08点的合成运动

第八章
8-1
点的合成运动
如图所示，光点 M 沿 y 轴作谐振动，其运动方程为： x 0 ， y a cos(kt ) 如将点 M 投影到感光记录纸上，此纸以等速 v e 向左运动。求点 M 在记录纸上的轨迹。
解：把动坐标系 O ' x' y ' 固连在纸上， M 点的相对运动的运动方程为 x' ve t ， y ' a cos(kt ) 消去 t 即可得到 M 点在记录纸上的轨迹方程
v r1
√ ？
=
OM OM 1 式（3）向 v e2 方向投影，得
v e2 OM OM 2
v r2
√ ？
ve1 v r1 cos 30 ve2 b b ve1 v e2 cos30 1 cos30 2 4b ( 1 2 ) v r1 cos30 cos30 3
v1 cos v 2 sin v M v1 v r1 得
v M v12 v r21
1 sin
2 v12 v 2 2v1v 2 cos
8-15 图示公路上行驶的两车速度都恒为 72 km/h。图示瞬时，在 B 车中的观察者看来， 车 A 的速度、加速度应为多大？（原书该题 A、B 反了） 解： （一）运动分析： 动点：A 车；动系：固连于 B 车；定系：地面；绝对运动：直线；相对运动：平 面曲线；牵连运动：定轴转动。 （二） v 分析 va = ve vr +
2 rad/s ， 2 rad/s 2 ， a e a 0.493 m/s 2 2 0.80 m/s 2 ， a rt r 0.40 m/s 2 ， a rn r
a a a rn a rt a e 分别向 x 、 y 轴方向投影得 a x a e a rn cos 30 a rt sin 30
8-5 杆 OA 长 l ，由推杆推动而在图面内绕点 O 转动，如图所示。假定推杆的速度为 v ，其 弯头高为 a 。试求杆端 A 的速度的大小（表示为推杆至点 O 的速度 x 的函数） 。 解：取推杆上与 AO 杆接触的 B 点为动点，动系固连在 AO 上，B 点速度分析如图。设 OA 角 速度为 va v ， ve OB va sin ， OB v sin 以
61
因 v e v 0 ，从速度分析中得 v r （2）加速度 因 v 0 =常量，故 a e 0 而
ve 1.155v cos
2 v r2 4v0 a R 3R n t 根据 a a a e a r 知 a a a r a r a r n r
2 a rn 8 3 v0 从加速度分析中得， a r a a cos 9 R
于是得
vCD v a ve cos O1 A cos 0.10 m/s aCD a a a e sin O1 A 2 sin 0.346 m/s 2
方向如图。
8-19 如图所示，曲柄 OA 长 0.4 m ，以等角速度 0.5 rad/s 绕 O 轴逆时针转向转动。 由于曲柄的 A 端推动水平板 B ， 而使滑杆 C 沿铅直方向上升。 求当曲柄与水平线间的夹角 30 时，滑杆 C 的速度和加速度。 解：取曲柄 OA 端点 A 为动点，动坐标系固连在滑杆 BC 上，杆 BC 作平动， A 点的牵连 速度与牵连加速度即为杆 BC 的速度与加速度。 运动分析如图（a） ，得 vC ve OA cos 0.173 m/s （↑）
57
由速度合成定理 v a v e v r 因为 O1O2 A 为一等腰三角形，故
O1 A O1O2 a ，O2 A 2a cos 30 ，va a 1 ，ve O2 A 2a cos 30
由图（ a 1 ）知： v a 得 故
a 1 2 a
式（3）向 v r2 方向投影，得
1 2b ( 1 2 ) 0.4 m/s v r1 2 3 0.1 ve2 3 0.346 m/s 3 2 v r2
所以
v v 2 v 2 0.529 m/s e2 r2 a ve2 0.346 , 40.9 tan 0.4 v r2
va 2 a cos 30

1
2
1.5 rad/s （逆时针转向）
va O2 A 1 2a cos 30 ， ve O1 A1 a 1 ve a 1 由图（b 1 ）知： v a cos30 cos30 a 1 得 2a cos 30 cos 30 2 所以 1 2 rad/s （逆时针转向） 3
aC a e OA 2 cos 0.05 m/s
方向如图
（↓）
8-21
向上升，如图所示。求 30 时杆 AB 相对于凸轮的速度和加速度。
半径为 R 的半圆形凸轮 D 以等速 v 0 沿水平线向右运动，带动从动杆 AB 沿铅直方
解：取杆 AB 的顶点 A 为动点，动系固连于凸轮上。杆 AB 的运动与 A 点运动相同。运动 分析如图所示。 （1）速度
sin
最终得
x2 a2 lav va l 2 ，方向如图 x a2
a OB
a
代入上式得，ຫໍສະໝຸດ Baidu
va x a2
2
8-7
在图 a 和 b 所示的两种机构中，已知 O1O2 a 200 mm ， 1 3 rad/s 。求图示
位置时杆 O2 A 的角速度。 。 解： （a）以套筒A为动点， O2 A 杆为动系，速度分析如图（a 1 ）
v M v1 v r1 v M v 2 v r2
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上式向 x 、 y 轴投影得， 0 v r1 v 2 sin v r2 cos ， v1 0 v 2 cos v r2 sin 解得 由
所以 v1 v r1 v 2 v r2
v r1
ve OA v va e cos
OA l 2 v 2 t 2 l cos OA v
所以
（2） （3） （4） （5）
将式（1） 、 （2） 、 （4） 、 （5）代入式（3）中，得
OA OA 2 (v 2 t 2 l 2 ) l l cos
+
aC
vr
AO AO e2
2 e v r
20 2 a e 150 ( ) 6 m/s 2 100 1 a C 2 e v r 2 48.365 19.346 m/s 2 5
（*）式向 y ' 投影，得
a ry ' ae aC cos 6 19.346 cos11.93 12.9
ve R 2
nπ 6.283 m/s 30
方向与 y ' 轴平行，由图（a）
ve va vr sin(60 ) sin(90 ) sin30 前一等式得 ve cos va sin(60 ) v v a sin 60 即 tan e va cos 60 把 ve 6.283 m/s 及 va 15 m/s 代入解得 4148' sin 30 后一等式得 v r va 10.1 m/s cos
因为 所以
OA 3 vA 大小 vB 2 由已知知， v A v B 20 m/s ve 30 m/s
方向
vA
？ ？
v r 47.32i '10 j ' m/s ， tan
（三） a 分析
10 , 11.93 47.32
+
aa
（*） 方向√ 大小 0
=
ae
ar
？ ？
。 （b）以套筒为动点， O1 A 杆为动系，速度分析如图（b 1 ）
8-9
如图所示，摇杆机构的滑杆 AB 以等速 v 向上运动，初瞬时摇杆 OC 水平。摇杆长
OC a ，距离 OD l 。求当
π 时点 C 的速度的大小。 4
解：取套筒 A 为动点，动系固连在 OC 上，如图（a） 设 OC 杆角速度为 ，其转向逆时针。由题意及几何关系可得 va v （1）
直线 AB 以大小为 v1 的速度沿垂直于 AB 的方向向上移动；直线 CD 以大小为 v 2 的速
8-13
度沿垂直于 CD 的方向向左上方移动，如图所示。如两直线间的交角为 ，求两直线交点 M 的速度。 解：先将动系固连在 AB 上，则动点 M 的牵连速度为 v1 ，相对速度 v r1 ，再将动系固连在 CD 上，则动点 M 的牵连速度为 v 2 ，相对速度 v r 2 ，见图（a） ，两种情况用速度合成定理矢量 式分别为
（*）式向 x' 投影，得 所以
a rx ' a C sin 4
a r 4i '12.9 j ' m/s 2
60
8-17 图示铰接四边形机构中， O1 A O2 B 100 mm ，又 O1O2 AB ，杆 O1 A 以等角 件都在同一铅直面内。求当 60 时，杆 CD 的速度和加速度。
速度 2 rad/s 绕 O1 轴转动。杆 AB 上有一套筒 C ，此筒与杆 CD 相铰接。机构的各部 解：将动坐标系固连在 AB 杆上，取 CD 杆上 C 点为动点。杆 AB 及 CD 作平动。速度与 加速度分析如图，图中 v A v B ve ， vCD va ， a A a B a e 及 aCD a a 。
a y a rn sin 30 a rt cos 30
2 2

vla v t l2
58
因 当 故
vC a


vla v t l2
2 2
4 va vC 2l
时， v t l
8-11 绕轴 O 转动的圆盘及直杆 OA 上均有一导槽，两导槽间有一活动销子 M 如图所示， b 0.1 m 。设在图示位置时，圆盘及直杆的角速度分别为 1 9 rad/s 和 2 3 rad/s 。 求此瞬时销子 M 的速度。 解： （一）动点：M；动系：轮 O；定系：机架 牵连运动：定轴转动；相对运动：直线；绝对运动：平面曲线 （1） v a v e1 v r1 （二）动点：M；动系：OA；定系：机架 牵连运动：定轴转动；相对运动：直线；绝对运动：平面曲线 （2） v a v e2 v r2 所以 方向 大小 （1）=（2） + v e1
8-23
小车沿水平方向向右作加速运动，其加速度 a 0.493 m/s 。在小车上有一轮绕 O
2
2
轴转动，转动的规律为 t （ t 以 s 计， 以 rad 计） 。当 t 1 s 时，轮缘上点 A 的位置 如图所示。如轮的半径 r 0.2 m ，求此时点 A 的绝对加速度。 解：取 A 为动点，动系固连于小车上，加速度分析如图，图中 a x 、 a y 为 A 点的绝对加速 度沿 x 、 y 轴的两个分量。由题意得 t 1 s 时各量为
y ' a cos(
k x' ) ve
并与直径成 60 角， 如图所 8-3 水流在水轮机工作轮入口处的绝对速度 va 15 m/s ， 示，工作轮的半径 R 2 m ，转速 n 30 r/min 。为避免水流与工作轮叶片相冲击，叶片 应恰当地安装，以使水流对工作轮的相对速度与叶片相切。求在工作轮外缘处水流对工作 轮的相对速度的大小方向。 解： 取水轮机工作轮入口处的一滴水为动点 M， 动坐标系建立在工作轮上， 速度分析图 （a） ， 设 为 v r 与 x' 轴的夹角。M 点的牵连速度为