广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18

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广东省2012届高三下学期考前模拟训练理科数学试题

2012届高三理科数学考前模拟训练一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知集合{}{}{}0,1,2,3,|2,,0,2,4A B x x a a A C ===∈=则（） A ．AB C = B ．A B C ⊃ C ．A B C = D ．A B C ⊂2．已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,；②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂其中正确的命题是（）A ．①②B ．①④C ．②③D 3．对任意非零实数a ，b ，若a b ⊗框图所示，则(32)4⊗⊗的值是（）A.0B.12 C .32D.9 4．α为锐角是sin cos 1αα+>的（）A ．充分不必要条件BC ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．先后抛掷一枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6），所得向上点数分别为m 和n ，则函数311201132y mx nx =-+在),1[∞+上为增函数的概率（） A. 23 B. 34 C . 56 D. 796．设(132)nx y -+的展开式中含y 的一次项为01()n n a a x a x y +++，则01a a +n a ++=（）A ．(2)nn -- B ．(2)nn - C ．12n n -- D ．1(2)n n ---7．已知,,A B P 是双曲线22221x y a b-=上不同的三点，且,A B 连线经过坐标原点，若直线,PA PB 的斜率乘积3PA PB k k =，则该双曲线的离心率为（）ABC ． 2 D8．如果函数()f x x =()0a >没有零点，则a 的取值范围为（）A ．()0,1B ．()0,1()2,+∞ C ．()0,1()2,+∞ D．(()2,+∞二．填空题: （本大题共7小题，其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．每小题5分，满分30分．）（一）必做题（11～13题）9．设a 为实数，12122,1,z a i z ai z z =-=-++若为纯虚数，则12z z = _ __。

2012年高考数学广东卷(理科)附答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）【详解人】佛山市南海区石门中学黄伟亮参考公式：柱体的体积公式V Sh =，其中S 为柱体的底面积，h 为柱体的高. 圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高. 一、选择题01. 设i 为虚数单位，则复数56ii-=（） A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i --解析：D .56i65i i-=--. 02. 设集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2,4M =，则U C M =（）A .UB .{}1,3,5C .{}3,5,6D .{}2,4,6解析：C .{}3,5,6U C M =.3.（向量）若向量()2,3BA = ，()4,7CA =，则BC = （）A .()2,4--B .()2,4C .()6,10D .()6,10--解析：A .()2,4BC BA CA =-=--.4.（函数）下列函数中，在区间()0,+∞上为增函数的是（） A .()ln 2y x =+B.y =C .12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭D .1y x x=+解析：A .()ln 2y x =+在()2,-+∞上是增函数.5.已知变量x 、y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（）A .12B .11C .3D .1-解析：B .画出可行域，可知当代表直线过点A 时，取到最大值.联立21y y x =⎧⎨=-⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，所以3z x y =+的最大值为11. 6.（立体几何）某几何体的三视图如图1所示，它的体积为（）A .12πB .45πC .57πD .81π解析：C .该几何体下部分是半径为3，高为5的圆柱，体积为23545V ππ=⨯⨯=，上部分是半径为3，高为4的圆锥，体积为2134123V ππ=⨯⨯⨯=，所以体积为57π.7.（概率）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A .49B .13C .29D .19解析：D .两位数共有90个，其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个，个位数为0的有5个，所以概率为51459=. 8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义⋅=⋅ αβαβββ，若平面向量a 、b 满足0≥>a b ，a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且 a b 和 b a 都在集合2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则= a b （）A .12B .1C .32D .52解析：C .⋅==⋅ a a b a b b b b 1cos 2k θ=，= b b a a 2cos 2k θ=，两式相乘，可得212cos 4k kθ=.因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1k 、2k 都是正整数，于是2121cos 124k k θ<=<，即1224k k <<，所以123k k =.而0≥>a b ，所以13k =，21k =，于是32= a b . 二、填空题（一）必做题（9—13题）9.（不等式）不等式21x x +-≤的解集为__________________.解析：1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.2x x +-的几何意义是x 到2-的距离与x 到0的距离的差，画出数轴，先找出临界“21x x +-=的解为12x =-”，然后可得解集为1,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.10.（二项式定理）621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为_________.（用数字作答）解析：20.621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为()621231661kk k k kk T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1233k -=，解得3k =，所以621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为3620C =.11.（数列）已知递增的等差数列{}n a 满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.解析：21n -.设公差为d （0d >），则有()21214d d +=+-，解得2d =，所以21n a n =-. 12.曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.解析：210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=，所以切线方程为()321y x -=-，即210x y -+=.13.（算法）执行如图2所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出s 的值为______.解析：8.第一次循环，()11221s =⨯⨯=，4i =，2k =；第二次循环，()12442s =⨯⨯=，6i =，3k =；第三次循环，()14683s =⨯⨯=，8i =，4k =.此时退出循环，输出s 的值为8.（二）选做题（14—15题）线1C 和14.（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，曲2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨⎪⎩t 为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.解析：()1,1.法1：曲线1C 的普通方程是2y x =（0y ≥），曲线2C 的普通方程是222x y +=，联立解得11x y =⎧⎨=⎩，所以交点坐标为()1,1.法2：联立t θθ⎧=⎪22sin θθ=，即22cos 20θθ-=，解得cos θ=cos θ=（舍去），所以11t =⎧⎪，交点坐标为()1,1.15.（几何证明选讲）如图3，圆O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，满足30ABC ∠=︒，过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ，则PA =__________.连接OA ，则60AOC ∠=︒，90OAP ∠=︒，因为1OA =，所以PA =三、解答题16.（三角函数）（本小题满分12分）已知函数()2cos 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（其中0ω>x ∈R ）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，56535f απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，5165617f βπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求()cos αβ+的值.解析：（Ⅰ）210T ππω==，所以15ω=.（Ⅱ）515652cos 52cos 2sin 353625f ππαπαπαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以3sin 5α=.5151652cos 52cos 656617f πβπβπβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以8cos 17β=.因为α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以4c 1s 5α，15sin 17β=，所以()4831513co s co s c o s s in s i51751785αβαβαβ+=-=⨯-⨯=-.17.（概率统计）（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.（Ⅰ）求图中x 的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中数学期望.成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的解析：（Ⅰ）由()0.00630.010.054101x ⨯+++⨯=，解得0.018x =.（Ⅱ）分数在[)80,90、[]90,100的人数分别是500.018109⨯⨯=人、500.006103⨯⨯=人.所以ξ的取值为0、1、2.()023921236606611C C P C ξ====，()113921227916622C C P C ξ====，()20392123126622C C P C ξ====，所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.18.（立体几何）（本小题满分13分）如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，点E 在线段PC 上，PC ⊥平面BDE .（Ⅰ）证明：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）若1PA =，2AD =，求二面角B PC A --的正切值.解析：（Ⅰ）因为PC ⊥平面BDE ，BD ⊂平面BDE ，所以PC BD ⊥.又因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA BD ⊥.而PC PA P = ，PC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC .（Ⅱ）由（Ⅰ）可知BD ⊥平面PAC ，而AC ⊂平面PAC ，所以BD AC ⊥，而ABCD 为矩形，所以ABCD 为正方形，于是2AB AD ==.z 轴，建立法1：以A 点为原点，AB 、AD 、AP 为x 轴、y 轴、空间直角坐标系A BDP -.则()0,0,1P 、()2,2,0C 、()2,0,0B 、()0,2,0D ，于是()0,2,0BC = ，()2,0,1PB =-.设平面PBC 的一个法向量为=1n (),,x y z ，则0BC PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩11n n ，从而2020y x z =⎧⎨-=⎩，令1x =，得()1,0,2=1n .而平面PAC 的一个法向量为=2n ()2,2,0BD =- .所以二面角B PC A--的余弦值为cos ,⋅<>==121212n n n n n n ，于是二面角B P C --的正切值为3.法2：设AC 与BD 交于点O ，连接OE .因为PC ⊥平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，BE ⊂平面BDE ，所以PC OE ⊥，PC BE ⊥，于是O E ∠就是二面角B PC A --的平面角.又因为BD ⊥平面PAC ，OE ⊂平面PAC ，所以OEB ∆是直角三角形.由OEC ∆∽PAC ∆可得OE PAOC PC=，而2A B A D ==，所以AC =OC =1PA =，所以3PC =，于是13PA OE OC PC =⨯=而OB =于是二面角B PC A --的正切值为3OB OE=.19.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列. （Ⅰ）求1a 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 解析：（Ⅰ）由()()12123213232725a a a a a a a a ⎧=-⎪+=-⎨⎪+=+⎩，解得11a =.（Ⅱ）由11221n n n S a ++=-+可得1221n n n S a -=-+（2n ≥），两式相减，可得122n n n n a a a +=--，即132n n n a a +=+，即()11232n n n n a a +++=+，所以数列{}2n n a +（2n ≥）是一个以24a +为首项，3为公比的等比数列.由1223a a =-可得，25a =，所以2293n n n a -+=⨯，即32n n n a =-（2n ≥），当1n =时，11a =，也满足该式子，所以数列{}n a 的通项公式是32n n n a =-.（Ⅲ）因为1113323222n n n n n ----=⋅≥⋅=，所以1323n n n --≥，所以1113n n a -≤，于是112111111131331113323213nnn n a a a -⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭+++≤+++==-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- .点评：上述证法实质上是证明了一个加强命题1211131123nn a a a ⎡⎤⎛⎫+++≤-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，该加强命题的思考过程如下.考虑构造一个公比为q 的等比数列{}n b ，其前n 项和为()111n n b q T q-=-，希望能得到()1121111312nn b q a a a q -+++≤<- ，考虑到()11111n b q b q q-<--，所以令1312b q =-即可.由n a 的通项公式的形式可大胆尝试令13q =，则11b =，于是113n n b -=，此时只需证明1113n n n b a -≤=就可以了.当然，q 的选取并不唯一，也可令12q =，此时134b =，132n n b +=，与选取13q =不同的地方在于，当1n =时，1n nb a >，当2n ≥时，1n n b a <，所以此时我们不能从第一项就开始放缩，应该保留前几项，之后的再放缩，下面给出其证法.当1n =时，11312a =<；当2n =时，121113152a a +=+<；当3n =时，12311111315192a a a ++=++<. 当4n ≥时，1n nb a <，所以 31231132211111113311151951916212n n a a a -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+++<+++<+++<- . 综上所述，命题获证.下面再给出1211132n a a a +++< 的两个证法. 法1：（数学归纳法） ①当1n =时，左边111a ==，右边32=，命题成立. ②假设当n k =（2k ≥，k ∈N ）时成立，即113322ki ii =<-∑成立.为了证明当1n k =+时命题也成立，我们首先证明不等式：1111132332i i i i++<⋅--（1i ≥，i ∈N ）. 要证1111132332i i i i++<⋅--，只需证1111132332i i i i +++<--⋅，只需证11132332i i i i +++->-⋅，只需证1232i i +->-⋅，只需证23->-，该式子明显成立，所以1111132332i i i i++<⋅--. 于是当1n k =+时，111211111113311323232332322k k ki ii i i i i i i ++====+<+<+⨯=----∑∑∑，所以命题在1n k =+时也成立.综合①②，由数学归纳法可得，对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< . 备注：不少人认为当不等式的一边是常数的时候是不能用数学归纳法的，其实这是一个错误的认识. 法2：（裂项相消法）（南海中学钱耀周提供）当1n =时，11312a =<显然成立.当2n =时，121113152a a +=+<显然成立. 当3n ≥时，()32122nn n n n a =-=+-12211122222n n n n n n n C C C --=+⋅+⋅++⋅+-()12211221222221n n n n n n C C C C n n --=+⋅+⋅++⋅>⋅=- ，又因为()252221a =>⨯⨯-，所以()21n a n n >-（2n ≥），所以()111112121n a n n n n ⎛⎫<=- ⎪--⎝⎭（2n ≥），所以 123111111111111311112234122n a a a a n n n ⎛⎫⎛⎫++++<+-+-++-=+-< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ . 综上所述，命题获证.20.（解析几何）（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的离心率e =C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）在椭圆C 上，是否存在点(),M m n ，使得直线l ：1mx ny +=与圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大？若存在，求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在，请说明理由.解析：（Ⅰ）因为e =，所以2223c a =，于是223a b =.设椭圆C 上任一点(),P x y ，则()()2222222222122443y PQ x y a y y y b b ⎛⎫=+-=-+-=--++ ⎪⎝⎭（b y b -≤≤）.当01b <<时，2PQ 在y b =-时取到最大值，且最大值为244b b ++，由2449b b ++=解得1b =，与假设01b <<不符合，舍去.当1b ≥时，2PQ 在1y =-时取到最大值，且最大值为236b +，由2369b +=解得21b =.于是23a =，椭圆C 的方程是2213x y +=. （Ⅱ）圆心到直线l 的距离为d =，弦长AB =，所以O A B ∆的面积为12S A B d =⋅=，于是()2222211124S d d d ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭.而(),M m n 是椭圆上的点，所以2213m n +=，即2233m n =-，于是22221132d m n n==+-，而11n -≤≤，所以201n ≤≤，21323n ≤-≤，所以2113d ≤≤，于是当212d =时，2S 取到最大值14，此时S 取到最大值12，此时212n =，232m =.综上所述，椭圆上存在四个点⎝⎭、⎛ ⎝⎭、⎝⎭、⎛ ⎝⎭，使得直线与圆相交于不同的两点A 、B ，且OAB ∆的面积最大，且最大值为12. 点评：此题与2012年南海区高三8月摸底考试的试题相似度极高.（2012年南海区高三8月摸底考试）已知椭圆C 的两焦点为()11,0F -、()21,0F ，并且经过点31,2M ⎛⎫⎪⎝⎭. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆O ：221x y +=，直线l ：1mx ny +=，证明：当点(),P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.21.（不等式、导数）（本小题满分14分）设1a <，集合{}0A x R x =∈>，(){}223160B x R x a x a =∈-++>，D A B = . （Ⅰ）求集合D （用区间表示）；（Ⅱ）求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点. 解析：（Ⅰ）考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦，且1a <，所以可分以下三种情况： ①当113a <<时，0∆<，此时B =R ，()0,D A ==+∞.②当13a =时，0∆=，此时{}1B x x =≠，()()0,11,D =+∞ . ③当13a <时，0∆>，此时()223160x a x a -++=有两根，设为1x 、2x ，且12x x <，则1x =2x ={}12B x x x x x =<>或.当103a <<时，()123102x x a +=+>，1230x x a =>，所以210x x >>，此时()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，1230x x a =≤，所以10x ≤，20x >，此时()2,D x =+∞.综上所述，当113a <<时，()0,D A ==+∞；当13a =时，()()0,11,D =+∞ ；当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ；当0a ≤时，()2,D x =+∞.其中11x -，2x =（Ⅱ）()()26616f x x a x a '=-++，令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <，所以()0f x '=有两根1m a =和21m =，且12m m <.①当11a <<时，()0,D A ==+∞，此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =，列表可得所以()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a . ②当1a =时，()()0,11,D =+∞ ，此时()0f x '=在D 内只有一根11m a ==，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点. ③当103a <<时，()()120,,D x x =+∞ ，此时1201a x x <<<<（可用分析法证明），于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =，列表可得所以()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.④当0a ≤时，()2,D x =+∞，此时21x >，于是()f x '在D 内恒大于0，()f x 在D 内没有极值点. 综上所述，当113a <<时，()f x 在D 内有极大值点1，极小值点a ；当103a <≤时，()f x 在D 内只有极小值点a ，没有极大值点.当0a ≤时，()f x 在D 内没有极值点.。

2012年高考广东理科数学模拟试题

１．差数列｛中，３ａ＝，ｃｓ４）３等Ｊｔ＋ｑ则。（嘶一ｔ＝
ＢＯ．
Ｃ．１
Ｄ．２
６若函数厂）一ｘａ３个不同的零点，．（３＋有则实
数。的取值范围是（
）
１．坐标系与参数方程选做题）４（在极坐标系中，
的坐标．２．（Ｏ本小题满分１）４分定义数列如下：０＝，ａｌｎ珥１ｌ２ｎ＝２Ｌ，ｎ∈Ｎ．＋ａ－＋证明：（）对于ｎ∈ １Ｎ恒有ａ。ａ成立；ｎ＞＋ｎ（）当ｎ２且ｎ∈Ｎ，有ａ１２＞ｎ＝１ａｌ１，．２＋成立；．ａ．
的充分条件是ｃｒ（￣ｃｒ（；ａｄＡ）ａＢ）＜ｄ
为
１．命题 “ 在Ｏ存使得０＋＞ ” 的否定２１０慨０
．
④ＡＢ的充要条件是ｃｒ（＝ａｄＢ）；ａｄＡ）ｃｒ（．
其中真命题的序号是（）Ａ ③④ ．Ｂ ①② Ｃ ①④ ．．
１．函数－＝２若厂）（
Ｄ．二
）
≠帆｝
一
１
＋
Ａ．４
）
Ｂ４
．
Ｃ
．
１，
Ｊ
５已知定义在Ｒ上的奇函数）．满足＋））２＝，则２１）０２的值为（）
Ａ．１一
．
ｆｏ３＋＿，０）— — ．（．）．＋（．＝。９
３双曲线２２ｙ８的实轴长是（．ｘ￣－－）
１．关于的不等１若

广东省实验中学2012届高三一模数学理

2011—2012学年度下学期高三年级联考试题(理科数学)本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页．满分150分．考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合A={x∈R |x<5-2}，B={1，2，3，4)，则(C R A) B=( ) A ．{1，2，3，4} B ．{2，3，4} C ．{3，4}D ．{4}2、已知函数①y=sinx+cosx ，②y=22sin xcosx ，则下列结论正确的是( ) A ．两个函数的图象均关于点(-4π，0)成中心对称B ．两个函数的图象均关于直线x=-4π成轴对称C ．两个函数在区间(-4,4ππ)上都是单调递增函数D ．两个函数的最小正周期相同3、设f(x)=[][]⎩⎨⎧∈-∈2,121,02x xx x ,则⎰2)(dx x f 的值为( )A ．43B ．54C ．65D ．674、一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如下(单位cm)，则该三棱柱的表面积为( )A ．(24+83)cm 2B ．24πcm 2C ．314cm 2D ．318cm 2 5、下列四个命题中，正确的是( )A ．已知ξ服从正态分布N(0，σ2)，且P(-2≤ξ≤0)=0.4，则P （ξ>2）=0.2 B ．设回归直线方程为y=2-2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位C ．已知命题p ：∃x∈R，tanx=1；命题q ：∀x∈R，x 2-x+1>0．则命题“p ∧﹁q ”是假命题 D ．已知直线l 1：ax+3y-1=0,l 2：x+by+1=0，则l 1⊥l 2的充要条件是 ba =-36、给出30个数：1，2，4，7，11，……其规律是第一个数是1，第二个数比第一个数大1，第三个数比第二个数大2，第四个数比第三个数大3，……以此类推，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如右图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )A ．i≤30?；p=p+i-1B ．i≤29?；p=p+i+1C ．i≤31?：p=p+iD ．i≤30?；p=p+i7、已知k ∈AB Z ,=(k,1),AC =(2,4)，若AB ≤10,则△ABC 是直角三角形的概率是( ) A ．74 B ．73 C ．72 D ．718、设函数f(x)的定义域为R ，若存在常数M>0使x M x f ≤)(对一切实数x 均成立，则称函数f(x)为F 函数．现给出下列函数①f(x ）=x 2，②f(x)=122+-x x x③f(x)=x(1-2x)，④f(x)是定义在实数集R 上的奇函数，且对一切x 1x 2均有212)()(21x x x f x f -≤-．其中是F 函数的序号为( )A.① ② ③B.② ④C. ② ③D.③ ④二、填空题：（本大题共7小题，第14、15小题任选一题作答，多选的按1题给分，共30分）（一）必做题（9～13题） 9、i 是虚数单位，ii -12的共轭．．复数的数是________ 10、若实数x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥-+5402y x y x ，则s=y-x 的最小值为________11、已知(xx 321⋅-)n 展开式的第4项为常数项，则展开式中各项系数的和为________12、已知数列{a n }的前n 项和S n =n 2-7n ，且满足16<a k +a k+1<22，则正整数k=_______13、已知函数f(x)=221x -alnx (a∈R)，若函数f(x)在[1,2]为增函数，且f /(x)在[1，2]上存在零点(f /(x)为f(x)的导函数)，则a 的值为___________(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题)14、(极坐标与参数方程选做题)已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 54253(t 为参数).设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，则MN 的最大值为____________15、(几何证明选讲选做题)如图，⊙O 中，直径AB 和弦DE 互相垂直，C 是DE 延长线上一点，连结BC 与圆0交于F ，若∠CFE=α()2,0(πα∈)，则∠DEB___________三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题(四)理科数学

广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题（四）理科数学广东省2012届高三下学期高考模拟仿真试题 (四)理科数学一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.如图，U是全集，M，N，S是U的子集，则图中阴影部分所示的集合是( A ) A．(?UM∩?UN)∩S B．(?U(M∩N))∩S C．(?UN∩?US)∪M D．(?UM∩?US)∪N 解析：由韦恩图可知，阴影部分所表示的是M与N的并集的补集与S的交集，故选A.2.如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z＝(1＋ai)i为“等部复数”则实数a的值为( A )A．－1 B．0 C．1 D．2解析：复数z＝(1＋ai)i＝－a＋i，由题设得a＝－1.选A.－－3.已知函数f(x)＝1＋logax(a>0，且a≠1)，f1(x)是f(x)的反函数．若f1(x)的图象过点(3,4)，则a等于( D )3A.2 B.3 C.3 D．2解析：反函数图象过点(3,4)，则原函数图象过点(4,3)，有3＝1＋loga4，得a＝2.选D. 14.在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln(1＋)，则an＝( D )nA．1＋n＋lnn B．2＋(n－1)lnn C．2＋nlnn D．2＋lnn3n解析：an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋?＋(an－an－1)＝2＋ln2＋ln＋?＋ln ＝2＋lnn.2n－1选D.5.已知m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的命题个数是( C )①α∥β，m?α，n?β，则m∥n; ②若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β；③若α⊥β，m?α，则m⊥β；④若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α A．3 B．2 C．1 D．0 解析：只有④正确，故选C.x1＋y16.已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为( B )x2＋y22255A. B．－ C. D．－ 3366解析：由a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉知，cos〈a，b〉＝－1，x1y1x1＋y122即a与b反向，所以a＝－b，所以＝＝＝－.3x2y2x2＋y23第 1 页共 9 页7.如图P，Q，R，S为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有( C )A．8种 B．12种 C．16种 D．20种解析：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C14＝4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：P—Q—R—S，S—R—Q—P，这样的两个排列A44对应一种建桥方法，因此有＝12种方法；2根据分类计数原理知道共有4＋12＝16种方法．选C. 8.给出下列3个命题：①函数y＝f(1－x)的图象与函数y＝f(1＋x)的图象关于直线x＝1对称；②若奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则y＝f(x)的周期为2a；③已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则以A为定义域，以B为值域的函数有8个．在上述3个命题中，所有不正确命题的序号是( A ) ．．．A．①②③ B．①② C．①③ D．②③解析：①是错的．如f(x)＝x2时，y＝(x－1)2与y＝(x＋1)2的图象不关于直线x＝1对称；π②是错的．如y＝sinx是奇函数，图象关于x＝对称，但y＝sinx的周期不是π；③是错的．以2A为定义域，以B为值域的函数只有6个．二、填空题(本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．) (一)必做题(9～13题)9.下图是一个算法的流程图，若输入a＝－1，b＝2，则最后输出的结果是x0(b≠0)的程序框图，若输入a＝－1，b＝2，可得输出x0)，则焦点是F(－，0)．2因为点A(－3，n)在抛物线上，且|AF|＝5，n＝6p??故?，解得p＝4，故抛物线方程为y2＝－8x. p22???－3＋2?＋n＝512.抛掷两个骰子，当至少有一个5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在30次试验中成功次数η的期望和方差为别是50200， .(前空3分，后空2分) 327445解析：η～B(30，p)，其中p＝1－×＝，66955054200所以Eη＝30×＝，Dη＝30××＝.93992713.如图，已知平面α∥平面β，线段PQ、PF、QC分别交平面α于A、B、C 点，交平面β于D、F、E点，PA＝9，AD＝12，DQ＝16，△ABC的面积是72，则△DEF的面积为 96 .解析：平面α∥平面β，所以AB∥DF，AC∥DE，所以∠CAB＝∠EDF.PA＋AD7在△PDF中，AB∥DF，DF＝AB＝AB，PA34同理DE＝AC.714所以S△DEF＝DF·DEsin∠EDF＝S△ABC＝96.23 (二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题．) 14.(坐标系与参数方程选做题)?x＝t＋t过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线?1y＝t－?t的长为 217 .第 3 页共 9 页1相交于A、B两点，则线段AB?解析：直线的参数方程为?1y＝?2s化为x2－y2＝4.x＝－3＋3s2?(s为参数)，曲线?1y＝t－?t1x＝t＋t(t为参数)可以将直线的参数方程代入上式，得s2－63s＋10＝0.设A、B对应的参数分别为s1，s2，所以s1＋s2＝63，s1s2＝10. 所以|AB|＝|s1－s2|＝?s1＋s2?2－4s1s2＝217.15.(几何证明选讲选做题)如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC 相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.若CE∶BE＝3∶2，DE＝6，EF＝4，则PA的长为153. 2解析：因为DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4，所以EC＝9. 因为CE∶BE＝3∶2，所以BE＝6.DEEC由DE2＝EF·EC，得＝，又∠DEF＝∠DEC，所以△DEF∽△CED，EFDE所以∠ECD＝∠EDF，又∠APE＝∠ECD，所以∠APE＝∠EDF， AEEF所以△APE∽△FDE，所以＝，所以CE·EB＝AE·DE＝EF·EP，EPDE27所以9×6＝4×EP，解得EP＝.21545所以PB＝PE－BE＝，PC＝PE＋EC＝.221545153由切割线定理得：PA2＝PB·PC，所以PA2＝×，所以PA＝. 222三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16.(本小题满分12分)11ππ1已知函数f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(＋φ)(0。

广东省广州市2012届高三调研测试数学(理)试题1

试卷类型：B广州市2012届高三年级调研测试数学（理科） 2011.12参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{}2,1,0,1,2U =--，集合{}1,2A =，{}2,1,2B =-，则()U A B ð等于A ．∅B ．{}1C ．{}1,2D ．{}1,0,1,2-2．设复数113i z =-，232i z =-，则21z z 在复平面内对应的点在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知向量()21=，a ，()2x =-，b ，若a ∥b ，则a +b 等于 A ．()2,1-- B ．()2,1C ．()3,1-D ．()3,1-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知85=a ，63=S ，则710S S -的值是A ．24B ．48C ．60D ．72 5．设随机变量()2~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为A ． 4B ． 6C ． 8D ．106．在正四棱锥V A B C D -中，底面正方形A B C D 的边长为1，侧棱长为2，则异面直线V A 与BD 所成角的大小为A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π7．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，给出下面四个命题：①函数)(x f 的最小正周期为π； ②函数)(x f 是偶函数；③函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称；④函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，其中正确命题的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个8．定义：若函数)(x f 的图像经过变换T 后所得图像对应函数的值域与)(x f 的值域相同，则称变换T是)(x f 的同值变换．下面给出四个函数及其对应的变换T ，其中T 不属于)(x f 的同值变换的是A ．2)1()(-=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于y 轴对称 B ．12)(1-=-x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于x 轴对称C ．32)(+=x x f ，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,1-对称D ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，T 将函数)(x f 的图像关于点()1,0-对称二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．521⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 展开式中4x 的系数为 (用数字作答).10．向面积为S 的三角形ABC 内任投一点P ，则△PBC 的面积小于3S 的概率是．11．已知程序框图如右，则输出的i = ．12．已知实数y x ,满足0,1,2210.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩若目标函数y ax z +=()0≠a 取得最小值时的最优解有无数个，则实数a的值为_____．13．已知直线()2y k x =-()0k >与抛物线28y x =相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若2FA FB =，则k 的值为．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如右图，AB 是圆O 的直径，直线CE 与圆O 相切于点C ，AD C E ⊥于点D ，若圆O 的面积为4π，30ABC ∠=，则A D 的长为． 15．（极坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，点A 的坐标为22,4π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C 的方程为θρcos 2=，则O A （O 为极点）所在直线被曲线C 所截弦的长度为．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）如图，在A B C ∆中，点D 在B C 边上，33A D =，5sin 13B A D ∠=，3cos 5A D C ∠=．（1）求sin A B D ∠的值；（2）求BD 的长．开始1S =结束3i =100?S ≥i 输出2i i =+*S S i=是否ADECBOABCD17．（本小题满分12分）某城市为准备参加“全国文明城市”的评选，举办了“文明社区”评选的活动，在第一轮暗访评分中，评委会对全市50个社区分别从“居民素质”和“社区服务”两项进行评分，每项评分均采用5分制，若设“社区服务”得分为x 分，“居民素质”得分为y 分，统计结果如下表：y社区数量x居民素质1分2分 3分 4分 5分社区服务1分 1 3 1 0 1 2分 1 0 7 5 1 3分 2 10 9 3 4分 a b6 0 1 5分113（1）若“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）的社区可以进入第二轮评比，现从50个社区中随机选取一个社区，求这个社区能进入第二轮评比的概率；（2）若在50个社区中随机选取一个社区，这个社区的“居民素质”得分y 的均值（即数学期望）为16750，求a 、b 的值．18.（本小题满分14分）已知正方形A B C D 的边长为2，AC BD O = ．将正方形A B C D 沿对角线B D 折起，使A C a =，得到三棱锥A B C D -，如图所示．（1）当2a =时，求证：AO BCD ⊥平面；（2）当二面角A B D C --的大小为120时，求二面角A B C D --的正切值．ABCDO19．（本小题满分14分）设椭圆222:12x yM a+=()2a >的右焦点为1F ，直线2:22-=a ax l 与x 轴交于点A ，若112OF AF +=0（其中O 为坐标原点）．（1）求椭圆M 的方程；（2）设P 是椭圆M 上的任意一点，EF 为圆()12:22=-+y x N 的任意一条直径（E 、F 为直径的两个端点），求PF PE ⋅的最大值．20.（本小题满分14分）已知数列{}n a 中，11a =，23a =，且112n n n a a a +-=+()2n ≥．（1）设1n n n b a a λ+=+，是否存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 21．（本小题满分14分）已知函数()32()ln 2123xf x ax x ax =++--()a ∈R ．（1）若2x =为)(x f 的极值点，求实数a 的值；（2）若)(x f y =在[)3,+∞上为增函数，求实数a 的取值范围；（3）当12a =-时，方程()()311+3x b f x x--=有实根，求实数b 的最大值．广州市2012届高三年级调研测试数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．9．10 10．59 11．9 12．1- 13. 22 14．1 15．2三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）解：（1）因为3cos 5A D C ∠=，所以24sin 1cos 5A D C A D C ∠=-∠=．…………………………………………………………2分因为5sin 13B A D ∠=，所以212cos 1sin 13B A D B A D ∠=-∠=．…………………………………………………………4分因为A B D A D C B A D ∠=∠-∠，所以()sin sin ABD ADC BAD ∠=∠-∠sin cos cos sin AD C BAD AD C BAD =∠∠-∠∠ ………………………………6分412353351351365=⨯-⨯=．…………………………………………………………8分（2）在△ABD 中，由正弦定理，得sin sin B D A D B A DA B D=∠∠，………………………………10分所以533sin 132533sin 65AD BAD BD ABD⨯⨯∠===∠．……………………………………………………12分 17．（本小题满分12分）解：（1）从表中可以看出，“居民素质”得分和“社区服务”得分均不低于3分（即3x ≥且3y ≥）题号 1 2 34 5 6 78答案 D D A B A D C B的社区数量为24个．………………………………………………………………………2分设这个社区能进入第二轮评比为事件A ，则()P A =24125025=．所以这个社区能进入第二轮评比的概率为1225．……………………………………………………4分（2）由表可知“居民素质”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分，其对应的社区个数分别为()4a +个、()4b +个、15个、15个、9个．…………………………………………………………6分所以“居民素质”得分y 的分布列为：y 12 3 4 5p504+a504+b50151550509……………………………………8分因为“居民素质”得分y 的均值（数学期望）为16750，所以501675095501545015350425041=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯b a ．…………………………………10分即25a b +=．因为社区总数为50个，所以4750a b ++=．解得1a =，2b =．…………………………………………………………………………………12分 18．（本小题满分14分）（1）证明：根据题意，在A O C ∆中，2==a AC ，2==CO AO ，所以222AC AO CO =+，所以CO AO ⊥.………………………………………………………2分因为A C B D 、是正方形A B C D 的对角线，所以A O B D ⊥．………………………………………………………………………………………3分因为BD CO O = ，所以AO BCD ⊥平面.………………………………………………………………………………4分（2）解法1：由（1）知，C O O D ⊥，如图，以O 为原点，O C ，O D 所在的直线分别为x 轴，y 轴建立如图的空间直角坐标系O xyz -，…………………………………………………………5分则有()0,0,0O ，()0,2,0D ，()2,0,0C ，()0,2,0B -．设()00,0,A x z ()00x <，则()00,0,OA x z = ，()0,2,0O D =．………………………………6分又设面ABD 的法向量为()111,,x y z =n ，则0,0.O A O D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n 即010110,20.x x z z y +=⎧⎪⎨=⎪⎩ ABD Oyz所以10y =，令10x z =，则10z x =-．所以()00,0,z x =-n ．………………………8分因为平面BC D 的一个法向量为(0,0,1)=m ，且二面角A B D C --的大小为120 ，………………………………………………………………9分所以1cos ,cos 1202== m n ，得20203x z =．因为2=OA ，所以22020=+z x ．解得26,2200=-=z x ．所以26,0,22A ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭．………………………………10分设平面ABC 的法向量为()222,,x y z =l ，因为()26,2,,2,2,022BA BC ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，则0,0.BA BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ l l ，即222222620,22220.x y z x y ⎧-++=⎪⎨⎪+=⎩ 令21x =，则3,122=-=z y ．所以(1,1,3)=-l ．…………………………………………………………………………………12分设二面角A B C D --的平面角为θ，所以2315cos cos ,511(3)θ====++l m．……………………………………………13分所以6tan 3θ=．所以二面角A B C D --的正切值为63．…………………………………………………………14分解法2：折叠后在△ABD 中，B D A O ⊥，在△BC D 中，BD C O ⊥．……………………………5分所以A O C ∠是二面角A B D C --的平面角，即120AOC ∠=．………………………………………6分在△A O C 中，2==CO AO ，所以6AC =．………………………………………………………………………………………7分A B CDOHK如图，过点A 作C O 的垂线交C O 延长线于点H ，因为BD C O ⊥，B D A O ⊥，且CO AO O = ，所以B D ⊥平面A O C ．…………………………………………………………8分因为AH ⊂平面A O C ，所以BD AH ⊥．又C O A H ⊥，且CO BD O = ，所以A H ⊥平面BC D ．……………………………………9分过点作A 作A K B C ⊥，垂足为K ，连接H K ，因为B C A H ⊥，AK AH A = ，所以B C ⊥平面AH K ．…………………………………10分因为H K ⊂平面AH K ，所以B C H K ⊥．所以A K H ∠为二面角A B C D --的平面角．……………………………………………………11分在△A O H 中，60AOH ∠= ，2AO =，则62AH =，22O H =，所以232222C H C O O H =+=+=．………………………………………………………12分在R t △C H K 中，45HCK ∠= ，所以232==CH HK ………………………………………13分在R t △AH K 中，tan A K H ∠=362326==KHAH ．所以二面角A B C D --的正切值为63．…………………………………………………………14分19．（本小题满分14分）（1）由题设知，22,02aA a ⎛⎫⎪-⎝⎭，()212,0F a -，………………………………1分由112OF AF +=0 ，得⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=-22222222a a aa ．……………………………………3分解得62=a ．所以椭圆M 的方程为126:22=+yxM ．…………………………………………………………4分（2）方法1：设圆()12:22=-+y x N 的圆心为N ，则()()NP NF NP NE PF PE -⋅-=⋅ ………………………………………………………………6分()()N F N P N F N P =--⋅-…………………………………………………7分2221NP NF NP =-=- ．………………………………………………………………8分从而求PF PE ⋅的最大值转化为求2NP 的最大值．………………………………………………9分因为P 是椭圆M 上的任意一点，设()00,y x P ，…………………………………………………10分所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………11分因为点()2,0N ，所以()()121222020202++-=-+=y y x NP ．……………………………12分因为02,2y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以当10-=y 时，2NP 取得最大值12．……………………………13分所以PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………………14分方法2：设点112200(,),(,),(,)E x y F x y P x y ，因为,E F 的中点坐标为(0,2)，所以2121,4.x x y y =-⎧⎨=-⎩ ………………………………………………6分所以10201020()()()()P E P F x x x x y y y y ⋅=--+--……………………………………………7分1010101()()()(4)x x x x y y y y =---+--- 222201011044x x y y y y =-+-+- 22220001114(4)x y y x y y =+--+-．…………………………………………………9分因为点E 在圆N 上，所以2211(2)1x y +-=，即2211143x y y +-=-．………………………10分因为点P 在椭圆M 上，所以2200162x y +=，即220063x y =-．…………………………………11分所以PE PF ⋅ 200249y y =--+202(1)11y =-++．……………………………………………12分因为0[2,2]y ∈-，所以当01y =-时，()m in11P E P F ⋅= ．………………………………14分方法3：①若直线EF 的斜率存在，设EF 的方程为2y kx =+，………………………………6分由⎩⎨⎧=-++=1)2(222y x kx y ，解得112+±=kx ．………………………………………………………7分因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．…………………………………………………………8分所以00221,211kPE x y k k ⎛⎫=-+-⎪++⎝⎭ ，00221,211kPF x y k k ⎛⎫=---+- ⎪++⎝⎭ ……………………………………………………9分所以11)1(21)2(1)2(112020202220220++-=--+=+--++-=⋅y y x kk y kx PF PE ．……………………………………………………10分因为02,2y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………11分②若直线EF 的斜率不存在，此时EF 的方程为0x =，由22(2)1x x y =⎧⎨+-=⎩，解得1y =或3y =．不妨设，()0,3E ，()0,1F ．……………………………………………………12分因为P 是椭圆M 上的任一点，设点()00,y x P ，所以1262020=+y x ，即202036y x -=．所以()00,3PE x y =-- ，()00,1PF x y =--．所以2220000432(1)11P E P F x y y y ⋅=+-+=-++．因为02,2y ⎡⎤∈-⎣⎦，所以当10-=y 时，PF PE ⋅取得最大值11．…………………………13分综上可知，PF PE ⋅的最大值为11．………………………………………………………………14分 20．（本小题满分14分）（1）方法1：假设存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =． ①……………………………………1分由11a =，23a =，且112n n n a a a +-=+，得35a =，411a =．所以1213b a a λλ=+=+，23253b a a λλ=+=+，343115b a a λλ=+=+，………………2分所以()()()2533115λλλ+=++，解得1λ=或2λ=-．…………………………………………………………………………………3分当1λ=时，1n n n b a a +=+，11n n n b a a --=+，且1214b a a =+=，有()1111122n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a -+---+++===++()2n ≥．………………………………………………4分当2λ=-时，12n n n b a a +=-，112n n n b a a --=-，且12121b a a =-=，有()11111222122n n n n n n n n n n n a a a b a a b a a a a -+---+--===---()2n ≥．…………………………………………5分所以存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．当1λ=时，数列{}n b 为首项是4、公比是2的等比数列；当2λ=-时，数列{}n b 为首项是1、公比是1-的等比数列．……………………………………6分方法2：假设存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列，设1n n b q b -=()2n ≥，……………………………………………………………………………………1分即()11n n n n a a q a a λλ+-+=+，……………………………………………………2分即()11n n n a q a q a λλ+-=-+．………………………………………………………………………3分与已知112n n n a a a +-=+比较，令1,2.q q λλ-=⎧⎨=⎩………………………………………………………4分解得1λ=或2λ=-．…………………………………………………………………………………5分所以存在实数λ，使数列{}n b 为等比数列．当1λ=时，数列{}n b 为首项是4、公比是2的等比数列；当2λ=-时，数列{}n b 为首项是1、公比是1-的等比数列．……………………………………6分（2）解法1：由（1）知111422n n n n a a -+++=⨯=()1n ≥，……………………………………7分当n 为偶数时，()()()()1234561n n n S a a a a a a a a -=++++++++ …………………………8分 2462222n=++++ …………………………………………………………9分()22414124143nn +⎛⎫- ⎪⎝⎭==--．…………………………………………………10分当n 为奇数时，()()()123451n n n S a a a a a a a -=+++++++ ………………………………11分351222n =++++ …………………………………………………………12分()1228141125143n n -+⎛⎫- ⎪⎝⎭=+=--．……………………………………………13分故数列{}n a 的前n 项和()()22124,3125,3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数. (14)分注：若将上述和式合并，即得()()21112432nn n S +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．解法2：由（1）知()1121n n n a a ++-=-()1n ≥，…………………………………………………7分所以()11111112222n n n n n nn a a +++++-⎛⎫-==- ⎪⎝⎭()1n ≥，……………………………………………………8分当2n ≥时，31121212132122222222n n n nn n a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2311112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21111122111111226212n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫---⎢⎥ ⎪ ⎪⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=+--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭．因为11122a =也适合上式，……………………………………………………………………………10分所以2n na =11111262n -⎡⎤⎛⎫+--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦()1n ≥．所以()11213n n n a +⎡⎤=+-⎣⎦．…………………………………………………………………………11分则()()()()()()12323411222211113nn n S +⎡⎤=+++++-+-+-++-⎣⎦，………………12分 ()()()()()111412131211nn ⎡⎤----⎢⎥=+⎢⎥---⎢⎥⎣⎦……………………………………………………………13分()()21112432nn +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．……………………………………………14分解法3：由（1）可知，()111142,211.n n n n n n a a a a -+-+⎧+=⨯⎪⎨-=⨯-⎪⎩…………………………………………………7分所以()11213n n n a +⎡⎤=+-⎣⎦．…………………………………………………………………………8分则()()()()()()()()12345112121212121213n n n n n S -+⎡⎤=-+++-+++++-++-⎣⎦ ，……9分当n 为偶数时，()2345112222223n n n S +=++++++ ………………………………………10分()()241211243123nn +-=⨯=--．……………………………………………11分当n 为奇数时，()23451122222213n n n S +⎡⎤=++++++-⎣⎦ ………………………………12分()()2412111253123nn +⎡⎤-⎢⎥=⨯-=--⎢⎥⎣⎦．………………………………………13分故数列{}n a 的前n 项和()()22124,3125,3n n n n S n ++⎧-⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为偶数，为奇数.………………………………………14分注：若将上述和式合并，即得()()21112432nn n S +⎡⎤--=-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦．21．（本小题满分14分）解：（1）22()2221af x x x a ax '=+--+()()222144221x ax a x a ax ⎡⎤+--+⎣⎦=+．……………1分因为2x =为()f x 的极值点，所以()20f '=．…………………………………………………2分即22041a a a -=+，解得0a =．……………………………………………………………………3分又当0=a 时，()(2)f x x x '=-，从而2()x f x =为的极值点成立．……………………………4分（2）因为()f x 在区间[)3,+∞上为增函数，所以()()()2221442021x ax a x a f x ax ⎡⎤+--+⎣⎦'=≥+在区间[)3,+∞上恒成立．…………………5分①当0=a 时，()(2)0f x x x '=-≥在[3,)+∞上恒成立，所以()[3,)f x +∞在上为增函数，故0=a符合题意．………………………………………………………………………………………………6分 ②当0a ≠时，由函数()f x 的定义域可知，必须有10ax +>2对3x ≥恒成立，故只能0a >，所以222(14)(42)0[3,)ax a x a x +--+≥∈+∞对上恒成立．…………………………………7分令22()2(14)(42)g x ax a x a =+--+，其对称轴为114x a=-，……………………………8分因为0a >所以1114a-<，从而()0[3,)g x ≥+∞在上恒成立，只要(3)0g ≥即可，因为()3g =24610a a -++≥，解得31331344a -+≤≤．……………………………………………………………9分因为0a >，所以31304a +<≤．综上所述，a 的取值范围为3130,4⎡⎤+⎢⎥⎣⎦．………………………………………………………10分（3）若12a =-时，方程3(1)(1)+3x b f x x--=可化为，xb x x x =-+--)1()1(ln 2．问题转化为223ln (1)(1)ln b x x x x x x x x x x =--+-=+-在()0,+∞上有解，即求函数32ln )(x x x x x g -+=的值域．…………………………………………………………11分以下给出两种求函数()g x 值域的方法：方法1：因为()()2ln g x x x x x =+-，令2()ln (0)h x x x x x =+->，则xx x x xx h )1)(12(211)(-+=-+=' ，…………………………………………………………12分所以当01,()0x h x '<<>时，从而)1,0()(在x h 上为增函数，当0)(,1<'>x h x 时，从而),1()(+∞在x h 上为减函数，…………………………………………13分因此()(1)0h x h ≤=．而0x >，故()0b x h x =⋅≤，因此当1x =时，b 取得最大值0．…………………………………………………………………14分方法2：因为()()2ln g x x x x x =+-，所以2321ln )(x x x x g -++='．设2()ln 123p x x x x =++-，则21621()26x x p x x xx--'=+-=-．当1706x +<<时，()0p x '>，所以()p x 在170,6⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；当176x +>时，()0p x '<，所以()p x 在17,6⎛⎫++∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减；因为()10p =，故必有1706p ⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭，又22441233210p e e e e ⎛⎫=-++-<-< ⎪⎝⎭，因此必存在实数02117,6x e ⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭使得0'()0g x =， 00,()0x x gx '∴<<<当时，所以()0()0,g x x 在上单调递减；当0)(,10>'<<x g x x 时，所以()0(),1g x x 在上单调递增；当()1,'()0,()1,x g x g x ><+∞时所以在上单调递减；又因为)41(ln )(ln ln )(232+≤-+=-+=x x x x x x x x x x x g ，当10,ln 04x x →+<时，则()0g x <，又(1)0g =．因此当1x =时，b 取得最大值0. ………………………………………………………14分。

广东2012届高考模拟仿真试题(一)理科数学

学海导航·2012届高考模拟仿真试题·广东(一)·理科数学2012届高考模拟仿真试题·广东(一)理科数学命题人：广东实验中学吴建华一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1.i 为虚数单位，复数z ＝(3＋i)i ，则复数z 对应的点位于复平面内的( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析： z ＝(3＋i)i ＝－1＋3i ，在复平面中，复数z 对应的点为(－1,3)，故选B.2.对于函数f (x )＝3sin x ＋cos x ，下列命题中正确的是( B ) A ．∀x ∈R ，f (x )＝2 B ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝2 C ．∀x ∈R ，f (x )>2 D ．∃x 0∈R ，f (x 0)>2解析： f (x )＝3sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π6)≤2，故选B.3.设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法．下面给出了程序的一部分，则在横线①上不能填入的数是( A )A ．13B ．13.5C ．14D ．14.5解析：①上填入的数必须大于13且小于或等于15.故选A.4.如右图所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠DAB ＝∠ABC ＝90°，且主视图投影面与平面P AD 平行，则下列选项中可能是四棱锥P —ABCD 的主视图的是( D )解析：点B 在平面P AD 的投影为A ，点C 在平面P AD 的投影落在AD 的延长线上，且形成主视图时PD 不可见，画成虚线，故选D.5.若(1－2x )2012＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2012x 2012(x ∈R )，则a 1＋a 2＋…＋a 2012＝( C ) A ．－2 B ．－1 C ．0 D ．2解析：在(1－2x )2012＝a 0＋a 1x ＋…＋a 2012x 2012中，令x ＝0，得a 0＝1，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2012＝1，可得：a 1＋a 2＋…＋a 2012＝0，故选C.6.如图所示，在A 、B 间有四个焊接点，若某焊接点脱落，则导致该处电路不通．今发现A 、B 之间电路不通，则焊接点脱落的不同情况种数为( C )A ．9B ．11C ．13D ．15解析： A 、B 间焊接点脱落与否的情况共有24＝16种，电路通的情况种数仅有：3种，可得：A 、B 之间电路不通的情况种数为13，故选C.7.已知函数f (x )＝sin6x 的部分图象如图所示，则图中阴影部分的面积的值是( C )A ．2 B.23 C.13 D.16解析： f (x )＝sin6x 的周期为π3，所以图中阴影部分的面积＝∫π60sin6x d x ＝－16cos6x |π60＝13，故选C .8.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表．f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图象如图所示．下列关于函数f(x)的命题： ①函数f(x)在[0,1]上是减函数；②如果当x ∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t 的最大值为4； ③函数y ＝f(x)－a 有4个零点，则1≤a<2； ④方程f(x)＝0在(1,2)必定有解．其中真命题的个数是( B )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个解析：由导函数与原函数的已知函数值易得f(1)<f(2)，但f(1)可能大于零、等于零、小于零，仅①③正确．二、填空题(本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．) (一)必做题(9～13题)9.某次高三数学联考中，对90分以上(含90分)的成绩进行统计，其频率分布直方图如图所示，若130～140分数段的人数为90，那么90～100分数段的人数为 810 .解析： 90～100分数段的人数为900.05×0.45＝810.10.在正项等比数列{a n }中，若a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＝8，则a 5＋a 6＝ 16 .解析：由a 2＋a 3＝2，a 4＋a 5＝8可得：公比q ＝2，所以a 5＋a 6＝(a 4＋a 5)q ＝16.11.设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，且a>0，b>0，O 为坐标原点．若A 、B 、C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是 8 .解析： A 、B 、C 三点共线，则－1－(－2)a －1＝0－(－2)－b －1，得2a ＋b ＝1，1a ＋2b ＝(1a ＋2b )(2a ＋b)＝4a b ＋b a ＋4≥8，当且仅当2a ＝b ＝12时，等号成立． 12.如果函数f(x)在区间D 上是“凸函数”，则对于区间D 内任意的x 1，x 2，…，x n ，有f (x 1)＋f (x 2)＋…＋f (x n )n ≤f(x 1＋x 2＋…＋x nn)成立．已知函数y ＝sin x 在区间[0，π]上是“凸函数”，则在△ABC 中，sin A ＋sin B ＋sin C 的最大值是332. 解析：由已知“凸函数”性质可得：sin A ＋sin B ＋sin C ≤3sin (A ＋B ＋C 3)＝3sin π3＝332.13.如图，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线依次交抛物线与圆x 2＋(y －1)2＝1于点A 、B 、C 、D ，则AB →·CD →的值是 1 .解析：令y ＝1，特殊位置法求解或由AB ＝AF －1＝y A ，CD ＝DF －1＝y D ，结合抛物线过焦点的直线的性质易得：AB →·CD →＝y A y D ＝1.(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题．)14.(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 1的极坐标方程是4ρcos θ＋kρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t y ＝2＋3t(t 为参数)与直线l 1垂直，则常数k ＝－6 . 解析：直线l 1的直角坐标方程是4x ＋ky －1＝0，直线l 2的直角坐标方程为：3x ＋2y －7＝0，l 1⊥l 2⇒4×3＋k ×2＝0，所以k ＝－6.15.(几何证明选讲选做题)已知⊙O 的直径AB ＝6 cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的一条切线，切点为C ，连接AC ，若∠CPA ＝30°，则PC ＝ 33 cm .解析：作出图形，由已知可得OC ＝3，∠OCP ＝90°，故PC ＝3tan 30°＝3 3.三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 16.(本小题满分12分)已知△ABC 的三内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且满足：a cos C ＝(2b －c)·cos A. 函数f(x)＝4cos x sin (x －A 2)．(1)求函数f(x)＝4cos x sin (x －A 2)在区间[0，π2]上的值域；(2)若函数f(x)的图象的对称中心横坐标为m(其中m 是正实数)，求m 的最小值．解： (1)由已知及正弦定理，有sin A cos C ＝(2sin B －sin C)cos A ，即sin A cos C ＋cos A sin C ＝2sin B cos A.(2分) 所以sin (A ＋C)＝2sin B cos A.因为sin (A ＋C)＝sin B ≠0，所以2cos A ＝1，所以cos A ＝12.又0<A<π，所以A ＝π3.(4分)f(x)＝23sin x·cos x －2cos x·cos x(5分)＝(3sin 2x －cos 2x)－1＝2sin (2x －π6)－1.(7分)因为x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，5π6]，所以－12≤sin (2x －π6)≤1，所以－2≤f(x)≤1，所以f(x)∈[－2,1]．(9分)(2)函数f(x)的图象的对称中心横坐标为m ，由三角函数的性质可知： 2m －π6＝k π，k ∈Z .(10分)m ＝k π2＋π12，k ∈Z .(11分)又因为m >0，所以m 的最小值为π12.(12分)17.(本小题满分13分)某交易会馆拟举行“商品交易会展”活动，每位来宾交30元的入场费，可参加一次抽奖活动．抽奖活动规则是：从一个装有分值分别为1,2,3,4,5,6的六个相同小球的抽奖箱中，有放回的抽取小球两次，每次抽取一个球，规定：若抽得两球的分值和为12分，则获得价值为m 元的礼品；若抽得两球的分值和为11分或10分，则获得价值为100元的礼品；若抽得两球的分值和低于10分，则不获奖．(1)求每位来宾获奖的概率；(2)假设交易会馆这次活动打算即不赔钱也不赚钱，则m 应为多少元？解： (1)两次抽取的球的分值构成的有序数对共有36对，(2分)其中分值和为12的有1对，分值和为11的有2对，分值和为10的有3对，(5分)所以每位来宾获奖的概率为p ＝1＋2＋336＝16.(6分)(2)设每位来宾抽奖后，交易会馆的获利的元数为随机变量ξ，则ξ的可能取值为30－m 、－70、30，(7分) P (ξ＝30－m )＝136，P (ξ＝－70)＝2＋336＝536，P (ξ＝30)＝1－P (ξ＝－70)－P (ξ＝30－m )＝56，(10分)则交易会馆获利的期望为Eξ＝136×(30－m )＋536×(－70)＋56×30＝580－m 36.(12分)若交易会馆这次活动打算既不赔钱也不赚钱，则Eξ＝0，所以，m ＝580.(13分)18.(本小题满分13分)如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线段EF 的中点．(1)求证：AM ∥平面BDE ；(2)求二面角A －DF －B 的大小．(3)试问：在线段AC 上是否存在一点P ，使得直线PF 与AD 所成角为60°？解：方法一：(1)记AC 与BD 的交点为O ，连接OE ，因为O 、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是矩形，所以四边形AOEM 是平行四边形，所以AM ∥OE .又因为OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，所以AM ∥平面BDE .(4分)(2)在平面AFD 中过A 作AS ⊥DF 于S ，连接BS ，因为AB ⊥AF ，AB ⊥AD ，AD ∩AF ＝A ，所以AB ⊥平面ADF ，所以AB ⊥DF ，所以BS ⊥DF . 所以∠BSA 是二面角A —DF —B 的平面角．(6分) 在Rt △ASB 中，AS ＝63，AB ＝2，所以tan ∠ASB ＝3，∠ASB ＝60°，所以二面角A —DF —B 的大小为60°.(8分)(3)设CP ＝t (0≤t ≤2)，作PQ ⊥AB 于Q ，则PQ ∥AD ，因为PQ ⊥AB ，PQ ⊥AF ，AB ∩AF ＝A ，所以PQ ⊥平面ABF ，QF ⊂平面ABF ，所以PQ ⊥QF .(10分) 在Rt △PQF 中，∠FPQ ＝60°，PF ＝2PQ .因为△P AQ 为等腰直角三角形，所以PQ ＝22(2－t )．(12分) 又因为△P AF 为直角三角形，所以PF ＝(2－t )2＋1，所以(2－t )2＋1＝2×22(2－t )．所以t ＝1或t ＝3(舍去)．即点P 是AC 的中点．(13分)方法二：(1)建立如图所示的空间直角坐标系．设AC ∩BD ＝N ，连接NE ，则点N 、E 的坐标分别是(22，22，0)、(0,0,1)，所以NE →＝(－22，－22，1)，又点A 、M 的坐标分别是(2，2，0)、(22，22，1)，所以AM →＝(－22，－22，1)，所以NE →＝AM →且NE 与AM 不共线，所以NE ∥AM .又因为NE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，所以AM ∥平面BDF .(4分) (2)因为AF ⊥AB ，AB ⊥AD ，AF ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面ADF . 所以AB →＝(－2，0,0)为平面DAF 的法向量．因为DB →＝(－2，2，0)，NF →＝(22，22，1)，又NE →·DB →＝(－22，－22，1)·(－2，2，0)＝0，NE →·NF →＝(－22，－22，1)·(22，22，1)＝0.得NE →⊥DB →，NE →⊥NF →，所以NE →为平面BDF 的法向量．(6分) 所以cos 〈AB →，NE →〉＝12，所以AB →与NE →的夹角是60°.即所求二面角A —DF —B 的大小是60°.(8分)(3)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，得PF →＝(2－t ，2－t,1)，(10分) 又因为PF 和AD 所成的角是60°，DA →＝(0，2，0)．所以cos60°＝|(2－t )·2|(2－t )2＋(2－t )2＋1×2，(12分)解得t ＝22或t ＝322(舍去)，即点P 是AC 的中点．(13分) 19.(本小题满分14分)如图所示，在直角梯形ABCD 中，|AD |＝3，|AB |＝4，|BC |＝3，曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等．(1)建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程；(2)过C 能否作一条直线与曲线段DE 相交，且所得弦以C 为中点，如果能，求该弦所在的直线的方程；若不能，说明理由．解： (1)以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点建立直角坐标系，则A (－2,0)，B (2,0)，C (2，3)，D (－2,3)．依题意，曲线段DE 是以A 、B 为焦点的椭圆的一部分．(3分) 因为a ＝12(|AD |＋|BD |)＝4，c ＝2，b 2＝12，所以所求方程为x 216＋y 212＝1(－2≤x ≤4,0≤y ≤23)．(6分)(2)设这样的直线存在，其方程为y －3＝k (x －2)，即y ＝k (x －2)＋3，将其代入x 216＋y 212＝1，得(3＋4k 2)x 2＋(83k －16k 2)x ＋16k 2－163k －36＝0.(9分)设弦的端点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则由x 1＋x 22＝2，知x 1＋x 2＝4，所以－83k －16k 23＋4k 2＝4，解得k ＝－32.(12分) 所以弦MN 所在直线方程为y ＝－32x ＋23，验证得知，这时M (0,23)，N (4,0)适合条件．故这样的直线存在，其方程为y ＝－32x ＋2 3.(14分) 20.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R .(1)若在x ＝1处取极值．求实数a 的值；(2)在(1)的条件下：求函数f (x )的单调递减区间，并证明ln(n ！)2<(n －1)n (其中n ！＝1×2×3×…×n ，n ∈N 且n ≥2)；(3)若关于x 的方程f (x )＝0有两个不同的解，求实数a 的取值范围．解： (1)f ′(x )＝1x－a ，(1分)因为函数f ′(x )在x ＝1时取极值，所以f ′(1)＝1－a ＝0，(2分) 经检验：a ＝1满足f (x )在x ＝1时取极大值．(3分) (2)由(1)f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1＝1－x x<0⇒x >1，所以[1，＋∞)为f (x )的单调递减区间，(5分)所以x ≥1时，f (x )＝ln x －x ≤f (1)＝－1，所以ln x ≤x －1.(当且仅当x ＝1时，等号成立)故ln1＝0，ln2<1，ln3<2，…，ln n <n －1，(6分)所以ln1＋ln2＋ln3＋…＋ln n ＝ln(n ！)<0＋1＋2＋3＋…＋(n －1)＝(n －1)n2，所以2ln(n ！)<(n －1)n ，即：ln(n ！)2<(n －1)n 对任意n ∈N ，n ≥2成立．(8分) (3)关于x 的方程f (x )＝0有两个不同的解，即ln x －ax ＝0有两个不同的解．方法1：因为f ′(x )＝1x－a ，所以当a ≤0时，f ′(x )>0，x ∈(0，＋∞)．即f (x )＝ln x －ax 在(0，＋∞)为单调增函数，故f (x )＝0在(0，＋∞)不可能有两实根．(10分)所以a >0.令f ′(x )＝0，得x ＝1a.当x ∈(0，1a)时，f ′(x )>0，f (x )递增，当x ∈(1a ，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )递减，(12分)所以f (x )在x ＝1a处取到极大值－ln a －1.要使x >0时，f (x )与x 轴有两个交点当且仅当－ln a －1>0. 解得0<a <1e ，故实数a 的取值范围为(0，1e)．(14分)方法2：f (x )＝0的零点个数⇔y ＝ln x 与直线y ＝ax 交点的个数．(9分)所以当a ≤0时，y ＝ln x 递增与直线y ＝ax 下降或与x 轴重合，故交点的个数为1，不合题意，(10分) 所以a >0.由几何意义知y ＝ln x 与直线y ＝ax 交点的个数为2时，直线y ＝ax 的变化应是从x 轴到与y ＝ln x 相切之间的情形．(11分)设切点(t ，ln t )⇒k ＝(ln x )′|x ＝t ＝1t ，所以切线方程为：y －ln t ＝1t(x －t )．(12分)由切线与y ＝ax 重合知a ＝1t ，ln t ＝1⇒t ＝e ，a ＝1e ，(13分)故实数a 的取值范围为(0，1e)．(14分)方法3：转化为a ＝ln xx处理，根据步骤相应计分．21.(本题满分14分)如图，把正偶数数列{2n }中的数按上小下大、左小右大的原则排成如下三角形数表：2 4 6 8 10 12 … … … … … … … … …设a ij (i ，j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数． (1)若a mn ＝2012，求m ，n 的值；(2)已知定义在{x ∈R |x ≠0}上的函数f (x )，对定义域中的任意实数x ，y ，f (x )满足f (xy )f (x )＝f (y )，且f (x ＋y )＝f (xy )f (x )＋f (y )，若记三角形数表中从上往下数第n 行各数的和为b n ，数列{f (b n )}的前n项和A n ，求证：n ≥2时，12<sin A n <22.解析： (1)因为三角形数表中前m 行共有1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2个数，(1分)所以第m 行最后一个数应当是所给偶数数列中的第m (m ＋1)2项．故第m 行最后一个数是2·m (m ＋1)2＝m 2＋m .(2分)因此，使得a mn ＝2012的m 是不等式m 2＋m ≥2012的最小正整数解．由m 2＋m ≥2012得m 2＋m －2012≥0，(3分)所以m ≥－1＋1＋80482>－1＋79212＝－1＋892＝44，所以m ＝45.(4分)于是，第45行第一个数是442＋44＋2＝1982，所以n ＝2012－19822＋1＝16.(5分)(2)由已知f (x )≠0且f (1)＝f 2(1)，故f (1)＝1，(6分) 又因为f (xy )＝f (x )f (y )，所以令x ＝n (n ∈N *)，y ＝1，则f (n ＋1)＝f (n )f (1)f (n )＋f (1)＝f (n )f (n )＋1，所以1f (n ＋1)＝1＋1f (n )，即1f (n )＝1f (n )－1f (n －1)＋1f (n －1)－1f (n －2)＋…＋1f (2)－1f (1)＋1f (1)＝n ，(7分) 即f (n )＝1n.(8分)在所给的偶数阵中，因为第n 行最后一个数是n 2＋n ，且有n 个数，若将n 2＋n 看成第n 行第一个数，则第n 行各数成公差为－2的等差数列，故b n ＝n (n 2＋n )＋n (n －1)2(－2)＝n 3＋n ，(10分)所以f (b n )＝1n 3＋n，(11分)所以n ≥2时，A n ＝12＋110＋…＋1n 3＋n.因为1n 3＋n <1n 3<n ＋1－n (n －1)n (n ＋1)＝12[1n (n －1)－1n (n ＋1)]，(12分)故n ≥2时，0<A n <35＋12[12×3－13×4＋13×4－…＋1(n －1)n －1n (n ＋1)]＝35＋112－12n (n ＋1)<4160<π4.(13分)即π6<A 2＝35<…<A n <π4，由函数y ＝sin x 的单调性证得当n ≥2时，12<sin A n <22.(14分)。

2012广东高考数学理科试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设i 为虚数单位，则复数56i i-= A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --2. 设集合{}{}1,2,3,4,5,6,1,2,4U M ==，则C M =，则BC =4)-B ．(2,4)C ．(6,10)(6,10)--6. 7. 个位C ．29D ．198. 对任意两个非零向量α,β，定义⋅⋅αβαβ=ββ,若向量a,b 满足||||0≥>a b ，a,b 的夹角(0,4πθ∈，且a b 和b a 都在集合|2n n Z ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭中，则a b = A ．12B ．1C ．32D ．52二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。

（一）必做题（9~13题）9. 不等式|2|||1x x +-≤的解集为。

10.261(x x+的展开式中3x 的系数为。

（用数字作答） 11.已知递增的等差数列{}n a 满足21321,4a a a ==-，则n a =。

12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为。

13.执行如图2所示的程序框图，若输入n 则输出s （二）选做题（14~1514.)x t t y =⎧⎪⎨=⎪⎩为参数和()x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数2C 的交点坐标为。

15.为OC12分）0,x R ω>∈）的最小正周期为10π ω的值；516(5)617f πβ-=，求cos()αβ+的值。

13分）4所示，其中成绩分组区间是： [)))))40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100。

1）求图中x 的值；2）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望。

2012年高考理科数学广东卷-答案

所以，即，
所以椭圆的方程为：，设椭圆上的一动点，，
则．
①若，当时，，解得；
②若，；
综合①②，，所以椭圆的方程为；
（Ⅱ）假设在椭圆上，存在点满足题意，则，在中，，，所以当时，有最大值，此时，点到直线的距离，即，，，
所以在椭圆上存在点，使得直线与圆相交于不同的两点、，且的面积最大，最大值为．
体积．
【提示】由题设知，组合体上部是一个母线长为5，底面圆半径是3的圆锥，下部是一个高为5，底面半径是3的圆柱，分别根据两几何体的体积公式计算出它们的体积再相加即可得到正确选项．
【考点】由三视图求几何体的体积
7.【答案】D
【解析】设个位数与十位数分别为，则，，，，，，，，，所以，分别为一奇一偶；
【考点】排列与组合及其应用
8.【答案】C
【解析】设，，，．
因为，所以，所以或或或，
因为，所以，即，则，，
因为，所以，所以只能取，，
则．
【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集合的知识求解即可．
【考点】集合的含义，平面向量的数量积的运算
所以为的数学期望为．
【提示】（Ⅰ）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；
（Ⅱ）不低于8（0分）的学生有12人，9（0分）以上的学生有3人，则随机变量的可能取值有0，1，2，然后根据古典概型的概率公式求出相应的概率，从而可求出数学期望．
【考点】分布列与期望
18.【答案】（Ⅰ）因为平面，平面，
【考点】函数单调性的判断

广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷4.pdf

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科4 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数集与之的关系是（） A．；B．； C．；D． 2. 下列四个命题中，真命题的个数为（）（1）若两平面有三个公共点，则这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若；（4）空间中，相交与同一点的三条直线在同一平面内。

A.1B.2C.3D.4 3. 若则向量的关系是（） A．平行 B．重合 C．垂直 D．不确定 4. 已知函数（其中）的图象如下面右图所示，则函数的图象是( ) A B C D 5. 在ABC中，若，ABC的形状.( )A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.等边三角形 6. 已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是 (A)－1 (B)1 (C)－45 (D)45 7. 从2004名学生中选取50名组成参观团，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2004人中剔除4人，剩下的2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的概率 A．不全相等B．均不相等C．都相等且为D．都相等且为 8. 已知函数f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图2—3，则（） A.b∈（－∞，0） B.b∈（0，1） C.b∈（1，2） D.b∈（2，＋∞）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9 ~ 12题） 9. 在（x－）2012 的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于 10. 右图中有一个信号源和五个接收器。

接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号。

若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是 11. 下列四个条件中，是的充要条件条件的是 ①， ②， ③为双曲线， ④， ⑤或；有两个不同的零点。

广东省执信中学2012届高三模拟试题数学理

高三数学（理科）综合测试 2012.5.17 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分 1．已知集合{35}{55}M x |x ,N x |x ,x ,=-<≤=<->或则MN =（）A ．{53}x |x x <->-，或B ．{55}x|x -<<C ．{35}x|x -<<D ．{35}x |x x <->，或 2．复数31()i i-等于（）A ．8iB ．8i -C ．8D ．8-3．与直线l 1：012=--y m mx 垂直于点P （2，1）的直线l 2的方程为（）A ．01=-+y xB ．03=--y xC ．01=--y xD ．03=-+y x4．函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（）5．—个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（） A ．12π B ．15π C ．24π D ．36π6．有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有（）A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种7．下列四个判断：①某校高三一班和高三二班的人数分别是,m n ，某次测试数学平均分分别是,a b ，则这两个班的数学平均分为2a b+； ②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数为a ,中位数为b ,众数为c ，则有b a c >>；③从总体中抽取的样本11221111(,),(,),,(,),,n nn n i i i i x y x y x y x x y y n n ====∑∑若记，则回归直线y =bx a +必过点（,x y ）④已知ξ服从正态分布(0N ,2)σ，且(20)0.4P ξ-≤≤=，则(2)0.2P ξ>= 其中正确的个数有：（）A ．3个B ． 2 个C ．1 个D ．0个8．设实数y x ,满足：⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≥++0201053x y x y x ，则yx z 42+=的最小值是（）A ．41B ．21C ．1D ．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答 9．不等式|3||3|3x x +-->的解集是．ks5u11．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a 是3a 与7a 的等比中项，832S =，则10S 等于_______.12．已知向量(,1)a x =与(4,)b x =，且a 与b 的夹角为π，则x = .13．由5个元素构成的集合{4,3,1,0,1}M =-，记M 的所有非空子集为1M ，2M ，，31M ，每一个(1,2,31)i M i =中所有元素的积为i m ，则1231m m m +++= .（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线2ρ=与cos sin 0θθ+=（0θπ≤≤）的交点的极坐标为．15．（几何证明选讲选做题）如图，AB 的延长线上任取一点C ，过C 作圆的切线CD ，切点为D ，ACD ∠的平分线交AD 于E ,则CED ∠= ．三、解答题：16．(本题满分12分)已知函数2()cos 2sin 333x x xf x =-. （Ⅰ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若()1f C =，且2b ac =，求sin A 的值17．(本题满分12分) 李先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有1L 、2L 两条路线（如图），1L 路线上有1A 、2A 、3A 三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；2L 路线上有1B 、2B 两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.（Ⅰ）若走1L 路线，求最多．．遇到1次红灯的概率；（Ⅱ）若走2L 路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；（Ⅲ）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.18．（本题满分14分）如图（1），矩形ABCD 中，已知2AB =，AD =MN 分别为AD 和BC 的中点，对角线BD 与MN 交于O 点，沿MN 把矩形ABNM 折起，使平面ABNM 与平面MNCD 所成角为60，如图（2）（Ⅰ）求证：BO DO ⊥；（Ⅱ）求AO 与平面BOD 所成角的正弦值.12OAB DCMADCMNO19．（本题满分14分）已知正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足233312n n S a a a =+++；（I ）求证：数列{}n a 为等差数列，并求出通项公式；（II ）设211(1)(1)n n nb a a a =---，若1n n b b +>对任意*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

广东省2012届高三数学(理科)全真模拟卷2

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科2一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知,a b 是实数，则“0a >且0b >”是“0a b +>且0ab >”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件2.已知全集U R =，集合{212}M x x =-≤-≤和{21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 无穷多 3. 若复数z 满足方程220z +=，则3z =A.±-- D. ± 4. 设0a >，对于函数()sin (0)sin x af x x xπ+=<<，下列结论正确的是A ．有最大值而无最小值B ．有最小值而无最大值C ．有最大值且有最小值D ．既无最大值又无最小值5. 已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 重点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（A 15356. 在二项式251()x x-的展开式中，含4x 的项的系数是( ) A ．10- B ．10 C ．5- D ．57.如图所示，f i （x ）（i =1，2，3，4）是定义在［0，1］上的四个函数，其中满足性质：“对［0，1］中任意的x 1和x 2，任意λ∈［0，1］，f ［λx 1+（1－λ）x 2］≤λf （x 1）+（1－λ）f （x 2）恒成立”的只有（）A.f 1（x ），f 3（x ）B.f 2（x ）C.f 2（x ），f 3（x ）D.f 4（x ）8. 若a ,b ,c ＞0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为（A ）3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（９～１２题）9.在正方体上任选3个顶点连成三角形，则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率为 10．若三点(2,2),(,0),(0,)(0)A B a C b ab ≠共线，则11a b+的值等于__________. 11. 在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________. 12. 执行下边的程序框图，输出的T= .（二）选做题（13 ~ 15题，考生只能从中选做两题）13. （不等式选讲选做题）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n+的最小值为_______.14. （坐标系与参数方程选做题）设M 、N 分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则M 、N 的最小距离是 15. (几何证明选讲选做题）如图，在正三角形ABC 中，E 、F 依次是AB 、AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，F Ｇ⊥BC ，D 、H 、G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转一周所得的圆锥的体积为V ，则其中由阴影部分所产生的旋转体的体积与V 的比值是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤， 16. （本小题满分12分）设函数()f x a b =，其中向量(2cos ,1),(cos ,3sin 2),a x b x x x R ==∈（1）若函数()1,,;33f x x x ππ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦且求（2）若函数2sin 2y x =的图象按向量(,)()3c m n m π=<平移后得到函数()y f x =的图象，求实数m,n 的值。

广东省2012届高三全真模拟卷数学理8.

广东省2012届高三全真模拟卷数学理科8一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知}01|{},0|{=-==-=ax x N a x x M ,若N N M =⋂，则实数a 的值为（）A.1B.－1C.1或－1D.0或1或－12．已知为虚数单位，则ii+1的实部与虚部之积等于（） A ．41 B ．41- C ．i 41 D ．i 41-3.阅读如图所示的算法框图，输出的结果S 的值为（）A ．．0 D 4.等比数列{a n }中，a 3=6，前三项和3304S xdx =⎰，则公比q 的值为 A.1B.12-C.1或12-D.1-或12-5.如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱AA 1⊥面A 1B 1C 1，正视图是边长为2的正方形，俯视图为一个等边三角形，该三棱柱的左视图面积为A. C. D.46.已知α、β是两个不同平面，m 、n 是两条不同直线，则下列命题不正确．．．的是( )A ．//,,m αβα⊥则m β⊥B ．m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥αC ．n ∥α，n ⊥β，则α⊥βD ．m ∥β，m ⊥n ，则n ⊥β7．在锐角ABC ∆中，2,A B B C ∠=∠∠∠、的对边长分别是b c 、，则bb c+的取值范围是（）A 、11(,)43B 、11(,)32C 、12(,)23D 、23(,)348．设P 是△ABC 内任意一点，S △ABC 表示△ABC 的面积，λ1＝ABc PBC S S ∆∆， λ2＝ABCPCA S S∆∆，λ3＝ABC PAB S S ∆∆，定义f （P ）=（λ1, λ, λ3）,若G 是△ABC 的重心，f （Q ）＝（21，31，61），则（）A ．点Q 在△GAB 内 B ．点Q 在△GBC 内 C ．点Q 在△GCA 内D ．点Q 与点G 重合二、填空题：（本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分）（一）必做题（9～13题）9．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布)0)(,1(2>σσN ．若ξ在(0，1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0，2)内取值的概率为．10．若1()n x x-的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为。

2012年广东高考第三次数学模拟测试

2012年广东高考第三次数学模拟测试考试科目：理科数学考试时间：120分钟总分：150分命题人：黄杰相关计算公式：①若x x f tan )(=，则x x f 2tan 1)(+=' ②锥体的体积计算公式：()Sh V 31=锥一、单项选择题。

（本大题共8小题，每小题5分，共40分。

错选、不选不得分。

）1.平面上任意两个非零向量a 、b ，若满足）（0λλ≠=b a ，则向量a、b 的关系不可能．．．是（） A.共线向量 B.相反向量 C.相交向量 D.重合向量 2.若复数1z =()R b a bi a ∈+,，的共轭复数为2z ，则下列不正确．．．的是（） A.21z z ∙=22b a + B.a z z 221=+ C.121=z zD.b z z 221=-3.函数()x x f 2log =，()x x g 2=，()⎩⎨⎧<≥=)()(),()()(),(x f x g x g x f x g x f x F ，则()x F 的极小值是（） A.-1 B.0 C.1 D.24.对于直线c b a ,,和平面γ,β,α，给出命题p ：若a ∥b ，且b ∥α，则a ∥α；q ：若γβ⊥，且β⊥c ，则γ⊥c 。

下列组合命题是真命题的是（）A.p ∨⌝qB.p ∧⌝qC.⌝p ∧qD.p ∨q5.若变量y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-+≤-+0520113203145y x y x y x ，则目标函数x y z =的取值范围是（）A.）（3,71-B.)31,7(- C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-31,7 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,716.数列{}1-n a 是等差数列（公差d>0），且其第3项，第5项，第8项成等比数列，则111--+a a a n n =（） A.1 B.21 C.2 D.1-7.有6名男生，4名女生排成人数相等的两排，要求两排中女生人数不均匀，且有且只有2名女生在其中一排中的相邻位置（不考虑排与排的相邻），无相邻女生的那一排中女生不站在中间的3个位置，则不同的排法数是（）A.138240B.207360C.414720D.1843208.已知函数()x f 的定义域为R ，若对任意的m ∈[-1,1]，都有m ()x f ()mx f ≤，且()()∑<∑+∞→→→-∞→x x x x x f x f 0（只考虑定义域的一一对应），则称()x f 在定义域上“一边倒”。

2012年高考理科数学广东卷有答案

数学试卷第1页（共18页）数学试卷第2页（共18页）数学试卷第3页（共18页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共6页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.2.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.4.作答选做题时,请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答.漏涂、错涂、多涂的,答案无效.5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.参考公式：柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为锥体的底面积,h 为锥体的高.一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 设i 为虚数单位,则复数56ii-= （）A .65i +B .65i -C .65i -+D .65i -- 2. 设集合{1,2,3,4,5,6}U =,{1,2,4}M =,则U M =ð（）A .UB .{1,3,5}C .{3,5,6}D .{2,4,6}3. 若向量(2,3)BA =,(4,7)CA =,则BC = （） A .(2,4)-- B .(2,4) C .(6,10)D .(6,10)--4. 下列函数中,在区间(0,)+∞上为增函数的是（）A .ln(2)y x =+ B.y =C .1()2x y =D .1y x x=+5. 已知变量x ,y 满足约束条件211 y x y x y ⎧⎪+⎨⎪-⎩≤≥≤,则3z x y =+的最大值为（）A .12B .11C .3D .1- 6. 某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（）A .12πB .45πC .57πD .81π7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是（）A .49 B .13C .29D .198. 对任意两个非零的平面向量α和β,定义=αβαβββ.若平面向量a ,b 满足||||0a b ≥＞,a 与b 的夹角π(0,)4θ∈,且a b 和b a 都在集合{|}2nn ∈Z 中,则=a b （）A .12B .1C .32D .52二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9～13题）9.不等式|2||1|x x +-≤的解集为_______.10.261()x x+的展开式中3x 的系数为_______.（用数字作答）11.已知递增的等差数列{}n a 满足11a =,2324a a =-,则n a =_______.12.曲线33y x x =-+在点(1,3)处的切线方程为________.13.执行如图2所示的程序框图,若输入n 的值为8,则输出s 的值为________.（二）选做题（14—15题,考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 和2C 的参数方程分别为x ty =⎧⎪⎨=⎪⎩t为参数）和x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）,则曲线1C 与2C 的交点坐标为________.15.（几何证明选讲选做题）如图3,圆O 的半径为1,A 、B 、C 是圆周上的三点,满足30ABC ∠=,过点A 作圆O 的切线与OC 的延长线交于点P ,则PA =_______.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题：本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数π()2cos()6f x xω=+（其中0ω>,x∈R）的最小正周期为10π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设π[0,]2αβ,∈,56(5π)35fα+=-,516(5π)617fβ-=,求cos()αβ+的值.17.（本小题满分13分）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是：[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].（Ⅰ）求图中x的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ,求ξ的数学期望.18.（本小题满分13分）如图5所示,在四棱锥P ABCD-中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,点E在线段PC上,PC⊥平面BDE.（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）若1PA=,2AD=,求二面角B PC A--的正切值.19.（本小题满分14分）设数列{}na的前n项和为nS,满足11221nn nS a++=-+,*n∈N,且1a,25a+,3a成等差数列.（Ⅰ）求1a的值；（Ⅱ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n,有1211132na a a+++＜.20.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：22221x ya b+=（a b＞＞）的离心率e=且椭圆C上的点到点(0,2)Q的距离的最大值为3.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C上,是否存在点(,)M m n,使得直线l：1mx ny+=与圆O：221x y+=相交于不同的两点A、B,且OAB△的面积最大？若存在,求出点M的坐标及对应的OAB△的面积；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）设1a＜,集合{|0}A x x=∈＞R,2{|23(1)60}B x x a x a=∈-++＞R,D A B=.（Ⅰ）求集合D（用区间表示）；（Ⅱ）求函数32()23(1)6f x x a x ax=-++在D内的极值点.数学试卷第4页（共18页）数学试卷第5页（共18页）数学试卷第6页（共18页）数学试卷第7页（共18页）数学试卷第8页（共18页）数学试卷第9页（共18页）2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)答案解析【答案】A【解析】()2,4BC BA AC BA CA =+=-=--．【提示】由向量(2,3)BA =，向量(4,7)CA =，知(2,AB =-，(4,7)AC =--BC AC AB =-能求出结果．4.【答案】A借助于图像可知：当3x =，2y =时，max 11z =．||cos ||a b θ，||cos ||y b a θ，x ，，所以4cos Z ，所以cos θ2223||||a b ，3||||b a ∈Z ， ||||0a b ≥>，所以||1||a b ≥，所以只能取||3||a b =，||1||3a b =，则||cos 33322||a ab b θ==⨯=．【提示】定义两向量间的新运算，根据数量积运算与新运算间的关系进行化简，再运用集数学试卷第10页（共18页）数学试卷第11页（共18页）数学试卷第12页（共18页）60，所以60，因为直是直角三角形，最后利用三角函数tan603=【考点】同弧所对的圆周角与圆心角的关系，切线的有关性质（Ⅰ）10T =π=65f ⎛-= ⎝3sin 5α∴=1617f ⎛= ⎝cos β∴=110(0.054x f =-0.018x ∴=（Ⅱ）成绩不低于PA PC P =，PAC ； ACBD O =，连结数学试卷第13页（共18页）数学试卷第14页（共18页）数学试卷第15页（共18页）所以(0,0,1)P ，(0,2,0)，所以(2,DB =-的一个法向量，(0,2,0)BC =，(2,0,1)BP =-设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =22n BC y n BP x z ⎧==⎪⎨=-+⎪⎩2，取(1,0,2)n =，PC A -的平面角为θ，21||||8510DB n DB n ==所以二面角BPC A --的正切值为3．（Ⅰ）2n n S a +=127a a ⎧⎪-⇒⎨⎪133n -，所以1221122222n n n n n n n C C --++⋯++- 122-1-1222222n n n n n n C C C +++>1)-522(21)=>⨯⨯-，数学试卷第16页（共18页）数学试卷第17页（共18页）数学试卷第18页（共18页）1||||sin 2OA OB AOB ∠点O 到直线AB 的距离d 1)x a+2)(,)x +∞，，2(,A x B +∞=13a <≤时，2)(,)x +∞，30a =>，所以2212339309339309(0,)(,)0,,44a a AB a a a a x x ⎛⎫⎛+--+++-++∞=+∞ ⎪⎪ ⎝⎝⎭=()0g x >AB =(0,+∞综上所述，当0a ≤时，33a ⎫⎛++⎪ ⎪ ⎭⎝2)(,)x +∞，()f x 随x 的变化情况如下表：a。

广东省2012届高三下学期高考压轴卷数学(理)试题

广东省2012届高三下学期高考压轴卷数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1、已知i 是虚数单位，m 、n ∈R ，且i 1i m n +=+，则iim n m n +=- ( ) （A ）1- （B ）1（C ）i -（D ）i2、已知ABCD 中，(3,7)AD = ，(2,3)AB =-，对角线AC 与BD 交于点O ，则CO 的坐标为 ( ) A.1,52⎛⎫-⎪⎝⎭ B. 1,52⎛⎫⎪⎝⎭ C. 1,52⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D. 1,52⎛⎫- ⎪⎝⎭3、给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若a b >，则221a b >-”的否命题为“若a b ≤，则221a b ≤-”； ③“2,11x x ∀∈+≥R ”的否定是“2,11x x ∃∈+≤R ”；④在△ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件.其中不正确．．．的命题的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1 4、阅读右面程序框图，如果输出的函数值在区间11[,]42内，则输入的实数x 的取值范围是（）（A ）(,2]-∞- （B ）[2,1]-- （C ）[1,2]- （D ）[2,)+∞ 5、已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++同时有极大值和极小值、则实数a 的取值范围是( ) .(1,2).(,3][6,).(3,6)(,3)(6,)A B C D ---∞-⋃+∞---∞-⋃+∞6、椭圆()012222>>=+b a b y a x 和圆2222⎪⎭⎫⎝⎛+=+b c y x （其中c 为椭圆半焦距)有四个不同的交点，则椭圆离心率的范围是：3)5A ⋅ (5B ⋅ 3)5C ⋅ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅55,0D 7、口袋中有红球2个，黑球3个，白球5个，他们只有颜色不同，从中取出4个，取出的球中同色的两个为一组，若红色一组得5分，黑色—组得3分，白色一组得1分，则得分总数取得最大值的概率为（）701.A 352.B 501.C 73.D8、一个平面封闭区域内任意两点距离的最大值称为该区域的“直径”，封闭区域边界曲线长度与区域直径之比称为区域的“周率”，下面四个平面区域(阴影部分)的周率从左到右依次记为4321,,,ττττ则下列关系中正确的为( ）341.ττ>>x A 213.τττ>>B 324.τττ>>C 143.τττ>>D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. (一)必做题(11～13题)9．集合B A x x B x x x A ⋃<-=≥+-=},3|2||{},043|{= . 10．在等差数列{a n }中，若a 9=6则3731a a -= .11．()()51x x a ++的展开式中2x 项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是_______12. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积与其外接球面积之比为_______ 13．已知抛物线24y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则AB 的最大值为(二)选做题(14、15题，考生只能从中选做一题). 14、在极坐标系中，过点)22(π，且平行于极轴的直线的极坐标方程为____________15、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线，分别交⊙O 1、⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P ．若AD 是⊙O 2的切线，且PA=6，PC =2，BD =9，则AD 的长为________。

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广东省2012届高三全真模拟卷数学理科18一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知2{|log 1}A x x =>，函数()f x =的定义域为B 则A B = （）CA ．φB ．(,3)-∞C ．(2,3)D ．(2,)+∞2．设正项等比数列{}n a ，{}lg n a 成等差数列，公差lg 3d =，且{}lg n a 的前三项和为6lg 3，则{}n a 的通项为BA ．lg 3nB ．3nC ．3nD ．13n - 3.已知直线a 、b 和平面M ，则//a b 的一个必要不充分条件是（）D A. ////a M b M ， B. a M b M ⊥⊥，C. //a M b M ⊂，D. a b 、与平面M 成等角4.函数xxa y x=(01)a <<的图象的大致形状是（）.D5．长方体1111ABCD A B C D -中，E 为11B C 的中点，AB a = ，AD b = ，DE c =，则1BD = AA ． 322a b c -++B ．12a b c -++C ．a b c ++D ．12a b c -+6．如果实数y x ,满足:⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-+≤+-010201x y x y x ，则目标函数y x z +=4的最大值为C A.2B.3C.27 D.47．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为（）.B A ．0.5小时 B ．1小时 C ．1.5小时 D ．2小时 8．对于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即[x ]是不超过x 的最大整数，例如[2]=2；[1.2]=2；[2.2-]=3-, 这个函数[x ]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用。

那么]64[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ 的值为( )CA ．21B ．76C ． 264D ．642二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. 9．ABC ∆中，AB =，BC =，045A =，B ∠为ABC ∆中最大角，D 为AC 上一点，12AD DC =，则BD10从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99%参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++11．⎰-329x 的值等于____________．49π 12．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是____________．．cos x -13．用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种． 108 14．（几何证明选讲选做题）如图所示，AB 是半径等于3的圆O 的直径，CD 是圆O 的弦，BA ，DC 的延长线交于点P ，若PA=4，PC=5，则CBD ∠=15．（坐标系与参数方程选做题）圆心的极坐标为(3)6C π，，半径为3的圆的极坐标方程是B6cos()6πρθ=-三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函()sin()(0,||)f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示： (1)求,ωϕ的值；(2)设g()()()1228x x x f π=--，当[0,]2x π∈时，求函数()g x 的值域．解：(1)由图象知：4()24T πππ=-=，则：22Tπω==，……………2分由(0)1f =-得：sin 1ϕ=-，即：()2k k z πϕπ=-∈，…………………4分∵||ϕπ< ∴ 2πϕ=-。

………………………………………6分(2)由(1)知：()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，……………………………7分∴g()()()1cos )[cos()]12284xx x f x x ππ=--=----2sin )]12cos 2sin cos 1x x x x x x =+-=+-cos 2sin 2)4x x x π=+=+，………………………………………10分当[0,]2x π∈时，52[,]444x πππ+∈，则sin(2)[4x π+∈，∴()g x 的值域为[-。

………………………………………………12分17．(本小题满分12分)有５个大小重量相同的球，其中有３个红球２个蓝球，现在有放回地每次抽取一球，抽到一个红球记１分，抽到一个蓝球记1-分．（1）ξ表示某人抽取３次的得分数，写出ξ的分布列，并计算ξ的期望和方差；（2）若甲乙两人各抽取３次，求甲得分数恰好领先乙２分的概率．解：（１）3113ξ=--，，，，其分布列为ξ3 1 1- 3-P（4分）ξ的期望是275436831(1)(3)125125125125E ξ=⨯+⨯+-⨯+-⨯35=（5分） ξ的方差是222232735433638(3)(1)(1)(3)5125512551255125D ξ=-⨯+-⨯+--⨯+--⨯ 7225= （6分）答：ξ的期望是35，ξ的方差是7225（7分）（２）若“甲得分数恰好领先乙２分”为事件A ，包含以下三个基本事件，即甲得3分乙得1分、甲得1分乙得1-分或甲得1-分乙得3-分，（9分）则27545436368738()1251251251251251253125P A =⨯+⨯+⨯=（11分）答：甲得分数恰好领先乙２分的概率是7383125（12分）18．(本小题满分14分）在平面直角坐标系中，点(10)A ，、(10)B -，，已知||CA =，BC 的垂直平分线交AC 于D ，当点C 动点时，D 点的轨迹图形设为E（1）求E 的标准方程；2212x y +=（2）点P 为E 上一动点，点O 为坐标原点，设221PO PA λ+=，求λ的最大值．解：（Ⅰ）．设()D x y ，是BC 的垂直平分线，∴||||DB DC =∴||||||2||DB DA AC AB +==>=∴D 点的轨迹图形E 是A B 、为焦点的椭圆（3分）其中2a =，1c =，∴a =2221b a c =-= （5分）∴D 点的轨迹图形E ：2212x y += （7分）（Ⅱ）设[]2,2),,(-∈x y x P ，则222y x PO+=，（8分）222)1(y x PF+-= （9分）2222222222222121)1(1yx xy x y x x y x y x POPA +-=++-=+-+-=-=λ （10分）点),(y x P 满足2212x y +=，∴2122x y -=，（11分） 241122122+-=+-=x xx x λ （12分）当0≥x 时，1≤λ当0<x 时，设x t -=，则]2,0(∈t ，tt t t2412412++=++=λ （13分）因为222≥+tt ，所以21+≤λ，当且仅当2=t 时，即2-=x 时，λ取得最大值21+．（14分）19．(本小题满分14分）如图（1），C 是直径2AB =的O 上一点，AD 为O 的切线，A 为切点，ACD ∆为等边三角形，连接DO 交AC 于E ，以AC 为折痕将ACD ∆翻折到图（２）的ACP ∆位置．（1）求证异面直线AC 和PO 互相垂直；（2）若三棱锥P ABC -A PCB --的正弦值．（1）证明：等边三角形ACD ∆中AD DC =，AD 为O 的切线，A 为切点， ∴DO AC ⊥且E 为AC 中点以AC 为折痕将ACD ∆翻折到图（２）的ACP ∆位置时，仍有PE AC ⊥，OE AC ⊥ （2分） ∴AC ⊥平面PEO （4分） ∴AC PO ⊥ （5分）（2）解：在图（2）中，过P 作PK EO ⊥于K ，连接KA KB KC 、、，AC ⊥平面PEO∴AC PK ⊥∴PK ⊥平面O （7分）PA PC =∴KA KC =图（1）中060DAC ∠=，2AB =为O 的直径，AD 为O 的切线，A 为切点，∴t R ACB ∆中，AC AD DC ===AP PC ==1BC =∴1132P ABC V AC BC PK -=⋅⋅⋅==（8分）∴PK = ∴1KA KC ==∴K O 、重合∴PO ⊥平面O （10分）∴PA PB PC ===，1OA OB OC BC ====过B 作BF ⊥平面PAC 于F ，过B 作BG PC ⊥于G ，连接FG则PC ⊥平面BFG ， ∴FG PC ⊥∴BGF ∠就是二面角A PC B --的平面角（11分）由三棱锥P ABC -的体积21133P ABC PAC V BF S BF -∆==⋅=得BF =（12分）等腰三角形PBC中，BG =∴sin BF BGF BG ∠=== ∴二面角A PC B --的正弦值的正弦值为．（14分）20．(本小题满分14分）设数列{a n }为前n 项和为S n ，数列{b n }满足：b n =na n ，且数列{b n }的前n 项和为(n -1)S n +2n (n ∈N *)． (1)求a 1,a 2的值；(2)求证：数列{ S n +2}是等比数列；(3)抽去数列{a n }中的第1项，第4项，第7项，……，第3n -2项，余下的项顺序不变，组成一个新数列{c n }，若{c n }的前n 项和为T n ，求证：12 5 ＜T n+1 T n ≤11 3。

解：(1)由题意得：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1) S n +2n ；当n =1时，则有：a 1=(1-1)S 1 +2，解得：a 1=2；当n =2时，则有：a 1+2a 2=(2-1)S 2 +4，即2+2a 2=(2+a 2)+4，解得：a 2=4。

（3分） (2)由a 1+2a 2+3a 3+…+na n =(n -1)S n +2n ，……① 得a 1+2a 2+3a 3+…+na n +(n +1)a n +1= n S n +1+2(n +1) ， ②②-①得：(n +1)a n +1=nS n +1-(n -1)S n +2，（4分）即 (n +1)(S n +1- S n )= nS n +1-(n -1)S n +2，得S n +1=2S n +2； ∴ S n +1+2=2(S n +2)，（5分）由S 1+2= a 1+2=4≠0知数列{ S n +2}是以4为首项，2为公比的等比数列。