动力学2

F
r
90 , W 0 , 力不作功
0
功的单位： N.m 即 J
第2章
质点动力学
大学物理A教案
（2）变力的功
质点在变力 F 作用下沿曲线L从a 运动到b，计算力 F 所作的功。 在a、b上任取位移元dr， F 在 dr上的元功为(elementary work)
Ek 1

1 2
mv ;
Ek 2 0 O
1 2 mv
3
x
l
1 2
l
2
0
2
2 0
l
mvo


15 10
200 3.46 10 2 m 5 5.0 10
2
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质点动力学
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解2）用牛顿定理解
v0
O
f
Fx m
dv dt
dv dx dx dt
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例如：
v12 光滑
N
v1
1
m
2
v2
N′
M
N 不垂直于v 1 N 不垂直于v 2
WN 0
WN 0
Nv 12 , 即 N d r12
W对 WN WN 0
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结论：一对相互作用力的功只决定于两质点
W W1 W2 Wn
第2章
b
质点动力学
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W
a
b F2 d r21 F d r 1 12
a
说明：
1. W对 与参考系选取无关。 2.一对滑动摩擦力的功恒小于零。 （摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果） 3.在无相对位移或相对位移与一对力垂直的情况下， 一对力的功必为零。
若 F 在a、b上连续，则从a到b，变力
F
dr
L
b

F
dW F dr F cos dr
a
F cos
的总功
a
b
b
dWi
W dW
功的几何意义
F dr
a
力曲线下的面积
o
ra
dri
rb
r
元功dW: 即图中小矩形的面积
第2章
质点动力学
第2章
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作业 P56~64页
9，10，22 计 40，
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h
v
E0 双曲线 E0 抛物线 椭圆
E0
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§2.4 保守力的功 势能 机械能守恒律 1、保守力（conservative
force）
如果一对力的功与相对移动的路径无关，而只决定于相 互作用物体的始末相对位置，这样的力称为保守力。 ( 2) ( 2) 若 f 为保守力， 则： (1) f d r (1) f d r L1 L2 (2) (2) (1) dr m2 L2 f r L1 (1) m1 L=L1+L2
（1）重力的功 y
W mg
yb ya
dr
d y ( m g y b m g y a ) ya
y a
dr
G
b
x
从a到b重力的总功
W mg
y2 y1
d y m g y1 m g y 2
重力作功与 路径无关
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F
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例3
弹性力的功
m o x1 m
质点在弹力作用下, 从a 到 b , 计算弹 力的功。
x b
在a、b上(x处)任取位移元 , dr上作用于质点的力F kxi ， 在 dr 上的元功 dr dxi F
b a
质点动能定理：
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W

b
a
1 1 2 2 F dr mvb mva Ekb Eka 2 2
—— 质点动能定理 功是过程量，而动能是状态量。 动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系，动能也 与参考系有关。
第2章
质点动力学
大学物理A教案
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F
v
讨论：P一定的机器， v ，F , v ; F
故很多机器都有变速箱装置。
② 功和能的值不能突变，突变就意味着无穷大的 功率存在；而实际上是不存在无穷大的功率的。
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（0731）如图所示，木块m沿固定的光滑斜面下滑， 当下降h高度时，重力做功的瞬时功率是
解：OP上任取位移元 d r ， d r 上
y P
R
作用于质点的力为
d r d x i d yj 元功： F d r F0 xdx F0 ydy 总功： W F d r
0 2R
F F0 x i F0 yj
O
x
F0 x d x
0

0
F0 y d y 2F R 2 0
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（3）合力的功
物体受几个力作用时，合力的功
W


F dr
L

L
F F2 Fn dr 1
L

L
F dr F2 dr Fn dr 1
a x2
x
dW F dr k xi dxi k xdx
从a到b, 弹力的总功
W dW k
x2
xdx
1 2
x1
kx1
2
1 2
kx2
2
弹力作功也 与路径无关
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例： 如图 M=2kg , k =200Nm-1 , S=0.2m , g ≈ 10m·-2 s
间的相对位移。
注意：这意味着若要计算物体之间一对相互作用力作
的功，只需将其中一个物体看成静止，只计算另一个 物体受力作的功。 如计算重力 mg mg 及其反作用 mg 力作的功则 只需将地球 看成静止计 等效 mg 算重力mg mg mg 对物体m作 M地 M地 M地 的功。
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不计轮、绳质量和摩擦,弹簧最初为自然长度，
缓慢下拉, 则 WF = ?
解: 用 F 将绳端下拉0. 2 m , 物体
M将上升多高?
kx0 Mg x0 0.1m S 0.2m
k
M
S
F
得
弹簧伸长 0.1 m
物体上升 0.1 m
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缓慢下拉:每时刻物体处于平衡态 k x (0<x≤0.1m) 前0.1m为变力 F= k x0 =Mg

F dr
L
L
F
a
dW
ˆ ˆ ˆ ( Fn n F ) ds
L
W S
W

L
F ds
如 ： 摩 擦 力 的 功 的 计 算
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例1： 一质点做圆周运动，有一力 F F0 x i yj 作用于 质点，在质点由原点至P(0，2R)点过程中，力 F 作的功 A = ？
0.1
(0.1<x≤0.2m) 后0.1m为恒力
0.2
W
kxdx
0 1 2 0.1
Mgdx
0.2
kx |0
2
0.1
Mgx |0.1
k
M
3 J
S
F
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2、质点的动能定理(theorem of kinetic energy)
质点的动能：
Ek 1 2 mv
m
h θ
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例2
重力的功
质点在重力作用下, 沿曲线从a 到b , 计算重力的功。 y1 本例中, 虽然重力是恒力, 但由于 y2 质点运动的路径是曲线, 需按变力 作功计算. 在a、b上任取位移元 dr ,重力 G 在 dr上的元功为 dW G dr mg j (dxi dy j ) mgdy
2
p
2
单位：J
2m
问题：外力对物体作功，对物体运动
状态的改变带来什么结果？
dr
v
va
b
F
vb
a b b vb dv dr W F dr m dr m dv a a va dt dt v 1 1 2 2 mv dv mvb mva v 2 2 即：合外力对质点所作的功等于质点动能的增量
L

L
L
上述积分是线积分，一般与路径有关。所以
功是一个过程量
如： 重 力 得 功 的 计 算
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平面自然坐标系中的功：

F
ˆ Fn n
ˆ n
ˆ
ˆ ˆ F ( s ) F Fn n ˆ F ˆ dr ds ds
W
b
S+
设一质点沿曲线L运动， 受变力 F (s )
L
即：合力的功等于各分力的功的代数和。 *(4) 一对相互作用力的功 F1 F2 dW dW1 dW2 F1 dr1 F2 dr2 F1 dr1 F1 dr2 F1 d (r1 r2 ) F1 dr12 m2 dr12是 m1 相对 的位移. 当F1与dr12相垂直时, dW 0, 或dr12 0 时, dW 0
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§2.3 力的空间积累效应
1、功(work) 功是能量转换的量度；是力对空间的积累效应 （1）恒力的功
大小方向都不变的力叫恒力.
W F cos r F r
功是标量，但有正负。
0 0 90 , W 0 , 力作正功 0 0 90 180 , W 0 , 力作负功
例：一个质量15g的子弹，以200米/秒的速度射入一固定
的木板内，如阻力与射入木板的深度成正比，即 3 f x 且 5.0 10 N / cm 求子弹射入木板的深 度。 已知： f x
v0
O
f
m X
5.0 10 N / cm
3
m=15g
v0 200m / s

(1)
f d r
f d r
(2)
L1
f dr 0
L2
（此式也可作为 保守力的定义）
L
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非保守力：
作功与路径有关的力称为非保守力。 例如： ▲ 摩擦力（耗散力）： 一对滑动摩擦力作功恒为负； ▲ 爆炸力：作功为正。
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求：
l =？
x
l

l
W
Fx dx
l
解1）：以m为研究对象， 建立坐标系ox， 设射入深度为 l
1
xdx
0
l2
2
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W

l
Fx dx
l
xdx 2 l
0
1
2
由动能定理：
v0
2 0
f
m X
W Ek 2 Ek 1
第2章
质点动力学
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第2章
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功和能是物理学中两个重要概念，贯穿了整个 物理学各章节中，功是力对空间的积累效应。质点 的任何运动问题从原则上讲都可以应用牛顿运动定 律来研究，然而当问题比较复杂、涉及到物体的相 互作用是多方面的，特别当某些物体相互作用不是 很明显时，牛顿定律遇到困难，而用功能关系很容 易解决。更重要的是在今后研究机械运动与非机械 运动之间的相互转化时，必须应用作为各种形态运 动普遍量度的能量概念。
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在直角坐标系中功： 因为 F Fx i Fy j Fz k dr dx i dy j dz k
所以
W

F dr ( Fx i Fy j Fz k ) (dxi dyj dzk ) ( Fx dx Fy dy Fz dz )
(表征作功快慢程度的物理量) (5) 功率(power) 单位时间内力所作的功
平均功率：
P
W t
W t
单位： W = J/s
dW dt
瞬时功率： P lim
t 0
P
dW dt

F dr dt
F v
瞬时功率等于力和速度的标积。
Байду номын сангаасP F v Fv cos
m
x m
X
x
l
l 0
mv
dv dx
两边积分：

0

x dx
1 2

v0
mv dv

l
2

1 2
mv
2 0
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l
1 2
l
mv
2

1 2
mv
2 0
2 o
v0
O
m X

3

15 10
200
5
2
5.0 10
2
l
3.46 10 m