模糊控制算法
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i1 1 i2 1 11 11
11
11
i1
i1 i2 , ei2 A x1 A x2
x x
i1 1 i2 1 i1 A 1 i2 A 2
（ 6）
该模糊系统由 11 11=121 条规则来逼近函数 g x 。
x1 、 x2 的隶属度函数图如图 4 和图 5 所示。
xU
。
（2）通过对每个 xi 定义更多的模糊集可以得到更为准确的逼近器，即规则越多， 所产生的模糊系统越有效。 （3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 g x 关于 xi 和 x2 的导数边 界，即
i2 x e1i1 , e2 i1 1, 2,
g x1
h1 和
式中， eij 为 xi 在模糊集 Ai j 上的中间值或边界值。 规则来构造模糊系统 f x ，得 Step 3 采用乘机推理机，单值模糊器和中心平均解模糊器，根据 M N1 N 2 条
f x
y x x
i1i2 i1 1 i2 1 N1 N 2 i1 A1 1 i2 A2 2
Li L ，即 Ni i 1 。 hi Ni 1
由该定理可得到以下结论： （1） 形如式 （2） 的模糊系统是万能逼近器， 对任意给定的 0 ， 都可将 h1 和 h2 选 得 足 够 小 ， 使
g x1
h1
g x2
h2
成 立 ， 从 而 保 证
sup g x f x g f
对于模糊逼近的多元非线性方程的逼近，模糊逼近算法表现较好的鲁棒性。例如
g x1
sup 0.1 0.06 x2 0.16 ，
xU
g x2
sup 0.28 0.06 x1 0.34 ，由
xU
式（ 3）可知，取 h1 0.2 ， h2 0.2 时，有 g f
自适应模糊控制算法
21 世纪，模糊控制成为广大家电行业的典型控制方式之一，模糊控制可根据人的 经验模式，在电脑或芯片的控制下，实现模仿人的思维进行操作。例如模糊控制在电 视机音量、屏幕亮度、空调、洗衣机，工业炉、酒精发酵温度控制，空间机器人柔性 臂动力学控制，集装吊车控制等方面广泛应用。自适应模糊控制算法是模糊控制的一 个发展方向，自适应模糊控制算法能自动地对模糊控制规则进行修改和完善，以提高 控制系统的性能。它具有自适应、自学习的能力，特别对于那些具有非线性、大时滞、 高阶次的负责控制系统具有更好的控制效果。
i1i2 i i ii ：如果 x1 为 A11 且 x2 为 A22 ，则 y 为 B 1 2 Ru
式中， i1 1, 2, 择为
, N1 ， i2 1, 2,
, N2 ，将模糊集 Bi1i2 的中心（用 y i1i2 表示）选
（1）
i2 y i1i2 g x1 , x2 g e1i1 , e2
N1 N 2
x x
i1 1 i2 1 i1 A1 1 i2 A2 2
（2）
式中，分子表示规则前提之间、规则前提与结论之间的逻辑“与”运算。
1.2
模糊系统的逼近精度
万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神经网络之外的一个新的万能 逼近器。模糊系统较之其他逼近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万 能逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础，同时也从根本上解释了 模糊系统在实际中得到成功应用的原因。 万能逼近定理，令 f x 为式（ 2）中的二维模糊系统， g x 为式（ 1）中的未 知函数，如果 g x 在 U 1 , 1 1 , 2 上是连续可微的，则
图
1 隶属函数
所设计的模糊系统为
f x
sin e x
j j 1 j A
31
x
j 1 j A
31
（ 5）
由式（ 5） ，编写 MATLAB 程序如下： %模糊逼近 clc % 清屏 clear all; % 删除 workplace 变量 close all; % 关掉显示图形窗口 L1=-3;L2=3; % U 范围 L=L2-L1; % 模糊集变化范围长度 h=0.2; % 逼近精度 N=L/h+1; %模糊集的个数 T=0.01; %步长
1.1
模糊系统的设计
设二维模糊系统 g x 为集合 U 1 , 1 2 , 2 R 上的一个函数，其解析
2Байду номын сангаас
式形式未知。假设对任意一个 x U ，都能得到 g x ，则可设计一个逼近的模糊系 统。模糊系统的设计步骤为： Step 1：在 i , i 上定义 Ni i 1, 2 个标准的、一致的和完备的模糊集 Step 2: 组建 M N1 N 2 条模糊集 IF-THEN 规则，即
g f
g x1
h1
g x2
h2
（3） （4）
hi max eij 1 eij ， i 1, 2
1 j Ni 1
式中， 无穷维范数
定义为函数上界， 即 d x
sup d x ， eij 为 xi 在第 Ai j
xU
个模糊集上的中间值或边界值， j 1 和 j Ni 时为边界值。 由式（4）可知：假设 xi 的模糊集的个数为 N i ，其变化范围的长度为 L i ，则模糊 系统的逼近精度满足 hi
g x2
h2 。 同 时 ， 在 设 计 过 程 中 ， 还 必 须 知 道 g x 在
, N1 , i2 1, 2,
, N2 处的值。
1.3
模糊逼近仿真
针 对 一 维 函 数 g x ， 设 计 一 个 模 糊 系 统 f x ， 使 之 一 致 地 逼 近 定 义 在
0.16 0.2 0.34 0.2 0.1 ，
满足精度要求。由于 L 2 ，此时模糊集的个数为 N
L 1 11 ，即 x1 和 x2 分别在 h U 1,1 上定义 11 个具有三角形隶属函数的模糊集 A j 。
所设计的模糊系统为
f x
g e
模糊逼近 1 0.8 0.6 0.4 0.2
模糊逼近
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图
x 10 -3-3 10 55 xx10 5 44 4 33 3 22 2
-3
2 模糊逼近图形
模 糊逼 近误 差 模 模糊 糊逼 逼近 近误 误差 差
模 糊 逼 近 误 差 模 糊 逼 近 误 差 模 糊 逼 近 误 差
11 1 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7
隶 属 函 数 模 糊 集 隶 属 函 数 模 糊 集 隶 属 函 数 模 糊 集
x1 的 隶 属 函 数 模 糊 集 x1 的 隶 属 函 数 模 糊 集 x1 的 隶 属 函 数 模 糊 集
0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 00 -1 0 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.8 -0.8 -0.6 -0.6 -0.4 -0.4 -0.2 -0.2 00 0 x1 x1 x1 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.8 0.8 0.8 11 1
x=L1:T:L2; % 模糊集变化范围 for i=1:N e(i)=L1+L/(N-1)*(i-1); % 模糊集的边界值 end c=0;d=0; %初始值 for j=1:N % 隶属度函数 if j==1 u=trimf(x,[e(1),e(1),e(2)]); %The first MF elseif j==N u=trimf(x,[e(N-1),e(N),e(N)]); %The last MF else u=trimf(x,[e(j-1),e(j),e(j+1)]); end hold on; plot(x,u,'r','LineWidth',2); c=c+sin(e(j))*u; % 分子 d=d+u; % 分母 end xlabel('x');ylabel('隶属函数模糊集'); for k=1:L/T+1 f(k)=c(k)/d(k); % 模糊系统 end y=sin(x); figure(2); plot(x,f,'r',x,y,'k'); xlabel('x');ylabel('模糊逼近'); grid on%网格化 title('模糊逼近') figure(3); plot(x,f-y,'k','LineWidth',2); grid on%网格化 xlabel('x');ylabel('模糊逼近误差'); title('模糊逼近误差') 运行程序得图 2、图 3 所示。
图
11 1 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7
4
x1 的隶属度函数
x2 的 隶属 函数 模糊 集 x2 的 x2 的隶 隶属 属函 函数 数模 模糊 糊集 集
11 1 00 0
-1 -1 -1 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 00 xx 0 x 11 1 22 2 33 3
图
3 模糊逼近误差图
针对函数 g x ， 设计一个模糊系统 f x ， 使之一致地逼近定义在 U 1,1 1,1 上的连续函数 g x 0.52 0.1x1 0.28 x2 0.06 x1 x2 ，所需精度为 0.1 。 由于
1
模糊控制
模糊控制器的设计不依靠被控对象的模型，但它却非常依靠控制专家或操作者的 经验知识。模糊控制的突出优点是能够比较容易地将人的控制经验溶入到控制器中， 但若缺乏这样的控制经验，很难设计出高水平的模糊控制器。而且，由于模糊控制器 采用了 IF-THRN 控制规则， 不便于控制参数的学习和调整， 使得构造具有自适应的模 糊控制器较困难。 自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系统，其学习算法是依靠数 据信息来调整模糊逻辑系统的参数。一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应 模糊系统构成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应控制相比，自 适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人员提供的语言模糊性信息，而传统的自 适应控制则不能。这一点对具有高度不确定因素的系统尤为重要。 自适应模糊控制有两种不同的形式： (1).间接自适应模糊控制：通过在线辨识获得控制对象的模型， 然后根据所得模型 在线设计模糊控制器。 (2).直接自适应模糊控制：根据实际系统性能与理想性能之间的偏差， 通过一定的 方法来直接调整控制器的参数；
U 3,3 上 的 连 续 函 数 g x s i n x ， 所 需 精 度 为 0 . 2， 即
s up g x f x 。
xU
由
定义可知，
g x
h h ，故取 h 0.2 满足精度要求。取 h 0.2 ，则模糊
L 集的个数为 N 1 31 。 在 U 3 , h A j ，如图 1 所示，
11 1 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7
隶 属 函 数 模 糊 集 隶 属 函 数 模 糊 集 隶 属 函 数 模 糊 集
上定义 31 个具有三角形绿树函数的模糊集
0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 00 0 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 00 0 xx x 11 1 22 2 33 3
11
11
i1
i1 i2 , ei2 A x1 A x2
x x
i1 1 i2 1 i1 A 1 i2 A 2
（ 6）
该模糊系统由 11 11=121 条规则来逼近函数 g x 。
x1 、 x2 的隶属度函数图如图 4 和图 5 所示。
xU
。
（2）通过对每个 xi 定义更多的模糊集可以得到更为准确的逼近器，即规则越多， 所产生的模糊系统越有效。 （3）为了设计具有预定精度的模糊系统，必须知道 g x 关于 xi 和 x2 的导数边 界，即
i2 x e1i1 , e2 i1 1, 2,
g x1
h1 和
式中， eij 为 xi 在模糊集 Ai j 上的中间值或边界值。 规则来构造模糊系统 f x ，得 Step 3 采用乘机推理机，单值模糊器和中心平均解模糊器，根据 M N1 N 2 条
f x
y x x
i1i2 i1 1 i2 1 N1 N 2 i1 A1 1 i2 A2 2
Li L ，即 Ni i 1 。 hi Ni 1
由该定理可得到以下结论： （1） 形如式 （2） 的模糊系统是万能逼近器， 对任意给定的 0 ， 都可将 h1 和 h2 选 得 足 够 小 ， 使
g x1
h1
g x2
h2
成 立 ， 从 而 保 证
sup g x f x g f
对于模糊逼近的多元非线性方程的逼近，模糊逼近算法表现较好的鲁棒性。例如
g x1
sup 0.1 0.06 x2 0.16 ，
xU
g x2
sup 0.28 0.06 x1 0.34 ，由
xU
式（ 3）可知，取 h1 0.2 ， h2 0.2 时，有 g f
自适应模糊控制算法
21 世纪，模糊控制成为广大家电行业的典型控制方式之一，模糊控制可根据人的 经验模式，在电脑或芯片的控制下，实现模仿人的思维进行操作。例如模糊控制在电 视机音量、屏幕亮度、空调、洗衣机，工业炉、酒精发酵温度控制，空间机器人柔性 臂动力学控制，集装吊车控制等方面广泛应用。自适应模糊控制算法是模糊控制的一 个发展方向，自适应模糊控制算法能自动地对模糊控制规则进行修改和完善，以提高 控制系统的性能。它具有自适应、自学习的能力，特别对于那些具有非线性、大时滞、 高阶次的负责控制系统具有更好的控制效果。
i1i2 i i ii ：如果 x1 为 A11 且 x2 为 A22 ，则 y 为 B 1 2 Ru
式中， i1 1, 2, 择为
, N1 ， i2 1, 2,
, N2 ，将模糊集 Bi1i2 的中心（用 y i1i2 表示）选
（1）
i2 y i1i2 g x1 , x2 g e1i1 , e2
N1 N 2
x x
i1 1 i2 1 i1 A1 1 i2 A2 2
（2）
式中，分子表示规则前提之间、规则前提与结论之间的逻辑“与”运算。
1.2
模糊系统的逼近精度
万能逼近定理表明模糊系统是除多项函数逼近器、神经网络之外的一个新的万能 逼近器。模糊系统较之其他逼近器的优势在于它能够有效地利用语言信息的能力。万 能逼近定理是模糊逻辑系统用于非线性系统建模的理论基础，同时也从根本上解释了 模糊系统在实际中得到成功应用的原因。 万能逼近定理，令 f x 为式（ 2）中的二维模糊系统， g x 为式（ 1）中的未 知函数，如果 g x 在 U 1 , 1 1 , 2 上是连续可微的，则
图
1 隶属函数
所设计的模糊系统为
f x
sin e x
j j 1 j A
31
x
j 1 j A
31
（ 5）
由式（ 5） ，编写 MATLAB 程序如下： %模糊逼近 clc % 清屏 clear all; % 删除 workplace 变量 close all; % 关掉显示图形窗口 L1=-3;L2=3; % U 范围 L=L2-L1; % 模糊集变化范围长度 h=0.2; % 逼近精度 N=L/h+1; %模糊集的个数 T=0.01; %步长
1.1
模糊系统的设计
设二维模糊系统 g x 为集合 U 1 , 1 2 , 2 R 上的一个函数，其解析
2Байду номын сангаас
式形式未知。假设对任意一个 x U ，都能得到 g x ，则可设计一个逼近的模糊系 统。模糊系统的设计步骤为： Step 1：在 i , i 上定义 Ni i 1, 2 个标准的、一致的和完备的模糊集 Step 2: 组建 M N1 N 2 条模糊集 IF-THEN 规则，即
g f
g x1
h1
g x2
h2
（3） （4）
hi max eij 1 eij ， i 1, 2
1 j Ni 1
式中， 无穷维范数
定义为函数上界， 即 d x
sup d x ， eij 为 xi 在第 Ai j
xU
个模糊集上的中间值或边界值， j 1 和 j Ni 时为边界值。 由式（4）可知：假设 xi 的模糊集的个数为 N i ，其变化范围的长度为 L i ，则模糊 系统的逼近精度满足 hi
g x2
h2 。 同 时 ， 在 设 计 过 程 中 ， 还 必 须 知 道 g x 在
, N1 , i2 1, 2,
, N2 处的值。
1.3
模糊逼近仿真
针 对 一 维 函 数 g x ， 设 计 一 个 模 糊 系 统 f x ， 使 之 一 致 地 逼 近 定 义 在
0.16 0.2 0.34 0.2 0.1 ，
满足精度要求。由于 L 2 ，此时模糊集的个数为 N
L 1 11 ，即 x1 和 x2 分别在 h U 1,1 上定义 11 个具有三角形隶属函数的模糊集 A j 。
所设计的模糊系统为
f x
g e
模糊逼近 1 0.8 0.6 0.4 0.2
模糊逼近
0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 -3
-2
-1
0 x
1
2
3
图
x 10 -3-3 10 55 xx10 5 44 4 33 3 22 2
-3
2 模糊逼近图形
模 糊逼 近误 差 模 模糊 糊逼 逼近 近误 误差 差
模 糊 逼 近 误 差 模 糊 逼 近 误 差 模 糊 逼 近 误 差
11 1 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7
隶 属 函 数 模 糊 集 隶 属 函 数 模 糊 集 隶 属 函 数 模 糊 集
x1 的 隶 属 函 数 模 糊 集 x1 的 隶 属 函 数 模 糊 集 x1 的 隶 属 函 数 模 糊 集
0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 00 -1 0 -1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -0.8 -0.8 -0.6 -0.6 -0.4 -0.4 -0.2 -0.2 00 0 x1 x1 x1 0.2 0.2 0.2 0.4 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6 0.8 0.8 0.8 11 1
x=L1:T:L2; % 模糊集变化范围 for i=1:N e(i)=L1+L/(N-1)*(i-1); % 模糊集的边界值 end c=0;d=0; %初始值 for j=1:N % 隶属度函数 if j==1 u=trimf(x,[e(1),e(1),e(2)]); %The first MF elseif j==N u=trimf(x,[e(N-1),e(N),e(N)]); %The last MF else u=trimf(x,[e(j-1),e(j),e(j+1)]); end hold on; plot(x,u,'r','LineWidth',2); c=c+sin(e(j))*u; % 分子 d=d+u; % 分母 end xlabel('x');ylabel('隶属函数模糊集'); for k=1:L/T+1 f(k)=c(k)/d(k); % 模糊系统 end y=sin(x); figure(2); plot(x,f,'r',x,y,'k'); xlabel('x');ylabel('模糊逼近'); grid on%网格化 title('模糊逼近') figure(3); plot(x,f-y,'k','LineWidth',2); grid on%网格化 xlabel('x');ylabel('模糊逼近误差'); title('模糊逼近误差') 运行程序得图 2、图 3 所示。
图
11 1 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7
4
x1 的隶属度函数
x2 的 隶属 函数 模糊 集 x2 的 x2 的隶 隶属 属函 函数 数模 模糊 糊集 集
11 1 00 0
-1 -1 -1 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 00 xx 0 x 11 1 22 2 33 3
图
3 模糊逼近误差图
针对函数 g x ， 设计一个模糊系统 f x ， 使之一致地逼近定义在 U 1,1 1,1 上的连续函数 g x 0.52 0.1x1 0.28 x2 0.06 x1 x2 ，所需精度为 0.1 。 由于
1
模糊控制
模糊控制器的设计不依靠被控对象的模型，但它却非常依靠控制专家或操作者的 经验知识。模糊控制的突出优点是能够比较容易地将人的控制经验溶入到控制器中， 但若缺乏这样的控制经验，很难设计出高水平的模糊控制器。而且，由于模糊控制器 采用了 IF-THRN 控制规则， 不便于控制参数的学习和调整， 使得构造具有自适应的模 糊控制器较困难。 自适应模糊控制是指具有自适应学习算法的模糊逻辑系统，其学习算法是依靠数 据信息来调整模糊逻辑系统的参数。一个自适应模糊控制器可以用一个单一的自适应 模糊系统构成，也可以用若干个自适应模糊系统构成。与传统的自适应控制相比，自 适应模糊控制的优越性在于它可以利用操作人员提供的语言模糊性信息，而传统的自 适应控制则不能。这一点对具有高度不确定因素的系统尤为重要。 自适应模糊控制有两种不同的形式： (1).间接自适应模糊控制：通过在线辨识获得控制对象的模型， 然后根据所得模型 在线设计模糊控制器。 (2).直接自适应模糊控制：根据实际系统性能与理想性能之间的偏差， 通过一定的 方法来直接调整控制器的参数；
U 3,3 上 的 连 续 函 数 g x s i n x ， 所 需 精 度 为 0 . 2， 即
s up g x f x 。
xU
由
定义可知，
g x
h h ，故取 h 0.2 满足精度要求。取 h 0.2 ，则模糊
L 集的个数为 N 1 31 。 在 U 3 , h A j ，如图 1 所示，
11 1 0.9 0.9 0.9 0.8 0.8 0.8 0.7 0.7 0.7
隶 属 函 数 模 糊 集 隶 属 函 数 模 糊 集 隶 属 函 数 模 糊 集
上定义 31 个具有三角形绿树函数的模糊集
0.6 0.6 0.6 0.5 0.5 0.5 0.4 0.4 0.4 0.3 0.3 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.1 00 0 -3 -3 -3 -2 -2 -2 -1 -1 -1 00 0 xx x 11 1 22 2 33 3