一元二次方程提高二

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初中八年级数学一元二次方程提高练习

初中数学一元二次方程提高练习一、单选题（共12题；共24分）1.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是（）A. 0B. 1C. −3D. −12.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A. B. 且 C. 且 D.3.对于任意实数k，关于x的方程的根的情况为（）A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根C. 有两个不相等的实数根D. 无法判定4.下列命题正确的是（）A. 若分式的值为0，则x的值为±2．B. 一个正数的算术平方根一定比这个数小．C. 若，则．D. 若，则一元二次方程有实数根．5.已知二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程的两根之积为（）A. 0B.C.D.6.直线不经过第二象限，则关于的方程实数解的个数是（）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 1个或2个7.规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（）A. ②B. ①③C. ②③④D. ②④8.一元二次方程配方后化为（）A. B. C. D.9.关于x的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正．给出四个结论：①这两个方程的根都是负根；② ；③ ．其中正确结论的个数是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个10.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则+ 的值是（）A. 3B. ﹣3C. 5D. ﹣511.方程x2+ax+7=0和x2﹣7x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（）A. 9B. 8C. 7D. 612.设是方程的两个实数根，则的值是( )A. -6B. -5C. -6或-5D. 6或5二、填空题（共5题；共5分）13.已知关于的一元二次方程，有下列结论：①当时，方程有两个不相等的实根；②当时，方程不可能有两个异号的实根；③当时，方程的两个实根不可能都小于1；④当时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3．以上4个结论中，正确的个数为________．14.一元二次方程的解为________．15.已知关于的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________．16.若方程的根也是方程的根，则________.17.设m，n分别为一元二次方程x2＋2x－2018＝0的两个实数根，则m2＋3m＋n＝________.三、计算题（共3题；共25分）18.解方程：（1）（x﹣4）2﹣3＝0；（2）4（x﹣3）＝2x（x﹣3）.19.解下列方程：（1）3（5﹣x）2＝2（x﹣5）；（2）x2﹣4x+2＝0.20.已知关于的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，求的值.四、解答题（共2题；共10分）21.阅读下面的例题：解方程x2﹣|x|﹣2＝0解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）；当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1，（不合题意，舍去）x2＝﹣2；∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．请参照例题解方程x2﹣|x﹣1|﹣1＝0．22.某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查发现：在一段时间内，当销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．若商场要获得10000元销售利润，该玩具销售单价应定为多少元？售出玩具多少件？答案解析部分一、单选题1.【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得，解得；故答案为：B．【分析】把x＝代入方程就得到一个关于m的方程，就可以求出m的值．2.【答案】C【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解得k≤ 且k≠0，故答案为：C．【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．3.【答案】B【解析】【解答】解：，，不论k为何值，，即，所以方程没有实数根，故答案为：B．【分析】先根据根的判别式求出“△”的值，再根据根的判别式的内容判断即可．4.【答案】D【解析】【解答】A.当x=2时，分式无意义，故A选项不符合题意；B.1的算数平方根还是1，不符合“一个正数的算术平方根一定比这个数小”，故B选项不符合题意；C.可以假设b=2，a=1，满足，代入式子中，通过计算发现与结论不符，故C选项不符合题意；D. ，当时，，一元二次方程有实数根，故D选项符合题意．故本题选择D．【分析】A选项：当x=2时，分式无意义；B选项：1的算数平方根还是1；C选项：可以让b=2，a=1，代入式子中即可做出判断；根据根的判别式可得到结论．5.【答案】D【解析】【解答】解：∵二次函数，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，可知二次函数图像的对称轴为直线x=0，即y轴，则，解得：a=-2，则关于x的一元二次方程为，则两根之积为，故答案为：D.【分析】根据题意可得二次函数图像的对称轴为y轴，从而求出a值，再利用根与系数的关系得出结果.6.【答案】D【解析】【解答】∵直线不经过第二象限，∴，∵方程，当a=0时，方程为一元一次方程，故有一个解，当a<0时，方程为一元二次方程，∵∆= ，∴4-4a>0，∴方程有两个不相等的实数根，故答案为：D.【分析】根据直线不经过第二象限，得到，再分两种情况判断方程的解的情况.7.【答案】D【解析】【解答】解：①x2+2x﹣8＝（x+4）(x-2)=0 ,∴x1=-4,x2=2, x1=-2x2, 不是倍根方程，错误；②由题意得：2x12=2, ∴x1=±1，∴x1=1,x2=2,x1=-1,x2=-2, 则a＝x1+x2=±3, 正确；③∵x1=3,x2=, 当x1=2x2时，3m=2n, 当x2=2x1时，n=6m, 错误；④由题意得：n=, ∴mx2-3x+=0, ∴x1+x2=,x1x2=, 整理得：2x12-5x1x2+2x22=0, ∴（x1-2x2）(2x1-x2)=0, ∴x1=2x2, 或x2=2x1，正确；综上，正确的是②④ .故答案为：D.【分析】①用十字相乘法解一元二次方程直接验证即可；②先根据两根之积等于2，分两种情况讨论均符合“倍根方程”的条件；③分两种情况讨论，结合倍根方程的条件可得m和n的关系；④根据反比例函数式，求出m和n的关系，利用一元二次方程根与系数的关系列式整理即可求得两根之间的关系.8.【答案】B【解析】【解答】,,.故答案为：B.【分析】配方法的基本步骤，在方程两边加上一次项系数的一半的平方。

一元二次方程培优提高题解析

一元二次方程培优提高题解析一、利用判别式判断方程根的情况1. 已知关于x的一元二次方程(m - 1)x^2+2x - 1=0有两个不相等的实数根，求m 的取值范围。

解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，判别式Δ=b^2-4ac。

在方程(m - 1)x^2+2x - 1=0中，a = m- 1，b=2，c=-1。

因为方程有两个不相等的实数根，所以Δ>0且a≠0。

首先计算Δ = 2^2-4(m - 1)×(-1)>0，4 + 4(m - 1)>0，4+4m-4>0，4m>0，解得m>0。

又因为a=m - 1≠0，即m≠1。

所以m的取值范围是m>0且m≠1。

2. 若关于x的一元二次方程kx^2-2x + 1 = 0没有实数根，求k的取值范围。

解析：对于方程kx^2-2x + 1=0，其中a = k，b=-2，c = 1。

因为方程没有实数根，所以Δ=b^2-4ac<0。

Δ=(-2)^2-4k×1<0，4 - 4k<0，-4k<-4，解得k > 1。

又因为方程是一元二次方程，所以k≠0。

综上，k的取值范围是k>1。

二、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）1. 已知方程x^2-3x - 4 = 0的两根为x_1，x_2，求x_1^2+x_2^2的值。

解析：对于一元二次方程ax^2+bx + c=0(a≠0)，若两根为x_1，x_2，则x_1+x_2=-(b)/(a)，x_1x_2=(c)/(a)。

在方程x^2-3x - 4 = 0中，a = 1，b=-3，c=-4。

所以x_1+x_2=-(-3)/(1)=3，x_1x_2=(-4)/(1)=-4。

x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=3^2-2×(-4)=9 + 8=17。

2. 已知关于x的方程x^2+kx + k - 1=0的两根为x_1，x_2，且x_1^2+x_2^2=5，求k的值。

一元二次方程提高题

九年级上辅导一一元二次方程提高题类型一、整体性思维在解题中的应用1、整体求值例、已知m 是一元二次方程x 2－2x －1=0的根,求2m 2－4m 的值。

2、整体代入例、已知x 2－5x －1=0，求x 2+－11的值.3、整体求积例、在Rt ⊿ABC 中，∠C=90°,AC+BC=,AB=.求S ⊿ABC.4、变0代入例、当x=时，求式子(4x 3-2012x -2009)2009的值。

类型二、一元二次方程中的规律探究例、已知下列n （n 为正整数）个关于x 的一元二次方程：()x x x x x x n x n n 2222101202230310-=<>+-=<>+-=<>+--=<>……、（1）请解上述一元二次方程<1>、<2>、<3>、<n>；（2）请你指出这n 个方程的根具有什么共同特点。

x2165220091+类型三、方程中的绝对值例、解方程：220x x --=练习：解方程2330x x ---=。

类型四配方法求二次三项式的最值例、求代数式x 2－4x ＋5的最小值是（）练习：1、多项式－2x 2＋8x ＋5的说法正确的是（）A ．有最大值13B ．有最小值－3C ．有最大值37D ．有最小值12．求证：代数式3x 2－6x ＋9的值恒为正数．3、若M ＝10a 2＋2b 2－7a ＋6，N ＝a 2＋2b 2＋5a ＋1，试说明无论a ，b 为何值，总有M ＞N .练习：1．如果二次三项式是一个完全平方式，那么的值是___．2．若与互为倒数，则实数为___．．3．方程的根是，则可分解为 .4．直角坐标系xOy 中，已知点P (m ，n )，m ，n 满足(m 2＋1＋n 2)(m 2＋3＋n 2)＝8，则OP 的长为（）5．如果一元二方程有一个根为0，则．6．已知，求的值．221)16x m x -++（m 12+x 12-x x 0222=--x x 31±=x 222--x x 043)222=-++-m x x m （m =)0(04322≠=-+y y xy x y x yx +-根与系数的关系1．已知α，β是方程x 2+2006x +1=0的两个根，则（1+2008α+α2）（1+2008β+β2）的值为（）2．方程的一个根为另一个根的2倍，则 .3. 若方程043222=-+-a x x 有两个不相等的实数根，则a 的取值范围为____，则a a a 81622-+--的值等于________。

2024年浙教版数学八年级下学期第二章一元二次方程单元练习提高(含简单答案)

2024年浙教版数学八年级下学期第二章一元二次方程单元练习提高一、选择题（每题3分，共30分）1．下列方程属于一元二次方程的是（）A．2x+1=0B．x²−3x+1=0C．x²+y=1D．1=1x22．用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（）A．（x+2）2=9 B．（x﹣2）2=9 C．（x+2）2=1 D．（x﹣2）2=13．方程x2+5x=0的解为（）A．x=5B．x=-5C．x₁=0，x₂=5D．x₁=0，x₂=−54．我们知道方程x2+2x-3=0的解是x1=1，x2=-3，现给出另一个方程(2x+3)2+2(2x+3)-3=0，它的解是（）A．x1=1，x2=3B．x1=1，x2=-3C．x1=-1，x2=-3D．x1=-1，x2=35．关于x的一元二次方程x2−4x−k=0没有实数根，则k的取值范围是（）A．k>4B．k<4C．k>−4D．k<−46．三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x2−11x+30=0的解，则这个三角形的周长是（）A．11B．11或12C．12D．107．已知x₁，x₂是方程：x2−x−2024=0的两个实数根，则代数式x31−2024x1+x22的值是（）A．4 049B．4 047C．2 024D．18.假期老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是（）A．7B．8C．9D．109．方程x2-2013|x|+2014=0的所有实数解的和是（）A．-2013B．0C．2 013D．2 01410．对于一元二次方程a x2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+b+c=0，则b2−4ac≥0；②若方程a x2+c=0有两个不相等的实根，则方程a x2+bx+c=0必有两个不相等的实根；③若c是方程a x2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；②若x0是一元二次方程a x2+bx+c=0的根，则b2−4ac=(2ax0+b)2其中正确的（）A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②二、填空题（每题4分，共24分）11．x=2是关于x的方程x2+mx+4=0的解，则m的值是．12．若(x2+y2)(x2+y2-2)=8，则x2+y2的值为．13．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方少9.如果把十位上的数字与个位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是．14．若实数a,b满足（4a+4b）（4a+4b-2）-8=0，则a+b=_________．15．已知关于x的一元二次方程，x2+ax+(m+1)(m+2)=0对任意的实数a均有实数根，则实数m的取值范围是_____.16.《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为7−4=3.”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为．三、解答题（共8题，共66分）17．解下列方程．（1）x2-2=x；（2）2x2+x-1=018．已知关于x的方程x2−(m+2)x+(2m−1)=0．（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；（2）若此方程的一个根是1，求另一个根及m的值．19．已知方程x2-3x-1=0的两根也是方程x4+ax2+bx+c=0的根，求a+b-2c的值.20．已知关于x的方程k x2+(k+1)x+k=0有实数根.4（1）当k=4时，求解上述方程.（2）求k的取值范围.（3）是否存在实数k，使方程有两个根且两根的倒数和为1? 若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由.21．定义：若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足b＝ac．则称此方程为“和美”方程．（1）当b＜0时，判断此时“和美”方程ax2+bx+c＝0（a≠0）解的情况，并说明理由．（2）若“和美”方程2x2+mx+n＝0有两个相等的实数根，请解出此方程．22．已知a＞0，b＞a+c，判断关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况.23．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。

9一元二次方程的应用—知识讲解(提高)及其练习含答案

一元二次方程的应用—知识讲解（提高）【学习目标】1. 通过分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决实际问题，总结运用方程解决实际问题的一般步骤；2. 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力.【要点梳理】要点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.2.解决应用题的一般步骤：审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列(根据题目中的等量关系，列出方程)；解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）答(写出答案，切忌答非所问).要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.要点二、一元二次方程应用题的主要类型1.数字问题(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.如：一个三位数，个位上数为a ，十位上数为b ，百位上数为c ，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.如：三个连续整数，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-1，x+1.几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x ，则另两个数分别为x-2，x+2.2.平均变化率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.(1)增长率问题：平均增长率公式为(1)na xb += (a 为原来数，x 为平均增长率，n 为增长次数，b 为增长后的量.)(2)降低率问题：平均降低率公式为(1)n a x b -= (a 为原来数，x 为平均降低率，n 为降低次数，b 为降低后的量.)3.利息问题(1)概念：本金：顾客存入银行的钱叫本金.利息：银行付给顾客的酬金叫利息.本息和：本金和利息的和叫本息和.期数：存入银行的时间叫期数.利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.(2)公式:利息=本金×利率×期数利息税=利息×税率本金×(1+利率×期数)=本息和本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时)4.利润(销售)问题利润(销售)问题中常用的等量关系：利润=售价-进价(成本)总利润=每件的利润×总件数5.形积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.要点诠释：列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.【典型例题】类型一、数字问题1.（2015春•兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是143，求这两个数．【答案与解析】解：设这两个连续奇数为x ，x+2，根据题意x （x+2）=143，解得x 1=11（不合题意舍去），x 2=﹣13，则当x=﹣13时，x+2=﹣11．答：这两个数是﹣13，﹣11．故答案为：﹣13，﹣11．【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．类型二、平均变化率问题2.（2016•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2015年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2013年底该市汽车拥有量为10万辆，设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（）A．10（1+x）2=16.9 B．10（1+2x）=16.9 C．10（1﹣x）2=16.9 D．10（1﹣2x）=16.9【思路点拨】根据题意可得：2013年底该市汽车拥有量×（1+增长率）2=2015年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．【答案】A．【解析】解：设2013年底至2015年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意，可列方程：10（1+x）2=16.9，故选：A．【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．举一反三：【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是( )A．1331 B．1210 C．1100 D．1000【答案】设每人每轮传染x人，则(1+x)2＝121，x1＝10，x2＝-12舍去，第三轮传染后患流感人数为121(1+10)＝1331人．类型三、利润（销售）问题3. 有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10 kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出?【答案与解析】解：设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．根据题意，得20×10x+(30+x)(1000-10x)-(400x+30×1000)＝6250，整理，得x2-50x+625＝0，∴ x1＝x2＝25．答：经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元．【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及x天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破．举一反三：【变式】（2015•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．据此规律计算：每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元．【答案】解：∵降价1元，可多售出2件，降价x 元，可多售出2x 件，盈利的钱数=50﹣x ，由题意得：（50﹣x ）（30+2x ）=2100，化简得：x 2﹣35x+300=0，解得：x 1=15，x 2=20，∵该商场为了尽快减少库存，∴降的越多，越吸引顾客，∴选x=20，答:每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.类型四、行程问题4. 一辆汽车以20m /s 的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后又滑行25m 后停车．（1）从刹车到停车用了多少时间？（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？（3）刹车后汽车滑行到15m 时约用了多少时间（精确到0.1s ）？【答案与解析】解：（1）已知刹车后滑行路程为25m ，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s 到0m/s 是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即20010(/)2m s +=，于是刹车到停车的时间为“行驶路程÷平均车速”，即2510 2.5()s ÷=．（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度-末速度）÷车速变化时间”，即22008(/)2.5m s -=．（3）设刹车后汽车行驶到15m 用了x s ，由（2）可知，这时车速为(208)/x m s -．这段路程内的平均车速为20(208)(/)2x m s +-，即(204)/x m s -．由速度×时间=路程，得(204)15x x-=．解方程，得510x ±=根据问题可知，2040x ->，即x ＜5，又x ＜2.5；所以0.9x =≈．刹车后汽车行驶到15m 时约用了 0.9 s ．【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题.一元二次方程的应用—巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1.（2016•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（）A．x（x﹣1）=45 B．x（x+1）=45 C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=452．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是( )A．168(1+a%)2＝128 B．168(1-a%)2＝128 C．168(1-2a%)2＝128 D．168(1-a2%)＝128 3．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积为296cm2，则截去小正方形的边长为 ( )A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm4．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（）千米/时.A．2,6 B．12,16 C．16,20 D．20,245．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％(即每100千克花生可加工成花生油50千克)．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为 ( )A．20％B．30% C．50% D．120%6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（）A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．8．有一间长20 m，宽15 m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是米.10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是．11．某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400 km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2013年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324 km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是．12．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=秒时，S1=2S2．三、解答题13．（2016•百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．（1）求这地面矩形的长；（2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？14.（2015•广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?【答案与解析】一、选择题1.【答案】A【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为x（x﹣1），∴共比赛了45场，∴x（x﹣1）=45，故选A．2．【答案】B；【解析】168元降价a%后的价格为168(1-a%)元，再降价a%后为168(1-a%)(1-a%)元．根据题意可列方程168(1-a%)2＝128．3．【答案】D；【解析】设截去小正方形的边长为x，则30×12-4x2＝296，∴ x2＝16，x1＝-4(舍去)，x2＝4．4.【答案】C；【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.根据题意，得解之,得x1=16，x2=－2.经检验：x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.∴当x=16时，x+4=20.5．【答案】A；【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x．1216(),=0.2=205x x =-舍去％. 6．【答案】D ；【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x 升，则第一次倒出纯酒精x 升，第二次倒出纯酒精（2020x -·x ）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．20－x －2020x -·x ＝5．二、填空题7．【答案】220.【解析】方法一，设增长的百分率为x ，则2010年盈利额为200(1+x)万元，2011年的盈利额为200(1+x)2万元，依题意得200(1+x)2＝242．解得x 1＝10%，x 2＝-2.1(舍去)，∴ 200(1+x)＝200(1+10%)＝220．方法二，设2010年的盈利额为x 万元，则2010年增长的百分率为200100%200x -⨯， 2011年增长的百分率为242100%x x -⨯，由增长率相同可列方程200242200x x x --=，解得x 1＝220，x 2＝-220(舍去)8．【答案】2.5m.【解析】设留空的宽度为x m ，则1(152)(202)20152x x --=⨯⨯，解得x 1＝15(舍去)，252x =． 9．【答案】1.【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm ，即可耕土地的长为(120-4x)m ，宽为(78-3x)m ．(120-4x)(78-3x)＝8700，即x 2-56x+55＝0，解得x 1＝1，x 2＝55．当x ＝55时，3×55＝165＞78，(不合题意，舍去)．∴ x ＝1．答：水渠应挖1m 宽．10．【答案】35或53．【解析】设原两位数的十位数字为x ，则个位数字是(8-x)，由题意得[10x+(8-x)]·[10(8-x)+x]＝1855．化简得x 2-8x+15＝0，解之得：x 1＝3，x 2＝5．经检验，x 1＝3，x 2＝5都符合题意．答：原两位数是35或53．11．【答案】10%．【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x，依题意得：400+400(1+x)+400(1+x)2＝1324．即100x2+300x-31＝0．解得x1＝0.1＝10%，x2＝-3.1(不合题意，舍去)．答：今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%．12.【答案】6.【解析】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，∴AD=BD=CD=8cm，又∵AP=t，则S1=AP•BD=×8×t=8t，PD=8﹣t，∵PE∥BC，∴△APE∽△ADC，∴，∴PE=AP=t，∴S2=PD•PE=（8﹣t）•t，∵S1=2S2，∴8t=2（8﹣t）•t，解得：t=6．三、解答题13.【答案与解析】（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：x（20﹣x）=96，解得x1=12，x2=8（舍去），答：这地面矩形的长是12米；（2）规格为0.80×0.80所需的费用：96÷（0.80×0.80）×55=8250（元）．规格为1.00×1.00所需的费用：96÷（1.00×1.00）×80=7680（元）．因为8250＞7680，所以采用规格为1.00×1.00所需的费用较少．14. 【答案与解析】解：（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得（）2+（）2=58，解得：x1=12，x2=28，当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．答：李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；（2）李明的说法正确．理由如下：设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得（）2+（）2=48，变形为：m 2﹣40m+416=0，∵△=（﹣40）2﹣4×416=﹣64＜0，∴原方程无实数根，∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2．15. 【答案与解析】(1)当蚂蚁在AO 段时，设离开A 点t s 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积是450cm 2．根据题意，得(502)34502t t -=．整理得：2251500t t -+=，解得t 1＝10，t 2＝15．(2)当蚂蚁爬完AO 这段距离用了50252s =后，开始由O 向B 爬行，设从O 点开始x s 后组成的三角形的面积是450 cm 2，根据题意，得：23(25)4502x x +=，整理得x 2+25x-150＝0，解得x 1＝5，x 2＝-30(舍去)．当x ＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A 点爬了30s ．答：分别在10s ，15s ，30s 时，两只蚂蚁与O 点组成的三角形的面积是450cm 2．。

用函数观点看一元二次方程—知识讲解提高-精品

用函数观点看一元二次方程一知识讲解（提高）【学习目标】1.会用图象法求一元二次方程的近似解；掌握二次函数与一元二次方程的关系；2.会求抛物线与x轴交点的坐标，掌握二次函数与不等式之间的联系；3.经历探索验证二次函数y=o?+法+w0）与一元二次方程的关系的过程，学会用函数的观点去看方程和用数形结合的思想去解决问题.【要点梳理】要点一、二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况求二次函数y=心？+"+c（aWO）的图象与x轴的交点坐标，就是令y=0,求^,+人工+0二。

中x的值的问题.此时二次函数就转化为一元二次方程，因此一元二次方程根的个数决定了抛物线与x轴的交点的个数，它们的关系如下表：要点诠释：二次函数图象与X轴的交点的个数由&2一的值来确定的.(1)当二次函数的图象与X轴有两个交点时，A=i-2-4t7C>0,方程有两个不相等的实根；(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点时，A=i2-4^=0,方程有两个相等的实根；(3)当二次函数的图象与x轴没有交点时，A=A2-4^<0,方程没有实根.2.抛物线与直线的交点问题抛物线与x轴的两个交点的问题实质就是抛物线与直线的交点问题.我们把它延伸到求抛物线J=ax2+/?x+c(aWO)与y轴交点和一次函数与一次函数y=丘+4(Z。

0)的交点问题.抛物线y+bx+c(a#0)与y轴的交点是(0,c)., [y=kx+b x,抛物线y=+法+。

(aWO)与一次函数y=阮+4(kWO)的交点个数由方程组< ,[y=ax+bx+c 的解的个数决定.当方程组有两组不同的解时o两函数图象有两个交点；当方程组有两组相同的解时o两函数图象只有一个交点；当方程组无解时o两函数图象没有交点.总之，探究直线与抛物线的交点的问题，最终是讨论方程(组)的解的问题.要点诠释：求两函数图象交点的问题主要运用转化思想,即将函数的交点问题转化为求方程组解的问题或者将求方程组的解的问题转化为求抛物线与直线的交点问题.要点二、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解用图象法解一元二次方程+W+c=0(以=0)的步骤：1.作二次函数y=ax+M4-C(L Z H0)的图象，由图象确定交点个数，即方程解的个数；2.确定一元二次方程+岳:+c=0(。

2023年高考备考一元二次方程的解法(二)配方法—知识讲解(提高)

一元二次方程的解法〔二〕配方法—知识讲解〔提高〕（学习目标）1．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；2．掌握运用配方法解一元二次方程的根本步骤；3．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力。

（要点梳理）知识点一、一元二次方程的解法---配方法1．配方法解一元二次方程： (1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. (2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：. (3)用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①把原方程化为的形式； ②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④再把方程左边配成一个完全平方法，右边化为一个常数； ⑤假设方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；假设右边是一个负数，则判定此方程无实数解.要点诠释：〔1〕配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；〔2〕配方法关键的一步是“配方〞，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.〔3〕配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±．知识点二、配方法的应用1．用于比拟大小：在比拟大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零〔或小于零〕而比拟出大小.2．用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方法后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．3．用于求最值：“配方法〞在求最大〔小〕值时的应用，将原式化成一个完全平方法后可求出最值．4．用于证明：“配方法〞在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会了解“配方法〞在二次函数中也有着广泛的应用．要点诠释：“配方法〞在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，商量不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们肯定要把它学好．（典型例题）类型一、用配方法解一元二次方程1. 〔2023春•石景山区期末〕用配方法解方程：2x 2﹣12x ﹣2=0．（思路点拨）首先将二次项系数化为1，再将方程的常数项移动方程右边，两边都加上9，左边化为完全平方法，右边合并，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．（答案与解析）解：2x 2﹣12x ﹣2=0，系数化为1得：x 2﹣6x ﹣1=0，移项得：x 2﹣6x=1，配方得：x 2﹣6x +9=10，即〔x ﹣3〕2=10，开方得：x ﹣3=±，则x 1=3+，x 2=3﹣．（总结升华）此题考查了解一元二次方程﹣配方法，利用此方法解方程时，首先将二次项系数化为1，常数项移动方程右边，然后两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方法，右边合并，开方转化为两个一元一次方程来求解．举一反三：（变式）用配方法解方程〔1〕〔2〕20x px q ++=2x 2+3=5x （答案）〔1〕2235x x += 2253x x -=- 25322x x -=- 2225535((2424x x -+=-+ 251()416x -= 5144x -=± 123,12x x ==.〔2〕20x px q ++= 222()(22p p x px q ++=-+ 224()24p p q x -+= ①当240p q -≥时，此方程有实数解，12x x ==； ②当240p q -＜时，此方程无实数解. 类型二、配方法在代数中的应用2. 用配方法证明21074x x -+-的值小于0．（思路点拨）此题不是用配方法解一元二次方程，但所用的配方法思想与自己学的配方法大同小异，即思路一致．（答案与解析） 22271074(107)410410x x x x x x ⎛⎫-+-=-+-=--- ⎪⎝⎭A 27494910410400400x x ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭274910420400x ⎡⎤⎛⎫=----⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦2274971111041020402040x x ⎛⎫⎛⎫=--+-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∵ 2710020x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭，∴ 271111002040x ⎛⎫---< ⎪⎝⎭，即210740x x -+-<．故21074x x -+-的值恒小于0．（总结升华）证明一个代数式大于零或小于零，常用方法就是利用配方法得到一个含完全平方法和一个常数的式子来证明．举一反三：（变式）试用配方法证明：代数式223x x -+的值不小于238．（答案） 22123232x x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭ 22211123244x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 21123416x ⎡⎤⎛⎫=--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 2112348x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 2123248x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． ∵ ，∴ 2123232488x ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭． 21204x ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭即代数式223x x -+的值不小于238．3. 〔2023春•宜兴市校级月考〕假设把代数式x 2+2bx+4化为〔x ﹣m 〕2+k 的形式，其中m ，k 为常数，则k ﹣m 的最大值是．（答案）；（解析）解：x 2+2bx+4=x 2+2bx+b 2﹣b 2+4=〔x+b 〕2﹣b 2+4；∴m=﹣b ，k=﹣b 2+4，则k ﹣m=﹣〔b ﹣〕2+．∵﹣〔b ﹣〕2≤0，∴当b=时，k ﹣m 的最大值是．故答案为：．（总结升华）此题考查利用完全平方公式配方，注意代数式的恒等变形．举一反三：（变式）〔1〕的最小值是；〔2〕的最大值是 . 2x 2+6x ‒3‒x 2+4x +5（答案）〔1〕222222333152632(3)323(()32()2222x x x x x x x ⎡⎤+-=+-=++--=+-⎢⎥⎣⎦；所以的最小值是152- 2x 2+6x ‒3〔2〕22222245(4)5(422)5(2)9x x x x x x x -++=--+=--+-+=--+所以的最大值是9.‒x 2+4x +5 4. 分解因式：42221x x ax a +++-．（答案与解析） 42221x x ax a +++-4222221x x x ax a =+-++-4222212x x x ax a =++--+（）（）2221x x a =+--（）（）22(1)(1)x x a x x a =++-+-+．（总结升华）这是配方法在因式分解中的应用，通过添项、配成完全平方法，进而运用平方差公式分解因式．。

一元二次方程能力提高题目2

一元二次方程能力提高题目21．若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A ．1k >-B 。

1k >-且0k ≠ C.。

1k < D 。

1k <且0k ≠2．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（）A ．6B ．7C ．8D ．93．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A ．12B ．12或15C ．15D ．不能确定4．一元二次方程22(1)230m x x m m -+++-=的一个根为0，则m 的值为（） A ：－3 B ：1 C ：1或－3 D ：－4或25．设a b ，是方程220090x x +-=的两个实数根，则22a a b ++的值为（）A ．2006B ．2007C ．2008D ．20096．若关于x 的一元二次方程2(3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是．7.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.8．若()()06522222=-+-+y x y x ，则=+22y x __________。

9.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，（墙长25m ）另外三边用木栏围成，木栏长40m 。

（1）若养鸡场面积为200m 2，求鸡场靠墙的一边长。

（2）养鸡场面积能达到250m 2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由。

10..现定义一种新运算：“※”，使得a ※b=4ab(1)求4※7的值（2）求x ※x+2※x-2※4=0中x 的值。

（3）不论x 是什么数，总有a ※x=x,求a 的值。

一元二次方程提高练习题

一元二次方程提高练习一．选择题〔共8小题〕1．〔2021•XX〕某果园2021年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为〔〕A．144〔1﹣x〕2=100 B．100〔1﹣x〕2=144 C．144〔1+x〕2=100 D．100〔1+x〕2=1442．〔2021•XX〕要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程方案安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，那么x满足的关系式为〔〕A．x〔x+1〕=28 B．x〔x﹣1〕=28C．x〔x+1〕=28 D．x〔x﹣1〕=283．〔2021•XX〕用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．假设设它的一条边长为x米，那么根据题意可列出关于x的方程为〔〕A．x〔5+x〕=6 B．x〔5﹣x〕=6 C．x〔10﹣x〕=6 D．x〔10﹣2x〕=64．〔2021•XX〕某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是〔〕A．100〔1+x〕2=81 B．100〔1﹣x〕2=81 C．100〔1﹣x%〕2=81 D．100x2=815．〔2021•岑溪市一模〕假设一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值X围是〔〕A．k＞1 B．k＜1 C．k＜1且k≠0 D．k≥16．〔2021•琼海二模〕一元二次方程x2+3x=0的解是〔〕A．x=﹣3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x=37．〔2021•XX模拟〕关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是〔〕A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定的8．〔2021•闸北区二模〕以下方程有实数根的是〔〕A．x2﹣x+1=0 B．x4=0 C．=D．=0二．填空题〔共8小题〕9．〔2021•XX〕某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，那么平均每次降价的百分率为_________．10．〔2021•XX市模拟〕如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，那么常数b的值为_________．11．〔2021•启东市一模〕假设关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，那么k的值可以是_________．〔写出一个即可〕12．〔2021•XX新区一模〕一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是_________．14．〔2021•虹口区三模〕方程=3的解是_________．15．〔2021•XX〕x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，那么k=_________．16．〔2021•XX〕假设，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，那么k的取值X围是_________．三．解答题〔共14小题〕17．〔2021•秦淮区一模〕解方程：2x2﹣4x+1=0．18．〔2021•平谷区一模〕关于x的一元二次方程〔k﹣3〕x2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根．〔1〕求k的取值X围．〔2〕求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．19．〔2021•通州区一模〕：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．〔1〕求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；〔2〕当方程的一个根为﹣2时，求方程的另一个根．20．〔2021•邳州市二模〕如下列图，某幼儿园有一道长为16米的墙，方案用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．21．〔2021•XX模拟〕端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m〔0＜m＜1〕元．〔1〕零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出_________只粽子，利润为_________元．〔2〕在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？22．〔2021•北碚区模拟〕先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．23．〔2021•XX〕关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．〔1〕求n的取值X围；〔2〕假设n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．24．〔2021•XX〕当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？25．〔2021•东城区二模〕列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园〔图中阴影局部〕，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．26．〔2006•奉贤区二模〕如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D 为射线BC上的一点，且PB=PD，过D点作AC边上的高DE．〔1〕求证：PE=BO；〔2〕设AC=8，AP=x，S△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围；〔3〕是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的？如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．27．〔2021•鼓楼区一模〕y1=x2﹣x+2，y2=x﹣2，是否存在实数x，使得y1=y2，假设存在，求出x，假设不存在，请说明理由．28．〔2021•XX市模拟〕解方程：〔2x+3〕〔x+1〕=〔x+1〕〔x+3〕29．〔2021•丰台区二模〕：关于x的一元二次方程x2﹣〔m+1〕x+m﹣1=0．求证：不管m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．30．〔2021•潘集区模拟〕如图：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开场沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开场沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，那么P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？参考答案与试题解析一．选择题〔共8小题〕1．〔2021•XX〕某果园2021年水果产量为100吨，2021年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，那么根据题意可列方程为〔〕A．144〔1﹣x〕2=100 B．100〔1﹣x〕2=144 C．144〔1+x〕2=100 D．100〔1+x〕2=144考点：由实际问题抽象出一元二次方程．解答：解：2021年的产量为100〔1+x〕，2021年的产量为100〔1+x〕〔1+x〕=100〔1+x〕2，即所列的方程为100〔1+x〕2=144，应选D．点评：考察列一元二次方程；得到2021年产量的等量关系是解决此题的关键．2．〔2021•XX〕要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程方案安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，那么x满足的关系式为〔〕A．x〔x+1〕=28 B．x〔x﹣1〕=28C．x〔x+1〕=28 D．x〔x﹣1〕=28考点：由实际问题抽象出一元二次方程．分析：关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．解答：解：每支球队都需要与其他球队赛〔x﹣1〕场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x〔x﹣1〕=4×7．应选B．点评：此题考察了由实际问题抽象出一元二次方程，解决此题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．3．〔2021•XX〕用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．假设设它的一条边长为x米，那么根据题意可列出关于x的方程为〔〕A．x〔5+x〕=6 B．x〔5﹣x〕=6 C．x〔10﹣x〕=6 D．x〔10﹣2x〕=6考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：几何图形问题．分析：一边长为x米，那么另外一边长为：5﹣x，根据它的面积为6平方米，即可列出方程式．解答：解：一边长为x米，那么另外一边长为：5﹣x，由题意得：x〔5﹣x〕=6，应选：B．点评：此题考察了由实际问题抽相出一元二次方程，难度适中，解答此题的关键读懂题意列出方程式．4．〔2021•XX〕某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是〔〕A．100〔1+x〕2=81 B．100〔1﹣x〕2=81 C．100〔1﹣x%〕2=81 D．100x2=81考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：假设两次降价的百分率均是x，那么第一次降价后价格为100〔1﹣x〕元，第二次降价后价格为100〔1﹣x〕〔1﹣x〕=100〔1﹣x〕2元，根据题意找出等量关系：第二次降价后的价格=81元，由此等量关系列出方程即可．解答：解：设两次降价的百分率均是x，由题意得：x满足方程为100〔1﹣x〕2=81．应选B．点评：此题主要考察列一元二次方程，关键在于读清楚题意，找出适宜的等量关系列出方程．5．〔2021•岑溪市一模〕假设一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k的取值X围是〔〕考点：根的判别式．专题：压轴题．分析：方程有两个不相等的实数根，那么△＞0，建立关于k的不等式，求出k的取值X围．解答：解：由题意知，△=4﹣4k＞0，解得：k＜1．应选B．点评：此题考察了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．6．〔2021•琼海二模〕一元二次方程x2+3x=0的解是〔〕A．x=﹣3 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2=﹣3 D．x=3考点：解一元二次方程-因式分解法；因式分解-十字相乘法等；解一元一次方程．专题：计算题．分析：分解因式得到x〔x+3〕=0，转化成方程x=0，x+3=0，求出方程的解即可．解答：解：x2+3x=0，x〔x+3〕=0，x=0，x+3=0，x1=0，x2=﹣3，应选：C．点评：此题主要考察对解一元二次方程，解一元一次方程，因式分解等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．7．〔2021•XX模拟〕关于x的一元二次方程﹣x2+4mx+4=0的根的情况是〔〕A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．不能确定的考点：根的判别式．专题：推理填空题．分析：求出b2﹣4ac的值，根据结果判断它的正、负，根据根的判别式即可得到答案．解答：解：﹣x2+4mx+4=0，b2﹣4ac=〔4m〕2﹣4×〔﹣1〕×4，=16m2+16，不管m为何值，16m2+16＞0，即b2﹣4ac＞0，∴方程有两个不相等的实数根，应选C．点评：此题主要考察对根的判别式的理解和掌握，能熟练地根据根的判别式进展推理是解此题的关键．8．〔2021•闸北区二模〕以下方程有实数根的是〔〕A．x2﹣x+1=0 B．x4=0 C．=D．=0考点：根的判别式；高次方程；无理方程；分式方程的解．分析：此题是根的判别式的应用试题，不解方程而又准确的判断出方程解的情况，那只有根的判别式．当△＜0时，方程没有实数根．解答：解：A、x2﹣x+1=0，△=b2﹣4ac=1﹣4=﹣3＜0，所以没有是实数根，应选项错误；B、x4=0的实数根是x=0，应选项正确；C、去掉分母后x=1有实数根，但是使分式方程无意义，所以舍去，应选项错误；D、=0，两边平方得x2+1=0的△=b2﹣4ac=0﹣4＜0，也没有实数根，应选项错误．应选：B．点评：此题是对方程实数根的考察，求解时一要注意是否有实数根，二要注意有实数根时是否有意义．二．填空题〔共8小题〕9．〔2021•XX〕某商品经过连续两次降价，销售单价由原来的125元降到80元，那么平均每次降价的百分率为20%．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：解答此题利用的数量关系是：商品原来价格×〔1﹣每次降价的百分率〕2=现在价格，设出未知数，列方程解答即可．解答：解：设这种商品平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，125〔1﹣x〕2=80，解得x1=0.2=20%，x2=1.8〔不合题意，舍去〕；故答案为：20%点评：此题考察了一元二次方程的应用，此题列方程得依据是：商品原来价格×〔1﹣每次降价的百分率〕2=现在价格．10．〔2021•XX市模拟〕如果2是一元二次方程x2+bx+2=0的一个根，那么常数b的值为﹣3．考点：一元二次方程的解；一元二次方程的定义．专题：因式分解．分析：把方程的解x=2代入方程得到关于b的等式，可以求出字母系数b的值．解答：解：把2代入方程有：4+2b+2=02b=﹣6b=﹣3．故答案是：﹣3．点评：此题考察的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程可以求出字母系数的值．11．〔2021•启东市一模〕假设关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有实数根，那么k的值可以是1．〔写出一个即可〕考点：根的判别式．专题：开放型．分析：由于方程有实数根，那么其根的判别式△≥0，由此可以得到关于k的不等式，解不等式就可以求出k的取值X围．解答：解：∵△=b2﹣4ac=4﹣4k≥0，点评：当一元二次方程的判别式△≥0时，方程有实数根，建立关于k的不等式，求得k的取值X围．12．〔2021•XX新区一模〕一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．考点：根与系数的关系．专题：计算题．分析：根据根与系数的关系，即可求得答案．解答：解：设一元二次方程x2+x﹣2=0的两根分别为α，β，∴αβ=﹣2．∴一元二次方程x2+x﹣2=0的两根之积是﹣2．故答案为：﹣2．点评：此题考察了根与系数的关系．解题的关键是熟记公式．13．〔2021•XX模拟〕一件商品的原价是100元，经过两次提价后的价格为121元，如果每次提价的百分率都是x．根据题意，可列出方程为：100〔1+x〕2=121．考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：设平均每次提价的百分率为x，根据原价为100元，表示出第一次提价后的价钱为100〔1+x〕元，然后再根据价钱为100〔1+x〕元，表示出第二次提价的价钱为100〔1+x〕2元，根据两次提价后的价钱为121元，列出关于x的方程．解答：解：设平均每次提价的百分率为x，根据题意得：100〔1+x〕2=121，故答案为：100〔1+x〕2=121．点评：此题考察是增长率问题，假设原数是a，每次变化的百分率为a，那么第一次变化后为a〔1±x〕；第二次变化后为a〔1±x〕2，即原数×〔1±变化的百分率〕2=后来数．14．〔2021•虹口区三模〕方程=3的解是x=13．考点：无理方程．分析：因为x﹣4的算术平方根为3，所以得x﹣4=9，再解即可．解答：解：=3，x﹣4=9，x=13．故答案为：x=13．点评：此题考察了解无理方程．算术平方根的被开方数必须大于或等于0，求此类方程的解必须满足这一条件．15．〔2021•XX〕x=3是方程x2﹣6x+k=0的一个根，那么k=9．考点：一元二次方程的解．分析：一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．解答：解：把x=3代入方程x2﹣6x+k=0，可得9﹣18+k=0，解得k=9．故答案为：9．16．〔2021•XX〕假设，且一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，那么k的取值X围是k≤4且k≠0．考点：根的判别式；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．专题：计算题．分析：首先根据非负数的性质求得a、b的值，再由二次函数的根的判别式来求k的取值X围．解答：解：∵，∴b﹣1=0，=0，解得，b=1，a=4；又∵一元二次方程kx2+ax+b=0有两个实数根，∴△=a2﹣4kb≥0且k≠0，即16﹣4k≥0，且k≠0，解得，k≤4且k≠0；故答案为：k≤4且k≠0．点评：此题主要考察了非负数的性质、根的判别式．在解答此题时，注意关于x的一元二次方程的二次项系数不为零．三．解答题〔共14小题〕17．〔2021•秦淮区一模〕解方程：2x2﹣4x+1=0．考点：解一元二次方程-配方法．分析：先化二次项系数为1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．解答：解：由原方程，得x2﹣2x=﹣，等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣2x+1=，配方，得〔x﹣1〕2=，直接开平方，得x﹣1=±，x1=1+，x2=1﹣．点评：此题考察了解一元二次方程﹣﹣配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：〔1〕形如x2+px+q=0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．〔2〕形如ax2+bx+c=0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q=0，然后配方．18．〔2021•平谷区一模〕关于x的一元二次方程〔k﹣3〕x2﹣3x+2=0有两个不相等的实数根．〔1〕求k的取值X围．〔2〕求当k取何正整数时，方程的两根均为整数．分析：〔1〕一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k﹣3≠0，△＞0，公共局部就是k的取值X围．〔2〕通过〔1〕中k的取值X围确定出k的值，依次代入求出一元二次方程的解，满足两根都是整数就可以．解答：解：〔1〕∵方程有两个不相等的实数根，∴解得，．〔2〕k的正整数值为1、2、4如果k=1，原方程为﹣2x2﹣3x+2=0．解得x1=﹣2，，不符合题意舍去．如果k=2，原方程为﹣x2﹣3x+2=0，解得，不符合题意，舍去．如果k=4，原方程为x2﹣3x+2=0，解得x1=1，x2=2，符合题意．∴k=4．点评：这道题主要考察一元二次方程的根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0〔a≠0〕的根与△=b2﹣4ac的关系是解答此题的关键．19．〔2021•通州区一模〕：关于x的一元二次方程x2+ax+a﹣2=0．〔1〕求证：无论a取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；〔2〕当方程的一个根为﹣2时，求方程的另一个根．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：〔1〕要想证明对于任意实数k，方程有两个不相等的实数根，只要证明△＞0即可；〔2〕把方程的一根代入原方程求出a的值，然后把a的值代入原方程求出方程的另一个根．解答：〔1〕证明：△=a2﹣4×1×〔a﹣2〕=a2﹣4a+8=〔a﹣2〕2+4∵〔a﹣2〕2≥0∴〔a﹣2〕2+4＞0∴△＞0∴无论a取任何实数时，方程总有两个不相等的实数根．〔2〕解：∵此方程的一个根为﹣2∴4﹣2a+a﹣2=0∴a=2∴一元二次方程为：x2+2x=0∴方程的根为：x1=﹣2，x2=0∴方程的另一个根为0．点评：此题重点考察了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程的方法．20．〔2021•邳州市二模〕如下列图，某幼儿园有一道长为16米的墙，方案用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．求该矩形草坪BC边的长．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：可设矩形草坪BC边的长为x米，那么AB的长是，根据长方形的面积公式列出一元二次方程求解．解答：解：设BC边的长为x米，那么AB=CD=米，根据题意得：×x=120，解得：x1=12，x2=20，∵20＞16，∴x2=20不合题意，舍去，答：矩形草坪BC边的长为12米．点评：此题考察了一元二次方程的应用，注意得出结果后要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．注意此题表示出矩形草坪的长和宽是解题的关键．21．〔2021•XX模拟〕端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m〔0＜m＜1〕元．〔1〕零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出300+100×只粽子，利润为〔1﹣m〕〔300+100×〕元．〔2〕在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题；压轴题．分析：〔1〕每天的销售量等于原有销售量加上增加的销售量即可；利润等于销售量乘以单价即可得到；〔2〕利用总利润等于销售量乘以每件的利润即可得到方程求解．解答：解：〔1〕300+100×，〔1﹣m〕〔300+100×〕．〔2〕令〔1﹣m〕〔300+100×〕=420．化简得，100m2﹣70m+12=0．即，m2﹣0.7m+0.12=0．解得m=0.4或0.3．可得，当m=0.4时卖出的粽子更多．答：当m定为0.4时，才能使商店每天销售该粽子获取的利润是420元并且卖出的粽子更多．点评：此题考察了一元二次方程的应用，解题的关键是了解总利润的计算方法，并用相关的量表示出来．22．〔2021•北碚区模拟〕先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．考点：分式的化简求值；一元二次方程的解．专题：计算题．分析：先化简代数式：将括号内的分式的分子分母分解因式、约分化简，然后计算加减法；再将除法转化为乘法的形式；再根据条件“a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根〞求得a2﹣3a=1；最后，将a2﹣3a=1整体代入化简后的代数式求值即可．解答：解：原式===﹣∵a是方程x2﹣3x﹣1=0的一个根．∴a2﹣3a﹣1=0，∴a2﹣3a=1；∴原式=﹣=﹣2．点评：此题综合考察了一元二次方程的解、分式的化简求值．解答此题时，采用了“整体代入〞是解题方法，防止了求a的值的繁琐过程，而是直接将a2﹣3a=1整体代入化简后的代数式．23．〔2021•XX〕关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根．〔1〕求n的取值X围；〔2〕假设n＜5，且方程的两个实数根都是整数，求n的值．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：〔1〕关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0有两个不相等的实数根，即判别式△=b2﹣4ac＞0．即可得到关于n的不等式，从而求得n的X围；〔2〕利用配方法解方程，然后根据n的取值X围和限制条件“方程的两个实数根都是整数〞来求n的值．解答：解：〔1〕∵关于x的方程x2﹣2x﹣2n=0的二次项系数a=1、一次项系数b=﹣2、常数项c=﹣2n，∴△=b2﹣4ac=4+8n＞0，解得n＞﹣；〔2〕由原方程，得〔x﹣1〕2=2n+1，解得x=1±；∵方程的两个实数根都是整数，且﹣＜n＜5，不是负数，∴0＜2n+1＜11，且2n+1是完全平方形式，∴2n+1=1，2n+1=4或2n+1=9，解得n=0，n=1.5或n=4．点评：此题考察了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．24．〔2021•XX〕当t取什么值时，关于x的一元二次方程2x2+tx+2=0有两个相等的实数根？考点：根的判别式．专题：方程思想．分析：根据一元二次方程的根的判别式△=b2﹣4ac=0列出关于t的一元二次方程，然后解方程即可．解答：解：∵一元二次方程2x2+tx+2=0的二次项系数a=2，一次项系数b=t，常数项c=2，∴△=t2﹣4×2×2=t2﹣16=0，解得，t=±4，∴当t=4或t=﹣4时，原方程有两个相等的实数根．点评：此题考察了一元二次方程的根与系数的关系．当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=b2﹣4ac=0时，方程有两个相等的实数根；△=b2﹣4ac＜0时，方程无实数根．25．〔2021•东城区二模〕列方程或方程组解应用题：小明家有一块长8m、宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园〔图中阴影局部〕，并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，请你帮小明求出图中的x值．考点：一元二次方程的应用．专题：几何图形问题．分析：根据题意知，花园面积与剩余空地面积都是24m2，所以可根据这两局部的面积表达式分别列方程求解．解答：解：据题意，得．解得x1=12，x2=2．x1不合题意，舍去．∴x=2．点评：此题考察一元二次方程的应用，搞清楚每个方案中花园面积或空白面积的表达式是关键．26．〔2006•奉贤区二模〕如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D 为射线BC上的一点，且PB=PD，过D点作AC边上的高DE．〔1〕求证：PE=BO；〔2〕设AC=8，AP=x，S△PBD为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值X围；〔3〕是否存在这样的P点，使得△PBD的面积是△ABC面积的？如果存在，求出AP的长；如果不存在，请说明理由．考点：等腰直角三角形；一元二次方程的应用；全等三角形的判定与性质．分析：〔1〕根据在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点得到BO⊥AC，再根据DE⊥AC得到∠POB=∠DEP=90°，从而证明△POB≌△DEP，进而证得结论PE=BO；解题时注意分P在AO上和P在OC上两种情况讨论；〔2〕由△POB≌△DEP得BO=PE=4，当点P在AO上时，PO=DE=EC=4﹣x，此时，S△PBD=S PBDE﹣S△PDE，当P在OC上时，PO=DE=EC=x﹣4，此时S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE﹣S△CDE=S△PBC+S△POB﹣S△CDE〔3〕根据S△ABC=16，知道要使得△PBD的面积是△ABC面积的，只要，解方程得x1=2，x2=6从而得到当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的．解答：解：〔1〕P在AO上〔如图1〕：∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点∴BO⊥AC∵DE⊥AC∴∠POB=∠DEP=90°〔1分〕∵PB=PD∴∠PBD=∠PDB，∵∠OBC=∠C=45°，∴∠OBP+∠OBC=∠PDB=∠CPD+∠PCD，∵∠PBD=∠PDB，∴∠PB0=∠DPE〔2分〕∴△POB≌△DEP〔AAS〕∴PE=BO〔1分〕P在OC上〔如图2〕：∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点∴BO⊥AC∵DE⊥AC∴∠POB=∠DEP=90°∵PB=PD∴∠PBD=∠PDB∵∠C=∠DCE=∠CDE=45°∴∠PB0=∠DPE〔1分〕∴△POB≌△DEP〔AAS〕∴PE=BO〔1分〕〔2〕P在AO上〔如图1〕：由△POB≌△DEP得BO=PE=4，∴PO=DE=EC=4﹣x，〔1分〕∴S△PBD=S PBDE﹣S△PDE=S△PBO+S OBDE﹣S△PDE=S OBDE=S△OBC﹣S△DEC∴S△PBD=〔2分〕P在OC上〔如图2〕：由△POB≌△DEP得BO=PE=4，∴PO=DE=EC=x﹣4，〔1分〕∴S△PBD=S△PBC+S△PDC=S△PBC+S△PDE﹣S△CDE=S△PBC+S△POB﹣S△CDE=〔2分〕∴即y=〔8x﹣x2〕，〔0＜x＜8〕；〔3〕S△ABC=16，要使得△PBD的面积是△ABC面积的，只要，解方程得x1=2，x2=6，〔2分〕即当AP等于2或6时，△PBD的面积是△ABC面积的注：〔2〕中的S△PBD的求解可以直接用面积计算，而且不需分类讨论，可酌情给分〕点评：此题考察了等腰直角三角形的性质、一元二次方程的应用及全等三角形的判定及性质，是一道难度较大、综合性较强的综合题，解题时一定要仔细审题．27．〔2021•鼓楼区一模〕y1=x2﹣x+2，y2=x﹣2，是否存在实数x，使得y1=y2，假设存在，求出x，假设不存在，请说明理由．考点：根的判别式．专题：计算题．分析：令两个函数相等即可得到有关x的一元二次方程，求得其根的判别式后做出判断即可．解答：解：不存在，理由如下：由题意得：x2﹣x+2=x﹣2整理得：x2﹣2x+4=0∵b2﹣4ac=〔﹣2〕2﹣4×4=﹣12＜0∴方程无实数根，即不存在实数x，使得y1=y2．点评：此题考察了根的判别式，根据根的判别式可以得到不等式或者方程，求解即可．28．〔2021•XX市模拟〕解方程：〔2x+3〕〔x+1〕=〔x+1〕〔x+3〕考点：解一元二次方程-因式分解法；等式的性质；解一元一次方程．专题：计算题．分析：移项后分解因式得到〔x+1〕[〔2x+3〕﹣〔x+3〕]=0，推出方程x+1=0，x=0，求出方程的解即可．解答：解：〔2x+3〕〔x+1〕=〔x+1〕〔x+3〕，移项得：〔2x+3〕〔x+1〕﹣〔x+1〕〔x+3〕=0，提公因式得：〔x+1〕[〔2x+3〕﹣〔x+3〕]=0，∴〔x+1〕x=0，即x+1=0，x=0，解方程得：x1=﹣1，x2=0，∴原方程的解是x1=﹣1，x2=0．点评：此题主要考察对解一元一次方程，解一元二次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．29．〔2021•丰台区二模〕：关于x的一元二次方程x2﹣〔m+1〕x+m﹣1=0．求证：不管m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．考点：根的判别式．专题：证明题．分析：根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号来证明结论成立．解答：证明：∵△=b2﹣4ac=[﹣〔m+1〕]2﹣4〔m﹣1〕=m2﹣2m+5=〔m﹣1〕2+4＞0∴不管m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．点评：此题考察了一元二次方程的根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：〔1〕△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；〔2〕△=0⇔方程有两个相等的实数根；〔3〕△＜0⇔方程没有实数根．30．〔2021•潘集区模拟〕如图：Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从A点开场沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开场沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，那么P、Q分别从A、B同时出发，经过多少秒钟，△PBQ的面积等于8cm2？考点：一元二次方程的应用．专题：几何动点问题．分析：设经过x秒钟，△PBQ的面积等于8平方厘米，根据点P从A点开场沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开场沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，表示出BP和BQ的长可列方程求解．解答：解：设经过x秒以后△PBQ面积为8整理得：x2﹣6x+8=0解得：x=2或x=4答：2或4秒后△PBQ的面积等于8cm2点评：此题主要考察了一元二次方程的应用，找到关键描述语“△PBQ的面积等于8cm2〞，得出等量关系是解决问题的关键．。

一元二次方程培优提高例题

考点一、概念（1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．,并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方．．．程．就是一元二次方程。

(2）一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”:①该项系数不为“0";②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题:例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（）A ()()12132+=+x xB 02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x 变式：当k 时,关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程.例2、方程()0132=+++mx xm m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 .针对练习：★1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是 . ★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值;⑵写出关于x 的一元一次方程。

★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程,则m 的取值范围是。

★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是( ）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2，m=1D.m=n=1 考点二、方程的解⑴概念:使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。

例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。

说明：任何时候，都不能忽略对一元二次方程二次项系数的限制.例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+,则此方程必有一根为。

说明：本题的关键点在于对 “代数式形式”的观察，再利用特殊根“—1”巧解代数式的值。

初中一元二次方程求解技巧

初中一元二次方程求解技巧初中一元二次方程求解是初中数学中的一个重要内容，掌握一些求解技巧可以帮助我们快速解题，提高解题效率。

下面我将分享一些求解一元二次方程的技巧。

一、韦达定理法韦达定理是一元二次方程求解中常用的方法之一。

对于一元二次方程ax²+bx+c=0，我们可以使用韦达定理来求解。

韦达定理的思想是通过分解二次项系数和常数项之间的关系，将一元二次方程转化为两个一元一次方程。

具体步骤如下：1. 将一元二次方程ax²+bx+c=0转化为标准形式，即a(x - x₁)(x - x₂) = 0；2. 根据韦达定理，x₁ + x₂ = -b/a，x₁× x₂ = c/a；3. 解一元一次方程得到x₁和x₂的值。

二、配方法在一元二次方程的求解中，配方法也是常用的一种技巧。

配方法是一种通过将一元二次方程进行变形，再进行分解的方法。

具体步骤如下：1. 对于形如ax²+bx+c=0的一元二次方程，如果a≠1，我们首先可以将其化为标准形式；2. 然后我们找到一个数m，使得m²与b的绝对值相等，再将方程两边同时加上或减去这个数，得到(x + m)²或 (x - m)²的形式；3. 将(x + m)²或(x - m)²进行展开，化为一元二次方程。

配方法在解决一些特殊形式的一元二次方程时非常有用，但是需要注意的是，配方法并不适用于所有的一元二次方程。

三、因式分解法当一元二次方程无法通过上述方法进行求解时，我们可以尝试使用因式分解法。

因式分解法是将一元二次方程表示为两个一次方程的乘积，再解得方程的根。

具体步骤如下：1. 将一元二次方程ax²+bx+c=0进行因式分解，即将方程表示为(x - m)(x - n) = 0的形式；2. 解得方程的根。

需要注意的是，因式分解法只适用于一些特殊的一元二次方程，且在实际解题过程中可能需要通过试错的方式来确定因式的组合方式。

一元二次方程应用题提高练习含答案

一元二次方程应用题提高练习含答案一元二次方程应用题提高练习含答案1.1.游行队伍有游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？2.2.一容器装满一容器装满20L 纯酒精，第一次倒出若干升后，用水加满，第二次又倒出同样升数的混合液，再用水加满，容器里只有5L 的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？的纯酒精，第一次倒出的酒精多少升？3. 一拖拉机厂，一月份生产出甲、乙两种新型拖拉机，其中乙型16台，从二月份起，甲型每月增产10台，乙型每月按相同的增长率逐月递增，又知二月份甲、乙两型的产量之比为3：2，三月份甲、乙两型产量之和为65台，求乙型拖拉机每月增长率及甲型拖拉机一月份的产量。

乙型拖拉机每月增长率及甲型拖拉机一月份的产量。

4.4.甲乙二人分别从相聚甲乙二人分别从相聚20千米的A 、B 两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B 地后乙还需30分钟才能到达A 地，求乙每小时走多少千米？地，求乙每小时走多少千米？5.5.某公司生产开发了某公司生产开发了960件新产品，需要经过加工后才能投放市场，现在有A ，B 两个工厂都想参加加工这批产品，已知A 工厂单独加工这批产品比B 工厂单独加工这批产品要多用20天，而B 工厂每天比A 工厂多加工8件产品，公司需要支付给A 工厂每天80元的加工费，元的加工费，B B 工厂每天120元的加工费。

元的加工费。

1. A 1. A，，B 两个工厂每天各能加工多少件新产品？两个工厂每天各能加工多少件新产品？2. 2. 公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。

在加工过程中，公司需公司制定产品方案如下：可以由每个厂家单独完成；也可以由两个厂家同时合作完成。

在加工过程中，公司需要派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天5元的午餐补助费。

一元二次方程分式方程的解法及应用知识讲解(提高)含答案

1,2=0；当m＜0时，方程没有实数解．中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高）【考纲要求】1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程；2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想．【知识网络】【考点梳理】考点一、一元二次方程1.一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：把方程变成x2=m的形式，当m＞0时，方程的解为x=±m；当m＝0时，方程的解x（2）配方法：通过配方把一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 变形为 x + ⎪ =如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的两个根是 x 、x ，那么 x + x = - ，x ⋅ x = c ．aa⎛ ⎝ b ⎫2 b 2 - 4ac 2a ⎭ 4a 2的形式，再利用直接开平方法求得方程的解．（ 3 ）公式法：对于一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 ，当 b 2 - 4ac ≥ 0 时，它的解为x = -b ± b 2 - 4ac 2a．（4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解．要点诠释：直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中 a ≠ 0 .（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化 1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.3．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式为 ∆ = b 2 - 4ac ．△>0 ⇔ 方程有两个不相等的实数根； △＝0 ⇔ 方程有两个相等的实数根； △<0 ⇔ 方程没有实数根．上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边．要点诠释：△≥0 ⇔ 方程有实数根.4．一元二次方程根与系数的关系b 121 212要点诠释：（1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．（2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．（3）一元二次方程 a x 2 + bx + c = 0 (a ≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题．（4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．考点二、分式方程1.分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．要点诠释：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，换元法．3.解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根.口诀：“一化二解三检验”.要点诠释：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根．增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根.考点三、一元二次方程、分式方程的应用1．应用问题中常用的数量关系及题型(1)数字问题(包括日历中的数字规律)关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律．(2)体积变化问题关键是寻找其中的不变量作为等量关系.(3)打折销售问题其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝利润成本价×100%．明确这几个关系式是解决这类问题的关键．(4)关于两个或多个未知量的问题重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程.(5)行程问题对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题．注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分问题增长量＝原有量×增长率；现有量＝原有量+增长量；现有量＝原有量-降低量．2．解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系；(2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；(3)找出相等关系，并用它列出方程；(4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．要点诠释：方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意．【典型例题】类型一、一元二次方程1．阅读材料：为解方程(x2-1)2-5(x2-1)+4=0，我们可以将x2-1看作一个整体，然后设x2-1=y，那么原方程可化为y2-5y+4=0……①，解得y=1，y=4，12当y=1时，x2-1=1，∴x2=2，∴x=±2；当y=4时，x2-1=4，∴x2=5，∴x=±5，故原方程的解为x=2，1x=-2，x=5，x=-5．234解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；（2）请利用以上知识解方程x4-x2-6=0．2【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想．【答案与解析】（1）换元法；（2）设 x 2 = y ，那么原方程可化为 y 2 - y - 6 = 0解得 y = 3 ； y = -21 2当 y = 3 时， x 2 = 3 ；∴ x = ± 3当 y = -2 时， x 2 = -2 不符合题意，舍去．所以原方程的解为 x = 3 ， x = - 3 ．1 2【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想.举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清 ID 号： 405754 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】【变式】设 m 是实数，求关于 x 的方程 x 2 - mx - 3x + m + 2 = 0 的根．【答案】x 1=1,x 2=m+2.2．已知关于 x 的一元二次方程 ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，ab 2求的值.(a - 2) 2 + b 2 - 4【思路点拨】由于这个方程有两个相等的实数根，因此⊿＝b 2 - 4a = 0 ，可得出 a 、b 之间的关系，ab 2然后将化简后，用含 b 的代数式表示 a ，即可求出这个分式的值．(a - 2) 2 + b 2 - 4【答案与解析】∵ ax 2 + bx + 1 = 0(a ≠ 0) 有两个相等的实数根，∴⊿＝ b 2 - 4ac = 0 ，即 b 2 - 4a = 0 ．ab 2ab 2ab 2 ab 2∵ = = =(a - 2) 2 + b 2 - 4 a 2 - 4a + 4 + b 2 - 4 a 2 - 4a + b 2 a 2∵ a ≠ 0 ，∴ ab 2 b 2 =a a= 4【总结升华】本题需要综合运用分式和一元二次方程来解决问题，考查学生综合运用多个知识点解决问题的能解得，x=3+522力，属于中等难度的试题，具有一定的区分度．举一反三：【变式】关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根，∴(-3)2-4(-k)＞0．即4k>-9，解得，k>-9 4．（2）若k是负整数，k只能为－1或－2．如果k＝－1，原方程为x2-3x+1=0．3-5，x=．12（如果k＝－2，原方程为x2-3x+2=0，解得，x=1，x=2．）12类型二、分式方程3．解方程：【思路点拨】把原方程右边化为【答案与解析】代入原方程求解较为简单.原方程变为经检验，【总结升华】是原方程的根.时，x 2 - 6x + 5 = -因为，，所以最简公分母为：，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好.举一反三：【变式 1】解方程：【答案】原方程化为方程两边通分，得化简得解得经检验：是原方程的根.【变式 2】解方程：7 31 4- =-x 2 - 6x - 4 x 2 - 6x + 5 x 2 - 6x + 9【答案】设k = x 2 - 6x + 5，则原方程可化为：731 4 -=-k - 9kk + 4去分母化简得：20k 2 - 147k - 1116 = 0∴(k - 12)(20k + 93) = 0∴k = 12 ，k = -9320当k = 12时，x 2 - 6x - 7 = 0(x - 7)(x + 1) = 0解之得：x = -1，x = 712当k = - 93 9320 2020x 2 - 120x + 193 = 0解此方程此方程无解.经检验：x = -1，x = 7是原分式方程的根.124．m为何值时，关于x的方程会产生增根？【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值.【答案与解析】方程两边都乘以整理，得，得【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根.举一反三：【变式】当m为何值时，方程会产生增根()A.2B.－1C.3D.－3【答案】分式方程，去分母得，将增根代入，得m＝3.所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C.类型三、一元二次方程、分式方程的应用5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为【答案与解析】设规定日期为x天根据题意，得解得经检验是原方程的根答：规定日期是6天.，乙的工作效率为，工作总量为1.由题意得1000【总结升华】工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数．举一反三：【高清课程名称：一元二次方程、分式方程的解法及应用高清ID号：405754关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克，550=，2x-40x解得：x=22，经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意．答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克．6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队工程费共5500元．⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由．【思路点拨】第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间，这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少.【答案与解析】⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④④－①×，得＝，即z＝30，④－②×，得＝，即x＝10，④－③×，得＝，即y＝15．经检验，x＝10，y＝15，z＝30是原方程组的解．⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元，根据题意，得由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队．此工程由甲队单独完成需花钱元；此工程由乙队单独完成需花钱元.所以，由甲队单独完成此工程花钱最少．【总结升华】这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天，可列出分式方程组．在求解时，把整式方程组来解．，，分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为。

初三-第6讲一元二次方程的应用(提高)-教案

第06讲一元二次方程的应用温故知新解下列关于x 方程：(1)0542=-+x x (2) 05422=+-x x (3)x 2-2x=-1【解答】：（1）（2）无实数解（3）121==x x课堂导入1、初一学过一元一次方程的应用，实际上是据实际题意，设未知数，列出一元一次方程求解，从而得到问题的解决．但有的实际问题，列出的方程不是一元一次方程，是一元二次方程，这就是我们本节课所研究的问题-------一元二次方程的应用。

2、从列方程解应用题的方法来说，列出的一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题类似，都是根据问题中的相等关系列出方程、解方程、判断根是否适合题意、作出正确的答案．列出一元二次方程解应用问题3、列方程解应用问题的步骤：①审题；②找相等关系；③设未知数；④列方程；⑤解方程；⑥答。

一元二次方程数字问题1、两位数表示：十位数字 × 10 + 个位数字2、三位数字：百位数字 × 100 + 十位数字 × 10 +个位数字3、三个连续偶数：2,,2+-x x x 三个连续整数：1,,1+-x x x典例分析例1．有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

举一反三1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数．【解答】解：设原两位数的个位数字为x ，十位数字为（6-x ），根据题意可知，[10（6-x ）+x][10x+（6-x ）]=1008，即x2-6x+8=0，解得x1=2，x2=4，∴6-x=4，或6-x=2， ∴10（6-x ）+x=42或10（6-x ）+x=24，答：这个两位数是42或24知识要点一1、矩形面积= 长 × 宽2、三角形面积 =2高底⨯ 3、梯形面积=21× （上底 + 下底）× 高 4、圆的面积= R R (2π为半径）典例分析例1．有一块长方形的铝皮，长24cm 、宽18cm ，在四角都截去相同的小正方形，折起来做成一个没盖的盒子，使底面积是原来面积的一半，求盒子的高．【解答】解：设盒子高是xcm ．列方程得（24-2x ）•（18-2x ）=0.5×24×18，解得x=3或x=18（不合题意，舍去）．答：盒子高是3cm ．例2．如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地． ⑴怎样围才能使矩形场地的面积为750m2?⑵能否使所围矩形场地的面积为810m2，为什么?【解答】解：⑴设所围矩形ABCD 的长AB 为x 米，则宽AD 为米．依题意，得即，解此方程，得∵墙的长度不超过45m ，∴不合题意，应舍去．当时，一元二次方程的面积问题知识要点二所以，当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m２．⑵不能．因为由得又∵＝(－80)2－4×1×1620=－80＜0，∴上述方程没有实数根．因此，不能使所围矩形场地的面积为810m2举一反三1、如图，在一块长为32m，宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路，余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2，求小路宽的宽度．【解答】解：设道路的宽为x米．依题意得：（32-x）（20-x）=540，解之得x1=2，x2=50（不合题意舍去）．答：道路宽为2m．2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．点P从A点开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动（到达点C即停止运动）．（1）如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于△ABC的三分之一？（2）如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，而且动点P从A点出发，沿AB移动（到达点B即停止运动），动点Q从B出发，沿BC移动（到达点C即停止运动），几秒钟后，P、Q相距6厘米？【解答】解：（1）设t秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一，根据题意得：×2t（6﹣t）=××6×8，解得：t=2或4．答：2秒或4秒后，△PBQ的面积等于是△ABC的三分之一．（2）设x秒时，P、Q相距6厘米，根据题意得：（6﹣x）2+（2x）2=36，解得：x=0（舍去）或x=．答：秒时，P、Q相距6厘米3.如图，有长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料造了宽为1米的两个小门．（1）设花圃的宽AB为x米，请你用含x的代数式表示BC的长（24﹣3x）米；（2）若此时花圃的面积刚好为45m2，求此时花圃的宽．【解答】解：（1）BC=22+2﹣3x=24﹣3x．故答案为（24﹣3x）；（2）x（24﹣3x）=45，化简得：x2﹣8x+15=0，解得：x1=5，x2=3．当x=5时，24﹣3x=9＜14，符合要求；当x=3时，24﹣3x=15＞14，不符合要求，舍去．答：花圃的宽为5米一元二次方程的利润问题1、每件利润=售价 - 进价总利润=每件利润 × 销售量利润率 =%100⨯进价每件利润利润 = 进价 × 利润率售价 = 进价 × 利润率）+1(典例分析例1．某市场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件赢利40元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案．解：设每天利润为w 元，每件衬衫降价x 元，根据题意得w=（40-x ）（20+2x ）=-2x2+60x+800=-2（x-15）2+1250 （1）当w=1200时，-2x2+60x+800=1200，解之得x1=10，x2=20．根据题意要尽快减少库存，所以应降价20元．答：每件衬衫应降价20元．（2）解：商场每天盈利（40-x ）（20+2x ）=-2（x-15）2+1250．当x=15时，商场盈利最多，共1250元．答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多．知识要点三举一反三1．某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施，调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台，商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？【解答】解：设每台冰箱应降价x元 ,那么(8+×4) ×(2400－x－2000)=4800 所以(x - 200)(x - 100)=0x = 100或200所以每台冰箱应降价100或200元.2.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克，每天可多售出40千克.另外，每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?【解答】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低x元根据题意，得：解得：＝0.2，＝0.3答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.2或0.3元。

一元二次方程综合提高训练卷(20大题)

一元二次方程综合提高训练卷（20大题）1．先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2−2a+1a2−1−a2，其中a是方程x2−x−72=0的解．2．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降价1元，商场每天可多售5件．若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？3．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+14m2+1＝0的两根是一个矩形两邻边的长．（1）m取何值时，方程有两个正实数根．（2）当矩形的对角线长为√5时，求m的值．4．已知关于x的一元二次方程x2+（4m+1）x+2m﹣1＝0；（1）求证：不论m任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两根为x1、x2且满足1x1+1x2=−12，求m的值．5．等腰△ABC的直角边AB＝BC＝10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度做直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D．设P点运动时间为t，△PCQ的面积为S．（1）求出S关于t的函数关系式；（2）当点P运动几秒时，S△PCQ＝S△ABC？（3）作PE⊥AC于点E，当点P、Q运动时，线段DE的长度是否改变？证明你的结论．6．每年的3月8日是国际劳动妇女节，是世界各国妇女争取和平、平等、发展的节日，沙坪坝某商店抓住这一机会，将A 、B 两种巧克力进行降价促销活动，在这一天前来购买这两种巧克力的顾客共有400名，每名顾客均购买了一盒巧克力，其中A 、B 两种的巧克力的销售单价分别为90元和50元．（1）若选择购买B 种巧克力的人数不超过购买A 种巧克力数的0.6倍．求至少有多少人选择购买A 种巧克力？（2）“七夕”节是中国的情人节，该商店估计当天购买巧克力的人会比较多，于是提高了A 种巧克力的售价，结果发现“七夕”节当天前来购买巧克力的顾客人数出现了下降，经统计发现与（1）问中选择A 种巧克力的人数最少时相比，A 种巧克力每上涨3元，购买A 种巧克力的人数会下降5人，同时购买B 种巧克力的人数也下降3人，但是B 种巧克力的售价没变，最终“七夕”节期间两种巧克力的总销售额与（1）问中选择A 种巧克力的顾客最少时的两种巧克力的总销售额持平，求“七夕”节当天A 种巧克力的售价．7．西南大学银翔实验中学第二届缤纷科技节于2019年5月份隆重举行，主题：绿色体验•成长﹣玩出你的稀缺竞争力”，本届缤纷科技节有展示类、体验类、竞赛类共40多个项目.4月份，学校对活动中所需物品统一购，其中某一体验类项目需要A 、B 两种材料，已知A 种材料单价32元/套，B 种材料单价24元/套，活动需要A 、B 两种材料共50套计划购买A 、B 两种材料总费用不超过1392元．（1）若按计划采购，最多能购买A 种材料多少套？（2）在实际来购过程中，受多方面因素的影响，与（1）中最多购买A 种材料的计划相比，实际采购A 种材料数量的增加了34a %，B 种材料的数量减少413a %（A 、B 材料的数量均为整数），实际采购A 种材料的单价减少了38a %，B 种材料的单价增加112a %，且实际总费用比按（1）中最多购买A 种材料的总费用多了16元，求a ．8．已知关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣m ＝0有实数根．（1）求m 的取值范围（2）若两实数根分别为x 1和x 2，且x 12+x 22=11，求m 的值．9．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED 边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE 的周长是6√2，求△ABC面积．10．已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣3（3m﹣1）x+18＝0有两个正整数根（m是正整数）．△ABC的三边a、b、c满足c=2√3，m2+a2m﹣8a＝0，m2+b2m﹣8b＝0．求：（1）m的值；（2）△ABC的面积．11．阅读下列材料：求函数y=3x2+2xx2+x+0.25的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得(y−3)x2+(y−2)x+14y=0．∵x为实数，∴△=(y−2)2−4(y−3)×14y=−y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数y=3x2+x+2x2+2x+1的最小值．12．端午节期间，某食品店平均每天可卖出300只粽子，卖出1只粽子的利润是1元．经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出100只粽子．为了使每天获取的利润更多，该店决定把零售单价下降m（0＜m＜1）元．（1）零售单价下降m元后，该店平均每天可卖出只粽子，利润为元．（2）在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使该店每天获取的利润是420元并且卖出的粽子更多？13．菜农李伟种植的某蔬菜计划以每千克5元的单价对外批发销售，由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销．李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的单价对外批发销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一：打九折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金200元．试问小华选择哪种方案更优惠，请说明理由．14．观察下面方程的解法x4﹣13x2+36＝0解：原方程可化为（x2﹣4）（x2﹣9）＝0∴（x+2）（x﹣2）（x+3）（x﹣3）＝0∴x+2＝0或x﹣2＝0或x+3＝0或x﹣3＝0∴x1＝2，x2＝﹣2，x3＝3，x4＝﹣3你能否求出方程x2﹣3|x|+2＝0的解？15．在前面的学习中，我们通过对同一面积的不同表达和比较，根据图1和图2发现并验证了平方差公式和完全平方公式．这种利用面积关系解决问题的方法，使抽象的数量关系因几何直观而形象化．【研究速算】提出问题：47×43，56×54，79×71，…是一些十位数字相同，且个位数字之和是10的两个两位数相乘的算式，是否可以找到一种速算方法？几何建模：用矩形的面积表示两个正数的乘积，以47×43为例：（1）画长为47，宽为43的矩形，如图3，将这个47×43的矩形从右边切下长40，宽3的一条，拼接到原矩形上面．（2）分析：原矩形面积可以有两种不同的表达方式：47×43的矩形面积或（40+7+3）×40的矩形与右上角3×7的矩形面积之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021．用文字表述47×43的速算方法是：十位数字4加1的和与4相乘，再乘以100，加上个位数字3与7的积，构成运算结果．归纳提炼：两个十位数字相同，并且个位数字之和是10的两位数相乘的速算方法是（用文字表述）．【研究方程】提出问题：怎样图解一元二次方程x2+2x﹣35＝0（x＞0）？几何建模：（1）变形：x（x+2）＝35．（2）画四个长为x+2，宽为x的矩形，构造图4（3）分析：图中的大正方形面积可以有两种不同的表达方式，（x+x+2）2或四个长x+2，宽x的矩形面积之和，加上中间边长为2的小正方形面积．即（x+x+2）2＝4x（x+2）+22∵x（x+2）＝35∴（x+x+2）2＝4×35+22∴（2x+2）2＝144∵x＞0∴x＝5归纳提炼：求关于x的一元二次方程x（x+b）＝c（x＞0，b＞0，c＞0）的解．要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图，并注明相关线段的长）【研究不等关系】提出问题：怎样运用矩形面积表示（y+3）（y+2）与2y+5的大小关系（其中y＞0）？几何建模：（1）画长y+3，宽y+2的矩形，按图5方式分割（2）变形：2y+5＝（y+3）+（y+2）（3）分析：图5中大矩形的面积可以表示为（y+3）（y+2）；阴影部分面积可以表示为（y+3）×1，画点部分的面积可表示为y+2，由图形的部分与整体的关系可知（y+3）（y+2）＞（y+3）+（y+2），即（y+3）（y+2）＞2y+5归纳提炼：当a＞2，b＞2时，表示ab与a+b的大小关系．根据题意，设a＝2+m，b＝2+n（m＞0，n＞0），要求参照上述研究方法，画出示意图，并写出几何建模步骤（用钢笔或圆珠笔画图并注明相关线段的长）16．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c＝0的两个实数根，且|x1|+|x2|＝2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c＝0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27＝0，x2﹣2x﹣8＝0，x2+3x−274=0，x2+6x﹣27＝0，x2+4x+4＝0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12＝0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c＝0是“偶系二次方程”，并说明理由．17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+2k＝0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2﹣x12﹣x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．“关爱留守儿童，关注农民工子弟教育”已逐渐成为政府以及社会关心的一大民生问题，下表是某电视台2011年一民生栏目组调查的数据：类别现状户数比例A父母常年在外打工，孩子留在老家由老人照顾200B父母常年在外打工，孩子带在身边10%C父母就近在城镇打工，晚上回家照顾孩子25%D父母在家务农，并照顾孩子15%（1）请将统计表中的空缺数据填写完整；（2）若2013年此电视台民生栏目组再次抽查，样本容量不变，但B类所占比例提高到了12.1%，求B类户数平均每年的增长率．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．20．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．。