高中数学中的“对称图形”题型及解法浅探
高考数学对称轴题型
高考数学对称轴题型
高考数学中的对称轴题型主要涉及到图形的对称性和对称轴的概念。
在这些题型中，通常会给出一个图形，要求找出该图形的对称轴及相关的性质。
对称轴是指一个线段，将一个图形分成两个完全相同的部分。
对称轴可以是水平的、垂直的或者斜的，取决于图形的形状和对称性质。
在解题时，我们需要观察图形的特点，找出这个对称轴。
为了解释这个概念，我们可以拿一个简单的例子来说明。
假设有一个正方形图形，它的四条边长度相等，四个角也相等。
正方形具有对称性，可以通过一根垂直于正方形底边的线作为对称轴。
这根线将正方形分成了两个完全对称的部分，即左边和右边是相同的。
在解对称轴题型时，我们可以通过以下步骤来进行：
1. 观察图形的形状和特点，判断是否具有对称性。
2. 如果图形具有对称性，确定对称轴的位置和方向。
3. 根据对称轴的性质，找出图形中的对称点和对称线段。
4. 通过对称点和对称线段的关系，解决题目中要求的问题。
需要注意的是，在解题过程中要仔细观察图形，尤其是边界和角点的位置，以确
保准确找出对称轴。
此外，对于复杂的图形，可能存在多个对称轴，我们需要找出所有的对称轴并进行分析。
以上是对高考数学中对称轴题型的解释和解题思路。
希望能帮助你更好地理解和应对这类题型。
高考数学 专题05 解析几何中的对称解法(解析版)
专题05 解析几何中的对称解法一．【学习目标】1.掌握点关于直线，直线关于直线，曲线关于点，曲线关于直线的对称2.对称思想的应用 二．【知识点】 1．中心对称(1)设平面上的点M (a ，b )，P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足：x ＋x ′2＝a ，y ＋y ′2＝b ，那么，我们称P ，P ′两点关于点M 对称，点M 叫做对称中心．(2)点与点对称的坐标关系：设点P (x ，y )关于M (x 0，y 0)的对称点P ′的坐标是(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x 0－xy ′＝2y 0－y . 2．轴对称(1)设平面上有直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0和两点P (x ，y )，P ′(x ′，y ′)，若满足下列两个条件：①__________________；②_______________________，则点P ，P ′关于直线l 对称． (2)对称轴是特殊直线的对称问题对称轴是特殊直线时可直接通过代换法得解：①关于x 轴对称(以_____代______)； ②关于y 轴对称(以_______代_______)； ③关于y ＝x 对称(_______互换)；④关于x ＋y ＝0对称(以_______代_____，以_____代______)； ⑤关于x ＝a 对称(以______代______)； ⑥关于y ＝b 对称(以________代________)． (3)对称轴为一般直线的对称问题可根据对称的意义，由垂直平分列方程，从而找到坐标之间的关系：设点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(AB ≠0)对称，则 三．【题型】（一）点关于直线的对称 （二）光线的对称问题 （三）圆关于直线的对称 （四）利用对称求最值 （五）圆锥曲线的对称 （六）椭圆的中点弦问题 （七）双曲线的中点弦 （八）抛物线的对称问题 （九）椭圆中的对称方法 （十）对称的综合应用 四．【题型解法】（一）点关于直线的对称例1.已知坐标原点()0,0O 关于直线L 对称的点()3,3M -，则直线L 的方程是（ ） A ．210x y -+= B ．210x y --= C ．30x y -+= D ．30x y --=【答案】D【解析】由(0,0)O , (3,3)M -, 可得OM 的中点坐标为33,22⎛⎫-⎪⎝⎭,又313OMk-==-, OM∴的垂直平分线的斜率为1, ∴直线L的方程为33122y x⎛⎫+=⨯-⎪⎝⎭,即30x y--=，故选D.练习1．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称为欧拉线，已知ABC∆的顶点(20)(04)A B，，，,若其欧拉线方程为20x y-+=, 则顶点C的坐标为(）A．04-（，）B．4,0-（）C．4,0（）或4,0-（）D．4,0（）【答案】B【解析】设C坐标x,y（），所以重心坐标为2+4(,)33x y+，因此2+4204033x yx y+-+=∴-+=，从而顶点C的坐标可以为4,0-（），选B.（二）光线的对称问题例2．如图，已知A(4,0)、B(0,4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.5B.33C.6D.210【答案】D【解析】点P关于y轴的对称点P'坐标是()2,0-，设点P关于直线:40AB x y+-=的对称点()",P a b，由()112204022baa b-⎧⨯-=-⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩，解得42ab=⎧⎨=⎩，故光线所经过的路程()22'"242210P P=--+=，故选D.练习1.一条光线从点()2,3-射出，经x轴反射后与圆2264120x y x y+--+=相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．65或56B．45或54C．43或34D．32或23【解析】点()2,3-关于x 轴的对称点Q 的坐标为()2,3--， 圆2264120x y x y +--+=的圆心为()3,2，半径为1R =.设过()2,3--且与已知圆相切的直线的斜率为k ， 则切线方程为()23y k x =+-即230kx y k -+-=， 所以圆心()3,2到切线的距离为25511k d R k-===+，解得43k =或34k =，故选C.（三）圆关于直线的对称例3.．直线1l ：y x =、2l ：2y x =+与C e ：22220x y mx ny +--= 的四个交点把C e 分成的四条弧长相等，则(m = ) A ．0或1 B ．0或1-C ．1-D ．1【答案】B【解析】直线l 1：y=x 与l 2:y=x+2之间的距离为2，⊙C ：22220x y mx ny +--=的圆心为（m ，m ），半径r 2=m 2+m 2，由题意可得222222222()()22{22()()2m nm n m n m n -+=+-++=+解得 m=0或m=-1，故选B.练习1．已知圆关于对称，则的值为 A ．B ．1C ．D ．0【答案】A 【解析】化圆为．则圆心坐标为，圆关于对称，所以直线经过圆心，，得． 当时，，不合题意，．故选A ．练习2.已知直线3420x y ++=与圆2240x y y ++=相交于,A B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程为A ．4360x y --=B ．4320x y --=C ．4360x y ++=D ．3480x y ++= 【答案】A【解析】圆2240x y y ++=的圆心坐标为()0,2C -，AB 的中垂线垂直于AB 且过C ，故可设中垂线的方程为：430x y m -+=，代入()0,2C -可得6m =-，故所求的垂直平分线的方程为4360x y --=，故选A.（四）利用对称求最值例4．已知点P ，Q 分别在直线1:20l x y ++=与直线2:10l x y +-=上，且1PQ l ⊥，点()3,3A --，31,22B ⎛⎫⎪⎝⎭，则AP PQ QB ++的最小值为（）．A ．130B ．3213+C ．13D ．32【答案】B【解析】因为112,P l l l Q ⊥P ，故()21322PQ --==1AA k '=，故1AA l '⊥，所以A P A Q 'P ，又322AA '=，所以AA PQ '=，故四边形AA QP '为平行四边形， 322AP PQ QB A Q QB '++=++， 因为13A Q QB A B ''+≥=，当且仅当,,A Q B '三点共线时等号成立，AP PQ QB ++的最小值为32132+，选B.（五）圆锥曲线的对称例5.已知F 是双曲线2218y C x -=：的右焦点，P 是C 左支上一点，)66,0(A ，当APF ∆周长最小时，则点P 的纵坐标为（ ） A ．66 B ．26C ．46D ．86-【答案】B【解析】如图：由双曲线C 的方程可知：a 2=1，b 2=8，∴c 2=a 2+b 2=1+8=9，∴c=3，∴左焦点E （-3，0），右焦点F （3，0）， ∵|AF|=223(66)15+=，所以当三角形APF 的周长最小时，|PA|+|PF|最小． 由双曲线的性质得|PF|-|PE|=2a=2，∴|PF|=|PE|+2，又|PE|+|PA|≥|AE|=|AF|=15，当且仅当A ，P ，E 三点共线时，等号成立． ∴三角形APF 的周长：|AF|+|AP|+|PF|=15+|PE|+|AP|+2≥15+15+2=32．此时，直线AE 的方程为y=2666x +，将其代入到双曲线方程得：x 2+9x+14=0， 解得x=-7（舍）或x=-2， 由x=-2得6（负值已舍） 故选：B ．练习1．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F ，若F 关于直线0x y +=的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆的离心率为（ ） ABC1 D1【答案】A【解析】∵点()0F c -，关于直线0x y +=的对称点A 为()0,A c ，且A 在椭圆上， 即22b c =，∴c b =，∴椭圆C的离心率2e ===．故选A ．（六）椭圆的中点弦问题例1．如果椭圆22193x y +=的弦被点(1,1)M 平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）A ．340x y +-=B ．320x y -+=C ．320x y --=D ．340x y +-=【答案】A【解析】设直线与椭圆交点为()11,A x y ，()22,B x y22112222193193x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得：1212121213ABy y x x k x x y y -+==-⋅-+ 又M 为AB 中点 122x x ∴+=，122y y += 13AB k ∴=-∴直线方程为：()1113y x -=--，即：340x y +-= 本题正确选项：A练习1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l 交椭圆于,A B两点，且AB 的中点为11,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（）A．22B．12C．14D．32【答案】A【解析】设A（1x，1y），B（2x，2y），又AB的中点为11,2M⎛⎫⎪⎝⎭，则121221x x y y+=+=，，又因为A、B在椭圆上所以22221122222211x y x ya b a b+=+=，两式相减，得：2121221212y y y y bx x x x a-+⋅=--+∵12121212b1c2AB FP OMy y y yk k kx x x x，-+===-==-+,∴22b2cba=，，∴22a bc=，平方可得()42224a a c c=-, ∴22ca=12,c2a2=，故选A.练习2．已知椭圆22142x y+=，则以点（1，1）为中点的弦的长度为（）A．2B．3C30D36【答案】C【解析】设直线方程为y=k（x﹣1）+1，代入椭圆方程，消去y得：（1+2k2）x2﹣（4k2﹣4k）x+2k2﹣4k﹣2=0，设交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，解得k=﹣12，∴x1x2=13，∴221212301()43k x x x x++-=．故选C．练习3．已知椭圆C ：()2222100x y a b a b +=＞，＞的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，且线段AB 的中点为()21M -，，则直线l 的斜率为（ ）A.13B.23C.12D.1【答案】C【解析】由c e a ==，得2222234c a b a a -==， ∴224a b =，则椭圆方程为22244x y b +=，设()()1122A x y B x y ，，，，则121242x x y y ，+=-+=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=--+，∴()12121212414422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ．（七）双曲线的中点弦例7．直线l 与双曲线2212y x -=交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆C 的方程为22240x y x y m ++++=，则m =（ ）A.-3B.3C.5-D.【答案】A【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y由根据圆的方程可知(1,2)C --，C 为AB 的中点根据双曲线中点差法的结论202021112ABx b k a y -=⨯=⨯=- 由点斜式可得直线AB 的方程为1y x =-将直线AB 方程与双曲线方程联立22121y x y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩解得34x y =-⎧⎨=-⎩或10x y =⎧⎨=⎩，所以AB =由圆的直径AB ===3m =-故选A.练习1．双曲线221369x y -=的一条弦被点(4,2)P 平分，那么这条弦所在的直线方程是（ ）A ．20x y --=B ．2100x y +-=C ．20x y -=D ．280x y +-=【答案】C【解析】设弦的两端点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，斜率为k ，则22111369x y -=，22221369x y -=，两式相减得12121212()()()()369x x x x y y y y -+-+=， 即121212129()98136()3642y y x x k x x y y -+⨯====-+⨯，∴弦所在的直线方程12(4)2y x -=-，即20x y -=． 故选：C练习2．已知双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭． ()1求双曲线C 的标准方程；()2是否存在被点()1,1B 平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x -=（2）直线l 不存在．详见解析【解析】()1双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线方程为y =，设双曲线方程为：22y x λ2-=，过点P ⎫⎪⎪⎝⎭．可得λ1=，所求双曲线方程为：22y x 12-=． ()2假设直线l 存在．设()B 1,1是弦MN 的中点，且()11M x ,y ，()22N x ,y ，则12x x 2+=，12y y 2+=．M Q ，N 在双曲线上，22112x y 122222x y 1-=⎧⎪∴-=⎨⎪⎩， ()()()()121212122x x x x y y y y 0∴+---+=，()()12124x x 2y y ∴-=-，1212y y k 2x x -∴==-，∴直线l 的方程为()y 12x 1-=-，即2x y 10--=，联立方程组222x y 22x y 10-=⎧--=⎨⎩，得22x 4x 30-+=1643280QV =-⨯⨯=-<，∴直线l 与双曲线无交点，∴直线l 不存在．练习3．已知双曲线的中心在原点，焦点为，且离心率.（1）求双曲线的方程； （2）求以点为中点的弦所在的直线方程.【答案】（1）；（2）.【解析】（1） 由题可得，，∴，,所以双曲线方程 .（2）设弦的两端点分别为，，则由点差法有： , 上下式相减有：又因为为中点，所以，,∴，所以由直线的点斜式可得,即直线的方程为.经检验满足题意.（八）抛物线的对称问题例8．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，倾斜角为4π的直线交抛物线C 于A ，B 两点，且线段AB 中点的纵坐标为1，则抛物线C 的准线方程是________ 【答案】12x =-【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2211222,2y px y px ==，两式相减得：()()()1212122y y y y p x x -+=-，又因为直线的斜率为1，所以12121y y x x -=-， 所以有122y y p +=，又线段AB 的中点的纵坐标为１， 即122y y +=，所以1p =，所以抛物线的准线方程为12x =-．故答案为：12x =-．练习1．如图所示，点P 为抛物线E ：28y x =上的动点，点Q 为圆:M 22430x y x +-+=上的动点，则PQ的最小值为___________.【答案】1【解析】圆:M 22430x y x +-+=可化为22(2)1x y -+=， 故圆M 的圆心（2，0），半径为1.设000(,)(0)P x y x ≥为抛物线28y x =上任意一点，故有2008y x =，∴00(,)P x y 与（2，0）的距离2222200000000(2)44844(2)d x y x x x x x x =-+=-++=++=+当00x =时， 00(,)P x y 与（2，0）的距离取最小值2，PQ ∴的最小值为211-=，故答案为：1.（九）椭圆中的对称方法例9．如图,椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,过F 的直线交椭圆于,A B 两点,点C 是A 点关于原点O 的对称点,若CF AB ⊥且CF AB =,则椭圆的离心率为__________．【答案】63-【解析】作另一焦点F ',连接AF '和BF '和CF ',则四边形FAF C '为平行四边,所以AF CF AB '==,且AF AB '⊥,则三角形ABF '为等腰直角三角形, 设AF AB x '== ,则24x x x a +=,解得(422)x a =-,(222)AF a =,在三角形AFF ' 中由勾股定理得222()()(2)AF AF c '+=,所以2962,63e e =-=,故答案为63-.练习1．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且12PF F ∆面积3 6.（1）求椭圆C 的方程，并求椭圆C 的离心率；（2）已知直线l ：1(0)y kx k =+>与椭圆C 交于不同的两点AB ，若在x 轴上存在点(,0)M m ，使得M 与AB 中点的连线与直线l 垂直，求实数m 的取值范围【答案】（1）22143x y +=，椭圆的离心率12e =（2）3,012⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）由题意得2223226bc c a a b c ⎧=⎪+=⎨⎪=+⎩，解之得2a =，3b =1c =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=，椭圆的离心率12e =； （2）由221143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2243880k x kx ++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122843kx x k -+=+，122643y y k +=+， 所以线段AB 中点的坐标为2243,4343k k k -⎛⎫⎪++⎝⎭， 则223143443k k k m k -+=-++，整理得213434k m k k k=-=-++， 因为0k >，所以34k k +≥=34k k =，即k =时上式取得等号，此时m取得最小值12-， 因为0k >，所以2043k m k =-<+，所以实数m的取值范围是⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭. 练习2．已知椭圆22:194x y C +=，若不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,M N 两点.(1)若线段MN 的中点坐标为()1,1，求直线l 的方程；(2)若直线l 过点()6,0，点()0,0P x 满足0PM PN k k +=（,PM PN k k 分别是直线,PM PN 的斜率），求0x 的值.【答案】（1）49130x y +-=（2）32【解析】（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，由点,M N 都在椭圆22:194x y C +=上，故22112222194194x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22222121094x x y y --⇒+=，则()()212121214499x x y y k x x y y +-==-=--+故直线l 的方程为()411491309y x x y -=--⇒+-= （2）由题可知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为()6y k x =-，()0,0P x ， 则()()()()1212021010200660PM PN y y k k k x x x k x x x x x x x +=+=⇒--+--=--即()()12012026120x x x x x x -+++=①联立()()222222149108936360946x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+-+⨯-=⎨⎪=-⎩，则21222122108499363649k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨⨯-⎪=⎪+⎩将其代入①得()()2220003546964902k k x x k x --+++=⇒=故0x 的值为32（十）对称的综合应用例10．在直角坐标系xOy 中，抛物线2:4x C y =与直线:4l y kx =+ 交于M ，N 两点.（1）当0k =时，分别求抛物线C 在点M 和N 处的切线方程；（2）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.【答案】(1) 过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--.(2)存在点()0,4P -，理由见解析【解析】（1）由题意知0k =时，联立244y x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得()4,4M ，()4,4N -．设过点()4,4M 的切线方程为(4)4y k x =-+，联立2444y kx kx y =+-⎧⎪⎨=⎪⎩得：2416160x kx k -+-=， 由题意：2164(1616)0k k ∆=--=，即2440k k -+=，解得2k =， 根据对称性，过点()4,4N -的切线斜率为2k =-，所以过点M 和点N 的切线方程分别为24,24y x y x =-=--. （2）存在符合题意的点，证明如下：设点P ()0,b 为符合题意的点，()11,M x y ，()22,N x y ，直线PM ，PN 的斜率分别为1k ，2k ．联立方程244y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得24160x kx --=，故124x x k +=，1216x x =-， 从而121212y b y b k k x x --+=+=()()12121224kx x b x x x x +-+=()44k b +．当4b =-时，有120k k +=，则直线PM 与直线PN 的倾斜角互补， 故OPM OPN ∠=∠，所以点()0,4P -符合题意．练习2．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F，点(,B m 在抛物线C上，A ，且||2||BF AF =.（1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点(1,2)P 作直线PM ，PN 分别交抛物线C 于M ，N 两点，若直线PM ，PN 的倾斜角互补，求直线MN 的斜率.【答案】（1）24y x =（2）1-【解析】（1）由题得,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，则||2p BF m =+，||AF =因为|2||BF AF =，所以2P m +=因为点B 在抛物线C 上，所以122pm =，即6pm =.②联立①②得428480p p +-=，解得2p =或2p =-（舍去），所以抛物线C 的标准方程为24y x =.（2）由题知直线PM ，PN 的斜率存在，且不为零，且两直线的斜率互为相反数 设()11,M x y ，()22,N x y ，直线:(1)2(0)PM y k x k =-+≠由2(1)24y k x y x =-+⎧⎨=⎩，得()2222244440k x k k x k k --++-+=，则()222222444(2)16(1)0k k k k k ∆=-+--=->，又点P 在抛物线C 上，所以21244k k x k -+=同理得22244k k x k++=.则212228kx xk+ +=，12288kx xk k---==，()()12121212y y k x k x⎡⎤⎡⎤-=-+---+⎣⎦⎣⎦()122k x x k=+-22282kk kk+=⋅-8k=，所以1212818MNy y kkx xk-===---即直线MN的斜率为-1.练习3．如图, 直线12y x=与抛物线2148y x=-交于,A B两点, 线段AB的垂直平分线与直线5y=-交于Q点.（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含,A B）的动点时, 求ΔOPQ面积的最大值.【答案】(1) ()5,5Q-；(2) 最大值30【解析】(1) 解方程组212148y xy x⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得11-4-2xy=⎧⎨=⎩或2284xy=⎧⎨=⎩即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由12ABK=,直线AB的垂直平分线方程()122y x-=--令5y=-, 得5x=, ∴()5,5Q-(2)直线OQ的方程为x+y=0, 设21,48P x x⎛⎫-⎪⎝⎭∵点P 到直线OQ 的距离2832x +-,OQ =, ∴12OPQ S ∆=OQ d =2583216x x +-. ∵P 为抛物线上位于线段AB 下方的点, 且P 不在直线OQ 上, ∴－4≤x4或4< x ≤8.∵函数2832y x x =+-在区间[]4,8-上单调递增,∴当x =8时, ΔOPQ 的面积取到最大值30。
高中数学对称性求解题技巧
高中数学对称性求解题技巧对称性在高中数学中是一个重要的概念，它不仅可以帮助我们更好地理解数学问题，还可以提供解题的技巧和方法。
下面将介绍一些常见的高中数学对称性求解题技巧。
1. 图形对称性求解题技巧图形对称性是指图形中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题。
例如，对于一道求解平面镜反射的问题，我们可以利用镜面对称性。
通过将问题中的图形沿着镜面进行对称，我们可以获得一个与原图形相同但在镜面另一侧的图形。
这样，我们可以利用对称的图形性质，简化问题，将问题转化为求对称图形中某个点的位置或某条线段的长度，从而快速求解问题。
又如，在解决关于几何形状的证明问题时，可以利用图形的对称性来简化证明过程。
通过找到图形中的对称点、对称线或对称中心，我们可以直接得出结论或简化推理过程。
2. 函数对称性求解题技巧函数对称性是指函数中存在某种对称的特征。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化问题或得到一些特殊的性质。
例如，对于奇函数和偶函数，我们可以利用它们的对称性质进行猜测和求解。
奇函数满足f(-x)=-f(x)，即对称轴为原点。
当我们需要求解奇函数在某点的函数值时，可以利用函数的对称性，将其转化为对称点的函数值。
这样，可以节约计算时间和精力。
偶函数满足f(-x)=f(x)，即对称轴为y轴。
当我们需要求解偶函数在某点的函数值时，可以直接由已知求得，省去了计算步骤。
另外，对于一些具有周期性的函数，我们也可以利用其对称性来简化问题。
例如，正弦函数和余弦函数有周期为2π，我们可以利用周期性和对称性的特点来求解具体的数值问题。
3. 代数方程对称性求解题技巧代数方程中的对称性指的是方程中的变量或项之间存在某种对称的关系。
在解题时，我们可以利用这种对称性来简化方程，从而求得解或简化计算过程。
例如，对称方程是指方程中某些项之间满足对称关系。
在解这类方程时，我们可以只考虑其中一部分项或利用对称关系得到方程解的特殊性质。
对称问题的四种情形与解法
对称问题的四种情形与解法对称问题是数学中一个非常有趣且常见的问题。
它涉及到物体、图形或方程等在某种变换下保持不变的性质。
在这篇文章中，我将介绍四种常见的对称问题情形以及它们的解法。
第一种情形是轴对称。
轴对称是指物体或图形可以通过某条直线进行折叠，使得折叠后的两部分完全重合。
这条直线被称为轴线。
轴对称的图形具有左右对称的特点，例如正方形、圆形和心形等。
解决轴对称问题的方法是找到轴线，并将图形沿轴线进行折叠，观察折叠后的重合部分。
第二种情形是中心对称。
中心对称是指物体或图形可以通过某个点进行旋转180度，使得旋转后的图形与原图形完全重合。
这个点被称为中心点。
中心对称的图形具有前后对称的特点，例如正五角星和蝴蝶形状等。
解决中心对称问题的方法是找到中心点，并将图形绕中心点进行旋转，观察旋转后的重合部分。
第三种情形是平移对称。
平移对称是指物体或图形可以通过沿着某个方向进行平移，使得平移后的图形与原图形完全重合。
平移对称的图形具有位置对称的特点，例如正方形和长方形等。
解决平移对称问题的方法是找到平移的方向和距离，并将图形沿着这个方向进行平移，观察平移后的重合部分。
第四种情形是旋转对称。
旋转对称是指物体或图形可以通过某个角度进行旋转，使得旋转后的图形与原图形完全重合。
旋转对称的图形具有角度对称的特点，例如正三角形和正六边形等。
解决旋转对称问题的方法是找到旋转的角度，并将图形绕着某个点进行旋转，观察旋转后的重合部分。
除了这四种情形外，还有一些特殊的对称问题，例如镜像对称和射影对称等。
镜像对称是指物体或图形可以通过镜面反射，使得反射后的图形与原图形完全重合。
射影对称是指物体或图形可以通过某种投影方式，使得投影后的图形与原图形完全重合。
解决这些特殊对称问题的方法需要根据具体情况进行分析和推理。
总结起来，对称问题是数学中一个有趣且具有挑战性的问题。
通过对轴对称、中心对称、平移对称和旋转对称等四种情形的认识和解法，我们可以更好地理解对称性在数学中的应用。
高考数学中如何应对复杂的平面几何轴对称问题
高考数学中如何应对复杂的平面几何轴对称问题在高考数学中，平面几何是一个重要的考点，其中轴对称问题是复杂而常见的一种。
轴对称性在几何图形的研究中起着重要的作用，掌握轴对称性的性质和处理方法对于解复杂的平面几何问题至关重要。
本文将介绍如何应对高考数学中的复杂平面几何轴对称问题。
一、轴对称的定义与性质轴对称是指存在一条直线，使得图形关于这条直线对称。
对于一个轴对称图形，有以下几个性质：1. 图形关于对称轴对称，即图形的一部分与其余部分相对称；2. 图形关于对称轴上的任意一点对称，即对称轴上的任意一点P，与P关于对称轴的对应点P’，有PP’平行于对称轴；3. 对称轴上的一点到图形上的任意一点的距离，与这一点关于对称轴的对称点到图形上对应点的距离相等。
二、简单轴对称问题的解决方法对于简单的轴对称问题，可以采用以下方法进行求解：1. 根据对称性简化问题：利用轴对称性质，找出图形中的对称关系，将问题简化为求解对称图形中的一部分；2. 通过构造辅助线或引入变量：根据对称性质，我们可以通过构造辅助线或引入变量，将复杂的轴对称问题转化为更简单的几何问题；3. 利用轴对称性解方程：通过设定未知量、列方程组，并利用轴对称性质，解方程求解。
三、复杂轴对称问题的解决方法复杂的轴对称问题可能涉及多个图形的对称关系，需要综合运用不同的数学知识和技巧进行求解。
下面以具体例题介绍复杂轴对称问题的解决方法。
例题：如图所示，矩形ABCD中，AE=CE=2，AE∥BC，且BF是矩形内某一点F关于对边AB所作垂线。
若AF=4，求矩形ABCD的长和宽。
（图略）解析：首先观察题目中的图形，我们可以发现AE、CE与AB平行，并且长度相等，这意味着AE与CE是矩形ABCD的对称轴。
根据轴对称性质（性质2），可以得出BF平行于AE和CE，即BF与AE和CE在同一直线上。
由此我们可以设点E'为点E关于对称轴AE的对称点，连接E'F。
由于点AE与点CE是矩形ABCD的对称轴，根据轴对称性质（性质3），可知AF与AE'的距离相等。
高考对称性试题的归类及其解法
高考对称性试题的归类及其解法高二数学钟建新近年高考中频频出现对称问题，由于此类问题教材中讲得较少，令许多考生不知从何处着手。
现将近年来高考中有关对称试题分类解答如下，以利于同学们归纳总结，达到举一反三的作用。
一、点关于直线对称解此类题型先利用中点坐标公式，设P(x,y)关于直线l: Ax+By+C=0的对称点为Q(m,n)，则PQ的中点在l上，坐标为，则，再根据直线PQ⊥l，得，进行求解。
例1．（1991全国）点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标是：A、(5,2)B、(2,-5)C、(-5,-2)D、(-2,-5)解：设P(2,5)和Q(m,n)关于直线x+y=0对称，则PQ中点在y=-x上且∴解得：，应选C。
二、直线关于坐标轴对称例2．（1992上海）直线l与直线x+y-1=0关于y轴对称，那么直线l的方程是______。
解：若给定的方程f(x,y)=0是曲线c的方程。
曲线c＇和c关于y轴对称，则曲线c＇方程是f(-x,y)=0，因此用(-x,y)替换x+y-1=0中的(x,y)得-x+y-1=0，即x-y+1=0为所求，应填x-y+1=0。
例3．（1993全国）和直线关于x轴对称的直线方程是（）。
A、3x+4y-5=0B、3x+4y+5=0C、-3x+4y-5=0D、-3x+4y+5=0解：若曲线c的方程是f(x,y)=0，曲线c＇和c关于x轴对称，则曲线c＇的方程是f(x,-y)=0。
因此用(x,-y)替换中的(x,y)得3x-4(-y)+5=0，即3x+4y+5=0为所求，应选B。
三、直线关于直线y=x对称例4．（1990全国）如果直线y=ax+2与直线y=3x-b关于直线y=x对称，那么（）。
A、B、C、D、解：若曲线c的方程是f(x,y)=0，曲线c＇和c关于直线y=x对称，则c＇的方程是f(y,x)=0，c＇为：，由题设y=3x-b与是同一条直线。
∴，解得，∴应选A。
四、曲线关于直线对称例5．（1997全国）椭圆c与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆c的方程是（）。
高中数学直线中对称问题归类解析
直线中对称问题归类解析直线中的对称问题主要有：点关于点对称；点关于直线对称；直线关于点对称；直线关于直线对称。
下面谈谈各类对称问题的具体求解方法。
1、点关于点的对称例1已知点A （－2，3），求关于点P （1，1）的对称点B （o x ，o y ）。
分析：利用点关于点对称的几何特性，直接应用中点坐标公式求解。
解：设点A （－2，3）关于点P （1，1）的对称点为B （o x ，o y ），则由中点坐标公式得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-123122o o y x 解得⎩⎨⎧-==14o o y x 所以点A 关于点P （1，1）的对称点为B （4，－1）。
评注：利用中点坐标公式求解完之后，要返回去验证，以确保答案的准确性。
2、直线关于点的对称例2求直线043:1=--y x l 关于点P （2，－1）对称的直线2l 的方程。
解法1：（用点到直线距离公式）分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线方程为03=+-b y x 。
解：由直线2l 与043:1=--y x l 平行，故设直线2l 方程为03=+-b y x 。
由已知可得，点P 到两条直线距离相等，得13161341622+++=+-+b 解得10-=b ，或4-=b （舍）。
则直线2l 的方程为0103=--y x 评注：充分利用直线关于点对称的特性：对称直线与已知直线平行且点P 到两条直线的距离相等。
几何图形特性的灵活运用，可为解题寻找一些简捷途径。
解法2:（利用中点坐标法）分析：设已知直线1l 上任意点A （a ，b ），对称点P(x 0，y 0)即为中点坐标，则对称点A ’(a x -02，b y -02)在与已知1l 的对称直线2l 上，两直线平行，可设为03=+-b y x ，带入即可求出2l 解：设A （1，-1）在直线043:1=--y x l 上，关于点P （2，-1）的对称点A ’(3，-1)把点A ‘(3,-1)带入直线03=+-b y x 得b=-10.则直线2l 为0103=--y x 解法3：（利用图像平移法）分析：取已知直线上与对称点P 相同的横坐标或纵坐标，求出点A 坐标，根据AP 之间距离可得AA ‘之间距离’，已知两直线平行，可让原直线根据方向平移既得直线解：取直线043:1=--y x l 与对称点P(2，-1)相同的横坐标的点A 为（2,2），则AP 之间的距离为3，可知直线需要向下平移6个单位，带入043=--y x 可得直线为0103=--y x 注：如果是纵坐标呢？3、点关于直线的对称例3求点A （2，2）关于直线0942=+-y x 的对称点坐标。
对中学数学教学中几种常见“对称”问题的探讨共5页文档
对中学数学教学中几种常见“对称”问题的探讨“对称”问题不仅是高中数学教学的重点和难点，也是历年来高考的热点。
由于“对称”问题的形式较多，知识点较分散，学生对此都感到头疼。
对此，笔者对高中数学教学中常见的几种“对称”问题进行归类总结，找出每种“对称”问题的特点和内在联系，以期使学生能够轻松地解决对称问题。
一、有关点的对称1.点关于点的对称。
点P（x，y）和P′（x′，y′）关于点M（a，b）对称，可把点M看做是线段PP'的中点，利用中点公式，得到它们坐标之间的关系，即a=■，b=■。
2.点关于直线的对称。
点P（x，y）和P′（x′，y′）关于直线l对称，可以利用直l为线段PP′的垂直平分线的特点，即线段PP′的中点在直线l上，其坐标满足直线l所在方程，并且线段PP′与直线l互相垂直。
3.点关特殊点、线对称。
可以省略中间推导过程，按照一定规律直接得到对称点坐标，如点P（x，y）关于x轴的对称点坐标为（x，-y），关于y轴的对称点坐标为（-x，y），关于原点的对称点坐标为（-x，-y），关于直线y=x对称点的坐标为（y，x）；关于直线y=-x对称的坐标为（-y，-x）。
例1.点M（8，9）关于x轴的对称点（8，-9），关于y轴的对称点（-8，9），关于原点的对称点（-8，-9），关于直线y=x的对称点（9，8），关于直线y=-x的对称点（-9，-8）。
例2.若函数y=f（x），在（-∞，+∞）上为奇函数，且当x∈[0，+∞）时有f（x）=x2-4x-3，求x∈（0，+∞]上的最大值。
解：由于奇函数关于原点对称，可直接得到x∈（-∞，0]的关系式。
-f（x）=（-x）2-4（-x）-3即f（x）=-x2-4x+3，当x=-■，即x=-2时，有f（x）max=f（-2）=-（-2）2-4×（-2）+3=7。
二、有关直线的对称1.直线关于点的对称。
直线l∶y=kx+b关于点M（a，b）的对称直线l′∶y=k1x+b1，它们之间具有如下两个特点：（1）l∥l′。
高考数学常考问题专题讲解 直线中的对称问题—4类对称题型
直线中的对称问题—4类对称题型直线的对称问题是我们学习平面解析几何过程中的不可忽视的问题，我们可以把它主要归纳为，点关于点对称，点关于线对称，线关于点对称，线关于线对称问题，下面我们来一一探讨：一、点关于点对称问题解决点点对称问题的关键是利用中点坐标公式，同时也是其它对称问题的基础.例1.求点（1）关于点的对称点的坐标,（2），关于点对称，求点坐标.解：由题意知点是线段的中点,所以易求（1）（2）.因此，平面内点关于对称点坐标为平面内点，关于点对称二、点关于线对称问题求定点关于定直线的对称问题时，根据轴对称定义利用①两直线斜率互为负倒数,②中点坐标公式来求得.例2．已知点直线：，求点关于直线的对称点的坐标解:法（一）解：设，则中点坐标为且满足直线的方程①又与垂直，且斜率都存在即有②由①②解得，法（二）求点点关于线对称问题，其实我们可以转化为求点关于点对称的问题，可先求出的直线方程进而求与的交点坐标，再利用中点坐标公式建立方程求坐标.三、线关于点对称问题求直线关于某一点的对称直线的问题，一般转化为直线上的点关于点的对称问题.例3．求直线：关于点的对称直线的方程.解:法（一）直线：与两坐标轴交点为，点关于对称点点关于对称点过的直线方程为故所求直线方程为.法（二）由两直线关于点对称，易知两直线平行，则对称点到两直线的距离相等，可以建立等式，求出直线方程.四、线关于线的对称问题求直线关于直线的对称问题，一般转化为点关于直线对称问题：即在已知直线上任取两不同点，求出这两点关于直线的对称点再求出直线方程.例4．求已知直线：关于直线对称的直线方程.解：在：上任取一点直线的斜率为3过点且与直线垂直的直线斜率为，方程为得所以点为直线与的交点，利用中点坐标公式求出关于的对称点坐标为又直线与的交点也在所求直线上由得所以交点坐标为.过和的直线方程为，故所求直线方程.。
高中数学对称性解题技巧
高中数学对称性解题技巧在高中数学中，对称性是一个非常重要的概念。
它不仅可以帮助我们解决问题，还可以提高我们的思维能力和创造力。
本文将介绍一些常见的对称性解题技巧，并通过具体的题目进行说明和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和应用对称性解题技巧。
一、轴对称和中心对称轴对称和中心对称是对称性的两种基本形式。
轴对称是指物体或图形相对于某条轴线对称，而中心对称是指物体或图形相对于某个中心点对称。
在解题过程中，我们可以利用轴对称和中心对称的性质来简化问题，找到问题的对称部分，从而得到解题的关键。
例如，考虑以下数学题目：题目：已知平面上有一个正方形 ABCD，点 M 为边 AB 的中点，点 N 为边 BC 的中点。
若点 P 在边 CD 上，并且满足角 MPN = 90°，求证：三角形 MPN 是等腰直角三角形。
解析：首先，我们可以通过观察发现，正方形 ABCD 是以对角线 BD 为轴对称的。
因此，我们可以将问题简化为只考虑正方形的一半，即三角形 MPN。
接下来，我们观察到点 M 和点 N 是以对角线 BD 的中点为中心对称的。
因此，我们可以得出结论：三角形 MPN 是以边 MN 为中心对称的，即 MN 是三角形MPN 的中线，且 MN 垂直于边 PN。
由于 MN 是三角形 MPN 的中线，根据中线定理，我们可以得知三角形 MPN是等腰三角形。
又因为 MN 垂直于边 PN，所以三角形 MPN 是直角三角形。
通过以上分析，我们可以得出结论：三角形 MPN 是等腰直角三角形。
二、图形的旋转对称性除了轴对称和中心对称外，图形的旋转对称性也是解题中常用的对称性。
通过图形的旋转对称性，我们可以找到图形的重叠部分，从而简化问题。
考虑以下数学题目：题目：已知正方形 ABCD 的边长为 a，点 M 在边 AB 上，且满足 AM = a/3。
连接点 M 和点 D，延长线段 MD 到点 E，使得 ME = MD。
高中数学对称问题分类探析
高中数学对称问题分类探析
高中数学对称问题分类探析
对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。
一、点关于已知点或已知直线对称点问题
1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，
x′=2a-x
由中点坐标公式可得：y′=2b-y
2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为
x′=x-(Ax+By+C)
P′(x′，y′)则
y′=y-(AX+BY+C)
事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L 上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C
解此方程组可得结论。
(- )=-1(B≠0)
特别地，点P(x，y)关于
1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)
2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)
3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)
例1 光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y。
(完整word版)高中数学中的对称性问题
高中数学中的对称性一、 关于点对称(1) 点关于点的对称点问题若点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标(,)x y ，则P 为M 'M 的中点，利用中点坐标公式可得00, 22x x y y a b ++==，解算的'M 的坐标为00(2, 2)a x b y --。
例如点M(6,-3)关于点P(1,-2)的对称点'M 的坐标是.① 点M 00(,)x y 关于点P (,)a b 的对称点'M 的坐标;② 点M 00(,)x y 关于原点的对称点'M 的坐标.(2) 直线关于点对称① 直线L ：0Ax By C ++=关于原点的对称直线设所求直线上一点为(,)M x y ，则它关于原点的对称点为'(,)M x y --，因为'M 点在直线L 上，故有()()0A x B y C -+-+=，即0Ax By C +-=；② 直线1l ：0Ax By C ++=关于某一点(,)P a b 的对称直线2l解法（一）：在直线2l 上任取一点(,)M x y ，则它关于P 的对称点为'(2,2)M a x b y --，因为'M 点在1l 上，把'M 点坐标代入直线在1l 中，便得到2l 的方程即为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=。
解法（二）：由12l l K K =，可设1:0l Ax By C ++=关于点(,)P a b 的对称直线为'0Ax By C ++=且2222'Aa Bb C Aa Bb C A BA B ++++=++求设'C 从而可求的及对称直线方程。
(3) 曲线关于点对称曲线1:(,)0C f x y =关于(,)P a b 的对称曲线的求法：设(,)M x y 是所求曲线的任一点，则M 点关于(,)P a b 的对称点为(2,2)a x b y --在曲线(,)0f x y =上。
高考数学复习点拨 四种对称问题的解法
四种对称问题的解法几何图形的对称是美观的，又是基本的、常见的、重要的．我们一起来了解解析几何中的点与直线的四种对称问题及其解法．一、点关于点的对称点()P a b ，关于点()Q m n ，的对称点为(22)P m a n b '--，，特例，点()P a b ，关于点(00)O ，的对称点为()a b --，． 二、直线关于点的对称例1 求直线1:210l x y -+=关于点(21)P ，的对称直线2l 的方程． 解法一：因为为P 不在直线1l 上，且1l 与2l 关于点(21)，对称，所以12l l ∥，故设 2:20l x y C -+=．由于点(21)P ，=所以7C =-，或1C =（舍去），故所求的方程为270x y --=．解法二：直线2l 上任意一点()Q x y ，，关于(21)P ，的对称点(42)x y --，在直线 210x y -+=上，2(4)(2)x y ---+=∴，2:270l x y --=∴． 评注：解法一是利用线线平行及点到两直线距离相等来解；解法二是设动点，运用“轨迹法”求解，这也是求解曲线方程的一般方法．一般地，直线0Ax By C ++=关于点()a b ，对称的直线方程为(2)(2)0A a x B b y C -+-+=．三、点关于直线的对称例2 已知直线:330l x y -+=，求点(45)P ，关于直线l 的对称点． 解法一：设(45)P ，关于直线l 的对称点为()P x y '''，，显然4x '≠，则PP l '⊥，线段PP ' 的中点在直线l 上．45330225143x y y x ''++⎧⨯-+=⎪⎪⎨'-⎪=-⎪'-⎩，．∴27.x y '=-⎧⎨'=⎩，∴ (27)P '-，∴即为所求的点．评注：此解法最常用，其关键是利用“垂直”、“平分”．一般地，若点00()P x y ，关于直 线:0l Ax By C ++=的对称点为()P x y '''，，则000222()A x x Ax By C A B '=-+++，000222()B y y Ax By C A B '=-+++． 解法二：设(45)P ，关于直线l 的对称点为()P x y '''，，则P P l '⊥，故设直线:30PP x y C '++=．又点(45)P ，在直线PP '上，4350C +⨯+=∴，19C =-． ∴直线:3190PP x y '+-=． 由3190330x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，，得16.x y =⎧⎨=⎩，此点即为PP '的中点， (27)P '-，∴．四、直线关于直线的对称例3 求直线:20a x y --=关于直线:210l x y ++=对称的直线b 的方程．解法一：在直线a 上取一点(20)，，运用例2介绍的方法，可求得点(20)P ，关于l 的对称 点41255P ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，，由方程组20210x y x y --=⎧⎨++=⎩，，得直线a 与l 的交点(11)Q -，． 直线b 过点P '与Q ，由“两点式”得直线b 的方程：780x y --=。
高中数学几何图形中的对称分析
高中数学几何图形中的对称分析对称是数学图形中的一种重要性质，它在几何、代数、分析等多个领域有着广泛的应用。
在高中数学中，对称也是学生们必须掌握的一个重要知识点。
本文将通过分析高中数学中的一些几何图形，探讨对称的性质和应用。
一、轴对称图形轴对称图形是指沿着一条直线对折，如果左右两边能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形。
常见的轴对称图形有正方形、等腰三角形、圆形等。
轴对称图形的对称轴可以是直线，也可以是曲线。
例如，圆的对称轴就是圆所在的整个平面。
在轴对称图形中，对称轴两侧的图形具有相似的性质。
例如，在等腰三角形中，对称轴两侧的边长相等、角度相等，性质相似。
因此，可以通过分析一个轴对称图形的对称轴，来判断另一个图形的性质。
二、中心对称图形中心对称图形是指将图形绕着某一点旋转180度后，能够与原来的图形重合。
常见的中心对称图形有矩形、菱形、平行四边形等。
中心对称图形的对称中心可以是任意一点，也可以是两条直线。
例如，矩形的对称中心就是对角线的交点，菱形的对称中心是两条对角线的交点。
在中心对称图形中，可以通过分析一个图形的对称中心或对称轴，来判断另一个图形的性质。
例如，矩形具有稳定性、平行四边形具有传递性等性质，这些性质都可以通过中心对称或轴对称的性质来解释。
三、对称在几何中的应用对称在几何中的应用非常广泛，它可以用来解决一些与角度、边长、面积等问题相关的问题。
例如，在求圆的面积时，可以通过轴对称将圆分成两个完全相等的扇形，再乘以π来计算；在求矩形周长时，可以通过中心对称将矩形分成两个完全相等的部分，再乘以两倍的边长来计算周长。
此外，对称还可以用来解决一些与角度问题相关的问题。
例如，在求一个角度的补角或余角时，可以通过轴对称将角度旋转180度来得到补角或余角；在判断两个角是否相等时，可以通过中心对称将两个角分别旋转180度后是否重合来判断；在证明三角形内角和为180度时，可以通过将三角形分成两个完全相等的扇形来证明。
对高中数学解析几何中对称问题浅析
对高中数学解析几何中对称问题浅析摘要：伴随着人们对教育的越来越重视，教育行业也开始了飞速的发展。
在这种背景影响下，高中数学中的解析几何对称问题逐渐受到了高中数学教师的重视。
众所周知，对称问题是高中数学解析集合中的基础部分。
不管是点对点间的对称还是线对线间的对称，都是高中学生学习数学的重要内容。
本文主要针对目前的高中数学解析几何中的对称问题进行了探究，希望能为高中阶段的数学教育提供帮助。
关键词：高中数学；解析几何；对称问题随着新课改的逐渐实行，我国的教育事业也在持续不断地发展。
数学是一门贯穿于学生整个教育生涯的学科，其重要性不言而喻。
而高中数学无论是从高考占比上还是知识面上都是非常重要的。
高中数学相较于基础数学而言具有了一定的难度。
尤其是高中数学解析几何部分的对称问题，不仅是整个高中数学中的基础部分，也是一大重点内容。
一、解析几何的基本概念几何是高中数学学习过程中非常重要的一部分内容。
几何原本叫欧几里得几何，由著名数学家欧几里得命名，简称为“欧氏几何”。
是整个几何学部分的一个分支学科。
其最早来源于公元前3世纪。
由古希腊数学家欧几里得总结得出。
欧几里得将一些流传于民间的几何知识点进行总结和编撰，同时还做出了一系列的延伸推理，最后写出了文明一时的《几何原本》，后又逐渐形成了欧氏几何[1]。
在整个欧氏几何的体系中，最主要的内容当属平行公理。
但是后期由于一部分不同公理的出现，导致了非欧几何的出现。
如果按照图形的平面与空间来划分，可以称之为“平面几何”和“立体几何”。
而对于解析几何，其核心部分其实是笛卡尔坐标系。
解析几何也主要分为两部分，平面解析几何和立体解析几何。
平面解析几何主要是通过平面直角坐标系来展现的，主要就是通过平面直角坐标系来建立点和实数之间的对应关系，以及曲线和方程之间的对应关系。
通过几何法去解决代数问题，同时也可以应用代数法去解决几何问题。
从17世纪开始，各个先进技术开始了飞速的发展，几何与代数也开始了不断地发展。
高中数学中曲线对称的解法及应用
高中数学中曲线对称的解法及应用
曲线的对称有三种情况：关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
一、关于x轴对称：
当曲线关于x轴对称时，对于曲线上的任意一点P(x,y)，其关于x轴对称的点为
P'(x,-y)。
对于关于x轴对称的曲线，求解的方法如下：
1. 将给定曲线与x轴的交点坐标记作(x1, 0)，(x2, 0)，....(xn, 0)；
2. 列出关于x轴对称的方程y = -y0，其中y0为已知条件的y坐标；
3. 将方程y = -y0代入原曲线方程，得到关于x的方程；
4. 解关于x的方程，得到对称点的横坐标；
5. 将所得的横坐标带入原曲线方程，得到对称点的纵坐标。
关于x轴对称的曲线常见的应用有：考察函数奇偶性、求解关于x轴对称的特殊点（例如顶点、交点等）。
曲线对称的解法主要是通过确定曲线与坐标轴的交点，然后列出对称方程，并代入原曲线方程求解，最后得到对称点的坐标。
这种方法在解题和应用时非常有用，可以帮助我们理解曲线的特性和性质。
高考数学复习：对称问题分类探析
高考数学复习：对称问题分类探析对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化，本文特作以下归纳。
一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a,b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
(-)=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1光线从A(3,4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y 轴反射，反射光线经过点B(1,5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5,0)，B关于y轴对称点B′为(-1,5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0｀C(0,)｀直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F(x，y)=0关于点(a,b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象；保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
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高中数学中的“对称图形”题型及解法浅探
“对称性”是数学美的一种体现，也是历年高考题中的常见题型，理解和掌握“对称图形”的基本规律和解题方法是十分必要的.
一、本身具有对称性的图形
如“三角函数的图像，圆锥曲线”等，此类问题可直接应用对称轴方程加以解决.
例1：如果y=sin2x+acos2x的图像关于直线x=- 对称，那么A=（）
A. B.- C.1 D.-1
解：∵y=sin2x+cos2x= sin（2x+φ），其中tanφ=a
∴2x+φ=kπ+ ？圯x= + - =-
∴φ=kπ+ 即：a=tan（kπ+ ）=-1，故选D.
例2：曲线x +y +2 -2 =0关于（）
A.直线x= 对称
B.直线y=-x对称
C.点（-2，）中心对称
D.点（，0）对称
解：将方程配方得：（x+ ）+（y- ）=4，
∴曲线是以（-2，）为圆心，2为半径的圆.由圆自身的对称性可知应选B.
评析：1.对于y=sinx直接应用对称轴方程x=kπ+ （k
∈Z）求解，方法简明扼要.
2.对于圆，过圆心的任意直线都是对称轴，圆心是对称中心.
3.关于y=f（x）其图像存在对称性，有一般的结论：f （x+a）=f（b-x）恒成立？圳y=f（x）的图像关于x= 对称.
二、两个图形关于点对称
两个图形关于点对称的此类问题可借中点公式极易解决.
例3：设曲线C的方程是y=x -x将C沿x轴、y轴的正方向分别平行移动T、S个单位长度后，得曲线C ，（1）写出C 的方程；
（2）证明C 和C关于点（，）对称.
解析：（1）由题意：C ：y-S=（x-T）-（x-T）.
（2）设M（x，y）是C上的任意点，M′（x′，y′）是M关于（，）的对称点，
由中点公式：x=T-x′，y=x-y′，代入C得：y′-S=（x′-T）-（x-T）
∴M在曲线C 上.
反过来，同样可以证明：C 上的任意点关于（，）对称的点也在C上.
因此，C 与C关于点（，）对称.
评析：关于成中心对称的两个图形，上例实质是求中心
对称和证明中心对称的一般方法.
一般地，f（x，y）=0关于Q（a，b）成中心对称的曲线的求法：设M（x，y）是所求曲线上任意点，M关于Q
对称的点是（2a-x，2b-y），所以，所求曲线为f（2a-x，2b-y）=0.
三、关于直线对称的图形
此类问题都主要借助中点公式，斜率公式，通过联解方程求对称点的坐标，即可解决.
例4：椭圆C与椭圆+ =1，关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）
A. + =1
B. + =1
C. + =1
D. + =1
解：设P（x，y）是C上任意点，P关于x+y=0对称的点P′（x′，y′），
∴由中点公式和斜率公式知：
+ =0（1）
=1（2）
联解（1）（2）得：x′=-y，y=-x代入已知椭圆得：+ =1，故选A.
例5：如图，已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上.若点A（-1，0）和B（0，8）关于L对称的点都在C上，求直线L和抛物线C的方程.
解析：设L：y=kx，C：y =2px（p>0）.
A关于L对称的点为A′（a，b），
∴a= ，b= ，
同理B关于L对称的点B′（，）
∵A′和B′都在C上，分别代入C的方程得：
（）=2p（）（1）
[ ] =2p（）（2）
联解（1）（2）知：k = ，k = .
当k= 时，a= <0不符合题意.
∴k= ，此时，p= ，
∴L：y= x；C：y = x.
评析：上两例都是图形关于直线对称问题，其本质是首先转化为点关于直线对称.对于点P（a，b）关于直线L：Ax+By+C=0对称的点P′（a，b）有一般的结论：∵PP′的中点在L上：A +B +C=0（1）
又∵KPP′：K =-1，∴= （A≠0，B≠0）（2）
联解（1）（2）得
a=-
b=-
对于A=0或B=0，情况更简单，不再赘述.。