列方程解应用题的关键

列方程（组）解决实际问题的关键环节

文摘：在列方程解应用题的整个过程中，问题解决的关键是通过缜密地审题，探索问题中的相等关系。审题是基础，相等关系是关键，是建立方程模型的依据。

关键词：方程、审题、等量关系

建立数学模型解决实际问题是中学数学应用的重要组成部分。在初中阶段主要是建立方程（组）模型、建立不等式（组）模型、建立函数模型解决实际问题。在这三类模型中，建立方程（组）模型解决实际问题是学好其他两类问题的基础，因此列方程（组）解应用题的学习显得至关重要。但在实际的教学过程中，大多数的学生或许了解列方程解应用题的步骤，但在列方程时很盲目，他们往往急于设未知数，急于列方程，而缺乏对实际问题的分析，所列方程缺乏依据，这样拼凑出来的方程，不能反映实际问题。笔者结合多年的教学实践，谈谈列方程解应用题中教学体会，重点剖析列方程（组）解决实际问题的关键环节。

列方程解应用题的程序大致是：审题、找相等关系、设未知数、列方程、解方程、检验并写出答案。问题能否得以解决的标志是方程是否建立起来。众所周知方程本身是一种等式，因此要想得到方程，必须首先确立一个包含主要题意的相等关系。相等关系是列方程的背景和依据。所以列方程解应用题应以确立相等关系为中心。在复杂的问题中，等量关系的确立并不是一件容易的事，它应该以审题为基础。

审题并非简单的读题和看题，审题实质上是一种读取信息、获取信息、分析信息和处理信息的过程（而我们的许多学生连题目都没搞懂，方程竟然已经列了出来。）为此在审题的过程中需要对实际问题的信息进行集中、分析和处理，必要时可以画出一些示意图或列出表格，以达到对信息的直观把握。例如用直线型的示意图分析行程问题，用表格表示利润问题等。在仔细审题的基础上，探索出一个包含主要题意的相等关系，这种相等关系的表述用文字即可。接着要分析等号两边的数量如何用具体的数据或含未知数的代数式表示出来。这时你就清楚地知道需要设实际问题中的哪个未知数了。当你把等号两边的数量关系都表示出来的时候，这时等量关系也就以方程的形式呈现出来。显然这个方程是以一个具体的等量关系为依据，它能够反映实际问题中量与量之间的关系，这样的方程无疑是正确的。就此方程模型已经建立起来了，余下的问题无非就是解方程、检验以及写答案等简单的问题了。下面以一个具体的实例让我们切身体验一下方程模型的建立过程。

在沪科版八年级数学（下）P40页有这样一个问题：某企业用14400元制作一批广告牌，由于广告部的人员精打细算，使每块广告牌的制作费用减少了200元，这样不仅比原计划多做了2块，而且还节省了400元。问原计划做广告牌多少块？

对于这个问题我们首先要集中问题中的信息，并对此做缜密的分析和处理。相关信息为：

通过信息的集中和分析处理不难确定出问题包含了两个包含主要题意的相等关系。即：

一：原来每块的制作费用-200=实际每块的制作费用

二：实际制作的块数=原来制作的块数+2

有了等量关系后，接下来的问题就是如何把上述的等量关系中等号两边的量表示出来。对于等式一的左边每块的制作费用应该等于总的制作费用（14400）除以制作的块数（不妨设为x ），等号的右边实际每块制作的费用等于总的制作费用（14400-400）除以制作的块数（x+2）。这样就得到方程：

X 14400-200=2

40014400+-X (1) 对于等式二的左边实际制作的块数等于所花的总费用（14400-400）除以每块花的钱数（不妨设为x 元\块）,右边原来制作的块数等于所花总费用（14400）除以每块所花的钱数（每块比原计划节省200元）。这样就可得到方程：

= 20014400

+X +2 (2)

诚然所列的两个方程分别以两个等量关系作为依据和背景，它们从数量关系的角度如实地反映了实际问题，这样的方程无疑是正确

X 400

14400-

的。而且等量关系不同所设未知数和所列方程也不同，这一点恰恰体现了等量关系的决定作用，即：等量关系决定了未知数的设法和方程的形式！因此从这里你就会体会出确定等量关系是何等的重要。

纵观列方程解应用题的整个过程，问题解决的关键是通过缜密地审题，探索问题中的相等关系。审题是基础，相等关系是中心环节。在审题过程中为了帮助对实际问题中的信息的把握，有时我们需要画出各种形式的示意图，要提倡和鼓励学生这样做，只有这样才能帮助他们对实际问题的直观理解，实现抽象的问题具体化，为等量关系的得出做好铺垫。示意图画法并不拘泥于形式，因人因问题而变，只要能帮助你分析和处理实际问题中的信息的图示都是好的图示。得出等量关系后，如何把它转化成方程这一点也很重要。在这个环节中，要仔细分析等号两边的数量，分析如何用具体的数据或含有未知数的代数式把它们表示出来。这一过程实质就是把等量关系转化为方程的过程，这也是恰好体现“等量关系”作用的过程。有什么样的等量关系就会得到相应的方程，等量关系不同，你所设的未知数和你所列的方程就会随之改变。这一点也恰好体现了等量关系的对所列方程的统领作用。

综上所述列方程解应用题的教学应以探索相等关系为中心，以缜密地审题为基础，辅以合理的图示为手段，为列方程寻找依据，克服学生急于设未知数，盲目列方程（没有依据）的坏毛病。只要树立起建立方程模型以“相等关系”为中心的意识，相信我们的学生在这一点上会有实质性的突破的。

列方程（组）解决实际问题的关键环节

任怀振

2012.12