2013广州学而思集训队选拔考试试题

证明： n 个数 a 1 ， a 2 ， a 3 ，
， a n 除以 n 的余数必然两两不同，假设不
⑵ 5 个点仅有三点共线，有两种情况： ⅰ 3 个点共线，另外 2 个点与这 3 个点都不共线，那么一共可以作出 1 1 2 3 8 条相异的直线； 3 ⅱ 个点共线，另外 2 个点与这 3 个点中的一个共线，那么一共可以作 出 1 1 2 2 6 条相异的直线； ⑶ 5 个点仅有 4 个点共线，共可以作出 1 4 5 条相异的直线； ⑷ 5 个点都共线，能作出 1 条相异的直线。
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然， 那么存在 i, j 1 i j n ， 有 a i ，a j 除以 n 的余数相同， 即 n a j i ， 又因为 a, n 1 ，故 n j i ，但 0 j i n 1 ，矛盾；于是 a 1 ， a 2 ， a 3 ， ， a n 这 n 个数除以 n 的余数为 0 ，1 ， 2 ， ， n 1 的一个排列，其中必有 且仅有一个 k 1 k n ，使得 ak 除以 n 的余数等于 1.
a 2a
2 b 4 b 若 b 0 ，那么 a 0 ，当 a 2 时，原式 2 x b 1 x 要为单项式，b 1
解： b 1 x 1 x x x ， a b x x x x 1，
的整数解的个数有多少个？
k 2 1 0 1 k 1 2 解：由条件得 k 2k 1 即 k 1 ，易知 m 0 ，故不等式组的解为 m m 2 k 1 k 1
m k 1 x k 1 ，等价于 k 1 x k 1 ，整数解的个数有 2 个。 m
FA, FB, FC ， G 为 FB 与 EC 的交点．已知 S△ AEF 39 ， S△EFG 9 ， S△FGC 45 ．那么，
可以求得 S△BCG ．
D F G B
A B E
a 2 b2 c 2 4a 2b2
2
a4 b4 c4 2a2b2 2a2c2 2b2c2 4a2b2
解：
答 题
9.
2x 2 2x 3 2x 2 2x 5 2x 1 7 4 3 2 20 3 5 7 9 11 2 x 23 2 x 23 2 x 23 2 x 23 2 x 23 0 3 5 7 9 11
密 封 线 内 不 要
16.
x 表示不超过 x 的最大整数，x x x ，已知 x 12 2 ，a x ，b 1 x ．那么，
请计算 a3 b3 3ab 的值．
解：若 b 0 ，原式 2a 2 x x ，它要为单项式， a 1 ；
10.
a b c a b c a b c a b c ．
解：原式 a b c a b c a b c a b c
x 1 y 2z 0 ，解得 z 1 ， y 2 ，原方程组的解为 y 2 。 y 3z 1 z 1
密 封 线 内 不 要 答 题
ab ab a b 0 b 0且a 0， 解： a b a b a b 又由 a b 0 推得 b a ， ab 0 ab ab 0 a b ，最后 b a a b
密 封 线 内 不 要 答 题 17. 辩论队有 8 个队员，他们之间进行 4 对 4 的辩论赛练习，领队在练习前要制定一个比赛分 组表．为了保证有且只有一名队员在练习赛中全胜，那么应该进行几轮练习？说明理由并 给出一个分组方案．
姓名
解：首先 2 轮练习不能保证要求，因为第一轮练习中胜的 4 人必然有两人第二 轮在同一组中，那么这组要是胜了，这两人就都全胜了，不符要求。接下说明 3 轮可以，分组如下：
mx ≥ k 1 14. 已知关于 x 的不等式 k 1 x k 2k 1 的解为 x m ，则关于 x 的不等式组 x k 1 m
密 封 线 内 不 要

2

2
1 轮 1, 2,3, 4 2 轮 1, 2,5, 6
5, 6, 7,8 3, 4, 7,8 2, 4,6,8
x 1 2 3 4 5 的结果为
．
x x

x 1 即 1 x 1 ，
原式 1 x 2 3 4 5
x 1 3 4 5 2 x 4 5
6.
解：若缺的两个小正方形不连在一起，那么有 3 3 9 种补法，若缺的两个小 正方形连在一起，那么有 3 3 6 种补法，一共就有 9 6 15 种补法。
a b c2
2

a b c
2 2
a 2 b2 c 2 2ab a 2 b2 c 2 2ab
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四、解答题（本题共 48 分，每小题 8 分） 13. 已知 a 2 xa b axa b b 1 x2a b 为单项式，求 a, b ．
2013 学而思学校·初中一年级
秋季集训队及联赛班选拔考试试卷
1．本试卷共 4 页，共四道大题，18 道小题，满分 100 分．考试时间 90 分钟． 2．在试卷上相应位置认真填写学校名称、姓名． 3．试题答案一律书写在试卷上相应位置． 4．作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷和草稿纸一并交回． 一、填空题（本题共 32 分，每小题 4 分） 考 生 须 知 1. 已知 a b a b ， a b a b ， ab ab 0 ，请用“ ”或“ ≤ ”把 a, b, a, b 连接起 来： ． 4.
40 1 376 3 42 27 9 243
5. 把一个正方体纸盒适当的 7 条棱剪开并铺平得到一个由 6 个小正方形组成的平面展开图， 下图已经给出其中 4 个小正方形，要求补回两个小正方形使成为上述展开图．那么，一共 有 种补法．
3
密 封 线 内 不 要
姓名
2. 已知 x 2 ≤ x ，则化简
2 解： x x
2
解：由图能看出规律：后一个图形的边数是前一个的 4 倍，且后一个图形增加 的小三角形面积是前一个图形增加的小三角形的 1/9，于是第二个图形面积为 1 4 4 1 1 40 1 3 ，第三个图形的面积为 3 4 ，第四个图形的面积为 9 3 3 9 9 27
C
a4 b4 c4 2a2b2 2a 2c2 2b2c2
E A
解： S
A B F
S
BCG
S
BEG
6,S
1 SA B C D S 2 5S BEG 30
C D F

S
S ， C D E
AEF
S
BEG
S
CFG
,故
二、计算题（本题共 10 分，每小题 5 分）
10 ①+②得 1 3 2 a20 a18
a6 a4 a2 a0
故原式
1 310 310 3 2 2 2
座位号
如下图，第 1 个图形是一个面积为 1 的正三角形，后面每个图形都是把前一图形的每条线 段三等分后，以中间线段为边往外作正三角形并擦掉中间线段得到的，那么第 4 个图形的 面积为 ． …
分解因式 a6 b6
3 3 3 3 解：原式 a b a b
答 题
．
班级
x 25
3 x
3. 已知 x2 x 1 值为


10
a20 x20 a19 x19 a18 x18
a2 x 2 a1 x a0 ，则 a2 a4 a6
1 2 8 0.4 4.3 1.5 1 3 210 4 3 ． 12 23 3 45 0.108 407 12013 2
三、简答题（本题共 10 分，每小题 5 分） 2x 2 2x 3 2x 2 2x 5 2x 1 18 ． 11. 解方程： 3 5 7 9 11
2 2 2 2 原式 a b a b ab 3ab a b 2ab 1
座位号
或 2 b 4 b ，也是 b 1 ；当 a 2 时， 1 ， 2 项都存在且不能合并，同时 1 ，
a b 1 0 3 项也不能合并，原式要为单项式，只能 2 ， 3 项抵消，即 ，解 a b 2a b a 2 a 1 a 2 得 （舍去） ；综上 或 。 b 1 b 0 b 1
2 x 23
1 1 1 1 1 0 3 5 7 9 11
2 x 23 0 23 x 2
答 题
x 2 y 3z 2 12. 解方程组： x y 2 z 1 ． 2 x y 3z 1
解：①+③得 3x 3 y 6 z 3 ，即 x y 2 z 1 ，减去②得 x 1 ，代入②、③得
3 轮 1,3,5,7
上述分组不管比赛过程如何，最后总能保证有且只有一人全胜。
答 题
班级
15. 平面上有 5 个相异的点，把过任意两点的直线作出，那么一共作出了多少条相异的直线？
2 解0 条相异的直线；
18. 已知正整数 a 与 n 互质 n 1 ．求证，在不超过 n 的自然数中，有且只有一个 k ，使得 ak 除 以 n 的余数等于 1 ．
对应着原方程的一组整数解， 故原方程的整数解组数即是 x y 能取整数的个数， 就是 2 23 16
再令 x 1 代入得
3 a20 a19 a18
10
a2 a1 a0
第1页 共6页
…………………………………… ②
8.
如图， E 为正方形 ABCD 内部一点，连接 EA, EB, EC, ED ， F 为线段 ED 上一点，连接 第2页 共6页
a18 的
a b a 2 ab b2 a b a 2 ab b2 a b a b a 2 ab b2 a 2 ab b2
7. 方程 x2 y 2 2013 的整数解一共有 组．
密 封 线 内 不 要
25 2 13 3 1 10 3 5 3 2 2 解：原式 5 4 3 . . 4 3 2 1 9 0.108 407 2 10 26 1 10 3 9 2 1 556 108 407 9 999 4 1 210 9 512 9 1
．
解：易知 a20 1 ， a0 1 令 x 1 代入得
1 a20 a19 a18
学校
a2 a1 a0
x y 也确定， x y 取定之后， 解： 原方程变为 x y x y 2013 3 11 61 ，
…………………………………… ①