数学Ⅰ卷试题2020届江苏省南通市高三年级期中第一次模拟考试 数学试题含附加题

绝密★启用前
2020届江苏省南通市高三年级期中第一次模拟考试
数学Ⅰ卷
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位
．．．．．．
置上
．．．
1. 已知集合{|0}
U x x
=>，={|2}
A x x>，则
U
A= ▲．
2. 若复数(1i)(1i)
z a
=+-(i为虚数单位，a∈R)满足||2
z=，则a= ▲ ．
3. 某路口一红绿灯东西方向的红灯时间为45 s，黄灯时间为3 s，绿灯时间为60 s．从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为▲．
4. 在平面直角坐标系xOy中，若抛物线22(0)
x py p
=>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为▲．
5. 下面求2582018
++++的值的伪代码中，正整数m的最大值为▲ ．
I←2
S←0
While I＜m S←S＋I
I←I＋3 End While Print S
第5题7 9
8 5 7 7 7 7
9 1 3
第6题
6.如图是某学生8次考试成绩的茎叶图，则该学生8次考试成绩的标准差s = ▲ ．
7. 将函数()
π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =
对称，则ω的最小值为 ▲ ．
8. 两人约定：在某天一同去A 地，早上7点到8点之间在B 地会合，但先到达B 地者最多
在原地等待5分钟，如果没有见到对方则自己先行．设两人到达B 的时间是随机的、独立的、等可能的．那么，两人能够在当天一同去A 地概率是 ▲ ．
9. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，
且数列也为等差数列，则10a = ▲ ． 10. 设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若满足a 4 + 3a 11= 0，则
21
14
S S = ▲ ． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y kx =
被圆222
2310x y mx m +--+-=
截得的弦长是定值（与实数m 无关），则实数k 的值为 ▲ ．
12. 在△ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为 ▲ ． 13. 已知函数2210()0x
x mx x e f x e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，，
，，
若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值
范围是 ▲ ．
14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin sin sin 0A B A B λ++=，
且2a b c +=，则实数λ的取值范围是 ▲ ．
（第16题）
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）
在△ABC 中，A 为锐角，且3
sin 5
A =． （1）若2AC =，6
5BC =
，求AB 的长； （2）若()1
tan 3
A B -=-，求tan C 的值．
16．（本小题满分14分）
如图，在三棱锥P ABC -中，AC BC =，点D 在AB 上，点E 为AC 的中点，且BC //平面PDE ．
（1）求证：//DE 平面PBC ；
（2）若平面PCD ⊥平面ABC ，求证：平面PAB ⊥平面PCD ．
17．（本小题满分14分）
如图，设椭圆C ：x 2
a _x001F_
2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，离心率e ＝12，F 为椭圆右焦点．若椭圆上有一点P 在x 轴的上方，且PF ⊥x 轴，线段PF ＝32．
（1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆右焦点F 的直线（不经过P 点）与椭圆交于A ，B 两点，当APB ∠的平分线为PF 时，求直线AB 的方程．
18．（本小题满分16分）
某公司拟购买一块地皮建休闲公园，如图，从公园入口A 沿AB ，AC 方向修建两条小路， 休息亭P
与入口的距离为米（其中a 为正常数），过P 修建一条笔直的鹅卵石健身步 行带，步行带交两条小路于E 、F 处，已知045BAP ∠=，12
tan 5
CAB ∠=
． （1）设AE x =米，AF y =米，求y 关于x 的函数关系式及定义域； （2）试确定E ，F 的位置，使三条路围成的三角形AEF 地皮购价最低．
19．（本小题满分16分）
已知函数21()2ln (R)2f x x x ax a =+-∈.
(1)当3=a 时,求函数)(x f 的单调区间；
(2)若函数)(x f 有两个极值点21x x ，，且]10(1，∈x ,求证:2ln 22
3
)()(21-≥-x f x f ； (3)设ax x f x g ln )()(-=，对于任意)2,0(∈a 时,总存在]2,1[∈x ，使2)2()(-->a k x g 成立,求实数
k 的取值范围．
20．（本小题满分16分）
已知函数()e x
f x =，2
()g x mx =．
（1）若直线1y kx =+与()f x 的图象相切，求实数k 的值；
（2）设函数()()()h x f x g x =-，试讨论函数()h x 在(0)+∞，上的零点个数； （3）设12x x ∈R ，
，且12x x <，求证：122121
()()()()
2f x f x f x f x x x +->-．
A O
B O
C O
P O
F E。