分组分解法(教学课件)
分组分解法
9.16 分组分解法教学目标1. 理解分组分解法的意义；2. 进一步理解因式分解的意义；3. 初步掌握分组后能直接提公因式分解因式和分组后利用公式法分解因式的方法；4. 尝试中获得合作的成功，感受一下成功的喜悦；教学重点、难点1. 掌握分组分解法的分组原则；2. 如何分组才能达到因式分解的目的；3. 选择分组方法。
教学过程（一）复习把下列多项式因式分解(1)2x 2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)3-2(x+y) 2+（x+y ）（二）新课讲解1．引入提问：如何将多项式y x y x x 4423-+-因式分解？分析：很显然，多项式y x y x x 4423-+-中既没有公因式，也不好用公式法。
怎么办呢？由于)(444),(223y x y x y x x y x x -=--=-,而))(4()(4)(22y x x y x y x x -+=-+-.这样就有：))(4()(4)()44()(44222323y x x y x y x x y x y x x y x y x x -+=-+-=-+-=-+- 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
例1. 分解因式： y x y x x 4423-+-方法一： ))(4()(4)()44()(44222323y x x y x y x x y x y x x yx y x x -+=-+-=-+-=-+-（根据次数分组）说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式，及分组的重点是为了构造公因式。
提问：这道题是根据什么原则分组的？还有其他不同的分组方式吗？学生分组操作变式：分解因式： x y y x x 4423-+- ))(2)(2())(4()(4)()(4)()44()(442222323y x x x y x x y x y x x x y y x x x y y x x xy y x x -+-=--=---=-+-=-+-=-+-（分解后还可以利用平方差再次分解）分组原则：分组后可以重新构造出公因式，四项式进行两两分组的话，可以利用次数分组，也可以利用系数比例分组。
分组分解法因式分解课件
在分组后，需要对每个组内的项式进行因式分解。常用的因式分解技巧包括提公 因式法、十字相乘法、公式法等。根据不同组内项式的特征，选择合适的因式分 解技巧，并灵活运用，以获得最佳的分解结果。
问题三：如何确定分组分解法的正确性？
总结词
确定分组分解法的正确性是确保因式分解结果准确无误的重要步骤。
详细描述
03
原理概述
分组分解法是一种将多项 式分组，然后对每组进行 因式分解的方法。
分组依据
分组依据是多项式的项数 和各项系数的特征，通常 是将系数相近或具有某种 关系的项分为一组。
分解步骤
分组后，对每组进行因式 分解，最后将各组的因式 结果组合起来。
原理应用示例
示例1
将多项式$2x^2 + 3x - 5$分组为$(2x^2 - 5) + 3x$，然后 分别对$2x^2 - 5$和$3x$进行因式分解，得到结果$(2x + 5)(x - 1) + 3x = 2x^2 + x - 5$。
特点
分组分解法适用于多项式的因式 分解，尤其在处理复杂的多项式 时具有高效性和实用性。
分组分解法的应用场景
多项式的因式分解
适用于任何可以分组提取公因式的多 项式，如二次、三次、四次多项式等 。
代数方程的求解
数学竞赛和数学教育
分组分解法是数学竞赛和中学数学教 育中的重要内容，用于提高学生的数 学思维和解题能力。
06 分组分解法的总结与展望
总结
定义
分组分解法是一种将多项式分 组并提取公因式进行因式分解
的方法。
适用范围
适用于具有明显分组特征的多 项式，如三项一组、二项一组 等。
步骤
首先观察多项式的项数和系数 特点，然后选择合适的分组方 式，提取公因式进行因式分解 。
《分组分解法》课件
分组分解法的原理
原理概述
分组分解法的原理基于代数的基本性 质，通过分组和因式分解，将复杂的 多项式简化为易于处理的形式。
原理应用
在数学中，分组分解法广泛应用于解 决代数方程、不等式和函数问题。通 过分组分解，可以简化多项式的计算 过程，提高解题效率。
分组分解法的应用场景
01
02
03
代数方程
在解代数方程时，分组分 解法可以用于简化方程左 侧的多项式，使其更容易 进行因式分解或化简。
要点一
总结词
分组分解法在求解矩阵的逆时也具有重要应用，能够帮助 我们快速找到矩阵的逆。
要点二
详细描述
矩阵的逆是线性代数中一个重要的概念，但在某些情况下 ，直接求逆的计算量非常大。分组分解法提供了一种有效 的替代方法，通过将原矩阵分解为若干个子矩阵，然后分 别求出这些子矩阵的逆，最后再组合起来得到原矩阵的逆 。这种方法在处理大型矩阵时特别有用，能够大大减少计 算时间和计算机存储空间的使用。
求解每个子问题，得到每个因式或公 因式的值。
合并子问题的解
将各个子问题的解合并起来，得到原多项式的分组分解结果 。
检查合并后的结果是否正确，确保所有项都已包含在内，且 没有重复或遗漏。
03 分组分解法的实例分析
实例一：求解线性方程组
总结词
分组分解法在求解线性方程组中具有广 泛应用，能够简化计算过程，提高解题 效率。
实例三：求解特征值和特征向量
总结词
分组分解法在求解特征值和特征向量时同样适用，能 够简化计算过程并提高准确性。
详细描述
特征值和特征向量是矩阵分析中的重要概念，它们在许 多实际问题中都有应用。然而，求解特征值和特征向量 有时会面临计算量大、精度要求高等挑战。分组分解法 提供了一种有效的解决方案，通过将原矩阵分解为若干 个子矩阵，然后分别求出这些子矩阵的特征值和特征向 量，最后再组合起来得到原矩阵的特征值和特征向量。 这种方法能够大大简化计算过程，提高求解的准确性和 效率。
因式分解(分组分解法)
（一）分组后能直接提公因式
复习提问
1.什么叫做因式分解？ 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种 式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做 把这个多项式分解因式。 2.回想我们已经学过那些分解因式的方法？ 提供因式法，公式法——平方差公式， 完全平方公式
引例
(a+b)(m+n)
例２把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四项按前两项与后两项分成
两组，并使两组的项都按x的降幂排列，然后从两
组分别提出公因式2a与-b，这时，另一个因式正好
都是x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
解： 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(5by-bx)
•
五、一个人要实现自己的梦想，最重要的是要具备以下两个条件：勇气和行动。——俞敏洪
•
六、将相本无主，男儿当自强。——汪洙
•
七、我们活着不能与草木同腐，不能醉生梦死，枉度人生，要有所作为。——方志敏
•
八、当我真心在追寻著我的梦想时，每一天都是缤纷的，因为我知道每一个小时都是在实现梦想的一部分。——佚名
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(x-5y)(2a-b)
想一想
例１，例２种还有没有其他分组的方法；如果 有，因式分解的结果是不是一样。
例1解(2)：a2-ab+ac-bc 例2解(2)： 2ax-10ay+5by-bx
=(a2+ac)-(ab+bc)
整 am+an+bm+bn 因
人教版八年级数学上册《 因式分解之分组分解法》课件
【解析】原式=a2＋c2+2b2－2ab－2bc=(a2－2ab+b2)+(b2－2bc+c2) ∴(a－b)2+(b－c)2=0，即a－b=0且b－c=0，∴a=b=c， ∴△ABC是等边三角形．
指点迷津
最后让我们再次巩固运用知识的方法，以及对常出现的易错题型指 明一个方向——指点迷津
例1．利用分组分解法法分解因式 （1）a2－b2+ac+bc；（2）3ax+4by+4ay+3bx； 【点拨】 在使用分组分解法过程中,一定保证分组后，两个组之间能进一步分解因 式.（第1题）其中前两项使用平方差公式，分解为(a + b)(a－b)；后面两项分解为 c(a + b)，两组都有公因式(a + b)；（第2题）第一、四项组合，二、三项组合即可．
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月12日星期二2022/4/122022/4/122022/4/12 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/122022/4/122022/4/124/12/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/122022/4/12April 12, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
【解析】 （1）原式=(a2－b2)+(ac+bc)=(a + b)(a－b)+c (a + b)=(a +b)(a –b +c) （2）原式=(3ax+3bx)+(4by+4ay)=3x(a + b)+4y(b + a)=(a+b)(3x+4y)
9.6-4分组分解法(教学课件)
练习：因式分解
2、x 6xy 9 y 9 y 3x
2 2
x 6xy 9 y 3x 9 y
2 2
x 3y 3x 3y
2
,则
1.若
x 3 y x 3 y 3
小结:
如果一个多项式各项既没有公因式, 又不能直接运用公式,但把一个多项 式分组后各组都能分解因式,且在各 组分解后,各组之间又能继续分解因 式,那么这个多项式就可以用分组分 解法分解因式. 用分组分解法分解因式,一定要想想 分组后能否继续进行分解因式.
(3).x 3x 3x 9
3 2
x ( x 3) 3( x 3)
2
( x 3)(x 3)
2
典例讲析
例2：因式分解：⑴
x y ax ay
2 2
解:原式= ( x y)(x y) a( x y)
( x y)(x y a)
1.若 ,则
∴(a-3)2+(b+1)2=0
∴a=3,b=-1
练习3：因式分解
1、a b a b 1
2 2
2
2
2
a b 1 b 1
2 2 2 2
b 1a 1
b 1b 1a 1a 1
分解因式要分解到不能继续分解因 式为止.
典例讲析
例1：因式分解：⑵ 2ax 10ay 5by bx
解:原式= 2ax 10ay bx 5by
2a( x 5 y) b( x 5 y) ( x 5 y)(2a b)
用分组分解法分解因式,一定要想想 分组后能否继续进行分解因式.
练习1
初中数学因式分解-分组分解法
3 分组分解整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3．1 三步曲我们用上面的整式来说明如何分组分解.例1 分解因式：ax by bx ay --+.解 ax by bx ay --+=()()ax bx ay by -+- ［分为两组］=()()x a b y a b -+- ［“提”］=()()x y a b +- ［再“提”］一般地，分组分解大致分为三步：1．将原式的项适当分组；2．对每一组进行适当分组；3．将经过处理后的每一组当作一项，再采用“提”或“代”进行分解.一位高明的棋手，在下棋时，决不会只看一步，同样，在进行分组时，不仅要看到第二步，而且要看到三步.一个整式的项有许多种分组的方法，初学者往往需要经过尝试才能找到适当的分组方法，但是只要努力实践，多加练习，就会成为有经验，多加练习，就会成为有经验的“行家”.3．2 殊途同归分组的方法并不是唯一的，对于上面的整式ax by bx ay --+，也可以采用下面的做法： ax by bx ay --+=()()ax ay ax by +-+=()()a x y b x y +-+=()()x y a b +-.两种做法的效果是一样的，殊途同归！可以说，一种是按照x 与y 来分组（含x 的项在一组，含y 的项在另一组）；另一种是按a 与b 来分组.例2 分解因式：221x ax x ax a +++--.解法一 按字母x 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()()221x ax x ax a +++-+=()()()2111x a x a a +++-+=()()211a x x ++-解法二 按字母a 的幂来分组.221x ax x ax a +++--=()()221ax ax a x x +-++-=()()2211a x x x x +-++-=()()211a x x ++-.3．3 平均分配在例2中，原式的6项是平均分配的，或都要分成三组，每组两项；或者分成两组，每组三项.如果分组的目的是使第二步与第三步都有公因式可提，那么就必须平均分配. 例3 分解因式：3254222x x x x x --++-.解 6项可以分成三组，每组两项.我们把幂次相近的项放在一起，即3254222x x x x x --++-=()()()5432222x x x x x -+---=()()()42222x x x x x x -+---=()()4221x x x -+-.本例也可以将6项分为两组，每组三项，即将系数为1的放在一组，系数为－2的放在另一组，详细过程请读者自己完成.例4 分解因式：2222ac bd ad bc +--.解 2222ac bd ad bc +--整式ax by bx ay --+的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解.3.4瞄准公式如果在第二步或第三步中需要应用乘法公式，那么各组中的项数不一定相等，应当根据公式的特点来确定。
分组分解法、拆项法、待定系数法因式分解PPT幻灯片课件
因式分解的方法
基本方法
提取公因式 公式法
拓展提高
十字相乘 分组分解 以退为进 换元法、 配方法、拆项法、待定系数法
5
练习：因式分解 （1）x4+x3+x2+2 （2）2a2-7ab-22b2-5a+35b-3 （3）x2+xy-2y2+2x+7x-3
6
x2 7x 6
你能用以上某种方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-x2-x-2 （2）4X4+8X3-X2-8X-3
3
请问：还记得用什么方法做这道题吗?
若代数式6x2+mx-6能被3x-2整除， 试确定m的值。
你能用上述方法把下列式子因式分解吗?
（1）x3-3x-2 （2）x2+2xy+y2+x+y-2 （3）3x²＋5xy－2y²＋x＋9y－4
因式分解1Fra bibliotek请问：用什么方法把下列式子因式分解? （1） 7x2 3y xy 21x
（2） 4x2 a2 6a 9
你能用类似方法把下列式子因式分解吗?
（1）(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc
（2）a3-(b2+bc+c2)a+bc(b+c)
2
请问：能用几种方法把下列式子因式分解?
分组分解法ppt课件
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
练习5: ab - 1 + a - b
解原式 = a(b + 1) - (b + 1) = (b + 1)(a - 1)
解原式 = b(a - 1) + (a - 1) = (a - 1)(b + 1)
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
因式分解
(3) -x3y3-x2y2+xy
(4) -12a2m+1bm+2+20am+1b2m+4
解原式=-xy(x2y2+xy-1) 解原式=-4am+1bm+2(3am5bm+2)
因式分解时，应首先考虑能否提取
公因式，能提取公因式的，要先提取公
因式而后考虑继续分解，公因式的符号
一般应与多项式的首项的符号相同。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
因式分解
分析
在用分组分解法因式分解时，要注意分 组不能使一个多项式变为乘积形式，分 组的目的是分好的各组能提取各自的公 因式同时使各组提取公因式后剩下的多 项式又是各组的公因式，可以再提取， 从而使问题得到解决，上述规律可以通
七年级数学上册 9.16《分组分解法》课件
第二页，共三十页。
【注意】 (1)把有公因式的各项归为一组，并使组之间产生新的公因
式，这是正确分组的关键，因此，设计分组方案是否有效
要有预见性. (2)分组的方法不唯一，而合理地选择分组方案，会使 分解过程简单. (3)分组时要用到添括号法则，注意在添加带有“－”号的 括号时，括号内每项的符号都要改变. (4)实际上，分组只是为完成分解创造条件，并没有直 接达到(dádào)分解的目的．
例２ 把2ax-10ay+5by-bx分解(fēnjiě)因 分析式：把这个多项式的前两项与后两项分
成两组，然后从两组分别提出(tí chū)公因式
2a与-b，这时，另一个因式正好都是 x-5y，这样全式就可以提出公因式x-5y。
第八页，共三十页。
还有其他(qítā)分 组的方法吗？
解： 2ax-10ay+5by-bx ： 解法 二 (jiě fǎ)
=(2ax-10ay)+(5by-bx) 2ax-10ay+5by-bx
=(2ax-10ay)+(-bx +5by）=(2ax-bx)+(5by-10ay)
=2a(x-5y)-b(x- 5y)
=(2ax-bx)+(-10ay +5by）
=(x-5y)(2a-b)
=x(2a-b)-5y(2a-b)
= (2a-b)(x-5y)
am+bm+an-cm+bn-cn
=(am+bm-cm)+(an+bn-cn)
=m(a+b-c)+n(a+b-c)
9.16 分组分解法(同步课件)-2023-2024学年七年级数学上册同步精品课堂(沪教版)
总结归纳
多项式分解因式的一般步骤: 1. 如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式; 2. 如果各项没有公因式,那么可以尝试运用公式来分解; 3. 如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组来分解; 4. 分解因式,必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
口诀：一提 二套 三分 四检
例题5 (1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
=(x+y- 2)(x -y + 2) 故答案为: (x+y -2)(x- y + 2).
4．分解因式：a4 + 4b2c2 - a2b2 - 4a2c2. 分析 利用加法的结合律和交换律，把整式的第一项和第 三项，第四项和第二项分组，提取公因式后再利用公式. 解: 原式= (a4 - a2b2) -(4a2c2 - 4b2c2) = a2 (a2 - b2) - 4c2 (a2 - b2) = (a2 - b2)(a2 - 4c2) =(a + b)(a - b)(a + 2c)(a - 2c).
5.如果a+b=0，求a3 –2b3+ a2b –2ab2的值．
解：原式= a3 +a2b- (2b3 +2ab2 ) = a2 (a +b)- 2b2 (a +b ) = (a +b) ( a2 - 2b2 ) =0
6.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为
1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2. 解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2；
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2 ＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a) ＝(a＋2)2(a－2)2.
七年级同步第12讲：分组分解法-教师版
知识精讲
如何将多项式 am an bm bn 因式分解？ 分析：很显然，多项式 am an bm bn 中既没有公因式，也不好用公式法．怎么办呢？ 由于 am an a m n , bm bn b m n
而： a m n b m n m n a b ．这样就有：
am an bm bn am an bm bn a (m n) b(m n) m n a b
【点评】考查学生分组分解方法的运用以及十字相乘方法的运用能力，
注意先拆再重新分组．
【例 17】 已知三个连续奇数的平方和为 251，求这三个奇数．
【难度】★★★
【答案】 7、 9、 11． 【解析】设三个连续奇数最小的为
2k 1(k 0) 且 k 为整数，则由题意可得：
2
(2k 1) (2 k
2
3) (2 k
【例 5】 分解因式： 2ax 10ay 5by bx ． 【难度】★ 【答案】 (2 a b)( x 5 y) ． 【解析】原式 2a (x 5 y) b(x 5y)
(2 a b)( x 5 y) ． 【点评】考查学生分组分解方法的运用以及提取公因式的能力，注意符号的变化．
【例 6】 因式分解： 6k 2 6mn 9km 4kn ． 【难度】★ 【答案】 (3k 2n)(2 k 3m) ． 【解析】原式 3k(2k 3m) 2n(2 k 3m)
再
利用因式分解的思路求出方程的解．
6/ 14
七年级暑假班
随堂检测
【习题 1】 因式分解： （ 1） ac bc 3a 3b ；
（ 2） xy x y 1 、
【难度】★ 【答案】 （1） (a b)(c 3) ；（ 2） (x 1)( y 1) ． 【解析】（ 1）原式 c( a b ) 3(a b) (a b)(c 3) ；
【数学课件】分组分解法
1 1 x2 y2 1 ,2 , , x y 2
x
y ,
1 ( z x ), y
1 x 2 1 x 2 2x 5 1 1 , , , , x2 3 2x x y
21
整式有
。
分式有 。 2、当b ≠8 时，关于x的方程：bx – 8x = 2 的解是 2 x b 8
a b2 b a4 b2 b4 解；（1） b a a b2 a a4 a4 b2 a4 a7 4 2 4 b ab b
2
2
4
（2）
2a a a a a a
5、在括号内填上适当的代数式，使等式成立；
（1） （3）
1 ( ） xy 3x 2 y
3x
1 ( 2 ） ＝ 2 x y 2( x y ) ( x xy )
x
6、化简与计算： 2 2 a b2 （1） b a
2 2
b a
奇识图表：
式
2、本章必须掌握 5个概念、3个公式、1条性质
和1种方程的解法。
3、本章知识与前面哪一章联系最密切？ 用了哪几种方法？ 4、学习本章的方法：
一、知识图表:
分 式 的 基 本 性 质
分式的变号法则 约 分 分 式 的 运 算 加减 乘除
分式的 概念 分 式 方 程
4
（2）
2a a a 4a 3 a a a a 6
3 2 2
2 3 a 15 2 （3） a 3 3a a 9
（其中a = 2003）
7、解下列方程：