§2.7.4对数(4)

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对数的概念课件

在社会科学中的应用
统计学
在统计学中，对数被广泛应用于概率和统计模型的构建，例如泊
松分布、二项分布等。
经济学
在经济学中，对数被用于描述货币的交换和增长，例如复利计算
和汇率换算。
计算机科学
在计算机科学中，对数的概念被用于数据压缩、加密解密等领域，例如哈夫曼编码和RSA算法。
04
对数的运算技巧
应用场景
在解决与对数相关的问题时，如比较大小、求解未知数等，可以利用对数的运算法则简化计算过程。
对数函数的图像和性质
01
对数函数的图像是单调递增的，随着自变量x的增大，函数值y也相应增大。此外，对数函数具有一些基本性质，如定义域为正实数集，值域为全体实数等。这些性质在对数函数的图像和性质中都有所体现。
注意事项
在进行负数对数运算时，需要注意负数的绝对值不能为零，且负数的值必须在合理的范围内（通常为正数）。同时，对于一些特殊的负数形式，如自然对数的底数e的负次幂，需要特别注意运算的技巧和准确性。
乘除法运算
乘除法运算
在对数的乘除法运算中，需要注意运算法则和运算顺序。例如，在进行乘法运算时，需要将底数相乘后再取对数值；在进行除法运算时，需要将底数取倒数后再取对数值。同时，需要注意运算的优先级和括号的使用。
注意事项
在进行分数对数运算时，需要注意分母不能为零，且分数的值必须在合理的范围内（通常为正数）。同时，对于一些特殊的分数形式，如自然对数的底数e的分数次幂，需要特别注意运算的技巧和准确性。
负数对数运算
负数对数运算
在处理负数的对数时，需要注意负数的对数值是复数。因此，在进行负数对数运算时，需要特别注意运算的规则和技巧。例如，计算以负数为底数的对数时，可以将负数取绝对值后再进行对数运算；计算以负数为真数的对数时，可以先将负数转换为正数，再取该正数的对数值。

对数公式大全

对数公式大全对数是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有着广泛的应用。

在本文中，我们将为大家介绍对数的基本概念和常见的对数公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用对数。

1. 对数的基本概念。

对数是指以某个数为底数，使得这个数的幂等于另一个给定的数。

通常我们用log表示对数，其中底数为log的下标，后面的数为真数。

例如，以10为底数的对数，我们通常用log表示，如logx，其中x为真数。

2. 常见的对数公式。

（1）对数的性质。

对数的性质包括对数的加法性、减法性、乘法性、除法性和幂的性质。

这些性质在计算对数时非常有用，可以帮助我们简化计算过程。

（2）常用对数公式。

常用的对数公式包括：对数的换底公式，logab = logcb / logca。

对数的乘法公式，logab + logac = loga(bc)。

对数的除法公式，logab logac = loga(b/c)。

对数的幂的公式，loga(b^c) = c logab。

（3）特殊对数公式。

特殊的对数公式包括：自然对数的底数e，lnx = logex。

以10为底数的对数，lgx = log10x。

3. 对数的应用。

对数在各个领域都有着广泛的应用，如在生物学中用于描述生长速率、在物理学中用于描述震级、在经济学中用于描述复利计算等。

对数的应用不仅限于数学领域，而是贯穿于各个学科和实际生活中。

4. 总结。

通过本文的介绍，我们对对数的基本概念和常见的对数公式有了更深入的了解。

对数作为数学中的重要概念，在实际应用中有着重要的作用，希望大家能够通过学习和掌握对数的知识，更好地应用于实际问题中。

在数学学习中，对数是一个重要的知识点，掌握对数的基本概念和常见的对数公式对于提高数学水平和解决实际问题都具有重要意义。

希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和运用对数，为数学学习和实际应用提供帮助。

对数运算公式表

对数运算公式表一、定义和性质1. 对数的定义：对数是一个数学函数，它表示一个数以某个基数为底的幂的指数。

比如，以10为底的对数表示为log10(x)，读作“以10为底x的对数”。

2. 对数运算的性质：对数运算满足以下性质：a) log(ab) = log(a) + log(b) （对数的乘法法则）b) log(a/b) = log(a) - log(b) （对数的除法法则）c) log(a^b) = b*log(a) （对数的幂法法则）二、常用对数1. 常用对数：以10为底的对数，表示为log(x)，读作“x的常用对数”。

例如，log(100) = 2，log(1000) = 3。

2. 常用对数的性质：a) log(1) = 0 （任何数以10为底的对数都等于0）b) log(10) = 1 （10的常用对数等于1）三、自然对数1. 自然对数：以自然常数e（约等于2.71828）为底的对数，表示为ln(x)，读作“x的自然对数”。

例如，ln(e) = 1，ln(1) = 0。

2. 自然对数的性质：a) ln(xy) = ln(x) + ln(y) （对数的乘法法则）b) ln(x/y) = ln(x) - ln(y) （对数的除法法则）c) ln(e^x) = x （对数的幂法法则）四、对数运算的应用1. 对数运算在科学和工程领域有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：a) 数据压缩：对数运算可以将大范围的数据压缩到较小的范围内，方便存储和处理。

b) 数据可视化：对数坐标轴可以将指数增长的数据呈现为线性增长，更直观地展示数据变化趋势。

c) 概率统计：对数运算在概率统计中常用于处理概率的乘法和除法，简化计算过程。

d) 信号处理：对数运算常用于音频和图像处理中，可以提高信号的动态范围和信噪比。

e) 金融投资：对数收益率常用于金融投资中的风险评估和回报分析。

五、总结对数运算是一种重要的数学工具，广泛应用于各个领域。

对数公式及对数函数的总结

对数公式及对数函数的总结对数公式是数学中一种重要的数学工具，可以用来简化复杂的计算、求解方程和表示关系等。

对数公式和对数函数广泛应用于数学、物理、工程等领域，有很多重要的性质和应用。

下面将对对数公式及对数函数的性质、定义以及应用进行总结。

一、对数公式1. 对数的定义：设a>0且a≠1，b>0，则称b是以a为底的对数的真数，记作b=logₐb。

a称为对数的底数，b称为真数，带底数和真数的对数，称为对数的对数。

对数的定义可以用反函数的概念来构造对数函数，即对数函数是幂函数的反函数。

2. 常用对数公式：常用对数是以10为底的对数，记作logb(x)，其中b=10，x>0。

常用对数公式如下：十进制和对数公式：logb(xy) = logb(x) + logb(y)数字乘方和对数公式：logb(x/y) = logb(x) - logb(y)对数乘方和对数公式：logb(x^k) = klogb(x)对数的换底公式：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中c>0且c≠1自然对数的定义：ln(x) = logₑ(x)自然对数的性质：ln(e^x) = x，其中x为任意实数。

二、对数函数1. 对数函数的定义：对数函数y=logₐ(x)是幂函数y=a^x的反函数，其中a>0且a≠1、对于任意正数x和任意实数a，对数函数的守恒是：a^logₐ(x) = x。

2.对数函数的性质：对数函数有以下性质：a) 当0<x<1时，0<logₐ(x)<∞；当x>1时，-∞<logₐ(x)<0。

b) 对数函数logₐ(x)在定义域内是递增函数。

c)对数函数的图像是以(1,0)为对称轴的反比例函数图像。

d)对数函数的增长速度比幂函数的增长速度慢。

三、对数函数的应用1.指数增长和对数函数：对数函数常用于描绘指数增长的情况。

例如，在经济学中，对数函数可以用来描述人口增长、物质消耗和资本积累等指数增长的趋势。

对数所有公式大全

对数所有公式大全对数是高等数学中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。

在学习和应用对数的过程中，我们需要掌握一些重要的公式。

在本文中，将为你介绍一些常见的对数公式，以帮助你更好地理解和应用对数。

1. 对数的定义公式：对数的定义公式表达了对数和幂的关系：若a>0且a≠1，那么对任意的正数x，b>0以及b≠1，有如下等式成立：loga(x)=b ⟺ x = a^b2. 对数的基本性质：对数具有一些重要的基本性质，可以帮助我们简化对数的运算。

2.1 对数的基本性质1：对数的幂等式loga(a) = 1这个公式表示对数底与求对数运算互为逆运算，即一个数和它的对数底数的对数等于1。

2.2 对数的基本性质2：对数的相等性质若loga(x) = loga(y)，那么x = y。

这个公式表示如果两个数的对数的底数相同，并且对数相等，那么这两个数本身也是相等的。

2.3 对数的基本性质3：对数的乘法公式loga(x * y) = loga(x) + loga(y)这个公式表示对数的乘法可以转化为对数的加法。

2.4 对数的基本性质4：对数的除法公式loga(x / y) = loga(x) - loga(y)这个公式表示对数的除法可以转化为对数的减法。

2.5 对数的基本性质5：对数的幂公式loga(x^k) = k * loga(x)这个公式表示对数的幂可以转化为对数的乘法。

3. 常用对数公式：除了对数的基本性质，还有一些特殊的对数公式在实际问题中非常常见。

3.1 自然对数的公式自然对数（以e为底的对数）在科学和工程领域中广泛使用。

自然对数的定义公式为：ln(x) = loge(x)，其中e ≈ 2.71828是自然对数的底数。

3.2 对数的积分公式对数函数的积分公式是数学中一种重要的积分公式。

∫(1/x)dx = ln|x| + C其中C是常数。

3.3 对数的换底公式对数的换底公式用于将一个对数转换为另一个底数的对数。

对数的基本性质和运算公式

对数的基本性质和运算公式对数是数学中非常重要和常用的概念，它在许多领域都有广泛的应用。

对数的基本性质和运算公式包括对数的定义、对数的性质、对数的运算规则以及一些常用的对数公式等。

本文将详细介绍这些基本性质和运算公式。

一、对数的定义：对数是指数运算的逆运算。

设a为一个正实数，b为一个正实数且不等于1，若满足b^x = a，其中x为实数，则称x为以b为底a的对数，记作x = log_b a。

其中，a称为真数，b称为底数，x称为对数。

在对数的定义中，底数和真数的位置可以互换，即x = log_b a等价于 a = b^x。

二、对数的性质：1.对数的定义保证了对数的唯一性，即对于给定的底数和真数，对数是唯一的。

2.对于不同的底数，同一个真数的对数是不同的。

3.当底数为1时，对数不存在，因为1的任何次幂都等于14. 当真数为1时，对数等于0，即log_b 1 = 0。

5.当底数为0时，对数不存在，因为0无法作为一个数的底数。

6.当0<b<1时，对数是负数；当b>1时，对数是正数；当b=1时，对数等于0。

三、对数的运算规则：1.对数的乘法法则：log_b (a * c) = log_b a + log_b c2.对数的除法法则：log_b (a / c) = log_b a - log_b c3.对数的幂法法则：log_b (a^p) = p * log_b a，其中p是任意实数。

这些运算规则可以用来简化对数运算或者将对数转化成乘法和除法的形式。

四、常用的对数公式：1.自然对数和常用对数之间的换底公式：log_b a = log_c a / log_c b，其中b和c是底数。

2.e为底的自然对数：自然对数是以e (自然常数)为底的对数，记作ln(x)。

3.常用对数：常用对数是以10为底的对数，记作log(x)。

4.对数性质的推广：log_b a^n = n * log_b alog_b √(a) = 1/2 * log_b a这些对数公式在计算和解决问题时都有常用的作用。

对数知识点总结归纳

对数知识点总结归纳一、对数的定义和性质1. 对数的定义对数的定义是指数运算的逆运算。

设a是一个正数且a≠1，b是一个正数，那么指数运算y=a^x可以表示为对数运算x=loga b。

其中，a称为底数，b称为真数，x称为指数，loga b称为以a为底b的对数。

因此，对数运算可以简单表示为loga b=x，其中a为底数，b 为真数，x为指数。

2. 对数的性质对数有以下几个重要性质：（1）对数的定义域：对数的定义域是正实数集合。

（2）对数的值域：对数的值域是实数集合。

（3）对数的底数：对数的底数a必须是正数且a≠1。

（4）对数的特性：loga a=1，loga 1=0。

（5）对数的运算法则：loga (mn)=loga m+loga n，loga (m/n)=loga m-loga n，loga(m^k)=kloga m。

（6）换底公式：loga b=logc b/logc a。

以上是对数的定义和性质，了解对数的这些基本知识对于深入学习对数运算非常重要。

二、对数的应用对数在数学和实际生活中有着广泛的应用。

在数学中，对数可以解决指数方程、指数不等式和指数函数的性质等问题。

在实际生活中，对数也有着广泛的应用，如音乐、声音等领域。

以下是对数的一些应用：1. 指数方程对数可以用来解决指数方程。

指数方程是一种以未知数或变量为指数的方程。

常见的指数方程如2^x=8，3^x=27等。

对数可以通过转化指数方程为对数方程来求解未知数。

2. 指数不等式对数也可以用来解决指数不等式。

指数不等式是一种以未知数或变量为指数的不等式。

对数可以通过转化指数不等式为对数不等式来求解未知数。

3. 指数函数的性质对数还可以用来研究指数函数的性质。

指数函数是以某个正数为底数的函数，如f(x)=2^x，g(x)=3^x等。

对数可以帮助我们研究指数函数的增减性、最值、单调性等性质。

4. 音乐和声音对数在音乐和声音中也有着广泛的应用。

音乐和声音的频率通常以对数形式表示，即音阶的每个音符的频率之间的比例是对数的。

科学计算器2.7.4中文帮助文档

1.0引言单键可以有一个或多个命令，每个命令将根据按下的组合键激活。

符号表示计算器中的一个键。

按钮。

录。

2.0科学模式2.1转向科学模式计算器的默认模式是科学模式。

通过按下MODE（模式）键并从弹出的窗口中选择“Scientific”，可以将模式设定为科学模式。

2.2改变角度单位按下DRG 按钮，从菜单中选择角度单位2.3转换角度例如，将90度转换为弧度。

按DRG 键并选择“Radian”，转换到“弧度角度”模式按9 + 0 + drg. 。

然后选择“Degrees”（度）并按= 。

那么答案将以1.5707963267949弧度给出。

2.4获取数学常数按CONST按钮，从弹出的窗口中选择所需的常量。

常量名称和常量值将显示在列表中。

2.5换算单位长按CONV按钮并选择转换类别例如，将1英寸转换为厘米按 1 +SHIFT+CONV，选择“in→cm”，按= ，答案为2.54。

2.6科学操作人员这个计算器提供了最常用的科学数学运算器，其中大部分是明晰的，不会详细提及。

2.6变量中的存储和调用值值可以存储在名为“A”、“B”、“C”、“D”、“E”、“F”、“X”、“Y”、“Z”、“M”的10个变量中。

例如，要将15+47的结果存储到变量“A”中，请按以下组合键。

1 + 5 + + + 4 + 7 + shift + Sto + A要回忆变量“A”中的值，请按以下组合键。

RCL + A2.7使用分数分数可以用d/c 按钮输入。

当按下该按钮时，显示屏将显示两个块来输入分子和分母。

按= 键计算完后，再按d/c 键即可得到分数格式的答案。

2.8以度分秒格式输入角度与DMS格式的角度可通过°′″按钮输入。

再按一下°′″按钮，计算出的答案就可以转换成DMS格式。

2.9更改答案格式。

答案有三种形式。

1。

Fix-（固定小数点）2。

Sci-（答案将以10的幂表示）3。

Norm（答案显示为正常。

如果空间不足，无法显示完整值，则可从SCI格式显示答案）长按0.00 键或按SHIFT+ （*），然后获取菜单并选择格式。

对数的概念PPT课件

9
(3)因为 1.52＝2.25，则 log1.52.25＝2. (4)因为 10－4＝10 1000，所以 lg10 1000＝－4.
栏目导引
第4章指数函数与对数函数
(5)设 log816＝x，则 8x＝16，即 23x＝24，所以 3x＝4，即 x＝43，所以 log816＝43. (6)因为 ln 1＝0，所以 ln e0＝ln 1＝0，故 ln eln 1＝0.
2
4
答案：1
栏目导引
第4章指数函数与对数函数
对数的概念
求使对数 log(a－2)(7－2a)有意义的 a 的取值范围．
【解】
7－2a＞0，依题意，得a－2＞0，解得
a－2≠1，
2＜a＜72且
a≠3.
即 a 的取值范围为 2＜a＜72且 a≠3.
栏目导引
第4章指数函数与对数函数
在解决对数式有意义的题目时，只要注意满足底数和真数的条件，也就是对数式中的底数大于 0 且不为 1，真数大于 0，对数式才有意义，尤其要注意底数不为 1 这一条件，然后解不等式即可．
4．对数的性质
(1)loga1＝0(a>0，a≠1)；
(2)logaa＝1(a>0，a≠1)．
(3)零和负数没有对数．
栏目导引
第4章指数函数与对数函数
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数 log39 和 log93 的意义一样．( ) (2)(－2)3＝－8 可化为 log(－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√
栏目导引
第4章指数函数与对数函数
1．在对数 logaN 中规定 a＞0，且 a≠1，N＞0 的原因 (1)若 a＜0，则 N 为某些数值时，x 不存在，如式子(－3)x＝4 没有实数解，所以 log(－3)4 不存在，因此规定 a 不能小于 0. (2)若 a＝0，且 N≠0 时，logaN 不存在；N＝0 时，loga0 有无数个值，不能确定，因此规定 a≠0，N≠0. (3)若 a＝1，且 N≠1 时，x 不存在；而 a＝1，N＝1 时，x 可以为任何实数，不能确定，因此规定 a≠1. (4)由 ax＝N，a＞0 知 N 恒大于 0.

对数的概念和性质PPT课件

ln e 1
（5）从（4）中你发现有什么规律？
1的对数等于0，底的.对数等于1
5
(5)如果把式子 ab N 中的b用 bloga N 代换，
把式子 loga N b 中的N用 N a b 代换，
会得到什么样的式子？
从而得到： aloga N N, loga ab b
这两个式子，我们叫对数恒等式
对数恒等式
aloga N N,
loga ab b
.
11
2 （3） log64 x 3
解：因为
log 64
x
2 3
所以
2
x643
(43)23
421
16
（4） logx 8 6
解: 因为 logx 8 6 所以
x6 8
1
1
1
又因 x 0 所以 x86 (23)622 2
.
12
例3计算：（5） lg100 x
引例:
2004年我国的国民生产总值为a亿元，
如果按平均每年增长8%估算，那么经过多
少年国民经济生产总值是2004年的2倍？
假设经过x年国民经济生产总值是2004
年的2倍，依题意得，1.08xa=2a
即1.08x=2
指数x取何值时满足这个等式呢？
这就是本节课要学习的对数问题：
已知底数和幂的值，求指数的问题。
.
6
对数的基本性质：
（1）零和负数没有对数
（2） 1的对数等于0，即
loga 1 0.
（3）底的对数等于1，即（4）对数恒等式
loga a 1.
aloga N N, loga ab b
说明：（1）在对数式 lo g a N 中，要注意各量的取值范围

对数法的知识点总结

对数法的知识点总结一、对数的定义对数是指数运算的倒数。

通常来说，对数是一个数对应的指数。

比如，log2(8) = 3，表示2的多少次方等于8。

在这里，log2表示以2为底的对数，8是对数的真数，3是对数的值。

对数的底数必须大于0且不等于1，对数的真数必须大于0。

对数常用符号log来表示，底数和真数用括号括起来。

对数的定义是指数的一个有用的补充。

指数表示一个数重复相乘的次数，而对数表示一个数重复乘积的次数。

例如，2的3次方等于8，那么log2(8) = 3。

可以看出，对数和指数是互相对立的，通过对数可以方便地解决指数运算不易解决的问题。

二、对数的性质对数有一些重要的性质，比如乘法性质、除法性质、幂次性质和换底性质等。

这些性质是对数运算的基础，也是对数问题的解决关键。

1. 乘法性质：loga(m*n) = loga(m) + loga(n)，其中a > 0且a ≠ 1，m和n都是大于0的实数。

这个性质表示两个数的乘积的对数等于这两个数的对数之和。

2. 除法性质：loga(m/n) = loga(m) - loga(n)，其中a > 0且a ≠ 1，m和n都是大于0的实数。

这个性质表示两个数的商的对数等于这两个数的对数之差。

3. 幂次性质：loga(m^p) = p * loga(m)，其中a > 0且a ≠ 1，m是大于0的实数，p是任意实数。

这个性质表示一个数的幂次的对数等于这个数的对数乘以幂次。

4. 换底性质：loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a、b、c都是大于0且不等于1的实数。

这个性质表示底数不同的对数可以相互换底，该性质在解决对数问题时非常有用。

这些性质对于解决对数问题非常重要，可以大大简化对数的运算和求解。

三、对数的运算规则对数的运算规则是指对数的加减乘除和幂次运算法则，它们是对数运算的基础，可以帮助我们解决各种对数问题。

1. 加减法规则：对数的加减法规则是乘法性质和除法性质的直接应用。

2.7 对数

【基础知识精讲】1.基础知识图表2.对数的定义定义：若a b＝N(a>0,a ≠1)，则数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.3.对数式、指数式与根式指数式a b＝N ，根式b N ＝a 和对数式log a N ＝b(N>0,a>0,a ≠1)是同一种数量关系的三由此可见：(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算.(2)弄清对数式与指数式的互换是掌握对数意义及运算的关键. 4.常用对数与自然对数对数log a N(a>0,a ≠1),当底数(1)a ＝10时，叫做常用对数，记作lgN ； (2)a ＝e 时，叫做自然对数，记作lnN.在常用对数中，我们省去了底数不写.例如：lg10＝log 1010＝1，lg100＝log 10102＝2，log0.1＝log 10(10)-1＝-1等等.5.对数恒等式：log a a k＝k(a>0,a ≠1)aNa log ＝N(a>0,a ≠1)6.对数的运算性质：如果a>0，a ≠0，M>0,N>0，那么 (1)log a (MN)＝log a M+log a N (2)log aNM＝log a M-log a N (3)log a M n＝nlog a M(n ∈R)要注意公式的逆用及公式证明的思路(见教材) 7.对数运算性质的理解与运用须注意的问题(1)对于一条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数记号都有意义时，等式才成立.(2)要把握住运算性质的本质特征，防止应用时出现错误. (3)要学会用语言准确地叙述运算性质.(4)利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然，这种运算的互化可以简化计算方法，加快计算速度.特别注意的是换底公式的证明与运用. 【重点难点解析】1.正确理解、熟悉a b＝N 与b ＝log a N 的内在关系，迅速互化是学习对数的关键.ba2.由指数函数的性质：0<a 且a ≠1时，a ＝N>0.即b ＝log a N 中的真数应为正数在指数中特别有a 0＝1,a 1＝a ，则在对数中特别有：log a 1＝0,log a a ＝1.这在运用指数函数与对数函数的性质解决问题需要化同底时是很重要的.3.准确熟练记忆对数运算的法则，要注意其形式及适用的条件，也要注意法则的逆用.例1 若log 2〔log 21 (log 2x)〕＝log 3〔log 31(log 3y)〕＝log 5〔log 51(log 5z)〕＝0.试比较x 、y 、z 的大小?分析将已知条件分别看作关于x 、y 、z 的方程，分别求出x 、y 、z 再比较.解：log 2〔log 21 (log 2x)〕＝0⇒log 21(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301.同理可得 y ＝33＝(310)301,z ＝55＝(56)301.∵310>215>56，由幂函数y ＝x301在(0，+∞)上递增知，y>x>z.例2 已知a 、b 、x 为正数，且lg(bx)lg(ax)+1＝0求ba的范围. 分析将lg(ax)变形转化为lg ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(bx b a ，出现我们所需要的ba，再利用二次方程的相关理论，求ba的范围. 解：由lg(ax)·lg(bx)+1＝0变形得：lg ⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(bx b a ·lg(bx)+1＝0 整理得 lg 2(bx)+lgba·lg(bx)+1＝0 由于a 、b 、x 为正数，所以bx>0，则lg(bx)为实数，实数方程有实根，则Δ≥0即：Δ＝2lg ⎪⎭⎫⎝⎛b a -4≥0，解之得b a 的取值范围是：b a ∈(0, 1001)∪［100，+∞］. 例3 已知lgx+lgy ＝2lg(x-2y),求yx2log 的值.分析不要遗忘了在解题过程中，对数定义中，“对数的真数必须大于零”这一前提，在运算过程中，x>0,y>0,x-2y>0，因而有x>2y>0.解：∵ lgx+lgy ＝2lg(x-2y)∴ xy ＝(x-2y)2，即x 2-5xy+4y 2＝0即 (x-y)(x-4y)＝0，得x ＝y 或x ＝4y. ∵ x>0,y>0,x-2y>0,∴ x>2y>0x ＝y 应舍去，∴ x ＝4y,即yx＝4 ∴ yx 2log ＝log2(2)4＝4. 例4 (1)用log a x,log a y 表示log a ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙344y x a ；(2)设lg2＝a,lg3＝b ，求lg 54; (3)已知lgx ＝2lga+3lgb-51gc,求x.解：(1)log a ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∙344y x a ＝log a a 41+log a x 31-log a y 121＝41+31log a x-121log a y. (2)lg 54＝lg(2×33)21＝21lg(2×33) ＝21lg2+23lg3＝21a+23b. (3)由已知得lgx ＝lga 2+lgb 3-lgc 5＝lg 532cb a ,∴ x ＝532cb a .评析第(2)小题由54＝2×33，进而将lg 54用lg2与lg3表示，以达到化未知为已知的目的；第(3)小题利用了下述结论：同底的对数相等，则真数相等.【难解巧解点拨】例1 已知log a x ＝4,log a y ＝5，求A ＝21321y x x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-的值. 分析对数式化指数式，便得x,y.解：∵ log a x ＝4,log a y ＝5,∴x ＝a 4,y ＝a 5, ∴ A ＝x125y31-＝(a 4)125(a 5)31-＝a 35·a35-＝1. 评析本题的另一解法是：log a A ＝log a (x125y31-)＝125log a x-31log a y ＝125×4-31×5＝0＝log a 1,故A ＝1.最后一步利用了结论：若同底的对数相等，则真数相等.例2 设3x＝4y＝36，求x 2+y1的值. 分析由已知式中分别求出x 和y.解：∵ 3x＝36,4y＝36,∴ x ＝log 336,y ＝log 436,∴x 1＝log 363, y1＝log 364，∴ x 2 +y1＝2log 363+log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 评析指数式化为对数式后，两对数式的底不相同，但式子两端取倒数后，利用对数的换底公式可将差异消除.例3 设a,b,c 为正数，且a x＝b y＝c z，求证：若x 1+y 1＝z1，则c ＝ab. 分析由已知式解出x,y,再将它们代入x 1+y 1＝z1，化简便得证. 证：由已知，xyz ≠0，若a ＝1,则b ＝c ＝1,此时c ＝ab 成立.若a,b,c 均不为1，则∵ a x ＝c z ,b y ＝c z,∴ x ＝log a c z ,y ＝log b c z, ∴ x ＝zlog a c,y ＝zlog b c,∴x 1＝z 1log c a, y 1＝z1log c b, ∴x 1+y 1＝z 1 (log c a+log c b)＝z 1log c (ab), 又∵x 1+y 1＝z1， ∴ log c (ab)＝1,∴ c ＝ab.评析若a,b,x,y,z 为正数，且a,b 均不为1,a x＝b y＝(ab)z,则x 1+y 1＝z1.特别地，若x,y,z 为正数，且3x ＝4y ＝6z，则x 1+y 21＝z1. 【课本难题解答】课本84页，习题2.7节第3题：(1)log a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛z y x 23＝31log a x -2log a y -log a z(2)log a (x ·423y z )＝log a x+log a 423y z ＝log a x -21log a y +43log a z(3)log a (xy 21z32-)＝log a x+21loga y -32log a z(4)log a22y x xy -＝log a x +log a y-log a (x+y)-log a (x-y)(5)log a (yx y x -+·y)＝log a )(y x +-log a x-y +log a y(6)log a 3)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-y x x y ＝3［loga y -log a x -log a (x-y)］＝3log a y-3log a x-3log a(x-y)第6题：(1)lgx ＝lg(ab),x ＝ab (2)log a x ＝log a nm ,x ＝nm (3)lgx ＝lg(n 3m),x ＝n 3m (4)log a x ＝log ac b ,x ＝cb【典型热点考题】例1 设a,b,c 都是正数，且3a ＝4b ＝6c,那么( )A.c 1＝a 1+b 1 B.c 2＝a 2+b 1 C. c 1＝a 2+b2D. c 2＝a 1+b2分析本题考查了指数概念、对数概念，重点考查了利用对数性质进行运算的能力.设3a ＝4b ＝6c ＝k(k>0)，把指数式转化为对数式，解出a,b,c 得解法1；又对3a ＝4b ＝6c＝k 取对数求出a c ,b c ，证得a c 2+bc ＝2,得解法2；取特殊值，如令c ＝1，排除A 、C 、D 得解法3.解法1：设3a＝4b＝6a＝k(a,b,c 均为正数，k>0)，则 a ＝log 3k,b ＝log 4k,c ＝log 6k,于是a 1＝log k 3,b 1＝log k 4, c1＝log k 6. 显然 2log k 3+log k 4＝2log k 6,∴ a 2+b 1＝c2.解法2：对3a＝4b＝6c同时取以10为底的对数，得 lg3a ＝lg4b ＝lg6c . alg3＝blg4＝clg6.∴a c ＝6lg 3lg ＝log 63, bc ＝log 64. 又a c 2+bc ＝log 6(9×4)＝2,∴ c 2＝a 2+b 1.解法3：不妨令c ＝1，则c 1＝1, b1＝log 63,b ＝log 46. ∴ b 1＝log 64＝2log 62.∴ a 1+b 1＝log 63+2log 62＝1+log 62≠c 1,a 2+b 2＝2+log 64≠c 1,a 1+b 2＝1+3log 62≠c2. 排除A 、C 、D ，∴ 应选B 例2 函数y ＝log 2xx --312的定义域为 .解：由x x --312>0，得312--x x <0，利用根轴法，得21<x<3，所以函数定义域为(21,3).∴ 应填(21,3) 注本题考查对数式的真数必须大于0，及解分式不等式等知识，对此类问题要做得快、准.例3 方程log 4(3x-1)＝log 4(x-1)+log 4(3+x)的解是 . 解：原方程转化为3x-1＝(x-1)(3+x)(x>1).即 x 2-x-2＝0(x>1), 解得x ＝2或x ＝-1(舍去) ∴ 方程解是x ＝2.注本题主要利用对数运算性质公式解题，以及运用转化思想将对数方程转化为一元二次方程来解.例4 若全集I ＝R ，A ＝｛x ｜1+x ≤0｝，B ＝｛x ｜lg(x 2-2)＝lgx ｝，则A ∩C I B 是( )A.｛2｝B.｛-1｝C.｛x ｜x ≤-1｝D.φ解法1：集合A 中的元素满足的条件是x ＝-1，又A ∩C I ，B ⊂A ，排除A 、C ，将x ＝-1代入lg(x 2-2)＝lgx 知不成立.故x ＝-1∈C I B.∴ 应选B.解法2：集合A 中元素满足的条件是x ＝-1，集合B 中元素满足的条件是⎪⎩⎪⎨⎧>->>-x x x x 200222 即⎪⎩⎪⎨⎧-<>>-<>12022x x x x x 或或解得x>2，于是C I B ＝｛x ｜x ≤2｝，所以A ∩C I B ＝｛-1｝ ∴ 应选B.【知识探究学习】某城区2000年底有居民住房总面积为a(平方米)，现将居民住房划分为三类，其中危旧住房占31，新型住房占41.为了加快住房建设，计划用10年的时间全部拆除危旧住房(每年拆除的数量相同)，自2001年起居民住房只建设新型住房，使得从2001年开始，每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%，用a n (平方米)表示第n 年底(2001年为第一年)该城区的居民住房总面积.(1)分别写出a 1，a 2,a 3的表达式，并归纳出a n 的计算公式(不必证明)；(2)危旧住房全部拆除后，至少再过多少年才能使该城区居民住房总面积翻两番?(精确到年，以下数据供参考：lg2≈0.30,lg3≈0.48,lg43≈1.63)解：(1)2000年底除了危旧住房和新型住房外的其他形式的住房面积为a-(41+31)a=125a.每年拆除危旧住房面积为101·31a=30a. 依题意，得a 1=4a (1+20%)+125a+31a-301a; a 2=4a (1+20%)2+125a+31a-301a;a 3=4a (1+20%)3+125a+31a-301a;一般地4a (1+20%)n +125a +3010n -a(1≤n ≤10),a n =4a (1+20%)n +125a n ≥11). (2)由4a (1+20%)n +125a ≥4a, 得 4a ×1.2n≥1243a.nlg1.2≥lg43-lg3. 所以 n ≥13lg 2213lg 43lg -+-g ≈14.37故n=15时取15-10=5.即至少再经过5年才能使该地区的居民住房总面积翻两番.【同步达纲练习】一、选择题1.如果点P(lga,lgb)关于x 轴的对称点的坐标是(0，-1)，则a 和b 的值是( )A.a ＝1,b ＝10B.a ＝1,b ＝101 C.a ＝10,b ＝1D.a ＝101,b ＝1 2.与函数y ＝10lg(x-1)的图像相同的函数是( ) A.y ＝x-1B.y ＝｜x-1｜C.y ＝1x 1x --D.y ＝21x 1x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-- 3.若lgx ＝a,lgy ＝b,则lg x -lg(10y )2的值为( ) A. 21a-2b-2 B. 21a-2b+2C. 21a-2b-1D. 21a-2b+14.lg(53++53-)的值为( )A.1B.21 C.2D.25.若log 23＝a,则log 43＝( ) A.a+2B.a-2C.2aD.2a 6.等式log 3x 2＝2成立是等式log 3x ＝1成立的( )A.充分条件但不是必要条件B.必要条件但不是充分条件C.充要条件D.不充分又不必要的条件 7.下列式子中正确的个数是( )①log a (b 2-c 2)＝2log a b-2log a c ； ②(log a 3)2＝log a 32； ③5log 12log 33＝log 33；④log a x 2＝2log a ｜x ｜.A.0B.1C.2D.3二、填空题 1.若log3a ＝-2log 37，则a ＝ .2.已知log 32＝log 23x，则x ＝ .3.log 0.7x ＝3log 0.7c-log 0.7b+2og 0.7a ，则x ＝ .4.若log (x+1)(x+1)＝1，则x 的取值范围是 . 三、解答题1.设x 、y ∈R ，且y ＝11122+-+-x x x ，求lg(x+y)的值.2.求值：［(1-log 63)2+log 62·log 618］÷log 643.求值：(1)log 2［log 3(log 5125)］；(2)55log (log 981).4.已知a+b ＝lg 32+lg 35+3lg2·lg2·lg5，求a 3+b 3+3ab 的值.【素质优化训练】1.已知m 、n ∈N ，a>0，a ≠1，且log a m+log a (1+m 1)+log a (1+11+m )+…+log a (1+11-+n m )＝log a m+log a n ，求m 、n 的值.2.设x ＝log 23，求xx xx ----222233的值.3.已知a>0且a ≠1，n ∈N.证明：4log 2log 1a a ∙+8log 4log 1a a ∙+……+14log 2log 1+∙n a n a +1+n n ·2)2(log 1a .参考答案：【同步达纲练习】一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.D 6.B 7.B二、1.a ＝71 2.x ＝log 322 3.x ＝bc a 32 4.x ∈(-1,0)∪(0,+∞)三、1.lg(0+1)＝lg1＝0 2.1 3.(1)0 (2)2 4.解：a+b ＝1，结果为1.【素质优化训练】 1.m ＝n ＝2 2.1091 3. )1(+n n n ·2)2(log 1a。

对数定义知识点总结归纳

对数定义知识点总结归纳在学习对数之前，我们需要先了解指数的概念。

指数是幂次方的意思，比如 a^b 中，a 叫做底数，b 叫做指数。

对数就是求解指数的过程。

对数的定义是，如果 a^b = c，那么 b 叫做以 a 为底数的 c 的对数。

其中，a 叫做对数的底数，b 叫做指数，c 叫做真数。

对数用符号“log”表示，写做 log_a (c) = b。

其中，“log”表示对数，“a”表示底数，“c”表示真数，“b”表示指数。

接下来，我们来总结对数的知识点：1. 对数的表示方法对数的表示方法有两种：以10为底的常用对数和以e为底的自然对数。

以10为底的常用对数通常写做 log (c) 或者 lg (c)，以e为底的自然对数通常写做 ln (c)。

其中，e 是一个数学常数，约等于 2.71828。

2. 对数的性质对数有一些重要的性质，如下所示：（1）对数的底数不能为 0 或者 1，因为这两个数没有意义；（2）对数的真数不能为负数或者 0，因为负数和 0 没有对数；（3）对数的底数和真数必须同号，即底数和真数不能同时为正数和负数；（4）对数可以表示指数的幂次方关系，即 log_a (c) = b，等价于 a^b = c；（5）对数的基本性质是 log_a (ab) = log_a (a) + log_a (b)，log_a (a/b) = log_a (a) - log_a (b)，log_a (a^b) = b * log_a (a)。

3. 对数的应用在实际问题中，对数有很多应用，如下所示：（1）对数可以用来表示倍增或者倍减的关系，比如人口增长、物质衰减等；（2）对数可以用来表达数字的大小关系，比如天文数字宇宙距离的计算、声音的分贝表示等；（3）对数可以用来简化复杂的计算问题，比如高效计算大数的乘法和除法、求解指数和对数方程等。

4. 对数的求解对数的求解是指，已知一个数的底数和指数，求解对数的过程。

对数的求解有两种常用的方法：换底公式和化简对数。

【精品】高一数学 2.7对数(第二课时) 大纲人教版必修

第二课时●课题§2.7.2 对数(二)●教学目标(一)教学知识点对数的运算性质.(二)能力训练要求1.进一步熟悉对数定义与幂的运算性质.2.理解对数运算性质的推导过程.3.熟悉对数的运算性质的内容.4.熟练运用对数的运算性质进而化简求值.5.明确对数的运算性质与幂的运算性质的区别.(三)德育渗透目标1.能运用联系的观点解决问题.2.认识事物之间的相互联系与相互转化.●教学重点证明对数运算性质.●教学难点对数运算性质的证明方法与对数定义的联系.●教学方法启发引导式本节重点为对数运算性质的证明，启发学生运用已知的幂的运算性质，由此需要将对数形式由对数定义转化为指数形式，能够进行幂的运算，从而达到进一步变形的目的.在记忆对数的运算性质时，应抓住对数的运算性质与幂的运算性质的区别，结合幂的运算性来牢记对数的运算性质.●教具准备幻灯片两张第一张：对数的运算性质及其证明(记作§2.7.2 A)第二张：例3及其解答(记作§2.7.2 B）●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］上一节我们学习了对数的定义，由对数的定义不难得出：a b=N⇔log a b=N(a＞0且a≠1,N＞0)这一节，我们将利用上述关系和幂的运算性质推导对数的运算性质.Ⅱ.讲授新课1.基本性质：若a＞0且a≠1,N＞0，则a log=N(1)N a(2)log a a b=b证明思路：由a b=N⇔log a b=N可知：a log=N再将N=a b代入log a N=b得log a a b=b将b=log a N代入a b=N可得N a［师］对于上述证明思路，我们应注意如下说明：(1)上述基本性质的证明体现了对于对数定义的深刻理解，灵活运用.(2)其中对于性质(2)，当b =0,1时，可得常用性质：log a 1=0,log a a =1.(3)性质(1)我们常称作“对数恒等式”，它的功能在于能够把任意一个实数转化为一个以a 为底的指数形式.(4)性质(2)的作用在于能够将任意的一个实数转化成以a 为底的对数形式.2.运算性质：若a ＞0,a ≠1,M ＞0,N ＞0，则(1)log a (MN )=log a M +log a N ；(2)log a NM =log a M －log a N ; (3)log a M n =n log a M (n ∈R )［师］现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.证明：(1)设log a M =p ,log a N =q由对数的定义得：M =a p ,N =a q ，∴MN =a p ·a q =a p +q再由对数定义得log a MN =p +q ,即证得log a MN =log a M +log a N(2)设log a M =p ,log a N =q由对数的定义可以得M =a p ,N =a q ，∴q pa a N M =a p －q ，再由对数的定义得log aNM =p －q ，即证得log a N M =log a M －log a N (3)设log a M =p由对数定义得M =a p ,∴M n =（a p ）n ＝a np再由对数定义得log a M n =np ，即证得log a M n =n log a M评述：上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式.其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.(要求：性质(2)、(3)学生尝试证明，老师指导)［师］接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：［例3］求下列各式的值(1)log 0.41 ；(2)log 2(47×25)； (3)lg 5100分析：此例题目的在于让学生熟悉对数运算性质，可采用讲练结合的方式.解：(1)log 0.41=0；(2)log 2(47×25)=log 247+log 225=log 222×7+log 225=2×7+5=19； (3)lg 5210lg 5210lg 5110025=== ［师］大家在运算过程中，要注意对数的运算性质与幂的运算性质的区别. Ⅲ.课堂练习(一)课本P 81练习3，4说明：本节练习与上节方法不同，上节是根据定义求解，本节是根据对数的运算性质求解.3.求下列各式的值：(1) log 525；（2）log 2161；（3）lg100；（4）lg0.01；（5）lg10000；（6）lg0.0001解：(1)log 525＝log 552＝2；(2)log 2161＝log 22-4＝－4；（3）lg100＝lg102＝2；(4)lg0.01＝lg10-2＝－2；(5)lg10000＝lg104＝4；(6)lg0.0001＝lg10-4＝－4.4.求下列各式的值：(1)log 1515；（2）log 0.41；（3）log 981；（4）log 2.56.25；（5）log 7343；（6）log 3243解：(1)log 1515＝1；(2)log 0.41＝0；（3）log 981＝log 992＝2；（4）log 2.56.25＝log 2.52.52＝2；(5)log 7343＝log 773＝3；(6)log 3243＝log 335＝5(二)课本P 83练习3.求下列各式的值：（1）log 26－log 23；（2）lg5＋lg2；（3）log 53＋log 531；（4）log 35－log 315解：（1）log 26－log 23＝log 236＝log 22＝1；（2）lg5＋lg2＝lg （5×2）＝lg10＝1；(3)log 53＋log 531＝log 53×31＝log 51＝0； (4)log 35－log 315＝log 3155＝log 331＝－log 33＝－1. Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家应掌握对数运算性质的推导，并能熟练运用对数运算性质进行对数式的化简、求值.Ⅴ.课后作业（一）课本P 84习题2.74.计算：(1)log a 2＋log a 21（a ＞0，a ≠1）；（2）log 318－log 32； (3)lg 41－lg25； (4)2log 510＋log 50.25；（5）2log 525＋3log 264；(6)log 2（log 216）解：(1)log a 2＋log a21＝log a （2×21）＝log a 1＝0； (2)log 318－log 32＝log 3218＝log 39＝2；（3）lg 41－lg25＝lg （41÷25）＝lg 1001＝lg10-2＝－2； (4)2log 510＋log 50.25＝log 5102＋log 50.25＝log 5100×0.25＝log 525＝2；(5)2log 525＋3log 264＝2log 552＋3log 226＝2×2＋3×6＝22；(6)log 2（log 216）＝log 2（log 224）＝log 24＝log 222＝25.已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求下列各对数的值(精确到小数点后第四位)(1)lg6；（2）lg4；（3）lg12；（4）lg 23；（5）lg 3；（6）lg32；解：（1）lg6＝lg2＋lg3＝0.3010＋0.4771＝0.7781；(2)lg4＝lg22＝2lg2＝2×0.3010＝0.6020；(3)lg12＝lg3×22＝lg3＋2lg2＝0.4771＋0.3010×2＝1.0791；(4)lg23＝lg3－lg2＝0.4771－0.3010＝0.1761； (5)lg 3＝21lg3＝21×0.4771＝0.2386； (6)lg32＝5lg2＝5×0.3010＝1.5050 （二）1.预习内容：课本P 83例4.2.预习提纲：（1）研究例4解答过程.（2）总结例4解答中对数式化简的技巧.●板书设计。

§4 对数

N a
这个公式叫做换底公式
其他重要公式3:
log a
b

1 log b
a
a,b (0,1) (1,)
证明:由换底公式
log a
N

log c N log c a
取以b为底的对数得：
log a
b

log b log b
b a
logb b 1,

log
a
b

1 log b
a
还可以变形,得
(3) lg 27 lg 8 3lg 10 lg 1.2
解： (2) lg 243
lg 9

lg 35 lg 32
5lg 3 2 lg 3
5 2
(3) lg
27 lg 8 3lg lg 1.2
1
1
10

lg(33 ) 2
lg 23 3lg(10) 2 lg 3 22
10
其他重要公式1:
log am
Nn

n m
log a
N
证明：设 logam N n p,
由对数的定义可以得： N n (am ) p ,
∴ N n amp
mp
N an

log a
N

m n
p
即证得
log am
Nn

n m
log a
N
其他重要公式2:
log a
N

log c log c
(4) ln1;
0
(5) log2.5 2.5. 1
例3计算：（3）log2 3 2 3 解法一：设 x log2 3 2 3

对数公式大全范文

对数公式大全范文对数公式是数学中常用的一种工具，广泛应用于各个领域。

本文将介绍一些常用的对数公式，帮助读者更好地理解和应用对数运算。

1.对数定义和性质对数是指数的逆运算。

设a为正数，b为正实数且不等于1，若满足a^x=b，那么x称为以a为底b的对数，记作x=logₐb。

对数的定义有以下几个性质：（1）logₐa=1，任何数的以自身为底的对数都等于1；（2）logₐ₁a=0，任何数的以一为底的对数都等于0；（3）logₐa=log₁₀a/log₁₀a，任何数的以自身为底的对数等于以10为底的对数除以换底公式。

2.对数性质对数具有一些重要的运算性质，如下所示：（1）乘法性质：logₐ(m*n)=logₐm+logₐn，对数运算可以转化为对数的加法运算；（2）除法性质：logₐ(m/n)=logₐm-logₐn，对数运算可以转化为对数的减法运算；（3）幂的性质：logₐ(m^k)=k*logₐm，对数运算可以转化为对数的乘法运算；（4）换底公式：logₐm=logₐ₁₀m/logₐ₁₀a，可以将一个底为a的对数转化为底为10的对数。

3.常用对数常用对数是以10为底的对数，记作log(x)，其中x是一个正数。

常用对数的特点是可以直接通过查表或计算器得到，常用对数的底数为10。

例如，log(100)=2，log(1000)=34.自然对数5.对数函数的性质对数函数有一些重要的性质：（1）对数函数是单调递增的，即当x₁<x₂时，log(x₁)<log(x₂)；（2）对数函数的图像在定义域内是上凹的；（3）对数函数的值域是整个实数集。

6.对数方程与对数不等式对数方程和对数不等式是常见的数学问题。

对数方程是指形如logₐx=b的方程，可以通过对数定义和对数性质转化为指数形式进行求解。

对数不等式是指形如logₐx>b的不等式，可以通过变换为指数形式和利用对数的性质求解。

7.拓展应用对数在实际问题中有广泛的应用，例如：（1）对数可以用来表示极小数或极大数，方便人们理解数量的大小关系；（2）对数可以用来描述指数增长或衰减的速率；（3）对数可以用来计算复利的问题；（4）对数可以用来简化复杂计算或化简复杂公式。

对数的运算法则及公式

对数的运算法则及公式对数是数学中的一个重要概念，它在科学计算、工程技术、经济金融等领域中都有广泛的应用。

对数的运算法则能够帮助我们简化计算并解决一些复杂的问题。

在本文中，我们将讨论对数的运算法则及公式，包括基本法则和常用公式。

一、对数的基本法则1.对数的定义对任意正数a和正数b，以a为底，b为真数的对数记作loga b，其中a被称为底数，b被称为真数。

公式的意义是以a为底，对数值得到b。

例如，如果2^3 = 8，那么log2 8 = 32.对数的换底公式对数的换底公式是loga b = logc b / logc a，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个公式可以用来将对数的底数从一个常用的底数转换为另一个常用的底数。

例如，要计算log2 16，可以使用换底公式将其转换为log10 16 / log10 23.对数的乘法法则对数的乘法法则是loga (b * c) = loga b + loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的乘法可以转换为对数的加法。

4.对数的除法法则对数的除法法则是loga (b / c) = loga b - loga c，其中a、b、c为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的除法可以转换为对数的减法。

5.对数的幂法法则对数的幂法法则是loga (bn) = n * loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1，n为任意实数。

这个法则说明，对数中的幂运算可以转换为对数的乘法。

6.对数的倒数法则对数的倒数法则是loga (1/b) = -loga b，其中a、b为正数，且a、b不等于1、这个法则说明，对数中的倒数可以转换为对数的相反数。

7.对数的幂运算法则对数的幂运算法则是a^loga x = x，其中a、x为正数，且a不等于1、这个法则说明，一个数的对数值乘以底数的指数幂等于这个数本身。

二、常用的对数公式1.常用对数公式常用对数公式是以10为底的对数函数，记作lg x。

【精品】高一数学 2.7对数(备课资料) 大纲人教版必修

●备课资料一、对数定义解释1.如果a （a ＞0且a ≠1）的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么数b 叫做以a 为底的对数，记作：log a N ＝b （a ＞0且a ≠1)2.对数定义中为什么规定a ＞0且a ≠1呢? 因为：(1)若a ＜0时，则N 为某些值时，b 值不存在.如：b ＝log －28不存在. (2)若a ＝0时，①N 不为0时，b 不存在.如log 02不存在(可解释为0的多少次方是2呢?)②N 为0时，b 可以是任何正数，是不惟一的，即log 00有无数个值.(可解释为0的任何非零正次方都是零)(3)若a ＝1时，①N 不为1时，b 不存在. 如log 13不存在.②N 为1时，b 可以为任何数，是不惟一的，即log 11有无数多个值. 因此，规定：a ＞0且a ≠1. 二、参考例题［例1］1000的常用对数记为a ；ｅ的自然对数记为b ；则a 、b 的大小关系是 A.a ＞b B.a ＜b C.a ≤b D.不能确定解：由题意知：a ＝lg1000＝lg103＝3.b ＝ln e ＝1.显然a ＞b ，故选A.［例2］若2.5x＝1000，0.25y＝1000，则yx 11-＝ . 解：由2.5x＝1000，得x ＝log 2.51000.由0.25y＝1000得y ＝log 0.251000 ∴1000log 11000log 11125.05.2-=-y x ＝log 10002.5－log 10000.25 ＝log 100025.05.2＝log 100010＝31.［例3］设M ＝{0，1}，N ＝{11－a ，lg a ，2a，a }，是否存在a 的值，使M ∩N ＝{1}？解：由题意，须使集合N 中有一个元素1. ①若11－a ＝1，则a ＝10. 这时lg a ＝lg10＝1.这与集合中元素互异矛盾. ∴a ≠10；②若2a＝1，则a ＝0，此时lg a 无意义，③若lg a ＝1，则a ＝10与（ⅰ)情形相同；④若a ＝1，这时11－a ＝10，lg a ＝lg1＝0，2a＝2. ∴N ＝{10，0，2，1}.此时M ∩N ＝{0，1}，这与M ∩N ＝{1}矛盾. 综上所述：不存在a 值，使M ∩N ＝{1}.评述：此题之所以分类讨论，是因为“1”元素所对应的集合中元素不确定，应要求学生通过此题体会数学中的分类讨论思想.三、参考练习题1.求下列各式中的x .（1） log 8x =－32; (2)log x 27=43; (3)log 2(log 5x )=0; (4)log 3(lg x )=1. 解：（1）由log 8x =－32 得x =2323322)2(8---==即x =41. (2)由log x 27=43 得43x =27,即43x =33故x =343)3(=34=81.(3)由log 2(log 5x )=0得log 5x =20=1,故x =51=5. (4)由log 3(lg x )=1,得lg x =3故x =103=1000.2.(1)求log 84的值.（2）已知log a 2=m ,log a 3=n ,求a 2m +n的值.分析：本题考查对数的定义、对数式与指数式的互化，及利用互化解题.解：（1）设log 84=x ,根据对数的定义有8x=4.即23x=22,∴x =32,即log 84=32. 另法：log 84=32log 22=32log 22=32；(2)∵log a 2=m ,log a 3=n .∴a m =2,a n=3,则a 2m +n =(a m )2·a n =22×3=12.评述：此题不仅是简单的指、对数互化.同时还涉及到常见的幂的运算法则的应用.参考练习题1.下列各式正确的个数是 ①log 416＝2 ②log 164＝21③log 10100＝2 ④log 100.01＝－2 A.0 B.1C.2D.4解：①log 416＝log 442＝2，正确. ②log 162116＝21，正确. ③log 10100＝log 10102＝2，正确.④log 1010-2＝－2，正确. 故选D.2.以下四个命题中是真命题的是 ①若log 5x ＝3，则x ＝15； ②若log 25x ＝21，则x ＝5； ③log x 5＝0，则x ＝5； ④若log 5x ＝－3，则x ＝1251 A.②③ B.①③C.②④D.③④解：①若log 5x ＝3，则x ＝53≠15，①错误.②若log 25x ＝21，则x ＝2125＝5，正确.③若log x 5＝0，则x 不存在，错误. ④若log 5x ＝－3，则x ＝5-3＝1251，正确. 故选C.3.当a ＞0且a ≠1，x ＞0，y ＞0，n ∈N*，下列各式不恒等．．．的是 A.log a nx ＝n1log a x B.log a x ＝n log a n x C.xa xlog ＝xD.log a x n＋log a y n＝n （log a x ＋log a y ）解：∵log a x 不恒为1， ∴xa xlog ＝x 不恒成立故选C.4.已知｜lg a ｜＝｜lg b ｜（a ＞0，b ＞0），那么A.a ＝bB.a ＝b 或ab ＝1C.a ＝±bD.ab ＝1 解：由｜lg a ｜＝｜lg b ｜，得lg a ＝lg b 或lg a ＝－lg b ∴a ＝b 或a ＝b1即a ＝b 或ab ＝1 故选B.5.log 6[log 4（log 381）]＝ .解：原式＝log 6[log 4（log 33）4]＝log 6（log 44）＝log 61＝0. 6.若log π[log 3（ln x ）]＝0，则x ＝ . 解：∵log π[log 3（ln x ）]＝0， ∴log 3（ln x ）＝1∴ln x ＝3，∴x ＝e 3.7.log 2488log 3482-++＝ . 解：=log 2488342-⋅+)=log 24882-=log 24=2 8.若a >0,a ≠1,x >0,y >0,x >y ,下列式子中正确的个数是（1）log a x ·log a y =log a (x +y ); (2)log a x －log a y =log a (x －y ); (3)log ayx=log a x ÷log a y ; (4)log a xy =log a x ·log a y .A.0B.1C.2D.3 分析：对数的运算实质是把积、商、幂的对数运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.在运算中要注意不能把对数符号当作表示数的字母参与运算.如：log a x ≠log a ·x ,log a x 是不可分开的一个整体.4个选项都把对数符号当作字母参与运算，因而都是错误的.∴应选A.9.对于a >0,a ≠1,下列说法中，正确的是 ①若M =N ，则log a M =log a N ; ②若log a M =log a N ,则M =N ；③若log a M 2=log a N 2,则M =N ;④若M =N ，则log a M 2=log a N 2.A.①③B.②④C.②D.①②③④分析：在①中，当M =N ≤0时，log a M 与log a N 均无意义，因此log a M =log a N 不成立. 在②中，当log a M =log a N 时，必有M >0,N >0,且M =N .因此M =N 成立.在③中，当log a M 2=log a N 2时，有M ≠0,N ≠0,且M 2=N 2，即|M |=|N |，但未必有M =N .例如，M =2，N =－2时，也有log a M 2=log a N 2,但M ≠N .在④中，若M =N =0，则log a M 2与log a N 2均无意义，因此log a M 2=log a N 2不成立.∴只有②成立，应选C.评述：正确理解对数运算性质公式，是利用对数运算性质公式解题的前提条件. 10.若a >0,a ≠1,x >y >0,n ∈N *,则下列各式：①（log a x )n=n log a x ；②(log a x )n =log a x n； ③log a x =－log ax1； ④yxy x a a a log log log =；⑤x nx a n a log 1log =； ⑥n a a x nxlog log =； ⑦log a x n=n log a x ； ⑧log ay x y x +-=－log a yx yx -+ 其中成立的有（） A.3个B.4个C.5个D.6个分析：由log ayx =log a x －log a y ,log a x n=n log a x ,知①②④⑤是错误的. 解：③⑥⑦⑧正确，∴应选B.评述：默写所有对数公式，对照检查是否正确，对遗漏的公式进行证明，进一步加强理解，在此基础上加强记忆，公式一定要记住、记熟，在此基础上会用、用活.●备课资料参考练习题1.计算下列各式：(1)lg12.5－lg85＋lg0.5； (2)2lg 3.0lg 211000lg 8lg 27lg +-+ ；（3）)223223(log 2-++.分析：可以利用对数运算性质，将每项展开，达到相消或相约而求值；也可以利用对数的运算性质，将真数合并.解法一：(1)原式＝21lg210lg 2100lg43+- ＝lg100－lg23－lg10＋lg24＋lg1－lg2＝lg102－3lg2－1＋4lg2－lg2 ＝2－1＝1.(2)原式＝2lg )1013(lg 2110lg 232lg 33lg 23+--+g＝3)12lg 23(lg 21)12lg 23(lg 23=-+-+； (3)原式＝2log])12()12([22-++ ＝]1212[log 2-++ ＝322)2(log 22log=＝3. 解法二：(1)原式＝85215.12lg⨯＝lg10＝1；(2)原式＝10321)1032lg(1032lg 1000278lg3g=＝3；(3)原式＝22)223223(log 21-++ ＝)22322326(log 212-⋅++ ＝8log 212＝3. 2.选择题（1）5log 2139-的值为（） A.53B.51 C.253D.1259 解：5log 25log 215log 21333)3(3999==-＝25353)3(3225log 3==. 故选C. (2)2＋10og 11a 比100lg a大（）A.3B.4C.5D.6解：2＋10log 1a ＝2＋log 10a ＝2＋lg a .又lg100a＝lg a －lg100＝lg a －2， ∴2＋100lg 10log 1aa -＝2＋lg a －（lg a －2)＝2＋lg a －lg a ＋2＝4 故选B.(3)已知3a＝5b＝A ，且ba 11+＝2，则A 的值为（） A.15B.15C.5D.225解：∴3a＝5b ＝A ，∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A ，∴a 1＝log A 3，b 1＝log A 5 ∵ba 11+＝2 ∴log A 3＋log a 5＝2 ∴log A 3×5＝2， ∴A 2＝15， ∴A ＝±15又A ＞0，∴A ＝15 故选B.(4)如果log 8a ＋log 4b 2＝5，log 8b ＋log 4a 2＝7，那么log 2（ab ）的值为（） A.1 B.3 C.5 D.9解：∵log 8a ＋log 4b 2＝5，log 8b ＋log 4a 2＝7，∴（log 8a ＋log 8b ）＋（log 4b 2＋log 4a 2）＝12∴log 8（ab ）＋log 4（ab ）2＝12 ∴log 8（ab ）＋2log 4（ab ）＝12∴4log )(log 28log )(log 222ab ab a ⋅+＝12∴)(log )(log 3122ab ab +＝12∴34log 2（ab ）＝12 ∴log 2（ab ）＝12×43＝9故选D.3.已知log 23＝a ，3b＝7，试用a 、b 的式子表示log 1256. 解：由log 23＝a 得a ＝2lg 3lg ，由3b＝7得b ＝log 37∴b ＝3lg 7lg . ∴log 1256＝)23lg()87lg(12lg 56lg 2⨯⨯= ＝3lg 2lg 213lg 2lg 33lg 7lg 2lg 23lg 2lg 37lg ++=++=23213++=++a ab aa b .●备课资料一、对数式化简的基本思路［例1］不查表，化简： log 2487＋log 212－21log 242.评述：化简这类式子，一般有两种思路：思路一：把48、12、42分解质因数，再利用对数运算法则，把log 2487、log 212、log 242拆成若干个对数的代数和，然后再化简.思路二：由于所给的对数的底数相同，可以把各对数合并成一个对数，然后再化简计算. 解法一：原式＝21log 24237⨯＋log 2（3×22）－21log 2（7×2×3）＝21log 27－21log 23－2log 22＋log 23＋2log 22－21log 27－21log 22－21log 23＝－21log 22＝－21. 解法二：原式＝log 221log 42481272=⨯⨯ ＝－21. 评述：上面两种解题思路，一是“正向”，利用积、商、幂、方根的对数运算法则，把各对数分成更为基本的一系列对数的代数和，由于某些对数的相互抵消，使所给对数式得到了化简；二是“逆向”，运用对数运算法则，把同底的各对数合并成一个对数，由于真数部分的约简，使所给对数式得到了化简，上面的两种解法，简单地说，一是“分”二是“合”.［例2］化简27lg 81lg 3lg 27lg 539lg 523lg --++ 解法一：先用“分”的方法原式＝3lg 33lg 43lg 213lg 1093lg 543lg --++ ＝15113lg )34(3lg )21109541(=--++解法二：再采用“合”的方法. 原式＝2781lg )32793lg(21532152-⨯⨯⨯⨯＝5113lg 3lg 511=. 评述：上面给出了一类对数式化简的两种方法，一是把真数分解质数，然后把对数分成若干个对数的代数和，最后进行化简；二是把同底的对数之和合并成一个对数，对真数进行化简.这两种解题思路，便是我们解决对数式化简问题的重要方法，在碰到这类问题时，要善于灵活地选用上述方法.二、参考例题[例题]3log 9log 28的值是（） A.32B.1C.23 D.2解：利用换底公式及对数运算性质可得：原式＝323lg 2lg 2lg 33lg 23lg 2lg ,8lg 9lg =⋅=，故选A.三、参考练习题1.求下列各式中x 的取值范围：（1）log (x －1)(x +2); (2)log (1－2x )(3x +2).分析：在log a N =b 中，必须a >0,a ≠1,N >0,由此可列出不等式组，求出字母的取值范围.解：（1）令⎪⎩⎪⎨⎧->≠>⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠->-221021101x x x x x x⎩⎨⎧≠>⇒21x x 故x 的取值范围是{x |x >1且x ≠2}.(1) 令⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧->≠<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠->-32021023121021x x x x x x⎪⎩⎪⎨⎧≠<<-⇒02132x x 故x 的取值范围是{x |－32<x <21,且x ≠0}. 评述：解此类问题一定要考虑全面，不仅要考虑对真数的限制，尤其不能忽视底的范围.2.若集合{x ,xy ,lg(xy )}={0,|x |,y },则log 8(x 2+y 2)= .解法一：根据集合中元素的互异性，在第一个集合中，x ≠0,第二个集合中，知道y ≠0,∴第一个集合中的元素xy ≠0,只有lg(xy )=0,可得xy =1 ①然后，还有两种可能，x =y ② 或xy =y ③ 由①②联立，解得x =y =1;或x =y =－1,若x =y =1,xy =1,违背集合中元素的互异性，若x =y =－1,则xy =|x |=1,从而两集合中的元素相同.由①③联立，解得x =y =1不符合题意. ∴x =－1,y =－1,符合集合相等的条件.11 因此，log 8(x 2+y 2)=log 82=31. 解法二：由上述解法可判断lg(xy )=0,∴xy =1.又由集合中元素的特性，知x ·xy =|x |2·y ,∵y ≠0∴x 2=1×1.又由于x ≠0,∴x =±1当x =1时，y =1,此时不满足集合的特性.当x =－1时，y =－1,此时，符合集合相等的条件.评述：欲求log 8(x 2+y 2)的值，须求出x ,y 的值，利用集合相等，求出x ,y 的值.3.已知f (x )=x 2+(lg a +2)x +lg b ,f (－1)=－2,当x ∈R 时f (x )≥2x 恒成立，求实数a 的值，并求此时f (x )的最小值？分析：因为f (x )为二次式，所以对于x ∈R 有f (x )≥2x 恒成立的实质是一元二次不等式f (x )－2x ≥0恒成立.则问题转化成求解二次式f (x )－2x =0的判别式Δ≤0.解：由f (－1)=－2得：f (－1)=1－(lg a +2)+lg b =－2,解之lg a －lg b =1, ∴ba =10,a =10b . 又由x ∈R ,f (x )≥2x 恒成立.知：x 2+(lg a +2)x +lg b ≥2x ,即x 2+x lg a +lg b ≥0,对x ∈R 恒成立，由Δ=lg 2a －4lg b ≤0,整理得（1+lg b )2－4lg b ≤0即（lg b －1)2≤0,只有lg b =1,不等式成立.即b =10,∴a =100.∴f (x )=x 2+4x +1=(2+x )2－3当x =－2时，f (x ) min =－3.。