1.2n阶行列式

合集下载

线性代数第一章第二节

四、作业 P35 1(3) 2(4) 4 8(3) 12(1)(3)
思考题[*]
x
已知
1
1
2
1 f x 3 1
3
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
求 x 的系数.
思考题解答
解含 x 3 的项有两项,即
x 1 f x 3 1
对应于
t
1
1
2
x 1 1 2 x 1 1 2x 1
2. a14 a21a33 a44不是四阶行列式中的项，a12 a43a31a24是四阶行列式中的项. a12 a43a31a24 a12 a24 a31a43
1t 2413 a12a24 a31a43a 13 a12a24 a31a43 a12a24 a31a43
t(53412) = 0+1+1+3+3=8 定理 2 n个自然数共有n!个n元排列，其中奇偶排列各占一半。
二、n 阶行列式的定义
三阶行列式定义为
a 11 a 21 a 31
a 12 a 22 a 32
a 13 a 23 a 33
123 231 312 132 213 321 t(123)=0 t(231)=2 t(312)=2 t(132)=1 t(213)=1 t(321)=3
例 3 三阶行列式
例4 四阶行列式
1 2 3
12 3
3 4
例5 n 阶行列式
1 2
12 34
1 2

(1)
n( n 1 ) 2
12 n
n
a 11 a 21 an1
a 12 a 22 an 2
... a 1 n ... a 2 n t ( j1 j2 ......jn ) a1 j1 a2 j2 ......anj n (1) ... a nn

1.2 行列式的性质(《线性代数》闫厉著)

a
0
xa
小结
掌握5个性质2个推论
掌握计算行列式的常规方法，见例一
掌握具有特殊结构行列式的计算方法，
见例三
1 1
0 2
D
1
2 1 0
2 1
1 0
解
0 1 1
1 1 0
D
1
2 1
2 1
1
1 1
r1 r2
0 1

1
2
2 1
0
1
1
1
2
2
0
0
2
2
0
0

r3 r1
r4 2r1

1 1
0 1
0 1
2 1
0
1
1
1
2 2
2

2
0
1 1 0 2
0 1 1 2
x n 1 a
D x n 1 a
a
x
a
a
a
x
a
a
a
x n 1 a
a
a
x
1
1
x ( n 1)a 1
a
x
a
a
a
x
a
a
a
1
a
a
x
1
x ( n 1)a
a
xa
a
xa
0
x ( n 1)a ( x a )n1 .
推论1
如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.
证明
把这两行互换，有D D ，故 D 0 .
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一个

线性代数基础

0 0 0 a44
a14a23a33a41
四个结论：
(1) 对角行列式
a11 D a22 ann
(2)
a11a22 ann
a1n D a n1 a2,n 1
(1)
n( n1) 2
a1na2,n1
an1
(3)
上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）
a11 0 D 0
a11a22a34a43 2 x 3
故 x 3 的系数为－1.
§1.2
代数余子式:
行列式按行(列)展开
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij的余子式，记作 M ij . 把 Aij 1 子式．
例如
i j
M ij
, n) 排成的
a21
a22
am 1 am 2
a11 a21 A am 1 a12 a22 am 1
称为 m 行 n 列矩阵，简称 m×n 矩阵．记作
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
§2.3 逆矩阵
§2.4 矩阵的分块 §2.5 方阵的特征值与特征向量补充: 几个重要的矩阵
§2.1 矩阵的定义
由 m×n 个数 aij (i 1, 2, m 行 n 列的数表 a11 a12
, m; j 1, 2,
a1n a2 n amn
a1 n a2 n amn
1 0 4. 形如 0 0
2
0
0 0 记作的方阵称为对角阵． A diag(1 , 2 , , n ) n

§12n阶行列式

n级排列的总数为n·(n-1) ·····2·1=n!。设其中奇排列有p个，偶排列证：有q个。将每一个奇排列都施以同一个对换，由定理1.1可知p个奇排列全部变为偶排列，于是有排列数相等，各为
n! 2
p≤q
；同理，将全部的偶排列都施以同一个对换
q≤ p
，则q个偶排列全部变为奇排列，于是又有。
（2）下面讨论一般情形：设给定的排列为 A i k1 k2 L k s j B
经对换（ i，j ），变为新排列
A j k1 k2 L k s i B
将新排列看作由原排列经一系列相邻对换而得：先将原排列中的数码i向右依次与k1 , k2 ,L , ks 作 s+1次相邻对换得 A k1 k2 Lks j i B，再将j向左依次作s次相邻对换而得新排列；即新排列可由原排列经 2s+1次相邻对换而得，由（1）的结论可知，它改变了奇数次奇偶性，所以它与原排列的奇偶性相反。
，所以得p=q。即奇偶
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
二、n阶行列式的定义阶行列式的定义
观察与思考
a11 a12 = a11a22 − a12 a21 a21 a22
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33 −a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31
河南财经政法大学成功学院《线性代数》精品课
举例说明
四阶行列式 a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 D= a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有 4!=24 项. a14a23a31a42行标排列为1234, 元素取自不同的行; 列标排列为4312, 元素取自不同的列, 且N(4312)=5, 即4312为奇排列, 所以元素乘积a14a23a31a42前面应冠以负号, 即− a14a23a31a42为 D的一项.

线性代数课件

例5 写出四阶行列式中含有因子 a11a23 的项。
解： 1) (13 pq ) a11a23a3 p a4 q , pq为24的全排列 ( 所以： 1) (1324) a11a23a32 a44 a11a23a32 a44 ( ( 1) (1342) a11a23a34 a42 a11a23a34 a42 例6 若 a13a2i a32 a4 k , a11a22 a3i a4 k , ai 2 a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。
n(n 1) ( p1 p2 ... pn ) ( pn pn1... p1 ) C 2 n(n 1) ( pn pn1... p1 ) k 2
2 n
例4 求排列(2k ) k 1)2(2k 2)...( k 1) k 1(2 的逆序数, 并讨论奇偶性。解：2k 的逆序数为 2k 1 ；的逆序数为 0 1 (2k 1) 的逆序数为 2k 3 ；的逆序数为0 2 (2k 2) 的逆序数为 2k 5 ；的逆序数为0 3 ............ (k 1) 的逆序数为 1 ；k的逆序数为0
( p1 p2 ... pn ) (n, n 1,..., 2,1)
1 2 ... ( n 2) ( n 1)
n
0 0 12 ...n ...
n (n 1) 2
1
0 (1) ... 0
n ( n 1) 2
12 ...n
2.三角行列式 1) 下三角行列式 a11 a21 ... an1 2) 上三角行列式 a11 0 ... 0
自然数的一个排列，考虑元素 pi(i=1,2,…n)，如果比 pi大的且排在 pi 前面的元素有τi个，就说

线性代数§1.2n阶行列式习题与答案

§ n 阶行列式为了得到更为一般的线性方程组的求解公式，我们需要引入n 阶行列式的概念。

为此，先介绍排列的有关知识。

㈠排列与逆序：(课本P4)１、排列的定义：由数码1，2，…，n ，组成一个有序数组12n i i i L ，称为一个n 级排列。

【例1】1234是一个4级排列，3412也是一个4级排列，而52341是一个5级排列。

(课本P4中例)【例2】由数码1，2，3 组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个。

【例3】数字由小到大的n 级排列1234…n 称为自然序排列。

２、逆序的定义：在一个n 级排列12n i i i L 中，如果有较大的数t i 排在s i 的前面，则称t i 与s i 构成一个逆序。

(课本P4)【例4】在4 级排列3412中， 31，32，41，42，各构成一个逆序，在5 级排列34152中， 31，32，41，42，52，共构成5个逆序。

3、逆序数的定义：一个n 级排列12n i i i L 中逆序的总数，称为这个排列的逆序数，记为12()n N i i i L 。

(课本P4) 【例5】排列3412的逆序数为N (3412) = 4，排列52341的逆序数为N (52341) = 7，自然序排列的逆序数为0。

4、奇、偶排列的定义：如果排列12n i i i L 的逆序数12()n N i i i L 是奇数，则将12n i i i L 称为奇排列；如果排列12n i i i L 的逆序数12()n N i i i L 是偶数，则将12n i i i L 称为偶排列。

(课本P4)【例6】由于N (3412) = 4，知排列3412是偶排列，由于N (52341) =7，知排列52341是奇排列，由于N (123…n ) = 0，知自然排列123…n 是偶排列。

【例7】由数码1，2，3组成的所有3级排列为：123，132，213，231，312，321共有3! = 6个，其中，奇排列有132，213，321三个，偶排列有123，312，231三个。

1.2n阶行列式及其性质

N阶行列式及其性质
• N阶行列式定义 • 上（下）三角行列式 • 对角行列式 • 行列式的性质（基础6条）
N阶行列式的定义
• 个数
为n阶行列式
它表示数值：
的代数和
上三角
下三角
a11 a12
a1n a11 0
0
0 a22
a 2n a21 a22
0
00
ann an1 an2
ann
a11a22 ann
性质2 对换行列式的两行（列）行列式变号
• 例如
175 175 6 6 2=-3 5 8
换行 358 662
换列
175 157 6 6 2=-6 2 6 358 385
• 推论：如果有行列式两行（列）完全相同此行列式等于0
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘k，等于数k乘此行列式
ai1

a jn
a j1 kai1
ai 2 a j2 kai2
ann
an1
an2
a1n ain a jn kain ann
行列式性质例题
• 1.化简行列式 a x b y cz dw
• 解： a x
by a
by x
by a
ba
yx
bx
y
cz dw c dw z dw c d c w z d z w
• 第i行（列）乘k记作 ri k(ci k) r表示行，c表示列
a11 a12
a1n
a11 a12
a1n
• 如：ka21 ka22
ka2n k a21 a22
a2n
an1 an2
ann
an1 an2

线性代数第一章第一节 n阶行列式的定义

2 当 k为偶数时，排列为偶排列，

k
21 k 1k 1
2 k k ,
当 k 为奇数时，排列为奇排列.
23:10 24
小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法有2 种. 4 n 阶全排列逆序数的范围: 最小的逆序总数: 最大的逆序总数:
23:10 23
3 2k 12k 122k 232k 3k 1k
解
2k 1 2k 1 2 2k 2 3 2k 3k 1 k

0 1
1
2
2
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k
计算物理教研室201831811n阶行列式的定义111二三阶行列式的定义112n阶行列式的定义12行列式的主要性质13行列式按行列展开131按一行列展开行列式132拉普拉斯定理第一章行列式2018318一内容提要行列式是研究线性代数的一个重要工具近代被广泛运用到理工科各个领域特别在工程技术和科学研究中有很多问题需要用到行列式这个数学工具
2 2 3 1 D2 3 2 1 (1) 7, 1 2
二元一次方程组的解为：
23:10
1 2 5 2 8,
D1 8 x1 D 11 ; D 7 x2 2 . D 11
9
类似地，为了得出关于三元线性方程组：
a11 x1 a12 x2 a13 x3 b1 a21 x1 a22 x2 a23 x3 b2 a x a x a x b 3 31 1 32 2 33 3
a 21 b2

行列式1-(2 3).

第一章行列式
定义1.1.4：在一个排列中，若某两个数中较大的数排在较小的数前面，则称这两个数构成一个逆序。一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的逆序数通常记作
( p1 , p2 ,, pn )
奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。
第一章行列式
计算排列的逆序数的方法：
定理1.1.1 n阶行列式可表示为如下的形式
a11 a21 an1
a12 a1 n a22 a2 n an 2 ann
j1 j2 jn
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j a2 j anj
1 2
n
关于公式的说明：
定理1.1.1说明n阶行列式是n!项的代数和，每一项是位于不同行、不同列的n个元素的乘积，行标按从小到大的自然次序排列，若列标构成的排列为偶排列，该项前面取正号；若列标构成的排列为奇排列，该项前面取负号。
第一章行列式
a11 a12 a13 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 (1 4) a21 a22 a23 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31, a31 a32 a33
三阶行列式的计算
a11 a12 a13 (1)沙路法 D a21 a22 a23 a31 a32 a33
推论如果n阶行列式中的i行所有元素除 aij 外都为零，那么行列式就等于 aij 与其对应的代数余子式的乘积，即
D aij Aij
第一章行列式
设n阶行列式
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D
an1 an 2 ann

第一讲二阶、三阶、N阶行列式

第一讲Ⅰ 授课题目（章节）：§1.1 二阶、三阶行列式；§1.2 n 阶行列式 Ⅱ 教学目的与要求：理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式；掌握二、三阶行列式的计算法；Ⅲ 教学重点与难点：重点：n 阶行列式的定义难点：n 阶行列式的定义 Ⅳ 讲授内容： §1.1 二阶、三阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式二元一次方程组的代入消元解法：⎩⎨⎧=+=+)2.....()1.....(2222111211b y a x a b y a x a 1211a a 、不可能同时为0，不妨设011≠a ，则： )()1(1121a a -⨯得：)3.........(1121111211221a ab y a a a x a -=-- )3()2(+得（消去x ）：112111121121122211a ab a b y a a a a a -=-即：)4( (21)122211211211a a a a a b b a y --=将(4)代入(1)得：21122211212221a a a a b a a b x --=可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数22211211,,,a a a a 以及常数项21,b b 表示出来⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=2112221121121121122211212221a a a a a b b a y a a a a b a a b x ，如果规定记号2112221122211211a a a a a a a a -=，则有：222121212221a b a b b a a b =-，221111211211b a b a a b b a =-因此二元一次方程组的解可以表示为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧==2221121122111122211211222121a a a a b a b a y a a a a a b a b x定义1. 1 记号22211211a a a a 表示代数和21122211a a a a -，称为二阶行列式。

1.2 n阶行列式的定义

( 4321 )
(1)
a14a23a32a41
4 3 2 1 24
【例2】计算行列式p5
a11 a12 a13 0 a22 a23
a1n1 a2 n1 a3 n1 0
a1n a2 n a3 n ann
上三角行列式
D= 0
0 0
0 a33 0 0 0 0
第一行第二行
第n 行
称为n 阶行列式。
aij
位于行列式中第i行第j列的元素
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n an1 an 2 ann
= n!项的代数和，每一项是行列式不同行不同列的n个元素的乘积，每一项都有一定符号。

j1 j2 jn
1
20032004 2
a1, 2004a2, 2003 a2004,1a2005, 2005
1 2 32004 2005
200 5 !
定理1· 3 ：n阶行列式的展开式又可表示为
a11 a21 an 1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
第一章
§1.2
行列式
n阶行列式的定义
本节要点： n阶行列式的定义几种特殊行列式的结论
一、
二、三阶行列式
a11 a12 a11a22 D a21 a22 ＋－
－＋－
a12 a21
a11 a21
－
a12 a22 a32
＋
a13 a23 = a a a a a a a a a 11 22 33 13 21 32 12 23 31 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32

线性代数

ai1 j1 ai2 j2 L ain jn
例3
若 ( −1)
N ( i 432 k ) + N ( 52 j14 )
ai 5 a42 a3 j a21ak 4是五阶
行列式 aij 的一项，则i,j,k应为何值？此时该项的符号是什么？
练习：练习： 1. 在六阶行列式中，下列各元素连乘积前面应冠以在六阶行列式中，什么符号 (1) a23 a31a42 a56 a14 a65 (2) a33 a42 a14 a51a66 a25 2. 在四阶行列式中，含有因子a11a23的项为 ———— 在四阶行列式中，
(1) 36715284
(2)n(n-1)…21 …
定义 3 在一个排列 i1 Lis Lit Lin 它的两个数码
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ中，如果仅将
is 和 it
对调，其他数码不变，得到另对调，其他数码不变，
一个排列 i1 Lit Lis Lin ，这样的变换称为一个对换，记为对换 (is , it ) 对换，施以对换(1,3)后得到排列后得到排列231 如，对排列213施以对换对排列施以对换后得到排列施以对换(3,4)后得到排列后得到排列2413 如，对排列2314施以对换对排列施以对换后得到排列定理1 任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。定理任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变。定理2 个数码个数码(n>1)共有个n级排列，其中奇偶排列共有n!个级排列级排列，定理 n个数码共有各占一半。各占一半。
a n 2 L a nn
2）上三角行列式）
a11
a12 L a1n a 22 L a 2 n = a11a 22 L a nn M M M 0 L a nn

二阶、三阶行列式及n阶行列式的概念

( ji ) (ij ) 1
(2)不相邻对换
ik1 ks j jk1 ksi
需要进行 2s+1 次相邻对换. 所以对换改变排列的奇偶性.
定理2 全部 n(2)阶排列中奇偶排列各占一半. 证设 n !个 n 阶排列中有s(t)个奇(偶)排列
s t n!
D3 D1 D2 x1 , x2 , x2 D D D
3 0 4 1 1 2 4 1 1 4 1 2 3 2 1 2 1 0 10
问题：4 阶行列式应如何定义?
a11 a21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a13 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
a11 a12 a a a a 0 D 11 22 12 21 a21 a22
b1 a12 D1 b1a22 a12b2 b2 a22
a11 b1 D2 a11b2 b1a21 a21 b2
当系数行列式 D 0时,则方程组有唯一解,其解可表示为: D1 D2 x1 , x2 D D
为 3！项代数和; 每项为取自不同行列的3个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排列的奇偶性决定.
n阶行列式定义: 定义
a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann

j1 j2 jn

(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
此行列式可简记为 de t (aij )nn 或 det(aij ).
归纳如下：
为 n!项代数和; 每项为取自不同行列的n个元素之积; 行按自然顺序取时,每项符号由列标排列的奇偶性决定. 注用定义只能计算一些简单的行列式.

§1.2 n阶行列式的定义

第二节 n阶行列式的定义一、排列与逆序（一）定义（排列）：由n个不同的元素1 , 2 , 3 , … , n排成的任一有序数组，称为一个n级全排列，简称n级排列。

例如： 1 2 3 4是一个4级排列； 5 2 3 4 1是一个5级排列.n级排列的总数为n!个.例如由1 , 2 , 3这三个数码可以排出3!=6个3级排列，它们是：1 2 3 ，1 3 2 ，2 1 3 ，2 3 1 ，3 1 2 ，3 2 1 .一般地，我们将一个n级排列记为i1 i2...in，其中i1是1 , 2 , … , n中的某一个数，i2是余下的n-1个数中的某一个数，….（二）定义（排列的逆序）：在一个n级排列i1 i2...in中，如果有某个较大的数it 排在较小的数is的前面，就称it与is构成了一个逆序。

例如在5级排列1 2 3 5 4中，较大的数5排在较小的数4之前，就称5与4为一个逆序。

一个n级排列i1 i2...in中逆序的总数，称为此排列的逆序数，记为N(i1i 2 (i)n)由于5级排列1 2 3 5 4中，只有一个逆序，所以N（1 2 3 5 4）=1求一个排列的逆序数的方法是：先求第一个元素i1的逆序数N1，再求第二个元素i2的逆序数N2，…，最后求第n-1个元素in-1的逆序数，将它们加起来即可。

即有（三）奇、偶排列奇排列：如果N(i1 i2...in)为奇数，则称i1i2...in为奇排列；偶排列：如果N(i1 i2...in)为偶数，则称i1i2...in为偶排列.规定：n级排列1 2 … n为偶排列.例1 计算N（3 2 1 4 5）和N（3 4 1 2 5）解： N（3 2 1 4 5）=2+1=3N（3 4 1 2 5）=2+2=4可见，5级排列3 2 1 4 5是奇排列； 5级排列3 4 1 2 5是偶排列.对换（四）定义（对换）：在一个排列i l ...i s ...i t ...i n 中，如果只将i s 与i t 的位置互换（其余均不动），得到另一个排列i l ...i t ...i s ...i n ，这样的变换称为一次对换。

行列式的展开定理

二.按行(列)展开定理
引理1.1 如果n阶行列式D的第i行(或列)中的元素除 aij 外都是零, 则D=aijAij=(–1)i+j aij Mij.
定理1.2 n阶行列式D等于它的任一行(列)的所有元素与它们的对应的代数余子式的乘积的和. 即 :
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj .
x x y x y x y x
( 1)
n 1
y x y
y x y x y
x ( 1)
n
n 1
y
n
例3 计算
a
b
c d a b
d c . b a
b a D4 c d d c
解将 D 4的第2、 3、 4行都加到第 1行，并从第 1行中
提取公因子a b c d，得
行列式的展开定理
n阶行列式的性质
性质1.1 行列式与它的转置行列式相等. 性质1.2 交换行列式的两行(或两列)的位置, 则行列式的绝对值不变而符号改变. 推论1.1 如果一个行列式的两行(或两列)完全相同, 则这个行列式等于零. 性质1.3. 把一个行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一个数 k, 等于用k乘这个行列式. 推论一个行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边. 推论1.2 如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例, 那么这个行列式等于零.
例3. 在四阶行列式
a11 a D 21 a31 a41 a12 a22 a32 a42 a31 a23 a33 a43 a14 a24 a34 a44
中a23的代数余子式是:

行列式

行列式的定义定义1.1 n阶行列式即：n2个数构成的n阶行列式等于所有取自不同行与不同列元素乘积的代数和。

一共有n!项，一半带负号，一半带正号。

其中为任意一个n级排列，为n级排列的逆序数。

我们知道n级排列一共有n!种。

行列式的性质性质1.1. 转置性质：行列式的行和列互换，其值不变。

这个性质说明行列式中行和列的地位是相当的，对称的。

通常，人们把一个行列式的第i行元素依次写成第j列（）的元素，所得的新的行列式称为原行列式的转置行列式。

如果原行列式记作D，则其转置行列式记作D T。

由性质1知，。

性质1.2. 互换性质：行列式的两行（两列）互换，其值变号。

也就是说，交换行列式两行（两列）的所有对应位置上的元素，所得的新的行列式的值等于原行列式的值的相反数。

性质1.3. 数乘性质：若行列式的某行（某列）有公因子k，则可把公因子k提到行列式外面。

即：,若把上述等式反过来看，即：，也可认为：数k与一个行列式的乘积等于在该行列式的某一行或某一列中各元素乘以k.性质1.4. 倍加性质（消法性质）：把行列式某行（某列）的所有元素的k倍，加到另一行（另一列）的相应元素上去，所得的新的行列式的值等于原行列式的值。

性质1.5. 加法性质：如果行列式有某行（列）的所有元素均可写成两个加数的和，即该行（列）有两个分行（分列），则这个行列式等于两个行列式的和，而这两个行列式分别以这两个分行（分列）为该行（列），其他行（列）与原行列式相同。

例：行列式按行、按列展开法则定理1.1 n阶行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即（1.1）（1.2）定理1.2 n阶行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即（1.3）（1.4）三、典型例题剖析数字型行列式类型：按形状【考点一】形如的行列式称为两条线形行列式，可直接展开降阶，利用行列式按行、按列展开法则进行计算。

【例题1·填空题】n阶行列式【答疑编号811010101：针对该题提问】按第一列展开【考点二】形如的行列式称为范德蒙行列式。

行列式的计算技巧总结

行列式的若干计算技巧与方法目录摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征． (1)摘要：行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法．本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法．如：化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde 行列式、“两线型”行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式．并对相应例题进行了分析和归纳，总结了与每种方法相适应的行列式的特征．关键词：行列式计算方法1．行列式的概念及性质1.1 n 阶行列式的定义我们知道，二、三阶行列式的定义如下：22211211a a a a =21122211a a a a -，=333231232221131211a a a a a a a a a .312213332112322311322113312312332211a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---++从二、三阶行列式的内在规律引出n 阶行列式的定义．设有2n 个数，排成n 行n 列的数表nnn n nn a a a a a a a a a212222111211，即n 阶行列式．这个行列式等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积n21nj j 2j 1a a a⑴的代数和，这里n 21j j j 是n 21，，，的一个排列,每一项⑴都按下列规则带有符号：当n 21j j j 是偶排列时, ⑴带正号；当n 21j j j 是奇排列时, ⑴带负号．即nnn n n n a a a a a a a a a212222111211=()()n 21n 21n21nj j 2j 1j j j j j j 1a a a τ∑-，这里∑n21j j j 表示对所有n 级排列求和.1.2 行列式的性质性质1 行列互换，行列式不变．即nna a a a a a a a a a a a a a a a a an2n1n22212n12111nn n2n12n 22211n 1211= .性质2 一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即=nn n2n1in i2i1n11211k k k a a a a a a a a ak nna a a a a a a a an2n1in i2i1n 11211. 性质3 如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样．即11121111211112111221212121212.n n n n n n n n n nnn n nnn n nna a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+ 性质4 如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即k a a a ka ka ka a a a a a a nn n n in i i in i i n=21212111211nnn n in i i in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=0. 性质5 把一行的倍数加到另一行，行列式不变．即=+++nn n n kn k k kn in k i k i n a a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211. 性质6 对换行列式中两行的位置，行列式反号.即nn n n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a 21212111211=-nnn n in i i kn k k n a a a a a a a a a a a a21212111211.性质7 行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即00000nn1-n n,n2n1n 11-n ,11211=a a a a a a a a.2、行列式的几种常见计算技巧和方法2.1 定义法适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性．例1 计算行列式004003002001000.解析：这是一个四级行列式，在展开式中应该有244=！项，但由于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少．具体的说，展开式中的项的一般形式是43214321j j j j a a a a ．显然，如果41≠j ，那么011=j a ，从而这个项就等于零．因此只须考虑41=j 的项，同理只须考虑1,2,3432===j j j 的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有41322314a a a a ，而()64321=τ，所以此项取正号．故004003002001000=()()241413223144321=-a a a a τ.2.2 利用行列式的性质即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式． 2.2.1 化三角形法上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：nn n nn a a a a a a a a a a a a a2211nn333223221131211000000=，nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 例2 计算行列式nn n n b a a a a a b a a a a ++=+21211211n 111D .解析：观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的()1-倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零．即：化为上三角形．解：将该行列式第一行的()1-倍分别加到第2,3…（1n +）行上去，可得121n 11210000D 0n n na a ab b b b b +==.2.2.2 连加法这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计算．这类计算行列式的方法称为连加法．例3 计算行列式mx x x x m x x x x mx D n n n n ---=212121.解： mx x mxx m x m xx x mxn ni in ni in ni i-----=∑∑∑===212121n Dmx x x m x x x m x n n nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=2221111mm x x m x nn i i --⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑=0000121()⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑=-m x m ni i n 11.2.2.3 滚动消去法当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法．例4 计算行列式()2122123123122121321D n ≥-------=n n n n n n n n nn.解：从最后一行开始每行减去上一行，有1111111111111111321D n ---------=n n 1111120022200021321----=n n 0111100011000011132122+-=-n n n ()()21211-++-=n n n .2.2.4 逐行相加减对于有些行列式，虽然前n 行的和全相同，但却为零．用连加法明显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法．例5 计算行列式111110000000000000D 32211n na a a a a a a ----=. 解：将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得：13210000000000000000D 321+----=n na a a a n()()()()()n n n a a a n a a a n 21n 21n 2211111+-=+--=+.2.3 降阶法将高阶行列式化为低阶行列式再求解． 2.3.1 按某一行（或列）展开例6 解行列式1221n 1000000000100001D a a a a a xx x x n n n-----=.解：按最后一行展开，得n n n n n a x a x a x a D ++++=---12211 .2.3.2 按拉普拉斯公式展开拉普拉斯定理如下：设在行列式D 中任意选定了()1-n k 1k ≤≤个行.由这k 行元素所组成的一切k 级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即n n 2211A M A M A M D +++= ，其中i A 是子式i M 对应的代数余子式．即nn nn nnnn nnB A BC A •=0， nn nn nnnnnn B A B C A •=0.例7 解行列式γβββββγββββγλbbbaa a a n =D .解：从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加到第二列，得βγβγγββββγλ---=0000D n b aa a a()()βγβγββββγλ---+-=0000021n b aa aa n ()()βγβγβγλ--•-+-=000021n ba n ()()[]()21n 2-----+=n ab n βγβλλγ.2.4 升阶法就是把n 阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法．升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子,那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果．其中，添加行与列的方式一般有五种：首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置．例8 解行列式D=111110111110111110111110 .解：使行列式D 变成1+n 阶行列式，即111010110110101110011111D =.再将第一行的()1-倍加到其他各行，得：D=1101001001010001111111--------. 从第二列开始，每列乘以()1-加到第一列，得：10100000100000101111)1n D ------=（()()1n 11n --=+.2.5数学归纳法有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明．对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法．例9 计算行列式βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos=n D .解:用数学归纳法证明. 当1=n 时，βcos 1=D . 当2=n 时，ββββ2cos 1cos 2cos 211cos 22=-==D .猜想，βn D n cos =.由上可知，当1=n ，2=n 时，结论成立．假设当k n =时，结论成立．即：βk D k cos =.现证当1+=k n 时，结论也成立．当1+=k n 时，βββββcos 211cos 200000cos 210001cos 210001cos 1=+k D .将1+k D 按最后一行展开，得()βββββcos 2000cos 21001cos 21001cos cos 21D 111k •-=++++k k()10cos 21001cos 2101cos 11 βββkk ++-+ 1cos 2--=k k D D β.因为βk D k cos =，()()βββββββsin sin cos cos cos 1cos 1k k k k D k +=-=-=-，所以1+k D 1cos 2--=k k D D βββββββsin sin cos cos cos cos 2k k k --= ββββsin sin cos cos k k -= ()β1cos +=k .这就证明了当1+=k n 时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．即：βn D n cos =.2.6 递推法技巧分析：若n 阶行列式D 满足关系式021=++--n n n cD bD aD .则作特征方程02=++c bx ax .① 若0≠∆，则特征方程有两个不等根，则1211--+=n n n Bx Ax D ．② 若0=∆，则特征方程有重根21x x =，则()11-+=n n x nB A D ．在①②中， A ，B 均为待定系数，可令2,1==n n 求出．例10 计算行列式94000005940000000594000005940000059D n=.解：按第一列展开，得21209---=n n n D D D .即020921=+---n n n D D D ．作特征方程02092=+-x x .解得5,421==x x .则1154--•+•=n n n B A D .当1=n 时，B A +=9；当2=n 时，B A 5461+=. 解得25,16=-=B A ，所以1145++-=n n n D .3、行列式的几种特殊计算技巧和方法3.1 拆行（列）法3.1.1 概念及计算方法拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值．拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不变，使其化为两项和． 3.1.2 例题解析例11 计算行列式nn n n a a a a a a a a --------=-1110000011000110001D 133221.解：把第一列的元素看成两项的和进行拆列，得nn n n a a a a a a a a --+-+--+-+--=-110010000001100001010001D 133221 .1101000001100010000110001000001100011000113322113322nn n nn n a a a a a a a a a a a a a a a -------+-------=--上面第一个行列式的值为1，所以nn n n a a a a a a a ------=-1101000010011D 13321111--=n D a .这个式子在对于任何()2≥n n 都成立，因此有111--=n n D a D()()n n n a a a a a a D a a 2112112211111---+++-==--=()∏∑==-+=ij j ii a 1n111.3.2 构造法3.2.1 概念及计算方法有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求解的行列式，从而求出原行列式的值． 3.2.2 例题解析例12 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 .故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .3.3 特征值法3.3.1 概念及计算方法设n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，则有公式 n A λλλ 21=.故只要能求出矩阵A 的全部特征值，那么就可以计算出A 的行列式．3.3.2 例题解析例13 若n λλλ ，，21是n 级矩阵A 的全部特征值，证明：A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．证明：因为n A λλλ 21=，则A 可逆()n i i n 2,1000A 21=≠⇔≠⇔≠⇔λλλλ. 即A 可逆当且仅当它的特征值全不为零．4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法4.1 三角形行列式4.1.1 概念形如nn n n n a a a a a a a a a a 333223221131211，nnn n n a a a a a a a a a a321333231222111这样的行列式，形状像个三角形，故称为“三角形”行列式．4.1.2 计算方法由行列式的定义可知，nn nnn nn a a a a a a a a a a a a a2211333223221131211000000=,nn nnn n n a a a a a a a a a a a a a 2211321333231222111000000=. 4.2 “爪”字型行列式4.2.1 概念形如nn na c a c a cb b b a2211210，nn n c a c a c a a b b b2211012，n nn b b b a a c a c a c 211122，121122a b b b c a c a c a n n n这样的行列式，形状像个“爪”字，故称它们为“爪”字型行列式． 4.2.2 计算方法利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化成“三角形”行列式．此方法可归纳为：“爪”字对角消竖横． 4.2.3 例题解析例14 计算行列式na a a a 111111321，其中.,2,1,0n i a i =≠分析：这是一个典型的“爪”字型行列式，计算时可将行列式的第.),3,2(n i i =列元素乘以ia 1-后都加到第一列上，原行列式可化为三角形行列式．解:na a a a 111111321nni ia a a a a 00011113221∑=-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=ni i n aa a a a 21321. 4.3 “么”字型行列式4.3.1 概念形如nn n b b b a a c a c a c 211122，nnna b c a b c a b c a222111，n n n c a c a c a a b b b 2211012，0111222a cb ac b a c b a nn n ，121122c a c a b a b c a b nnn，n n n a c a c a c b b b a2211210，0121122a b b b c a c a c a nnn，nnn b a b c b a b a c a c 12211201这样的行列式，形状像个“么”字，因此常称它们为“么”字型行列式． 4.3.2 计算方法利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式．此方法可以归纳为：“么”字两撇相互消．注意：消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用n a 消去n c ，然后再用1-n a 消去1-n c ，依次类推． 4.3.3 例题解析例15 计算1+n 阶行列式nn n b b b D 1111111111----=-+ .解：从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇），得nnn ni ini in b b b bb D 11111111-+--+-=-==+∑∑()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--•-=∑=+ni i nn n b 121111()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∑=+ni i n n b 12311.4.4 “两线”型行列式4.4.1 概念形如nnn a b b b a b a0000000012211-这样的行列式叫做“两线型”行列式． 4.4.2 计算方法对于这样的行列式，可通过直接展开法求解． 4.4.3 例题解析例16 求行列式nn n n a b b b a b a00000000D 12211-=. 解：按第一列展开，得()1221112211000010000-+-+-+=n n n nn n b b a b b a b b a a D()n n n b b b a a a 211211+-+=.4.5 “三对角”型行列式4.5.1 概念形如ba ab ba ab b a abb a ab b a +++++10000000000100000100000这样的行列式，叫做“三对角型”行列式． 4.5.2 计算方法对于这样的行列式，可直接展开得到两项递推关系式，然后变形进行两次递推或利用数学归纳法证明． 4.5.3 例题解析例17 求行列式ba ab ba ab b a abb a ab b a n +++++=10000000000100000100000D.解：按第一列展开，得()ba ab ba b a ab b a abb a ab D b a n n +++++-+=-100000010000100000D 1()21---+=n n abD D b a .变形，得()211D ----=-n n n n aD D b aD .由于2221,b ab a D b a D ++=+=，从而利用上述递推公式得()211D ----=-n n n n aD D b aD ()()n n n n b aD D b aD D b =-==-=---122322 .故()nn n n n n n n n n b ab b a D a b b aD a b aD D ++++==++=+=------12211121 n n n n b ab b a a ++++=--11 .4.6 Vandermonde 行列式4.6.1 概念形如113121122322213211111----n nn n n nna a a a a a a a a a a a这样的行列式，成为n 级的范德蒙德行列式．4.6.2 计算方法通过数学归纳法证明，可得()∏≤<≤-----=ni j j i n nn n n nna a a a a a a a a a a a a a 1113121122322213211111. 4.6.3 例题解析例18 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-ni j j in x xx x x 121 ,故有()()∏≤<≤-+++=ni j j in n x xx x x D 121 .5、行列式的计算方法的综合运用有些行列式如果只使用一种计算方法不易计算，这时就需要结合多种计算方法，使计算简便易行．下面就列举几种行列式计算方法的综合应用．5.1 降阶法和递推法例19 计算行列式2100012000002100012100012D =n .分析：乍一看该行列式，并没有什么规律．但仔细观察便会发现，按第一行展开便可得到1-n 阶的形式．解：将行列式按第一行展开，得212D ---=n n n D D . 即211D ----=-n n n n D D D .∴12312211=-=-==-=----D D D D D D n n n n . ∴()()111111---++++==+=n n n n D D D()121+=+-=n n .5.2 逐行相加减和套用范德蒙德行列式例20 计算行列式43423332232213124243232221214321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin 1sin 1sin 11111D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++++++++++++=解：从第一行开始，依次用上一行的()1-倍加到下一行，进行逐行相加，得43332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=D .再由范德蒙德行列式，得()∏≤<≤-==4143332313423222124321sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1111i j j i D ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ.5.3 构造法和套用范德蒙德行列式例21 求行列式n nn nn nn n nnn x x x x x x x x x x x x D21222212222121111---=.解：虽然n D 不是范德蒙德行列式，但可以考虑构造1+n 阶的范德蒙德行列式来间接求出n D 的值．构造1+n 阶的范德蒙德行列式，得()nnnn nn n nn n n n nn n n nx x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f21111211222221222221211111--------=. 将()x f 按第1+n 列展开，得()n n n n n n n n x A x A x A A x f 1,111,1,21,1++-+++++++= ，其中，1-n x 的系数为()()n n n n n n D D A -=-=+++11,1.又根据范德蒙德行列式的结果知()()()()()∏≤<≤----=ni j j in x xx x x x x x x f 121 .由上式可求得1-n x 的系数为()()∏≤<≤-+-n i j j i n x x x x x 121 .故有 ()()∏≤<≤-+++=n i j j i n n x x x x x D 121 .小结本文主要介绍了行列式计算的一些技巧和方法，还有一些特殊行列式的计算技巧，通过归纳和总结这些技巧和方法，让读者在计算行列式时游刃有余．然而在这么多方法面前，我们需要多观察、多思考，这样便于我们更加轻松地解决有关行列式的问题，也让我们更加灵活的运用这些方法和技巧来解决实际问题．参考文献:[1]北大数学系代数小组. 高等代数（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003：50～104.[2]钱吉林. 高等代数题解精粹[M].北京：中央民族大学出版社，2002：24～58[3]刘家保，陈中华，陆一南.若干类型行列式计算方法.佛山科学技术学院学报（自然科学版），2012年3月，30(2).[4]杨鹏辉.行列式的计算技巧.宜春学院报，2011年4月，33（4）.[5]丁冰.三线型行列式的计算.科技通报,2012年2月,28(2).[6]龚德仁.高阶行列式计算的若干技巧.课外阅读（中下）.2012年03期.[7]张新功.行列式的计算方法探讨.重庆师范大学学报（自然科学版），2011年7月,28(4).[8]王爱霞.关于n阶行列式的计算方法与技巧的探讨.佳木斯教育学院学报.2012年第1期.[9] 樊正华，徐新萍.浅谈行列式的计算方法.江苏教育学院学报（自然科学），2011年2月，27(1).[10]卢潮辉.三对角行列式的计算. 漯河职业技术学院学报,2010年3月,9(2).[11] 陈林.求n阶行列式的几种方法和技巧. 科技信息报，2007年第8期.[12]“爪”字型和“么”字型行列式的计算.河北理科教学研究(短文集锦),2006年第4期.学习体会与建议：计算行列式的最重要的一点就是化繁就简。