高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 45 空间几何体的表面积与体积课时作业 理
近年高考数学一轮复习第7章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课后作业文(2021年整理)
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7。
2 空间几何体的表面积与体积［基础送分提速狂刷练]一、选择题1．（2017·东北五校联考)如左图所示,在三棱锥D－ABC中,已知AC＝BC ＝CD＝2，CD⊥平面ABC，∠ACB＝90°.若其正视图、俯视图如右图所示，则其侧视图的面积为（）A。
6 B．2 C。
错误! D.错误!答案D解析由几何体的结构特征和正视图、俯视图,得该几何体的侧视图是一个直角三角形，其中一直角边为CD，其长度为2,另一直角边为底面三角形ABC 的边AB上的中线，其长度为错误!，则其侧视图的面积为S＝错误!×2×错误!＝错误!，故选D.2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16＋8π B．8＋8π C．16＋16π D．8＋16π答案A解析由三视图可知该几何体由长方体和圆柱的一半组成(如图）,其中长方体的长、宽、高分别为4，2,2，圆柱的底面半径为2，高为4.所以该几何体的体积V＝4×2×2＋错误!π×22×4＝16＋8π。
故选A。
3．（2018·合肥质检）一个几何体的三视图如图所示(其中正视图的弧线为四分之一圆周)，则该几何体的表面积为（)A．72＋6π B．72＋4π C．48＋6π D．48＋4π答案A解析由三视图知，该几何体由一个正方体的错误!部分与一个圆柱的错误!部分组合而成(如图所示），其表面积为16×2＋(16－4＋π)×2＋4×（2＋2＋π)＝72＋6π。
高考数学一轮复习-第七章-立体几何-.-空间几何体的表面积与体积练习-理-课件
第七章立体几何 7.2 空间几何体的表面积与体积练习理[A组·基础达标练]1．[2016·黄冈中学月考]某空间组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )A．48 B．56C．64 D．72答案 C解析该组合体由两个棱柱构成，上面的棱柱体积为2×4×5＝40，下面的棱柱体积为4×6×1＝24，故组合体的体积为64，故选C.2．[2016·银川模拟]如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图中曲线部分为半圆，尺寸如图，则该几何体的表面积为( )A．2＋3π＋4 2 B．2＋2π＋4 2C．8＋5π＋2 3 D．6＋3π＋2 3答案 A解析 由三视图可知，该几何体是半个圆柱和侧棱垂直于底面的三棱柱组成的几何体，该几何体的表面积S ＝π×2×1＋42＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12π＋1＝3π＋42＋2，故选A. 3．[2015·陕西高考]一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．3πB ．4πC ．2π＋4D ．3π＋4答案 D解析 由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为12×2π×1×2＋2×12×π×12＋2×2＝3π＋4，故选D.4．[2015·重庆高考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋π B.23＋π C.13＋2π D.23＋2π答案 A解析 由三视图知，该几何体为一个半圆柱与一个三棱锥的组合体，其中半圆柱的底面半径为1，高为2，三棱锥的底面为一个斜边长为2的等腰直角三角形，高为1，所以该几何体的体积V ＝13×12×2×1×1＋12π×12×2＝13＋π，故选A.5．已知三棱锥O －ABC ，A ，B ，C 三点均在球心为O 的球表面上，AB ＝BC ＝1，∠ABC ＝120°，三棱锥O －ABC 的体积为54，则球O 的表面积是( ) A ．64π B ．16π C.323π D ．544π答案 A解析 △ABC 的面积是34，由余弦定理得AC ＝ 3. 设球心O 到平面ABC 的距离为h ， 则13×34×h ＝54， 所以h ＝15.△ABC 外接圆的直径2r ＝332＝2，所以r ＝1. 球的半径R ＝152＋1＝4，故所求的球O 的表面积是4π×42＝64π.故选A.6．[2015·山东师大附中模拟]正六棱柱(底面为正六边形，侧棱垂直于底面的棱柱)的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为( )A ．20πB ．25πC ．100πD ．200π答案 C解析由正六棱柱的特征知正六棱柱最长的对角线即为外接球的直径，因为底面边长为4，所以外接球直径为82＋62＝100＝10，所以外接球的表面积为4πR2＝4π×25＝100π.故选C.7．[2013·辽宁高考]某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案16π－16解析由三视图画出其直观图，如图所示，知几何体为圆柱挖去一个正四棱柱，则该几何体体积为V＝4·π·22－2×2×4＝16π－16.8．有一根长为3π cm，底面直径为2 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________ cm.答案5π解析把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形ABCD(如图)，由题意知BC＝3π cm，AB＝4π cm，点A与点C分别是铁丝的起、止位置，故线段AC的长度即为铁丝的最短长度．AC＝AB2＋BC2＝5π(cm)．故铁丝的最短长度为5π cm.。
(全国通用版)高考数学一轮复习第七章立体几何初步课时分层作业四十7.2空间几何体的表面积与体积文
课时分层作业四十空间几何体的表面积与体积一、选择题 ( 每题 5 分, 共 35 分)1. 某几何体的三视图如下图( 图中网格的边长为 1 个单位 ), 此中俯视图为扇形, 则该几何体的体积为()A. B. C. D.【分析】选 B. 由三视图知几何体是圆锥的一部分, 由俯视图可得: 底面扇形的圆心角为120°, 又由侧视图知几何体的高为 3, 底面圆的半径为 2, 所以几何体的体积 V=2× × π ×2×3=.2. 已知一个空间几何体的三视图如下图, 此中俯视图是边长为 6的正三角形 , 若这个空间几何体存在独一的一个内切球 ( 与该几何体各个面都相切), 则这个几何体的表面积是()A.18B.36C.45D.54【分析】选 D. 由三视图知 , 几何体为正三棱柱 .因为俯视图是边长为 6 的正三角形 ,所以几何体的内切球的半径R=6××=, 所以三棱柱的侧棱长为2.所以几何体的表面积S=2×× 6×6×+3× 6× 2=54.3.已知某几何体的外接球的半径为, 其三视图如下图 , 图中均为正方形 , 则该几何体的体积为 ()A.16B.C.D.8【分析】选 C. 由该三视图可知: 该几何体是一个正方体, 切去四个角所得的正四周体, 其外接球等同于该正方体的外接球, 设正方体的棱长为a, 则有=,a=2, 故该正四周体的体积为33V=2 -×4× ×2= .【变式备选】已知三棱锥的三视图如下图, 此中侧视图是边长为的正三角形 , 则该几何体的外接球的体积为 ()A. B. C.4 D.16π【分析】选 B. 由已知中的三视图, 可得该几何体的直观图如下图:取 AB 的中点 F,AF 的中点 E,由三视图可得:AB 垂直平面 CDE,且平面 CDE是边长为的正三角形,AB=1+3=4,所以 AF=BF=2,EF=1,所以 CF=DF==2,故 F 即为棱锥外接球的球心, 半径 R=2,故外接球的体积V=π R3=.4. 已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中 , 底面是边长为 2 的正方形 , 高为 4, 则点 A1到截面 AB1D1的距离是()A. B. C. D.【分析】选 C. 设点 A1到截面 AB1D1的距离是h, 由=, 可得· h=· AA1,解得h=.【一题多解】选 C.取B1D1的中点E1,连结A1E1,AE1,依据几何体的构造特点, 可知 , 作 A1H⊥ AE1, 垂足为 H,A1H⊥平面 AB1D1,A 1H即为所求 .A 1E1=,A 1A=4,A 1A⊥ A1E1,A 1H= ( 等面积法 ).【变式备选】如图,在四棱锥P-ABCD中, 底面 ABCD是矩形 ,PD⊥底面 ABCD,M,N分别为 AB,PC 的中点 ,PD=AD=2,AB=4. 则点 A 到平面 PMN的距离为 ____________ .【分析】取 PD的中点 E, 连结 AE,NE,则因为四棱锥P-ABCD中 , 底面 ABCD是矩形 ,M,N 分别为 AB,PC的中点 ,所以 NE∥ AM,NE=AM,所以四边形AENM是平行四边形 , 所以 AE∥ MN,所以点 A 到平面 PMN的距离等于点 E 到平面 PMN的距离 , 设为 h, 在△ PMN中 ,PN=,PM=2,MN=, 所以 S△PMN=×2×=,由 V E-PMN=V M-PEN, 可得×h=××1× 2× 2,所以 h=.答案 :【方法技巧】求点到平面的距离(1) 能作出高线的则直接作出高线, 转变为求线段的长度;(2)不可以直接求时, ①可转变为与平面平行的直线上一点到平面的距离. ②或利用等体积法求解., ∠AOB=90°,C为该球面上的动点, 若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则5. 已知A,B 是球O的球面上两点()球 O的表面积为A.36 πB.64 πC.144 πD.256 π【分析】选 C. 如下图 , 当点 C位于垂直于面AOB的直径端点时 , 三棱锥 O-ABC的体积最大 , 设球 O的半径为 R, 此时 V O-ABC=V C-AOB=×R2×R= R3=36, 故 R=6,则球 O的表面积为S=4π R2=144π .6. 某几何体的三视图如下图, 其内切球的体积为()A. π【分析】选B. πC. A. 依据图示可得几何体为正八面体π, 内切球心为D.O, 过πO作OH垂直AD于点H, 连结S1H, 作OR垂直 S1H,OR即为内切球O的半径 . 所以 R=,V 0=π .7.如图 , 在透明塑料制成的长方体 ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水 ( 未满 ), 现将容器底面一边 BC固定在底面上 , 再将容器倾斜 , 跟着倾斜度的不一样 , 有以下四种说法 :①水的部分一直呈棱柱状;②水面四边形EFGH的面积为定值;③棱 A1D1一直与水面EFGH平行 ;④若 E∈ AA1,F ∈ BB1, 则 AE+BF是定值 .则此中正确命题的个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】选 C. 联合题设中供给的图形信息可知: 当容器底面一边BC固准时,BC∥ FG∥A1 D1 , 故由线面平行的判断定理可知结论“棱A1D1一直与水面EFGH平行”建立 ; 同时因为四边形ABFE≌四边形DCGH,且相互平行 ,则由棱柱的定义可知结论“水的部分一直呈棱柱状”正确; 如图 , 因为水平搁置时, 水的高度是定值, 所以当一部分上涨的同时, 另一面降落同样的高度, 因为 BF=h-FD,AE=h+D1E 且 FD=D1E, 所以BF+AE=h-FD+h+D1E=2h( 定值 ),即结论“若E∈AA1,F∈BB1,则AE+BF是定值” 是正确的; 因为水面四边形EFGH的边长在变化是正确的 ., 所以其面积是变化的, 故结论“水面四边形EFGH的面积为定值” 的说法不正确. 即命题①③④【题目溯源】此题根源于人教 A 版必修 2P29A 组第 4 题 .【变式备选】水平桌面上搁置着一个容积为V 的密闭长方体玻璃容器ABCD-A1B1C1D1, 此中装有以下操作与结论:①把容器一端慢慢提起, 使容器的一条棱BC保持在桌面上 , 这个过程中 , 水的状态一直是柱体②在①中的运动过程中, 水面一直是矩形;③把容器提离桌面, 任意转动 , 水面一直过长方体内一个定点;④在③中的转动中水与容器的接触面积一直不变.以上说法正确的选项是__________ .( 把全部正确命题的序号都填上)【分析】①水的部分一直呈棱柱状; 从棱柱的特点及平面ABFE平行平面DCGH即可判断①正确②在①中的运动过程中, 水面四边形EFGH的对边一直保持平行, 且 EF⊥ FG,故水面一直是矩形V的水,给出;; 如图,, ②是正确的 ;③因为一直装有V 的水 , 而均分长方体体积的平面必然经过长方体的中心, 即水面一直过长方体内一个定点 ; 所以结论③正确;④在③中的转动中水与容器接触时, 因为水的体积是定值, 所以水与容器的接触面的面积是正方体表面积的一半 , 故一直保持不变, 所以④正确 .答案 : ①②③④二、填空题 ( 每题 5 分, 共 15 分)8.如图直三棱柱 ABC-A1B1C1的六个极点都在半径为 1 的半球面上 ,AB=AC,侧面 BCC1B1是半球底面圆的内接正方形 , 则侧面 ABB1A1的面积为 ______________ .【分析】由题意知 , 球心在侧面BCC1B1的中心 O上 ,BC 为截面圆的直径, 所以∠B AC=90°, △ ABC的外接圆圆心 N 是 BC的中点 , 同理△ A1B1C1的外心 M是 B1C1的中点 . 设正方形 BCC1B1的边长为 x. 在 Rt△ OMC1中 ,OM= ,MC1= ,OC1=R=1(R 为球的半径 ),所以即 x=+, 则=1,AB=AC=1,所以=× 1=.答案 :9.(2016·浙江高考) 某几何体的三视图如下图( 单位:cm),则该几何体的表面积是______cm2,体积是________cm3.【分析】几何体为两个同样长方体组合而成, 长方体的长、宽、高分别为4,2,2,所以体积为2×(2 ×2×4)=32(cm 3), 因为两个长方体重叠部分为一个边长为 2 的正方形 , 所以表面积为2(2 ×2×2+2×4×4) - 2×2×2=72(cm 2).答案:72 3210.一个圆锥的表面积为π , 它的侧面睁开图是圆心角为120°的扇形 , 则该圆锥的高为 __________ .【分析】设圆锥底面半径是r, 母线长为l ,所以πr2+πr l =π,即r2+r l =1,依据圆心角公式π =, 即l =3r,所以解得r=, l = , 那么高 h==.答案 :【变式备选】已知圆锥侧面睁开图的圆心角为90°, 则该圆锥的底面半径与母线长的比为__________.【分析】设圆锥的母线长是R,则扇形的弧长是=,设底面半径是r,则=2πr,所以 r=,所以圆锥的底面半径与母线长的比为1∶4.答案 :1.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某多面体的三视图, 则该多面体的表面积为()A.18+36B.54+18C.90D.81【解题指南】依据三视图作出原几何体是重点.【分析】选 B. 依据三视图可知原几何体是一个斜四棱柱, 上下底面为边长为 3 的正方形 , 左右为宽为3, 长为 3的矩形,前后为底边长为3, 且底边上的高为 6 的平行四边形, 所以S=9+9+18+18+9+9=54+18.2.(5 分 ) 如图 , 网格纸上小正方形的边长为1, 粗实线画出的是某几何体的三视图, 该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得, 则该几何体的体积为()A.90 πB.63 πC.42πD.36π【分析】选 B. 由三视图知 , 该几何体为一个底面半径为3, 高为 4 的圆柱和一个底面半径为3, 高为 6 的圆柱的一半 , 故其体积为22V= × π ×3×6+π ×3×4=63π .3.(10 分 ) 已知一个平放的各棱长为 4 的三棱锥内有一个小球, 现从该三棱锥顶端向锥内灌水, 小球慢慢上调 .时 , 小球恰与该三棱锥各侧面及水面相切( 小球完整浮在水面上方),当注入的水的体积是该三棱锥体积的求小球的表面积.【分析】由题意 , 没有水的部分的体积是三棱锥体积的,因为三棱锥的各棱长均为4, 所以三棱锥体积为×× 42×=,所以没有水的部分的体积是,a, 则×a2×a=,设其棱长为所以 a=2.设小球的半径为r, 则 4××× 22r=,所以 r=,所以小球的表面积S=4π ·=π .。
高考数学一轮总复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课时训练理(2021年整理)
2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.2 空间几何体的表面积与体积课时跟踪检测理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019年高考数学一轮总复习第七章立体几何7.2 空间几何体的表面积与体积课时跟踪检测理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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7.2 空间几何体的表面积与体积[课时跟踪检测］[基础达标]1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为37，则侧视图中线段的长度x的值是（)A.7 B．27C．4 D．5解析：分析题意可知，该几何体为如图所示的四棱锥P－ABCD，故其体积V＝13×错误!×4×CP＝3错误!,∴CP＝错误!，∴x＝错误!＝4，故选C.答案：C2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A．7 B．6C．5 D．3解析:设圆台较小底面半径为r，则另一底面半径为3r。
由S＝π(r＋3r)·3＝84π,解得r＝7.答案:A3．一个六棱锥的体积为2错误!,其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为( )A．6 B．8C．12 D．24解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h′.由题意，得错误!×6×错误!×22×h＝2错误!，∴h＝1，∴斜高h′＝错误!＝2,∴S侧＝6×错误!×2×2＝12。
高考数学一轮复习 7.2 空间几何体的表面积和体积课时作业 理(含解析)新人教A版
【与名师对话】2015高考数学一轮复习 7.2 空间几何体的表面积和体积课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·内江市第二次模拟)已知一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A.23 B.43 C ．2 D ．4解析：该几何体为底面是正方形有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图．SD ⊥底面ABCD ，SD ＝2，四边形ABCD 为正方形，边长为1，所以棱锥的体积为V ＝13×1×2＝23，选A.答案：A2．(2013·山东潍坊模拟)有一平行六面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图均为矩形，则这个平行六面体的表面积为( )A．21 3B．6＋15 3C．30＋6 3D．42解析：如图该平行六面体上、下、右、左面为矩形，前、后面为平行四边形表面积S＝3×3×2＋2×3×2＋3×3×2＝30＋63，故选C.答案：C3．(2013·石家庄市高三模拟)已知正三棱锥P－ABC的主视图和俯视图如图所示，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．4πB．12πC.16π3D.64π3解析：由三棱锥的主视图知，棱锥的侧棱为4，由俯视图知底面边长为23，如图，O′为△ABC 中心，O 为外接球球心，O ′C ＝33BC ＝2，PC ＝4，∴PO ′＝2 3.OO ′＝23－R ，∴(23－R )2＋4＝R 2，解得R ＝43，∴外接球表面积S ＝4πR 2＝643π，选D.答案：D4．(2014·河南开封高三接轨考试)已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4，该几何体的体积为V 1，直径为4的球的体积为V 2，则V 1∶V 2＝( )A ．1∶2B ．2∶1C ．1∶1D ．1∶4解析：由三视图可知，几何体为圆柱中间挖去一个圆锥， 故V 1＝22π×2－22π×2×13＝163πV 2＝43π×23＝323π，故V 1∶V 2＝1∶2，选A. 答案：A5．(2013·河北唐山第二次模拟)一个由八个面围成的几何体的三视图如图所示，它的表面积为( )A．4 3 B．8 C．12 D．4 2 解析：由三视图可知，几何体为正八面体，棱长为 2.∴S表＝2×2×32×12×8＝4 3.答案：A6．(2013·辽宁六校联考)从一个正方体中截去部分几何体，得到的几何体的三视图及尺寸(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A.223 cm 3B.476 cm 3C.233cm 3D ．8 cm 3解析：该几何体的直观图是棱长为2的正方体截去一角，其体积V ＝23－13×12×1×1×1＝476(cm 3)，故选B. 答案：B 7.(2013·云南昆明高三调研)如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边长均为1，则该几何体的表面积为( )A ．1＋ 2B ．2＋2 2 C.13 D ．2＋ 2解析：依题意得，题中的几何体是底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱锥P －ABCD ，其中底面边长为1，PD ＝1，PD ⊥平面ABCD ，S △PAD ＝S △PCD ＝12×1×1＝12，S △PAB ＝S △PBC ＝12×1×2＝22，S 正方形ABCD ＝12＝1，因此该几何体的表面积为2＋2，选D. 答案：D8．(2013·河南洛阳统考)已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π解析：取SC 的中点E ，连接AE 、BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，即AB ⊥BC .又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S －ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，球O 的表面积为4π×OA 2＝16π，选C. 答案：C 二、填空题9．(2013·河南郑州第一次质量预测)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.解析：由三视图知，该几何体是由一个长方体和一个圆锥拼接而成的组合体，故其体积V ＝3×2×1＋13×π×12×3＝6＋π.答案：6＋π10．(2013·吉林长春三校调研)已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．解析：根据三视图，我们先画出其几何直观图，几何体为正方体切割而成，即正方体截去一个棱台．如图所示，故所求几何体的体积V ＝173.答案：17311．(2013·吉林长春第一次调研)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a2＝63π.答案：63π三、解答题12．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．求(1)该几何体的体积V ；答案图(2)该几何体的侧面积S .解：由三视图可知，该几何体底面是边长为8和6的矩形，高为4.顶点在底面射影恰为底面矩形的中心．如图，E 、F 分别为CD 、BC 的中点，易求PE ＝42，PF ＝5.∴(1)V ＝13S 矩形ABCD ·PO ＝13×6×8×4＝64.(2)S ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12BC ·PF ＋12CD ·PE＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×8×5＋12×6×42＝40＋24 2. [热点预测]13．(1)(2013·襄阳调研统一测试)在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B －AC －D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( )A.125π12 B.125π9 C.125π6D.125π3(2)(2013·北京朝阳期末考试)在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点P 1，P 2分别是线段AB ，BD 1(不包括端点)上的动点，且线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，则四面体P 1P 2AB 1的体积的最大值是( )A.124B.112C.16D.12(3)(2013·东北三校第二次联考)在底面半径为3，高为4＋23的圆柱形有盖容器内，放入一个半径为3的大球后，再放入与球面、圆柱侧面及上底面均相切的小球，则放入的小11 球的个数最多为( )A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个解析：(1)依题意，外接球的球心在Rt △ACD 的斜边AC 的中点，∵AB ＝4，BC ＝3，由勾股定理求得外接球的半径R ＝12AC ＝52，∴四面体ABCD 的外接球的体积为： V＝43·⎝ ⎛⎭⎪⎫523·π＝125π6，故选C. (2)可设AP 1＝x ，则BP 1＝1－x ，因线段P 1P 2平行于平面A 1ADD 1，故由相似比例可得P 2到面P 1AB 1的距离为1－x ，故所求四面体P 1P 2AB 1的体积V ＝13×12×x ×1×(1－x )＝16x (1－x )≤16×⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝124，当且仅当x ＝12时取等号． (3)由题可得图1，O 1O ＝3＋r ，O 1A ＝4＋23－3－r ＝1＋23－r ，OA ＝3－r ，△O 1OA 为直角三角形，所以由勾股定理得(3＋r )2＝(3－r )2＋(1＋23－r )2，解得r ＝1，放入的小球的半径为1.由图2知OO 1＝OO 2＝3－1＝2，O 1O 2＝2，所以∠O 1OO 2＝60°，所以放入小球的个数最多为6个，选C.答案：(1)C (2)A (3)C。
高考一轮复习第7章立体几何第2讲空间几何体的表面积与体积
第二讲 空间几何体的表面积与体积知识梳理·双基自测 知识梳理知识点一 柱、锥、台和球的侧面积和体积侧面积 体积圆柱 S 侧＝2πrh V ＝_S 底·h__＝πr 2h圆锥 S 侧＝_πrl __ V ＝13S 底·h＝13πr 2h ＝13πr 2l 2－r 2 圆台 S 侧＝π(r 1＋r 2)l V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)·h＝13π(r 21＋r 22＋r 1r 2)h 直棱柱 S 侧＝_ch__ V ＝_S 底h__ 正棱锥 S 侧＝12ch′V ＝13S 底h 正棱台 S 侧＝12(c ＋c′)h′V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h 球S 球面＝_4πR 2V ＝43πR 3 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是_各面面积之和__.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是_矩形__、_扇形__、_扇环形__；它们的表面积等于_侧面积__与底面面积之和．重要结论1．长方体的外接球：球心：体对角线的交点；半径：r ＝_a 2＋b 2＋c22__(a ，b ，c 为长方体的长、宽、高)．2．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球： (1)外接球：球心是正方体中心；半径r ＝_32a__(a 为正方体的棱长)； (2)内切球：球心是正方体中心；半径r ＝_a2__(a 为正方体的棱长)；(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r ＝_22a__(a 为正方体的棱长)． 3．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)：(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_64a__(a 为正四面体的棱长)； (2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r ＝_612a__(a 为正四面体的棱长)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)多面体的表面积等于各个面的面积之和．( √ ) (2)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差．( √ ) (3)锥体的体积等于底面积与高之积．( × )(4)已知球O 的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则R ＝32a.( √ ) (5)圆柱的一个底面积为S ，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 题组二 走进教材2．(必修2P 27T1)已知圆锥的表面积等于12π cm 2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( B ) A ．1 cm B ．2 cm C ．3 cmD ．32cm [解析] 由条件得：⎩⎪⎨⎪⎧πrl＋πr 2＝12π2πrl ＝π，∴3r 2＝12，∴r ＝2.题组三 走向高考3．(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( C ) A ．12π B ．24π C ．36πD ．144π[解析] 这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线长的一半， 即R ＝232＋232＋2322＝3，所以，这个球的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.故选：C ．4．(2018·课标全国Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( B )A ．122πB ．12πC ．82πD ．10π[解析] 设圆柱底面半径为r ，则4r 2＝8，即r 2＝2.∴S 圆柱表面积＝2πr 2＋4πr 2＝12π.5．(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( A )A ．73 B ．143C ．3D ．6[解析] 由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱，且三棱锥的一个侧面垂直于底面．棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1×2＝13＋2＝73.故选：A ．考点突破·互动探究考点一 几何体的表面积——自主练透例1 (1)(2021·北京模拟)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( C )A ．2＋ 5B ．4＋ 5C ．2＋2 5D ．5(2)(2021·安徽江南十校联考)已知某几何体的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为( B )A ．78－9π2B ．78－9π4C ．78－πD ．45－9π2(3)(多选题)(2021·山东潍坊期末)等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( AB )A ．2πB ．(1＋2)πC ．22πD ．(2＋2)π[解析] (1)由三视图知，该几何体是底面为等腰三角形，其中一条侧棱与底面垂直的三棱锥(SA ⊥平面ABC)，如图所示，由三视图中的数据可计算得S △ABC ＝12×2×2＝2，S △SAC ＝12×5×1＝52，S △SAB ＝12×5×1＝52，S △SBC ＝12×2×5＝5，所以S 表面积＝2＋2 5.故选C ．(2)由三视图可知该几何体是一个长方体中挖去一个18球，如图所示．∴S ＝3×3×2＋3×5×4－27π4＋9π2＝78－94π.故选B ．(3)若绕直角边旋转一周形成的几何体是圆锥，其表面积为π＋2π；若绕斜边旋转一周形成的几何体是两同底圆锥构成的组合体，其表面积为2π，故选A 、B ．名师点拨空间几何体表面积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用．(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理．(3)已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数据与几何体的表面积公式，求其表面积．〔变式训练1〕(2020·河南开封二模)已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的数据，可得出这个几何体的表面积是( C )A ．6B ．8＋4 6C ．4＋2 6D ．4＋ 6[解析] 由三视图得几何体如图所示，该几何体是一个三棱锥，底面是一个底和高均为2的等腰三角形，一个侧面是一个底和高均为2的等腰三角形，另外两个侧面是腰长为AC ＝AB ＝22＋12＝5， 底边AD 长为22的等腰三角形， 其高为52－22＝3，故其表面积为S ＝2×12×22＋2×12×22×3＝4＋2 6.故选C ．考点二 几何体的体积——师生共研例2 (1)(2021·浙江金色联盟百校联考)一个空间几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积为( )cm 3.( A )A ．π6＋13B ．π3＋16C ．π6＋16D ．π3＋13(2)(2021·云南师大附中月考)如图，某几何体的三视图均为边长为2的正方形，则该几何体的体积是( D )A ．56 B ．83 C ．1D ．163(3)(2021·湖北武汉部分学校质检)某圆锥母线长为4，其侧面展开图为半圆面，则该圆锥体积为_83π3__.(4)(2020·江苏省南通市通州区)如图，在正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧棱CC 1上一点，且C 1P ＝2PC ．设三棱锥P － D 1DB 的体积为V 1，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为V ，则V 1V 的值为_16__.[解析] (1)由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm ，高为1 cm 的半个圆锥和三棱锥S －ABC 组成的，如图，三棱锥的高为SO ＝1 cm ，底面△ABC 中，AB ＝2 cm ，AC ＝1 cm ，AB ⊥AC ．故其体积V ＝13×12×π×12×1＋13×12×2×1×1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋13cm 3.故选A ．(2)由题意三视图对应的几何体如图所示，所以几何体的体积为正方体的体积减去2个三棱锥的体积，即V ＝23－2×13×12×2×2×2＝163，故选D ．(3)该圆锥母线为4，底面半径为2，高为23， V ＝13×π×22×23＝83π3. (4)设正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长AB ＝BC ＝a ，高AA 1＝b ， 则VABCD －A 1B 1C 1D 1＝S 四边形ABCD ×AA 1＝a 2b ，VP －D 1DB ＝VB －D 1DP ＝13S △D 1DP·BC＝13×12ab·a＝16a 2b ，∴VP －D 1DB VABCD －A 1B 1C 1D 1＝16，即V 1V ＝16.[引申]若将本例(2)中的俯视图改为，则该几何体的体积为_83__，表面积为_83__.[解析] 几何体为如图所示的正三棱锥(棱长都为22)． ∴V ＝8－4×43＝83，S ＝4×34×(22)2＝8 3.名师点拨求体积的常用方法直接法对于规则的几何体，利用相关公式直接计算割补法首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算等体 积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换注：若以三视图的形式给出的几何体问题，应先得到直观图，再求解． 〔变式训练2〕(1)(2020·海南)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A －NMD 1的体积为_13__.(2)(2021·开封模拟)如图所示，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 的中点，则三棱锥A －B 1DC 1的体积为( C )A ．3B ．32 C ．1D ．32(3)(2017·浙江)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( A )A ．16 B ．13 C ．12D ．1(4)(2021·浙北四校模拟)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm 3)是( B )A ．8B ．8πC ．16D ．16π[解析] (1)如图，∵正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，∴S △ANM ＝12×1×1＝12，∴VA －NMD 1＝VD 1－AMN ＝13×12×2＝13，故答案为：13.(2)如题图，在正△ABC 中，D 为BC 的中点，则有AD ＝32AB ＝3，又因为平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，由面面垂直的性质定理可得AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A －B 1DC 1的底面B 1DC 1上的高，所以V 三棱锥A －B 1DC 1＝13·S△B 1DC 1·AD＝13×12×2×3×3＝1，故选C ．(3)由三视图可画出三棱锥的直观图如图所示．其底面是等腰直角三角形ACB ，直角边长为1，三棱锥的高为1，故体积V ＝13×12×1×1×1＝16.故选A ．(4)由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为：12×22π×4＝8π.故选B ．考点三 球与几何体的切、接问题——多维探究角度1 几何体的外接球例3 (1)(2021·河南中原名校质量测评)已知正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，若外接球的表面积为16π，则PA ＝_23或2__.(2)(2020·新课标Ⅰ)已知A ，B ，C 为球O 的球面上的三个点，⊙O 1为△ABC 的外接圆．若⊙O 1的面积为4π，AB ＝BC ＝AC ＝OO 1，则球O 的表面积为( A )A ．64πB ．48πC ．36πD ．32π(3)(2019·全国)已知三棱锥P －ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA ＝PB ＝PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E 、F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF ＝90°，则球O 的体积为( D )A ．86πB ．46πC ．26πD ．6π[解析] (1)由外接球的表面积为16π，可得其半径为2，设△ABC 的中心为O 1，则外接球的球心一定在PO 1上，由正三棱锥P －ABC 的底面边长为3，得AO 1＝3，在Rt △AOO 1中，由勾股定理可得(PO 1－2)2＋(3)2＝22，解得PO 1＝3或PO 1＝1，又PA 2＝PO 21＋AO 21，故PA ＝9＋3＝23或PA ＝1＋3＝2，故答案为：23或2.(2)由题意可知图形如图：⊙O 1的面积为4π， 可得O 1A ＝2， 则ABsin60°＝2O 1A ＝4，∴AB ＝4sin60°＝23，∴AB＝BC＝AC＝OO1＝23，外接球的半径为：R＝AO21＋OO21＝4，球O的表面积为：4×π×42＝64π，故选A．(3)∵PA＝PB＝PC，△ABC为边长为2的等边三角形，∴P－ABC为正三棱锥，∴PB⊥AC，又E，F分别为PA、AB中点，∴EF∥PB，∴EF⊥AC，又EF⊥CE，CE∩AC＝C，∴EF⊥平面PAC，∴PB⊥平面PAC，∴∠APB＝90°，∴PA＝PB＝PC＝2，∴P－ABC为正方体一部分，2R＝2＋2＋2＝6，即R＝62，∴V＝43πR3＝43π×668＝6π.名师点拨几何体外接球问题的处理(1)解题关键是确定球心和半径，其解题思维流程是：(R—球半径，r—截面圆的半径，h—球心到截面圆心的距离)．注：若截面为非特殊三角形可用正弦定理求其外接圆半径r.(2)三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．注意：不共面的四点确定一个球面．角度2 几何体的内切球例4 (1)(2020·新课标Ⅲ)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_23π__. (2)(2021·安徽蚌埠质检)如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边AB ，AD 的中点，把△AEF ，△CBE ，△CFD 折起构成一个三棱锥P －CEF(A ，B ，D 重合于P 点)，则三棱锥P －CEF 的外接球与内切球的半径之比是_26__.[解析] (1)因为圆锥内半径最大的球应该为该圆锥的内切球， 如图，圆锥母线BS ＝3，底面半径BC ＝1， 则其高SC ＝BS 2－BC 2＝22， 不妨设该内切球与母线BS 切于点D ， 令OD ＝OC ＝r ，由△SOD ∽△SBC ，则OD OS ＝BCBS ，即r22－r ＝13，解得r ＝22，V ＝43πr 3＝23π，故答案为：23π.(2)不妨设正方形的边长为2a ，由题意知三棱锥P －CEF 中PC 、PF 、PE 两两垂直，∴其外接球半径R ＝PC 2＋PF 2＋PE 22＝62a ，下面求内切球的半径r ，解法一(直接法)：由几何体的对称性知，内切球的球心在平面PCH(H 为EF 的中点)内，M 、N 、R 、S 为球与各面的切点，又22＝tan ∠CHP ＝tan2∠OHN ， ∴tan ∠OHN ＝22＝rNH，∴NH ＝2r ， 又PN ＝2r ，∴22r ＝PH ＝22a ，∴r ＝a 4. 解法二(体积法)：V C －PEF ＝13r·(S △PEF ＋S △PCE ＋S △PCF ＋S △CEF )，∴a 3＝r·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＋a 2＋a 2＋2a 2×32a 2，∴r ＝a 4，故R r ＝6a 2·4a＝2 6.名师点拨几何体内切球问题的处理(1)解题时常用以下结论确定球心和半径：①球心在过切点且与切面垂直的直线上；②球心到各面距离相等．(2)利用体积法求多面体内切球半径． 〔变式训练3〕(1)(角度1)(2020·南宁摸底)三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝ PB ＝ PC ＝3，PA ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体积为( B )A ．27π2B ．273π2C ．273πD ．27π(2)(角度1)(2021·山西运城调研)在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝23，BC ＝6，AD ⊥平面ABC ，四面体ABCD 的体积为 3.若四面体ABCD 的顶点均在球O 的表面上，则球O 的表面积是( B )A ．49π4B ．49πC ．49π2D ．4π(3)(角度2)棱长为a 的正四面体的体积与其内切球体积之比为_63π__.[解析] (1)因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，PA ＝PB ＝PC ＝3，所以△PAB ≌△PBC ≌△PAC ．因为PA ⊥PB ，所以PA ⊥PC ，PC ⊥PB ．以PA ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332.因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫3323＝273π2.故选B ．(2)如图，H 为BC 的中点，由题意易知AH ＝3，设△ABC 外接圆圆心为O 1，则|O 1C|2＝32＋(3－|O 1C|)2，∴|O 1C|＝23，又12×6×3×|AD|3＝3，∴|AD|＝1，则|OA|2＝|O 1C|2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝494，∴S 球O ＝4πR 2＝49π，故选B ．(3)如图，将正四面体纳入正方体中，显然正四面体内切球的球心O(也是外接球的球心)、△BCD 的中心O 1都在正方体的对角线上，设正四面体的棱长为a ，则|AO|＝64a ，又|O 1A|＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ，∴内切球半径|OO 1|＝612a ，∴V 正四面体V 内切球＝13×34a 2×63a4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫612a 3＝63π.名师讲坛·素养提升 最值问题、开放性问题例5 (1)(最值问题)(2018·课标全国Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D －ABC 体积的最大值为( B )A ．12 3B ．18 3C ．24 3D ．54 3(2)(2021·四川凉山州模拟)已知长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积V ＝12，AB ＝2，若四面体A －B 1CD 1的外接球的表面积为S ，则S 的最小值为( C )A ．8πB ．9πC ．16πD ．32π[解析] (1)设等边△ABC 的边长为a ，则有S △ABC ＝12a·a·sin 60°＝93，解得a ＝6.设△ABC 外接圆的半径为r ，则2r ＝6sin 60°，解得r ＝23，则球心到平面ABC 的距离为42－232＝2，所以点D 到平面ABC 的最大距离为2＋4＝6，所以三棱锥D －ABC 体积的最大值为13×93×6＝183，故选B ．(2)设BC ＝x ，BB 1＝y ，由于V ＝12，所以xy ＝6.根据长方体的对称性可知四面体A －B 1CD 1的外接球即为长方体的外接球， 所以r ＝4＋x 2＋y22，所以S ＝4πr 2＝π(4＋x 2＋y 2)≥π(4＋2xy)＝16π， (当且仅当x ＝y ＝6，等号成立)． 故选C ．名师点拨立体几何中最值问题的解法(1)观察图形特征，确定取得最值的条件，计算最值．(2)设出未知量建立函数关系，利用基本不等式或导数计算最值．例6 (开放性问题)若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值为_116⎝ ⎛⎭⎪⎫或1412等__(只需写一个可能值)． [解析] 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝AD ＝2，BC ＝1，取AD 的中点H ，则CH ＝BH ＝3，且AH ⊥平面BCH ，又S △BCH ＝114，∴V A －BCD ＝13S △BCH ×2＝116. 如图，若AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝2，AD ＝BC ＝1，同理可求得V A －BCD ＝1412.〔变式训练4〕(2021·河南阶段测试)四面体ABCD 中，AC ⊥AD ，AB ＝2AC ＝4，BC ＝25，AD ＝22，当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是_28π__.[解析] 由已知可得BC 2＝AC 2＋AB 2，所以AC ⊥AB ，又因为AC ⊥AD ，所以AC ⊥平面ABD ，四面体ABCD 的体积V ＝13AC·12AB·ADsin∠BAD ，当∠BAD ＝90°时V 最大，把四面体ABCD 补全为长方体，则它的外接球的直径2R 即长方体的体对角线，(2R)2＝AD 2＋AC 2＋AB 2＝28，所以外接球的表面积为4πR 2＝28π.。
新高考一轮复习人教版 空间几何体的表面积和体积 作业
专题八 立体几何8.1 空间几何体的表面积和体积基础篇 固本夯基考点一 空间几何体的结构特征1.(2022届山东烟台一中开学考,2)已知圆锥的表面积等于12πcm 2,其侧面展开图是一个半圆,则圆锥的底面半径为( )A.1cmB.2cmC.3cmD.32cm 答案 B2.(2021新高考Ⅰ,3,5分)已知圆锥的底面半径为√2,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A.2B.2√2C.4D.4√2 答案 B3. (2020课标Ⅰ理(文),3,5分)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )A.√5−14B.√5−12C.√5+14D.√5+12答案 C4.(2020浙江,14,4分)已知圆锥的侧面积(单位:cm 2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是 . 答案 1考点二 空间几何体的表面积与体积1.(2022届河北邢台入学考,4)六氟化硫,化学式为SF 6,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体,有良好的绝缘性,在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体(每个面都是正三角形的八面体),如图所示,硫原子位于正八面体的中心,6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点.若相邻两个氟原子间的距离为2a,则六氟化硫分子中6个氟原子构成的正八面体的体积是(不计氟原子的大小)( )A.4√23a 3 B.8√23a 3C.4√2a 3D.8√2a 3答案 B2.(2021全国甲理,11,5分)已知A,B,C 是半径为1的球O 的球面上的三个点,且AC ⊥BC,AC=BC=1,则三棱锥O-ABC 的体积为( ) A.√212B.√312C.√24D.√34答案 A3.(2018课标Ⅰ,10,5分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2,AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角为30°,则该长方体的体积为( )A.8B.6√2C.8√2D.8√3 答案 C4.(2020山东泰安期末,8)已知正三棱锥S-ABC 的侧棱长为4√3,底面边长为6,则该正三棱锥外接球的表面积是( )A.16πB.20πC.32πD.64π 答案 D5.(多选)(2021河北保定二模,9)如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,则下列结论正确的是()A.圆柱的体积为4πR3B.圆锥的侧面积为√5πR2C.圆柱的侧面积与圆锥的表面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2答案BD6.(2021福建泉州二模,6)如图是一个由6个正方形和8个正三角形围成的十四面体,其所有顶点都在球O 的球面上,若十四面体的棱长为1,则球O的表面积为()A.2πB.4πC.6πD.8π答案B7.(2021全国甲文,14,5分)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为. 答案39π8.(2020新高考Ⅱ,13,5分)棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱BB1,AB的中点,则三棱锥A1-D1MN 的体积为.答案 19.(2019江苏,9,5分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是.10.(2020江苏,9,5分)如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2cm,高为2cm,内孔半径为0.5cm,则此六角螺帽毛坯的体积是 cm 3.答案(12√3−π2)11.(2018天津文,11,5分)如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为 .答案13综合篇 知能转换A 组考法一 空间几何体的表面积和体积1.(2021新高考Ⅱ,5,5分)正四棱台的上、下底面的边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为( ) A.56 B.28√2 C.563 D.28√23答案 D2.(2021济南一模,7)已知菱形ABCD,AB=BD=2,将△ABD 沿BD 折起,使二面角A-BD-C 的大小为60°,则三棱锥A-BCD 的体积为( ) A.√32B.2√23 C.3√32D.2√2 答案 A3.(2018课标Ⅲ,文12,理10,5分)设A,B,C,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且其面积为9√3,则三棱锥D-ABC 体积的最大值为( ) A.12√3 B.18√3 C.24√3 D.54√34.(2020湖南衡阳联考,10)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且AB=2.若三棱锥P-ABC的外接球体积为36π,则当该三棱锥的体积最大时,其表面积为()A.6+6√3B.8+6√3C.8+8√5D.6+8√5答案C5.(2022届浙江浙南名校联盟联考一,15)一圆锥母线长为定值a(a>0),母线与底面所成角大小为θ(0<θ<π2),当圆锥体积V最大时,sinθ=.答案√336.(2019天津,文12,理11,5分)已知四棱锥的底面是边长为√2的正方形,侧棱长均为√5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为.答案π47.(2018课标Ⅱ理,16,5分)已知圆锥的顶点为S,母线SA,SB所成角的余弦值为78,SA与圆锥底面所成角为45°.若△SAB的面积为5√15,则该圆锥的侧面积为.答案40√2π8.(2018天津理,11,5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H,M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.答案1129.(2017课标Ⅰ文,16,5分)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA ⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球O的表面积为.答案36π考法二 与球有关的切、接问题1.(多选)(2022届河北神州智达省级联测二,12)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点全部在球O 的表面上,AB=AC,∠BAC=120°,三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧面积为8+4√3,则球O 的表面积可能是( ) A.4π B.8π C.16π D.32π 答案 CD2.(2020天津,5,5分)若棱长为2√3的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( ) A.12π B.24π C.36π D.144π 答案 C3.(2020课标Ⅱ理,10,5分)已知△ABC 是面积为9√34的等边三角形,且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π,则O 到平面ABC 的距离为( ) A.√3 B.32C.1D.√32答案 C4.(2019课标Ⅰ理,12,5分)已知三棱锥P-ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA=PB=PC,△ABC 是边长为2的正三角形,E,F 分别是PA,AB 的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为 ( ) A.8√6π B.4√6π C.2√6π D.√6π 答案 D5.张衡(78年—139年)是中国东汉时期伟大的天文学家、文学家、数学家,他的数学著作有《算罔论》,他曾经得出结论:圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点A,B,若线段AB 的最小值为√3-1,利用张衡的结论可得该正方体的外接球的表面积为( ) A.30 B.10√10 C.12√10 D.36 答案 C6.(2017天津理,10,5分)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若这个正方体的表面积为18,则这个球的体积为 . 答案92π 7.(2017课标Ⅱ文,15,5分)长方体的长,宽,高分别为3,2,1,其顶点都在球O 的球面上,则球O 的表面积为 . 答案 14π8.(2021山东烟台一模,16)已知正三棱锥P-ABC 的底面边长为2,侧棱长为√13,其内切球与两侧面PAB,PBC 分别切于点M,N,则MN 的长度为 . 答案56B 组(2022届江苏海安高级中学期中,8)如图所示,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1=1,AB=BC=√3,cos ∠ABC=13,P 是A 1B 上的一动点,则AP+PC 1的最小值为( )A.√5B.√7C.1+√3D.3 答案 B应用篇 知行合一应用 与立体几何有关的实际应用问题1.(多选)(2022届河北9月联考,10生活实践情境)“端午节”为中国国家法定节假日之一,已被列入世界非物质文化遗产名录,吃粽子是端午节的习俗之一.全国各地的粽子包法各有不同.如图,粽子可包成棱长为6cm 的正四面体状的三角粽,也可做成底面半径为32cm,高为6cm(不含外壳)的圆柱状竹筒粽.现有两碗馅料,若一个碗的容积等于半径为6cm 的半球的体积,则(参考数据:√2π≈4.44)( )A.这两碗馅料最多可包三角粽35个B.这两碗馅料最多可包三角粽36个C.这两碗馅料最多可做竹筒粽21个D.这两碗馅料最多可做竹筒粽20个 答案 AC2.(2021新高考Ⅱ,4,5分科技发展)卫星导航系统中,地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面,轨道高度为36000km(轨道高度指卫星到地球表面的最短距离),把地球看成一个球心为O,半径r 为6400km 的球,其上点A 的纬度是指OA 与赤道所在平面所成角的度数,地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步轨道卫星的点的纬度的最大值记为α,该卫星信号覆盖的地球表面面积S=2πr 2(1-cos α)(单位:km 2),则S 占地球表面积的百分比约为( )A.26%B.34%C.42%D.50% 答案 C3.(多选)(2021辽宁开原三模,12生产实践)国家统计局公布的全国夏粮生产数据显示,2020年全国夏粮总产量达14281万吨,创历史新高.粮食储藏工作关系着军需民食,也关系着国家安全和社会稳定.某粮食加工企业设计了一种容积为63000π立方米的粮食储藏容器,如图1所示.已知该容器分上下两部分,其中上部分是底面半径和高都为r(r ≥10)米的圆锥,下部分是底面半径为r 米、高为h 米的圆柱体,如图2所示.经测算,圆锥的侧面每平方米的建造费用为√2a 元,圆柱的侧面、底面每平方米的建造费用均为a 元,设每个容器的制造总费用为y 元,则下面说法正确的是( )A.10≤r<40B.h 的最大值为1 8803C.当r=21时,y=7029a πD.当r=30时,y 有最小值,最小值为6300a π 答案 BCD4.(2021山东青岛二模,15劳动教育)某校学生去工厂进行劳动实践,加工制作某种零件.如图,将边长为10√2cm 的正方形铁皮剪掉阴影部分(四个全等的等腰三角形),然后将△P 1AB,△P 2BC,△P 3CD,△P 4DA 分别沿AB,BC,CD,DA 翻折,使得P 1,P 2,P 3,P 4重合并记为点P,制成正四棱锥P-ABCD 形状的零件.当该四棱锥体积最大时,AB= cm;此时该四棱锥外接球的表面积S= cm 2.答案 8;6765π 创新篇 守正出奇创新一 数学文化下的立体几何问题1.(2022届长沙长郡中学第一次月考,5)公元前3世纪,古希腊欧几里得在《几何原本》里提出:“球的体积(V)与它的直径(D)的立方成正比”,即V=kD 3,欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解,他们将体积公式V=kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地,对于等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱),正方体也可利用公式V=kD 3求体积(在等边圆柱中,D 表示底面圆的直径;在正方体中,D 表示棱长).假设运用此体积公式求得球(直径为a),等边圆柱(底面圆的直径为a),正方体(棱长为a)的“玉积率”分别为k 1、k 2、k 3,那么k 1∶k 2∶k 3=( ) A.π3∶π2∶2 B.π6∶π4∶2 C.π3∶π2∶1 D.π6∶π4∶1 答案 D2.(2019课标Ⅱ理,16,5分)中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有 个面,其棱长为 .(本题第一空2分,第二空3分)图1图2答案26;√2-14.(2021河北张家口一模,16)早期的毕达哥拉斯学派学者注意到:用等边三角形或正方形为表面可构成四种规则的立体图形,即正四面体、正六面体、正八面体和正二十面体,它们的各个面和多面角都全等.如图,正二十面体是由20个等边三角形组成的正多面体,共有12个顶点,30条棱,20个面,是五个柏拉图多面体之计算,则该正二十面体的表面积与该正二十面体的外接球表面积之比等于.一.如果把sin36°按35答案55√336π创新二圆锥曲线与立体几何的综合1.(2021山东青岛二模,7)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,点P在矩形ACC1A1区域(包含边界)内运动,且∠PBD=45°,则动点P的轨迹长度为()A.πB.√2πC.2πD.2√2π答案B2.(2021山东德州二模,7)我国南北朝时期的著名数学家祖暅提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异.”意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意一个平面所截,若截面面积都相等,则这两个几何体的体积相等.运用祖暅原理计算球的体积时,构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱,与半球(如图①)放置在同一平面上,然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体(如图②),用任何一个平行于底面的平面去截它们时,可证得所截得的两个截面面积相等,由此可证明新几何体与半球体积相等,即12V 球=πR 2·R-13πR 2·R=23πR 3.现将椭圆x 24+y 29=1绕y 轴旋转一周后得一橄榄球形状的几何体(如图③),类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )A.8πB.16πC.24πD.32π答案 B3.(2022届广东深圳七中10月月考,14)如图,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为3,点H 在棱AA 1上,且HA 1=1,P 是侧面BCC 1B 1内一动点,HP=√13,则CP 的最小值为 .答案 √13-2。
高考数学一轮总复习第七章 立体几何与空间向量第1节 立体图形及其直观图、简单几何体的表面积与体积
C.圆锥、圆台的底面都是圆,母线都与底面垂直
D.位于上方的面是棱台的上底面,位于下方的面是棱台的下底面
解析:(1)一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形
成的几何体是圆柱,所以A正确;
根据圆台的定义,可得圆锥截去一个小圆锥后剩余的部分是圆台,
所以B正确;
圆锥、圆台的母线都不与底面垂直,所以C错误;
②分割法:把不规则的几何体分割成规则的几何体.当规则的几何
体用公式不易求出时,可将其分割转化成比较好求体积的几何体.
大多数情况下,可以把不规则几何体分割为三棱锥或四棱锥,从四
棱锥底面对角线或几何体表面四边形对角线处寻找分割的
“刀口”.
[针对训练]
(1)(角度一)在△ABC中,已知AB⊥BC,AB=BC=2.现将△ABC绕边AC旋
FC⊥平面ABCD,ED=2FC=2,则四面体A-BEF的体积为(
A.
B.
√
C.1 D.
)
解析:(2)因为 ED⊥平面 ABCD,且 AD⊂平面 ABCD,所以 ED⊥AD.
因为在正方形 ABCD 中,AD⊥DC,而 DC∩ED=D,DC⊂平面 CDEF,ED⊂平面 CDEF,
所以 AD⊥平面 CDEF.连接 EC,DF(图略),
1.空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
互相 平行 且 全等 .
多边形
互相 平行 且相似
图形
底面
侧棱
平行且相等 .
侧面形状
平行四边形 .
相交于 一点 但不
一定相等
三角形.
延长线交于 一点 .
高考数学一轮复习 第七章 第2课时空间几何体的表面积和体积课时作业 理 新人教版
第2课时空间几何体的表面积和体积考纲索引空间几何体的侧面积、表面积和体积.课标要求了解柱、锥、台和球的表面积和体积的计算公式.知识梳理1.柱、锥、台和球的侧面积和体积2.几何体的表面积(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是.(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形;它们的表面积等于. 基础自测1. (教材改编)一个正方体的体积是8,则这个正方体的内切球的表面积是().A. 8πB. 6πC. 4πD. π2.已知某球的体积大小等于其表面积大小,则此球的半径是().A. B. 3 C. 4 D. 53.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的侧面积等于().A. 12πcm2B. 15πcm2C. 24πcm2D. 30πcm2(第3题)(第5题)4. (教材改编)表面积为3π的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为.指点迷津◆圆台与圆锥、圆柱的演变当圆台的上底演变为0时,成为圆锥(如r1=0)当圆台的上下底相同时成为圆柱,借此可记忆公式(如r1=r2).◆侧面积与侧面展开图的关系对侧面积公式的记忆,最好结合几何体的侧面展开图来进行.要特别留意根据几何体侧面展开图的平面图形的特点来求解相关问题,如直棱柱(圆柱)侧面展开图是一矩形,则可用矩形面积公式求解.圆锥侧面展开图为扇形,此扇形的特点是半径为圆锥的母线长,圆弧长等于底面的周长,利用这一点可以求出展开图扇形的圆心角的大小.◆求体积的两种方法:割补法与等积法补法是把不规则(不熟悉的或复杂的)几何体延伸或补成规则的(熟悉的或简单的)几何体,把不完整的图形补成完整的图形.割法是把复杂的(不规则的)几何体切割成简单的(规则的)几何体.等积法包括等面积法和等体积法.等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高.◆有关球的组合体的两种位置,内切和外接球内切于正方体,切点为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合,通常作它们的轴截面进行解题.考点透析考向一几何体的表面积与侧面积例1(2014·福建)以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于().A. 2πB. πC. 2D. 1【方法总结】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和;旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积的和.(2)若所给的几何体是规则的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解;(3)若以三视图的形式给出,解题的关键是对给出的三视图进行分析,从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系,得到几何体的直观图,然后根据条件求解.变式训练1. (2013·潍坊考前适应性训练)如图为某个几何体的三视图,则该几何体的侧面积为().(第1题)A. 16+4πB. 12+4πC. 16+8πD. 12+8π考向二几何体的体积例2(2013·郑州二测)一个几何体的三视图及其尺寸如图所示(单位:cm),其中正(主)视图是直角三角形,侧(左)视图是半圆,俯视图是等腰三角形,则这个几何体的体积是().【审题视点】由侧视图可知为旋转体,由正、俯视图可知为锥体.【方法总结】(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解.(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等进行求解.(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.变式训练2. (2013·长春模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().(第2题)考向三球的组合体例3(2013·郑州第一次质检)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=6,AC=BD=AD=BC=5,则该三棱锥的外接球的表面积为.【审题视点】把三棱锥A-BCD以AB,CD,AC,BD,AD,BC为对角线补成一个长方体.【方法总结】解决球与其他几何体的切、接问题,关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的关系和数量关系,选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的.变式训练3. (2013·南昌模拟)某几何体的三视图如图所示,若该几何体各顶点都在一球面上,则这个球的表面积为.(第3题)考向四平面图形的折叠与立体图形的展开例4(2013·江南十校联考)如图(1)所示,在边长为12的正方形ADD1A1中,点B,C在线段AD 上,且AB=3,BC=4,过点B作BB1∥AA1,分别交A1D,AD1于点B1,P,过点C作CC1∥AA1,分别交A1D1,AD1于点C1,Q.将该正方形沿BB1,CC1折叠,使用DD1与AA1重合,构成如图(2)所示的三棱柱ABC-A1B1C1.(1)求证:AB⊥平面BCC1B1;(2)求平面PQA将三棱柱ABC-A1B1C1分成的左、右两部分几何体的体积之比.(1)(2)【审题视点】平面图形折叠后,D与A重合,A,B,C,D形成△ABC,由此看出AB⊥BC,AB⊥BB1.从而可计算V A-BCQP的体积.【方法总结】(1)求几何体表面上两点间的最短距离的方法常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.(2)解决折叠问题的技巧解决折叠问题时,要分清折叠前后两图形中(折叠前的平面图形和折叠后空间图形)元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化,哪些没有发生变化.对折叠问题中的前后两个图形,在折线同侧的元素的位置关系和数量关系不发生变化;在折线异侧的元素的位置关系和数量关系发生变化.变式训练4.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,△ABC为等边三角形,AA'⊥平面ABC,AB=3,AA'=4,M为AA'的中点,P是BC上一点,且由P沿棱柱侧面经过棱CC'到M的最短路线长为,设这条最短路线与CC'的交点为N,求:(1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长;(2)PC与CN的长.(第4题)经典考题典例(2014·安徽)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积是().【解题指南】由三视图得出几何体的形状,继而求得几何体的体积.【答案】 A真题体验1. (2014·辽宁)某几何体三视图如图所示,则该几何体的体积为().(第1题)C. 8-πD. 8-2π2. (2014·浙江)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是().(第2题)A. 72cm3B. 90cm3C. 108cm3D. 138cm33.(2014·全国新课标Ⅱ)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为().(第3题)参考答案与解析知识梳理2. (1)各面面积之和(2)侧面积与底面积之和基础自测考点透析【例1】A解析:由题意可知,该正方形旋转一周后所得的圆柱的底面半径r=1,高h=1,则该圆柱的侧面积S=2πrh=2π,故选A.变式训练经典考题真题体验。
高考数学大一轮复习 第七章 立体几何 45 空间几何体的表面积与体积课时作业 理
课时作业45 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A ．2πB ．πC ．2D ．1解析：以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1，母线长为1.故侧面积为2πr ·l ＝2π·1·1＝2π.答案：A2．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A.18B.17C.16D.15解析：由三视图知，图中几何体为正方体中截去一个小的三棱锥，如图所示，设正方体边长为1，则截去三棱锥的体积V 截＝13×12×1×1×1＝16.∴V 截V 剩＝161－16＝15.答案：D3．如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64解析：在△ABC 中，BC 边上的高为32，即棱锥A －BB 1C 1的高为32，又S △BB 1C 1＝12，所以VB 1－ABC 1＝VA －BB 1C 1＝13×12×32＝312.答案：A4．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 ，若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：根据正视图与俯视图可知，该几何体是半个圆柱和一个半球的组合体．其表面积为2r ·2r ＋πr 2＋12(4πr 2)＋πr ·2r ＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.答案：B5．(2016·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋4 2C ．6＋6 2D ．6＋22＋4 3解析：直观图是四棱锥P －ABCD ，如图所示，S △PAB ＝S △PAD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，因此所求棱锥的表面积为6＋42＋2 3.故选A.答案：A6．(2016·河南洛阳二测)已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝3，AC ＝3，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．16π C ．12πD.163π 解析：由题意可得，∠ABC ＝2π3，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积取最大值时，V D －ABC ＝13S △ABC ·h (h 为点D 到底面ABC 的距离)⇒334＝13·334·h ⇒h ＝3，设R 为球O的半径，则(3－R )2＝R 2－r 2⇒R ＝2.故球O 的表面积为4π·22＝16π.答案：B7．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：如图，由题意，V O －ABC ＝V C －OAB ＝13×12×r 2×h .由题意，AOB 所在平面为过球心的平面，故C 到平面OAB 的最大距离为r ，∴V max ＝16r 3＝36，解得r ＝6，则球O 的表面积S ＝4πr 2＝144π.答案：C 二、填空题8．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则13×6×34×22×h＝23，解得h ＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为3，故侧面等腰三角形底边上的高为（3）2＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12.答案：129．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.解析：由三视图可知，该几何体为一个放倒的四棱柱，以梯形为底，所以梯形面积为1×（1＋2）2＝32，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为32. 答案：3210．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________．解析：设正四面体棱长为a ， 则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ， 因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa26，则S 1S 2＝3a 2π6a2＝63π.答案：63π11．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.答案：71．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)．米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设圆锥底面半径为r ，则有14·2πr ＝8，r ＝16π，所以米堆的体积为13×14π⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5＝3203π，所以该堆米大约有3203×3×1.62≈22斛．答案：B2．(2016·西安模拟)如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66π B.π3C.π6D.33π 解析：平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝66，所以S ＝πr 2＝π×636＝16π.答案：C3．(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB.169πC.4（2－1）3πD.12（2－1）3π解析：由三视图知，原工件为圆锥，体积为13×π×12×2＝2π3，要使长方体新工件的体积最大，则其下底在圆锥的底面内，上底面是平行于圆锥底面的截面的内接正方形，作轴截面，AB 为底面正方形的对角线，设长方体底面边长为a ，高为h ，则2aa＝2－h2，h ＝2－2a ，长方体体积为V ＝a 2h ＝－2a 3＋2a 2，V ′＝－32a 2＋4a ，当0<a <223时，V ′>0，当a >223时，V ′<0，故函数V ＝a 2h ＝－2a 3＋2a 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，223上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫223，2上是减函数，故当a ＝223时，V 取最大值，最大值为－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2233＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝1627，故原工件的材料利用率为16272π3＝89π.答案：A4．(2016·江西南昌一模)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，侧面BCC1B1的面积为2，则直三棱柱ABC－A1B1C1外接球表面积的最小值为________．解析：如图所示，设BC，B1C1的中点分别为F，E，则知三棱柱ABC－A1B1C1外接球的球心为线段EF的中点O，且BC×EF＝2.设外接球的半径为R，则R2＝BF2＋OF2＝⎝⎛⎭⎪⎫BC22＋⎝⎛⎭⎪⎫EF22＝BC2＋EF24≥14×2BC×EF＝1，当且仅当BC＝EF＝2时取等号．所以直三棱柱ABC－A1B1C1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π.答案：4π5．正四面体ABCD的棱长为4，E为棱BC的中点，过E作其外接球的截面，则截面面积的最小值为________．解析：将四面体ABCD补为正方体，如图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球．设球心为O，面积最小的截面是与OE垂直的截面．由图可知，这个截面是底面正方形的外接圆，因为BC＝4，所以半径为2，其面积为π×22＝4π.答案：4π。
空间几何体的结构及其表面积、体积课时作业高考数学一轮复习
空间几何体的结构及其表面积、体积1．下列说法中正确的是()A．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A．163πB．323πC．16πD．24π3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为()A．1＋ 2 B．1＋2 2C．2＋ 2 D．2＋2 24．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为()A．32 B．32πC．16πD．8π5.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E为棱DD1上的点，F为AB 的中点，则三棱锥B1-BFE的体积为()A.13B．14C.112D．166．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为()A.2πB．(1＋2)πC．22πD．(2＋2)π7．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为()A． 3 B．3 2C．1 D．3 28.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF ＝2，则该多面体的体积为()A．23B．33C．43D．329.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．10．(2021·全国统一考试模拟演练)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．11．根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为17176π cm3的球挖去一个三棱锥P-ABC后得到的几何体，其中P A⊥AB，BC⊥平面P AB，BC＝1 cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC＝________cm.12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________．设线段AB为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B点后再沿侧面回到A点，则该质点运动路径的最短长度为________．能力提高1．已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为()A.26B．36C.23D．222．(多选)已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是()A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为4 3D．球O的内接正四面体的棱长为2空间几何体的结构及其表面积、体积1．下列说法中正确的是( )A ．斜三棱柱的侧面展开图一定是平行四边形B ．水平放置的正方形的直观图有可能是梯形C ．一个直四棱柱的正视图和侧视图都是矩形，则该直四棱柱就是长方体D ．用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分形成的几何体就是圆台[答案] D2．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163π B ．323π C ．16πD ．24πB [设球的半径为R ，则S ＝4πR 2＝16π，解得R ＝2，则球的体积V ＝43πR 3＝323π.]3．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为( )A ．1＋ 2B ．1＋2 2C ．2＋ 2D ．2＋2 2C [由三视图可得该“阳马”的底面是边长为1的正方形，高为1，则表面积为1＋2×12×1×1＋2×12×2×1＝2＋2，故选C.]4．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为( )A ．32B ．32πC ．16πD ．8πB [若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为8π，其轴截面的面积为32π；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为32π.]5.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为棱DD 1上的点，F 为AB 的中点，则三棱锥B 1-BFE 的体积为( )A.13 B ．14 C.112D ．16C [由等体积法可知V B 1-BFE ＝V E -BFB 1＝13S △BB 1F ·AD ＝16×1×12×1＝112.故选C.] 6．(多选)(2020·山东潍坊期末)已知等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )A.2π B ．(1＋2)π C ．22πD ．(2＋2)πAB [若以直角边所在直线为旋转轴，得到一个底面半径为1、高为1的圆锥，其表面积为π×1＋π×1×2＝(1＋2)π；若以斜边所在直线为旋转轴，得到两个底面半径为22、高为22的圆锥所形成的组合体，其表面积为2×π×22×1＝2π.故选AB.]7．(2020·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上．若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( )A ． 3B ．32 C ．1D ．32C [由等边三角形ABC 的面积为934，得34×AB 2＝934，得AB ＝3，则△ABC 的外接圆半径r ＝23×32AB ＝33AB ＝ 3.设球的半径为R ，则由球的表面积为16π，得4πR 2＝16π，得R ＝2，则球心O 到平面ABC 的距离d ＝R 2－r 2＝1，故选C.]8.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为( )A ．23B ．33C ．43D ．32A [(分割法)如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12， AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，取AD 的中点O ，连接GO ，易得GO ＝22， ∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴多面体的体积V ＝V 三棱锥E -ADG ＋V 三棱锥F -BCH ＋V 三棱柱AGD -BHC ＝2V 三棱锥E -ADG ＋V 三棱柱AGD -BHC＝13×24×12×2＋24×1＝23.故选A.]9.有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这块菜地的面积为________．2＋22 [如图①，在直观图中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E .图①图②在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝2 2.而四边形AECD为矩形，AD＝1，∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝22＋1.由此可还原原图形如图②.在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝2 2＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，∴这块菜地的面积S＝12(A′D′＋B′C′)×A′B′＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋22×2＝2＋22.]10．(2021·全国统一考试模拟演练)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，则该圆台的体积为________．61π[截面图如图所示，底面半径为5，圆周直径为10，则圆台的下底面位于圆周的直径上，OC＝OB＝5，O′C＝4，∠OO′C＝π2，则圆台的高为3，V＝13h(S1＋S1S2＋S2)＝25π＋16π＋20π＝61π.]11．根据不同的程序，3D打印既能打印实心的几何体模型，也能打印空心的几何体模型．如图所示的空心模型是体积为17176π cm3的球挖去一个三棱锥P-ABC后得到的几何体，其中P A⊥AB，BC⊥平面P AB，BC＝1 cm.不考虑打印损耗，当用料最省时，AC＝________cm.3[设球的半径为R，由球的体积4π3R3＝17176π，解得R＝172cm.因为BC⊥平面P AB，所以BC⊥PB，BC⊥AB，BC⊥P A.因为P A⊥AB，AB∩BC＝B，所以P A⊥平面ABC，所以P A⊥AC.由BC⊥AB可知，AC为截面圆的直径，故可设AC＝x cm(1＜x＜17)，取PC 的中点O ，连接OA ，OB (图略)，则PO ＝OC ＝OA ＝OB ，故O 为球心，所以PC ＝17cm.在Rt △P AC 中，P A ＝17－x 2 cm ，在Rt △ABC 中，AB ＝x 2－1 cm ， 所以V P -ABC ＝13×S △ABC ×P A ＝13×12×x 2－1×1×17－x 2＝16(x 2－1)(17－x 2)≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－1＋17－x 222＝43(cm 3)，当且仅当x 2－1＝17－x 2，即x ＝3时，等号成立． 所以当用料最省时，AC ＝3 cm.]12．已知某圆锥的母线长为3，底面半径为1，则该圆锥的体积为________．设线段AB 为该圆锥底面圆的一条直径，一质点从A 出发，沿着该圆锥的侧面运动，到达B 点后再沿侧面回到A 点，则该质点运动路径的最短长度为________．22π36 [该圆锥的高h ＝32－1＝2 2. 所以该圆锥的体积V ＝13×π×12×22＝223π. 将圆锥侧面沿母线SA 展开，如图所示．因为圆锥底面周长为2π，所以侧面展开后得到的扇形的圆心角∠ASA ′＝2π3. 由题意知点B 是侧面展开后得到的扇形中弧AA ′的中点， 连接AB ，A ′B ，SB ，则∠ASB ＝π3，可得AB ＝A ′B ＝AS ＝3. 所以该质点运动路径的最短长度为AB ＋A ′B ＝6.]能力提高1．已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )A.26 B ．36 C.23D ．22A [由于三棱锥S -ABC 与三棱锥O -ABC 底面都是△ABC ，O 是SC 的中点，因此三棱锥S -ABC 的高是三棱锥O -ABC 高的2倍，所以三棱锥S -ABC 的体积也是三棱锥O -ABC 体积的2倍． 在三棱锥O -ABC 中，其棱长都是1，如图所示， S △ABC ＝34×AB 2＝34， 高OD ＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫332＝63，∴V S -ABC ＝2V O -ABC ＝2×13×34×63＝26.]2．(多选)已知A ，B ，C 三点均在球O 的表面上，AB ＝BC ＝CA ＝2，且球心O 到平面ABC 的距离等于球半径的13，则下列结论正确的是( )A ．球O 的表面积为6πB ．球O 的内接正方体的棱长为1C ．球O 的外切正方体的棱长为43 D ．球O 的内接正四面体的棱长为2AD [设球O 的半径为r ，△ABC 的外接圆圆心为O ′，半径为R .易得R ＝233.因为球心O 到平面ABC 的距离等于球O 半径的13，所以r 2－19r 2＝43，得r 2＝32.所以球O 的表面积S ＝4πr 2＝4π×32＝6π，选项A 正确；球O 的内接正方体的棱长a 满足3a ＝2r ，显然选项B 不正确；球O 的外切正方体的棱长b 满足b ＝2r ，显然选项C 不正确；球O 的内接正四面体的棱长c 满足c ＝263r ＝263×62＝2，选项D 正确．故选AD.]。
高考数学一轮复习 第七章 立体几何 课时作业45 空间几何体的表面积与体积课件 理
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二、填空题 8．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍，母线长为 3，圆台 的侧面积为 84π，则圆台较小底面的半径为________。
解析 设圆台较小底面半径为 r，则另一底面半径为 3r。由 S＝π(r＋3r)·3 ＝84π，解得 r＝7。
126x2，所以
V(x)
＝13×9 6－ 126x2x＝ 36x9－112x2(0<x<3 6)。因为 V′(x)＝ 369－14x2，所以 当 x∈(0,6)时，V′(x)>0，V(x)单调递增；当 6<x<3 6时，V′(x)<0，V(x)单调递
减，因此当 x＝6 时，V(x)取得最大值 12 6。 答案 12 6
B．4π D．6π
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解析 由题中俯视图可知该球被平均分成 6 部分，削去了 3 部分，剩余 的 3 部分为该几何体，所以该立体图形的表面积为 2×π×12＋3×π×12＝5π。 故选 C。
答案 C
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5．(2019·昆明市调研测试)在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝2， AA1＝1，则点 B 到平面 D1AC 的距离等于( )
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解析 因为 PE⊥EF，PE⊥AE，EF∩AE＝E，所以 PE⊥平面 ABC。因
为
CD⊥AB，FE⊥AB，所以
EF∥CD，所以CEDF ＝BBDE ，即E3F＝3
x
，所以 6
EF＝
x ，所以 6
S△ABC＝12×6
6×3＝9
(全国版)高考数学一轮复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课时提升作业理
（全国版）高考数学一轮复习第七章立体几何7.2空间几何体的表面积与体积课时提升作业理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2015·福建高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积等于( )A.8+2B.11+2C.14+2D.15【解析】选B.由三视图可知,该几何体为底面是直角梯形的直四棱柱,所以S=2×(1+2)×1×+2×2+1×2+1×2+×2=11+2.2.(2015·重庆高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.+πB.+πC.+2πD.+2π【解析】选A.由三视图可知,该几何体为三棱锥和半个圆柱构成的组合体.由图中数据可知,三棱锥的体积为V1=××1×2×1=,半个圆柱的体积为V2=×π×12×2=π,所以几何体的体积为+π.3.(2016·郑州模拟)已知体积为的正三棱柱(底面是正三角形且侧棱垂直于底面)的三视图如图所示,则此三棱柱的高为( )A. B. C.1 D.【解析】选 C.由三视图可知正三棱柱的底面边长为2,设正三棱柱的高为h,正三棱柱的体积为×2×·h=,解得h=1.4.(2016·邯郸模拟)某几何体的三视图如图所示,若其正视图为等腰梯形,侧视图为正三角形,则该几何体的表面积为( )A.2+2B.6C.4+2D.8【解析】选B.根据几何体的三视图,知该几何体是一个三棱柱在两端各去掉一个全等的三棱锥,如图所示:底面ABCD是矩形,AB=2,AD=1,EF平行底面,且EF=1.过点E作EM⊥AB,垂足为M,则AM=,所以EM=1,DE=AE==.所以S梯形ABFE=×(1+2)×1==S梯形CDEF,S△ADE=S△BCF=×1×=×1×1=,S矩形ABCD=2×1=2;所以该几何体表面积S表面积=2+2×+2×=6.【加固训练】已知一个空间几何体的三视图如图所示,其中俯视图是边长为6的正三角形,若这个空间几何体存在唯一的一个内切球(与该几何体各个面都相切),则这个几何体的表面积是( )A.18B.36C.45D.54【解析】选D.由三视图知,几何体为正三棱柱.因为俯视图是边长为6的正三角形,所以几何体的内切球的半径R=6××=,所以三棱柱的侧棱长为2.所以几何体的表面积S=2××6×6×+3×6×2=54.5.(2016·浏阳模拟)一几何体的三视图如图所示,若正视图和侧视图都是等腰直角三角形,直角边长为1,则该几何体外接球的表面积为( )A.4πB.3πC.2πD.π【解析】选B.由三视图知几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱垂直于底面,高等于1,其底面是边长为1的正方形,所以四棱锥的外接球即是边长为1的正方体的外接球,所以外接球的直径为,所以外接球的表面积为S=4π=3π.【加固训练】三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,SA⊥平面ABC,AB⊥BC,又SA=AB=BC=1,则球O的表面积为( )A.πB.πC.3πD.12π【解析】选C.依题意,球O的直径为SC,且SC=,又AB⊥BC,所以AC2=AB2+BC2,故SC==,即球O的半径为,所以球O的表面积为S=4π×=3π.6.(2016·泉州模拟)一个四棱锥的底面为正方形,其三视图如图所示,则这个四棱锥的体积是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题干图知,此几何体为一个四棱锥,其底面为一个对角线长为2的正方形,故其底面积为4××1×1=2,由三视图知其中一条侧棱为棱锥的高,其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形.由于此侧棱长为,对角线长为2,故棱锥的高为=3,所以此棱锥的体积为×2×3=2.【加固训练】(2016·开封模拟)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( ) A.108cm3 B.100cm3C.92cm3D.84cm3【解析】选B.由三视图可知该几何体是由一个长、宽、高分别为6,3,6的长方体在一顶角上去掉一个侧棱长分别为4,3,4的三棱锥的多面体,所以其体积为V=6×3×6-××4×3×4=100(cm3).7.(2016·成都模拟)某几何体正视图与侧视图相同,其正视图与俯视图如图所示,且图中的四边形都是边长为2的正方形,正视图中两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )A. B.6 C.4 D.【解析】选A.由三视图知,该几何体是一个棱长为2的正方体,挖去一个以该正方体的中心为顶点,以该正方体的上底面为底面的四棱锥后得到的几何体,所以该几何体的体积V=23-×22×1=.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2016·石家庄模拟)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.【解析】由三视图可知,该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体,如图所示.长方体的长、宽、高分别为4,3,1,表面积为4×3×2+3×1×2+4×1×2=38,圆柱的底面圆直径为2,母线长为1,侧面积为2π×1×1=2π,圆柱的两个底面面积和为2×π×12=2π.故该几何体的表面积为38+2π-2π=38.答案:389.(2015·四川高考)在三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,其正视图和侧视图都是边长为1的正方形,俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形,设点M,N,P分别是AB,BC,B1C1的中点,则三棱锥P-A1MN的体积是.【解析】由三视图易知几何体ABC-A1B1C1是上、下底面为等腰直角三角形的直三棱柱,则又S△PMN=MN·NP=××1=,点A到平面PMN的距离h=,所以=V A-PMN=S△PMN·h=××=.答案:10.(2016·浏阳模拟)若如图为某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去一部分后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图,则其正视图的面积为,三棱锥D-BCE的体积为.【解析】由题意可知,正视图为直角三角形,直角边长为2,4,故正视图的面积为×2×4=4;四棱锥B-ACDE中,AE⊥平面ABC,所以AE⊥AB,又AB⊥AC,且AE和AC相交,所以AB⊥平面ACDE,又AC=AB=AE=2,CD=4,由四棱锥B-ACDE的体积V=××2=4,又三棱锥E-ACB的体积为××2×2×2=,所以三棱锥D-BCE的体积为4-=.答案:4(20分钟40分)1.(5分)(2016·武汉模拟)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A. B.3π C. D.6π【解析】选B.由三视图可知,此几何体(如图所示)是底面半径为1,高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的,所以V=×π×12×4=3π.【一题多解】解答本题,还有以下解法:选B.由三视图可知,此几何体是底面半径为1,高为4的圆柱从母线的中点处截去了圆柱的,直观图如图(1)所示,我们可用大小与形状完全相同的几何体补成一个半径为1,高为6的圆柱,如图(2)所示,则所求几何体的体积为V=×π×12×6=3π.2.(5分)(2014·安徽高考)一个多面体的三视图如图所示,则该多面体的表面积为( )A.21+B.18+C.21D.18【解析】选A.由三视图可知原几何体是一个正方体截去两个全等的小正三棱锥.正方体的表面积为S=24,两个全等的三棱锥是以正方体的相对顶点为顶点,侧面是三个全等的直角边长为1的等腰直角三角形,其侧面面积的和为3,三棱锥的底面是边长为的正三角形,其表面积的和为,故所求几何体的表面积为24-3+=21+.3.(5分)(2016·肇庆模拟)有一球内接圆锥,底面圆周和顶点均在球面上,其底面积为3π,已知球的半径R=2,则此圆锥的体积为.【解析】由πr2=3π得圆锥的底面半径为r=,如图,设OO1=x,则x===1,圆锥的高h=R+x=3或h=R-x=1.所以,圆锥的体积为V=Sh=×3π×3=3π或V=Sh=×3π×1=π.答案:3π或π【加固训练】(2016·佛山模拟)点A,B,C,D在同一个球的球面上,AB=BC=AC=,若四面体ABCD体积的最大值为,则这个球的表面积为( )A.πB.8πC. D.【解题提示】根据几何体的特征,判定外接球的球心,求出球的半径,即可求出球的表面积.【解析】选C.根据题意知,△ABC是一个等边三角形,其面积为,外接圆的半径为1.小圆的圆心为Q,若四面体ABCD的体积取最大值,由于底面积S△ABC不变,高最大时体积最大,所以,DQ与平面ABC垂直时体积最大,最大值为S△ABC×DQ=,所以DQ=4,设球心为O,半径为R,则在Rt△AQO中,OA2=AQ2+OQ2,即R2=12+(4-R)2,所以R=,则这个球的表面积为S=4π=.4.(12分)已知一个几何体的三视图如图所示.(1)求此几何体的表面积.(2)如果点P,Q在正视图中所示位置:P为所在线段中点,Q为顶点,求在几何体表面上,从P点到Q点的最短路径的长.【解析】(1)由三视图知:此几何体是一个圆锥加一个圆柱,其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.S圆锥侧=(2πa)·(a)=πa2,S圆柱侧=(2πa)·(2a)=4πa2,S圆柱底=πa2,所以S表面=πa2+4πa2+πa2=(+5)πa2.(2)沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面,如图.则PQ===a,所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a.5.(13分)已知一个三棱台的上、下底面分别是边长为20cm和30cm的正三角形,侧面是全等的等腰梯形,且侧面面积等于两底面面积之和,求棱台的体积.【解析】如图所示,在三棱台ABC-A′B′C′中,O′,O分别为上、下底面的中心,D,D′分别是BC,B′C′的中点,且DD′是等腰梯形BCC′B′的高,又因为B′C′=20cm,BC=30cm,所以S侧=3××(20+30)×DD′=75DD′.S上+S下=×(202+302)=325(cm2).由S侧=S上+S下,得75DD′=325,所以DD′=cm,又因为O′D′=×20=(cm),OD=×30=5(cm),所以棱台的高h=O′O===4(cm),由棱台的体积公式,可得棱台的体积为V=(S上+S下+)=×=1900(cm3).即棱台的体积为1900cm3.- 11 -。
高考数学一轮复习全套课时作业7-1空间几何体的体积表面积
题组层级快练7.1空间几何体的体积表面积一、单项选择题1．轴截面为正方形的圆柱的侧面积与表面积的比是( )A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶4 2．把半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为( ) A.324πR 3 B.38πR 3 C.524πR 3 D.55πR 3 3．圆锥的过高的中点且与底面平行的截面把圆锥分成两部分的体积之比是( ) A ．1∶1 B ．1∶6 C ．1∶7 D ．1∶8 4.如图为一个侧棱与底面垂直的棱柱，其中AC ′长为9 cm ，DB ′长为15 cm ，高是5 cm ，若它的底面是菱形，则这个棱柱的侧面积是( ) A ．160 cm 2 B ．320 cm 2 C ．4089 cm 2 D ．8089 cm 2 5．(2021·辽宁大连双基测试)一件刚出土的珍贵文物要在博物馆大厅中央展出，需要设计各面是玻璃平面的无底正四棱柱将其罩住，罩内充满保护文物的无色气体．已知文物近似于塔形，高1.8米，体积为0.5立方米，其底部是直径为0.9米的圆(如图)，要求文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，气体每立方米1 000元，则气体费用为( )A ．4 500元B ．4 000 元C ．2 880元D ．2 380元 6.(2021·山东潍坊模拟)现有一个封闭的棱长为2的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半．若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 2 7．(2021·四川资阳二诊)已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图)．若底面圆的弦AB 所对的圆心角为π3，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为( )A ．10π＋3 3B ．10π C.10π3＋ 3 D ．2π－3 3 8.(2021·山东师大附中模拟)如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发，绕圆锥爬行一周后回到点P 处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为( ) A.153 B.3235π27 C.1282π81 D.833二、多项选择题9．(2020·山东济南二模)已知圆锥的顶点为P ，母线长为2，底面半径为3，A ，B 为底面圆周上的两个动点(A 与B 不重合)，则下列说法正确的是( )A ．圆锥的体积为πB ．三角形PAB 为等腰三角形C ．三角形PAB 面积的最大值为 3D ．直线PA 与圆锥底面所成角的大小为π6三、填空题10．长方体的对角线长是8，若长、宽、高分别是a ，b ，c 且a ＋b ＋c ＝14，则长方体的表面积为________． 11．把一个棱长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积为________，表面积增加了________．12．(2021·江苏扬州期末)已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为2 3 cm ，母线与轴的夹角为30°，则这个圆台轴截面的面积等于________cm 2.13．如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这时水面恰好为中截面，则图1中容器内水面的高度是________．图1 图214．(2020·上海浦东期中)在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为4 cm ，母线长最短5 cm ，最长8 cm ，则斜截圆柱的体积V ＝________cm 3.15．(2018·天津)已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M(如图)，则四棱锥M －EFGH 的体积为________．16．(2019·课标全国Ⅲ)学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1挖去四棱锥O －EFGH 后得到的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，AB ＝BC ＝6 cm ，AA 1＝4 cm.3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3.不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为________g.17．(2020·郑州质量预测)将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )A.π27B.8π27C.π3D.2π97.1空间几何体的体积表面积 参考答案1．答案 B解析 设正方形边长为1，则S 侧＝2π×12×1＝π，S 表＝S 侧＋2S 底＝π＋2π·⎝⎛⎭⎫122＝32π.所以S 侧∶S表＝2∶3. 2．答案 A 3．答案 C 4.答案 A 5．答案 B解析 由题知，文物底部是直径为0.9米的圆，文物底部与玻璃罩底边间隔0.3米，则由正方体与圆的位置关系可知，底面正方形的边长为0.9＋2×0.3＝1.5(米)．文物高1.8米，文物顶部与玻璃罩上底面间隔0.2米，所以正四棱柱的高为1.8＋0.2＝2(米)．则正四棱柱的体积V ＝1.52×2＝4.5(立方米)．因为文物体积为0.5立方米，所以罩内空气的体积为4.5－0.5＝4(立方米)，又气体每立方米1 000元，所以气体费用为4×1 000＝4 000(元)，故选B. 6.答案 B解析 本题考查正方体的性质．正方体的面对角线长为22，故当该正方体绕下底面的某条棱旋转时，旋转的新位置的最大高度为2 2.又因为水的体积是正方体体积的一半，所以容器里水面的最大高度为面对角线的一半，即容器里水面的最大高度为 2.故选B. 7．答案 A解析 本题考查圆柱的体积．设截面ABCD 将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为V 1，圆柱的体积为V ，DC 将圆柱的底面分成的两部分中，较大部分的面积为S 1，圆柱的底面积为S ，则S 1＝56×π×22＋12×2×2×32＝10π3＋3，S ＝π×22＝4π，V ＝π×22×3＝12π.依题意可得V 1V ＝S 1S ，所以V 1＝S 1SV ＝10π3＋34π×12π＝10π＋33，故选A. 8.答案 C解析 作出该圆锥的侧面展开图，如图中阴影部分所示，该小虫爬行的最短路径为PP ′，∵OP ＝OP ′＝4，PP ′＝43，由余弦定理可得cos ∠P ′OP ＝错误!＝－12，∴∠P ′OP ＝2π3.设底面圆的半径为r ，圆锥的高为h ，则有2πr ＝2π3×4，∴r ＝43，h ＝42－r 2＝823，∴圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝1282π81.9．答案 ABD解析 本题考查圆锥中的相关计算．如图所示，点O 为点P 在圆锥底面上的射影，连接OA ，OB.PO ＝22－（3）2＝1，圆锥的体积V ＝13×π×(3)2×1＝π，A 正确；PA ＝PB ＝2，B 正确；易知直线PA 与圆锥底面所成的角为∠PAO ＝π6，D 正确；取AB 中点C ，连接PC ，设∠PAC ＝θ，则θ＝⎣⎡⎭⎫π6，π2，S △PAB ＝2sin θ·2cos θ＝2sin2θ，当θ＝π4时，△PAB 面积取得最大值2，C 错误．故选ABD. 10．答案 132解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋c 2＝64，a ＋b ＋c ＝14，由(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca)，得S表＝2(ab ＋bc ＋ca)＝142－64＝132.11．答案 18a 2 12a 2 12．答案 8 3解析 本题考查圆台的性质及其轴截面的面积．设圆台的下底面半径为R cm ，上底面半径为r cm ，则2πR ＝3·2πr ，得R ＝3r.由圆台的高h ＝2 3 cm ，母线与轴的夹角为30°，得R －r h ＝tan30°，即2r 23＝33，解得r ＝1，所以R ＝3r ＝3，所以圆台轴截面的面积为12×(2＋6)×23＝83(cm 2)．13．答案 32a解析 设题图1中容器内液面的高度为h ，液体的体积为V ，则V ＝S △ABC h ，题图2中液体组成了一个直四棱柱，其底面积为S △ABC －14S △ABC ＝34S △ABC ，高度为2a ，则V ＝34S △ABC ·2a ，∴h ＝34S △ABC ·2a S △ABC ＝32a ，故填32a.14．答案 26π解析 方法一(分割法)：将斜截圆柱分割成两部分：下面是底面半径为2 cm ，高为5 cm 的圆柱，其体积V 1＝π×22×5＝20π(cm 3)；上面是底面半径为2 cm ，高为8－5＝3(cm)的圆柱的一半，其体积V 2＝12×π×22×3＝6π(cm 3)．∴该组合体的体积V ＝V 1＋V 2＝20π＋6π＝26π(cm 3)．方法二(补形法)：在该几何体上方再补上一个与其相同的几何体，让截面重合，则所得几何体为一个圆柱，该圆柱的底面半径为2 cm ，高为8＋5＝13(cm)，该圆柱的体积V 1＝π×22×13＝52π(cm 3)． ∴该几何体的体积为圆柱体积的一半，即V ＝12V 1＝26π(cm 3)．15．答案112解析 连接AD 1，CD 1，B 1A ，B 1C ，AC ，因为E ，H 分别为AD 1，CD 1的中点，所以EH ∥AC ，EH ＝12AC.因为F ，G 分别为B 1A ，B 1C 的中点，所以FG ∥AC ，FG ＝12AC ，所以EH ∥FG ，EH ＝FG ，所以四边形EHGF 为平行四边形．又EG ＝HF ，EH ＝HG ，所以四边形EHGF 为正方形．又点M 到平面EHGF 的距离为12，所以四棱锥M －EFGH 的体积为13×⎝⎛⎭⎫222×12＝112. 16．答案 118.8解析 由题易得长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为6×6×4＝144(cm 3)，四边形EFGH 为平行四边形，如图所示，连接GE ，HF ，易知四边形EFGH 的面积为矩形BCC 1B 1面积的一半，即12×6×4＝12(cm 2)，所以V 四棱锥O －EFGH ＝13×3×12＝12(cm 3)，所以该模型的体积为144－12＝132(cm 3)，所以制作该模型所需原料的质量为132×0.9＝118.8(g)．17．答案 B 解析如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r)＝2π(r 2－r 3)(0<r<1)，则V ′＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2)＝0，得r ＝23，当0<r<23时，V ′>0，V 是增函数；当23<r<1时，V ′<0，V 是减函数，故当r ＝23时，V 取极大值也是最大值．所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫233＝8π27，故选B.。
(新课标)高考数学大一轮复习 7.2空间几何体的表面积与体积课时作业 理
课时作业45 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )A ．7B ．6C ．5D ．3解析：设圆台较小底面半径为r ，则另一底面半径为3r . 由S ＝π(r ＋3r )·3＝84π，解得r ＝7. 答案：A2．设一个球的表面积为S 1，它的内接正方体的表面积为S 2，则S 1S 2的值等于( ) A.2π B.6πC.π6D.π2解析：设球的半径为R ，其内接正方体的棱长为a ，则易知R 2＝34a 2，即a ＝233R ，则S 1S 2＝4πR 26×⎝⎛⎭⎪⎫233R 2＝π2. 答案：D3．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为( )A ．38＋πB ．38＋2πC ．40＋πD ．40＋2π解析：由三视图可知，该组合体下方是一个长方体，上方是一个半圆柱，所以表面积为2(4×2＋4×2＋2×2)－2＋12×2π×1＋π＝38＋2π.答案：B4．(2014·陕西卷)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( )A.32π3B ．4πC ．2πD.4π3解析：依题意可知正四棱柱体对角线的长度等于球的直径，可设球半径R ，则2R ＝12＋12＋22＝2，解得R ＝1，所以V ＝4π3R 3＝4π3.答案：D5．把一个周长为12 cm 的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高之比为( )A ．1 2B ．12πC ．21D ．1π解析：设底面周长为x cm ，则2πr ＝x ，即r ＝x2π，高为6－x ，故V ＝π·⎝⎛⎭⎪⎫x 2π2(6－x )＝14π(6x 2－x 3)，则V ′＝14π(12x －3x 2)，由V ′＝0得x ＝4.易知当x ＝4时，圆柱的体积最大，此时圆柱的底面周长是4 cm ，圆柱的高为2 cm ，从而底面周长与高之比为42＝21. 答案：C6．(2014·新课标全国卷Ⅱ)如右图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.13解析：由三视图可知切削得到的零件是由两个圆柱组成的一个组合体，一个是底面半径为2，高为4的圆柱，一个是底面半径为3，高为2的圆柱，于是零件的体积V 1＝πr 21h 1＋πr 22h 2＝π×22×4＋π×32×2＝34π，而原来毛坯的体积V ＝πr 2h ＝π×32×6＝54π，所以切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值之比＝V －V 1V ＝20π54π＝1027，故选C. 答案：C 二、填空题7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为________． 解析：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，高为h ， 则⎩⎪⎨⎪⎧πl ＝2πr ，12πl 2＝2π，∴⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1，∴h ＝ 3.∴V 圆锥＝13π×12×3＝33π.答案：33π 8．(2014·江苏卷)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2.若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________．解析：设甲、乙两个圆柱的底面和高分别为r 1、h 1，r 2、h 2；由题意知2πr 1h 1＝2πr 2h 2，h 1h 2＝r 2r 1，又S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，所以r 1r 2＝32，从而V 1V 2＝πr 21h 1πr 22h 2＝r 21r 22·h 1h 2＝r 21r 22·r 2r 1＝r 1r 2＝32. 答案：329．已知三棱锥O —ABC 中，∠BOC ＝90°，OA ⊥平面BOC ，其中AB ＝AC ＝7，BC ＝11，O ，A ，B ，C 四点均在球S 的表面上，则球S 的表面积为________．解析：易知以O 点为顶点的三条棱两两垂直，则球S 即为以O 为顶点，以OA ，OB ，OC 为棱的长方体的外接球，所以2R ＝OA 2＋OB 2＋OC 2＝12×OA 2＋OB 2＋OC 2＝522(R 为球S 的半径)，所以R ＝524，表面积S ＝4πR 2＝25π2. 答案：25π2三、解答题10．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的表面积S.解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为 3.所以V＝1×1×3＝ 3.(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋2 3.11．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝5，BB 1＝BC ＝6，D ，E 分别是AA 1和B 1C 的中点．(1)求证：DE ∥平面ABC ； (2)求三棱锥E —BCD 的体积． 解：(1)证明：如图，取BC 的中点G ，连接AG ，EG ，因为E 是B 1C 的中点，所以EG ∥BB 1，且EG ＝12BB 1. 由题意知，AA 1綊BB 1.而D 是AA 1的中点，所以EG 綊AD . 所以四边形EGAD 是平行四边形． 所以ED ∥AG .又DE ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以DE ∥平面ABC .(2)因为AD ∥BB 1，所以AD ∥平面BCE . 所以V E —BCD ＝V D —BCE ＝V A —BCE ＝V E —ABC . 由(1)知，DE ∥平面ABC ，所以V E —BCD ＝V E —ABC ＝V D —ABC ＝13AD ·12BC ·AG ＝16×3×6×4＝12.1．(2014·湖南卷)一块石材表示的几何体的三视图如下图所示．将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：由三视图可得原石材为如右图所示的直三棱柱A 1B 1C 1—ABC ，且AB ＝8，BC ＝6，BB 1＝12. 若要得到半径最大的球，则此球与平面A 1B 1BA ，BCC 1B 1，ACC 1A 1相切，故此时球的半径与△ABC 内切圆的半径相等，故半径r ＝6＋8－102＝2.故选B.答案：B2．(2014·湖北卷)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( )A.227B.258C.15750D.355113解析：借助圆锥的体积公式，底面圆的面积、周长公式求解．设圆锥的底面圆半径为r ，则圆锥的底面圆周长L ＝2πr ，所以圆锥底面圆的半径r ＝L 2π，则圆锥的体积为V ＝13Sh ＝13πr 2h ＝13π·L 24π2h ＝112πL 2h .又V ≈275L 2h ，所以112πL 2h ≈275L 2h ，解得π≈258.答案：B3．如图，在三棱锥D —ABC 中，已知BC ⊥AD ，BC ＝2，AD ＝6，AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10，则三棱锥D —ABC 的体积的最大值是________．题图 答图解析：由题意知，线段AB ＋BD 与线段AC ＋CD 的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 相互垂直．设d 为AD 到BC 的距离． 则V D —ABC ＝AD ·BC ×d ×12×13＝2d ，当d 最大时，V D —ABC 体积最大， ∵AB ＋BD ＝AC ＋CD ＝10， ∴当AB ＝BD ＝AC ＝CD ＝5时，d 有最大值42－1＝15.此时V ＝215. 答案：2154．如图所示，从三棱锥P —ABC 的顶点P 沿着三条侧棱PA ，PB ，PC 剪开成平面图形得到△P 1P 2P 3，且P 2P 1＝P 2P 3.(1)在三棱锥P —ABC 中，求证：PA ⊥BC .(2)若P 1P 2＝26，P 1P 3＝20，求三棱锥P —ABC 的体积． 解：(1)证明：由题设知A ，B ，C 分别是P 1P 3，P 1P 2，P 2P 3的中点，且P 2P 1＝P 2P 3. 从而PB ＝PC ，AB ＝AC ， 取BC 的中点D ，连AD ，PD ， 则AD ⊥BC ，PD ⊥BC ，AD ∩PD ＝D ， ∴BC ⊥平面PAD .∵PA ⊂平面PAD ，故PA ⊥BC . (2)由题设有AB ＝AC ＝12P 1P 2＝13，PA ＝P 1A ＝BC ＝10， PB ＝PC ＝P 1B ＝13，∴AD ＝PD ＝AB 2－BD 2＝12， 在等腰三角形DPA 中， 底边PA 上的高h ＝AD 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12PA 2＝119，∴S △DPA ＝12PA ·h ＝5119.又BC ⊥平面PAD ， ∴V P —ABC ＝V B —PDA ＋V C —PDA ＝13BD ·S △DPA ＋13DC ·S △PDA＝13BC ·S △PDA ＝13×10×5119＝503119.。
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课时作业45 空间几何体的表面积与体积一、选择题1．以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴，将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( )A ．2πB ．πC ．2D ．1解析：以边长为1的正方形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的圆柱的底面半径为1，母线长为1.故侧面积为2πr ·l ＝2π·1·1＝2π.答案：A2．(2015·全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15解析：由三视图知，图中几何体为正方体中截去一个小的三棱锥，如图所示，设正方体边长为1，则截去三棱锥的体积V 截＝13×12×1×1×1＝16.∴V 截V 剩＝161－16＝15.3．如图所示，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1－ABC 1的体积为( )A.312B.34C.612D.64解析：在△ABC 中，BC 边上的高为32，即棱锥A －BB 1C 1的高为32，又S △BB 1C 1＝12，所以VB 1－ABC 1＝VA －BB 1C 1＝13×12×32＝312. 答案：A4．(2015·全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 ，若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：根据正视图与俯视图可知，该几何体是半个圆柱和一个半球的组合体．其表面积为2r ·2r ＋πr 2＋12(4πr 2)＋πr ·2r ＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.5．(2016·江西九江一模)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )A ．6＋42＋2 3B ．8＋42C ．6＋62D ．6＋22＋43解析：直观图是四棱锥P －ABCD ，如图所示，S △PAB ＝S △PAD ＝S △PDC ＝12×2×2＝2，S △PBC ＝12×22×22×sin60°＝23，S四边形ABCD ＝22×2＝42，因此所求棱锥的表面积为6＋42＋23.故选A.答案：A6．(2016·河南洛阳二测)已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝3，AC ＝3，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为334，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．16πC ．12πD.163π 解析：由题意可得，∠ABC ＝2π3，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积取最大值时，V D －ABC ＝13S △ABC ·h (h 为点D 到底面ABC 的距离)⇒334＝13·334·h ⇒h ＝3，设R为球O 的半径，则(3－R )2＝R 2－r 2⇒R ＝2.故球O 的表面积为4π·22＝16π.答案：B7．(2015·全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36πB ．64πC ．144πD ．256π解析：如图，由题意，V O －ABC ＝V C －OAB ＝13×12×r 2×h .由题意，AOB 所在平面为过球心的平面，故C 到平面OAB 的最大距离为r ，∴V max ＝16r 3＝36，解得r ＝6，则球O 的表面积S ＝4πr 2＝144π.答案：C 二、填空题8．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．解析：由题意可知，该六棱锥是正六棱锥，设该六棱锥的高为h ，则13×6×34×22×h＝23，解得h ＝1，底面正六边形的中心到其边的距离为3，故侧面等腰三角形底边上的高为（3）2＋1＝2，故该六棱锥的侧面积为12×12×2＝12. 答案：129．已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)，其中正视图是直角梯形，侧视图和俯视图都是矩形，则这个几何体的体积是________cm 3.解析：由三视图可知，该几何体为一个放倒的四棱柱，以梯形为底，所以梯形面积为1×（1＋2）2＝32，四棱柱的高为1，所以该几何体的体积为32.答案：3210．(2016·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________．解析：设正四面体棱长为a ， 则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ， 因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.答案：63π11．(2015·江苏卷)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．解析：设新的底面半径为r ，则有13×πr 2×4＋πr 2×8＝13×π×52×4＋π×22×8，解得r＝7. 答案：71．(2015·全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)．米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )A ．14斛B ．22斛C ．36斛D ．66斛解析：设圆锥底面半径为r ，则有14·2πr ＝8，r ＝16π，所以米堆的体积为13×14π⎝ ⎛⎭⎪⎫16π2×5＝3203π，所以该堆米大约有3203×3×1.62≈22斛． 答案：B2．(2016·西安模拟)如图，已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 的截面面积为( )A.66πB.π3C.π6D.33π解析：平面ACD 1截球O 的截面为△ACD 1的内切圆．因为正方体的棱长为1，所以AC ＝CD 1＝AD 1＝2，所以内切圆的半径r ＝66，所以S ＝πr 2＝π×636＝16π.答案：C3．(2015·湖南卷)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89π B.169π C.4（2－1）3πD.12（2－1）3π解析：由三视图知，原工件为圆锥，体积为13×π×12×2＝2π3，要使长方体新工件的体积最大，则其下底在圆锥的底面内，上底面是平行于圆锥底面的截面的内接正方形，作轴截面，AB 为底面正方形的对角线，设长方体底面边长为a ，高为h ，则2aa＝2－h 2，h ＝2－2a ，长方体体积为V ＝a 2h ＝－2a 3＋2a 2，V ′＝－32a 2＋4a ，当0<a <223时，V ′>0，当a >223时，V ′<0，故函数V ＝a 2h ＝－2a 3＋2a 2在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，223上是增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫223，2上是减函数，故当a ＝223时，V 取最大值，最大值为－2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2233＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2232＝1627，故原工件的材料利用率为16272π3＝89π. 答案：A4．(2016·江西南昌一模)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，侧面BCC 1B 1的面积为2，则直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为________．解析：如图所示，设BC ，B 1C 1的中点分别为F ，E ，则知三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球的球心为线段EF 的中点O ，且BC ×EF ＝2. 设外接球的半径为R ，则R 2＝BF 2＋OF 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫BC 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫EF 22＝BC 2＋EF 24≥14×2BC ×EF ＝1，当且仅当BC ＝EF ＝2时取等号．所以直三棱柱ABC －A 1B 1C 1外接球表面积的最小值为4π×12＝4π. 答案：4π5．正四面体ABCD 的棱长为4，E 为棱BC 的中点，过E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为________．解析：将四面体ABCD补为正方体，如图所示，则正方体的外接球就是正四面体的外接球．设球心为O，面积最小的截面是与OE垂直的截面．由图可知，这个截面是底面正方形的外接圆，因为BC＝4，所以半径为2，其面积为π×22＝4π.答案：4π。