力学6[1].刚体力学2

转动正向 O
l
*C
d mgl J 2 dt mgl 2 令 J d 2
2
dt
P
（C点为质心）
2
24
dt 2
d 2 2 2 dt mgl J
转动正向
O
l
J转动惯量 T 2π mgl
2π
*C
J T 2π （C点为质心） mgl m cos( t ) 简谐振动
dΘ 旋进角速度：Ω dt
Ω d dL L sin L

M M Ω L si n J si n
O

M 当 90 时 ，Ω J
Ω
1

， Ω
34
▲ 地球转轴的旋进，岁差
随着地球自转轴
北 天 极
地球自转角动量
地球自转轴旋进
T = 25800年
的旋进，北天极方
此时角动量可在系统内部各刚体间传递， 而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。
20
ω
滑冰运动员的旋转
21
§5.8 单摆和复摆 一 单摆
动力学分析： 5 时， sin
M mgl sin mgl 2 d mgl J 2 dt d 2 g 2 dt l
O
F法
F切
细杆在水平力矩作用下作定轴转动
d
Fd J
1 2 细杆相对O点的转动惯量 J ml 3 1 质心切向加速度 aC切 rC l 2 质心切向运动方程 F F切 maC切
切向力为零 F切 0
F
P
J 2 d l mrc 3
打棒球 锤子
27
• 5.10 刚体的平衡
3g sin
比用转动定律简单！
l d 3g cos dt 2l
10
杆动能的另一种表达：科尼西定理
势能零点
2 l 1 l 1 0 mg sin m Jc 2 2 2 2 2 质心动能 绕过质心轴 1 2 转动动能 Jc 12 ml
A

FT
O
l
转 动 正 向 m
J ml mg
2
22
d g 2 dt l g 2 令 l 2 d 2 2 dt
2
A

FT
O
l
转 动 正 向 m
m cos( t )
l T 2 π / 2 π g
J ml mg
2
23
二 复摆 ( 5 ) 书P179 M l F M mgl sin d 2 J J 2
t
1
外z
2z
1z
刚体：
Lz J z
d t J z 2 J z1
19

t2 M 外z t1
——刚体定轴转动的角动量定理
刚体定轴转动的角动量守恒定律：
M外z
大小不变 0 ，则 J z const. 正、负不变
对刚体系， M外z = 0 时， J iz i const ， .
§5.5 定轴转动中的功能关系
一. 力矩的功 力矩的空间积累效应：
F
d

dW F cos (r d )
( F cos r ) d
M d
z
轴
·
r
x
力矩的功：
W
2 1
M d
1
二. 定轴转动动能定理
W
2 M 1
d
2 J 1
11
两个同样大小（R），同样质量（M）的球（或圆柱）， 一个空心对称（金），一个实心（银），外观上无差别， 怎样在不破坏外观的前提下区分出它们？
让它们滚起来！滚得快的是实心！
12
§5.6 刚体的无滑动滚动 瞬时转轴（补充） 1、平面平行运动 质心做平面运动＋绕过质心垂直轴做转动 只考虑圆柱，球等轴对称刚体的滚动。 2、无滑动滚动：任意时刻接触点P 瞬时静止
25
P
• §5.9 打击中心（center of percussion）
向左动 向右动 静止
质心 打击中心
质心 打击中心
质心 打击中心
在光滑的水平细杆上悬挂一金属棒，用锤子敲击下部，观察其运动
26
• 例 以水平力F打击悬挂在O点的长l的匀质细杆，
打击点为P。若打击点选择合适，则打击过程中 轴对细杆的切向力F切为0，该点称为打击中心。 求打击中心到轴的距离d。
d d dt

2 J 1
1 1 2 2 d J 2 J 1 2 2
1 2 （ Ek ） 令转动动能： E k J 2 （飞轮储能）
1 1 2 2 （可证： J mi vi ） 书P178 2 2 刚体定轴转动 W Ek 2 Ek1 动能定理：
15
绕瞬时转轴的转动定理的形式？ 虽然p点瞬时静止，但有加速度，所以除了 力矩Mp外，还应考虑惯性力矩。
惯性力作用在质心上，方向与p点的加速度 方向相反。 下面证明：对于无滑动滚动的轴对称刚体， 接触点p的加速度沿过p点的半径方向，因此， 关于过p点的转轴，惯性力矩等于零。 轴对称刚体，绕瞬时转轴的转动定理：
▲祖冲之（公元429
— 500）编《大明历》最先
将岁差引入历法：391年有144个闰月。
37
刚体定轴转动与质点一维运动的对比
质点一维运动
位移
刚体定轴转动
x 角位移 d dx v 速度 角速度 dt d d 2 2 dt dv d x 加速度 角加速度 2 a 2 dt dt 转动惯量 J r 2dmdt dt m 质量 力 力矩 F M rF 转动定律 F ma 运动定律 M J 动量 p mv质心 p mv 动量 角动量 Li J Lr p 角动量 t2 t2 动量定理 t1 Fdt mv 2 mv1 角动量定理 t1 Mdt J2 J1 动量守恒定律 F 0 时 角动量守恒定律
向不断改变。 太阳
北极星 F1
L M
（F1>F2 ）
F2
C1

赤道平面 C2

23o 27
黄道平面
地球
3000年前 小熊座 现在 小熊座 12000年后 天琴座 （织女）
地轴
35
分点每年在黄
道上西移50.2
地轴 旋进 春分点
旋进周期25800年
赤道面

北半球
南半球 西
黄道面
东
秋分点
【思考】下一时刻P点位置？

C
ac
无滑动滚动条件：
R p
vc
vC R aC R
13
【例】两个质量和半径 都相同，但转动惯量不 同的柱体，在斜面上作 无滑动滚动，哪个滚得 快？
C R f
mg
y
x
mg sin f maC 质心运动定理 Rf JC 过质心轴转动定理 aC R 纯滚动条件（运动学条件） mgR sin mR 2 转动惯量小的滚得快！ J

太阳
太阳年（回归年）： 太阳由春分秋分春分 恒星年（时间长）： 地球绕太阳一周的时间
岁差 （precession）
36
岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒
我国古代已发现了岁差：
▲ 前汉（公元前206 ▲晋朝（公元265
— 23） 刘歆发现岁差。
虞喜最先确定了岁差： — 316）
每50年差1度（约72/年） （精确值为 50.2/年）

关于瞬转轴列转动定理重解：
mgR sin Jp
J p JC mR mgR sin 2 JC mR
2
简单多了！
18
§5.7 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
讨论力矩对时间的积累效应。 质点系： t2 dL 对点： M 外 ，t M 外 d t L2 L1 1 dt 对轴： t 2 M d t L L
Mp Jp
J p : 关于过p点转轴的转动惯量
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证明：
无滑动滚动：vpt vC , apt aC a p aC apt apn aC aC apn ac C a pn
按切、法向分解：a a a p pt pn
28
在某一时刻，刚体静止。 若刚体所受外力之和为零，则刚体的质心不动。 若刚体所受外力矩之和为零，则刚体无转动。
刚体的平衡条件
Fi 0 i ri Fi 0 i
29
30
§5.11 旋进 （进动）
旋进：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个 轴转动的现象。如玩具陀螺的运动：
3 g sin l
6
3、求转轴受力
（1）Nn 平动：质心运动定理
Nn mg sin man
1 an l 2
2
l 2
5 N n mg sin 2
7
N （2） t 转动：关于质心轴列转动定理
MC JC , C O
2
三. 刚体的重力势能
Δ mi C× hC hi
Ep= 0
E p mi ghi
mi hi mg
m
mghC
四. 应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能
守恒定律仍成立。
3
【例】转轴光滑，初态静止，求下摆到
角时的角加速度，角速度，转轴受力。
4
解：刚体定轴转动