二次函数的图像与性质
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质。
在本文中，我们将探讨二次函数的性质，包括其图像的形状、顶点、轴对称性、零点和判别式等方面。
一、二次函数的图像形状二次函数的图像形状通常为一个开口向上或向下的抛物线。
它的开口方向由二次项的系数决定。
当二次项系数大于0时，抛物线开口向上；当二次项系数小于0时，抛物线开口向下。
二、二次函数的顶点二次函数的顶点是其图像的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
顶点的横坐标称为函数的轴对称轴，可以通过公式 x = -b/2a 来计算。
顶点的纵坐标即为函数的最值。
三、二次函数的轴对称性由于二次函数是关于轴对称轴对称的，其图像可以通过轴对称轴进行折叠。
例如，如果一个点 (x, y) 在二次函数上，则点 (-x, y) 也在同一二次函数上。
四、二次函数的零点二次函数的零点即为函数与 x 轴相交的点，也就是函数的根。
我们可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c = 0 来找到二次函数的零点。
其中，a、b 和 c 分别代表二次函数的三个系数。
五、二次函数的判别式二次函数的判别式可以用来判断二次函数的零点情况。
判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。
当判别式大于0时，二次函数有两个不同的实根；当判别式等于0时，二次函数有两个相同的实根；当判别式小于0时，二次函数没有实根，只有虚根。
六、二次函数的导数与凹凸性二次函数的导数是一个一次函数，其斜率与二次函数切线的斜率相等。
根据导数的正负可以判断二次函数的凹凸性。
当导数大于0时，二次函数在该区间上是上凹的；当导数小于0时，二次函数在该区间上是下凹的。
七、二次函数的平移和缩放二次函数通过平移和缩放可以变换其图像的位置和形状。
平移是通过在函数中加上或减去一个常数来实现，而缩放是通过在函数的系数前面乘以一个常数来实现。
综上所述，二次函数是一个具有多种性质的函数，包括图像形状、顶点、轴对称性、零点、判别式、导数与凹凸性以及平移和缩放等方面。
二次函数的图像及性质
与对数函数的比较
值域：二次函数值域为全体实 数，而对数函数值域为实数加 一个常数
图像：二次函数图像为抛物线， 而对数函数图像为单调递增或 递减的曲线
定义域：二次函数定义域为全 体实数，而对数函数定义域为 正实数
性质：二次函数具有对称性， 而对数函数具有反函数性质
汇报人：
性质：二次函数有最小 值或最大值，反比例函 数在x>0时单调递减， 在x<0时单调递增。
应用：二次函数在数学、 物理等领域有广泛应用， 反比例函数在解决一些 实际问题时也很有用。
与指数函数的比较
开口方向：二次函数开口向上或向下，指数函数开口向右 顶点：二次函数有顶点，指数函数无顶点 函数值：二次函数有最大值或最小值，指数函数无最大值或最小值 图像：二次函数图像是抛物线，指数函数图像是指数曲线
开口变化规律
二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时开口向上，a<0时开口向下。
二次函数的开口大小由系数a和b共同决定，a的绝对值越大，开口越小；b的绝对值越大，开口 越大。
二次函数的对称轴为x=-b/2a，对于开口向上的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而减小；对 于开口向下的函数，对称轴左侧函数值随x的增大而增大。
图像的对称性
二次函数的对称中心是(k,0)
二次函数的顶点坐标是(h,k)
二次函数的对称轴是x=h
二次函数的开口方向由a决定， a>0向上开口，a<0向下开口
与一次函数的比较
函数表达式：二次函数的一般形式 为y=ax^2+bx+c，一次函数的一 般形式为y=kx+b
开口方向：二次函数的开口方向由 a的符号决定，一次函数的图像是 一条直线，没有开口方向
二次函数的性质
二次函数的性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它是一种形如y=ax²+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
在本文中，我将详细介绍二次函数的性质，包括定义、图像、顶点、对称轴、零点、判别式以及二次函数的分类。
一、二次函数的定义二次函数是一种多项式函数，它的最高次项是二次项，即x的平方项。
一般地，我们可以表示为y=ax²+bx+c，其中a、b、c为实数，且a≠0。
常见的二次函数包括抛物线、开口方向为上或下的曲线。
二、二次函数的图像二次函数的图像通常是一个U形或者倒U形的曲线，也即抛物线。
抛物线开口的方向取决于二次函数的系数a的正负。
1. 当a>0时，抛物线开口向上，图像在坐标系的正半轴上方；2. 当a<0时，抛物线开口向下，图像在坐标系的负半轴上方。
三、二次函数的顶点二次函数的顶点是抛物线的最低点（开口向上）或最高点（开口向下）。
顶点的横坐标可以通过用-b/2a求得，纵坐标可以通过将横坐标代入函数得出。
四、二次函数的对称轴二次函数的对称轴是指通过顶点并垂直于x轴的一条直线。
对称轴的方程为x=-b/2a。
五、二次函数的零点二次函数的零点是指使函数取值为零的x的值。
可以通过求解二次方程ax²+bx+c=0来得到零点。
根据一元二次方程的求根公式，可得x=(-b±√(b²-4ac))/(2a)。
当判别式b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实根；当b²-4ac<0时，方程没有实根。
六、二次函数的判别式二次函数的判别式D=b²-4ac可以用来判断二次函数的图像和零点的性质。
1. 当D>0时，方程有两个不相等的实根，图像与x轴有两个交点；2. 当D=0时，方程有两个相等的实根，图像与x轴有一个交点；3. 当D<0时，方程没有实根，图像与x轴无交点。
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数是高中数学中一个重要的概念，它在数学和实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍二次函数的图像与性质，包括图像的形状与位置、顶点坐标、对称性、最值和零点等方面。
1. 图像的形状与位置二次函数的一般形式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，它的形状取决于二次项的系数a的正负和大小。
如果a大于0，则抛物线开口朝上；如果a小于0，则抛物线开口朝下。
a的绝对值越大，抛物线的开口越窄；a的绝对值越小，抛物线的开口越宽。
2. 顶点坐标二次函数的顶点是抛物线的最高点（开口朝下）或最低点（开口朝上），它的坐标可以通过顶点公式来求得。
顶点公式为：x = -b/(2a)，y = f(x) = c - b²/(4a)顶点坐标的x值表示抛物线的对称轴位置，y值表示抛物线的最值。
3. 对称性二次函数的图像具有对称性。
对于任意点(x, y)在图像上，其关于对称轴的对称点也必定在图像上。
对称轴通过顶点，因此对称性可以通过对称轴方程来表示：x = -b/(2a)。
4. 最值二次函数的最值即为函数在定义区间内的最大值或最小值。
开口朝上的二次函数在顶点处取得最小值，开口朝下的二次函数在顶点处取得最大值。
最值的计算可以通过顶点坐标中的y值来得到。
5. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴的交点。
也就是函数取值为0时的x值，可以通过解二次方程f(x) = 0来求得。
二次方程的解可以使用求根公式，即：x = (-b ±√(b²-4ac))/(2a)其中±表示两个解，可能有两个不同的零点，也可能有两个相等的零点，甚至可能没有实数解。
总结：二次函数的图像与性质可以通过以下几个方面来描述：图像的形状与位置，顶点坐标，对称性，最值和零点。
这些性质对于理解和应用二次函数都非常重要。
通过本文的介绍，相信读者对二次函数的图像与性质有了更深入的理解。
二次函数的图像和性质——y=ax^2的图像 (共14张PPT)
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 已知二次函数 y ＝ m －1 xm2 ＋ m 的图像开口向下．
（1）求m的值和函数表达式．
解：（1）由题意知：m－1＜0且m²＋m＝2，则m＝－2．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 已知二次函数y＝ax²(a≠0)的图像经过点（2，3）． 求：（1）a的值和写出解析式．
列表时自变量要 均匀和对称！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例2 画出y＝－x2图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=-x² ... -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 ...
5.2 二次函数的图像和性质(1)
请在直角坐标系中画出函数
y＝
1 2
x2
和
y＝2 x2
、
初中数学 九年级(下册)
5.2 二次函数的图像和性质（1）
5.2 二次函数的图像和性质(1)
画函数图像步骤：列表 描点 连线 研究函数性质方法：数形结合 二次函数的图像是怎样的？ 试着画一画吧！
5.2 二次函数的图像和性质(1)
例1 画出函数y＝x2的图像．
x ... -3 -2 -1 0 1 2 3 ... y=x² ... 9 4 1 0 1 4 9 ...
（2）确定图像的开口方向．
解：（1）将（2，3）代入y＝ax²（a≠0），得a＝0.75； （2）抛物线y＝0.75x²，开口向上．
5.2 二次函数的图像和性质(1)
本节课我们学习了什么？
抛物 y轴 线
向上 向下
（0,0） 最低点
（0,0） 最高点
5.2 二次函数的图像和性质(2)
分别说出下列函数图像的开口方向、顶 点坐标、对称轴：
二次函数图像与性质完整归纳
二次函数图像与性质完整归纳二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质：上加下减。
a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()00，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．a < 向下()00，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
a > 向上()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ．a < 向下()0c ，y轴x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．a < 向下()0h ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．4.()2y a x h k=-+的性质：二、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：a的符号 开口方向 顶点坐标对称轴性质 0a > 向上()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ．a < 向下()h k ，X=hx h>时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．3. 两根式：12a≠，1x，2x是抛物线与=--（0y a x x x x()()x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240-≥时，抛物线的解析式才可以用交b ac点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2=++中，a作为二次项系数，y ax bx c显然0a≠．⑴当0a>时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当0a<时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a>的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab的符号的判定：对称轴a b x 2-=在y 轴左边则>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴当0c>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a b c，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．八、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=++关于x轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2=---；y ax bx c()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2=---；y a x h k2. 关于y轴对称2=++关于y轴对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+；()2=-+关于y轴对称后，得到的解析式是y a x h k()2=++；y a x h k3. 关于原点对称2=++关于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by axbx c a=--+-； ()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图像参考：十一、【例题精讲】一、一元二次函数的图象的画法 【例1】求作函数64212++=x xy 的图象【解】 )128(21642122++=++=x x x xy2-4)(214]-4)[(21 2222+=+=x x以4-=x 为中间值，取x 的一些值，列表如下：x… -7 -6-5-4-3-2 -1…y=2(x-4)2-3y=2(x-4)2y=2x 2y=x 22y=2x y=x 2y=-2x 2y= -x 2y= -x 22y=2x 2-4y=2x +2y=2x 2y=3(x+4)2y=3(x-2)2y=3x 2y=-2(x+3)2y=-2(x-3)2y=-2x 2y (2)50 23--2 23- 0 25… 【例2】求作函数342+--=x xy 的图象。
二次函数的图像及其性质
单调性
二次函数的开口 方向由系数a决 定，a>0时开口 向上，a<0时开 口向下
二次函数的对称 轴为x=-b/a
二次函数的最值 在对称轴上取得， 即x=-b/2a时的 函数值y=cb^2/4a
二次函数在区间 (-∞,-b/2a)和(b/2a,+∞)上单 调性相反
最值点
二次函数的最值点为顶点 顶点的坐标为(-b/2a, f(-b/2a)) 当a>0时，函数在顶点处取得最小值 当a<0时，函数在顶点处取得最大值
开口大小与一次项 系数和常数项无关
开口变化趋势
二次函数的开口方向由二次项系数a决定，a>0时向上开口，a<0时向下开口。 二次函数的开口大小由二次项系数a和一次项系数b共同决定，a的绝对值越大，开口越小。 二次函数的对称轴为x=-b/2a，当a>0时，对称轴为x=-b/2a；当a<0时，对称轴为x=-b/2a。 二次函数的最值点为顶点，顶点的坐标为(-b/2a, c-b^2/4a)。
在物理领域的应用
二次函数在抛物线运动中的应用 二次函数在弹簧振荡中的应用 二次函数在单摆运动中的应用 二次函数在简谐振动中的应用
在其他领域的应用
二次函数在经济学中的应用， 例如计算成本、收益、利润等。
二次函数在生物学中的应用， 例如种群增长、药物疗效等。
二次函数在物理学中的应用， 例如弹簧振动、单摆运动等。
二次函数的应用
解决实际问题
二次函数在物理学中的应用，例如计算抛物线的运动轨迹 二次函数在经济学中的应用，例如计算商品价格与销售量的关系
二次函数在日常生活中的应用，例如计算最优化问题，如最小费用、最大效率等
二次函数在科学实验中的应用，例如模拟实验数据，预测实验结果
第12节 二次函数的图象和性质
27＋10a a＜－5.
练习：若函数 f（x）解：=x函2+数afx（+xb）在=x2区+ax间+b[的0图，象1是]上开的口朝最上大且值以直是线Mx=，﹣最为小对值称是轴的m抛，物则线，
解：函数 y=x2+（1﹣a）x+2 的对称轴 x= 又函数在区间（﹣∞，4]上是减函 数，可得 ≥4，，得 a≥9． 故选 A．
典例分析：
（3）如果函数 f（x）=ax2+2x﹣3 在区间（﹣∞，4）上是单调递增的，则实数 a
的取值范围是（ ）
A.（- 1，+） 4
B.[- 1 ，+） 4
C.[- 1 ，0） 4
典例分析：
例 4：（1）已知函数 f（x）=mx2﹣mx﹣1，对一切实数 x，f（x）＜0 恒成立，则
m 的范围为（ ）
A．（﹣4，0）
解：当 m=0 时，代B．入（得﹣f（4x），=0﹣]1＜0 恒成立；
当 m≠0 时，由 f（x）＜0 恒成立，
C．（﹣∞，﹣4）∪得（到0m，＜+0，∞且）△=D（．﹣（m﹣）2∞﹣4，×m﹣（4﹣）1）∪=[m02+，4m+＜∞0，）
∴（x﹣a）（1﹣x﹣a）＜1，
D．﹣
即 a2﹣a﹣1＜x2﹣x．
令 t=x2﹣x，只要 a2﹣a﹣1＜tmin．
t=x2﹣x=
，当 x∈R，t≥﹣ ．
∴a2﹣a﹣1＜﹣ ，即 4a2﹣4a﹣3＜0，
解得：﹣
．
故选：C．
练习：若函数 f（x）=x2﹣4x+a 对于一切 x∈[0，1]时，恒有 f（x）≥0 成立， 则实数 a 的取值范围是（ ） A．[3，+∞） B．（3，+∞） C．（﹣∞，3] D．（﹣∞，3）
二次函数的图像和性质PPT课件(共21张PPT)
相同点
相同点：开口都向下，顶点是
原点而且是抛物线的最高点，
对称轴是 y 轴.
不同点
不同点：|a|越大，抛物线的
开口越小．
x
O
y
－4 －2
2
4
－2
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
尝试应用
1、函数y=2x2的图象的开向口上 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;)
2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴y轴 ,顶点是(0,0;) 3、已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8).
不在此抛物线上。
小结
1. 二次函数的图像都是什么图形？
2. 抛物线y=ax2的图像性质: (1) 抛物线y=ax2的对称轴是y轴,顶点是原点.
(2)当a>0时,抛物线的开口向上,顶点是抛物 线的最低点;
当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物 线的最高点;
（3）抛物线的增减性
（4）|a|越大,抛物线的开口越小;
得到y=-x2的图像.
y 1
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
-2
-3 -4
-5
-6
y=－x2
-7
-8 -9
-10
二次函数的图像
从图像可以看出,二次函数y=x2和y=－x2的图像都是一条
曲线,它的形状类似于投篮球或投掷ห้องสมุดไป่ตู้球时球在空中所经过
的路线.
这样的曲线叫做抛物线.
y=x2的图像叫做抛物线y=x2.
解：分别填表，再画出它们的图象，如图 当a<0时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点;
在同一直角坐标系中画出函数y=-x2、y=-2x2、y=- x2的图象，有什么共同点和不同点? -8=a(-2)2,解出a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.
二次函数的图像与性质
二次函数的图像与性质二次函数的性质二次函数()02≠++=a c bx ax y 的顶点坐标是（-a b 2，a b ac 442-），对称轴直线x=-a b 2，二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x=-a b 2时，y 取得最小值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜-a b 2时，y 随x 的增大而增大；x＞-a b 2时，y 随x 的增大而减小；x=-a b 2时，y 取得最大值a b ac 442-，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax 2的图象向右或向左平移a b 2个单位，再向上或向下平移ab ac 442-个单位得到的．二次函数上点坐标的特征二次函数y=ax 2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（-a b 2，ab ac 442-）.①抛物线是关于对称轴x=-a b 2成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析中的c 值．③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x 1，0），（x 2，0），则其对称轴为x=221x x +【例1】已知()()212232m x m x m m y m m +-+-=--是关于x 的二次函数，求出它的解析式，并写出其二次项系数、一次项系数及常数项．【例2】下列各式中，一定是二次函数的有（）①y=2x 2﹣4xz +3；②y=4﹣3x +7x 2；③y=（2x ﹣3）（3x ﹣2）﹣6x 2；④y=21x﹣3x +5；⑤y=ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数）；⑥y=（m 2+1）x 2﹣2x ﹣3（m 为常数）；⑦y=m 2x 2+4x ﹣3（m 为常数）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【例3】（2017•东莞市一模）在同一坐标系中，一次函数y=ax+b 与二次函数y=bx 2+a 的图象可能是（）A．B．C．D．【例4】（2017•辽阳）如图，抛物线y=x 2﹣2x﹣3与y 轴交于点C，点D 的坐标为（0，﹣1），在第四象限抛物线上有一点P，若△PCD 是以CD 为底边的等腰三角形，则点P 的横坐标为（）A．1+2B．1﹣2C．2﹣1D．1﹣2或1+2【例5】（2017•唐河县三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=31x 2经过平移得到抛物线y=ax 2+bx，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为38，则a、b 的值分别为（）A．31，34B．31，﹣38C．31，﹣34D．﹣31，34【例6】（2016•北仑区一模）如图，抛物线y=﹣x 2+5x﹣4，点D 是直线BC 上方的抛物线上的一个动点，连结DC，DB，则△BCD 的面积的最大值是多少？1、（2011秋•无锡期末）下列函数中，（1）y ﹣x 2=0，（2）y=（x +2）（x ﹣2）﹣（x ﹣1）2，（3）x x y 12+=，（4）322-+=x x y ，其中是二次函数的有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、（2015秋•五指山校级月考）函数y=（m ﹣n ）x 2+mx +n 是二次函数的条件是（）A ．m 、n 是常数，且m ≠0B ．m 、n 是常数，且m ≠nC ．m 、n 是常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3、（2014•葫芦岛二模）在同一直角坐标系中，函数y=mx +m 和函数y=mx 2+2x +2（m 是常数，且m ≠0）的图象可能是（）A ．B ．CD ．4、（2017•扬州）如图，已知△ABC 的顶点坐标分别为A（0，2）、B（1，0）、C（2，1），若二次函数y=x 2+bx+1的图象与阴影部分（含边界）一定有公共点，则实数b 的取值范围是（）A．b≤﹣2B．b＜﹣2C．b≥﹣2D．b＞﹣25、（2012秋•高安市期末）把抛物线y=﹣2x 2﹣4x﹣6经过平移得到y=﹣2x 2﹣1，平移方法是（）A．向右平移1个单位，再向上平移3个单位B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位D．向左平移1个单位，再向下平移3个单位6、（2017•泸州）已知抛物线y=41x 2+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F （0，2）的距离与到x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为（3，3），P 是抛物线y=41x 2+1上一个动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．3B ．4C ．5D ．67、（2016•陕西校级模拟）如图，已知点A（8，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=6时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．358C．10D．528、（2010秋•西城区校级期中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，抛物线经过点（1，0），则下列结论：①ac＞0；②方程ax2+bx+c=0的两根之和大于0；③y随x的增大而增大；④a﹣b+c＜0，其中正确的是．9、（2017•孝感模拟）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确的结论有（填序号）．10、（2016•黄冈校级自主招生）方程2x﹣x 2=x 2的正实数根有个．11、（2011•路南区一模）已知二次函数y=（x﹣3a）2﹣（3a+2）（a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图中分别是当a=﹣1，a=﹣31，a=1时二次函数的图象．则它们的顶点所满足的函数关系式为．12、（2015•泗洪县校级模拟）若直线y=m （m 为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m 的取值范围是．13、（2017春•昌江区校级期中）记实数x 1，x 2中的最小值为min{x 1，x 2}，例如min{0，﹣1}=﹣1，当x 取任意实数时，则min{﹣x 2+4，3x}的最大值为．14、（2016•锡山区一模）二次函数y=﹣x 2﹣2x 图象x 轴上方的部分沿x 轴翻折到x 轴下方，图象的其余部分保持不变，翻折后的图象与原图象x 轴下方的部分组成一个“M”形状的新图象，若直线y=21x+b 与该新图象有两个公共点，则b 的取值范围为．15、（2017春•平南县月考）抛物线238942++-=x x y 与y 轴交于点A，顶点为B．点P 是x 轴上的一个动点，当点P 的坐标是时，|PA﹣PB|取得最小值．16、（2014•上城区二模）已知当x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m﹣n+2≠0，则当x=6（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于．17、（2017•港南区二模）二次函数y=（a﹣1）x 2﹣x+a 2﹣1的图象经过原点，则a 的值为．18、（2017•西华县二模）已知y=﹣41x 2﹣3x+4（﹣10≤x≤0）的图象上有一动点P，点P 的纵坐标为整数值时，记为“好点”，则有多个“好点”，其“好点”的个数为．19、（2017•鄂州）已知正方形ABCD 中A（1，1）、B（1，2）、C（2，2）、D（2，1），有一抛物线y=（x+1）2向下平移m 个单位（m＞0）与正方形ABCD 的边（包括四个顶点）有交点，则m 的取值范围是．20、作出下列函数的图象：（1）y=x 2﹣4x +3；（2）y=x 2﹣4|x |+3；（3）y=|x 2﹣4|x |+3|．21、（2017•海安县一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线y=﹣41x+n 经过点A（﹣4，2），分别与x，y 轴交于点B，C，抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 的顶点为D．（1）求点B，C 的坐标；（2）①直接写出抛物线顶点D 的坐标（用含m 的式子表示）；②若抛物线y=x 2﹣2mx+m 2﹣n 与线段BC 有公共点，求m 的取值范围．22、（2011•泰州）已知二次函数y=x 2+bx ﹣3的图象经过点P （﹣2，5）（1）求b 的值并写出当1＜x ≤3时y 的取值范围；（2）设P 1（m ，y 1）、P 2（m +1，y 2）、P 3（m +2，y 3）在这个二次函数的图象上，①当m=4时，y 1、y 2、y 3能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；②当m 取不小于5的任意实数时，y 1、y 2、y 3一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．23、（2017•邵阳县模拟）（1）已知函数y=2x+1，﹣1≤x≤1，求函数值的最大值．（2）已知关于x的函数y=（m≠0），试求1≤x≤10时函数值的最小值．（3）己知直线m：y=2kx﹣2和抛物线y=（k2﹣1）x2﹣1在y轴左边交于A、B两点，直线l 过点P（﹣2、0）和线段AB的中点M，求直线1与y轴的交点纵坐标b的取值范围．24、（2015秋•长兴县月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=5，点E在CB边上，以每秒1个单位的速度从点C向点B运动，运动时间为t（s），过点E作AB的平行线，交AC边于点D，以DE为边向上作等边△DEF，设△ABC与△DEF重叠部分的面积为S．（1）当点F恰好落在AB边上时，求t的值；（2）当t为何值时，S有最大值？最大值是多少？。
二次函数与三角函数的图像与性质
二次函数与三角函数的图像与性质一、二次函数的图像与性质1.图像特点：二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线。
开口向上的抛物线顶点在最低点，开口向下的抛物线顶点在最高点。
2.性质：二次函数的图像具有对称性，对称轴是抛物线的轴线，即x = -b/2a。
对称轴上的点关于抛物线对称。
3.顶点：二次函数的顶点坐标为(-b/2a, c - b^2/4a)。
顶点是抛物线的最高点或最低点，取决于a的正负。
4.零点：二次函数与x轴的交点称为零点。
二次函数最多有两个零点。
5.开口方向：当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
6.增减性：当a > 0时，随着x的增大，y值增大；当a < 0时，随着x的增大，y值减小。
二、三角函数的图像与性质1.正弦函数（sin x）：–图像特点：正弦函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：正弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，正弦函数是增函数；在π到2π之间，正弦函数是减函数。
2.余弦函数（cos x）：–图像特点：余弦函数的图像与正弦函数相似，也是一条周期性波动的曲线，周期为2π。
–性质：余弦函数的值域为[-1, 1]，在0°到π之间，余弦函数是减函数；在π到2π之间，余弦函数是增函数。
3.正切函数（tan x）：–图像特点：正切函数的图像是一条周期性波动的曲线，周期为π。
–性质：正切函数的值域为全体实数，在每个周期内，正切函数是增函数。
4.弧度制与角度制的转换：–弧度制：π rad = 180°。
–角度制：1° = π/180 rad。
5.三角函数的定义：–正弦函数：sin x = 对边/斜边。
–余弦函数：cos x = 邻边/斜边。
–正切函数：tan x = 对边/邻边。
三、二次函数与三角函数的图像与性质的联系与区别1.联系：二次函数与三角函数都是周期性函数，具有周期性波动的特点。
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质1.二次函数的图像与性质：解析式a 的取值开口方向函数值的增减顶点坐标对称轴图像与y轴的交点y = ax2当a0时；开口向上；在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大。
当a0时；开口向下；在对称轴的左侧y随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小。
（0，0）x=0（0，0）y = ax2+ k（0，c）x =0 (0，k）y = a( x + h)2（- h，0）x = - h(0，ah2）y=a(x+h)2+k（- h，k）x = - h(0，ah2+ k)y = ax2+bx+c b 4ac - b2 (- , )2a4a b x=-2a（0，c）2.抛物线的平移法则：（1）抛物线y = ax2+ k的图像是由抛物线y = ax2的图像平移k个单位而得到的。
当k 0时向上平移；当k0时向下平移。
（2）抛物线y = a（x + h）2的图像是由抛物线y = ax2的图像平移h个单位而得到的。
当h0时向左平移；当h0时向右平移。
（3）抛物线的y = a（x + h）2+ k图像是由抛物线y = ax2的图像上下平移k个单位，左右平移h个单位而得到的。
当k0时向上平移；当k0时向下平移；当h0时向左平移；当h0 时向右平移。
3.二次函数的最值公式：形如y =ax + bx + c的二次函数。
当a0时，图像有最低点，函数有最小值4ac-b24ac-b2y最小值=4a；当a0时，图像有最高点，函数有最大值，y最大值=4a；4.抛物线y =ax + bx + c与y轴的交点坐标是（0，c）5.抛物线的开口大小是由a决定的，a越大开口越小。
6.二次函数y =ax + bx + c的最值问题：（1）自变量的取值范围是一切实数时求最值的方法有配方法、公式法、判别式法。
（2）自变量的取值范围不是一切实数：b 自变量的取值范围不是一切实数时，应当抓住对称轴x = -2a ,把他与取值范围相比较，再进行求最值。
二次函数的图像和性质
二次函数复习二：二次函数的图像和性质班级：姓名：知识点一.二次函数的图像和性质1.二次函数图像的画法: 五点作图法（1）顶点坐标；（2）与x轴的交点坐标；（3）与y轴的交点坐标，再找到该点关于对称轴对称的对称点坐标。
2.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用（1）a 决定开口方向及开口大小.a >0时，抛物线开口向上 ,a <0时，抛物线开口向下(a 的绝对值越大，抛物线的开口越小)。
（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线ab x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（口诀：左同右异 ，即a 、b 同号，对称轴在y 轴左侧） （3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 3.二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x 轴的交点横坐标。
因此一元二次方程中的ac 4b 2-=∆，在二次函数中表示图像与x 轴是否有交点。
当∆>0时，图像与x 轴有两个交点；当∆=0时，图像与x 轴有一个交点；当∆<0时，图像与x 轴没有交点。
对称轴122x x x +=，在x 轴上截的线段长是||AB a =。
4.二次函数图象的平移① 对于抛物线y =ax 2+bx +c 的平移.通常先将一般式转化成顶点式()2y a x h k =-+，再遵循左加右减，上加下减的的原则,化为顶点式有两种方法：配方法，顶点坐标公式法。
第四讲 二次函数的图象和性质
模块三 函数第四讲 二次函数的图象和性质知识梳理 夯实基础知识点1：二次函数的概念及表达式1.一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2.二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：()()12y a x x x x =--，其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．知识点2：二次函数的图象及性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a 顶点（–2ba，244ac b a -）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2ba 时，y 最小值=244ac b a-当x =–2ba 时，y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小2.二次函数图象的特征与a，b，c的关系字母的符号图象的特征a>0开口向上aa<0开口向下b=0对称轴为y轴ab>0（a与b同号）对称轴在y轴左侧bab<0（a与b异号）对称轴在y轴右侧c=0经过原点c>0与y轴正半轴相交cc<0与y轴负半轴相交b2–4ac=0与x轴有唯一交点（顶点）b2–4ac>0与x轴有两个交点b2–4acb2–4ac<0与x轴没有交点知识点3：抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．:2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“左加右减（自变量），上加下减（常数项）”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．知识点4：二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax 2+bx +c =0（a ≠0）的解是抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象与x 轴交点的横坐标． 3．（1）b 2–4ac >0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x 轴有两个交点；（2）b 2–4ac =0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x 轴有且只有一个交点；（3）b 2–4ac <0⇔方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．知识点5：二次函数的综合1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题，要把问题拆分，分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式，进而确定函数图象；解答二次函数综合题，要把大题拆分，做到大题小做，逐步分析求解，最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．直击中考 胜券在握1．（2021·甘肃兰州中考）二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．1x =D ．2x =【答案】A 【分析】将二次函数222=++y x x 写成顶点式，进而可得对称轴．【详解】解：Q 222=++y x x 2(1)1=++x ．\二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是1x =-．【点睛】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．2．（2021·西藏中考）将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝x 2﹣8x ＋22B ．y ＝x 2﹣8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋10D ．y ＝x 2＋4x ＋2【答案】D 【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y ＝（x ﹣1）2＋2向左平移3个单位长度所得抛物线解析式为：y ＝（x ﹣1＋3）2＋2，即y ＝（x ＋2）2＋2；再向下平移4个单位为：y ＝（x ＋2）2＋2﹣4，即y ＝（x ＋2）2﹣2＝x 2＋4x ＋2．故选：D ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．（2021·广西河池中考）二次函数2(0)y ax bx c a =++¹的图象如图所示，下列说法中，错误的是（ ）A ．对称轴是直线12x =B ．当12x -<<时，0y <C ．a c b +=D ．a b c+>-【答案】D 【分析】由与x 轴的交点和中点公式求对称轴判断选项A ；结合函数图象判断选项B ；令x =-1,判断选项C ；令x =1,判断选项D ,即可解答．解：A 、对称轴为：直线12122x -+== ，故选项A 正确，不符合题意；B 、由函数图象知，当-1<x <2时，函数图象在x 轴的下方，∴当-1<x <2时，y <0，故选项B 正确，不符合题意；C 、由图可知：当x =-1时，y =a -b +c =0，∴a +c =b ，故选项C 正确，不符合题意；D 、由图可知：当x =1时，y =a +b +c <0∴a +b <-c ，故选项D 错误，不符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数对称性、二次函数图象与系数之间的关系和二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键理解函数图象与不等式之间以及方程的关系．4．（2021·辽宁阜新·中考真题）如图，二次函数2(2)y a x k =++的图象与x 轴交于A ，(),10B -两点，则下列说法正确的是（）A ．0a <B ．点A 的坐标为()4,0-C ．当0x <时，y 随x 的增大而减小D ．图象的对称轴为直线2x =-【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与性质即可依次判断．【详解】由图可得开口向上，故a ＞0，A 错误；∵解析式为2(2)y a x k =++，故对称轴为直线x =-2，D 正确∵(),10B -∴A 点坐标为（-3，0），故B 错误；由图可知当2x <-时，y 随x 的增大而减小，故C 错误；故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知二次函数顶点式的特点．5．（2021·广东广州·中考真题）抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．5【答案】A 【分析】先利用待定系数法求出抛物线解析式，再求函数值即可．【详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，∴50930c a b c a b c =-ìï-+=íï++=î，解方程组得553103c a b ìï=-ïï=íïï=-ïî，∴抛物线解析式为2353051y x x -=-，当2x =时，103542553y =´´-=--．故选择A ．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，和函数值，掌握系数法求抛物线解析式方法和函数值求法是解题关键．6．（2021·绍兴中考）关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（ ）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值6【答案】D【分析】根据二次函数22(4)6y x =-+的解析式，得到a 的值为2，图象开口向上，函数有最小值，根据定点坐标（4,6），即可得出函数的最小值．【详解】解：∵在二次函数22(4)6y x =-+中，a =2>0，顶点坐标为（4,6），∴函数有最小值为6．故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的最值问题，关键是根据二次函数的解析式确定a 的符号和根据顶点坐标求出最值．7．（2021·贵州黔东南中考）如图，抛物线()210:+=+L y ax bx c a ¹与x 轴只有一个公共点A （1，0），与y轴交于点B （0，2），虚线为其对称轴，若将抛物线向下平移两个单位长度得抛物线2L ，则图中两个阴影部分的面积和为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】连接AB ，OM ，根据二次函数图像的对称性把阴影图形的面积转化为平行四边形ABOM 面积求解即可．【详解】设平移后的抛物线与对称轴所在的直线交于点M ，连接AB ，OM ．由题意可知，AM =OB ，∵()(),1,0,20A B ∴OA =1，OB =AM =2，∵抛物线是轴对称图形，∴图中两个阴影部分的面积和即为四边形ABOM 的面积，∵//AM OB ，AM OB =，∴四边形ABOM 为平行四边形，∴212ABOM S OB OA =·=´=四边形．故选：B ．【点睛】此题考查了二次函数图像的对称性和阴影面积的求法，解题的关键是根据二次函数图像的对称性转化阴影图形的面积．8．（2021·江苏徐州中考）在平面直角坐标系中，将二次函数2y x =的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ）A ．()221y x =-+B ．()221y x =++C ．()221y x =+-D ．()221y x =--【答案】B 【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵2y x =的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数2y x =的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为()221y x =++，故选B 【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．9．（2021·山东淄博中考）已知二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点．若其图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m ===V V V ，则m 的值是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．4【答案】C 【分析】由题意易得点123,,P P P 的纵坐标相等，进而可得其中有一个点是抛物线的顶点，然后问题可求解．【详解】解：假设点A 在点B 的左侧，∵二次函数2286y x x =-+的图象交x 轴于,A B 两点，∴令0y =时，则有20286x x =-+，解得：121,3x x ==，∴()()1,0,3,0A B ，∴312AB =-=，∵图象上有且只有123,,P P P 三点满足123ABPABP ABP S S S m ===V V V ，∴点123,,P P P 的纵坐标的绝对值相等，如图所示：∵()22286222y x x x =-+=--，∴点()12,2P -，∴112222ABP m S ==´´=V ；故选C ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．10．（2021·内蒙古赤峰·中考真题）已知抛物线2y ax bx c =++上的部分点的横坐标x 与纵坐标y 的对应值如表：x …-10123…y…3-1m3…以下结论正确的是（）A ．抛物线2y ax bx c =++的开口向下B ．当3x <时，y 随x 增大而增大C ．方程20ax bx c ++=的根为0和2D ．当0y >时，x 的取值范围是02x <<【答案】C 【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．【详解】解：将(1,3),(0,0),(3,3)-代入抛物线的解析式得；309333a b c c a b -+=ìï=íï++=î，解得：1,2,0a b c ==-=，所以抛物线的解析式为：222(2)(1)1y x x x x x =-=-=--，A 、0a >Q ，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；B 、抛物线的对称轴为直线1x =，在13x <<时，y 随x 增大而增大，故选项错误，不符合题意；C 、方程20ax bx c ++=的根为0和2，故选项正确，符合题意；D 、当0y >时，x 的取值范围是0x <或2x >，故选项错误，不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．11．（2021·四川雅安中考）定义：{}()min ,()a ab a b b a b £ì=í>î，若函数()2min 123y x x x =+-++，，则该函数的最大值为（）A ．0B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题目中所给的运算法则，分两种情况进行求解即可．【详解】令(),y min a b =,当2123x x x +£-++时，即220x x --£时，1y x =+，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w £时，12x -££，∴1y x =+（12x -££），∵y 随x 的增大而增大，∴当x =2时，3y =最大；当2123x x x +>-++时，即220x x -->时，2y x 2x 3=-++，令22w x x =-- ，则w 与x 轴的交点坐标为（2，0），（-1，0），∴当0w >时，2x >或1x <-，∴2y x 2x 3=-++（2x >或1x <-），∵2y x 2x 3=-++的对称轴为x =1，∴当2x >时，y 随x 的增大而减小，∵当x =2时，2y x 2x 3=-++=3，∴当2x >时，y <3；当1x <-，y 随x 的增大而增大，∴当x =-1时，2y x 2x 3=-++=0；∴当1x <-时，y <0；综上，()2min 123y x x x =+-++，的最大值为3．故选C ．【点睛】本题是新定义运算与二次函数相结合的题目，解题时要注意分情况讨论，不要漏解．12．（2021·湖北天门中考）若抛物线2y x bx c =++与x 轴两个交点间的距离为4．对称轴为2x =，P 为这条抛物线的顶点，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是（）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,4--D ．()2,4-【答案】A【分析】设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)x x ，且21x x >，根据“两个交点间的距离为4，对称轴为2x =”建立方程可求出12,x x 的值，再利用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得顶点P 的坐标，然后根据关于x 轴的对称点的坐标变换规律即可得．【详解】解：设抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为12(,0),(,0)x x ，且21x x >，由题意得：2112422x x x x -=ìïí+=ïî，解得1204x x =ìí=î，则抛物线与x 轴的两个交点坐标分别为(0,0),(4,0)，将点(0,0),(4,0)代入2y x bx c =++得：01640c b c =ìí++=î，解得40b c =-ìí=î，则抛物线的解析式为224(2)4y x x x =-=--，顶点P 的坐标为(2,4)-，则点P 关于x 轴的对称点的坐标是(2,4)，故选：A ．【点睛】本题考查了二次函数的性质、关于x 轴的对称点的坐标变换规律，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．13．（2021·贵州铜仁中考）已知直线2y kx =+过一、二、三象限，则直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】C【分析】先由直线2y kx =+过一、二、三象限，求出0k ＞，通过判断方程2232x x kx -+=+实数解的个数可判断直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+交点的个数．【详解】解：∵直线2y kx =+过一、二、三象限，∴0k ＞．由题意得：2232x x kx -+=+，即()2210x k x -++=，∵△()222440k k k éù=-+-=+ëû＞，∴此方程有两个不相等的实数解．∴直线2y kx =+与抛物线223y x x =-+的交点个数为2个．故选：C ．【点睛】此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握一次函数与二次函数的图象与性质及利用一元二次方程根的判别式求解是解题的关键．14．（2021·四川广元中考）将二次函数2y x 2x 3=-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时，b 的值为（ ）A ．214-或3-B ．134-或3-C ．214或3-D ．134或3-【答案】A【分析】由二次函数解析式2y x 2x 3=-++，可求与x 轴的两个交点A 、B ，直线y x b =+表示的图像可看做是直线y x =的图像平移b 个单位长度得到，再结合所给函数图像可知，当平移直线y x =经过B 点时，恰与所给图像有三个交点，故将B 点坐标代入即可求解；当平移直线y x =经过C 点时，恰与所给图像有三个交点，即直线y x b =+与函数2y x 2x 3=-++关于x 轴对称的函数223y x x =--图像只有一个交点，即联立解析式得到的方程的判别式等于0，即可求解．【详解】解：由2y x 2x 3=-++知，当0y =时，即2230x x -++=解得：121,3x x =-=()()1,0,3,0A B \-作函数y x =的图像并平移至过点B 时，恰与所给图像有三个交点，此时有：03b=+3b \=-平移图像至过点C 时，恰与所给图像有三个交点，即当13x -££时，只有一个交点当13x -££的函数图像由2y x 2x 3=-++的图像关于x 轴对称得到\当13x -££时对应的解析式为223y x x =--即{223y x by x x =+=--，整理得：2330x x b ---=()()234132140b b \D =--´´--=+=214b \=-综上所述3b =-或214-故答案是：A ．15．（2021·四川眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（）A ．245y x x =--+B ．245y x x =++C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---【答案】A【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ´-=-，2510y y ´-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--×-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．【点睛】本题主要考察二次函数翻折变化、交点个数问题、函数图像平移的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识，属于函数综合题，中等难度．解题的关键是数形结合思想的运用，从而找到满足题意的条件．16．（2021·广西贺州中考）如图，已知抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+交于1(3,)A y -，2(1,)B y 两点，则关于x 的不等式2ax c kx m +³-+的解集是（ ）A ．3x £-或1³x B ．1x £-或3x ³C ．31x -££D ．13x -££【答案】D【分析】将要求的不等式抽象成两个函数的函数关系问题，根据二次函数图象的对称性，以及两一次函数图象的关系，求出新的一次函数与二次函数的交点，从而写出抛物线在直线上方部分的x 的取值范围即可．y kx m =+Q 与y kx m =-+关于y 轴对称抛物线2y ax c =+的对称轴为y 轴，因此抛物线2y ax c =+与直线y kx m =+的交点和与直线y kx m =-+的交点也关于y 轴对称设y kx m =-+与2y ax c =+交点为A B ¢¢、，则A ¢2(1,)y -，B ¢1(3,)y Q 2ax c kx m+³-+即在点A B ¢¢、之间的函数图像满足题意2ax c kx m \+³-+的解集为：13x -££故选D ．【点睛】本题考查了轴对称，二次函数与不等式，数形结合是数学中的重要思想之一，解决函数问题更是如此．理解y kx m =+与y kx m =-+关于y 轴对称是解题的关键．17．（2021·内蒙古中考）已知二次函数2(0)y ax bx c a =-+¹的图象经过第一象限的点(1,)b -，则一次函数y bx ac =-的图象不经过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【分析】根据直角坐标系和象限的性质，得0b <；根据二次函数的性质，得0a c +=，从而得2y bx ac bx a =-=+，通过计算即可得到答案．【详解】∵点(1,)b -在第一象限∴0b ->∴0b <∵二次函数2(0)y ax bx c a =-+¹的图象经过第一象限的点(1,)b -∴b a b c-=-+∴0a c +=∴2y bx ac bx a =-=+当0x =时，2y a =，即y bx ac =-和y 轴交点为：()20,a当0y =时，2a x b =-，即y bx ac =-和x 轴交点为：2,0a b æö-ç÷èø∵20a >，20a b -> ∴一次函数y bx ac =-的图象不经过第三象限故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数、一次函数、直角坐标系的性质，从而完成求解．18．（2021·安徽·中考真题）设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．（1）若抛物线经过点(1,)m -，则m =______；（2）将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是______．【答案】02【分析】（1）直接将点(1,)m -代入计算即可（2）先根据平移得出新的抛物线的解析式，再根据抛物线顶点坐标得出顶点坐标的纵坐标，再通过配方得出最值【详解】解：（1）将(1,)m -代入2(1)y x a x a =+++得：110m a a =--+=故答案为：0（2）根据题意可得新的函数解析式为：2(1)+2y x a x a =+++由抛物线顶点坐标24-,24b ac b aa æö-ç÷èø得新抛物线顶点的纵坐标为：24(2)(1)4a a +-+2274a a -++=2(21)84a a --++=2(1)84a --+=∵2(1)0a -³∴当a =1时，()218a --+有最大值为8，∴所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是8=24故答案为：2【点睛】本题考查将抛物线的顶点坐标、将点代入代入函数解析式、利用配方法求最值是常用的方法19．（2021·贵州遵义·中考真题）如图，抛物线y ＝a （x ﹣2）2+3（a 为常数且a ≠0）与y 轴交于点A （0，53）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若直线y ＝kx +23（k ≠0）与抛物线有两个交点，交点的横坐标分别为x 1，x 2，当x 12+x 22＝10时，求k 的值；（3）当﹣4＜x ≤m 时，y 有最大值4m 3，求m 的值．【答案】（1）y =―13(x ―2)2+3；（2）k 1=2,k 2=23,；（3）m =―或94.【解析】【分析】（1）把A 0, （2）联立两个函数的解析式，消去y, 得：―13(x ―2)2+3=kx +23,再利用根与系数的关系与x 21+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=10,可得关于k 的方程，解方程可得答案；（3）先求解抛物线的对称轴方程，分三种情况讨论，当m ≤2, 2＜m ＜8, m ≥8, 结合函数图象，利用函数的最大值列方程，再解方程即可得到答案.【详解】解：（1）把Ay =a (x ―2)2+3中，∴4a +3=53,∴a =―13,∴ 抛物线的解析式为：y =―13(x ―2)2+3. （2）联立一次函数与抛物线的解析式得：y =kx +23y =―13(x ―2)2+3 ∴―13(x ―2)2+3=kx +23,整理得：x 2―(4―3k )x ―3=0, ∴x 1+x 2=4―3k,x 1x 2=―3,∵x 21+x 22=(x 1+x 2)2―2x 1x 2=10,∴(4―3k )2―2×(―3)=(4―3k )2+12>0, ∵x 1+x 2=4-3k ，x 1•x 2=-3，∴x 12+x 22=（4-3k ）2+6=10，解得：k 1=2,k 2=23,∴k 1=2,k 2=23,（3）∵函数的对称轴为直线x=2，当m ＜2时，当x=m 时，y 有最大值，4m 3=-13（m-2）2+3，解得∴当m≥2时，当x=2时，y 有最大值，∴4m 3=3，∴m=94，综上所述，m 的值为或94．【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，抛物线与x轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的增减性，掌握数形结合的方法与分类讨论是解题的关键.20．（2021·青海·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与坐标轴交于A，B两点，点A在x 轴上，点B在y轴上，C点的坐标为1，0，抛物线y=ax2+bx+c经过点A，B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）根据图象写出不等式ax2+(b―1)x+c>2的解集；（3）点P是抛物线上的一动点，过点P作直线AB的垂线段，垂足为Q点,当PQ=P点的坐标．【答案】（1）y=―x2―x+2；（2）―2<x<0；（3）P坐标有P1(―1,2)或P2(―1+或P3(―1――【解析】【分析】(1)先求出A、B两点坐标，再代入抛物线中即可求出解析式；(2)将不等式ax2+(b―1)x+c>2变形为ax2+bx+c>x+2,进而得到二次函数图像在一次函数图像上方即可求解；(3)先证明△PDQ为等腰直角三角形，进而求出PD==1，再分类讨论P点在直线AB上方或下方进而求解．【详解】解：(1)当y=0时，x+2=0，解得x=―2，当x=0时，y=0+2=2，则点A(―2,0)，点B(0,2)，把A(―2,0)，B(0,2)，C(1,0)，分别代入y=ax2+bx+c得4a ―2b +c =0a +b +c =0c =2解得：a =―1，b =―1，c =2，∴该抛物线的解析式为y =―x 2―x +2．(2)由不等式ax 2+(b ―1)x +c >2，得ax 2+bx +c >x +2，由图像可知，二次函数图像在一次函数图像上方，则不等式ax 2+(b ―1)x +c >2的解集为―2<x <0；(3)如图，作PE ⊥x 轴于点E ，交AB 于点D ，在Rt △AOB 中，∵OA =OB =2，∴∠OAB =45°，∴∠PDQ =∠ADE =45°，在Rt △PDQ 中，∠DPQ =∠PDQ =45°，∴PQ =DQ =∴PD ==1，设点P (m,―m 2―m +2)，则点D (m,m +2)，当点P 在直线AB 上方时，PD =―m 2―m +2―(m +2)=―m 2―2m ，即―m 2―2m =1，解得m =―1，则―m 2―m +2=2，∴P 点的坐标为：P 1(―1,2)．当点P 在直线AB 下方时，PD =m +2―(―m 2―m +2)=m 2+2m ，即m2+2m=1解得m=―1±∴―m2―m+2=±∴P2(―1或P3(―1――，综上所述，符合条件的点P坐标有P1(―1,2)或P2(―1或P3(―1――．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，图像法解不等式及等腰直角三角形的性质等，第(3)问中需要分类讨论P点位于直线AB上方或下方的情况．。
二次函数的图像和性质
二次函数的图像和性质一、二次函数的一般形式二次函数是一种形式为f(x)=ax2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a eq0。
二、二次函数的图像1.抛物线二次函数的图像是一条抛物线。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
2.判别法利用二次函数的判别式 $\\Delta = b^2 - 4ac$ 的正负性可以确定二次函数的图像开口方向和与x轴的交点情况。
3.最值点二次函数的顶点为抛物线的最值点，当a>0时，最小值在顶点处取得；当a<0时，最大值在顶点处取得。
顶点的横坐标为 $-\\frac{b}{2a}$，纵坐标为 $f\\left(-\\frac{b}{2a}\\right)$。
三、二次函数的性质1.对称轴二次函数的对称轴为直线 $x = -\\frac{b}{2a}$，即抛物线关于对称轴对称。
2.单调性当a>0时，二次函数在对称轴左侧递增，在对称轴右侧递减；当a<0时，二次函数在对称轴左侧递减，在对称轴右侧递增。
3.零点二次函数的零点为方程f(x)=0的解，可以利用求根公式 $x = \\frac{-b \\pm \\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 求得。
4.图像的平移如f(x)=a(x−ℎ)2+k，其中(ℎ,k)为平移后的顶点坐标，抛物线上下平移，方向与a的正负有关。
四、应用二次函数在几何、物理、经济等领域有着广泛的应用。
例如几何问题中的抛物线轨迹、物体自由落体运动方程、经济学中的成本、收益关系等均可用二次函数描述。
结语二次函数作为高中数学中重要的函数类型，在图像和性质上有着独特的表现，通过对其图像和性质的深入理解，可以更好地应用于解决实际问题。
希望本文的介绍能帮助读者更好地掌握二次函数的知识。
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学情分析：
本节内容是学生学习了正比例函数、一次函数和反比例函数以后，进一步学习的函数知识，是函数知识螺旋发展的一个重要环节.二次函数曲线——抛物线，也是人们最为熟悉的曲线之一.喷泉的水流、标枪的投掷等都形成抛物线路径.同时抛物线形状在建筑上也有着广泛的应用，如抛物线型拱桥、抛物线型隧道等.本节课研究最简单的二次函数y=±x2的图象,是学生学习函数知识的过程中的一个重要环节，既是前面所学知识的延续，又是探究其它二此函数的图象及其性质的基础，起到承上启下的作用.
教学目标：
1. 知识与技能目标
(1）能够利用描点法作出函数y=x2的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y= ax2的性质．
（2）猜想并能作出y=- x2的图象，能比较它与y= x2的图象的异同．
2.过程与方法目标
（1）经历探索二次函数y= x2的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
（2）由函数y= x2的图象及性质，对比地学习y=- x2的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维．
3.情感、态度与价值观目标
（1）经历探索的过程发现抛物线的性质，体会探索发现的乐趣，增强学习数学的自信心．
（2）通过小组交流、讨论、比较，研究二次函数y= x2和y=- x2的图象，培养学生合作意识和交流能力．
教学重点：
经历探索二次函数y=±x2的图象的作法和性质的过程，理解二次函数y=a x2的性质．
教学难点：
描点法画y= x2的图象，体会数与形的相互联系。
教学过程：
一、创设情境，提出问题
学生观察：喷泉的水流、篮球的投掷形成的路径，抛物线型拱桥、抛物线型隧道，都与抛掷一个物体形成的路径的曲线类似，由此导入课题.紧接着提出两个问题：1．我们已经学过哪些函数？研究函数问题的一般步骤是怎样的？
2．一次函数、反比例函数的图象各是怎样的图形？
（设计意图：让学生回顾已学的函数类型、图象及研究函数问题的一般思路，以便学生运用类比的方法研究二次函数的相关问题．）
二、合作交流，探究新知
1．认识抛物线
问题：一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是什么形状呢？让我们先来研究最简单的二次函数y＝x2的图象．大家还记得画函数图象的一般步骤吗？（设计意图：通过这个问题让学生回忆起用描点法画图的一般步骤，以便于学生下一步的画图．）
画一画:你能试着用描点法画二次函数y= x2的图象吗?
（两名学生上台板演，其他学生在下面尝试画图．在学生画图时，教师溶入到学生中，了解并搜集学生可能出现的各种问题．比如：学生可能会画成折线、半个抛物线、没画出延伸的趋势等情形，这时正好针对问题鼓励小组间互相讨论、相互比较，交流各自的观点．）
问题：通过刚才的分析你认为在画y= x2的图象时：
（1）列表取值应注意什么问题？(取对称的7或5个点)
（2）点和点之间用什么样的线连接? （用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接）
（学生尝试描述y= x2的图象,建立和实际问题的联系.再通过投篮的动态演示,形象的描述并体会y= x2的图象的形状是抛物线，并且与开始的引例相呼应.）（设计意图:长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了.事实上，数学学习应该与学生的生活经验融合起来，让他们在生活中去发现数学、发现生活中的数学、探究数学、认识并掌握数学.）
2.探究抛物线y= x2的性质
议一议:请你观察y=x2的图象,你能得到哪些方面的性质，然后分组讨论．
（在学生讨论交流之后,请每组的学生代表一一发表自己的观察结果．在此过程中，教师不能作裁判，而要把评判权交给学生，注意培养学生语言的规范化、条理化 .待学生发表自己的观点之后系统地总结一下y= x2的图象的性质）
抛物线y=x2的性质
（1）开口：抛物线的开口向上．
（2）对称性:它是轴对称图形，对称轴是y轴（或x=0）．
（3）增减性：在对称轴的左侧（x<0时），y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（x>0），y随着x的增大而增大.
（4）顶点：图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的顶点，同时也是图象的最低点，坐标为（0，0）．
（5）最值：因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=0时，y最小=0．
1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y= 2x2 y=
2
（设计意图：在此问题上，不再按课本上的问题一一叠列给学生，而是给学生一个开放的空间，给学生一个交流的平台，一个展现自我的空间．仁者见仁，智者见智，不同的学生肯定会有不同的认识，通过小组讨论与交流，学生可以相互学习，共同提高．）
3.探究抛物线y=-x2的性质
想一想:
（1）二次函数y=- x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象．
(2) 类似的你能说出它的性质吗?
（让学生先猜想再画图验证，在学生画图时可让每一小组部分同学将y= x2与y=-x2的图象画在一个坐标系内,而后学生通过讨论交流得出结论，教师只给以必要的引导．）
1x2的图像，后总结图像的性质类似地：让学生再分组画出函数y=- 2x2 y= -
2
（设计意图：这一问题设计为学生提供思考的空间，培养学生在观察、分析、对比、交流中发展分析能力和从图象中获取信息的能力．）
议一议:函数y＝x2与y＝－x2的图象及其性质有何异同？
（学生观察图形，通过小组讨论，归纳y＝x2与y＝－x2的图象及其性质的异同,然后回答，学生想不到的，及时给予引导.）
不同点：开口方向不同：
函数值随自变量的增大的变化趋势而不同：
函数的最值不同：
相同点：
关系：它们的图像关于x 轴对称
（设计意图：通过比较y ＝x 2与y ＝－x 2的性质的异同，让学生更充分地理解y
＝±x 2的性质．）
三、变式训练，巩固提高（课堂检测）
1．在二次函数y= x 2的图象上，与点A(-5，25)对称的点的坐标是 ．顶点为：_____
2．点(x 1，y 1)、 (x 2，y 2)在抛物线y=-3x 2上，且x 1 ＞ x 2＞0，则y 1_____y 2.
3．设边长为x cm 的正方形的面积为y cm 2，y 是x 的函数，该函数的图象是下列各图形中（ ）
（设计意图：通过一组简单的练习题，及时巩固所学知识，使学生品尝到成功的喜悦．）
四、总结反思,纳入系统
通过今天的学习，你是否对二次函数y =a x 2有了一些新的认识？能谈谈你的想法吗？
（由学生总结本节课所学习的主要内容.在学生归纳的基础上总结它们的区别与
生的素质，并且逐渐培养学生的良好的个性品质.）
五、课后延伸,提升能力
你能类比地画出函数：12+=x y 的图象吗？动手画一下吧！
教学反思：
针对本节课的特点，采用“创设情境—作图探索—总结归纳—知识运用”为主线的教学方法.
把教学的重心放在如何促进学生的“学”上，引导学生采用观察、实验、自主探索、小组活动、集体交流等多样化的学习方式.教学过程中始终坚持学生为主体,教师为主导的方针，使探究知识和培养能力融为一体,让学生不仅学到科学探究的方法,而且体验到探究的甘苦,领会到成功的喜悦.。