＝a e ＋1.∴函数f (x )在(1，f (1))处的切线⽅程为 y －(a e ＋1)＝x －1，⼜直线过点(0，－1)，∴－1－(a e ＋1)＝－1，解得a ＝－1e.(2)若a <0，f ′(x )＝a e x (x －1)＋x 2x 2，当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0恒成⽴，函数在(－∞，0)上⽆极值；当x ∈(0,1)时，f ′(x )>0恒成⽴，函数在(0,1)上⽆极值．⽅法⼀当x ∈(1，＋∞)时，若f (x )在x 0处取得符合条件的极⼤值f (x 0)，则x 0>1，f (x 0)>0，f ′(x 0)＝0，则00000200201,e 0,e (1)0,x x x a x x a x x x ?> +> -+ = ?①②③由③得0e x a ＝－x 20x 0－1，代⼊②得－x 0x 0－1＋x 0>0，结合①可解得x 0>2，再由f (x 0)＝0e x a x ＋x 0>0，得a >－020e x x ，设h (x )＝－x 2e x ，则h ′(x )＝x (x －2)e x ，当x >2时，h ′(x )>0，即h (x )是增函数，∴a >h (x 0)>h (2)＝－4e2.⼜a <0，故当极⼤值为正数时，a ∈－4e 2，0，从⽽不存在负整数a 满⾜条件．⽅法⼆当x ∈(1，＋∞)时，令H (x )＝a e x (x －1)＋x 2，则H ′(x )＝(a e x ＋2)x ，∵x ∈(1，＋∞)，∴e x ∈(e ，＋∞)，∵a 为负整数，∴a ≤－1，∴a e x ≤a e ≤－e ，∴a e x ＋2<0，∴H ′(x )<0，∴H (x )在(1，＋∞)上单调递减．⼜H (1)＝1>0，H (2)＝a e 2＋4≤－e 2＋4<0，∴?x 0∈(1,2)，使得H (x 0)＝0，且当10，即f ′(x )>0；当x >x 0时，H (x )<0，即f ′(x )<0.∴f (x )在x 0处取得极⼤值f (x 0)＝0e x a x ＋x 0.(*)⼜H (x 0)＝0e x a (x 0－1)＋x 20＝0，∴00e x a x ＝－x 0x 0－1，代⼊(*)得f (x 0)＝－x 0x 0－1＋x 0＝x 0(x 0－2)x 0－1<0，∴不存在负整数a 满⾜条件．2．已知f (x )＝ax 3－3x 2＋1(a >0)，定义h (x )＝max{f (x )，g (x )}＝f (x )，f (x )≥g (x )，g (x )，f (x )(1)求函数f (x )的极值；(2)若g (x )＝xf ′(x )，且?x ∈[1,2]使h (x )＝f (x )，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，∴f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0或x 2＝2a ，∵a >0，∴x 1当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极⼤值为f (0)＝1，极⼩值为f 2a ＝8a 2－12a 2＋1＝1－4a 2. (2)g (x )＝xf ′(x )＝3ax 3－6x 2，∵?x ∈[1,2]，使h (x )＝f (x )，∴f (x )≥g (x )在[1,2]上有解，即ax 3－3x 2＋1≥3ax 3－6x 2在[1,2]上有解，即不等式2a ≤1x 3＋3x在[1,2]上有解，设y ＝1x 3＋3x ＝3x 2＋1x3(x ∈[1,2])，∵y ′＝－3x 2－3x 4<0对x ∈[1,2]恒成⽴，∴y ＝1x 3＋3x 在[1,2]上单调递减，∴当x ＝1时，y ＝1x 3＋3x 的最⼤值为4，∴2a ≤4，即a ≤2.⾼考中档⼤题规范练 (⼀)三⾓函数与解三⾓形1．(2017·江苏宿迁中学质检)已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋sin x ＋π4sin x －π4，x ∈R . (1)求f (x )的最⼩正周期和值域；(2)若x ＝x 00≤x 0≤π2为f (x )的⼀个零点，求sin 2x 0的值．解 (1)易得f (x )＝sin 2x ＋3sin 2x ＋12(sin 2x －cos 2x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x －12cos 2x ＝3sin 2x －cos 2x ＋12＝2sin 2x －π6＋12，所以f (x )的最⼩正周期为π，值域为－32，52. (2)由f (x 0)＝2sin 2x 0－π6＋12＝0，得 sin 2x 0－π6＝－14<0，⼜由0≤x 0≤π2，得－π6≤2x 0－π6≤5π6，所以－π6≤2x 0－π6<0，故cos 2x 0－π6＝154，此时sin 2x 0＝sin 2x 0－π6＋π6 ＝sin 2x 0－π6cos π6＋cos 2x 0－π6sin π6 ＝－14×32＋154×12＝15－38.2．(2017·江苏南通四模)已知向量m ＝sin x 2，1，n ＝1，3cos x2，函数f (x )＝m ·n . (1)求函数f (x )的最⼩正周期；(2)若f α－2π3＝23，求f 2α＋π3的值．解 (1)f (x )＝m ·n ＝sin x 2＋3cos x2＝212sin x 2＋32cos x2＝2sin x 2cos π3＋cos x 2sin π3 ＝2sin x 2＋π3，所以函数f (x )的最⼩正周期为T ＝2π12＝4π.(2)由f α－2π3＝23，得2sin α2＝23，即sin α2＝13. 所以f 2α＋π3＝2sin α＋π2＝2cos α＝2?1－2sin 2α2＝149. 3．(2017·江苏南师⼤考前模拟)已知△ABC 为锐⾓三⾓形，向量m ＝cos A ＋π3，sin A ＋π3，n ＝(cos B ，sin B )，并且m ⊥n . (1)求A －B ；(2)若cos B ＝35，AC ＝8，求BC 的长．解 (1)因为m ⊥n ，所以m ·n ＝cos A ＋π3cos B ＋sinA ＋π3sin B＝cosA ＋π3－B ＝0. 因为0所以A ＋π3－B ＝π2，即A －B ＝π6.(2)因为cos B ＝35，B ∈0，π2，所以sin B ＝45，所以sin A ＝sin B ＋π6＝sin B cos π6＋cos B sin π6 ＝45×32＋35×12＝43＋310，由正弦定理可得BC ＝sin A sin B×AC ＝43＋3.4．(2017·江苏镇江三模)在△ABC 中，⾓A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B . (1)求⾓A ；(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间．解 (1)由(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B 及正弦定理，得(a －c )(a ＋c )＝(b －3c )b ，即a 2＝b 2＋c 2－3bc . 由余弦定理，得cos A ＝32，因为06.(2)f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A ) ＝cos 2x ＋π6－sin 2x －π6 ＝1＋cos 2x ＋π32－1－cos ?2x －π32＝12cos 2x ，令π＋2k π≤2x ≤2π＋2k π，k ∈Z ，得π2＋k π≤x ≤π＋k π，k ∈Z . 则f (x )的单调增区间为π2＋k π，π＋k π，k ∈Z .(⼆)函数与导数(2)1．设函数f (x )＝2(a ＋1)x (a ∈R )，g (x )＝ln x ＋bx (b ∈R )，直线y ＝x ＋1是曲线y ＝f (x )的⼀条切线． (1)求a 的值；(2)若函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点x 1，x 2. ①试求b 的取值范围；②证明：g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.解 (1)设直线y ＝x ＋1与函数y ＝f (x )的图象相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝x 0＋1，y 0＝2(a ＋1)x 0，a ＋1x 0＝1，解得a ＝0. (2)记h (x )＝f (x )－g (x )，则h (x )＝2x －ln x －bx .①函数y ＝f (x )－g (x )有两个极值点的必要条件是h ′(x )有两个正零点． h ′(x )＝1x －1x－b ＝－bx ＋x －1x ，令h ′(x )＝0，得bx －x ＋1＝0(x >0)．令x ＝t ，则t >0.问题转化为bt 2－t ＋1＝0有两个不等的正实根t 1，t 2，等价于Δ＝1－4b >0，t 1t 2＝1b >0，t 1＋t 2＝1b>0，解得04.当04时，设h ′(x )＝0的两正根为x 1，x 2，且x 1则h ′(x )＝－bx ＋x －1x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x ＝－b (x －x 1)(x －x 2)x (x ＋x 1)(x ＋x 2).当x ∈(0，x 1)时，h ′(x )<0；当x ∈(x 1，x 2)时，h ′(x )>0；当x ∈(x 2，＋∞)时，h ′(x )<0.所以x 1，x 2是h (x )＝f (x )－g (x )的极值点，∴b 的取值范围是0，14. ②由①知x 1x 2＝x 1＋x 2＝1 b.可得g (x 1)＋g (x 2)＝－2ln b ＋1b －2，f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)＝12－b ln b －b .记k (b )＝12－b ln b －b 0令k ′(b )＝0，得b ＝1e 2∈0，14，且当b ∈0，1e 2时，k ′(b )>0，k (b )单调递增；当b ∈1e 2，14时，k ′(b )<0，k (b )单调递减，且当b ＝1e 2时，k (b )取最⼤值1e 2＋12，所以g (x 1)＋g (x 2)f (x 1)＋f (x 2)≤1e 2＋12.2．设函数f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x .(1)当b ＝0，c ＝1时，讨论函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6且函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1解 (1)f (x )＝2ax ＋bx＋c ln x ，x >0，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2＋cx －bx 2.当b ＝0，c ＝1时，f ′(x )＝2ax ＋1x. 当a ≥0时，由x >0，得f ′(x )＝2ax ＋1x >0恒成⽴，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当a <0时，令f ′(x )＝2ax ＋1x >0，解得x <－12a ；令f ′(x )＝2ax ＋1x <0，解得x >－12a，所以，函数f (x )在0，－12a 上单调递增，在－12a ，＋∞上单调递减．综上所述，①当a ≥0时，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增；②当a <0时，函数f (x )在? 0，－12a上单调递增，在－12a ，＋∞上单调递减． (2)①函数f (x )在x ＝1处的切线为y ＝3x ＋3a －6，所以f (1)＝2a ＋b ＝3a －3，f ′(1)＝2a ＋c －b ＝3，所以b ＝a －3，c ＝－a ，f ′(x )＝2a －b x 2＋c x ＝2ax 2－ax ＋3－ax 2，函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，x 1则⽅程2ax 2－ax ＋3－a ＝0有两个⼤于0的解，Δ＝(－a )2－8a (3－a )>0，a 2a >0，3－a2a >0，解得83所以a 的取值范围是83，3. ②2ax 22－ax 2＋3－a ＝0， x 2＝a ＋9a 2－24a 4a ＝141＋9－24a ，由832x 22－x 2－1.f (x 2)＝2ax 2＋a －3x 2－a ln x 2＝a 2x 2＋1x 2－ln x 2－3x 2 ＝－32x 2＋1x 2－ln x 22x 22－x 2－1－3x 2. 设φ(t )＝－32t ＋1t －ln t2t 2－t －1－3t，t ∈14，12，φ′(t )＝－32－1t 2－1t (2t 2－t －1)－2t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t2 ＝－31t 2(2t 2－t －1)2＋32t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2＋3t 2＝32t ＋1t －ln t (4t －1)(2t 2－t －1)2. 当t ∈14，12时，2t ＋1t－ln t >0,4t －1>0，φ′(t )>0，所以φ(t )在14，12上单调递增，φ(t )∈163ln 2，3＋3ln 2，所以f (x 2)的取值范围是163ln 2，3＋3ln 2. (⼆)⽴体⼏何1．(2017·江苏扬州调研)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底⾯ABCD 为梯形，CD ∥AB ，AB ＝2CD ，AC 交BD 于O ，锐⾓△P AD 所在平⾯⊥底⾯ABCD ，P A ⊥BD ，点Q 在侧棱PC 上，且PQ ＝2QC .求证：(1)P A ∥平⾯QBD ； (2)BD ⊥AD .证明 (1)如图，连结OQ ，因为AB ∥CD ，AB ＝2CD ，所以AO ＝2OC . ⼜PQ ＝2QC ，所以P A ∥OQ . ⼜OQ ?平⾯QBD ，P A ?平⾯QBD ，所以P A ∥平⾯QBD .(2)在平⾯P AD 内过P 作PH ⊥AD 于点H ，因为侧⾯P AD ⊥底⾯ABCD ，平⾯P AD ∩平⾯ABCD ＝AD ，PH ?平⾯P AD ，所以PH ⊥平⾯ABCD .⼜BD ?平⾯ABCD ，所以PH ⊥BD .⼜P A ⊥BD ，P A ∩PH ＝P ，所以BD ⊥平⾯P AD . ⼜AD ?平⾯P AD ，所以BD ⊥AD .2．如图，在四棱锥P －ABCD 中，底⾯ABCD 是正⽅形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底⾯ABCD ，E 为PB 上⼀点，G 为PO 的中点．(1)若PD∥平⾯ACE，求证：E为PB的中点；(2)若AB＝2PC，求证：CG⊥平⾯PBD.证明(1)连结OE，由四边形ABCD是正⽅形知，O为BD的中点，因为PD∥平⾯ACE，PD?平⾯PBD，平⾯PBD∩平⾯ACE＝OE，所以PD∥OE. 因为O为BD的中点，所以E为PB的中点．(2)在四棱锥P－ABCD中，AB＝2PC，因为四边形ABCD是正⽅形，所以OC＝22AB，所以PC＝OC.因为G为PO的中点，所以CG⊥PO.⼜因为PC⊥底⾯ABCD，BD?底⾯ABCD，所以PC⊥BD.⽽四边形ABCD是正⽅形，所以AC⊥BD，因为AC，PC?平⾯P AC，AC∩PC＝C，所以BD⊥平⾯P AC，因为CG?平⾯P AC，所以BD⊥CG.因为PO，BD?平⾯PBD，PO∩BD＝O，所以CG⊥平⾯PBD.3．(2017·江苏怀仁中学模拟)如图，在四棱锥E－ABCD中，△ABD为正三⾓形，EB＝ED，CB＝CD.(1)求证：EC⊥BD；(2)若AB⊥BC，M，N分别为线段AE，AB的中点，求证：平⾯DMN∥平⾯BCE.证明(1)取BD的中点O，连结EO，CO.∵CD＝CB，EB＝ED，∴CO⊥BD，EO⊥BD.⼜CO∩EO＝O，CO，EO?平⾯EOC，∴BD⊥平⾯EOC.⼜EC?平⾯EOC，∴BD⊥EC.(2)∵N是AB的中点，△ABD为正三⾓形，∴DN⊥AB，∵BC⊥AB，∴DN∥BC.⼜BC?平⾯BCE，DN?平⾯BCE，∴DN∥平⾯BCE.∵M为AE的中点，N为AB的中点，∴MN∥BE，⼜MN?平⾯BCE，BE?平⾯BCE，∴MN∥平⾯BCE.∵MN∩DN＝N，∴平⾯DMN∥平⾯BCE.4．(2017·江苏楚⽔中学质检)如图，在三棱锥P－ABC中，点E，F分别是棱PC，AC的中点．(1)求证：P A∥平⾯BEF；(2)若平⾯P AB⊥平⾯ABC，PB⊥BC，求证：BC⊥P A.证明(1)在△P AC中，E，F分别是棱PC，AC的中点，所以P A∥EF.⼜P A?平⾯BEF，EF?平⾯BEF，所以P A∥平⾯BEF.(2)在平⾯P AB内过点P作PD⊥AB，垂⾜为D.因为平⾯P AB ⊥平⾯ABC ，平⾯P AB ∩平⾯ABC ＝AB ，PD ?平⾯P AB ，所以PD ⊥平⾯ABC ，因为BC ?平⾯ABC ，所以PD ⊥BC ，⼜PB ⊥BC ，PD ∩PB ＝P ，PD ?平⾯P AB ，PB ?平⾯P AB ，所以BC ⊥平⾯P AB ，⼜P A ?平⾯P AB ，所以BC ⊥P A .(三)数列(1)1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝4，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知c n ＝2n ＋3(n ∈N *)，记d n ＝c n ＋log C a n (C >0且C ≠1)，是否存在这样的常数C ，使得数列{d n }是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由．(3)若数列{b n }，对于任意的正整数n ，均有b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1＝12n －n ＋22成⽴，求证：数列{b n }是等差数列． (1)解 a 1＝4－a 1，所以a 1＝2，由S n ＋a n ＝4，得当n ≥2时，S n －1＋a n －1＝4，两式相减，得2a n ＝a n －1，所以a n a n －1＝12，数列{a n }是以2为⾸项，公⽐为12的等⽐数列，所以a n ＝22－n (n ∈N *)．(2)解由于数列{d n }是常数列， d n ＝c n ＋log C a n ＝2n ＋3＋(2－n )log C 2 ＝2n ＋3＋2log C 2－n log C 2＝(2－log C 2)n ＋3＋2log C 2为常数，则2－log C 2＝0，解得C ＝2，此时d n ＝7.(3)证明 b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n a 1 ＝12n －n ＋22，①当n ＝1时，b 1a 1＝12－32＝－1，其中a 1＝2，所以b 1＝－12.当n ≥2时，b 1a n －1＋b 2a n －2＋b 3a n －3＋…＋b n －1a 1＝12n －1－n ＋12，②②式两边同时乘以12，得b 1a n ＋b 2a n －1＋b 3a n －2＋…＋b n －1a 2＝12n －n ＋14，③由①－③，得b n a 1＝－n －34，所以b n ＝－n 8－38(n ∈N *，n ≥2)，且b n ＋1－b n ＝－18，⼜b 1＝－12＝－18－38，所以数列{b n }是以－12为⾸项，公差为－18的等差数列．2．在数列{a n }中，已知a 1＝13，a n ＋1＝13a n －23n ＋1，n ∈N *，设S n 为{a n }的前n 项和．(1)求证：数列{3n a n }是等差数列； (2)求S n ；(3)是否存在正整数p ，q ，r (p ""(1)证明因为a n ＋1＝13a n －23n ＋1，所以3n ＋1a n ＋1－3n a n ＝－2.⼜因为a 1＝13，所以31·a 1＝1，所以{3n a n }是⾸项为1，公差为－2的等差数列． (2)解由(1)知3n a n ＝1＋(n －1)·(－2)＝3－2n ，所以a n ＝(3－2n )13n ，所以S n ＝1·131＋(－1)·132＋(－3)·133＋…＋(3－2n )·13n ，所以13S n ＝1·132＋(－1)·133＋…＋(5－2n )·13n ＋(3－2n )·13n ＋1，两式相减，得23S n ＝13－2132＋133＋…＋13n －(3－2n )·13n ＋1＝13－219×1－13n －11－13＋(2n －3)·13n ＋1＝2n ·13n ＋1，所以S n ＝n3n .(3)解假设存在正整数p ，q ，r (p ""3q ＝p 3p ＋r 3r. 当n ≥2时，a n ＝(3－2n )13n<0，所以数列{S n }单调递减．⼜p ""①当q ≥3时，p 3p ≥q －13q －1≥2q 3q ，⼜r 3r >0，所以p 3p ＋r 3r >2q3q ，等式不成⽴．②当q ＝2时，p ＝1，所以49＝13＋r 3r ，所以r 3r ＝19，所以r ＝3({S n }单调递减，解惟⼀确定)．综上可知，p ，q ，r 的值为1,2,3.(三)应⽤题1．已知某⾷品⼚需要定期购买⾷品配料，该⼚每天需要⾷品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需⽀付运费236元．每次购买来的配料还需⽀付保管费⽤，其标准如下：7天以内(含7天)，⽆论重量多少，均按10元/天⽀付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克⽀付．(1)当9天购买⼀次配料时，求该⼚⽤于配料的保管费⽤P 是多少元？(2)设该⼚x 天购买⼀次配料，求该⼚在这x 天中⽤于配料的总费⽤y (元)关于x 的函数关系式，并求该⼚多少天购买⼀次配料才能使平均每天⽀付的费⽤最少？解 (1)当9天购买⼀次时，该⼚⽤于配料的保管费⽤ P ＝70＋0.03×200×(1＋2)＝88(元)．。

上海市2019届高考数学一轮复习专题突破训练立体几何理

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练立体几何一、填空、选择题1、（2019年上海高考）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．2、（2019年上海高考）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为（结果用反三角函数值表示）.3、（2019年上海高考）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________4、（静安、青浦、宝山区2019届高三二模）已知扇形的圆心角是1弧度，半径为5cm ，则此扇形的弧长为 cm ．5、（闵行区2019届高三二模）如图，已知直线l ⊥平面α，垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===点P 是边AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为 () (A) 2. (B) 1+6、（浦东新区2019届高三二模）已知球的表面积为64π2cm ，用一个平面截球，使截面圆的半径为2cm ，则截面与球心的距离是 cm .7、（普陀区2019届高三二模）一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为8、（徐汇、松江、金山区2019届高三二模）如图所示：在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，1AB BC BB ==,则平面11A B C 与平面ABC 所成的二面角的大小为ABlCαPO9、（长宁、嘉定区2019届高三二模）在四棱锥ABCD V -中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11CD AB 的体积与四棱锥ABCD V -的体积之比为………………（）A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:1 10、（奉贤区2019届高三上期末）如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为11、（黄浦区2019届高三上期末）已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是12、（金山区2019届高三上期末）如图所示，在长方体ABCD –EFGH 中，AD=2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF=∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为12，那么点M 到平面EFGH 的距离是 ▲13、（浦东区2019届高三上期末）如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .14、（松江区2019届高三上期末）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为 ▲ （结果用反三角函数表示）．PABCD E15、（宝山区2019届高三上期末）正四棱锥ABCD P 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于ECDPAB二、解答题 1、（2019年上海高考）如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=1，AB=AD=2，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，证明A 1、C 1、F 、E 四点共面，并求直线CD1与平面A 1C 1FE 所成的角的大小．2、（2019年上海高考）底面边长为2的正三棱锥-P ABC ，其表面展开图是三角形123PP P ，如图. 求123P P P △的各边长及此三棱锥的体积V .P 123、（2019年上海高考）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC的距离.C 11A4、（静安、青浦、宝山区2019届高三二模）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，已知21===AB BC AA ，AB ⊥BC ．（1）求四棱锥111A BCC B -的体积；（2）求二面角111C C A B --的大小．5、（闵行区2019届高三二模）如图，已知圆锥的底面半径为10r =，点Q 为半圆弧AB 的中点，点P 为母线SA 的中点．若直线PQ 与SO 所成的角为4π，求此圆锥的表面积．6、（浦东新区2019届高三二模）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面正方形ABCD 的边长为2， ⊥PA 底面ABCD , E 为BC 的中点，PC 与平面PAD 所成的角为22arctan．（1）求异面直线AE 与PD 所成角的大小（结果用反三角函数表示）；（2）求点B 到平面PCD 的距离．A1A 1BD 1A B 17、（徐汇、松江、金山区2019届高三二模）如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 的中点．现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上的一点，且2BOC π∠=．（1）求该圆锥的全面积；（2）求异面直线AO 与CD 所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）8、（长宁、嘉定区2019届高三二模）如图，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，⊥PD 平面ABCD ，2==AD PD ，︒=∠60BAD ，E 为BC 的中点．（1）求证：⊥ED 平面PAD ；（2）求平面PAD 与平面PBC 所成的锐二面角大小的余弦值．9、（青浦区2019届高三上期末）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值；（2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .E P AC DB10、（松江区2019届高三上期末）沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。

沪教版(上海)高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之线性规划②

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学一轮复习其他系列之线性规划②在有限的人力、有限的设备、有限的物资等条件下，如何获得最大的效益，这就需要进行规划.反应在数学上，就是要在某种约束条件下，寻求目标函数的最优解.线性规划是一种比较简单的规划，具有广泛的应用. 教学目标1. 会用二元一次不等式表示平面区域，解决简单的问题；2. 初步掌握简单的线性规划问题的解法；知识梳理 1. 线性规划的概念线性规划是指在线性约束条件下求目标函数的最值，这里的线性约束条件是指 2. 可行解满足线性约束条件的解(,)x y 叫做可行解. 3. 可行域所有可行解表示的平面区域称为可行域，画可行域的方法是“直线定界，特殊点定域”. 4. 简单线性规划的图解法用图解法解简单的线性规划可分为三个步骤：（1）画出可行域；（2）作出目标函数的等值线；（3）求出最值；典例精讲【例题讲解中要注意：1.不要直接画出可行域，要动手与学生一起或让学生单独画出可行域；2.要讲清楚目标函数的最值为什么可以转化为截距的最值问题.】例1. (★★★)在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为（）A ．2B ．1C ．12 D ．14分析：将x y +和x y -看成整体，设u x yv x y =+⎧⎨=-⎩，由题意列出关于,u v的约束条件，画出区域求面积即可．解：令u x y v x y =+⎧⎨=-⎩，∴100u u v u v ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩，作出区域是等腰直角三角形，可求出面积1212s =⨯⨯. 选B.例2. (★★★)在平面直角坐标系中，若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+010101x y ax y x (a 为常数)所表示的平面区域的面积为2，则a的值为( ).A 、-5B 、1C 、2D 、3【本题属于含参数的线性规划问题，有一定难度.】解：可行域如图，根据约束条件先作出1010x y x +-≥-≤与所表示的平面区域，然后再去处理含参数的二元一次不等式10ax y -+=，即1y ax =+，则直线恒过(0,1)A ，假设1y ax =+所表示的直线为L ，与1x =交于C ，过A 作BC 垂线交BC 于D ，由ABC ∆的面积为2，则4BC =，所以(1,4)C ，因为C 在L 上，于是由41a =+,得3a =，则选D.例3. (★★★)将甲、乙两种长短不同的钢管截成A 、B 、C 三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：A 规格B 规格C 规格甲种钢管 2 1 1 乙种钢管123现在需要A 、B 、C 三种规格的钢管分别为13、16、18根，问应分别截甲、乙两种钢管各多少根，才能使材料利用率最高？解：设截甲、乙两种钢管分别为x 根、y 根，z x y =+，依题意得xyA BCDLx+y-1=0x=1图52213316418,*.x y x y x y x y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩ 作可行域，由图知，当直线x y z +=过点A 时，z 为最小.由418,316x y x y +=⎧⎨+=⎩得3811,4611x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以点3846(,).1111A 因为,*x y N ∈，在可行域内与点A 邻近的整点有(4,4),(4,5).显然(4,4)是最优解，且min 8z =.故分别截取甲、乙两种钢管各4根，才能使材料利用率最高. 【（1）解线性规划应用题的一般步骤：① 设出未知数；② 列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际含义及计量单位的统一）； ③ 建立目标函数； ④ 求最优解．（2）若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整．】课堂检测1. (★★)已知实数,x y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则其围成的平面区域的面积为（）A ．8 B.4 C.2 D.1 【画出约束条件表示的可行域，然后求出可行域的面积即可．】解：因为实数,x y 满足约束条件110x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，所以它表示的可行域为：则其围成的平面区域的面积为：1212s =⨯⨯；故选D ． 2. (★★)已知实数x 、y 满足条件490103x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则3x y -的最大值为________.解：-13.(★★★)某班举行晚会，布置会场要制作“中国结”，班长购买了甲、乙两种颜色不同的彩绳，把它们截成A、B、C三种规格.甲种彩绳每根8元，乙种彩绳每根6元，已知每根彩绳可同时截得三种规格彩绳的根数如下表所示：A规格B规格C规格甲种彩绳 2 1 1乙种彩绳 1 2 3今需要A、B、C三种规格的彩绳各15、18、27根，问各截这两种彩绳多少根，可得所需三种规格彩绳且花费最少？解：设需购买甲种彩绳x根、乙种彩绳y根，共花费z元,则215218,327,x yx yx yx y N+≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪∈⎩且86z x y=+.作可行域，由图可知，直线l经过可行域内的点A时，z最小.由215,327x yx y+=⎧⎨+=⎩得3.6,7.8xy=⎧⎨=⎩所以点(3.6,7.8)A.因为,x y N∈，在可行域内与点A邻近的整点有(3,9),(4,8).显然(3,9)是最优解，且min 78z=.答：班长应购买3根甲种彩绳、9根乙种彩绳，可使花费最少.回顾总结1.解线性规划应用题的一般步骤：①设出变量，找出约束条件和线性目标函数；②利用图像在约束条件下找出变量使目标函数达到最大或最小.2.若实际问题要求的最优解是整数解,而我们利用图解法得到的解为非整数解(近似解),应作适当的调整.。

2019年上海市高三数学一模分类汇编：数列与极限

1（2019崇明一模）. 计算：20lim31n n n →∞+=+1（2019虹口一模）. 计算：153lim 54n nnn n +→∞-=+ 2（2019闵行一模）. 2221lim 331n n n n →∞-=++ 3（2019金山一模）. 计算：21lim32n n n →∞-=+4（2019黄浦一模）. 记等差数列{}n a ()n ∈*N 的前n 项和为n S ，若51a =，则9S = 4（2019松江一模）. 已知等差数列{}n a 的前10项和为30，则14710a a a a +++=4（2019徐汇一模）. 若数列{}n a 的通项公式为2111n na n n=+（n ∈*N ），则lim n n a →∞= 5（2019闵行一模）. 等比数列{}n a 中，121a a +=，5616a a +=，则910a a +=6（2019浦东一模）. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S . 若936S =，则348a a a ++=6（2019静安一模）. 在数列{}n a 中，11a =，且{}n a 是公比为13的等比数列，设13521n n T a a a a -=+++⋅⋅⋅+，则lim n n T →∞= ()n ∈*N6（2019徐汇一模）. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，(3,1)n =是l 的一个法向量，已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点1(,)n n a a +均在l 上，若26a =，则3a 的值为7（2019杨浦一模）. 在无穷等比数列{}n a 中，121lim()2n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=，则1a 的取值范围是7（2019青浦一模）. 已知无穷等比数列{}n a 各项的和为4，则首项1a 的取值范围是 7（2019宝山一模）. 如果无穷等比数列{}n a 所有奇数项的和等于所有项和的3倍，则公比q =7（2019静安一模）. 某用人单位为鼓励员工爱岗敬业，在分配方案中规定：年度考核合格的员工，从下一年一月份开始在上一年平均月工资收入基础上增加7%作为新一年的月工资收入，假如某员工自2004年一月以来一直在该单位供职，且同一年内月工资收入相同，2004年的月工资收入为5000元，则2019年一月该员工的月工资收入为元（结果保留两位小数）9（2019金山一模）. 无穷等比数列{}n a 各项和S 的值为2，公比0q <，则首项1a 的取值范围是10（2019黄浦一模）. 已知数列{}n a ()n ∈*N ，若11a =，11()2n n n a a ++=，则2lim n n a →∞=10（2019青浦一模）. 设等差数列{}n a 满足11a =，0n a >，其前n 项和为n S ，若数列也为等差数列，则102limn n nS a +→∞=10（2019普陀一模）. 某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010年每月的基础工资为2100元，绩效工资为2000元，从2011年起每月基础工资比上一年增加210元，绩效工资为上一年的110%，照此推算，此人2019年的年薪为万元（结果精确到0.1）11（2019浦东一模）. 已知数列{}n a 满足：211007(1)2018(1)n n n na n a n a ++=-++()n ∈*N ，11a =，22a =，若1limn n na A a +→∞=，则A =11（2019长嘉一模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112n n na a ++=，若数列{}n S 收敛于常数A ，则首项1a 取值的集合为12（2019杨浦一模）. 设d 为等差数列{}n a 的公差，数列{}n b 的前n 项和n T ，满足1(1)2n n n nT b +=-（n ∈*N ），且52d a b ==，若实数23{|}k k k m P x a x a -+∈=<<（k ∈*N ，3k ≥），则称m 具有性质k P ，若n H 是数列{}n T 的前n 项和，对任意的n ∈*N ，21n H -都具有性质k P ，则所有满足条件的k 的值为12（2019崇明一模）. 已知数列{}n a 满足：①10a =；②对任意的n ∈*N ，都有1n n a a +>成立.函数1()|sin ()|n n f x x a n=-，1[,]n n x a a +∈满足：对于任意的实数[0,1)m ∈，()n f x m = 总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是12（2019宝山一模）. 如果等差数列{}n a 、{}n b 的公差都为d （0d ≠），若满足对于任意n ∈*N ，都有n n b a kd -= ，其中k 为常数，k ∈*N ，则称它们互为“同宗”数列，已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差2d =，数列{}n b 为数列{}n a 的“同宗”数列，若11221111lim()3n n n a b a b a b →∞++⋅⋅⋅+=，则k = 12（2019闵行一模）. 若无穷数列{}n a 满足：10a ≥，当n ∈*N ，2n ≥时，1121||max{,,,}n n n a a a a a ---=⋅⋅⋅（其中121max{,,,}n a a a -⋅⋅⋅表示121,,,n a a a -⋅⋅⋅中的最大项），有以下结论：① 若数列{}n a 是常数列，则0n a =（n ∈*N ）； ② 若数列{}n a 是公差0d ≠的等差数列，则0d <；③ 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，则1q >；④ 若存在正整数T ，对任意n ∈*N ，都有n T n a a +=，则1a 是数列{}n a 的最大项. 则其中的正确结论是（写出所有正确结论的序号）15（2019奉贤一模）. 各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim 3n n n n nS a S a →∞-<+，则q 的取值范围是（）A. (0,1)B. (2,)+∞C. (0,1](2,)+∞ D. (0,2)16（2019奉贤一模）. 若三个非零且互不相等的实数1x 、2x 、3x 成等差数列且满足123112x x x +=，则称1x 、2x 、3x 成“β等差数列”，已知集合{|||100,}M x x x =≤∈Z ，则由M 中的三个元素组成的所有数列中，“β等差数列”的个数为（） A. 25 B. 50 C. 51 D. 10016（2019徐汇一模）. 已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S ，若对任意的n ∈*N ，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（） A. 2 B.53 C. 32D. 43 19（2019松江一模）. 某科技创新公司投资400万元研发了一款网络产品，产品上线第1个月的收入为40万元，预计在今后若干个月内，该产品每月的收入平均比上一月增长50%，同时，该产品第1个月的维护费支出为100万元，以后每月的维护费支出平均比上一个月增加50万元.（1）分别求出第6个月该产品的收入和维护费支出，并判断第6个月该产品的收入是否足够支付第6个月的维护费支出？（2）从第几个月起，该产品的总收入首次超过总支出？（总支出包括维护费支出和研发投资支出）20（2019普陀一模）. 设数列{}n a 满足135a =，132n n n a a a +=+（n ∈*N ）.（1）求2a 、3a 的值；（2）求证：1{1}n a -是等比数列，并求12111lim()n n n a a a →∞++⋅⋅⋅+-的值；（3）记{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在正整数k ，使得对于任意的n （n ∈*N 且2n ≥）均有n S k ≥成立？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.21（2019宝山一模）. 如果数列{}n a 对任意n ∈*N ，都有2n n a a d +-=，其中d 为常数，则称数列{}n a 是“间等差数列”，d 为“间公差”，若数列{}n a 满足1235n n a a n ++=-，n ∈*N ，1a a =（a ∈R ）.（1）求证：数列{}n a 是“间等差数列”，并求间公差d ；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若n S 的最小值为153-，求实数a 的取值范围；（3）类似地：非零数列{}n b 对任意n ∈*N ，都有2n nb q b +=，其中q 为常数，则称数列{}n b 是“间等比数列”，q 为“间公比”，已知数列{}nc 中，满足1c k =（0k ≠，k ∈Z ），1112018()2n n n c c -+=⋅，n ∈*N ，试问数列{}n c 是否为“间等比数列”，若是，求最大的整数k 使得对于任意n ∈*N ，都有1n n c c +>，若不是，说明理由.21（2019奉贤一模）. 若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得数列{}n a 的前n 项和n m S a =，则称数列{}n a 是“回归数列”.（1）前n 项和为2n n S =的数列{}n a 是否是“回归数列”？并请说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“回归数列”，求d 的值；（3）是否对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“回归数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ （n ∈*N ）成立，请给出你的结论，并说明理由.21（2019金山一模）. 在等差数列{}n a 中，13515a a a ++=，611a =. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意m ∈*N ，将数列{}n a 中落入区间121(2,2)m m ++内的项的个数记为{}m b ，记数列{}m b 的前m 项和为m S ，求使得2018m S >的最小整数m ；（3）若n ∈*N ，使不等式1111(21)n n n n a n a a a λ+++≤+≤+成立，求实数λ的取值范围.21（2019黄浦一模）. 给定整数n (4)n ≥，设集合12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，记集合{|,,1}i j i j B a a a a A i j n =+∈≤≤≤.（1）若{3,0,1,2}A =-，求集合B ；（2）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅构成以1a 为首项，d (0)d >为公差的等差数列，求证：集合B 中的元素个数为21n -；（3）若12,,,n a a a ⋅⋅⋅构成以3为首项，3为公比的等比数列，求集合B 中元素的个数及所有元素之和.21（2019徐汇一模）. 已知项数为0n （04n ≥）项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：①11a =，0n a m =（m 为正整数）；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =⋅⋅⋅；③任取数列{}n a 中的两项p a 、q a （p q ≠），剩下的02n -项中一定存在两项s a 、t a （s t ≠），满足p q s t a a a a +=+，则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中123,,d d d ∈*N ，求证：14d ≥，22d ≥，34d ≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.21（2019闵行一模）. 对于数列{}n a ，若存在正数p ，使得1n n a pa +≤对任意n ∈*N 都成立，则称数列{}n a 为“拟等比数列”.（1）已知0a >，0b >，且a b >，若数列{}n a 和{}n b 满足：12a ba +=，1b =12n n n a b a ++=，1n b +=()n ∈*N ； ① 若11a =，求1b 的取值范围；② 求证：数列{}n n a b -()n ∈*N 是“拟等比数列”；（2）已知等差数列{}n c 的首项为1c ，公差为d ，前n 项和为n S ，若10c >，40350S >，40360S <，且{}n c 是“拟等比数列”，求p 的取值范围. （请用1c ，d 表示）21（2019松江一模）. 对于给定数列{}n a ，若数列{}n b 满足：对任意n ∈*N ，都有11()()0n n n n a b a b ++--<，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“相伴数列”.（1）若n n n b a c =+，且数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试写出{}n c 的一个通项公式，并说明理由；（2）设21n a n =-，证明：不存在等差数列{}n b ，使得数列{}n b 是{}n a 的“相伴数列”；（3）设12n n a -=，1n n b b q -=⋅（其中0q <），若{}n b 是{}n a 的“相伴数列”，试分析实数b 、q 的取值应满足的条件.21（2019崇明一模）. 已知数列{}n a 、{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，11n n n a b S +=+（n ∈*N ）.（1）若11a =，2n nb =，求4a 的值；（2）若{}n a 是公比为q （1q ≠）的等比数列，求证：数列1{}1n b q+-为等比数列；（3）若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a 、3a 、⋅⋅⋅、n a 、⋅⋅⋅ 成等差数列的充要条件是12d =.21（2019虹口一模）. 对于n ()n ∈*N 个实数构成的集合12{,,}n E e e e =，记12E n S e e e =+++. 已知由n ()n ∈*N 个正整数构成的集合12{,,,}n A a a a =12(,3)n a a a n <<<≥满足：对于任意不大于A S 的正整数m ，均存在集合A 的一个子集，使得该子集的所有元素之和等于m . （1）试求1a 、2a 的值；（2）求证：“1a 、2a 、、n a 成等差数列”的充要条件是“1(1)2A S n n =+”；（3）若2018A S =，求证：n 的最小值为11；并求n 取得最小值时，n a 的最大值.21（2019杨浦一模）. 记无穷数列{}n a 的前n 项中最大值为n M ，最小值为n m ，令2n nn M m b +=，n ∈*N . （1）若2cos 2n n n a π=+，请写出3b 的值；（2）求证：“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等差数列”的充要条件；（3）若对任意n ，有||2018n a <，且||1n b =，请问：是否存在K ∈*N ，使得对于任意不小于K 的正整数n ，有1n n b b +=成立？请说明理由.21（2019长嘉一模）. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，2a a =. （1）若数列{}n a 是等差数列，且815a =，求实数a 的值；（2）若数列{}n a 满足22n n a a +-=（n *∈N ），且191019S a =，求证：{}n a 是等差数列；（3）设数列{}n a 是等比数列，试探究当正实数a 满足什么条件时，数列{}n a 具有如下性质M ：对于任意的2n ≥（n *∈N ），都存在m *∈N ，使得1()()0m n m n S a S a +--<，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数a 的集合.21（2019浦东一模）. 已知平面直角坐标系xOy ，在x 轴的正半轴上，依次取点123,,,,n A A A A （n ∈*N ），并在第一象限内的抛物线232y x =上依次取点123,,,,n B B B B （n ∈*N ），使得1k k k A B A -△（k ∈*N ）都为等边三角形，其中0A 为坐标原点，设第n 个三角形的边长为()f n .（1）求(1)f ，(2)f ，并猜想()f n ；（不要求证明）（2）令9()8n a f n =-，记m t 为数列{}n a 中落在区间2(9,9)m m 内的项的个数，设数列{}m t 的前m 项和为m S ，试问是否存在实数λ，使得2m S λ≤对任意m ∈*N 恒成立？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，说明理由；（3）已知数列{}n b满足：1b =1n b +=，数列{}n c 满足：11c =，1n nc +=1()2n n n b f c π+<<.21（2019青浦一模）. 若存在常数k （k ∈*N ，2k ≥）、c 、d ，使得无穷数列{}n a 满足1n n nn a d ka n ca k +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩**N N ，则称数列{}n a 为“Γ数列”，已知数列{}n b 为“Γ数列”. （1）若数列{}n b 中，11b =，3k =，4d =，0c =，试求2019b 的值；（2）若数列{}n b 中，12b =，4k =，2d =，1c =，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式43n n S λ≤⋅对n ∈*N 恒成立，求实数λ的取值范围；（3）若{}n b 为等比数列，且首项为b ，试写出所有满足条件的{}n b ，并说明理由.21（2019静安一模）. 将n 个数1a 、2a 、⋅⋅⋅、n a 的连乘积123n a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅记为1nii a=∏，将n 个数1a 、2a 、⋅⋅⋅、n a 的和12n a a a ++⋅⋅⋅+记为1ni i a =∑()n ∈*N .（1）若数列{}n x 满足11x =，21n nn x x x +=+，设111nn i iP x ==+∏，111nn i i S x ==+∑，求55P S +；（2）用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[2]2=，[3.4]3=，[ 1.8]2-=-，若数列{}n x 满足11x =，21n nn x x x +=+，求20191[]1ii ix x =+∑的值；（3）设定义在正整数集*N 上的函数()f n 满足：当(1)(1)22m m m m n -+<≤()m ∈*N 时， ()f n m =，问是否存在正整数n ，使得1()2019ni f i ==∑若存在，求出n 的值；若不存在，说明理由. （已知21(1)(21)6ni n n n i =++=∑，例如1821181********i i =⨯⨯==∑）。

2019高考一轮复习——上海市各地市11年试题分类大汇编第3部分函数与导数共14页文档

上海市各地市2019-2019学年下学期高考数学最新试题分类大汇编：第3部分函数与导数一、选择题：1．(上海市十三校2019年高三第二次联考理科) “函数)(x f 在],[b a 上为单调函数”是“函数)(x f 在],[b a 上有最大值和最小值”的（ A ）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）非充分非必要条件2．(上海市闵行区2019届高三下学期质量调研文科)设函数141()log ()4xf x x =-、2141()log ()4x f x x =-的零点分别为12x x 、，则[答]（ D ）(A) 122x x ≥. (B) 1212x x <<. (C) 121x x =. (D) 1201x x <<.3. (上海市杨浦区2019年4月高三模拟理科)已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x xx ax a x f a 是),(+∞-∞上的增函数，那么a 的取值范围是 ……………………………( D )(A) (1，+∞) ； (B) (0，3)； (C) （1，3）； (D) [32，3）． 4. (上海市卢湾区2019年4月高考模拟理科)已知234101()1234101x x x x f x x =+-+-+⋅⋅⋅+，234101()1234101x x x x g x x =-+-+-⋅⋅⋅-，若函数()f x 有唯一零点1x ，函数()g x 有唯一零点2x ，则有（ B ）A ．12(0,1),(1,2)x x ∈∈B ．12(1,0),(1,2)x x ∈-∈C ．12(0,1),(0,1)x x ∈∈D ．12(1,0),(0,1)x x ∈-∈二、填空题：5．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)函数()f x =是．[10)(0)，，-??6．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．21log (1)y x x =+?7．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题理科)已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= 1 ．8．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题文科)函数()f x =是．[10)(0)，，-?? 9．(上海市黄浦区2019年4月高考二模试题文科)已知函数1()y fx -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．21log (1)y x x =+?10．(上海市十校2019-2019学年第二学期高三第二次联考理科)函数22()log (43)log (2)f x x x =---的定义域是___ ．3(,2)411．(上海市十校2019-2019学年第二学期高三第二次联考理科)已知函数21(0)()log (0)x a x f x x x ⎧++≤=⎨>⎩有三个不同零点，则实数a 的取值范围为．[1,0)- 12、(上海市虹口区2019-2019学年第二学期高三教学质量测试理科)关于x 的方程0922=-++a x a x （R a ∈）有唯一的实数根，则=a 3 ．13、(上海市虹口区2019-2019学年第二学期高三教学质量测试理科)定义在R 上的偶函数)(x f ，对任意的R x ∈均有)()4(x f x f =+成立，当]2,0[∈x 时，3)(+=x x f ，则直线29=y 与函数)(x f y =的图像交点中最近两点的距离等于 1 ． 14. (上海市五校2019年联合教学调研理科设f x ()的反函数为1()fx -，若函数f x ()的图像过点(1,2)，且1211fx ()-+=，则x = 。

2019年人教版上海高考数学复习卷(含答案)(2)Word版

数学复习卷(理)(附参考答案)班级姓名学号内容：第三轮复习高考模拟卷V 满分150分时间 120分钟一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．１．为虚数单位，复数的虚部是＿＿＿＿．2．设函数若函数存在两个零点，则实数的取值范围是＿＿．3上的点，则线段4.阅读如右图所示的程序框图，如果输入的程序，输出的5．若，则方程6，，点分别在线段上运动，且，设与交于点，则点的轨迹方程是＿＿＿．7．年龄在350人，他其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基代表“不健康，但生活能够自理”，-1代表“生活不能自理”.按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位.则被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率是_____（用分数作答）.8．已知数列{}的通项公式为，则+++的最简表达式为_____. 9．平面的斜线交于点，过定点的动直线与垂直，且交于点，则动点的轨迹是_________________.10．祖暅原理对平面图形也成立，即夹在两条平行线间的两个平面图形被任意一条平行于这两条直线的直线截得的线段总相等，则这两个平面图形面积相等.利用这个结论解答问题：函数、与直线所围成的图形的面积为_______.11．对于任意正整数，定义“n的双阶乘n!!”如下：对于n是偶数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……6×4×2；对于n是奇数时，n!!=n·(n－2)·(n－4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数不是5．正确的命题是________．12．已知关于t的一元二次方程.当方程有实根时，则t的取值范围______.13．已知是内部一点，，记、、的面积分别为、、，则________.14.在平面直角坐标系中，对于任意相邻三点都不共线的有序整点列（整点即横纵坐标都是整数的点）：与：，其中，若同时满足：①两点列的起点和终点分别相同；②线段，其中，则称与互为正交点列.开始结束输入n输出ni=0n是奇数n=3n+1i<3i=i+12nn是否则：的正交点列为二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知集合，则集合的非空真子集数为（）（A）14 （B）512 （C）511 （D）51016．已知函数.若存在，使成立，则称为函数的一个“生成点”.函数的“生成点”共有（）（Ａ）1个（Ｂ）2个（Ｃ）3个（Ｄ）4个17.如图，梯形中，,,,,将沿对角线折起．设折起后点的位置为，使二面角为直二面角.给出下面四个命题：①；②三棱锥的体积为；③平面；④平面平面.其中正确命题的序号是( )（A）①②（B）③④（C）①③（D）②④18．已知动点在椭圆上，为椭圆的右焦点，若点满足且，则的最小值为（）（Ａ）（Ｂ）3 （Ｃ）（Ｄ）1三、解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4厘米的圆柱的内切球为.（1）求球的体积和表面积；（2）与底面距离为1的平面和球的截面圆为，是圆内的一条弦，其长为，求两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分6分. 如图，设椭圆两顶点，短轴长为4，焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点．设直线与直线交于点.（1）求椭圆的方程；（2）求线段中点的轨迹方程；（3）求证：点的横坐标为定值.22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分2分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 数列满足,且，是的前和. （1）求；（2）求；（3）求.23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数，为常数，且.（1）证明函数的图象关于直线对称；（2）当时，讨论方程解的个数；（3）若满足，但，则称为函数的二阶周期点，则是否有两个二阶周期点，说明理由.参考答案与评分标准（理科）1、；2、；3、2；4、5；5、或；6、；7、3/5；8、；9、直线；10、1；11、①②③；12、；13、1：2：3；14、DBBA19．设南、北门分别为点A、B，东、西建筑物分别为点C、D.在中，，. 5分由于为的外接圆直径，所以.所以广场直径约为41.63米. 12分20．（1），……3分……6分（2），……12分所以AB两点间的球面距离为.……14分21．（1）椭圆方程为. ……3分（2）设，，，则①，②①②得，……5分因，所以，即（）.……8分用代入法求解酌情给分。

【上海卷】2019年普通高等学校招生全国统一考试数学真题(Word版,含解析)

2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则AB = ．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ ．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为． 4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为． 5．（4分）设i 为虚数单位,365z i i -=+,则||z 的值为 6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩,当方程有无穷多解时,a 的值为． 7．（5分）在6(x+的展开式中,常数项等于．8．（5分）在ABC ∆中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB = ． 9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有种（结果用数值表示）10．（5分）如图,已知正方形OABC ,其中(1)OA a a =>,函数23y x =交BC 于点P ,函数12y x -=交AB 于点Q ,当||||AQ CP +最小时,则a 的值为．11．（5分）在椭圆22142x y +=上任意一点P ,Q 与P 关于x 轴对称,若有121F P F P …,则1F P 与2F Q 的夹角范围为．12．（5分）已知集合[A t =,1][4t t ++,9]t +,0A ∉,存在正数λ,使得对任意a A ∈,都有A aλ∈,则t 的值是．二、选择题（本大题共4题,每题5分,共20分） 13．（5分）下列函数中,值域为[0,)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =14．（5分）已知a 、b R ∈,则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直,直线a 、b 、c 满足：a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面16．（5分）以1(a ,0),2(a ,0)为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于1(y ,0),2(y ,0),且满足120lny lny +=,则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线三、解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图,在正三棱锥P ABC -中,2,PA PB PC AB BC AC =====．（1）若PB 的中点为M ,BC 的中点为N ,求AC 与MN 的夹角；（2）求P ABC -的体积．18．（14分）已知数列{}n a ,13a =,前n 项和为n S ．（1）若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S ；（2）若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围．19．（14分）改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出,如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e -=+研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程24y x =,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF 与抛物线的交点,定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时,求()d P ；（2）证明：存在常数a ,使得2()||d P PF a =+；（3）1P ,2P ,3P 为抛物线准线上三点,且1223||||PP P P =,判断13()()d P d P +与22()d P 的关系． 21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足s i n ()n n b a =,集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==,求集合S ；（2）若12a π=,求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分） 1．（4分）已知集合{1A =,2,3,4,5},{3B =,5,6},则A B = {3,5} ．【解答】解：集合{1A =,2,3,4,5}, {3B =,5,6}, {3AB ∴=,5}．故答案为：{3,5}．2．（4分）计算22231lim 41n n n n n →∞-+=-+ 2 ．【解答】解：2222312231lim lim 241411n n n n n n n n n n→∞→∞-+-+==-+-+．故答案为：2．3．（4分）不等式|1|5x +<的解集为 (6,4)- ．【解答】解：由|1|5x +<得515x -<+<,即64x -<< 故答案为：{6-,4)．4．（4分）函数2()(0)f x x x =>的反函数为1()0)f x x -=> ．【解答】解：由2(0)y x x =>解得x =, 1()0)f x x -∴=>故答案为1f -()0)x x =>5．（4分）设i 为虚数单位,365z i i -=+,则||z 的值为【解答】解：由365z i i -=+,得366z i =+,即22z i =+, ||||z z ∴===故答案为：6．（4分）已知22214x y x a y a +=-⎧⎨+=⎩,当方程有无穷多解时,a 的值为 2- ．【解答】解：由题意,可知：方程有无穷多解,∴可对①2⨯,得：442x y +=-．再与②式比较,可得：2a =-．故答案为：2-． 7．（5分）在6(x+的展开式中,常数项等于 15 ．【解答】解：6(x+展开式的通项为36216r r r T C x-+=令3902r -=得2r =, 故展开式的常数项为第3项：2615C =．故答案为：15．8．（5分）在ABC ∆中,3AC =,3sin 2sin A B =,且1cos 4C =,则AB【解答】解：3sin 2sin A B =,∴由正弦定理可得：32BC AC =, ∴由3AC =,可得：2BC =,1cos 4C =, ∴由余弦定理可得：2221324232AB +--=⨯⨯,∴解得：AB =．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行,某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动,其中甲连续参加2天,其他人各参加1天,则不同的安排方法有 24 种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里,连续的2天,一共有4种,剩下的3人排列,故有33424A =种, 故答案为：24．10．（5分）如图,已知正方形OABC ,其中(1)OA a a =>,函数23y x =交BC 于点P ,函数12y x -=交AB 于点Q ,当||||AQ CP +最小时,则a【解答】解：由题意得：P点坐标为,)a,Q点坐标为(a,||||AQ CP+=,当且仅当a=,取最小值,11．（5分）在椭圆22142x y+=上任意一点P,Q与P关于x轴对称,若有121F P F P…,则1F P与2F Q的夹角范围为1[arccos3π-,]π．【解答】解：设(,)P x y,则Q点(,)x y-,椭圆22142x y+=的焦点坐标为(,0),0),121F P F P…,2221x y∴-+…,结合22142x y+=可得：2[1y∈,2]故1F P与2F Q的夹角θ满足：222122212238cos3[122(F P F Q yy yF P F Q xθ-====-+∈-++,1]3-故1[arccos3θπ∈-,]π故答案为：1[arccos3π-,]π12．（5分）已知集合[A t=,1][4t t++,9]t+,0A∉,存在正数λ,使得对任意a A∈,都有A aλ∈,则t 的值是 1或3- ．【解答】解：当0t >时,当[a t ∈,1]t +时,则[4t aλ∈+,9]t +,当[4a t ∈+,9]t +时,则[t aλ∈,1]t +,即当a t =时,9t a λ+…；当9a t =+时,t a λ…,即(9)t t λ=+；当1a t =+时,4t a λ+…,当4a t =+时,1t a λ+…,即(1)(4)t t λ=++,(9)(1)(4)t t t t ∴+=++,解得1t =．当104t t +<<+时,当[a t ∈,1]t +时,则[t aλ∈,1]t +．当[4a t ∈+,9]t +,则[4t aλ∈+,9]t +,即当a t =时,1t aλ+…,当1a t =+时,t a λ…,即(1)t t λ=+,即当4a t =+时,9t a λ+…,当9a t =+时,4t a λ+…,即(4)(9)t t λ=++,(1)(4)(9)t t t t ∴+=++,解得3t =-．当90t +<时,同理可得无解．综上,t 的值为1或3-．故答案为：1或3-．二、选择题（本大题共4题,每题5分,共20分） 13．（5分）下列函数中,值域为[0,)+∞的是( ) A ．2xy =B ．12y x =C ．tan y x =D ．cos y x =【解答】解：A ,2x y =的值域为(0,)+∞,故A 错B ,y =的定义域为[0,)+∞,值域也是[0,)+∞,故B 正确．C ,tan y x =的值域为(,)-∞+∞,故C 错D ,cos y x =的值域为[1-,1]+,故D 错．故选：B ．14．（5分）已知a 、b R ∈,则“22a b >”是“||||a b >”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：22a b >等价,22||||a b >,得“||||a b >”,∴ “22a b >”是“||||a b >”的充要条件,故选：C ．15．（5分）已知平面α、β、γ两两垂直,直线a 、b 、c 满足：a α⊆,b β⊆,c γ⊆,则直线a 、b 、c 不可能满足以下哪种关系( ) A ．两两垂直B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【解答】解：如图1,可得a 、b 、c 可能两两垂直；如图2,可得a 、b 、c 可能两两相交；如图3,可得a 、b 、c 可能两两异面；故选：B ．16．（5分）以1(a ,0),2(a ,0)为圆心的两圆均过(1,0),与y 轴正半轴分别交于1(y ,0),2(y ,0),且满足120lny lny +=,则点1211(,)a a 的轨迹是( ) A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【解答】解：因为11|1|r a =-=则21112y a =-,同理可得22212y a =-, 又因为120lny lny +=, 所以121y y =, 则12(12)(12)1a a --=, 即12122a a a a =+, 则12112a a +=,设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则2x y +=为直线,故选：A ．三、解答题（本大题共5题,共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图,在正三棱锥P ABC -中,2,PA PB PC AB BC AC =====．（1）若PB 的中点为M ,BC 的中点为N ,求AC 与MN 的夹角；（2）求P ABC -的体积．【解答】解：（1）M ,N 分别为PB ,BC 的中点,//MN PC ∴, 则PCA ∠为AC 与MN 所成角, 在PAC ∆中,由2PA PC ==,AC ,可得222cos 2PC AC PA PCA PC AC +-∠==,AC ∴与MN的夹角为；（2）过P 作底面垂线,垂直为O ,则O 为底面三角形的中心, 连接AO 并延长,交BC 于N ,则32AN =,213AO AN ==．PO ∴==．∴11333224P ABC V -=⨯=．18．（14分）已知数列{}n a ,13a =,前n 项和为n S ．（1）若{}n a 为等差数列,且415a =,求n S ；（2）若{}n a 为等比数列,且lim 12n n S →∞<,求公比q 的取值范围．【解答】解：（1）4133315a a d d =+=+=,4d ∴=, 2(1)3422n n n S n n n -∴=+⨯=+；（2）3(1)1n n q S q -=-,lim n n S →∞存在,11q ∴-<<,∴lim n n S →∞存在,11q ∴-<<且0q ≠,∴3(1)3lim lim 11n n n n q S q q→∞→∞-==--, ∴3121q <-,34q ∴<,10q ∴-<<或304q <<, ∴公比q 的取值范围为(1-,0)(0⋃,3)4．19．（14分）改革开放40年,我国卫生事业取得巨大成就,卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出,如表为2012年2015-年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设1t =表示1978年,第n 年卫生总费用与年份t 之间拟合函数 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-=+研究函数()f t 的单调性,并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少,社会支出占比逐渐增多．（2） 6.44200.1136t y e -=是减函数,且 6.44200.11360t y e -=>, 6.44200.1136357876.6053()1tf t e-∴=+在N 上单调递增, 令6.44200.1136357876.60531200001te ->+,解得50.68t >,∴当51t …时,我国卫生总费用超过12万亿,∴预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程24y x =,F 为焦点,P 为抛物线准线上一点,Q 为线段PF 与抛物线的交点,定义：||()||PF d P FQ =．（1）当8(1,)3P --时,求()d P ；（2）证明：存在常数a ,使得2()||d P PF a =+；（3）1P ,2P ,3P 为抛物线准线上三点,且1223||||PP P P =,判断13()()d P d P +与22()d P 的关系．【解答】解：（1）抛物线方程24y x =的焦点(1,0)F ,8(1,)3P --,84323PFk ==,PF 的方程为4(1)3y x =-,代入抛物线的方程,解得14Q x =, 抛物线的准线方程为1x =-,可得10||3PF ==, 15||144QF =+=,||8()||3PF d P QF ==；（2）证明：当(1,0)P -时,2()||2222a d P PF =-=⨯-=, 设(1,)P P y -,0P y >,:1PF x my =+,则2P my =-,联立1x my =+和24y x =,可得2440y my --=,2Q y m ==+2()||22(22P P Q y d P PF y m m -==+ 2122m +-=-=,则存在常数a ,使得2()||d P PF a =+；（3）设11(1,)P y -,22(1,)P y -,33(1,)P y -,则1321322[()()]4()||||2||d P d p d P PF P F P F +-=+-==,由221313[()16]28y y y y -++=-,2222221313131313(4)(4(4)4()84()0y y y y y y y y y y ++-+=+-=->,则132()()2()d P d P d P +>．21．（18分）已知等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足s i n ()n n b a =,集合{}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3a d π==,求集合S ；（2）若12a π=,求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=,T 是不超过7的正整数,求T 的所有可能的值．【解答】解：（1）等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合{}*|,n S x x b n N ==∈．∴当120,3a d π==,集合{S =．（2）12a π=,数列{}n b 满足sin()n n b a =,集合{}*|,n S x x b n N ==∈恰好有两个元素,如图：根据三角函数线,①等差数列{}n a 的终边落在y 轴的正负半轴上时,集合S 恰好有两个元素,此时d π=,②1a 终边落在OA 上,要使得集合S 恰好有两个元素,可以使2a ,3a 的终边关于y 轴对称,如图OB ,OC ,此时23d π=, 综上,23d π=或者d π=．（3）①当3T =时,3n n b b +=,集合1{S b =,2b ,3}b ,符合题意． ②当4T =时,4n nb b +=,sin(4)sin n na d a +=,42n n a d a k π+=+,或者42n n a d k a π+=-,等差数列{}n a 的公差(0d ∈,]π,故42n n a d a k π+=+,2k d π=,又1k ∴=,2 当1k =时满足条件,此时{S =-,1,1}-．③当5T =时,5n n b b +=,sin(5)sin n n a d a +=,52n n a d a k π+=+,或者52n n a d k a π+=-,因为(0d ∈,]π,故1k =,2．当1k =时,{sin10S π=,1,sin}10π-满足题意． ④当6T =时,6n n b b +=,sin(6)sin n n a d a +=,所以62n n a d a k π+=+或者62n n a d k a π+=-,(0d ∈,]π,故1k =,2,3．当1k =时,S =,满足题意． ⑤当7T =时,7n n b b +=,sin(7)sin sin n n n a d a a +==,所以72n n a d a k π+=+,或者72n n a d k a π+=-,(0d ∈,]π,故1k =,2,3当1k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=,227d m n ππ==-,7m n -=,7m >,不符合条件．当2k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=,247d m n ππ==-,m n -不是整数,不符合条件．当3k =时,因为17~b b 对应着3个正弦值,故必有一个正弦值对应着3个点,必然有2m n a a π-=或者4π,267d m n ππ==-,或者467d m n ππ==-,此时,m n -均不是整数,不符合题意．综上,3T ,4,5,6．。

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上海市2019届高三数学一轮复习典型题专项训练
框图、极限
一、极限
1、（2018上海高考）设等比数列{n a }的通项公式为a n =q n-1（n ∈N*），前n 项和为S n 。

若n 1
S 1lim 2n n a →∞+=，
则q=____________
2、（2017上海高考）在数列{}n a 中，1
()2
n
n a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞
（）
A. 等于12-
B. 等于0
C. 等于1
2
D. 不存在 3、（2016上海高考）已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞
→lim .下列条件中，使得()
*∈<N n S S n 2恒成立的是（）
（A ）7.06.0,01<<>q a （B ）6.07.0,01-<<-<q a （C ）8.07.0,01<<>q a （D ）7.08.0,01-<<-<q a
4、（宝山区2018高三上期末）n n
n
n
n lim 5757→∞-=+ ． 5、（崇明区2018高三上期末（一模））若无穷等比数列{a n }的各项和为S n ，首项 a 1=1，公
比为a ﹣，且
S n =a ，则a= ．
6、（金山区2018高三二模）计算：1111
lim[()]2482n n →∞+++⋯+= ．
7、（浦东新区2018高三二模）21
lim
1
n n n →+∞+=- 8、（青浦区2018高三二模）若已知极限sin lim
0n n n →∞=，则3sin lim sin 2n n n
n n
→∞--的值为（）．
（A ）3-
（B ）32
-
（C ）1-
（D ）12
-
9、（松江、闵行区2018高三二模）已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*
n ∈N ，{}n a 的前
n 项和为n S ，则lim
n
n n
S n a →∞=⋅ .
10、（松江区2018高三上期末）计算：2lim
31
n n
n →∞=- ▲ ．
11、（杨浦区2018高三上期末）计算1
lim(1)n n
→∞-的结果是
12、（长宁、嘉定区2018高三上期末）=+-+∞→1
31
3lim 1
n n n _____________. 13、（宝山区2018高三二模）设无穷等比数列{}
n a 的公比为q ，若n n a lim a a a 245()→∞
=+++L ，
则q = ．
14、（崇明区2018高三二模）若二项式7
(2)a x x
+
的展开式中一次项的系数是70-，则23lim()n n a a a a →∞
+++⋅⋅⋅+=
15、（杨浦区2018高三二模）计算：2lim
41
n n
n →∞=+
16、（长宁、嘉定区2018高三二模）已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则2lim
n
n
n
S a =____________．.
二、框图
1、（静安区2018高三二模）秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》
中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为（在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=）
2、（松江区2018高三上期末）右图是一个算法的程序框图，当输入值x 为8时，则其
输出的结果是 ▲ .
3、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）执行如图所示的程序框图，若输入1n =的，则输出S = ．
4、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）按下图所示的程序框图运算：若输入17=x ，则输出的x 值是 ▲ ．
5、（宝山区2016届高三上学期期末）.如图，该程序运行后输出的结果为……（）（A）1（B）2（C）4（D）16
宝山区嘉定6、（嘉定区2016届高三上学期期末）某程序框图如右上图所示，则该程序运行后
输出的S值是_____________．
7、（青浦区2016届高三上学期期末）执行如图所示的程序框图，输出结果为
青浦区松江
8、（松江区2016届高三上学期期末）如右上图所示的程序框图，输出的结果是▲
9、（杨浦区2016届高三上学期期末）执行如右图所示的流程图，则输出的S的值为_______
参考答案：一、极限
1、3
2、B
3、B
4、－1
5、2
6、1
7、2
8、D
9、
1
2
10、23
11、3 12、31 13、512
－ 14、13- 15、1
2 16、41
二、框图
1、50
2、2
3、3log 19S =
4、143
5、D
6、20162015
7、1008
2017 8、15 9、2017
1008。