函数的单调性

那能说明函数 f(x) x ，在区间 (,0]上是减函数吗？
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如果函数 y f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函 数 y f(x) 在这一区间具有严格的单调性。区间D叫做 y f(x) 的单调区间。
例一
下图是定义在区间 [5,5]上的函数 y f(x) ，根据图象说 出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还
V1 ,V2 是定义域
(0,)
上的任意 取值 变形
两个实数 ，且 V1 V2 ，则
p(V1 ) p(V2 )
作差 由 V1 , V2
k k V V k 2 1 V1 V2 V2V1
(0,) ，得
V1V2 0
由 V1 V2 ，得 V2 V1 0 又 即
k 0 ，于是
是减函数？
解：函数
y f(x)
[5,2)，
的单调区间有
[2,1) ，[1, 3) ， [3, 5] .
其中 y f(x) 在区间 [5,2) ，[1, 3) 上是减函数；
[3, 5] 上是增函数. 在区间[2,1) ，
注：单调区间的写法
一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能 用“ ”，而应该用“和”或“,”连接; 区间端点的开或者闭没有严格的规定,习惯上若函数在 区间端点有意义，则写成闭区间；若没有意义，则必须
也随着增大”
一般地,设函数 f(x)的定义域为I:
不能用特殊 值代替
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的 值 x1 , x2 ，当 x1 x2 时,都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ,那么就说 函数 f(x) 在区间D上是增函数。
D是定义 域的子 集
一般地，设函数 f(x) 的定义域为I: 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 的值 x1 , x2 ，当 x1 x2 时， 都有 f ( x1 ) f ( x2 ) ，那么 就说函数 f(x) 在区间D上是减函数。
p k V
p(V1 ) p(V2 ) 0
定号
p(V1 ) p(V2 )
，V (0,) 是减函数。
所以，函数
判断
归纳：函数单调性的判断与证明
依据函数单调性的定义，证明函数单调性的步骤如下：
取值 在指定区间内任取 作差
f ( x1 ) f ( x2 ) ；
x1 , x2 ，且令 x1 x2 ；
注意图象的 “幕后作用”
判断（证明）函数单调性的方法总结 1. 图像法 性。 利用图象直观判断函数单调
2. 直接法 对于熟悉的函数，如一次函 数，二次函数，反比例函数，直接写出 它们的单调区间。 3. 定义法 利用函数增减性的定义证明 函数的单调性。
小结反思：
什么是增函数，减函数
求函数的单调区间
写成开区间;
单调性与区间紧密相关，对于一个函数，它在某个区 间上可以有单调性也可以没有单调性。要确定单调区 间，首先要确定定义域.
例二
k p (k为正常数） 告诉我们，对于 物理学的玻意耳定律 V
一定量的气体，当其体积V减小时，压强 p将增大，试用函数 的单调性证明之。
证明：根据单调性的定义，设
怎样用定义判断（证明）某些函数 的百度文库调性 ……
观察这两个函 数图象，它们 反映了相应函 数的哪些变化 规律呢？
观察一次函数
和二次函数
各
有怎样的变化趋势？
图表法表示 你发现 了什么？
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
…
16
9
4
1
0
1
4
9
16
…
f(x) 随着 如何描述函数 f(x) x 2 “随着x的增大，相应的 f(x) 减小”“随着x的增大，相应的
变形 化简变形，变形方向有利于判断
f ( x1 ) f ( x2 )
的符号，主要变形方法有：因式分解，配方，有理化等；
定号 对差进行判断，确定符号，通常情况下还需讨论 或再细分区间；
判断 判断函数究竟符合减函数还是增函数的定义，从
而得出结论。
1 画出反比例函数 y x 的图象
1. 定义域是什么？ 2. 定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结 论？