高中数学苏教版选修1-2学业分层测评：第三章数系的扩充与复数3.2.1含解析

合集下载

苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案第三章数系的扩充和复数的引入3

宁县五中导学案一、章节知识网络二、归纳专题专题一复数的概念及分类复数是在实数的基础上扩充的，其虚数单位为i ，满足i 2＝－1，且i 同实数间可以进行加、减、法的运算，结合复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)中，a ，b 的条件可把复数分为：复数(z ＝a ＋b i ， a ，b ∈R) ⎩⎪⎨⎪⎧实数b ＝0，虚数b ≠0⎩⎨⎧纯虚数a ＝0，b ≠0，非纯虚数a ≠0，b ≠0.其中纯虚数中“b ≠0”这个条件易被忽略，学习中应引起足够的注意．例 1 设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( ) A ． 2 B ．－2C ．－12 D. .12【思路点拨】先将已知复数化为“a ＋b i”的形式，再由纯虚数定义求a .【规范解答】法一 1＋a i2－i ＝1＋a i 2＋i 2－i 2＋i＝2－a ＋2a ＋1i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2，故选A.法二 1＋a i 2－i ＝i a －i2－i为纯虚数，所以a ＝2，故选A.【答案】A专题二复数的四则运算复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法项式乘法，除法类比根式的分母有理化，要注意i 2＝－1.在进行复数的运算时，要灵活利用i ，ω或适当变形创造条件，从而转化为关于i ，ω的计算问题，并注意以下结论的灵活应用：(1)设ω＝－12±32i ，则ω2＝ω，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(n ∈N ＋)等．(2)(12±32i)3＝－1.(3)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b ib －a i＝a ＋b i i b －a ii＝a ＋b i ia ＋b i＝i ，利用此结论可使一的计算过程简化．例2 已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＋z ＝( )A ．1－iB ．－2iC ．1＋iD ．－2【思路点拨】先计算z 1＝z 2－2zz －1，再计算z 1＋z .【规范解答】法一 z 2－2zz －1＝1－i2－21－i 1－i －1＝－2i －2＋2i －i ＝－2i－i ·i＝－2i ，∴z 2－2zz －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A. 法二 z 2－2zz －1＝z －12－1z －1＝z －1－1z －1＝(－i)－1－i＝－i －i－i ·i＝－2i. ∴z 2－2z z －1＋z ＝－2i ＋1＋i ＝1－i.故选A.专题三共轭复数与模共轭复数与复数的模是复数中两个重要的概念，在解决有关复数问题时，除用共轭复数定义与模公式解题外，也常用下列结论简化解题过程： (1)|z |＝1⇔z ＝1z；(2)z ∈R ⇔z ＝z ；(3)z ≠0，z 为纯虚数⇔z ＝－z . 例3设z 1，z 2∈C ，且|z 1|＝1，|z 2|≠1，求|z 1＋z 21＋z 1·z 2|的值．【思路点拨】利复数模的性质：z ·z ＝|z |2进行化简．【规范解答】 ∵|z 1|＝1，∴|z 1|2＝z 1·z 1＝1. 从而|z 1＋z 21＋z 1z 2|＝|z 1＋z 2z 1z 1＋z 2|＝|1z 1|＝1|z 1|＝1.专题四复数的几何意义1.复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数运算的义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数2．任何一个复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面内一点Z (a ，b )对应，而任一点(a ，b )又可以与以起点，点Z (a ，b )为终点的向量OZ →对应，这些对应都是一一对应，由此得到复数的几何解法，特|z |，|z －a |的几何意义——距离．3．复数加减法几何意义的实质就是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z，Z1间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)当|z－z1|＝r时，表示复数z对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；单位1.(2)当|z－z1|＝|z－z2|时，表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．例4 已知复数z1＝i(1－i)3，(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．【思路点拨】 (1)利用模的定义求解；(2)可以利用三角代换，也可利用几何法数形结合．【规范解答】(1)z1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z1|＝22＋－22＝2 2.(2)法一|z|＝1，∴设z＝cos θ＋isin θ，|z－z1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i|＝cos θ－22＋sin θ＋22＝9＋42sinθ－π.4当sin(θ－π)＝1时，4|z－z1|取得最大值9＋42，作业布置课本63页第2,3题。

苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2练测第3章数系的扩充与复数的引入本章练测

第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）建议用时实际用时满分实际得分120分钟160分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分.把答案填在题中横线上）1. 设,且则的值是 .2．已知其中是实数，为虚数单位，则.3.已知则实数.4.已知且则复数.5.设为虚数单位)，则.6. 若复数则 .7.已知复数满足则复数 .8.已知复数则的最大值为 .9.设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数 .10..11. 复数的实部是.12. 已知复数与均为纯虚数，则.13. 在复平面内，复数对应的点位于第象限.14. 若复数是纯虚数，则．二、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共90分）15. （14分）设复数若16.(14分)实数为何值时，复数分别是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）零.17. （14分）已知复数,当时,求的取值范围.18. （16分）求同时满足下列两个条件的所有复数:①是实数,且;②的实部和虚部都是整数.19.(16分) 已知复平面上两点对应的复数分别为1和i，设线段上的点所对应的复数为，求复数对应点的轨迹.20.（16分）复数,且是纯虚数,又复数,在复数所对应的点的集合中,是否存在关于直线对称的两点,如果存在,试求对称两点的坐标,如果不存在,说明理由.第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3. 4. 5.6. 7. 8. 9. 10. 11． 12． 13． 14．二、解答题15.16.17.18.19.20.第3章数系的扩充与复数的引入（苏教版选修1-2）答案1.解析：因为所以2.解析：由题设条件得即根据复数相等的定义，有解得所以3.解析:由题意得∴解得4.解析：设则由得∴∴∴5.8 解析：化为标准形式，利用复数相等，求出∵∴∴6. 6-2i 解析:∵∴∴7. 1或解析：设则于是原等式化为即根据复数相等的条件，得解此方程组，得故或8.解析：因为，所以的最大值为.9. 2 解析:首先分母实数化，化简已知条件，再利用纯虚数的定义求出∵为纯虚数，∴∴10.解析:设则.两式相减得，进而得.11.2 解析：12.-2i 解析：依题意，可设则由于也为纯虚数，故，且解得故13.二解析：对应点的坐标为14. 3 解析：由得即.15. 解:得∴∴.16. 解：（1）当即当或时，为实数.（2）当时，是虚数，即当且时，为虚数.（3）当，且时，是纯虚数，即当时，为纯虚数.（4）当，且时，=0，即当时，.17.解：,,,由,得解得.故的取值范围是.18. 解:设则由条件①知,∴再由条件②知同时为整数.故满足条件①②的值只能取2,6.从而复数是19. 解：由题意知两点的坐标分别为故线段所在的直线方程为.又）在线段上，∴，且，设所对应点的坐标为，则又，∴.∴消去，得化简，得∵，，∴∴对应点的轨迹是抛物线在上的部分.20.解：设,由此得.∴设得消去得,即复数对应点集为抛物线（除去顶点）. 设抛物线上存在不同两点关于直线对称，直线的方程为,代入抛物线的方程，得.由,得,又由,得.∵的中点在直线上，即,得,与矛盾.故不存在关于对称的两点.。

2016-2017学年高二数学苏教版选修1-2学业分层测评：第三章数系的扩充与复数3.3 Word版含解析

学业分层测评(十二)第3章 3.3　复数的几何意义(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.在复平面内，复数6＋5i ，-2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是________.【解析】　∵复数6＋5i ，-2＋3i 对应点分别为A ，B ，∴点A (6,5)，B (-2,3).∴中点C (2,4)，其对应复数2＋4i.【答案】　2＋4i2.(2016·启东月考)若复数z ＝a 2-1＋(a ＋1)i.(a ∈R )是纯虚数，则|z |＝________.【解析】　由题意得Error!解得a ＝1，则z ＝2i ，故|z |＝2.【答案】　23.复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)位于第________象限.【解析】　∵z ＝i·(1＋i)＝-1＋i ，∴复数z 对应复平面上的点是(-1,1)，该点位于第二象限.【答案】　二4.已知复数z 1＝-1＋2i ，z 2＝1-i ，z 3＝3-2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若＝x ＋y (x ，y ∈R )，则x ＋y 的值是________.OC → OA → OB→ 【解析】　由复数的几何意义，知3-2i ＝x (-1＋2i)＋y (1-i)，∴3-2i ＝y -x ＋(2x -y )i.根据复数相等的定义，得Error!解得Error!∴x ＋y ＝5.【答案】　55.已知i 为虚数单位，复数z ＝-＋i 的共轭复数为，则＋|z |＝________.1232z z 【解析】　＝--i ，|z |＝1，∴＋|z |＝-i.z 1232z 1232【答案】　-i12326.已知|z -3|＝1，则|z -i|的最大值为________.【导学号：97220036】【解析】　由|z -3|＝1知z 表示以(3,0)为圆心，1为半径的圆，|z -i|表示点(0,1)到圆上的距离，则|z -i|的最大值为＋1.10【答案】＋1107.(2016·江西师大附中三模)设复数z ＝-1-i(i 是虚数单位)，z 的共轭复数为，z 则|(1-z )·|＝________.z 【解析】　＝-1＋i ，则|(1-z )·|＝|(2＋i)·(-1＋i)|＝|-3＋i|＝.z z 10【答案】108.复数z ＝x ＋1＋(y -2)i(x ，y ∈R )，且|z |＝3，则点Z (x ，y )的轨迹是________.【解析】　∵|z |＝3，＝3，即(x ＋1)2＋(y -2)2＝32.故点Z (x ，y )的轨迹是以(-(x ＋1)2＋(y -2)21,2)为圆心，以3为半径的圆.【答案】　以(-1,2)为圆心，以3为半径的圆二、解答题9.已知复数z ＝1＋a i(a ∈R )，ω＝cos α＋isin α，α∈(0,2π)，若z ＝＋2i ，且z |z -w |＝，求角α的值.5【解】　由题意知1＋a i ＝1＋(2-a )i ，则a ＝2-a ，即a ＝1，∴z ＝1＋i.由|z -w |＝得(1-cos α)2＋(1-sin α)2＝5，5整理得sin α＋cos α＝-1，∴sin＝-，(α＋π4)22∵0<α<2π，∴<α＋<π，π4π494∴α＋＝或α＋＝，π45π4π47π4∴α＝π或α＝.3π210.已知复数z 满足(z -2)i ＝a ＋i(a ∈R ).(1)求复数z ；(2)a 为何值时，复数z 2对应的点在第一象限.【解】　(1)由(z -2)i ＝a ＋i ，得z -2＝＝1-a i ，a ＋ii ∴z ＝3-a i.(2)由(1)得z 2＝9-a 2-6a i ，∵复数z 2对应的点在第一象限，∴Error!解得-3<a <0.故当a ∈(-3,0)时，z 2对应的点在第一象限.能力提升]1.在复平面内，O 是原点，，，对应的复数分别为-OA → OC → AB→2＋i,3＋2i,1＋5i ，那么对应的复数为________.BC→【解析】　由＝＋，知OB → OA → AB→ 对应的复数为(-2＋i)＋(1＋5i)＝-1＋6i ，OB→ 又＝-，BC → OC → OB → ∴对应的复数为(3＋2i)-(-1＋6i)＝4-4i.BC→ 【答案】　4-4i2.(2016·宜昌模拟)已知复数z 满足(1＋i)z ＝1-i ，其中i 为虚数单位，则|z |＝________.【导学号：97220037】【解析】　由(1＋i)z ＝1-i 得z ＝＝-i ，∴|z |＝1.1-i1＋i 【答案】　13.(2016·镇江二模)在复平面内，复数z ＝＋i 2 014表示的点所在的象限是i1-i ________.【解析】　z ＝＋i 2 014＝＋i 2＝-＋i ，对应点的坐标为，故i1-i i -123212(-32，12)在第二象限.【答案】　第二象限4.已知O 为坐标原点，1对应的复数为-3＋4i ，2对应的复数为OZ → OZ→2a ＋i(a ∈R ).若1与2共线，求a 的值.OZ→ OZ→ 【解】　因为1对应的复数为-3＋4i ，2对应的复数为2a ＋i ，所以OZ→ OZ→1＝(-3,4)，2＝(2a,1).因为1与2共线，所以存在实数k 使OZ → OZ → OZ → OZ→2＝k 1，即(2a,1)＝k (-3,4)＝(-3k,4k )，OZ→ OZ→所以Error!所以Error!3即a的值为-.8。

高中数学(苏教版选修1-2)课件第3章数系的扩充与复数的引入 3.1

∴当m≠－3且m≠－2时复数z是虚数.
(3)复数z是纯虚数的充要条件是
2 m －m－6 ＝0， m＋3 2 m ＋5m＋6≠0
⇔m＝3.
∴当m＝3时复数z是纯虚数.
规律方法
利用复数的概念对复数分类时，主要依据实
部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数.
跟踪演练2 实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋
复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和
虚部.特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同
它的符号叫做复数的虚部.
跟踪演练1 已知下列命题： ①复数a＋bi不是实数； ②当z∈C时，z2≥0； ③若(x2－4)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±2； ④若复数z＝a＋bi，则当且仅当b≠0时，z为虚数；
[知识链接]
为解决方程x2＝2，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充
到实数集后，人们发现在实数范围内也有很多问题不能解决，那么怎样解决方程x2＝－1在实数系中无根的问题呢？
如从解方程的角度看，x2＝－1这个方程在实数范围内就无解，
答
设想引入新数i，使i是方程x2＝－1的根，即i· i＝－1，方
程x2＝－1有解，同时得到一些新数.
1 ①2＋3i；②－3＋2i；③ 2＋i；④π； ⑤－ 3i； ⑥0.
解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数； 1 ②的实部为－3，虚部为 2 ，是虚数； ③的实部为 2 ，虚部为1，是虚数；
④的实部为π，虚部为0，是实数； ⑤的实部为0，虚部为－ 3 ，是纯虚数； ⑥的实部为0，虚部为0，是实数.
规律方法
两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚
部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，

高中数学第3章数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件苏教版选修1-2

交换律结合律乘法对加法的分配律
z1z2＝_z2_z_1 (z1z2)z3＝_z_1(_z_2z_3_)_ z1(z2＋z3)＝_z_1_z_2＋__z_1_z_3 _
知识点三共轭复数
思考
复数z1＝a＋bi与z2＝a－bi(a，b∈R)有什么关系？试求z1·z2的积. 答案两复数实部相等，虚部互为相反数，z1·z2＝a2＋b2，积为实数.
思考2
复数的加法满足交换律和结合律吗？答案满足.
答案
梳理
(1)复数的加法、减法法则 ①条件：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(其中a，b，c，d均为实数). ②加法法则：z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i ，减法法则：z1－z2＝ (a－c)＋(b－d)i . (2)运算律 ①交换律：z1＋z2＝ z2＋z1 . ②结合律：(z1＋z2)＋z3＝ z1＋(z2＋z3) .
3.理解共轭复数的性质
(1)z∈R⇔ z＝z.
(2)当a，b∈R时，有a2＋b2＝(a＋bi)(a－bi)，这是虚数问题实数化的一个重要依据.
本课结束
课件制作-Q老师
勤学奋进，学有所成！
2021/11/22
知识点二复数的乘法
思考
如何规定两个复数相乘？答案类似于多项式的乘法，相当于把复数的代数形式看成关于“i”的多项式，运算过程中要把i2换成－1，然后把实部与虚部分别合并.
答案
梳理
(1)复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ (ac－bd)＋(ad＋bc)i . (2)乘法运算律对于任意z1，z2，z3∈C，有
12345
解析答案
3. 设复数 z1 ＝ x ＋ 2i ， z2 ＝ 3 － yi(x ， y∈R) ，若 z1 ＋ z2 ＝ 5 － 6i ，则 z1 － z2 ＝ __－__1_＋__1_0_i___.

2017-2018学年高中数学苏教版选修1-2(课件+学业分层测评+教师用书)：章末综合测评第3章

∴k∈(- 6，-2)∪ (2， 6). 【答案】 (- 6，-2)∪(2， 6)
11-7i 7.设 a， b∈ R， a＋ bi ＝ 1-2i (i 为虚数单位 )，则 a＋ b 的值为 ________.
11-7i 11-7i 1＋ 2i 25＋15i 【解析】 a＋bi＝ 1-2i ＝ 1-2i 1＋2i ＝ 5 ＝5＋3i，依据复数相等的
二、解答题 (本大题共 6 小题，共 90 分 .解答时应写出文字说明，证明过程或
演算步骤 )
15.(本小题满分
14 分)已知
z，w
为复数，
(1＋3i)
z
为实数，
z w＝2＋
i
，且
|w|
＝ 5 2，求 ω.
【解】设 ω＝x＋yi(x，y∈R)，
z 由 ω＝，得 z＝ω(2＋i) ＝(x＋ yi)(2 ＋i).
x＋1 2＋ y-1 2＝4，则 (x＋ 1)2＋ (y-1)2＝16.
【答案】 (x＋ 1)2＋ (y-1)2＝16 6.在复平面内，若复数 (-6＋ k2)-(k2-4)i 所对应的点位于第三象限，则实数 k
的取值范围是 ________.
【解析】
-6＋ k2<0，由已知得 k2-4>0，
∴4<k2<6，
2＋ i
依题意，得 (1＋ 3i)z＝(1＋ 3i)(x＋yi)(2 ＋ i) ＝(-x-7y)＋(7x-y)i.
∵(1＋ 3i)z 为实数 . ∴7x-y＝ 0.① 又|ω|＝5 2， ∴ x2＋y2＝ 50.②
∴复数 z 对应的点为 (-3,1)在第二象限 . 【答案】二 3.若 a 为实数，且 (2＋ai)( a-2i) ＝-4i ，则 a＝ ________. 【解析】 ∵(2＋ai)(a-2i) ＝-4i， ∴4a＋ (a2-4)i ＝-4i.

高中数学苏教版选修1-2学案：3.1 数系的扩充含解析

3.1 数系的扩充1.理解复数的基本概念、复数的代数表示.(重点)2.利用复数的代数形式进行分类和复数相等的充要条件的应用.(重点、难点)3.实部、虚部的概念.(易混点)[基础·初探]教材整理1 复数的相关概念阅读教材P65～P66“例1”以上部分，完成下列问题.1.虚数单位我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：(1)i2＝-1；(2)实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.2.复数、复数集(1)形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C.(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部.判断正误：(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数.( )(3)bi是纯虚数.( )(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( )【答案】(1)×(2)√(3)×(4)√教材整理2 复数的分类与复数相等阅读教材P66，完成下列问题.1.复数的分类复数z＝a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，z是实数；当b≠0时，z叫做虚数；当a＝0且b≠0时，z＝bi叫做纯虚数.2.复数相等的充要条件设a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.1.①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；②若(x2-1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；③两个虚数不能比较大小.其中正确命题的序号是__________.(填序号)【解析】当a＝-1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x 2-1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 2-1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，即x ＝1，故②错.【答案】 ③ 2.(2016·盐城检测)若xi-i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋yi ＝________.【解析】由i 2＝-1得xi-i 2＝1＋xi ，即1＋xi ＝y ＋2i ，根据两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1，故x ＋yi ＝2＋i.【答案】 2＋i[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]。

苏教版数学高二选修1-2测评 3.1 数系的扩充

学业分层测评(九)第3章 3.1 数系的扩充(建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1.复数(1-2)i 的实部为________.【导学号：97220024】【解析】 ∵复数(1-2)i ＝0＋(1-2)i ，∴实部为0.【答案】 02.若复数z ＝(x 2-1)＋(x -1)i 为纯虚数，则实数x 的值为________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2-1＝0，x -1≠0，∴x ＝-1. 【答案】 -13.若复数z 1＝a ＋2i ，z 2＝b i ，a ，b 均为实数，且z 1＝z 2，则a -b ＝________.【解析】由z 1＝z 2，得a ＝0，b ＝2，∴a -b ＝-2.【答案】 -24.以复数z ＝3i ＋2和复数z 2＝2i 2-1的实部之和为虚部，虚部之和为实部的新复数是________.【解析】 z 2＝2i 2-1＝-3，则新复数的实部为3，虚部为-1，所以新复数为3-i.【答案】 3-i5.(2014·湖南高考)复数3＋i i 2(i 为虚数单位)的实部等于________.【解析】 3＋i i 2＝3＋i -1＝-3-i ，其实部为-3.【答案】 -36.设m ∈R ，m 2＋m -2＋(m 2-1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________.【解析】复数m 2＋m -2＋(m 2-1)i 是纯虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋m -2＝0，m 2-1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1或m ＝-2，m ≠±1，即m ＝-2. 故m ＝-2时，m 2＋m -2＋(m 2-1)i 是纯虚数.【答案】 -27.若log 2(x 2-3x -2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的值为________.【解析】 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x 2＋2x ＋1)＝0，log 2(x 2-3x -2)>1，∴x ＝-2. 【答案】 -28.有下列说法：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1-a i(a ∈R )是一个复数；④纯虚数的平方不小于0；⑤-1的平方根只有一个，即为-i ；⑥i 是方程x 4-1＝0的一个根； ⑦2i 是一个无理数.其中正确的有________(填序号).【解析】若两个复数相等，则有它们的实部、虚部均相等，故①正确；若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确；因满足形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数均为复数，故③正确；纯虚数的平方，如i 2＝-1，故④错误；-1的平方根不止一个，因为(±i)2＝-1，故⑤错误；∵i 4-1＝0成立，故⑥正确；2i 是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误.综上，①②③⑥正确.【答案】 ①②③⑥二、解答题9.已知m ∈R ，复数z ＝(2＋i)m 2-3(1＋i)m -2(1-i)，(1)写出复数z 的代数形式.(2)当m 为何值时，z ＝0？当m 为何值时，z 是纯虚数？【解】 (1)复数z ＝(2＋i)m 2-3(1＋i)m -2(1-i)＝(2m 2-3m -2)＋(m 2-3m ＋2)i ，即复数z 的代数形式为z ＝(2m 2-3m -2)＋(m 2-3m ＋2)i.(2)若z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m ＋2＝0，2m 2-3m -2＝0，解得m ＝2.若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m ＋2≠0，2m 2-3m -2＝0，解得⎩⎨⎧ m ≠2且m ≠1，m ＝2或m ＝-12，即m ＝-12. 10.已知关于x 的方程x 2＋(k ＋2i)x ＋2＋k i ＝0有实数根，求实数k 的值.【解】设x 0是方程的实数根，代入方程并整理得(x 20＋kx 0＋2)＋(2x 0＋k )i ＝0.由两个复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋kx 0＋2＝0，2x 0＋k ＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝2，k ＝-22，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝-2，k ＝2 2.∴实数k 的值为±2 2.[能力提升]1.设x ，y ∈R ，且满足(x ＋y )＋(x -2y )i ＝(-x -3)＋(y -19)i ，则x ＋y ＝________.【导学号：97220025】【解析】由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝-x -3，x -2y ＝y -19.解之得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝-4，y ＝5，所以x ＋y ＝1. 【答案】 12.若log 2(m 2-3m -3)＋ilog 2(m -2)为纯虚数，则实数m ＝________.【解析】由纯虚数的定义知，log 2(m 2-3m -3)＝0且log 2(m -2)≠0.∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2-3m -3＝1，m -2>0且m -2≠1，解得m ＝4. 【答案】 43.已知z 1＝-4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为________.【解析】由z 1>z 2知，z 1、z 2都为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，解之得a ＝0.此时，z 1＝1>z 2＝0.【答案】 04.(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m -1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是________.【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋3＞0，m -1＜0，即-3＜m ＜1.故实数m 的取值范围为(-3,1). 【答案】 (-3,1)5.若复数z ＝m -3m ＋2＋m 2-m i(m ∈R )是虚数，则实数m 的取值范围是________. 【解析】 ∵复数z ＝m -3m ＋2＋m 2-m i(m ∈R )是虚数.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2≠0，m 2-m >0，解得m >1或m <0且m ≠-2. 故实数的取值范围是(-∞，-2)∪(-2,0)∪(1，＋∞).【答案】 (-∞，-2)∪(-2,0)∪(1，＋∞)。

苏教版数学高二数学苏教版选修1-2单元检测数系的扩充与复数的引入

数学苏教版1-2第3章数系的扩充与复数的引入单元检测一、填空题1．(2012辽宁高考，文3改编)复数11i=+__________. 2．(2012浙江高考，文2改编)已知i 是虚数单位，则3i 1i +=-__________. 3．设复数22i (1i)z +=+，则复数z 的实部是__________． 4．(2012江西高考，文1改编)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋2z 的虚部为__________．5．如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部复数”，若复数z ＝(1＋a i)i(i 是虚数单位)为“等部复数”，则实数a 的值是__________．6．已知1im +＝1－n i(m ，n ∈R )，则m ＋n i ＝__________. 7．若f (z )＝1－z (z ∈C )，已知z 1＝2＋3i ，z 2＝5－i ，则12z f z ⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.8．已知复数z 1＝3＋a i ，z 2＝1－i ，z 3＝b ＋2i(a ，b ∈R )，它们在复平面内对应的点分别为A ，B ，C ，且BC ＝CA ，则z 1＋z 3＝__________.9．已知复数z 1＝2＋i ，z 2在复平面内对应的点在直线x ＝1上，且满足1z ·z 2∈R ，则z 2＝__________.10．复数z 满足方程241iz +=+，那么复数z 的对应点P 组成的图形为________． 11．若z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，则使得z 2＝－1的θ的值是________．12．已知f (z )＝|1＋z |－z ，且f (－z )＝10＋3i ，则复数z ＝________.二、解答题13．已知a －1＋2a i ＝－4＋4i ，求复数a .14．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭；(3)对应的点在x 轴上方．15．设O 为坐标原点，已知向量1OZ ，2OZ 分别对应复数z 1，z 2，且z 1＝35a +＋(10－a 2)i ，z 2＝21a-＋(2a －5)i(a ∈R )，若1z ＋z 2可以与任意实数比较大小，求1OZ ·2OZ 的值．参考答案1. 答案：11i 22- 解析：11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222--===-++-. 2. 答案：1＋2i 解析：∵23i (3i)(1i)3+3i+i+i 24i 1i (1i)(1i)22++++===--+＝1＋2i. 3. 答案：12解析：22i 2i 2i 11i (1i)2i 22z ++-+====-+， ∴实部为12. 4. 答案：0 解析：因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i.而z 2＝(1＋i)2＝2i ，2z ＝(1－i)2＝－2i ，所以z 2＋2z ＝0.5. 答案：－1 解析：z ＝(1＋a i)i ＝－a ＋i ，由已知得－a ＝1，∴a ＝－1.6. 答案：2＋i 解析：1i m +＝1－n i 可化为i 2m m -＝1－n i ， ∴12.2m m n ⎧=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， ∴21.m n =⎧⎨=⎩， ∴m ＋n i ＝2＋i. 7. 答案：1917i 2626- 解析：∵z 1＝2＋3i ，z 2＝5－i ， ∴1z ＝2－3i ，2z ＝5＋i ，1223i (23i)(5i)10317i 717i 5i(5i)(5i)262626z z -----====-++-. 又∵f (z )＝1－z ， ∴1271719171i i 26262626z f z ⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 8. 答案：5＋7i 解析：∵BC ＝CA ，∴OC－OB＝OA－OC，∴2OC＝OA＋OB，∴2b＋4i＝3＋a i＋1－i＝4＋(a－1)i，∴24,14, ba=⎧⎨-=⎩∴5,2. ab=⎧⎨=⎩∴z1＋z3＝3＋5i＋2＋2i＝5＋7i.9.答案：1＋12i解析：由z1＝2＋i，得1z＝2－i.由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，可设z2＝1＋b i(b∈R).则1z·z2＝(2－i)(1＋b i)＝(2＋b)＋(2b－1)i，由1z·z2∈R，得2b－1＝0，∴b＝12，即z2＝1＋12i.10.答案：以(－1,1)为圆心，以4为半径的圆解析：21iz++＝|z＋(1－i)|＝|z－(－1＋i)|＝4.设－1＋i对应的点为C(－1,1)，则|PC|＝4，因此动点P的轨迹是以C(－1,1)为圆心，以4为半径的圆.11．答案：kπ＋π2(k∈Z)解析：z2＝cos2θ－sin2θ＋2isin θcos θ＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴cos21,sin20.θθ=-⎧⎨=⎩∴2θ＝2kπ＋π，k∈Z.∴θ＝kπ＋π2，k∈Z.12．答案：5－3i解析：设z＝x＋y i(x，y∈R)，则－z＝－x－y i. 由f(－z)＝10＋3i，得|1＋(－z)|－(z-)＝10＋3i，|(1－x)－y i|－(－x＋y i)＝10＋3i，∴10,3.xy=-=⎪⎩解之，得5,3.xy=⎧⎨=-⎩∴所求z＝5－3i.13. 答案：解：设a ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，代入a －1＋2a i ＝－4＋4i 得(x －2y －1)＋(2x ＋y )i ＝－4＋4i ，∴214,24,x y x y --=-⎧⎨+=⎩ 解得1,2.x y =⎧⎨=⎩∴a ＝1＋2i. 14. 答案：解：(1)根据复数相等的充要条件得22562,21512.m m m m ⎧++=⎨--=-⎩解之，得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得225612,21516.m m m m ⎧++=⎨--=-⎩解之，得m ＝1. (3)根据复数z 对应的点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之，得m ＜－3或m ＞5.15. 答案：解：依题意得1z ＋z 2为实数，由1z ＝35a +－(10－a 2)i ， ∴1z ＋z 2＝35a +＋21a -＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i 的虚部为0. ∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.又分母不为零，∴a ＝3.此时z 1＝38＋i ，z 2＝－1＋i ，即1OZ ＝3,18⎛⎫⎪⎝⎭，2OZ ＝(－1,1)，∴1OZ ·2OZ ＝38×(－1)＋1×1＝58.。

苏教版数学高二-高中数学(苏教版选修1-2作业 3.1数系的扩充

第3章数系的扩充与复数的引入§3.1 数系的扩充课时目标 1.了解引入虚数单位i 的必要性，了解数系的扩充过程.2.了解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法及复数相等的充要条件．1．复数的概念及代数表示(1)定义：形如a ＋b i (a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝________.(2)表示：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的________与________．2．复数的分类(1)复数a ＋b i (a ，b ∈R )⎩⎨⎧ 实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0).(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔________________.一、选择题1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是__________．2．a ＝________时，复数z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 表示纯虚数．3．若(7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i (x ，y ∈R )，则x ，y 的值分别为____________．4．若(a －2i)i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝________.5．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，集合P ＝{－1,3}，M ∩P ＝{3}，则实数m ＝________.6．已知复数z 1＝(3m ＋1)＋(2n －1)i ，z 2＝(n ＋7)－(m －1)i ，若z 1＝z 2，实数m 、n 的值分别为__________、________.7．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a ＝______.8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．二、解答题9．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i (a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．10．已知x 2－x －6x ＋1＋(x 2－2x －3)i ＝0 (x ∈R )，求x 的值．能力提升11．设a ，b ∈R ，若a ＋b ＋i ＝10＋ab i(i 为虚数单位)，则(a －b )2＝________.12．如果m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？1．利用复数的代数形式进行分类时，主要依据是实部虚部应满足的条件，求参数时，可由此列出方程组求解．但注意考虑问题要全面．2．复数相等的充要条件是求复数及解方程的主要依据，是复数问题实数化的桥梁纽带．§3.1 数系的扩充答案知识梳理1．(1)－1 (2)实部虚部3．a ＝c 且b ＝d作业设计 1．0,1＋ 3 解析 (1＋3)i 可看作0＋(1＋3)i ＝a ＋b i ，所以实部a ＝0，虚部b ＝1＋ 3.2．0解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－a －2≠0， ∴a ＝0时，z ＝(a 2－2a )＋(a 2－a －2)i 为纯虚数．3．1,2解析 (7－3x )＋3y i ＝2y ＋2(x ＋2)i⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 7－3x ＝2y ，3y ＝2(x ＋2)⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.即x ，y 的值分别为1,2.4．5 5.－16．2,0解析两复数相等，即实部与实部相等，虚部与虚部相等．故有⎩⎪⎨⎪⎧ 3m ＋1＝n ＋72n －1＝－(m －1)，解得m ＝2，n ＝0. 7．－4解析若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 4－3a ＝a 2－a 2＝4a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －4＝0a 2＋4a ＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4或a ＝1a ＝0或a ＝－4. ∴a ＝－4.8．{3}解析 ∵若使复数可以比较大小，∴两个数必须为实数． ∴⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝0或3，m ＝1或3，－10<m <10，∴m ＝3.9．解 (1)当z 为实数时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0，a 2－1≠0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6，a ≠±1，∴a ＝6. ∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－5a －6≠0，a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6，a ≠±1， ∴a ≠±1且a ≠6.∴当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有：⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0，a 2－7a ＋6a 2－1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠－1且a ≠6，a ＝6. ∴不存在实数a 使z 为纯虚数． 10．解由复数相等的定义得 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0，x 2－2x －3＝0. 解得：x ＝3，∴x ＝3为所求．11．8解析由复数相等的充要条件得，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝10ab ＝1 ⇒(a －b )2＝a ＋b －2ab ＝10－2＝8.12．解由z 1>z 2，z 1<z 2可知z 1∈R ，z 2∈R ，∴当z 1>z 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m 3＋3m 2＋2m ＝0， ①m 3－5m 2＋4m ＝0， ②m 2＋1>4m ＋2， ③由①②解得m ＝0，不能满足③式，∴使z 1>z 2的m 的值的集合为空集．由以上可知，m ＝0时，m 2＋1<4m ＋2， ∴使z 1<z 2的m 的值的集合为{0}．。

苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2练测 3.1 数系的扩充

3.1 数系的扩充（苏教版选修1-2）建议用时实际用时满分实际得分45分钟100分一、填空题（每小题5分，共30分）1. 的虚部是.2．已知复数的实部大于虚部，则实数的取值范围是 .3．已知复数,且的值为.4.集合且则实数的值为 .5.已知复数且则.6. 方程的实数解为.二、解答题(共70分)7.(10分)已知,.若,求实数的值.8.（12分）已知复数, 若，求实数的取值范围.9.(12分)已知复数(1)若为实数,求的值；(2)若为纯虚数,求的值.10.（12分）已知求实数的值.11.(12分)解方程：.12.(12分)如果求实数的值..3.1 数系的扩充（苏教版选修1-2）答题纸得分：一、填空题1. 2. 3. 4. 5． 6．二、解答题7.8.9.10.11.12.3.1数系的扩充（苏教版选修1-2）答案1.2.或解析：找出复数的实部与虚部，列出不等式即可求得实数的取值范围.由已知可以得到即所以或因此实数的取值范围是或.3.解析：根据复数相等的概念，列出关于的方程组，从而求出的值.由已知条件可以得到所以或4.解析：因为所以或由得解得.由得解得.所以的值为.5.2 解析：∵∴.故∴或当时，(不合题意，舍去)，故.6.2 解析：由题意，得解得∴.7.解：因为，所以即或由得解得由得解得综上可知或.8. 解：由题设及复数相等的定义，知且，消去参数，得∵，∴当时，；当时，故，即为所求.9. 分析：实数的本质是虚部为0；纯虚数的本质是实部为0，虚部不为0.解：(1)若复数为实数，则解得.(2)若复数为纯虚数，则解得10.解：由复数相等的概念，得方程组由②变形得代入①,得∴,.∴即或11.解：设则将方程变形为根据复数相等的定义，有解得∴.12.解：依据复数相等的充要条件有：解得。

苏教版数学高二-高中数学(苏教版选修1-2第3章《数系的扩充与复数》章末检测(B)

第3章数系的扩充与复数的引入(B)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分) 1．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是________．2．复数1＋2i3＝__________. 3．如图，设向量OP →，PQ →，OQ →，OR →所对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，z 4，那么z 2＋z 4－2z 3＝______________.4．已知z 是纯虚数，z ＋21－i是实数，那么z ＝__________. 5．设z ＝1＋i (i 是虚数单位)，则z z ＋z ＋z ＝______. 6．定义运算⎪⎪⎪⎪a c b d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝4＋2i 的复数z 为________． 7．若(m ＋i)3∈R ，则实数m 的值为________．8．设复数z 满足条件|z |＝1，那么|z ＋22＋i|的最大值为________．9．若－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则p ＝________. 10．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为________．11．在复平面内，复数2i 1－i对应点的坐标为________． 12．下列命题，正确的是________．(填序号)①复数的模总是正实数；②虚轴上的点与纯虚数一一对应；③相等的向量对应着相等的复数；④实部与虚部都分别互为相反数的两个复数是共轭复数． 13．设z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋2i ，复数z 1和z 2在复平面内对应点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________．14．若复数z ＝23＋2i 对应的点为Z ，则向量OZ →所在直线的倾斜角θ＝________.二、解答题(本大题共6小题，共90分)15．(14分)计算i －231＋23i＋(5＋i 19)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 222.16．(14分)已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i (x∈R)是4－20i的共轭复数，求实数x的值．17．(14分)实数k为何值时，复数(1＋i)k2－(3＋5i)k－2(2＋3i)满足下列条件？(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数．18．(16分)在复平面内，点P、Q对应的复数分别为z1、z2，且z2＝2z1＋3－4i，|z1|＝1，求点Q 的轨迹．19．(16分)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b、c为实数)．(1)求b，c的值；(2)试说明1－i也是方程的根吗？20．(16分)已知复数z 1＝i(1－i)3，(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值．第3章数系的扩充与复数的引入(B)答案1．1解析 ∵(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0，∴x ＝1. 2．1＋2i解析 1＋2i 3＝1－2i＝1＋2i. 3．0解析 ∵z 2＋z 4－2z 3＝z 2－z 3＋(z 4－z 3)，而z 2－z 3对应的向量运算为：PQ →－OQ →＝PQ →－PR →＝RQ →，z 4－z 3对应的向量运算为：OR →－OQ →＝QR →，又∵RQ →＋QR →＝0，∴z 2＋z 4－2z 3＝0.4．－2i解析设z ＝b i (b ≠0)，则z ＋21－i ＝2＋b i 1－i＝(2＋b i )(1＋i )2＝(2－b )＋(2＋b )i 2. 因为z ＋21－i是实数，所以2＋b ＝0， ∴b ＝－2，∴z ＝－2i.5．4解析 z z ＋z ＋z ＝(1＋i)(1－i)＋1＋i ＋1－i＝2＋2＝4.6．3－i解析 ⎪⎪⎪⎪1z －1z i ＝z i ＋z ＝z (1＋i)＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i＝(4＋2i )(1－i )2＝6－2i 2＝3－i. 7．±33解析因为(m ＋i)3∈R ，(m ＋i)3＝m 3－3m ＋(3m 2－1)i ，所以3m 2－1＝0，解得m ＝±33. 8．4解析复数z 满足条件|z |＝1，z 所对应的点的轨迹是单位圆，而|z ＋22＋i|即表示单位圆上的动点到定点(－22，－1)的距离．从图形上可得|z ＋22＋i|的最大值是4.9．1解析已知－1－3i 2是方程x 2＋px ＋1＝0的一个根，则x ＝－1－3i 2满足方程，代入得⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－3i 22＋p ·－1－3i 2＋1＝0，整理得(1－p )3i 2＋⎝⎛⎭⎫12－p 2＝0，解得p ＝1. 10．13解析 BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD 的长为13.11．(－1,1)解析 2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝i(1＋i)＝－1＋i. ∴复数对应点的坐标为(－1,1)．12．③13．2解析由题意知OA →＝(1,1)，OB →＝(－2,2)，且|OA →|＝|z 1|＝2，|OB →|＝|z 2|＝8＝2 2.∴cos ∠AOB ＝OA →·OB →|OA →|·|OB →|＝1×(－2)＋1×22×22＝0. ∴∠AOB ＝π2，∴S △AOB ＝12|OA →|·|OB →| ＝12×2×22＝2. 14．π6解析由题意OZ →＝(23，2)，∴tan θ＝223＝33，即θ＝π6.15．解原式＝i (1＋23i )1＋23i＋(5＋i 3)－(2i )11211 ＝i ＋(5－i)－i 11＝5－i 3＝5＋i.16．解因为复数4－20i 的共轭复数为4＋20i ，由题意得：x 2＋x －2＋(x 2－3x ＋2)i ＝4＋20i ，根据复数相等的定义，得：⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x －2＝4， ①x 2－3x ＋2＝20. ② 方程①的解为x ＝－3或x ＝2，方程②的解为x ＝－3或x ＝6.∴x ＝－3.17．解 (1＋i)k 2－(3＋5i)k －2(2＋3i)＝(k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i.(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，该复数为实数．(2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，该复数为虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－5k －6≠0，k 2－3k －4＝0，即k ＝4时，该复数为纯虚数．18．解 ∵z 2＝2z 1＋3－4i ，∴2z 1＝z 2－3＋4i.又|2z 1|＝2，∴|z 2－3＋4i|＝2，即|z 2－(3－4i)|＝2.由模的几何意义知点Q 的轨迹是以(3，－4)为圆心，2为半径的圆．19．解 (1)因为1＋i 是方程x 2＋bx ＋c ＝0的根，∴(1＋i)2＋b (1＋i)＋c ＝0，即(b ＋c )＋(2＋b )i ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝02＋b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2c ＝2.∴b ＝－2，c ＝2. (2)方程为x 2－2x ＋2＝0.把1－i 代入方程左边得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i 也是方程的一个根．20．解方法一 (1)z 1＝i(1－i)3＝i(－2i)(1－i)＝2(1－i)，∴|z 1|＝22＋22＝2 2. 方法二 |z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|×|1－i|3＝1×(2)3＝2 2.(2)∵|z |＝1，∴设z ＝cos θ＋isin θ，|z －z 1|＝|cos θ＋isin θ－2＋2i| ＝(cos θ－2)2＋(sin θ＋2)2 ＝9＋42sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4.∴当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝1时，|z －z 1|2取得最大值 9＋42，从而得到|z －z 1|的最大值为22＋1.。

2018-2019学年高二数学苏教版选修1-2讲义：第3章 3.1 数系的扩充 Word版含答案

姓名，年级：时间：3．1数系的扩充复数的概念及代数表示法问题1：方程2x2－3x＋1＝0。

试求方程的整数解？方程的实数解?提示：方程的整数解为1,方程的实数解为1和错误!。

问题2：方程x2＋1＝0在实数范围内有解吗？提示：没有解．问题3：若有一个新数i满足i2＝－1，试想方程x2＋1＝0有解吗？提示：有解，x＝i.问题4：实数a与实数b和i相乘的结果相加，结果记作a＋b i,这一新数集形式如何表示？提示:C＝｛a＋b i｜a，b∈R｝．1．虚数单位i我们引入一个新数i,叫做虚数单位，并规定:(1)i2＝－1。

(2）实数可以与i进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．2．复数的概念形如a＋b i(a，b∈R)的数叫做复数．全体复数所组成的集合叫做复数集，记作C。

3．复数的代数形式复数通常用字母z表示，即z＝a＋b i（a，b∈R），其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部。

复数的分类问题1：复数z＝a＋b i(a,b∈R)，当b＝0时,z是什么数?提示：当b＝0时，z＝a为实数．问题2：复数z＝a＋b i(a，b∈R)，当a＝0时，z是什么数？提示：当a＝b＝0时，z＝0为实数;当a＝0，b≠0,z＝b i为纯虚数．1．复数z＝a＋b i错误!2．两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等．1．注意复数的代数形式z＝a＋b i中a，b∈R这一条件，否则a，b就不一定是复数的实部与虚部．2．复数集是实数集的扩充，两个实数可以比较大小，但若两个复数不全为实数,则不能比较大小．在复数集里，一般没有大小之分，但却有相等与不相等之分．错误!复数的概念[例1] 实数m错误!21)实数？(2）虚数?(3)纯虚数？［思路点拨] 分清复数的分类,根据实部与虚部的取值情况进行判断．［精解详析］（1）要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0,且错误!有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.(2)要使z是虚数,m需满足m2＋2m－3≠0，且错误!有意义,即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3。

高中数学苏教版选修1-2学业分层测评：第三章 数系的扩充与复数3.2.1含解析

苏教版数学高二-高中数学选修1-2教案 第三章 数系的扩充和复数的引入3

苏教版数学高二-数学苏教版选修1-2练测 第3章 数系的扩充与复数的引入 本章练测

2016-2017学年高二数学苏教版选修1-2学业分层测评：第三章 数系的扩充与复数3.3 Word版含解析

高中数学(苏教版选修1-2)课件第3章 数系的扩充与复数的引入 3.1

高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算(一)课件 苏教版选修1-2